автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Устойчивые методы решения плохо обусловленных систем нормальных уравнений при уравнивании геодезических построений

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ГЕОДЕЗИИ, АЭРОФОТОСЪЕМКИ И КАРТОГРАФИИ

На правах рукописи

ИВЛИЕВА НАТАЛЬЯ ГЕОРГИЕВНА

УДК 528.1

УСТОЙЧИВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛОХО СБУСЛОВЛЕННЫХ СИСТЕМ НОРМАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ УРАВНИВАНИИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОСТРОЕНИЙ

05.24.01 - Геодезия

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА 1993 г.

Работа выполнена на кафедре геодезии и картографш Мордовского ордена Дружбы народов государственного университете имени Н.П.Огарева

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор 0.С.Разумов

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Ю.И.Маркузе кандидат технических наук, доцент С.И.Матвеев

Ведущая организация: Московское аэрогеодезическое

предприятие

, Защита диссертации состоится \ эззг

в /2_ часов на заседании Специализированного Совета К.063.01.0 в Московском ордена Ленина институте инженеров геодезии аэрофотосъемки и картографии по адресу: 103064, Москва Гороховский тар., 4, МШГАиК, ауд., 321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института Автореферат разослан фхЛсг^^еЛ- 1993г.

Ученый секретарь Специализированш Совета,к.т.н.

__§[уВ.А.Монахов

°у

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТЮСА РАБОТЫ

Актуальность т»ны. ОДНОЙ ИЗ ЩЮбЛВМ, СТОЯЩИХ НЭ СОВрвМЭН-

ном этапа горвд геодезическим производством,является выбор наиболее устойчивого способа решения уравнений, возникающих при уравнивании геодезических построения. Это связано с проблемой обусловленности получающихся нормальных уравнений. Плохая обусловленность является причиной существенных трудностей при их решении и приводит к значительному увеличению ошибок искомых параметров. Вопросы оцэнки обусловленности матрицы коэффициентов нормальных уравнений и точности решения системы не новы и им посвящено немало работ в геодезической литературе.(А.И.Балашов, А.С.Шматко, И.Е.Ларченко и др.). Но проблема выбора наиболее устойчивого способа решения уравнений все еще остается актуальной.

К ней можно отнести задачу уравнивания геодезических построений методом наименьших квадратов (МНК) для случая возмущенной системы с плохо обусловленной матрицэй. Эта задача, как доказано акад. А.Н.Тихоновым, является некорректной. Предложенный им метод регуляризации позволяет построить устойчивое приближе-ниэ к истинному решению. Основная трудность практического использования этого метода заключается в выборе параметра регуляризации применительно к конкретной ситуации.

Широкое внедрение ЭВМ в математические исследования и производство позволяет построить новые алгоритмы уравнивания и способствует расширению применения в геодезии численных методов.

Цель работы

1. Разработка алгоритма регуляризованного решения плохо обусловленных систем алгебраических уравнений, возникающих при уравнивании геодезических построения, с возмущенной матрицэй.

2. Исследование метода итерационной регуляризации и дальнейшее его развитие применительно к уравнительным вычислениям.

3. Исследование алгоритмов вьйира параметра регуляризации и ашарата точностных расчетов при решении задач уравнивания со случайными ошибками в исходных данных.

4. Исследование возможностей практического применения ортогональных преобразования (приведения к двухдиагональному виду) дои решения задач математической обработки геодезических измерений.

Научная новизна

1. Разработан метод бинарной регуляризации для решения возмущенных неустойчивы! систем нормальных уравнений, при котором параметр регуляризации приводит к согласованию систематического смещения и неопределенности в решении, обусловленной влиянием ошибок исходных данных.

2. Предлоярны методики установления критерия для окончания регуляризованного итерационного процесса в уравнительных вычислениях.

3. Разработан алгоритм построения устойчивого приближения обратной матрицы.

4. Предложены и исследованы устойчивые алгоритмы построения квазиоптимального решения с привлечением дополнительной априорной информации об оцени» по ИНК.

№ толика исследований

Базируется на математическом аппарате теории матриц. Экспериментальные вычисления выполнялись на ЭВМ.

Практическая ценность Сформулированные в работе вывода и рекомендации, составленные алгоритмы для ЭВМ могут быть использованы при проектировании и уравнивании геодезических построений, приводящих к решению систем алгебраических уравнений с плохо обусловленной матрицей.

Апробация работы

Результаты исслэдований докладывались на научных конференциях Мордовского госуниверситета имени Н.П.Огарева (Огаревских чтениях) в 1985-88,91 гг., на научно-технической конференции в г.Киева 1986 г.

Публикации

Результаты выполненных исследования опубликованы в пяти научных статьях.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, общин объем которых составляет 128 страниц машинописного текста. В приложении приведены алгоритмы реиений и оцэнки числа обусловленности систем алгебраических уравнения с использованием ортогональных преобразований. Список цитируемой литературы включает 114 наименования. В диссертации имеется 7 рисунков, 8 таблиц.

СОДЕРЖАМЕ РАБОТЫ

Введение.

Содержит обоснование актуальности выбранной темы.

Глава 1 . "Краткий оОэор существующих методов решения систем нормальных ураанений".

В задачах уравнивания геодезических сетей результаты непосредственных измерения имеют ограниченную точность. В случае плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений

АтАх=Ат1 Нх=Ь, (1 )

приближенное задание исходных (небезошкбочных) данных, а таюяе погрешность вычислительных процедур заметно влияют на точность

получаемых результатов уравнивания.' Вопросам решения неустойчивых систем линейных уравнений и оценки точности получаемых результатов посвящвно немало работ в геодезической литературе. К ним относятся работы М.Д.Герасименко, А.В.Гордеева и др.

В случае плохой обусловленности, из прямых методов решения относительно большую точность обеспечивает метод квадратных корней. Он экономичен и численно устойчив. Достаточно полно в геодезической литературе изучены методы решения, основанные на спектральном разложении матрицы. Для решения неустойчивых систем в различных публикациях предлагалось масштабирование и ортогонализация матриц, удаление переменных, поиск такой системы, которая приводит к более обусловленной матрице коэффициентов, и др. Хотя все эти методы повышают точность вычислений, на при их использовании в случае возмущенных систем нормальных уравнений вполне реальна угроза неоправданной потери точности решения.

Чтобы не утяжелять последствий плохой обусловленности, уравнивание геодезических построений можно проводить и без составления нормальных уравнений. В этом направлении ведутся интенсивные разработки школой Ю.И.Маркузе. Предлагаемые алгоритмы весьма устойчивы. Но из-за возможной плохой обусловленности промежуточных матриц влияние ошибок округлэния может оказаться заметным.

Другой путь уравнивания геодезических измерений без формирования матрицы нормальных уравнений состоит в использовании ортогональной факторизации или сингулярного разложения исходной матрицы уравнений поправок

у=Ах-1. (2)

Для матриц полного ранга эффективен метод ф-разложеиия, для почти вырожденных и матриц неполного ранга - сингулярное разложение.

Однако при решении возмущенных систем уравнений с плохо обусловленной матрицей никакое повышение точности вычислений и

никакие преобразования системы уже не смогут обеспечивать гарантированной точности решения без привлечения дополнительной информации об ошибках в исходных данных. Для решения таких задач акад. А.Н.Тихоновым был предложен метод регуляризации, который позволяет построить устойчивое приближение к искомому решению. Основная трудность практического применения этого метода заключается в выборе параметра регуляризации. Эффективные численные алгоритмы выбора параметра, непосредственно реализуемые в геодезической практике, были получены в работах В.А.Быв-шева и др. Дальнейшим развитием будет подход, основанный на прямой зависимости оптимального параметра регуляризации от возмущений, вносимых исходной информацией, и приводящий к компенсации возникающего систематического смещения за счет неопределенности в решении при плохой обусловленности.

В ряде зарубежных и отечественных публикаций было показано, что методы регуляризации (гребневая регрессия) при решении задач со случайными ошибками в исходных данных позволяют получать устойчивые решения с надежными точностными характеристиками. В то же время некоторыми авторами (Б.Н.Никифоровым, Ю.И.Маркуза) показано, что в отдельных случаях он обеспечивает хорошую сходимость к плохому решению. Поэтому вопрос о практическом применении кетода регуляризации в уравнительных вычислениях требует дальнейших исследования.

Глава 11. Разработка методов РинарноЯ и итерационной регуляризации".

В уравнительных вычислениях в случае плохой обусловленности матрицы N системы нормальных уравнений (1) возникает проб-зэма отыскания достаточно надежной обратной патрицы. В этой связи в работе приведена формула

(3)

где а - положительный скаляр (параметр регуляризации).

В силу положительной определенности матрицы N и «>□ сохраняется сходимость данного ряда. Надежйость решения здесь обеспечивается уверенным определением обратной матрицы Я"1(в связи с уменьшением числа обусловленности). В реальных вычислениях для отыскания матрицы 1Г 'можно строить последовательные приближения к ней в виде

. . К=1 .... (4)

В работе также приведены формулы для ускорения сходимости этого процесса и проведена их оценка. Кроме того показано, что к-ое приближение соответствует матрица (N+«,1) с параметром

(1-г)

^ к -г 1 '

1 -г

<5)

где г^!»"1!-

Рассчитав количество приближений, необходимых для обеспечения требуемой точности решения в случае большого их числа, используя соотношение (5),можно провести повторную регуляризацию.

Заметим, когда нет необходимости в определении элементов обратной матрицы, а нужна лишь ее оцэнка, то можно воспользоваться неравенством

1 -у

При параметрическом уравнивании геодезических построений на практике приходится решать задачи (2) с возмущенной матрицей коэффициентов уравнений поправок. В случае ее плохой обусловленности традиционное решение по МНК X будет неустойчивым к возмущэниям матрицы и реально вычисленное значение х может быть отягощено большими ошибками. Применение регулярзизованных методов в этом случае позволяет построить устойчивое приближение к решению

В работе рассмотрены два подхода к решению этой задачи. Первый из них состоит в выборе такого параметра регуляризации а, который приводит к комтенсацни систематического смещэния за счет не определенности в решении обусловленной влиянием исходных ошибок щи плохой обусловленности. Дяя его реализации нами разработан метод бинарной регуляризации, где в качестве дополнительной информации привлечены оценки норм возмуи^энип матрицы коэффициентов нормальных уравнений |лН| и вектора свободных чдэнов |ЛЬ|.

На горвом этапе решения произвольно выбирается начальный параметр регуляризации а0(наприкер,ао=|лИ|) и вычисляется обратная матрица Н^1=(Н-к»оЕ)."1 Затем, согласно формуле (6), определяется оценка нормы обратной возмущенной матрицы |1Г11 и ее числа обусловленности V. На втором этапа" выполняется повторная регуляризация. Привлекая полученные результаты, согласно известному неравенству линейной алгебры

|лх|

1*1 1-НлЦ|/|И|

|ДН| |ДЪ|

+

(N1 |Ь|

(7)

можно получить оценку ожидаемой относитодьноя погрешности в решении по ИНК г0=|Дх|/|*1. В работе приведены оцэнки погрешности, отнесенные к приближенному решению х, гх*|дх|/|х|1. При их согласовании с систематическим свэщэнгам предложены соотношения для повторного выбора параметра регуляризации

1Г'| РГ1!«!^)

Г„<1 • (8)

Численная апробация этого метода для решения задач уравнивания с воачтеэнной матрицэй нормальных уравнений проделана в работа, где в случаях, часто встречающихся на практике, когда |х|>|2|, получены устойчивые решения, близкие к истинным значениям.

Данный подход был рассмотрен и при решении нормальных

уравнения методом итерационной регуляризации, в котором приближения строятся по формуле

Постоянная а здвсь не обязательно мала, регуляризация достигается за счет многократного итерирования. При меньших а для достижения решения хотя и требуется меньшее число итераций, но сами итерации трудно осуществить - ухудшается устойчивость задачи. В случае воамущэния исходных данных принижения (9) не должны обязательно сходиться к и попытка продлить итерационный процэсс может привести к ухудшению результата. В этом случав естественно предположить, что последовательные приближения следует продолжать да тех пор, пока опнкЗка итерационного про-цосса нэ станет эквивалентной ошибкам в исходной информации. В работе на основе сцэшш относительной погрешности выведены формулы для определения числа итераций, при котором происходит согласование этих погрешностей. Они приводят к решениям, аналогичным результатам, полученным при использовании метода бинарной регуляризации.

Другой подход к решении возмущенных систем нормальных уравнений основан на выполнении принципа наименьших квадратов Су* ]вш1п. Особенности метода итерационной регуляризации позволяют погасить большую часть возмущений и найти в ряде последовательных приближений такое значение хк, которое должно удовлетворять условию

[^]-|Ахк-1|*-ш1п (10)

и представлять собой устойчивое приближение к решению по КНК X.

В реальных вычислениях на каждом зтатв оценивается сумма квадратов поправок [т*] и процесс итераций прекращается, когда [7к-11>[7к]' И?11 3X0,1 Условии приближение N¡1*

будет надежно оцэнивать матрицу Л"1 и ее можно использовать для характеристики точности полученного решения: Кл^'л^1.

Для подтверждения высказанных соображении обратимся к примеру уравнивания обратной многократной засечки.

Точное ретента

426144-1 122699 ; 47323э]

Г1.45767 0.782431 4 Г 468.1169 -870.8221

"(.0.78243 0.42060.]' 1-870.822 1622.3421'

АТ1=[а'.765а2]; 15-2]; |Х1=34.55; и =3224.4;

l0.42955J 1.-30.7J м

Приближенное решение

ГО.759 0.426 - Г1.457

0.225 0.123 ; Н

[о. 911 0.473. 1.0,782

И ООО. 615 -1879.8081

: х

1-1879.803 3502.420J

14.5J

Решенкэ кэтодом итерационной регуляризации. Для ре пения задачи было принято «=¡¿N¡=0.001, а соответствующее ему рэгуля-ржованное решешэ

, Г 183.522 -340.8901 Г 5.851

"1-240.890 635.570.]' а~1-11.вз]

вьйрано за начальное. На каждом шаге итерация вычислялось значение [т^З=|Ахк-1|* которое атасте с регуляртпованны^и приближениями представлвЕО в таблица 1.

Таблица 1.

Число итераций,к АХ,СМ AY.CH

0 5.85 -11.88 0.255

1 10.37 -21.42 0.090

2 15.16 -29.23 0,038

3 18.59 -35.83 0.050

Отсюда легко увидеть, что при к=2, когда достигает

минимума, метод итерационной регуляризации обеспечивает устойчивое приближенна к £ и обратной матрице К-1 (диагональные здзменты 1Г*:456.098; 1581.503).

Предлагаемый метод позволяет навти приэмлимое решение даяе в том случае, когда матрица нормальных уравнений (в силу возму-цзния ее элементов) перестает быть положительно определенной или становится вырожденной. В работе испытан описанный прием на некоторых примерах уравнивания геодезических построений и он всегда приводил к заведомо надежному результату. Основные формулы рассмотренных методов решения возмущэнвых плохо обусловленных систем нормальных уравнении и возможности их практического применения представавны в таблице 2.

В диссертации также обсуждается проблема возможностей метода регуляризации при решении задач уравнительных вычислений со случайными ошибками в исходных данных. Как известно, при параметрическом регуляризованном уравнивании геодезических построений со случайными ошибками вектор неизвестных Ха имеет вид

)-лу]. (11)

где Х° - вектор приближенных значений неизвестных;

Хчст - истинное значение неизвестных;

лу - случайные вектор ошибок измерений с математическим ожиданизм >i£Ay]=0 и ковариационной матрицей Кд -о-*1.

Таблица 2.

Название катода Основные формулы Область применения

Бинарная регуляризация •с» |АХ| -r.-ar-u 1-olcl m о "•м |ДН| |АЪ|"| Известны оценки возмущений |дН|, |ДЬ|, >-„<1.

" им ||п |ь1 j' ^ |н| Гж

Итерационная регуляризация на основз принципа швя31си Критерий останова предо-дуры IHx^-bl-IANIIi.l+IAbl im- пли k=--1, при у <1 1пу Известны оцзнкя возауернпа |ДК|, |ДЬ|

Итерационная регуляризация под условсза Крзгориа останова процедуры Информация об ошибках в исходных данных неполная

Точность получаемого решения щи некоррелированных Х° п ду оценивается в вида матрицы средних квадратов спзЗок ^(Ха-Хцст)(Ха-Хист)']

IL -СЛГх Хт ]G+(I-G)*îU,

X UC * UC Т * ' х'

01

где х =Х°-Х , К^*^1.

' ' л* ист ист р *

В случае, когда известна априорная информация о точности приближенного вектора X? (например,в виде матрицы (Х°-Хист )* *(Х°-ХисТ )т]),то возможна оптимальная регуляризация с матрицей "овпт^^^ст <ст ]При этом результат будет совпадать с решением задачи МВД с учетом ошиЗок в исходных данных, а его точность оценивается матрицва

М_ <13>

а опт

опт

В работе выполнены исследования возможностей использования -катода регуляризации для случая, когда выполнится условия

|дх|

1*ист1<1*Ь <14>

где дх-2-хист.

При этом были рассмотрены две проблемы: как отыскать оптимальный параметр регуляризации и как оцэнить точность получаемых результатов.

Как известно, точность регуляризованного решения оценивается матрицей

а а

Поскольку второе слагаемое в правой части равенства (15) опре-_ делить несложно, например, 5С. =ох(1-а}Г*)}Г1, то проблема

а

отыскания точностных характеристик сводится к оценке скзщзнкя ВоГ^СЧ«, ■ &2Я ЭТ02 дали 0 работе предложено использовать следующее соотношение

за«(1-гх)9а, (1в)

где 9а - несмещенная оценка смещения, ^«-аИ^-о^-^.

Щм этом предлагаемая оценка будет находится в тех ке границах, что и смоцэшаэ, поскольку для нее можно установить следующие неравенства

i (1-гх)9л1=(1-гх) -гх) (|х|-|ах| )^|хцст i,

При статистическон подходе в обцэм случае в качестве характеристики случайной погрешности южно взять норму ковариационной матрицы |Kj| (или SpKj), тогда ацэнка относительной случайной погрешности будет равна

'«-Чг-- <17>

- Iii

На основе предложенных оценок (16) и (17) в работе были получены прязмлимыэ характеристики точности получаемых решений с погрешностью порядка 2SS.

В диссертации разработаны и исследованы два регуляризован-ных алгоритма построения квазиоптимальной регуляризации, даны их точностные характеристики. На основе выполненной оценки норны матрицы средних квадратов ошибок

,MxJ-

-г +1

ОПТ

IKjl, (18)

где

2г -2у +1

(19)

Z

теоретически показано, чоа больше значение гх, тем предпочтительнее по сравнению с оценкой по ННК оказывается регуляризо-ванное решение. В работе проведена оценка норм матриц

|*г<1^х>,|к4|, |*(1-»'впт <20>

ар.я• ават

и исследована их зависимость от значения относительной ошиЗки гж (См.рис.1). Аналогичны! анализ проведен и для соответствующих параметров регуляризации (Рис.2).

----для параметра, выбранного по принципу равных

влииыи2. о

» р.«.

Рис.1'

-для оптимального параметра ° опт

---- для параметра, выбранного по принципу равных

ВЛИЯНИИ, а

р.».

Рис.2.

На основе выполненных исследований сделаны рекомендации по практическому применении катодов регуляризации для решения задач уравнивания:

1. При налом значении относительной погрешности (гх<0.2) регуляризованное решение отыскивать не имеет смысла.

2. При 0.2^<0.35 в случае плохой обусловленности матрицы системы можно провести квазиопгкмальную регуляризацию.

3. В случае 0.35^ух<0.5 выгодно использовать принцип равных влияний, т.к. при этом параметр регуляризации ар ^>«опт.Такса выбор ваяен, поскольку повышает устойчивость задачи. Точностные характеристики близки друг к другу.

4. При 0.5£гх<1 применение методов регуляризации наиболее целесообразно. Оценки рассмотренных способов приблизительно одинаковы.

Для случая, когда исходная система неустойчива к ошибкам округления и нет гарантии в надежном определении обратной матрицы (для вычисления квазиоптимального параметра нужна оценка нормы IN"1!) в работе предложено проводить итерационную регуляризацию, которая в данной ситуации интерпретирована как метод последовательной компенсации смещения. Для оценки случайной и систематической ошиЗок k-того регуляризованного приближения

к

<21>

i=i

привлечены точностные характеристики начального приближения (смещение s и ковариационная матрица К_. ) и получены формулы

|. (22)

а

Используя их, установлены соотношения для определения числа итераций, необходимых для реализации принципов равных влияний и квазиопгимальноя регуляризации. Закатим, что выбор начального параметра а произвольный, но для проведения итерационной регуляризации, необходимо, чтобы выполнялись условия а>ар ж и а>а соответственно.

опт

Дальнейшим развигизы катода бинарной регуляризации, разработанного ранее на основе детерминированного подхода, является метод, опирающийся на статистический подход к решения задач со случайными ошибками в исходных данных. На первом зтапэ отыскивается регуляризованное решение ха при произвольном параметре а и оценивается его точность в виде матрицы . На втором, выби-

а

рая полученное решение в качестве начального приблихэния, опро-делявт

4

1 -г

(Ыха-Ат1). <23)

Точность получаемого решения будем оценивать матрицей

11^., =,(1-Г'Н)Заз^(Е-Н",Н)т+(Е-ьаН"1 )Кх(1+о.И'<)! (24)

а а

Для вычисления матрицу Я, доставляющая минимум |М_, |, в работе

получен ряд равносильных формул.

Заштин, что пришнение предлокянных гетодов регуляризации оправдано в случао выполнения условия (14).

В таблице 3 даны рекомендации по выбору параметра а и оценке точности при различных условиях регуляризации.

Таблица 3

Название нетода

Квазиопгимальная регуляризация под условием

шИгИн^ II

Принцип равных влияния

1

Простая регуляризация

опт <1-гх)я11Г*1

'V С

\ =2ч

Л 01

р.■. р.

Итерационная регуляризация (послэ-довательная компенсация скощения

1пу

Ш-I-

(1-у)1

—1п

18-1*+

1-У

I

1п-

—1п

1-У

г-1^ Г

1-г

\=3,<+кхк

Продолжвниэ. Таблица 3.

1 2 3

Бинарная ре- 1 сна « опт ,

гуляризация а -=- , у а—а

а -

а

Глава III. "Практическое решение задач пето да наименьших квадратов пей математической оОр&Вотке геодезических измерения £. использованием ортогональных преобразования"

Как уже отмечалось ранее, в случае плохой обусловленности матрицы исходной системы уравнений поправок при переходе к системе нормальных уравнений обусловленность матрицы N значительно ухудшается. Поэтому следует остановиться на численных катодах, применяемых нвпосрэдственно к исходной системе уравнений поправок. Одним из эффективных и устойчивых методов решения систем с матрицэй полного ранга является Ой-разложениэ матрицы. При решении систем с матрицей неполного ранга выгодно исполль-зовать сингулярное разложение. В тех случаях, когда нет сведения о характере матрицы, эффективный выбор числэнного метода осупзвствить довольно сложно. Поэтому в работе- доя решения задач уравнивания рассмотрен мотод, продоожэнньш В.В.Воеводиным, когда свойства системы определяются по ходу вычислительного про-цэсса и, сообразуясь с ними выполняют дальнейшее действия.

Прежде всего матрицу коэффициентов уравнений поправок А с помощью ортогональных преобразований приводят к двухдиагональ-ноыу виду

Вг,.„ =0АН (25)

О ]

где В - квадратная двухдаагональная матрица;

0,Н - ортогональные матрицы. Преобразованная система решается обратной подстановкой с нормированная, которая позволяет по значенсю нормирующего множителя сделать оуадашв об обусловленности исходной матрицы.

Щи проведейии уравнительных вычислений для оценки точности решзния необходимо обратить только двухдиагональную матрицу, т.к.

1Г1=НВ"1(НВ"1)Т. (26)

Элементы обратной матрицы В"*лэгко вычисляются по стандартным фораулам, представленным в работа. Одновременно можно определить евклидову норму матрицы В^1 что позеолшт сразу, согласно свойствам нора матриц, оцэнгпъ срэдшаз шзадратлчоскуп сяайяу рзтания

Л лхтлх ] -«'ЭрГ1 1В"1!* (27)

В реальных вычислениях стодЗцы обратной матрицы 1Г*моано определять по одному, решая доз систвйы с дзухдиагоналышяи матрацами.

В работе приведен пржзр уравнивания линейной засечки, когда фориарованкэ нормальных уравнений приводит к наруЕвнкю голоянгельноа определенности матрицу, тогда как рассмотренный кетод позволяет решить эту задачу и надежно манить точность получаемого рэпэнкл.

В работа построена вычислительная схека рэпэння регуляря-зованных систем уравнений, в том чеслэ итерационным кэтодоа, в котором использовано приведение матрицы к дауздиагональноиу виду. В виду ее экономичности и быстродействия (в основном используются двухдиагональныэ и трэхдиагональныэ матрицы) еа шкно эффективно принять для рогания плохо обусловленных систем уравнений большой размерности.

Для практическая оцзнки эффективности ортогональных преобразования нами было рассмотрено уравнивание кольцевой сети три-лзтерации. Результаты эксперимента позволят' отметить следующее:

1. При фиксирования точности машинной арифметики применена ортогональных преобразования для плохо обусловленных и почти вырожденных матриц повышает точность решения по сравнению с классическими методами.

2. Использование приведения исходной матрицы к двухдиаго-нальному виду позволяет получить без вычисления ковариационной матрицы рад ее характеристик (БрИ^и число обусловленности матрицы) и сделать вывод о точности решения.

ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработан метод бинарноя регуляризации для решения возмущенных систем нормальных уравнения, в котором параметр регуляризации приводит к согласованию систематического смещения и неопределенности в решении, обусловленное влиянием исходных ошибок при плохоя обусловленности матрицы

2. Исследован метод итерационной регуляризации как метод построения устойчивого приближения к решению по МВД. Разработана методика установления критерия для окончания итерационного процесса.

3. Для регуляризованного решения уравнении со случайными ошибками в исходных данных построена методика выбора параметра регуляризации и исследованы способы оценки точности получаемого регуляризованного решения в условиях поставленных ограничений на оценку по МНК.

4. При статистическом подходе итерационный метод регуляризации рассмотрев как метод последовательной компенсации смещения. Предложена методика установления правила останова процэду-ры и способ оценки точности регуляризованного приближения.

5. Метод бинарноя регуляризации модифицирован для решения систем уравнений со случайными ошибками в исходных данных.

6. Показана возможность эффективного применения ортогональных преобразования для решения плохо обусловленных систем уравнения.

основные положение диссертации рнуоликованы в с.ледуюцчч рлОотах: % _

1. Разумов О.С. .Рузаева Н.Г. Оценка точности.несвободных геодезических сетей при уравнивании методом регуляризации//Гео-дэзическш метода в строительстве. Куйбышев. 1985.-0.55-86.

2. Разумов О.С., Рузаева Н.Г. О решении плохо обусловленных систем нормальных уравнений несвободных геодезических сетей //Изв.вузов Геодезия и аэрофотосъемка. 1988. N5.-С.19-28.

3. Ивлиэва Н.Г. Оценка точности при последовательной компенсации регуляризованного решения//Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка . 1988.N5.-С.85-90.

4. Разумов О.С., Ивлиэва Н.Г. О решении плохо обусловленных систем 'уравнений методом бинарной регуляризации и оценке точности получаемых результатов//Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка .1989.U2.-С.31-37.

5. Ивлиэва Н.Г. Решение систем нормальных уравнений методом итерационной регуляризации//Геодезические методы контроля качества строительства.Самара,1992.-С.48-52.

Подписано в печать 06.07.93 г. Зак. 1944 Тир. 100 экз. УПП " Репрография "