автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и параметрическая оптимизация систем стабилизации плазмы в токамаках

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

003456429 ЗАВАДСКИЙ Сергей Вячеславович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о 5 ЛЕК 2008

Санкт-Петербург — 2008

003456429

Работа выполнена на кафедре теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Овсянников Дмитрий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Веремей Евгений Игоревич

кандидат технических наук,

доцент Кудинович Игорь Владиславович

Ведущая организация: ФГУП НИИЭФА им. Д.В. Ефремова

Защита состоится « 17 » декабря 2008 г. в 14 часов на заседании совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, 199034, В.О., Университетская наб. 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

Автореферат разослан « 10 » ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат наук,

профессор

Г. И. Курбатова

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей и численных алгоритмов оптимизации систем управления параметрами плазмы в токамаках.

В связи с существенной ограниченностью мировых запасов энергоносителей большое внимание в современной науке уделяется поиску и созданию альтернативных источников энергии. Всё более значимыми и актуальными становятся исследования задач управляемого термоядерного синтеза (УТС). Данной проблемой занимаются многие российские научные коллективы: ГНЦ РФ ТРИНИТИ, РНЦ Курчатовский институт, ФГУП НИИЭФА им. Д.В. Ефремова, Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе, а также такие крупные университеты как МГУ, МИФИ (ГУ), СПбГУ и другие организации.

В рамках работ по созданию термоядерного реактора большие успехи были достигнуты в области магнитного удержания плазмы в установках типа токам ак. В настоящее время идут работы по созданию экспериментального термоядерного реактора в рамках международного проекта ITER. Наряду с большими и известными установками, возрастает значение и малых токомаков (EGYPTOR, SUNIST, ISTTOK, Гутта). Сравнительно небольшие затраты на их обслуживание и энергопотребление делает их достаточно привлекательными как для исследовательских, так и для учебных целей по подготовке специалистов в области УТС.

Конструирование и оснащение токамаков эффективными системами управления необходимо для достижения желаемых параметров экспериментов, выполнения различных требований к безопасности исследований и сохранности оборудования.

Проблемам управления плазмой посвящено много работ. В работах В.А. Белякова, Е.И. Веремея, А.П. Жабко, A.A. Кавина, Д.П. Костомарова, А.Д. Овсянникова, G. Cunningham, М. Gryaznevich, G.J. McArdle, А. Portone и других авторов рассматриваются задачи стабилизации и управления формой, током и положением плазменного шнура. Опубликовано много современных работ, в которых исследуются методы и алгоритмы оптимизации систем управления, а также уделяется внимание их адаптации к решению конкретных задач стабилизации плазмы в токамаках. Отметим, что хотя данные подходы и высокоэффективны, они требуют дальнейшего развития и расширения существующего инструментария, так как представляется необходимым и актуальным проведение работ по созданию новых регуляторов на основе полноразмерных моделей управления, также учитывающих более широкий спектр возмущений по начальным данным и внешним воздействиям.

Цель диссертационной работы состоит в разработке математических моделей, методов и алгоритмов параметрической оптимизации систем управления параметрами плазмы и их реализация в вычислительном

комплексе. А также в разработке программного обеспечения для программно-аппаратного комплекса системы управления с обратной связью положением плазменного шнура в токомаке Гутта в реальном времени.

Методы исследования. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются методы математического моделирования, численного и натурного эксперимента. Также привлекаются методы математической теории управления, оптимизации и стабилизации движений динамических объектов, дифференциальных уравнений, физики плазмы и электротехники.

Научная новизна работы

• Предложены новые математические модели оптимизации систем управления плазмой в токамаках, позволяющие исследовать и оптимизировать полноразмерную замкнутую систему управления с учётом динамики ансамбля переходных процессов, образуемого множеством возмущений по начальным данным и внешним воздействиям.

• Разработаны алгоритмы и их численная реализация для решения задач оптимизации динамических характеристик предложенных моделей.

• Создано программное обеспечение для программно-аппаратного комплекса системы управления с обратной связью положением плазмы в токамаке Гутта в реальном времени.

Практическая значимость и внедрение результатов диссертационной работы

• Предложенные подходы и математические модели оптимизации могут быть привлечены к решению различных задач конструирования и оптимизации систем управления параметрами плазмы в токамаках.

• Созданный вычислительный комплекс, реализующий средства имитационного моделирования, синтеза и численной оптимизации регуляторов, гибко настраивается на различные модели систем управления плазмой.

• Разработанные численные алгоритмы и модели параметрической оптимизации, непосредственно применены к решению задач синтеза и оптимизации стабилизирующих регуляторов формы плазмы в токамаках ГТЕК-БЕАТ и Гутта.

• Программное обеспечение для программно-аппаратного комплекса системы управления плазмой по горизонтали в реальном времени с использованием обратных связей, внедрено на токамаке Гутта в Санкт-Петербургском государственном университете.

• Результаты, представленные в диссертационной работе, использовались в рамках пилотного проекта №22 факультета прикладной математики -процессов управления «Прикладные математика и физика»,

национального проекта "Образование", инновационного проекта СПбГУ

"Инновационная образовательная среда в классическом университете".

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на проводимых под эгидой МАГАТЭ

- Joint Meeting of The 3rd IAEA Technical Meeting on Spherical Tori and the 11th International Workshop on Spherical Torus, 3 to 6 October 2005, Saint-Petersburg,

- Joint Meeting of the 4th IAEA Technical Meeting on Spherical Tori and the 14th International Workshop on Spherical Torus, 7 to 10 October 2008, Frascati, Rome, Italy,

и на

- международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления» (г. Санкт-Петербург, июнь 2005 г.),

- всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (г. Санкт-Петербург, июль 2007),

- The 3rd International IEEE Scientific Conference on Physics and Control (PhysCon 2007, Potsdam, September 2007),

- на 14 и 15 международных семинарах «Beam Dynamics & Optimization» (Санкт-Петербург, июль 2007 и USA, Florida, St.Petersburg, July 2008).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях, список которых приведен в конце автореферата, в том числе в 1 работе, опубликованной в издании, рекомендованном ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы. Работа изложена на 127 страницах машинописного текста, содержит 26 рисунков и 4 таблицы. Библиографический список содержит 139 наименований.

Основпос содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы и направления исследований, приведены краткий обзор состояния исследований по теме работы и краткая аннотация диссертации по главам.

Первая глава посвящена постановке задачи стабилизации плазмы в токамаках и математическим моделям оптимизации, предлагаемым в диссертации, исследуется структура математической модели системы управления в токамаке ITER-FEAT.

В качестве математической модели, описывающей динамику плазмы в отклонениях от положения равновесия и используемой в современных

исследованиях по проблемам стабилизации плазмы (например, в работах А.А. Кавина, В.А. Белякова), рассмотрим линейную стационарную систему jc = Ax + Bu + Gf(t),

e-Lx + Ми, y-Cx+Du + Ff(t), где х е Е" - вектор отклонений токов, и е Ег- вектор отклонений напряжений, приложенных к управляющим катушкам, е е Ер - вектор контролируемых переменных, у е Ек - вектор отклонений измеряемых переменных, f(t)^Ed - вектор внешних возмущений; матрицы модели A,B,C,D,G,F,L,M - заданы и имеют постоянные компоненты. Все отклонения понимаются, как отклонения от положения равновесия. Итак, здесь вектор е обозначает так называемый контролируемый выход и объединяет набор параметров, представляющих интерес с точки зрения исследователя. Например, в рассматриваемых задачах оптимизации в вектор е вводят величины контролируемых зазоров glv., g6, отвечающих за форму плазмы и ток плазмы Iр. Вектор у, на практике, представляет сигналы,

поступающие в блок системы управления токамака, и определяется техническими возможностями управляющего устройства и конструктивными особенностями той или иной установки.

Постановка задачи состоит в синтезе стабилизирующего

регулятора, замыкающего объект управления в соответствии со схемой на рис. 1, и оптимизации динамических процессов замкнутой системы.

Среди возмущений, воздействующих на плазму, в современных исследованиях по проблемам стабилизации плазмы принято особо выделять возмущения, определяемые внезапными скачками её плотности и называемые «/,,/? — drops» возмущениями. Они вводятся как функции

времени w,(/) и w2(i) вида w,(f) = dfie'"t'>, w2(f) = d,e~'"', где dpt d,, tp, t[ - заданные вещественные числа, фиксированные для каждой точки сценария. Вектор функция, представляющая внешние воздействия, имеет вид

fwJt)^

К (О,

В рамках разрабатываемой в диссертации структурно-параметрической оптимизации особое внимание уделяется структуре объекта управления и тому, как в неё входят оптимизируемые параметры. Структура замкнутой системы управления плазмой в токамаке ITER-FEAT достаточно сложна и

Рис. 1. Схема замыкания.

представляет собой цепочку следующих соединённых динамических объектов:

- уравнения состояния плазмы в токамаке;

- регулятора вертикального смещения плазменного шнура;

- линейных фильтров в канале диагностики;

- динамики системы питания управляющих электромагнитов;

- регулятора тока и формы плазмы.

Соединение указанных подсистем и их размерности схематично представлены на рис. 2

Рис. 2. Структура и параметризация замкнутой системы управления стабилизирующей положение, ток и форму плазмы

На данном рисунке все матрицы модели имеют заданные постоянные компоненты, /(/) - внешние возмущения, хр, х^, ху ,х^,хс - векторы

состояний соответствующих динамических звеньев.

Компоненты матриц ЛС,ВС, Сс синтезируемого регулятора тока и формы плазмы рассматриваются как оптимизируемые параметры рк, объединённые в вектор параметров р = {рк}. Регулятор имеет динамическую структуру вида

*с =АсХс+ВсУ/>

И = ссхе

и является регулятором пониженной размерности, где хс е Еп - вектор состояния регулятора; у у е - выходной вектор, представляющий

измерения для регулятора формы и тока плазмы; и е Еп - вектор напряжений, прикладываемых к управляющим катушкам. Известные схемы построения регуляторов, включающие ЬСЮ-методологию, теорию Н -оптимизации, модальный синтез, оптимальную фильтрацию и методы

упрощения и понижения порядка линейных стационарных систем, рассмотрены в работах В. И. Зубова, Д. Дойла, X. Квакернаха, Р. Калмана и Р. Бьюси и других авторов. На основе этих схем, а также с привлечением результатов по адаптации существующих подходов к задачам стабилизации плазмы, представленных работами Е.И. Веремея и Н.А. Жабко, строится начальное приближение для регулятора.

При оптимизации полноразмерную систему управления, замкнутую регулятором пониженной размерности с требуемой динамической структурой, представим в виде

х = Р(р)х + Щр)№,

х(0) = х0,

= о. (1)

е = Ьх(1,хй,р), и=К(р)х(1,х0,р). Здесь х = {хр,х;,,ху,х^,хс} е Еш - расширенный вектор состояния, Р = {Рк} ~ вектор оптимизируемых параметров, матрицы данной системы определяются как

АР О О о в с Р С 0

в2ср А о О в

Р(р)= О ВА А О О ад

О вгс2 О Аг О ВА

О О О ВсСг А*.

¿=[0 ¿, 0 0 0], ад=[0 0 0 0 Сс]. Подчёркнута зависимость матриц системы от оптимизируемых параметров. Рассмотрим задачу минимизации интегрального функционала качества, заданного на траекториях системы (1), оценивающего точность управления, величины управляющих напряжений, а также их значения в конечный

момент времени

т

1(р) = \{е\0де(0 + и'фЯи(1))сИ + е(Т)д1е(Т) ->тш. о

Уравнения (1) и функционал (2) представляют модель оптимизации отдельного переходного процесса.

Также, чтобы исследовать и оптимизировать замкнутую систему управления (1), рассмотрим динамику ансамбля переходных процессов, образуемого множеством возмущений по начальным данным и внешним воздействиям. Определим данное множество возмущений как множество,

состоящее из таких начальных данных х0 и внешних воздействий fit], которые при t е [О, Г] удовлетворяют соотношению

¥ = i(xo >/(*))'• х0С1Х0+\/\т)в2(т)/(^т^/12}, (3)

о

где Gy, G2 (0 - положительно-определённые симметрические матрицы, ¡л1 -заданная положительная константа. В данной главе уделено внимание заданию матриц G, и G2(i) таким образом, чтобы построенное по ним множество Ч' включало стандартные модельные влияния и начальные данные. В работе используются оценки1 для контролируемых переменных е( (/) и управляющих напряжений m,(î) ансамбля движений системы (1) возмущенных множеством (3)

5еД0= sup =

V (4)

su(t)= sup |и,(/)|

(^,/(0)6*

где /, - i -ая строка матрицы L, kt - i -ая строка матрицы К, матрица D(t) -решение матричного дифференциального уравнения

D = P(p)D + DP'(p) + N(p) G2(tylN'(p), (5)

D(0) = G;\

На основе данных оценок, рассмотрим задачу минимизации функционала качества, оценивающего величину отклонений контролируемой переменной и величину управляющих напряжений для всего ансамбля траекторий

i(P)=[féx (o+ÎX +¿^ en=

о Ы '=1 J '=1 (6)

(т \

= /12 J (tit ^Z ДО + tr[ W2K(p) Щ) К{р)* ] ) Л

чо )

Здесь Wl,W1,Wi - симметрические, неотрицательно определённые весовые матрицы. Заданное множество возмущений (3), матричное дифференциальное уравнение (5), оценки (4) и минимизируемый функционал (6) представляют модель оптимизации ансамбля траекторий.

Итак, в рамках разрабатываемого в диссертации подхода к оптимизации систем управления плазмой имеется возможность влиять на качество динамических процессов полноразмерного замкнутого объекта управления. Предложенные модели позволяют исследовать и оптимизировать регулятор, как на отдельном переходном процессе, так и на ансамбле переходных процессов, возмущённых множеством начальных данных и внешних воздействий.

1 Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. Киев. 1978. -184 с.

9

Во второй главе диссертации разрабатываются численные алгоритмы и методы параметрической оптимизации. На основе аналитических представлений для вариаций функционалов, с привлечением схем численных методов, предложен и реализован в вычислительном комплексе алгоритм численной оптимизации.

В работе даются представления для вариации функционалов (2) и (6) при вариации £-го параметра: Рь = Рк+ Полное приращение функционала (6) представимо в виде

(г ¡2*

40

аГ Ф*

ЯР* ядг*

дРк дРк

(7)

ГГгК(р)£КО

Л

где ©(/) - вспомогательная матрица, удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению с условием на правом конце

Л

дК

дР дЫ Здесь матрицы-,-

Ф* Ф*

Ф*

зависят от структуры объекта управления и

для ТТЕИ-РЕАТ определены следующим образом:

Таблица 1.

Прюдставдмгияироим^

при к е ЫЛс ярг/ Л: е при к е ШСс

дР _ О[юуо11 ОьоутЛ Ф* ^^нт? V и / _ ч 48383 Ч?3,19 48314 Чвд Чад Чвд Чип, ЯР Г ЯДГЧ Фк уОрОИОЦ ЦюЦЦ ..

, [112,2] °Рк ЗЛГ Г 0[Ю1,2] Ш =0 ар* [112,2]

ф, [,М12] =0 2 [11,112 1 ЗР*

в работе заданы такие множества индексов 1пйАс, ЫВе, /«¿/с и задано такое

взаимное соответствие компонентов вектора параметров и элементов матриц регулятора (то есть соответствие индекса

* • -л дР к индексам I и у), что матрицы -,

8р1

имеют вид, заданный в таблице

дЫ дК дРк ' дрк

1, где символом обозначена матрица размерности [л х т\, (/, у) компонент которой равен единице, остальные нулю;

символом О

М ~ нулевая [пхт], пс = 11,

матрица пу = 18,

у

где А - величина

размерности пи = 11.

Данные аналитические выражения положены в основу численного алгоритма оптимизации. Далее приведён алгоритм оптимизации динамики ансамбля траекторий, алгоритм оптимизации отдельной траектории строится аналогично. Алгоритм: на каждом шаге следующее приближение для оптимизируемых параметров р = {рк} строится как

Ьр '

шага в направлении спуска. Для этого нужно: 1) проинтегрировать уравнения динамики объекта управления (5);

2) в обратном направлении проинтегрировать вспомогательное уравнение (8);

3) рассчитать производные компонент матриц структуры по параметрам на основе представлений в таб.1; 4) вычислить компоненты градиента функционала gra£^ 1(р]) согласно выражению (7);

5) по вычисленному вектору grad Цр1) сформировать матрицы, обозначаемые ^ай Ас, %гас1 Вс, ^гайСс, представляющие направление спуска матриц регулятора; 6) сделать шаг А в направлении антиградиента и построить новое приближение для регулятора

Рис. 3. Блок схема численного алгоритма оптимизации

AcJ+l=AcJ-h-gradAc,

BcJ+l =В/ -h-gradBc,

CcJ+l=Cj-h-gradCc. Величина шага h определяется выбранным методом спуска. В численных расчётах также использовался и показал свою эффективность метод сопряжённых градиентов.

Алгоритм в целом может быть представлен в виде блок-схемы приведённой на рис. 3.

В данной главе также представлены результаты практических расчётов по оптимизации регулятора тока и формы плазмы для токамака ITER-FEAT. Качество стабилизации исходного и оптимизированного регулятора предлагается сравнить на двух моделях: в первом случае на динамике ансамбля траекторий, возмущённого множеством начальных и внешних воздействий, во втором - на динамике отдельного переходного процесса с учётом ограничений на управляющие напряжения типа «срезка», обусловленных насыщением исполнительных органов токамака. В ходе моделирования исследуется характер изменений во времени величин шести зазоров gi(t),—,g6(t), отвечающих за форму плазмы, и исследуется динамика тока плазмы Ip(t) и управляющих напряжений и{(/),...,«,,(/).

Рассматриваются критерии, определяющие качество стабилизации, и

позволяющие сравнить регуляторы до и после оптимизации:

г

I gap* = f dt - критерий характеризующий точность управления; и

О М...6

«settling time» tseMi„g = mjn{?: max|g((i)| ^ 0.01, V/ ^ 7} - критерий

определяющий минимальное время, за которое все шесть зазоров входят в «трубку» радиусом 1 см, под которым можем понимать время переходного процесса.

На модели оптимизации ансамбля траекторий, доя исходного и оптимизированного регуляторов рассчитывалась динамика ансамбля движений, объекта (1), возмущённого множеством воздействий (*0, /(/))sf (3), включающим стандартные внешние воздействия и начальные данные. Динамику ансамбля характеризуют оценки доя зазоров

s (t)= sup |g,(0|2> i' = l,.»,6,

(WW*»

а также для управляющих воздействий su (t) = sup | ui(t) |2, i = 1,...Д 1 и

(WW*»

для тока плазмы s, (t) = sup \I„(t)f, описывающие в каждый момент ' (WW**

Таблица 2. Численные значения величин IgapS и tsettling с исходным (слева) и оптимизированным (справа) регулятором.

= 0Л47 Igaps =0-112

W =12.4 sec. Kemng =8.2 sec.

времени максимально возможные величины зазоров g¡(t), напряжений и1 (У) и тока плазмы 1р (/) при управлении ансамблем траекторий. Величины и tse„L, определяющие качество стабилизации, заданы для ансамбля траекторий

I

как '^¡Е**® Ли /^ = тт{7: шах ^/^<;0.01,

1 \

р

1а 12 14 16 1в г;

Рис. 4. Оцешш ^^ (/),..., (/) апсамбля для

переходных процессов контролируемых зазоров с исходным (а) и оптимизированным (б) регулятором.

,— м ,____ел

Рис. 5. Оценки для управляющих напряжений ансамбля (?),...,1 (7) с исходным (а) и оптимизированным (б) регулятором.

В таблице 2 даны результаты сравнения регуляторов, из которых видно, что у оптимизированного регулятора повысилась точность управления и уменьшилось время переходного процесса. Это, естественно, вызвало увеличение возможных напряжений, так как оценивается динамика целого ансамбля траекторий. При задании весовых коэффициентов функционала (6), учтены значения ограничений типа «срезка», накладываемых на амплитуды напряжений в нелинейном варианте. Модель оптимизации ансамбля траекторий представляет особый интерес, так как заданный функционал

позволяет влиять на максимально возможные напряжения, описываемые не только вдоль отдельной траектории, но и для всего рассматриваемого ансамбля траекторий. На рис. 4 и рис. 5 представлены графики величин ^ (/)>■••,и ^, определяющие

максимально возможные зазоры (/) и напряжения и( (/) при управлении ансамблем траекторий, при этом, двум наибольшим графикам на рис. 5 (б), соответствуют более слабые ограничения на соответствующие напряжения (так как сами оценки описывают поведение квадратов рассматриваемых величин, квадратный корень берется, чтобы сохранить на графиках их физическую размерность).

Построенный регулятор показал свою эффективность и при моделировании отдельных траекторий с учетом ограничений. В качестве тестового варианта, часто рассматриваемого при аналогичных исследованиях, приведено моделирование динамики отдельного переходного процесса системы (1), возмущённого по внешним воздействиям. При этом учитываемые ограничения имеют вид с„ и {>с,

К,, ,1 = 1,...,г

-с,, и,<с, где с, - значение

ограничения для 1-го сигнала, различное в зависимости от номера обмотки управления. В таблице 3 представлены результаты сравнения регуляторов по значениям величин

и tsett¡ing, из которых видно, что после оптимизации повысилась точность управления и уменьшилось время переходного процесса.

Третья глава посвящена созданию программного обеспечения для программно-аппаратного комплекса системы управления положением плазмы в токамаке Гутта. Рассмотрены различные варианты системы управления положением плазмы в реальном времени с использованием обратных связей. В частности, строится система управления горизонтальным положением плазмы на основе силового транзисторного ключа, персонального компьютера, специального программного и аппаратного обеспечения, элементов электромагнитной диагностики. Построение такой системы управления усложняется малостью характерных времен протекания процессов в силу компактных размеров установки и электротехническими особенностями системы питания управляющих обмоток. Программа цифрового управления позволяет выбирать различные алгоритмы управления, относительно просто настраивать параметры системы, взаимодействовать с цифровой системой сбора данных токамака.

Таблица 3. Численные значения величин J gaps и 1 settling с исходным (слева) и оптимизированным (справа) регулятором.

Igaps =0-0271 V =0.0222

timing = 6.373 sec. W=4-859sec-

Система имеет высокие временные характеристики. В процессе управления в реальном времени, программа каждые 5 мкс измеряет входные сигналы (в частности, горизонтальное положение плазмы характеризуется величиной «сигнала смещения») и формирует управляющую команду на

(а)

(б)

Рис. 6. Графики параметров разряда без управления (а) и с управлением (б). Горизонтальная ось - время в микросекундах, вертикальная - отсчёты АЦП. Параметры, представленные на графиках: 1 - величина сигнала смещения, в

относительных единицах (отсчёты АЦП); 2 - заданная пользователем желаемая величина сигнала смещения; 3 - состояние ключа (открыт/закрыт, причём состояние открыт соответствует высокому уровню).

ключ, исходя из заданных пользователем параметров. Длительность режима управления настраивается и обычно она равна 1,5 мс (что составляет 300 дискретов управления). По окончании разряда программа выводит информацию об импульсе в виде графиков и таблицы. В главе представлена последовательность цифровых вычислений во времени, уделено внимание описанию диагностической и исполнительной подсистем токамака.

Описан натурный эксперимент по управлению горизонтальным положением плазменного шнура, представлены графики контрольных сигналов и сигналов диагностики при импульсе с управлением (рис. 6, б) и без него (рис. 6, а).

Регистрируя величину сигнала смещения и переключая состояния ключа «открыт/закрыт», система управления удерживала желаемую величину сигнала смещения в течение примерно 800 мкс.

Основные положения, выносимые на защиту

- новые математические модели оптимизации систем управления плазмой в токамаках;

- численные алгоритмы и программные средства, позволяющие исследовать и оптимизировать полноразмерную замкнутую систему управления с учётом динамики ансамбля переходных процессов, образуемого множеством возмущений по начальным данным и внешним воздействиям;

- новые регуляторы, стабилизирующие форму и ток плазмы в токамаках ГГЕИ-РЕАТиГутта;

- программное обеспечение созданное для программно-аппаратного комплекса системы управления горизонтальным положением плазмы в токамаке Гутта в реальном времени с обратной связью.

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

1. Завадский C.B. Структурно-параметрическая оптимизация в задаче стабилизации плазмы // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 3, стр. 2229.

Публикации в других изданиях

2. Завадский C.B., Овсянников Д.А. Оптимизация регуляторов тока и формы плазмы в токамаках // Труды Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». - СПб.: Изд-во С.-Пегерб. ун-та, 2007. сс. 773-781.

3. Завадский В.М., Воробьёв Г.М., Завадский C.B. Структура системы управления и сбора данных для малого токомака Гутта // Устойчивость и процессы управления Т. 3: Секция 9-10 : Труды междун. Конференции (Санкт-Петербург, 29 июня - 1 июля 2005 г.) / Под ред. Д.А. Овсянникова, JI.A. Петросяна. - СПб.: СПБГУ, НИИ ВМ и ПУ, ООО ВВМ, 2005, сс. 1353 - 1362.

4. Ovsyannikov D.A., Ovsyannikov A.D., Suhov E.V., Vorobyov G.M., Zavadsky S.V. Plasma control problems investigation on Gutta tokamak [Electronic resource]// The 3rd International IEEE Scientific Conference on Physics and Control (PhysCon 2007), University of Potsdam. - 2007. -P. 1-6. - Режим доступа : lib.physcon.ru/download/pl376.pdf, свободный. - Запх. с экрана.

5. Есипов JI. А., Завадский В.М., Завадский С. В., Сахаров И. Е., Шаталин С. В. Система управления равновесием плазменного шнура токамака ФТ-2 // В кн.: Тезисы докладов XXVI Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС. - Звенигород, 1999. с. 87.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 07.11.08 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л 1. Тираж 100 экз., Заказ № 884/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Математические модели систем управления параметрами плазмы.

1.1 Постановка задачи стабилизации плазмы.

1.2 Математическая модель динамики плазмы в токамаке ITER-FEAT

1.3 Основные методы решения задачи стабилизации плазмы.

1.4 Синтез начального приближения для стабилизирующего регулятора тока и формы плазмы.

1.5 Структура и параметризация матриц модели.

1.6 Задание множества начальных и внешних возмущений.

1.7 Математические модели для исследования и оптимизации системы стабилизации плазмы.

1.8 Математическая модель оптимизации отдельного переходного процесса.

1.9 Математическая модель исследования и оптимизации ансамбля траекторий.

ГЛАВА 2. Параметрическая оптимизация: численные алгоритмы и результаты расчётов.

2.1 Общая постановка задачи параметрической оптимизации.

2.2 Параметрическая оптимизация динамики переходного процесса.

2.3 Параметрическая оптимизация динамики ансамбля траекторий.

2.4 Приращения матриц структуры для математической модели токамака ITER-FEAT.

2.5 Вычислительные аспекты расчёта градиента функционалов.

2.6 Алгоритм численной оптимизации.

Обзор возможностей вычислительного комплекса Практические расчёты для токамака ITER-FEAT.

ГЛАВА 3. Программно-аппаратный комплекс системы управления для токамака Гутта.

3.1 Задача управления положением плазмы в токамаке Гутта.

3.2 Исполнительная и диагностическая подсистемы.

3.3 Программно-аппаратный комплекс системы управления с обратной связью.

3.4 Расчёт стабилизирующего регулятора формы плазмы в токамаке Гутта.

3.5 Эксперимент по управлению радиальным положением плазмы.

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей и численных алгоритмов оптимизации систем управления параметрами плазмы в токамаках.

В связи с существенной ограниченностью мировых запасов энергоносителей большое внимание в современной науке уделяется поиску и созданию альтернативных источников энергии. Всё более значимыми и актуальными становятся исследования задач управляемого термоядерного синтеза (УТС). В различных странах мира, например, в России, США, Англии, Германии, Китае, Японии и других странах, в этом направлении развёрнуты широкомасштабные исследования. Данной проблемой занимаются многие российские научные коллективы: ГНЦ РФ ТРИНИТИ, РНЦ Курчатовский институт, ФГУП НИИЭФА им. Д.В. Ефремова, Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе, а также такие крупные университеты как МГУ, МИФИ (ГУ), СПбГУ и другие организации.

К настоящему моменту сформировались различные направления работ по созданию термоядерного реактора [23, 78]. Большие успехи были достигнуты в области магнитного удержания плазмы в установках типа токамак [123]. В тороидальной камере токамака плазма, представляющая собой ионизированную смесь газов, удерживается с помощью магнитных полей специальной конфигурации [56]. Такая конфигурация магнитных полей, создаётся суперпозицией тороидального магнитного поля, полей катушек полоидальной системы и поля кольцевого тока, протекающего по плазменному шнуру [6, 23].

Перечислим наиболее известные из современных функционирующих токамаков: токамак JET [138], MAST [91, 111, 112, 113, 114, 120, 133] (Англия), JT- 60U (Япония) [121], ASDEX-Up (Германия) [98], TFTR (США) [102], NSTX (США) [122], Т-10 [94] и Глобус-М [24] (Россия).

В настоящее время идут работы по созданию экспериментального термоядерного реактора в рамках международного проекта ITER [87, 105, 107, 108, 109, 110, 126].

Отметим, что наряду с большими и известными установками, возрастает значение малых токамаков [99, 100], например (EGYPTOR [104], SUNIST [103], ISTTOK [134]). Установки такого типа могут быть использованы для многих исследовательских экспериментов. Сравнительно небольшие затраты на их обслуживание и энергопотребление делает их достаточно привлекательными как для исследовательских, так и для учебных целей по подготовке специалистов в области УТС. Различные эксперименты и исследования ведутся в Санкт-Петербургском государственном университете на малом токамаке Гутта [74, 99, 128, 130, 135, 136].

Конструирование и оснащение токамаков эффективными системами управления необходимо для достижения желаемых параметров экспериментов, выполнения различных требований к безопасности исследований и сохранности оборудования [9, 89], что определяет значимость исследований по проблемам управления плазмой в токамаках.

На примере токамака ITER-FEAT [109, 110] рассмотрим задачи системы управления токамака, её конструкцию и контролируемые динамические характеристики, отвечающие за качество стабилизации.

На рис. В.1 показано поперечное сечение вакуумной камеры. Управляющими элементами токамака являются электромагнитные катушки. Исполнительна система токамака ITER-FEAT объединяет 11 элементов - 6 электромагнитных катушек полоидального поля PF1 - PF6 и центральный соленоид CS, который секционирован на пять частей. Считается, что каждая катушка имеет только один виток и обладает свойством сверхпроводимости. Каждой катушке соответствует отдельный источник питания. Управляющими воздействиями являются величины напряжений, приложенных к обмоткам этих катушек. Границу горячей области плазмы характеризует положение сепаратрисы магнитного поля. В систему управления токамака ITER-FEAT поступают измеренные зазоры gx - g6 между сепаратрисой и стенкой камеры токамака в контрольных точках. Задача системы управления стабилизировать вертикальное положение плазменного шнура (так как он неустойчив в вертикальном направлении) и стабилизировать ток и форму плазмы.

Рис. В. 1. Поперечное сечение вакуумной камеры токамака ITER.

В процессе отработки системой управления отклонений плазмы от положения равновесия, обусловленные начальными условиями или внешними воздействиями (например, скачкообразные изменениями плотности плазмы), происходят изменения во времени указанных зазоров и смещений, определяющих форму плазмы. Характер данных изменений, понимаемый как некоторый динамический процесс, определяет качество стабилизации и должен соответствовать ряду требований и ограничений.

Задачи синтеза стабилизирующих регуляторов лежат в основе конструирования систем управления положением, током и формой плазмы.

Среди работ посвященных проблемам оптимизации и стабилизации движений динамических объектов [39-41, 43, 48, 49, 53-55, 62, 69, 22, 76, 1,

PF4

PF6

21, 119], в первую очередь выделим работы В.И. Зубова, Р. Калмана, Н.Н. Красовского, A.M. Лётова, Л.С Понтрягина. В работах Е.И. Веремея, А.П. Жабко, В.Л. Харитонова различные подходы к анализу и синтезу систем стабилизации при наличии неопределённостей [17, 13, 14, 18, 19, 30, 63] и методы оценивания мер робастной устойчивости сконструированных замкнутых систем управления с обратной связью [15, 16, 31, 83, 45, 127] успешно привлекаются к решению задач управления сложными электрофизическими объектами. Аспектам практических задач управления при неполной информации о начальных данных и внешних воздействиях посвящены работы [10, 81, 79, 80, 50, 51, 46, 65, 66, 64]. Зачастую в указанных подходах рассматриваются задачи управления ансамблями траекторий динамических систем и оценки множеств достижимости. Особо отметим работы авторов Н.Ф. Кириченко, А.Б. Куржанского, Д.А. Овсянникова, Ф.Л. Черноусько.

Существенные результаты по проблеме среднеквадратичного оптимального синтеза при учёте случайных стационарных внешних возмущений освещены в таких известных работах как [68, 2, 52, 97, 25, 58, 90, 7]. Большую известность в данном направлении работ получили такие авторы как В.В. Солодовников [71, 72], B.C. Пугачёв [70], В.Н. Фомин [77],

A.А. Первозванский [67], X. Квакернак [44, 90].

В последние десятилетия к задачам конструирования замкнутых систем управления активно привлекаются методы Н -теории (Д. Доил [93], Б. Френсис [92, 97, 95], К. Гловер [96]). В рамках данного подхода развиваются методы оптимизации систем по нормам Н2 и Н^.

Среди работ, посвящённых вопросам моделирования сложных физических процессов, протекающих в плазме, широкую известность получили работы [3, 5, 23, 24, 26, 38, 59, 60, 75, 82, 101].

Проблемам управления плазмой посвящено много работ. В работах

B.А. Белякова, Е.И. Веремея, А.П. Жабко, А.А. Кавина, Д.П. Костомарова,

А.Д. Овсянникова, Д.А. Овсянникова, G. Cunningham, М. Gryaznevich, G.J. 7

McArdle, A. Portone и других авторов рассматриваются задачи стабилизации и управления формой, током и положением плазменного шнура.

Исследования, направленные на адаптацию и практическое применение известных методов аналитического синтеза к решению конкретных задач стабилизации формы плазмы в токамаках освещены в ряде работ [20, 84, 85, 86, 88, 112, 114, 116, 118, 132]. В работах [86, 110, 42] отражены различные аспекты формирования математических моделей и их линеаризации относительно номинальных значений токов и напряжений. Относительно новой является проблема неустойчивости плазмы по вертикали, впервые сформулированная в [4]. Современные достижения и результаты исследований по проблемам управления установками типа токамак отражены в трудах международных конференций посвященных задачам управления, например, «IAEA Fusion Energy Conferences (FEC)», «Symposiums on Fusion Engineering», «International Workshop: Beam Dynamics & Optimization», «Conference on Decision and Control», «International Conference Physics and Control», а также в трудах международного семинара по сферическим токамакам «Spherical Torus» [84, 85, 87, 105, 106, 117, 127, 129, 131, 137, 139].

Отметим, самые современные работы, в которых исследуются методы и алгоритмы оптимизации систем управления, а также уделяется внимание их адаптации к решению конкретных задач стабилизации плазмы в токамаках [125, 33, 84, 114, 126, 118, 61]. Указанные работы непосредственно примыкают к разрабатываемым в настоящей диссертации подходам.

В основу применяемых подходов и алгоритмов в решении задач стабилизации плазмы положены идеи и методы LQG-оптимального синтеза [2, 87], теория оптимизации систем по нормам Н2 и [125, 84, 33, 61], методы модального синтеза, упрощения и понижения порядка линейных стационарных систем [32, 34], конструирование оптимальных наблюдателей пониженной размерности [44, 90, 92, 43].

Отметим, что данные подходы обладают рядом особенностей и сложностей в их применении и требуют некоторых упрощений. В связи с большой размерностью и сложностью объекта управления синтез регулятора не применяется к нему напрямую. Сначала рассматривается соответствующая однородная система уравнений, то есть без внешних возмущений, и выполняется понижение ее порядка. Затем стабилизирующий регулятор строится, уже для полученного редуцированного объекта. Будучи построенным, регулятор замыкает исходный объект управления и является по отношению к нему регулятором пониженной размерности.

Поэтому, ввиду научной значимости исследований по созданию эффективных систем управления плазмой в токамаках, представляется необходимым и актуальным проведение работ по созданию новых эффективных регуляторов на основе полноразмерных моделей управления, также учитывающих более широкий спектр возмущений по начальным данным и внешним воздействиям. Цель данной работы состоит в разработке математических моделей, методов и алгоритмов параметрической оптимизации систем управления параметрами плазмы и их реализация в вычислительном комплексе. А также в разработке программного обеспечения для программно-аппаратного комплекса системы управления с обратной связью положением плазменного шнура в токамаке Гутта в реальном времени.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель работы и направления исследований, приведены краткий обзор состояния исследований по теме работы и краткая аннотация диссертации по главам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

• новые математические модели оптимизации систем управления плазмой в токамаках;

• численные алгоритмы и программные средства, позволяющие исследовать и оптимизировать полноразмерную замкнутую систему управления, с учётом динамики ансамбля переходных процессов, образуемого множеством возмущений по начальным данным и внешним воздействиям;

• новые регуляторы, стабилизирующие форму и ток плазмы в токамаках ITER-FEAT и Гутта;

• программное обеспечение созданное для программно-аппаратного комплекса системы управления горизонтальным положением плазмы в токамаке Гутта в реальном времени с обратной связью.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., «Наука», 1979.

2. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления. Киев: Наукова думка, 1978.-328 с.

3. Аристов Ю.А., Воробьев Г.М., Кузнецов А.В. Оптимизация положения витков индуктора токамака. ЦНИИ Атоминформ 1992г.

4. Арсенин В. В., Чуянов В. А. Подавление неустойчивости плазмы методом обратных связей // Успехи физических наук. 1977. Т. 123. Вып. 1. С. 83-129.

5. Арцимович JI. А. Управляемые термоядерные реакции. — М.: Физ-матгиз, 1963.

6. Арцимович JI.A. Замкнутые плазменные конфигурации. — М.: Наука, 1969.

7. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 3-32.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975.

9. Беляков В.А., В.И.Васильев, В.Г.Ивкин и др. Доклады Третьей Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (ИПТР-3), Ленинград , 20-22 июня 1984, стр. 555-561.

10. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая оптимизация и устойчивость динамики пучков. Киев: Наук, думка, 1985. 304 с.

11. Васильев Ф.П. — Численные методы решения экстремальных задач. — М.:Наука, 1980.-518 с.

12. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. Учебноепособие. М.: Наука, 1981.- 400 с.

13. Веремей Е.И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Ч. 2 // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 12. С. 33-39.

14. Веремей Е.И. Абсолютный минимум среднеквадратичного критерия качества в задаче синтеза со скалярным возмущением // Известия ВУЗов СССР. Приборостроение. 1989. Т. XXXII. № 1. С. 10-15.

15. Веремей Е. И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Известия АН СССР. Техн. кибернетика. 1986. № 4. С. 123-130.

16. Веремей Е.И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения диф16ференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей. М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, N3413-78.

17. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением. Ч. 1 // Известия вузов СССР. Электромеханика. 1985. № 10. С. 52-57.

18. Веремей Е.И. Численные методы среднеквадратичного синтеза при наличии модальных ограничений // АН УССР. Автоматика. 1990. № 2. С. 22-27.

19. Веремей Е. И., Еремеев В. В. Среднеквадратичный синтез при учёте вектора возмущений, размерность которого меньше порядка системы // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1988. Вып. 4 (№ 22). С. 14-18.

20. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М., 1971. 508 с.

21. Габасов. Р.Ф. Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Методы115функционального анализа. Издательство Белорус, ун-та. Минск. 1973. — 248 с.

22. Глухих В.А., Беляков В.А., Минеев А.Б. Физико-технические основы управляемого термоядерного синтеза. Санкт-Петербург, издательство Политехнического университета, 2006. 348 с.

23. Гусев В.К., Голант В.Е., Беляков В.А. и др., ЖТФ, 1999, том. 69, вып. 9, стр. 58-62.

24. Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р. Теория следящих систем. М.: Физматгиз, 1951.

25. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Математическое моделирование плазмы. М., 1993. 336 с.

26. Дьяконов В. MATLAB: учебный курс. СПб: Питер, 2001. - 560 с.

27. Дьяконов В., Круглов В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. -СПб: Питер, 2002. — 228 с.

28. Есипов JI. А., Завадский В.М., Завадский С. В., Сахаров И. Е., Шаталин С. В. Система управления равновесием плазменного шнура токамака ФТ-2 // В кн.: Тезисы докладов XXVI Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС. Звенигород, 1999. с. 87.

29. Жабко А.П., Харитонов B.JI. Методы линеной алгебры в задачах управления. СПб.: изд-во СПбГУ, 1993. - 320 с.

30. Жабко А.П., Харитонов B.JI. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейного семейства полиномов // Автоматика и телемеханика. №10. 1994. С. 125-134.

31. Жабко Н.А. Анализ влияния дополнительных фильтров на динамику системы стабилизации плазмы в токамаке ITER-FEAT // Тр. XXXIII конф. «Процессы управления и устойчивость». СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. - С. 39-49.

32. Жабко Н.А. Математические методы стабилизации положения, формы и тока плазмы в современных токамаках, дисс. на соискание ученойстепени к. ф.-м. н., С-Пб, 2005.

33. Жабко Н.А. О возможности понижения порядка системы дифференциальных уравнений, моделирующей процесс стабилизации плазмы // Тезисы докладов междунар. науч. конф. «Еругинские чтения VIII». Брест, 2002. - С. 60.

34. Завадский С.В. Структурно-параметрическая оптимизация в задаче стабилизации плазмы // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 3, стр. 2229.

35. Зайцев Ф. С. Математическое моделирование тороидальной плазмы. — МАКС Пресс, 2005.

36. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

37. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1966.

38. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., Машиностроение, 1974. 336 с.

39. Кавин А.А., Применение математического моделирования к управлению плазмой в токамаках, дисс. на соискание ученой степени к. ф.-м. н., С-Пб, 2004.

40. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и117теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д. 1961. Т. 83, № 1. С. 123-141.

41. Квакернак X., Сиван Р. — Линейные оптимальные системы управления: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 650 с.

42. Кириллов О. Е., Лисиенко В. Г. Количественный анализ управляемости и его применение к приближенной декомпозиции линейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1997. № 1. С. 4756.

43. Кириченко Н.Ф., Введение в теорию стабилизации движения. Киев. 1978.- 184 с.

44. Коровкин Н., Демирчян К., Чечурин В., Нейман Л. Теоретические основы электротехники. Том 1. Питер 2004г.

45. Красовский А.А., ред. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

46. Красовский А. А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование. М.: Наука. 1973.

47. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределённости. М., «Наука», 1977. 392 с.

48. Куржанский А.Б. Задача идентификации — теория гарантированных оценок. // Автоматика и телемеханика. 1991. - №4. — С. 3-26.

49. Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью. Киев: Наукова думка, 1973.

50. Лётов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1960. № 4-6; 1961. - № 4-11.

51. Лётов А. М. Динамика полёта и управление. М.: Наука, 1969.

52. Лётов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.

53. Лукьянов С.Ю. Горячая плазма и управляемый термоядерный синтез. «Наука», главная редакция физико-математической литературы, М-1975.

54. Мартынов Н.Н., Иванов Н.Н. MATLAB 5.Х. Вычисления, визуализация, программирование. М.: Кудиц-образ, 2000. - 332 с.

55. Меррием К. Теория оптимизации и расчёт систем управления с обратной связью. М.: Мир, 1967.

56. Минеев А. Б. ТОКАМАК: равновесные плазменные конфигурации, устойчивость их формы и постановка простейших задач управления положением и формой плазмы. Учебное пособие. СПб, 2006.

57. Мирнов С. В. Физические процессы в плазме токамака. М.: Энергоатомиздат, 1986.

58. Мисенов Б.А. Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках, дисс. на соискание ученой степени к. ф.-м. н., С-Пб, 1998. 146 с.

59. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-424 с.

60. Науменко К. И. Синтез оптимальных линейных систем при наличии запаздывания в управлении // Мат. физика. 1975. Вып. 17. С. 52—57.

61. Овсянников А.Д. Совместная оптимизация программного и возмущённых движений. Учебное пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. - 53 с.

62. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1998. — 276 с.

63. Овсянников Д.А., Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. —Л.: Издательство Ленинградского университета. 1990.-312 с.

64. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

65. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. — Л.: Судостроение, 1973. — 216 с.

66. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1969. — 384 с.

67. Пугачёв В. С. Статистические методы в технической кибернетике. М.: Наука, 1971.

68. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960.

69. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977.

70. Сухов Е. В. Математическое моделирование процессов управления плазмой в токамаке и комплексы программ, дисс. на соискание ученой степени к. ф.-м. н., С-Пб, 2007.

71. Сухов Е.В. Моделирование полоидальной системы электрических контуров для автоматизации эксперимента на токамаке Гутта. Вестник Санкт-Петербургского университета, Сер. 10 2007, вып. 3. стр. 89-96.

72. Тамм И. Е., Сахаров А. Д. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. -М.: АН СССР, 1958. Т. 1.

73. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука. 1981. 448 с.

74. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

75. Хеглер М., Кристиансен М. Введение в управляемый термоядерный синтез: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. 230 с.

76. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемой системы //ПММ, 1981. Т.45. В. 1.

77. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейной системы с неопределённой матрицей // ПММ, 1996. Т.60.В.6. С. 92.

78. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М., «Наука», 1978

79. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леоновича.-М.: Наука, 1963.

80. Шашихин В.Н. Робастная стабилизация интервальных динамических систем // Изветсия академии наук. Теория и системы управления, 1996. №6. С. 47-53.

81. Ambrosino G., Ariola М., Mitrishkin Y. et al. Plasma current and shape• ill control in tokamaks using Hoo and mu-synthesis // Proc. of 36 Conferenceon Decision & Control.— San Diego (Calif.), 1997. P. 3697-3702.

82. Beghi A., Ciscato D., Portone A. Model reduction techniques in Tokamak modelling // Proc. of 36lh Conference on Decision & Control.— San Diego (Calif.), 1997. P. 3691-3696.

83. Belyakov V. A., Bulgakov S. A., Kavin A. A. et al. Numerical simulation of plasma equilibrium and shape control in tight tokamak GLOBUS-M // Proc. of XIX Symposium on Fusion Technology. Lisbon, 1996.

84. Belyakov V.A., Bender S.E., Vasiliev N.D. et al. Proceedings of the Fourth Technical Committee Meeting and Workshop on Fusion Reactor Design and Technology, 26 May-6 June 1986, Yalta, USSR, p. 49-67.

85. Bosgra H., Kwakernaak H., Meinsma G. Design methods for control systems. Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control. Winter term 2003-2004. - Delft, 2003. - 319 p.tVi

86. Darke А.С. et al. Proceedings of the 16 Symposium on Fusion Energy, Shampaign-Urbana, USA, 1995, vol. 2, p. 953-956.

87. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory New York: Macmillan Publ. Co., 1992. -XI, 227.

88. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standart H2 and Hoo control problems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989. - Vol. 34, nr. 8. - P. 831-847.

89. Dremin M.M. and T-10 Group. Last Results and Further Program on T-10 Tokamak. In: Proc. 10th IAEA Technical Committee Meeting on Research Using Small Tokamaks. Prague, 1996, A-5.

90. Francis B.A., Doyle J.C. Linear control theory with an Hoo optimality criterion // Siam J. Control and Optimization. 1987. - Vol. 25. - P. 815844.

91. Francis B. A Course in Hoo Conrol Theory. Berlin: Springer-Verl., 1987.

92. Gruber O. et al., Journal of Nuclear Materials, 121, 1984, p.407.

93. Gryaznevich M P, Vorobjev G M. Status of the GUTTA tokamak. Culham OPS Note 1992.

94. Gusev V.K. et al. Plasma Formation and First OH Experiments in the Globus-M Tokamak. Proceedings of the 18th Fusion Energy Conference 4 -10 October 2000 Sorrento, Italy.

95. Hawryluk R.J. et al. Proceedings of the Tenth topical meeting on thetechnology of fusion energy, Boston, USA, 7-12 June, 1992, Fusion Technology, May 1992, vol. 21, No. 3, part 2a, p. 1324-1331.

96. He Y. , A Research Program of Spherical Tokamak in China, Plasma Science & Technology, Vol. 4, No. 4 (2002)

97. Hegazy H. EGYPTOR Tokamak Progress and First Results. The proceedings of the 16th IAEA Technical Meeting on Research using Small Fusion Devices. 30th November-3 December 2005, Mexico City, Mexico. Melville, New York, 2006. pp. 86-89.

98. Holtkamp N. An Overview of the ITER Project. Preprints of the 21st IAEA Fusion Energy Conference, 16-21 October, 2006 Chengdu, China.

99. Ikeda. K. Status of ITER. Preprints of the 21st IAEA Fusion Energy Conference, 16-21 October, 2006 Chengdu, China

100. ITER IT documentation, Control System Design and Assessment, G 45 FDR 1 01-07-13 R1.0, Appendix D, Plasma Current, Position and Shape Control, 2001.

101. ITER Physics Basics, Nuclear Fusion, vol. 39 (1999).

102. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No.24, IAEA, Vienna, 2002.

103. McArdle G. Progress and plans for MAST plasma control, Fusion Eng. Des. 56-57 (2001).-P. 749-754.

104. McArdle G. J., Appel L. C., Knight P. J. et al. The MAST plasma control system // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97— St.-Petersburg, 1997.-P. 62.

105. McArdle G., et al. The MAST digital plasma control system, Fusion Eng. Des. 66-68 (2003). P. 761-765.

106. McArdle G.J., Belyakov V.A., Kavin A.A., Veremei E.I. et al. The MAST plasma control system. Proc. of 20th Intern. Symposium On Fusion Technol. (SOFT98). Sept. 7-11, 1998. Marseille, 1998. P. 541-544.

107. Miele A. Recent advances in gradient algorithms for optimal control problems // J. Optim. Theory and Appl. 1975. Vol.17. N 5-6.

108. Misenov B. A. Computational aspects of plasma shape control synthesis problem // Proc. of 2nd Intern. Workshop «Beam Dynamics and Optimization».—St.-Petersburg, 1995.— P. 138-145.

109. Misenov B. A., Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Veremei E. I., Zhabko A. P. Non-linear model of tokamak plasma shape stabilization // Intern, conf. on Informatics and Control (ICI&C97).— St.-Petersburg, 1997.

110. Modern approaches to control system design / Ed. N. Nunro. London; New York: P.Peregrinus, 1979.

111. Morris A. W. The status of MAST // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97.- St.-Petersburg, 1997.-P. 29.

112. Nagashima K., et al., "Physical design of JT-60 Super Upgrade", Fusion Engineering and Design, Vol.36, pp.325-, (1997).

113. Ono M. et al. Phys. Plasmas, 1997, No. 4, p. 799.

114. Overview of tokamak results. Unterberg В., Samm U. Proceedings of the 7th Carolus Magnus summer school on plasma and fusion energy physics. September 5-16, 2005, Mechelen, The Netherlands

115. Ovsyannikov A.D., Gusev I.A. , Makeev I. V., Ovsyannikov D.A., Savelyev D. S., Suhov E.V. , Veremey E.I., Vorobyov G.M., Zhabko A.P., Kavin

116. Ovsyannikov D. A., Veremey Е. I., Zhabko А. P. et al. Mathematical methods of plasma vertical stabilization in modern tokamaks // Nuclear Fusion. 2006. Vol 46. P. 652-657.

117. Ovsyannikov D.A, Veremey E.I, Zhabko A.P., Belyakov V.A., Kavin A.A. Mathematical methods of tokamak plasma shape control // Proceedings of the third international workshop: Beam Dynamic & Optimization. Saint-Petersburg, 1996, pp. 218-229.

118. Ovsyannikov D.A., Ovsyannikov A.D., Suhov E.V., Vorobyov G.M., Zavadsky S.V. Plasma control problems investigation on Gutta tokamak125

119. Electronic resource.// The 3rd International IEEE Scientific Conference on Physics and Control (PhysCon 2007), University of Potsdam. 2007. -P. 1-6. — Режим доступа : lib.physcon.ru/download/pl376.pdf, свободный. — Загл. с экрана.

120. Portone A., Villone F., Liu Y. et al. Linearly perturbed MHD equilibria and 3D eddy current coupling via the control surface method. // Plasma Phys. Control. Fusion 50, 2008. P. 1 12.

121. Vorobyev G.M., Ovsyannikov D.A., Veremei E.I., Zavadsky V.M. Education and Research Program on Small Tokamak GUTTA. RCM JRUST, Lisbon, 7-10 Nov. 2004

122. Vorobyov G.M., Ovsyannikov D.A., Ovsyannikov A.D., Suhov E.V., Veremey E. I., Zavadsky V. M., Zhabko A. P. The Experiments of the small Spherical Tokamak Gutta. The proceedings of the 16th IAEA Technical

123. Meeting on Research using Small Fusion Devices. 30th November-3 December 2005, Mexico City, Mexico. Melville, New York, 2006

124. Walker M. L., Humphreys D. A., Ferron J. R. Control of plasma poloidal shape and position in the DIII-D tokamak // Proc. of 36th Conference on Decision & Control.— San Diego (Calif.), 1997. P. 3703-3708.

125. Wesson J. The Science of JET. EFDA JET 2006.

126. Gribov Y.V. Semi-analytical Approach to the Control of Plasma Vertical Displacement in Tokamak, I.V.Kurchatov Institute of Atomic Energy, Preprint IAE-5480/8, M., 1992.