автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование кинетических процессов с кулоновским взаимодействием в тороидальной плазме

РГ6 ОА

ЕОСК(9ё№Й®^ГОСУДАРСТВЕННЫЙ университет

Факультет вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 621.039.61

ЗАЙЦЕВ Федор Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КИНЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С КУЛОНОВСКИМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ В ТОРОИДАЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г

МОСКВА 1996

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор A.A. Арсеньев доктор физико-математических наук профессор C.B. Буланов доктор физико-математических наук профессор Ю.Н. Днестровский

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва

Защита состоится " Q " ¿Пс5"лг)|>.]? ч . в /\Q

на заседании диссертационного совета Д.053.05.37 при факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, 2 учебный корпус факультет ВМК МГУ, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат разослан г ■

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

c&t^

Е.И. Моисеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из перспективных способов генерации электроэнергии является создание электростанций на основе управляемого термоядерного синтеза. В настоящее время наибольшие успехи достигнуты на установках с удержанием плазмы магнитным полем тороидальной конфигурации. Так на установках токамак экспериментально получена термоядерная плазма со значительным количеством реакций синтеза. Ведутся работы по проектированию международного реактора-токамака ITER, который должен продемонстрировать экономическую целесообразность термоядерных электростанций с магнитным удержанием плазмы. Некоторый разрыв между теоретическими предсказаниями и результатами эксперимента потребовал новых подходов к изучению физических процессов в токамаках. Диссертация посвящена развитию методов математического моделирования процессов в тороидальной плазме. Рассматриваемые задачи являются математическими моделями экспериментов по удержанию высокотемпературной плазмы в торе, их решение основано на применении аналитических и численных методов.

Тороидальная плазма представляет собой ансамбль заряженных частиц, находящихся в электромагнитном поле сложной геометрии и взаимодействующих по закону Кулона. Одной из основных математических моделей тороидальной плазмы является кинетическое уравнение с оператором кулоновских столкновений для функции распределения частиц, зависящей от шести фазовых переменных и времени. Существенной особенностью моделей, помимо многомерности функции распределения, является наличие эффектов с сильно различающимися характерными параметрами. Во многих теоретических и чи-

сленных исследованиях рассматриваются одномерные и двумерные модели, делаются другие приближения, значительно сужающие область применимости полученных результатов и дающие лишь качественную оценку эффектов.

Переход к изучению плазмы с термоядерными параметрами требует отказа от многих упрощающих предположений, разработки трехмерных моделей с более детальным описанием различных процессов. В термоядерной плазме возникает и ряд качественно новых эффектов, которые могут существенно изменить характеристики плазмы, повлиять на энергобаланс, мощность термоядерного энерговыделения, привести к неэффективному использованию или разрушению дорогостоящего оборудования. Поэтому при планировании и оптимизации термоядерных экспериментов, интерпретации результатов наблюдений, разработке проектов реакторов необходимо иметь обоснованные количественные расчеты поведения плазмы на основе последовательных математических моделей.

Цель работы. Построение новых трехмерных математических моделей кинетических процессов с кулоновским взаимодействием в тороидальной плазме. Разработка и обоснование эффективных алгоритмов численного решения многомерных кинетических задач. Создание комплекса программ для проведения численных исследований. Решение с помощью разработанного подхода ряда важных теоретических и практических задач о поведении термоядерной плазмы.

Научная новизна. В диссертации изложены основные резуль-~ таты работ автора, в которых:

1. Построена трехмерная математическая модель для описания кинетических процессов с кулоновским взаимодей-

ствнем в тороидальной плазме, последовательно учитывающая отклонение дрейфовых траекторий заряженных частиц от магнитных поверхностей. Рассмотрены случаи отсутствия и наличия резонапсов. Предложенный подход существенно отличается от стандартных подходов, приня- _ тых в неоклассической теории для описания режима редких столкновений и позволяет исследовать количественно многие процессы, протекающие в реальном эксперименте, спрогнозировать поведение плазмы в реакторных и экстремальных условиях.

2. Разработаны и исследованы эффективные численные методы решения задач для многомерных нелинейных интегро-дифференциальных кинетических уравнений с оператором кулоновских столкновений. Для определенного класса коэффициентов уравнения получены теоремы существования и единственности решения дискретной задачи, теоремы об абсолютной устойчивости и сходимости в банаховом пространстве £1,/,, о неотрицательности численного решения. При некотором ослаблении требований на коэффициенты, теоремы доказаны при ограничении на шаг по времени.

3. Создан комплекс программ, позволяющий эффективно моделировать физические процессы.

4. С помощью разработанной теории и программного обеспечения рассчитаны неоклассические эффекты в плазме токамака: в существенно более общей постановке решены задачи о вычислении радиальных потоков ионов, проводимости плазмы и об определении бутстреп-тока. Проведено сравнение с результатами, основанными на применении приближенных аналитических подходов неоклассической

теории, найдена количественная оценка условий их применимости.

5. Проведено моделирование кинетики альфа-частиц и ионно-циклотронного нагрева плазмы с учетом больших отклонений дрейфовых траекторий частиц от магнитных поверхностей как в ныне действующих токамаках, так и в проектируемых реакторах. Найдено теоретическое объяснение некоторым наблюдаемым экспериментально явлениям. Рассчитаны радиальные потоки частиц и энергии, баланс энергии и профили вклада энергии в плазму. Показано, что эффект больших отклонений дрейфовых траекторий частиц оказывает существенное влияние на энергетические параметры установок. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными и данными, полученными на основе упрощенных моделей.

Научная и практическая ценность работы. Работа имеет теоретический и прикладной характер. Модели и методы, развитые в диссертации, применялись для расчета характеристик плазмы в термоядерных экспериментах на токамаках JET и TFTR, для проработки концепций реакторов-токамаков ITER, SSTR и STR. Полученные в диссертации результаты существенно дополняют и расширяют представление о механизме радиального транспорта заряженных частиц в тороидальной плазме. Численные методы и их программная реализация могут применяться для решения определенного класса смешанных задач для многомерных нелинейных интегро-дифференциальных уравнений параболического типа со смешанными производными и сепаратрисами внутри области.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XVII, XVIII, XIX, XXI, XXII Евро-

пейских конференциях по управляемому термоядерному синтезу (Амстердам, 1990; Берлин, 1991; Инсбрук, 1992; Лиссабон, 1994; Bournemouth, 1995). На V и VI Европейских конференциях по теории синтеза (Мадрид, 1993; Utrecht, 1995), на конференциях по физике плазмы в Звенигороде и Институте атомной энергии, па совещании технического комитета IAEA по современным методам моделирования термоядерной плазмы (Монреаль, 1992), на совещаниях по моделированию альфа-частиц (Прин-стоп, 1994, 1995), па Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва, 199G), на семинарах кафедры автоматизации научных исследований факультета ВМиК МГУ, на семинарах в Culham Laboratory ведомства по атомной энергии Великобритании.

Публикации. Теме диссертации посвящено 27 публикаций [127]. Ее содержание изложено в работах, приведенных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 147 наименований. Общий объем составляет 230 страниц, включая 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются основные задачи, цель работы, научная новизна, определяется ее научная и практическая ценность, приводится структура диссертации.

В первой главе проводится усреднение кинетического уравнения с оператором кулоновских столкновений по траекториям быстрых частиц при отсутствии резонансов, формулируются математические задачи, описывающие кинетику тороидальной

плазмы. Принципиально новыми, по сравнению со стандартными подходами неоклассической теории, при выводе уравнения являются: отказ от упрощающих предположений о малости отклонений траекторий частиц от магнитных поверхностей, о малости обратного аспектного отношения и о близости функции распределения к максвелловской; рассмотрение общего случая неканонических переменных, учет нелинейных эффектов, некруглости геометрии вертикального сечения магнитных поверхностей.

В первом параграфе вводятся две системы координат в шестимерном фазовом пространстве. Одна система, называемая в дальнейшем системой локальных координат, содержит тороидальные координаты (7, £, т)) в геометрическом пространстве, где 7 - метка магнитной поверхности, например, половина ее ширины в экваториальной плоскости, £ и г] - полоидальный и тороидальный углы, и сферические координаты (ь,в,1р) в пространстве скоростей, где V - модуль скорости, 9 - угол между вектором скорости и вектором магнитного поля (питч-угол), кр - гиро-угол. Система локальных координат (7, 77, г>, 0, у?) обозначается через х = (.г1, ж2, ж3, ж4, ж5, ж6). Вторая система координат, называемая в дальнейшем системой с константами движения, содержит константы движения частицы (70, г>0, Оо) и "быстрые" угловые переменные (£, г), <р). В качестве (70, «о, 0о) могут быть выбраны любые три независимые константы движения. При рассмотрении движения частиц в дрейфовом приближении удобный выбор для (70,^0,^0) - соответственно метка магнитной поверхности на внутренней стороне траектории или в точке отражения для запертых частиц, обобщенная скорость, соответствующая сумме кинетической и потенциальной энергии, и питч-угол на внешней стороне траектории. Система координат (70, 1], г)0, во, содержащая константы движения,

обозначается как х = (ж1, .г-2, х3, х'!, а;5, ;Г:°).

В исходном наиболее общем кинетическом уравнении с оператором кулоновских столкновений Л.Д. Ландау функция распределения зависит от шести фазовых переменны и времени, что делает уравнение недоступным для решения на современных ЭВМ. Однако, при наличии быстро оецшшрующих переменных размерность фазового пространства может быть понижена с помощью метода усреднения кинетических уравнений, развитохчэ в работах H.II. Боголюбова, С.Т. Беляева. Во втором параграфе, в предположении, что характерное время движения по "быстрым" переменным ж2, х3 и хб много меньше времени кулоповской релаксации тс = (Aixchm2avl)l(ncZlelh\k) (пс, vc и 1пА - характерная плотность, скорость и кулоновский логарифм, та и Za - масса и относительный заряд), из шестимерного кинетического уравнения усреднением по трем угловым переменным получено трехмерное уравнение для функции распределения fa(t,-jo,vo,0o) частиц сорта а

on dt

£

Vi,5 дх'

' J2 ! лпт

т = 1 ,'1,5

0J1

дхт

+ BJ

гО

(1)

Это уравнение описывает эволюцию дрейфовых траекторий как единого целого из-за изменения констант движения в результате кулоновских столкновений. Причем столкновения, которые в локальной системе меняли лишь координаты в пространстве скоростей, теперь меняют все три константы движения, в том числе н радиальное положение частицы.

В третьем параграфе рассмотрены математический свойства усредненного оператора кулоновских столкновений. Доказано, что усредненный оператор сохраняет в некотором моди-

фицированном виде или непосредственно основные свойства пе-усредненного опреатора: обращается в ноль для максвелловских распределений частиц а и ¡3 с равномерными плотностями и одинаковой равномерной температурой; не изменяет числа ча-' стиц в системе; не изменяет суммарный обобщенный тороидальный момент частиц сортов а и /3; не изменяет суммарную энергию частиц сортов а и /?; не увеличивает //-функцию (аналог //-теоремы Больцмана); при > 0 является эллиптическим.

В четвертом параграфе вычислены коэффициенты уравнения (1) в предположении аксиальной симметрии плазмы и справедливости дрейфового приближения для движения частицы

г$\пАа01дхп дхт Г* - 0 ^ /2 .

аРта/дхп го° Г Гт1д/°р(^Х') /2 .

Вп — — > ,-;--(-Г—г / / и,---:-V эт « (Ь ( я

у 2пс1пА трдхЧо Уо ь дх*

где X' =(7о(70оЫ,Ъ<0>)) и п,т = 1,4,5. Сумма по 0 включает все сорта заряженных частиц, присутствующие в плазме. Предполагается суммирование по /, 1 = 4, 5. Здесь

,2» г2«дх1дхЭ г2ж г2,дх1дхЧ

^ = к к > и» = к к '

и ¡и - тензор Ландау, = 1,2,3, (г>1, г>2,Уз) - декартовы координаты в пространстве скоростей. После громоздких алгебраических преобразований можно показать, что Оц и U¡j выражаются через полные эллиптические интегралы. Усредненные величины для пролетных и запертых частиц вычисляются по-разному

/Т _ r£max{X)

'7Г <Г = -1,1 -/im,n(A)

где er = cos ö0/i cos 0o|) " якобиан преобразования от декартовых координат к координатам х, ^тгп и £тах - полоидальные углы в точках отражения. В случае симметрии относительно экваториальной плоскости £m!?l = —£тах-

В пятом параграфе рассматриваются дополнительные условия па внутренних и внешних границах, начальные условия.

Метод усреднения становится неприменимым около границы перехода, между пролетными и запертыми частицами (ТРВ), где характерное время движения по "быстрым" переменным сравнивается с характерным временем кулоновской релаксации т ~ тс. Фазовое пространство оказывается разрезанным узким переходным слоем около ТРВ, на границах которого необходимы дополнительные условия. Вывод дополнительных условий основан на априорных предположениях о свойствах решения не-усредненного кинетического уравнения и физических представлениях о неведении частиц вблизи переходного слоя. Получены условия на функцию распределения и на нормальный к ТРВ усредненный поток частиц.

Далее обсуждаются условия на внешних границах фазового пространства. Коэффициенты Апт и Вп в (1) вырождаются на следующих границах: 70 = 70,min, v0 = v0imin, 0о — 0 и 7Г. В такой ситуации, по крайней мере для численного решения, достаточно требовать лишь ограниченность При v0 —► 00 ставится условие вырождения компоненты потока в направлении Vtj или нулевой функции распределения. При 70 = 70,max используются либо нулевое, либо максвелловское распределение. В качестве начального условия, в зависимости от исследуемого

явления, как правило, выбирается максвелловское или нулевое распределение частиц. Решение системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений вида (1) с указанными дополнительными условиями даст функции распределения заряженных частиц в плазме Однако во многих случаях оказывается возможным решать уравнение (1) лишь для одного сорта частиц, считая распределения частиц остальных сортов заданными.

В шестом параграфе приведены формулы для вычисления тороидальных токов, радиальных потоков частиц и энергии, баланса энергии в плазме по функции распределения Для удобства использования и интерпретации указанные величины требуется рассчитывать как функции локальных координат. Поэтому в функции 7о, vo, &о) необходимо предварительно перейти к локальным координатам, в которых она становится четырехмерной /°(i,7o(7> ^ W7> ¿0Л(7> Z,vt0)).

В седьмом параграфе проводится аналитический расчет потоков частиц и энергии на основе задачи для уравнения (1) в рамках упрощающих предположений неоклассической теории. Результаты оказываются идентичными известным результатам, полученным другим способом.

Во второй главе подход, разработанный в главе 1, обобщается на случай присутствия резонансов. Проводится усреднение кинетического уравнения с оператором кулоновских столкновений по траекториям быстрых частиц при наличии резонансов с внешним электромагнитным полем, формулируются математические задачи, описывающие кинетику тороидальной плазмы с учетом высокочастотного нагрева. Так же как и в первой главе принципиально новым при выводе уравнения является отказ от многих упрощающих предположений.

В первом параграфе, в предположении, что имеет место ре-юнанс на частоте порядка частоты ларморовского вращения,

что частица совершает много ларморовских вращении при прохождении резонансной области и, что характерное время движения по "быстрым" переменным х2, х3 и х6 много меньше времени кулоновской релаксации тс, из шестимерного кинетического уравнения усреднением по значению фазы (р в центре резонансной области и по трем угловым переменным получено трехмерное уравнение для функции распределения 70,1>о, ^о) частиц сорта а

dfl ^ 1 <9

dt п=Г4,5(1)^

+ А,

1 dfn П = ±.(xmZZJ!L) е

1Jnm 2/Т dt

(2)

Здесь ж™ - координата траектории частицы во внешенм электромагнитном поле, (¿>о - значение переменной <~р в центре резонансной области. Коэффициенты Лпт и Вп такие же как в (1). Уравнение (2) описывает эволюцию дрейфовых траекторий как единого целого из-за изменения констант движения в результате кулоновских столкновений и действия резонансного поля. Причем как столкновения, так и резонансное поле могут менять все три константы движения в том числе и радиальное положение частицы.

Во втором параграфе коэффициенты Dnm рассчитаны для случая электронно- и ионно-циклотронного резонансов. Выражения упрощаются ввиду того, что при циклотронном резонансе приращение получает в основном поперечная по отношению к магнитному полю компонента скорости v±

Dum 1. ,дхп дхт ((А^)2)

(1) 2ir{l)^{dvxdvx 2 тк k'v'

тд - время между двумя последовательными резонансами, Аг»х - приращение за один проход резонанса.

В третьем параграфе приведены формулировки математических задач для уравнения (2). В четвертом параграфе даны формулы для вычисления энергии вложенной внешним резонансным полем в плазму.

Вычисление коэффициентов ¿)пт является отдельной достаточно сложной задачей. В общем случае необходимо рассчитывать распространение высокочастотных волн в плазменной среде. Однако на практике во многих случаях приемлемая точность может быть достигнута с использованием модельных коэффициентов диффузии. В пятом параграфе описан модельный коэффициент диффузии для циклотронного нагрева.

Третья глава посвящена численным методам решения задач для трехмерных кинетических уравнений с оператором кулонов-ских столкновений.

В первом параграфе обсуждаются особенности дифференциальных задач для кинетических уравнений с оператором ку-лоновских столкновений, которые необходимо учитывать при разработке и применении численных методов. Задачи формулируются в неограниченной области в пространстве скоростей; коэффициенты оператора кулоновский столкновений ведут себя существенно по-разному в различных точках фазового пространства и стремятся к нулю при у0 ► оо, причем с разной скоростью; использование криволинейной системы координат приводит к появлению особых точек, в которых дифференциальные операторы вырождаются; вследствие применения метода усреднения, внутри области имеются сепаратрисные слои на которых ставятся дополнительные условия; в ряде постановок задача является нелинейной интегро-дифференциальной, коэффициенты Апт и Вп интегральным образом зависят от решения;

некоторые операторы в уравнении не являются знакоопределен-ными и не удовлетворяют принципу максимума; коэффициенты Опт при смешанных производных могут быть относительно большими; зависимость искомой функции распределения от скорости носит экспоненциальный характер и может меняется на несколько порядков. Перечисленные особенности были учтены при переходе к дискретной задаче и в численных методах ее решения. Подробности изложены в последующих параграфах второй главы.

Во втором параграфе вводятся сетки в системах локальных координат и констант движения. В третьем параграфе приводится алгоритм расчета дрейфовых траекторий частиц. В четвертом - дискретные формулы для вычисления коэффициентов кинетического уравнения. В пятом параграфе строятся разностные аппроксимации дифференциальных операторов с учетом граничных условий и условий сопряжения.

В шестом параграфе приводятся консервативные разностные схемы для решения трехмерных кинетических задач. В седьмом - девятом параграфах с помощью некоторой модификации известных методов для определенного класса задач доказаны теоремы о существовании и единственности решения разностной задачи, об устойчивости и сходимости разностной схемы, о сохранении знака решения разностной задачи.

В десятом параграфе описаны дискретные формулы для расчета интегральных характеристик плазмы. Сложность вычисления интегральных характеристик состоит в том, что интегралы являются, как правило, четырехкратными; подынтегральные функции экспоненциально зависят от фазовых переменных и могут иметь резкий максимум.

В одиннадцатом и двенадцатом параграфах обсуждается применение современных методов технологии программирова-

ния. Рассматривается использование объектного подхода для программной реализации разностных схем и пакетной технологии для создания кинетических кодов. Применение объектного подхода позволило создать гибкий и удобный интерфейс для описания базовых понятий разностных схем, таких как: сетка, шаблон, оператор, и средств для их использования в программе; сделать работу с математическими объектами в программе похожей на принятую в теоретических рассуждениях; локализовать описание различных объектов задачи и получить возможность изменять отдельные ее составляющие без пересмотра всего текста программы; максимально сократить количество вспомогательных вычислений, программируемых пользователем, и сделать эти вычисления автоматическими. При реализации комплекса программ использованы методы пакетной технологии. В частности, разработан и реализован генератор программ, позволяющий собирать конкретную программу из набора модулей. Это дало возможность создать удобную среду для подготовки расчетных программ, поддержки многомодель-ности и многовариантности программного комплекса, повысить эффективность вычислительного эксперимента.

Разработанные численные алгоритмы и созданный на их основе комплекс программ позволяют успешно решать различные задачи для многомерных кинетических уравнений (1) и (2), эффективно проводить моделирование поведения плазмы в ситуациях, близких к экспериментальным.

В четвертой главе с помощью разработанной теории и программного обеспечения рассчитаны неоклассические эффекты в плазме токамака. Проведено сравнение с результатами, основанными на применении аналитических подходов, найдена количественная оценка условий их применимости. Задачи сформулированы и решены в существенно более общей постановке,

чем раньше. Рассмотрены случаи произвольного аспектного отношения и некруглого вертикального сечения тора, сильно не-, максвелловских распределений, больших отклонений траекторий частиц от магнитных поверхностей.

Одной из важных задач в проблеме создания электростанций на базе токамака является задача о вычислении радиальных потерь энергии из плазмы. Существуют различные механизмы энергетических потерь. Один из них, называемый неоклассическим, связан с тороидальностыо конфигурации магнитного поля. В первом, втором и третьем параграфах сформулирована и решена задача о вычисление неоклассических радиальных потоков ионов в плазме токамака в случае малых частот столкновений. Полученные аналитические и численные результаты сопоставлены с результатами расчета по известным формулам неоклассической теории для широкого диапазона значений аспектного отношения тора. Показано, что радиальные потоки энергии ионов могут значительно отличаться от потоков, предсказанных по упрощенным моделям. Продемонстрирована принципиальность использования моделей с усреднением кинетического уравнения по дрейфовым траекториям, а не по магнитным поверхностям.

В параграфах с четвертого по седьмой рассмотрены задачи о кинетике электронов в тороидальной плазме, рассчитана неоклассическая проводимость плазмы и так называемый бутстреп-ток, который возникает в торе из-за наличия запертых частиц и градиентов плотности и температуры. Точное вычисление указанных величин особенно важно для проработки концепций и определения стоимости проектов промышленных реакторов-токамаков с малым аспектным отношением, таких, как Tight Aspect Ratio Tokamak и Advanced Tokamak. Вычисление проводимости и бутстреп-тока осложняется тем, что

соответствующие задачи являются принципиально нелинейны ми - коэффициенты в кинетическом уравнении зависят от ис комой функции. Проведенные расчеты сопоставлены с данными, полученными по известными асимптотическим выражениям. Разработанная модель позволяет исследовать ироводимост! и бутстреп-ток в крутом торе, для которого асимптотически« выражения неприменимы.

Пятая глава посвящена моделированию кинетики альфа-частиц - продукта термоядерного синтеза в установках тока-мак. Изучение поведения альфа-частиц имеет особое значение в связи с переходом к экспериментам с термоядерными параметрами и использованием дейтериево-тритиевого топлива для реакции синтеза. В частности, если перенос альфа-частиц слишком мал, то накапливается гелиевая зола, которая может погасить реакцию синтеза; если перенос слишком велик, то нагрев плазмы альфа-частицами может оказаться недостаточным для поддержания горения. Модели, методы и программное обеспечение, разработанные в диссертации, позволяют дать достаточно точное количественное описание кинетики альфа-частиц в реакторе.

В первом параграфе сформулирована задача для функции распределения альфа-частиц. Кинетическое уравнения для функции распределения получено методом, изложенном в первой главе, и имеет аналогичный уравнению (1) вид. Однако в нем появляются новые члены

тс (1)

т=1,4,5

дхТ

го

■/ а

+ 5. (3)

Здесь предпоследний член соответствует стоку альфа-частиц,

последний член - усредненному по "быстрым" переменным источнику

с _ ifhil

где s = s(t,-f(-yo^,T],Vo,eo),Lv,v(/yo^Lv,vo,0o),0('yo^,ri,vo,0o)) - локальный в шестимерном фазовом пространстве неусреднен-ный источник. С помощью коэффициентов Апт и Вп в общем случае помимо неоклассического транспорта можно учесть и другие виды транспорта. Уравнение (3) последовательно и согласованно учитывает наиболее существенные для реакторных параметров эффекты: источник и сток альфа-частиц, кулонов-ские столкновения, радиальный транспорт, большие отклонения дрейфовых траекторий альфа-частиц от магнитных поверхностей.

Далее в первом параграфе рассмотрены различные варианты дополнительных условий для уравнения (3), характерные для задач об альфа-частицах. В частности, сформулировано условие отсутствия столкновительного потока из области тер-мализовавшихся альфа-частиц. В конце параграфа даны формулы для вычисления наиболее важных интегральных характеристик плазмы.

Во втором параграфе сформулирована разностная задача с учетом специфики дифференциальных задач об альфа-частицах, рассмотрены ее свойства. В конце параграфа даны квадратурные формулы для вычисления источника и других величин, обсуждены особенности численного моделирования альфа-частиц.

В третьем параграфе приведены результаты моделирования неоклассических потерь альфа-частиц в токамаках JET, TFTR, [TER, SSTR, STR. Целью данных расчетов было не столько

точное описание деталей оперирования с дейтериево-тритиевой смесью, сколько исследование величины неоклассических эффектов при переходе от одной установки к другой. Важность исследования неоклассических эффектов состоит в том, что они устанавливают непреодолимые минимальные значения для тер-мализации и транспорта альфа-частиц. Неклассические процессы, вызванные, например, неоднородностью тороидального магнитного поля или развитием неустойчивостей, приводят, лишь к увеличению энергетических потерь и радиального транспорта. Кроме того, серии экспериментов на различных установках указывают на то, что остывание и транспорт быстрых ионов согласуется с неоклассической теорией.

Более детально в третьем параграфе изложены результаты, полученные для установки JET - токамака на котором в конце 1991 года впервые осуществлена 1),Г-реакция управляемого термоядерного синтеза с достаточно большим выходом альфа-частиц. Рассматривалась дейтериево-тритиево-электронная плазма в реальной D-образной геометрии магнитного поля. Источник альфа-частиц определялся по максвеллов-ским распределениям дейтерия и трития. Расчеты проводились для различных значений полного тока плазмы, чтобы варьировать и величину отклонений дрейфовых траекторий от магнитных поверхностей, и величину неоклассического радиального транспорта. Для выделения эффекта отклонений траекторий при каждом фиксированном значении полного тока рассчитывалось два варианта: один с уравнением, усредненным по траекториям частиц, другой с уравнением, усредненным по магнитным поверхностям. Определялись функция распределения альфа-частиц как функция четырех фазовых переменных и времени, радиальные профили источника альфа-частиц, их плотности, потоков частиц и энергии, энергопередачи каждому сорту

фоновых частиц, а также интегралы от этих величин.

Определено, что в рассмотренной модели функция распределения альфа-частиц выходит на стационар. Ее зависимость от фазовых переменных имеет сложный вид. В частности, наблюдается сильная анизотропия по питч-углу, которая указывает на то, что использование аналитического выражения для функции распределения альфа-частиц вида /а ~ + не-

приемлемо для сравнения с детальными экспериментальными измерениями.

Показано, что плотность альфа-частиц растет, а нх температура падает с увеличением полного тока. Различие вариантов с усреднением по траекториям и магнитным поверхностям наибо-тее заметно в расчетах с малым током. Во всех случаях альфа-частицы успевают термализоваться за время их столкновитель-гого выхода через границу плазмы и практически вся энергия реакции синтеза передается плазме. Радиальный профиль энер-ювклада приближается к профилю источника альфа-частиц с увеличением полного тока. Наблюдаемые эффекты имеют яс-1ую физическую интерпретацию, которая изложена в третьем [араграфе.

В целом результаты расчетов показали, что учет отклоне-:ий траекторий альфа-частиц от магнитных поверхностей мо-сет привести к значительному расширению профиля вклада нергии реакции в плазму, особенно в случае малого полного ока. Такое расширение необходимо принимать во внимание в ранспортных моделях. Учет отклонений дает меньшее количе-гво альфа-частиц в плазме из-за уменьшения времени их удер-:ания. Этот эффект в основном обусловлен запертыми альфа-астицами, особенно родившимися в центральной области то-шака, где величина полоидального поля мала.

Расчеты, проведенные для ТРТЯ, который имеет меньшие

чем JET размеры и меньший ток, показали большую знач мость неоклассических эффектов. Также для TFTR важн роль принадлежит прямым потерям альфа-частиц, когда тр ектория выходит на стенку камеры. В отличие от JET, прям! потери в TFTR могут влиять на функцию распределения альф частиц на значительном расстоянии от границы плазмы.

Расчеты поведения альфа-частиц в ITER и SSTR показа.) меньшую значимость неоклассических эффектов, чем в JET. этих установках предполагается больший ток и большее аспск ное отношение. Однако расчеты для STR, который имеет eu больший ток, показали заметное влияние неоклассических Э( фектов из-за наличия большой популяции запертых частиц, об, словленной малым аспектным отношением.

В четвертом параграфе изложены результаты моделир« вания поведения альфа-частиц в супер-разрядах на установ! TFTR, проведено сравнение с измерениями в реальном экспер! менте.

Дейтериево-тритиевые эксперименты на TFTR в 1994-95 п дах впервые дали возможность экспериментально нсследоват поведение плазмы в токамаке со значительным количеством гс рячих альфа-частиц. В реакторных условиях процессы, свлзаг ные с альфа-частицами, такие как, например, нагрев плазм] и накапливание гелиевой золы, должны играть существенну] роль. Поэтому важной задачей является моделирование поведс ния альфа-частиц и сравнение результатов реального и вычи слительного эксперимента. Это позволит проверить правильн ли описывает теория процесс термализации альфа-частиц, и: перенос внутри плазмы и потери из нее, повысит надежност предсказаний поведения альфа-частиц в установках следующе го поколения. Такие исследования выполнены в диссертации.

В начале четвертого параграфа описана конкретная модел]

глазмы, используемая в расчетах, которая отражает специфику упер-разряда в TFTR, приведены экспериментальные параме-■ры.

Модель основана па уравнении (3). Ее отличительные черты остоят в том, что в плазму осуществляется инжекция частиц что процесс не является стационарным; многие параметры лазмы, такие как, например, плотность и температура различ-ых сортов частиц, существенно меняются во времени. Кроме ого, вклад в источник альфа-частиц дают реакции синтеза ча-гиц с двумя типами распределений: термическим, т.е. макс-2ЛЛОВСКИМ в термической части, и пучка, которое образуется в эзультате ионизации инжектируемых нейтралов. Поэтому не-5ходимо учитывать четыре типа D-T реакции, различающими по распределениям участвующих частиц. Источник альфа-гстиц предполагался моиоэиергетическим, равномерно разрешенным по питч- и полоидальиому углам в локальной систе-з координат. Радиальный профиль источника рассчитывал: непосредственно по распределениям дейтерия и трития или :ался из эксперимента. Потери альфа-частиц из плазмы могли юисходить по трем каналам: прямые потери, когда траекто-(я частицы выходит за малый радиус плазмы, через столкно-тельный поток частиц на границе плазмы и условие отсут-вия столкповительного потока из области термализовавших-альфа-частиц, соответствующее переходу в гелиевую золу, эдель и программное обеспечение позволяет учесть эффекты элкповения альфа-частиц с инжектированными ионами и пе-пейный эффект столкновений друг с другом, однако для рас-атриваемых параметров эти эффекты оказываются малыми догут быть отброшены.

Вычислительный эксперимент, проведенный на супер-ЭВМ LAY-YMP и рабочих станциях серии IBM RISK 6000, по-

зволил определить профили плотности альфа-частиц, передач! энергии альфа-частицами другим компонентам плазмы и интегралы от этих величин. Расчеты показали, что эволюция числа альфа-частиц в системе, нагрев альфа-частицами плазмы и другие величины хорошо согласуется с экспериментом. Получена детальная информация о функции распределения альфа-частиц как функции четырех переменных (7, V, 0) в локальной системе координат и времени, найдена физическая интерпретация ее зависимости от фазовых переменных. Показана принципиальность учета эффекта отклонений траекторий частиц от магнитных поверхностей.

Помимо сравнения с реальным экспериментом, проведено сопоставление с расчетами по коду ТПА^Р, который использует принципиально другой подход для моделирования альфа-частиц, основанный на методе Монте-Карло. Результаты расчетов оказались очень близкими. Однако метод, разработанный в диссертации, имеет значительные преимущества. В подходе Монте-Карло всегда присутствует статистический шум, что требует в рассматриваемой задаче неприемлемо большого числа пробных частиц для получения гладких распределений. Подход, основанный на применении уравнения (3) и метода конечных разностей, позволяет получить гладкие распределения за приемлемое время расчета, которые в дальнейшем можно использовать не только для сравнения с измерениями, но и как входные данные для других кодов, например, при расчете маг-нитогидродинамической устойчивости. Кроме того, такой подход дает хорошую проверку точности вычисления глобальных характеристик альфа-частиц методом Монте-Карло с относительно небольшим числом пробных частиц, как в расчетах по коду ТПАИЭР.

В целом, сравнение расчетов с экспериментальными дан-

1ыми и с расчетами по TRANSP позволяет сделать вывод о гом, что поведение альфа-частиц в экспериментах на установке TFTR хорошо описывается в рамках обобщенния неоклассической теории, предложенного в диссертации.

В пятом параграфе описан алгоритм расчета потерь альфа-састиц на детекторы, которые используются для регистрации шьфа-частиц в экспериментах с термоядерной плазмой. Приветны результаты численного моделирования и сопоставления с жсперимеитальными данными.

Большое значение в исследованиях по управляемому термоядерному синтезу имеет разработка методов безындукцион-юго нагрева плазмы и генерации тока. Такие методы позво-[ят получить стационарный режим работы реактора-токамака, убавиться от циклических нагрузок, улучшить магнитоги-фодинамическую устойчивость плазмы, получить энергетиче-кий выигрыш. Шестая глава посвящена моделированию ионно-[иклотронного нагрева плазмы с учетом неоклассических эф-)ектов, в частности, больших отклонений траекторий частиц т магнитных поверхностей и радиального транспорта.

В первом параграфе сформулирована дифференциальная за-ача. Во втором рассмотрена разностная задача и ее свой-тва, обсуждены особенности расчета коэффициента ионно-иклотронной диффузии и решения разностной задачи. В тре-ьем параграфе проведен расчет нагрева ионов водорода высо-очастотным полем при малой плотности ионов и большой вло-сенной мощности. Результаты сопоставлены с аналитическими анными, полученными с использованием упрощенной модели.

В четвертом параграфе изложены результаты моделирова-ия ионно-циклотронного нагрева плазмы в установке JET. Рас-читаны стационарные функция распределения ионов, ионная емпература, плотность вкладываемой мощности и плотность

мощности столкновительного нагрева плазмы. Показана существенность эффекта отклонений траекторий частиц, который для больших мощностей вкладываемой энергии будет определять нагрев плазмы для "всех" значений полного тока. Найдена сложная зависимость функции распределения от полоидального угла, которую невозможно определить на основе упрощенных подходов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Zaitsev F.S., Smirnov А.P., Yushmanov P.N. Confinement and Thermalization of Alpha Particles. // USSR Contribution to 10th Session of Phase Two A Part 2 of the INTOR Workshop. VIENNA: IAEA, 1984. P. 103- 107.

2. Zajtsev F.S., Smirnov A.P., Yushmanov P.N. Integral Stochastic Alpha Particle Losses in a Tokamak Reactor. // Nucl. Fusion. 1986. V. 26. N. 10. P. 1311-1317.

3. Zaitsev F.S\, Smirnov A.P., Yushmanov P.N. Radial Diffusion Effect on Ion Distribution in the Magnetized Plasma. // ] 4th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Madrid, 1987. V. III. P. 1088.

4. Зайцев Ф.С., Смирнов А.П., Юшманов П.П. Стохастические потери энергии инжектируемого пучка быстрых частиц в плазме токамака. //. Физика плазмы. 1987. Т. 13. С. 1503-1507.

5. Зайцев Ф.С. Энерговклад термоядерной реакции в плазму токамака при наличии радиальной диффузии быстрых ионов. / Некоторые вопросы вычислительной математики, математической физики и программного обеспечения. М.: Изд-во МГУ, 1988. С. 17-18.

6. Зайцев Ф.С., Смирнов А.П. Трехмерное кинетическое уравнение для высокоэнергетических частиц в плазме токамака с некруглым сечением. / Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1988. С. 209-213.

7. Зайцев Ф.С., Смирнов А.П., Юшманов П.Н. Влияние радиальной диффузии на термоядерный выход в токамаке. // Физика плазмы. 1989. Т. 15. С. 3-11.

8. Zaitsev F.S., Smirnov A.P., Yushmanov P.N. Effect of Distortions in Reaction Component Distributions and Alpha Particle Losses on the Energy Characteristics of a Tokamak Reactor. // Nucl. Fusion. 1989. V. 29. P. 1863-1872.

9. Зайцев Ф.С. О разностной аппроксимации оператора куло-новских столкновений. / Актуальные вопросы прикладной математики. М.: Изд-во МГУ, 1989. С. 80-87.

10. Леонов В.М., Лысенко С.Е., Зайцев Ф.С., Смирнов А.П., Чернов А.А. Генерация тока ипжекцией нейтралов в тока-маке некруглого сечения. Препринт N 5028/7. - М.: ИАЭ, 1990. 20 с.

11. Kuznetsova L.K., Parail V.V., Shishkin A.G., Smirnov A.P., Zaitsev F.S. Electron Cyclotron Current Drive and Tearing Mode Stabilization in ITER. // 17th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Heating. Amsterdam, 1990. V. III. P. 1247-1250.

12. Zaitsev F.S., Smirnov A.P., O'Brien M.R., Cox M. 3D Modelling of Radial Diffusion of High Energy Ions in Tokamaks. // 18th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Berlin, 1991. V. IV. P. 145-148.

13. Зайцев Ф.С., Смирнов А.П. Трехмерный расчет неоклассической диффузии надтепловых ионов в установке токамак. // Физика плазмы. 1991. Т. 17. С. 793-798.

14. Зайцев Ф.С., Смирнов А.П. Разностные схемы для двумерного кинетического уравнения с оператором кулоновских столкновений. // Прямые и обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1991. С. 65-71.

15. Zaitsev F.S., O'Brien M.R., Сох М. 3D Non-linear Kinetic Equation for the Calculation of Neoclassical Effects in Tokamak Plasmas. // 19th European Conference on Controlled

Fusion and Plasma Physics. Innsbruck, 1992. Part II. P. 13411344.

6. O'Brien M.R., Cox M., Warrick C.D., Zaitsev F.S. 3D Fokker-Planck Calculations of Electron and Ion Distributions in Tokamak Plasmas. // IAEA Technical Committee Meeting on Advances in Simulation and Modelling Thermonuclear Plasmas. Montreal, 1992. P. 43.

7. O'Brien M.R., Cox M., Warrick C.D., Zaitsev F.S. 3D Fokker-Planck Calculations of Electron and Ion Distributions in Tokamak Plasmas. AEA FUS 183. Abingdon, 1992. 11 p.

8. Zaitsev F.S., O'Brien M.R., Cox M. Three Dimensional Neoclassical Non-linear Kinetic Equation for Low Collisionality Axisymmetric Tokamak Plasmas. AEA FUS 165. Abingdon,

1992. 28 p.

9. Zaitsev F.S., O'Brien M.R., Cox M. Three Dimensional Neoclassical Non-linear Kinetic Equation for Low Collisionality Axisymmetric Tokamak Plasmas. // Physics of Fluids B.

1993. V. 5, No. 2. P. 509-519.

0. Zaitsev F.S., O'Brien M.R., Cox M. 3D Kinetic Modelling of Neoclassical Ion Radial Fluxes in Tokamak Plasmas. // 5th European Fusion Theory Conference. San Lorenzo de El Escorial, Spain, 1993. P. C5.

1. O'Brien M.R. and Zaitsev F.S. Note on Inclusion of Cyclotron Heating in 3D Kietic Theory. // Culham Laboratory F/PL/ WPD3.3b, 1993. 5 p.

2. Cox M., O'Brien M.R. and Zaitsev F.S. Neoclassical Alpha-Particle Losses in Tokamaks Allowing for Large Orbit Widths. // 21th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. June, 1994. P. 1341-1344.

3. Cox M., Gardner C.A., O'Brien M.R. and Zaitsev F.S. Prediction of Alpha Particle Heating Profiles in TFTR using

the FPP code. // Culham Laboratory F/PL/WPA8.1b, 1994. 16 p.

24. Cox M., O'Brien M.R., Gardner C.A. and Zaitsev F.S. 3D Calculations of Alpha-Particle Distributions in Tokamaks. // Princeton Workshop 1995. P. 57.

25. O'Brien M.R., Gardner C.A. and Zaitsev F.S. Report on the Influence of Large Orbit Width EiFects on Ion Cyclotron Heating for JET Plasmas. // Culham Laboratory F/PL/WPA3.5b, 1995. 10 p.

26. O'Brien M.R., Cox M., Gardner C.A. and Zaitsev F.S. 3D Calculations of Fast Ion Distributions in Tokamaks. // 22th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. July, 1995. P. 224.

27. O'Brien M.R., Cox M., Gardner C.A. and Zaitsev F.S. 3D Fokker-Planck Calculation of Alpha-Particle Distributions: a TFTR Simulation. // Nucl. Fusion. 1995. V. 35. No. 12. P. 1537-1541.