автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.03, диссертация на тему:Уточненная модель и численные исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых элементов конструкций летательных аппаратов

00461305И

На гфавах рукописи

Гюнал Ибрахим

УТОЧНЕННАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СЛОИСТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

05.07.03 - прочность и тепловые режимы летательных аппаратов

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Казань 2010

1 8 ноя 2010

004613050

Работа выполнена в ГОУ ВПО Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Фирсов Вячеслав Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Каюмов Рашит Абдулхакович;

Ведущая организация: Казанский филиал конструкторского бюро ОАО «Туполев»

Защита состоится 22 ноября 2010 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.079.05 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г.Казань, ул. К.Маркса, 10 (e-mail: kai@kstu-kai.ru, сайг http://www.kai.ru).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан 21 октября 2010 г.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Черников Сергей Константинович

Ученый секретарь диссертационного совета

Снигирев В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Определяющим требованием при создании новых образцов авиационной и космической техники является обеспечение достаточной прочности, жесткости и устойчивости элементов конструкций при минимальном их весе. Этому требованию наиболее полно отвечают слоистые элементы конструкций, изготовленные как из традиционных, так и композиционных материалов. Композиционные материалы, обладающие наиболее высокой удельной прочностью, находят всё более широкое применение в конструкциях современных летательных аппаратов, в том числе и при изготовлении несущих силовых агрегатов. Качественные отличия композитов от традиционных материалов и, в частности, анизотропия свойств, слоистость структуры, многовариантность сочетаний различных физико-механических свойств несущих слоев и заполнителя приводят к необходимости разработки новых математических моделей для описания механики деформирования, методов расчета и проектирования силовых конструкций, учитывающих специфические особенности материала.

Созданные к настоящему времени теории слоистых элементов конструкций характеризуются большим разнообразием построенных вариантов математических моделей и разрешающих уравнений. При этом каждый из таких вариантов разработанных теорий имеет свою, достаточно узкую область применения, поскольку они базируются на таких гипотезах и предположениях, которые с приемлемой точностью отражают лишь те или иные особенности многообразия структуры пакета слоев, геометрии и условий нагружения элементов конструкций. Поэтому построение универсальной уточненной математической модели и разработка на ее основе алгоритмов численных исследований статики, устойчивости и свободных колебаний слоистых элементов конструкций представляются весьма актуальными.

Цель работы: развитие теории и методов численного анализа для повышения точности и достоверности исследований устойчивости и свободных колебаний слоистых элементов конструкций.

Задачи исследований:

1. Построение универсальной уточненной математической модели для исследования статики, устойчивости и свободных колебаний оболочек слоистой структуры, основанной на использовании модели С.П. Тимошенко с учетом поперечного обжатия для каждого слоя пакета.

2. Редукция построенных двумерных разрешающих уравнений теории многослойных оболочек к одномерным соотношениям для исследования механики деформирования плоских криволинейных стержней слоистой структуры.

3. Разработка численных алгоритмов решения одномерных задач статики, устойчивости и свободных колебаний элементов конструкций слоистой структуры.

4. Численное исследование частот и форм свободных колебаний (ФСК) слоистых элементов конструкций рассматриваемого класса, оценка погрешности, вносимой использованием приближенных моделей для слоев заполнителя и линейного характера распределения напряжений и деформаций по его толщине;

5. Численное исследование качества нелинейных уравнений теории упругости в квадратичном приближении, обусловленное предложенным В.Н. Паймушиным корректным и непротиворечивым вариантом этих уравнений, на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры.

Научная новизна работы состоит в построении нового варианта геометрически нелинейной теории многослойных оболочек; редукции построенного комплекса разрешающих соотношений для решения одномерных задач статики, свободных колебаний и устойчивости слоистых стержней; разработке численных алгоритмов и программного обеспечения решения рассматриваемых задач; численном исследовании качества нелинейных уравнений теории упругости на одномерных задачах устойчивости элементов конструкций рассматриваемого класса; решении ряда новых задач по исследованию свободных колебаний и устойчивости элементов конструкций слоистой структуры.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

1. Уточненная дискретно-структурная модель описания механики геометрически нелинейного деформирования многослойных оболочек с использованием трансверсально-жесткой модели для слоев пакета и комплекс разрешающих уравнений, построенных на ее основе для исследования статики, свободных колебаний и устойчивости элементов конструкций рассматриваемого класса.

2. Редуцированный одномерный вариант разрешающих соотношений для исследования статики, свободных колебаний и устойчивости многослойных плоских криволинейных стержней, бесконечно широких пластин и бесконечно длинных цилиндрических оболочек произвольного поперечного сечения.

3. Алгоритм численного решения одномерных задач рассматриваемого класса с использованием аппарата дифференцирующих матриц.

4. Результаты численных исследований спектра свободных колебаний рассматриваемых элементов слоистой структуры, оценки погрешностей в определении частот и ФСК, вносимых использованием приближенных моделей для заполнителя и линейным характером аппроксимации компонентов перемещений, деформации и напряжений по его толщине.

5. Результаты численных исследований качества нелинейных уравнений на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры, уделяя особое внимание недостаточно изученным к настоящему времени смешанным формам потери устойчивости (ФПУ).

Практическая ценность состоит в том, что разработанные методики и созданные на их основе пакеты прикладных программ могут быть использованы в проектных конструкторских организациях при создании образцов новой техники.

Достоверность результатов работы обеспечивается корректной математической постановкой задачи, анализом результатов расчета с точки зрения их физической достоверности, сопоставлением результатов с решениями, полученными аналитически и с использованием метода конечных элементов и программного продукта «ANSYS».

Личный вклад соискателя. Автору принадлежит вывод основных разрешающих соотношений предлагаемых вариантов теории, разработка численных методик, алгоритмов и пакетов прикладных программ решения задач, проведение расчетов и анализ результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на второй международной научной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (г.Казань, 2009), 8-ой международной конференции «Авиация и космонавтика - 2009» (г.Москва, 2009), Всероссийских молодежных научных конференциях «XVI, XVII Туполевские чтения» (г.Казань, 2008,2009), XX и XXI Всероссийских научно-технических конференциях «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий» (г.Казань, 2008,2009).

Публикации. По материалам исследований диссертации опубликовано 10 научных работ, в том числе 3 статьи и 7 тезисов докладов.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 151 страницах, включая 4 таблицы, 33 рисунка и список литературы из 222 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дан анализ современного состояния исследуемой проблемы, обоснованы актуальность и практическая ценность диссертации, сформулированы цель и задачи работы, ее научная новизна и основные научные положения, выносимые на защиту.

Отмечено, что за последние пятьдесят лет в механике деформируемого твердого тела сложилось отдельное направление, связанное с разработкой теории стержней, пластин и оболочек слоистой структуры. Большую роль в её становлении - сыграли основополагающие работы А.Я. Александрова, С.А. Амбарцумяна, В.В. Болотина, Э.И. Григолюка, JI,M. Куршина, Х.М. Муштари, А.П. Прусакова и ряда других отечественных ученых, а также исследования H.G. Allen, R.E. Fulton, J.N. Goodier, N.J. Hoff, E.W. Kuenzi, C. Libove и S.B.

BatdorÇ J.N. Pagano, F.J. Plantema, E. Reissner, P. Seide, Y. Stavsky, M, Stein , J.M. Whitney и других зарубежных авторов.

К настоящему времени разработке методов расчета элементов конструкций слоистой структуры, связанных с формулировкой тех или иных гипотез, построением математических моделей и разрешающих уравнений, их качественным анализом, а также созданием на их основе методов решения конкретных задач или задач отдельных классов, посвящены фундаментальные исследования А.Я. Александрова, С.А. Амбариумяна, В.В. Болотина, Л.Э. Брюккера, Н.К. Галимова, А.И. Голованова, Я.М. Григоренко, Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, В.Н. Кобелева, JI.M. Куртина, Х.М. Муштари, Ю.Н. Новичкова, Ю.В. Немировского, В.Н. Паймушина, Б.Л. Пелеха, В.В. Пикуля, А.П. Прусакова, А.В.Саченкова, П.П. Чулкова, К. Bashkar, C.W. Bert, W.S. Burton, E. Carrera, E. Cho, M. Di Scuiva, Y. Frostig, M. Кагата, T. Kant, R.K. Kapania, L. Librescu, K.H. Lo, R.D. Mindlin, H. Murakami, M.V.V. Murthy, A.K. Noor, J.N.Pagano, F.J.Plantema, M.S. Qatu, J.N. Reddy, E. Reissner, R. Schmidt, P. Seide, R.L. Sierakowski, G.J. Simitses, K.P. Soldâtes, M. Stein, M.Touratier, S.W. Tsai, J.R. Vinson, J.M. Whitney, P.B. Xavier, J.Q. Ye, D. Zenkert и других отечественных и зарубежных авторов. Обстоятельные обзоры по этим , исследованиям содержатся в работах А.Я. Александрова и J1.M. Кур шин а. H.A. Алумяэ, А.Н. Андреева и Ю.В. Немировского, К.З. Галимова, Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана, JI.M. Куршина, В.В. Пикуля, В.Г. Пискунова и В.Е. Вериженко, И.Н. Преображенского, Н. Altenbach, C.W. Bert, E. Carrera, Y.M. Ghugal и R.P. Shimpi, L.M. Habip, H. Ни и др., N. Jaunky и N.F. Knight, P.K. Kapania, A.W. Leissa, K.M. Liew и др., D. Liu и X. Li, H. Matsunaga, A.K. Noor, W.S. Burton, A.K. Noor, W.S. Burton и C.W. Bert, A.K. Noor, W.S. Burton и J.M. Peters, M.S. Qatu, J.N. Reddy, G.J. Simitses, V. Skvortsov и др., W. Soedel, K.P. Soldâtes, Т.К. Varadan и К. Bhaskar, W. Zhen и С. Wanji и др.

В обзорах Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана, A.A. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова, Y.M. Ghughal и R.P. Shimpi, K.M. Liew и др., D. Liu и X. Li, A.K. Noor, W.S. Burton, C.W. Bert, J.N. Reddy указано, что существует два основных направления построения вариантов теории слоистых конструкций.

В соответствии с первым из них разрешающие уравнения строятся на основе гипотез, привлекаемых ко всему пакету слоев в целом. Это, так называемые, непрерывно-структурные теории, порядок системы разрешающих уравнений при этом не зависит от числа слоев, что весьма существенно для многослойных конструкций из композиционных материалов. К данному направлению, в частности, следует отнести соотношения вариантов теории, основанные на привлечении к пакету слоев сдвиговой модели С.П.Тимошенко без учета поперечного обжатия, а также более сложных законов изменения компонентов перемещений, деформаций и напряжений по толщине пакета, что нашло отражение в исследованиях A.L. Gol'denveizer, H.Hencky, T.Kant,

M.Levinson, S.J.Medwadowski, R.D.Mindlin, M.V.V. Murthy, J.N.Pagano, J.N.Reddy, E.Reissner, J.M. Whitney, Y. Stavsky и других авторов.

Ко второму направлению относятся исследования, в которых применяются кинематические и статические гипотезы для каждого отдельного слоя пакета, при этом порядок системы разрешающих уравнений зависит от числа слоев пакета, что существенно усложняет решение задач. Теории этого направления - дискретно-структурные и позволяют с высокой степенью точности описывать как общее НДС конструкции, так и локальные эффекты в слоях пакета.

В становлении указанного второго направления исследований особую роль сыграли работы Э.И.Григолюка, им была сформулирована кинематическая модель „ ломаной " линии, согласно которой к внешним слоям трехслойного пакета привлекаются гипотезы Кирхгофа-Лява, а к заполнителю - гипотеза о постоянстве по его толщине поперечных сдвигов. Более сложные законы изменения тангенциальных и нормальных перемещений по толщине слоев пакета по сравнению с моделью ломаной линии при разработке уточненных вариантов теории многослойных пластин и оболочек были предложены в работах Н.К. Галимова, Х.М. Муштари, В.Н. Паймушина, А.П. Прусакова, М. Кагата, Е. Carrera, M. Cho и R.R. Pamierter, M. Di Scuiva, L.L. Durocher и R. Solecki, Y. Frostig, M. Кагата, H. Murakami, Т.К. Varadan и К. Bhaskar, J.M. Whitney, P.B. Xavier и других авторов.

Приоритетными в исследованиях свободных колебаний и устойчивости слоистых элементов конструкций являются вопросы, связанные с выявлением всех возможных ФСК и ФПУ и соответствующих им частот свободных колебаний и критических нагрузок. Этому требованию наиболее полно отвечают теории слоистых структур, базирующиеся на использовании дискретно-структурных моделей. Однако, в рамках этого направления основные разрешающие уравнения для слоистых элементов конструкций становятся настолько сложными и громоздкими, что вызывает естественное стремление к их возможному упрощению и, в частности, использованию упрощенных моделей для описания механики деформирования слоев в соответствии с классификацией В.В.Болотина, в зависимости от преобладающих компонентов деформации: абсолютно жесткий, жесткий, трансверсально-жесткий, мягкий, трансверсально-мягкий слой. При исследовании устойчивости это стремление приводит также к различного рода упрощениям характера докритического состояния слоев пакета и построению соответствующих им упрощенным вариантом теории. В силу этих упрощений указанные варианты разрешающих уравнений для исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых элементов конструкций имеют существенные ограничения по пределам их применимости.

Особое место в решении проблем устойчивости занимают исследования В.Н. Паймушина, предшествующие данной диссертационной работе. В них-

показано, что кинематические соотношения нелинейной теории упругости

B.В.Новожилова, построенные в квадратичном приближении, некорректны, и приводят к появлению ложных точек бифуркации при решении конкретных задач устойчивости элементов конструкций. Результатом этих исследований явилось построение соответствующего непротиворечивого варианта кинематических соотношений нелинейной теории упругости и их применение для построения корректных уточненных уравнений устойчивости стержней пластин и оболочек. Следует отметить, что исследование качества этих уравнений осуществлено аналитически на решении лишь некоторых модельных задач.

Первая глава посвящена построению основных соотношений геометрически нелинейной теории оболочек слоистой структуры в соответствии с вводными замечаниями п. 1.1. Для вывода разрешающей системы уравнений, описывающих механику деформирования рассматриваемых упругих систем, используется кинематическая модель

C.П. Тимошенко с учетом поперечного обжатия для каждого слоя пакета.

В п. 1.2 дана постановка задачи, сформулированы основные гипотезы и допущения, используемые при выводе соотношений.

Рассматривается упругая деформируемая система, представляющая собой многослойную оболочку с п слоями постоянной толщины (рис.1).

Предполагается, что слои оболочки толщиной

(к = 1, п) тонкие и удовлетворяют условиям \2й"' / 1\

1, где Ь -характерный линейный размер оболочки. В качестве координатной поверхности выбирается нижняя лицевая поверхность оболочки <т, отнесенная к линиям кривизны. Пусть о:,,«,- ортогональные гауссовые координаты на сг; А, ,к1 (г = 1,2) — параметры Ламе и главные кривизны на <7. Вводится также триортогональная система криволинейных координат а],а2,г*'к\ (к = 1,«),нормально связанная со срединными поверхностями слоев оболочки а{к). Принимаются обозначения - параметры Ламе и главные

кривизны на <Т(к); Н\к) = + 2(к)к(.к)) —параметры Ламе в произвольной

точке к-ого слоя на растоянии 2(к) от о(к), отсчитываемом в направлении единичной нормали т<к) к сг**'; в\к) —единичные векторы касательных к 0(к\ составляющих с векторами Ш(к' правосторонние базисы (рис.1). При этом = е,, т(к) = т в силу постоянства толщин слоев оболочки (к = 1 ,п) и эквидистантности срединных поверхностей сг(А). Так как слои тонкие, с точностью 1 + 2{к)к{1к) ~ 1 считается Н{к) ~ Л[к\ но учитывается изменение метрики при переходе от слоя к слою пакета:

Д(*> = А,011\к™ = А-,. /= 1 + к(Н(к\1 = 1,2,

где Н(к) —расстояния от координатной поверхности сг до срединных поверхностей слоев оболочки <7<к >.

Предполагается, что граничные срезы незамкнутой слоистой оболочки ограничены координатными линиями aj — а~,а* на поверхности 0".

В качестве внешнего нагружения рассматривается поверхностная нагрузка на лицевые поверхности пакета, контурная нагрузка, приложенная к граничным срезам слоев оболочки, и стационарное температурное поле

Полагается, что материал слоев ортотропный и оси его упругой симметрии совпадают с координатными линиями на <7 .

Предполагается также, что слои оболочки деформируются без взаимного отрыва и проскальзывания.

В п. 1.3 приведены кинематические соотношения, исходя из принятой аппроксимации компонентов перемещений для А:-го слоя оболочки

и™ = (й™ + <*>)<;, + + 2(к)у(к))т, к = йй, . (1) соответствующей уточненной модели С.П.Тимощенко с учетом поперечного обжатия. Линейной аппроксимации деформаций по оси 2(к)соответствуют следующие кинематические соотношения для слоев пакета - Ен +2 А.,.,. , у 12 ~ ¿¿п + 12 '

м _ (к), /к) „ 9 (*> , 1п(к) (к) -уо

63 - 633 ' /13 ~ -¿£13 + ^ К\1 > ''А

где для компонентов нелинейной деформации в полном квадратичном приближении имеют место выражения:

+ + +<2)/ 2, Ц;

2*<? == 2е% = (1 + е%)е\? + (1 + +

2е{? = 26™ = (1 + + О + + \ В

= а\\} + е^п^ + <>П<*> + е{*>П<*>; и; (3),

■ 2 л£> = 2 к™ = (1 + + (1 + + +

2 к™ = + Г{кЧкз + гГ^н + Г^^Г^и.

Как уже было отмечено во введении, В.Н. Паймушиным построены корректные и непротиворечивые геометрически нелинейные уравнения теории тонких оболочек, которые отличаются от (3) отсутствием подчеркнутых слагаемых.

Исходя из условий сопряжения слоев оболочки по перемещениям • 0<'\г<1> = = = (4)

компоненты перемещений точек срединных поверхностей й^^й'^'и углов поворотов /¡к\у(к)слоев (1) выражаются через компоненты перемещений лицевых поверхностей оболочки и поверхностей контакта слоев: й.(к) = (и<1+1> + / 2; й(к) = (М'<Ы) + 12; ут = (и(*+1) _ „(*>) / 2Й(*>; г (« = (и,сь1) _ ^а)) / 2А<» * = ^ {5)

выбранные в качестве искомых функций задачи.

В п. 1.4, исходя из вариационного принципа Лагранжа 511 - 8 А = 0, построена система нелинейных дифференциальных уравнений равновесия с общим порядком 3(и+1) и соответствующих им естественных граничных условий на кромках слоев оболочки при аг( = а~,а*,1 — 1,2.

Полагая, что материал слоев оболочки линейно упругий и ортотропный, в п. 1.5 построены соотношения упругости для слоев оболочки с учетом воздействия стационарного температурного поля с линейной аппроксимацией по толщине каждого слоя

^(а^У10) = + г^) / 2 + - 1[к)) / 2А<1) (6)

В п. 1.6, в соответствии с нелинейными соотношениями (3), построены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия для исследования устойчивости рассматриваемых деформируемых систем.

Классификации и упрощению математических моделей для описания механики деформирования мягких слоев (заполнителя) в оболочках слоистой структуры посвящен п. 1.7.

Во второй главе диссертации осуществлена редукция двумерных соотношений теории многослойных оболочек, построенных в главе 1, к

одномерным уравнениям для исследования механики деформирования плоских криволинейных стержней слоистой структуры согласно вводным замечаниям п.2.1.

В п.2.2 построены системы разрешающих уравнений для случая плоской деформации криволинейных слоистых стержней.

Рассматривается упругая деформируемая система, представляющая собой многослойный плоский криволинейный стержень с п ортотропными слоями постоянной толщины (рис.2).

Аналогично предыдущему, вводится система криволинейных координат а1,а2, = 1 нормально связанная со срединными поверхностями

(*)

слоев стержня <7 , причем координата а2 направляется перпендикулярно

плоскости стержня. По-прежнему, обозначены А-к\к^к) — параметры Ламе и

кривизны срединных поверхностей слоев причем пренебрегается

изменением метрики по толщине каждого слоя, но учитывается ее изменение при переходе от слоя к слою.

Построенная в первой главе система разрешающих соотношений, описывающая механику деформирования слоистых оболочек и состоящая из уравнений равновесия, соотношений упругости, кинематических соотношений (2),(3), кинематических условий сопряжения слоев пакета (4), (5) и граничных условий, допускает значительные упрощения для случая плоского деформирования рассматриваемых стержней слоистой структуры. В этом случае следует учесть, что производные по а2 от всех входящих в указанные выше соотношения компонентов перемещений, деформации, напряжений, внутренних усилий и моментов в слоях пакета равны нулю, а также положить

к2\ = О, А$= о, 4л1 = о, <=0, -

— Т^1 з)=0, к = \,П. Исходя из двумерных соотношений главы ], для плоского деформирования рассматриваемых слоистых стержней получена система одномерных разрешающих соотношений.

Так для описания механики деформирования каждого слоя стержня векторы их упругих перемещений представляются в виде разложений

= (й<*> + + (*<*> + 2(к)г{к])т = (7)

которым соответствуют выражения для компонентов деформации в принятом выше приближении

1 -«11 , /13 - *13 > £ъ - £3) '

где в рамках использования классических кинематических соотношений геометрически нелинейной теории упругости имеют место выражения для случая плоской деформации стержня

^ .+ (#+.2; ^ + г!*)/2;

из которых при отбрасывании подчеркнутых слагаемых, по-прежнему, следуют выражения, соответствующие использованию непротиворечивых кинематических соотношений В.Н. Паймушина в квадратичном приближении.

Исходя Из вариационного принципа Лагранжа, построена система нелинейных дифференциальных уравнений равновесия с общим порядком 2(и+1) и соответствующих им естественных граничных условий.

Следует отметить, что рассматриваемая математическая модель, в известной мере, может служить также расчетной схемой для исследования механики деформирования слоистых бесконечно широких пластин и бесконечно длинных цилиндрических оболочек произвольного поперечного сечения. Для расширения класса решаемых задач на основе предложенной математической модели полагается также, что слои пакета могут иметь

различную ширину Ь(к) ,к = 1 ,п.

В п.2.3 построен геометрически линейный вариант соотношений для исследования напряженно-деформированного состояния и свободных колебаний стержней слоистой структуры.

В п.2.4 построены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия для исследования устойчивости рассматриваемых деформируемых систем, записанные через обобщенные усилия и моменты

5(*) = + ТЩГ(Ь). +

= тм + Г]0(*у*) + + ;

дгМ _ -г« , ТЧ*Ш . + м0<*)О(*) ■

= т^ + г* цю + КМ

= -м}? + МЦк)г(к] + М^0?\к), к = 1,п,

в которых усилия Т^^КТ^ и моменты к = \,п,

описывающие докритическое состояние слоев пакета, являются параметрами, характеризующими критическое значение внешней нагрузки для рассматриваемых слоистых элементов конструкций.

Третья глава посвящена разработке численного метода и алгоритма исследования статического деформирования и свободных колебаний элементов конструкций слоистой структуры в соответствии с вводными замечаниями п.3.1. Для численного решения полученных дифференциальных уравнений используется аппарат дифференцирующих матриц, в соответствии с которым вычисление обыкновенных производных ¿Р/с1х, й~р\йх~ от функций Р(х), заданных таблично в расчетных узлах / = 1 ,пг интервала осуществляется с помощью матричных операторов

где {Е},{с1Р/с1х},{с12Р/с1х2} -столбцы порядка т значений функции Р(х)

и её производных в расчетных узлах интервала; ~ дифференциру-

ющие матрицы первого и второго рода порядка т. Процедура его применение весьма проста и заключается лишь в замене дифференциальных операторов матричными.

В п.3.2 построен матричный аналог разрешающих уравнений для рассматриваемых слоистых стержней, который приводит к замкнутой системе линейных алгебраических уравнений вида

[А]{Х) = {Б} (12)

порядка 2{п +1) х тп квазитрехдиагональной структуры относительно столбца неизвестных узловых значений компонентов перемещений {X} = ^ = 1,и +1, определение которого и доставляет

решение задачи статического деформирования слоистых стержней.

Система алгебраических уравнений для исследования свободных колебаний слоистого стержня имеет вид

([А]-<у2ГМ]){Х} = 0, . (13)

где

диагональная матрица масс слоев стержня. Решение этой однородной системы алгебраических уравнений позволяет определить спектр

частот и соответствующих им форм свободных колебаний исследуемых деформируемых систем.

В п.3.3 проведено исследование сходимости разработанного алгоритма численного решения и достоверности результатов, полученных на его основе.

Нетрудно видеть, что использование разложений (7) с последующим выбором искомых функций в виде (5) представляет собой дифференциальную форму метода конечных элементов для решения плоской задачи теории упругости и существенно расширяет область применения предложенной уточненной модели. Численному исследованию классических и неклассических форм свободных колебаний элементов конструкций однородной структуры посвящен п.3.4. В частности, осуществлено численное решение задач о плоских формах свободных колебаний однородных пластин и обсуждаются вопросы классификации возможных плоских ФСК рассматриваемых элементов конструкций.

Рассмотрены также свободные колебания однородных стержневых элементов конструкций с выявлением и более тщательным анализом продольно-поперечных форм колебаний. Практический интерес к продольно-поперечным ФСК объясняется тем обстоятельством, что для слоистых стержневых элементов конструкций с чередующимися жесткими и мягкими слоями они трансформируются в антифазные изгибные формы колебаний несущих слоев.

В п.3.5 представлены результаты численных исследований свободных колебаний элементов конструкций слоистой структуры и обсуждаются вопросы классификации их ФСК. В качестве иллюстрации представлены частоты и ФСК низших тонов трехслойного стержня (рис.3) и трехслойного кольца (рис.4)

га4= 1720,1 Гц

Рис. 3

с симметричным строением пакета по толщине.

о», = 110.5 Гц (.),= 261.0 Гц (.),= 395,1 Гц

«>¿ = 420,3 Гц ш< =437,1 Гц а« = 472.5Гц

Относительная толщина стержня Н/Ь = 1/10, кольца (Л- г0)/Я = 1/3, относительная толщина несущих слоев стержня 2к'Н= 1/20, кольца 2И/(К- г0) = 1/5, отношение модулей упругости и плотности несущих слоев и заполнителя

Представленные результаты свидетельствуют о том, что наряду с классическими синфазными изгибными ФСК несущих слоев: тона (1,2,7) (рис.3); тона 1,2,4 (рис.4) имеют место неклассические антифазные изгибные ФСК: тона 4,5,6 (рис.3); тона 5,6 (рис.4), которые обнаруживаются лишь при учете поперечного обжатия заполнителя. Отметим, что третья ФСК колебаний (рис.3,4) совершается в виде движения несущих слоев как абсолютно твердых тел за счет обжатия (рис.3) и сдвига (рис.4) заполнителя. Следует отметить, что выявленные антифазные изгибные колебания представляются наиболее опасными для подобных слоистых структур, так как они происходят в направлении их наименьшей прочности и могут привести к расслоениям и, в конечном итоге, к потере несущей способности элементов конструкций.

Представлены также численные исследования по оценке погрешности, вносимой линейным характером аппроксимации компонентов перемещений заполнителя по его поперечной координате. Показано, что уточнение характера деформации заполнителя вызывает как качественное изменение спектра свободных колебаний, так и значительное (до 45%) понижение частот свободных колебаний, особенно в высокочастотной части спектра.

Показано также, что существенная погрешность в определение ФСК и частот трехслойных элементов конструкций вносится использованием приближенных моделей заполнителя и, в частности, модели трансверсально-мягкого слоя при увеличении относительной толщины заполнителя 2/?3/1.

Четвертая глава посвящена численному исследованию устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры согласно вводным замечаниям п.4.1.

Еи1Е3 = \&\ри1 Рз=Ю2.

В п.4.2 представлен матричный аналог разрешающих соотношений в рамках использования аппарата дифференцирующих матриц для построения численного решения рассматриваемых задач. В результате сформирована замкнутая система однородных алгебраических уравнений вида

([А]-А[А°]){Х} = 0, (14)

где [А0] - матрица докритических усилий и моментов в слоях стержня, определяемая выражениями (10) для обобщенных усилий и моментов. Решение системы (14) доставляет собственные значения и векторы, характеризующие критические значения внешней нагрузки и соответствующие им формы потери устойчивости.

П.4.3 посвящен численному исследованию качества исходных нелинейных соотношений теории упругости на задачах устойчивости рассматриваемых элементов конструкций. В качестве иллюстрации на рис.5 представлены ФПУ и значения критических нагрузок, обусловленных потерей устойчивости нижнего несущего слоя, для консольного трехслойного стержня в условиях поперечного изгиба, полученных с использованием вариантов классических В.В.Новожилова и непротиворечивых В.Н.Паймушина (в скобках) соотношений.

2к<3>

/>ч,= 0,523-!07 Па (0,401-107 Па)

сЫ

Рис.5

Показано, что использование классических соотношений, на которых базируются современные программные продукты «АЫБУБ», «ЫА8Т11АЫ» и др., зачастую приводит к существенной (до 30%) погрешности в определении критических нагрузок потери устойчивости элементов конструкций.

Численному решению некоторых нетрадиционных задач устойчивости элементов конструкций слоистой структуры посвящен п.4.4, где особое внимание уделено наименее исследованным к настоящему времени смешанным ФПУ. На рис.6 представлены результаты исследования устойчивости трехслойной арки несимметричного по толщине строения под действием комбинированной нагрузки, действующей на обеих лицевых поверхностях пакета.

р ъ Рх„= 0,589-107 Па

В рассматриваемом случае нагружения арки реализуется изгибная ФПУ наружного несущего слоя.

Результаты, представленные в заключительном разделе главы, свидетельствуют о многообразии ФПУ слоистых деформируемых систем и необходимости тщательного выбора расчетных моделей для достоверного исследования устойчивости рассматриваемых элементов конструкций.

Заключение

1. Предложена уточненная дискретно-структурная модель для описания механики геометрически нелинейного деформирования оболочек слоистой структуры. Построен комплекс разрешающих соотношений для исследования статики, свободных колебаний и устойчивости • многослойных оболочек с использованием модели С.П. Тимошенко с учетом поперечного обжатия для слоев пакета.

2. Осуществлена редукция построенных двумерных соотношений для решения одномерных задач статики, устойчивости и свободных колебаний многослойных плоских криволинейных стержней, бесконечно широких пластин и бесконечно длинных цилиндрических оболочек произвольного поперечного сечения.

3. Разработан алгоритм численного решения сформулированных одномерных задач для рассматриваемых слоистых структур, выполненных из однородных и композиционных материалов. Он основан на использовании аппарата дифференцирующих матриц, построенных с использованием кубической сплайн-аппроксимации.

4. Осуществлены численные исследования форм и частот свободных колебаний элементов слоистой структуры, полноты и качества спектра свободных колебаний однородных, трехслойных и многослойных элементов конструкций. Показано, что использование приближенных моделей для описания механики деформирования слоев заполнителя и линейной аппроксимации компонентов перемещений, деформации и напряжений по толщине заполнителя приводит к существенным погрешностям в определении частот и форм свободных колебаний для широкого спектра элементов конструкций рассматриваемого класса.

5. Проведено численное исследование качества нелинейных уравнений теории упругости на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры. Установлено, что использование предложенного В.Н. Паймушиным непротиворечивого варианта теории позволяет существенно уточнить значения критической нагрузки для широкого спектра задач рассматриваемого класса.

6. С помощью разработанного пакета прикладных программ решен ряд новых практически важных задач по исследованию устойчивости и свободных колебаний элементов конструкций слоистой структуры. Разработанные методы

решения задач и созданные на их основе пакеты прикладных программ рекомендованы для внедрения в расчетную практику организаций, занимающихся разработкой и проектированием образцов новой техники.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

В научных журналах, рекомендованных ВАК:

1. Фирсов В.А., Гюнал И.Ш., Селин И.С. Уточненная модель механики деформирования слоистых композитных стержней. Изв.вузов. Авиационная техника, 2009, №3, С.9-11.

2. Паймушин В.Н., Гюнал И.Ш, Луканкин С.А., Фирсов В.А. Исследование качества нелинейных уравнений теории упругости на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры (постановка задачи). Изв. вузов. Авиационная техника, 2010, №2, С.34-37.

3. Паймушин В.Н., Гюнал И.Ш, Луканкин С.А., Фирсов В.А. Исследование качества нелинейных уравнений теории упругости на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры (алгоритм и результаты численного исследования). Изв.вузов. Авиационная техника, 2010, №3, С. 16-19.

В материалах научных конференций:

4. Гюнал И.Ш. Уточненная модель механики деформирования композитных стержней. XVI Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция. Труды конференции. Том I. Казань: изд-во Казан, гос. техн.ун-та,

2008, С.42-44.

5. Гюнал И.Ш. К исследованию устойчивости слоистых композитных стержней. XVII Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция. Труды конферешиш. Том1. Казань: изд-во Казан, гос. техн. ун-та,

2009, С.29-30.

6. Гюнал И.Ш. Уточненная модель исследования устойчивости и колебаний слоистых композитных стержней. 8-я Международная конференция „Авиация и космонавтика - 2009". Тезисы докладов.М: изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009, С.48-49.

7. Гюнал И.Ш., Фирсов В.А. Численные исследования неклассических форм свободных колебаний слоистых элементов конструкций. Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Труды Второй международной конференции. Казань: Казан, гос. ун-т, 2009, С.150-152.

8. Фирсов В.А., Гюнал И.Ш., Селин И.С. Статика и свободные колебания слоистых композитных стержней. Сб. материалов XX Всероссийской межвузовской НТК „Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий". Часть 1. Казань: изд-во „Отечество", 2008, С.348-350.

9. Паймуншн В.Н., Гюнал И.Ш., Фирсов В.А. О влиянии параметров докритического напряженного состояния на оценку устойчивости слоистых композитных стержней. Сб. материалов XXI Всероссийской межвузовской НТК „Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий". Часть 1. Казань: изд-во „Отечество", 2009, С. 414-416.

10. Фирсов В.А., Гюнал И.Ш., Селин И.С. Уточненная модель исследования устойчивости слоистых композитных стержней. Сб. материалов XXI Всероссийской межвузовской НТК „Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий". Часть1. Казань: изд-во „Отечество", 2009, С.418-420.

Автор выражает благодарность д.ф-м.н., профессору В.Н. Паймушину за научные консультации и внимание к работе.

Автор благодарен компании «Уопса-Опик IV.» (г.СтамбулДурция) за финансовую поддержку обучения в аспирантуре.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (фант 09-01-00323-а) и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (гос. контракт № 0.740.11.0205 от 7 июля 2009 г.).

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Печ. л. 1,25. Усл. печ. л. 1,16. Уч. изд. л. 1,18. _Тираж 100. Заказ Н191._

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111, Казань, К. Маркса, 10

ВВЕДЕНИЕ.

1. УТОЧНЕННАЯ МОДЕЛЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ.

1.1. Вводные замечания.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Кинематические соотношения.

1.4. Вариационное уравнение и вывод основных разрешающих соотношений.

1.5. Соотношения упругости.

1.6. Линеризованные уравнения нейтрального равновесия.

1.7. Классификация моделей заполнителя.

2. РЕДУКЦИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК К ОДНОМЕРНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ.

2.1. Вводные замечания.

2.2. Система разрешающих уравнений* для случая плоской деформации криволинейных слоистых стержней.

2.3. Соотношения линейной теории для исследования НДС и свободных колебаний стержней слоистой структуры.

2.4. Разрешающие соотношения для исследования устойчивости и собственных колебаний слоистых стержней.

3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НДС И СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЕЙ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ.

3.1. Вводные замечания.

3.2. Численный алгоритм решения задачи и матричный аналог разрешающих уравнений.

3.3. Исследование сходимости численного метода и достоверности результатов.

3.4. Численное исследование свободных колебаний однородных элементов конструкций.

3.5. Исследование классических и неклассических форм свободных колебаний слоистых элементов конструкций.

4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКИХ

КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ.

4.1. Вводные замечания.

4.2. Численный алгоритм решения задачи и матричный аналог разрешающих уравнений.

4.3. Исследования качества нелинейных уравнений на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры.

4.4. Решение некоторых нетрадиционных задач устойчивости стержневых элементов конструкций.

Определяющим требованием'при создании новых образцов авиационной и космической техники является обеспечение достаточной прочности, жесткости и устойчивости при минимальном весе конструкции. Этому требованию наиболее полно отвечают слоистые элементы конструкций, изготовленные как из традиционных, так и композиционных материалов. Композиционные материалы, обладающие наиболее высокой удельной прочностью, находят всё более широкое применение в конструкциях современных летательных аппаратов (их доля достигает 50% и более процентов веса конструкции), в том числе и при изготовлении несущих силовых агрегатов. Качественные отличия композитов от традиционных материалов и, в частности, анизотропия свойств, слоистая структура, многовариантность сочетаний различных физико-механических свойств несущих слоев и заполнителя приводят к необходимости разработки новых математических моделей для описания механики деформирования, методов расчета и проектирования силовых конструкций, учитывающих специфические особенности материала.

В результате за последние пятьдесят лет в механике деформируемого твердого тела сложилось отдельное направление, связанное с разработкой теории стержней, пластин и оболочек слоистой структуры. Большую роль в её становлении сыграли основополагающие работы А.Я. Александрова [2], С.А. Амбарцумяна [6], В.В. Болотина [11,], Э.И. Григолюка [22,23], JI.M. Куршина [44,45], Х.М. Муштари [48-50], А.П. Прусакова [99,100] и ряда других отечественных ученых, а также исследования H.G. Allen [107], R.E. Fulton [125], J.N. Goodier [128], N.J. Hoff [132], E.W. Kuenzi [143], C. Libove и S.B. Batdorf [149], J.N. Pagano [170], F.J. Plantema [166], E. Reissner [187,188], P. Seide [193], Y. Stavsky [201], M. Stein [202],'J.M. Whitney [214] и других зарубежных авторов.

К настоящему времени разработке методов расчета элементов конструкций слоистой структуры, связанных с формулировкой тех или иных гипотез, построением математических моделей и разрешающих уравнений, их качественным анализом, а также созданием на их основе методов решения конкретных задач или задач отдельных классов, посвящены фундаментальные исследования А.Я. Александрова, С.А. Амбарцумяна, В.В. Болотина, Л.Э. Брюккера, Н.К. Галимова, А.И. Голованова, Я.М. Григоренко, Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, В.Н. Кобелева, JI.M. Куршина, Х.М. Муштари, Ю.Н. Новичкова, Ю.В. Немировского, В.Н. Паймушина, Б.Л. Пелеха, В.В. Пикуля, А.П. Прусакова, А.В.Саченкова, П.П. Чулкова, К. Bashkar, C.W. Bert, W.S. Burton, E. Carrera, E. Cho, M. Di Scuiva, Y. Frostig, M. Karama, T. Kant, R.K. Kapania, L. Librescu, K.H. Lo, R.D. Mindlin, H. Murakami, M.V.V. Murthy,

A.K. Noor, J.N.Pagano, F.J.Plantema, M.S. Qatu, J.N. Reddy, E. Reissner, R. Schmidt, P. Seide, R.L. Sierakowski, G.J. Simitses, K.P. Soldatos, M. Stein, M.Touratier, S.W. Tsai, J.R. Vinson, J.M. Whitney, P.B. Xavier, J.Q. Ye, D. Zenkert и других отечественных и зарубежных авторов. Обстоятельные обзоры по этим исследованиям содержатся в работах А.Я. Александрова и JI.M. Куршина [3], Н.А. Алумяэ [5], А.Н. Андреева и Ю.В. Немировского [9], К.З. Галимова [17], Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [24], JI.M. Куршина [44],

B.В. Пикуля [96], В .Г. Пискунова и В.Е. Вериженко [97], И.Н. Преображенского [98], Н. Altenbach [108], C.W. Bert [112], Е. Carrera [114,115], Y.M. Ghugal и R.P. Shimpi [126], L.M. Habip [129], H. Ни и др. [133], N. Jaunky и N.F. Knight [134],-P.K. Kapania [138], A.W. Leissa [144,145], K.M. Liew и др. [152], D. Liu и X. Li [154], H. Matsunaga [157], A.K. Noor, W.S. Burton [166], A.K. Noor, W.S. Burton и C.W. Bert [167], A.K. Noor, W.S. Burton и J.M. Peters [168], M.S. Qatu [176], J.N. Reddy [181-185], G.J. Simitses [196], V. Skvortsov и др. [197], W. Soedel [198], K.P. Soldatos [200], Т.К. Varadan и К. Bhaskar [210], W. Zhen и С. Wanji [222].

В отличие от теории стержней, пластин и оболочек, выполненных из традиционных однородных материалов, созданные к настоящему времени теории слоистых элементов конструкций характеризуются большим разнообразием построенных вариантов математических моделей и разрешающих уравнений. Каждый из таких вариантов разработанных теорий имеет свою область применимости, поскольку они базируются на таких гипотезах и предположениях, которые с приемлемой степенью точности отражают лишь те или иные особенности из многообразия структуры пакета слоев элементов конструкций, особенности их геометрии и условий нагружен ия.

В обзорах Э.И. Григолюка и Ф.А. Когана [24], A.A. Дудченко, С.А. Лурье, И.Ф. Образцова [33], Y.M. Ghughal и R.P. Shimpi [126], K.M. Liew и др. [152], D. Liu и X. Li [154], A.K. Noor, W.S. Burton, C.W. Bert [167], J.N. Reddy [183,184] указаны основные пути построения и развития этих теорий. Наиболее ранний и простейший из них заключается в сведении трехмерных задач теории упругости к двумерным на основе гипотез Кирхгофа-Лява для всего пакета слоев в целом [109,110,118,170,201 и др.]. Он получил широкое распространение на практике и вполне корректен для тонких элементов конструкций, у которых жесткостные параметры материалов слоев отличаются незначительно. Однако применение этого варианта теории к расчету элементов конструкций, обладающих низкой сдвиговой й поперечной жесткостью слоев, может привести к значительным погрешностям. Поэтому за последние пятьдесят лет интенсивно развивались уточненные теории, учитывающие в слоях поперечные составляющие тензора деформаций.

Как отмечено в выше указанных обзорах [24,33,126,152,154, 167,183,184], существует два основных направления построения таких уточненных вариантов теории. В соответствии с первым из них разрешающие уравнения строятся на основе гипотез, привлекаемых ко всему пакету слоев в целом и отличных от гипотез Кирхгофа-Лява. Это, так называемые, непрерывно-структурные теории, порядок системы разрешающих уравнений при этом не зависит от числа слоев, что весьма существенно для многослойных конструкций из композиционных материалов.

К данному направлению, в частности, следует отнести соотношения теории, основанные на привлечении к пакету слоев сдвиговой модели С.П.Тимошенко без учета поперечного обжатия [127,130,158,159,170,173, 187,188,215,219 и др.]. В рамках данного направления основные разрешающие уравнения для слоистых структур принципиально не отличаются от соответствующих уравнений теории стержней, пластин и оболочек из однородных материалов. Только в этом случае основные уравнения содержат приведенные жесткости, учитывающие различия упругих характеристик слоев.

Данное направление характеризуется также и вариантами теории, базирующиеся на привлечении более сложных законов изменения компонентов перемещений, деформаций и напряжений по толщине пакета [9,121,137,142,146,147,161,162,163,173,179,189,192,199,208,213,216 и др.].

Ко второму направлению относятся исследования, в которых применяются кинематические и статические гипотезы для каждого отдельного слоя пакета, при этом порядок системы разрешающих уравнений зависит от числа слоев пакета, что существенно усложняет решение задач. Теории этого направления - дискретно-структурные и позволяют с высокой степенью точности описывать как общее НДС конструкции, так и локальные эффекты в слоях пакета.

В становлении указанного второго направления исследований особую роль сыграли работы Э.И.Григолюка. В [22,23] им была сформулирована кинематическая модель „ ломаной " линии, согласно которой к внешним слоям трехслойного пакета привлекаются гипотезы Кирхгофа-Лява, а к заполнителю - гипотеза о постоянстве по его толщине поперечных сдвигов. Последующие многочисленные исследования показали, что теория трехслойных оболочек, использующая гипотезу ломаной линии Э.И. Григолюка, имеет достаточно широкую область применения.

В подавляющем большинстве публикаций, посвященных развитию теории слоистых конструкций в рамках второго направления, приводятся соотношения, которые базируются на гипотезах Кирхгофа-Лява для несущих слоев и гипотезах, учитывающих влияние деформаций поперечных сдвигов в заполнителе. Учет влияния деформаций поперечного сдвига обычно производится на основе задания распределения тангенциальных перемещений по толщине заполнителя или на основе задания изменения касательных напряжений в заполнителе по его высоте [18,47,107,174 и др.].

Более сложные законы изменения тангенциальных и нормальных перемещений по толщине слоев пакета по сравнению с моделью ломаной линии при разработке уточненных вариантов теории многослойных пластин и оболочек были предложены в работах Н.К. Галимова [18], Х.М. Муштари [49], В.Н. Паймушина и др. [40,55], А.П. Прусакова [99,100], М. Кагата и др. [112], Е. Carrera [114,115], M. Cho и R.R. Parmerter [116], M. Di Scuiva [117], L.L. Durocher и R. Solecki [122], Y. Frostig [123,124], M. Кагата и др. [139], H. Murakami [160], Т.К. Varadan и К. Bhaskar [210], J.M. Whitney [214], P.B. Xavier и др. [217] и других авторов.

Следует отметить, что в рамках второго направления основные разрешающие уравнения для слоистых элементов конструкций становятся настолько сложными и громоздкими, что делает целесообразным использование упрощенных моделей для описания механики деформирования слоев заполнителя в соответствии с классификацией В.В.Болотина [12] в зависимости от преобладающих компонентов деформации: абсолютно жесткий, жесткий, трансверсально-жесткий, мягкий, трансверсально-мягкий заполнитель.

Приемлемость и пределы применимости всех используемых гипотез и допущений для исследования равновесия слоистых элементов конструкций к настоящему времени достаточно полно изучены [126,165-167,181-185] путем сопоставления и анализа уравнений и численных результатов, получаемых при решении задач различных классов по приближенным и уточненным теориям, а также путем их сравнения с результатами экспериментальных исследований. В меньшей степени это относится к исследованию устойчивости и динамического поведения элементов конструкций слоистой структуры.

Задачи устойчивости составляют отдельную группу исследований в области механики слоистых элементов конструкций и им посвящено большое количество работ как отечественных, так и зарубежных авторов. Наиболее полные сведения об исследованиях в этой области изложены в статьях, монографиях и обзорах H.A. Абросимова [1], А.Я. Александрова [4], H.A. Алфу-това [8], А.Н. Андреева и Ю.В. Немировского [9], В.В. Болотина [11], A.C. Вольмира [14], Н.К. Галимова и др. [19], А.И. Голованова и др. [20], Э.И. Григолюка и П.П. Чулкова [26], Э.И. Григолюка и В.В. Кабанова [27], А.Н. Гузя [28], В.Н. Паймушина [56,61,66], В.Н. Паймушина и др. [35,38,40,54,60,67,69-73,76-78,86,87,91,92], А.П. Прусакова [100], Ф.Н. Шклярчука [106], L.H. Donneil [120], Y. Frostig [123,124], R.E. Fulton [125], J.N. Goodier и C.S. Hsu [128], N.J. Hoff [132], N. Jaunky и N.F. Knight [134], W.T. Koiter [140], E.W. Kuenzi и др. [143], A.W. Leissa [146], F.J. Plantema [174], GJ. Simitses [196], M. Stein и J. Magers [202], S.P. Timoshenko и J.M. Gere [206].

Ключевыми в теории устойчивости слоистых конструкций являются вопросы, связанные с выявлением и классификацией всех возможных форм потери устойчивости (ФПУ) и построением для их описания соответствующих математических моделей и разрешающих уравнений.

В течение длительного времени была общепринятой следующая классификация задач устойчивости слоистых конструкций, в рамках которой различали общую синфазную (кососимметричную), антифазную (симметричную) и местную формы потери устойчивости.

Общая синфазная ФПУ характерна для относительно тонких слоистых стержней, пластин и оболочек и связана с кососимметричным выпучиванием несущих слоев. Для выявления такой ФПУ в соответствующих уравнениях допустимо пренебрежение поперечным обжатием заполнителя [26,27,146,167,170, 174,212,215,221 и др.].

Антифазная (симметричная) ФПУ характерна для относительно толстых элементов конструкций и связана с волнообразованием несущих слоев, симметричным относительно срединной поверхности пакета, которая выявляется только на основе использования уравнений, построенных с учетом поперечного обжатия слоев заполнителя [12,76-78,105,167,212 и др.].

Описываемая в литературе местная форма потери устойчивости является специфической и характерна для трехслойных элементов с заполнителем типа сот и гофра с тонкими несущими слоями, которые могут потерять устойчивость в пределах одной ячейки сотового заполнителя [93,94] или гофра

4].

В рамках указанной классификации и ограничений на ФПУ проводились многочисленные исследования по возможным уточнениям или упрощениям разрешающих уравнений при постановке задач устойчивости для получения достоверных результатов. Однако, во все'х этих работах преобладала классическая постановка задач устойчивости, в рамках которой исследуемые уточнения или упрощения касались лишь возмущенного состояния, а невозмущенное равновесное состояние конструкций полагалось безмоментным. В тоже время одно из главных преимуществ слоистых конструкций заключается в их наибольшей оптимальности при работе на изгиб, поэтому они и используются, как правило, в условиях моментности их докритического напряженно-деформированного состояния. В условиях существенно моментного состояния пакета слоев в целом, когда невозмущенное состояние несущих слоев существенно различается, возможна реализация смешанных ФПУ, которые в общем случае характеризуются различными ФПУ слоев.

Исследованию смешанных ФПУ, учету моментности докритического НДС пакета слоев в целом, выражающегося в различии докритических тангенциальных усилий в несущих слоях трехслойных элементов конструкций, посвящены работы [69-73,80,91,92 и др.], реализующие идеи В.Н.Паймушина, в которых также была дана уточненная классификация ФПУ трехслойных конструкций. В нее, кроме хорошо изученных в литературе синфазных и антифазных форм,'была включена таюке и смешанная ФПУ внешних несущих слоев. Результаты этих исследований [70,80] показали таюке, что критические нагрузки, соответствующие смешанной ФПУ, могут быть значительно ниже критических нагрузок синфазной и антифазной форм выпучивания, а для их определения необходимо использовать уравнения устойчивости, в которых наряду с поперечными сдвигами учитывается поперечное обжатие заполнителя при обязательном учете моментной работы несущих слоев и моментного характера докритического НДС.

Построенные в работах [11,12,72] уравнения устойчивости слоистых конструкций, основанные на привлечении модели Кирхгофа-Лява к несущим слоям и модели трансверсально-мягкого слоя к заполнителю, в рамках которой компоненты вектора перемещений заполнителя по его толщине приняты линейно изменяющимися, следует считать предельно упрощенными для исследования смешанных ФПУ. В работах [54,55] установлено, что в зонах моментного напряженного состояния в трехслойных оболочках реализуется локальная смешанная ФПУ с масштабами изменения параметров возмущенного НДС порядка толщины пакета. При таком характере волнообразования несущих слоев выведенные в работах [11,12,72] уравнения устойчивости могут привести к значительной погрешности в определении ФПУ и величины критической нагрузки. Эта погрешность будет тем больше, чем меньше отношение толщин несущих слоев к толщине заполнителя. Исследованиям в этом направлении были посвящены работы научной школы В.Н. Паймушина [70,71,73,74 и др.]. В них предметом рассмотрения являются трехслойные пластины и оболочки, у которых толщины несущих слоев относятся к классу тонких, а заполнитель описывается моделью трансверсально-мягкого слоя. В этих работах построена уточненная геометрически нелинейная модель, основанная на интегрировании соотношений трехмерной теории упругости по поперечной координате для заполнителя, полагая равными нулю тангенциальные компоненты тензора напряжений сги=о~22=сг12 = 0 в соответствии с принятым типом заполнителя. Линеаризацией общих геометрически нелинейных соотношений составлен полный комплекс уточненных уравнений устойчивости, позволяющие исследовать как опиоанные в литературе синфазные и антифазные ФПУ, так и смешанные ФПУ при различных показателях изменяемости параметров возмущенного НДС трехслойных конструкций. На основе выведенных уравнений построены решения ряда задач для трехслойных конструкций [34,35,40 и др.], которые содержат все описанные выше ФПУ.

Как показали последующие исследования [19], точность построенных уравнений [34,40] практически приближается к точности линеаризованных уравнений трехмерной теории упругости при определении таких интегральных характеристик, как критическая нагрузка слгастых конструкций с заполнителями, относящимися к классу трансверсально-мягких. В тоже время в заполнителях компоненты напряжений возмущенного состояния в рамках этих уравнений определяются со значительной погрешностью, если размеры выпучиваний несущих слоев оказываются одного порядка с их толщинами (локальная потери устойчивости). В этом случае НДС возмущенного состояния носит трехмерный характер, что не может быть учтено в полной мере при использовании модели трансверсально-мягкого заполнителя. Как следствие, применение этой модели сужает диапазон изменения значений определяющих физико-механических и геометрических параметров, при которых критические нагрузки могут быть определены с малой погрешностью.

В развитие этих исследований в работах В,Н. Паймушина и А.И. Муш-тари [76-78] была построена уточненная геометрически нелинейная модель и линеаризованная теория устойчивости трехслойных оболочек с трансвер-сально-жестким заполнителем, обобщающие модель [20,21] с трансверсаль-но-мягким заполнителем и позволяющие с необходимой степенью точности определять значения напряжений в заполнителях в возмущенном состоянии при реализации локальных смешанных ФПУ, проведено исследование пределов применимости и степени точности уточненных моделей трансверсально-жесткого и трансверсально-мягкого заполнителей для решения задачи устойчивости трехслойных конструкций при различных типах докритического напряженного состояния в них.

Продолжением этих исследований являются работы [56,70,71,73 и др.], в которых составлена более полная классификация форм потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек при статическом нагружении. Результаты, представленные в указанных статьях, отличаются от известных в литературе учетом ряда принципиальных особенностей в поведении трехслойных конструкций. Эти особенности в трй или иной степени могут проявиться и при динамических процессах деформирования, которые к настоящему времени исследованы в недостаточной степени. Итогом этого цикла исследований является статья [61], в которой проанализированы основные этапы развития теории устойчивости трехслойных пластин и оболочек, связанные с выявлением особенности их докритического деформирования и выпучивания, математическим описанием этих особенностей и построением соответствующих уравнений устойчивости. В ней рассмотрены также решения ряда конкретных задач, иллюстрирующие выше указанную полную классификацию ФПУ и подтверждающие сформулированные выводы о направлениях дальнейших исследований.

Особое место в решении проблем устойчивости занимают фундаментальные исследования последних лет научной школы В.Н. Паймушина [41,60,63-65], предшествующие выполнению данной диссертационной работы. В них проведен анализ современного состояния геометрически нелинейной теории упругости при малых деформациях, но при больших перемещениях и поворотах, соотношения которой известны как соотношения нелинейной теории в квадратичном приближении [53]. Показано, что они требуют определенной ревизии и корректировки [63,64]. Необходимость ревизии кинематических соотношений теории упругости, построенных в квадратичном приближении, а следовательно, и нсех нелинейных уравнений механики деформируемых твердых тел возникла в связи с появлением ложных точек бифуркации при решении конкретных задач устойчивости элементов конструкций [41,60,63 и др.]. Анализ этих соотношений показал [63-65,68], что противоречивыми и некорректными из них являются соотношения, определяющие деформации удлинений Еа(а=\,3) [53] в направлениях координатных линий х . а

Результатом этих исследований явилось построение соответствующего непротиворечивого варианта кинематических соотношений теории упругости в квадратичном приближении и их применение для построения непротиворечивых уточненных уравнений устойчивости стержней, пластин и оболочек [41,63], позволяющие в корректной постановке исследовать как изгибные, так и неизвестные ранее неклассические ФПУ элементов конструкций.

Отмечено [64,65], что в свете полученных результатов [41,63-65] в первую очередь представляются актуальными вопросы, связанные с пересмотром, ревизией и разработкой новых уточненных вариантов теории стержней, пластин и оболочек, выполненных из композиционных материалов со слабыми поперечными жесткостями, а также имеющих слоистую структуру.

Следует также отметить, что использование противоречивых и некорректных соотношений нелинейной теории упругости в квадратичном приближении [53] для построения разрешающих уравнений устойчивости элементов конструкций может привести не только к появлению ложных точек бифуркации, но и возникновению погрешности определения критических нагрузок. Этот вопрос к настоящему времени изучен совершенно недостаточно.

Динамические задачи и, в частности, проблемы исследования свободных и собственных колебаний слоистых элементов конструкций при создании современных образцов аэрокосмической техники также относятся к ряду наиболее важных и актуальных при обеспечении их вибропрочности. В механике слоистых элементов конструкций наиболее исследованными являются задачи о свободных колебаниях, решения таких задач для слоистых стержней, пластин и оболочек содержатся в монографиях и многочисленных статьях А.Н. Андреева и Ю.В. Немировского [9], В .В. Болотина [11], Э.И. Григо-люка и П.П. Чулкова [26], В.Н. Паймушина и др. [36-38,62,81-84], A.W. Leissa [144,145], K.M. Liew и др. [152], A.K.Noor и др. [167], M.S. Qatu [176], W. Soedel [198] и других авторов [39,79,88-90,104,118,153,165,169,172,177, 178, 194,195,216,218].

Обширная библиография по таким исследованиям представлена в обзорах отечественных и зарубежных авторов Андреева и Ю.В. Немировского [9], A.W. Leissa [144,145], K.M. Liew и др. [152], A.K.Noor и др. [167], M.S. Qatu [176], W. Soedel [198]. В них также указана важность выбора соответствующих уточненных математических моделей описания механики деформирования слоистых элементов конструкций для выявления полного спектра свободных колебаний в эксплуатационном диапазоне частот динамического воздействия на рассматриваемые конструкции. Отмечено, что на ранних этапах эти исследования базировались на предположении, что для реальных слоистых элементов конструкций наибольший практический интерес представляют задачи о синфазных формах свободных колебаний (ФСК), частоты которых значительно ниже частот антифазных ФСК. Поэтому при построении уточненных математических моделей для описания процессов динамического деформирования исследователи в большинстве случаев ограничивались лишь учетом поперечных сдвигов, формулируя тем самым вывод о нецелесообразности учета поперечного обжатия заполнителя при постановке динамических задач.

Позднее появились исследования [11,12,36,37 и др.], посвященные построению уточненных моделей слоистых элементов конструкций с трансвер-сально-мягким заполнителем, учитывающим податливость мягких слоев в трансверсальном направлении, позволяющим исследовать антифазные ФСК несущих слоев. Обобщением этих исследований явились работы В.А.Иванова, В.Н. Паймушина, В.Р.Хусаинова [38,39,62,79,81-84], в которых в рамках уточненной модели трехслойных пластин и оболочек с трансвер-сально-мягким заполнителем проведен анализ построенных уточненных уравнений и дана наиболее полная классификация форм свободных и собственных колебаний симметричных по толщине трехслойных пластин в рамках построенных аналитических решений задач.

В заключение данного обзора следует отметить:

- построенные к настоящему времени многочисленные упрощенные и уточненные математические модели для исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых элементов конструкций в силу используемых упрощающих предположений о характере НДС слоев пакета имеют существенные ограничения по пределам их применимости;

- в силу сложности и громоздкости разрешающих уравнений, построенных на основе уточненных моделей, весьма ограничен круг решаемых задач как аналитическими, так и численными методами;

- исследование качества нелинейных уравнений теории упругости в квадратичном приближении, обусловленное предложенным В.Н. Паймуши-ным непротиворечивым вариантом.теории на задачах устойчивости элементов конструкций осуществлено аналитически на решении лишь некоторых модельных задач.

Целью диссертационной работы является:

- построение универсальной уточненной математической модели для исследования статического деформирования, устойчивости и свободных колебаний оболочек слоистой структуры, основанной на использовании сдвиговой модели С.П. Тимошенко с учетом поперечного обжатия для каждого слоя пакета;

- редукция построенных двумерных разрешающих уравнений теории многослойных оболочек к одномерным уравнениям для исследования механики деформирования плоских криволинейных стержней, бесконечно широких пластин и бесконечно длинных цилиндрических оболочек произвольного поперечного сечения;

- разработка численных алгоритмов решения одномерных задач статики, устойчивости и свободных колебаний элементов конструкций слоистой структуры;

- численное исследование частот и ФСК слоистых элементов конструкций рассматриваемого класса, оценка погрешностей, вносимых использог ванием приближенных моделей для слоев заполнителя и приближенного характера распределения напряжений и деформаций по его толщине; численное исследование качества нелинейных уравнений теории упругости на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры.

Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава диссертации посвящена построению уточненной математической модели геометрически нелинейного деформирования многослойных оболочек в квадратичном приближении. Для построения разрешающей системы уравнений, описывающих механику деформирования рассматриваемых упругих систем, используется кинематическая гипотеза С.П. Тимошенко с учетом поперечного обжатия для каждого слоя пакета. Полагается, что слои оболочки деформируется без взаимного отрыва и проскальзывания. Обсуждается использование непротиворечивых кинематических соотношений нелинейной теорий упругости в квадратичном приближении, предложенных В.Н. Паймушиным для построения корректных соотношений рассмотренного варианта геометрически нелинейной теории многослойных оболочек.

Получены линеаризованные уравнения нейтрального равновесия для исследования устойчивости рассматриваемых деформируемых систем.

Обсуждается классификация и упрощения математических моделей для описания механики деформирования слоев заполнителя в многослойных оболочках.

Во второй главе осуществлена редукция двумерных соотношений предложенного в главе 1 варианта теории многослойных оболочек к одномерным уравнениям для исследования механики деформирования плоских криволинейных стержней, бесконечно широких пластин и бесконечно длинных цилиндрических оболочек произвольного поперечного сечения слоистой структуры.

Построен геометрически линейный вариант соотношений для исследования НДС и свободных колебаний рассматриваемых элементов конструкций.

Сформулирована одномерная краевая задача для исследования устойчивости и собственных колебаний слоистых элементов конструкций рассматриваемого класса.

Третья глава посвящена численному исследованию свободных колебаний криволинейных плоских стержней слоистой структуры.

Построен алгоритм численного решения задач статики и свободных колебаний рассматриваемых элементов конструкций, основанный на использование аппарата дифференцирующих матриц.

Проведены исследования точности и сходимости разработанного численного алгоритма и оценка достоверности получаемых на его основе результатов.

Представлены результаты численных исследований свободных колебаний элементов конструкций слоистой структуры. Обсуждаются вопросы классификации ФСК однородных и слоистых конструкций и влияния геометрических параметров и физико-механических свойств материала слоев пакета на формы и частоты свободных колебаний.

Проведены исследования по оценке погрешности, обусловленной использованием приближенных моделей для заполнителя и линейного характера аппроксимации компонентов перемещений по его толщине.

Численному исследованию устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры посвящена четвертая глава.

Представлен численный алгоритм решения задачи с использованием аппарата дифференцирующих матриц и матричный аналог разрешающих уравнений.

Проведено численное исследование качества нелинейных уравнений теории упругости на задачах рассматриваемого класса путем сопоставления значений критических нагрузок потери устойчивости элементов конструкций, полученных с использованием классических уравнений геометрически нелинейной теории упругости В.В. Новожилова и предложенного В.Н. Пай-мушиным непротиворечивым ее вариантом.

Представлены результаты численного решения ряда нетрадиционных задач устойчивости элементов конструкций слоистой структуры.

В заключении сформулированы основные выводы и приведен список использованной научной литературы.

Автором защищаются следующие основные научные результаты:

- уточненная дискретно-структурная модель описания механики геометрически нелинейного деформирования многослойных оболочек с использованием трансверсально-жесткой модели для слоев пакета и комплекс разрешающих уравнений, построенных на ее основе для исследования статики, свободных колебаний и устойчивости элементов конструкций рассматриваемого класса;

- редуцированный одномерный вариант разрешающих соотношений для исследования статики, свободных колебаний и устойчивости многослойных плоских криволинейных стержней, бесконечно широких пластин и бесконечно длинных цилиндрических оболочек произвольного поперечного сечения;

- алгоритм численного решения одномерных задач рассматриваемого класса с использованием аппарата дифференцирующих матриц;

- результаты численных исследований спектра свободных колебаний рассматриваемых элементов слоистой структуры, оценки погрешностей в определении частот и форм свободных колебаний, вносимых использованием приближенных моделей для заполнителя и линейным характером аппроксимации компонентов перемещений,, деформации и напряжений по толщине слоев пакета;

- результаты численных исследований качества нелинейных уравнений на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры, уделяя особое внимание недостаточно изученным к настоящему времени смешанным формам потери устойчивости.

Научная новизна диссертации состоит в построении нового варианта геометрически нелинейной теории многослойных оболочек; в редукции построенного комплекса разрешающих соотношений для решения одномерных задач статики, свободных колебаний и устойчивости слоистых стержней, пластин и оболочек; в разработке численных методик решения сформулированных задач рассматриваемого класса; в численном исследовании качества нелинейных уравнений теории упругости на одномерных задачах устойчивости элементов конструкций рассматриваемого класса; в решении ряда новых задач по исследованию свободных колебаний и устойчивости элементов конструкций слоистой структуры.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные методики и созданные на их основе пакеты прикладных программ могут быть использованы в проектных конструкторских организациях при создании образцов новой техники.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2932,85-87,103-105], причем работы [103-105] выполнены совместно с В.А. Фирсовым и И.С. Селиным, [86,87] - совместно с В.Н. Паймушиным, С.А. Луканкиным, В.А. Фирсовым, [85] - совместно с В.Н. Паймушиным и В.А. Фирсовым.

В.Н. Паймушину принадлежит идеология построения непротиворечивых соотношений геометрически нелинейной теории упругости и тонких оболочек; В.А. Фирсову принадлежит постановка задачи, определение направлений научных исследований и участие в обсуждении результатов расчетов; И.О. Селин участвовал в разработке алгоритма расчетов и анализе результатов исследования свободных колебаний элементов конструкций; С.А. Луканкин принимал участие в разработке численного алгоритма исследования устойчивости элементов конструкций рассматриваемого класса.

Автору принадлежит вывод основных разрешающих соотношений предлагаемых вариантов теории, разработка численных методик, алгоритмов и пакетов прикладных программ решения задач, проведение расчетов и анализ результатов.

Автор выражает благодарность д.ф-м.н., профессору В.Н. Паймушину за научные консультации и внимание к работе.

Автор благодарен компании «Уопса-Опик 1.У.» (г.Стамбул, Турция) за финансовую поддержку обучения в аспирантуре.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-01-00323-а) и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (гос. контракт № 0.740.11.0205 от 7 июля 2009 г.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложена уточненная дискретно-структурная модель для описания механики геометрически нелинейного деформирования оболочек слоистой структуры. Построен комплекс разрешающих соотношений для исследования статики, свободных колебаний и устойчивости многослойных оболочек с использованием модели С.П. Тимошенко с учетом поперечного обжатия для слоев пакета.

2. Осуществлена редукция построенных двумерных соотношений для решения одномерных задач статики, устойчивости и свободных колебаний многослойных плоских криволинейных стержней, бесконечно широких пластин и бесконечно длинных цилиндрических оболочек произвольного сечения.

3. Разработан алгоритм численного решения сформулированных одномерных задач для рассматриваемых слоистых структур, выполненных из однородных и композиционных материалов. Он основан на использовании аппарата дифференцирующих матриц, построенных с использованием кубической сплайн-аппроксимации.

4. Осуществлены численные исследования форм и частот свободных колебаний элементов слоистой структуры, полноты и качества спектра свободных колебаний однородных, трехслойных и многослойных элементов конструкций. Показано, что использование приближенных моделей для описания механики деформирования слоев заполнителя и линейной аппроксимации компонентов перемещений, деформации и напряжений по толщине заполнителя приводит к существенным погрешностям в определении частот и форм свободных колебаний для широкого спектра элементов конструкций рассматриваемого класса.

5. Проведено численное исследование качества нелинейных уравнений теории упругости на задачах устойчивости плоских криволинейных стержней слоистой структуры. Установлено, что использование предложенного В.Н. Паймушиным непротиворечивого варианта теории позволяет существенно уточнить значения критической нагрузки для широкого спектра задач рассматриваемого класса.

6. С помощью разработанного пакета прикладных программ решен ряд новых практически важных задач по исследованию устойчивости и свободных колебаний элементов конструкций слоистой структуры. Разработанные методы решения задач и созданные на их основе пакеты прикладных программ рекомендованы для внедрения в расчетную практику организаций, занимающихся разработкой и проектированием образцов новой техники.

1. Александров А .Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М. и др. Расчет трехслойных панелей. М.:Оборонгиз, 1960, 272 с.

2. Александров А.Я., Куршин Л.М. Многослойные пластинки и оболочки.// Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1970, С. 714-721.

3. Александров А.Я., Шпак Г.С. О расчете на местную устойчивость трехслойных пластин с заполнителем типа гофра при сжатии. // Тр. XIII Всесоюз. конф. по теории пластин и оболочек. 4.1. Таллин, 1983, С. 48-58.

4. Алумяэ H.A. Теория упругих оболочек и пластинок.// Механика в СССР за 50 лет. Т.З.: Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972, с.227-266.

5. Амбарцумян С.А. Некоторые вопросы развития теории анизотропных слоистых оболочек. Изв. АН Арм. ССР. Сер. Физ.- мат. наук. - 1964, т. 17, №3, С.29-53.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974,448с.

7. Ал футов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем, Машиностроение, 1978, 312 с.

8. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001, 288 с.

9. Бережной Д.В., Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Исследования качества уравнений геометрически нелинейной теории упругости при малых деформациях и произвольных перемещениях.// Изв. РАН. МТТ. 2009.- № 6. С.31-47.

10. Болотин В.В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин. Расчеты на прочность. - М.: Машиностроение, 1965. - Вып 11, С.31-63.

11. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980, 374 с.

12. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов.-М.: Машиностроение, 1988, 272 с.

13. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем, 2. изд-е, М.: Наука, 1967, 984 с.

14. Галимов, К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии, методическое пособие, изд: Казанский государственный университет, 1985, 162 с.

15. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во Казанского университета, 1975, 328 с.

16. Галимов К.З. О некоторых направлениях механики деформируемого твердого тела в Казани. // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: Казане. Гос. ун-т, 1979, Вып. 14, С.11-82.

17. Галимов Н.К. О применении полиномов Лежандра к построению уточненных теорий трехслойных пластин и оболочек. // Исслед. по теории пластин и оболочек. Казань: Казан, гос. ун-т, 1973. Вып. 10, С. 371-385.

18. Голованов А.И., Иванов В.А., Паймушин В.Н. Численно- аналитический метод исследования локальных форм потери устойчивости несущих слоев трехслойных оболочек по смешанным формам. Механика композит, материалов, 1995, №1, С. 88-100.

19. Голованов А.И., Паймушин В.Н. Напряжено-деформированное состояние и устойчивость трехслойных оболочек из композитных материалов, имеющих зону расслоения заполнителя с несущим слоем. Механика композитных материалов, 1993, т.29, №5, С. 640-652.

20. Григолюк Э.И. Уравнения трехслойных оболочек с легким заполнителем. // Изв. АН СССР. ОТН. 1957, №1, С. 77-84.

21. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН, 1958, №1, С. 26-34.

22. Григолюк Э.И., Коган Ф.А. Современное состояние теории многослойных оболочек. Прикладная механика. 1972.Т.8, №6, С.3-17.

23. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение; 1988, 288 с.

24. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек, Машиностроение, Москва, 1973, 171 с.

25. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек, М.: Наука, 1978, 360 с.

26. Гузь А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Науко-ва думка, 1971. - 275 с.

27. Гюнал И.Ш. Уточненная модель механики деформирования композитных стержней. XVI Туполевские чтения: Международная молодежная научная конференция. Труды конференции. Том I.' Казань: изд-во Казан, гос. техн.ун-та, 2008, С.42-44.

28. Гюнал И.Ш. К исследованию устойчивости слоистых композитных стержней. XVII Туполевские чтения: Международная молодежная научнаяконференция. Труды конференции. Том1. Казань: изд-во Казан, гос. техн. унта, 2009, С.29-30.

29. Гюнал И.Ш. Уточненная модель исследования устойчивости и колебаний слоистых композитных стержней. 8-я Международная конференция „Авиация и космонавтика 2009". Тезисы докладов. М: изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009, С.48-49.

30. Дудченко A.A., Лурье С.А., Образцов И.Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки. В кн.: Механика деформируемого твердого тела. - М., 1983, т. 15, С. 3-277.

31. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (нелинейные уравнения докритического равновесия оболочек с трансверсально мягким заполнителем). - Изв. ВУЗов. Математика, 1994, №11, С. 29-42.

32. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Устойчивость пологих многослойных оболочек с трансверсально мягкими заполнителями. - Механика композит, материалов, 1994, №3, С. 372-390.

33. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточненная постановка динамических задач трехслойных оболочек с трансверсально мягким заполнителем, численно-аналитический метод их решения. - Прикладная механика и техническая физика, 1995, т. 36, №4, С. 147-151.

34. Иванов В.А., Паймушин В.Н. Уточнение уравнений динамики многослойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем. Изв. РАН, МТТ, 1995, №3, С.142-152.

35. Иванов В.А., Паймушин В.Н., Полякова Т.В. Уточненная теория устойчивости трехслойных конструкций (линеаризованные уравнения нейтрального равновесия и простейшие одномерные задачи). Известия ВУЗов. Математика, 1995, №3, С. 15-24.

36. Иванов В.А., Паймушин В.Н., Щалашилин В.И. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия нетонких трехслойных оболочек с трансвер-сально-мягким заполнителем и смежные вопросы нелинейной теории упругости// Изв. РАН. МТТ. 2005. №6. С. 113-129.

37. Кобелев В.Н., Коварский Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций. Справочник. М.: Машиностроение, 1984. - 303 с.

38. Корнеев В.Г., Розин Л.А. Дифференциальная форма метода конечных элементов применительно к задачам теории упругости. Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, С. 297-306.

39. Куршин Л.М. Обзор работ по расчету трехслойных пластин и оболочек. -Расчет пространственных конструкций. М.: Стройиздат, 1962, Вып.7, С. 163-192.

40. Куршин Л.М. Уравнения трехслойных непологих и пологих оболочек. -Расчеты элементов авиационных конструкций. Вып. 3, М.: Машиностроение, 1965, С. 106-157.

41. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости, М.: Наука, 1980, 512 с.

42. Муштари Х.М. Об одном уточнении приближенной теории трехслойных пластин с заполнителем. Тр. Всесозн. конф. по теории пластин и оболочек.: Изв. АН УССР. ОТН. - Киев, 1962, С. 128-131.

43. Муштари Х.М. О применимости различных теорий трехслойных пластин и оболочек. Изв. АН СССР. ОТН Механика и машиностроение, 1960, №6, С. 163-165.

44. Муштари Х.М. Об области применения приближенных теорий трехслойных пластин несимметричного строения с заполнителем. Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, №5, С. 176-178.

45. Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. 431 с.

46. Муштари Х.М. Основные зависимости теории упругих трехслойных оболочек переменной жесткости. Механика твердого тела, 1996, №2, С. 145149.

47. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов, изд-во наука. Новосибирск, 1986, 167 с.

48. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. Л., М.: Гостех-издат, 1948,211 с.

49. Паймушин В.Н., Орлов Ю.В. Проблема устойчивости моментного равновесия трехслойных элементов конструкций в уточненной постановке. -Изв. ВУЗов. Авиационная техника,1990, №2, С. 22-26.

50. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трехслойных элементов конструкций. Анализ современного состояния и уточненная классификация форм потери устойчивости. Механика композитных материалов, Рига: Зинатне. -1999, т. 35, №6, С. 707-716.

51. Паймушин В.Н. Нелинейная теория среднего изгиба трехслойных оболочек с дефектами в виде участков непроклея. Прикладная механика, 1987, №11, С. 32-38.

52. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Оболочки из стекла. Расчет напряженно-деформированного состояния. -М.: Машиностроение, 1993, 208 с.

53. Паймушин В.Н. Классические и неклассические задачи динамики трехслойных оболочек с трансверсально-мягким заполнителем. Механика композитных материалов, 2001, Т.37, №3, С.175-188.

54. Паймушин В.Н., Иванов В.А. Формы потери устойчивости однородных и трехслойных пластин при чистомтсдвиге в тангенциальных направлениях. -Механика композитных материалов. 2000, т.36, №2, С. 215-228.

55. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трехслойных пластин и оболочек (Этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований). Изв. РАН, МТТ, 2001, №2, С. 148-162.

56. Паймушин В.Н., Иванов В.А., Хусаинов В.Р. Анализ уравнений и задач о свободных колебаниях трехслойных пластин с трансверсально-мягким заполнителем и симметричным по толщине строением. Изв.вузов. Авиационная техника, 2001, №4, С. 22-25.

57. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Непротиворечивый вариант теориитдеформаций сплошных сред в квадратичном приближении//Докл. РАН. 2004. Т.396. №4. С. 492-495.

58. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. О соотношениях теории деформаций в квадратичном приближении и проблемы построения уточненных вариантов геометрически нелинейной теории слоистых элементов конструкций// ПММ. 2005. Т.69. Вып. 5. С. 861-881.

59. Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. О геометрически нелинейных уравнениях теории безмоментных оболочек с приложениями к задачам о неклассических формах потери устойчивости цилиндра// ПММ. 2006. Т.70. Вып. 1. С. 100-110.

60. Паймушин В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и прямолинейных стержней// ПММ. 2007. Т.71.№5. С. 855 893.

61. Паймушин В.Н., Петрушенко IO.il. Вариационный метод решения задач механики пространственных составных тел. Обобщенный вариационный принцип Гамильтона Остроградского. Сообщения АН Грузинской ССР, 1988, т. 131, №1, с. 130-135.

62. Паймушин В.Н. Об уравнениях геометрически нелинейной теории упругости и безмоментных оболочек при произвольных перемещениях. ПММ, 2008, т. 72, вып. 5, С. 822-841.

63. Паймушин В.Н., Бобров С.Н., Голованов А.И. Методы конечно-элементного анализа произвольных форм потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек. Механика композитных материалов., 2000, т.36, №4, С. 473-486.

64. Паймушин В.Н., Бобров С.Н., Иванов В.А., Полякова Т.В. Устойчивость трехслойного кругового кольца под равномерным внешним давлением. Механика композитных материалов, 2000, т.36, №3, С. 317-328.

65. Паймушин В.Н., Бобров С.Н., Голованов А.И. Методы конечно-элементного анализа произвольных форм потери устойчивости трехслойныхпластин и оболочек. Механика композитных материалов., 2000, т.36, №4, С. 473-486.

66. Паймушин В.Н., Бобров С.Н. О формах потери устойчивости трехслойных пластин и оболочек с внешними слоями из однородных и армированных материалов. Механика композитных материалов, 1985, №1, С. 79-86.

67. Паймушин В.Н. Вариант нелинейной теории тонких трехслойных оболочек, находящихся в условиях термосилового воздействия. Актуальные проблемы механики оболочек. Межвузов, сб., Казань: авиац. институт, 1990, С. 64-70.

68. Паймушин В.Н. Вариант уточненной нелинейной теории тонких упругих трехслойных оболочек итерационного типа. Прикл. математика и механика, 1990, т. 54, вып.1, С. 86-92.

69. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек трансверсально-жестким заполнителем. 1. Нелинейные уравнения равновесия. Механика композитных материалов. 1996, т. 32, №4, С. 513-524.

70. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек трансверсально-жестким заполнителем. 2. Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия. Механика композитных материалов. 1997, т. 33, №6, С. 786-795.

71. Паймушин В.Н., Муштари А.И. Уточненная теория устойчивости трехслойных оболочек с трансверсально-жестким заполнителем. 3. Простейшие одномерные задачи. Механика композитных материалов. -Рига: Зинатне. -1998, т.34, №1. - С. 57-65.

72. Паймушин В.Н., Бобров С.Н. Исследование устойчивости трехслойной бесконечно широкой пластины при осевом сжатии одного слоя. Механика композитных материалов, 1985, №2, С. 284-291.

73. Паймушин В.Н., Иванов В.А., Хусаинов В.Р. Анализ свободных и собственных колебаний трехслойных пластин на основе уравнений уточненной теории. Всероссийский научный журнал "Механика композитных материалов конструкций", Изд. ИПРИМ РАН, 2002, т.8, №1,С.

74. Паймушин В.Н. Точные и приближенные решения задачи о плоских формах свободных колебаний прямоугольной пластины со свободными краями, основанные на тригонометрических базисных функциях // Механика композитных материалов, 2005. Т.41, №4. С.461-488.

75. Паймушин В.Н. Точные аналитические решения задачи о плоских формах свободных колебаний прямоугольной пластины со свободными краями // Изв.вузов «Математика», 2006. №8 С.54-62.

76. Паймушин В.Н., Полякова Т.В. Точные и приближенные уравнения статики и динамики стержня-полосы и обобщенные классические модели // Механика композитных материалов и конструкций. РАН, Институт прикладной механики, 2008. Т.Н. №1. с. 126-156.

77. Паймушин В.Н., Галимов Н.К. Об устойчивости трехслойных пластин с легким заполнителем при изгибе. Тр. семинара по теории оболочек. - Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР, 1974, Вып.5, С.35-42.

78. Панин В.Ф. Конструкции с сотовым заполнителем. М.: Машино- строение, 1982, 153 с.

79. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем. М.: Машиностроение, 1991, 272 с.

80. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук, думка, 1973. 248 с.

81. Пикуль В.В. Теория и расчет слоистых конструкций. М.: Наука, 1985, 182 с.

82. Пискунов В.Г., Вериженко В.Е. Линейные и нелинейные задачи расчета слоистых конструкций. Киев: Буд1вельник, 1986, 176 с.

83. Преображенский И.Н. Обзор гипотез и допущений, принимаемых при исследовании устойчивости многослойных оболочек вращения. Гидроаэродинамика и теория упругости, 1970. - Вып. 12, С. 78-87.

84. Прусаков А.П. К теории расчета ортотропных трехслойных пластин с жестким заполнителем. Расчеты элементов авиационных конструкций. - М.: Машиностроение, 1965, Вып.З, С. 189-196.

85. Прусаков А.П. Основные уравнения изгиба и устойчивости ортотропных трехслойных пластин с легким заполнителем. //Изв. ВУЗов. Строительств и архитектура. 1960. №5. С. 9-17.

86. Рикардс Р.Б., Тетере Г.А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига: Зинатне, 1974. 310 с.

87. Саченков A.B. Свободные колебания трехслойных пологих сферических оболочек. Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань: Казан. Гос. ун-т, 1967.-Вып. 5. - С.410-413.

88. Фирсов В.А., Гюнал И.Ш., Селин И.С. Уточненная модель механики деформирования слоистых композитных стержней. Изв.вузов. Авиационная техника, 2009, №3, С.9-11.

89. Юб.Шклярчук Ф.Н. К расчету деформированного состояния и устойчивости геометрически нелинейных упругих систем.//Изв. РАН. МТТ. 1998. №1. С. 140-146.

90. Allen H.G., Analysis and design of structural sandwich panels, 1969, Perga-mon press, Oxford, p.283.

91. Altenbach H., Theories for laminated and sandwich plates: A review, Mechanics of composite materials, 1998, Vol.34., No.3, pp.243.252.

92. Ambartsumyan S. A., Theory of Anisotropic Plates Strength, Stability, and Vibrations, Technomic, 1970, p.255.

93. Ashton J.E., Whitney J.M., Theory of laminated plates, Technomic, 1970, p.158.

94. ASTM C 273: Standard Test method for shear properties of Sandwich Core materials, ASTM International, 2000, p.4.

95. Bert C.W., Recent research in composite sandwich plate dynamics, Shock and vibration digest, 1979, Vol.11, pp. 13-23.

96. Bert C.W., Francis P.H., Composite Material Mechanics: Structural Mechanics, AIAA Journal, 1974, Vol.12, No.9, pp.1173-1186.

97. Carrera E. Layer-wise mixed models for accurate vibrations analysis of multi-layered plates. ASME Journal of Applied Mechanics, 1998, 65(12), pp.820-828.

98. Carrera E., Historical Review of Zig-zag theories for multilayered plates and shells, Appl. Mech. Rev., 2003, Vol.56, Issue 3, pp.287-309.

99. Cho M., Parmerter R.R. An efficient higher-order plate theory for laminated composites. Composite Structures, 1992, Vol.20, pp.113-123.

100. Di Scuvia M., An improved shear deformation theory for moderately thick multilayered anisotropic shells and plates, Journal of Applied Mechanics, ASME Transactions, 1987, 54(3), pp.589-596

101. Dong S.B., Free vibration of laminated orthotropic cylindrical shells. Journal of Acoustical Society of America, 1968, Vol.44, pp.1628-1635.

102. Donnell L.H., Beams, plates and shells, McGraw-Hill, New York, 1976, p.453.

103. Donnell H., Stability of Thin Walled Tubes Under Torsion, NACA Report No. 479, 1933, p.116.

104. Donnell L.H., A theory for thick plates, Procs. Second U.S. National Congress of Applied Mechanics, ASME Pub., Unv. Mich., 1955, pp.369-373.

105. Durocher L.L., Solecki R., Bending and vibration of transversely isotropic two-layer plates, AIAA Journal, Technical Note, 1975, Vol.13, No.ll, pp.15221524.

106. Frostig Y., Baruch M., Vilnay, O., Sheinman I., Bending of nonsymmetric sandwich beams with transversely flexible core, ASCE Journal of Engineering Mechanics, 1991, Vol.117, No.9, pp.1931-1952.

107. Frostig Y. Buckling of Sandwich Panels with a Transversely Flexible Core -High-Order Theory, International Journal of SOLIDS and STRUCTURES, 1998,Vol. 35, Nos. 3-4, pp. 183-204.

108. Fulton R.E., Effect of face-sheet stiffness on buckling of curved plates and cylindrical shells of sandwich construction in axial compression, NASA TN D-2783, 1965, p.26.

109. Ghugal Y. M., Shimpi R.P., A review of refined shear deformation theories for isotropic and anisotropic laminated beams, Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2001, 20 (3), pp.255-272.

110. Gol'denveizer A.L., Theory of Thin Shells, Pergamon Press, New York, 1961, p.512.

111. Goodier J.N., Hsu C.S., Nonsinusoidal buckling modes of sandwich plates, Journal of the Aeronautical Sciences, 1954, Vol.21, pp.525-532.

112. Habip L.M., A review of recent work on multilayered structures, Internat. Journal of Mechanical Sciences, 1965, Volume 7, Issue 8, pp.589-593.

113. Hencky H., Uber die Beruksichtigung der Schiibverzerrung in ebenen Platten, Ingenieur-Archiv, 1947, Vol.16, pp.72-76.

114. Hildebrand F.B., Reissner E., Thomas G.B., Notes on the foundation of the theory of small displacements of orthotropic shells, NACA TN No: 1833, 1949, p.59.

115. Hoff N.J., Bending and buckling of rectangular sandwich plates, 1950, NACA TN 2255, p.28.

116. Hu H., Belouettara S., Potier-Ferry M., and Dayab M., Review and assessment of various theories for modeling sandwich composites, Composite Structures, 2008,Volume 84, Issue 3, July, pp.282-292.

117. Jaunky N., and Knight N.F Jr., An assessment of shell theories for buckling of circular cylindrical laminated composite panels loaded in axial compression, International Journal of Solids and Structures, 1999, Vol. 36, Issue 25, pp.37993820.

118. Jones R.M., Mechanics of composite materials, Taylor&Francis, 2nd Edition, 1999, p.519.

119. Kant T., Swaminathan K., Estimation of transverse/interlaminar stresses in laminated composites: a selective review and survey of current developments, Composite Structures, 2000,49(1), pp.65-75.

120. Kant T., Numerical analysis of thick plates, Computer methods in applied mechanics and engineering, 1982, Vol.31, No.l, pp. 1-18.

121. Kapania P.K., Review on the analysis of laminated shells, J. Pressure Vessel Tech., 1989, 111(2), pp.88-96.

122. Karama M., Afaq K.S., Mistou S., Mechanical behaviour of laminated composite beam by new multi-layered laminated composite structures model with transverse shear stress continuity, Int. J. Solids and Structures, 2003, Vol.40, pp. 1525-1546.

123. Koiter W.T., On the stability of elastic equilibrium, Ph.Thesis, Delft, 1945, p.320.

124. Kraus, H., Thin Elastic Shells, Wiley, 1967, New York, p.476.

125. Kromm, A., Verallgeneinerte Theorie der Plattenstatik, Ing. Arch.,1953, Vol. 21, pp.266-286.

126. Kuenzi E.W., Ericksen W.S., Zahn J.J., Shear stability of flat panels of sandwich construction, U.S. Forest Products Laboratory Report 1560, 1962, p.86.

127. LeissaA.W., Vibration of Plates, NASA SP-160, 1969,p.358.

128. LeissaA.W., Vibration of Shells, NASA SP-288, 1969, p.428.

129. Leissa A.W., Buckling of laminated composite plates and shell panels, AF-WAL-TR-85-3069, Ohio, 1985, p.454.

130. Levinson M., An accurate simple theory of the statics and dynamics of elastic plates, Mech. Res. Commun., Vol.7, 1980, pp.343-350.

131. Ley R.P, Lin W., Mbanefo U., Facesheet wrinkling in sandwich structures, NASA/CR, 1999, p.38.

132. Libove C. and Batdorf S.B., A General Small-deflection Theory for flat sandwich plates, NACA TN-1526, 1948, p.54.

133. Librescu L. and Chang M.Y., Effects of geometric imperfections on vibration of compressed shear deformable laminated composite curved panels, Acta Mechanica, 1993, 96(1—4), pp.203-224.

134. Librescu L., Khdeir A.A., and Frederick D., A shear-deformable theory for laminated composite shallow shell-type panels and their response analysis: free vibration and buckling, Acta Mech., 1989, 76, pp. 1-33.

135. Liew K.M., Lim C.W. and Kitipornchai S., Vibration of shallow shells: a review with bibliography, Appl. Mech. Rev., 1997, 50(8), pp.431-444.

136. Liu R-H and Li J, Nonlinear vibration of shallow conical sandwich shells, lnt J Nonlinear Mechanics, 1995, 30(2), pp.97-109.

137. Liu D. and Li X., An overall view of laminate theories based on displacement hypothesis, J. Composite Materials., 1996, Vol.30 (Issue 14), pp.1539-1561.

138. Lo K. H., Christensen R. M. and Wu E.M., A high-order theory of plate deformation: Parts 1 and 2, Journal of Applied Mechanics, 1977, Vol. 44, pp.663-676.

139. Love A.E.H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, First ed., Cambridge Univ. Press, 1892, fourth ed., Dover Pub., Inc. NY, 1944, p.643.

140. Matsunaga H., Assessment of global-higher order deformation theory for laminated composite and sandwich plates, Composite structures, 2002, pp.279-291.

141. Medwadowski S.J., A refined theory of elastic orthotropic plates, ASME journal of applied mechanics, 1958, Vol.25, pp.437-443.

142. Mindlin, R. D.: "Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates, Journal of Applied Mechanics, 1951, Vol. 18, pp. 31-38.

143. Murakami H., Laminated composite plate theory with improved in-plane responses, Journal of applied mechanics, 1986, Vol.53, pp.661-666.

144. Murthy, M.V.V., An improved transverse shear deformation theory for laminated anisotropic plates, NASA TP-1903, 1981, p.39.

145. Naghdi, P. M., On the Theory of Thin Elastic Shells, Quarterly of Applied Mathematics, 1957, Vol. 14, No. 4, pp.369-380.

146. Nelson R. B. and Lorch D. R., A refined theory for laminated orthotropic plates, J. Appl. Mech., 1974, Vol. 41, pp. 177-183.

147. Nettles A.T., Basic mechanics of laminated composite plates, NASA Reference publication 1351, 1994, p.97.

148. Noor A.K., Free vibrations of multilayered composite plates, AIAA Journal, 1973, Vol.11, pp. 1038-1039.

149. Noor A.K., Burton W.S., Assessment of shear deformation theories for multi-layered composite plates, ASME Appl Mech Rev 1989, Vol.42 (1), pp.1-13.

150. Noor A.K., Burton W.S., Bert C.W., Computational models for sandwich panels and shells, Applied Mechanics Reviews, 1996, V. 49, pp. 155-199.

151. Noor A.K., Burton W.S., and Peters J.M., Assessment of computational models for multilayered composite cylinders. Int. J. Solids Structures, 1991, Vol.27 (10), pp. 1269-1286.

152. Nosier A., Kapania R.K. and Reddy J.N., Free .vibration analysis of laminated plates using a Iayerwise theory, AIAA Journal, 1993, Vol.31 (12), pp.2335-2346.

153. Pagano J.N., Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending, Journal of composite materials, 1969, Vol.3, pp.398-411.

154. Pai P.F. and Nayfeh A.H., Unified nonlinear formulation for plate and shell theories, Nonlinear Dynamics, 1994, Vol.6(4), pp.459-500.

155. Palazotto A.N. and Linnemann P.E., Vibration and buckling characteristics of composite cylindrical panels incorporating the effects of a higher order shear theory, Int. J. Solids Struct., 1991, Vol.28 (3), pp.341-361.

156. Pane V. Theories of elastic plates. Prague: Academia, 1975, p.716.

157. Plantema F.J., Sandwich construction: bending and buckling of sandwich beams, plates and shells, John Wiley & sons, New York, 1966, p.246.

158. Pokharel N., Behaviour and design of sandwich panels subject to local buckling and flexural wrinkling effects, PH.D. Thesis,'Queensland University of Technology School of Civil Engineering, 2003, p.305.

159. Qatu M.S., Vibration of Laminated Shells and Plates, Elsevier, 2004, p.406.

160. Qatu M.S., Free Vibration of Laminated Composite Rectangular Plates, Int. J. of Solids and Structures, 1991, Vol. 28, No.8, pp.941-954.

161. Rath B.K., Das Y.C., Vibration of laminated Shells, Journal of sound and vibration, 1973, Vol.28 (4), pp.737-757.

162. Reddy J.N., A simple higher order theory for laminated composite plates, Journal of Applied mechanics, 1984, Vol.51, pp.745-752.

163. Reddy J.N., Exact solutions of moderately thick laminated shells, J. Engng Mech., 1984, Vol.110(5), pp.794-809.

164. Reddy J.N., On the refined computational models of composite laminates. Int. J. Numer. Meth. Engng, 1989, Vol.27(2), pp.361-382.

165. Reddy J.N., A Review of Rei fined Theories of Laminated Composite Plates, The Shock and Vibration Digest, 1990, Vol.22(7), p.3-17.

166. Reddy J.N., An evaluation of equivalent single-layer and layerwise theories of composite laminates, Composite Structures, 1993, Vol.25, pp.21-35.

167. Reddy J.N., Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, CRC Press, Boca Raton, FL, Second Edition, 2004, p.831.

168. Reddy J.N., Robbins D.H., Theories and computational models for composite laminates, Applied Mechanics Reviews, Vol 47, No.6 (1), 1994, pp.147-169.

169. Reddy J.N., Energy principles and variational methods in applied mechanics, John Wiley & sons, Inc., 2.ed., 2002, p.592.

170. Reissner E., The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates, Journal of applied mechanics, Trans. ASME, Vol.12, 1945, pp.A69-A77.

171. Reissner, E., Finite deflections of sandwich plates, Jour. Aero.Sci., Vol.15, 1948, pp.435-440.

172. Ren J.G., Exact solutions for laminated cylindrical shells in cylindrical bending, Composite Science and Technology, 1987, Vol.29, pp. 169-187.

173. Sanders L. JR., An improved first approximation theory for thin shells, NASA TR-R24, 1959, p. 16.

174. Sanders J.L.Jr., Nonlinear theories for thin shells, Quart. Appl. Math., vol. 21, no. 1, Apr. 1963, pp.21-36.

175. Schmidt R., A refined nonlinear theory of plates with transverse shear deformation, J. Industrial Mathematics Society, 1977, Vol. 27, Parti, pp. 23-28.

176. Seide P., An improved approximate theory for the bending of laminated plates, Mechanics today, 1959, Vol.5, pp 415-421.

177. Selmane A. and Lalcis A. A., Influence of geometric nonlinearities on the free vibrations of orthotropic open cylindrical shells, Int. J. Numer. Meth. Engng, 1997, Vol.40(6), pp.1115-1137.

178. Shanmugam N.E., Wang C.M., Analysis and design of plated structures: Vol. 2 Dynamics, Woodhead Publishing Ltd., 2007, p.497.

179. Simitses G.J., Buckling of modaretely thick laminated cylindrical shells : a review, Composites Part B: Engineering, Vol.27(6), 1996, pp.5 81-587.

180. Skvortsov V., Bozhevolnaya E., Kildegaard A., Assessment of models for analysis of singly-curved sandwich panels, Composites Structures, 1998, Vol.41, Issues 3-4, pp.289-301.

181. Soedel W., Vibrations of shells and plates, Marcel Dekker, 2004, p.553.

182. Soldatos K.P., A refined laminated plate and shell theory with applications, Journal of sound and vibration, Vol.144, pp. 109-129.

183. Stein M., Magers J., Compressive buckling of simply supported curved plates and cylinders of sandwich construction, NASA TN 2601, 1952, p.34.

184. Swift G.W., Heller R.A., Layered beam analysis, J. Eng. Mech. Div., ASCE, 1974, Vol.100, pp.267-282.

185. Thomsen O.T., Analysis of local bending effects in sandwich plates subjected to concentrated loads, Proc. Second international conference on sandwich construction, Eds: D.Weissman.Berman and K.A.Olsson, Gainesville, 1992, EMAS, UK, pp.417-440.

186. Timoshenko S.P., Vibration problems in engineering, 2.Edition, D.Van Nostrand Company, Inc., New York, 1937, p.337.

187. Timoshenko S.P., Gere J.M., Theory of elastic stability, 2. edition, McGraw-Hill, New York, 1961, p.541.

188. Timoshenko S.P. and Woinowsky-Krieger S., Theory of plates and shells, 2.edition, McGraw-Hill, London, 1970, p.591.

189. Touratier M., An efficient standard plate theory, Int. J. Eng. Sci., 1991, Vol.29 (8), pp.901-916.

190. Tsai S.W. and Hahn H.T., Introduction to composite materials, Technomic, Lancaster PA, USA, 1980, p.455.

191. Varadan T.K., Bhaskar K., Review of different laminate theories for the analysis of composites, Journal of Aeronautical Society of India, 1997, Vol.49, No.4, pp.202-208.

192. Vinson J.R. and Sierakowski, R.L., The Behaviour of Structures Composed of Composite Materials, Martinus Nijhoff Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1986, p.323.

193. Vinson J.R., Plate and panel structures of isotropic, composite and piezoelectric materials, including sandwich construction, Springer, 2005, p.418.

194. Vlasov Z., General Theory of Shells and Its Applications in Engineering, NASA TT F-99, 1964, p.925.

195. Whitney J.M., The effect of transverse shear deformation in the bending of laminated plates, Journal of composite materials, 1969, Vol.3, pp.534-547.

196. Whitney J.M., Pagano N.J., Shear deformation in heterogeneous anisotropic plates, ASME Journal of Applied Mechanics, 1970, Vol.37, pp.1031-1036.

197. Whitney J.M., Sun C.T., A higher order theory for extensional motion of laminated composites, Journal of Sound and Vibration, 1973, Vol.30.No.l, pp.8597.

198. Xavier P.B., Lee K.H., Chew C.H., An improved zig-zag model for the bending of laminated composite shells, composite structures, 1993, Vol.26, pp.123-138.

199. Xu C.S., Xia Z.Q. and Chia C.Y., Nonlinear theory and vibration analysis of laminated truncated, thick, conical shells, Int. J. Non-Linear Mech., 1996, Vol.31 (2), pp. 139-154.

200. Yang P.C., Norris C.H., Stavsky Y., Elastic wave propogation in heterogeneous plates, International journal of solids and structures, 1966, Vol.2, pp.665-684.

201. Ye, J.Q. Laminated Composite Plates and Shells: 3D Modeling, Springer, Berlin, 2003, p.288.

202. Zenkert D., An introduction to sandwich constructions, West Midlands, UK: EMAS Publications, 1995,p.277.

203. Zhen W., Wanji C., An assessment of several displacement-based theories for the vibration and stability analysis of laminated composite and sandwich beams, Composite Structures, 2008, Vol.84 (4), pp.337-349.