автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитическое моделирование статики, устойчивости и колебаний пространственно армированных оболочек вращения

/ с'сас/

На нравах рукоиг«.-«

РЕШЕТНИКОВА ЕЛЕНА ВАСИЛЬЕВНА

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАТИКИ, УСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

Специальность 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новокузнецк - 2005

Работа выполнена в Новокузнецком филиале-институте Кемеровского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Каледин Валерий Олегович

доктор технических наук, доцент Калашников Сери-й Николаевич доктор физико-магема! ических наук, профессор

Цвслодуб Игорь Юрьевич

Институт теоретический и прикладной механики СО РАН (г. Новосибирск)

Заццна состоится "14" июня 2005 г. в

Й

часов на заседании диссергаци

очного совета Д 212.252.02 в Государственном образован.- 1ьном учрежде нии высшего профессионального образования «Сибирским государствен ный индус 1риальный университет» по адресу: 654007, j Новокузнецк, Ке меровской обл , ул. Кирова, 42, СибГИУ. E-mail- vkaled@nkfi.ru Факс. (3843) 46-57-92

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СибГИУ.

Автореферат разослан " // " M/ZJL* 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.Ф.Евтушенко

¿/6

¡ъш

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. При создании новых силовых конструкций машин и оборудования уже на ранних стадиях проектирования для принятия проектно-конструкторских решений требуется информация о влиянии конструктивных параметров на прочностные характеристики. Эта информация в отсутствие опытных данных может быть получена только с помощью теоретических моделей. Разработка перспективных видов силовых конструкций зависит от наличия опережающих разработок эффективных средств их математического моделирования.

Среди силовых конструкций из полимерных композиционных материалов приобретают распространение подкрепленные оболочечные конструкции со сложными схемами армирования, в том числе с пространственным армированием волокном под ненулевыми углами ко всем трем базисным векторам поверхности оболочки. Традиционные средства расчета таких конструкций основываются на использовании экспериментально измеренных характеристик материалов в осях, связанных с линиями кривизны, что ограничивает возможность их применения на ранних стадиях проектирования рамками моделей ортотропных оболочек.

Поэтому актуальна разработка теоретических моделей статики, устойчивости и колебаний пространственно армированных оболочек вращения из полимерных композиционных материалов, учитывающих анизотропию общего вида, наличие разнородных участков и подкрепляющих элементов.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с Целевой комплексной программой «Интеграция» Министерства образования РФ (проект Р-0045) и с планом НИР Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета.

Цели и задачи диссертации. Разработка средств математического моделирования статического деформирования, свободных колебаний и устойчивости пространственно армированных составных и подкрепленных оболочек при силовом и температурном воздействии применительно к ранним стадиям проектирования оболочечных силовых конструкций.

В рамках поставленной цели выделены следующие задачи.

1. Разработать методику вычисления интегральных характеристик жесткости неортотропной пространственно армированной оболочки.

2. Разработать численно-аналитическую модель деформирования оболочки вращения, основанную на методе конечных элементов для дискретизации по меридиану и разложении в ряд Фурье по окружной координате.

3. Обосновать сходимость численно-аналитического решения.

4. Создать программную реализацию методики математического моделирования статического деформирования, малых свободных колебаний и устойчивости подкрепленных и составных оболочек вращения с произвольными схемами армирования при юздействиях.

5. Исследовать свойства разработанных математических моделей на контрольных примерах.

Методы выполнения работы. Метод конечных элементов для построения дискретной модели, метода линейной алгебры для решения алгебраических задач с матрицами высокого порядка, методы функционального анализа для оценки порядка сходимости, методы объектно-ориентированного анализа и проектирования для разработки пакета программ математического моделирования.

Научная новизна.

1. Разработана математическая модель для расчета статики, свободных колебаний и устойчивости составных и подкрепленных пространственно армированных неортотропных оболочек вращения.

2. Разработан численно-аналитический алгоритм расчета перемещений, напряжений и деформаций при статическом нагружении пространственно армированных анизотропных оболочек, частот и форм свободных колебаний и критических нагрузок потери устойчивости.

3. Получена оценка порядка аппроксимации численного решения при наличии подкрепляющих элементов и стыков разнородных частей оболочки.

4. Получены количественные оценки чувствительности построенных математических моделей к варьированию конструктивных параметров и параметров армирования оболочечных конструкций.

Практическая значимость состоит в разработке пакета программ для математического моделирования статического деформирования, устойчивости и свободных колебаний конструкций, содержащих в качестве элементов пространственно армированные оболочки вращения, что позволяет проводить параметрическое исследование разрабатываемой конструкции еще на предэскизной стадии ее проектирования, в целях выбора рациональных значений проектных параметров.

Реализация результатов. Результаты диссертации (методика математического моделирования и пакет программ) используются в ЦНИИ специального машиностроения (г. Хотьково), на ОАО «Западно-Сибирский металлургический комбинат» (г. Новокузнецк) и в учебном процессе НФИ КемГУ, что подтверждено актом о внедрении и справками об использовании результатов диссертации, приведенными в приложении. Основные результаты работы могут представить интерес для предприятий и организаций, занимающихся проектированием и исследованием машиностроительных конструкций типа слоистых оболочек вращения, в том числе пространственно армированных.

Предмет защиты и личный вклад автора. На защиту выносится:

1. Математическая модель статического деформирования, устойчивости и свободных колебаний пространственно армированных оболочек вращения при силовых и термических нагрузках.

1 . ! *

2. Численно-аналитический алгоритм расчета полей перемещений и напряжений, частот и форм свободных колебаний и критических нагрузок пространственно армированных составных и подкрепленных оболочек вращения.

3. Доказательство сходимости и оценка порядка аппроксимации численного решения с учетом стыков разнородных частей оболочки.

4. Программная реализация алгоритмов расчета напряжений и деформаций при статическом нагружении, частот и форм свободных колебаний и критических нагрузок потери устойчивости составных и подкрепленных пространственно армированных оболочек вращения при силовых и термических воздействиях.

5. Результаты исследования точности численно-аналитической модели на контрольных примерах, имеющих точные решения, и результаты исследования чувствительности модели к варьированию конструктивных параметров оболочки и армированного материала.

Автору принадлежит: постановка задач исследований; разработка математических моделей, численно-аналитических алгоритмов расчета; доказательство сходимости численного решения; реализация на ЭВМ моделей, алгоритмов; проведение вычислительных экспериментов и анализ результатов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на 4-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2001 г.); на XXXI Уральском семинаре: «Механика и процессы управления» (Екатеринбург, 2001 г.); на П Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2002 г.); на тринадцатой научно-практической конференции по проблемам механики и машиностроения (Новокузнецк, 2003 г.); на 5-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2002 г.); на региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2002 г.); на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Москва-Владимир, 2003 г.); на III Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2003 г.); на XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий (Екатеринбург, 2003 г.); на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003 г.); на 6-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2003 г.); на IV Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2004 г.); на 4-й Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии в экономике, науке и образовании» (Бийск, 2004 г.); на 12-й Международной научной

конференции «Современные проблемы электрометаллургии стали» (Челябинск, 2004 г.); на 15-й научно-практической конференции по проблемам механики и машиностроения (Новокузнцк, 2004 г.); на 7-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2004 г.); на V Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2005 г.); на XXV Российской школе по проблемам науки и технологий (Екатеринбург, 2005 г.)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 19 работах, приведенных в библиографическом списке к автореферату.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений. В первой главе приведен краткий обзор опубликованных работ по теме диссертации. В трех других главах изложены собственные результаты автора. В заключении представлены основные выводы по работе. Содержание изложено на 137 страницах, включая 61 рисунок и 5 таблиц. Список используемой литературы содержит 113 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приведены результаты анализа объектов исследования и их математических моделей.

Созданию математических моделей статики, колебаний и устойчивости армированных составных и подкрепленных оболочек вращения посвящено большое число работ. Конструктивные особенности оболочек вращения из волокнистых композиционных материалов заключаются в наличии неоднородности материала на различных структурных уровнях: микроструктуры «волокно-матрица», неоднородности на уровне слоев и неоднородности на уровне «оболочка-подкрепление» для оболочек с силовым набором. В разработку моделей, учитывающих эти особенности композитов, наиболее существенный вклад внесли В.В. Болотин, И.Ф. Образцов, Г.А. Ванин, В.В. Васильев, Ю.В. Немировский, Э.И. Григолюк, Я.М. Гри-горенко и другие исследователи. Однако традиционные модели таких конструкций основываются на использовании различных вариантов теории ортотропных оболочек, что ограничивает возможность их применения на ранних стадиях проектирования неортотропных пространственно армированных оболочек вращения.

Наличие элементов подкрепления, нагруженных и защемленных кромок приводит к появлению краевых эффектов, в зоне которых напряжения могут значительно превышать напряжения вдали от указанных концентраторов, причем скорость затухания этих специфических краевых эффектов различна. Поэтому требуется надежное вычисление напряжений в зоне краевых эффектов.

Наиболее удобен для таких расчетов метод конечных элементов в форме перемещений. Оценке порядка аппроксимации метода конечных

элементов посвящены работы Р. Варга, Г. Стренга, однако доказанные теоремы распространяются только на случай однородных областей, в случае составных и подкрепленных конструкций было необходимо получить такие оценки.

На основе проведенного аналитического обзора сформулирована цель и поставлены задачи работы, обосновывается выбор методов решения.

Вторая глава посвящена разработке численно-аналитической модели деформирования упругих неортотропных пространственно армированных оболочек вращения, подкрепленных шпангоутами, основанной на полуаналитическом методе конечных элементов в варианте метода перемещений. Модели деформирования построены на основе статических гипотез и двух кинематических гипотез типа Тимошенко и Кирхгофа-Лява с использованием вариационных принципов теории оболочек.

Изотремическое термоупругое деформирование оболочки в предположении о независимости температурных и силовых воздействий, когда температурные деформации рассматриваются как начальные, подчиняется вариационному принципу Лагранжа: из всех кинематически возможных полей перемещений равновесие достигается при том, которое доставляет минимум потенциальной энергии оболочки

4 \WctV ~ \FiUidV- ¡/,щев] = 0, (1)

IV V 5 J

где ¡V - плотность энергии деформации; и, - векторное поле перемещений; - объемные силы; /, - поверхностные силы; V - объем; 5 - поверхность термоупругого тела.

Плотность энергии деформации известным образом выражается через перемещения с учетом соотношений Коши, связывающих деформации с перемещениями, обобщенного физического закона термоупругости для анизотропного тела и кинематических гипотез Тимошенко или Кирхгофа-Лява. Физический закон Дюамеля с учетом статических гипотез теории оболочек записывается в матричном виде

^ (2) где (Гу - тензор напряжений; еи - линейный тензор деформаций; <1т -

компоненты изотермического тензора упругости при заданной температуре; аи~ тензор коэффициентов линейного температурного расширения; Т - разность между заданной температурой в точке и начальной температурой.

Существенной особенностью рассматриваемого класса конструкций является пространственное армирование материала, при котором армирующие волокна располагаются под углом ко всем векторам естественного базиса кривизны оболочки (рисунок 1). В базисе, совпадающим с главными осями анизотропии материала, компоненты тензора упругости опреде-

ляются по известным моделям. Для перехода к базису, связанному с оболочкой, используются тензорные свойства констант закона упругости.

Рисунок 1 - Углы, определяющие направление армирования материала

Использованные статические гипотезы теорий оболоней включают предположения об отсутствии нормальных' напряжений, действующих вдоль нормали к координатной поверхности оболочки, и равенстве нулю напряжений поперечного сдвига на лицевых поверхностях. В выражении для энергии деформации напряжения поперечного сдвига считаются пропорциональными квадратичной функции нормальной координаты.

Ввиду того, что материал не ортотропный, принята кинематическая гипотеза Тимошенко: нормальный элемент после деформации остается прямым и не меняет длину, но не остается нормальным к деформированной координатной поверхности.

На стыке разнородных частей оболочки (в том числе на стыке оболочки с элементами силового набора) ставятся условия сопряжения. В модели, основанной на вариационном принципе Лагранжа, кинематические условия сопряжения (непрерывность перемещений) выполняются заранее, а статические получаются из условия стационарности функционала автоматически.

Дискретизация сформулированной выше вариационной задачи проводится на основе полуаналитического метода конечных элементов. Факторы, определяющие воздействия, и искомые функции раскладываются в ряд Фурье по окружной координате. По меридиану эти функции аппроксимируются эрмитовым сплайном третьего порядка.

В результате энергия деформации выражается в виде суммы квадратичных форм относительно перемещений узлов по каждой гармонике. Система разрешающих уравнений статики расщепляется на отдельные подсистемы, число которых равно числу учитываемых гармоник.

п

в

у - угол армирования в касательной плоскости, л|г - продольный угол, а - поперечный угол

В местах стыка разнородных частей для выполнения условий сопряжения введены дополнительные степени свободы, что позволяет учитывать разрывность производных от перемещений в таких точках.

Задача устойчивости оболочечных конструкций решается с учетом квадратичной зависимости приращений деформаций от приращений перемещений в окрестности положения равновесия. Эта задача также расщепляется на независимые системы для каждой гармоники. Из условия равенства нулю второй вариации потенциальной энергии получаем обобщенную задачу собственных' чисел и векторов для пары матриц - жесткости К и геометрической жесткости С для гармоники у

Ки)+Хво>=0, (3)

♦ где X - отношение критической нагрузки к приложенной.

Модель для расчета частот и форм собственных колебаний решается с учетом выражения кинетической энергии через скорости перемещений.

<? После интегрирования по объему, кинетическая энергия принимает вид

квадратичной формы от скоростей с матрицей масс М. Краевая задача известным образом приводится к задаче обобщенных собственных чисел и векторов пары матриц - жесткости X и масс М для гармоники]

(*0)-й>2М0))^=0, (4)

где со - частота свободных колебаний.

Рассмотренная методика построения математической модели оболочки вращения обобщена на случай трехслойной оболочки с легким заполнителем, в которой несущие слои и заполнитель рассматриваются в рамках гипотезы ломаной нормали.

Таким образом, в рамках гипотезы Тимошенко построена модель деформирования составных и подкрепленных пространственно армированных оболочек вращения и на основе полуаналитического метода конечных элементов получены разрешающие уравнения для задач статического деформирования, свободных колебаний и устойчивости.

В третьей главе получена теоретическая оценка сходимости предла-

♦ гаемого численно-аналитического метода решения краевой задачи и оценка точности решения на контрольных примерах.

Сходимость внутри гладкого участка оболочки основывается на из-

♦ вестной теореме Стренга о порядке аппроксимации метода конечных элементов

гйе к-\ - степень аппроксимирующего полинома, л - порядок оцениваемой производной.

Согласно (5) порядок аппроксимации перемещений на гладком участке равен четырем, а изгибающих моментов - двум.

В узле, соединяющем разнородные части оболочки, порядок аппроксимации получен теоретически непосредственной оценкой невязки. Най-

дено, что использование сплайна, гладкого по всей длине оболочки, не позволяет учесть краевой эффект вблизи стыка разнородных участков, а предложенная методика разрыва производных устраняет этот недостаток.

Точность предлагаемого решения оценена сравнением результатов расчета контрольных примеров с точными аналитическими решениями и численными решениями, полученными известными методами. При расчете краевого эффекта Лява в цилиндрической оболочке толщиной А с модулем упругости Е получена погрешность 0,12% (рисунок 2).

мЛ)

м

т --

. - I-

.л

I- V

4

г а

И

4<ь 100»

9000 1-

2000

Г

»00 к

■то

1-

10000

50 130 290 350 450 ЭЛ б

3

90 150 290 390 490 8Я|

190 290 390 490 8Л

В г

1 - напряжения на внутренней поверхности оболочки;

2 - на внешней поверхности; 3 - аналитическое решение

Рисунок 2 - Краевой эффект в оболочке при гидростатическом давлении: а - схема нагружения, б - зависимость прогибов от меридиональной координаты, в - меридиональные напряжения, г - окружные напряжения

При расчете неосесимметричного деформирования консольно закрепленной оболочки с жесткой диафрагмой получена погрешность 0,01%. При расчете эллипсоидальной оболочки под действием неосесимметричной нагрузки получено различие с известным решением на 27% в окружных напряжениях и 10% в напряжениях вдоль меридиана, но сопоставление проводилось с Приближенным решением.

Контрольный пример расчета деформирования подкрепленной трехслойной оболочки с легким заполнителем при внешнем давлении р показал отличие найденного решения от известного решения в рядах на 4,4% (рисунок 3). На этом рисунке - продольный модуль упругости несущих слоев,«- меридиональная координата. ■ * ■(

"й 1 1

! 1

5

¡1

\ 3

л И ;

\

1

02 0« 1« XI

-

I

1 —

Г

1

I

!

026 0 75 1 25 1 75 «Я.

Рисунок 3 - Прогибы у и напряжения о, в составной трехслойной оболочке, подкрепленной шпангоутами: а - расчетная схема, б - прогибы, в - меридиональные напряжения

Оценка точности определения собственных частот проведена на задаче о колебаниях цилиндрической оболочки. Полученная погрешность составила 5% на 1-й и 8,25% на 4-й форме; вторая и третья формы не описываются известным решением, в котором учтены только осесимметричные и балочные формы колебаний.

Оценка точности решения задачи устойчивости проведена на примере устойчивости цилиндрической композитной оболочке при действии осевой сжимающей силы и внешнего давления. Найдено, что по сравнению с аналитическим решением погрешность не превышает 5%.

Таким образом, сходимость предлагаемого численно-аналитического решения краевой задачи обоснована теоретически и подтверждена численными экспериментами. Найдено, что точность достаточна для проведения вычислительного эксперимента на ранних стадиях проектирования.

В четвертой главе исследуется чувствительность предложенной модели к варьированию параметров моделируемой конструкции и к способу учета условий сопряжения разнородных участков.

Проведено параметрическое исследование перемещений, напряжений и частот и форм свободных колебаний в цилиндрической оболочке толщиной к в зависимости от схемы армирования материала (модуль упругости вдоль волокон Е,). На рисунке 4 показаны зависимости прогибов и окружных перемещений от меридиональной координаты з для различных углов армирования пространственно армированной эллипсоидальной оболочки. При изменении поперечного угла армирования от нуля до 5° прогибы не изменяются, а напряжения уменьшаются на 3%. При дальнейшем увеличе-

нии угла до 10° прогибы увеличиваются на 20%. Таким образом, модель чувствительна к указанному параметру.

«/ь

0Ш5 ОШ

—г— ур

|/ ! ж 1 1 \ !

|

а б

Рисунок 4 - Изменение прогибов и> (а) и окружных напряжений ав (б) в зависимости от угла спиральности а

Для трехслойной цилиндрической оболочки радиуса Д с легким заполнителем и поперечным силовым набором найдены зависимости перемещений, напряжений и критических нагрузок от ширины сечения промежуточных шпангоутов и угла армирования несущих слоев с модулем упругости на растяжение вдоль волокон Е. На рисунке 5 представлены зависимости прогибов м> от ширины промежуточных шпангоутов Ъ по отношению к их толщине Ъ.

-05 -0 7 -0.9 -1 1

Р-ТТГ

- —

✓ 1

— г - **

• 1

05 1 1 17 23 2,9 Ь/Ь

0 5 1 1 1 7 2 3 2 9 Ь/К

а б

Сплошная линия - давление q, пунктир - осевая сила дЯ2

Рисунок 5 - Зависимость прогибов от ширины сечения промежуточных шпангоутов: а - на середине пролета, б - на середине шпангоута

Проведенное параметрической исследование позволило сформулировать рекомендации по рациональному выбору конструктивной схемы обо-лочечной конструкции.

Для подтверждения достоверности результатов работы рассчитанные частоты и формы собственных колебаний двуслойной цилиндрической

оболочки сопоставлены с данными эксперимента, проведенного на ОАО ЗСМК к.т.н. Д.А.Лубяным. Различие не превышает 15%.

Программы, реализующие разработанные в диссертации алгоритмы на базе построенных математических моделей, используются в ЦНИИ специального машиностроения при проектировании оболочечных конструкций, что подтверждено актом о внедрении.

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ

1. Разработана математическая модель термоупругого деформирования неортотропной спирально армированной оболочки вращения, основанная на разложении решения краевой задачи в ряд Фурье по окружной координате и представлении в виде эрмитова сплайна по меридиану, в которой, с целью выполнения условий сопряжения на границах разнородных участков, учитывается различие производных от перемещений в узлах на границах раздела.

2. Показано, что сходимость предложенной конечно-элементной схемы по перемещениям имеет четвертый порядок, по погонным усилиям и моментам - не ниже второго. Доказана необходимость учета разрывности производных для сходимости погонных сил и моментов.

3. Исследована точность численных решений контрольных примеров и чувствительность получаемых результатов к вариации конструктивных параметров модели (углам армирования, жесткостным параметрам и геометрическим размерам моделируемых оболочек).

4. Установлено, что предложенные модели устойчивости и колебаний оболочек, основанные на гипотезе С.П.Тимошенко, в случае тонких оболочек хорошо согласуются моделью на основе гипотезы Кирхгофа-Лява.

5. Проведены вычислительные эксперименты по параметрическому исследованию напряженно-деформированного состояния подкрепленной армированной оболочки.

6. Разработана программная реализация методики математического моделирования статического деформирования, устойчивости и малых колебаний подкрепленных и составных оболочек вращения с произвольными схемами армирования при силовых и термических воздействиях, которая внедрена в промышленности при проектировании оболочечных конструкций из полимерных композиционных материалов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Решетникова Е.В. Об учете разрыва производных при расчете оболочки вращения / Е.В. Решетникова // Краевые задачи и математическое моделирование Т.2.: Мат. 4-й Всерос. науч. конф - Новокузнецк: Изд. центр НФИ КемГУ, 2001. - С.50-54.

2. Каледин В.О. О модели деформирования составной оболочки вращения с учетом разрыва производных от перемещений / В.О. Каледин,

E.B. Решетникова И Механика и процессы управления: Тр XXXI Уральского семинара. - Екатеринбург, 2001. - С. 99-103.

3. Решетникова Е.В. Учет разрыва производных от перемещений при расчете напряженно-деформированного состояния составной оболочки вращения / Е.В. Решетникова // Тр. II региональной науч.-практ. конф. студентов и аспирантов Т.З.- Новокузнецк: Изд. центр НФИ КемГУ, 2002. -С.4-5.

4. Каледин В.О. Напряженно-деформированное состояние подкрепленных и составных ортотропных оболочек вращения / В.О. Каледин, Е.В. Решетникова // Вопросы оборонной техники. Серия 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. - М.: НТЦ «Информтехника». - 2002. - Вып. 1(129). - С.5-14.

5. Решетникова Е.В. О моделировании напряженно-деформированного состояния неоднородных и подкрепленных оболочек вращения / Е.В. Решетникова // Мат. 13-й науч.-практ. конф. по проблемам механики и машиностроения. Под ред. профессора Дворникова Л.Т. Новокузнецк, СибГИУ, 2003.-С.139- 151.

6. Решетникова Е.В. Модель деформирования подкрепленных и составных оболочек вращения / Е.В. Решетникова // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб.тр. 5-й Всерос.науч.конф. Т.1. - Новокузнецк, 2002. - С.73-75.

7. Решетникова Е.В. Численная модель для расчета напряженно-деформированного состояния составной оболочки вращения / Е.В. Решетникова // Наука. Техника. Инновации: Региональная науч. Конф. студентов, аспирантов и молодых ученых: Тез. докл. в 5-ти частях. Часть 1. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2002.-С. 136-137.

8. Каледин В.О. Исследование собственных форм и частот спирально армированных оболочек вращения / В.О. Каледин, Е.В. Решетникова // 12 Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. - М.: МАИ, 2003. - С. 313-315.

9. Решетникова Е.В. Свободные осесимметричные колебания ортотропных оболочек вращения / Е.В. Решетникова // Информационные технологии в экономике, промышленности и образовании: Сб.науч.трудов. Вып. №6. - М.: Электрика, 2003.- С.49-53.

10. Решетникова Е.В. Сравнительный анализ собственных частот спирально-армированных оболочек вращения, рассчитанных на основе разных гипотез / Е.В. Решетникова // III Региональная науч.-практ. конф. студентов и аспирантов Ч. 2. Доклады аспирантов и молодых ученых - Кемерово: Изд. КемГУ, 2003. - С. 48-54.

11. Решетникова Е.В. Напряженно-деформированное состояние спирально-армированных осесимметричных оболочек вращения при несимметричных нагрузках / Е.В. Решетникова // XXIII Рос. шк. по проблемам

науки и технологий: Краткие сообщения. - Екатеринбург: УрО РАН,

2003. - С. 10 - 12.

12. Каледин В.О. Статика и динамика спирально-армированных оболочек вращения при осесимметричных и несимметричных нагрузках /

B.О. Каледин, Е.В. Решетникова // Всерос. шк.-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела: Сб. докладов. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - С. 103-107.

13. Каледин В.О. Параметрическое исследование напряжений и прогибов коробчатой конструкции из композиционных материалов / В.О. Каледин, Е.А. Левина, Е.В. Решетникова // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб.тр. 6-й Всерос.науч.конф. -Новокузнецк: Изд. центр НФИ КемГУ, 2003. - С.185-187.

14. Решетникова Е.В. Моделирование неосесимметричных деформаций спирально-армированных оболочек вращения / Е.В. Решетникова // IV Региональная науч.-практ. конф. студентов и аспирантов. Ч. 2. Доклады аспирантов и молодых ученых. - Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2004. -

C.9-10.

15. Решетникова Е.В. О модели напряженно-деформированного состояния спирально армированных оболочек вращения при неосесимметричных нагрузках / Е.В. Решетникова // Информационные технологии в экономике, науке и образовании: Мат: 4-ой Всерос. научн.-практ. конф. -Бийск: Изд-во Алт. гос. ун-та, 2004. - С. 131-134.

16. Лубяной Д.А. Методика расчета фурмы для продувки металла азотом методом резонансно-пульсирующего рафинирования / Д.А. Лубяной, Е.В. Решетникова, Ю.В. Аникина// Современные проблемы электрометаллургии стали: Сб. тр. 12-ой Междунар. науч. конф.- Челябинск,

2004.-С. 249-252.

17. Каледин В.О. Напряженно-деформированное состояние армированных трехслойных оболочек вращения с легким заполнителем / В.О. Каледин, Е.В. Решетникова, Ю.В. Аникина // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб.тр. 7-й Всерос.науч.конф. -Новокузнецк: Изд. центр НФИ КемГУ, 2004. -С.72-75.

18. Лубяной Д.А. Технология резонансно-пульсирующего рафинирования и методика расчета фурм / Д.А. Лубяной, В.О. Каледин, Е.В. Решетникова, Ю.В. Аникина // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб.тр. 7-й Всерос.науч.конф. -Новокузнецк: Изд. центр НФИ КемГУ, 2004. — С.75-77.

19. Решетникова Е.В. Моделирование неосесимметричных деформаций спирально-армированных оболочек вращения / Решетникова Е.В. // V Региональная науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. Ч.З. Доклады аспирантов и молодых ученых.- Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2005.-С.8-10.

»11061

Решетников* Елена Василье]

РНБ Русский фонд

2006-4

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕ 13880

УСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАНИЙ 1

АРМИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 6.05.2005г. Формат 60x84 1/16. Бумага писчая. Ризография. Усл.печ.л. 1.0 Тираж 100 экз. Заказ № 102 Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного

университета 654041, Новокузнецк, ул. Кутузова,56 РИО НФИ КемГУ

Ь ВВЕДЕНИЕ.

1 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1 Объект моделирования.

1.2 Основные модели деформирования оболочечных д конструкций из полимерных композиционных материалов.

1.3 Анализ основных методов решения задач статики, колебаний и устойчивости оболочечных конструкций.

1.4 Постановка задач исследования. Выбор метода исследования.

2 МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С ПРОИЗВОЛЬНОЙ СХЕМОЙ АРМИРОВАНИЯ.

2.1 Вариационная постановка задачи.

2.2 Кинематические и статические гипотезы.

2.3 Дискретизация задачи и разрешающие уравнения статического деформирования и свободных колебаний оболочки.

2.4 Разрешающие уравнения для линейной задачи устойчивости при осесимметричном докритическом состоянии.

2.5 Модель деформирования трехслойной оболочки с легким заполнителем.

2.6 Выводы по главе. л 3 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО

РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СТАТИКИ, УСТОЙЧИВОСТИ И КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.

3.1 Теоретическая оценка погрешности.

3.2 Оценка точности численного решения задач статического деформирования на контрольных примерах.

3.3 Оценка погрешности расчета собственных колебаний.

3.4 Оценка погрешности расчета устойчивости.

3.5 Выводы по главе.

4 ОЦЕНКА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МОДЕЛИ К ИЗМЕНЕНИЮ СТРУКТУРНЫХ ПАРАМЕТРОВ.

4.1 Чувствительность модели составной и подкрепленной оболочки к способу моделирования условий сопряжения.

4.2 Чувствительность модели гладкой эллипсоидальной оболочки к углу спиральности.

4.3 Чувствительность собственных частот цилиндрической оболочки к варьированию конструктивных параметров.

4.4 Чувствительность к жесткости поперечного силового набора подкрепленных цилиндрических оболочек.

4.5 Чувствительность критических нагрузок гладкой цилиндрической оболочки к варьированию структурных параметров.

4.6 Оценка достоверности моделирования собственных колебаний двуслойной оболочки.

4.7 Выводы по главе.

Актуальность темы. При создании новых силовых конструкций машин и оборудования уже на ранних стадиях проектирования для принятия проектно-конструкторских решений требуется информация о влиянии конструктивных параметров на прочностные характеристики. Эта информация в отсутствие опытных данных может быть получена только с помощью теоретических моделей. Разработка перспективных видов силовых конструкций зависит от наличия опережающих разработок эффективных средств их математического моделирования.

Среди силовых конструкций из полимерных композиционных материалов приобретают распространение подкрепленные оболочечные конструкции с пространственными схемами армирования, в том числе со спиральным армированием волокном под ненулевыми углами ко всем трем базисным векторам поверхности оболочки. Традиционные средства расчета таких конструкций основываются на использовании экспериментально измеренных характеристик материалов в осях, связанных с линиями кривизны, что ограничивает возможность их применения на ранних стадиях проектирования.

Поэтому актуальна разработка теоретических моделей статического деформирования, устойчивости и колебаний спирально-армированных оболочек вращения из полимерных композиционных материалов, учитывающих особенности физико-механических свойств этих материалов, применительно к новым видам оболочечных конструкций.

Целью данной работы является разработка средств математического моделирования статического деформирования, колебаний и устойчивости пространственно армированных составных и подкрепленных оболочек при силовом и температурном воздействии применительно к ранним стадиям проектирования оболочечных силовых конструкций.

Идея работы заключается в построении модели деформирования на основе кинематических гипотез типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко с использованием вариационных принципов теории оболочек, причем в направлении меридиана перемещения представляются в форме кубического эрмитова сплайна с возможностью разрыва производных в местах стыка разнородных частей, а в окружном направлении — в виде тригонометрических рядов Фурье.

Для достижения цели работы поставлены и решены следующие задачи:

- разработка методики вычисления интегральных характеристик жесткости неортотропной пространственно армированной оболочки;

-разработка модели деформирования оболочки вращения, основанной на методе конечных элементов для дискретизации по меридиану и разложении в ряд Фурье по окружности;

-обоснование сходимости численно-аналитического решения краевых задач статики, устойчивости и колебаний оболочек вращения;

- программная реализация методики численно-аналитического моделирования статического деформирования, устойчивости и малых колебаний подкрепленных и составных оболочек вращения с произвольными схемами армирования при силовых и термических воздействиях;

- исследование свойств разработанных математических моделей на контрольных примерах.

Достоверность результатов обеспечивается использованием апробированных математических моделей упругого деформирования, колебаний и линейной устойчивости рассматриваемых конструкций, методов численного решения краевых задач; сравнением результатов тестовых расчетов с аналитическими решениями соответствующих задач и исследованием сходимости итерационных последовательностей; сопоставлением отдельных расчетно-теоретических результатов с известными экспериментальными данными.

Научная новизна работы определяется

- разработкой математической модели для расчета статики, колебаний и устойчивости составных и подкрепленных пространственно армированных неортотропных оболочек вращения;

-полученной оценкой порядка аппроксимации численного решения в местах стыка разнородных частей оболочки;

-полученными с использованием разработанной модели оценками влияния конструктивных параметров на напряженно-деформированное состояние, частоты свободных колебаний и критические нагрузки потери устойчивости новых оболочечных конструкций.

Методы исследования включают метод конечных элементов для построения дискретной модели, методы линейной алгебры для решения алгебраических задач с матрицами высокого порядка, методы функционального анализа для оценки порядка сходимости, методы объектно-ориентированного анализа и проектирования для разработки пакета программ математического моделирования.

Практическая значимость состоит в разработке пакета программ для математического моделирования статического деформирования, устойчивости и свободных колебаний конструкций, содержащих в качестве элементов пространственно армированные оболочки вращения, что позволяет проводить параметрическое исследование разрабатываемой конструкции в целях выбора рациональных значений проектных параметров.

Работа выполнялась в соответствии с Целевой комплексной программой «Интеграция» Министерства образования РФ (проект Р-0045) и с планом НИР Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на 4-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2001 г.); на XXXI Уральском семинаре: «Механика и процессы управления» (Екатеринбург, 2001 г.); на II Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2002 г.); на тринадцатой научно-практической конференции по проблемам механики и машиностроения (Новокузнецк, 2003 г.); на 5-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование»

Новокузнецк, 2002 г.); на региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2002 г.); на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. (Москва-Владимир, 2003 г.); на III Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2003 г.); на XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий (Екатеринбург, 2003 г.); на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003 г.); на 6-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2003 г.); на IV Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2004 г.); на 4-й Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии в экономике, науке и образовании» (Бийск, 2004 г.); на 12-й Международной научной конференции «Современные проблемы электрометаллургии стали» (Челябинск, 2004 г.); на 7-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2004 г.); на V Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2005 г.).

Публикации: Основные положения диссертации опубликованы в 19 работах.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 113 наименований и 1 приложения. Общий объем диссертации без приложения составляет 137 страниц, в том числе 61 рисунок и 5 таблиц.

4.7 Выводы по главе

Из изложенных исследований можно сделать следующие выводы.

1. Подтверждена возможность использования разработанных математических моделей статики, устойчивости и колебаний слоистых неоднородных и подкрепленных оболочек для проведения прикладных прочностных расчетов. Показано, что учет разрыва производных от перемещений позволяет устранить влияние сетки при анализе напряженного состояния в зоне краевого эффекта, вблизи приложения погонной нагрузки и стыка разнородных частей.

2. Анализ чувствительности модели статического деформирования к изменению угла спиральности показал, что с ростом угла спиральности происходит заметное увеличение нормальных перемещений, чего не наблюдается при малых значениях угла. Окружные напряжения с увеличением угла убывают, равномерно как при малых, так и при больших его значениях.

3. Анализ собственных частот и форм оболочек вращения при варьировании конструктивных параметров оболочки показал, что модель свободных колебаний оболочки чувствительна к изменению толщины оболочки и угла армирования материала.

4. Результаты, полученные с использованием классической теории Кирхгофа-Лява и теории Тимошенко, при варьировании толщины частоты изгибных колебаний различаются тем больше, чем больше число полуволн, причем наиболее заметно различаются частоты продольных колебаний. С ростом угла армирования частоты уменьшаются как для тонкой оболочки, так и для оболочки средней толщины; разница между собственными частотами минимальна при значении модуля поперечного сдвига, во много раз превышающего модуль реальных материалов. Это показывает, что в пределе модель типа Тимошенко достаточно хорошо описывает тонкую оболочку.

5. Выявлено, что при расчете критических нагрузок модель чувствительна к изменению угла армирования и толщины слоев, что позволяет использовать её для выбора рациональных конструктивных параметров проектируемых оболочечных конструкций.

6. Проведено параметрическое исследование статической прочности и устойчивости многослойной оболочечной конструкции, подкрепленной поперечным силовым набором. Показано, что для увеличения критической нагрузки потери устойчивости необходимо значительное увеличение изгибной жесткости шпангоутов либо пересмотр конструктивно-силовой схемы. Сформулированные рекомендации приняты для дальнейшего проектирования.

7. Найденные частоты свободных колебаний двуслойной оболочки удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными без дополнительной настройки модели, что подтверждает достоверность результатов расчетов по предложенной методике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработана численно-аналитическая модель термоупругого деформирования неортотропной пространственно армированной оболочки вращения, основанная на разложении решения краевой задачи в ряд Фурье по окружной координате и представлении в виде эрмитова сплайна по меридиану, отличающаяся от известных тем, что, с целью выполнения условий сопряжения на границах разнородных участков, учитывается различие производных от перемещений в узлах на границах раздела.

2. Показано, что сходимость предложенной конечно-элементной схемы по перемещениям имеет четвертый порядок, по погонным усилиям и моментам — не ниже первого. Доказана необходимость учета разрывности производных для сходимости погонных сил и моментов.

3. Разработана программная реализация предложенной методики математического моделирования статического деформирования, устойчивости и малых колебаний подкрепленных и составных оболочек вращения с произвольными схемами армирования при силовых и термических воздействиях. Пакет программ может быть использован на ранних стадиях проектирования оболочечных конструкций из полимерных композиционных материалов.

4. Исследована точность численных решений контрольных примеров и чувствительность получаемых результатов к вариации конструктивных параметров модели (углам армирования, жесткостным параметрам и геометрическим размерам моделируемых оболочек).

5. Установлено, что разработанные модели устойчивости и колебаний оболочек, основанные на гипотезе С.П.Тимошенко, в случае тонких ортотропных оболочек достаточно хорошо согласуются с известными теоретическими результатами.

6. Определены параметры напряженно-деформированного состояния армированной оболочки, подкрепленной поперечным силовым набором. Методика, пакет программ и результаты проведенных исследований внедрены в промышленности.

1. Абовский Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Деруга. М.: Наука, 1978. -287 с.

2. Айронс Б.М. Задачи о собственных значениях матриц конструкции: исключение лишних переменных / Б.М. Айронс // Ракетная техника и космонавтика, 1965. Т.З. - № 5. -С. 207-211.

3. Александров A.B. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ: В 2-х ч. 4.1. / A.B. Александров, Б.Я. Лащенников. М.: Стройиздат, 1976. — 248 с.

4. Александров A.B. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы / A.B. Александров, Б.Я. Лащенников, H.H. Шапошников. — М.: Стройиздат, 1983.-488 с.

5. Алфутов H.A. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов / H.A. Алфутов, П.А. Зиновьев, Б.Г. Попов. -М.: Машиностроение, 1984. 264 с.

6. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин: Прочность, устойчивость и колебания. 2-е изд., перераб. и доп. / С.А. Амбарцумян. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 360 с.

7. Устойчивость ребристых оболочек вращения / И.Я. Амиро, O.A. Грачев, В.А. Заруцкий и др. Киев: Наукова думка, 1987. - 160 с.

8. Бабеико К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. М.: Наука, 1986.-744 с.

9. Бакулин В.Н. Метод конечных элементов и голографическая интерферометрия в механике композитов / В.Н. Бакулин, A.A. Рассоха. — М.: Машиностроение, 1987. -312 с.

10. Ю.Берт Ч. Композиционные материалы: В 8 т. Т 7. Анализ и проектирование конструкций. Расчет оболочек / Ч. Берт; Ред. К. Чамис. — М.: Машиностроение, 1978. С. 210-265.

11. Х.Биргер И.А. Справочник: В 3-х т. Т.2. Прочность. Устойчивость. Колебания % / И.А. Биргер, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. - 464 с.

12. М.Богданович А.Е. Оценка пределов применимости инженерных моделей расчета слоистых сред в задачах поперечного динамического изгиба /

13. A.Е. Богданович, Э.В. Ярве // Механика композитных материалов. 1988. -№6.-С. 1076-1088.

14. Богданович А.Е. Влияние структурных параметров многослойного пакета на применимость инженерных моделей к расчету динамического изгиба / ^ А.Е. Богданович, Э.В. Ярве // Механика композитных материалов. — 1989. —1.-С.111-118.

15. Болотин В.В. Механика многослойных конструкций / В.В. Болотин, Ю.Н. Новичков. М.: Машиностроение, 1980. — 375 с.

16. Ванин Г.А. К теории волокнистых сред с несовершенствами / Г.А.Ванин // Прикладная механика. 1977, т.13.-№ 10.-С. 14-22.

17. Ванин Г.А. Волокнистые материалы с несовершенствами на поверхности щ раздела / Г.А.Ванин // Механика композитных материалов и элементовконструкций: В 3-х т. Т.1. Механика материалов. Киев: Наукова думка, 1982.-С. 342-351.

18. Современные методы испытаний композиционных материалов /Г.А.Ванин, Е.З.Король, А.Ф.Мельшанов и др. // Научно-методический сборник. НТП-4-92. Под ред. А.П. Гусенкова. М.: МНТК «Надежность машин», 1992. -247 с.

19. Ванин Г.А. Устойчивость оболочек из композиционных материалов с несовершенствами / Г.А. Ванин, Н.П. Семенюк. Киев: Наукова думка, 1987.-200 с.

20. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов /

21. B.В. Васильев. М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

22. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы / В.З. Власов. — М.: Госстрой и здат, 1958. 502 с.

23. Волков Л.И. Надежность летательных аппаратов / Л.И. Волков, A.M. Шишкевич. М.: Высш. шк., 1975. - 294 с.

24. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.21 .Годунов С.К. Разностные схемы (введение в теорию), учебное пособие / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1977. —439 с.

25. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек / A.JI. Гольденвейзер. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1976.-512 с.

26. Горощенко Б.Т. Эскизное проектирование самолета / Б.Т. Горощенко, A.A. Дьяченко, H.H. Фадеев. М.: Машиностроение, 1970. - 332 с.

27. Ъ2.Григолюк Э.И. Напряженно-деформированное состояние армированного композита при свободном нагреве / Э.И. Григолюк, П.Я. Носатенко, Ю.Ю.Ширшов // Механика композитных материалов. 1989. — № 3. -С. 549-551.

28. ЪЪ.Григолюк Э.И. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек / Э.И. Григолюк, Г.М. Куликов // Механика композитных материалов. 1988. - № 2. - С. 287-298.

29. Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т. Т.2. Механика элементов конструкций / А.Н. Гузь, Я.М. Григоренко, И.Ю. Бабич и др.- Киев: Наук. Думка, 1983. 464 с.

30. Экспериментальное исследование термического расширения слоистых углепластиков / М.Р. Гурвич, О.В. Сбитнев, A.B. Суханов, В.А. Лапоткин // Механика композитных материалов. 1990. -№1. - С. 32-36.

31. Гуртовый А.Г. Новые расчетные модели и сравнение приближенных уточненных с точными решениями задач изгиба слоистых анизотропных пластин / А.Г. Гуртовый, В.Г. Пискунов // Механика композитных материалов. 1988.-№ 1.-С. 93-101.

32. Гурьев H.H. Матричные методы расчета на прочность крыльев малого удлинения / Н.И. Гурьев, B.JL Поздышев, З.М. Старокадомская. М.: Машиностроение, 1972. — 260 с.

33. Дегтяръ В.Г. Испытания неоднородных конструкций / В.Г. Дегтярь, Н.П. Ершов, П.Н. Ершов // Механика и процессы управления, тр. XXXI

34. Уральского семинара. Екатеринбург: Миасский науч.-учеб. центр. — 2001. — С. 40-77.

35. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. М.: Наука. Главная редакция физико-математических литературы, 1.980. - 350 с.

36. АЛ.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975.-541 с.

37. Зенкевич О. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред / О. Зенкевич, И. Чанг. М.: Недра, 1974. - 304 с.

38. Каледин В.О. Численно-аналитические модели в прочностных расчетах пространственных конструкций / В.О. Каледин. — Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2000.-204 с.

39. Разработка методики, алгоритмов и программ для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов: (Отчет о НИР) / Руководитель темы В.О.Каледин. № ГР 01860094278; Инв. № 02870033072. - Новокузнецк, 1986. - 53 с.

40. Каледин В.О. Осесимметричное термоупругое деформирование спирально армированных оболочек / В.О. Каледин // Динамика сплошной среды. —2001.-Вып. 119.-С. 57-61.

41. Кан С.Н. Расчет самолета на прочность / С.Н. Кан, И.А. Свердлов. М.: Машиностроение, 1966. -519 с.

42. Композиционные материалы: Справочник. / Под ред. д.т.н., профессора Д.М. Карпиноса. Киев: Наук.думка, 1985. 592 с. библиогр. 505 назв.

43. Квитка A.JI. Напряженно-деформированное состояние тел вращения / A.J1. Квитка, П.П. Ворошко, С.Д. Бобрицкая. Киев: Наукова думка, 1977. -210 с.

44. Кобелев В.Н. Расчет трехслойных конструкций / В.Н. Кобелев, JI.M. Коварский, С.И. Тимофеев. М.: Машиностроение, 1984. - 304 с.51 .Коваленко А.Д. Термоупругость / А.Д.Коваленко. — Киев: Вища школа, 1975. 216 с.

45. Метод граничных интегральных уравнений / Под ред. Т. Круз, Ф. Риццо. —' М.: Мир, 1978.-216 с.

46. Ланцош К. Вариационные принципы механики / К. Ланцош. — М.: Мир,1965.-408 с. •

47. Справочник по композиционным материалам в двух книгах/Под ред. Дж. Любина; Пер. с англ. к.т.н. А.Б.Геллера, к.х.м. М.М. Гельмонт; Подред. д.т.н. Б.Э.Геллера. М.: Машиностроение, 1988. - Т.1. 448 е., Т.2. 584с.

48. Малмейстер А.К. Системный анализ внутренних напряжений в композитной намоточной оболочке / А.К. Малмейстер // Механика композитных материалов. 1989. - № 4. - С. 660-663.

49. Малмейстер А.К. Сопротивление жестких полимерных материалов /

50. A.К. Малмейстер В.П. Тамуж, Г.А. Тетере. Рига: Зинатне, 1967 - 339 с.6 4. Map чу к Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. -Новосибирск: Наука, 1973. 352 с.

51. Медведев A.A. Уточнение жесткостных и упругих характеристик днищ спиральной намотки в зоне полярных отверстий / A.A. Медведев,

52. B.Д. Протасов // Механика композитных материалов. 1990. - №3. - С. 485-488.

53. Мюслин С.Г. Численная реализация вариационных методов / С.Г. Михлин. — М.: Наука, 1966.-432 с.

54. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С.Г. Михлин. М.: Физматгиз, 1962. - 432 с.6&.Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 210 с.

55. Немировский Ю.В. Прочность элементов конструкций из композитных материалов / Ю.В. Немировский, Б.С. Резников. Новосибирск: Изд. Наука, сибирское отделение, 1986. - 166 с.

56. Немировский Ю.В. К теории термоупругого изгиба армированных оболочек и пластин / Немировский Ю.В. // Механика полимеров. — 1972. -№5.-С. 861 -873.

57. Х.Новожилов В.В. Линейная теория тонких оболочек / В.В. Новожилов,

58. ПЪ.Олегин И.П. Численно-аналитические методы исследования концентрации напряжений в элементах конструкций при пространственном напряженном состоянии: Дисс. . докт.техн.наук / И.П. Олегин; Новосибирский гос. техн. ун-т. Новосибирск, 2002. - 274 с.

59. Пискунов В.Г. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов / В.Г.Пискунов. Киев: Вища школа, 1987. - 200 с.

60. Постное В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. Ленинград: Судостроение, 1974.-342 с.

61. ЪЪ.Протасов В.Д. Безмоментные цилиндрические оболочки с переменными параметрами упругости / В.Д. Протасов, A.A. Филипенко // Механика композитных материалов. 1984. - №3. - С. 493-502.

62. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., испр./ Ю.Н. Работнов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-712 с.

63. Рач В.А. Оптимизация цилиндрических баллонов давления по критерию массового совершенства / В.А. Рач //Механика композитных материалов. — 1990.-№3.-С. 489-494.

64. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

65. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. М.: Наука, 1978. - 592 с.93 .Сегерлинд Jl. Применение метода конечных элементов / JL Сегерлинд. — * М.: Мир, 1979. -392 с.

66. Сендецки Дж. Композиционные материалы: В 8-ми т. Т.2 Механика композиционных материалов. Упругие свойства композитов / Дж. Сендецки; Ред. Г. Сендецки. М.: Мир, 1978.-е. 61-101.

67. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Г. Фикс. — М.: Мир, 1977.-349 с.9в.Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / » Ф. Сьярле. М.: Мир, 1980. - 512 с.

68. Тарнопольский Ю.М. Термическое деформирование пространственно армированных композитов / Ю.М. Тарнопольский, В.А. Поляков, И.Г. Жигун // Механика композитных материалов. 1990. - №2. - с. 212218.

69. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. / С.П. Тимошенко; Пер. с англ. И.К. Снитко; Под ред. с примеч. и добавл. статьи В.З.Власова. -М.:Госстройиздат, 1946. 532 с.

70. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К. Трусделл. М.: Мир, 1975. - 592 с.

71. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений / Дж. Уилкинсон. М.: Наука, 1970. - 389 с.

72. Ухов С.Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов / С.Б. Ухов. -М.: (МИСИ им. В.В. Куйбышева), 1973. 118 с.

73. Филин А.П. Элементы теории оболочек. 3-е изд., перераб. и доп. /

74. Щербаков В.Т., Попов А.Г. Экспериментальное исследование прочности и устойчивости оболочек из углепластика / В.Т. Щербаков, А.Г. Попов // Механика композитных материалов. — 1990. — №2.- С. 256-262.

75. Honnor ME. A finite element analysis of deep drawing / M.E. Honnor, R.D. to Wood // The bondary condition problem. Numer. meth. snd. Form. Process.1989.-P. 807-808.

76. Hughes T.J.R. Nonlinear Finite Element Analysis of Shells: Part I / T.J.R. Hughes, W. K. Lin // Three-Dimensional Shells, to appear in Сотр. Mech. Appl. Mech. Eng. 1982.

77. Singh R. Frequency response of linear systems with parameter uncertainties / R. Singh, C. Lee //J. Sound and Vibrations. 1993. - 168, №1. - p. 71-92 (англ.).

78. Stefanidis S. The specific work of fracture of carbon / S. Stefanidis, Y. W. Mai, B. Cotterell // Kevlar hybrid fibre composites. J. Mater. Sci Left. 1985. — 4.h № 8.-P. 1033-1035.

79. Yokojama T. A reduced integration Timoshenko beam element / T. Yokojama // J. Sound and Vibrations. 1994. - 169. - №3. - p.411-418 (англ.).