автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем

На правах рукописи

Меренков Юрий Николаевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тверь - 2003

Работа выполнена в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Шестаков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Колдунов

доктор физико-математических наук, профессор В.М.Савчин

доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Щенников

Ведущая организация: Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН

Зашита диссертации состоится 28 ноября 2003 г. в 14й4 час.

на заседании Диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном

университете по адресу: 170000, г.Тверь, ул.Желябова, 33, ауд. 52

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан 28 октября 2003 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.263.04

доктор технических наук, профессор

В.Н.Михно

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Область исследования. В диссертационной работе рассмотрено математическое моделирование динамических систем. Под динамическими системами понимаются любые объекты и явления, эволюция которых происходит под действием силовых полей какой-нибудь природы и для которых определено понятие состояния, как совокупности некоторых величин в данный момент времени. Работа посвящена развитию качественны« и приближенных аналитических методов исследования математических моделей динамических систем для использования на предварительном и последующих этапах математического моделирования, а также разработке и реализации алгоритмов » виде проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента при моделировании движения рельсового локомотива по определенному маршруту на базе нечеткого управления. Нечеткое управление по сравнению с четким управлением 1) сокращает время разработки, 2) является более робастным, 3) ведет к более высокой степени автоматизации для сложных, плохо структуризованных процессов.

В диссертации математическое моделирование динамических систем осуществляется с помощью дифференциальных уравнений различных классов. Введена и изучена дифференциальная математическая модель, называемая ключевой моделью (моделью ансамблей), частными случаями которой являются следующие изучаемые дифференциальные модели: I) дифференциальные модели, описываемые автономными и неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса ОДУ); 2) дифференциальные модели, описываемые автономными и неавтономными функционально-дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса ФДУ); 3) дифференциальные модели, описываемые дифференциальными уравнениями с частными производными (называемые моделями класса ЧДУ); 4) дифференциальные модели, описываемые дифференциальными включениями, или дифференциальными уравнениями в контингенциях (называемые моделями класса КДУ); 5) дифференциальные модели, описываемые автономными и неавтономными нечеткими дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса НДУ); 6) дифференциальные модели, описываемые автономными и неавтономными стохастическими дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса СДУ). Перечисленные дифференциальные модели динамических систем используются при изучении разнообразных проблем физики, механики, химии, биологии, экономики, техники.

Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования дифференциальных моделей осуществляется на основе обобщенных функций Ляпунова и модифицированного метода ломаных Эйлера существования решений диффе-

ренциальных моделей, при этом широко испсушэуютоя методы яриялидного Луню

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С. Петербург ,, 09 ТЮ^шжяЬЧГ

ционального анализа, методы теории полугрупп (групп) непрерывных операторов, методы качественной теории, теории устойчивости и топологической динамики автономных потоков.

В диссертации исследуются с единой точки зрения как детерминированные дифференциальные модели, так и стохастические и нечеткие дифференциальные модели динамических систем. Результаты этого анализа позволяют описать и обработать исходные данные как в случае детерминированного формализма, так и в случае труд-ноформализуемых задач естествознания и техники в условиях нечеткости, определяемой нечеткой постановкой задачи, или в условиях нечеткого описания параметров моделируемой динамической системы.

Одной из задач, рассмотренных в работе, является задача разработки приближенного метода решения дифференциальных моделей. Решение этой задачи методом ломаных Эйлера дает возможность приближенно вычислять решения дифференциальных моделей классов КДУ и НДУ.

Основным методом изучения качественных свойств дифференциальных моделей динамических систем и автономных и неавтономных полупотоков (потоков) является метод локализации предельных множеств посредством обобщенных функций Ляпунова. Этот метод является обобщением, унификацией и дальнейшим развитием классического прямого метода Ляпунова.

Актуальность темы. В настоящее время для каждого класса дифференциальных моделей существует свой отдельный фрагмент теории о существовании решений и их регулярности, свои фрагменты качественной теории и теории устойчивости, и эти фрагменты теорий для различных классов дифференциальных моделей изучаются, как правило, независимо друг от друга и различными методами. Поэтому актуальной задачей при математическом моделировании динамических систем является разработка единого метода в изучении качественных свойств дифференциальных моделей различных классов и повышения общности и эффективности методов их исследования.

При математическом моделировании актуальными задачами являются задачи о существовании решений дифференциальных моделей и выделении искомого решения, а также выяснение таких свойств дифференциальной модели, как ограниченность решений, предельная ограниченность решений, устойчивость по Лагранжу, орбитальная устойчивость и т.д.

При математическом моделировании динамических систем весьма актуально изучение как вопросов об устойчивости решения относительно малых возмущений входных данных (устойчивость по Ляпунову), так и вопроса об устойчивости решения относительно малых возмущений правых частей (устойчивости при постоянно действующих возмущениях) на бесконечных промежутках времени.

Изучение сложной динамической системы может быть условно разбито на следующие этапы: 1)сбор и обработка исходной информации, 2) создание математической модели динамической системы, 3) исследование возможностей созданной математической модели путем ее качественного анализа, 4) моделирование на компьютере с целью подробного количественного анализа и 5) обработка выходных данных. На этапе качественного анализа математической модели могут вырабатываться рекомендации по методам сбора и обработки исходной информации и выходных данных, а также по приемам моделирования.

При разработке сложных стохастических систем актуально знание свойств процесса, связанного с моментами первого достижения. Оценка моментов времени первого возвращения в фиксированное множество (или даже сам факт конечности этих моментов) позволяет выдать рекомендации по сокращению времени моделирования, необходимого для получения требуемой точности счета. Отметим, что в терминах времени первого достижения формулируются задачи оценки надежности, нахождения периодов занятости, моментов потери требований для систем массового обслуживания и т.д.

Представляется актуальным изучение свойств устойчивости и качественных свойств нечетких дифференциальных моделей, возникающих при математическом моделировании сложных динамических систем при наличии нечеткой постановки задачи и нечеткого описания параметров моделируемой динамической системы.

Методы качественного анализа дифференциальных моделей разработаны с разной полнотой. Наиболее полно качественные методы разработаны для моделей классов ОДУ и ФДУ. Наименее полно качественный анализ разработан для дифференциальных моделей классов ЧДУ и СДУ. И совершенно не разработаны качественные методы исследования неавтономных моделей класса НДУ. Поэтому качественное изучение дифференциальных моделей в настоящее время представляет одну из важнейших задач математического моделирования динамических систем, как на предварительном, так и последующем этапах моделирования.

Актуальное значение для математического моделирования имеет повышение общности и эффективности метода функций Ляпунова. Основной трудностью при применении метода функций Ляпунова к конкретным задачам устойчивости является трудность построения функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям той или иной теоремы. В этой ситуации имеет большое значение развитие метода функций Ляпунова в направлении ослабления требований к функциям Ляпунова, расширения класса используемых функций. Повышение общности и эффективности метода функций Ляпунова достигается использованием обобщенных функций Ляпунова или же вспомогательных функций, значительно отличающихся от функций Ляпунова и которые не обладают свойством невозрастания вдоль движений динамического потока.

В работе впервые предложены алгоритмы решения задач по управлению движением рельсовых средств с помощью нечетких дифференциальных моделей. Компьютерное моделирование основано на создании и исследовании на ЭВМ математической модели динамической системы - совокупности нечетких дифференциальных уравнений, описывающих эту систему. Уравнения (модель) вместе с программой их решения вводят в ЭВМ, имитируя различные значения входных условий функционирования системы, определяют (по реакции модели) величины, характеризующие поведение системы, ее параметры.

Цель работы - создание ключевой математической модели (модели ансамблей); разработка и модификация методов качественного и аналитического анализа моделей классов ОДУ, ФДУ, ЧДУ, КДУ, НДУ, СДУ; разработка методов локализации предельного множества моделей классов ОДУ, ФДУ, НДУ; получение результатов об устойчивости автономного, неавтономного и общего потоков; исследование нечетких моделей транспортных динамических систем; разработка к реализация алгоритмов в виде проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента при моделировании движения рельсового локомотива по определенному маршруту.

Методы исследования. В диссертации для качественного анализа дифференциальных моделей использован метод обобщенных функций Ляпунова, модифицированный метод ломаных Эйлера, а также развитые автором диссертации методы локализации положительного предельного множества дифференциальных моделей на основе обобщенных функций Ляпунова.

В диссертации использованы методы топологической динамики автономных потоков и прикладного функционального анализа, методы полугрупп (групп) непрерывных операторов, а также метод нормальных форм, метод раздутия особенности автономного потока и метод предельных уравнений, получившие дальнейшее развитие в диссертации.

Научная новизна диссертации состоит в разработке метода обобщенных функций Ляпунова качественного анализа математических моделей классов ОДУ, ФДУ, НДУ; в разработке методов локализации положительного предельного множества для дифференциальных моделей ОДУ, ФДУ, НДУ и в модификации некоторых методов исследования; в построении ключевой дифференциальной модели динамической системы (модели ансамблей); в получении новых результатов об устойчивоподобных и качественных свойствах моделей классов ОДУ, ФДУ, ЧДУ, КДУ, НДУ, СДУ; в распространении некоторых классических результатов теории устойчивости на новые классы дифференциальных моделей; решении ряда новых задач, возникающих при изучении дифференциальных моделей динамики железнодорожного транспорта; в развитии метода ломаных Эйлера для доказательства существования решений моделей классов КДУ, НДУ; в разработке и реализации алгоритмов в виде проблемно-ориен-

тированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента при моделировании движения рельсового локомотива по определенному маршруту.

Полученные в диссертации результаты являются новыми, они уточняют, обобщают или дополняют результаты отечественных ученых Н.Г.Четаева, В.В.Румянцева, Н.Н.Красовского. Е.А.Барбашина, В.М.Матросова, Н.П.Еругина, И.Г.Петровского, А.А.Самарского, В.В.Немыцкого, В.И.Зубова, А.Ф.Филиппова, И.Г.Малкина,

A.А.Шестакова, В.Н.Щенникова, Е.А.Гребеникова, Ю.А.Рябова, Б.С.Разумихина,

B.М.Савчина, О.А.Ладыженской и зарубежных ученых Т.Ура, Ж.ПЛаСалля, Дж.Хейла, Дж.Болла, М.Слимрода, М.де Глаза, Д.Кушнера и других ученых.

Практическая значимость. Проведенные качественные исследования имеют большую практическую значимость при математическом моделировании динамических систем. В работе получены конструктивные доказательства теорем существования методом ломаных Эйлера, причем эти доказательства могут быть положены в основу приближенных методов нахождения решений моделей классов КДУ и ИДУ. Результаты анализа нечетких дифференциальных моделей позволяют описывать и обрабатывать исходные данные в случае трудноформализуемых технических задач в условиях нечеткости, определяемой как нечеткой постановкой задачи, так и нечетким описанием параметров моделируемой динамической системы. Результаты об устойчивости дифференциальных моделей находят применение при анализе конкретных математических моделей естествознания и техники. Построенная модель ансамблей, кроме ее теоретической значимости, имеет и практическую значимость при исследовании задач статистической физики. Снятие или ослабление требований непрерывности и дифференцируемости функций Ляпунова позволяют либо облегчить, либо расширить практические применения этих функций, что приводит к повышению эффективности метода функций Ляпунова. Изучение нечеткой дифференциальной модели методам функций Ляпунова позволяет повысить эффективность исследования сложных нелинейных четких дифференциальных моделей путем замены их нечеткими дифференциальными моделями без потери нужной информации. Разработанные и реализованные автором диссертации алгоритмы в виде проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента могут быть использованы при построении автоматизированных систем управления движением локомотива, а также в центрах управления перевозками железнодорожного транспорта. Указанный комплекс подпрограмм способствует внедрению информационных технологий на железнодорожном транспорте.

Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов математического моделирования, теории устойчивости движения и качественной теории динамических систем, теории нелинейных колебаний.

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании аналитических и качественных методов, на сравнении

с результатами, полученными с помощью других методов, на обсуждениях на научных семинарах и конференциях. Для теорем даны строгие и корректные доказательства.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 40 работах, список которых приведен в конце автореферата и среди которых одна монография, статьи в журналах, статьи в межвузовских сборниках, тезисы в трудах международных конференций.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту. В совместно опубликованных работах научному консультанту А.А.Шестакову принадлежат постановки задач. Другим соавторам принадлежит рассмотрение ряда технических деталей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на международной конференции Equad¡ff6 (Брно, 1985г.); на международной научной школе «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Иркутск, 1989 г.); на VIII конференции СНГ «Качественная теория дифференциальных уравнений» (Самарканд, 1992 г.); на межвузовских научно-методических конференциях «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1996, 1999 гг.); на XXXVIII и XXXIX Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин в Российском университете дружбы народов (Москва, 2002, 2003 гг.); на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (1989, 1991, 1992, 1993, 1995, 1996, 1997, 2001, 2002, 2003 гг.); на научно-исследовательском семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра им. А.А.Дородницына РАН (1997, 2003 гг.); на научном семинаре по дифференциальным уравнениям в Институте прикладной математики км.М.В.Келдыша (1998 г.); на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании Российского университета дружбы народов (1999, 2002 гг.); на научном семинаре по дифференциальным уравнениям МГУ им. М.В.Ломоносова (1999г.); на научном семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 2000 г.); на втором Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» (NDA'2) (Москва, 2002 г.); на совместном заседании кафедры математического моделирования и кафедры информатики и методов оптимизации Тверского государственного университета (Тверь, 2003г.), на научном семинаре кафедры кибернетики Московского института электроники и математики (Москва, 2003г.).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, десяти глав, приложения и списка литературы. Главы состоят из параграфов, в каж-

дом параграфе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы, не входящие в текущий параграф, даются указания на соответствующие главы и параграфы. Первый параграф каждой главы является вводным. Многие параграфы содержат примеры, иллюстрирующие полученные результаты. Объем диссертации - 245страниц, список литературы содержит 244 наименования работ отечественных и иностранных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дан обзор литературы по теме диссертации и дана краткая характеристика работы.

В первой главе, являющейся вводной, рассмотрены объекты исследования и охарактеризованы области их практического применения, даны математические постановки задач, охарактеризованы методы их решения, а также изучаемые математические дифференциальные модели динамических систем:

1) математические модели класса ОДУ:

^ = V«*": (О

2) математические модели класса ФДУ:

$ = /('•*-): (2)

3) математические модели класса ЧДУ:

"г ~ ихх = /('■ •*•")• О < дг < I, и(О, /) = и(1, /) = 0, 0) = а(х) (уравнение теплопроводности); (3)

4) математические модели класса КДУ:

5) математические модели класса НДУ:

=/('.*); (5)

т

6) математические модели класса СДУ:

^ = (6),

=Яг, + , (б)2

7) математическая модель динамической системы

х(1) = ф.,0)+]/(хи,а(ш,и))<1и, (7)

называемая ключевой моделью (моделью ансамблей).

Смысл обозначений в (1)-{7) и условия, накладываемые на правые части (1)-(7), указываются в следующем параграфе главы I, где дана математическая постановка проблемы о качественном исследовании моделей классов ОДУ, ФДУ, ЧДУ, КДУ,

НДУ, СДУ, сформулированная в виде отдельных взаимосвязанных двенадцати задач. Кроме того, даны математические постановки задач качественного исследования математической модели распространения тепла и задач, связанных с вождением транспорта в условиях нечеткости параметров систем, а также дана характеристика основных методов решения задач и перечислены некоторые перспективные направления исследований в математическом моделировании динамических систем и в качественном анализе их моделей.

Во второй главе «Устойчивоподобные и качественные свойства автономного и общего потоков» исследовано возможное расположение траекторий автономного потока вблизи инвариантного компакта. Введены понятия регулярной поверхности Ляпунова и доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости компакта в зависимости от наличия регулярных поверхностей Ляпунова того или иного типа, а также исследована устойчивость движения общего потока.

Изучены качественные свойства автономного потока. Здесь доказаны теоремы о возможных типах устойчивых инвариантных особенностей, а также теорема о невозможности седла гиперболического типа. Эта теорема является обобщением теоремы Немыцкого-Челышевой об отсутствии седловых простых инвариантных компактов в автономном потоке на локально компактном топологическом пространстве. Здесь приведены примеры изолированных компактов эллиптического и седло-эллиптического типа, дополняющие исследования Т.Ура и Дж.Кимура об отсутствии изолированных эллиптических инвариантных компактов в автономном потоке на локально компактном отделимом топологическом пространстве.

Эти результаты дополняют, уточняют или обобщают результаты В.В.Немыцко-го, Л.А.Челышевой, А.А.Шестакова и других ученых и могут служить основой компьютерного моделирования. Результаты второй главы являются также дальнейшим развитием исследований об устойчивости движения общего потока, проведенных В.И.Зубовым и А.А.Мовчаном.

Пусть для модели (1) класса ОДУ задана регулярная поверхность 5 Ляпунова /'-го типа, т.е. поверхность 5, обладающая свойствами: 1)5 гомеоморфна сфере; 2)5 состоит из к диффеоморфных частей 5У с направленным наружу единичным вектором нормали Ырс) в точке хеЯр 1 3) всюду на 5 выполняется /-е условие Ляпунова

У/е[1,*], У*е5у Щху/Мч.О, где точкой обозначено скалярное произведение и v, есть символ >, >, <, <, = при /'= 1.....5 соответственно.

Установлено, что если 1)задана автономная модель (1) класса ОДУ, где/:/?"—»/?"-непрерывное отображение и О-открытое множество из Л"; 2) модель (1) вблизи компакта С имеет единственное решение задачи Коши, 3) в любой малой окрестности для С имеется регулярная поверхность 5 Ляпунова второго (четвертого) типа такая, что СсЯш, то компакт С отрицательно (соответственно положительно) устойчив.

Аналогичные результаты установлены и для случаев регулярных поверхностей других типов.

В третьей главе «Локализация предельного множества для неавтономных моделей классов ОДУ, ФДУ на основе обобщенных функций Ляпунова» изучены устой-чивоподобные свойства моделей классов ОДУ и ФДУ методом локализации предельного множества с помощью обобщенных функций Ляпунова.

В этой главе с использованием свойства расстояния Хаусдорфа, рассмотрена неавтономная модель (1) класса ОДУ с удовлетворяющей условиям типа Каратеодори правой частью/: Я-»Л* (обозначение/еС,), где ЯсЯхЛ" и £>::= {дгеЛ| 3/еЛ, (1,х)еР). Рассмотрена локализация предельного множества решения такой модели с ограниченным и неограниченным сверху интервалом определения.

Пусть CIA/- замыкание, frM- граница множества М. Функция VeC называется функцией Ляпунова относительно дифференциальной модели (1) на множестве Р (обозначение VeLa(P)), если а) для всякого ограниченного множества McD существует CueR такое, что V(/,x)iCu, V(í,r)e/?xA/; b) DV(l,x) é 0, V(/,jr)e/?x(C!Gr>D), где функция DV(t,x) называется производной от функции V вдоль решений дифференциальной модели (1) и находится по формуле DV(t,x)\\- зир^ирШпиоС^'+Л, ф(/+й))-У(1, Ф(0))/А| <реФ(/,*)}.

Теорема 1. Пусть fe С,, Fe La(Р) и для каждого хе(С1 GnD)\Z^DV, +оо) существуют числа е, б > 0 такие, что

6DV(l,y) й DV(j, х) V(t,y)eRxB(x, е). Тогда для любого ограниченного непродолжаемого решения <р: («г, —» G дифференциальной модели (I) или Г2(ф)сиГг Gt или Q.(<$)aZi(D V, +00)::— {xeCl G| 3(at, = +a>, ^^J)V{s,x)ds*-oo, at<p4<a4+l}.

Если существует непрерывная функция W:R*.D-*R*, для которой выполняются условия

a) 3с>0, DW¿c (или DW>-c), Щ/,х)еР;

b) DV< -W(/,x)^0, V(t,x)eP;

то для любого неуходящего на бесконечность решения ф: (а, +оо) -»Ос графиком из Р выполняется включение

íl((p)cZi( W, +00)::= CI {xeCI С] 3(ít, xt)eP, (Ди, л'4-> л, F(tk, *»)-> 0}.

Далее изучается неавтономная модель (2) класса ФДУ с правой частью /:Л.х£)->Л\ где D - открытое подмножество из Cv.~ С([-г, 0]->Л"). В предположении существования решений фиксированное решение лc:[s-r,<ü)-*/l" задачи Коши х,= <р будем обозначать через х(>, s, ф) и пользоваться обозначениями /:= [í, ш) и

{yeCl Э/„Тш, x,n(s, ф) -» 4/}, L'r\:-.= {aeR? | 3/„îo, x(r„, s, ф)-> a}. Множества Ljc и l.\x называют ш-предельными множествами решения дг(0 в пространстве С и пространстве ¡С. Пусть Х(\\ у) есть множество решений х(0 дифференциальной модели (2) класса ФДУ, для которых л'(л') = у и Рр::= {ф(6)| ¡peD, бе[-г,0]}. Производной непрерывной функции F:R.xPD-*R относительно решения дг:/-»/'0 дифференциальной модели (2) называется функция

/)/••(/)::= DF(I, x(l))::= inf {КпиюИ'+б, *(/+5)) - F[t, *(/))]/5}, а относительно дифференциальной модели (2) -функция

DF(s, у)-.:= sup {DF^,x(s))\ xeX(s, у)}. Непрерывная функция V:R.xPD-*R называется функцией Ляпунова для дифференциальной модели (2) (обозначается VeL&(PD)), если DV(t,y)< 0, V(t,y)çR,xPDn для каждого компакта МсР0

ЗсеЛ, К(/,л)>с, У(1,х)бЛ+хМ.

Теорема 1. Пусть для KeLa(PD) и для решения х:/-> R", Ljr\PD *0 модели (2)3 класса ФДУ выполняются при подходящей функции Wусловия:

1) DF(i,л(0)< -W(r, х{1))й 0, Vie/;

2) 3ci>0, DW(l,x(t))<,cu Miel или DW(t,x(i))*cu V/е/. Тогда для некоторого ceR имеет место включение

LjccZ„(W)r>V~l(cy<a),

где

В четвертой главе «Устойчивость множества неавтономной модели класса ФДУ на основе продолжения решений» изучена устойчивость множества для модели (2) класса ФДУ с правой частью, удовлетворяющей локальному условию Липшица, обеспечивающему существование единственного решения x=x(-;î,ф) начальной задачи х,- феС. Доказана теорема об устойчивости множества модели (2) класса ФДУ, являющаяся распространением теоремы Ура для моделей класса ОДУ на автономные модели (2) класса ФДУ. Пусть Ф($, Л)::= {*(•; s, ф)| феЛсС} и

л(/,i,Л)::= {.v(<)eK"| хеФ(*,Л), i€/}, X,(s, Л)::= {x,eQ xe<t>(s,Л), le!}. Для ЛсС обозначим Л(9)::= {ф(9)еЛ"| феЛ}. Множество Л будем называть связным (линейно связным), если Л(0) связно (линейно связно) как подмножество из Л". Для ЛУеЛ" через Сбудем обозначать любое множество из С, для которого F(Q) = M.

Множество ЛсС называется .v-инвариантным относительно дифференциальной модели (2), если xfe, Л) = Л V/è.v. Множество А/сЛ" называется /»¿-инвариантным относительно модели (2)2 класса ФДУ, если существует множество F такое, что *(/, s,F) = M Vus. Множества

L.A ::= rv.CI xlr. Л)cC и L',A::= rv.CI *([/, «), f, Л)сЛ" называются ¿-предельными множествами для ЛсС в положительном направлении относительно дифференциальной модели (2) со значениями в С и Л" соответственно. Множества

А(Л) ::= П5>оС1хк„,(5, ßc<A, S)), Л(Л) ::= r^L.B^A, б)сС называются соответственно (положительным) ¿--продолжением и предельным множеством (положительного) i-продолжения множества ЛсС относительно неавтономной модели (2). Множества

DFi(M)::= nMCl^Js,»),.v,B^F,5)), ^L'.B^F,5)сЛ"

называются соответственно (положительным) /'¿-продолжением и предельным множеством (положительного) /-¿-продолжения множества Мс]С относительно неавтономной модели (2) класса ФДУ.

Установлено, что если ограниченные множества ЛсС и Meli" линейно связны, то каждое из множеств L,Л, L',M или пусто, или связно, или все его компоненты связности неограниченные.

Множество ЛсС называется ¿-устойчивым относительно неавтономной модели (2) класса ФДУ, если

Ve>0, 35::= 6(е, ¿), x,(s, Вс(А, 5)) с Л), е), V/>i.

Множество MdC называется Fj-устойчивым относительно неавтономной модели (2) класса ФДУ, если

Vs>0, В5::= 5(s, ¿), x,(s, BC{F, S)) с F), е), V/ >

Установлена следующая

Теорема 3. s-устойчивость s-инвариантного ограниченного множества ЛсС равносильна условию D,(A) = CIЛ и Fs-устойчивость Fs-инвариатпиого ограниченного множества МсЛ" равносильна условию D'n(M)=CI М.

Теорема 3 является распространением критерия Т.Ура об устойчивости множества для модели класса ОДУ на модели класса ФДУ.

В пятой главе «Метод ломаных Эйлера нахождения решений неавтономной модели класса КДУ» изучается неавтономная модель (4) класса КДУ с локально допустимой правой частью F: RxD->2В, где О- открытое подмножество из пространства В с отклонением е(х, Y) элемента х от множества Y и расстоянием Е(А,В) между множествами A.B.

Многозначное отображение F:R*D->2е называется локально допустимым, если для любого ограниченного замкнутого множества GcD

эghgt, V(r,x),fry)e/{xG, /•:(/•'(/, x)J-X^y))<gi\ м + и множество F(l, х) для всех (/, x)eRxG непусто и компактно.

Доказаны следующие теоремы о существовании решений:

Теорема 4. Пусть функция F: R*D —> 2В локально допустима. Тогда в любой момент seR через любую точку xeD по любому направлению feF(s, х) проходит по крайней мере одно движение ф дифференциальной модели (4). Это движение не продолжаемо на некотором интервале (а. А), причем А = +00 или £i+((p)<-iD*0 и а--оо или fi-(q>

Теорема 5. Пусть функция F: RxD->2B локально допустима. Тогда в любой момент seR через компакт McD проходит единственное непродолжаемое решение J{s, М) дифференциальной модели (4), для которого при любом teT)omJ(s,M) множество J(r,s,M) компактно и для любого отрезка I из Dom J(s,M) множество J(I; х,М) компактно.

Теоремы 4 и 5 являются новыми и их конструктивные доказательства методом 1

ломаных Эйлера дают возможность находить приближенные решения модели (4) класса КДУ.

В шестой главе «Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса '

КДУ» изучены свойства устойчивости модели класса КДУ вида (4). Даны определения понятий устойчивости и доказаны теоремы об устойчивоподобных свойствах замкнутых множеств относительно дифференциальной модели вида (4).

Через Ф обозначено множество всех движений модели (4), а через В(М,г) - открытый шар с центром Мрадиуса г. Непрерывная функция У: В(М r)->R называется функцией Ляпунова для замкнутого множества McD относительно дифференциальной модели (4), если существуют число г> 0 и неотрицательные неубывающие функции а>ь W2'. (О,г]->Rтакие, что a>i(p)>0 при рб(0,г], иъ(0) = 0 и

w,(e(x,M)) 2 V{t,x)< w2(e(x,M)), V(t,x)e[s,<x>]xB(M,r). Производной функции Ляпунова V вдоль движений дифференциальной модели (4) называется многозначная функция DV: [5, со]хй(Л/, г) —» 2Ä, определяемая равенством

DV(l,*)■■■■= Мт^0{[К'+АЛ <р(/+Д/))~ К(/,х)]/Д/:фбФ,ф(0 = *}. Функции D*V(t,x)::= supDV(i,x) и D.V\\= infDV(l,x) называются соответственно верхней и нижней производной функции Ляпунова.

Далее приведены определения квазиустойчивости и частичной квазиустойчивости замкнутого множества М.

Получена следующая

Теорема 6. Если для замкнутого множества McD относительно дифференциальной модели вида (4) существует функция Ляпунова У, для которой справедливо условие

D.V(t,x)<0, V(<,*)e[s, аа)хВ(М, г), то множество М равномерно квазиустойчиво относительно этой модели. Если найдутся h>0 и положительная непрерывная функция w3:(0, r)-*R такие, что

й.У(1, х) <, -w3(p(x, М)), V(/, х)ф, оа)хВ(М; г), то множество М равномерно кватасимптотически устойчиво относительно моде-

ли (4). Если же для замкнутого множества McD относительно дифференциальной модели (4) существует функция Ляпунова V, для которой справедливо условие

D.V{t,x)<, О, V(/,*)e[í,co)x5(M,r), то множество М равномерно частично квазиустойчиво относительно этой модели. Если найдутся Л>О и положительная непрерывная функция о>з:(0, r)-*R такие, что

D.V(t,x)<,-w%(e(x,M)), V(l,x)e[s,<¿)xB(M,h), то множество М равномерно частично квазиасимптотически устойчиво относительно модели (4).

В седьмой главе «Существование решений неавтономной модели класса ИДУ» доказана теорема о существовании единственного нечеткого непродолжаемого решения неавтономной модели (5) класса ИДУ с локально допустимой правой частью.

Нечеткое множество с носителем А обозначается через А , его a-уровень обозначается через Аа, а множество всех нечетких множеств с носителями из Xобозначается через Р(Х).

Пусть I - промежуток из Л и F:I-*P(X) - нечеткая функция. Для функции F a-движением, гдг ае(0,1], называется абсолютно непрерывная функция ф: /-> X, для которой ф(i)C:Fa(t) V/е/. Через Ф„ обозначим множество a-движений и через Ф-объединение всех Фа при ае(0,1]. Нечеткое множество движений Ф называется порождающим нечеткую функцию F: /—> Р(Х), если V/е/, V<xe(0,1], {ф(/)| феФ„} = Fa(t).

Пусть множество движений Ф порождает нечеткую функцию F: /—» Р(Х). Производной нечеткой функции F в момент sel относительно множества Ф называется (возможно пуст»;) нечеткое множество ^¿(s), для которого {ф'(л)| феФа($)}

при ае(0,1].

Пусть F (i), где есть семейство нечетких отношений в банаховом пространстве В с функцией принадлежности [О,1]. Определим нечеткую функцию F: RxP(D)->P(B) функцией принадлежности Hfti.n^-^t0. П. определяемой равенством Инг,n(/)::= sup^eD min {(!/=♦<,>(/",ИгООЬ V/efi. Соотношение (5) называется неавтономной на RxD моделью класса НДУ. Если семейство F'(l) вырождается в единственное отношение F', то дифференциальную модель (5) переписывают в виде (5) и называют автономной на D моделью класса НДУ.

Нечеткая функция Y:I->P(B) называется решением дифференциальной модели (5), если при каждом te/ выполняется равенство Y(t)/dt = FQ,Y(l)). Если при sel выполняется условие Y($ = A, то нечеткое множество А называется начальным значением решения 7:1-* Р(В) при t=s.

Установлено, что нечеткая функция У :1-+Р(Х) при se! является решением задачи Коши (5) У (л) = À для неавтономной дифференциальной модели (5) тогда и только тогда, когда она определяется нечетким множеством решений Ф так, что Ла'.:= {ф(л)| феФа} и каждое движение феФа является решением дифференциальной модели (4)4, где Fa:RxD~*2В определятся условием /•'„(/, ф)::= /■'(/, ф)„.

Получена следующая теорема.

Теорема 7. Пусть нечеткая функция F : RxP(D)->P(B) локально допустима. Тогда для каждого seR и каждого компактного нечеткого множества A еРф) существует единственное непродолжаемое нечеткое решение 7(.v, А ) неавтономной модели (5) класса НДУ.

В восьмой главе «Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса НДУ» получены результаты об устойчивости нечеткого множества дифференциальной модели (5), обобщающие результаты М.де Гласа и А.А.Шестакова для автономной модели класса НДУ, а также установлены теоремы о локализации предельного множества.

Даны определения различных типов устойчивости нечеткого множества.

Пусть ае(0,1]. Относительно модели (5) замкнутое нечеткое множество M еР(Х) называется: квази а-устойчивым, если

V/U>ï, Ve>0, 35::=б(е,Г0,а)>0, ЧВеХ, e(ß, А/„)<5=>

e(J(l; /о, В), Ма) < s, Vie Dom Д/0, В); квази а-асимптотически устойчивым, если оно квази а-устойчиво и V/0>ä, ЭЛ::=й(/о,а)>0, VrpO, ЗГ::= ТЦо, li,r\,a)> s, ЧВеХ, е(В, Л4)<Л =>

e(J(i; /о,В),Ма)< il при leDomJ(k,3)r^[T, оо).

Если числа 6, А, Т можно выбрать не зависящими от /о, то соответствующее свойство называется равномерным.

Непрерывная функция V:B(M,r)-¥R называется функцией Ляпунова для замкнутого пространства McP(D) относительно модели (5) класса НДУ, если для каждого <хе(0,1] существуют число г::= г(а)> 0 и неотрицательные неубывающие функции йУ|„, w2a: (0,г]->R такие, что WiJp)> 0 при р(0,/■], ги2а(0) = 0 и

V(t,x)< m„(е(х, А^)), V(/,x)e[.9. оо)хй(А/а, г). Производной функции Ляпунова V: R*xB(M, r)—>R вдоль движений модели (5) называется нечеткая функция DV(t, х): R+xB(M, r)—>P(R), а-уровни значений которой определяются равенством

£>Ka(/,x)::= Wy6limAt«[V(/+A, ф(<+А))- ^,;г)]/А,ф€Фа, ф(/)=*}.

При <хе(0,1] функции D.Va(t,x)::= %\.\pDVa{t,x) и D-Va"=\ntDVJJ,x) называются соответственно а-уровнями верхней и нижней производной для V.

Пусть М еР(Х)~ замкнутое нечеткое множество, для которого В(М, r)cD, Эг> О, М::=саг(Л/). Относительно модели (5) в главе приведены определения а-устойчивос-ти множества М.

Получена следующая теорема.

Теорема В. Если для замкнутого нечеткого множества М el'(D) существует функция Ляпунова V относительно модели (5) класса ИДУ, для которой при ае(0,1] верно D,Va(l,x)<0, V(/,x)e[j, ао)хВ(М,г), то множество М, равномерно квази а-устойчиво относительно этой модели. Если верно D,V(i,x)<-w}a(p(x,M)), V(/,*)e[i, оо)>-В(М,г), где функция w3a:(0,r)—>R непрерывна и положительна, то множество М равномерно квази а-асимптопшчески устойчиво относительно модели (5). Если для замкнутого нечеткого множества MtzD и некоторого г::=г(а) существует функция Ляпунова V относительно модели (5), для которой

D.Va(t,x)<0, V(r,*)e[i, оо)хВ(Ма,г), то множество М равномерно частично квази а-устойчиво относительно этой модели. Если найдутся А>0 и положительная непрерывная функция wia: (0, г) —> Л такие, что

D. VJt,x)<L-«bJie(x,Ma)), V(/,*)e[i, <*>)xB(Ma,lt), то множество М равномерно частично квази а-асимптотически устойчиво относительно модели (5).

Рассмотрена неавтономная модель (5) класса НДУ, где нечеткая функция F (/, х) при обычных аргументах t,x имеет а-уровнем множество Fa(t,x)=Au(l,x), причем Aa(t,x)cD для каждых значений (их, а значение нечеткой функции F(i,X) определяется а-уровнями Fa(t, =U{^a('--v)l-v • где есть «-уровень для X и ае(0; 1].

Дифференциальная модель (4) класса КДУ, где ае(0,1], называется соответствующей дифференциальной модели (5). Функция ф: [.v, Л) -> D называется движением дифференциальной модели (4) с начальным значением yeD , если и для почти всех /e[s, b) выполняется равенство d(p(i)/dt = FJj, <р(0)- Обозначим совокупности всех таких движений через у) и назовем решением дифференциальной модели (4) с начальным условием у в момент s.

Предельным множеством движения ср: (s,b)->D модели (5) называется множество П(ф)::= {геС1(/?)| 3/„ТА, ф(/„)-» z}. Предельным множеством для множества McD бу-

дем называть множество П(М)::= и{П(ф)| tp(s)eM}. Получена следующая теорема.

Теорема 9. Пусть для нечеткой модели (5) выполнены указанные выше условия. Если функция Ляпунова ограничена снизу на множестве Р, т.е. если ЗсеЛ, К(/,*)£с, \/(1,х)еР, то для любого а-движения ф: (л\ 6) —> D модели (5) предельное множество П(ф) лежит в множестве V(b)\\= {*| Э(„Тб, Зхл->г, Н(/„, *„)—> с}.

Многозначная функция Ф:Лх/Э-»2° называется ограниченной слева в точке (;/, х)е[0, oo)xCl(D), если существуют е::= е(дг)>0, с::= с(х)>0 и 5::= б(лг)е(0,и) такие, что

ЧуеВ(х,е)Ы> [i,,/2]с[и-6, н)=> ^ФоОл^Л^сС/г-г,)

для любой интегрируемой реализации Фо(и,у) функции Ф(и,у). Реализацией многозначной функции Ф: Лх/)—>2° здесь называется однозначная функция Ф0: RxD-*D, для которой Фо(.ч,у)еФ(п,у) V(u,y)eRxD. Установлена следующая

Теорема 10. Пусть для нечеткой модели выполнены условия теоремы 9. Пусть функция V: RxD-+2° ограничена слева в любой точке из [0,<x>)xD и для каждого

Z(PV)\~ {jceJD| 3(а„,Р„)е Л2,=+<*>,El«,«,D+Va(u.х)du*-<с,а„<рл<а„„},

существуют числа е,8>0 такие, что

S-Dtya(i,y) й DtVJJ, х), V(t,y)eRxB(x, е). Тогда для любого ограниченного движения ф: (j, <»)->£) модели (5) предельное множество П(ф) лежит на границе области D или Cl(<p)cZ(DV).

В девятой главе «Устойчивоподобные свойства моделей классов СДУ. Ключевая модель динамической системы» изучены свойства устойчивости моделей класса СДУ. Рассмотрена модель класса СДУ с запаздыванием в банаховом пространстве. Пусть В, К - некоторые банаховы пространства, через С'в будем обозначать множество случайных процессов с реализациями из Св■ Рассмотрим неавтономную модель (6), класса СДУ с начальными значениями х,&С'в при j>0, [0, «>)—>• К- некоторый случайный процесс, Dc.Ce и функция F: R,xDxK-*B обладает свойствами регулярности, обеспечивающими существование решений при всех t>0. Неавтономная дифференциальная модель (6)2 определяет вероятностное пространство (£1, X, Р), где Q обозначает множество всех элементарных исходов, £ есть некоторое семейство согласованных сигма-алгебр о(7), fz-r на множестве П; каждый элемент Л сигма-алгебры о(/) называется событием в момент времени I. Отображение Р: Г->[0,1] ставит в соответ-

ствие каждому событию ЛеХ его вероятность Р{А). При изучении модели (6), будем рассматривать только процессы у(1), /е/с[-г, оо), определенные на вероятностном пространстве (Q, I, Р). При этом каждому исходу coeil соответствует функция у(со; •), которая называется реализацией процесса^.), соответствующей исходу и. Если С является «белым шумом», то для исследования модели (6), используется теория стохастического интегрирования, где С, рассматривается как стохастическая производная от нормализованного винеровского процесса W. Модель (6), в этом случае записывается в интегральной форме

а(0 =*(*)+! >(/,x„)JH+i \G(l.x„)dW(u), Jf.eCV

Решением модели (6), с начальным значением x,=h называется случайный процесс х(/), /е[-гку, а), определенный на вероятностном пространстве (П, Р) такой, что xs=heCB с вероятностью 1 каждая его реализация дг(ш; •) удовлетворяет соотношению (б), при почти всех /е[.г,а]. Предполагается, что решения модели (6)2 с начальным значением в момента>0 определены при всех li.s.

Далее в главе приведены определения различного типа стохастической устойчивости нулевого решения модели (6),.

Относительно модели (6), непрерывная функция V: R.xD—>R,, DcCB называется положительно определенной, если

inf {V(l, дг)| lsR„ xzD, |М1>/-}>0, Vr>О и К(/,0)=0, V(>0; ¿-функцией, если она положительно определена и для любого решения х с начальным значением АеС'в существуют пределы

Пт,юОЩ<. *», 0 - У(1, A))//::= LV(t, А) и lim,io(LV(r, а„.,)) = LV(l, Л); ¿-супермартингалом, если она является ¿-функцией относительно этой модели, M(l)::= И(/, хк,) - У(0, A)-J '„ V(u, xh.w)ilu является мартингалом и

V(/,A)efl,xA LV(l,h)üO\ функцией Ляпунова, если она является положительно определенным ¿-супермартингалом относительно модели (6),.

Следующая теорема является обобщением и уточнением теоремы Л.Арнольда.

Теорема 11. Пусть для стохастической модели (6), выполнены указанные выше условия. Пусть решения модели (6), определены при всех /> 0. Если для модели (6), существует функция Ляпунова V, то нулевое решение модели (б), устойчиво по вероятности для любого s ä 0. Если эта функция удовлетворяет условию

(а) V(/,A)eÄ.xA ¿К(/,А)<-ю(А)

с полоясительно определенной функцией w(h), то нулевое решение модели (6), асимптотически устойчиво по вероятности для любого л >0.

Следующая теорема обобщает и уточняет теорему П.Чоу, доказанную для модели (6)2 класса СДУ без запаздывания в банаховом пространстве.

Теорема 12. Пусть для стохастической модели (6)г выполнены условия теоремы 11. Если существует функция Ляпунова V на окрестности нуля GciH, дня которой выполняется условие (а), то для каждого s>0 нулевое решение модели (6)г устойчиво почти наверное. Если для У вместо (а) почти наверное выполняется более сильное условие

(б) LV{h)<-kV(h), V/jeGor>K Э*>0, \\m,-,„M{t,h)lt = 0,

то для каждого ¿ нулевое решение модели (6)2 асимптотически устойчиво почти наверное.

Детально изучена модель класса СФДУ, описываемая уравнением (6)2 в банаховом пространстве и модель класса СЧДУ в евклидовом пространстве. Полученные при этом результаты являются существенным дополнением и уточнением работ П.Чоу и Дж.Кушнер соответственно.

Далее в главе введена и изучена ключевая модель динамической системы

t

д(0 = <р(Х, 0) + J /(/. х„,а((о, u))du, (7),

j

с начальным (предысторией) значением х,= <р(Х) при t=s, где/:/)--> 5, £) и К- банаховы пространства, D<zR*B*.K. Через П, А обозначены множества, элементам со и X которых ставятся в соответствие функции a(a):R-*K и <р(Х)еСа, а символом Св обозначено множество всех ограниченных непрерывных отображений из /= [-г, 0] в В с нормой ||<р||::= sup {||ф(9)||: 9е/}.

Показано, что все изучаемые в диссертации дифференциальные модели являются частными случаями ключевой дифференциальной модели (7).

Если функция хQ) дифференцируема по 1 почти всюду, то ключевую модель (7), можно переписать в виде

dx/dt =Л'. а(е>, /)) (7)2

с начальным значением Л", = ф(Х) при I = s. Движением ключевой модели (7), или (7)2 называется всякое непрерывное отображение .\(«)::= х(шД, «)'.[-г, /))—> В, удовлетворяющее равенству (7), или (7)2 почти всюду в некотором интервале.

Если множества П, Л - одноэлементные, то модель (7), сводится к ОДУ или к абстрактному уравнению в банаховом пространстве (с запаздыванием, если гф0), все движения такой модели называют решениями. При выборе фиксированных значений параметров <в, X из О, Л пользователем с целью минимизации некоторого функционала получим модель класса ОДУ с управлением а{1).

Если множества П, Л - многоэлементные множества, то получаем дифференциальную модель (4) с правой частью /•'(/, *,)::= {Д/, *,, a(to,/))|coeQ}, решением которой

будет многозначное отображение J,(s, Л) с начальным значением J,(s, Ф)=ФсСа, совпадающее с множеством движений <р(гД):/->.8 модели (4), для которых ф,(.у,Х)еФ.

Если указаны функции принадлежности JC—»■ |0,1], щ^оь В —> [0,1], для

значений а(ш,/): fi, и ф(Х, в): [-г, 0] -> В функций а и ф, то ключевая диффе-

ренциальная модель (7)2 сводится к дифференциальной модели класса НДУ

dx/dl = F(i,xrlí(0) (7)3

решением которой является нечеткая функция с нечетким начальным значением х3=Ф при í = s. Если со и X являются элементарными исходами в вероятностных пространствах (Q.H'fO), Р) и (Л, Ч'(Л), Р) соответственно, т.е. если ег(со): [лг, оо)-> Л" является реализацией случайного процесса a: [v, œ)-> К и ф(А.): [-г,0]->В является реализацией случайного процесса ф: [-г, 0]—> В, то из ключевой дифференциальной модели (7)! получим дифференциальную модель класса СДУ с запаздыванием

i

-*■(' ) = ф(0) + J /("•х и. я(и)) d" (Т)А

s

в банаховом пространстве В, решением которой является случайный процесс x(t) с предысторией - случайным процессом ф. Реализации решения л(() являются движениями соответствующей дифференциальной модели (7),. Для случайных величин a: [í, ао)->К и ф: [-г, 0] -» В обозначим через m(í), M(Q) некоторые допустимые значения для a(t), ф(9). Определим числа Л, H из условий

rtWO-n'OIL-S h) = 1 - а и р(||ф(е)-М9)||с.< H) = 1 - а. Тогда множества aa(i)::= Bt{m(l),h) и ф„(б)::= Ск{М{1),Н) можно рассматривать как a-уровни значений ñ(í) и íp(9) нечетких функций а и <р соответственно. При этих условиях можно св<!сти дифференциальную модель (7)4 к модели (7)3 класса НДУ, которая для каждого a-уровня задается моделью (4) класса КДУ вида (4) с начальным значением *,= фаеФа. Множество всех движений дифференциальной модели (4) с начальным значением г,еФ„ будем обозначать через ха и называть дифференциальную модель (4) соответствующей дифференциальной модели (7)4.

Получена следующая теорема о взаимосвязи между свойствами устойчивости моделей классов КДУ и СДУ.

Теорема 13. Пусть I) В, К - банаховы пространства; 2) Ci, Л - множества, элементам а и X которых ставятся в соответствие некоторые функции о(со): R—> К и ф(Х)еС„, где Л::= (-<», +»); 3) Сц-множество всех ограниченных непрерывных отображений из I = [-г, 0 ]вВс нормой ||ф|| ::= sup {||ф(в)|| | 9б/}.

Если нулевое решение модели (4) класса КДУ устойчиво по Ляпунову при каждом

ае(0,1] (/>непомерно по а), то пулевое решение соответствующей модели (7)4 класса СДУустойчиво по вероятности (соответственно устойчиво почти наверное).

Если нулевое решение модели (4) класса КДУ асимптотически устойчиво при любом ае(0,1] (¡¡авномерио по а), то нулевое решение соответствующей модели (7)4 класса СДУ асимптотически устойчиво по вероятности (соответственно асимптотически устойчиво почти наверное).

Десятая глава «Вопросы моделирования специальных классов динамических систем и устойчивости их моделей» посвящена качественному анализу специальных классов математических моделей динамических систем, а также разработке алгоритмов для компьютерного моделирования движения локомотива по фиксированному маршруту и других подвижных устройств транспорта как по фиксированному маршруту, так и по сети маршрутов с переключением маршрута на маршрут.

Рассмотрена автономная модель (I) класса ОДУ в пространстве Л3, у которой правые части обращаются в нуль в точке О. Предполагается, что модель (1) имеет в точке О одно трехкратное нулевое собственное значение или одно простое и одно двукратное собственное значение. С помощью приведения к нормальной форме и метода раздутия состояния равновесия показано, что состояние равновесия О модели (1) не может быть устойчивым ни в одном из направлений.

Исследована устойчивость модели (3) класса ЧДУ. Изучение процессов распространения тепла в одномерных средах в большинстве случаев может быть сведено к изучению решений начально-граничной задачи уравнения теплопроводности (3), где функция и(х, I) характеризует температуру в области £>::={(.*, /)| *е[0,1]. выполняются граничные условия »/(0, /) = «(!,/) = О и начальное условие вида и(х,0)=а(х). Правая часть в уравнении (3) характеризует внешние источники тепла в точке х в момент / и конкретный вид этой функции может зависеть от способа получения уравнения (3). Будем считать, что Д1, 0, 0)э0. Будем считать также, что функция/такова, что для любой измеримой на отрезке [0,1] функции а(х) при я(0)=а(1)=0 найдется (возможно слабое) решение задачи гг(х, 0) = я(л) для модели (3) с условиями н(0, /) = м(1, /) г 0. При этом для каждого такого решения функции и, их дифференцируемы по I и функции и, их, ихх, и„ измеримы по х почти всюду на отрезке [0,1], и каждое такое решение определено при всех />0.

Нулевое решение модели (3) называется экспоненциально устойчивым в целом, если существует число к>0 такое, что для любого отклонения и(л", /), удовлетворяющего уравнению (3) и граничным условиям, при всех <>0 функция \1/2

р,(м)::=

1(»2 + <<л>*

определена и выполняется р,(м) 5 р0(н)еЛ.

Установлен следующий факт: пусть правая часть модели (3) удовлетворяет условиям

i'„»'Л'. >i)<Jx<0 и {'„ИхД'.дг. u)dx>0 для любого отклонения и(х,1). Тогда каждое решение модели (3) при граничных условиях определено при всех />0 и нулевое решение модели (3) экспоненциально устойчиво в целом.

Изучена устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях для модели (5) класса ИДУ, где / : RxP(D)-*P(tf')- нечеткая функция от аргумента х и D - окрестность нуля в Л".

При ае(0,1] нулевое решение модели (5) называется а-устойчивым при постоянно действующих нечетких возмущениях £(/,.*), если для любого е>0 существуют числа Л=Л(а,е), s=s(а,е)>0 такие, что если \\gu(t,*)||<A V(t,x)eR*R\ то для любого а-дви-

жения <р уравнения — = /(г,л) + g(t,x) из условия ||ф(0)|| < а следует, что ||ф(<)||£е Vf>0. dl

Получена следующая

Теорема 14. Если для модели (5) существует дифференцируемая функция Ляпунова

V: R\D—>R, у которой частные производные по переменным 1, xi.....х„ ограничены в D

равномерно по />0, то нулевое решение модели (5) а-устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

Теорема 14 является распространением теоремы И.Г.Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для моделей (1) класса ОДУ на модели (5) класса ИДУ.

Далее изучена устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях модели (2) класса ФДУ, где/: RxD-^R? и D - открытое множество в пространстве С непрерывных на отрезке [-г,0], г>0 с нормой ||ф||= sup {||ф(0||: 0е[-г,О]} и функция х,еС определяется равенством x,(Q)::= x(j+Q) Vgef-r, 0].

Нулевое решение модели (2) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для любого е>0 существуют числа h, л>0 такие, что при ||я(/,ф)||<й для всех I и ф при ||q>||<s для любого решения х уравнения

— = /('.*,)+#('••*'/) из условия хо=(р вытекает, что при всех 1>0 решение x(l) опреде-dt

лено и ||дг(/)||<е.

Установлена следующая

Теорема 15. Если для модели (2) существует функция Ляпунова V\R*xD^*R, у которой частные производные по /, xj,.-.., х„ ограничены равномерно по I в некоторой окрестности нуля пространства С, то нулевое решение модели (2) устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

Теорема 15 является распространением теоремы И.Г.Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для моделей класса ОДУ на модели класса ФДУ.

Рассмотрено моделирование систем автоматического управления движением объекта, перемещающегося по фиксированному маршруту. Полученные результаты могут быть использованы для совершенствования систем управления движением железнодорожного транспорга. При разработке алгоритмов используется теория нечетких дифференциальных уравнений.

Рассмотрены задачи обеспечения безопасности движения локомотива по заданному маршруту с целью разработки алгоритмов автоматического управления при следующих типах условий: 1) локомотив движется со скоростью и поступает информация о необходимости его остановки в пункте А, отстоящем в данный момент на расстоянии 5 от локомотива (пунктА неподвижен относительно железнодорожной колеи); 2) локомотив движется со скоростью Но и поступает информация о встречном движении объекта с примерно постоянной скоростью У(1), отстоящего в данный момент на расстоянии Я от локомотива (столкновение при возрастании скорости движения приводит к существенному ущербу).

Задача при условиях типа 1) моделируется нечетким уравнением вида

<«>

где Р- относительная сила ускорения (нечеткая величина). Предложена формула для определения расчетного торможения движения и дан алгоритм уменьшения скорости движения, обеспечивающий остановку достаточно близко к пункту А, не проезжая его.

Задача при условиях типа 2) такова, что управление сводится к режиму торможения и, возможно, к попятному движению для столкновения с минимальными последствиями. Режим торможения локомотива описывается с помощью уравнения (8), как и в предыдущей задаче. Если расчеты приводят к неизбежности столкновения и встречный объект достаточно массивный (что может привести к сильному удару по локомотиву), то возможна рекомендация по эвакуации людей. В рамках этой математической модели показано, когда целесообразно начать попятное движение до достижения достаточно малой скорости сближения. Алгоритм попятного движения связан с нечетким уравнением вида

— = (9)

Л

и ускорение определяется относительной величиной суммы силы тяги и не зависящего от скорости трения. Разработанный алгоритм дает возможность определить промежуток времени Т, через который локомотив и встречный объект столкнутся с от-

носительно безопасной скоростью движения vt, если средняя скорость объекта У(1), начальная скорость локомотива t>(0)=0 и начальное расстояние между объектом и локомотивом равно S.

Наконец, устанавливается связь между качественным анализом дифференциальной модели и ее численным анализом. Показано, что если существует замкнутая поверхность Ляпунова SczR" такая, что все решения x(t) неавтономной модели (2) класса ФДУ пересекают S снаружи внутрь с ростом параметра I, то всякое решение, начинающееся в S, остается внутри S при всех />т. Кроме того, имеет место следующий факт. Пусть У(х)-дифференцируемая функция, М- инвариантное множество для модели (2), V(x) = 0oieM и множество {0 5 V(x)£ с} является окрестностью для М при малых значениях с. Если

(A)

dt

всюду в е-окрестности М, то множество М устойчиво. Если вместо (А) выполняется более сильное неравенство

(Б) ^Ms-^io.AO)^,

где р(Х((0), М) - расстояние от до М и W(/)>0- непрерывная возрастающая функция, то множество М асимптотически устойчиво.

Известно, что выполнение условий (А) и (Б) достаточно требовать только для функций х,, для которых выполнено неравенство

(B) У(х(1Щ)<, V(x(i)) при ве[-г,0].

Чтобы ослабить зависимость условий от значения х,(0) функции х,, вместо функции У(х) рассматривается функция У(х,). Вместо множества Md? рассматривается множество NaC и вместо поверхностей уровня в пространстве Л" - поверхности уровня функции У(х,) в пространстве С. Показано, что имеет место следующий факт. Пусть: 1) У(х,) - дифференцируемая функция, 2) P'(xl) = 0oxleN, 3) множество {OS V(x,) <с) является окрестностью для NcC при малых значениях с. Если

(Г)

dt

всюду в е-окрестности N, то множество N устойчиво. Если вместо (Г) выполняется более сильное неравенство

(Д)

где р(х,. Л/) - расстояние от х, до Ии W(x)£0 - непрерывная возрастающая функция, то множество N асимптотически устойчиво. Предельное множество L, решений х(<) при Г-» оо лежит на одной из поверхностей с-уровня функции V(x) (соответственно фунх-

ции ;-'(.v,)). Если функция V(x) ограничена снизу числом со, решение x(J) численно найдено на участке г<1< 7'и V(x(T))= с0, то Lx лежит на поверхности уровня со значением с„<с<с,. Комбинируя методы качественного анализа модели (2) класса ФДУ и информацию о его численном решении, можно с достаточной точностью установить поведение решений модели (2) класса ФДУ и при /-»<».

В приложении к диссертации представлен проблемно-ориентированный комплекс подпрограмм «LOCOMOTION» в виде программы на языке BASIC, обеспечивающей реализацию данных в десятой главе алгоритмов и моделирующей движение локомотива по маршруту с заданной средней скоростью на каждом из нескольких участков i маршрута, причем параметры могут изменяться пользователем. По заданному уравнению движения подбирается сила тяги (соответственно сила торможения) для обеспечения движения с заданной точностью.

Пример графического оформления экрана в «LOCOMOTION» приведен на рис. 1. Нулевой режим соответствует последнему участку движения - в начале участка скорость в режиме торможения падает до номинальной средней скорости, а в конце участка скорость в режиме торможения падает до нуля.

На рис. 2 представлены графики скорости для возможных режимов движения локомотива. Цифрами 1-7 на рис.2 обозначены следующие режимы движения:

1. движение с наращиванием скорости движения до предельной скорости v = b-a\

2. движение с постоянной скоростью v=*b-cr, 3. движение с предельной убывающей до v-b-a>0 скоростью; 4. движение с предельно убывающей до и=0 скоростью; 5. движение с убывающей за конечное время до v=0 скоростью; 6. движение с убывающей за конечное время до и=0 скоростью с выключенной силой тяги; 7. движение с убывающей за конечное время до и=0 с применением торможения. Точка отмечает момент остановки.

Структура «LOCOMOTION» допускает расширения: 1) добавлением новых режи- t

мов движения - с ограничением максимальной скорости и величин сил тяги и торможения при наличии нештатных ситуаций, с минимальными издержками того или иного типа; 2) заменой уравнения движения путем добавления новых параметров и замены некоторых параметров нечеткими величинами, с использованием моделирования датчиков отклонений от расчетного движения; 3) внедрением элементов обучения, когда параметры движения определяются датчиками с большими погрешностями, при этом при каждом следующем проходе маршрута учитывается опыт предыдущих проходов для уменьшения издержек.

Компьютерное моделирование

V = 2 км/ч S = 344,999 км

Рис 1. Пример графического оформления экрана в «LOCOMOTION»

iLV

1. Ь>\>о+а __1.

5-6.0£i<a 7. i<0

4.b-a

2. t=v0+"

3. a<à<vo+a

Рис. 2. Графики скорости для возможных режимов движения локомотива

Проблемно-ориентированный комплекс подпрограмм «LOCOMOTION» является принципиально новым, отличным от известных программных продуктов. Комплекс «LOCOMOTION» нацелен на решение конкретной технической задачи, причем этот комплекс включает в себя как элементы непосредственных вычислений согласно заданным четким параметрам модели, так и элементы искусственного интеллекта согласно используемым нечетким величинам.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

На защиту выносятся следующие результаты.

I. Построение ключевой дифференциальной модели динамической системы (модели ансамблей), частными случаями которой являются модели классов ОДУ, ФДУ, ЧДУ,

КДУ, НДУ, СДУ. Это построение лежит в основе единого подхода в изучении устой- v

чивоподобных и качественных свойств дифференциальных моделей, позволяющее существенно дополнить и уточнить результаты исследований уже известных дифференциальных моделей. i.

II. Разработка и реализация алгоритмов в форме проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм «LOCOMOTION» для проведения вычислительного эксперимента с целью математического моделирования движения рельсового средства (локомотива) по определенному маршруту.

III. Разработка методов локализации предельного множества моделей классов ОДУ, ФДУ, НДУ на основе обобщенных функций Ляпунова для этих моделей. Эти методы лежат в основе единого подхода в изучении устойчивоподобных и качественных свойств дифференциальных моделей.

IV. Модификация и усовершенствование методов исследования: геометрического метода исследования устойчивости инвариантных компактов автономных потоков с

помощью регулярных поверхностей Ляпунова, метода обобщенных функций Ляпунова исследования моделей классов НДУ, КДУ, метода нормальных форм и метода раздутия особенности дифференциальной модели, а также метода ломаных Эйлера построения решений дифференциальных моделей классов КДУ и НДУ. V. Результаты для автономного и оби/его потоков:

-об устойчивости и асимптотической устойчивости инвариантного компакта при наличии регулярной поверхности Ляпунова соответствующего типа,

-о невозможности существования седпового компакта гиперболического типа,

- об устойчивости движений общего потока.

' VI. Результаты для моделей классов ОДУ и ФДУ:

- о локализации положительного предельного множества моделей классов ОДУ и ФДУ,

' - о несмещенности положительного предельного множества асимптотически ав-

тономной модели класса ФДУ,

- об устойчивости ограниченного инвариантного множества модели класса ФДУ на основе пролонгации решений.

VII. Результаты для моделей классов КДУ и НДУ:

- о существовании и единственности решений,

- об устойчивости и асимптотической устойчивости,

- о локализации предельного множества неавтономной модели класса НДУ.

VIII. Результаты для дифференциальных моделей классов НДУ и СДУ:

- о связи между равномерной a-устойчивостью нулевого решения модели класса НДУ и устойчивостью по вероятности соответствующей модели класса СДУ,

-об устойчивости по вероятности и асимптотической устойчивости по вероят-

I ности для модели класса СФДУ,

- об устойчивости почти наверное и асимптотической устойчивости почти наверное для модели класса СФДУ.

ь IX. Результаты для конкретных дифференциальных моделей:

-об устойчивости нулевого решения нелинейного уравнения теплопроводности, -об устойчивости решений модельного операторного уравнения в банаховом пространстве,

-о неустойчивости автономной дифференциальной модели в Л3 с кратным нулевым собственным значением,

-об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для модели класса НДУ,

- об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для модели класса

ФДУ.

- построение и исследование нечеткой дифференциальной модели железнодорожного экипажа и решение ряда задач, связанных с вождением транспортных средств в условиях нечеткой неопределенности,

- применение теории локализации предельного множества в численном анализе некоторых моделей,

- моделирование движений, описываемых нечеткими функциями и уравнениями,

- моделирование движений локомотива по фиксированному маршруту,

- алгоритм исследования на устойчивость автономной дифференциальной модели в R2.

j

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, * нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. Монография. М.: Изд-во

РУДН, 2000. 122 с.

2. Меренков Ю.Н. Об устойчивости нечетких систем// Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». 2002. № 1. С. 21-27.

3. Меренков Ю.Н. Системный подход к исследованию устойчивости эволюционных уравнений// Вестник РУДН. Сер. «Прикладная математика и информатика». 2002. № I.C.28-32.

4. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства стохастических дифференциальных уравнений//Дифференц. уравнения. 2003. Т.39. С. 1617-1626.

5. Меренков Ю.Н. Вопросы обеспечения безопасности движения локомотива по фиксированному маршруту при нечетких параметрах моделей// НТТ - Наука и техника транспорта. 2003. №3. С. 66-71.

6. Меренков Ю.Н. Предельные множества нечетких неавтономных систем// Applications of the «Mathematica» system in the social process and mathematical physics. Сб. трудов Международного семинара. Брест: Брестский гос. ун-т, 2003.

7. Меренков Ю.Н. {сот. с Земцовой Н.И.) Качественный анализ нечетких математических моделей методом функций Ляпунова// Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений. Сб. научн. трудов. М.: Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, 2003. С. 160-174.

8. Меренков Ю.Н. (совм. с Шесмаковым A.A.) Локализация предельного множества решения с ограниченным интервалом определения// Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. №8. С. 1515-1517.

9. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A.) О локализации предельного множества в неавтономной дифференциальной системе с помощью функций Ляпунова// Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. №11. С. 2017-2027.

10. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестакоаым A.A.) О притяжении траекторий дифференциальной системы множеством нулей мажоранты функции Ляпунова// Известия ВУЗов. Сер. Математика. 1981. №8. С. 55-59.

11. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A.) О характере непрерывного динамического потока вблизи инвариантного компакта// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. №5. С. 845-855.

12. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A., Шатохиным М.М.) Об асимптотических свойствах решений неавтономных функционально-дифференциальных уравнений//Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. №8. С. 1351-1358.

13. Меренков Ю.Н. Особенность с одним однократным и одним двукратным нулевыми собственными числами// Моделирование процесса организации перевозок на ж.д. транспорте. Сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1984. Вып. 125. С. 113-118.

14. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A.) О несмещенности предельного множества решения функционально-дифференциального уравнения// Моделирование процесса организации перевозок на ж.д. транспорте. Сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1984. Вып. 125. С. 75-81.

15. Меренков Ю.Н. Критерий устойчивости Ура для функционально-дифференциальных уравнений// Проблемы управления перевозочным процессом на ж.д. транспорте. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1986. С.98-103.

16. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A.) Локализация предельного множества в неавтономном дифференциальном включении с помощью функций Ляпунова// Динамика систем и управление. Межвуз. сб. науч. трудов. Саранск: Мордовский гос. ун-т им. Н.П.Огарева, 1986.

17. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A., Шатохиным М.М.) О локализации предельного множества в неавтономном функционально-дифференциальном уравнении с помощью функционалов Ляпунова-Красовского// Современные математические методы в задачах динамики подвижного состава и ж.д. пути. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1987. Вып. 140. С. 8-25.

18. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A.) Об определениях и условиях устойчивости по Ляпунову для абстрактных динамических процессов// Современные математические методы в задачах динамики подвижного состава и ж.д. пути. Межвуз- сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1987. Вып. 140. С. 40-50.

19. Меренков Ю.Н. Применение теории локализации предельного множества решений в инженерных расчетах// Современные математические методы в задачах динамики подвижного состава и жд. пути. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1987. Вып. 140. С. 71-77.

20. Меренков Ю.Н. К локализации предельных множеств решений функционально-дифференциальных уравнений// Проблемы динамики подвижного состава и ус-

тойчивости движений динамических систем. Сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1990. С. 106-117.

21. Мерепков Ю.Н. Устойчивость решений уравнения теплопроводности// Современные проблемы управления, устойчивости и колебаний нелинейных механических систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. Ч. 1. М.: ВЗИИТ, 1991. С. 65-69.

22. Мерепков Ю.Н. (совм. с Шестаковьш A.A.) О современном состоянии обобщенного прямого метода Ляпунова для детерминированных и недетерминированных распределенных систем// Современные проблемы управления, устойчивости и колебаний нелинейных механических систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. Ч. I. М.: ВЗИИТ, 1991. С. 4-12.

23. Мерепков Ю.Н. Устойчивость нулевого решения эволюционных уравнений в банаховом пространстве// Проблемы математического обеспечения совершенствования технических средств железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. Ч. 1. М.: ВЗИИТ, 1992. С. 84-90.

24. Мерепков Ю.Н. Теорема об устойчивости для абстрактного эволюционного уравнения// Оптимальное функционирование, сохранение устойчивости и надежности систем ж.д. транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1997. С. 46-50.

25. Мерепков Ю.Н. Устойчивость нелинейных стохастических уравнений//Современные проблемы совершенствования работы ж.д. транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. Ч. 1. М.: РГОТУПС, 1998. С. 113-115.

26. Мерепков Ю.Н. Теоремы об устойчивости нелинейных стохастических уравнений // Колебания, прочность и устойчивость движения в задача?, механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 35-37.

27. Мерепков Ю.Н. Об устойчивости по вероятности и почти наверное для стохастических дифференциальных уравнений// Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 64-67.

28. Мерепков Ю.Н. Устойчивость решений неавтономных дифференциальных включений в банаховых пространствах// Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 92-95.

29. Мерепков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A.) Об устойчивости инвариантных компактов// Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава ж.д. транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1999. С. 4-7.

30. Мерепков Ю.Н. Об устойчивости и асимптотической устойчивости по вероятности// Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава ж.д. транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1999. С. 63-66.

31. Меренков Ю.Н. (совм. с Ореховой Е.Ю.) Устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений при постоянно действующих возмущениях// Современные качественные исследования динамических систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 2000. С. 89-92.

32. Меренков Ю.Н. {совм. с Ореховой Е.Ю., Быковой Е.А.) Устойчивость решений при постоянно действующих возмущениях нечеткого дифференциального уравнения// Исследование устойчивоподобных и прочностных свойств динамических транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 2001. С. 57-61.

33. Меренков Ю.Н. О математическом моделировании прикладных нечетких систем // Методы иследования технической устойчивости и качественных свойств систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 2003. С. 78-82.

34. Меренков Ю.Н. Критерий устойчивости Ура для функционально-дифференциальных уравнений // Тез. докл. Межд. конф. «EquadifT 6». Брно, 1985.

35. Меренков Ю.Н. (совм. с Шестаковым A.A.) Асимптотическая устойчивость движения одногс класса уравнений с частными производными//Качественная теория дифференциальных уравнений. Тез. докл. VIII конференции СНГ. Самарканд, 1992.

36. Меренков Ю.Н. Исследование устойчивости движений с помощью функционалов Ляпунова// Качественная теория дифференциальных уравнений. Тез. докл. VIII конференции СНГ. Самарканд, 1992.

37. Меренков Ю.Н. Устойчивость решений неавтономных нечетких дифференциальных уравнений в банаховом пространстве//Актуальные проблемы и перспективы развития ж.д. транспорта. Тез. докл. межвуз. конф. Ч. 2. М.: РГОТУПС, 1996. С. 46-50..

38. Меренков Ю.Н. Абстрактное эволюционное уравнение// Тез. докл. второго Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ» (NDA'2). М.: МАИ ГТУ, 2002. С. 190.

39. Меренков Ю.Н. Методы качественного анализа стохастических и нечетких систем на базе функционалов Ляпунова// Тез. докл. XXXVIII Всероссийской конференции по проблемам математики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М.: РУДН, 2002. С. 7.

40. Меренков Ю.Н. О локализации предельного множества и устойчивости движения нечеткой динамической системы//Тез. докл. XXXIX Всероссийской конференции по проблемам математики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М.: РУДН, 2003. С.З.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА G.nerc#ty#r 09 тей «кт „„■

33 un -un ir* irr

Подписано в печать £>Ъ- Формат 60x84/16. Тираж •/ООэкз. Усл. печ. л. 2 . Заказ •

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

II

*)

(

#16 12*

2_oo<r-/l

Введение

Глава 1 - Вводная

глава.

1.1. Введение.

1.2. Некоторые понятия

1.3. Изучаемые математические модели динамических систем и их прикладная направленность.

1 А. Математическая постановка основных задач

1.5. Сравнительная характеристика основных методов решения задач

1.6. Некоторые перспективные направления исследований в математическом моделировании динамических систем и в качественном анализе их моделей

Глава 2 - Устойчивоподобные и качественные свойства автономного и общего потоков.

2.1. Введение

2.2. Качественные свойства автономных потоков

2.3. Поверхности Ляпунова. Условия устойчивости компакта автономного потока.

2.4. Условия устойчивости движения для общего потока

Глава 3 - Локализация предельного множества для неавтономных моделей классов ОДУ, ФДУ на основе обобщенных функций Ляпунова

3.1. Введение.

3.2. Свойства расстояния Хаусдорфа.

3.3. Локализация предельного множества неавтономной модели класса ОДУ на основе обобщенных функций Ляпунова.

3.4. Локализация предельного множества неавтономной системы класса ФДУ на основе обобщенных функций Ляпунова.

Глава 4 - Устойчивость множества неавтономной модели класса ФДУ на основе продолжения решений

4.1. Введение.

4.2. Определения и вспомогательные результаты.

4.3. Исследование устойчивости множества.

Глава 5 - Метод ломаных Эйлера нахождения решений неавтономной модели класса КДУ

5.1. Введение.

5.2. Определения и вспомогательные предложения. Существование движений

5.3. Существование и единственность решений

Глава 6 - Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса КДУ.

6.1. Введение.

6.2. Определения и вспомогательные предложения.

6.3. Теоремы об устойчивоподобных свойствах.

Глава 7 - Существование решений неавтономной модели класса НДУ.

7.1. Введение.:.

7.2. Вспомогательные предложения.

7.3. Движения и решения модели класса НДУ.

Глава 8 - Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса НДУ.

8.1. Введение.

8.2. Определения и вспомогательные предложения. Теоремы об устойчивости множества неавтономной дифференциальной модели.

8.3. Локализация предельного множества неавтономной дифференциальной модели на основе обобщенных нечетких функций Ляпунова

8.4. Примеры.

Глава 9 - Устойчивоподобные свойства моделей классов СДУ.

Ф Ключевая модель динамической системы.

9.1. Введение.

9.2. Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса СДУ

9.3. Устойчивость нелинейных моделей класса СДУ.

9.4. Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса СФДУ

9.5. Ключевая модель динамической системы

Глава 10 - Вопросы моделирования специальных классов динамических систем и устойчивости их моделей.

10.1. Введение.

10.2. Устойчивость состояния равновесия в автономном потоке в R с нулевым кратным собственным значением.

10.3. Устойчивость нулевого решения в дифференциальной модели распространения тепла.

10.4. Устойчивость автономной дифференциальной модели класса ОДУ в пространстве Л2.

10.5. Применение теории локализации предельного множества в численном анализе дифференциальных моделей

10.6. Несмещенность предельного множества асимптотически автономной модели класса ФДУ.

10.7. Устойчивость модели класса ФДУ при постоянно действующих возмущениях.

10.8. Устойчивость модели класса НДУ при постоянно действующих возмущениях. у 10.9. Моделирование движений транспортных динамических систем с помощью нечетких функций и уравнений.

10.10. Алгоритмы для моделирования движений локомотива по фиксированному маршруту

10.11. Компьютерное моделирование движения локомотива. Устойчивость математической модели

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию динамических систем и развитию качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном и последующих этапах математического моделирования динамических систем, а также реализации алгоритмов проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента при моделировании движения рельсового средства (локомотива) по определенному маршруту.

Обсудим сначала общие вопросы применения математических методов в научных исследованиях. Математическое моделирование широко применяется в научных исследованиях и при решении прикладных проблем в различных областях науки и техники. Эта методология основана на изучении свойств и характеристик объектов различной природы посредством исследования их естественных или искусственных аналогов (моделей). Моделирование в таком общем плане представляет собой двуединый процесс создания моделей и исследования моделей после того, как они построены. Использование моделей всегда и неизбежно связано с упрощением, идеализацией моделируемого объекта. Сама модель не охватывает объекта во всей полноте его свойств, а отражает лишь некоторые его исследуемые характеристики - она сходна с познаваемым объектом только по определенной совокупности признаков. Модель строится для отражения лишь части свойств исследуемого объекта и поэтому, как правило, проще оригинала. И самое важное, модель более удобна, более доступна для исследования, чем моделируемый объект.

Для более полного исследования объекта привлекается ряд моделей, каждая из которых моделирует те или иные характеристики объекта. В прикладном исследовании даже для отражения одних и тех же свойств объекта всегда имеется возможность привлечения различных моделей. Модели различаются по степени качественной и количественной адекватности исследуемому объекту относительно выбранных характеристик, по возможностям их исследования. Успех моделирования определяется именно удачным выбором моделей, их набора.

Среди различных моделей можно выделить в качестве основных физические и математические модели. Математические модели являются наиболее характерными в естественнонаучных исследованиях идеальными (умозрительными) моделями. Физические модели относятся к материальным (предметным) моделям, которые, имитируя часть свойств исследуемого объекта, имеют ту же природу, что и моделируемый объект.

При физическом моделировании проводится экспериментальное исследование физической модели.

При математическом моделировании исследование свойств и характеристик исходного объекта заменяется исследованием его математических моделей. Математические модели изучаются средствами математики. Современный этап математического моделирования характеризуется широким привлечением методов вычислительной математики и компьютеров.

При математизации научных знаний выделяется этап абстрагирования от конкретной природы явления, идеализации и выделения его математической формы (строится математическая модель).

Вторым этапом математизации является исследование математических моделей как чисто математических объектов. С этой целью используются средства самой математики, как уже созданные, так и специально построенные. В настоящее время большие возможности для исследования математических моделей предоставляют вычислительные средства: компьютеры и численные методы.

Третий этап применения математики в прикладных исследованиях характеризуется интерпретацией - приданием конкретного прикладного содержания математическим абстракциям.

Эвристическая роль математического моделирования проявляется в том, что вместо натурного эксперимента проводится компьютерный эксперимент. Вместо исследования проявления того или иного воздействия на исследуемый объект используется параметрическое изучение математической модели, зависимости решения от того или иного параметра.

Такой эксперимент, дополняя натурный, позволяет значительно глубже исследовать явление или процесс.

Исследование математических моделей подразумевает прежде всего качественное изучение математических моделей и получение истинного или приближенного решения. Компьютер предоставляет новые возможности не только для нахождения приближенного решения численными методами, но и для качественного исследования математической модели.

Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель.

Сама математическая модель может быть достаточно сложной. Это часто делает невозможным качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в подавляющем большинстве случаев проводится качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае принято говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели).

Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректности.

Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие теоремы существования дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи.

Наличие или отсутствие тех или иных качественных свойств математической модели свидетельствует о возможности или невозможности создания сложной модели, обладающей требуемыми свойствами. Например, если синтезированная модель удовлетворяет определенным критериям качества, но не является устойчивой, то она не будет работоспособной, так как ее реализация, отличная от идеала, в силу неизбежных причин, не будет уже удовлетворять нужным критериям качества. Если же модель обладает определенными качественными свойствами, то это значительно сузит круг задач количественного анализа модели.

В диссертации математическое моделирование динамических систем осуществляется с помощью дифференциальных математических моделей и введения дифференциальной математической модели, называемой ключевой моделью (моделью ансамблей), частными случаями которой являются следующие изучаемые дифференциальные модели: 1) математические модели, описываемые автономными и неавтономными обыкновенными дифференциальными моделями (называемые моделями класса ОДУ); 2) математические модели, описываемые автономными и неавтономными функционально-дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса ФДУ); 3) математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями с частными производными (называемые моделями класса ЧДУ); 4) математические модели, описываемые дифференциальными включениями, или дифференциальными уравнениями в контингенциях (называемые моделями класса КДУ); 5) математические модели, описываемые автономными и неавтономными нечеткими дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса НДУ); 6) математические модели, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса СДУ).

Перечисленные дифференциальные модели динамических систем используются при изучении разнообразных проблем физики, химии, биологии, экономики, а также при изучении многочисленных технических задач.

Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования дифференциальных моделей осуществляется на основе обобщенных функций Ляпунова и модифицированного метода ломаных Эйлера, при этом широко используются методы прикладного функционального анализа, методы теории полугрупп (групп) непрерывных операторов, методы качественной теории, теории устойчивости и топологической динамики автономных потоков.

В диссертации исследуются с единой точки зрения как детерминированные дифференциальные модели, так и стохастические и нечеткие дифференциальные модели динамических систем. Результаты этого анализа позволяют описать и обработать исходные данные как в случае детерминированного формализма, так и в случае трудноформализуемых задач естествознания и техники в условиях нечеткости, определяемой нечеткой постановкой задачи, или в условиях нечеткого описания параметров моделируемой динамической системы.

К кругу задач, рассмотренных в диссертации, относятся задача о снятии и задача об ослаблении ограничительных требований непрерывности и дифференцируемости на функции Ляпунова. Решения этих задач позволяют облегчить и расширить практические применения функций Ляпунова и тем самым повысить эффективность метода функций Ляпунова исследования дифференциальных моделей.

Одной из задач, рассмотренных в работе, является задача разработки приближенного метода решения дифференциальных моделей. Решение этой задачи методом ломаных Эйлера дает возможность приближенно вычислять решения моделей классов КДУ и НДУ с любой заданной степенью точности.

Основным методом изучения качественных свойств дифференциальных моделей динамических систем и автономных и неавтономных полупотоков (потоков) является метод локализации предельных множеств посредством обобщенных функций Ляпунова. Этот метод является обобщением, унификацией и дальнейшим развитием классического прямого метода Ляпунова.

Перейдем к краткому обзору известных результатов и литературы по математическому моделированию динамических систем и качественному анализу их дифференциальных математических моделей на основе обобщенных функций Ляпунова. Математическому моделированию динамических систем с помощью дифференциальных уравнений посвящены работы [1,6,9,13,14,18,19,21,22,26,37,39, 41, 46, 48,54,61,62,64,69,72,73, 75, 89, 103, 105, 143, 154, 155, 166, 177, 178, 184] и другие работы отечественных и зарубежных ученых. Метод обобщенных функций Ляпунова, называемый также обобщенным прямым методом Ляпунова (ОПЛ-мето-дом) и являющийся обобщением, унификацией и дальнейшим развитием классического прямого метода Ляпунова, зародился в первой половине 60-х годов двадцатого столетия. Для автономных полупотоков (потоков), порожденных моделями ОДУ и ФДУ, теоремы о локализации предельного множества получены в работах Ж.П.ЛаСалля [159-163], Т.Иосидзавы [185-187], Р.К.Миллера [165], Дж.Хейла [97, 145], хотя отдельные результаты получены ранее Н.Н.Красовским и Е.А.Барбашиным [10, 49], В.В.Немыцким [71]. В частности, показано, что если производная обобщенной функции Ляпунова неположительна и равна нулю на множестве, не содержащим целых (полу-) траекторий, кроме особой точки О, то эта точка О будет устойчива по Ляпунову.

Дальнейшее развитие ОПЛ-метода для автономных полупотоков (потоков), порожденных моделями класса ЧДУ и для автономного и неавтономного потока в бесконечномерном пространстве предложено в работах Дж.Хейла [145], К.М.Дафермоса [138], Ж.П.ЛаСалля [159-163], Дж.Уолкера [184], Дж.Болла [125, 126], Дж.Кушнера [157, 158], М.де Гласа [141, 142] и А.А.Шестакова [108-116]. В частности, Ж.П.ЛаСалль [159] установил следующий результат: если производная обобщенной функции Ляпунова неположительна и равна нулю на множестве, наибольшее инвариантное подмножество которого есть МсК', то всякое решение модели класса ОДУ приближается к компоненте связности множества М.

Пустьfit), îeR+::= [0,+оо), есть автономный полупоток на метрическом пространстве X, т.е. семейство отображений X в себя, для которого выполняется полугрупповое свойство Vs,teR+, fit+s) =J(t)f(s) и отображение непрерывно, и пусть G - непустое открытое подмножество изХ. Отображение j[»)x:R+->X называется движением автономного полупотока с начальной точкой х.

Непрерывная ограниченная функция V:C\ называется обобщенной функцией Ляпунова типа Немыцкого-ЛаСалля для автономного полупотока/относительно G, если справедливо неравенство

VxeCl G, DV(x) ::= sup IimlW{[FWO*) - V(x)]ft} < 0.

Дж.Хейлом [145] показано, что если для автономного полупотока / относительно G существует JI-функция типа Немыцкого-ЛаСалля, для которой множество

Z(F)::= {xeC\G\DV(x)) = Q} не пусто, то любое движение ß<»)x\R+-:>X этого полупотока с предком-пактной траекторией приближается к наибольшему инвариантному подмножеству 0 из Z(V).

Из теоремы Дж.Хейла следует, что если все траектории из окрестности HcG для 0 предкомпактны, то множество 0 будет притягивающим с областью притяжения Н. Из этой теоремы следует также, что если множество 0 распадается на несколько компонент линейной связности, то движениеД»)х:^->Х будет приближаться к одной из компонент связности множества 0. Теорема Дж.Хейла была обобщена в работах Дж.Уолке-ра [184] и Ж.П.ЛаСалля [162].

Дальнейшие обобщения теоремы Дж.Хейла связаны с заменой метрического пространства Хна пространство сходимости Фреше и неравенства DV(x)< 0 на более слабые условия.

Функция V: X—>R называется обобщенной функцией Ляпунова типа Болла, если из условия t„->°o,ÄQx-*y, V{f{tn+s)x)-V(J{Qx)^0, seR всегда следует

Дж.Боллом [125] установлено предложение: если

1) отображение /-» V(J{t)x) непрерывно на (0, оо);

2) положительная полутраектория у+(х) предкомпактна;

3) обобщенная функция V\X-±R Ляпунова типа Болла удовлетворяет условию

V(f{tn+s)x) - V(J{Qx) >0 при /-»со, то

L+(x)nZc(V) * 0 Vcelim^ V(f(t)x), и где

Ь+(х) ::= {уеХ\ 31 -> с«, Я)х -> у, Щф) ->К(у)},

К.Дафермос [137] показал, что если выполнены условия 1), 2) теоремы Болла и если Х - хаусдорфово топологическое пространство, то при наличии лишь конечного числа непустых множеств МспС 1 у+(х), сеЬ, множество Ь= {с} одноэлементно и Ь+(х)аМс.

Результат Ж.П.ЛаСалля [162] перенесен в работе Дж.Кушнера [157] на стохастические потоки, порожденные непрерывным справа однородным сильно марковским процессом, в работах М.де Гласа [142] и А.А.Шеста-кова [116] на потоки, порожденные нечеткими дифференциальными моделями.

Перейдем к общей характеристике диссертации.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, десяти глав, приложения и списка литературы. Главы состоят из параграфов, в каждом параграфе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы, не входящие в текущий параграф, даются указания на соответствующие главы и параграфы. Первый параграф каждой главы является вводным. Многие параграфы содержат примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

1. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., БлишунА.Ф., Сипов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/ Под ред. Д.А.Поспелова. М.: Наука, 1986.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллииа Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Алимов ЮМ. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначной правой частью// Автоматика и телемеханика. 1961. №7. С. 817-829.

4. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., ШайхетЛ.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

5. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Мейер А.Г. Качественная теория дифференциальных уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

6. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Мейер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

7. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

8. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом// ДАН СССР. 1952. Т. 86. №3. С. 453-456.

9. БиркгофДж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

10. Бпистанова Л.Д. Устойчивоподобные свойства решений некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений. Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ, 1995.

11. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев H.A. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение в численном анализе. СПб.: НИИ химии СПбГУ, 2002.

12. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978.

13. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., ГробманД.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966.

14. Венец В.И. Дифференциальные включения в выпуклых задачах// Автоматика и телемеханика. 1979. № 9. С. 5-14.

15. ВолковД.М. Аналог второго метода Ляпунова в краевых задачах для нелинейных гиперболических уравнений// Уч. зап. ЛГУ. Сер. Матем. 1958. Т. 33. С. 90-96.

16. Волкова В.Н., Денисов A.A. Основы теории систем и системного анализа. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.

17. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

18. Гайшун И.В. Немонотонные функционалы Ляпунова в теоремах об устойчивости для уравнений с.последействием// Докл. АН Беларуси. 1994. Т.38. №3. С. 5-8.

19. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава (под ред. Н.А.Панькина). М.: Транспорт, 1988.

20. ГигДж., ван. Прикладная общая теория систем. Т. 1, 2. М.: Мир, 1981.

21. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.

22. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1975.

23. Гребешков Е.А., Митрополъский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999.

24. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979.

25. Гробман ДМ. Топологическая и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений// Матем. сб. 1963. Т. 61. № 1.

26. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

27. Дружинина О.В. Развитие методов исследования качественных свойств траекторий некоторых уравнений небесной механики. Дисс. . докт. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2000.

28. Дружинина О.В., Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах// Матем. сб. 2002. Т. 193. № 10. С. 17-48.

29. ДубД.Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

30. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости // ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 2. С. 227-236.

31. Жуковский Н.Е. О прочности движения// Уч. зап. Московского ун-та. 1882. Вып. 4. С. 1-104.

32. ЗадеЛ. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

33. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1959.

34. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Гостехиздат, 1954.

35. Зубов Н.В. Математические модели и методы исследования динамических систем. Дисс. докт. физ.-матем. наук. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1999.

36. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. М.: Наука, 1970.

37. Калашников В.В. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций. М,: Наука, 1978.

38. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: ИЛ, 1960.

39. Катулев А.Н., Северцев H.A. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.М.КацИ.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами // ПММ. 1960. Т. 24. С. 809-823.

40. Ким A.B. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 1992.

41. Коддингтон Э.А., ЛевинсонН. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

42. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

43. КофманА., Хил АлухаХ. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями. Минск: Вышейшая школа, 1992.

44. КофманА. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.AS. Краснощекое П. С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2000.

45. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

46. Куклес И.С. О некоторых проблемах качественной теории дифференциальных уравнений// Труды 4-го Всесоюзного математического съезда. Л.: Наука, 1964. Т. 2. С. 454-467.

47. Кушнер Г. Док. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.

48. Кушнер Г Дою. Вероятностные методы аппроксимации в стохастических задачах управления и теории эллиптических уравнений. М.: Наука, 1985.

49. Ладис H.H. Иследование особых точек и замкнутых инвариантных множеств динамических систем. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Минск, 1971.

50. Лазарян В.А., ДлугачЛ.А., Коротенко М.Л. Устойчивость движения рельсовых экипажей. Киев: Наукова думка, 1972.

51. Лапшина Р.Б. Исследование обобщенным прямым методом Ляпунова устойчивоподобных свойств решений некоторых классов обыкновенных конечно-разностных систем и обобщенных дифференциально-разностных систем. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Горький: ГГУ, 1982.

52. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

53. ЛидскийЭ.А. Об устойчивости движений системы со случайными запаздываниями // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 1. С. 96-101.

54. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостех-издат, 1950.

55. Мапкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

56. Малышев Ю.В. Методы обобщенных функций Ляпунова. Дисс. докт. физ.-матем. наук. Свердловск: ИММ, 1991.

57. Мартынюк A.A., КатоД., Шестаков A.A. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.

58. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

59. Мелихов А. Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

60. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978.

61. Митрополъский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Высшая школа, 1979.

62. МовчанA.A. Устойчивость процессов по двум метрикам// ПММ. 1968. Т. 24. Вып. 6. С. 988-1001.

63. Мышкис АД. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

64. Невелъсон М.Б. Об устойчивости в целом траекторий марковских процессов диффузного типа//Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. №8. С. 1052-1060.

65. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. Вып. 1, 1994; вып. 2, 1996; вып. 3, 1997.

66. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.

67. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек и обобщенные функции Ляпунова// Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3. №3. С. 359370.

68. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения/ Под ред. Р.Р.Ягера. М.: Радио и связь, 1986.

69. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис, 1998.

70. ПанасюкА.И. О динамике множеств, определяемых дифференциальными включениями//Сиб. матем. журн. 1986. Т. 27. №5. С. 155-165.

71. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т.Тэрано, К.Асаи, М.Сугэно. М.: Мир, 1993.

72. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ГТТИ, 1947.

73. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, 1971, 1972.

74. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием// ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 4. С. 500-512.

75. Разумихин Б. С. Устойчивость эридитарных систем. М.: Наука, 1987.

76. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1989.

77. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1, М.: Наука, 1968. С. 7-66.

78. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения//Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №5. С.739-776.

79. Румянцев В.В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

80. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

81. Рябов Ю.А. Некоторые асимптотические свойства линейных систем с малым запаздыванием по времени// Докл. АН СССР. 1963. Т. 15. № 1. С. 52-54.

82. Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных потенциальных систем. М.: Изд-во РУДН, 1991.

83. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997.

84. Тибилов Т.А. Асимптотические исследования колебаний подвижного состава. М.: Транспорт, 1970.

85. Толстоногое A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986.

86. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

87. Харпшан Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

88. Хасъминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

89. ХатваниЛ. Некоторые задачи об устойчивости неустановившихся движений. Дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 1975.

90. ХейлДж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

91. ХусановД.Х. К конструктивной и качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 2002.

92. Царьков Е.Ф. Асимптотическая экспоненциальная устойчивость в целом квадратичном тривиального решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений// Теория вероятностей и ее применение. 1976. Т. 21. Вып. 4. С. 871-875.

93. Царьков Е.Ф. Экспоненциальная а-устойчивость тривиального решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений// Теория вероятностей и ее применение. 1978. Т. 23. Вып. 2. С. 445-448.

94. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953.

95. ЧелышеваЛ.А. Топологические свойства инвариантных множеств динамических систем. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Кишинев, 1968.

96. Чёркашин Ю.М., Шестаков A.A. Об устойчивости движения железнодорожного подвижного состава// Тр. ВНИИЖТ. М.: Транспорт, 1982. С.42-49.

97. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

98. ШайхетЛ.Е. Исследование на устойчивость стохастических систем с запаздыванием методом функционалов Ляпунова// Проблемы передачи информации. 1975. Т. 11. Вып. 4. С. 70-76.

99. Шестаков A.A. Об. асимптотическом поведении решений многомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих особую точку высшего порядка// Сиб. матем. журн. 1961. Т. 2. № 5. С. 767-788.

100. Шестаков A.A. Теория и приложения обобщенного прямого метода Ляпунова для абстрактных динамических систем: обзор современного состояния геометрического направления в прямом методе Ляпунова// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 12. С. 2069-2097.

101. Шестаков A.A., ЧеркашинЮ.М. Об устойчивости стохастической дифференциальной системы// Современные методы расчета вагонов на прочность, надежность и устойчивость. Сб. науч. тр. М.: Транспорт, 1986. С. 28-36.

102. Шестаков A.A. О локализации предельного множества для асимптотически автономного Д-процесса// Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. №5. С. 909.

103. Шестаков A.A., Шатохин М.М. Об относительной устойчивости нулевого решения автономного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа//Дифференц. уравнения, 1986. Т. 22. № 11. С. 1922-1928.

104. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод для абстрактных полудинамических процессов. I.// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №9. С. 14751490.

105. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод для абстрактных полудинамических процессов. И.//Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №3. С. 371387.

106. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод для абстрактных полудинамических процессов. III. II Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №6. С. 923936.

107. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

108. Шестаков A.A., Дружинина О.В. Нечеткие графы и нечеткие отношения. Учебное пособие. М.: РГОТУПС, 1999.

109. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.119. ¡Ценников В.Н. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем. Дисс. докт. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ, 1990.

110. Щенникова Е.В. Свойства ограниченности и устойчивости некоторых классов динамических процессов. Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: РУДН, 1997.

111. Щербаков Б.А. Устойчивость по Пуассону движений динамических систем и решений дифференциальных уравнений. Кишинев: Штиинца, 1985.

112. ЭлъсгольцЛ.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

113. Antosiewicz Н.А., Cellina A. Continues selections and differential relations//J. Diff. Eq. 1975. V. 19. P. 386-398.

114. ArnoldL. Stochastic differential equations: theory and applications. New York: Willey and Sons, 1974.

115. Ball J.M. On the asymptotic behavior of generalized processes, with applications to nonlinear evolution equations//J. Diff. Eq. 1978. V. 27. P. 224-265.

116. Ball J.M. Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constants formula// Proc. Amer. Math. 1977. V. 63. P. 370-374.

117. Benssoussan A., Temam R. Équations aux dérivées partielles stochastiques// Israel J. Mach., 1972. V. 11. P. 95-129.

118. BhatiaN.P. Attraction and nonsaddle sets in dynamical systems// J. Diff. Eq. 1970. V. 8. №2. P. 229-249.

119. Burton T.A., Hatvani L. Stability theorems for nonautonomous functional differential equations by Liapunov functionals// Tohoku Math. J. 1989. V. 41. P. 65-104.

120. Bridgland T.F. Contributions to the theory of generalized differential equations// Math. Systems theory. V. 1,3. № 1.

121. Chow Pao-Liu. Stability of nonlinear stochastic equations// J. Math. Anal, and Appl. 1982. №2. P. 460-419.

122. ClarkeF.H. Monotone invariant solutions to differential inclusions// J.London Math. Soc. Second Series. 1977. V. 15. Part 2. P.357-366.

123. Corduneanu C. Stability problems for some feedback systems with delay// Modern Trends in Cybernetics and Systems. Berlin: Springer, 1977. V. 2. P. 321-328.

124. Curtain R.F. Stability of stochastic partial differential equation// J. Math. Anal. Appl. 1981. V. 79. P. 352-369.

125. Dafermos C.M. An invariance principle for compact processes // J. Diff. Eq. 1971. V. 9. P. 239-252.

126. Dafermos C.M. Applicationns of the invariance principle for compact processes. I. Asymptotically dynamical systems//J. Diff. Eq. 1971. V. 9. P. 291-299.

127. Fleming W.H., Nisio M. On the existence of optimal stochastic solutions// J. Math. Mech. 1966. V. 15. P. 111-19A.

128. Gentili F., Menini L., Tornambe A., Zaccarian L. Mathematical methods for system theory. Wold Sci. Publ. Co. River Edge, NJ, 1998.

129. Haddock J. R. On Lyapunov functions for nonautonomous systems// J. Math. Anal, and Appl. 1974. V. 48. P. 599-603.

130. S.Hale J.K. Dynamical systems and stability// J. Math. Anal. Appl. 1969. V. 26. P. 39-59.

131. Hatvani L. Attractivity theorems for nonautonomous systems of differential equations//Acta Sci. Math. 1978. V. 40. P. 271-283.Al.ItoK., Nisio M. On stationary solutions of a stochastic differential equation//J. Math. Kyoto Univ. 1964. Y.4. P. 1-75.

132. Kaleva 0. Fuzzy differential equations// Fuzzy Sets and Systems. 1987. V. 24. №3. P. 301-317.

133. Kaleva O. On the convergence of fuzzy sets// Fuzzy Sets and Systems. 1985. V. 17. №l.P. 53-65.

134. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations// Fuzzy Sets and Systems. 1990. V. 35. № 3. P. 389-396.

135. Kappel F. The invariance of limit sets for autonomous functional-differential equations//SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 19. №2. P. 408-419.

136. Kato J. On Liapunov-Razumikhin type theorems for functional differential equations//Funkc. Ekvac. 1973. V. 16. P.225-239.

137. KimuraJ., Ura T. Sur le courant enterieur a une region invariante; theoreme de Bendixon// Comm. Math. Univ. Sandi Pauli. 1966. №8. P. 23-29.

138. KiszkaJ.B., Gupta M.M., Nikiforuk P.N. Energetistic stability of fuzzy dynamic systems// IEEE Trans, on Systems, Man and Cybernetics. 1985. V. SMC-15. №6. P. 783-792.

139. Kloeden P.E. Fuzzy dynamical systems// Fuzzy Sets and Systems. 1982. V. 7. P. 275-296.

140. KozinF. Stability of the linear stodastic systems// Lecture notes in math. V. 294. New York: Springer Verlag, 1972. P. 189-192.

141. Kushner H.J. The concept of invariant bet for stochastic dynamical systems and applications to stochastic stability// Stochastic Opt. Cont. (ed. Karreman H.F.). 1968. P. 47-57.

142. Kushner H.J. On the stability of processes defined by stocastic difference-differential equations// J. Diff. Eq. 1968. V. 4. P. 424-443.159 .La Sail J.P. Some extension of Lyapunov's second method// IRE Trans. Circ. Theory. 1960. CT-7. P. 520-527.

143. La Sail J.P. The extent of asymptotic stability// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1960. V. 46. P. 363-365.

144. LaSalleJ.P. Stability theory for ordinary differential equations// J. Differential Equations. 1968. V. 4. P. 57-65.

145. LaSalleJ.P. Invariance principle and stability theory for nonautonomous systems // Proc. Greek Math. Soc. Caratheodory Symp. Athens, 1973. P. 397-408.

146. LaSalleJ.P. Stability of nonautonomous systems// Nonlinear Anal.: Theory, Meth. Appl. 1976. V. 1. P. 83-91.

147. Malghan S.R., Benchalli S.S. Open maps, closed maps and local compactness m fuzzy topological spaces// J. Math. Anal, and Appl. 1984. V. 99. P. 336-349.

148. Miller R.K. Asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. V. 115. P. 400-416.

149. Negoita C. V. On the stability of fuzzy systems// Proc. of the Int. Conf. on Cybernetics and Society (Tokyo-Kyoto, Japan. Nov. 3-7, 1978). IEEE Systems, Man and Cybernetics Soc. V. II, III. P. 936-937.

150. Onuchic N. Invariance and stability for ordinary differential equations// J. Math. Anal, and Appl. 1978. № 2. P. 69-76.

151. Onuchic N., Onuchic L.R., Taboas R.Z. Invariance properties in the theory of stability for ordinary differential systems and applications// Appl. Anal. 1975. V.5. P. 101-107.

152. Pardoux E. Équations aux dérivées partielles stochastiques nonlinéaires monotones// Thesis Université Paris, XI, 1975.

153. Pianigiani G. On the fundamentel theory of multivalued differential equations//J. Differential Equations. 1977. V. 25. P. 30-38.

154. Pinsky M. Stochastic stability and Dirichlet problem// Comm. Pure Appl. Math. 1974. V. 27. P. 311-350.

155. RoxinE. On stability in control systems // J. SIAM Conrol. Ser.A. 1966. V.3.№3. P. 357-372.

156. Roxin E. On stability in general control systems// J. Differential Equations. 1965. №1. P. 115-150.

157. Saito T. On the flow outside an isolated minimal set// Proc. United StatesJapan Seminar on differential and functional equations. New York, 1967.

158. Saito T. Isolated minimal sets// Functional Equations. 1958. №11. P. 155—167.

159. Sean 5.17. Existence of solutions and asymptotic equilibrium of multivalued differential system // J. Math. Anal. Appl. 1987. V. 89. P. 648-663.

160. Sugeno M., Kang G.T. Fuzzy modelling and control of multilayer incinerator// Fuzzy Sets and Systems. 1986. V. 18. №3. P. 329-346.

161. Tanaka K.L., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems//Fuzzy Sets and Systems. 1992. V.45. №2. P. 135-156.

162. Tuljapurkar S.D., Semura J.S. Stochastic instability and Liapunov stability//!. Math. Biology. 1979. V.8. P. 133-145.

163. Ura T. On the flow outside a closed mvariant set; stability, relative stability and saddle sets// Contr. Differential Equations. 1964. V. 3. №3. P. 249-294.

164. Viot M. Solutions faibles d'équations aux dérivées partielles stochastique non linéares// Thesis, Université Paris, IV, 1976.

165. Wilson H.K. Gauge functions and limit sets wich weak nonautonomous ordinary differential equations// Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V. 32. №2. P. 487-490.

166. Wilson U.K. Locating limit sets with weak nonautonomous Lyapunov functions II Math. Syst. Theory. 1975. V. 8. № 3. P. 228-234.

167. WolkerJ.A. Dynamical systems and evolution equations. Theory and Applications. New York-London, 1980.

168. Yoshizawa T. Asymptotic behaviour of solutions of a system of differential equations//Contr. Differential Equations. 1963. V. 1. P. 371-387.

169. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method. Tokio: Math. Soc. Japan, 1966.

170. Yoshizawa T. Stability theory and existence of periodic solutions and almost periodic solutions. New York-Heidelberg-Berlin, 1975.

171. Zadeh L.A. Fuzzy sets and systems// Proc. of the Sump. On System Theory. 1965. V. XV. Ed. J. Fox. Polytechnic Press, 1965. P. 29-37.