автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Математические методы стабилизации положения, формы и тока плазмы в современных токамаках

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАБИЛИЗАЦИИ ПОЛОЖЕНИЯ, ФОРМЫ И ТОКА ПЛАЗМЫ В СОВРЕМЕННЫХ ТОКАМАКАХ

13 01- системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ЖАБКО Наталия Алексеевна

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена на факультете прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Овсянников Дмитрий Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор Щенников Владимир Николаевич

Ведущая организация Научно-исследовательский институт

электрофизической аппаратуры им Д В Ефремова, г Санкт-Петербург

Защита состоится 2005 года в часов на засе-

дании диссертационного совета Д-212.232 50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу. 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , дом 7/9.

Автореферат разослан 2005 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ -мат. наук, профессор

/С^/^ Г. И Курбатова

WM M9M

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время при проведении научных исследований, связанных с изучением, проектированием и практической реализацией систем автоматического управления, исключительно широко применяются математические методы и алгоритмы системного анализа и современной теории управления Это позволяет сформировать фундаментальную базу для использования современных компьютерных технологий при автоматизации выполняемых работ и при реализации принимаемых решений, что существенно повышает их эффективность, а также принципиально улучшает качество разрабатываемых систем Исключительно значимой частной сферой широкого применения указанного математического аппарата является промышленная энергетика, где существенное внимание постоянно уделяется широкому спектру вопросов, связанных с управлением динамическими объектами Среди сложных объектов энергетики, привлекающих в последнее время внимание прикладных математиков, особое место занимают системы управления термоядерными реакторами на основе токамаков.

Для этих объектов исключительно значимы математические методы оптимизации динамических характеристик систем управления, позволяющие привлекать современные подходы к решению практических задач и, в частности, задач стабилизации плазмы. Главную роль здесь играет базовая теория аналитического синтеза стабилизирующих законов управления. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах А.М. Лётова, В И Зубова, A.A. Красовского, В В. Солодовникова, В С Пугачёва, Н Винера, Р. Калмана, Ч Дезоера и М. Видьясагара, В Н. Фомина и многих других выдающихся ученых

Заслуженной популярностью пользуется теория среднеквадратичного оптимального синтеза при учёте стационарных внешних возмущений случайного характера. Большой вклад в развитие данного направления внесли такие известные специалисты, как В В Солодовников, В С. Пугачев, А А Красовский, А А. Первозванский, X Квакернаак и многие другие.

В последние десятилетия в рамках оптимизационного подхода особое внимание уделяется методам построения таких систем, математические модели которых представляютс ............ьными нормами в

пространствах Харди Нг и Нх Развитие Я-теории связано с именами Д Дойла, Б Френсиса, К. Гловера и других исследователей

Тем не менее, необходимо отметить, что среди опубликованных работ сравнительно мало источников, связанных с адаптацией известных методов аналитического синтеза к решению конкретных задач стабилизации формы плазмы в токамаках Это связано с относительной новизной проблемы для сформированного в последние годы комплекса требований к качеству стабилизации плазмы.

При реализации методов оптимального синтеза стабилизирующих управлений в токамаках необходимо учитывать два принципиальных обстоятельства во-первых, оптимизация в подавляющем большинстве практических ситуаций не является самоцелью, а служит рабочим инструментом достижения желаемого качества динамических процессов, во-вторых, оптимизация может осуществляться в режиме реального времени в процессе функционирования токамака.

Однако известные универсальные методы оптимального синтеза по нормам пространств Н2 и Нл не ориентированы на учёт этих обстоятельств, что обусловлено присущими им определенными недостатками как в плане реализуемости расчетных схем на современных компьютерах, так и в плане реализуемости получаемых в результате расчетов законов управления В настоящее время проблема далека от исчерпывающего решения, что затрудняет привлечение оптимизационных подходов к проектированию систем управления плазмой

Отмеченные недостатки известных методов оптимизации по нормам Н 2 и и новизна их применения к решению задач стабилизации плазмы определяют актуальность развития соответствующей теории и вычислительных методов синтеза, а также их адаптации к решению комплекса прикладных задач управления в современных токамаках.

Цель диссертационной работы состоит в проведении исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмического обеспечения оптимизации многосвязных динамических систем по нормам #2 и Нт с адаптацией к особенностям задач стабилизации плазмы в термоядерных реакторах-токамаках

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза систем управления динамическими объектами Построение и исследование синтезируемых регуляторов осуществляется с использованием аналитического и вычислительного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Научная новизна. Содержание диссертационной работы определяется разработкой нового спектрального метода поиска оптимального решения SISO задачи оптимального синтеза, позволяющего построить эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для анализа форме.

Проведено изучение нерегулярных ситуаций, возникающих при синтезе #2 и Нж оптимальных регуляторов, предложены методы регуляризации в задачах Н2 и синтеза

Предложены методы, позволяющие упростить математические модели объектов управления и синтезируемых регуляторов для обеспечения реализуемости расчётных схем и результатов синтеза.

Проведена адаптация новых и известных методов оптимизации по нормам Н2 и Нх для решения задач анализа и синтеза систем управления плазмой с учетом комплекса реальных ограничений и требований, предъявляемых к качеству стабилизации.

Работоспособность и эффективность предложенных методов и алгоритмов проиллюстрирована на примерах конкретных содержательных задач управления плазмой.

Практическая значимость работы состоит в ее ориентации на решение проблемы высокоэффективной реализуемости как разрабатываемых алгоритмов, так и получаемых с их помощью законов управления в реальных условиях применения Предложенные в диссертации новые математические методы и вычислительные алгоритмы позволяют повысить эффективность решения достаточно сложных проблем оптимального управления движением динамических объектов и используются в специфических зада-

чах, возникающих в практике исследования и проектирования систем стабилизации плазмы в современных токамаках.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XXXIII научной конференции "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург, апрель 2002 г), международной научной конференции "Еругинские чтения VIII" (г Брест, Беларусь, май 2002 г ), IX международной конференции "Beam Dynamics and Optimization" (г Санкт-Петербург, июнь 2002 г ), международной конференции по Вычислительной физике памяти акад. С П Меркурьева (г Санкт-Петербург, август 2003 г.), VI международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г Саранск, май 2004 г.), а также на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем и лаборатории компьютерного моделирования систем управления СПбГУ

Отдельные результаты диссертации использованы в НИИ ВМ и ПУ им В И Зубова СПбГУ при выполнении работ в рамках международного проекта ITER по созданию рабочей версии термоядерного реактора на основе токамака.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 5 печатных работ.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 90 наименований. Объем работы составляет 148 страниц машинописного текста

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении осуществляется общая содержательная формулировка задач, решаемых в диссертационной работе, а также проводится краткий анализ научных публикаций по теме исследований

В первой главе, которая является основной теоретической частью диссертации, рассматриваются математические методы и алгоритмы теории оптимизации по нормам пространств Нг и Нх, позволяющие решать

практические задачи анализа и синтеза стабилизирующих управлений для динамических объектов.

В первом параграфе первой главы приводятся известные основные положения теории оптимизации по нормам пространств Я2 и Яи, в том числе - алгоритмы решения задач Н2, Я„ и LQG-оптимального синтеза, базирующиеся на решении матричных алгебраических уравнений Риккати Указанные алгоритмы непосредственно используются в диссертации применительно к математической модели

х = Ax + Bu + Gd, е = Lx + Mu, у =Cx + Du + Fd

объекта управления с векторами х е Е" состояния, u е Е" управления, d е E"1' возмущения, е е Ер контролируемого выхода и вектором измерений у б Е . При этом уравнения регулятора, синтезируемого в результате применения описанных алгоритмов, представляются в виде

и = W(p)y, p = d/dt.

Кроме того, приводится алгоритм решения задачи Неванлинны-Пика, заключающейся в том, чтобы на множестве RHm правильных дробно-рациональных функций с гурвицевыми знаменателями найти такую функцию D(s), которая будет удовлетворять условиям |jD(s)t|œ <1 и 0(а,) = 6(, / = 1,я, где а, - заданные точки в открытой правой полуплоскости, Ь, -любые заданные комплексные числа, и - произвольное положительное конечное целое число.

Основное внимание во втором параграфе первой главы уделяется разработке нового спектрального метода решения задачи Н^ -оптимального синтеза для SISO-объектов При этом объект управления описывается SISO LTI моделью вида

A(p)y = B(p)u + <p(t), (1)

где у - скалярная измеряемая переменная, и - скалярное управление, А(р), В(р) - полиномы степеней п и т<п-\ соответственно от оператора дифференцирования p = d/dt, cp(í) - внешнее стационарное возмущающее со спектральной плотностью S „(а*)

В качестве модели регулятора рассматривается линейное уравнение

u = W(j>)y, (2)

где W(p) - W,(р)!W1{p),Wx,W1- полиномы

При этом качество процессов управления в замкнутой системе (1), (2) характеризуется функционалом

= sup |FOm)|, (3)

®е[0,«>)

где F(s) - обобщенная передаточная функция замкнутой системы, определяемая тождеством

данное фиксированное вещественное число

Задача состоит в поиске экстремума функционала (3) на множестве Q* стабилизирующих регуляторов вида (2)-

/„(»0 = sup |F(y£ö)|2-> inf.. (4)

об|0,оо) Wen

В параграфе вводятся варьируемые функции, описываемые соотношением Ф(^) = a(s)Fy(s) + ß(j)Fu (.?), где a(s) и ß(.v) - любые полиномы, которые одновременно не обращаются в тождественные нули и обеспечивают гурвицевость полинома Q(s) = /4(j)ß(s) + B(s)a(s)

Устанавливается взаимно однозначное соответствие между функцией-параметром Ф(.?) и передаточной функцией W(s) регулятора и, соответственно, множествами ЯНФ = {Ф(^) е RL ■ F(s) е RH„ } и е П*' F(s) е RHX], где RL - множество дробно-рациональных функций h(s) комплексной переменной s, которые не имеют полюсов на мнимой оси, RHп <zRL - его подмножество, состоящее из правильных (возможно - не строго) рациональных дробей с гурвицевыми знаменателями. При этом функционал в задаче (4) можно представить в явной зависимости от параметра Ф • /„(IV) = 7„(Ж(Ф)) = /Ш(Ф)

Доказываются следующие утверждения, определяющие решение указанной задачи

Лемма 1.2.1. Можно указать такие вспомогательные дробно-рациональные функции 71(5), Т2(.?) и Тъ{$), первые две из которых имеют гурвицевы знаменатели, что обобщённая передаточная функция /Г(Ф) замкнутой системы (1), (2) удовлетворяет тождеству

^(Ф)^(Ф) = ^(Ф)^(Ф) + *2Р„(Ф)К(Ф) = (7| -Т2Ф)(Т, - ТгФ) + Г3

Здесь и далее черта над символом, представляющим дробно-

рациональную функцию, обозначает замену аргумента «б» на «-б»

п _ к2аА -$В _ в _ к2 ,

Показывается, что 7, =-, Т2= —, Т3 = —=г, где функции о

(2<3 (2 СО

и О - результат факторизации + ВВ = ОС , полином - гурви-

цев, полином О =С(-^) = /„(Я1-^(Яг (йл-5) ~ симметричен ему

относительно действительной оси по расположению корней, 1*е > 0,

I -\,п Далее будем считать, что все корни gl являются простыми

Теорема 1.2.1. Если существуют такие положительные вещественные

числа у, для которых эрмитова матрица

' 8, +gJ

является положительно полуопределённой Ь(у) > 0, то минимальное из них число у = у0 определяет точную нижнюю границу =у0 функционала /„(Ф) на множестве Здесь гурвицев полином - результат факторизации Ят(5)Яг(-5) = у2С(х)С(-з)-к2 При этом величина Ф^о достигается на оптимальной функции-параметре Ф0 е ЯНФ, которую можно представить формулой

ф (,) =----!- -,

где полином Ну(я) соответствует числу у = у„,а О0(л) - решение задачи Неванлинны-Пика для исходных данных . , Е„, с12, >

Теорема 1.2.2. Передаточная функция W0(s) оптимального регулятора, являющегося решением исходной задачи (4) -оптимального синтеза определяется формулой

W is) = Wo> (S) - (5) + B(-s>2

Wm(s) [B(s)m,(S)Hy(s)-k2A(-s)m2(s)}/G(-sy

где полиномы m,(s), m2(s) - соответственно числитель и знаменатель дробно-рациональной функции D0(s), деление на полином G(-s) осуществляется нацело (без остатка) При этом обобщенная передаточная функция F0(s) оптимальной замкнутой системы является равномерно пропускающей (all-pass).

На основании доказанных утверждений формулируется алгоритм решения задачи Нх -оптимального синтеза для SISO объекта на базе интерполяционной задачи Неванлинны-Пика.

В вычислительном плане, в отличие от известных подходов, этот алгоритм позволяет существенно сократить объём вычислений, обеспечивающих поиск оптимального решения Кроме того, предлагаемая форма его представления является удобной для изучения свойств оптимальной замкнутой системы

Приводится также и алгоритм решения задачи

I2(W) = [FSx\2 = J-í- ]|FO®)|2S,(ü>>Ao min , S„(<о) = t/co)|2, V ¿K -oc

оптимизации замкнутой системы (1), (2) по норме пространства Н2

В третьем параграфе исследуется вопрос о возможной нерегулярности, которая часто возникает при использовании оптимизационного подхода для решения содержательных практических задач стабилизации плазмы Предлагаются различные способы регуляризации, позволяющие осуществить построение минимизирующих последовательностей стабилизирующих законов управления, среди элементов которой выбирается искомое решение.

Четвертый параграф первой главы посвящен разработке вычислительных методов, позволяющих упростить математические модели объектов управления и синтезируемых регуляторов. Предлагаются простые алгоритмы оценки возможности исключения из состава линейной модели объ-

ю

екта динамических элементов, слабо влияющих на качество динамики, и оптимизации состава измерений, используемых для формирования закона управления, в линейной модели объекта управления

Во второй главе диссертации в центре внимания находятся специфические особенности содержательных задач стабилизации плазмы, а также математических оптимизационных задач, используемых в качестве рабочего аппарата для построения стабилизирующих управлений

В первом параграфе рассматривается наиболее часто используемая для токамаков декомпозиция общей задачи стабилизации на две частные задачи: стабилизации вертикального положения и стабилизации формы и тока При этом общее управление представляется в виде суммы управления, стабилизирующего вертикальное положение и, соответственно, управления, стабилизирующего форму и ток плазмы и = и, + и2 =

Здесь приводятся математические модели объектов для каждой из этих задач, а также указывается структура законов управления, выбор параметров которых осуществляется в ходе оптимизации

Приводятся рекомендации по выбору весовых множителей в функционале для ЬС^в-оптимального подхода, предлагается комбинированный метод синтеза, базирующийся на модальном управлении и фильтрации по Калману

Во втором параграфе второй главы обсуждаются особенности математических моделей, используемых при формировании управляющего сигнала, для рассматриваемых конструкций токамаков Рассматривается ситуация, возникающая, в частности, при построении регулятора тока и формы плазмы, когда размерность та вектора внешних возмущений <1(?) в линейной модели объекта управления меньше, чем размерность вектора измерений Это означает, что линейная модель объекта управления не удовлетворяет условиям регулярности задач Н2, -оптимизации, описанным в первом параграфе первой главы, в связи с чем, следуя рекомендациям первой главы, в модель вводится фиктивное возмущение «!,(?)

х, = А!Х! + В3н2 +С5с1 + уСА,

у2=Сгх, + 02и2 + ¥2А + у¥А,

где m, = dim d, = dim у - dim d = к-md, у € E1 - малый вещественный параметр, Gd н Fd - вспомогательные матрицы соответствующих размерностей При этом доказывается следующее утверждение'

Теорема 2.2.2. Если матрица F2 имеет md линейно независимых строк, то найдётся такая матрица Fd с постоянными компонентами, для которой условие регулярности в задачах Я -оптимизации будет иметь место для любых у ф О

В третьем параграфе второй главы исследуются вопросы преобразования и упрощения математических моделей для декомпозированных задач с учетом их специфики

Рассматривается линейная система, представляющая собой модель, используемую для формирования регулятора тока и формы плазмы, причем предполагается, что размерность т2у вектора измерений у2 превышает размерность пг вектора состояния (вектор управлений и2 также имеет размерность пг) В этом случае из выбранных некоторым образом пг компонент вектора измерений у2 составляется вектор y2(n } е Е"', из оставшихся компонент соответственно формируется вектор y2(mj _„} е , в результате чего модель объекта управления представляется в виде

sr»Z

Ч =Ljrxjr + M2ru2,

Уг(лг) - Csr(nr)Xlr + ^2г(лг)^>

УЦт2г-п,) = Cjr(mIr-n,)X«- + ®2r(<nir-nr)U2 + -п,

(5)

Вместе с уравнениями объекта управления, рассматриваются уравнения регулятора

и2 = -КХд. = -кс;'к)у2(„г) = Ку2К) = (к ! о)у2, (6)

где матрица К такова, что характеристический полином системы, замкнутой этим управлением хв - (А1Г - Вя.К)хя., является гурвицевым

Теорема 2.3.1. Если модель объекта определяется уравнениями вида (5), а регулятор - соотношением (6), то динамика замкнутой системы в общем случае зависит от выбора состава измерений, используемых при формировании стабилизирующего управления

Приведенная теорема позволяет ставить вопрос о выборе наилучшего состава измерений при обеспечении желаемого качества динамики

Третья глава работы посвящена рассмотрению конкретных прикладных задач стабилизации плазмы в токамаках ITER и MAST Для построения стабилизирующих управлений применяются теоретические результаты диссертации и разработанное алгоритмическое обеспечение

В первом параграфе рассматривается задача стабилизации вертикального положения плазмы для токамаков ITER и MAST, для решения которой привлекаются методы LQG-оптимизации, универсальный метод Нк-оптимизации и разработанный в диссертации спектральный метод #„-оптимального синтеза. В результате применения указанных методов формируются стабилизирующие регуляторы, удовлетворяющие накладываемым на динамику замкнутой системы ограничениям Указываются преимущества применения нового разработанного подхода

Во втором параграфе третьей главы рассматривается задача стабилизации тока и формы плазмы для токамака ITER, для решения которой привлекается предложенный в работе комбинированный метод синтеза, базирующийся на модальном управлении и фильтрации по Калману, методы LQG-оптимизации и универсальный метод -оптимизации с регуляризацией и упрощением математической модели

В третьем параграфе на основании предложенного в первой главе алгоритма решается вопрос исключения из состава модели объекта несущественных динамических элементов для задачи формирования регулятора формы и тока плазмы в токамаке ITER

В четвертом параграфе третьей главы для модели, используемой при формировании регулятора формы и тока плазмы в токамаке ITER, в соответствии с рекомендациями второй главы, осуществляется оптимизация состава измерений В результате выбираются регуляторы вида (6) простой структуры, для которых качество динамики замкнутой системы не намного хуже, чем для полного состава измерений

Все рассматриваемые примеры сопровождаются графиками процессов стабилизации плазмы, реализованных в ходе имитационного моделирования и иллюстрирующих динамику синтезированных систем Исследова-

ния, проведенные в данной главе, подтверждают работоспособность и эффективность методов и алгоритмов, разработанных в диссертации. В частности, ниже приводятся графики функций вертикального смещения плазмы e{t) и управляющего напряжения u(t), характеризующих динамические свойства замкнутой системы для рассматриваемого динамического режима в токамаке ITER. Верхняя пара отражает динамику замкнутой системы для существующего тестового регулятора, нижняя пара соответствует системе, замкнутой новым регулятором, полученным в результате решения задачи //„-оптимизации в первом параграфе третьей главы

Vertical Displacement е (m)

Control Voltage и M

Vertical Displacement t (m)

tune t (s) Control Voltage u (v)

05 1 15

time t {>]

lime t [s)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие

1 Разработан новый спектральный метод поиска Нх -оптимальных регуляторов для линейных объектов с одним возмущением и одним управлением, позволяющий сократить объем вычислений при решении задачи синтеза.

2 Проведено исследование вопросов, связанных с нерегулярностями постановки задач оптимизации. Разработан метод регуляризации для задач Я2 и Яда-оптимального синтеза, базирующийся на их трансформации к аналогичным задачам с модифицированной моделью объекта

3 Предложены практические способы применения методов оптимизации линейных стационарных систем по нормам пространств Я2 и Н^ для решения содержательных задач стабилизации плазмы в токамаках

4 Исследована возможность упрощения математических моделей объектов управления в задачах стабилизации плазмы и предложены методы исключения избыточной динамики и оптимизации состава измерений в системе стабилизации.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1 Жабко Н А Анализ влияния дополнительных фильтров на динамику системы стабилизации плазмы в токамаке ITER-FEAT// Тр. XXXIII конф «Процессы управления и устойчивость» - СПб НИИ Химии СПбГУ, 2002 - С. 39-49.

2 Жабко Н. А О возможности понижения порядка системы дифференциальных уравнений, моделирующей процесс стабилизации плазмы// Тезисы докладов междунар науч конф «Еругинские чтения VIII» - Брест, 2002,-С 60.

3. Veremey Е, I, Zhabko N A Analysis of complementary filters influence on the dynamics of the plasma stabilization system in tokamak ITER-FEAT //

Proc of 9th Intern Workshop «Beam Dynamics and Optimization» -St -Petersburg, 2002 - P 361-366.

4 Veremey E I, Zhabko N A Plasma current and shape controllers design for ITER-FEAT tokamak // Book of abstracts of Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Merkuriev -St -Petersburg, 2003-P 52

5 Веремей E И , Жабко H А Оптимизация состава измерений для стабилизации формы плазмы в токамаке ITER-FEAT// Межвуз сб науч тр.. Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем -Саранск Изд-во Мордов ун-та, 2004 - С 86-96

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № S71/1 от 14.0S.03. Подписано в печать 14.09.05 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 252/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

(

f*

!

Г

*t?084

РНБ Русский фонд

2006А И920

ВВЕДЕНИЕ.

1. Актуальность, цели и основные результаты исследований

2. Содержательная постановка задачи стабилизации плазмы.

3. Обзор литературы по теме исследований.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПО НОРМАМ Н2 и Нх:

В ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

1.1. Базовые методы теории Н2, Hw и LQG - оптимального синтеза.

1.2. Спектральные методы оптимизации стабилизирующих управлений.

1.3. Регуляризация вычислительных алгоритмов, базирующихся на спектральном подходе.

1.4. Вопросы упрощения математических моделей объектов управления.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ И ПРОЕКТИРОВАНИЯ

СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ПЛАЗМЫ

2.1. Комбинированный подход к синтезу стабилизирующего управления плазмой в токамаках

2.2. Особенности объектов управления в декомпозированной задаче синтеза.

2.3. Упрощение математических моделей объектов и регуляторов в задачах стабилизации плазмы.

ГЛАВА 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАБИЛИЗАЦИИ

ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКАХ

3.1. Синтез управлений, стабилизирующих вертикальное положение плазмы в токамаках ITER-FEAT и MAST

3.2. Стабилизация тока и формы плазмы в токамаке ITER-FEAT на базе задач Н2 и Ню - оптимального синтеза.

3.3. О возможности исключения фильтрующих элементов из структуры модели объекта управления.

3.4. Выбор состава измерений для стабилизации тока и формы плазмы в токамаке ITER-FEAT.

В настоящее время при проведении научных исследований, связанных с изучением, проектированием и практической реализацией систем автоматического управления, исключительно широко применяются математические методы и алгоритмы системного анализа и современной теории управления. Это позволяет сформировать фундаментальную базу для использования современных компьютерных технологий при автоматизации выполняемых работ и при реализации принимаемых решений, что существенно повышает эффективность работ, а также принципиально улучшает качество разрабатываемых систем.

Исключительно значимой частной сферой широкого применения указанного математического аппарата является промышленная энергетика, где существенное внимание постоянно уделяется широкому спектру вопросов, связанных с управлением динамическими объектами.

Среди сложных объектов энергетики, привлекающих в последнее время внимание прикладных математиков, особое место занимают системы управления термоядерными реакторами на основе токамаков.

Для этих объектов важнейшую роль играют математические методы оптимизации динамических характеристик систем управления, позволяющие привлекать современные подходы к решению практических задач и, в частности, задач стабилизации плазмы. Основное место здесь занимает базовая теория аналитического синтеза стабилизирующих законов управления. Основы соответствующих подходов были разработаны в трудах А.М. Лётова [33, 34, 35] , В.И.Зубова [20, 21, 22], А.А. Красовского [27, 28], В.В. Солодовникова [49, 50], B.C. Пугачёва [47, 48], Н. Винера [88], Р. Калмана [24], Ч.Дезоера и М.Видьясагара [14], В.Н.Фомина [53] и многих других выдающихся ученых. Современные подходы, развивающие данное направление, представлены в работах [17], [46], [45], [60].

Заслуженной популярностью пользуется теория среднеквадратичного оптимального синтеза при учёте стационарных внешних возмущений случайного характера. Большой вклад в развитие данного направления внесли такие известные ученые, как В.В. Солодовников, B.C. Пугачев, А.А. Красовский, А.А. Первозванский [40], X. Квакернаак [25] и многие другие. Существенные результаты по данной проблеме, создавшие почву для дальнейших исследований, приведены в таких известных работах, как [41, 42, 43, 44], [1, 30, 31, 32], [63], [15], [36].

В последние десятилетия в рамках оптимизационного подхода особое внимание уделяется методам построения таких систем, математические модели которых представляются элементами с минимальными нор/ мами в пространствах Харди Н2 и Н^. Развитие Н -теории связано с именами Д. Дойла [62], Б. Френсиса [61,64], К. Гловера [66] и др.

Тем не менее, необходимо отметить, что среди опубликованных работ сравнительно мало источников, связанных с адаптацией известных методов аналитического синтеза к решению конкретных задач стабилизации формы плазмы в токамаках. К ним следует отнести монографию [38], а также статьи [57], [58], [56], [74], [77], [78] и ряд других работ. Это связано с относительной новизной проблемы для сформированного в последние годы комплекса требований к качеству стабилизации плазмы.

При реализации методов оптимального синтеза стабилизирующих управлений в токамаках необходимо учитывать два принципиальных обстоятельства: во-первых, оптимизация в подавляющем большинстве практических ситуаций не является самоцелью, а служит рабочим инструментом достижения желаемого качества динамических процессов, во-вторых, оптимизация может осуществляться в режиме реального времени в процессе функционирования токамака.

Следует отметить, что известные универсальные методы оптимального синтеза по нормам пространств Н2 и HrJD не ориентированы на учёт этих обстоятельств, что обусловлено присущими им определенными недостатками как в плане реализуемости расчетных схем на современных компьютерах, так и в плане реализуемости получаемых в результате расчетов решений. Определённые шаги по преодолению трудностей реализации были сделаны в работах [7, 4, 8, 9, 10, 12], однако в настоящее время проблема далека от исчерпывающего решения.

Отмеченные недостатки известных методов оптимизации по нормам Н2 и Н^ и новизна их применения к решению задач стабилизации плазмы определяют актуальность развития соответствующей теории и вычислительных методов синтеза, а также их адаптации к решению комплекса прикладных задач управления в современных токамаках.

В связи с изложенным, целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмического обеспечения оптимизации многосвязных динамических систем по нормам Н2 и с адаптацией к особенностям задач стабилизации плазмы в термоядерных реакторах-токамаках.

При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

- выбору известных подходов и базового алгоритмического обеспечения для использования в качестве рабочего аппарата при решении содержательных задач стабилизации плазмы;

- разработке нового спектрального метода поиска оптимального решения SISO задачи Нт оптимального синтеза, позволяющего построить эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для анализа форме;

- изучению нерегулярных ситуаций, возникающих при синтезе Н2 и

Нт оптимальных регуляторов, с целью формирования методов регуляризации для упрощения вычислительных процедур синтеза;

- построению методов, позволяющих упростить математические модели объектов управления и синтезируемых регуляторов для обеспечения реализуемости расчётных схем и результатов синтеза;

- исследованию особенностей объектов управления в частных содержательных задачах стабилизации положения, тока и формы плазмы для обеспечения эффективности использования оптимизационных подходов;

- адаптации новых и известных методов оптимизации по нормам Н2 и для решения задач анализа и синтеза систем управления плазмой с учетом комплекса реальных ограничений и требований, предъявляемых к качеству стабилизации;

-решению конкретных задач стабилизации пл^мы в токамаках ITER и MAST для подтверждения работоспособности и эффективности полученных результатов.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 90 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке математических методов моделирования, анализа и синтеза регуляторов, стабилизирующих положение равновесия плазмы в современных токамаках.

Целью диссертации является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмического обеспечения оптимизации многосвязных динамических систем по нормам Н2 и Нж с адаптацией к особенностям задач стабилизации плазмы.

Основное внимание в работе уделено следующим направлениям исследований:

• выбору известных подходов и базового алгоритмического обеспечения для использования в качестве рабочего аппарата при решении содержательных задач стабилизации плазмы;

• разработке нового спектрального метода поиска оптимального решения SISO задачи Нх оптимального синтеза, позволяющего построить эффективные вычислительные алгоритмы и представить решение в удобной для анализа форме;

• изучению нерегулярных ситуаций, возникающих при синтезе Н2 и Н^ оптимальных регуляторов, с целью формирования методов регуляризации для упрощения вычислительных процедур синтеза;

• построению методов, позволяющих упростить математические модели объектов управления и синтезируемых регуляторов для обеспечения реализуемости расчётных схем и результатов синтеза;

• исследованию особенностей объектов управления в частных содержательных задачах стабилизации положения, тока и формы плазмы для обеспечения эффективности использования оптимизационных подходов;

• адаптации новых и известных методов оптимизации по нормам Н2 и На) для решения задач анализа и синтеза систем управления плазмой с учетом комплекса реальных ограничений и требований, предъявляемых к качеству стабилизации;

• решению конкретных задач стабилизации плазмы в токамаках ITER и MAST для подтверждения работоспособности и эффективности полученных результатов.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Разработан новый спектральный метод поиска Н^ -оптимальных регуляторов для линейных объектов с одним возмущением и одним управлением, позволяющий сократить объём вычислений при решении задачи синтеза.

2. Проведено исследование вопросов, связанных с нерегулярностями постановки задач оптимизации. Разработан метод регуляризации для задач Н2 и Нх -оптимального синтеза, базирующийся на их трансформации к аналогичным задачам с модифицированной моделью объекта.

3. Предложены практические способы применения методов оптимизации линейных стационарных систем по нормам пространств Н2 и Нж для решения содержательных задач стабилизации плазмы в токамаках.

4. Исследована возможность упрощения математических моделей объектов управления в задачах стабилизации плазмы, и предложены методы исключения избыточной динамики и оптимизации состава измерений в системе стабилизации.

1. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления- Киев: Наукова думка, 1978 - 327 с.

2. Арсенин В. В., Чуянов В. А. Подавление неустойчивости плазмы методом обратных связей // Успехи физических наук. —1977. Т. 123. Вып. 1.-С. 83-129.

3. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика — 1992. № 9.- С. 3-32.

4. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального метода Hoo-оптимальног.о синтеза // Теория и системы управления — 1995.-№4.-С. 88-96.

5. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления.- М.: Мир, 1972. 544с.

6. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей.- М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, №3413-78.

7. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем JL: Изд-во Ленингр. унта, 1982.-С. 24-31.

8. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 1) // Известия вузов СССР. Электромеханика.- 1985.-№ 10.- С. 52-57.

9. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 2) // Известия вузов СССР. Электромеханика.- 1985-№ 10.- С. 52-57.

10. Веремей Е. И. Методы и алгоритмы среднеквадратичного многоцелевого синтеза: Дис. д-ра физ.-мат. наук: 05.13.16 -СПб., 1995 353 с.

11. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Н2 и Нет // Вест. С.-Петерб. Ун-та-2004.- Сер. 10. Вып. 1.- С. 48-59.

12. Веремей Е. И., Жабко Н. А. Оптимизация состава измерений для стабилизации формы плазмы в токамаке ITER-FEAT// Межвуз. сб. науч. тр.: Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем-Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004 С. 86-96.

13. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: Вход-выходные соотношения-М.: Наука, 1972.

14. Джеймс X., Николе Н., Филлипс Р. Теория следящих систем М.: Физматгиз, 1951.

15. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1993.

16. Жабко А. П., Харитонов В. JI. Методы линейной алгебры в задачах управления СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993- 320 с.

17. Жабко Н. А. Анализ влияния дополнительных фильтров на динамику системы стабилизации плазмы в токамаке ITER-FEAT// Тр. XXXIII конф. «Процессы управления и устойчивость».- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002.- С. 39-49.

18. Жабко Н. А. О возможности понижения порядка системы дифференциальных уравнений, моделирующей процесс стабилизации плазмы// Тезисы докладов междунар. науч. конф. «Еругинские чтения VIII».- Брест, 2002.- С. 60.

19. Зубов В. И. Лекции по теории управления.- М.: Наука, 1975.

20. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами.-Л.: Судостроение, 1966.

21. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования-Л: Машиностроение, 1974.

22. Кавин А. А. Применение математического моделирования к управлению плазмой в токамаках: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.13-СПб., 2004.- 158 с.

23. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д.- 1961. Т. 83, № 1.-С. 123-141.

24. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления.- М.: Мир, 1977.- 650 с.

25. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. -М.: Мир, 1969.

26. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование М.: Наука, 1973.

27. Красовский А. А. Справочник по теории автоматического управления-М.: Наука, 1987.

28. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства-М.: Машиностроение, 1976.

29. Ларин В. Б., Сунцев В. Н. О задаче аналитического конструирования регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика- 1968-№ 12.-С. 142-144.

30. Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью Киев: Наукова думка, 1971.

31. Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью Киев: Наукова думка, 1973.

32. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика I960 - № 4-6; 1961- № 4, 11.

33. Летов А. М. Динамика полета и управление.- М.: Наука, 1969.

34. Летов А. М. Математическая теория процессов управления М.: Наука, 1981.

35. Меррием К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью-М.: Мир, 1967.

36. Мисенов Б.А. Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.09, 05.13.16.-СПб., 1998.- 146 с.

37. МитришкинЮ. В. Управление динамическими объектами с применением автоматической настройки-М.: Наука, 1985 157 с.

38. Ньютон Д., Гулд JL, Кайзер Д. Теория линейных следящих систем- М.: Физматгиз, 1961.

39. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах.-М.: Физматгиз, 1962.

40. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения JL: Судостроение, 1973- 216 с.

41. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления Л.: Энергия, 1977.

42. Петров Ю. П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества // АН СССР, Автоматика и телемеханика-1983 № 7 - С. 5-24.

43. Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах: Учеб. пособие- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987 292 с.

44. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

45. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995- 148 с.

46. Пугачев В. С., Казаков И.Е., Евланов П. Г. Основы статистической теории автоматических систем М.: Наука, 1974.

47. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация-М.: Наука, 1990.

48. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления М.: Наука, 1977.

49. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем управления-М.: Физматгиз, 1960.

50. Сунцев В. Н. Аналитические частотные методы оптимизации линейных систем Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983.

51. Тихонов В. И. Анализ и синтез нелинейных систем при случайных воздействиях: Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева- М.: Наука, 1982.

52. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

53. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления-М.: Машиностроение, 1964.

54. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леоновича М.: Наука, 1963.

55. Ambrosino G., Ariola М., Mitrishkin Y. et al. Plasma current and shape control in tokamaks using H\infty and \mu-synthesis // Proc. of 36th Conference on Decision & Control.- San Diego (Calif.), 1997 P. 3697-3702.

56. Beghi A., Cavinato M., Cenedese F., Ciscato D., Marchiori G., Por-tone A. Plasma Vertical Stabilization in ITER-FEAT // Fusion Engineering and Design.- 2001.- Vol. 56-57.- P. 55-64.

57. Belyakov V. A., Bulgakov S. A., Kavin A. A. et al. Numerical simulation of plasma equilibrium and shape control in tight tokamak GLOBUS-M // Proc. of XIX Symposium on Fusion Technology. Lisbon, 1996.

58. Bosgra H., Kwakernaak H., Meinsma G. Design methods for control systems. Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control. Winter term 2003-2004. - Delft, 2003. - 319 p.

59. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory.- New York: Macmillan Publ. Co., 1992. XI, 227 p.

60. Doyle J.C., Glover К., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standard H2 and Н». control problems // IEEE Transactions on Automatic Control.- 1989,-Vol. 34, nr. 8.-P. 831-847.

61. Francis B.A. A course in Hoo control theory Berlin: Springer-Verlag, 1987- (Lecture Notes in Control and Information Sciences; Vol. 88).

62. Francis B. A., Doyle J. C. Linear control theory with an Нж optimality criterion I ISIAM J. Control and Optimization.- 1987.- Vol. 25.- P. 815-844.

63. Garnett J.B. Bounded Analitic Functions . New York: Academic Press, 1981.

64. Gribov Y., Albanese R., Ambrosino G., Kavin A. et al. ITER-FEAT scenarios and plasma position/shape control // 18-th IAEA Fusion Energy Conference, Sorrento, Italy, October 200, ITERP/02.

65. Hung Y. S. .Rf/oo-optimal control. Part I. Model matching. Part II. Solution for controllers // International Journal of Control. 1998 - Vol. 49 — P. 675-684.

66. ITER IT documentation, Control System Design and Assessment, G 45 FDR 1 01-07-13 R1.0, Appendix D, Plasma Current, Position and Shape Control, 2001.

67. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No.24, IAEA, Vienna, 2002.

68. Kargoneckar P.P., Peterson I. R, Rotea M. А. Д» optimal control with state-feedback // IEEE Transactions on Automatic Control- 1988 — Vol.33.-P. 786-788.

69. LMI Control TOOLBOX: User's Guide. Natick (Mass.): The Math Works, Inc., 1995. - 600 p.

70. McArdle G. J., Appel L. C., Knight P. J. et al. The MAST plasma control system // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Toms'97- St.-Petersburg, 1997.-P. 62.

71. McArdle G. Progress and plans for MAST plasma control, Fusion Eng. Des. 56-57 (2001). P. 749-754.

72. McArdle G., et al. The MAST digital plasma control system, Fusion Eng. Des. 66-68 (2003). P. 761-765.

73. Morris A. W. The status of MAST // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97 St.-Petersburg, 1997.- P. 29.

74. Nesterov Y., Nemirovski A. Interior-point polynomial algorithms in convex programming. Philadelphia: SIAM, 1994.

75. Saberi A., Chen В. M., Sannuti P. Loop transfer recovery: Analysis and design. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1993.

76. Veremey E. I., Zhabko N. A. Analysis of complementary filters influence on the dynamics of the plasma stabilization system in tokamak ITER-FEAT // Proc. of 9th Intern. Workshop «Beam Dynamics and Optimization».-St.-Petersburg, 2002.-P. 361-366.

77. Veremey E. I., Zhabko N. A. Plasma current and shape controllers design for ITER-FEAT tokamak // Book of abstracts of Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Merkuriev.-St.-Petersburg, 2003.-P. 52.

78. Veremey E. I., Korovkin M. V. Design of non-static controllers for plasma stabilization // Proc. of Intern. Conf. «Physics and Control».- St. Peter-burg, 2003.-P. 1035-1042.

79. Vidyasagar M. Control system synthesis: A factorization approach-Cambridge (Mass.): MIT Press, 1985.

80. Walker M. L., Humphreys D. A., Ferron J. R. Control of plasma pol-oidal shape and position in the DIII-D tokamak // Proc. of 36th Conference on Decision & Control.- San Diego (Calif.), 1997.- P. 3703-3708.

81. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series Cambridge, 1949.

82. Zames G. Feedback and complexity. Special plenary lecture addendum // IEEE Conf. Dec. Control.- 1976.90. ji-Analysis and Synthesis Toolbox User's Guide / The MathWorks, Inc. Natick, 1993.- 734 p.