автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вычисление коэффициентов диффузии локально-запертых частиц в стеллараторе методом Монте-Карло



г

•о ^

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ им. М.В. КЕЛДЫША

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

На правах рукописи

ВОЛКОВ Юрий Александрович

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФУЗИИ ЛОКАЛЬНО-ЗАПЕРТЫХ ЧАСТИЦ В СТЕЛЛАРАТОРЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО.

(Спёциальность 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

МОСКВА , 1993г.

Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научные руководители: доктор физико-математических наук

Веденяпин В. В.

кандидат физико-математических наук Козлов Н. И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дегтярев Л. М.

кандидат физико-математических наук Пустовитов В. Д.

Ведущая организация: Харьковский физико-технический

институт (ХФТИ)

Защита диссертации состоится "_"_1993г.

на заседании специализированного Совета К 003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М. В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан "_" _ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат физико-математических наук

Свирщевский С. Р.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш.

В настоящее время во всем мире строится и проектируется большое число крупных тороидальных установок, которые, как предполагается, будут работать в режиме, близком к реакторному. При экстраполяции на область термоядерных параметров имеющихся теоретических и экспериментальных результатов возникает ряд проблем. В частности, требуется предсказать профили плотности и температуры плазмы и оценить уровень потерь частиц и энергии в ловушке, т.е. построить транспортную модель установки.

Транспортная модель стелларатора может быть получена в рамках неоклассической теории переноса. Ее основу составлят одномерная система диффузионных уравнений баланса частиц и энергии на магнитных поверхностях. Сама форма уравнений баланса как уравнений диффузии предполагает, что потоки частиц и энергии выражаются через градиенты давления, температуры и потенциала с заданной матрицей переноса.

Изучение процессов переноса в аксиально-несимметричных системах стимулировало развитие численных методов решения дрейфового кинетического уравнения. Современньй способ получения транспортной матрицы состоит в численном решении кинетического уравнения с последующей сверткой результатов в коэффициенты переноса. На этом пути удается учесть важнейший фактор - реальную магнитную конфигурацию прибора. В этой связи, задача численного решения уравнения переноса в аксиально-несимметричных системах с целью получения транспортных коэффициентов представляется весьма актуальной.

Целью работы является создание численного метода определения коэффициентов диффузии локально-запертых частиц в аксиально-несимметричных системах и проведение вычислительных экспериментов по исследованию зависимости

коэффициентов диффузии от частоты столкновений, радиального электрического поля и различных неоднородностей магнитного поля.

Научная новизна и практическая значимость работы.

Основные результаты диссертации являются новыми и представляют практический интерес с точки зрения построения и реализации метода Монте-Карло и его применения для изучения процессов переноса в стеллараторе.

На основе метода стохастических дифференциальных уравнений создан код для расчета коэффициентов диффузии локально-запертых частиц.

Предложенный в данной работе метод был использован для вычисления коэффициентов диффузии в аксиально-несимметричной тороидальной ловушке в режиме очень редких столкновений. Метод был также успешно использован для расчета коэффициента диффузии ионов и электронов в установке "Ураган-2М"., создаваемой в ХФТИ.

Полученные в работе результаты могут быть использованы для оптимизации удерживающих свойств тороидальных магнитных ловушек. . ^

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции по теории плазмы (Звенигород, 1988), на Международной рабочей группе по теории термоядерной плазмы С Швейцария. 19&3), на Советско-Американском совещании по стеллараторам (Москва, 1989), на 12 Международной конференции МАГАТЭ по физике плазмы и управляемому синтезу (Франция, 1988), на 8 Международной конференции МАГАТЭ по стеллараторам (Харьков, 1991).

Публикации. Основные результаты работы отражены в 9 публикациях, выиедших из печати. Список приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четьрех глав, и заключения. Общий объем 110 страниц, в том числе 20 рисунков. Библиография содержит 86

наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении очень кратко и выборочно изложена история вопроса и основные тенденции развития методов численного моделирования процессов переноса в стеллараторе. Обсуждаются характерные черты рассматриваемых задач и используемых численных методов. Кратко излагается содержание диссертации и приводятся основные результаты.

В главе 1 содержится постановка задачи о транспортных коэффициентах.

В §1 приводятся основные сведения о дрейфовом кинетическом уравнении для аксиально несимметричных систем. В рамках неоклассической теории переноса сформулирована задача расчета коэффициентов переноса. С этой целью приводится простейшая неоклассическая система уравнений баланса частиц и энергии Скак нулевой порядок этой теории) и замыкающая эту систему матрица коэффициентов переноса Спервый порядок). Возникающий здесь коэффициент диффузии подлежит вычислению.

В §2 вводится приближение продольного адиабатического инварианта. Для описания диффузии локально-запертых частиц поперек магнитных поверхностей используется усредненное по бьстрым движениям кинетическое уравнение. Для описания пролетных частиц предложена простая модель, которая основана на предположении, что их дрейфовьы смещением от магнитных поверхностей можно пренебречь.

В главе 2 изложены общие принципы построения и реализации алгоритма вероятностного решения уравнения Фоккера-Планка.

В §3 приводятся теоретические основы вероятностного подхода к решению уравнений параболического типа. Вводится понятие обобщенного решения уравнения Фоккера-Планка. которое может быть получено методом стохастических

дифференциальных уравнений.

Для линейного уравнения Ландау строго получены стохастические уравнения в переменных энергия и питч-угол.

В §4 изложена реализация метода стохастических дифференциальных уравнений, проведены методические расчеты и исследованы условия сходимости на примере двух точно решаемых моделей.

аЭ Уравнение Орнштейна-Уленбека для броуновских частиц. В случае сферически-симметричного начального состояния оно имеет простое точное решение. Это решение было получено численно.

б) Приближение Ландау для максвелловского газа (потенциал молекулярного взаимодействия 1/г4). Моментная система для случая максвелловских молекул рекуррентно разрешима. Это дает возможность сравнить для произвольного анизотропного начального состояния поведение моментов численного решения с точным решением моментной системы.

Численные расчеты по предложенной схеме продемонстрировали эффективность метода уже при сравнительно небольшом числе частиц Ы=103-104.

Глава 3 посвящена реализации метода Монте-Карло в системах без аксиальной симметрии.

В §5 изложена физическая модель, лежащая в основе алгоритма. Приведены уравнения движения частиц с учетом процесса питч-рассеяния. Для сокращения описания орбит частицы динамически разбиты на три группы по величине их питч-параметра. Для локально-запертых частиц используется приближение продольного инварианта. Движение частиц вблизи сепаратрисы кг=1 С к2 - питч-параметр Э описывается полными дрейфовыми уравнениями. Это позволяет избежать нефизических запираний частиц в переходной зоне. Ширина переходной зоны меняется в широких пределах в зависимости от особенностей задачи.

В §6 описана численная процедура решения уравнений движения. Вводится сетка по времени. Величины,

характеризующие положение частицы в скоростном пространстве, смещены на половину временного шага по отношению к пространственным переменным. Интегрирование уравнений движения проводится в два этапа. Сначала вычисляется бесстолкновительное изменение координат за счет дрейфа, а затем изменение скоростных переменных из-за рассеяния в пространстве скоростей.

Для численного интегрирования системы дрейфовых уравнений был выбран метод Фельберга пятого порядка из класса вложенных методов Рунге-Кутта. Этот метод обеспечивает выбор шага интегрирования с заданной точностью.

В §7 рассматривается задача численного интегрирования стохастического дифференциального уравнения питч-рассеяния. Используется метод Эйлера для уравнения Ито и классический метод Рунге-Кутта для симметризованного уравнения.

В §8 рассматривается проблема коэффициентов диффузии в области очень редких столкновений. Ставилась задача проверки - методом численного эксперимента - аналитических формул, полученных ранее.

На основании сравнения результатов расчетов с аналитическими формулами был сделан вывод о том, что в области очень редких соударений главный вклад в коэффициент диффузии дают частицы, превращающиеся из локально-запертых в пролетные и обратно бесстолкновительным способом. Отмечено, что аналитические формулы дают не только качественное, но и количественное совпадение с результатами расчетов.

Рассмотрено влияние рассеяния по энергии на величину коэффициента диффузии локально-запертых частиц. Установлено, что включение потерь энергии для тепловых частиц качественно картину поведения коэффициента не меняет, однако, влияние этого эффекта на величину коэффициента диффузии растет с увеличением частоты столкновений и может иметь существенное значение в 1/»-режиме.

В §9 представлены результаты численного моделирования коэффициентов переноса в строящемся в ХФТИ торсатроне

"Ураган-2М". Особенность магнитной конфигурации установки "Ураган-2М" в том, что действуют два противоположно направленных фактора. Уменьшение гофров винтового магнитного поля сопровождается дополнительной модуляцией поля вдоль силовой линии.

Задача оптимизации потерь частиц и энергии в этой установке требует расчета коэффициентов диффузии в реальном поле. В расчетах использовалось вакуумное магнитное поле установки С с учетом реальной геометрии проводников). Расчеты показывают, что как ионы так и электроны при заданных параметрах плазмы находятся в 1/»-режиме. В отсутствие электрического поля коэффициент диффузии ионов существенно превыиает величину "ионного неоклассического плато" й = 0.64р^Ут/*1?0А . Наличие сильного радиального электрического поля приводит к уменьшению коэффициента диффузии ионов на порядок.

В заключении кратко сформулированы основные результаты, впервые полученные в данной работе и вьносимые на защиту.

е

ОСНОВНЬЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

1. Предложен метод стохастических дифференциальных уравнений, лежащий в основе алгоритма вычисления коэффициентов неоклассической диффузии методом Монте-Карло. Задача вычисления макроскопических параметров среды сводится к прослеживание траекторий достаточно большого числа частиц и последующему усреднению параметров отдельных частиц. Свойства алгоритма исследованы в рамках точно решаемой модели максвелловского газа.

2.Создан код, который позволяет вычислять коэффициенты диффузии локально-запертых частиц в стеллараторе. С его помощью получены зависимости коэффициентов диффузии от частоты столкновений. Подтверждено существование режимов 1/и, vi/г, V, предсказанных теорией. Границы режимов, несмотря на то, что они получены при ряде достаточно сильных ограничений, являются правильными. Дополнительно проверено существование режима Галеева-Сагдеева путем проверки зависимости 0 * в соответствующем диапазоне частот. Продемонстрирована положительная роль радиального электрического поля в удержании плазмы.

3. Проведена серия численных экспериментов для изучения неоклассической диффузии частиц в стеллараторе в режиме очень редких соударений. Исследовано влияние винтовой модуляции магнитного поля на перенос в »-режиме, а именно, подтверждена зависимость 0 « е*72 .

4. Рассчитаны коэффициенты диффузии ионов и электронов в вакуумном магнитном поле торсатрона "Ураган-2М". Результаты расчетов показывают, что коэффициенты диффузии ионов испытывают слабый \л> подъем и в области редких столкновений сильно зависят от величины радиального электрического поля. Коэффициенты диффузии электронов имеют профиль, типичный для 1/р-режима. и слабо зависят от электрического поля. Эффект дополнительной модуляции поля

вдоль силовой линии приводит к увеличению коэффициентов диффузии частиц.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях.

1. Volkov Yu.A., Kovrizhnykh L.M., Shasharina S.G. Monte-Carlo neoclassical transport simulation in stellarator // Proceed, of 12 International Conference on Plasma Phys. and Nucl. Fusion Research.-IAEA-CN-50/C-V-5-2. - Nice. - 1988. p. 623

2. Volkov Yu.A.. Kovrizhnykh L.M., Shasharina S.G. Monte-Carlo simulation of ripple transport in stellarator.// Proceed, of Joint Varenna-Lausanne International Workshop "Theory of Fusion Plasmas". -Chexbres.- 1988. c. 401-408.

3. Буланов С. В., Волков Ю. А.. Коврижньи JI. М., Шашарина С. Г. Моделирование процессов неоклассического переноса в стеллараторе методом Монте-Карло. - М.. 1988. - 20 с. (Препринт/ ИОФАН. 58).

4. Волков Ю. А.. Полюдов А. Н. Численное решение уравнения типа Ландау для максвелловского газа. - М., 1984. - 28с. (Препринт/ ИПМ им. М. В. Келдьша : №l2).

5. Волков Ю. А., Полслов А. Н. Дискретная модель уравнения Фоккера-Планка. - IBM и МФ. 1987. т. 27. ^3. с. 428-440.

6. Волков Ю. А. Метод Монте-Карло для уравнения Ландау. -ДАН СССР, 1987. т.296, ^2, с.323-326.

7. Kovrizhnykh L.M.. Shasharina S.G., Volkov Y.A. Monte-Carlo simulation of transport associated with transition particles in stellarators - Nucl. Fusion. 1990, v. 30, №l0. p. 2162-2165.

8. Беседин H. Т., Волков Ю. A., Панкратов И. M., Шашарина С.Г., Шишкин А. А. Численное исследование коэффициентов диффузии в торсатроне Ураган-2М методом Монте-Карло.-М., 1992. - 27с. (Препринт/И11М

им. М. В. Келдьша : ff2).

g. Voikov Yu. A., Shasharina S.Q. , Besedin N.T.,

Pankratov I.M., Shishkin A.A. Monte Carlo studies of transport coefficients for Uragan-2M device // Proceed, of VIII Stei larator Workshop. - Kharkov. - 1991. p. 57-61.

Волков Юрий Александрович * Вычисление коэффициентов диффу — эии локально— запертых частиц в стеллаторе методом Монте -— Карло г.

Специальность 05.13,18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ.

Подписано в печать 22.Об.93г. Заказ К- 125. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ротапринтах в Институте прикладной математики АН