автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы анализа и синтеза робастных систем стабилизации плазмы в современных токамаках

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

гтопоу т и»/»

□03448442

МАКЕЕВ Иван Владимирович

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ ПЛАЗМЫ В СОВРЕМЕННЫХ ТОКАМАКАХ

05 13 01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 О ¡П 200В

Санкт-Петербург - 2008

003448442

Работа выполнена на кафедре компьютерных технологий и систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Веремей Евгений Игоревич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Смирнов Николай Васильевич,

кандидат технических наук, Сумачев Сергей Александрович

Ведущая организация

Научно-исследовательский институт электрофизической аппаратуры им Д В Ефремова, г Санкт-Петербург

Защита состоится » 2008 года часов на засе-

дании совета Д-212 232 50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 199034, Санкг-Петербург, Университетская наб, дом 7/9, Менделеевский центр

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб, дом 7/9 Автореферат размещен на сайте www spbu ru

Автореферат разослан «ш " 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ -мат наук,

профессор Г И Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В практике решения формализованных задач, связанных с управлением реальными динамическими объектами, неизбежно возникают проблемы, порождаемые наличием различных, неопределенностей в задании соответствующих математических моделей Это связано как с отсутствием полной информации о динамических свойствах объектов управления, так и о свойствах действующих на них внешних возмущений, зачастую носящих случайный характер

Отмеченное обстоятельство определяют то постоянное внимание, которое уделяется в последние годы развитию и практическому использованию математических методов учета неопределенностей при проведении исследовательских и проектных работ по созданию систем управления динамическими объектами различных классов В качестве примера можно привести известные научные труды таких исследователей как В Л Харитонов, Д Доил, К Гловер, Д Макфарлейн и др

Следует отметить, что постоянно возрастающие возможности современных компьютерных технологий и систем позволяют реализовывать алгоритмически сложные и ресурсоемкие оптимизационные методы, ориентированные на учет различных требований к качеству процессов управления, в том числе с учетом и компенсацией неточностей моделирования

Особенно важной является задача обеспечения робастиой устойчивости замкнутой системы при любых возмущениях модели объекта в определенных заданных пределах Стремление к выполнению желаемых ограничений на динамические характеристики замкнутой системы с возмущенным объектом определяют задачу обеспечения робастного качества

Одним из наиболее важных и перспективных направлений для практических приложений современной теории управления является термоядерная энергетика Наиболее реальным представляется создание термоядерных реакторов, использующих концепцию магнитного удержания плазмы в токамаках

Ключевыми трудностями на пути реализации эт ой концепции являются непродолжительное время жизни и неустойчивость плазмы Опыт исследований по проектированию и эксплуатации токамаков показал, что успешное преодоление трудностей возможно только на базе применения

з

систем автоматического управления с обратной связью Соответствующие исследования отражены в научных работах Д П Костомарова, Ю В Мит-ришкина, В А Белякова, А А Кавина, Д А Овсянникова, А П Жабко, Е И Веремея и других ученых

Соответственно представляется исключительно значимой роль формализованного математического, алгоритмического и программного обеспечения, привлекаемого для проведения соответствующих исследовательских и проектных работ по созданию таких систем

Основное требование состоит в том, чтобы одно и тот же стабилизирующее управление обеспечивало устойчивость и желаемое качество замкнутой системы в различных режимах функционирования с учетом погрешностей моделирования и линеаризации Это требование может быть реализовано только путем обеспечения определенных робастных свойств системы управления плазмой, играющих исключительно важную роль в комплексе ее динамических характеристик

Исследовательские работы по изучению робастных особенностей систем управления плазмой в токамаках начались сравнительно недавно, применительно к международному проекту ITER, и в настоящее время находятся в стадии непрерывного развития Это определяет актуальность исследований, направленных на формирования соответствующей теории и вычислительных методов анализа и синтеза, а также их адаптации к решению комплекса прикладных задач управления плазмой в токамаках

Цель диссертационной работы состоит в проведении разработок, направленных на развитие математических методов и алгоритмического обеспечения задач анализа и проектирования систем стабилизации плазмы, обладающих желаемыми робастными свойствами Кроме того, целью диссертации служит решение конкретных прикладных задач, связанных с управлением плазмой в токамаке MAST

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза систем управления динамическими объектами Построение и исследование регуляторов осуществляется с использованием аналитического и вычислительного аппарата математического анализа, теории функций

комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Научная повита. Содержание диссертационной работы определяется созданием новых методов построения робастных регуляторов и анализа робастных свойств замкнутых систем управления с учетом частотных ограничений на неструктурированные неопределенности математической модели объекта управления

Развивается частотный подход к построению границ робастной устойчивости и робастного качества замкнутых систем и на его основе предлагается новая методика проведения сравнительного анализа стабилизирующих законов управления

Формируется новый аналитический метод построения робастных регуляторов для SISO-систем с ограниченными непараметрическими неопределенностями аддитивного и мультипликативного типа

Предлагается комбинированный оптимизационный подход, обеспечи-вающии синтез регуляторов на базе допустимого компромисса между динамическим качеством и робастной устойчивостью замкнутой системы

Проводится адаптация новых и известных методов синтеза регуляторов для решения задач анализа и синтеза систем управления плазмой с учетом особенностей используемых математических моделей, а также реальных ограничении и требований к качеству стабилизации

Практическая значимость работы состоит в ее исходной ориентации на решение проблем высокоэффективной применимости разрабатываемых алгоритмов и получаемых с ик помощью законов управления в реальных условиях функционирования Предложенные в диссертации новые математические методы и вычислительные алгоритмы позволяют повысить эффективность решения достаточно сложных практических проблем управления динамическими объектами и используются в специфических задачах, возникающих в практике исследования и проектирования систем стабилизации плазмы в современных токамаках

Работоспособность, практическая применимость и эффективность предложенных методов и алгоритмов иллюстрируется на примере прикладных задач управления вертикальным положением, током и формой плазмы в токамаке MAST

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации докладывались на международных конференциях «Процессы управления и устой-чивсть» 2004 (г Санкт-Петербург), PHYSCON 2005 (г Санкт-Петербург, 2005), 11th International Workshop on Spherical Torus (Санкт-Петербург, 2005), Beam Dynamics & Optimization (BDO'2006) (Санкт-Петербург, 2007), PHYSCON 2007 (Potsdam, Germany, 2007), III всероссийская научная конференция «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB» (Санкт-Петербург, 2007), а также на семинарах кафедры компьютерных технологий и систем и лаборатории компьютерного моделирования систем управления СПбГУ

Результаты диссертации были использованы в Национальном проекте "Образование" в рамках инновационной программы СПбГУ «Пилотный проект №22 Прикладные математика и физика» «Разработка программно-методического комплекса по созданию линейных математических моделей управления плазмой в токамаках», «Программно-методическое обеспечение по методам стабилизации плазмы в современных токамаках»

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 7 печатных работ, две из которых помещены в журналах, входящих в Перечень ВАК

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 112 наименований Объем работы составляет 108 страниц машинописного текста

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассматривается общая содержательная постановка задач, решаемых в диссертационной работе, и проводится краткий обзор опубликованных научных работ по теме исследований

Первая глава посвящена вопросам анализа робастных свойств линейных замкнутых систем управления

В первом параграфе рассматривается частотный подход к оценке границ робастной устойчивости для SISO-систем вида у = Pn(s)u, замкнутых стабилизирующим регулятором и = —K(s)y При этом предполагается, что передаточная функция K(s) регулятора не изменяется в процессе функ-

ционирования, а передаточная функция Рп{s) объекта подвергается воздействию неструктурированных возмущении непараметрического типа В результате подобного воздействия, регулятор фактически замыкает не объект с моделью, а другой объект, представляемый моделью у = P(s)u, передаточная функция P(s) которого отличается от номинальной

В связи с наличием указанной неопределенности неструктурированного типа, формулируются основные вопросы, ответы на которые позволяют оценивать качество стабилизирующего регулятора в плане допустимости неконтролируемых вариаций математической модели объекта

- будет ли сохраняться устойчивость замкнутой системы при условии, что возмущение передаточной функции объекта находятся в заданных границах,

- каковы предельно допустимые границы изменения возмущений, которые не приводят к потере устойчивости

Кроме того, в первом параграфе вводятся различные формы описания возмущении, на примере мультипликативного способа задания возмущения на входе объекта формируются понятия гарантированной границы bm(Pn,K) = M\1 (ï)||_ робастной устойчивости и частотной границы 6(ш, Рп ,К) = \ /\T(jm)\, где 7'(s) = A'(v)[l +/J„(.s)A'(s)]^'/>„(.s') Приводится численныи пример, иллюстрирующий построение границ

Второй параграф обобщает рассмотренный подход для анализа роба-стных свойств MIMO-систем вида y = P„(s)u с использованием следующего утверждения

Теорема 1.2.3. Возмущенная замкнутая система у — P(s)u, u = -K(s)y будет сохранять устойчивость для любой передаточной матрицы P(.v), определяемой формулой P(s) = Р„(л)(1,„ + A(i)Wd(ç)), при условии ||Д(л)||„<1, тогда и только тогда, когда справедливо неравенство р = ||MO)L < 1, где M (s) = -W„(5)K(i)[I + адкмг'р»

На базе сформулированного утверждения приводится алгоритм сравнительного анализа различных регуляторов по отношению к границам робастной устойчивости замкнутой системы

1 Для каждого из регуляторов u = -КД\)у (/ = 1,2, , /V ), подлежащих сравнению, формируются вспомогательные передаточные матрицы

М,(«)=-К,(у)[1 + Р„(5)К,(5)Г1Р„(5), где Р„(л) - заданная передаточная матрица номинального объекта

2 Для каждой передаточной матрицы (г =1,2, ,#) строится

вспомогательная частотная характеристика 7] (со) = С(М, (7со)) и находится ее максимум по частоте (или Нм -норма матрицы М,)

3 Для каждой частотной характеристики 7] (со) определяется обратная функция Ъ, (со) = Ь((й, Р„, К,) = 1 / Г, (со) - частотная граница робастной устойчивости

4 Для каждой нормы (3, определяется обратная величина Ьт =&т(Р„,К,) = 1/Р1 - постоянная граница робастной устойчивости Величину Ьт желательно представлять в процентах

5 Полученные границы сравниваются между собой для определения регулятора, обеспечивающего наиболее широкую из них в определенном диапазоне частот

Третий параграф посвящен вопросу оценки функционала в задаче ро-бастного качества при наличии неопределенности в задании спектральной плотности мощности внешнего возмущающего воздействия

Здесь рассматривается объект с математической моделью А(р)х = В{р)и + ф(0, где х, и, <р е И' - соответственно, регулируемая величина, управление и возмущение, А, В - взаимно простые полиномы от оператора дифференцирования р = й! с11 с постоянными коэффициентами Возмущение ср(/) - это случайный стационарный эргодический процесс с нулевым средним по времени, имеющий спектральную плотность мощности 5 (ю) - правильная четная дробно-рациональная функция частоты со 5Дю) = ^(со)/ГДю) = 5,Ою)5,(-/со), = * = 7со, 1Ч,Т -

гурвицевы полиномы

Для указанного объекта исследуется задача о поиске оптимального регулятора и = К(р)х, обеспечивающего минимум функционала

заданного на движениях замкнутой системы При этом функция 5ф(со) не фиксирована, но известна ее принадлежность множеству 91

ше[0,~)

О

(1)

З^Шсо)

5ф(ш)-50(со)

<1 .

где 50(ю) - известная номинальная функция спектральной плотности мощности возмущения, IVл (со) - заданная весовая функция, определяющая частотный диапазон возможных вариаций фактической спектральной плотности

Оценку функционала (1) позволяет получить следующее утверждение Теорема 1.3.1. Если номинальная функция спектральной плотности мощности Л'0(м) удовлетворяет ограничению

"о

то выполняется неравенство

ЧшеЛ /

Здесь - решение оптимизационной задачи

где ДК) = -?|^Ой))|250((йУш

А.6тг *

о

При этом построение регулятора, обеспечивающего указанную оценку, базируется на использовании аналитического метода, допускающего эффективную численную реализацию

Во второй главе диссертации в центре внимания находится задача синтеза регуляторов, придающих желаемые робастные и динамические свойства замкнутой системе

В первом параграфе рассмотрен спектральный метод построения роба-стных регуляторов для 8180-систем вида

А(р)у=В(р)и + <Ц0, где у, и и й - скалярные величины у- контролируемая переменная, и -управление, с1{1) - внешнее воздействие на объект, А(р), В(р) — взаимно простые полиномы степеней п и т < п-1 соответственно, р — й!с1:

При этом считается, что имеет место наиболее сложная ситуация, когда объект является неустойчивым и неминимальнофазовым, что характе-

ризуется следующим представлением полиномов A(s)=Ah(s)Ar(—&) и B(s) = Bh(s)Br(-s),Tp,e Ah(s) и Bh(s) - гурвицевы полиномы,

ЛН)=П(а--*)' Br(rs) = f[®,-s)

1=1 1=1

- полиномы, все корта которых расположены в открытой правой полуплоскости, те Rea, >0 (/=1,/]), Rej3; >0(г = 1,/2) Будем считать, что корни являются простыми Регулятор строится в виде и = W{p)y

На возмущение передаточной функции Рп (s) = B(s) / /f(.v) наложим частотные ограничения В параграфе рассматриваются два способа задания возмущений для случая абсолютного (аддитивного) возмущения примем ограничения в виде |Да(у<в)| < |р(_/а>)| \/(йе[0,°°), где Aa(s) = P(s)~ PJs), для относительного (мультипликативного) - |А0(усо)| <|р(усо)| Vffle[0,«>),

A0(s)=ip(s)-p„(s)}p;\<)

В обоих случаях будем считать, что p(v) - заданная правильная дробно-рациональная весовая функция, числитель и знаменатель которой являются гурвицевыми полиномами, т е p(.v) е RH „

Тогда существо рассматриваемой задачи робастной стабилизации состоит в поиске такой дробно-рациональной передаточной функции W = Wp(s) регулятора, чтобы передаточная функция замкнутой системы

HÁs) =-f-*-;

была правильной устойчивой дробно-рациональной функцией для любого возмущения, заданного в первом или втором варианте

Для решения поставленной задачи в параграфе вводится параметризация, определяемая равенством

^ * /тг/\ a + QW ф =Ф(И7) =--—,

A-BW

где a(s) и Р(?) - любые полиномы, одновременно не обращающиеся в нули и обеспечивающие гурвицевость полинома О(х) = Л(.у)|}(.у) + /?(v)a(.v)

Показано, что в обоих случаях с использованием указанной параметризации задача робастной стабилизации сводится к поиску любой функции-параметра Ф(.у) е RH„, удовлетворяющей, соответственно, неравенствам

Яра(5,Ф) <1, где #0,Ф) = р(*)ф)

||Яр0(.,Ф)||м <1, где Нр0(ь,Ф) = р(*)В(!)

<2(4) .

ем (){*)

Ф(л)

(2) (3)

Доказываются следующие утверждения, определяющие решение поставленной задачи для случая аддитивного задания возмущения

Теорема 2.1.1. Если неравенство (2) выполнимо, то функция-параметр Ф = Фа(т)е /?Я„, обеспечивающая его выполнение, может быть представлена следующей формулой

ЛМ

где деление числителя на полином Аг(-я) осуществляется нацело Здесь ¡1 а(х) = //>-а(л)/[р(л-)у)(1(\).''(г(л)], //1а(л) - решение интерполяционной задачи Неванлинны-Пика ||Я(и(л')|' < 1 с исходными данными

а,, Л, = Я|И(ос,) = -р(а,)Лй(а,)Л(а,)/5(а,), » = Ц

Следствие 1. Рассматриваемая задача робастной стабилизации имеет решение тогда и только тогда, когда эрмитова матрица

а, + а,

(тась= р(а,Н(«,Н(«,) ' В(а,)

является неотрицательно определенной

Следствие 2. Задача робастной стабилизации имеет решение только тогда, когда А, =-р(а1)Ак(<х1)Аг(а,)/В(а1)<1 для всех / ■= I,/,

Теорема 2.1.2. Передаточная функция ^(я) робастного стабилизирующего регулятора, являющегося решением исходной задачи, определяется формулой

ЛСФ'ьС?)__

где я/1а(Ч), Ща(з) ~ соответственно числитель и знаменатель дробно-рациональной функции Я,.()(\), деление на полином Ат (-л) в знаменателе осуществляется нацело

Приводятся аналогичные утверждения для случая мультипликативного возмущения

Теорема 2.1.3. Если полиномы и Вг(-х) не имеют общих кор-

ней и неравенство (3) выполнимо, то функция-параметр Ф = Ф0(л) е 1Ш,,, обеспечивающая его выполнение, может быть представлена формулой

[я0(д)е(л)+<Ф)]/4(-д)

где деление в числителе на полином Аг(—а) осуществляется нацело Здесь /70(л) = [{,.0(х)/[р(х)Вк(х)Вг(х)\, //Л,0(л) - решение задачи Неванлинны-Пика |Яр0(х)|^ <1 с исходными данными

а,, Л,=Яр0(а,) = -Р(а,)Вг(а,)/ЛД-а,), ¡ = Ц

Следствие 1. Задача робастной стабилизации для относительного возмущения имеет решение тогда и только тогда, когда эрмитова матрица

, 1-/г,А,

(гд е/ Р(0О^Д0О

является неотрицательно определенной

Следствие 2. Задача робастной стабилизации имеет решение только тогда, когда /г, =-р(а,)5г(а,)/ВД-а,)<1 для всех / =1,/,

Теорема 2.1.4. Передаточная функция 1У0(х) робастного стабилизирующего регулятора, являющегося решением рассматриваемой задачи, определяется формулой

цг ы =__

где »г|0(У), т20(ч) - соответственно числитель и знаменатель дробно-рациональной фунидии //.0 (л), деление на полином Аг (-л) в знаменателе осуществляется нацело

Кроме того, в параграфе приводится численный пример, иллюстрирующий применение предложенного метода

Во втором параграфе разрабатывается комбинированный метод синтеза робастных регуляторов для систем управления с наличием стандартной нелинейности типа «срезка» в канале управления Этот метод позволяет применить оптимизационный подход для целенаправленного поиска до-

пустимого компромисса между характеристиками качества динамических процессов и робастными свойствами замкнутых систем

При этом динамические показатели качества оцениваются по результатам имитационного моделирования исходной нелинейной системы, что соответствует моделям, обычно используемым в практике решения вопросов управления плазмой в токамаках

В качестве базовой модели здесь рассматривается линейная система (например, используемая в работах А А Кавина, В А Белякова) с учетом нелинейных ограничений на величины управляющих воздействий

xr = А,х, + Bru + F,d,

(4)

у = C/x/+D/u + E/d,

u = u„ о sat(\) (5)

Здесь u е Ет - вектор управляющих воздействий, v е К'" - выходной сиг-

гш W KJ

нал регулятора, u0 е Ь - постоянный вектор ограничении управляющих сигналов, saí{ ) - функция «срезки», у е Ек - вектор измерений, d = d(/) -внешнее возмущение, о — оператор покомпонентного произведения

Предлагаемый подход предполагает, что непосредственный синтез регулятора, а также оценка робастных свойств, производится на базе линейной части исходной системы, тогда как динамическое качество процесса оценивается по результатам моделирования нелинейной системы (4), (5)

Стабилизирующий регулятор ищется в виде и = К(.у)у Будем считать, что допустимые величины длительности переходного процесса и перерегулирования равны Г0 и Р0 соответственно Выбор некоторого регулятора К = К* дает конкретные значения указанных характеристик, Т* = 7П(К*) и Р =/"(К ), определенных на движениях системы (4), (5) Сформируем вспомогательный функционал

Fp{К) = а{\Т{К) -7;|+ЦК) -Т0}+Ъ{|Р(К) -Р0\ + Р(К) - Р0} (6) заданный на этих движениях, где а,Ъ — положительные константы Заметим, что регулятор К будет обеспечивать желаемое качество процесса, если выполняется равенство Fp (К* ) = О

Для синтеза регуляторов предлагается использовать метод LQR-оптимального синтеза, с использованием которого вводится параметризация множества L1K стабилизирующих регуляторов K(.v, у) При этом счи-

тается, что ye; £1 с где О - множество векторов у, для каждого из которых соответствующий регулятор K(.v,y) обеспечивает устойчивость нулевого положения равновесия опорной замкнутой системы (4),(5) с ограничениями

Условие Q&0 гарантируется следующим утверждением

Если выполнены условия регулярности задачи LQR-оптималыюго синтеза, то существует такой вектор параметров у =у*и такой вектор и0, что регулятор K(.v,y*) обеспечивает устойчивость нулевого положения равновесия нелинейной системы

В результате приходим к конечномерной оптимизационной задаче для поиска вектора параметров у = у, соответствующего регулятору К(?,у), обеспечивающему требу емое динамическое качество процесса F (K(s,у)) = /~р(у)-> min

Используя частотный подход к оценке робастных свойств, для введения меры робастной устойчивости предлагается использовать интегральный функционал

F(K) = f_Wr2((a)d(o_

J0 О2(К(7(Й)[1+РяОоо)К(;©)Г1Р11От))' где весовая частотная функция IVг (ю) определяет желаемый рабочий диапазон частот

С учетом (6) и (7) рассматривается комбинированная конечномерная оптимизационная задача

mmjFp(K(j)) + e Fr(K(y))],

tsQ сЕк*т Р

где выбор множителя Q > 0 определяет компромисс между робастными свойствами, характеризуемыми функционалом Fr, и динамическим качеством, описываемым функционалом Fp

Третья глава работы посвящена рассмотрению конкретных прикладных задач стабилизации плазмы в токамаке MAST Для построения стабилизирующих управлений применяются теоретические результаты диссертации и разработанное алгоритмическое обеспечение

В первом параграфе исследуется модель плазмы как объекта управления, описываются некоторые характерные особенности линейной модели плазмы в токамаке MAST, даются рекомендации относительно введения в

состав модели неопределенностей для анализа робастныч свойств

Второй параграф посвящен вопросам синтеза стабилизирующих законов для системы вертикальной стабилизации плазмы Для решения этой задачи предлагаются несколько регуляторов с разной структурой, и проводится сравнительный анализ динамики соответствующих замкнутых систем Для анализа робастной устойчивости применяется подход, предложенный в первой главе По результатам сравнения даются рекомендации о возможности реализации синтезированных регуляторов

В третьем параграфе в центре внимания находится система управления гоком и формой плазмы токамака MAST Здесь используются стандартные методы LQG-оптимального синтеза, а также комбинированный оптимизационный подход, предложенный во второй главе Анализ результатов подтверждает эффективность предложенной методики

Ко всем рассмотренным примерам прилагаются графики соответствующих переходных процессов, полученные по результатам имитационного моделирования Исследования, проведенные в третьей главе, подтверждают работоспособность и эффективность методов и алгоритмов, разработанных в диссертации

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются

1) методика сравнительного анализа стабилизирующих законов управления, базирующаяся на использовании частотного подхода к построению границ робастной устойчивости и робастного качества замкну-1ых систем для неструктурированных неопределенностей,

2) аналитический метод построения робастных регуляторов для SISO-систем с ограниченными в частотной области непараметрическими неопределенностями аддитивного и мультипликативного типа,

3) комбинированный оптимизационный подход, обеспечивающий синтез регуляторов на базе допустимого компромисса между динамическим качеством и робастной устойчивостью замкнутой системы,

4) решение практических задач по анализу и синтезу системы стабилизации плазмы в токамаке MAST на базе полученных результатов

Список публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК:

1 Belyakov V А, Gryaznevich М Р, Kavin А А, Makeev I V, McArdle G J, Veremey EI, Ovsyanmkov A D, Ovsyanmkov D A, Zhabko A P Mathematical methods of plasma vertical stabilization in modem tokamaks // Nuclear Fusion Vol 46 - 2006-P 652-657

2 Макеев И В Синтез систем стабилизации плазмы с учетом требований к их динамическим и робастным свойствам // Вестник СПбГУ Серия 10, 2008 - Вып 3-С 63-70

Публикации в других изданиях:

3 Макеев И В Оценка эффективности управляющих воздействий системы стабилизации плазмы в токамаке // Тр XXXIV конф «Процессы управления и устойчивость» - СПб НИИХ СПбГУ, 2004 - С 74-80

4 Belyakov V А, Gryaznevich М Р, Kavrn А А, Makeev I V, McArdle G J, Veremey EI, Ovsyanmkov A D, Ovsyanmkov D A , Zhabko A P Robust features analysis for the MAST plasma vertical feedback control system // Proc International Conf Physics and Control PhysCon'2005 - St -Petersburg (Rus), 2005 - P 69-74

5 Makeev I V , Veremey EI Robust features of tokamak plasma stabilization systems // Abstracts of the 3rd International IEEE Scientific Conference on Physics and control (PhysCon 2007), 2007 - Potsdam (Ger )

6 Gusev I A , Kavin A A , Makeev I V, Ovsyanmkov A D , Ovsyanmkov D A, Savelyev D S , Suhov E V, Veremey E I, Vorobyov G M, Zhabko A P Linear control models for Gutta tokamak // Abstracts of the 3rd International IEEE Scientific Conference on Physics and control (PhysCon 2007), 2007-Potsdam (Ger)

7 Макеев И В , Мисенов Б А Анализ и синтез робастных систем стабилизации плазмы в среде MATLAB // Тр III конф «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB» -2007 - С 802-814

Подписано к печати 12 09 08 Формат 60 x 84 Vie Бумага офсетная Гарнитура Тайме Печать ризографическая Печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 4292

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетски пр , 26 Тел (812)428-4043,428-6919

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность, цели и основные результаты исследований

2. Общие формулировки и постановки рассматриваемых задач.

3. Обзор литературы по теме исследований.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА РОБАСТНЫХ СВОЙСТВ

1.1. Частотный подход к оценке границ робастной устойчивости SISO-систем

1.2. Обобщение подхода для MIMO-систем и методика сравнительного анализа регуляторов.

1.3. Спектральный подход к оценке робастного качества замкнутых систем

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

2.1. Спектральный метод робастной стабилизации для SISO-систем

2.2. Оптимизационный частотный подход к синтезу робастных регуляторов для одного класса нелинейных систем.

ГЛАВА 3. ВОПРОСЫСТАБИЛИЗАЦИИ ПЛАЗМЫ В СФЕРИЧЕСКОМ ТОКАМАКЕ MAST.

3.1. Математическая модель плазмы как объекта управления.

3.2. Анализ и синтез системы вертикальной стабилизации

3.3. Вопросы проектирования системы управления током и формой плазмы.

1. Актуальность, цели и основные результаты исследований

В практике решения формализованных задач, связанных с управлением реальными динамическими объектами, неизбежно возникают проблемы, порождаемые наличием различных неопределенностей в задании соответствующих математических моделей. Это обстоятельство определяется как отсутствием полной информации о динамических свойствах объектов управления, так и о свойствах действующих на них внешних возмущений, зачастую носящих случайный характер.

Особо следует отметить тот факт, что при использовании формализованных подходов к рассмотрению систем стабилизации тех или иных движений динамических объектов применяется хорошо развитый математический аппарат теории линейных систем. Естественно, что он базируется на использовании линеаризованных моделей, приближенно описывающих поведение объекта в окрестности стабилизируемых движений (в частности — положений равновесия). Отсюда возникают дополнительные погрешности, порождаемые неточностями линеаризации.

Отмеченные обстоятельства определяют то постоянное внимание, которое уделяется в последние годы развитию и практическому использованию математических методов учета указанных неопределенностей при проведении исследовательских и проектных работ по созданию систем управления динамическими объектами различных классов ([20],[26],[32], [41-46], [53], [76]).

Следует отметить, что постоянно возрастающие возможности современных компьютерных технологий и систем позволяет реализовывать алгоритмически сложные и ресурсоемкие оптимизационные методы, ориентированные на учет различных требований к качеству процессов управления, в том числе с учетом и компенсацией неточностей моделирования.

В современной терминологии малая чувствительность замкнутой системы (в смысле сохранения определенного свойства) по отношению к неточностям в задании модели объекта управления характеризуется понятием робастности. Особенно важной является задача обеспечения роба-стной устойчивости, т.е. сохранения устойчивости замкнутой системы при любых возмущениях модели объекта в определенных пределах. Стремление к выполнению желаемых ограничений на динамические характеристики замкнутой системы с возмущенным объектом определяют задачу обеспечения робастного качества.

Одним из наиболее важных и перспективных направлений для практических приложений современной теории управления является термоядерная энергетика.

В настоящее время явно вырисовывающиеся проблемы нехватки традиционных источников сырья для производства энергии подстегивают активный поиск альтернатив, и одним из наиболее перспективных вариантов считается термоядерный синтез. В практическом аспекте его реализация, по-видимому, будет базироваться на наиболее актуальной концепции магнитного удержания плазмы в токамаках [2], [22], [80-81].

Ключевыми проблемами на пути реализации этой концепции являются непродолжительное время жизни и неустойчивость плазмы. Многолетний опыт проведения исследовательских работ по проектированию и эксплуатации токамаков различных типов показал, что успешное преодоление указанных проблем с достаточной мерой гибкости и эффективной технологической поддержкой может быть реализовано только на базе применения систем автоматического управления с обратной связью. Соответственно представляется исключительно значимой роль формализованного математического, алгоритмического и программного обеспечения, привлекаемого для проведения соответствующих исследовательских и проектных работ по созданию таких систем.

Известно [17],[22],[65], что в качестве основного элемента исходной математической модели, описывающей динамику плазмы в токамаке, используется исключительно сложная нелинейная система дифференциальных уравнений Грэда-Шафранова в частных производных. Естественно, что полный комплекс формализованного описания используется только на этапах имитационного моделирования и на отдельных стадиях анализа процессов управления.

Однако при проектировании законов формирования обратных связей (регуляторов) в задачах стабилизации плазмы принято опираться на использование линейных моделей, получаемых линеаризацией исходной модели динамики токов в окрестности базового положения равновесия, определяемого выбранным сценарием разряда.

При этом чаще всего требуется, чтобы один и тот же проектируемый регулятор обеспечивал устойчивость и желаемое качество замкнутой системы как на отдельных стадиях развития сценария, так и для нескольких положений равновесия, соответствующих некоторому набору характерных сценариев разряда с учетом погрешностей моделирования и линеаризации. Естественно, что подобное требование может быть реализовано только путем обеспечения определенных робастных свойств системы управления плазмой, играющих исключительно важную роль в комплексе ее динамических характеристик.

Исследовательские работы по изучению робастных особенностей систем управления плазмой в токамаках начались сравнительно недавно, применительно к международному проекту ITER ([11-12],[22],[62-66],[80-81]), и в настоящее время находятся в стадии непрерывного развития.

Сложность плазмы как объекта управления, функционирующего в экстремальных физических условиях, а также ряд специфических особенностей, связанных с подходами к ее моделированию, порождает необходимость в проведении дополнительных исследований, связанных с модификацией существующих методов анализа и синтеза робастных регуляторов и разработкой новых, позволяющих, в том числе использовать преимущества оптимизационного подхода. Это определяет актуальность развития соответствующей теории и вычислительных методов анализа и синтеза, а также их адаптации к решению комплекса прикладных задач управления плазмой в современных токамаках.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмического обеспечения задач анализа и проектирования систем стабилизации плазмы, обладающих желаемыми робастными свойствами. Кроме того, целью диссертации служит решение конкретных прикладных задач, связанных с управлением плазмой в токамаке MAST.

Исследования, представленные в диссертационной работе, проводились по следующим направлениям:

• развитие частотного подхода для построения границ робастной устойчивости замкнутых систем и разработка методики сравнительного анализа робастных свойств стабилизирующих регуляторов;

• использование информации о частотных ограничениях неопределенностей в задании спектральной плотности мощности внешних возмущений для получения оценок робастных диапазонов качества;

• разработка методов построения робастных регуляторов с учетом частотных ограничений на неструктурированные неопределенности в задании математической модели объекта управления;

• развитие комбинированного подхода для обеспечения желаемых динамических и робастных свойств замкнутой системы со стандартными нелинейностями в канале управления;

• решение прикладных задач управления вертикальным положением, током и формой плазмы в токамаке MAST на базе полученных теоретических результатов.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 111 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке математических ме тодов моделирования, анализа и синтеза робастных регуляторов, стабилизирующих положение равновесия плазмы в современных токамаках.

Целью диссертации является проведение исследований, направленных на развитие математических методов и алгоритмического обеспечения задач анализа и проектирования систем стабилизации плазмы, обладающих желаемыми робастными свойствами.

Основное внимание в работе уделено следующим направлениям исследований:

• развитие частотного подхода для построения границ робастной устойчивости замкнутых систем и разработка методики сравнительного анализа робастных свойств стабилизирующих регуляторов;

• использование информации о частотных ограничениях неопределенностей в задании спектральной плотности мощности внешних возмущений для получения оценок робастных диапазонов качества;

• разработка методов построения робастных регуляторов с учетом частотных ограничений на неструктурированные неопределенности в задании математической модели объекта управления;

• развитие комбинированного подхода для обеспечения желаемых динамических и робастных свойств замкнутой системы со стандартными нелинейностями в канале управления;

• решение прикладных задач управления вертикальным положением, током и формой плазмы в токамаке MAST на базе полученных теоретических результатов.

• решению конкретных задач стабилизации плазмы в токамаке MAST для подтверждения работоспособности и эффективности полученных результатов.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Представлено развитие частотного подхода к построению границ робастной устойчивости и робастного качества замкнутых систем для неструктурированных неопределенностей. На его основе предложена соответствующая методика сравнительного анализа стабилизирующих законов управления.

2. Для SISO-систем с ограниченными в частотной области непараметрическими неопределенностями аддитивного и мультипликативного типа разработан аналитический метод построения робастных регуляторов, допускающий эффективную численную реализацию.

3. Предложен комбинированный оптимизационный подход, обеспечивающий синтез регуляторов на базе допустимого компромисса между динамическим качеством и робастной устойчивостью замкнутой системы.

4. На базе полученных результатов решены практические задачи по анализу и синтезу системы стабилизации плазмы в токамаке MAST, подтверждающие работоспособность и эффективность принятого подхода.

1. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления — Киев: На-укова думка, 1978.-327 с.

2. Арсенин В. В., ЧуяновВ. А. Подавление неустойчивости плазмы методом обратных связей // Успехи физических наук. -1977. Т. 123. Вып. 1.-С. 83-129.

3. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика — 1992. №9.-С. 3-32.

4. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального методы Нос-оптимального синтеза // Теория и системы управления -1995.-№4.-С. 88-96.

5. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления- М.: Мир, 1972. 544с.

6. Веремей Е. И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей.- М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, №3413-78.

7. Веремей Е. И., Петров Ю. П. Метод синтеза оптимальных регуляторов, допускающий техническую реализацию // Математические методы исследования управляемых механических систем Л.: Изд-во Ленингр. унта, 1982.-С. 24-31.

8. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 1) // Известия вузов СССР. Электромеханика 1985.-№ 10.-С. 52-57.

9. Веремей Е. И. Частотный метод синтеза оптимальных регуляторов для линейных систем со скалярным возмущением (Часть 2) // Известия вузов СССР. Электромеханика 1985.-№ 10.- С. 52-57.

10. Веремей Е. И. Методы и алгоритмы среднеквадратичного многоцелевого синтеза: Дис. д-ра физ.-мат. наук: 05.13.16 СПб., 1995 - 353 с.

11. Веремей Е. И., Жабко Н. А. Оптимизация состава измерений для стабилизации формы плазмы в токамаке 1ТЕЯ-РЕАТ// Межвуз. сб. науч. тр.: Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем — Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004 С. 86-96.

12. Веремей Е. И. Спектральный подход к оптимизации систем управления по нормам пространств Н2 и Н« // Вест. С.-Петерб. Ун-та.— 2004.-Сер. 10. Вып. 1.-С. 48-59.

13. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ. В. Ю. Лебедева; Под ред. А. А. Петрова. М., 1985. 509 с.

14. Дезоер Ч., Видьясагар М. Системы с обратной связью: Вход-выходные соотношения М.: Наука, 1972.

15. Джеймс X., Николе Н., Филлипс Р. Теория следящих систем М.: Физматгиз, 1951.

16. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Математическое моделирование плазмы. М.: Наука, 1993.

17. Жабко Н. А. О возможности понижения порядка системы дифференциальных уравнений, моделирующей процесс стабилизации плазмы// Тезисы докладов междунар. науч. конф. «Еругинские чтения VIII».- Брест, 2002.- С. 60.

18. Зубов В. И. Лекции по теории управления М.: Наука, 1975.

19. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами —Л.: Судостроение, 1966.

20. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования-Л.: Машиностроение, 1974.

21. Кавин А. А. Применение математического моделирования к управлению плазмой в токамаках: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.13-СПб., 2004.- 158 с.

22. Калман Р., Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и теории предсказаний // Тр. амер. о-ва инженеров-механиков. Сер. Д.- 1961. Т. 83, № 1.-С. 123-141.

23. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления- М.: Мир, 1977- 650 с.

24. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. -М.: Мир, 1969.

25. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование М.: Наука, 1973.

26. Красовский А. А. Справочник по теории автоматического управления-М.: Наука, 1987.

27. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства-М.: Машиностроение, 1976.

28. Ларин В. Б., Сунцев В. Н. О задаче аналитического конструирования регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика- 1968 — № 12.-С. 142-144.

29. Ларин В. Б., Науменко К. И., Сунцев В. Н. Спектральные методы синтеза линейных систем с обратной связью — Киев: Наукова думка, 1971.

30. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // АН СССР. Автоматика и телемеханика I960 - № 4-6; 1961.—№ 4, 11.

31. Летов А. М. Динамика полета и управление М.: Наука, 1969.

32. Летов А. М. Математическая теория процессов управления М.: Наука, 1981.

33. Макеев И. В. Оценка эффективности управляющих воздействий системы стабилизации плазмы в токамаке // Тр. XXXIV конф. «Процессы управления и устойчивость».- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2004- С.74-80.

34. Макеев И. В., Мисенов Б. А. Анализ и синтез робастных систем стабилизации плазмы в среде MATLAB // Тр. III конф. «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB».— 2007 С. 802814.

35. Меррием К. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью-М.: Мир, 1967.

36. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. С-Пб: Питер, 2005. 271 с.

37. Мисенов Б.А. Математические методы анализа и синтеза систем стабилизации формы плазмы в токамаках: Дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.01.09, 05.13.16.-СПб., 1998.- 146 с.

38. Митришкин Ю. В. Управление динамическими объектами с применением автоматической настройки-М.: Наука, 1985 — 157 с.

39. Ньютон Д., Гулд JL, Кайзер Д. Теория линейных следящих систем- М.: Физматгиз, 1961.

40. Первозванский А. А. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах—М.: Физматгиз, 1962.

41. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения JL: Судостроение, 1973- 216 с.

42. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления-Л.: Энергия, 1977.

43. Петров Ю. П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества // АН СССР, Автоматика и телемеханика-1983 № 7 - С. 5-24.

44. Петров Ю. П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах: Учеб. пособие- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987 292 с.

45. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

46. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995 - 148 с.

47. Пугачев В. С., Казаков И.Е., Евланов П. Г. Основы статистической теории автоматических систем М.: Наука, 1974.

48. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы: Анализ и фильтрация — М.: Наука, 1990.

49. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления —М.: Наука, 1977.

50. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем управления-М.: Физматгиз, 1960.

51. Сунцев В. Н. Аналитические частотные методы оптимизации линейных систем Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983.

52. Тихонов В. И. Анализ и синтез нелинейных систем при случайных воздействиях: Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева-М.: Наука, 1982.

53. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами— Д.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

54. Харитонов B.JI. Асимптотическая устойчивость положения равновесия семейства систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1978. — № 11.

55. Чанг Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления-М.: Машиностроение, 1964.

56. Шафранов В. Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леоновича.- М.: Наука, 1963.

57. Ambrosino G., Ariola М., Mitrishkin Y. et al. Plasma current andthshape control in tokamaks using Нвд and |i-synthesis // Proc. of 36 Conference on Decision & Control.- San Diego (Calif.), 1997.- P. 3697-3702.

58. Bhattacharyya S.P. Robust stabilization against structured perturbations. Lecture Notes in Control and Information sciences, vol. 99, SpringerVerlag, New York, NY, 1987

59. Beghi A., Cavinato M., Cenedese F., Ciscato D., Marchiori G., Portone A. Plasma Vertical Stabilization in ITER-FEAT // Fusion Engineering and Design.-2001.-Vol. 56-57.-P. 55-64.

60. Bellman R. Dynamic Programming- Princeton University Press (New Jersey). 1957.

61. Belyakov V. A., Bulgakov S. A., Kavin A. A. et al. Numerical simulation of plasma equilibrium and shape control in tight tokamak GLOBUS-M // Proc. of XIX Symposium on Fusion Technology. Lisbon, 1996.

62. Belyakov V.A., Gryaznevich M.P., Kavin A.A., Makeev I.V., McArdle G.J., Veremey E.I., Ovsyannikov A.D., Ovsyannikov D.A., Zhabko A.P. Mathematical methods of plasma vertical stabilization in modern tokamaks // Nucl. Fusion Vol. 46.- 2006.- P. 652-657.

63. Belyakov V., Kavin A. Derivation of the linear models for the analysis of the plasma current, position and shape control system in Tokamak devices // Proc. International Conf. Physics and Control PHYSCON'2003 St.-Petersburg (Rus.), 2003.- P. 1019-1024.

64. Bogsra O.H., Kwakernaak H., Meinsma G. Design methods for control systems Notes for a course of the Dutch Institute of Systems and Control. 2006.-325 p.

65. Doyle J., Francis B., Tannenbaum A. Feedback control theory.- New York: Macmillan Publ. Co., 1992. -XI, 227 p.

66. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P., Francis B. State-space solutions to standard H2 and H^. control problems // IEEE Transactions on Automatic Control.- 1989.-Vol. 34, nr. 8.-P. 831-847.

67. Duren P.L. Theory of HP spaces Academic Press. London. - 1970.

68. Francis B.A. A course in H«,control theory Berlin: Springer-Verlag, 1987 - (Lecture Notes in Control and Information Sciences; Vol. 88).

69. Francis B. A., Doyle J. C. Linear control theoiy with an Hx, optimality criterion // SIAM J. Control and Optimization.- 1987.- Vol. 25.- P. 815-844.

70. Garnett J.B. Bounded Analitic Functions. — New York: Academic Press, 1981.

71. Gribov Y., Albanese R., Ambrosino G., Kavin A. et al. ITER-FEAT scenarios and plasma position/shape control // 18-th IAEA Fusion Energy Conference, Sorrento, Italy, October 200, ITERP/02.

72. Grimble M. J. Robust Industrial Control Systems Optimal Design Approach for Polynomial Systems - John Wiley & Sons, Ltd.- 2006.

73. Gusev I. A., Kavin A. A., Makeev I. V., Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Savelyev D. S., Suhov E. V., Veremey E. I., Vorobyov G. M.,j

74. Zhabko A. P. Linear control models for Gutta tokamak // Abstracts of the 3 International IEEE Scientific Conference on Physics and control (PhysCon 2007), 2007. Potsdam (Ger.).

75. Horowitz I. M., Shaked U. Superiority of transfer function over statevariable methods in linear time-invariant feedback system design.- 1975-Automatica. Vol. 20.- P. 84-97.

76. Hung Y. S. i?/7oo-optimal control. Part I. Model matching. Part II. Solution for controllers // International Journal of Control. — 1998 Vol. 49 — P. 675-684.

77. ITER IT documentation, Control System Design and Assessment, G 45 FDR 1 01-07-13 R1.0, Appendix D, Plasma Current, Position and Shape Control, 2001.

78. ITER Technical Basis, ITER EDA Documentation Series No.24, IAEA, Vienna, 2002.

79. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Journal of Basic Engineering-Vol.82.-P. 35-45.

80. Kalman R. E. Contributions to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. I960.- Vol. 5.- P. 102-119.

81. Kärgoneckar P. P., Peterson I. R., Rotea M. A. optimal control with state-feedback // IEEE Transactions on Automatic Control- 1988.— Yol.33.-P. 786-788.

82. Kharitonov V. L. Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of linear differential equations // Differential equations.- Vol. 14,- 1979.

83. Lanzon A. Weight selection in robust control: an optimization approach.- PhD thesis. Cambridge - 2000 - 117 p.

84. Makeev I.V., Veremey E.I. Robust features of tokamak plasma stabilization systems // Proc. International Conf. Physics and Control PHY-SCON'2007 St.-Petersburg (Rus.), 2007.- P. 143-148.

85. McArdle G. J., Appel L. C., Knight P. J. et al. The MAST plasma control system // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97.- St.-Petersburg, 1997.-P. 62.

86. McArdle G. Progress and plans for MAST plasma control, Fusion Eng. Des. 56-57 (2001). P. 749-754.

87. McArdle G., et al. The MAST digital plasma control system, Fusion Eng. Des. 66-68 (2003). P. 761-765.

88. Morris A. W. The status of MAST // Abstracts of Intern, workshop on Spherical Torus'97.- St.-Petersburg, 1997.- P. 29.

89. Nesterov Y., Nemirovski A. Interior-point polynomial algorithms in convex programming. Philadelphia: SIAM, 1994.

90. Packard A., Doyle J. The Complex Structured Singular Value. Automática, 1993.-71 p.

91. Pontryagin L. S., Boltyanskii V. G., Gamkerelidze R. V., Mischenko E. F. The mathematical theory of optimal processes John Wiley (New York). -1962.

92. Prime H. Modern concepts in control theory McGraw-Hill - 1969.

93. Saberi A., Chen B. M., Sannuti P. Loop transfer recovery: Analysis and design. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1993.

94. Scherer C. Theory of robust control. Delft, 2001. 160 p.

95. Soh C.B., Berger C.S., Dabke K.P. On the stability properties of polynomials with perturbed coefficients // IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. AC-30, no. 10 (October 1985).

96. Tsypkin, Y.Z., and Polyak, B.T. Frequency domain criteria for robust stability of polytope of polynomials. In Control of Uncertain Dynamic Systems, S.P. Bhattacharyya and H. Chapellat, Eds. CRC Press, Littleton, MA, 1991.

97. Veremey E. I., Zhabko N. A. Plasma current and shape controllers design for ITER-FEAT tokamak // Book of abstracts of Workshop on Computational Physics Dedicated to the Memory of Stanislav Merkuriev—St.-Petersburg, 2003.-P. 52.

98. Veremey E. I., Korovkin M. V. Design of non-static controllers for plasma stabilization // Proc. of Intern. Conf. «Physics and Control».— St. Peterburg, 2003.-P. 1035-1042.

99. Vidyasagar M. Control system synthesis: A factorization approach- Cambridge (Mass.): MIT Press, 1985.

100. Walker M. L., Humphreys D. A., Ferron J. R. Control of plasma poloidal shape and position in the DIII-D tokamak // Proc. of 36th Conference on Decision & Control.- San Diego (Calif.), 1997.-P. 3703-3708.

101. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series Cambridge, 1949.

102. Zadeh L.A., Desoer C.A. Linear Systems Theory.— McGraw Hill book Co., New York, NY, 1963.

103. Zames G. Feedback and complexity. Special plenary lecture addendum // IEEE Conf. Dec. Control.- 1976.

104. Zhou K., Doyle J. Essentials of robust control. Prentice Hall, 1997.-411 p.

105. Макеев И. В. Синтез систем стабилизации плазмы с учетом требований к их динамическим и робастным свойствам // Вестник СПбГУ. Серия 10, 2008. Вып. 3, С. 63-70.