автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Расчет периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций

На правах рукописи

Хаймин Алексей Юрьевич

РАСЧЕТ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ ПОРТРЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ СПЕКТРОВ РЕАКЦИЙ

Специальность: 05.09.05 — теоретическая электротехника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2006

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина).

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Бычков Ю.А.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Коровкин Н.В., кандидат технических наук, доцент Второв В.Б.

Ведущая организация - ОАО Концерн «Океаприбор».

Защита состоится МЖаг?^Я- 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 212.238.05 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан « ЯЧ » ¡¿алс^/А 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Исследование периодических режимов имеет большое значение в теории нелинейных систем и цепей. Для многих широко используемых на практике устройств и приборов периодический режим является рабочим. Весьма важно выяснить условия возникновения и устойчивости периодического режима, влияния параметров элементов цепи на амплитуду, частоту и форму установившихся колебаний. Нелинейность - неотъемлемая, а часто и определяющая черта современных объектов научных исследований и автоматизации, обширно поставляемых нуждами практики. Достаточно указать на объекты в авиации и космонавтике, биотехнологии и робототехнике, в химии и нефтехимии, экологии и т.д. Необходимо также указать на научную ценность исследования нелинейных цепей и систем, ибо в них возможны такие явления как автоколебания, детерминированный хаос, необратимость, странные аттракторы, бифуркации и т.п. Все это указывает на фундаментальность проблем анализа нелинейных неавтономных динамических цепей и исследования процессов управления ими.

В общем случае исследование периодических режимов в нелинейных цепях с помощью аналитических методов невозможно. На практике широкое распространение получили приближенные методы анализа периодических режимов в нелинейных цепях. С помощью таких методов решен ряд конкретных задач, связанных с анализом периодических режимов в автономных электрических цепях. Однако данные методы требуют серьезных ограничений на вид уравнений динамики цепей. Выполняя анализ с помощью приближенных методов, исследователь сталкивается с необходимостью:

— анализа существования и единственности искомого периодического решения;

—уточнения приближенного периодического решения;

— оценки погрешности приближенного периодического решения;

— отделения периодических режимов от хаотических в исследуемых нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.

Расчет любой нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи, как известно, невозможен в отрыве от предначальных условий. Согласно качественной теории нелинейных электрических цепей такие цепи в общем случае не обладают свойством конвергентности, т.е. для различных предначальных условий в цепи устанавливаются различные по характеру процессы. Анализ динамики нелинейных неавтономных нестационарных цепей возможен в общем случае только с помощью численных методов.

Вследствие этого пошаговый расчет является единственно возможным подходом для выявления детерминированного хаоса и бифуркации в искомых реакциях исследуемой цепи. С другой стороны, все численные методы накапливают погрешность расчета. Тогда, ^дсРй^^й^ЙЬЙЙ1^ ановив-

библиотека

С.-Петербург

оэ 200ЙКТ/У/7?

шийся периодический процесс, т.е. случай, когда общая картина динамики характеризуется повторяемостью, фактор накопления погрешности расчета обуславливает снижение степени достоверности получаемой информации. В связи с этим для описания периодического решения уравнения динамики исследуемой цепи наиболее целесообразно и более эффективно описание его с помощью аппарата рядов Фурье. Вследствие этого актуальна задача построения процедуры расчета периодического режима на основе расчетной схемы численного метода с возможностью последующего описания этого решения на периоде в виде многочлена Фурье.

Предметом исследования являются нелинейные неавтономные нестационарные электрические цепи с сосредоточенными детерминированными параметрами.

Цель диссертационной работы состоит в разработке нового метода анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров искомых реакций.

Для достижения указанной цели в работе решены следующие задачи.

1. Формирование основных вычислительных процедур метода в ходе исследования периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях. В ходе решения данной задачи:

- вычисление амплитуд и начальных фаз гармоник из универсальной системы уравнений;

- построение обобщенного портрета.

2. Обобщение полученных результатов на электрические цепи гистере-зисного типа.

3. Развитее метода для случая отделения периодических режимов от хаотических.

Методы исследования основаны на положениях теории электрических цепей и теории автоматического управления; аналитически-численном методе и аппарате рядов Фурье.

Достоверность полученных результатов подтверждается их соответствием результатам, полученным при исследовании цепей экспериментально.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Предложены обобщенные портреты на основе дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций и способ их формирования.

2. Предложена универсальная система тригонометрических уравнений для определения параметров периодических режимов.

3. Выявлены особенности расчета периодических режимов при наличии разрывов первого рода в описаниях внешних воздействий и характеристик элементов.

4. Разработан новый подход отделения периодических режимов от хаотических.

На защиту выносятся.

1. Обобщенные портреты дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций.

2. Процедура формирования периодического режимов на основе полученных обобщенных портеров в виде многочлена Фурье.

3. Условия существования, периодичности и единственности искомого режима.

4. Интегральные и пошаговые оценки погрешности периодического режима.

5. Алгоритм отделения периодических режимов от хаотических в выделенном классе цепей.

Практическая ценность работы.

1. Метод позволяет формировать, уточнять и оценивать полученные периодические режимы.

2. Разработанный метод доступен для практического применения к широкому кругу цепей благодаря строго формализованным процедурам и оснащенностью программами.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на: 58, 59 научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава университета 2005, 2006 г.г.; научно-практической конференции «Проблемы прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий» 2005, 2006 гг.; научной конференции в Германии 2004 г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 8 научных работ, из них - 7 статей, программа, зарегистрированная в ГосФАП.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 23 наименования. Основная часть работы изложена на 171 страницах машинописного текста. Работа содержит 43 рисунка и 27 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, обозначен предмет исследования, сформулированы цели и задачи диссертационной работы.

В первой главе методы и алгоритмы расчета периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях и постановка задачи исследования проведен сравнительный анализ приближенных методов расчета периодических режимов в нелинейных электрических цепях. Рассмотрены основные методы, относящиеся к методам малого параметра: метод возмущения, метод усреднения, метод гармонической линеаризации.

Означенные выше методы анализа периодических режимов обладают следующими недостатками:

1. Они накладывают серьезные ограничения на вид решаемого уравнения динамики цепи.

2. Они обладают затруднительными процедурами уточнения получаемых приближенных периодических решений или вообще таковыми не обладают.

3. Все известные методы ищут периодические решения в отрыве от предначальных условий.

Анализ динамики нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепей в большинстве случаях выполняют с помощью численных методов.

В большем случае существующие численные методы анализа нелинейных электрических цепей требуют приведения уравнения динамики цепи к нормальной форме Коши. Это обстоятельство сильно ограничивает применимость данных методов, при расчете сложной электрической цепи, так как это не всегда возможно. Второй не менее серьезный проблемный момент всех численных методов - недостаточно разработанная и не формализованная процедура выбора шага расчета. Следующий недостаток широко используемых численных методов - неразработанная процедура оценки погрешности расчета. В этом случае стоит вопрос, как соотносится полученное приближенное решение с неизвестным точным решением. В широко используемых численных методах оценка погрешности производится с помощью простого "двойного просчета".

Все это указывает на серьезный подход к выбору численного метода.

В последнее время вырос интерес к использованию в расчетных схемах анализа нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепей аналитических методов. Данные методы связаны с получением решений уравнений в виде функционально-степенных рядов. Главный недостаток аналитических методов - сложность составления алгоритмов для получения решения. Достоинствами данных методов являются возможность получения не только приближенных; решений, но и областей существования неизвестных точных значений решений, а так же реализации расчета с шагом, являющимся функцией собственных свойств самой модели.

В качестве численного метода взят аналитически-численный метод. Выбор данного метода объясняется следующими причинами. Метод:

— обладает строгой оценкой локальной и полной погрешности расчета;

— позволяет использовать все особенности реальной схемы, такие как неоднозначность характеристик, разрывы воздействий, координат и т.д. и корректным переходом от предначальных к начальным значениям реакций электрической цепи;

— обладает разработанной процедурой выбора шага расчета, т.е. шаг расчета меняется в зависимости от изменения реакций, что очень важно при расчете жестких нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепей;

— применим для широкого класса цепей и расчета различных режимов;

—универсален по отношению к описанию цепей;

— высоко формализован с целью эффективного использования ЭВМ.

Во второй главе формирование обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров периодических реакций нелинейных неавтономных электрических цепей и расчет предполагаемых периодических режимов на основе сформированных портретов описывается процедура построения обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций нелинейных неавтономных электрических цепей.

Для построения обобщенных портретов в работе предлагается использовать следующие функции у, к (г; 1,)\

=[0;2}],

0)

где х} >((;/,) - к - ая производная искомого приближенного периодического решения.

Когда периодическое решение х, (/) = *, (г+7}) в своем описании содержит ограниченное количество гармоник М, ряда Фурье, то предел при со выражений (1) имеет следующее значение:

= 11т

к+г

„>(,.,,) ^ , = (2)

Существование и численное значение предела (2) являются важными характеристиками искомого периодического решения. В этом случае искомое периодическое решение действительно описывается отрезком ряда Фурье, а повторяемость особенностей поведения функций у1к ((;!,), к = 0,1,2... на периодах указывает на его устойчивость.

Функции у,к (?;/,) имеют интервалов постоянства значений, разделенных разрывами второго рода на периоде Т, искомого периодического решения рис. 1. Число их равно 2М, для периодического режима, который описывается тригонометрическим многочленом порядка М,. Длительность временных интервалов с увеличением значения М, уменьшается с одновременным возрастанием их количества в рамках периода искомого периодического решения. Численное значение ординаты указанных интервалов равно квадрату произведения числа гармоник в описании периодического решения на частоту этого решения, т.е. {М,о),)2 согласно выражению (2).

Рис. 1

Пусть периодическое решение х, (/) в своем описании содержит бесконечное количество ненулевых гармоник, т.е. описывается рядом Фурье.

В этом случае функции у,к (*;/,), к = 0,1,2... имеют локальные максимумы и минимумы, численные значения которых меняются с изменением порядкового номера А, а абсциссы локальных максимумы и минимумы функции у,кк = 0,1,2... совпадают, как показано на рис. 2.

Разработана процедура расчета периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях. Указаны способы выбора абсциссы точки разложения коэффициентов ряда Тейлора, для которых формируется универсальная система тригонометрических уравнений, и частоты периодического режима.

Знание предела (2) и частоты со, предполагаемого периодического режима позволяют определить количество гармоник М,х

Рис.2

м.Ж,

(3)

где о,0 - какое-либо значение, принадлежащее диапазону

Далее формируем 2М, +1 уравнения, необходимые для нахождения гм,+1 неизвестных амплитуд А10, Аи,..., АШ/ и начальных фаз «, ,.....аШ/ искомого периодического решения x,(t+T) при описании его тригонометрическим многочленом порядка М,. Указанная универсальная система тригонометрических уравнений имеет следующий вид:

&

Ri. о = Ао + 2 Al.m sin (тС01Л< + <*,.„)

м,

чо

Ru =LAm{mí0i. o)sin(müj/0f+a,m +ф)

ma\

(4)

l=ts

rI2M, = {та,я)1'4' sm(mcoiot+a,M +М,тс)

mat

где t=t, — середина временного интервала, в рамках которого функции (1) принимают одинаковые значения.

Разработаны проверочные этапы правильности выбора количества гармоник М, и частоты ео, периодического решения.

Когда периодическое решение х, (/) уравнения нелинейной неавтономной электрической цепи содержит в своем описании бесконечное количество ненулевых гармоник, т.е. описывается рядом Фурье, то абсциссы, соответст-

вующие локальным максимумам и минимумам функции (1), принимают в качестве дискретных моментов времени для которых формируют системы уравнений (4). Количество гармоник определяется согласно выражению (3), где - значения функций у,х (/;/,) в абсциссе точки локального минимума или максимума взятых по модулю. Решая такие системы для каждого дискретного момента времени /=г,, находят амплитуды и начальные фазы искомого периодического решения при описании его в виде композиции тригонометрических многочленов.

Предложены процедуры проверки получаемых параметров периодических режимов на основе обобщенного портрета.

Разработана процедура расчета электрических цепей при наличии разрывов первого рода в описаниях внешних воздействий и характеристик элементов с гистерезисом. Указаны способы выбора абсциссы точки разложения коэффициентов ряда Тейлора, для которых формируется универсальная система тригонометрических уравнений, и частоты периодического режима для цепей с гистерезисным типом.

Предложенный в диссертационной работе метод расчета периодических режимов включает в себя анализ вынужденных и сложных колебаний в нелинейных неавтономных нестационарных одноконтурных системах независимо от вида колебаний и отношения собственных частот к частотам воздействия.

Процедура расчета параметров вынужденных и сложных колебаний, согласно данному подходу, имеет одну особенность. Для отыскания периодического процесса в таких цепях необходимо формировать систему уравнений (4) для отыскания амплитуд и начальных фаз искомой периодической реакции цепи для каждого режима в отдельности. В данном подходе необходимо брать частоту появления каждого ключевого режима. Количество гармоник вычислить с помощью выражения (3) невозможно, поэтому исследователь исходя из априорных знаний и сложности получаемого режима, выбирает самостоятельно необходимое количество гармоник.

На основе найденных коэффициентов Я,, и построенного портрета для каждого ключевого режима составляется система тригонометрических уравнений вида (4). В качестве абсцисс точек разложения берутся середины интервалов времени функций (1), в течение которых существуют системы уравнений динамики цепи для каждого ключевого режима.

В третьей главе исследование существования, периодичности и единственности сформированных режимов и формирование интегральных погрешностей периодических режимов описывается алгоритм исследования существования и единственности периодических решений уравнения динамики нелинейных неавтономных электрических цепей. Существование, периодичность и единственность периодического решения сводится к сущест-

вованию пределов по амплитудам и начальным фазам и существованию интеграла от квадрата искомого решения.

В работе исследуется существование периодического решения, отвечающего заданному предначальному условию *(о~), 0" =/„,

х^(О")=(О"),(о~)|Г> m = 1, где N - порядок системы

исследуемого уравнения.

В том случае, если обобщенный портрет исследуемой реакции имеет положительные интервалы постоянства значений функций yLk(t;Ik), то существует предел (2). Тогда доказательство существования периодического решения искомого уравнения происходит путем подстановки полученного тригонометрического многочлена из решенной универсальной системы тригонометрических уравнений (4) в исследуемое уравнение динамики цепи. В том случае, если обобщенный портрет исследуемой реакции имеет либо отрицательные интервалы постоянства значений функций уа(tUk), либо синхронизированные по времени локальные максимумы и минимумы, то для описания искомого периодического решения в виде сходящегося ряда Фурье необходимо выполнение следующих пределов числовых последовательностей:

М (5)

где «[^ - амплитуды и начальные фазы искомого периодического

решения, найденные из системы (4); А1т, а,т - предельные значения амплитуд и начальных фаз искомого периодического решения.

Для доказательства, что предельные амплитуды А,т и начальные фазы а,т выражения (5) являются амплитудами и начальными фазами искомого периодического решения при разложении его в ряд Фурье используется равенство Парсеваля, из которого следует, что тригонометрический ряд, полученный из универсальной системы, сходится равномерно к непрерывной периодической функции.

Из сходимости тригонометрического ряда и существования интеграла от квадрата искомого решения, следует его единственность, согласно теореме Кантора.

Исходя из выше сказанного, сходящийся тригонометрический ряд является рядом Фурье, согласно теореме дю Буа-Реймона.

Описана процедура выбора точек разложения для формирования универсальных систем тригонометрических уравнений.

Так, например, в диссертации описан пример получение периодического решения, которое имеет пределы (5), приведенные ниже в таблице.

Зависимость амплитуд от количества гармоник в описании периодического . _^___ решения ___^_

/м Л 4 4 4 4, 4 4 ... 4л

1 0.5686 0.157

2 0.5642 0.210 0.026

3 0.5623 0.236 0.047 0.005

4 0.5612 0.252 0.063 0.012 0.001

5 0.5605 0.263 0.076 0.019 0.003 3*10"4

6 0.5599 0.271 0.085 0.025 0.006 8*10"4 6*10*

7 0.5596 0.276 0.092 0.031 0.008 0.0017 2*10"4

8 0.5594 0.28 0.099 0.036 0.011 0.0027 5*10"4

•«. •. • • •« ,,, . •. • • • ...

15 0.5584 0.296 0.122 0.059 0.028 0.012 0.0049 ...

16 0.5584 0.297 0.124 0.061 0.030 0.014 0.0057 3*10'"

Разработаны процедуры формирования интегральных и пошаговых погрешностей описания периодических режимов нелинейных неавтономных электрических цепей. В основу формирования описанных выше погрешностей лежат верхние оценки абсолютных полных погрешностей расчета, получаемые на основе аналитически-численного метода.

На основе аналитически-численного метода вычисляются верхняя и нижняя оценки значения площади плоской фигуры, выделенной в пределах текущего шага расчета, как произведение удвоенного значения верхней оценки |Дх, (/;/,)| абсолютной полной погрешности расчета на длину текущего

шага. Для вычисления нижней и верхней оценок неизвестного точного значения площади рассматриваемой плоской фигуры на каждом шаге расчета используется прием соответственно левых и правых прямоугольников. Суммируя площади плоских фигур в интервале приближенного значения периода отдельно, получают нижние и верхние оценки значений площадей соответствующих плоских фигур на каждом шаге расчета, вычисляют нижнюю и верхнюю оценки геометрической площади плоской фигуры. Усреднив на периоде полученные значения оценок, получим следующую оценку:

<5;ир (6)

где 5;'.пГ = ; Тш; Т1т? - соответственно нижняя и верхняя оценки

Ч.п> р Ч. 1пГ

неизвестного точного значения периода искомого периодического решения.

Двойное неравенство (6) представляет собой интегральный и усредненный на периоде оценочный аналог системы взаимосвязанных друг с другом оценочных показателей областей, содержащих точные значения искомых решений, получаемых по ходу расчета в пределах периода. С этой точки зрения двойное неравенство (б) - это усредненная интегральная оценка погреш-

ности расчета периодического решения х, (г) исследуемого уравнения пошаговым образом и посредством описания этого решения на каждом шаге соответствующим полиномом Тейлора.

Располагая приближенным решением х,(/;/,), полученным с помощью аналитически-численного метода в рамках пошагового расчета, и амплитудно-фазовым спектром тригонометрического многочлена , можно вычислить усредненную на периоде интегральную погрешность 5,'ш описания приближенного решения *,(/;/,) сформированным тригонометрическим многочленом. Усредненная интегральная погрешность такого описания на периоде определяется следующим образом:

С,)-*,(<-,м,))*, (7)

•Чо о

где Т1Л - выбранное приближенное значение периода из найденного диапазона, используемое при решении системы уравнений (4) в рамках расчета ам-плигудно-фазовых показателей тригонометрического многочлена х,((;1,) порядка м,.

Для удовлетворения требованию соответствия по уровням погрешности исходного приближенного решения х,(1;1,) и формируемого амплитудно-фазового спектра А1Я, А1м, аыт=0,1,2...М необходимо выбрать порядок М, тригонометрического многочлена из следующего двойного неравенства:

Я/м^ш^р (8)

Согласно процедуре расчета амплитудно-фазового спектра тригонометрического многочлена, выбор порядка М, этого многочлена может быть реализован отдельно для правой или левой части двойного неравенства (8). Вследствие этого для порядка М, тригонометрического многочлена можно получить два определяющих его выбор условия: М, й М1м и М,£МЫр. Логическое обобщение этих двух автономных по схеме расчета условий выбора порядка М,, учитывая их естественную взаимосвязь в рамках двойного неравенства (8), обуславливает получение для оценки необходимых значений порядка следующего двойного неравенство:

М1м$М,*МЫг (9)

Как уже отмечалось, усредненный интегральный оценочный показатель (б) соответствует расчету динамики цепи аналитически-численным методом с заданным уровнем предельной абсолютной локальной погрешности расчета е, (¡г). Вследствие этого полученный на основе двойных неравенств (б) и (8) результат (9) также соответствует предельному уровню локальной погрешности расчета г, (А). Таким образом, двойное неравенство (8) регламентирует

выбор порядка М, тригонометрического многочлена х,[}-,М,), амплитудно-

фазовый спектр которого описывает искомое периодическое решение-х, (/)=х, (/+Г,) исследуемого уравнения с усредненной интегральной погрешностью (7). При этом очевидно, что вследствие логической взаимосвязи областей, содержащих точные значения решений и результат (6) достигнутый уровень усредненной интегральной погрешности (7) однозначным образом соответствует предельному уровню локальной погрешности расчета е, (h). С учетом этого справедливо утверждение, что сформированный тригонометрический многочлен x,{f,M,) порядка М, в аспекте своей интегральной оценки (8) соответствует расчету динамики цепи с предельным уровнем локальной погрешности s-, (h).

Как следует из вышеизложенного, при согласовании порядка тригонометрического многочлена с заданным уровнем предельно абсолютной погрешности расчета происходит отбрасывание высших гармоник ряда Фурье. В этом случае хотелось бы оценить степень влияния высших гармоник на формируемый тригонометрический многочлен порядка М,. Для формирования необходимых показателей воспользуемся равенством Парсеваля.

Согласно равенству Парсеваля сумма квадратов амплитуд гармоник равна усредненному значению на периоде площади от квадрата функции искомого периодического решения:

(ю)

^ mal Q

где al0=2Al0; Blja = 4„sin(a,m); С1д=Аыcos(a,„,).

Вычисление интеграла выражения (10) не представляется возможным, т.к. необходимо знать точное значение периода и неизвестное точное периодическое решение. Однако знание на каждом шаге верхней оценки абсолютной полной погрешности расчета x,(t;I,) позволяет оценить указанный интеграл, т.е. вычислить верхнюю и нижнюю оценки неизвестного точного его значения.

На каждом шаге расчета известны верхняя и нижняя оценки неизвестного точного искомого периодического решения:

Тогда для вычисления на каждом шаге верхней и нижней оценки интеграла (10) необходимо вместо неизвестного точного периодического решения х, (/) подставить выражения (11). Суммируя далее в пределах приближенного значения периода отдельно, полученные нижние и верхние оценки значений интеграла на каждом шаге расчета, вычисляют нижнюю S/'jîT" и верхнюю Г" °Ценки> выделяемой на периоде по ходу расчета границами областей,

содержащих неизвестные точные значения искомого периодического решения х, (/) исследуемого уравнения. Итак:

т . - ■ *

•Чяф V о , /

.(12)

Тогда неизвестное точное значение площади Б',113**1, с учетом выражений (12), описывается следующим двойным неравенством:

(13)

Двойное неравенство (13) представляет собой оценку интеграла выражения (10), получаемого по ходу расчета в пределах периода.

Знание двойного неравенства (13) позволяет определить порядок тригонометрического многочлена М,, согласно выражению (10). Тогда имеем:

* т-1

Инте1ральный оценочный показатель (13) соответствует расчету динамики цепи аналитически-численным методом с заданным уровнем предельной абсолютной локальной погрешности расчета е, (й). Таким образом, двойное неравенство (14) регламентирует выбор порядка М, тригонометрического многочлена х,(1;М,), амплитудно-фазовый спектр которого описывает искомое периодическое решение исследуемого уравнения соответствующим заданному уровню предельной абсолютной локальной погрешности расчета

Используя правую часть двойного неравенства (13) можно ввести обобщенную оценку ДМ( степени влияния и вклада высших гармоник (т>М,) в погрешность описания искомого решения тригонометрическим многочленом порядка М,. Итак:

дм,=Е &+ь?а -[4+1х,

т*М/ \ лМ )

Здесь следует отметить, что уменьшать обобщенную оценку ДМ( отбрасываемой части ряда Фурье нельзя просто увеличивая порядок М,, найденного тригонометрического многочлена из двойного неравенства (14). Согласно "принципу А. Н. Крылова", для уменьшения обобщенной оценки АМ/ необходимо уточнять величины З/^1, уменьшая предельный уровень ло-

кальной погрешности расчета г, (А), вследствие этого и будет увеличиваться порядок и, тригонометрического многочлена.

В четвертой главе расчет периодических режимов с использованием новой формы записи ряда Тейлора и отделение периодических режимов от хаотических на основе дифференциальных и амплитудно-фазовых спеюров реакций цепи описывается алгоритм расчета периодических режимов в линейных электрических цепях на основе новой формы записи ряда Тейлора. Алгоритм основан на выделении из коэффициентов Тейлора, коэффициентов, отвечающих за вынужденную составляющую и формирование универсальных систем тригонометрических уравнений для нахождения неизвестных амплитуд и начальных фаз искомых периодических режимов.

Любой из коэффициентов Яи, ¡еЩ может быть представлен в виде

суммы составляющих д)"', каждая из которых соответствует своему полюсу Я„, п = \,2,..М. Тогда следует:

(16)

П=1

где / е \ъ\.

Из выражения (16) вытекает новая форма записи ряда Тейлора. Регулярная составляющая х, (г) решения в этой форме запишется следующим образом:

/-0 л-1 п-1

где =

/=0

Экспликация к выражению (17) описывает п - ю составляющую решения х,(г), соответствующему корню Л„. Представление решения х,{/) в виде

суммы составляющих *}"'(/) означает декомпозицию этого решения по полюсам Лп> п = \,2,...И его изображения Х,(р).

Рассмотрим процедуру формирования описания периодического решения с помощью новой формы записи ряда Тейлора для линейных электрических цепей на основе декомпозиции решения.

Расчет периодических режимов в линейных электрических цепях хорошо изучен. Разработано много методов анализа периодических режимов в исследуемых цепях.

При расчете исследуемой цепи с воздействием С/(г) в виде суммы и м

гармоник ¡7 (/) = СД эт {км+рк) методом комплексных амплитуд, необходимо

мо перевести электрическую схему в комплексную область, рассчитать параметры схемы для каждой гармоники и вычислить результат по каждой гармонике воздействия. Особенно актуальный вопрос встает, когда количество

гармоник воздействия большое. Рассмотрим основные особенности предлагаемого подхода, в котором нет необходимости расчета электрической цепи по каждой гармоники.

Коэффициенты могут быть вычислены, зная корни воздействия и собственные числа самой цепи. Вследствие этого данные коэффициенты могут быть представлены в виде суммы коэффициентов, отвечающие за переходную составляющую решения и коэффициентов, отвечающие за периодическую составляющую решения уравнения динамики л}^. Итак:

^-ЛЁ-Мг1. (18)

Зная значение частоты со, количество гармоник М в искомом решении, формируем 2М+1 уравнений, связывающих коэффициенты ряда Тейлора для вынужденной составляющей и неизвестных амплитуд А, к и фаз а, к периодического решения х, (г) при описании его отрезком ряда Фурье.

Сформирован алгоритм отделения периодических режимов от хаотических. Алгоритм основан как на построении обобщенных портретов, так и на существовании пределов последовательностей полученных амплитуд и начальных фаз искомых решений.

Высокая чувствительность к погрешности задания начальных условий, приводящая к нерегулярному (хаотическому) поведению, не является исключением, это типичное свойство многих нелинейных неавтономных систем. Согласно теореме Пуанкаре-Бендиксона, хаотический процесс возможен в нелинейных автономных динамических системах, начиная с третьего порядка, а в неавтономных, начиная со второго.

В работе описан переход к нерегулярному поведению реакций цепи вследствие появления субгармоник.

Если исследуемая реакция имеет нерегулярное поведение, связанное с возникновение субгармоник, то это можно рассматривать как самоыниции-руемое появление или исчезновение с течением времени некоторых гармоник в описании исследуемой реакции. В этом аспекте нерегулярность можно трактовать как псевдопериодичность с переменной частотой и изменяемым числом доминирующих гармоник в описании.

В случае переменного числа гармоник и (или) периода исследуемой реакции портреты, построенные на основе выражений (1) на интервалах сравнения, будут не совпадать. Численные значения локальных максимумов и минимумов функций (1) также будут не совпадать.

Если исследуемая реакция имеет нерегулярное поведение, то для нее не будут существовать и пределы (5). Выражения (5) можно считать критерием периодичности искомого решения.

Так, например, в диссертации приведен пример хаотического решения, имеющего фазо- * ~ вый портрет, изображенный на рис. 3. Рис. 3

В заключении приводятся основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему.

В диссертации разработан новый метод анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров искомых реакций.

Для достижения этой цели в диссертации решены поставленные задачи.

1. Разработана процедура построения обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций нелинейных неавтономных электрических цепей.

2. На основе сформированных обобщенных портретов разработана процедура расчета периодических режимов нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепей при описании их тригонометрическими многочленами.

3. Разработан алгоритм исследования существования и единственности периодических решений уравнения динамики нелинейных неавтономных электрических цепей.

4. Разработаны процедуры формирования интегральных погрешностей описания периодических режимов нелинейных неавтономных электрических цепей.

5. Сформирован алгоритм отделения периодических режимов от хаотических. В основу сформированного алгоритма лежат обобщенный портрет искомого решения и выполнения пределов (5), связанных со сходимостью числовых последовательностей амплитуд и начальных фаз.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Щербаков C.B., Хаймин А.Ю. О подходе к анализу периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях на основе взаимосвязи дифференциальных и гармонических спектров // Труды Псковского политехнического института / Санкт-Петербургский государственный политехнический университет. - СПб., 2003. - № 7.3: Электротехника Машиностроение. - С. 310 - 313.

2. Щербаков C.B., Бычков Ю.А., Хаймин А.Ю. Аналитический расчет установившегося периодического режима в линейных стационарных электрических цепях на основе новой формы записи рядов Тейлора для решений их уравнений динамики. // Труды Псковского политехнического института / Псковский политехнический институт. - Псков, 2004. - № 8.3: Электротехника Машиностроение. - С. 270-275.

3. Y. Bychkov, J. Nitsch, N.V. Korovkin, S. Scherbakov, S. Diomkin, A. Himeen.

The Influence of Multitone Disturbances on Nonlinear Systems // EUROEM 2004 Book of Abstracts / Otto — von — Guericke- university. — Magdeburg, Germany, 2004. - C. 141.

4. Бычков Ю.А., Хаймин А.Ю., Щербаков C.B. Расчет установившегося периодического режима в нелинейных нестационарных электрических цепях на основе анализа взаимодействия дифференциальных и гармонических спектров реакций // Радиоэлектроника / Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет (ЛЭТИ). - СПб., 2005. № 4. -С. 16-28

5. Бычков Ю.А., Золотницкий В. М., Щербаков C.B., Хаймин А.Ю. Расчет периодических режимов в рамках математического моделирования чрезвычайных ситуаций в нелинейных неавтономных динамических системах // Проблемы прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций в: их последствий / Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет (ЛЭТИ). - СПб., 2005. - С. 12-13.

6. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Демкин С.С., Хаймин А.Ю. Программа построения портретов взаимодействия дифференциального и гармонического спектров искомых периодических решений уравнений динамики нелинейных динамических систем. ИКАП 50200400221.11154574.00608.

7. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Хаймин А.Ю. Особенности анализа периодических режимов в электрических цепях при наличии разрывов первого рода в описаниях характеристик элементов // Труды Псковского политехнического института / Псковский политехнический институт. - Псков, 2006. - № 10.3: Электротехника Машиностроение.-С. 327-331.

8. Бычков Ю.А., Щербаков С:В., Хаймин А.Ю. Оценка погрешности расчета амплитудно-фазовых характеристик периодических реакций нелинейных неавтономных электрических цепей // Радиоэлектроника / Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет (ЛЭТИ). - СПб., 2006. № 5. - С. 3 - 10.

Подписано в печать 15.11.06. Формат 60*84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 128.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

P2 7 9 1 O

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Обзор существующих методов расчета периодических режимов.

1.2. Аналитически-численный метод расчета нелинейных неавтономных электрических цепей.

1.3. Цель и задачи диссертационной работы.

ГЛАВА 2. ФОРМИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ПОРТРЕТОВ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ

СПЕКТРОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

НЕАВТОНОМНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ. РАСЧЕТ ПРЕДПОЛАГАЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ НА ОСНОВЕ СФОРМИРОВАННЫХ ПОРТРЕТОВ.

2.1. Процедура формирования обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций электрических цепей.

2.2. Расчетная схема анализа предполагаемых периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций.

2.3. Особенности анализа предполагаемых периодических режимов в электрических цепях при наличии разрывов первого рода в описаниях внешних воздействий и характеристик элементов.

2.4. Выводы.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ПЕРИОДИЧНОСТИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ СФОРМИРОВАННЫХ РЕЖИМОВ.

ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ.

3.1. Исследование существования и единственности периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях.

3.2. Процедура формирования описания периодических режимов на основе выбора точки разложения.

3.3 . Формирование интегральных погрешностей получаемых периодических режимов в нелинейных неавтономных электрических цепях.

3.4 .выводы.

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НОВОЙ ФОРМЫ ЗАПИСИ РЯДА

ТЕЙЛОРАД)ТДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ОТ ХАОТИЧЕСКИХ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ СПЕКТРОВ РЕАКЦИЙ ЦЕПИ

4.1. Расчет установившихся периодических режимов в линейных электрических цепях на основе новой формы записи ряда Тейлора.

4.2. Отделение периодических режимов от хаотических в нелинейных неавтономных электрических цепях.

4.3. Выводы.

Исследование периодических режимов имеет очень большое значение в теории нелинейных систем и цепей. Для многих широко используемых на практике устройств и приборов периодический режим является рабочим. Весьма важно выяснить условия возникновения и устойчивости периодического режима, влияния параметров элементов цепи на амплитуду, частоту и форму установившихся колебаний, а также время и характер переходного процесса [1]. Для других устройств, таких, как усилители, системы автоматического регулирования и т.п., установившиеся колебания не должны иметь места. Нели нейность - неотъемлемая, а часто и определяющая черта современных объектов научных исследований и автоматизации, обширно поставляемых нуждами практики. Достаточно указать на объекты в авиации и космонавтике, биотехнологии и робототехнике, в химии и нефтехимии, экологии и т.д. Необходимо также указать на научную ценность исследования нелинейных цепей и систем, ибо в них возможны такие явления как автоколебания, детерминированный хаос, необратимость, странные аттракторы, бифуркации и т.п. Все это указывает на фундаментальность проблем анализа нелинейных неавтономных динамических цепей и исследования процессов управления ими.

Периодические режимы в нелинейных цепях могут возникать [1,2]: в автономных цепях - не только консервативных, но главным образом диссипативных. В зависимости от характера нелинейности, вида элементов и структуры цепи, частота и форма колебаний могут быть разнообразными; в неавтономных цепях - в виде вынужденных колебаний. При действии одного источника периодического сигнала вынужденная реакция может быть как периодической, так и непериодической. Периодическая вынужденная реакция может иметь основную частоту колебания, кратную или дробно -кратную частоте входного сигнала или равной ей; при действии двух источников периодических сигналов разных частот в цепи могут возникнуть колебания с большим числом различных комбинационных частот. При действии же нескольких таких источников картина необычайно усложняется.

Различают следующие виды периодических колебаний: автоколебания, многочастотные вынужденные колебания и сложные колебания. Наиболее общий среди них случай - сложные колебания, из которого как частные следуют два первых.

В общем случае исследование периодических режимов в нелинейных цепях с помощью аналитических методов невозможно. На практике более широкое распространение получили приближенные методы анализа периодических режимов в нелинейных цепях. С помощью таких методов решен ряд конкретных задач, связанных с анализом периодических режимов в автономных электрических цепях. Однако данные методы требуют серьезных ограничений на вид уравнений динамики цепей. Выполняя анализ с помощью приближенных методов, исследователь сталкивается с необходимостью: анализа существования и единственности искомого периодического решения; уточнения приближенного периодического решения; оценки погрешности расчета периодического решения; отделения периодических режимов от хаотических в исследуемых нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.

Расчет любой нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи, как известно, невозможен в отрыве от предначальных условий [2,3]. Согласно качественной теории нелинейных электрических цепей такие цепи в общем случае не обладают свойством конвергентности, т.е. для различных предначальных условий в цепи устанавливаются различные по характеру процессы. Анализ динамики нелинейных неавтономных нестационарных цепей возможен в общем случае только с помощью численных методов.

Вследствие этого пошаговый расчет является единственно возможным подходом для выявления детерминированного хаоса, бифуркации в искомых реакциях исследуемой цепи [4]. С другой стороны, все численные методы накапливают погрешность расчета. Тогда, если рассматривать установившийся периодический процесс, т.е. случай, когда общая картина динамики характеризуется повторяемостью, фактор накопления погрешности расчета обуславливает снижение степени достоверности получаемой информации. В связи с этим для описания периодического решения уравнения динамики исследуемой цепи наиболее целесообразно и более эффективно описание его с помощью аппарата рядов Фурье. Вследствие этого актуальна задача построения процедуры расчета периодического режима на основе расчетной схемы численного метода с возможностью последующего описания этого решения на периоде в виде многочлена Фурье.

Диссертационная работа посвящена разработке нового метода анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров искомых реакций.

В данной работе решен круг вопросов, связанных с нахождением взаимосвязи между рядами Фурье и Тейлора; построением обобщенных портретов на основе найденной взаимосвязи; разработкой процедуры формирования периодического решения в виде многочлена Фурье на основе полученных обобщенных портеров. Решены вопросы о существовании, периодичности и единственности искомого решения уравнения динамики нелинейной неавтономной нестационарной электрической цепи. Сформированы интегральные оценки погрешности расчета периодического режима. Разработан алгоритм, позволяющий отделить периодических режимы от хаотических в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.

4.3. Выводы

1. Разработан алгоритм расчета периодических режимов в линейных электрических цепях на основе новой формы записи ряда Тейлора. Алгоритм основан на выделении из коэффициентов Тейлора, коэффициентов, отвечающих за вынужденную составляющую, и формировании универсальных систем тригонометрических уравнений для нахождения неизвестных амплитуд и начальных фаз искомых периодических режимов.

2. Сформирован алгоритм отделения периодических режимов от хаотических. Алгоритм основан как на построении обобщенных портретов, так и на существовании пределов последовательностей полученных амплитуд и начальных фаз искомых решений.

167

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработан новый метод анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях на основе обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров искомых реакций.

Для достижения этой цели в диссертации решены поставленные задачи.

1. Установлена взаимосвязь на периоде между описаниями периодического решения в виде ряда Фурье и ряда Тейлора в виде выражений (2.2). Данная взаимосвязь является отправной точкой для построения необходимых процедур и расчетных схем анализа периодических режимов в нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепях.

2. Разработана процедура построения обобщенных портретов дифференциальных и амплитудно-фазовых спектров реакций нелинейных неавтономных электрических цепей. В качестве исходной информации для построения портретов используются коэффициенты ряда Тейлора, вычисленные с помощью аналитически-численного метода. Процедура построения обобщенных портретов основана на установленной взаимосвязи между рядами Тейлора и Фурье. Для построения функции у,ъ(с,1к) искомых периодических режимов используются выражения (2.4). Предложены качественные и количественные показатели обобщенных портретов, которые позволяют судить о сложности периодического режима. Так, например:

- если при построении обобщенного портрета есть положительные интервалы постоянства (2.11) функций y,M{t;lk), то искомый режим является периодическим и описывается ограниченным количеством гармоник ряда Фурье;

- если при построении обобщенного портрета значения локальных максимумов и минимумов функций ylk(t;Ik) меняется с изменением их порядкового номера, то искомый режим является периодическим и описывается бесконечным количеством гармоник ряда Фурье;

- если функции y,k(t;lk) имеют интервалы постоянства значений, количество которых различно в зависимости от четности их порядкового номера, то данный факт позволяет судить о фазовом спектре и четности описания искомого периодического режима.

3. На основе сформированных обобщенных портретов разработан вычислительный алгоритм расчета периодических режимов нелинейных неавтономных нестационарных электрических цепей при описании их тригонометрическими многочленами. Для расчета периодического режима данным подходом необходимо использовать численный метод, обладающего строгой оценкой полной погрешности расчета для определения верхней и нижней оценок неизвестного точного значения периода искомого периодического решения. На основе этих оценок могут быть определены соответственно нижняя и верхняя оценки частоты искомого периодического решения.

Предложена формула для определения количества гармоник на основе знания нижней и верхней оценки частоты и количественных показателей построенного обобщенного портрета.

Указаны способы выбора абсцисс точек разложения коэффициентов ряда Тейлора, для которых формируются универсальные системы тригонометрических уравнений. В зависимости от сложности искомого периодического режима абсциссы точек разложения выбираются либо как середины интервалов постоянств функций, либо - абсциссы точек соответствующих локальным максимумов или минимумов этих функций. Предложена универсальная система тригонометрических уравнений, связывающая неизвестные амплитуды и начальные фазы искомого периодического решения с известными коэффициентами ряда Тейлора этого решения. Решая универсальные системы, вычисляют неизвестные амплитуды и начальные фазы искомого решения при описании его тригонометрическим многочленом.

Разработана процедура расчета электрических цепей при наличии разрывов первого рода в описаниях внешних воздействий и характеристик элементов с гистерезисом. Указаны особенности при построении обобщенных портретов для такого класса цепей. Сформулированы способы выбора абсцисс точек разложения коэффициентов ряда Тейлора, для которых формируются универсальные системы тригонометрических уравнений, и частоты периодического режима для цепей с гистерезисным типом.

4. Разработан алгоритм исследования существования и единственности периодических решений уравнения динамики нелинейных неавтономных электрических цепей. Алгоритм основан на исследовании сходимости числовых последовательностей амплитуд и начальных фаз, и на существовании интеграла от квадрата искомого периодического решения.

5. Разработаны процедуры формирования интегральных погрешностей описания периодических режимов нелинейных неавтономных электрических цепей. В качестве исходной информации берутся верхние оценки абсолютных полных погрешностей расчета искомого периодического решения.

Получены необходимые соотношения для выбора порядка тригонометрического многочлена при описании искомого периодического режима. Описана процедура уточнения получаемого периодического режима путем изменения порядка тригонометрического многочлена.

6. Сформированы условия отделения периодических режимов от хаотических. В основе сформированных условий лежат обобщенный портрет искомого решения и выполнение пределов (3.1), связанных со сходимостью числовых последовательностей амплитуд и начальных фаз.

170

1. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. - М.: Высш. шк., 1986. - 352 с.

2. Данилов Л.В., Матханов П.М., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 256 с.

3. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1975. 384 с.

4. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие / Пер.с англ. И.А.Кульчицкой, С.С. Филиппова (ред.).-М.: Мир, 1990. 512 с.

5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980 г. . -535 с.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975 г.- 632 с.

7. Форсайт Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М., Мир, 1980. - 280с.

8. Данилина Н.И. Дубровская Н.С. Численные методы. М.: Высшая школа, 1976 г.-386 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-600 с.

10. Бычков Ю.А. Аналитически-численный расчет динамики нелинейных систем. Детерминированные кусочно-степенные модели с сосредоточенными параметрами. Переходные и периодические режимы. Анализ, синтез, оптимизация / СПГЭТУ. СПб., 1997. - 368 с.

11. Бычков Ю.А., Щербаков С.В. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. СПб., Энергоатомиздат, Санкт-Петербургское отделение, 2002. - 368 с.

12. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. -М.: Высш. шк., 1990. -400 с.

13. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. - 584 с.

14. Сидоров Н.М., Тимофеев В.В. Многочастотные колебания в нелинейных системах управления. -М.: Наука, 1984. 248 с.

15. Воднев В.Г., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы. Общая часть. М.: Издательство МПИ, 1988. - 527 с.

16. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. т. 1,2,3.

17. Будылин А. М. Ряды и интегралы Фурье. М., 2002. - 50 с.

18. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1961. - 936 с.

19. Егоренков Д. Л., Фрадков А. Л., Харламов В. Ю. Основы математического моделирования с примерами на языке МАТЬАВ/БГТУ. — СПб., 1997 г.-190 с.

20. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.

21. Чуа Л.О., Паркер Т.С. Введение в теорию хаотических систем для инженеров // ТИИЭР. 1987. - Т. 75, № 8 - С. 6-21.