автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Вопросы моделирования и реализации многополюсных ARC-схем

На правах рукописи

Лебедева Алла Анатольевна

Вопросы моделирования и реализации многополюсных АКС-схем

Специальность 05.09.05 - Теоретическая электротехника

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 с ис тг

Санкт-Петербург - 2012

005016876

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Коровкин Николай Владимирович

Официальные оппоненты: Дмитриков Владимир Фёдорович доктор

технических наук, профессор «Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича», профессор, зав. кафедрой "Теория электрических цепей";

Лыпарь Юрий Иванович доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет», профессор;

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»

Зашита состоится «¿У» 2012 года в /6 часов на заседании диссертационного со-

вета Д 212.229.16 при ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая 29, Главное здание, ауд. 284.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет».

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.229.16 кандидат технических наук, доцент

Журавлева Наталия Михайловна

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

В настоящее время одной из характерных инновационных особенностей современной электротехники, автоматики, контрольно-измерительной техники, радио-электроники и других сфер науки и техники является широкое внедрение нелинейных, параметрических, дискретных и логических элементов при реализации устройств различных классов. В развитие теории и практики данных систем внесли вклад отечественные ученые (К.С.Демирчян, В.Ф.Дмитриков, А.В.Бондаренко, Н.В.Коровкин, Ю.И.Лыпарь, В.Г.Миронов, П.А.Ионкин и др.) и зарубежные (В.Кауэр, Р.М.Фостер, Е.А.Гиллемин, Л.Чуа и др.). Интерес к подобным системам объясняется, с одной стороны, прежде всего их универсальными и исключительными возможностями. С другой стороны, практика синтеза новых систем показывает, что учет нелинейностей, параметрических характеристик, возможностей дискретизации процессов, логики многофункциональных устройств являются обычными требованиями инженерных решений. Поэтому получение качественно новых характеристик и устройств, повышение точности, учет чувствительности, надежности, устойчивости работы и других параметров функционирования конструируемой аппаратуры определяют важность и необходимость разработки теоретических методов, принципов и средств моделирования систем разнообразной физической природы. Таким образом, вопрос построения электрических и электронных устройств является важным и перспективным с практической стороны. Отсюда следует, что необходимость дальнейших исследований в области реализации и синтеза цепей с названными свойствами - является актуальной и не вызывает сомнений. В этом же направлении ориентировано развитие современных областей схемо- и системотехники, цифровой и циф-роаналоговой обработки сигналов, постоянно меняющиеся уровни микроминиатюризации радиоэлектронных схем, необходимость в реализации принципиально новых устройств: многополюсных гираторов, конвертеров, инверторов, скалоров, мутаторов, рефлекторов и т.д. Более того, особенности технологии, инженерные возможности производства, в свою очередь, накладывают определенные требования на формирование структур функциональных подсхем. Повышение точности, технологичности, тенденции микроминиатюризации, снижение производственных и эксплуатационных затрат обуславливают необходимость удовлетворения всем поставленным условиям ТТЭ (техническим, технологическим и эксплуатационным). Комплекс проблем, связанных с учетом подобных факторов, освещен в технической литературе ещё не достаточно полно. К тому же мало внимания уделяется обобщению и развитию подходов к реализации систем с единых теоретических позиций, что совершенно необходимо принять во внимание при использовании автоматизированного проектирования, связанного с максимальным уровнем формализации всех операций.

Процедура проектирования электронных устройств включает в себя этапы: аппроксимации необходимых характеристик, создания математической модели (ММ), схемную реализацию ММ и оптимизацию полученных решений. Кратко данная процедура и есть синтез цепи

или системы. В силу многовариантности полученных решений (если таковые вообще существуют) возникает необходимость:

- выбора структуры модели, обладающей высокой степенью универсальности для широкого круга прикладных задач. Существенным является также обеспечение простого согласования математического описания с моделирующей схемой (цепью).

- установления соответствия между параметрами ММ, заданными векторами входных воздействий и реакцией системы (входным и выходным алфавитами).

- разработки процедуры схемной реализации ММ в заданном элементном базисе, как правило, ограниченном наборе нелинейных параметрических, логических и дискретных элементов с учетом технологии и инженерных требований.

- учета и компенсации возможных отклонений характеристик, разброса параметров, "жесткости" описания цепи, использования серийно выпускаемых элементов и т.д.

- оценки функций чувствительности (абсолютной, логарифмической, полюсной и т.д.) при малых (дифференциальный случай) и при произвольных конечных разбросах параметров элементов.

- формализации, универсальности внешнего описания и алгоритмов проектирования схем.

Как следует из выше указанных требований, исследование вопросов синтеза многополюсных многомерных схем с нелинейно-параметрическими, дискретными и логическими элементами имеет высокую практическую и теоретическую значимость.

Целью работы является разработка теории соответствующих методов моделирования и реализации многополюсных многомерных АЛС-схем, содержащих нелинейные, параметрические, дискретные и логические элементы и удовлетворяющих основным инженерным требованиям при их реализации.

Основные задачи исследования Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Построение ММ преобразования сигналов во временной и частотный областях пространства состояния и последующем сведении их к адмиттансной форме выражения, ориентированной на схемную реализацию.

2. Разработка формализированных подходов схемного (системного) синтеза в выбранном элементном базисе.

3. Исследование функций чувствительности реализуемых структур при произвольных (конечных) вариациях их параметров.

4. Обобщение методов эквивалентного генератора (теорем Тевенина и Нортона) на случай многополюсных схем с нелинейными, параметрическими, дискретными и логическими элементами .

5. Обобщение свойств оператора О.Хевисайда на случай многополюсных многомерных линейных структур.

6. Построение конкретных устройств с помощью АЯС-многополюсных многомерных схем (ММС); цифровых фильтров с арифметически симметричными амплитудно-частотными характеристиками, хаос-генераторов и т.д.

Методы исследования.

При рассмотрении и доказательствах предлагаемых положений используются разделы математического анализа, матричной алгебры, теории сигнальных графов, теории дифференциальных уравнений, операторных методов анализа систем, современной теории электрических цепей и систем, численных методов и т.п.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Разработаны новые методы формирования структуры операторов нелинейного, параметрического, дискретного и логического преобразования сигналов во временной и частотной областях пространства состояния.

2. Представлен ряд положений (теорем и их следствий) по адмиттансному описанию структур с названными элементами на базе единого математического подхода, ориентированного на современное представление цепей и систем - метода пространства состояния.

3. Предложена методика аппроксимации и реализации цифровых цепей с арифметически симметричными амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) для полосовых и ре-жекторных фильтров.

4. Рассмотрена теория функций чувствительности при произвольных (конечных) вариациях параметров входящих элементов, показана её связь с традиционным подходом, в основе которого лежит дифференциальная форма.

5. Показано, что известное решение дискретных цепей — схемы на коммутируемых С-элементах - является частным случаем предлагаемой методики представления.

Практическая ценность диссертации заключается в следующем:

1. Разработке методики реализации многомерных безындуктивных цепей (наряду с их многополюсными свойствами) с АЯС-элементами с учетом ряда инженерных требований: неуравновешенная структура цепи, "звёзды" из нелинейных и параметрических элементов, исключения "плавающих" реактивностей и др.

2. Решении ряда задач по синтезу АКС-структур, представляющих самостоятельный интерес в радиотехнике, электронике, вычислительной технике.

3. Новой АИ-С-реализации генератора сигналов со специальными свойствами - хаос-генератора с ориентацией на микроэлектронное исполнение с полным исключением индуктивных элементов известных схем. А также в разработке инженерных методик по реализации и синтезу оригинальных систем, алгоритмов анализа цепей, теорем об эквивалентных источниках, фильтров с симметричными АЧХ, ряда теорем по оператору О.Хевисайда, позволившему значительно расширить классы преобразуемых сигналов, оценке функции чувствительности при произвольных вариациях параметров цепи.

Внедрение результатов проведено в СПбГПУ и СПб институте машиностроения, а также используются в научно-исследовательской работе и учебном процессе в СПбГАСУ.

Апробация работы выполнена на кафедрах ТОЭ СПбГПУ, автоматики и электротехники СПбГАСУ, а также родственных кафедрах: ТОЭ в ГОУ ВПО СПбГЭТУ, кафедре электро-

техники и электроники БНПУ (Беларусь, Минск) и ежегодных научно-технических профессорско-преподавательских конференциях СПбГПУ, СПбГАСУ.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 8 работ, 4 в рекомендованных ВАК источниках, трудах конференций, среди работ имеется патент РФ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературных источников, включающего в себя 96 наименований. Работа изложена на 101 странице машинописного текста и содержит 42 рисунка. Научные положения, выносимые на защиту:

1. Методика синтеза многополюсных схем, содержащих линейные, нелинейные, активные, дискретные и логические элементы, умножители сигналов с учётом инженерных требований к итоговым реализациям структур.

2. Методика синтеза многополюсных и многомерных структур (ММС) с названными выше элементами в произвольных сочетаниях.

3. Обобщение ряда теорем анализа многополюсных схем - методов эквивалентного генератора, исследование свойств многомерного оператора О.Хэвисайда.

4. Методика учёта функций чувствительности при произвольных конечных изменениях параметров составляющих элементов.

5. Реализация конкретных схем фильтров (ПФ и ЗФ) 8-го и 16-го порядков, обладающих арифметической симметрией АЧХ (амплитудно-частотных характеристик).

Содержание работы

Введение содержит характеристики состояния проблемы синтеза цепей с нелинейными, параметрическими, дискретными умножителями сигналов и логическими элементами. Содержится постановка задачи исследований, исходные предпосылки и общий вид универсального оператора реализации, указана его связь с рядом интегральных операторов, обосновывается актуальность, научная новизна и практическая ценность работы.

Первая глава содержит необходимые обсуждения и примеры перехода к конкретным цепям на основании общей совокупности постулатов теории цепей и систем и введения оператора реализации (система матричных уравнений (1 .В)). Показано, что система матричных уравнений

/>(*) = Иб(5)}; МО 6 Л 9(0^0;

6(5) = А^)Р(х) + Й(.?)Л'(5); х(0 е X; (1 .В)

У(5) = С(5)Р(5) + 0(5)Х(5); у(0 е У,

где [б(г)] вектор переменных состояния (изображения по Лапласу независимых переменных состояния); Р,(),Х,У - некоторые функциональные пространства; - вектор изображений переменных, получающихся после воздействия оператора 1У{'} на вектор переменных [6(5)] - является исходным приближением к решению задачи. Данный оператор в дальнейшем содержит следующие подклассы: \УЛ{'} - подкласс линейных операторов, \УИл{*} - нелинейные операторы, I('„{•} - операторы параметризации, {•} - операторы дискретизации, №лг{"} - логическая часть

наконец, - умножение сигналов, так что

'{•}с {»'л {•}. {•}. {•}. iVJ {•}. 'Км- W. {*}}; s=a+j« - оператор Лапласа. [Д*)], [Y(s)]-:к-горы входных воздействий и реакций цепи соответственно (входной и выходной алфавиты);

[#(*)]> [C(i)] [D(s)] - квадруполь некоторых матриц соответствующих размерностей.

После исследования свойств системы (1.В) на ряде примеров рассматриваются оспов-ые постулаты теории цепей и систем, при этом обращается внимание на разграничение по-птий "линейная" и "нелинейная" цепи - с одной стороны и нелинейными элементами цепей с другой. Аналогично делается акцент на термины "параметрическая", "активная", 'пас-теная", "дискретная" - для цепей и их элементов (частей). Следует также обращать внима-ие на дополнительные термины: "наблюдаемая" цепь (система) полностью, либо не полно-гью, т.е. частично. Подобную же осторожность следует отнести к термину "управляемая"-олностью, либо частично. И, наконец, цепь может быть как полностью управляемой и аблюдаемой, так и не полностью - в отношении этих качеств.

Вторая глава посвящена обоснованию и разработке реализации конкретных нелиней-ых, нелинейно-параметрических и дискретных операторов. Исходная система (1.В) записа-а в операторной форме, однако данные уравнения могут быть представлены и в иных видах, ак, при нулевых начальных условиях (без снижения общности рассмотрения) может при-[еняться дифференциальная форма описания: p{t) = W{q{t))-

■ q(<) = A(p)p(<) + B(p)x(t); (2.1)

y(t) = C{p)p{t) + D{p)x(t),

де р = d( )/dt - оператор дифференцирования. Система (2.1) может использоваться, например, ля периодических режимов. В случаях одиночных сигналов применим оператор Фурье: P(j<o)=w{Q{ja>)\ ■ еО) = A(jco)P{jo})+B(ja>)x(jco), (2.2)

Y(jco) = C{j(o)p(jw)+ D{ja>)x{j(o).

Для периодических режимов в случае ¿-гармоники получим иную форму (1.В) и (2.2): 'P(jkco) = w{Q{jka)\

■ Q(jkco) = AUka)P{jkco) + [i(jkai)X{jka) V(jkw) = C(jka>)P(jka>) + D{jkco)X{jkm)

В системе (2.1) второе и третье уравнение можно представить в интегральной форме.

Для временной области (2.1) трансформируется в следующую форму (интегралы свёртки):

I I

q(l )= \Л(1- z)p(z)dl + J'B(t - x)x(r)dT-

о и

y{t)= Jc(i-r)p(r)rfT+ Jc(f-r)x(r)rfr.

о 0

Система (1.В) соответствует общей функциональной схеме, показанной на рисунке 1.

т+2

1

/ /

/

УМ

X"

2

АН

п*1 -*-

т ♦ 1

-4-

ч

Рис.2

(2.3)

Рис. 1

На рис. 1 выделен первый линейный блок ЛЛС-многополюсник, у которого первые ш-зажимов относятся к входам и выходам всей цепи, а зажимы с номерами (т + 1)^7 относятся к нелинейно-параметрической части схемы (НП), которая может также содержать идеальные ключи, логические подсхемы и умножители сигналов (УМ). Если выделить отдельно блок емкостных элементов согласно схеме (в соответствии с условиями теоремы 1) рисунка 2, то последние два уравнения системы (1.В) при постоянных матрицах А,В,С,й (принимаем без особенностей) значительно упрощаются, однако в этом случае придется ввести в первое уравнение системы (1.В) линейный и нелинейный операторы (К,(.?), IV,,„{»}, охватывающий также множества идеальных ключей и логических элементов.

Если в общем случае в рассмотрении участвует ш - емкостных (частотных) переменных ^ = то блок А К содержит также переменные второй группы индексов. Обра-

тимся еще раз к системе (1.В) и выделим в векторах />(*) и <2($) составляющие, относящиеся к линейной и нелинейно-параметрическим частям схемы соответственно, тогда

где индекс «Л» - соответствует линейной подсхеме, а НП - нелинейно-параметрической, / -символ транспозиции, при этом некоторые матрицы могут быть чисто вещественными

Рассмотрим линейную часть от т.е. Р*л (.у) из (2.3)

Если принять в частном случае, что [л,2] = [о], то

где матрица в круглых скобках - неособенная. В этом случае третье уравнение системы (1.В) сведется к

Первая часть относится к линейной подсхеме с матрицей передаточных функций н(а), равной Я(5)=[сЛ^;' -к>])"'[вл]+[01

при этом Y(s)=H{s)x{s)+[Cm]PHM

Из этого соотношения, полагая матрицу |с,(И j неособенной, найдем

Разработанные исходные описания нелинейно-параметрического оператора позволяют рассмотреть ряд сопутствующих вопросов. Среди них: эквивалентные преобразования нелинейно-параметрических цепей и систем, квазиэквивалентные преобразования нелинейных схем, (подробнее показано в работе).

Третья глава посвящена обобщению системы (1.В) на многомерный случай реализации дискретных цепей, а также вопросам функции чувствительности. Рассмотрено многомерное преобразование Лапласа, а также одномерное H(t,p) преобразования О.Хевисайда, где

Р = —г{*}, Р~' = |"{*}<Л - операторы дифференцирования и интегрирования при выполнении at '

тождеств рр~' = р~' ■ р = 1 - тождественный оператор. Показано, что при введении многомерного оператора О.Хевисайда Н(р1,рг,...,рп) => Н(р^)- значительно расширяется класс используемых функций. Здесь рассмотрены следующие теоремы:

Теорема 1. Для воздействия вида е р' 5, (i), где M{t) - некоторый полином или функция от / с постоянными коэффициентами, е > О, 5i(t) - функция О. Хэвисайда (единичная ступенчатая функция) - справедливо соотношение

M') ГА

•^о-тщЦЬ*- (3,)

где S„ (() — импульс Дирака (единичная импульсная функция), А- некоторая постоянная. Следствие 1.1В частном случае при е = 1 и М{{) = а (постоянный коэффициент) получим

8, (/) = е"а'8, (г) = -dËiiil; Л = 1. (3.2)

р + а

Теорема 2. Для воздействия вида ем^р ' (')§, (/) справедливо соотношение

|М(|) 1 М(|) м(|)

= e ' Н0{1,р) + е^1{1Щ1). (3.3)

Ha(t,p) - оператор О.Хевисайда.

Если снова обратиться к многомерному оператору О.Хевисайда

1 1 п

причем N{pw) = £ Е-Е^. эдГТ/^'"''

Е, = 0£; = 0 £„ = 0 À' = l

и соответственно

е1=0е2=0 £я=0 *=1

п

где а£и в£ - вещественны, то, полагая, что рхр2— Рп{}~ Y\Pk {'}> получим

*=1

pjn^-.^^r1^ и 7-!-

dtl,dt1,...,dt„ (р„рг,-,р„)

(1 '1 '2

=> = — \[-\f(txJ2,..Jn)dti,dt1...dt„ .

Л») оо о

Данные многомерные операции дифференцирования и интегрирования несложно обобщаются на n-мерные единичные импульсную и ступенчатую функции:

_ я \

Р(„)

причём удовлетворяются следующие аксиомы аддитивности и коммутативности (а-к;):

a) k(pw + pw) = kpw + крм; b )PMPw = PmP(

л) P(a)P(P-a)>

С) P(v)(P(cn) + Pw) = P(v)P(m) +P(v)Pw где ^-некоторый вещественный коэффициент, a>min (пД); P< max (n,).).

Многомерные операторы О.Хевисайда (3.4) в отличие от многомерного преобразования Лапласа

30» » -¿л

F(si,s2...,sn)=\[..\f(t{,t2,...,tn)e " !i dty,dt2...dtn

0 0 о

не нуждаются в предварительном доказательстве сходимости несобственных интегралов, мажорируемости и существования самих преобразований (т.е. изображений и оригиналов) для сложных воздействий нелинейных и параметрических цепей. Более того, ряд многомерных изображений можно получить непосредственно через (3.1 -ь3.4) без рассмотрения интегралов Лапласа. Так, после введения операции дифференцирования

p"U(t) - p"~lU080 (0 - p-2U0S0 (0 -... ■- t/ГЧс,

и интегрирования

0 0 0 Р w Р

- можно получить ряд других важных теорем, минуя непосредственное применение преобразований Лапласа.

Наряду с традиционными R, L и С элементами (линейными, нелинейными, параметрическими и дискретными) в последние годы нашли распространение и элементы высшего по-

10

рядка, определяемые операторным соотношением = /(р"'(')) > где а и Р - положи-

тельные или отрицательные числа [»/<„].

Данные элементы нашли применение при синтезе и реализации некоторых цепей и описаниях системы, выходящих за рамки принятых моделей. Среди них, например, частотно-зависимый С(ш)-элемент

р" и(0 = Ар°7(0 => и( 0 = кр^т; а- /3 = ...- 5,-1,3,7 ,...г0 (уш) = - Дй)'"-"1, причем « - /3 = -1 - соответствует обычной емкости С = 1/к. Схема замещения частотно-зависимой ёмкости при ненулевых начальных условиях и а - /3 = 3 составит:

кр { р р р где С(а>)=\/к®4. Схема дана на рисунке 3.

. ](0С(ш)ит = /„,

1ЗД>

(га+я)

Г-

~г

Рис. 3

Рис. 4

Обратимся к примеру реализации (синтеза) матричного описания системы в соответствии с (3.1-т-3.4) с /;,„) переменными согласно блок-схеме отвечающей рис. 4, где АЯ-активно-резистивный блок с дискретизаторами (ключами); "Н" - нелинейный, "П" - параметрический, "Л" - линейный блоки соответственно. АК-блок содержит ш-входных и п-выходных зажимов, из которых е(е<ш) управляют нелинейными двухполюсниками. Блок "С" (ег входов) содержит С1 - емкостных элементов, параметрический блок "П" имеет е2-входов. В блоке "Н"- имеются двухполюсные элементы, управляемые напряжением, либо матрица токами по линейному (в простейшем случае), либо произвольным законами - для общего случая. Если потребовать получение системы с минимальным описанием в пространстве состояния (2.1), то на практике это соответствует использованию минимума элементов типа р(1),

где (/') б {«} при реализации (рис. 4).

Поскольку многомерная системная характеристика допускает разложение вида

[с(Ри,Л {рЫЧЖР)]^ [*(*.>)!

где РШр1 е{Р1,Р,-Р,-1,Рм,-,рА[н(РШр,)\ - оператор О.Хевисайда, то можно прийти к следующему представлению:

к (Л.))]

(3.5)

На«.))] п

.№*>)] рКНа(Р^Л

Здесь \6р - размерность соответствующей единичной матрицы.

Путём поэтапного разложения (3.5) по каждой из переменных р1 придем к следующему результату:

(3-6)

Описание является полинейным тогда, когда матрицы [С] [А] взаимно просты справа, а матрицы [А] [В]- взаимно просты слева, т.е. система должна быть модально управляемой и модально наблюдаемой. Таким образом, полученная система матриц в исходном состоянии допускает снижения порядка описания (1.В) при выделении наибольшего общего правого (левого) делителей названных матриц.

В дальнейшем от (3.6) переходим к иммитансному описанию для последующего непосредственного процесса реализации многополюсной цепи с активными элементами.

Рассмотрим конкретный пример синтеза цепи при (со) = (р/, рД Пусть, необходимо реализовать динамический корректор с матрицей характеристик передачи. Имеется матричная системная характеристика вида

" 1

[Я(р, ,£/,)] =

_р, +и1 р, +и,

где и, —> р2; \иг, (У, ]' = [Н(р1р2 )][/,, причём от переменной 1]\ осуществлен переход (аналитическое продолжение) в комплексную область р2. Искомая схема должна содержать один вход и два выхода с одной нелинейностью. Исходное описание в узловом базисе составит:

[ПДР2)] =

о

Р\Рг

Р1+Р1 1

к2

-1 о

о

-1

иг(рхр2) =

и^РхРгУ-

Р\Рг

Р\ +Рг 1

Р\ +Рг

•Ух

■и,

_Р\ +Р2

Используя инверсный оператор усиления-суммирования, можно получить (К1, Кг вспомогательные коэффициенты)

[Г. (Л Л)] о =

0 К, 0 0 0 0 0 0"

0 -1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 -1 1 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 1 -1 0 0 0

0 0 0 -1 Ун 0 0 0 0

0 0 0 -1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 -1 -1 р> 0 0

0 0 0 0 -1 0 0 0 -1

0 0 0 0 0 0 0 1 Р\.

В данном случае первые два оператора оказались прямыми (р,), а третий инверсный (1/рг), который ценой увеличения размерности [У, (р, р2)] может быть преобразован в прямой.

Общая схема реализации представлена на рис. 5. Заметим, что реализация несимметрической части матрицы проводимостей может быть выполнена любым набором активных блоков - усилителями с конечными коэффициентами усилений (в том числе только с инверсией или смешанном варианте), управляемыми источниками, конвертерами и т. д.

К узлу (5) подключена нелинейная проводимость пропорциональная входному напряжению. Схема имеет единичные емкостные элементы на узлах (9) и (7), величины в Омах и Фарадах, 9 - сумматоров с единичными коэффициентами усиления. Пунктиром выделены подсхемы АЯ, Н, С. Данная методика позволяет реализовать и саму управляемую проводимость: й=кУ| или в случае необходимости Л= У\.

Рис. 5

Четвёртая глава содержит примеры реализации конкретных устройств, а также синтез дискретных цепей с логическими элементами. В работе изложен способ математического описания нелинейно-параметрических цепей, систем с дискретизаторами и логическими подсхемами в частотной области пространства состояний, позволяющий использовать некоторые положения теории линейных систем. Представлены функциональные схемы полосовых и заграждающих фильтров различных порядков, разложение через системные параметры в случае многомерного преобразования.

Далее, пусть необходимо реализовать матрицу системных функций двумерного преобразования Лапласа

"1 1"

'12x2

[Я(5„52)]2

+55,+6

Здесь симметрия выражения не имеет существенного значения для освещения способа реализации двухмерной функции. В соответствии с (3.5) после частотного преобразования получим:

+a2)+5(s\ +а,)+6

1 1 1 1

> ["¡(VjIM =

О -1 О О

о 0~

о

о о -1 о

-I

0 I I

1 I

I

О I I

О I I

О I

I

"О -~Г (Г|5| + а,-О О 0-110

о о о

0

1

----сг~

s2 + а2 + 5

[А{а)] =

В данном примере от параметров а, и а 2 зависит только матрица динамики [А]:

-а, О О -(а,+5)_"

В рамках штриховых линий [£] и [С] - очевидны.

Проблема свелась к реализации матрицы проводимостей двухмерной семиполюсной цепи с помощью ARC- цепи. При этом синтезируемая цепь должна отвечать ряду дополнительных инженерных требований: быть неуравновешенной структуры, иметь «звезду» из ре-активностей, общий узел для усилительных устройств и т.п. (выходящих за рамки рассматриваемого примера №2). При выборе пассивной матрицы проводимостей в виде доминантно -диагонального типа с отрицательными внедиагональными элементами.

' 1 -1 0 0 0 0 0

-1 6 0 -1 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 -1 0 1 0 0 0

0 -1 0 0 2 0 -1

0 0 0 0 0 + а ) 0

0 0 0 0 -1 0 S1 + а2+ 4 + 1

Получим «активную» матрицу:

"-1 2 0 0 0 0 0"

0 0 0 1 2 0 0

0 0 -1 1 0 0 0

л= 0 0 0 -1 0 1 0

0 1 -1 0 -2 0 2

0 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 7x7

Реализация исходной матрицы трехиолюсника [//])] представлена на рис. 6 (величины в Омах и Фарадах). Коэффициенты усиления (пропорциональности) сумматоров находятся из системы уравнений:

М=М-[<гЖ],

где [с;,]=^{1,1,0,1,1,0,1}.

Рис. 6

Основные результаты и выводы по работе:

1. В работе изложена концепция математического описания нелинейно-параметрических цепей, систем с дискретизаторами и логическими подсхемами в частотной области пространства состояний, позволяющая использовать некоторые положения теории линейных систем.

2. В соответствии с результатами п. 1 представлены некоторые частные структуры моделей нелинейных, параметрических, дискретных систем, отражающих связи входных и выходных переменных, от которых осуществляется переход к узловому описанию цепи, связанному с дальнейшей реализацией цепей.

3. Сформулированы используемые далее принципы эквивалентности и квазиэквивалентно-стн нелинейно-параметрических и дискретных цепей и систем.

4. Доказан ряд теорем по использованию оператора О.Хэвисайда в русле концепции анализа и реализации систем указанного класса.

5. Представлен ряд иллюстративных примеров синтеза, использующих разработанную методику для нелинейно-параметрических, дискретных многомерных схем.

6. Произведена оценка чувствительности реализованных цепей. Разработаны некоторые новые устройства со специальными свойствами, подтвержденные патентом.

15

7. Представлен ряд конкретных реализаций ПФ и ЗФ фильтров с арифметической симметрией АЧХ. Показано хорошее соответствие теоретических и расчётных данных.

8. Представлено исследование функций чувствительности структур при произвольных (конечных) изменениях их параметров.

Публикации по теме диссертации:

1. Синтез RLC моделей заземляющих устройств по экспериментальным н расчетным переходным характеристикам / A.A. Лебедева, Н.В. Коровкин, Т.Г. Миневич, K.II. Нетреба, СЛ. Шншигнн // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. - 2009. - Т.1, №89. - С. 202-207.

2. Лебедева, A.A. Синтез заграждающих фильтров с перестраиваемыми параметрами / A.A. Лебедева, A.B. Бондаренко, В.В. Резниченко, В.И. Можар // Журнал "Энергетика". -2009. - №4. - С. 27-30.

3. Лебедева, A.A. Многополюсный аналог теорем Тевенина и Нортона для ARC-цепей с нелинейными R-элементами / A.A. Лебедева, A.B. Бондаренко // Вестник гражданских инженеров. - 2010. - №2(23). - С.193-197.

4. Лебедева, A.A. Реализация многомерных полосовых фильтров с симметричной амплитудно-частотной характеристикой/ A.A. Лебедева, A.B. Бондаренко, В.В. Резниченко //Вестник гражданских инженеров.-2011. -№28, март. - С. 117-121.

5. Лебедева, A.A. Аппроксимация нелинейных функций дробно-рациональными выражениями / A.A. Лебедева // Доклады 66-ой научной конференции профессоров, инженеров и аспирантов университета. Ч. 4.: тез. докл. / редкол.: A.B. Бондаренко, В.В. Резниченко [и др.]. -СПб: Изд-во СПбГАСУ, 2008. - С. 5-8.

6. Лебедева, A.A. Теорема об эквивалентном генераторе и многополюсная цепь / A.A. Лебедева// Актуальные проблемы энергетики АПК. - 2011. - С. 161-163.

7. Пат. 2002303 Российская Федерация. Генератор функций / A.A. Бондаренко, A.B. Бондаренко, В.В. Бондаренко, C.B. Зайцева; заявитель и патентообладатель СПб Гос. электротех. унив-т. - №4924262 ; заявл. 2.04.91 ; опубл. 30.10.1993, Бюл. № 39-40 (Пч.). - 4 с.

8. Лебедева, A.A. Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы: учеб. пособие / A.A. Лебедева, A.B. Бондаренко, В.В. Бондаренко; изд-во СПбГАСУ - СПб: СПбГАСУ, 2011,- 134 с.

Подписано в печать 17.04.2012. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 9109Ь.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

61 12-5/3490

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ"

ЛЕБЕДЕВА АЛЛА АНАТОЛЬЕВНА

ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РЕАЛИЗАЦИИ МНОГОПОЛЮСНЫХ АКС-СХЕМ

На правах рукописи

Специальность 05.09.05 - Теоретическая электротехника

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ..............................................................................................................................................................4

1 .В Описание предлагаемого класса цепей................................................6

2.В Связь предлагаемого описания и интегральных представлений ..................................................................................................................................9

ГЛАВА 1 Основные теоремы и иллюстративные примеры реализации

нелинейных и параметрических цепей..........................................................11

а) Нерекурсивная модель системы....................................................................12

б) Сепарабельная модель..........................................................................................12

в) Рекурсивная модель..............................................................................12

1.1. Некоторые аксиомы, положения и постулаты теории цепей ....................................................................................................18

2.1. Выводы по главе 1..................................................................................23

ГЛАВА 2 Реализация нелинейных и нелинейно-параметрических операторов ..........................................................................................................................................23

1.2. Эквивалентные преобразования цепей................................................28

2.2. Выводы по главе 2..................................................................................................30

ГЛАВА 3 Обобщение предложенного оператора в случае реализации цепей с идеальными дискретизаторами и вопросы функций

чувствительности..............................................................................31

1.3. Оператор О. Хэвисайда....................................................................................31

2.3. Оценка функций чувствительности схем, содержащих

нелинейные, параметрические и гибридные элементы..................34

3.3. Общие сведения по расчету функций чувствительности при произвольных (конечных) вариациях параметров многополюсника.................................................................................................................35

4.3. Чувствительность и теорема Телледжена..........................................37

5.3. Системы с идеальными дискретизаторами........................................49

6.3. Выводы по главе 3..................................................................................................52

ГЛАВА 4 Примеры реализации конкретных устройств..........................................52

1.4. Синтез заграждающих фильтров..............................................................57

2.4. Синтез полосовых фильтров..........................................................................60

3.4. Синтез цепи с умножителями сигналов..................................80

4.4. Синтез цифровой цепи......................................................................................83

5.4. Синтез нелинейно-параметрических схем с логическими

элементами..............................................................................................................................85

6.4. Выводы по главе 4...................................................................................91

Заключение ..................................................................................92

Список литературных источников..........................................................................................94

ВВЕДЕНИЕ

Работа, предлагаемая вашему вниманию, определяет единый подход к синтезу линейных, нелинейных, параметрических и дискретных цепей с возможными логическими подсхемами. Используемые схемные решения ограничены следующими требованиями: рассматриваются двухполюсные нелинейные элементы, характеристики которых лежат в первом и третьем квадрантах. Исключается рассмотрение неоднозначных, гистерезисных, динамических нелинейностей, позволяющих в явном виде выделить резистивную подцепь. Данные ограничения также относятся и к параметрическим элементам.

Предлагаемая методика позволяет синтезировать новые устройства: полосовые и режекторные фильтры с арифметической симметрией АЧХ, многополюсные зависимые источники. Успешно моделировать интегральные уравнения, реализо-вывать дифференциальные уравнения со специальными свойствами, например перестройкой по частоте при сохранении неизменной добротности контура, реализо-вывать управляемые напряжением и током иммитансы для значительного расширения возможного класса нелинейных и параметрических элементов.

В настоящее время единые универсальные принципы, которые можно было бы положить в основу анализа и синтеза названного класса цепей полностью еще не разработаны. Если считать, что методы анализа цепей в достаточной степени исследованы для линейной области, то в отношении нелинейных, нелинейно-параметрических и дискретных схем можно констатировать, что они еще также находятся в стадии разработки. Однако широкое внедрение методов и алгоритмов вычислительной техники обуславливает настоятельную необходимость и возможность решения поставленной проблемы.

По объективным характеристикам к анализируемому историческому периоду можно выделить три основных сложившихся подхода:

1. Теоретические методы реализации и синтеза, восходящие к общей теории синтеза пассивных линейных схем - так называемые классические методы реализации, известные с 20-х годов прошлого столетия (Кауэр [1], Фостер [2], Гиллемин [3] и др.). Методы реализации активных АЛС-схем можно отнести к концу 50 - 70-х годов, что обуславливалось бурным развитием транзисторной электроники, микросхемотехники, техники БИС, СБИС. Можно констатировать, что наблюдаются да-

же тенденции закона кратного увеличения количества микроэлементов на подложке (Д. Калахан [4], Л. Чуа [5], Э. Кух [6], Р. Ньюкомб [7, 8], П.Ф. Ионкин, В.Г. Миронов [9], A.A. Ланнэ [Ю]ч-[13] и другие), что, естественно, вызывает необходимость дальнейших исследований, модернизации существующих и развития новых методик синтеза.

2. Группа чисто вычислительных методов реализации цепей основанных в той или иной степени на числовом переборе вариантов начального решения при выбранной (или заданной) стратегии поиска [4] [15, 16, 17], [14, 19-28]. Исходными критериями могут быть, например, оптимизация функции чувствительности параметров элементов схемы, общего количества элементов или ограничение номиналов элементов цепи и т.д. Они получили развитие в конце 60-х годов, однако, основные ограничения данных подходов связаны с астрономическим количеством вариантов даже при переборе относительно несложных полных графов с 6 - 8 узлами, да и то, как правило, речь идет о линейных схемах.

3. Группа методов реализации, занимающих промежуточное положение между приемами представленных пунктов 1 и 2 (Л.Р. Нейман, К.С. Демирчян [88], М. Ghausi [28], Director, R. Rohrer [14] и другие). Сюда можно отнести важную роль вычислительной техники при реализации идей отмеченных в пункте 1, оптимизации полученных решений в том или отношении, анализу выполнения вспомогательных или определяющих критериев (устойчивость, функции чувствительности высших порядков, линейные - нелинейные искажения, шумы), развитие САПР и т.п. Предложенная классификация приемов синтеза считается условной и при необходимости может быть развернута и уточнена [31-34, 95]. Если указанная область исследований в основном относится к линейным цепям и системам, то методы синтеза нелинейных схем значительно менее разработаны, сведения о них носят отрывочный характер, распылены по научным публикациям и в настоящее время еще не создана более или менее общая теория синтеза (вопрос о ее создании в полном, завершенном виде можно в настоящий период времени отнести к проблематичным) мало-мальски сложных конфигураций с несколькими нелинейностями [70]. Тем не менее, серьезные успехи в этом направлении можно отметить в работах Л. Чуа [5] и его сотрудников (UCLA) USA. Примерно такое же состояние наблюдается в реали-

зации параметрических, нелинейно-параметрических и дискретных цепей [26, 27, 29,30,35,48,96].

Общая концепция предлагаемого метода реализации столь широкого класса цепей основывается на формировании системы уравнений, внешне подобных системе, составленной по методу переменных состояния в линейном варианте. При этом, как показано далее, удается сформировать алгоритм перехода от полученной исходной системы к реализуемой цепи, описываемой узловым базисом (МУН), к которому удается свести даже случаи реализации дискретных узловых схем, где используются переменные одного типа, например, напряжения.

В настоящей работе принята во внимание достаточно исследованная, существующая обобщённая теория систем - системология, предполагающая использование трёх множеств [41 -44, 74, 75] :

- множества входных воздействий, для электротехнических систем, о которых будет идти в дальнейшем речь, это токи, напряжения, заряды, потокосцепления и их совокупности.

- некоторого множества выходных переменных, по размерности необязательно совпадающего с входным множеством - реакции системы.

- так называемого ресурса системы - переменных состояния. Как правило, по размерности, отличающихся от первых двух.

Уравнение (1.В) соответствует требованию общей теории систем.

Значение нумерации: стоящая на втором месте буква «В» означает введение; цифра на первом месте в номерах формул, примеров и рисунков относится к номеру главы.

1.В Описание предлагаемого класса цепей

Предлагаемая система уравнений для линейной или нелинейной активной (в общем случае) схемы аналогового типа (условие, которое в дальнейшем будет снято) имеет вид:

'P{S) = W{Q{S)\, p(tP;q(t)e Q;

- Q{s) = A(s)P{s) + B(s)x(s); x(t) eX; (1 -B)

Y(s) = C(s)p(s) + D(s)x(s); y(t) e Y,

где Q(s) - вектор переменных состояния (независимые переменные, преобразованные по Лапласу). Вопрос существования такого преобразования будет рассмотрен далее после введения в рассмотрение оператора О. Хевисайда. p,q,x,y - некоторые функциональные пространства;

P{s) - вектор переменных, получаемых после воздействия оператора W{-} на вектор Q(s);

x(s) - вектор входных воздействия; Y(s) - вектор реакций системы.

Иногда в простейшем варианте под W(s) понимают системную функцию линейной цепи (X(s) Q(s) => Г^)); два других уравнения становятся излишними.

- некоторые матрицы соответствующих размерностей. При выполнении требований к существованию оригиналов Лапласа [55, 66] для системы уравнений (1.В) можно привести дополнительное обоснование представления формы (1.В) на основании следующих аргументов. Примем, что линейная часть активной цепи в самом общем случае (тогда как частные конкретные координатные базисы могут и не существовать) имеет следующее описание через системные параметры:

N»)MW]t=fcM]M»)]. (2.В)

где = №)]= И»)]:.№)];.»]' -блочные

матрицы напряжений и токов на зажимах системы соответственно с номерами 1, ..., п и (и+1), .. • , q] [Т0 (5)] - некоторая прямоугольная матрица размерности Лх(Л-к); [JV(s)] -

вектор-столбец переменных размером (к - число ограничений), также

представленных в блочном виде [n(s)] = [[tV, (s)] (5)]' ]' (индекс «1» указывает на принадлежность переменных к множеству {1,2,...,«}, а индекс «2» к V{(« +1), (п + 2),..., q};t- транспозиция матриц; X - мерность принятого базиса. Сформулируем и докажем следующую теорему. Теорема I. Связь системного описания согласно (2.В) с учетом

И*)] = diaglw\^}[Q(s)\; s = а +М

и системой (1.В) может быть сформулирована следующим образом:

т= им

(З.В)

где [^(.у)] и [[¿/Дя)] '»[Л^)] ]' ~ входной и выходной алфавиты соответственно; diag{•} - диагональная матрица, [в($)\ - квадруполь стацио-

нарных или варьируемых матриц соответствующих размерностей, выражаемых через элементы матрицы [^(я)] - системного описания цепи (2.В), причем

Дня доказательства теоремы I примем, что

1

р-т.

ИчМШ'Яи '=Ш4

атакже Ш] = М ',[&(*)']]' " ',&(*)] ']

Индексы «л, н, ~» - относятся к линейной, нелинейной и параметрическим схемам соответственно; \}¥к {-}],к £ {л,н,~} - оператор преобразования вектора изо-

бражений переменных (<,•)] в вектор [РА(л)], {•} е Ь<

п-раз

. Ь - символ

преобразования Лапласа. В случае необходимости данные векторы могут включать составляющие от дискретизации и/или логики. Подмножество базисных векторов [№)] !/-»> [-ФИ 'ч-п ] = [^2 М] может быть принято за преобразованные переменные состояния ¡>(у)], так как оно совместно с (л-)] - вектором входных воздействий, - однозначно определяет состояние системы согласно (З.В).

После введения матрицы перестановок строк и столбцов [,Р0] в левой части (2.В) получим

№:.[*,«] м] «.м м] -__Е^С-Л и

ем] „] = №.мм\

или в краткой записи:

(4.В)

где принято обозначение [Р0][Г0(^)]= [7^. (5)],/ = 1,2. Разбивая [г(з)] на подматрицы, из (4.В) найдем:

Если принять, что выполняются следующие обозначения, то

[^О]=- ëѮ>1=С^ж С®)] ^ [сС^Я=(яг)]» Е^К^Л=Е^;. С^Л» тогда получим

утверждение теоремы I.

2.В Связь предлагаемого описания и интегральных представлений

Возвращаясь к исходным посылам, можно показать, что система (1.В) имеет непосредственную связь с весьма широким классом линейных и нелинейных ин-тегро-дифференциальных уравнений [45, 51, 60]. Так, например, для интегрального линейного случая уравнений первого и второго рода типа Вольтерры, являющихся, в свою очередь, частными случаями уравнений Фредгольма, найдем:

Ж)Ж)-ЦкЬт)у(т)(1т = X, (5.В)

п

где - ядро уравнения, ах(7) воздействие в области определениях;

- искомая реакция, X - параметр, с часто применяемым значениям ±1; х(7),>;(/), £"(/) - комплексные или вещественные переменные; при g(t) = 0 получаем уравнение первого рода.

Обширной областью применения уравнений (5 .В) являются динамические системы, многополюсные и многомерные цепи. При нелинейных интегральных уравнениях имеем:

g{t)y(t)-Л\к{t,т,y(т))dт = х(0 (6.В)

п

- оператор Урысона, или

g{t)y{t)-Л \к(итУ{у(т))<1т = 40 (7.В)

п

- оператор Гаммерштейна.

В (6.В) и (7.В) сохранены общепринятые математические обозначения. Используя операторную форму представления, получим

gy - ЯА{у} = г,§еО;у£У;жеХ

И для (6.В) и (7.В) соответственно (возможны, конечно, и частные варианты при £ = 1,Х(*) = 0)

&-ЛАг{у) = х,

Ау - оператор Урысона;

Аг - оператор Гаммерштейна;

С, У, Х- некоторые функциональные пространства, к которым принадлежат g> у, х соответственно.

В нелинейном варианте имеем две части - линейную и нелинейную, связанную с операторами Ау, Аг. Предполагаемая система (1.В), как будет показано ниже, не только включает в себя представление, подобное (8.В) для аналоговых схем, но и охватывает более широкую область возможных приложений, если включить в рассмотрение дискретные и цифровые системы. Таким образом, можно заключить, что предлагаемая форма описания цепей достаточно общего вида обладает должной универсальностью, ориентированной в будущем на выработку единой стратегии реализации и синтеза широкого класса электротехнических систем. Актуальность данного подхода и его практическая ценность будут проиллюстрированы рядом примеров реализации, приводящих к оригинальным решениям.

Актуальность работы обусловлена и построением обобщенных алгоритмов реализации цепей, содержащих линейные, нелинейные, нелинейно-параметрические, дискретные и логические подсхемы.

Научная новизна заключается в разработки оригинального алгоритма синтеза цепей названных классов, при выполнении ряда инженерных требований:

- результирующие схемы должны быть неуравновешенного типа;

- структура цепей должна содержать «звезды» из емкостных, индуктивных и параметрических элементов с оценкой возможной оптимизации функции чувствительности и т.п.

Практическая ценность предлагаемой работы заключается в построении конкретных цепей на базе интегральной технологии. С развитием последней, предлагаемые методы синтеза и реализации сохраняют свои потенциальные возможности. Например, реализация на конвертерах отрицательного иммитанса, операционных

усилителях, гираторах, мутаторах и т. д. в конечном итоге базируется на операционных усилителях, хорошо «обкатанных» с практической стороны [11, 20, 47, 48, 89 и др.].

Глава 1. Основные теоремы и иллюстративные примеры реализации нелинейных и параметрических цепей

Из доказанной во введении теоремы I.B следуют частные теоремы реализации цепей с конкретными элементами [58,60, 68,69].

Теорема II. Нелинейная функция двухполюсника представимая (аппроксимируемая) полиномами, дробно-рациональными функциями, кусочно-линейными интервалами, сплайнами, цифровым способом или комбинацией названных методов, может быть представима в рамках системы (З.В) с помощью заданного (в общем случае - произвольного) набора характеристик резистивных двухполюсников.

Теорема III. Результаты теоремы II естественным образом распространяются на случай многополюсных нелинейных реализаций.

Теорема IV. Параметрическая функция двухполюсника при выполнении условий теоремы II также реализуется набором характеристик резистивных двухполюсных элементов.

Теорема V. Обобщение условий теоремы IV на случай многополюсных параметрических схем - по аналогии с утверждением Теоремы III.

Теорема VI. Для реализации любого нелинейного безынерционного четы-рехполюсного зависимого источника тока или напряжения с конститутивными законами: febis(t) = aW{ffíx(t)=}, где fex(t) и feba(t) - соответственно входная и выходная переменные - необходим и достаточен один нелинейный двухполюсный рез