автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Топологические методы анализа электрических цепей с многополюсниками

ВВЕДЕНИЕ

I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА ТОПОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ С

МНОГОПОЛЮСНЫЖ ЭЛЕМЕНТАМИ.

1.1. Многополюсник как элемент схемы . . II

1.2. Топологический анализ цепей при представлении многополюсников схемами замещения

1.3. Использование полюсных графов в топологическом анализе цепей с многополюсными элементами

1.4. Теоретико-множественный подход к анализу цепей с многополюсными элементами

Выводы . .%

II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СХЕМЫ С МНОГОПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

2.1. Постановка задачи определения схемных функций

2.2. Топологические особенности цепей с многополюсными элементами.

2.3. Формулы разложения для определителя и алгебраических дополнений адмитансных матриц схем с многополюсными элементами.

2.4. Построение схемных функций в каноническом базисе контурных токов.

Выводы

Ш. ПОСТРОЕНИЕ СХЕМНЫХ ФУНКЦИЙ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ОСТОВАМ

СХЕМЫ СОЩШЕНИЙ

3.1. О перечислении остовов схемы с iногополюсными элементами

3.2. Топологический вариант поиска шноров матрипц проводимости схемы

3,3. Применение формул разложения к топологическому анализу схем по частям.

Выводы

1У. ОСОБЕННОСТИ АЛГОРИТМИЗАЦИИ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО МЕТОДА АНАЛИЗА

ЦЕПЕЙ С МНОГОПОЛЮСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ.

4.1. Общие замечания к реализации алгоритма топологического анализа цепей с многополюсными элементами

4.2. Алгоритм построения схемных функщй

4.3. Реализация алгоритма вычисления миноров расширенных матриц проводимостей многополюсных элементов

4.4. Элементы символьного анализа .•.••.•.

4.5. Эксплуатационные характеристики алгоритма.

Выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Современные требования к электронной аппаратуре ведут к существенным усложнениям схем аппаратуры в целом. Для определения параметров элементов, соответствующих оптимальным режимам работы таких схем, необходимо производить общий анализ электронной цепи. В этом отношении представляют интерес так называемые символьные методы анализа электронных цепей, основанные на применении матричной алгебры, теории графов и теории множеств [34]• Символьные методы рассчитаны на анализ линейных систем, в данном случае радиоэлектронных цепей, со слабыми сигналами. Преимущества символьных методов над численными особенно выделяются при анализе цепей в большом частотном диапазоне.

К разделу символьных принадлежат и топологические методы анализа электронных цепей. Топологические методы заключаются в записи выражений душ схемных функций непосредственно со схемы путем перебора всех возможных топологических структур определенного типа: деревьев и k -деревьев, либо контуров и £ -контуров графа схемы. Интерес к топологическим методам вызван прежде всего возможностью получать схемные функции в аналитическом виде, высокой точностью расчета, а также высокой степенью формализации. Перечисленные факторы являются определяющими при оценке эффективности расчета схем на ЭЦВМ. Однако в меру роста размеров анализируемой схемы преимущества топологических методов стают менее ощутимыми ввиду непомерного возрастания необходимого объема оперативной памяти.

В последнее время в практике проектирования больших схем принято использовать макромодельный подход: целые каскады схемы представляются макромоделями, отображающими их внешние связи и влияние на остальную часть цепи. Возникла задача применения макромо-дельного подхода к анализу электронных цепей. В данной работе, направленной на развитие топологических методов, она сформулирована как задача топологического анализа цепей, составными элементами которых являются п -полюсники (п>,2) .

Подход к топологическому анализу цепей с предварительным, представлением многополюсников схемами замещения связан с ограничениями на размеры анализируемой схемы, число невзаимных двухполюсников, а также с проблемами разработки схем замещения для новых интегральных компонентов.

При использовании полюсных графов теряется другой аспект топологических методов - наглядность, заключающаяся в простом соответствии между электронной схемой и ее топологической моделью.

Увеличение размеров анализируемых цепей и наличие в них новых /многополюсных/ компонентов побудили к поиску новых модификаций топологического метода, сохраняющих его идею и преимущества и приспособленных, к нуждам современного анализа цепей.

Целью данной работы является развитие топологического метода анализа цепей с многополюсными элементами, сохраняющего наглядность, присущую топологическим формулам Максвелла и Кирхгофа и, одновременно, обладающего общностью по отношении к виду компонентов анализируемой цепи. Постановка задачи обоснована современной тенденцией в теории цепей рассматривать любую схему как соединение п -полюсников (п ъ 2) и предусматривает повышение эффективности использования макромоделей при анализе электронных цепей.

Методика исследования основана на построении схемных функций в каноническом базисе узловых напряжений или контурных токов по заданным: а/ топологии схемы; б/ иммитансным матрицам элементов в общем случае многополюсных/. При этом допускается задание элементов У -матриц многополюсников в виде дробно-рациональных функций от • В качестве топологического образа цепи выбрана схема соединений, в которой многополюсники представлены замкнутыми очертаниями с п выводами /полюсами/ [481, Выбор топологической модели преследовал цель: а/естественного описания принципиальной схемы с сохранением многополюсного представления элементов; б/ простого формализованного перехода к следующему иерархическому уровню; в/ компактного задания топологии цепи на ЭВМ; г/ разработки в достаточной степени формализованной методики построения схемных функций. Кроме того, как отмечено в [25], выбор топологической модели такого типа позволяет сохранить единый подход к анализу принципиальных схем и схемно-конструкторскому проектированию, а также избежать лишних вспомогательных понятий в описании топологии схемы. На защиту выносятся:

1. Введение новых понятий и определений, при помощи которых выполнено теоретическое обоснование разработанного метода топологического анализа цепей с многополюсными элементами /остов, 2-остов, контур-остов и 2-контур-остов схемы соединений/,

2. Теоретическое обоснование формул разложения определителя, симметрических и несимметрических алгебраических дополнений имме-тансных матриц схемы по остовам и 2-остовам, либо контур-остовам и 2-контур-остовам.

3. Новый метод топологического анализа линейных цепей с многополюсными элементами на основе перечисления остовов /2-остовов/ либо контур-остовов /2—контур-остовов/ схемы соединений,

4. Алгоритмизация разработанного метода. В частности: а/ алгоритм перечисления остовов /2-остовов/ схемы соединений; б/ алгоритм выделения в графе схемы максимально-полных подграфов; в/ алгоритм определения знака пары подобных остовов; г/ алгоритм определения знака к -дерева графа схемы; д/ алгоритм вычисления схемных функций в буквенно-численном виде, либо в виде отношения полиномов от частоты.

5. Програмная реализация разработанного метода на языке ФОРТРАН-4 и результаты исследования конкретных примеров на ЭВМ ЕС 1022.

6. Результаты применения программы 5TAN ~ топологического анализа цепей с многополюсными элементами в машинном проектировании.

Работа состоит из четырех глав и приложений. В § I.I рассматривается понятие многополюсника как элемента схемы с точки зрения свойств, используемых далее в работе. § 1.2 - § 1.4 посвящены критическому обзору вариантов применения топологического подхода к анализу цепей с многополюсными элементами. Основные положения метода в применении к электрическим цепям развиты с учетом того, что последние состоят из двухполюсных компонент, топологическими образами которых являются ребра графа £46]. Распространение идеи топологического метода анализа на цепи с многополюсными элементами отображено в работах [2,9,10,31-34,56,57,65, 88]. В существующей постановке вопроса можно выделить следующие варианты топологического подхода, различающиеся выбором топологического образа анализируемой цепи.

I. Предварительное представление многополюсних элементов схемами замещения, составленными из R ,L , С ~ двухполюсников, а также искусственно введенных и реально не существующих двухполюсных элементов /зависимых источников тока и напряжения, унисторов, гиристоров, нуллаторов, нораторов и т.п./. Топологическим образом такой схемы является направленный граф [68]. Методика анализа направленного графа изложена в [69]•

2. Задание многополюсных элементов в графе схемы полюсными графами [88]. Правила топологического анализа графов схемы, в которых многополюсные.элементы представлены полюсными графами, разработаны в [9,10,56,57,65].

3. Описание многополюсных элементов сочетаниями одноиндекс-ных номерных обозначений с последующим их раскрытием [311.

Основные результаты работы сконцентрированы в главах П-1У. Предметом исследования в главе П является электрическая схема с Л -полюсными компонентами (n>/Z) §2.1 отведен под постановку задачи анализа линейной цепи. В §2.2 рассматриваются топологические особенности схемы соединений, введено понятие остова и 2-остова схемы с многополюсниками, изучены свойства введенных топологических конфигураций.

В §2.3 на основании выделенных топологических особенностей выведены формулы для разложения определителя и алгебраических дополнений матрицы проводимостей схемы, в которой многополюсники заданы расширенными Y -матрицами. Показано, что применительно к схемам, состоящим из одних двухполюсных ветвей, полученные формулы приводятся к известным формулам Максвелла. В § 2.4 случай, когда элементы схемы описаны Z - матрицами, представлен как дуальный вариант рассмотренного в §2.3 на основании топологических особенностей системы независимых контуров схемы с многополюсными элементами.

Глава Ш посвящена особенностям применения полученных в главе II формул разложения определителя, симметрических и несимметрических алгебраических дополнений иммитансных матриц схемы к вычислению схемных функций. Задача приведена к перечислению остовов либо 2-остовов схемы соединений. В §3.1 рассматривается вопрос нахождения всех возможных остовов и 2-остовов схемы, а также представлены формулы для нахождения числа остовов схемы при выборе определенного базисного узла. Вычисление миноров произвольного порядка матриц проводимостей п-полюсников приведено в §3.2 к перечислению ^-деревьев графа, являющегося полным п -угольником. В этой связи построен эффективный алгоритм определения знака ^-дерева. В § 3.3 предложено применение разработанной методики к анализу линейных схем по частям, путем предварительного выделения в них максимально связных подсхем. Разработан алгоритм разбиения схемы на части при помощи ЭЦВМ. Изложение материала иллюстрируется примерами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Приведен обзор модификаций топологического метода анализа линейных цепей в применении к цепям с многополюсными элементами,

2. В качестве топологической модели при анализе цепи с многополюсными элементами предложено использовать схему соединений, обеспечивающую: а/ единый подход к машинному анализу и проектированию цепей с сохранением возможности многополюсного представления элементов; б/ меньшую размерность топологической модели цепи; в/ простоту перехода к следующему иерархическому уровню; г/ в достаточной степени формализованную методику топологического анализа цепей с многополюсными элементами,

3. Введено понятия остова, 2-оетова, контур-остова и 2-контур -остова схемы соединений, при помощи которых исследованы топологические особенности цепей с многополюсными элементами и выполнено теоретическое обоснование разработанного варианта топологического анализа схем с многополюсниками. Выведены соотношения для оценки числа остовов и 2-остовов схемы соединений при заданном базисном узле.

4. На основании введенных понятий получены формулы разложения определителя и алгебраических дополнений матриц проводимостей и сопротивлений цепи при описании ее элементов У и Z матрицами.

5. Обоснована методика топологического анализа цепей с многополюсными элементами без представления последних схемами замещения. Предлагаемый подход базируется на перечислении остовов и 2-остовов либо контур-остовов и 2-контур-остовов схемы соединений и обладает следующими достоинствами: а/ возможность представления на уровне элементарного компонент та наряду с двухполюсными элементами целых каскадов, стандартных микросхем, типовых подсхем с известными характеристиками; б/ повышение возможностей програмного анализа ввиду уменьшения размерности исходной системы, организации параллельных вычислений для отдельных компонентов; в/ повышение достоверности расчета вследствие описания компонентов системными параметрами многополюсника,

6. Показано, что область применения предложений методики расширяется в сочетании ее с методом подсхем, а также при выделении в графе схемы максимально.связных частей в качестве многополюсных подсхем. С этой целью обоснован алгоритм выделения в графе схемы максимально связных подграфов.

7. Построен алгоритм получения в аналитическом виде схемных функций цепей с многополюсными элементами, описанными матрицами проводимостей, на основании разложения числителя и знаменателя по остовам.и 2-остовам схемы соединений. В частности разработаны алгоритмы: а/ перечисления остовов /2-остовов/ схемы соединений; б/ определения знака пары подобных остовов; в/ определения знака & -дерева графа схемы; г/ вычисления схемных функций в символьном виде.

8. Разработанный алгоритм реализован на языке ФОРТРАН-4 в программе STAN и исследован на конкретных примерах на ЭВМ ЕС 1022. Предусмотрено, что элементы матриц проводимостей многополюсников могут быть полиномиальными или дробно-рациональными функциями от частоты.

9. Дано практическое и теоретическое обоснование эффективности предложенного варианта топологического анализа цепей с многополюсными элементами и указано область наиболее эффективного применения: а/ многовариантный анализ; б/ анализ в большом частотном диапазо— не; в/ расчет линейных цепей, включающих типовые, конструктивно законченные ИС малой и средней степени интеграций; г/ определение чувствительности схемы к определенным параметрам и оптимизация; д/ анализ линейных цепей, отличающихся высокой степенью связности.

10. Программа STAN топологического анализа цепей с многополюсными элементами внедрена в процесс машинного проектирования электронных схем во Львовском ПО "Микроприбор".

1. Анисимов В.И. К анализу электронных схем при смешанном характере параметров многополюсных элементов, - Теор,электротехника. Респ.межвед.научн.-техн.сб., 1968, вып.5, с.57-64.

2. Анисимов В.И. Топологический расчет электронных схем. Ленинград: Энергия, 1977. - 240 с.

3. Анисимов В.И., Козьмин А.Г. Топологический анализ электронных схем методом k -деревьев. Теор.электротехника. Респ.меж-вед. научн.-техн.сб., 1971, выпД2, с.9-16.

4. Анисимов В.И. , Козьмин А.Г. Анализ электронных схем на ЭЦВМ методом k -деревьев. - Изв.ВУЗов. Радиоэлектроника,1973, т.16, #6, с.54-59.

5. Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Наука, 1974. - 368 с.

6. Баталов Б.В., Егоров Ю.Б., Русаков С.Г. Основы математического моделирования больших интегральных схем на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1982. - 168 с.

7. Беллерт С., Возняцки Г. Анализ и синтез электрических цепей методом структурных чисел. М.: Мир, 1972. - 332 с.

8. Блажкевич Б.1. Ochobhi метода анал1зу лШйних електричних мл. Кшв: изд-во АН УССР, 1961. - 277 с.

9. Блажкевич Б.И. Применение топологического метода, базирующегося на канонических уравнениях, для расчета цепей с многополюсными элементами. Теор. электротехника. Респ.межвед.научн.-техн. сб., 1975, вып.18, с.10-19.

10. Воронов Р.А. Общая теория четырехполюсников и многополюсников. М.: Госэнергоизд., 1951. - 342 с.

11. Гаев Г.П. Топологический анализ цепей с зависимыми источниками. Труда Моск.энерг.ин-та, 1977, вып,348, с.25-30.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Изд. 3-е. М.:Наука, 1967.- 575 с.

13. Дезоер А., Ку Э.С. Основы этеории цепей. — М.: Связь,1976, —- 288 с.

14. Дмитришин Р.В. Оптимизация электронных схем на ЭВМ. Киев: TexHiKa, 1980. - 224 с.

15. Долбня В.Т. Топологические методы анализа и синтеза электрических цепей.и систем. Харьков: Вища школа, изд-во при Харыс. ун-те, 1974. - 145 с.

16. Доневски Б.Д. Някои основни положения в сьвремената теория на многополюснЕците. Годишник на вы сшит е техн. уч.завед. Математика, 1970, кн.6, № 3, с.ЮЗ-ПЗ.

17. Зелях Э.В. Основы теории линейных электрических цепей. М., изд-во АН СССР, I95I. - 336 с.

18. Зыков А.А. Теория конечных графов. 4.1. Новосибирск: Наука, 1969. - 542 с.21. йлзиня И. Г. О нахождении наибольших полных подграфов данного графа. В сб.: Автоматика и вычислительная техника, 1965, ЛИ, с.43-48.

19. Ильин В.Н. Основы автоматизации схемотехнического проектирования. М,: Энергия, 1979. -390 с.

20. Ионкин П.А., Миронов В.Г. О топологическом анализе линейных, электронных схем. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1974, № 5, с.64-69.

21. Кенинг Г., Блекуел В. Теория электромеханических систем. -М.: Энергия, 1965. 423 с.

22. Князь А.И. Некоторые топологические вопросы теории электронных схем. Электричество, 1979, Л 3, с.57-60.

23. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике. М.: Наука, 1970. - 720 с.

24. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. - 432 с.

25. Кудряшов Б.П., Назаров Ю.В., Тарабрин Б.В., Ушибышев В.А. Аналоговые интегральные микросхемы /справочник/. М.: Радио и связь, 1981. - 160 с.

26. Кустов О.В., Лундин В.3. Операционные усилители в линейных цепях. М.: Связь, 1978. - 144 с.

27. Максимович М.Г. Методы математического запису схеми з"еднанъ складних електричних Kta. Допов1д! АН УРСР, 1965, № 5, с. 570-572.

28. Максимович Н.Г. Применение множеств для анализа и расчета сложных цепей.- Теор.электротехника. Респ.межвед.научн.-техн. сб., 1966, вып.1, с.50-58; вып.2, с.15-25.

29. Максимович Н.Г. К вопросу о нахождении деревьев и систем хорд цепи с многополюсными элементами. Теор.электротехника. Респ. межвед.научн.-техн.сб.* 1967, вып.З, с.101-110.

30. Максимович Н.Г. Топологические исследования цепи с помощью схемных множеств. Теор. электротехника. Респ.межвед.научн.-техн.сб., 1969, вып.6, с.29-40.

31. Максимович Н.Г. Методы топологического анализа электрических цепей. Львов, изд-во Львов.ун-та, 1970. - 258 с.

32. Максимович Н.Г. Внешняя топологическая характеристика подсхемы и ее применение для расчета цепей по частям. Теор. электротехника. Респ.межвед.научн.-техн.сб., 1972,вып.14,с.47-56.

33. Максимович Н.Г. Метод элементарных преобразований деревьев. графа. Теор.электротехника. Респ.межвед. научн.-техн.сб., 1975, вып.19, с.31-39.

34. Максимович Н.Г., Стахив П.Г., Шемуратов Ф.А. Синтез электронных цепей с многополюсными элементами. Препринт - 186 ИЭД АН УССР, Киев, 1978. - 46 с.

35. Матвийчук Я.Н. Разработка и реализация на ЭЩМ некоторых алгоритмов топологического анализа электронных схем. Автореф. дисс. . канд.техн.наук. Львов, 1974. - 20 с.

36. Мезон С., Циммерман Г. Электрические цепи; сигналы и системы.- М.: Иностр.лит., 1963. 619 с.

37. Миронов В.Г. Модели операционного усилителя. Труды Моск. энерг.ин-та. Теория храфов, 1979, вып.415, с.7-16.

38. Носов Ю.Р., Петросянц К.О., Шилин В.А. Математические модели элементов интегральной электроники. М.: Сов.радио, 1976.- 304 с. .

39. Петренко А.И., Власов А.И., Тимченко А.П. Табличные методы моделирования электронных схем на ЦВМ. Киев: Вшца школа, 1977. - 188 с.

40. Духов Г.Е. Теория метода подсхем. Электричество, 19528, с.65-73.

41. Пухов Г.Е. Методы аналиаа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. Киев: Наукова думка, 1967. - 567 с.

42. Рехепапп Ю.А., Силламаа X.В. Матричное описание многополюсников. Радиотехника, 1972, т.27, J& 12, с.26-31.

43. Сещу С., Рид М.Б. Линейные графы и электрические цепи. М.: Высшая школа, 1971. - 448 с.

44. Сигорский В.П. , Петренко А.И, Основы теории электронных схем.- Киев: Вшца школа, 1971. 568 с.

45. Сигорский В.П. Методы анализа электронных схем с многополюеными элементами, Киев, изд-во АН УССР, 1958. - 402 с.

46. СигорокиЁ В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Сов.радио, 1976, - 608 с.

47. Силламаа Х.В. Систематика элементов в теории цепей. Труды Таллинского политехн.ин-та, сер.А, 1970, вып.268, с.3-18.

48. Силламаа Х.В. Некоторые общие свойства множества многополюсников. Труды Таллинского политехн.ин-та, 1974, вып.371,с.3-12.

49. Трохименко Я.К. Метод обобщенных чисел и анализ линейных цепей. М.: Сов.радио, 1972. - 312 с.

50. Харари Ф., Палмер Э. Перичисление графов. М.: Мир, 1977.324 с.

51. Хусаинов Ш.Н. Избыточные одномерные представления многополюсников. Вентильные преобразователи в энергетических установках. Труды Челябинского политехн.ин-та № 70, 1970, с.147-153.

52. Хусаинов Ш.Н. Различные формы уравнений многополюсных элементов* Вентильные преобразователи в энергетических.установках. Труды Челябинского политехи, ин-та № 70, 1970, с.141-146.

53. Хусаинов Ш.Н. Топологические формулы электрических схем с многополюсными элементами. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1974, В 2, с.160-164.

54. Хусаинов Ш.Н. Топологические формулы разложения для определителя -и алгебраических дополнений матрицы узловых проводимостей электрической-цепи с многополюсными элементами. Изв. ВУЗов. Энергетика, 1977, J* II, с.32-36.

55. Щемелинин В.М. Задача оптимального представления графа электрической схемы. Микроэлектроника /под ред. А.А.Васенко-ва/, М.: Сов.радио, 1976, вып.9, с.253-261.

56. Яворская М.И. Топологические особенности цепей с многополюсними элементами, Теор,электротехника. Респ.межвед.научн.-техн,сб,, 1978, вып.24, с,27-34.

57. Яворская М.И, Нахождение алгебраических дополнений определителя матрицы проводимости схемы с многополюсными элементами,- Теор,электротехника, Реоп,межвед.научн,-техн,сб.,1978, вып.25, с.54-59.

58. Яворская М.И., Шаповалов Ю,И, Определение знака k -деревьев графа схемы, Вестник Львов,политехн,ин-та № 128/10/, Доклады и научные сообщения, 1978, с,127-129.

59. Яворская М.И. Алгоритмы разбиения графа на подграфы при топологическом расчете цепей по частям. Теор.электротехника. Респ.межвед.научн.-техн.сб., 1979, вып.26, с»70-73.

60. Яворская М.И. Алгоритм топологического метода анализа цепей с многополюсными элементами и особенности его реализации, -Теор,электротехника. Респ.межвед,научн.-техн.сб., 1983, вып, 34, с. 23-31.

61. Chan S.P., Dunn W.R. Topological formulations of active network functions.- IEEE. Trans. Circuit Theory, 1971, v. 18,1. N 5, 554-557*

62. Char G.R. Generation of trees, two-trees and storage of master forests.- IEEE. Trans. Circuit Theory, 1968, v. 15, N 3, P. 228-238.

63. Chen W.K. Topological analysis for active network.- IEEE. Trans. Circuit Theory, 1966, v. 13, N 4, p. 85-91.69» Chen V.E. Bote on topological analysis for active network.-IEEE. Circuit Theory, 1966, v. 13, К p. 438-4-39.

64. Chua L., Lam Xing-Jai. A theory of algebraic n-ports.-IEEE. Trans. Circuit Theory, 1973» v.12, H 4, p. 370-382.

65. Chua L., Leon B.J. A unified theory of linear N-port networks. Proc. third annual allerton conf. on CCT.X.1965. Allerton Hose Monticello, Illinois, p. 502-601.

66. Das S.H., Sheng C.L., Chen L., Lin T. Magnitude ordering of degree complements of certain node pairs in an undirected graph and an algorithm to find a class of maximal, subgraphs.-Computers and Electrical Engineering, 1979, v.6, IT 3, p. 139151*

67. Fuisava T. On a problem of network topology. IRE.- Trans. Circuit Theory, 1959, v.6, N 3, p.261-266.

68. Mayeda W., Hakimi S., Chen W., Deo N. Generation of compleet trees. IEEE. Trans. Circuit Theory, 1968, v. 15, H 2,p.101-105.79* Mayeda W.,Seshu S. Generation of trees without dublications.-IEEE.Trans.Circuit Theory,1965,v.12, Я 2, p. 181-185.

69. Maxwell L.M., Cline J.M. Topological network analysis by algebraic methods.- Proo. Instn. Electr. Eng., 1966, v.113,1. N 8, p. 1344-1347.

70. Mullineux M., Heed J.R. Discussion on the paper "Topologicalnetwork analysis by algebraic methods" by L.M. Maxwell and I.M.Cline, Jr.- Author's reply.- Proc. Instn. Electr. Eng., 1967, v.114, If 2, p. 210-211.

71. Hathan A. Topological rules for linear networks.- IEEE.Trans. Circuit Theory, 1965, v. 12, N 3, P* 344-358•

72. Numata J,,Iri Masao. Mixed-type topological formulas for general linear networks.- IEEE.Trans. Circuit Theory, 1973, v. 20, N 5, p.488-494.

73. Preda M., Dorobanty I. General method to determine network functions using directed graphs.- Eewue Romanie Des Sciences Techniques. Ser EE., 1974, t.19, ® 4,p.561-571.

74. Eothfarb W. Topological formulas for network containin ideal 3-terminal transformers.- IEEE. Trans.Circuit Theory, 1965, v.12,H 3, p.321-323.

75. Sain H.K. The growing algebraic presence in system enginer-ing: an introduction.- Proc. IEEE., 1976,v.64,H 1,p.96-111.

76. Talbot A. Topological analysis of general linear networks.-IEEE. Trans. Circuit Theory, 1965,, v. 12, H 2, p.170-180.

77. Toida S. Topological formulas for networks with ideal transformers.- IEEE. Trans. Circuit Theory, 1966, v.13, H 3, p.332-335.

78. Tokad P. Some extension of the application of topological formulas.- IEEE. Trans. Circuit Theory, 1966, v.13, H 3, p. 332-335.

79. Wozniacki H. Analiza Blokowych uklad6w elektrycznych metoda liczb strukturalnych. Arch.elektrotechn., 1966. t.15,H 2, s. 347-365.