автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование генерации тока в плазме ВЧ методами

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции

Государственный университет им.М.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики

ШИШКИН Алексей Геннадиевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ ТОКА В ПЛАЗМЕ ВЧ МЕТОДАМИ

05-13.16 - Применение вычислительной

техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

' \

и ордена Трудового Красного Знамени

На правах рукописи УДК 519.6, 533.9

Москва,1990

Работа выполнена в Московском ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственном университете им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: д.ф.-м.н. Д.П.Костомаров

Официальные оппоненты: чл.-корр. АН СССР А.В.Гуревич

к.ф.-м.н. А.В.Лукшин

Ведущая организация: Институт атомной энергии им. И.В.Курчатова

Защита состоится "ДЗ" яси1^ . 1990 года в, 14- час. 30'мин. на заседании специализированного совета К.053.05.87 в Московском государственном университете по адресу: 119899, Москва, Лен.Горы, МГУ, Факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд.685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ, гуманитарный корпус 2.

Автореферат разослан "/У" ЯГ 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент /Ьф&Т^ В.М.Говоров

' 1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

дам

д

'с:^^й<Ууальность темы .

Одним из основных безындукционных методов создания и поддержания тока в плазме токамака является метод генерации тока электромагнитными волнами. Наиболее перспективным считается использование электронных циклотронных (ЭЦ) и нижнегиОридных (НГ) волн. При этом большую роль играют математическое моделирование и вычислительный эксперимент, так как они являются важными источниками информации о поведении плазмы в современных и проектируемых установках токамак при проведении экспериментов по генерации тока ВЧ методами.

Для прогнозирования результатов реальных экспериментов и нахождения наиболее выгодных режимов генерации тока на конкретных установках необходимо создание моделей, адекватных происходящим в плазме физическим процессам. Поэтому встает вопрос о разработке сложных математических моделей, позволяющих с большой достоверностью описывать процесс генерации тока в плазме токамака.

Разработке двумерных и трехмерных математических моделей взаимодействия электромагнитных волн с плазмой токамака, численному моделированию генерации тока в плазме и посвящена данная диссертация.

Состояние вопроса .

В последнее время большое внимание уделяется созданию математических моделей генерации тока ВЧ волнами в плазме токамака. К настоящему времени у нас в стране и за рубежом создан целый ряд моделей, описывающих процесс генерации тока

ВЧ методами а однородной плазме. В основу этих моделей, как правило, положено двумерное в пространстве скоростей кинетическое уравнение для функции распределения электронов, где воздействие волн на плазму описывается в рамках так называемого квазилинейного приближения.

Однако, модель однородной плазмы дает возможность сделать лишь грубые оценки и недостаточна для правильного описания процесса поглощения электромагнитных волн в плазме. Эта модель не позволяет учесть характерные для токамаков физические эффекты, связанные с пространственной неоднородностью плазмы, локализацией поглощаемой ВЧ мощности на магнитной поверхности, тороидальностыо магнитного поля. Поэтому необходимо построение моделей неоднородной плазмы. При этом кинетическое уравнение, лежащее в основе этих моделей, вследствие большого числа независимых переменных практически недоступно как для аналитического, так и для численного решения. -Размерность фазового пространства,может быть понижена при наличии быстро осциллирующих переменных с помощью метода усреднения, а также дополнительных предположений о свойствах и состоянии плазмы. В результате можно получить двумерную усредненную по магнитной поверхности кинетическую модель, содержащую в качестве параметра третью переменную - радиус магнитной поверхности.

К настоящему времени за рубежом построено несколько подобных моделей. Помимо учитываемых в них физических эффектов, на величину возбуждаемого электромагнитными волнами тока большое влияние оказывает локализация вложенной ВЧ мощности на данной магнитной поверхности.

Построение двумерной модели, учитывающей локализацию поглощаемой ВЧ мощности, является достаточно актуальным. Эта

А

модель может являться основой для более полной трохморной модели, включающей в себя также описание распространения и поглощения волн в плазме в рамказс геометрической оптики. Использование трехмерной модели позволяет проводить вычислительные эксперименты,моделирующие реальные эксперименты по генерации тока в плазме на конкретных установках токамак.

Поэтому создание трехмерной модели генерации тока на основе уравнений геометрической оптики и кинетического описания плазмы представляется важной задачей.

Основными целями работы являются :

1. Построение двумерных и трехмерных математических моделей, описывающих процесс генерации тока в плазме токамака электромагнитными волнами.

2. Создание комплекса программ и проведение численного моделирования экспериментов по генерации тока ВЧ волнами на установках токамак.

3. Аналитическое и численное исследование влияния спектра вводимой ВЧ мощности на генерацию тока электромагнитными волнами.

4. Нахождение производящих функций канонических преобразований уравнений геометрической оптики и разработка эффективного численного метода их решения.

Научная новизна .

- построены двумерные и трехмерные математические модели, описывающие взаимодействие электромагнитных волн с плазмой токамака и процесс генерации тока в ней;

- создан комплекс двумерных и трехмерных программ;

г*

Л

- получены асимптотические формулы для плотности тока, поглощаемой мощности и эффективности генерации тока, характеризующие их зависимость от спектра вводимой ВЧ мощности;

- найдэны производящие функции преобразования уравнений геометрической оптики к каноническому виду в тороидальных и квазицилиндрических координатах;

- разработан новый консервативный численный метод решения уравнений геометрической оптики.

Научная и практическая значимость .

Разработаны двумерные и трехмерные модели генрации тока в плазме электронными циклотронными и нижнегибридными волнами. В случае малой интенсивности волн и слабого тороидального электрического поля проведено аналитическое исследование и получены асимптотические формулы, характеризующие эффективность генерации тока.

Создан комплекс двумерных и трехмерных программ, с помощью которого проведено исследование процесса генерации тока электромагнитными волнами в плазме токамака в зависимости от различных факторов, определяющих динамику процесса. Сделаны вывода о влиянии тороидальных и релятивистских эффектов, а также локализации на данной магнитной поверхности вложенной ВЧ мощности на эффективность генерации тока электромагнитными волнами. Проведен ряд расчетов, моделирующих конкретные эксперименты по генерации тока ЗЦ волнами в токамаке Т-10. Проведены расчеты зависимости эффективности генерации тока от различных параметров для проектируемого международного токамака-реактора ITER. Результаты этих расчетов вошли в

б

материалы СССР, представленные в рабочую группу ITER в г.Гархинг (ФРГ).

Результаты работы могут быть использованы для прогнозирования и интерпретации результатов экспериментов по генерации тока ВЧ волнами в установках токамак в ИАЗ им. М.В.Курчатова, ЛФТИ им. А.Ф.Иоффе, МГУ им. М.В.Ломоносова и ряде других организаций.

Апробация работы .

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на Всесоюзной конференции по физике управляемого термоядерного синтеза, г.Звенигород, 1990г., на XVI Всесоюзной конференции по распространению радиоволн,г.Харьков, 1990г., на XVII Европейской конференции по управляемому термоядерному синтезу и нагреву плазмы, Г.Амстердам, 1990г., на 17 Международном симпозиума по динамике разреженных газов, г.Аахен, 1990г., на научно-исследовательских семинарах кафедры автоматизации научных исследований факультета ВМиК МГУ.

Публикации . Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах.

Структура и объем диссертации . Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 80 наименований. Объем диссертации 46 5 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении приведен обзор литературы, касающейся

затрагиваемых в работе вопросов. Сформулирована цель работы, кратко изложено содержание диссертации и основные результаты.

В первой главе, которая состоит из 5 параграфов, построена усредненная по магнитной поверхности двумерная математическая модель, описывающая воздействие

электромагнитных волн на неоднородную плазму токамака, а также изучено влияние спектра вводимой ВЧ мощности на эффективность генерации тока в однородной плазмэ.

В §1 описана математическая модель воздействия ВЧ и СВЧ волн на однородную плазму. Приведены выражения для линеаризованного кулоновского и для квазилинейных операторов, соответствующих воздействию электронных циклотронных и нижнегибридных волн на плазму.

В §2 для случая малой интенсивности волн и слабого тороидального электрического поля проведено аналитическое исследование зависимости эффективности генерации тока от вида спектра вводимой ВЧ мощности. Построены асимптотические формулы для плотности тока, поглощаемой мощности и эффективности генерации тока электромагнитными волнами в присутствии внешнего электрического шля.

В §3 проведено усреднение кинетического уравнения для неоднородной плазмы по магнитной поверхности. Списопз моделт, плазмы, учитывающая тороидальность магнитной конфигурации, а, следовательно, что очень важно при определении эффективности генерации тока, наличие двух видов частиц: пролетных и запертых, которые во время своего движения испытывают отражение от точек, где их продольная скорость меняет знак. Запертые частицы не переносят тока, и их взаимодействие с волной приводит к снижению эффективности.

Параграф 4. посвящен учету в модели локализации вложенной

ВЧ мощности на данной магнитной поверхности при генерации тока электромагнитными волнами. Вложенная в плазму мощность всегда локализована по полоидальному углу. Так как количество запертых частиц уменьшается от внешней стороны тора к внутренней, то от того, в каком месте магнитной поверхности происходит поглощение ВЧ волн, зависит эффективности генерации тока.

В §5 проведено включение в модель влияния релятивистских эффектов на генерацию тока ЭЦ волнами. Релятивистские эффекты в основном сказываются в изменении вида резонансной области. Это приводит к тому, что запертые частицы могут вообще не взаимодействовать с волной, тем самым приводя к увеличению эффективности.

Вторая глава посвящена численному моделированию процесса генерации тока в плазме токамака и состоит из 7 параграфов.

В §1 построена дивергентная локально-одномерная разностная схема. В основу ее построения положен принцип сохранения каждым разностным оператором ядра соответствующего ему дифференциального оператора.

В §2 описан набор тестов, позволяющий с большой достоверностью судить об отсутствии в программах ошибок. Приведены результаты тестирования.

Параграф 3 посвящен методике выбора итерационных параметров при решении стационарного кинетического уравнения. Рассматриваются два различных метода нахозвдения стационарного решения кинетического уравнения. Первый из них заключается в выборе итерационного параметра зависящим от номера итерации. Это позволяет для случая, когда отсутствует тороидальное электрическое поле, уменьшить число шагов в 10 раз. Во втором

методе итерационный параметр является функцией скорости. Это также позволяет уменьшить число итераций в несколько раз.

Параграф 4 посвящен расчетам эффективности генерации тока ЭЦ волнами в неоклассическом приближении для проектируемой международной установки ITER. Описана фактически являющаяся двумеркой линейная математическая модель, основу которой составляет набор интегро-дафференциальнык уравнений, усредненных по магнитной поверхности, для возмущений равновесной функции распределения.

В §5 исследуется влияние слабого внешнего электрического поля на процесс генерации тока электромагнитными волнами для различной формы спектра вводимой ВЧ мощности. На основе численных расчетов предложены приближенные формулы для плотности возбужденного тока и эффективности его генерации в зависимости от многих параметров.

В §6 исследуется влияние тороидальных эффектов и локализации вложенной ВЧ мощности на эффективность генерации тока ЭЦ и НГ волнами. В результате численных расчетов получены зависимости эффективности от радиуса магнитной поверхности, нижней границы резонансной области и величины коэффициента квдяшттгайной диффузии. Показано, что, благодаря отсутствию запертых частиц, эффективность на внутренней стороне магнитных поверхностей может довольно значительно превышать соответствующие значения на внешней стороне.

В §7 изучается влияние релятивистских эффектов на эффективность генерации тока ЭЦ волнами. Показано, что релятивистские эффекты могут как ослаблять, так и усиливать влияние запертых частиц на эффективность генерации тока.

Глава 3 посвящена трехмерному моделированию

распространения и поглощения ЭЦ волн в плазме токамака. Она состоит из 4 параграфов.

В построенной в главе 2 двумерной модели полагаются известными многие параметры, а коэффициент квазилинейной диффузии считается заданным. Кроме того, заранее фиксируются поверхности, на которых проводится численное решение кинетического уравнения.

В действительности набор магнитных поверхностей должен фиксироваться исходя из условия максимального уровня выделяемой на них мощности, что само по себе является предметом другой задачи - о распространении и поглощении' волн в плазме. Решение этой задачи позволяет также определить остальные требуемые для кинетической модели параметры. Далее, исходное уравнение, на основе которого построена кинетическая модель, является самосогласованным. Естественно, для правильного описания исследуемых явлений необходимо учитывать самосогласованность задачи, которая в данном случае проявляется в том, что коэффициент квазилинейной диффузии определяется вложенной мощностью и функцией распределения на данной магнитной поверхности. Все это возможно учесть в рамках трехмерного моделирования процесса генерации тока в плазме токамака. Структура такой трехмерной модели, позволяющей связать двумерную усредненную по магнитной поверхности кинетическую модель и модель распространения и поглощения ЭЦ волн в плазме, описана в параграфе 1.

Параграф 2 посвящен исследованию взаимодействия ЭЦ волн с плазмой в рамках геометрической оптики. Для определения траектории волны использован тензор диэлектрической проницаемости для холодной плазмы, а для вычисления поглощения

волны - тензор для горячей нерелятивистской плазмы. Уравнения геометрической оптики, имеющие канонический вид в декартовых координатах, приведены к такому же виду в тороидальных и квазицилиндрических координатах. Найдены производящие функции данных преобразований. Разработан эффективный численный метод решения уравнений геометрической оптики, обеспечивающий сохранение гамильтониана вдоль траектории с любой наперед заданной точностью. Приведены результаты расчетов распространения и поглощения ЭД волн для параметров установок ITER и Т-10.

Б §3 описана трехмерная модель генерации тока ЭЦ волнами на основе уравнений геометрической оптики и кинетического описания плазмы.

Параграф 4 посвящен численному решению трехмерной задачи о генерации тока в плазме ЭД волнами. Проведены расчеты, моделирующие конкретные эксперименты на установках Т-10, Т-15 и ITER. Получены радиальные профили плотности возбужденного тока, поглощаемой мощности и эффективности генерации тока.

В заключении сформулированы основные результаты,

полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены двумерные и трехмерные математические модели, описывающие процесс генерации тока в плазме электромагнитными волнами.

2. В случае малой интенсивности волн и слабого электрического поля проведено аналитическое исследование и

1'2

подучены асимптотические формулы для плотности тока, поглощаемой мощности и эффективности генерации тока, характеризующие их зависимость от формы спектра вводимой ВЧ мощности.

3. Разработан эффективный численный метод решения уравнений геометрической оптики, сохраняющий с заданной степенью точности гамильтониан вдоль траектории волны.

4. Создан комплекс двумерных и трехмерных программ, с помощью которого проведено исследование процесса генерации тока электромагнитными волнами в зависимости от различных факторов, определяющих динамику процесса. Изучено влияние тороидальных и релятивистских эффектов на эффективность генерации тока, а такке выявлена степень ее зависимости от локализации вложенной ВЧ мощности на данной магнитной поверхности.

5. Проведено численное моделирование конкретных экспериментов по созданию и поддержанию тока электронными циклотронными волнами на установках токамак Т-10, Т-15 и ITER. Проведены расчеты зависимости эффективности генерации тока от параметров для проектируемого международного токамака-реактора ITER. Результаты этих расчетов вошли в материалы СССР, представленные в рабочую группу ITER в г.Гархинг (ФРГ).

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Днестровский Ю.Н., Смирнов А.П., Шишкин А.Г. Эффективность генерации тока в плазме НГ волнами. // В сб.: Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: изд-во МГУ, 1988, С.213-218.

2. Смирнов А.П., Шишкин А.Г. Математическое моделирование генера-

ции тока в плазме электромагнитными волнами. // В сб.: Актуальные вопросы прикладной математики. М.: изд-во МГУ, 1989, с.206-212.

3. Smirnov А.Р., Shishkin A.G. The effeot of trapped eleotrons and'a relativistic resor^noe condition on ECRH currant drive.// ITEp-Ib-PH-6-9-S-24. Garching, 1989.

4. Смирнов А.П., Шишкин А.Г. Влияние спектра вводимой ВЧ мощности

на эффективность генерации тока в плазме нижнегибридными волна)

ми.|// Физика плазмы, 1990, вып.16, N1, с.110-113.

5. ShiBhkin A.G., Smirnov A.I. The effeot of Ю? power profile on electron oyolotron current drive efficienoy. In: Proo. of 17 International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Aahen, 1990.

6. Dnestrovski j Yu.N., Kostoraarov Б.Р., Shishkin A.G., Smirnov A.P Numerical studies of an electron oyolotron current drive efficienoy and the role of trapped particles. In: Proo. of 17th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Heating, Amsterdam, 1990, V.14B, Part III, p.1239-1242.

7. Shishkin A.G., Smirnov A.P., Parail V.V. Impact of source power speotrum on ECRH current drive efficiency. In: Proo. of 17th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Heating, Jester da.™, 1990, V.14B, Psrt III, p.1243—1246.

8. Kuznetsova Ъ.К., Parail V.V., Shishkin A.G., Smirnov A.P., Zaitsev F.S. Electron cyclotron ourrent drive and tearing mode stabilization in ITER. In: Proo. of 17th. EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Heating, Amsterdam, 1990, V.14B, Part III, p.1247-1250.