автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка и математическое моделирование многосвязных систем управления вертикальной скоростью, током и формой плазмы в ITER

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э. БАУМАНА

Коростелев Александр Яковлевич

РАЗРАБОТКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ, ТОКОМ И ФОРМОЙ ПЛАЗМЫ В ITER

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 4 НОЯ 2011

Москва, 2011

005003506

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Доктор технических наук Митришкин Юрий Владимирович

Доктор технических наук, профессор Курдюков Александр Петрович

Кандидат технических наук Кузнецов Евгений Александрович

Институт физики токамаков,

НИЦ «Курчатовский институт»

Защита состоится рСКЩОА 201 ^ г. в часов на заседании

диссертационного Совета ДУ 002.226.01 при Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65. Телефон совета: 8(495)334-93-29.

Автореферат разослан «¿$>> н.о(£>р,а 201/г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской Академии Наук Института проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.226.01 д.т.н.

Акинфиев В.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Управляемый термоядерный синтез является одним из перспективных источников энергии будущего. Условия для его осуществления могут быть достигнуты посредством специальных установок, токамаков (Тороидальная КАмера с МАгнитными Катушками), позволяющих удерживать высокотемпературную плазму (ионизованный газ) в магнитном поле. Токамак представляет собой тороидальную вакуумную камеру, в которой плазма удерживается сильным магнитным полем, создаваемым электрическими токами в обмотках тороидального и полоидального магнитных полей, а также кольцевым током, протекающим по плазме.

В соответствии с критерием Лоусона для достижения условий возникновения и протекания термоядерной реакции плазма должна обладать определенными параметрами, а именно - высокими плотностью, температурой и энергетическим временем удержания. Наилучшие результаты могут быть достигнуты для вытянутой по вертикали плазмы при максимальном использовании объёма токамака, то есть приближении границы плазмы к первой внутренней стенке. В то же время взаимодействие высокотемпературной плазмы с конструкциями токамака может привести к их разрушению. Поэтому, для достижения высокой энергетической эффективности и, вместе с тем, соблюдения условий безопасности, форма плазмы должна поддерживаться очень точно.

В решение задач магнитного управления плазмой в токамаках внесли вклад многие отечественные и зарубежные учёные, среди которых Самойленко Ю.И., Артеменков Л.И., Беляков В. А., Кавин А. А., Косцов Ю. А., Кузнецов Е. A., Ariola М., Pironti A., Portone A., Humphreys D. A., Walker М. L., Lister J. В., Schuster Е., Vyas Р. и др. В диссертации приведён краткий тематический обзор работ, что позволило определить направление проведённых исследований.

В настоящее время во Франции (г. Кадараш) начато сооружение первого Интернационального Термоядерного Экспериментального Реактора (ITER -International Thermonuclear Experimental Reactor) по принципу токамака. Это будет крупнейшая в мире термоядерная установка, на которой впервые должен быть достигнут положительный баланс между получаемой и затрачиваемой мощностью. Система магнитного управления плазмой для ITER в полном объёме до последнего времени не разработана. Применить для ITER одну из существующих систем управления, используемых на современных токамаках, практически невозможно, так как каждая из этих систем решает специфические задачи, присущие конкретной установке. В связи с этим разработка и моделирование системы управления вертикальной скоростью, током и формой плазмы в ITER с использованием различных методов классической и современной теории управления является важной задачей, обуславливающей актуальность темы диссертации.

Целью работы является разработка многосвязных систем магнитного управления плазмой токамаков на квазистационарной стадии разряда и стадии ввода тока плазмы, а также исследование устойчивости и качества работы полученных систем методом математического моделирования на линейных и нелинейных моделях плазмы, представляющей собой сложный динамический объект с распределенными параметрами, неконтролируемыми возмущениями и неопределенностями.

Методы исследования. В системе управления, представленной в главе 2, применяется метод управления с прогнозирующей моделью (Model Predictive Control), рассмотренный в трудах таких зарубежных ученых, как Maciejowski J. M., Camacho E. F., Kouvaritakis В., Wang L., Rossiter J.A. и др.

В главе 3 разработана система управления, построенная на основе принципов многомерного ПИД-регулирования с развязкой каналов, в развитие которых значительный вклад внесли Goodwin G. С., Ядыкин И. Б. и др.

Для моделирования объекта управления используется нелинейный плазмо-физический код DINA, разработанный сотрудниками Троицкого института инноваций и термоядерных исследований д.ф.-м.н. Хайрутдиновым Р. Р. и к.ф.-м.н. Докукой В. H., а также сотрудником Института физики токамаков (РНЦ КИ, г. Москва) д.ф.-м.н. Лукашем В. Э. Данный код интегрирован в мощное средство математического моделирования MATLAB/Simulink (международный стандарт), содержащее также набор пакетов прикладных программ (toolboxes), позволяющих синтезировать, анализировать и моделировать современные системы управления.

Научная новизна. При разработке системы стабилизации формы и тока плазмы в токамаке впервые применён метод многомерного управления с прогнозирующей моделью с учетом ограничений на управляющие воздействия. В отличие от принятой в документации ITER конфигурации системы магнитного управления плазмой, система с прогнозирующей моделью обрабатывает полный вектор выходных сигналов без разделения на быстрый скалярный контур вертикальной стабилизации плазмы и медленный многомерный контур управления формой и током плазмы.

Путём идентификации нелинейного кода DINA получена новая неустойчивая линейная модель вертикального движения плазмы второго порядка, использованная при синтезе системы подавления вертикальной неустойчивости. Разработана и промоделирована оригинальная каскадная система слежения за током и формой плазмы в токамаке с развязкой каналов управления для применения на временном интервале, включающем переход от стадии ввода тока плазмы к квазистационарной стадии разряда. Разработанная система обеспечивает сохранение качества регулирования при насыщении токов в управляющих обмотках.

Разработана новая методика корректировки сценария плазменного разряда токамака на основе моделирования замкнутой системы управления на коде DINA применительно к ITER.

На базе кода DINA, интегрированного в среду MATLAB/Simulink, создана новая программно-вычислительная платформа для моделирования систем магнитного управления плазмой, позволяющая повысить эффективность научных исследований в этой области.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Разработка нелинейной системы магнитного управления с прогнозирующей моделью при действии возмущений типа малого срыва с учетом ограничений на управляющие воздействия. Моделирование её на разработанной программно-вычислительной платформе с нелинейным кодом DINA на квазистационарной стадии плазменного разряда.

2. Получение линейной скалярной модели второго порядка вертикального движения плазмы путём идентификации по данным численного эксперимента, проведённого на нелинейном коде DINA..

3. Разработка и моделирование на коде DINA системы магнитного управления с развязкой каналов на временном интервале, включающем переход от диверторной стадии нарастания плазменного тока к квазистационарной стадии разряда.

4. Методика корректировки сценария ITER с использованием результатов моделирования замкнутой системы управления на нелинейном коде DINA.

5. Разработка программно-вычислительной платформы в среде MATLAB/Simulink для эффективного моделировании систем магнитного управления плазмой с переключением между нелинейным кодом DINA и линеаризованными моделями плазмы.

Практическая ценность результатов заключается в возможности применения в реальной системе магнитного управления плазмой в ITER. Так как объект управления находится в состоянии строительства, то результаты работы представляют практическую ценность для подготовительной стадии разработки реальной системы магнитного управления плазмой и дают возможность для проведения сравнительного синтеза и анализа различных подходов к созданию данной системы в ITER. Разработанная программно-вычислительная платформа для моделирования систем магнитного управления плазмой применяется на практике в научной работе коллектива студентов и аспирантов.

Личный вклад автора.

[1, 4, 12, 16] Коростелевым А.Я. разработана система управления с прогнозирующей моделью для управления формой и током плазмы в токамаке. Разработанная система промоделирована на линеаризованных моделях плазмы и на нелинейном коде DINA в условиях действия малого срыва.

[2, 3, 7, 8, 14] Коростелевым А.Я. разработана многосвязная каскадная система слежения за током и формой плазмы в токамаке с развязкой каналов управления. Проведено моделирование разработанной системы на линейной и нелинейной моделях плазмы в токамаке.

[3] Коростелевым А.Я. реализована методика корректировки плазменного разряда сценария ITER с учетом работы замкнутой системы управления в численном экспериемнте на коде DINA.

[5, 6, 13, 15] Коростелевым А.Я. путём идентификации по данным численного эксперимента на коде DINA построена линейная модель второго порядка вертикального движения плазмы с достаточно высокой степенью точности.

[9] Коростелёвым А.Я. подготовлен ряд материалов для обзора истории, текущего состояния и перспектив развития систем магнитного управления плазмой в токамаках.

[10] Коростелёвым А.Я. разработан внутренний каскад управления токами в обмотках полоидального магнитного поля, входящий в состав общей многосвязной системы управления током и формой плазмы.

[11] Коростелёвым А.Я. разработан одномерный прогнозирующий регулятор с учетом насыщения входного сигнала для стабилизации вертикального

положения плазмы в токамаке и осуществлено математическое моделирование разработанного регулятора на линейной модели плазмы в замкнутой системе управления.

Апробация и внедрение результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на национальных и международных научных конференциях и симпозиумах:

- 49-я научная конференция «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2006,

- общеуниверситетские научно-технические конференции «Студенческая научная весна - 2007, 2008, 2009», МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 2007-2009;

- Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления», S1CPRO'08, Москва, 2008,

- The 13th IFAC Symposium on Information Control Problems in Manufacturing, Moscow, 2009,

- 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, China, 2009,

- XI Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого), ИЛУ РАН, Москва, 2010,

- The 18th IFAC World Congress, Milan, Italy, 2011, а также на международных научных семинарах:

- Workshop on Active Control of Fusion Plasmas in Tokamaks, San Diego, USA, 2006,

- International Workshop "Control for Nuclear Fusion", Eindhoven, the Netherlands, 2008,

- Concertation Meeting on Control of Large-Scale Systems (CLaSS), March 2, 2009, European Commission, Belgium, Brussels.

Список публикаций. Основные результаты диссертации опубликованы в журналах из перечня ВАК РФ: «Проблемы управления» [1], «Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана, серия приборостроение» [2] и «Физика плазмы» [3], в трудах международных [4-10] и российских конференций [11-15], а также в итоговом отчете РФФИ по проекту № 06-08-00265-а [16].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка цитируемой литературы из 91 наименования. Работа содержит 150 страниц, включает 46 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы и кратко описываются методы, использованные при её достижении. Показаны практическая ценность и научная новизна полученных результатов. Представлены научные положения, выносимые на защиту.

В первой главе описываются основные принципы магнитного управления плазмой в токамаках, осуществляется постановка задачи магнитного управления, проводится анализ существующих систем и подходов к управлению плазмой.

Й PF2

¡«-1

г А „ Л MiViW г 1

. * ]Г 1 шш : I 1

1 ЩЩру / • J

ЩШ7/ //01

Шу^с! / I « j

1 \ 02 / // / 1

i

Ж. PF5 ]

Рис. 1. Поперечное сечение ИТЭР а) Эволюция границы плазмы в течение подъема >пока плазмы, стадии нагрева (SOH) и горения термоядерной реакции (SOB); b) Магнитная конфигурация плазменного шнура и управляемые зазоры между сепаратрисой и первой стенкой: gl...g6. CS - сещионированный центральный соленоид, PF — обмотки полоидальных магнитных полей

В задачу

магнитного управления плазмой входит

управление током,

формой и положением (или скоростью)

плазменного шнура. Воздействие на плазму осуществляется посредством магнитного поля, которое создаётся обмотками центрального соленоида (CS - Central Solenoid) и катушками полоидальных магнитных полей (PF -Poloidal Field),

расположенными вокруг камеры токамака. На рис. 1 представлено вертикальное сечение ITER, где показана система магнитных

поверхностей как на стадии ввода тока плазмы, так и на квазистационарной стадии разряда. Также на рис. 1 показано расположение CS- и PF-обмоток ITER. Здесь также приведено расположение управляемых зазоров между первой стенкой и сепаратрисой g3-g6 в выбранных точках вертикального сечения, а также зазоров между «усами» сепаратрисы и фиксированными точками на диверторных пластинах gl, g2.

С точки зрения магнитного управления плазма в токамаке ITER представляет собой многомерный нелинейный объект управления с переменными параметрами и неопределенностями, структурная схема которого показана на рис. 2. Управляющими воздействиями в системе являются 12 напряжений, подаваемые на CS/PF-обмотки от мощных преобразователей переменного напряжения в постоянное: одного быстрого преобразователя вертикальной стабилизации (VSC -Vertical Stability Converter) с параметрами 6 кВ, 22,5 кА и 11 главных преобразователей (МС - Main Converters) для управления формой и током плазмы (1,5 кВ, 45 кА). Все преобразователи обладают насыщением и транспортным запаздыванием, что учитывается в модели и затрудняет решение задачи

управления. В проекте

5/,

На из меряемые возмущения

ип Исполнительные устройства

VSC

Ищ- f

МС

у Обьект управления

Плазма з токамаке

dZ/dt.

ITER принята

двухконтурная схема

магнитного

системы управления, разделены скалярный

Рис. 2. Структурная схема объекта управления

в которой быстрый контур вертикальной стабилизации и более

медленный многосвязный контур управления током и формой плазмы.

Выходы объекта управления измеряются с помощью системы диагностики, включающей в себя магнитные датчики различных типов. Модель системы диагностики содержит дифференцирующий фильтр вертикального положения центра плазмы Fa и многомерный фильтр F для сигналов зазоров, тока плазмы и токов во внешних обмотках. Выходами диагностики объекта являются характеризующие форму плазмы зазоры g =[g-,...g-fi]r, вертикальная скорость центра плазменного шнура dZ/dt, ток плазмы 1 р, токи в CS/PF-обмотках lco¡¡s = [lcSU3 ICSU2 ¡CSUl+CSLl ICSL2 ¡CSL3 ¡PFI■ •■IpFóf-

Плазма в ITER является неустойчивой по каналу управления вертикальной скоростью (величина, обратная действительному неустойчивому полюсу линеаризованной модели, = 0,1 с). Система управления должна обеспечивать стабилизацию вертикальной скорости плазмы относительно нулевого значения на всём протяжении плазменного разряда, в том числе и при действии внешних возмущений, роль которых играют резкие изменения параметров ßp и /,., представляющих собой соответственно отношение газокинетического давления плазмы к давлению внешнего магнитного поля и внутреннюю индуктивность плазмы. Явления, при которых возникают резкие спады этих параметров, называются малыми срывами.

На протяжении фазы ввода плазменного тока динамические характеристики объекта управления изменяются. При этом система магнитного управления должна обеспечивать слежение за током и формой плазмы. Затем следует квазистационарная фаза, на протяжении которой динамические характеристики плазмы изменяются незначительно. На этой фазе требуется поддержание величин зазоров и тока плазмы равным заданным значениям.

Точность стабилизации формы плазмы на диверторной фазе разряда требуется относительно высокая. Отклонение сепаратрисы (граничной поверхности) плазмы при действии возмущений не должно превышать величин порядка 10 см, что составляет примерно 2% от большого радиуса ITER, равного 6,2 м.

В качестве математической модели плазмы в токамаке используется плазмо-физический код DINA для условий ITER. Данный код реализован в виде S-функции, интегрируемой в состав среды MATLAB/Simulink, и осуществляет численное решение уравнения равновесия плазмы в магнитном поле (уравнение Грэда-Шафранова) совместно с уравнением Кирхгоффа для системы магнитных контуров с учетом тока плазмы. Подтверждением достоверности результатов моделирования, полученных на коде DINA, является то, что он был экспериментально апробирован на действующих установках с воздушным сердечником: D-I1ID (США), JT-60U (Япония), TCV (Швейцария), условия работы которых в определенной степени сходны с условиями работы ITER.

Вторая глава посвящена разработке системы управления с прогнозирующей моделью, задача для которой ставится следующим образом: обеспечить стабилизацию вертикальной скорости относительно нуля, тока и параметров формы плазмы в токамаке на квазистационарной стадии разряда при действии внешних возмущений типа малый срыв и наличии ограничений на управляющие воздействия.

Структура системы показана на рис. 3. При разработке регулятора было предложено оригинальное решение отойти от принятой в проекте ITER двухконтурной схемы регулирования и использовать один регулятор, на который поступают все 19 выходных сигналов объекта управления. Это позволяет избежать возможного взаимного противодействия между контурами регулирования. Для синтеза прогнозирующего регулятора использовалась модель, полученная путём линеаризации кода DINA. Для использования в регуляторе её порядок был снижен со 127 до 30 путём применения численной редукции, а затем модель была преобразована в форму с дискретным временем и периодом дискретизации 5 мс. В результате получена система разностных уравнений

хы=Ахк+Вищ, ук=Схк. (1)

В алгоритме используется вектор приращения управляющего воздействия, определяемый как Sut =и, -utl. С учетом данного обозначения из уравнения (1) можно получить следующее соотношение:

y = Stxk+Suluk_,+StlSU, (2)

где матрицы У=[/ы /м ... ¿J, U=[u¡ иты ... J, SU=[Su[ Si/M ... SuTMJ, •S1,, Sul и S„ — матрицы постоянных коэффициентов, p - горизонт предсказания, m- горизонт управления. В (2) вектор состояния объекта управления хк определяется с помощью наблюдателя состояния, а значение управляющего воздействия на предыдущем шаге ик_, содержится в памяти регулятора. Таким образом, для построения прогноза достаточно задать вектор SU.

При решении поставленной задачи используется показатель качества:

J =yTWvy+SUTW&JU+UTWuU, (3)

где Wy, IVlju, - положительно определенные весовые матрицы.

Подставив выражение прогноза (2) в показатель качества (3) и выразив U через SU и можно получить зависимость J (SU), которая для

рассматриваемой системы (1) является квадратичной. Цель алгоритма управления заключается в нахождении значения SU, минимизирующего J (SU). Минимум ищется только по значениям Su на горизонте управления, т.е. для первых m тактов (Suk,...,Suk+Irl_i), а остальные компоненты вектора SU считаются равными нулю.

В реальной постановке задачи исполнительные устройства имеют насыщение, что приводит к ограничениям на управляющие воздействия. Эти

Рис. 3. Структурная схема системы с прогнозирующей моделью для управления плазмой в токомаке

ограничения можно выразить покоординатными неравенствами U < Ulm, U > Umm, где U^ и ¿4m ~~ заданные векторные константы. Поскольку вектор U может быть выражен через SU и uk_t, то ограничения можно представить в виде покоординатного неравенства

MJU<M„m< (4)

где Ми - некоторая известная матрица, а Мы - вектор-столбец. В результате оптимальный вектор 6U может быть найден путём решения задачи квадратичного программирования J(SU) —> min при ограничениях (4).

После нахождения оптимальной траектории изменения управляющего воздействия SU на данном такте на объект управления подаётся только воздействие и, =utA+Suk, а остальные значения отбрасываются, и на следующем такте вся процедура повторяется заново с учетом вновь поступившей информации. Такой подход называется принципом удаляющегося горизонта, позволяющим добиться хорошей работоспособности алгоритма при наличии возмущений и несоответствия между реальным объектом управления и его моделью, встроенной в регулятор.

При моделировании работы синтезированного регулятора в замкнутой системе управления использовалась исходная нелинейная модель плазмы DINA с распределенными параметрами. Этим была показана возможность работы регулятора с прогнозирующей моделью при несоответствии «реального» объекта управления (в данном случае - нелинейный код DINA) и линейной модели пониженного порядка, использованной для синтеза прогнозирующего регулятора.

Величина горизонта предсказания обычно выбирается таким образом, чтобы она превосходила длительность переходных процессов объекта управления. При соблюдении этого правила динамика объекта управления наиболее полно учитывается в используемом показателе качества (3). Для реализации высокоточного управления параметрами формы плазмы горизонт предсказания должен составлять порядка 1 секунды. В то же время для своевременного подавления возмущений и управления вертикальной скоростью плазмы требуется выбор малого периода дискретизации 5 мс. В результате это привело к выбору горизонта предсказания р=200 тактов. Выбор значения горизонта управления т осуществлялся исходя из его минимизации при обеспечении приемлемого качества управления. В итоге был выбран горизонт управления т-5 тактов.

Результаты моделирования работы регулятора при действии на плазму возмущения типа «малый срыв» в момент 0,3 с приведены на рис. 4. Для сравнения на этих же рисунках показаны результаты работы системы управления с Нп -регулятором (разработка A.B. Кадурина). Видно, что регулятор с прогнозирующей моделью приводит вертикальную скорость dZ/dt в окрестность нулевого значения так же быстро, как и -регулятор. Аналогичная ситуация имеет место и с ликвидацией вариации тока плазмы 61р, когда плазменный ток скачком возрастает при быстром падении внутренней индуктивности плазмы /,. На графике отклонений зазоров Sg можно видеть, что регулятор с прогнозирующей моделью показывает заметно меньшее время переходного процесса по сравнению с Я_ -регулятором, и при этом максимальные отклонения зазоров составляют не более 6 см. При этом отрицательное отклонение амплитудой менее 1 см испытывает только зазор g4. Это важно, так как отрицательное отклонение,

■ -Регулятор с прогнозирующей мод елью

ч V1 ---Н_-регупятор

Г

Регулятор с прогнозирующей моделью

■ •■Н -регулятор

3 0 4 0.5 0.6 0.7 0 Время (с)

ж 1С

\ Регулятор с прогнозирующей моделью — — — Н -регулятор

-

Время [с]

Рис. 4. Результаты моделирования системы с прогнозирующей моделью на нелинейном коде DINA при действии малого срыва. Вариации зазоров между сепаратрисой и первой стенкой Sg, вертикальная скорость ifeHmpa плазменного шнура dZ/dt, вариация тока плазмы SIp.

означающее приближение плазмы к внутренней стенке токамака, может привести к разрушению реактора и выбросу энергии плазмы наружу.

Для оценки возможности применения данного метода в реальной системе управления было проведено исследование временных затрат на работу алгоритма управления. При этом использовался персональный компьютер на базе процессора Intel Core 2 Duo Е6600 с тактовой частотой 2.4 ГТц с 2 Гб оперативной памяти. Результаты исследования показали, что на каждом такте работы алгоритма на вычисления тратится в среднем 1.65 мс. Так как каждое новое значение управляющего воздействия должно вырабатываться алгоритмом каждые 5 мс, то это говорит о возможности применения данного метода для работы в реальном масштабе времени. При этом должно учитываться, что в реальной системе управления будут использоваться контроллеры, превосходящие по вычислительной мощности используемый в исследованиях компьютер. Кроме того, в литературе описаны методы, позволяющие достичь ещё более высокого быстродействия при решении задач квадратичного программирования за счет наиболее полного использования всех особенностей их формулировки применительно к управлению с прогнозирующей моделью.

В третьей главе рассматривается разработка системы слежения за током и формой плазмы в токамаке с развязкой каналов управления на участке сценария, включающем переход от диверторной стадии ввода плазменного тока к квазистационарной стадии разряда. Задачей системы управления на этом периоде является слежение за заданными сценарными значениями тока и формы плазмы в условиях изменяющихся динамических характеристик объекта управления. Кроме того, система должна обеспечивать стабилизацию вертикальной скорости плазмы относительно нулевого значения и соблюдение ограничений на токи в управляющих обмотках.

Для решения проблемы вертикальной неустойчивости плазмы в ITER принята схема, обеспечивающая подавление вертикальной скорости плазменного шнура с помощью быстродействующего исполнительного устройства. При этом

вертикальное положение плазмы косвенно восстанавливается более медленным контуром слежения за формой плазмы (рис. 5).

Для разработки регулятора вертикальной стабилизации была использована линейная модель второго порядка, полученная путём идентификации по данным численного эксперимента на нелинейном коде DINA. Использование такой модели для синтеза регулятора обладает рядом преимуществ по сравнению с моделью высокого порядка, полученной путём линеаризации. В частности, для такой модели может быть аналитически определена область значений коэффициента регулятора, обеспечивающих устойчивость замкнутой системы.

Численные эксперименты на нелинейной модели, предварительно стабилизированной П-регулятором с эмпирически подобранным коэффициентом, проводились в пяти точках сценария и были получены 5 соответствующих наборов зарегистрированных входных и выходных сигналов.

Идентификация проводилась путём подбора параметров Кф, 7"ф1 и Гф,

передаточной функции замкнутой системы: Ф(я) = АГФ/[(7"Ф1^ +1)(Гф2^+1)], минимизирующих квадрат разности между выходными сигналами исходной и идентифицированной систем на множествах значений зарегистрированных входных и выходных сигналов. По известным передаточным функциям замкнутой системы и регулятора предварительной стабилизации была найдена передаточная функция объекта управления F(i) = A:/[(7'15+l)(rji+l)], включающего в себя

исполнительное устройство, плазму в токамаке и дифференцирующий фильтр.

Результаты сравнения исходной и идентифицированной моделей в одной из точек сценария показаны на рис. 5, когда модели объекта управления включались в обратную связь системы управления. Расхождение между сигналами исходной и идентифицированной систем составило менее 0.14%, что говорит о том, что модель вертикального движения плазмы в токамаке может быть с достаточной степенью точности аппроксимирована линейным динамическим звеном с одним устойчивым и одним неустойчивым полюсами.

Несмотря на существенное изменение тока плазмы в диапазоне 8.5-45 МА на исследованном участке сценария, параметры объекта управления изменяются достаточно слабо, что позволяет применять для его стабилизации пропорциональный регулятор с неизменным коэффициентом усиления.

В результате идентификации появилась возможность обоснованного выбора коэффициента пропорционального регулятора с точки зрения устойчивости замкнутой системы. Было проведено исследование АФЧХ идентифицированных моделей, в результате которого был рассчитан такой коэффициент

регулятора, обеспечивал

пропорционального который

максимальные значения запасов устойчивости замкнутой системы для всех исследованных точек сценария.

Задача, поставленная в данной главе, заключается в разработке двухкаскадной системы рис_ 5. Сравнение идентифицированной и магнитного управления, у которой исходной моделей вертикальной скорости внутренний контур обеспечивает плазмы

слежение за токами в СЭ/РР-обмотках, а внешний - за параметрами формы и током плазмы. При этом должен обеспечиваться компромисс между ошибками слежения за токами в катушках и ошибками слежения за параметрами формы плазмы. Рис. 6. Структурная схема каскада управления Такая структура дает токами е обмотках возможность учесть

особенности моделей плазмы, упростить разработку по сравнению с системами, для которых регуляторы синтезируются оптимизацией выбранного критерия качества, и в результате повысить степень понимания процессов управления сложным многосвязным объектом.

С точки зрения разработки контура управления токами в обмотках, выходами системы будут являться 11 токов в обмотках управления, а входами - 11 напряжений на них (рис. 6). В дальнейшем изложении речь идёт о системе, уже включающей в себя замкнутый контур вертикальной стабилизации и, в результате чего, являющейся устойчивой. Для разработки регулятора использована линеаризованная модель в отклонениях от состояния неустойчивого равновесия плазмы токамака: л^ = 4х, +5,и„ у, = С,хи где х, е Б:128 - вектор состояния, а именно отклонения токов в активных и пассивных структурах, цеЕ" -отклонения напряжений на обмотках полоидального магнитного поля, уг е К11 -вектор отклонений измеренных токов в обмотках управления.

Для использования данной модели в процессе синтеза регулятора её порядок был снижен до 11 путём применения процедуры редукции. Общий принцип редукции состоит в отбрасывании состояний системы, вносящих наименьший вклад в общую взаимосвязь между её входами и выходами. Мерой данного вклада являются ганкелевы сингулярные числа системы, определённые только для асимптотически устойчивых систем. Поэтому для редукции неустойчивой модели она предварительно раскладывается на сумму где все

полюса Цг^) лежат в открытой левой полуплоскости С", а все полюса 1¥и(я) лежат в замкнутой правой полуплоскости С+, где С = С~ис+ - комплексная плоскость. У рассматриваемой системы 128-го порядка, включающей скалярный контур вертикальной стабилизации, имеется 11 полюсов, лежащих практически в начале координат, что связано с очень низким сопротивлением сверхпроводящих СБ/РР-обмоток. Таким образом, модель объекта разделяется на две подсистемы -неустойчивую 11-го порядка, отражающую динамику токов в самих магнитных обмотках, и устойчивую 117-го порядка, которая представляет динамику наведённых токов Фуко в пассивных структурах. В ходе численного эксперимента выяснилось, что устойчивая часть системы не вносит заметного вклада в работу замкнутого контура регулирования. Поэтому она может быть полностью отброшена без существенных последствий для управления.

Модель, полученная в результате редукции, имеет вид + w. гДе ^бй" - новый вектор состояния, а

4™/е R"x11 > SIred ei1Ml. CtreJ e E1M1 - новые квадратные матрицы.

Предлагается использовать закон управления вида

щ=К„рг-Кру^ (5)

где г - вектор желаемых отклонений токов в CS/PF-обмотках (вектор задающих воздействий). Тогда замкнутая система будет описываться уравнениями

х^Ах. + В.К,/, у, =СЛ, (6)

где Л = Л, - ВхКцРх. Основная идея предлагаемого метода развязки каналов первого каскада заключается в выборе таких матриц К^ и Ksp, чтобы матрица Л стала диагональной с одинаковыми элементами на главной диагонали (то есть Л = Х/, где X - скаляр, а 1 - единичная матрица) и система распалась на совокупность независимых скалярных подсистем. Данный метод позволяет обеспечить выполнение этого требования в случае, если матрицы В, и С, -квадратные и невырожденные, или, другими словами, система обладает равным числом входов, выходов и состояний. Поэтому вычисление матриц обратной и прямой связей осуществляется на основе редуцированной модели, полученной выше:

= (7)

где Л0е К11x11 - желаемое значение матрицы Л, которое может быть выбрано произвольно. При этом система, образованная при замыкании редуцированной системы с помощью матриц (7), будет иметь единичную матрицу / коэффициентов усиления на нулевой частоте, т.е. при xheJ =0 получим

y,o = C]reAredo = CM[-\jBiredKspro] = //■„. В результате замкнутая система с выбранными согласно (7) матрицами К^ и Ksp будет описываться уравнениями (6). Значения всех диагональных элементов Л были выбраны равными -1, и в результате система распалась на 11 независимых апериодических звеньев с постоянной времени 1 с.

Для слежения за заданными значениями тока и параметрами формы плазмы был разработан внешний контур регулирования (второй каскад), структурная схема которого показана на рис. 7. Регулируемыми величинами для него являются отклонение тока плазмы и отклонения шести зазоров, характеризующих форму плазмы. Выходными переменными регулятора являются корректирующие составляющие на токи в CS/PF-обмотках bIcoiIsJb. Задающее воздействие на регулятор внутреннего контура вычисляется как сумма сигналов обратной связи со сценарными значениями токов в катушках Icojhsp=bIm,h^ + Icoihref.

Принцип действия внешнего контура регулирования следующий. В линейной модели отклонения тока плазмы и значений зазоров могут быть аппроксимированы линейной комбинацией отклонений токов в катушках. Это следует из анализа матрицы С2 исходной линеаризованной модели плазмы в ITER:

х2=А2х2 + В2и2, у2 = С2х2, где y2=\bZ 5gT Ыр1 5/J„;7]Г- вектор-столбец измеряемых выходных сигналов, и2 - вектор-столбец напряжений, подаваемых на

CS/PF-обмотки, x2=[ö¡loih 5/;] - вектор состояний, состоящий из 11-ти отклонений токов в катушках ЫсЫЬ и отклонений токов в пассивных структурах 5lps (камере, первой стенке и т.п.) от равновесных значений. Элементы матрицы С2, соответствующие первым одиннадцати состояниям, имеют значения на несколько порядков большие, чем значения остальных элементов матрицы. Это означает, что в линеаризованной модели отклонения тока и параметров формы плазмы зависят в основном от отклонений токов в катушках. Эта зависимость

может быть аппроксимирована уравнением [gg7 5 Ip, = CßIcoils, где С0 е R7*11 -часть матрицы С2.

Так как количество управляющих обмоток (одиннадцать) больше, чем количество регулируемых переметшх (семь), а матрица С0 имеет полный ранг строк, то любые желаемые значения зазоров и тока плазмы могут быть обеспечены заданием определённой комбинации токов в катушках. Более того, существует бесконечное количество таких комбинаций, которые приводят к одним и тем же значениям тока плазмы и зазоров. Наиболее логичным выбором среди этого бесконечного количества является выбор комбинации токов в катушках, обладающей наименьшей 2-нормой в К11. Такой выбор может быть достигнут

путём задания 8lcoihref = 8IplrefJ, где С0+ =С0Г(С0С0Г)~'- матрица,

псевдообратная к С0 - матрица Мура-Пенроуза. При замыкании обратной связи во второй многомерный контур было введено семь одинаковых независимых ПИИ-регуляторов, т.е. многомерный диагональный ПИИ-регулятор размера 7*7 с матричной передаточной функцией вида WPII (.у) = diag\ji^ +k2/s + kjs2].

Результаты моделирования разработанной системы на нелинейном коде DINA показали, что ток в обмотке PF6 превышает допустимый предел в 45 кА. В связи с этим был предложен способ модернизации внешнего контура управления, позволяющий избежать насыщений токов в управляющих обмотках. Задача, решаемая внешним контуром управления, может быть сформулирована как задача квадратичного программирования:

минимизировать /(х) = хтх (8)

при ограничениях С0х = уа и .гтш <х<Хпа„ где для простоты как .г обозначен искомый вектор о Imih /ъ, как у0 - вектор

желаемых отклонений зазоров и тока плазмы |"(ögre/)r S 1р1геЛ, xmin =5Icoihß^,

3 0.02| i

•0.02

1.6 1.4

i

OS

10 « s

> o -e

Рис. 8. Слежение за током и параметрами формы плазмы. Вертикальная скорость плазмы dZ/dt, ток плазмы 1Р, отклонение тока плазмы от сценарного значения 61р, отклонения зазоров от сценарных значений Sg.

=8 Значения 5/co^mjn, 5IcoihJbrm% определяются с учетом того, что

W ^hoikib+hoUsref (см. рис. 7), исходя из обеспечения неравенства "'»¡bum + 0.5кА < Jco¡¡ssp < 1сыьти\ - 0.5 кА, где /co„smK=45KA - предельно допустимое значение тока в катушке, а запас 0.5 кА взят для учета возможной погрешности работы внутреннего контура регулирования.

Задача с ограничениями в виде неравенств уже не может быть решена аналитически и требует численного решения для каждого конкретного заданного у0. Методы решения таких задач хорошо известны и существует множество их программных реализаций. В данном случае для решения задачи был использован численный алгоритм, реализованный в функции quadprog среды MATLAB.

Моделирование проводилось на нелинейном коде DINA на диверторной стадии подъема тока плазмы с выходом на квазистационарную стадию разряда. Период моделирования составил 80 с начиная с момента 35.25 с номинального сценария №2 ITER. Моделирование работы системы проводилось в четырёх вариантах. В варианте 1 в качестве задающих воздействий на внешний контур регулирования подавались сценарные значения тока плазмы и зазоров. На внутренний контур регулирования подавались сценарные значения токов в катушках из базы данных ITER. В варианте 2 в качестве задающих воздействий на внутренний контур подавались уже не сценарные токи из базы данных ITER, а токи, полученные в ходе моделирования по варианту 1. Для системы с модернизированным согласно (8) внешним каскадом управления также было проведено моделирование с подачей сценарных токов из базы данных ITER (вариант 3 - аналог варианта 1), и с использованием скорректированных сценарных токов (вариант 4 - аналог варианта 2). При этом для варианта 4 скорректированные значения токов в обмотках были взяты из результатов моделирования по варианту 3.

В качестве примера на рис. 8 приведены графики результатов моделирования для варианта 4. При моделировании по вариантам 1 и 3 выяснилось, что при повышении точности слежения за сценарными значения токов в катушках несколько снижается точность слежения за параметрами формы и током плазмы, и наоборот. То есть эти две цели управления в определённой степени противоречат друг другу, а компромисс между ними может быть найден

путём задания различных настроек внешнего и внутреннего контуров регулирования. Это связано, в частности, с тем, что моделирование проводилось на коде DINA, а сценарные равновесия для ITER были рассчитаны на другом коде. Очевидно, что добиться абсолютной идентичности равновесий, получаемых в динамике, с их аналогами невозможно, поскольку при моделировании профили плотности тока плазмы и токи на камере не обязательно совпадают с данными, заложенными при расчетах сценария ITER. Задание вместо сценарных скорректированных значений токов позволило более адекватно оценить качество работы системы управления без учета несоответствий между используемой моделью и расчетным сценарием ITER. Таким образом, при моделировании по вариантам 2 и 4 имеется улучшение в слежении за током и формой плазмы, а также кардинальное улучшение в слежении за заданными токами в CS/PF-обмотках по сравнению с вариантами 1 и 3.

Для оценки полученных результатов 4-х вариантов моделирования были вычислены показатели качества работы системы в виде оценок ошибок слежения за векторными величинами

Ax(/) = *(/)-V(/)f еЛ'И1Ч/1Ы2' j\Xnf W||> ,

где x(t) - значение соответствующей векторной величины, полученное при моделировании, xref(t) - сценарное значение этой величины, tx(t) - ошибка рассогласования, avge, - относительная средняя ошибка рассогласования на интервале времени [7¡, Т2]. Рассчитанные показатели сведены в следующую таблицу:

Величина 1 2 3 4

Относительная ошибка слежения за током плазмы тахе^ (/), % 0,95 0,81 0,95 0,81

avg z!f(t),% 0,18 0,16 0,18 0,16

Относительная ошибка слежения за параметрами формы плазмы max£g (t), % 5,82 3,07 5,81 3,07

avge^ (í), % 1,37 0,72 1,37 0,72

Относительная ошибка слежения за сценарными токами в С8-обмотках maxE,cj (/), % 57,96 3,18 69,02 3,33

avge,cj (f), % 46,14 0,75 52,14 0,78

Относительная ошибка слежения за сценарными токами в РР-обмотках maxe/№ (0.% 21,24 1,56 14,31 1,56

avgeiff {/), % 13,06 0,46 9,54 0,41

Из приведённой таблицы видно, что ограничение токов в обмотках в вариантах 2 и 4 не приводит к ухудшению слежения за током и формой плазмы.

В четвёртой главе представлено создание программно-вычислительной платформы для математического моделирования систем магнитного управления плазмой на базе плазмо-физического кода DINA и среды MATLAB/Símulink R2009b. Целью создания платформы является организация удобной среды для проведения численных экспериментов на линейных и нелинейных моделях плазмы и последующего анализа результатов моделирования.

Платформа включает в себя набор m-файлов MATLAB, модель Simulink, файлы кода DINA, а также файлы, содержащие параметры из базы данных ITER, сценарий разряда и другие данные. Simulink-моделъ включает в себя подсистемы, реализующие модели плазмы в токамаке, исполнительных устройств, системы диагностики, регуляторов. Код DINA реализован как S-функция среды Simulink в виде скомпилированной динамической загружаемой библиотеки. Разработанная программно-вычислительная платформа позволяет осуществлять загрузку в рабочее пространство MATLAB всех переменных, необходимых для проведения моделирования (более двух сотен), переключать работу с линейной на нелинейную модель и обратно путём изменения одного параметра (реализация ключа), осуществлять моделирование в пакетном режиме (последовательно с разными значениями параметров), сохранять все регистрируемые сигналы в переменные рабочего пространства MATLAB и файлы, просматривать их в виде графиков, сравнивать результаты различных экспериментов путём наложения их друг на друга.

Платформа является техническим средством, служащим для повышения эффективности научной работы и даёт возможность наиболее продуктивно исследовать различные подходы к управлению плазмой в токамаке-реакторе ITER, а также сравнивать полученные результаты для принятия решения о выборе наилучших методов управления плазмой. Благодаря средствам среды MATLAB в возможности, предоставляемые платформой, входит автоматическая генерация кода на языке С на основе заложенных алгоритмов управления, что может рассматриваться как первый шаг на пути к реализации разработанных алгоритмов в рамках управляющего комплекса CODAC токамака-реактора ITER.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана нелинейная система с прогнозирующей моделью для управления формой и током плазмы с учетом ограничений на входные воздействия. Проведено численное моделирование полученной системы на разработанной программно-вычислительной платформе с нелинейным плазмо-физическим кодом DINA, при работе на квазистационарной стадии разряда при действии возмущений типа малого срыва.

2. Разработана нелинейная двухкаскадная система управления с развязкой каналов для управления током и параметрами формы плазмы. Полученная замкнутая система промоделирована на коде DINA на участке сценария, включающем переход от стадии ввода плазменного тока к квазистационарной стадии разряда. Управление обеспечивает желаемый компромисс при слежении за сценарными воздействиями по токам управления, зазорам и току плазмы, а также обеспечивает соблюдение заданных ограничений на токи в управляющих обмотках

3. Путём решения задачи идентификации на данных численного эксперимента, проведённого на нелинейном плазмо-физическом коде DINA, получены линейные модели второго порядка вертикального движения плазмы. На их основе разработана система подавления вертикальной неустойчивости плазмы. Результаты, полученные при моделировании, говорят о возможности использования таких линейных моделей для описания динамики сложного нелинейного объекта в рассматриваемых условиях. Преимуществом

предложенного подхода является возможность его последующего применения на реально действующей установке.

4. В среде MATLAB/SIMULINK разработана программно-вычислительная платформа для моделирования работы систем магнитного управления плазмой в ITER на базе плазмо-физического кода DINA. Применение разработанной платформы при проведении численных экспериментов позволяет уменьшить количество ошибок, допускаемых разработчиком системы, и сократить время, затрачиваемое на разработку системы управления.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я. Система с прогнозирующей моделью для управления формой и током плазмы в токамаке // Проблемы управления. — 2008,— №5,— С. 19-25.

2. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я. Многосвязная каскадная система слежения за током и формой плазмы в токамаке с развязкой каналов управления // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана, сер. «Приборостроение» . — 2010. — №2. — С. 21-38.

3. Синтез и моделирование двухуровневой системы магнитного управления плазмой токамака-реактора / Ю.В. Митришкин, А.Я. Коростелев, В.Н. Докука [и др.] // Физика плазмы. — 2011. — №4. — С. 307-349.

4. Development of multivariable nonlinear plasma magnetic and kinetic control systems in tokamak-reactor / Y. V. Mitrishkin [et al.] // Proc. of International Workshop on Active Control of Fusion Plasmas in Tokamaks. — San Diego, CA, USA, 2006.

http.7/www.lehigh.edu/~eus204/workshop/acfptw/talks/Yuri_Mitrishkin.pdf (дата обращения 23.05.2011).

5. Synthesis and Modeling of Plasma Vertical Speed, Shape, and Current Pro-file Control Systems in Tokamak / Y. V. Mitrishkin [et al.] // Proc. of International Workshop Control for Nuclear Fusion. — the Netherlands, 2008. — www.wtb.tue.nl/cnf/program.php (дата обращения 12.10.2010).

6. Методология проектирования системы магнитного управления плазмой в термоядерном токамаке-реакторе / Ю. В. Митришкин [и др.] // Труды VII Международной конференции Идентификация систем и задачи управления. — М., 2008, —С. 1752-1795.

7. Plasma Shape and Current Tracking Control System for Tokamak / Y. V. Mitrishkin [et al.] // Proc. of the 13th International IFAC Symposium on Information Control Problems in Manufacturing. — Moscow, 2009. —P. 2133-2138.

8. Design and Modeling of ITER Plasma Magnetic Control System in Plasma Current Ramp-Up Phase on DINA Code / Y. V. Mitrishkin [et al.] // Proc. of the 48th International IEEE Conference on Decision and Control. — China, 2009 — P 1354-1359.

9. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я., Ефремов A.A. Магнитное управление плазмой в токамаках (обзор) // Тезисы докладов 11 международной конференции Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого). — М.: 2010. — С. 284-285.

10. Mitrishkin Y.V., Kadurin A.V., Korostelev A.Y. Tokamak Plasma Shape and Current H„-Controller Design in Multivariable Cascade System // Proc. of The 18th IFAC World Congress. — Milan, Italy, 2011. — P. 3722-3727.

11. Митришкин Ю.В., Сушин И.С., Коростелев А.Я. Стабилизация неустойчивого вертикального положения плазмы в токамаке с насыщением входного сигнала // Труды 49-й всероссийской научной конференции: Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук, Москва-Долгопрудный, 2006. — С. 247248.

12. Коростелев А .Я., Митришкин Ю.В. Система с прогнозирующей моделью для магнитного управления плазмой в токамаке // Студенческий научный вестник. Сборник тезисов докладов общеуниверситетской научно-технической конференции Студенческая научная весна - 2007. — М.: HTA АПФН, 2007. — Том IV, часть 1, С. 183-184.

13. Коростелев А.Я., Митришкин Ю.В. Идентификация модели скорости вертикального движения плазмы в токамаке // Студенческий научный вестник. Сборник тезисов докладов общеуниверситетской научно-технической конференции Студенческая научная весна - 2008. — М.: HTA АПФН, 2008. — Том IV, часть 1, С. 141-142.

14. Коростелев А.Я., Митришкин Ю.В. Развязка каналов управления в системе слежения за током и формой плазмы в токамаке // Студенческий научный вестник. Сборник тезисов докладов общеуниверситетской научно-технической конференции Студенческая весна - 2009. — М.: HTA АПФН, 2009. — Том VII, часть 1,С. 186-188.

15. Коростелев А.Я., Митришкин Ю.В. Идентификация нестационарной модели скорости вертикального движения плазмы в ИТЭР // Информатика и системы управления в XXI веке. Сборник трудов No.6 молодых ученых, аспирантов и студентов. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. — С. 9-11.

16. Разработка и математическое моделирование робастно-адаптивной системы автоматического управления положением, током и формой плазмы в токамаках-реакторах / Ю. В. Митришкин [и др.]. Итоговый отчет РФФИ по проекту № 06-08-00265-а, 2008.

Подписано в печать 12.11.2011г.

Усл.пл. - 1.5 Заказ № 06724 Тираж: ЮОэкз.

Копнцентр «Чертеж.ру» ИНН 7701723201 107023, г.Москва, ул.Б.Семеновская 11, стр.12 (495)542-7389 www.chertez.ru

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МАГНИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПЛАЗМОЙ В ТОКАМАКАХ И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

1.1. Основные принципы магнитного управления плазмой в

ТОКАМАКАХ.

1.2. Плазма в tokamake ITER как объект магнитного управления.

1.3. Техническая постановка задачи.

1.4. Краткий обзор систем магнитного управления плазмой в токамаках.

1.5. Модели плазмы в tokamake и их численная реализация.

1.6. Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. СИСТЕМА С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ФОРМОЙ И ТОКОМ ПЛАЗМЫ В TOKAMAKE.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Управление с прогнозирующей моделью в обратной связи.

2.3. Прогнозирование выхода объекта управления.

2.4. Оптимальное управление в отсутствии ограничений.

2.5. Учёт ограничений на управляющие воздейс гвия.

2.6. Моделирование системы управления формой и током плазмы на коде DINA при действии возмущений типа малого срыва.

2.7. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. КАСКАДНАЯ СИСТЕМА СЛЕЖЕНИЯ ЗА ТОКОМ И ФОРМОЙ ПЛАЗМЫ В TOKAMAKE С РАЗВЯЗКОЙ КАНАЛОВ УПРАВЛЕНИЯ НА СТАДИИ ВВОДА ПЛАЗМЕННОГО ТОКА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Скалярный контур управления вертикальной скоростью плазмы.

3.3. Синтез внутреннего многомерного контура управления токами в обмотках полоидального магнитного поля.

3.4. Синтез внешнего каскада управления током и формой плазмы с многомерным ПИ-регулятором с двойным интегрированием.

3.5. Моделирование каскадной системы управления с развязкой каналов на коде DINA на стадии ввода тока плазмы.

3.6. Управление током и формой плазмы при наличии ограничений на токи в управляющих обмотках.

3.7. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ИНТЕГРИРОВАННАЯ ПРОГРАММНО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПЛАТФОРМА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПЛАЗМОЙ ТОКАМАКОВ В СРЕДЕ MATLAB/SIMULLXK.

4.1. Назначение платформы.

4.2. Описание Simuliñk-схемы.

4.3. М-файлы в составе платформы.

4.4. Мат-файлы в составе платформы.

4.5. Ключевые переменные рабочего пространства MATLAB.

4.6. Работа платформы с моделями плазмы и реальной установкой.

4.7. Выводы по главе 4.

ВЫВОДЫ.

Актуальность темы. Управляемый термоядерный синтез явл,яе1ся одним из перспективных источников энергии будущего. Условия для его осуществления могут быть достигнуты посредством специальных установок, токамаков (ТОроидальная КАмера с МАгнитными Катушками), позволяющих удерживать высокотемпературную плазму (ионизованный газ) в магнитном поле. Токамак представляет собой тороидальную вакуумную камеру, в которой плазма удерживается сильным магнитным полем, создаваемым электрическими токами в обмотках тороидального и полоидального магнитных полей, а также кольцевым током, протекающим по плазме.

В соответствии с критерием Лоусона [18] для достижения условий возникновения и протекания термоядерной реакции плазма должна обладать определенными параметрами, а именно - высокими плотностью, температурой и энергетическим временем удержания. Наилучшие результаты могут быть достигнуты для вытянутой по вертикали плазмы при максимальном использовании объёма токамака, то есть приближении границы плазмы к первой внутренней стенке. В то же время взаимодействие высокотемпературной плазмы с конструкциями токамака может привести к их разрушению. Поэтому, для достижения высокой энергетической эффективности и, вместе с тем, соблюдения условий безопасности, форма плазмы должна поддерживаться очень точно.

В решение задач магнитного управления плазмой в токамаках внесли вклад многие отечественные и зарубежные учёные, среди которых Самойленко Ю.И., Артеменков Л.И., Беляков В. А., Кавин А. А., Косцов Ю.А., Кузнецов Е.А., Ariola М., Pironti A., Portone A., Humphreys D. А., Walker М. L., Lister J. В., Schuster Е., Vyas Р., и др. В диссертации приведён краткий тематический обзор работ, что позволило определить направление проведённых исследований.

В настоящее время во Франции (г. Кадараш) начато сооружение первого Интернационального Термоядерного Экспериментального Реактора (ITER- International Thermonuclear Experimental Reactor) по принципу токамака. Это будет крупнейшая в мире термоядерная установка, на которой впервые должен быть достигнут положительный баланс между получаемой и затрачиваемой мощностью. Система магнитного управления плазмой для ITER в полном объёме до последнего времени не разработана. Кроме того, применить для ITER одну из существующих систем управления, используемых на современных токамаках, практически невозможно, так как каждая из этих систем решает специфические задачи, присущие конкретной установке, а также имеются отличия в физике токамака. В связи с этим разработка и моделирование системы управления вертикальной скоростью, током и формой плазмы в ITER с использованием различных методов классической и современной' теории управления является важной задачей, обуславливающей актуальность темы диссертации.

Целью работы является разработка многосвязных систем магнитного управления плазмой токамаков на квазистационарной, стадии разряда и стадии ввода тока плазмы, а также исследование устойчивости и качества работы полученных систем методом математического моделирования на линейных и нелинейных моделях плазмы, представляющей собой сложный динамический объект ' с распределенными параметрами, неконтроллируемыми возмущениями и неопределённостями.

Методы исследования. В системе управления, представленной в главе 2 данной работы, применяется метод управления с прогнозирующей моделью (Model Predictive Control), рассмотренный в трудах таких зарубежных ученых, как iVIaciejowski J. M., Camacho E. F., Kouvaritakis В., Wang L., Rossiter J.A. и др.

В главе 3 разработана система управления, построенная на основе принципов многомерного ПИД-регулирования с развязкой каналов, в развитие которых значительный вклад внесли Goodwin G. С., Яды кип И. Б. и др.

Для моделирования объекта управления используется нелинейный плазмо-физический код DINA, разработанный сотрудниками Троицкого института инноваций и термоядерных исследований д.ф.-м.н.Хайрутдиновым Р. Р. и к.ф.-м.н Докукой В. Н., а также сотрудником Института физики токамаков (РНЦ КИ, г. Москва) д.ф.-м.н Лукашем В. Э. Данный код выполняет функцию программного имитатора объекта управления и интегрирован в мощное средство математического моделирования MATLAB/Simulink (международный стандарт), содержащее также набор пакетов прикладных программ (toolboxes), позволяющих синтезировать, анализировать и моделировать современные системы управления.

Научная новизна. При разработке системы стабилизации формы и тока плазмы в токамаке впервые применён метод многомерного управления с прогнозирующей моделью с учетом ограничений на управляющие воздействия. В отличие от принятой в документации ITER конфигурации системы магнитного управления плазмой, система с прогнозирующей моделью обрабатывает полный вектор выходных сигналов без разделения на быстрый скалярный контур вертикальной стабилизации плазмы и медленный многомерный контур управления формой и током плазмы.

Путём идентификации нелинейного кода DINA получена новая неустойчивая линейная модель вертикального движения плазмы второго порядка, использованная при синтезе системы подавления вертикальной неустойчивости.

Разработана и промоделирована на нелинейном коде DINA оригинальная каскадная система слежения за током и формой плазмы в токамаке с развязкой каналов управления для применения на временном интервале, включающем переход от стадии ввода плазменного тока к квазистационарной стадии разряда. Разработанная система обеспечивает сохранение качества регулирования при насыщении токов в управляющих обмотках.

Разработана новая методика корректировки сценария плазменного разряда токамака на основе моделирования замкнутой системы управления на коде DINA применительно к ITER.

На базе кода DINA, интегрированного в среду MATLAB/Simulink, создана новая программно-вычислительная платформа для моделирования систем магнитного управления плазмой, позволяющая повысить эффективность научных исследований в этой области.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Разработка нелинейной системы 'магнитного управления с прогнозирующей моделью при действии возмущений типа малого срыва с учетом ограничений на управляющие воздействия. Моделирование её на разработанной программно-вычислительной платформе с нелинейным кодом DINA на квазистационарной стадии плазменного разряда.

2. Получение линейной скалярной модели вертикального движения плазмы второго порядка путём идентификации по данным численного эксперимента, проведённого на нелинейной модели кода DINA.

3. Разработка и моделирование на коде DINA системы магнитного управления с развязкой каналов на временном интервале, включающем переход от диверторной стадии нарастания плазменного тока к квазистационарной стадии разряда.

4. Методика корректировки сценария ITER с использованием результатов моделирования замкнутой системы управления на нелинейном коде DINA.

5. Разработка программно-вычислительной платформы в среде MATLAB/Simulink для эффективного моделировании систем магнитного управления плазмой с переключением между нелинейным кодом DINA и линеаризованными моделями плазмы.

Практическая ценность результатов заключается в возможности применения в реальной системе магнитного управления плазмой в ITER. Так как объект управления находится в состоянии строительства, то результаты работы представляют практическую ценность для подготовительной стадии разработки реальной системы магнитного управления плазмой и дают возможность для проведения сравнительного синтеза и анализа различных подходов к созданию данной системы в ITER. Разработанная программно-вычислительная платформа для моделирования систем магнитного управления плазмой применяется на практике в научной работе коллектива студентов и аспирантов.

Личный вклад автора.

1, 4, 12, 16] Коростелевым Д.Я. разработана система управления с прогнозирующей моделью для управления формой и током плазмы в токамаке. ■ Разработанная система промоделирована на линеаризованных моделях плазмы и на нелинейном коде DINA в условиях действия малого срыва.

2, 3, 7, 8, 14] Коростелевым А.Я. разработана многосвязная каскадная система слежения за током и формой плазмы в токамаке с развязкой каналов управления. Проведено моделирование разработанной системы на линейной и нелинейной моделях плазмы в токамаке.

3] Коростелевым А.Я. реализована методика корректировки плазменного разряда сценария ITER с учетом работы замкнутой системы управления в численном экспериемнте на коде DINA.

5, 6, 13, 15] Коростелевым А.Я. путём идентификации по данным численного эксперимента на коде DINA построена линейная модель второго порядка вертикального движения плазмы с достаточно высокой степенью точности. у

9] Коростелевым А.Я. подготовлен ряд материалов для обзора истории, текущего состояния и перспектив развития систем магнитного управления плазмой в токамаках.

10] Коростелёвым А.Я. разработан внутренний каскад управления токами в обмотках полоидального магнитного поля, входящий в состав общей многосвязной системы управления током и формой плазмы.

11] Коростелёвым А.Я. разработан одномерный прогнозирующий регулятор с учетом насыщения входного сигнала для стабилизации вертикального положения плазмы в токамаке и осуществлено математическое моделирование разработанного регулятора на линейной модели плазмы в замкнутой системе управления.

Апробация и внедрение результатов. Результаты работы докладывались и обсуждались на национальных и международных научных конференциях и симпозиумах:

- 49-я научная конференция «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2006,

- общеуниверситетские научно-технические конференции «Студенческая научная весна - 2007, 2008, 2009», МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, 2007-2009;

- Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO'08, Москва, 2008,

- The 13th IFAC Symposium on Information Control Problems in Manufacturing, Moscow, 2009,

- 48th IEEE Conference on Decision and Control, Shanghai, China, 2009,

- Пая международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого), ИПУ РАН, Москва, 2010,

- The 18th IFAC World Congress, Milan, Italy, 2011, а также на международных научных семинарах:

- Workshop on Active Control of Fusion Plasmas in Tokamaks, San Diego, USA, 2006,

- International Workshop «Control for Nuclear Fusion», Eindhoven, the Netherlands, 2008,

- Concertation Meeting on Control of Large-Scale Systems (CLaSS), March 2, 2009, European Commission, Avenue de Beaulieu 25, Belgium, Brussels.

Список публикаций. Основные результаты диссертации опубликованы в журналах из перечня ВАК РФ: «Проблемы управления» [1], «Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Приборостроение» [2] и «Физика плазмы» [3]. Остальные работы опубликованы в трудах международных [4-10] и российских конференций [11-15], а также в итоговом отчете РФФИ по проекту № 06-08-00265-а [16].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, выводов и списка цитируемой литературы из 91 наименования. Работа содержит 150 страниц, включает 46 рисунков и 5 таблиц.

Выводы

В диссертации представлена разработка систем магнитного управления плазмой для двух режимов работы токамака-реактора ITER — квазистационарного режима при действии возмущений и стадии ввода плазменного тока. При этом исследовались два подхода к разработке систем магнитного управления плазмой: управление с прогнозирующей моделью (для первого режима) и управление с развязкой каналов (для второго режима). Системы, разработанные на основе этих подходов, промоделированы на нелинейном плазмо-физическом коде DINA, являющимся одним из наиболее развитых в мире, и на основании полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Результаты моделирования разработанной системы с прогнозирующей моделью показывают, что она обеспечивает лучшее качество управления по сравнению с /-/«-регулятором. Особенностью метода является нелинейный закон управления, на каждом шаге решающий задачу оптимизации трактории выходных сигналов объекта в условиях ограничений на управляющие воздействия. В отличие от других предлагаемых в настоящее время для ITER систем, разработанный регулятор обрабатывает всю совокупность выходных сигналов объекта без разделения на быстрый контур вертикальной стабилизации и медленного контура управления формой и током плазмы.

2. Путём решения задачи идентификации на данных численного эксперимента на коде DINA получены линейные модели второго порядка вертикального движения плазмы. С их использованием разработана система стабилизации вертикальной скорости плазмы относительно нуля на основе пропорционального регулятора. Удовлетворительные результаты, полученные при моделировании, говорят о' возможности использования таких линейных моделей для описания динамики сложного нелинейного объекта в рассматриваемых условиях. Преимуществом предложенного подхода является возможность его последующего применения на реально действующей установке.

3. Моделирование разработанной двухкаскадной системы с развязкой канатов для управления током и параметрами формы плазмы показало, что для соблюдения заданных ограничений на токи в управляющих обмотках требуется введение во внешний- контур управления нелинейного элемента, осуществляющего поиск допустимой комбинации управляющих токов для обеспечения заданной формы и тока плазмы. Преимущество каскадного управления заключается в интуитивной ясности настройки регуляторов и возможности раздельной настройки внутреннего и внешнего контуров регулирования.

4. Предложена и реализована методика корректировки сценария ITER с использованием результатов моделирования замкнутой системы управления на коде DINA.

5. В ходе написания работы автором создана программно-вычислительная платформа для моделирования работы систем магнитного управления плазмой в ITER, основанная на пакете MATLAB/Simulink и плазмо-физическом коде DINA. Применение разработанной платформы при проведении численных экспериментов позволяет уменьшить количество ошибок, допускаемых разработчиком системы, и сократить время, затрачиваемое на разработку системы управления. В возможности, предоставляемые платформой, входит автоматическая генерация кода на языке С на основе заложенных алгоритмов управления, что может рассматриваться как первый шаг на пути к реализации разработанных алгоритмов на реальной установке.

1. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я. Система с прогнозирующей моделью для управления формой и током плазмы в токамаке // Проблемы управления. — 2008.— №5.— С. 19-25.

2. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я. Многосвязная каскадная система слежения за током и формой плазмы в токамаке с развязкой каналов управления // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Приборостроение. — 2010. —№2. —С. 21-38.

3. Синтез и моделирование двухуровневой системы магнитного управления плазмой токамака-реактора / Ю.В. Митришкин, А.Я. Коростелев, В.Н. Докука и др. // Физика плазмы. — 2011. — №4. — С. 307-349.

4. Profile Control Systems in Tokamak / Y. V. Mitrishkin, A.Y. Korostelev, N.M. Kartsev et al. // Proc. of International Workshop Control for Nuclear Fusion. — the Netherlands, 2008. — www.wtb.tue.nl/cnf/program.php (дата обращения 12.10.2010).

5. Plasma Shape and Current Tracking Control System for Tokamak / Y. V. Mitrishkin, A.Y. Korostelev, I.S. Sushin et al. // Proc. of the 13th International IFAC Symposium on Information Control Problems in Manufacturing. — Moscow, 2009. — P. 2133-2138.

6. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я., Ефремов A.A. Магнитное управление плазмой в токамаках (обзор) // Тезисы докладов 11 международной конференции Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого) . — М.: 2010. — С. 284— 285.

7. Mitrishkin Y.V., Kadurin A.V., Korostelev A.Y. Tokamak Plasma Shape and Current Hco-Controller Design in Multivariable Cascade System // Proc. of The 18th IFAC World Congress. — Milan, Italy, 2011. — P. 3722-3727.

8. Artsimovich L. A. Tokamak devices // Nuclear Fusion. — 1972. — Vol. 12.1. P. 215-252.

9. Wesson J. Tokamaks (3rd ed.). — Oxford: Clarendon Press, 2004. — 749 p.

10. Миямото К. Основы физики плазмы и управляемого синтеза. — М.: Физматлит, 2007. — 424 с.

11. Progress in the ITER physics basis. Chapter 8. Plasma Operation and Control / Y. Gribov, D. Humphreys, K. Kajiwara et al. // Nuclear Fusion.2007. — Vol. 47, No. 6. — P. S385-S403.

12. Mitrishkin Y.V., Kurachi K., Kimura H. Plasma Multivariable Robust Control System Design and Simulation for a Thermonuclear Tokamak-Reactor // International Journal of Control. — 2003. — Vol. 76, No. 13. — P. 1358-1374.

13. Mitrishkin Y.V., Dolcuka V.N., Khayrutdinov R.R. Linearization of ITER plasma equilibrium model on DINA code // 32nd EPS Plasma Physics Conference. — Spain, 2005. — Vol. 29C. — P-5.080.

14. Ariola M., Pironty A. Magnetic Control of Tokamak Plasmas. — London: Springer-Yerlag, 2008. — 162 p.

15. Самойленко Ю.И., Губарев В.Ф., Кривонос Ю.Г. Управление быстро-протекающими процессами в термоядерных установках. — Киев: Наукова Думка, 1988. — 380 с.

16. Арсенин В. В., Чуянов В. А. Подавление неустойчивостей плазмы методом обратных связей // Успехи физических наук. — 1977. — Т. 123., Вып. 1. —С. 83-129.

17. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. — М.: Наука, 1972. — 768 с.

18. Gran R., Rossi M.J., Sobierajski F. Plasma position control for TFTR using modern control theory // Proc. of 7th Symp. Eng. Probs. Fusion Research. — Knoxville, TN. — 1977. — P. 104—111.

19. Firestone M.A. Analysis of modern optimal control theory applied to plasma position and current control in TFTR // IEEE Transactions on Plasma Science. — 1982.—Vol. 10, No. 2.— P. 105-115.

20. Neilson G.H., Dyer G.R., Edmonds P.H. A model for coupled plasma current and position feedback control in the ISX-B tokamak // Nuclear Fusion. — 1984,— Vol. 24, No. 10,— P. 1291-1302.

21. Митришкин Ю.В., Савкина И.С. О модели равновесия плазмы в токамаке // Автоматика и телемеханика. 1984. - №3. - С. 64-76.

22. Митришкин Ю.В. Управление динамическими объектами с применением автоматической настройки. -М.: Наука, 1985. 158 с.

23. Релейная система стабилизации положения плазмы токамака. / Ю.В. Грибов, Е.А.Кузнецов, Ю.В. Митришкин и др. // Вопросы атомной науки и техники. Термоядерный синтез. — 1986. — Вып. 4. — С. 5157.

24. Адаптивная оптимальная система управления горизонтальными смещениями плазменного шнура в токамаке / Ю.В. Грибов, Е.А. Кузнецов, Ю.В. Митришкин и др. // Вопросы атомной науки и техники. Термоядерный синтез. — 1988. — Вып. 4. — С. 28-32.

25. Mitrishkin Y.V., Kuznetsov Е. A. Estimation of Parameters of Stabilized Plasma // Plasma Devices and Operations. —T993. — Vol. 2, No. 3. — P. 277-286.

26. Кузнецов E.A., Митришкин Ю.В. Автоколебательная система стабилизации неустойчивого вертикального положения плазмы сферического токамака ГЛОБУС-М. — М.:ИПУ РАН, 2005. — 71 с.

27. Analysis of optimal feedaback control of vertical plasma position in a tokamak system / S. Moriyama, K. Nakamura, Y. Nakamura et al. // Japan Journal of Applied Physics. — 1985. — Vol. 24, No. 7. — P. 849-855.

28. Mitrishkin Y., Kimura H. Plasma Vertical Speed Robust Control in Fusion Energy Advanced Tokamak // Proc. 40 IEEE Conf. Decision and Control. — Orlando, FL. —2001. —P. 1292-1297.

29. Plasma Vertical Stabilization in the Presence of Coil Voltage Saturation in the DIII-D Tokamak / E. Schuster, M.L. Walker, D.A. Humphreys et al. //

30. American Control Conference. — Denver, CO. — 2003. — Vol. 3. — P. 2323-2328.

31. Sartoni F., Tomassi G., Piccolo F. The Joint European Torus. Plasma position and shape control in the world's largest tokamak // IEEE Control Systems Magazine. — 2006. — Vol. 26, No. 2. — P. 64-78.

32. Vertical stabilization of tokamak plasmas / M.M.M. Al-Husari, B. Hendel, I.M. Jaimoukha et al. // Proc. of 30th IEEE Control and Decision Conference. — Brighton, UK. — 1991. — P. 1165-1170.

33. Application of cautious stable predictive control to vertical positioning in COMPASS-D tokamak / J.R. Gossner, P. Vyas, B. Kouvaritakis et al. // IEEE Transactions on Control Systems Technology. — 1999. — Vol. 7, No. 5, —P. 580-587.

34. Shaping, Vertical Stability and Control of Elongated Plasmas on the TVD / A.V. Abramov, A.V. Bortnikov, N. N. Brevnov et al. . — Moscow: Kurchatov Institute of Atomic Energy, 1991. — 40 p.

35. Kessel C.E., Firestone M.A., Conn R.W. Linear optimal control of tokamak fusion devices // Fusion Technology. — 1990. — Vol. 17, No. 3. —- P. 391411.

36. Simulation studies of plasma identification and control in Korea Superconducting Tokamak Advanced Research / H. Jhang, C.E. Kessel, N. Pomphrey et al. // Fusion Engineering Design. — 2001. — Vol. 54, No. 1.1. P. 117-134.

37. Plasma shape control: A general approach and its application to Alcator C-Mod / I.H. Hutchinson, S.F. Hörne, G. Tinios et al. // Fusion Technology.1996. — Vol. 30, No. 2. — P. 137-150.

38. The control of tokamak configuration variable^ plasmas / J.B. Lister, F.Hofmann, J.M. Moret et al. // Fusion Technology. — 1997. — Vol. 32, No. 3. —P. 321-373.

39. Albanese R., Villone F. The linearized CREATE-L plasma response model for the control of currcnt, position and shape in tokamaks // Nuclear Fusion.1998. — Vol. 38, No. 5. — P. 723-738.

40. Plasma current, shape, and position control in ITER / R. Albanese, G. Ambrosino, E. Coccorese ct al. // Fusion Technology. — 1996. — Vol. 30, No. 2. —P. 167-183.

41. Plasma current and shape control in tokamaks using /7Ю and //-synthesis / G. Ambrosino, M. Ariola, Y. Mitrishkin et al. // Proc. 36th IEEE Conference on Decision and Control. — San Diego, CA. — 1997. — P. 3697-3702.

42. A modern plasma controller tested on the TCV tokamak / M. Ariola, G. Ambrosino, J.B. Lister et al. // Fusion Technology. -—> 1999. — Vol. 36, No. 2,—P. 126-138.

43. Ariola M., Pironti A. Plasma Shape Control for the JET Tokamak. An optimal output regulation approach. // IEEE Control Systems Magazine. — 2005. — Vol. 25, No. 5. — P. 65-75.

44. Linear quadratic Gaussian controller design for plasma current, position and shape control system in ITER / V. Belyakov, A. Kavin, V. Kharitonov et al. // Fusion Engineering and Design. — 1999. — Vol. 45. -— P. 55-64.

45. Simulations of ITER scenarios / V. Lukash, Y. Gribov, A. Kavin et al. // Plasma Devices and Operations. — 2005. — Vol. 13, No. 2. — P. 143-156.

46. Khayrutdinov R.R., Lukash V.E. Studies of Plasma Equilibrium and Transport in a Tokamak Fusion Device with the Inverse-Variable Technique //Journal of Computatonal Physics. — 1993. — Vol. 109. — P. 193-201.

47. Филлипс 4., Харбор P. Системы управления с обратной связью. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 616 с.

48. Митришкин Ю.В. Линейные модели управляемых динамических систем (Часть 1. Уравнения «вход-выход» и «вход-состояние-выход»).

49. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. —222 с.

50. Albanese R., Coccorese V., Rubinacci G. Plasma Modelling for the Control of Vertical Instabilities // Nuclear Fusion. — 1989. — Vol. 29, No.6. — P. 1013-1023.

51. Belyakov V., Kavin A. Derivation of the linear models for the analysis of the plasma current, position and shape control system in Tokamak devices // Proceedings of International Conference Physics and Control. — St.-Petersburg. —2003. —P. 1019-1024.

52. Model Predictive Heuristic Control: Application to Industrial Processes / J. Richalet, A. Rault, J.L. Testud et al. // Automatica. — 1978. — Vol. 14, No. 5. —P. 413-428.

53. Cutler C.R., Ramaker B.C. Dynamic Matrix Control A Computer Control Algorithm // Proc. of the Automatic Control Conference. — San Francisco. — 1980. —P. WP5-B.

54. Camacho E.F., Bordons A.C. Model Predictive Control. — 2nd ed. — London: Springer, 2004. —405 p.

55. Macicjowski J.M. Predictive Control with Constraints. — Harlow: Pearson Education, 2002. — 331 p.

56. Rossitcr J. A. Model-based predictive control: a practical approach. — Boca Raton: CRC Press, 2003. — 318 p.

57. Wang L. Model predictive control system design and implementation using MATLAB. — London: Springer, 2009. — 375 p.

58. Green M., Limebeer D.J.N. Linear Robust Control. — New Jersey: Prentice Hall, 1995, —538 p.

59. Skogestad S., Postlethwaite I. Multivariable Feedback Control. Analysis and design. — New York: John Wiley, 2005. — 574 p.

60. Синтез и моделирование 7/оо-системы магнитного управления плазмой в токамаке-реакторе / В.Н. Докука, А.В. Кадурин, Ю.В. Митришкин и др. // Автоматика и телемеханика. — 2007. — №8. — С. 126-145.

61. Лукаш В.Э., Докука В.Н., Хайрутдинов P.P. Программно-вычислительный комплекс DINA в системе MATLAB для решениязадач управления плазмой токамака // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Термоядерный синтез. — 2004. — Вып. 1. — С. 40-49.

62. Ljung L. System Identification Theory for the User. — 2nd ed. — New Jersey: Prentice Hall, 1999. — 672 p.

63. Albert A. Regression and the More-Penrose pseudoinverse. — New York: Academic Press, 1972. — 180 p.

64. Full tokamak simulation of ITER Scenario 2 using the combined DINA-CH and CRONOS simulator / S.H. Kim, J.-F. Artaud, V.Basiuk et al. // Proceedings of the 35th EPS Conference on Plasma Physics. — Hersonissos. — 2008. — Vol.32D, 0-2.004. — P. 1 -4.

65. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983. — 384 с.

66. ITER Design Description Document. — 2008. — N 11 DDD 178 04-06-04 R 0.4.

67. ITER Plant Control Design Handbook. Version 5.2. Abstract. — 2010. — 59 p. — http://www.iter.org/doc/www/edit/Lists/WebsiteText/Attachments/ 94/0lPCDI-ICore27LH2Vv52.pdf (Дата обращения: 01.02.2011).

68. ITER Catalogue of I&C Products. Fast Controllers. — 2010. — 13 p. — http://www.iter.org/doc/www/edit/Lists/WebsiteText/Attachments/94/12F CCatalogue345X28vl2.pdf (Дата обращения: 01.02.2011).

69. Нейман Л.P., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: в 2 т. — Л.: Энергия, 1967. — Т. 1. 523 с.

70. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. —- М.: Мир, 1985.—509 с.

71. Лукаш В.Э. Эволюция плазмы в токамаке моделирование и сравнение с экспериментом: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. М. 2008. — 34 с.

72. Хайрутдинов P.P. Создание и применение комплекса плазмофизических моделей DINA для установки токамак: автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. М. 2010. —33 с.

73. Lister J.B. Plasma Equilibrium Response Modelling Experiments on the JT-60U and TCV Tokamaks // 27th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. — 2000,— Vol. 24B. — P. 181-184.

74. Comparing TCV experimental VDE responses with DIN A code simulations / J-Y. Favez, R.R. Khayrutdinov, J.B. Lister et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2002. — Vol. 44. — P. 171-193.

75. Comparing DINA code simulations with TCV experimental plasma equilibrium responses / R.R. Khayrutdinov, J.B. Lister, V.E. Lukash et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion. — 2001. — Vol. 43. — P. 321342.

76. High performance integrated plasma control in DIII-D / D.A. Humphreys, R.D. Deranian, J.R. Ferron et al. // Fusion Engineering and Design. — 2005. — Vol. 74, No. 1-4. — P. 665-669.

77. Comparing magnetic triggering of ELMs in TCV an ASDEX Upgrade / S.H. Kim, M.M. Cavinato, V.N. Dokuka et al. // Plasma Physics and Controlled Fusion.—2009. —Vol. 51. — P. 055021.

78. KTM Tokamak Conceptual Design and Basic Parameters / V.A. Korotkov, E.A. Azizov, Yu.S. Cherepnin et al. // Fusion Engineering and Design. — 2001.— Vol. 56-57.— P. 831-835.

79. Veremey Е., Sotnikova М. Plasma Stabilization System Design on the Base of Model Predictive Control // Model Predictive Control. — Edited by Tao Zheng.— ISBN: ,978-953-307-102-2.— Sciyo:2010.— P.199-222.

80. Mattingley J., Wang Y., Boyd S. Receding Horizon Control: Automatic Generation of High-Speed Solvers // IEEE Control Systems Magazine. — 2011, —Vol. 31(3) . — P. 52-65.

81. Wang Y., Boyd S. Fast Model Predictive Control Using Online Optimization // IEEE Transactions on Control Systems Technology. — 2010. — Vol. 18. — P. 267-278.