автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Устойчивость и стабилизация нелинейных управляемых систем с запаздыванием

004600176

На правах рукописи

СЕДОВА Наталья Олеговна

УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

1 1апР29Ю

Москва - 2010

004600176

Работа выполнена на кафедре информационной безопасности и теории управления факультета математики и информационных технологий Ульяновского государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор A.C. Андреев

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук,

профессор В.Н. Афанасьев,

доктор физико-математических наук,

профессор О.В. Дружинина,

доктор физико-математических наук,

профессор А.П. Колесников

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Защита состоится 6 мая 2010 г. в 14.00 час. на заседании диссертационного совета Д 002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН.

Автореферат разослан « игеу&ттш^ 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 002.017.03 кандидат физико-математических наук

A.B. Мухин

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Интенсивное развитие техники и новые компьютерные технологии определяют значительное усложнение структуры проектируемых промышленных систем и управляемых технических процессов. Тем самым перед фундаментальной наукой ставится проблема системного анализа сложных управляемых динамических систем, позволяющего определять условия безопасного и устойчивого их функционирования с обеспечением заданного спектра режимов работы, влияние параметров системы на её устойчивость. Значительное место в исследовании этой проблемы занимает разработка математических методов конструирования управляемых систем с учётом различных особенностей, таких как структура, неполнота информации о состоянии и параметрах системы, запаздывание в обработке этой информации. Кроме того, в связи с повышением требований к точности прогнозирования поведения исследуемых процессов, к качеству функционирования проектируемых объектов повышаются требования и к адекватности их математических моделей.

В середине прошлого века в науке и технике возникли задачи, при исследовании которых выяснилось, что для их адекватного описания требуется учитывать влияние запаздывания. Особенно остро эта проблема проявилась с распространением математического моделирования в биологии, физиологии, экономике и других науках, до недавнего времени развивавшимися без применения сложного математического аппарата. Системы с запаздыванием отражают более глубокое понимание закона причинности, в силу которого последующее течение процесса определяется не только начальным состоянием и действующими силами, но в существенной мере также предысторией процесса. Современная теория и практика управления имеет дело со сложными техническими объектами и технологическими процессами, адекватное описание которых невозможно без учёта различных видов последействия. Пренебрежение влиянием запаздывания, присутствующего в системе, может привести к ухудшению качества её функционирования, а часто и к утрате работоспособности.

Среди различных способов математического описания систем с запазды ванием наиболее распространёнными являются функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) запаздывающего типа. Разработка и усовершенствование таких систем обуславливают интенсивные исследования по изучению ФДУ, анализу условий из устойчивости и управляемости, особенно для систем, описываемых нелинейными и неавтономными ФДУ.

Впервые такие уравнения были систематически изучены в классических трудах В. Вольтерра при рассмотрении задач математической биологии. В середине 20 века теория функционально-дифференциальных уравнений начала активно развиваться в основном в работах отечественных авторов

(А.Д.Мышкис, С.Н.Шиманов, Л.Э.Эльсгольц, Н.В.Азбелев и др.), в связи с применением таких уравнений в задачах управления различными техническими устройствами.

Основным методом анализа устойчивости и других качественных свойств нелинейных динамических систем является прямой метод A.M. Ляпунова. Этот метод, первоначально разработанный для обыкновенных дифференциальных уравнений, последующими поколениями исследователей был развит во многих направлениях и распространён на более широкие классы систем. Существенное развитие прямой метод получил в работах Н.Г.Четаева, Н.Н.Красовского, В.В.Румянцева, В.М.Матросова, В.И.Зубова, А.А.Шестакова, Е.А.Барбашина, С.Н.Васильева и других учёных.

В 1956 г. Н.Н.Красовским и В.С.Разумихиным были сформулированы два различных подхода к проблеме распространения прямого метода на уравнения с запаздыванием: первый основан на построении вспомогательных функционалов (определённых в бесконечномерном фазовом пространстве уравнения), второй использует те же функции, но с дополнительным условием на производную по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Эффективность обоих подходов в сочетании с отсутствием алгоритмов построения функционалов и функций, удовлетворяющих условиям классических теорем, определяют интенсивные исследования по обобщению и модификации этих теорем. Различные подходы к этой проблеме, относящиеся, в основном, к методу функционалов, предложены в работах В.Б.Колмановского, Л.Б.Княжище, А.С.Андреева, А.А.Мартынюка, R.D.Driver, V.Lakshmikantham, J.Hale, J.Haddock, Т.A.Burton, J.Terjéki, J.Kato и многих других учёных.

Метод функций, в отличие от метода функционалов, не получил столь серьёзного продвижения в направлении модификации и ослабления классических условий. Большинство работ, связанных с развитием метода функций, посвящены применению классических теорем к смежным проблемам (задачам управления, адаптивной стабилизации, исследованию устойчивости по входу и выходу) либо их адаптации к исследованию более общих классов уравнений (в последнее десятилетие особенно активно метод функций применяется к уравнениям со случайными и импульсными воздействиями).

В то же время в целом ряде задач преимущество метода функций перед функционалами состоит в том, что построение функций и проверка их знакоопределённости оказывается гораздо проще, чем построение функционалов, обладающих заданными свойствами. При этом, в отличие от метода функционалов, получаемые условия устойчивости, как правило, не содержат ограничений на величину запаздывания, либо включают лишь верхнюю границу этой величины, что особенно удобно в случае, когда запаздывание перемен-

ное или точно неизвестно. Расширение класса вспомогательных функций, в том числе в сочетании с соответствующими функционалами, открывает новые возможности в применении функций Ляпунова к задачам устойчивости и стабилизации. В частности, удаётся упростить решение задачи синтеза децентрализованного управления в многомерных системах, в особенности при наличии «каскадной» структуры, когда система представляется в виде цепочки нескольких последовательно связанных подсистем.Если каскадная система описывается линейными ОДУ, то матрица её коэффициентов является блочно-треугольной - это объясняет альтернативное название: треугольная система. Такие системы описывают динамику последовательно работающих химических реакторов, иных технологических агрегатов и систем промышленной энергетики, задачи слежения и управления группой подвижных объектов и др. Существующие исследования таких систем при учёте запаздывания немногочисленны и ограничиваются частными задачами.

Цель работы. Разработка и развитие качественных методов анализа устойчивости и синтеза стабилизирующих управлений для нелинейных управляемых динамических систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего типа.

Методы исследования. В работе применяются методы теории устойчивости и теории управления, методы качественной теории обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, математического и функционального анализа.

Научная новизна. В диссертационной работе развит новый подход к исследованию устойчивости и решению задач стабилизации для динамических систем с конечным, неограниченным и бесконечным запаздыванием. Этот подход основан на применении более широкого класса функций Ляпунова по сравнению с традиционно используемыми в теоремах прямого метода. Анализ предельного поведения решений и свойств предельных уравнений позволил получить новые достаточные условия устойчивости по Ляпунову, которые применимы к достаточно широкому классу динамических систем и предоставляют возможность: упростить процедуру исследования асимптотических свойств и построения стабилизирующих управлений; построить новые алгоритмы синтеза оптимальных стабилизирующих управлений; в конкретных задачах уточнить условия устойчивости и неустойчивости по сравнению с получаемыми ранее известными методами.

Получение новых достаточных условий асимптотической устойчивости дало возможность впервые обосновать единый метод исследования неавтономных систем с конечным, бесконечным и неограниченным запаздыванием. В основе этого метода - оценка производной вспомогательной функции в силу системы на множестве, определяемом посредством вспомогательного функционала, который связан с функцией определёнными соотношениями. Воз-

можность выбора как функции, так и функционала, унифицирует множество существующих подходов к анализу устойчивости и расширяет возможности прямого метода в исследовании неавтономных систем с запаздыванием.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты могут являться теоретической и методической основой качественного анализа управляемых динамических систем и процессов, моделируемых линейными и нелинейными уравнениями с запаздыванием. Такие системы возникают в прикладных задачах механики, энергетики, экологии, теории эпидемий, медицины, экономики. Разработанные в диссертации методы могут применяться в задачах проектирования и разработки технических и промышленных систем управления в условиях параметрических неопределённостей, возмущений и запаздываний. К таким задачам можно отнести автоматическое управление технологическими процессами, сопровождающимися тепло-и массообменом и химическими реакциями, управление потоками данных в компьютерных сетях и транспортными потоками, оптико-электронными системами, космическими летательными аппаратами.

Отдельные результаты диссертации включены в содержание учебных курсов для студентов факультета математики и информационных технологий Ульяновского государственного университета и используются в научной работе студентов.

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, определяются строгими доказательствами, опирающимися на методы математического анализа, функционального анализа, теории дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, теории устойчивости и управления.

Личный вклад автора в проведённое исследование. Представленные на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на Международной Конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем» (Киев, 1997 г.); на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям «Equadiff 9» (Брно (Чехия), 1997 г.); на Международном Конгрессе «Nonlinear analysis and its applications» (Москва, 1998 г.); на Крымских Международных математических школах «Метод функций Ляпунова и его приложений» (Крым, Алушта, 2000, 2006 гг.); на VIII, IX, X Международных семинарах «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2004, 2006, 2008 гг.); на Международном Конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007» (Санкт-Петербургский гос. университет, 2007 г.); па Симбирской молодёжной научной школе по аналитической механике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященной памяти академика Валентина Витальевича Румянцева (Ульяновск, 2009 г.); на научном семинаре «Аналитическая

механика и устойчивость движения» механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством член-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна и Я.В. Татаринова (2009 г.); на научном семинаре «Динамика систем и механика» факультета «Прикладная математика и физика» Московского авиационного института под руководством проф. П.С. Красильникова и B.C. Бардина (2009 г.); на научном семинаре отдела нелинейного анализа и проблем безопасности Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН под руководством проф. H.A. Северцева (2009 г.); на научных семинарах кафедры информационной безопасности и теории управления Ульяновского государственного университета, проводимых под руководством проф. A.C. Андреева (2000-2009 гг.)

Основные результаты диссертации получены в ходе выполнения научно-исследовательских проектов РФФИ (NN 99-01-01005, 02-01-00877, 05-01-00765, 08-01-00741, 08-01-97010-р-поволжье-а) и в рамках государственной программы поддержки ведущих научных школ, проект НШ-6667.2006.1 «Развитие математической и прикладной теории устойчивости, стабилизации и управления».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 49 работ, общим объёмом 24.3 п.л., в том числе 16 [1-16] - в журналах из перечня изданий, рекомендованных ВАК, объёмом 9.2 п.л. В совместных работах автору принадлежит 60 %.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 272 наименований источников отечественных и зарубежных авторов и предметного указателя. Работа изложена на 321 странице и содержит 17 рисунков.

Краткое содержание работы.

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации. Проводится обзор результатов исследований по тематике диссертации, формулируется цель исследования и отражаются основные результаты работы.

В первой главе представлены результаты для систем с конечным запаздыванием. В первом разделе рассматриваются промышленные системы, характеризующиеся наличием запаздывания по состоянию и (или) управлению, обоснована важность учёта запаздывания при построении систем управления и анализе таких систем. Далее проводится анализ различных видов устойчивости (простой, асимптотической, равномерной асимптотической) для систем, описываемых неавтономными дифференциальными уравнениями с конечным запаздыванием. Приводятся основные определения, предположения и вспомогательные результаты. Представлена методика исследования свойств предельных уравнений и предельных множеств, позволяющая развить известные достаточные условия различных видов устойчивости по Ляпунову в направ-

лении ослабления требований к функции и её производной вдоль решений системы. Получены следствия из полученных утверждений для каскадных (треугольных) систем, широко используемых в приложениях. Приводятся примеры, иллюстрирующие эффективность теоретических результатов. Доказаны также теоремы о полной неустойчивости относительно множества начальных возмущений, определяемого посредством вспомогательной функции.

Пусть R+ = [0, +оэ), Rn - действительное линейное пространство п-векторов с нормой | - |, C(X,Y) - пространство непрерывных отображений X —> У, г > 0 - фиксированная постоянная. Определим пространство С C([-r,0], Rn) функций р с нормой ||<р|| = max{|y5(s)| : -г ^ s ^ 0} и множества Са = {<р € С : < а}, Са = € С : ||<р|| ^ а} для произвольного числа а > 0.

Если x(t.) е С({а - г, а -f/3), Rn) (а € R+, 0 > 0), то элемент xt £ С для каждого t 6 [a, а +/3) определяется равенством xt(s) = x(t + s), —г ^ s ^ 0.

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение с конечным запаздыванием:

где ¿(¿) - правосторонняя производная функции х в точке / € С(Я+ х Сц,Я.п) для некоторого Н б (0,+ос]. Из непрерывности / следует, что для каждой начальной точки (а0, <ро) € х Ся существует непродолжимое решение уравнения (1), определённое для I е [а0 — г,Р) {Р > ао) и такое, что хао = <лЛ Из условия /(£, 0) = 0 следует существование нулевого решения ж(*;а0,0) = 0.

Рассматривается класс уравнений, обладающих следующим свойством: любое ограниченное в Кп решение является равномерно непрерывной функцией в области определения. В этот класс, в частности, входят все уравнения вида (1), правая часть которых удовлетворяет следующему предположению, близкому к понятию ограниченности:

Предположение 1. Для каждого числа <7 € (0, Н) существует неубывающая функция € цч(0) = 0, такая, что при некотором Т > 0 для любых Ь > а > Т, любой функции и £ С{[а, 6], Сд) и любых ¿ь £2 € [а, 6] выполняется неравенство

Далее рассмотрены фундаментальные свойства решений уравнения, удовлетворяющего этому предположению, приведены определения устойчивости и основные понятия метода функций Ляпунова.

1 Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.:Мир, 1984.

x(t) = f(t,xt), f{t, 0) = 0,

(1)

Пусть Си = {х € Яп : |х| < Я}. Скалярную функцию €

С1(Л х Ся,Л+), такую, что У(£,0) = 0 для всех t £ Д+, назовём функцией Ляпунова. Её производной в силу уравнения (1) называется функционал V' 6 С(Я+ х Си, И), определяемый соотношением:

При исследовании устойчивости и асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (1) используются стандартные определения знакопостоянной и знакоопределённой функции, для определения последних широко используется класс функций

X = {<7 6 С{Я+,Я+), сг(и) строго возрастает и <7(0) = 0} .

Ключевым моментом в получении конструктивных результатов об устойчивости на основе функции Ляпунова является определение следующих множеств, используемых при оценке производной функции V:

определениях представлены известные результаты метода функций Ляпунова и возможные направления их развития.

Далее в главе рассмотрена методика исследования свойств предельных уравнений и предельных множеств, позволяющая развить известные достаточные условия различных видов устойчивости по Ляпунову в направлении ослабления требований к функции и её производной вдоль решений системы. Для этого вводится следующее предположение:

Предположение 2. Функционал /(¿, ф) равномерно непрерывен и ограничен на каждом множестве Я+ х К, где К С Сн — компакт.

В этом случае семейство сдвигов {/т(^,<р) = /(т + т € предком-пактно в пространстве 3'f = С{Я+ хГ, Я") с компактно-открытой топологией, где компакт Г С Сн содержит множество {хДао) ^оМ ^ ао + г) Для каждого ограниченного решения 2. При этом уравнению (1) можно сопоставить семейство предельных уравнений:

где /* есть предельный к / функционал, определённый в области Я х Г как предел последовательности {/(£ + '■ Ь при этом сходимость

2 Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск:

x(t)=f'(t,xt)

(2)

УлГУ, 2005.

равномерна на каждом множестве [~Т, Т) х К, где Т > 0 и К сГ - компакт. Пусть дополнительно выполняется

Предположение 3. Функционал /(t,ip) удовлетворяет условию Липшица: для каждого компакта К С Сн существует I = 1{К) > 0 такое, что для всех <р\, (р2 6 К выполняется неравенство \f(t,<pn) — f{t,(pi)\ ^

Тогда решения уравнений (1) и (2) для каждой точки (ао,</?о) £ R+ х Сц и (<*o,v?o) S х Г соответственно, единственны.

Использование свойств предельных уравнений и их взаимосвязи с исходным позволяет в дополнение к известным теоремам B.C. Разумихина и H.H. Красовского получить новые достаточные условия асимптотической устойчивости: множество flt(V,ri) заменяется на его подмножество ^(V), а накладывая дополнительные ограничения на предельные уравнения, классические условия положительной определённости функции и отрицательной определённости производной в теоремах об асимптотической устойчивости можно ослабить.

Предположим, что функция V{t,x) и функционал U(t,ip) 6 C(R+ х Cf],R+): U(t,<p) ^ \V'(t,tp)\ удовлетворяют дополнительным условиям, аналогичным предположению 2 и обеспечивающим предкомпактность семейств сдвигов для V и U и возможность построения предельных V* и U* в соответствующих функциональных пространствах с компактно-открытой топологией. Определим множества:

N{t,cX) = W £ Сп ■ max V*(t + s,<p{s)) = с},

-r^s^Q

M(t,c,V) = {v£N(t,c0,V') ■ V*(t,v(Q)) = c], ¿(1,С/*) = {^Ся : U'{t,<p) = 0}

для произвольных с £ R, t € R и последовательности tn —> +oc.

Для последовательности t.n —> +oo и соответствующей предельной совокупности {f*,V",U*) обозначим K(tn,c) множество, состоящее из решений x*(t) уравнения x(t) = f*(t,xt), таких что x*L 6 N(t,c,V) для всех t € R и для каждого ^ € Л существует т € [to — такое что

г;€М(г,с,Г)п!(г,17').

Для каждого действительного числа с и непрерывной функции V(t,x) определим также множество^¿(оо,с) = {ip € Сц ¡Э<рл —► ip, t„ —> +оо : lim max V(i„ + s, ¥>„(«)) = lim„_oo <¿>„(0)) = c}.

ri—*oo —rs^s^O

В дополнение к классическим определениям устойчивости используется определение равномерного притяжения относительно множества Л С Сд, отличающееся от традиционного тем, что свойство равномерного притяжения должно выполняться лишь для решений, начинающихся в этом множестве, а также следующее определение:

Определение 1. Нулевое решение называется асимптотически устойчивым относительно множества А С Сн равномерно по {¿(i) = f'(t,Xt)}, если для любого £ > 0 можно указать <5 = <)(е) > 0 и Д > 0 такие, что из ipo 6 Ар| ¿7,5 следует |a;*(i;0,vo)l ^ £> а нз Ро £ Лр]Сд следует, что |2*(i;0,¥>o)| —> 0 при t —> +оо для каждого решения x*(t\0,'pn) любого предельного уравнения x{t) = f'(t,xt) при всех t > 0.

На основе введённых определений доказан ряд теорем, в том числе, следующий результат:

теорема 1. Предположим, что правая часть уравнения (1) удовлетворяет предположениям 2, 3, и существует функция Ляпунова V(t,x), таская что:

1. для функции V и оценки её производной выполняются предположения предкомпактности, V'(t,<p) ^ 0 для всех (t,<p): t £ R+, ip 6 $lt{V);

2. решение x = 0 асимптотически устойчиво относительно множества Кп»(°°)0) равномерно по {x(t) = f'(t,tp)};

3. существует последовательность tn —* +оо, для которой множество K(tn,c) пусто для любого достаточно малого с > 0.

Тогда нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво равномерно по ¡р. Если условие 3 выполняется для любой последовательности tn —> -foo, то нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво.

Показано, что аналогичные достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости могут быть получены без предположения о существовании предельных уравнений. В частности, доказана следующая георема о равномерной асимптотической устойчивости, в которой помимо множества Kni(°°>с) использовано также множество

U'l{oo,c) = {<£ е Сн | 3<рп -> <р, tn -foo : lim U(tn,ipn) = с}, с € R.

п—* оо

теорема 2. Предположим, что правая часть уравнения (1) удовлетворяет предполооюениям 1, 3. Если существует функция Ляпунова V(t,x), такая что V'(t,ip) ^ 0 для всех t. G R+, ip G V"), и нулевое решение является равномерно притягивающим относительно множества V^(oo,0), то оно устойчиво. Если дополнительно V(t,x) ^ Ь(|я|) для некоторой функции b £ ОС, то нулевое решение уравнения (1) равномерно устойчиво. Если дополнительно \V'(t,ip)\ > U(t,<p) > 0 для всех (t,ip) £ R+ хС\н, где U(t,<p) - функционал, равномерно непрерывный на каэюдом множестве R+ х К, К С Си - компакт, и множество U~l(oо, 0) Г) V~^x(oo, с) пусто при с > 0, т.о нулевое решение уравнения (1) равномерно асимптотически устойчиво.

Полученные утверждения применяются к каскадным (треугольным) системам вида:

x{t) = fl{i,xt) + g(t,xt,yt), (3)

V(t) = h(t,yt) (4)

Здесь хну- векторы размерностей гейт соответственно, & xt и Vt ~ элементы пространств С(п) := С([-г, 0], Rn) и С(т) := С([-г, 0],Дт), и /2(t,0) = 0, /i(i,0) = g{t,ipu0) = 0 для всех i 6 й+, i^i е С(п), так что система (3)-(4) имеет нулевое положение равновесия, а уравнение (3) при отсутствии взаимосвязи (y(t) = Q) принимает вид

±(t) = h(t,Xt) (5)

Исследуется устойчивость нулевого решения системы (3)-(4) в предположении, что её правые части непрерывны и удовлетворяют предположениям 1, 3. Доказано, что если нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво для уравнений (5) и (4), то решение х = 0, у = Ü системы (3)-(4) равномерно асимптотически устойчиво. Рассматриваются также аналогичные достаточные условия асимптотической устойчивости в делом (глобальной). Эффективность предложенных теоретических результатов продемонстрирована на примерах: исследованы автономные и неавтономные уравнения, моделирующие различные процессы из теории эпидемий, теории экономического роста и др.

Завершается глава рассмотрением задачи о неустойчивости.

Определение 2. Пусть D(t) - подмножество Сн, t £ R+, 0 е D(t). Нулевое решение уравнения (1) называется вполне неустойчивым относительно множества D{t), если существует £ > 0 такое, что для всех 5 £ (0,е) и любых ipo 6 Ci, »o 6 R+ таких, что ipo 6 D(ao), для решения x(t;ao,ipo) уравнения (1) существует t* > ао такое, что |ж(Г; q0i <А))| ^

Это определение позволяет получить более содержательную информацию о неустойчивости решения: соответствующие достаточные условия гарантируют, что любое решение, начинающееся в множестве D{t), выйдет за пределы заданной окрестности. Существование функции с определёнными свойствами позволяет не только установить факт неустойчивости, но и описать множество, заведомо содержащееся в D(t).

Для функции V(t, х) обозначим

Pu(V,t) = 6 Си : 0 < V(t,<p(0)) = max V(t + s, y(s))}, Prn(V, t) = {<pec„: о < V(t, <p(0)) = min V(t + s, p(s))},

—r^s^O

Доказаны теоремы о неустойчивости нулевого решения уравнения (1) относительно множеств Рм{У, t)и Pmi};, i)> использующие менее ограничительные условия на функцию Ляпунова и её производную по сравнению с классическими. Для случая автономной и периодической системы эти результаты обобщают, в частности, результаты J.Haddock, J.Zhao3, а также решающие предложенную этими авторами проблему об использовании множества Pm(V) в теореме о полной неустойчивости для периодического уравнения.

Результаты первой главы, в частности, продолжают и обобщают исследования B.C. Разумихина, H.H. Красовского, A.B. Прасолова, A.B. Кима, A.C. Андреева, Е.В. Пантелей, J. Haddock, J. Terjeki, W. Hornor и других авторов.

Во второй главе достаточные условия (асимптотической) устойчивости, полученные в Главе 1, применяются к задачам стабилизации управляемых систем. Запаздывание в описании рассматриваемых систем может возникать как в результате учёта их внутренних особенностей функционирования, так и вследствие применения управления с запаздывающей обратной связью. Предложен метод решения задачи синтеза децентрализованного управления в многомерных системах при наличии каскадной структуры, а также метод построения оптимальных стабилизирующих управлений, основанный на применении контролирующих функций (аналога функций Ляпунова для управляемых систем) к системам с запаздыванием.

Рассмотрим управляемую систему, описываемую уравнением вида

x(t) = f(t,xt!u), x(t) eRn, и 6 Rm, f{t, 0,0) = 0. (6)

Предполагается, что управляющие воздействия и не стеснены никакими дополнительными условиями, а величины x(t) не должны по норме превосходить некоторое заданное число Я, то есть xt £ Сн-

Управление для системы (6) строится в виде функционала u(t,xt) € C(R+ х Ctf,Rm), удовлетворяющего условию u(t, 0) = 0 для всех t е R+. Такие управления назовём допустимыми.

Задача I. Построить допустимое управление ü(t,ip) : Л4 х Сн —4 Rm, при котором нулевое решение «замкнутой» системы (6) x(t) = f(t,Xt) = f{f.,xt,n(t.,xt)) является асимптотически устойчивым. Управление, решающее сформулированную задачу, назовём стабилизирующим. Предполагается, что для любого допустимого управления функционал F(t, ip) = f(t, tp, u(t, ip)) непрерывен и удовлетворяет предположениям 1, 3.

Прикладные задачи о стабилизации наряду с требованием асимптотической устойчивости заданного движения содержат обычно пожелания о наилучшем (с какой-либо точки зрения) качестве возмущённого движения x(t) в процессе его приближения к состоянию х = 0 при t —> +оо, и (или) о наимень-

3Haddock X, Zhao J. Instability for autonomous and periodic functional differential equations with finite

delay // Punkcialaj Ekvacioj. 1996. V.39. P.553-570.

шей возможной затрате ресурсов, расходуемых на формирование управляющего воздействия. Такие пожелания часто можно выразить в виде условия минимальности некоторого интеграла, определяемого как функция начальной точки:

Здесь 1р, и) : х Сн х —> Я+ — непрерывный неотрицательный функционал, символ и(1) обозначает величину управляющего воздействия как функцию от времени (например, в случае управления с обратной связью к(£) = которое реализуется в системе (6), а х(£) обозначает решение системы (6) при управлении и = и(4), начинающееся в точке (г0,<Л>) 6 Я+ х Сн.

Задачу о стабилизации системы (б) при условии минимума какого-либо критерия качества (7) будем называть задачей об оптимальной стабилизации. Задача II. Построить допустимое управление и°(£, <р) : х Ся —> Ят, при котором нулевое решение замкнутой системы х{£) = =

является асимптотически устойчивым, и существует 5 > О такое, что для любой начальной функции <р € Сг соответствующий критерий качества является наименьшим относительно класса допустимых стабилизирующих управлений.

Функцию и°(£, <р), разрешающую задачу II, будем называть оптимальным стабилизирующим управлением.

К таким постановкам сводятся задачи стабилизации стационарного режима работы системы, обеспечения безопасности управляемого переходного процесса и др.

На основании результатов Главы 1 исследуется задача стабилизации для управляемой каскадной системы:

Здесь XI е С(п), уг € С\т), управляющие воздействия строятся в виде непрерывных функций : Я+ х С(п) -> Я"1 и й2{1,уь) ■ х С(т) -* Р1 ^ п, Р'2 ^ Т1, так, что «¿(4,0) г 0 для всех £ б Я+. Такие управления будем называть допустимыми для системы (8)-(9). Предполагается также, что функционалы Д0^,^) := Щ^,^)) и <р2) := для любых допустимых управлений непрерывны и удовлетворяют предположениям 1, 3, кроме того, /"(¿,0,0) = д(1,(р1,0) = 0 для всех £ е й+ и <Р\ 6 С(п), /2"(£,0,0) = 0, так что замкнутая управлением система (8)-(9) имеет нулевое положение равновесия.

Получены достаточные условия локальной и глобальной стабилизируемо-сти для системы (8)-(9) децентрализованным управлением Эти

х{1) = /,*(£, хи «!(£)) +дЦ,хиу1),

(8) (9)

результаты применяются, в частности, к исследованию задачи слежения для мобильного колёсного робота: управление, при котором отклонения от заданного закона движения стремятся к нулю с ростом времени, строится на основе информации об этих отклонениях, получаемых с некоторым запаздыванием т > 0. Исследована зависимость стабилизирующих свойств построенного управления от величины запаздывания. Построены также линейные стабилизирующие управления с запаздыванием по времени для системы, описываемой уравнением = и, а также её обобщения вида:

±i(t) = xM{t) +fi{t,xH,...,xit), i = l,...,n- 1, xn(t) = u(t) + fn(t,Xu,...,Xnt),

Для сравнения качества предложенных управлений с построенными по другим известным алгоритмам анализируются численные решения соответствующих замкнутых систем.

Полученные теоретические результаты применяются к построению стабилизирующих управлений для классических тестовых моделей теории управления: перевёрнутый маятник на движущейся тележке и балансирующий на балке шар, а также к кинематической задаче стабилизации равновесия судна, движущегося на плоскости.

Рассматривается также задача о полуглобальной стабилизации частичной обратной связью в системе (8)-(9), когда управляющее воздействие не обязательно глобально стабилизирующее, но за счёт регулирования величины некоторого параметра управления удаётся добиться произвольного расширения области притяжения нулевого решения. В частности, получены достаточные условия полуглобальной стабилизации для системы (8)-(9), в которой подсистема (9) линейна: y(t) = Ay(t) + Ary(t — г) + Bu{t).

Далее развиваются идеи так называемых контролирующих функций и функционалов -- аналогов функций Ляпунова в применении к управляемым системам, получивших широкое распространение в теории управления в последние десятилетия (в основном в применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям4).

Рассмотрим нелинейную управляемую систему с запаздыванием вида

x(t) = f(t,xt)+g{t,xt)u, (10)

где функционалы f,g £ C(R+ х C,R") удовлетворяют предположениям 1, 3, и £ R - управление, и /(£, 0) = 0 для всех t 6 R+. Требуется построить стабилизирующее управление для системы (10) в виде u(i) = k(t,xt).

Рассмотрим вспомогательный функционал V : R+ х С —» R+. Для вычисления производной функционала вдоль решений системы (10) используем

4Albertini F., Sontag E.D. Continuous control-Lyapunov functions for asymptotically controllable time-varying systems // Internat. J. Control. 1999. N 72(18). P.1630-1641.

понятие инвариантной производной функционала5.

Элемент <р пространства С представим в виде пары (^(0),^), ip{s) € С([-г,0), Я"), ф(з) = <p{s) при s е [—г,0). Эту пару можно рассматривать как элемент пространства С = {{х,ф) 6 й" х С([-г, 0), Rn) : ф{0-) = х), изометричного пространству С. Для простоты обозначений будем считать пространства С и С тождественными, а функцию <р € С - представимой в виде (<p(0),i/>)- Определим для ip € С непрерывные продолжения вправо на (0, А): Ф(в) = ф), s€[-r,0], Ф(в)€С,([01Д),Ля),ипусть

Фф(??, -г, у) = V{t + 77, vp(0) + z, фу), где V > о, z е Л", у 6 [0, Д), фу = {Ф(у + s), s е [-г, 0)}.

Определим производную вектор и частную производную по

функциональной составляющей d^V: _ =

0,-1-0), i = l,...,n, дфУЦ,<р) = |^Фф(+0,0,+0). Если функция Фф непрерывна в нуле (по т? и у - справа) и предельное значение не зависит от продолжения Ф, то функционал V - инвариантно непрерывен, а если инвариантно непрерывны его частные производные, то он инвариантно дифференцируем5.

Далее будем предполагать, что функционал V инвариантно дифференцируем во всем пространстве R+ х С (это предположение выполняется для большинства функционалов, традиционно используемых при исследовании устойчивости).

В этом случае производная функционала V вдоль траекторий системы (10) равна V(t, ф) = ^ + Т • (/(*, <р) + g(t,<p) ■ и) + d^V (t ,<р).

По аналогии с традиционными обозначениями положим LfV(t,ip) =

V + (W) Т ' /(*- V) + v»), LgV(t, у>) = Т " S(t ,Ч>) ■

Предположим, что множество {(i, <р) : LgV(t, <р) = 0} = Я+ х N, N С С.

Определение 3. Функционал V : й+ х С —> R+ является КЛКФ для системы (10), если существуют такие функции а € X, ßi,ß2 € что А(Н0)|) < V{tiV) s? ßziWfW) Для всех (t,<p) € R+ х С, и -а(И0)|) для всех (t,ip) 6 Я+ х N.

При условии существования контролирующего функционала следующие формулы определяют стабилизирующие управления: u.s(t,ip) = -Ks{t,<p)LgV{t,ip), где

Ks(t,tp) = { [ЦуЩ? ' ^ '

0, <р е N-,

ьКим A.B. ¿-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: УрО ран, 1996.

Mi-(i.v) = -KF{t,<p)LgV(t,<p), где

\ 0, L/^t.^+advWIXO;

uD(t,4>) = -KD{t,ip)LgV{t,<p), где KD(t,<p) = 7 e

С(Д+, (0, +oo)) - такая, что limr.,^ /0 7(s) ds = oo. Эти формулы аналогичны известным «универсальным» формулам для автономных ОДУ4,6. Представлены достаточные условия непрерывности этих управлений, обсуждаются их особенности, связанные с наличием запаздывания.

Для предложенных законов управления рассмотрена задача «обратной оптимальности»: найдены выражения для функционалов q(t, ip) > 0 и p(t, <р) > 0, при которых функционал качества

ЛОО

J= / (q(t,xt)+p(t:xt)u2(t))dt, (И)

Jo

достигает минимума на построенном управлении.

Доказательство обратной оптимальности управления важно при решении практических задач, поскольку во многих случаях оно гарантирует не только глобальную равномерную асимптотическую устойчивость для замкнутой системы, но и сохранение этого свойства в случае наличия неопределённости на входе системы, т.е. робастность управления по отношению к входным неопределённостям некоторого класса. В работе описан один из классов неопределённостей, не нарушающих стабилизирующие свойства рассматриваемых управлений.

На основе представленных законов управления можно рассмотреть также и «прямую» задачу оптимальной стабилизации, то есть построения стабилизирующего управления, минимизирующего функционал вида (11) с заданными

Рассмотрим закон управления иip(t,<p) = —KQP{t,<p)LgV(t,tp), где

Kqp(t, <р) = <-)и-1ЦуЩГй-. V * N>

I о, ip а N.

Данный закон управления при условии его непрерывности является глобально стабилизирующим. Кроме того, справедливо утверждение:

Теорема 3. Предположим, что V(t,<p) - КЛКФ для системы (10), V(t,ip) - функционал Беллмана для (11). Тогда если для некоторой функции j3 е ЗС справедливо V = 0(V), то ияр(Ь,ф) - оптимальное управление относительно функционала (11).

6Freeman R.A., Kokotovic P. V. Robust Control of nonlinear systems. Birkhauser, fiostcm, 1996. Jankovic M. Extension of control Lyapunov functions to time-delay systems // Proceeding of the CDC, Sydney, Australia, 2000. P.4403-4408.

Далее на основе результатов Главы 1 предлагается обобщение определения КЛКФ: неравенство /3i(|i/?(0)|) Si V(t, ip) заменяется на О ^ V(t,у), L]V{t,ip) ^ — a(|i/)(0)|) заменяется на L/V(t,ip) ^ 0. При этом для обеспечения асимптотической устойчивости при управлениях us, Щр необходимо наложить дополнительные условия на замкнутую систему. Изучены проблемы, возникающие в связи с этим обобщением (в том числе условия непрерывности рассмотренных управлений) и возможные пути их решения.

В заключение та же задача рассматривается с позиций метода функций. Даётся определение контролирующей функции Ляпунова-Разумихина и обсуждаются возможности её применения в построении стабилизирующих управлений.

Результаты второй главы, в частности, продолжают и обобщают исследования В.М. Кунцевича, E.D.Sontag, M.Jankovic, S.-I.Niculeseu и других авторов.

В третьей главе рассматривается задача устойчивости для систем с бесконечным запаздыванием. Такие системы возникают, например, при математическом описании процессов физиологии, экологии, в моделировании нейронных сетей. На основе использования аксиоматического определения фазового пространства и модификации условий на производную функции Ляпунова возможно обобщение на случай таких систем результатов, полученных в Главе 1 для систем с конечным запаздыванием.

В качестве фазового пространства используется так называемое допустимое пространство с исчезающей памятью. Идея использования таких пространств, заимствованных из термодинамики и механики сплошной среды, оказалась весьма продуктивной в построении теории уравнений с бесконечным запаздыванием и широко используется современными исследователями. Достаточные условия (асимптотической) устойчивости и неустойчивости получены на основе метода предельных уравнений и модификации метода функций Ляпунова. Модификация заключается в одновременном использовании в исследовании пары, состоящей из функции и функционала, связанных между собой определёнными соотношениями. При этом для функции вычисляется производная вдоль решений уравнения, а функционал задаёт множество, на котором эта производная оценивается. Такая конструкция является естественным обобщением метода функций для уравнений с конечным запаздыванием, изложенного в Главе 1, и позволяет при выборе вспомогательной пары учитывать специфику как правой части уравнения, так и соответствующего допустимого пространства.

Пусть В — действительное векторное пространство либо

(i) непрерывных функций, отображающих R~ = (—oo,0] в Rn, и tp = "ф в В, если <p(s) =■ ip(s) для всех s € R~, либо

(ii) измеримых функций, отображающих R~ в Rn, = если </?(s) = i/j(s) для почти всех s £ R~ и <¿>(0) = ^(0),

и в пространстве В определена норма | ■ |в такая, что (В, | • |в) является сепарабельным банаховым пространством.

Для функции х £ С((-оо, Л),Я"), -оо < А ^ +оо, определим функцию XI : —» Я" по формуле = х(Ь + в), я 6 Я~ для каждого Ь < А. Для произвольного а > 0 определим множества Ва = {<р £ В \ \<р\в < а},

Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение с бесконечным запаздыванием

где / е С(Я+ х Вн, Я") для некоторого 0 < Н ^ оо.

В большинстве исследований уравнения (12) используется следующее предположение ограниченности для функционала /: для любого д 6 (О, Я) существует т = т(д) такое, что |/(£,</>)| ^ ^п(д) для всех (¿,€ Я+ х Вд. В дальнейших утверждениях используется более слабое предположение, аналогичное предположению 1:

Предположение 4. Для каждого числа <? € (О, Я) существует неубывающая функция 6 С(Я+,Я+), р,(0) = 0, такая, что для любой функции и 6 С([а,Ь],Вч) и любых ^,¿2 6 [а,Ь] выполняется неравенство

В ряде утверждений этой главы требуются также следующие дополнительные условия:

Предположение 5. Функционал /(i, ip) ограничен и равномерно непрерывен на каждом множестве R+ х К, где К С Вн — компакт, т.е. для любого компакта AT С ¿?я существует число М =■ М(К) > О, и для произвольного малого £ > 0 найдётся i5 = К) > О такие, что для любых (¿2, </>2) G Я+ х при условиях |£i — ¿21 < |<pi - v?2|ß < выполняются неравенства:

Введём также стандартные предположения относительно фундаментальных свойств уравнения (12): для каждой начальной точки (ао, <р0) 6 Я+ х Вн существует непродолжимое решение .z(í; йо, <^о) уравнения (12), определённое для í € [ао ,/3) для некоторого /3 > а о, то есть непрерывное и удовлетворяющее уравнению (12) на [cto,/3), и такое, что хао = <ро, и для любого е 6 (О, Я) и :r(i) - непродолжимого решения (12) на [cto, /3), такого, что хао £ В£, либо /3 = +оо, либо \х^\в = е для некоторого t\ £ (ао,/3). Кроме того, если выполняется условие Липшица, а именно, для любых t £ Л+, <р,ф £ Ва, а £ (О, Я) справедлива оценка

Ва = {<р £ В \ \<р\в ^ а} ■

±{t) = f(t,xt)

(12)

\f(ttV2)-f(t,Vl)\^l(a)\<p2- в

(13)

для некоторого 1(a) > 0, то такое решение единственно и имеет место непрерывная зависимость решения от начальной точки.

Пусть T¡ = C(R+ х Bu,Rn) - пространство непрерывных функционалов, определённых на х В ff со значениями в Rn. Для / € T¡ определим семейство сдвигов T(f) = {fT(t,<p) = /(г + t,<p), т £ R+} и обозначим #(/) замыкание множества T(f) в пространстве T¡. Так как пространство В сепарабельно, то /* £ H(f), если и только если существует последовательность {£„} С такая, что f(t + tn,ip) —► f"(t,ip) при « —> оо равномерно на компактных подмножествах из R+ х В7. В условиях предположения 5 множество H(f) компактно в пространстве T¡ и = {/* € ^v 13 {£„}, +00 : fu -> /* в/}} непусто. Очевидно,

Я(/) = Т(/)иП(/).

В сделанных предположениях можно определить семейство предельных уравнений для уравнения (12): x(t) = f*(t,xt), где f*{t,ip) £ íl(/). Свойства решений этих уравнений аналогичны тем, которые имеют место для уравнений с конечным запаздыванием и играют ключевую роль в исследовании поведения решений исходного уравнения на основе предельных уравнений.

Заметим, что в случае конечного запаздывания предположение 1 гарантирует выполнение фундаментальных свойств уравнения и предкомпактность положительной орбиты ограниченного решения в фазовом пространстве. Однако если запаздывание бесконечно, ситуация осложняется и даже более сильное предположение ограниченности правой части не достаточно для установления фундаментальных свойств уравнения. Поэтому важно понять, какие свойства пространства В позволят, в первую очередь, гарантировать фундаментальные свойства. Кроме того, с точки зрения качественного поведения решений уравнения, в частности, устойчивости, необходимо выяснить, какие свойства пространства обеспечат предкомпактность орбиты ограниченного решения в пространстве В, и как связаны понятия устойчивости в Rn и в функциональном пространстве В (в случае В — С([—г, 0], Rn) они, очевидно, эквивалентны).

Определение таких свойств в виде «аксиом» - формальных требований к пространству В - оказалось очень удобным и продуктивным подходом. Впервые систематически изложенный в работе J.Hale, J.Kato8, аксиоматический подход стал активно использоваться в последующих исследованиях уравнений с бесконечным запаздыванием, в первую очередь в вопросах асимптотического поведения и устойчивости.

Определение 4. Пространство В назовём допустимым, если существуют постоянные K,J>0 и непрерывная функция М : R+ —> R+ такие, что

7Hiño Y-, Murakami S., Naito Т. Functional differential equations with infinite delay // Lecture Notes in Math. V. 1473. Springer-Verlag, 1991.

ЪЯale J., Kato J. Phase space for retarded equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1978. V.21. P. 11-41.

выполняются следующие условия. Если 0 ^ а < А < оо и функция х : (—оо,А) —> Rn непрерывна на [а, Л) и ха G В, то для всех t € [а, А) (Bl) xt € В и xt непрерывно по t относительно | • \в~, (В2) |xt|B s: К max + M (t. - a)\xa\B\ кроме того,

(ВЗ) |<p(û)| ^ J\ip\B для всех <р € В;

(В4) если С В равномерно ограничена: sup sup < оо, и <Рк ~' f

к .«< О

равномерно на компактах из R~, то ц> € В и ipk ~* 3 В.

Условия (В1)-(ВЗ) гарантируют фундаментальные свойства для уравнения (12), правая часть которого удовлетворяет предположению 4. Определим Во ~ {ip G В : (/j(0) = 0} и для <р е Bq оператор So{t):

Определение 5. Допустимое пространство В назовём пространством с исчезающей памятью8, если

|5o(î)vIb 0 при t —» -(-оо для любой Ç Во-

Если В - пространство с исчезающей памятью, то из предположения 4 следует предкомпактность положительной орбиты каждого ограниченного решения уравнения (12) в пространстве В, и если x(tn + s) —► <^(s) при п —> оо равномерно по s G [—T, 0] для любого Т>0,тореВн \xt„ — <р\в —+ 0 при п —» оо.

При изучении уравнения (12) чаще используются пространства с равномерно исчезающей памятью7,8: для них в условии (В2) M(t) —> 0 при t —> +оо.

Заметим, что поскольку ||50(i)|| = sup|¥,|8=li¥>eBo |S0(t)p|s ^ M(t), то пространство с равномерно исчезающей памятью является пространством с исчезающей памятью, но не наоборот. В оставшейся части этой главы пространство В считается допустимым пространством с исчезающей памятью (не обязательно равномерно).

На практике выбор конкретного пространства, удовлетворяющего заданным условиям, диктуется, в том числе, структурой правой части уравнения. В работе представлены примеры наиболее распространённых пространств.

Если запаздывание ограничено, то определения устойчивости по отношению к нормам в Rn и в фазовом пространстве, очевидно, эквивалентны. В случае неограниченного запаздывания это в общем случае не так, однако справедлив следующий результат8: для допустимого пространства В с исчезающей памятью определения (равномерной) устойчивости и асимптотической устойчивости в S и в Л" эквивалентны, для допустимого пространства В с равномерно исчезающей памятью определения равномерной асимптотической устойчивости в В и в Rn эквивалентны.

Заметим, что во многих практических задачах естественно предполагать, что начальные функции принадлежат пространству ВС ограниченных непрерывных функций ip : R~ —> R с нормой \(р\вс = supss;0 |</?(s)|. Во многих работах по исследованию устойчивости правая часть уравнения считается определённой именно в этом пространстве. Однако в этих случаях либо рассматривается специальный вид уравнения (12), либо стандартные свойства существования, продолжимости и непрерывной зависимости решения для уравнения предполагаются априори, без рассмотрения соответствующих ограничений на правую часть уравнения. Между тем если взять пространство ВС в качестве фазового, то эти свойства в общем случае не обеспечиваются даже предположением ограниченности правой части (см., например, статью G. Seifert9). В частности, это связано с отсутствием в общем случае свойства непрерывности отображения t —» xt в пространстве ВС для непрерывной функции x(t) (как, например, для x(t) = sini2). Аксиоматическое определение допустимого пространства удобно в построении теории и не создаёт проблем в приложениях, поскольку функции из пространства ВС принадлежат допустимому пространству, и из свойства устойчивости в пространстве В следует аналогичное свойство устойчивости в пространствах (ВС, Rn) (т.е. когда начальные отклонения оцениваются по норме | • а текущее отклонение - по норме | ■ ().

Изложенные соображения объясняют введение следующей альтернативы, используемой далее при доказательстве равномерной асимптотической устойчивости: либо В - пространство с равномерно исчезающей памятью, либо начальные функции ip € В равномерно ограничены: sups^0 |y(s)| й С < оо и l-SoWHß —> 0 равномерно по <р € В : sups?0 |v?(s)| ^ С. Доказано, что в этом случае определения равномерной асимптотической устойчивости в Rn и в В эквивалентны.

Для удобства формулировок следующих утверждений дадим определение:

Определение 6. Нулевое решение уравнения (12) называется асимптотически устойчивым в Q(f), если для любого £ > 0 существуют 0(e) > 0 и Д > О такие, что |а:г(0,<^)|в < £ для всех t ^ 0 при \<р\в < S, а из |<р|в < Д следует ¡Ж((0,у?)|й —> 0 при п —+ оо для любою решения любого предельного уравнения x(t) = /*(i,zt).

В предположении 5 доказаны следующие теоремы, устанавливающие взаимосвязь между свойствами устойчивости для исходного уравнения и предельных к нему уравнений.

Теорема 4. Если пулевое решение асимптотически устойчиво в Sl{f) для уравнения (12), то оно равномерно асимптотически устойчиво.

вSeifert G. On Caratheodory conditions for functional differential equations with infinite delays 11 Клску Mountain J. of Mathematics. 1982. V.12, N 4. P.615-619.

Теорема 5. Пусть нулевое решение уравнения (12) равномерно устойчиво и существует предельное уравнение, для которого 2 = 0 является точкой притяжения. Тогда нулевое решение уравнения (12) эквиасимпто-тически устойчиво.

Получены также результаты для уравнения с возмущениями. Эти результаты продолжают и развивают, в частности, исследования, изложенные в работах2,10. Заметим, что результаты упомянутых работ получены для пространств с равномерно исчезающей памятью.

Далее представлены определения и результаты об устойчивости для систем с бесконечным запаздыванием, полученные на основе модифицированного метода функций Ляпунова.

Введём необходимые определения и предположения.

Пусть V = V{t,x), V е C](RxGh,R+) есть функция Ляпунова, где Ся = {х е Rn : |х| < Я}. Её производная в силу уравнения (12) есть функционал V' : R+ х ВИ - Я: V'(t,<p) = dVit^m/dt + ^idVit^m/dxJMt^).

Определим также функционал W 6 С(Я+ х Вд,Я+). Используем следующее определение, обобщающее известное определение11 па неавтономный случай:

Определение 7. Пара (V, W) называется парой Ляпунова-Разумихина, если V(t,x) ^ 0, V(t,0) = 0, W(t.,0) - 0, и для каждого р > 0, t > р и <р € В а такой, что (¿>_р £ Вн и непрерывна на [—¿о, 0], выполняется

У(£, ср(0)) < <р) < max{ max + s, ф)), W(t - p, y?_„)}, (LR1)

если 0 < V(t,p(0)) = W(t,tp), то V'(t,<p) < 0. (LR2)

Предполагается, что функция V(t,x), функционалы W(t,ip) и U(t,ip): 0 < U{t, ip) < \V'{t,4>)\ удовлетворяют условиям прекомпактности: V(t,x) равномерно непрерывна и ограничена на каждом множестве Я+ х Gr, Gr = {i е R° : (х| < г < Я}, а функционалы W(<,ip) и U(t,ip) равномерно непрерывны на каждом множестве R+ х К, К С Вц — компакт. Тогда семейство сдвигов [VT(t,x) = '/(г + | т 6 7i+} предкомпактно в пространстве C(R+ х Gh,R+) с компактно-открытой топологией, а семейства {l/r(t,y) = C/(r + i,v3)|r £ Я+} и {lVT(i,v?) = W(r + t,ip) \т € Я+} предком-пактны в пространстве с(д+ х Bh,R+) и можно, как и Главе 1, определить

l0Hin.o Y. Stability properties for functional differential equations with infinite delay // Tohoku Math. J. 1983. V.35. P.597-605.

//mo K, Murakami S. Stability properties of linear Volterra equations // J. Differential equations. 1991. V.89. P. 121-137.

Murakami S. Perturbation theorems for functional differential equations with infinite delay via limiting equations // J. Differential equations. 1985. V.59. P.314-335.

nHaddock J. and Terjeki J. On the location of positive limit sets for autonomous functional differential equations with infinite delay //J. Differential equations. 1990. V.66. P.l-32.

предельные V, II* и IV*. Кроме того, считается выполненным следующее условие:

Предположение 6. Для любого с > 0 существует Г = Г(с) > 0 такое, что для любой последовательности ¿„ +оо, определяющей предельную пару (V*, ТУ*), каждой равномерно непрерывной функции <р € В а, и каждого числа £ 6 Я+, таких что вир + 5,у?(в)) ^ И7*^.^) = с, выполняется

равенство Т4/*(£, <р) = тах У"(1 4- <£(«)).

Для каждой последовательности ^ —> +со и чисел Ь е Л+, с € определим множества

МЦ,с,У*) = {реВн\ тах + 5, ф)) = с},

МЦ,с,У) = {<Р€Ви\ тах + в.^в)) = Г(*,р(0)) = с},

Ь(1, и') = ^) = о},

лг(к*) = {</> е в„ | у'(*,<?(*)) = о. 3 ^

Рассмотрена задача о локализации положительного предельного множества ограниченного решения уравнения (12) посредством предельных уравнений, пары (V, И7) и определяемых ею множеств, а также доказывается ряд теорем об асимптотической устойчивости. Предполагается, что для правой части уравнения (12) выполнено предположение 5, и определяется множество К{1к,с) С В и, состоящее из целых решений х* соответствующего последовательности ((¡->оо уравнения ¿(£) = /*(£, х<), обладающих свойством: для любого I е Я+ найдётся т 6 Ц~Т(с),г] такое, что х* € М{т,с,У)Г\Ь{т, У*). Кроме того, используем определение:

Определение 8. Нулевое решение уравнения (12) называется асимптотически устойчивым равномерно относительно множества предельных нулей функции V и семейства предельных уравнений, если существует Д > 0 и для любого е > 0 найдётся ё(е) > 0 такое, что для любых предельных V* и f*, соответствующих одной н той же последовательности —> -Ьоо, решение <р) уравнения ¿(4) = /*(£,£() для всех 1 ^ 0 и 9 £ В) П Ы(У*) удовлетворяет неравенству |гг*(0,ф)]в < е, и <р)\в —» 0 при п —> оо, если

Получены достаточные условия асимптотической устойчивости, а также следующее утверждение о равномерной асимптотической устойчивости:

теорема 6. Предположим, что правая часть уравнения (12) удовлетворяет дополнительно условию Липшица (13) и существует пара Ляпунова-Разумихина (V, IV), такая что \У(Ь,1р) ¿С Ь(\р\в) Ь 6 X, К(Ц,с) — 0 для

любого малого с > 0 и любой последовательности tn —> +00, и нулевое решение асимптотически устойчиво равномерно относительно множества предельных нулей функции V и семейства предельных уравнений. Тогда нулевое решение уравнения (12) равномерно асимптотически устойчиво.

Полученные результаты обобщаются на случай, когда правая часть уравнения и функция V не обязательно удовлетворяют предположениям пред-компактности. В соответствующих формулировках определения множеств M(t, с, V*), L(t, U*) и предположение 6 модифицируются, а предельные уравнения не фигурируют.

Сравнение полученных результатов с известными ранее показывает, что предложенная модификация прямого метода обобщает целый ряд известных вариантов развития метода функций для систем с бесконечным запаздыванием. Эффективность доказанных утверждений иллюстрируется на примерах, в частности, доказана равномерная асимптотическая устойчивость периодического решения в модели «хищник-жертва», построенной с учётом возрастной структуры жертвы и неограниченного последействия, нестационарного режима работы ядерного реактора с двумя слабо связанными активными зонами и др.

Предлагается также решение некоторых задач стабилизации для систем с бесконечным запаздыванием. Для неавтономного уравнения вида

x(t) = A{t)x(t) + [ B(t,s)x{t + s)ds + f(t,xux(t)) + u(t). (14)

J-00

получены достаточные условия для матриц A(t), B(t), K(t) и нелинейности /, при которых управление u(t) = K(t)(x* - х(£)) стабилизирует равновесие х* системы (14) до равномерной асимптотической устойчивости. Полученный результат применяется к задаче стабилизации заданного уровня численностей п взаимодействующих популяций, динамика которых описывается системой типа Лотки-Вольтерра, а также применяется в задаче построения децентрализованного стабилизирующего управления системой следующего вида:

x'(t) = A'(t,xlt)x'(t) + Bl(t, xljxl(t - rl(t)) + Cl(t, s, xlt)xl(t + s)ds +/'(i,xt) + Fl(t,x[) + vf{t),l = 1,..., m,

где X e Rn, X1 e Rni, YZ,n, = n, 0 «J r,(t) ^ r,, x[ = Fl(t, x[, 0,..., 0) = 0, fl(t, 0) = 0 для всех I = 1,... ,m. Система рассматривается в подходящем допустимом пространстве В в предположении ограниченности правых частей при всех t 6 R+ и ограниченных по норме остальных аргументах, а также при условии, что /'(£,zt) = o(xl(t)) при |x'(t)| —> 0 для всех I — 1,... ,тп. Получены условия на матрицы Kl(t,x[), при которых управления м'(£) — —Kl(t,xlt)xl(t) стабилизируют нулевое решение системы.

Завершает главу исследование задачи о неустойчивости. Полученные результаты основаны на соответствующих идеях Главы 1. В терминах пары Ляпунова-Разумихина доказаны теоремы о полной неустойчивости нулевого решения системы относительно множества, определяемого этой парой.

Результаты третьей главы, в частности, дополняют и продолжают исследования С.В.Павликова, J.Kato, J.Haddock, G.Seifert, S Murakami, J. Zhao и других авторов.

В четвёртой главе рассматриваются системы с неограниченным (но не бесконечным) запаздыванием и изучаются особенности применения к этим уравнениям методов, развитых в Главе 3.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

Здесь £ £ x(t) € Д", а функционал / в момент времени £ зависит от значений функции х на интервале [t —r(i),i], где r(t) 6 C{R+,R+), r(t) —> +oo при t —> +oo, и для функции х 6 С([<о - r(to), A), Rn), 0 $ to < А «С +оо отображение xt : [¿о;^) ~» Rn определяется по формуле X((s) = x(t + s),

Решение х(£; ¿о, <р) этого уравнения с начальной функцией : [—г(£о), 0] —► Я" при £ € [£о,/3), /3 > £о, определяется как непрерывное и удовлетворяющее уравнению (15) на [£о,/?), и такое, что х/0(£о,^) — <р.

Важным частным случаем уравнения (15) являются широко распространённые интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра:

где Ж(||_го| € С([—г, 0], Д"). При изучении уравнений с неограниченным запаздыванием во многих исследованиях второй аргумент у функционала / в уравнении (15) при фиксированном £ € Я+ считается непрерывной функцией, определённой на интервале [—г(£),0], с зависящей от £ нормой

Однако, как и для уравнений для бесконечным запаздыванием, в качестве фазового пространства удобнее использовать допустимое пространство, определённое в Главе 3.

В работе определяется подходящее пространство с исчезающей памятью для уравнения (16) и условия на функционалы в правой части уравнения, обеспечивающие выполнение предположений ограниченности и предкомпакт-ности. Эти результаты позволяют непосредственно применять теоремы из Главы 3 к уравнению (16). Представлены примеры такого применения, получены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости и неустойчивости для ряда уравнений, часто исследуемых в литературе, проведён сравнительный результатов, полученных различными методами.

x(t) = f(t,xt).

(15)

s € [-r(£), 0].

(16)

Далее рассмотрены уравнения с неограниченным запаздыванием )'(£) ^ О, таким, что t — г(£) - монотонно возрастающая функция.

Показано, что наиболее «естественные» пары для таких уравнений не удовлетворяют предположению 6. Вместо этого предположения предлагается следующее.

Предположение 7. Для любой последовательности 1п —* +оо, определяющей предельную пару (V*, И7*), каждой равномерно непрерывной функции 1р € Вн и каждого числа ( £ выполняется условие ^ аир +

В условиях этого предположения доказана теорема о локализации положительного предельного множества ограниченного решения уравнения и теорема об асимптотической устойчивости:

Теорема 7. Предположим, что для уравнения (15) существует пара Ляпунова-Разумихина (V, W), выполняются предположения 4, 5, 7 и решение x(t\ao(po) уравнения (15) определено и ограничено при всех t ^ aq.

Тогда существует Cq -- const ^ 0, такое, что для любой ip £ ui+(xt(aQ, <р0)) существует предельная совокупность (f*,V*,W',U*), и решение x*(t\0,ip) предельного уравнения x(t) = f*(t,xt) такие, что x*t £ w+(x((ao, <ро)), х\ £ S(t,W,co) = {ч> 6 Вн \ W*(t,ip) = с} для всех t € R+, и если supsi0 V*(t + s, x"(t + s)) = V*(t,x*(t)), mo x\ £ L(t,U').

Теорема 8. Предположим, что для уравнения (15) выполняются предположения 4> б, и существует функция V(t,x) такая, что

] ова-

Разумихина на множестве Л+ х Вн, удовлетворяет предположениям пред-компактности и У(Ь,х) а(|а:|) для (£, х) 6 Я+ х Сц,, где Н\ ^ Н, а(и) £ 1С. Если для любой последовательности ^ —> +с>о соответствующее множество 5(со) = {¡р : = У*(0><р(0)) = со,&*(0,<р) = 0}

состоит из точки <р — 0 при достаточно малых со 0, то нулевое решение уравнения (15) асимптотически устойчиво.

Аналогичные утверждения можно доказать без предположений предкомпактности для правой части уравнения и пары (У,\У). При этом множество И7*, с) заменяется на множество ^ (£,£„, с) = {<р £ Вн (3{<р„} £ Вн ■■ ч>п~+ V, 1Ьпп—00 IV(£ + £„, <рп) = с} и устанавливается, что положительное предельное множество ограниченного решения уравнения состоит из непрерывных отображений, содержащихся в 5'00(£,£п, с) при некотором с £ Аналогично модифицируется множество 5(с0),

а предположение 7 заменяется на следующее: для каждой равномерно непрерывной функции у5 е Вц, произвольных последовательностей ipn —> V (уп € -Вя)> tn —» +00 и и любого t 6 i?+ выполняется условие lim W(tn + i. ^ lim sup Vltn + t + s.(pn(s)).

n—00 n->oo

Используя результаты Главы 3, можно также получить утверждения об асимптотической устойчивости для уравнения (15) в терминах знакопостоянной функции V.

Представлено доказательство асимптотической устойчивости для ряда примеров, в частности, для модели Лотки-Вольтерра с п взаимодействующими видами, а также некоторые удобные в применении следствия из доказанных теорем.

Завершает главу решение ряда задач стабилизации. Получены достаточные условия на параметры системы с выделенной линейной частью и неограниченным запаздыванием

т т

при которых управление и(£) = K(t)(x* — x(t)) стабилизирует равновесие х* системы до асимптотической устойчивости с гарантированной областью притяжения. Рассмотрена задача построения стабилизирующего управления с учётом неограниченного запаздывания в цепи обратной связи.

В Заключении представлены основные выводы и результаты работы.

Основные результаты диссертации

1. Разработаны новые методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия неавтономной системы с конечным запаздыванием на основе использования знакопостоянных функций Ляпунова.

2. Обосновано применение пары, состоящей из функции и функционала, в исследовании свойств устойчивости и неустойчивости положения равновесия неавтономной системы с бесконечным запаздыванием, рассматриваемой в пространстве с исчезающей памятью.

3. Разработаны новые методы исследования асимптотической устойчивости положения равновесия неавтономной системы с неограниченным запаздыванием (в том числе, интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра).

4. Получены новые условия возможности построения стабилизирующих ро-

бастных управлений для нелинейных неавтономных систем с запаздыванием на основе метода контролирующих функционалов и функций.

5. Предложен новый подход к решению задач стабилизации управляемых систем с запаздыванием, позволяющий, в частности, упростить синтез централизованногоуправлелмя в многомерных нелинейных системах каскадной структуры (запаздывания могут быть ограниченными и неограниченными и возникать в результате учёта внутренних особенностей системы и (или) структуры обратной связи управления).

Публикации автора по теме диссертации I. Публикации п журналах, входящих в перечень ВАК

1. Седова Н.О. К методу Ляпунова-Разумихипа для уравнений с бесконечным запаздыванием //' Дифференц. уравнения. 2002. Т. 10. С. 1338-1347.

2. Седова Н. О. Об асимптотической устойчивости нестационарного режима работы ядерного реактора с двумя слабо связанными активными зонами // Обозрение промышленной и прикладной математики. 2003. Т.10, вып.1. С. 215-216.

3. Sedova N. On employment of semidefinite functions in stability of delayed equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2003. V. 281. N 1. P.313-325.

4. Седова H.O. О стабилизации нелинейной каскадной системы с запаздыванием // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т.11, вып.З. С.669-670.

5. Седова Н.О. Вырожденные функции в исследовании асимптотической устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений / / Математические заметки. 2005. Т.78, N 3. С.468-472.

6. Седова Н.О. Об асимптотической устойчивости равновесия в модели динамики стволовых клеток крови // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т.12, вып.2. С.505-506.

7. Седова Н. О. Стабилизация и устойчивость треугольных систем дифференциальных уравнений с учетом запаздывания // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. Т. 13, вып.З. С.540-541.

8. Седова Н.О. Об асимптотической устойчивости в целом для нелинейных дифференциальных уравнений с последействием // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, вып.2. С.346-347.

9. Седова Н.О. Глобальная асимптотическая устойчивость и стабилизация в нелинейной каскадной системе с последействием // Известия вузов. Математика. 2008. N И. С.208-223.

10. Седова И.О. Контролирующие функционалы в задаче стабилизации систем с запаздыванием // Проблемы управления. 2008. N 3. С.23-29.

11. Седова И.О. Локальная и полуглобальная стабилизация в каскаде с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2008. N 6. С.70-81.

12. Седова И.О. Неавтономная модель взаимодействия биологических видов с неограниченным запаздыванием: условия сходимости решений при отсутствии положительного равновесия // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т.15, вып.5. С.922-923.

13. Седова И.О. О развитии прямого метода Ляпунова для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием // Мат. заметки. 2008. Т.84, N 6. С. 888-906.

14. Седова И.О. Устойчивость в системах с неограниченным последействием // Автоматика и телемеханика. 2009. N 9. С.128-140.

15. Седова И.О. Прямой метод Ляпунова в решении задач стабилизации и слежения с запаздывающей обратной связью // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. 2009. Т.42(1). С.31-37.

16. Седова И.О. К задаче стабилизации запаздывающей обратной связью с неограниченным запаздыванием, зависящим от состояния // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. 2009. Т.42(1). С.38-41.

II. Прочие публикации в журналах

17. Andreev A., Sedova N. On the stability of nonautonomous equations with delay via limiting equations // Func. Diff. Equations (Israel). 1998. Vol. 5, N 1-2. P.21-37.

18. Sedova N. O. On the stability of nonautonomous FDE of Volterra type // Труды средневолжского математического общества. Саранск: СВМО, 1999. Том 2, N 1. С. 111-112.

19. Седова И.О. К методу Ляпунова-Разумихина для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Фундаментальные проблемы математики и механики, Уч. записки УлГУ. 2000. Том 8, вып.1. С.117-125.

20. Седова И.О. К вопросу о полной неустойчивости для дифференциальных уравнений запаздывающего типа // Фундаментальные проблемы математики и механики, Уч. записки УлГУ. 2001. Том 10, вып.1. С.77-94.

21. Седова И.О. Предельные уравнения в изучении асимптотической устойчивости решений неавтономных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Фундаментальные проблемы математики и механики. Учёные записки УлГУ. Т.12, вып.2. 2002. С.29-42.

22. Sedova N. Razumikhin-type theorems in the problem on instability of nonautonomous equations with finite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 2004. V.47. P.187-204.

23. Седова И.О. Метод Ляпунова-Разумихина в задаче об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений // Фундаментальные проблемы математики и механики. Уч. записки УлГУ. 2005. Т.15, вып.1. С.84-122.

III. Публикации в трудах научных конференций

24. Седова Н. О. Вырожденные функции и функционалы в задаче глобальной стабилизации систем с запаздыванием // Тезисы докладов VIII Крымской Международной школы «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Алушта, 10-17 сентября 2006 г.) Таврический национальный университет, Симферополь. 2006. С.151.

25. Седова И.О. Глобальная асимптотическая устойчивость и стабилизация нелинейных систем с последействием // Труды IX Международной Че-таевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск, 2007. Т.2. С.208-223.

26. Седова Н. О. Знакопостоянные функции и функционалы в решении задач стабилизации систем с запаздыванием // Сибирская молодежная научная школа по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами. Тезисы докладов. Ульяновск, УлГУ, 8-12 июня 2009 г. Ульяновск: изд-во УлГУ, 2009. С.25.

27. Седова И.О. К вопросу о синтезе стабилизирующего управления нелинейной системой с запаздыванием // International Conference «Dynamical system modelling and stability investigation» (Kyiv, May 2005). Thesis of conference reports. Kyiv, 2005. C.109.

28. Седова H.O. Некоторые способы построения стабилизирующих управлений в системах с запаздыванием на основе вспомогательных функций // Тезисы докладов IX Международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 31 мая-2 июня 2006 г.) С.230-232.

29. Седова И.О. Об исследовании устойчивости неавтопомого ФДУ на основе функций Ляпунова и предельных уравнений. // Тезисы докладов Меж-

дународной Конференции «Моделирование и исследование устойчивости систем». Киев, 1997. С.98.

30. Седова Н.О. О влиянии параметризованного возмущения на глобальную асимптотическую устойчивость в уравнениях с запаздыванием // Тезисы докладов VIII Международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2-4 июня 2004 г.) С.163-164.

31. Седова Н. О. Прямой метод Ляпунова в задаче управления с запаздыванием в цепи обратной связи // International Conference «Dynamical system modelling and stability investigation» (Kyiv, May 27-29, 2009). Thesis of conference reports. Kyiv, 2009. C.308.

32. Седова Н.О. Синтез стабилизирующих управлений для неавтономных систем с последействием // Тезисы докладов Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007». Санкт-Петербургский гос. университет, 2007. С. 108.

33. Седова Н. О. Стабилизация дифференциальных систем с учетом переменного и неограниченного запаздывания в управлении // Тезисы докладов 10-й Международной конференции «Устойчивость, управление и динамика твёрдого тела» (Донецк, 5-10 июня 2008 г.) С.83-84.

34. Седова Н. О. Устойчивость и стабилизация в системах с неограниченным последействием // Тезисы X Международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня 2008 г.) С.263-264.

35. Sedova N. Control and «inverse optimality» in delayed systems // Proceedings of 11th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (29.08-01.09 2005 r.) Miedzyzdroje, Poland. P.91-94.

36. Sedova N. On the stability of nonautonomous functional differential equation via limiting equation // Abstracts, Enlarged Abstracts of «Equadiff 9», Conference on Differential Equations and Their Applications (Brno, august 25-29, 1997). Masaryk University, Brno, 1997. P.175-176.

Подписано в печать 19.03.10. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 130 экз. Заказ № 24/

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

1 Исследование устойчивости неавтономных динамических систем с конечным запаздыванием

1.1 Примеры промышленных объектов с последействием. Влияние запаздывания на свойства управляемой системы.

1.2 Основные определения и первоначальные результаты.

1.3 Возможные пути развития метода.

1.4 Предельные уравнения в исследовании устойчивости.

1.5 Модификация результатов без применения предельных уравнений

1.6 Локальная и глобальная асимптотическая устойчивость «каскадных» систем.

1.6.1 Определение «каскадной» системы и локальный результат

1.6.2 Глобальная асимптотическая устойчивость.

1.7 Достаточные условия неустойчивости.

2 Стабилизация управляемых динамических систем с конечным запаздыванием

2.1 Управляемая система с запаздыванием. Постановка задачи стабилизации. Теоремы о стабилизации как следствия теорем об устойчивости.

2.2 Задачи стабилизации для «каскадных» систем. Стабилизация частичной обратной связью.

2.2.1 Локальная и глобальная стабилизация для нелинейного каскада.

2.2.2 Стабилизация линейной системы порядка п

2.2.3 Полуглобальная стабилизация частичной обратной связью в каскадной системе.

2.3 Синтез стабилизирующих управлений на основе контролирующих функционалов и функций. Задача обратной оптимальности

2.3.1 Основные определения и предварительные замечания

2.3.2 Контролирующие функционалы.

2.3.3 Построение стабилизирующих управлений. Прямая и обратная задачи оптимального управления.

2.3.4 Возможные обобщения.

2.3.5 Контролирующие функции.-.

3 Исследование устойчивости неавтономных динамических систем с бесконечным запаздыванием

3.1 Основные определения, предположения и вспомогательные утверждения.

3.1.1 Уравнения с бесконечным запаздыванием. Предкомпакт-ность и предельные уравнения.

3.1.2 Допустимые пространства. Исчезающая и равномерно исчезающая память

3.1.3 Примеры допустимых пространств.

3.2 Предельные уравнения в изучении асимптотической устойчивости нулевого решения.

3.3 Локализация положительного предельного множества и асимптотическая устойчивость для уравнений с предкомпактной правой частью.

3.4 Асимптотическая устойчивость без предположения предком-пактности.

3.5 Сравнение с предыдущими результатами. Примеры.

3.6 Решение задач стабилизации для некоторых неавтономных систем с бесконечным запаздыванием

3.7 Теоремы о неустойчивости.

4 Исследование устойчивости динамических систем с неограниченным запаздыванием и систем типа Вольтерра

4.1 Интегро-дифференциальные уравнения типа Вольтерра.

4.1.1 Определение допустимого фазового пространства для уравнения типа Вольтерра. Условия предкомпактности.

4.1.2 Примеры

4.2 Уравнения с неограниченным запаздыванием.

4.2.1 Локализация положительного предельного множества и асимптотическая устойчивость.

4.2.2 Примеры

4.3 Решение некоторых задач стабилизации для систем с неограниченным запаздыванием

Современные методы анализа и проектирования систем управления характеризуются, с одной стороны, неуклонным повышением сложности и разнообразия изучаемых объектов, с другой стороны, повышением требований к точности прогнозирования поведения исследуемых процессов, к качеству функционирования проектируемых объектов, и, как следствие, к адекватности математических моделей.

Развитие техники и новые компьютерные технологии определяют возможность усложнения структуры проектируемых систем и управляющих устройств и тем самым выдвигают перед фундаментальной наукой задачу разработки новых методов системного анализа сложных динамических систем, в частности, исследования устойчивости и создания алгоритмов синтеза управлений. Эти методы позволяют проводить анализ условий безопасного функционирования системы, возможности обеспечения заданного режима работы, влияния параметров объекта на характер его поведения.

В середине прошлого века в науке и технике возникли задачи, при исследовании которых выяснилось, что для их адекватного описания требуется учитывать влияние запаздывания. Особенно остро эта проблема проявилась с распространением математического моделирования в биологии, физиологии, экономике и других областях, до недавнего времени развивавшихся без применения сложного математического аппарата. Системы с запаздыванием отражают более глубокое понимание закона причинности, в силу которого последующее течение процесса определяется не только начальным состоянием и действующими силами, но в существенной мере также предысторией процесса. Включение предыстории в описание управляемых систем позволяет учитывать как задержки в каналах измерительных и управляющих устройств, так и процессы старения, инерции, деградации. Описанию и моделированию промышленных систем, производственных объектов, технологических и природных процессов, учитывающих запаздывание (наследственность, последействие), посвящено множество статей и монографий, см., например, [11,13,18,20,21,23,25,39]. Наследственная природа характерна, например, для процессов деформации упругопластичных материалов, кинетики химических и ядерных реакторов, динамики микробиологических процессов, распространения эпидемий или последствий экологических катастроф, экономических закономерностей, а также процессов обработки и передачи информации, в том числе в ходе формирования и приложения управляющих воздействий.

Современная теория и практика управления имеет дело со сложными системами, адекватное описание которых невозможно без учёта различных видов последействия. Это прежде всего информационное запаздывание, связанное конечными затратами времени на получение информации о состоянии управляемой системы, её обработку и формирование управляющего воздействия. В химико-технологических и теплоэнергетических процессах, космонавтике имеют место также транспортные и технологические запаздывания. Управление сложной системой может осуществляться как непосредственным воздействием на систему, так и изменением условий её функционирования, последний класс управлений неизбежно будет воздействовать с некоторым запаздыванием. Пренебрежение влиянием запаздывания, присутствующего в системе, может привести к ухудшению качества функционирования системы, а часто и к утрате её работоспособности.

Среди различных способов математического описания систем с запаздыванием наиболее распространёнными являются функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) запаздывающего типа. Проблемы разработки и усовершенствования методов анализа и синтеза сложных динамических систем определяют необходимость разработки новых и развития наиболее конструктивных методов исследования ФДУ, в особенности нелинейных и неавтономных.

Дифференциальные уравнения с запаздыванием были впервые систематически изучены в классических трудах В.Вольтерра [21,22] при рассмотрении задач математической биологии. В середине 20 века теория функционально-дифференциальных уравнений начала активно развиваться, в основном в работах отечественных авторов (А.Д. Мышкис, С.Н. Шиманов, Л.Э. Эльсгольц) в связи с исследованиями задач устойчивости и управления различными техническими устройствами (см., например, [12,20], а также библиографию в [39]). Широкие возможности применения таких уравнений в качестве математических моделей определили интерес и значительное развитие теории функционально-дифференциальных уравнений за последние полвека. История развития, тенденции и современное состояние этой теории достаточно полно изложены, например, в работах [17,38,43,54,113,119,135,201]. Исследования показали, что системы с запаздыванием обладают существенными особенностями и к ним неприменимы напрямую результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных систем. Изучение систем с запаздыванием сопряжено со значительными трудностями, а построение точных решений возможно лишь в исключительных частных случаях. С другой стороны, при должном осмыслении поведение таких систем во многом можно характеризовать па основе методов и конструкций, до определённой степени аналогичных существующим в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Наиболее важное место в общей теории дифференциальных уравнений занимает качественная теория. Качественный анализ является ключевым этапом математического моделирования, в значительной степени определяя методы обработки как исходной информации, так и выходных данных.

Одним из центральных вопросов качественной теории дифференциальных уравнений и важнейшей практической задачей является исследование устойчивости идеальных процессов, установление возможности создания реального процесса с требуемыми свойствами. Среди различных определений устойчивости наиболее общим, математически корректным и соответствующим физическому представлению об устойчивости и потере устойчивости признан подход А.М.Ляпунова.

Ляпуновым были заложены основы теории двух методов исследования устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффективность так называемого второго, или прямого метода Ляпунова связана с тем, что использование введённых Ляпуновым вспомогательных функций позволяет исследовать устойчивость и неустойчивость, не находя самих решений уравнения. Большую роль в становлении метода функций Ляпунова сыграли работы Н.Г. Четаева, H.H. Красовского, В.В. Румянцева, В.М. Мат-росова, В.И. Зубова, A.A. Шестакова, Е.А. Барбашина, С.Н. Васильева и многих других учёных.

В настоящее время сфера применения функций Ляпунова не ограничивается задачами классической теории устойчивости. Идеи прямого метода используются в исследовании систем, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом и уравнениями с частными производными, разностными, стохастическими, интервальными уравнениями, для решения задач стабилизации, для построения оценок движений и алгоритмов оптимизации, в системном анализе задач управления с различными особенностями обработки информации: в условиях неполной информации, с запаздыванием в формировании управляющего сигнала и др. [14, 28, 38, 41, 43, 44, 46, 48,111,114,115, 202]. Тем не менее основой этих исследований остаётся теория устойчивости. Актуальность этой области науки определяется как необходимостью развития математического аппарата самой теории устойчивости, так и широкими её приложениями к анализу разнообразных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания. Поэтому дальнейшая разработка теории устойчивости по сей день остаётся объектом исследований многих учёных; обзор некоторых направлений и результатов этого развития представлен в [63,66].

Существенная особенность прямого метода Ляпунова заключается в том, что он по сути даёт возможность анализировать уобастную устойчивость и строить робастные законы управления: желаемое свойство устойчивости устанавливается, как правило, не для одной конкретной системы, а для некоторого множества систем заданной структуры, принадлежащих некоторому классу. Этот класс определяется множеством устойчивости в пространстве параметров системы.

Проблема распространения прямого метода Ляпунова на задачи устойчивости систем с запаздыванием возникла в 1950-х годах и все эти годы исследовалась достаточно активно. Истоками этих исследований можно считать статьи [42], [58], в которых были сформулированы два подхода к этой проблеме. Один из них основан на идее обобщения метода Ляпунова путём использования знакоопределённых функционалов, заданных на отрезках интегральных линий. Эти функционалы являются естественным обобщением конечномерных функций Ляпунова с точки зрения функциональной трактовки решений уравнений с запаздыванием, для которых фазовое пространство является бесконечномерным. Этот подход был разработан Н.Н.Красовским и его учениками. Дальнейшее развитие это направление получило в работах [9,10,34,35,38,43,51,116,117,135,136,145,196,260,265] и мн. др.

Стремление сохранить знакоопределённые функции Ляпунова в качестве меры возмущений привело к другому пути вывода достаточных условий устойчивости для систем с последействием. При этом оказалось, что формальное перенесение формулировок теорем типа Ляпунова на случай функционально-дифференциальных уравнений имеет весьма ограниченное применение на практике, и конструктивные результаты в этом направлении были получены на основе введённых B.C. Разумихиным и H.H. Красовским условий относительно производной функции Ляпунова [42,58]. В соответствии с этими условиями требование знакоопределённости производной функции Ляпунова в силу уравнения распространяется лишь на некоторое подмножество функционального фазового пространства, описываемое с помощью самой функции Ляпунова.

В целом ряде задач преимущество метода функций перед функционалами состоит в том, что построение функций и проверка их знакоопределённости оказывается гораздо проще, чем построение функционалов, обладающих заданными свойствами. Вычисление производной функции в силу уравнения также не вызывает трудностей, тем более когда функция непрерывно дифференцируема. При этом получаемые условия устойчивости, как правило, не содержат ограничений на величину запаздывания, либо включают лишь верхнюю границу этой величины, что особенно удобно в случае, когда запаздывание переменное или точно неизвестно.

Однако условия Разумихина выглядят на первый взгляд, возможно, несколько искусственно. Кроме того, первоначальная версия Разумихина теоремы об асимптотической устойчивости оказалась в общем случае неверной. Вероятно, эти обстоятельства определили скептическое отношение к идеям Разумихина на довольно продолжительное время. Однако позднее, в 1980-х годах, метод был «реабилитирован» и начал активно развиваться, преимущественно зарубежными математиками [130,152,155-160,164,170,171,181,194, 252,253,255,262-264,266,269-271, и др.] (в англоязычных работах конечномерные функции, используемые при исследовании устойчивости решений уравнений с запаздыванием, получили название функций Ляпунова-Разумихина). Основные приёмы метода функций были обобщены для функционально-дифференциальных уравнений с неограниченным и бесконечным запаздыванием [79,86,145,158,171,228,242,255] и уравнений типа Вольтерра [151,168,239,240], для применения к исследованию неустойчивости [56,57,156,159,160,237], а также для задач о локализации положительного предельного множества ограниченного решения уравнения с запаздыванием [157,158,170,171]. Более того, идеи ослабления условий на производную, аналогичные условиям Разумихина, стали применяться также в теории функционалов (см., например, [196,260]). В настоящее время конечномерные функции широко применяются для исследования различных свойств решений уравнений с запаздыванием, например, условий устойчивости в системах с возмущениями [152,172,214,220], условий ограниченности и существования периодических решений [252,253], в задачах стабилизации и управления для построения управляющего воздействия с требуемыми свойствами [131,179,181], для получения оценки критерия качества или времени затухания переходного процесса, в теории автоматического регулирования (см., например, монографию [114] и библиографию к ней). Тем не менее многие проблемы и возможности прямого метода для уравнений с запаздыванием остаются недостаточно исследованными.

Эффективность как метода функционалов, так и метода функций Ляпунова в исследовании свойств нелинейных систем, с одной стороны, и трудности построения в конкретной задаче функции (или функционала) Ляпунова, с другой, определяют необходимость развития прямого метода, состоящего в разработке новых приёмов и совершенствования классических результатов.

Использование функционалов или функций Ляпунова, удовлетворяющих условиям классических теорем, даже для линейных систем либо встречает серьёзные трудности, либо приводит к жёстким коэффициентным условиям устойчивости. Ситуация ухудшается в случае, если система неавтономна, а также с ростом размерности системы, в том числе в связи с усложнением структуры множества, на котором оценивается производная функции. Ослабление условий к функции за счёт учёта дополнительных свойств исследуемой системы делает возможным упростить процедуру получения достаточных условий устойчивости и (или) улучшить эти условия.

Таким образом, расширение класса вспомогательных функций, допустимых при исследовании систем с запаздыванием, открывает новые возможности в применении прямого метода к задачам устойчивости и стабилизации и является актуальной проблемой системного анализа.

Однако, в отличие от метода функционалов, метод функций не получил столь серьёзного продвижения в направлении модификации и ослабления условий, налагаемых на функцию Ляпунова и её производную. Большинство работ, связанных с развитием метода функций, посвящены применению классических теорем к смежным проблемам (задачам управления, адаптивной стабилизации, исследованию устойчивости по входу и выходу) либо их адаптации к исследованию более общих классов уравнений (в последнее десятилетие особенно активно метод функций применяется к уравнениям со случайными и импульсными воздействиями) [131,150,181,187,206,208,210,259].

В 1983 году J. Haddock и J. Terjeki [157] использовали технику Ляпунова-Разумихина для локализации положительного предельного множества решения автономного функционально-дифференциального уравнения с конечным запаздыванием и вывода принципа инвариантности (такой термин принято употреблять для утверждений, использующих идеи прямого метода Ляпунова в сочетании со свойствами инвариантности предельного множества решений; история развития принципа инвариантности отражена в обзоре [153]). В 1990 году те же авторы предложили обобщение этих идей на случай уравнений с бесконечным запаздыванием [158]. Доказательство принципа инвариантности позволило сформулировать для автономных уравнений новые достаточные условия асимптотической устойчивости с менее жёсткими требованиями к функции Ляпунова.

Обоснование указанных результатов существенно использовало автономность уравнения, так что они не допускали непосредственного обобщения на более сложный неавтономный случай. Теория неавтономных функционально-дифференциальных уравнений развита в значительно меньшей степени по сравнению с теорией автономных уравнений. В то же время в математическом описании большинства современных прикладных задач управления необходимо использовать неавтономные нелинейные уравнения. Поэтому развитие методов системного анализа именно таких уравнений является важнейшей теоретической и практической задачей.

Одним из эффективных способов качественного анализа неавтономных уравнений оказался называемый метод предельных уравнений, который позволяет представить неавтономную систему как динамическую систему в расширенном фазовом пространстве и исследовать асимптотические свойства её решений [5,10,46,166,193,220,243]. Если правая часть неавтономного уравнения с конечным запаздыванием удовлетворяет условиям предкомпактности в компактно-открытой топологии [243], то для него могут быть построены предельные уравнения и доказана квазиинвариантность положительного предельного множества (см. [10,170]). В случае бесконечного запаздывания аналогичные результаты [79,171] получаются, если рассматривать уравнение в так называемом пространстве с исчезающей памятью [161] (идея рассмотрения уравнения на таких пространствах, заимствованных из термодинамики и механики сплошной среды, оказалась весьма продуктивной в построении теории уравнений с бесконечным запаздыванием и широко используется современными исследователями). С практической точки зрения представляют интерес результаты, позволяющие на основе свойств предельных уравнений делать вывод о поведении решений исходного уравнения. Такие утверждения особенно удобно применять в тех случаях, когда предельные уравнения имеют более простую структуру, чем исходное, например, являются автономными, а также для уравнений с исчезающими в различных смыслах возмущениями [166,167,193,197,220].

Однако для установления притяжения решений, свойств асимптотической устойчивости и неустойчивости более эффективным методом оказывается исследование свойств предельных уравнений при условии существования функции Ляпунова. Использование свойств предельных уравнений в задаче локализации положительного предельного множества даёт возможность ослабить требования к функции Ляпунова по сравнению с классическими в теоремах об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости для неавтономных систем. Кроме того, идеи, использованные при получении достаточных условий устойчивости для уравнений, удовлетворяющих условиям предкомпактности, можно распространить и на более общий класс уравнений, для которых не обязательно существуют предельные. Модификация достаточных условий устойчивости и асимптотической устойчивости, в свою очередь, предоставляет новые возможности в решении задач стабилизации для управляемых систем с запаздыванием.

В частности, использование знакопостоянных функций в решении задач стабилизации может служить основой нового подхода к решению задач синтеза децентрализованного стабилизирующего управления неавтономными нелинейными системами. При такой стратегии управления исходная система разбивается на несколько подсистем, для каждой из которых независимо формируется управляющее воздействие. Децентрализация усложняет задачу синтеза, поскольку появляются дополнительные структурные ограничения на управление: каждому локальному закону управления доступна только часть информации о состоянии системы. С другой стороны, по сравнению с централизованным управлением, децентрализованное обеспечивает большую гибкость и устойчивость системы к неконтролируемым возмущениям, к возможному выходу из строя каналов связи между подсистемами или даже отдельных подсистем целиком. Поэтому в сложных системах применяется, как правило, стратегия децентрализованного управления.

В последние десятилетия децентрализованные алгоритмы управления вызывают значительный интерес в связи с усложнением технологий современного производства, объекты которого включают набор взаимодействующих подсистем, имеют большую размерность, рассредоточены в пространстве. Новые компьютерные технологии с параллельными вычислениями и мультипроцессорной архитектурой хорошо адаптированы к синтезу систем децентрализованного управления, а развитие техники обеспечивает возможность практической реализации регуляторов сложной структуры. Эти обстоятельства стимулируют фундаментальные исследования в области анализа и синтеза сложных управляемых динамических систем.

Основная цель диссертации заключается в разработке и развитии качественных методов анализа устойчивости и синтеза стабилизирующих управлений для нелинейных управляемых динамических систем, моделируемых функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего типа.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 272 наименований источников отечественных и зарубежных авторов и предметного указателя. Работа изложена на 321 странице и содержит 17 рисунков.

Заключение

Доказанные в работе теоремы и иллюстрирующие их примеры показывают, что анализ предельного поведения решений и свойств предельных уравнений позволяют получить новые утверждения, которые применимы к достаточно широкому классу систем с запаздыванием и предоставляют возможность: упростить процедуру исследования асимптотических свойств и построения стабилизирующих управлений; в конкретных задачах уточнить условия асимптотической устойчивости и неустойчивости по сравнению с получаемыми ранее известными методами; применить для качественного анализа систем вспомогательные функции в случаях, когда поиск «классической» функции вызывает серьёзные трудности.

Получение новых достаточных условий асимптотической устойчивости дало возможность впервые обосновать единый метод исследования неавтономных систем с конечным, бесконечным и неограниченным запаздыванием. В основе этого метода - оценка производной вспомогательной функции в силу системы на множестве, определяемом посредством вспомогательного функционала, который связан с функцией определёнными соотношениями. Возможность выбора как функции, так и функционала, унифицирует множество существующих подходов к анализу устойчивости и расширяет возможности прямого метода в исследовании неавтономных систем с запаздыванием.

Полученные в работе результаты позволяют проектировать системы управления промышленными объектами высокой степени сложности, определяющейся наличием нелинейных и нестационарных динамических характеристик, внешних возмущений, различного типа запаздываний. При этом построенные согласно предложенным методам управления определяются не для конкретной, однозначно заданной системы, а для целого семейства систем с известными допустимыми областями изменения параметров и характеристик.

Основными итогами исследований, проведённых в диссертации, являются следующие результаты:

1. разработаны новые методы исследования притяжения, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия неавтономной системы с конечным запаздыванием на основе использования знакопостоянных функций Ляпунова; соответствующие результаты опубликованы в работах [67-69,72,85,87,89-91,98,104,123,234,237].

2. обосновано применение пары, состоящей из функции и функционала, в исследовании свойств устойчивости и неустойчивости положения равновесия неавтономной системы с бесконечным запаздыванием, рассматриваемой в пространстве с исчезающей памятью; соответствующие результаты опубликованы в работах [74,75,79,82,86,88,92-94,96,122,232,236].

3. разработаны новые методы исследования асимптотической устойчивости положения равновесия неавтономной системы с неограниченным запаздыванием (в том числе, интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра); соответствующие результаты опубликованы в работах [78,83,105,106,235].

4. получены новые условия возможности построения стабилизирующих ро-бастных управлений для неавтономных систем с запаздыванием на основе метода контролирующих функционалов и функций; соответствующие результаты опубликованы в работах [80,233].

5. предложен новый подход к решению задач стабилизации управляемых систем с запаздыванием, позволяющий, в частности, упростить синтез децентрализованного управления в многомерных системах каскадной структуры (запаздывания могут быть ограниченными и неограниченными и возникать в результате учёта внутренних особенностей системы и (или) структуры обратной связи управления); соответствующие результаты опубликованы в работах [70,71,73,76,77,81,84,95,97,99-103,107]

1. Александров А.Ю. Об устойчивости одного класса нелинейных систем // Прнкл. матем. и механ. 2000. Т.64, вып.4. С.545-550.

2. Андреев A.C. Об асимптогическои устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы. // Прикл. матем. и механ. 1984. Т.48, вып.2. С.225-232.

3. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений. // Прикл. матем. ц механ. 1991. Т.55, вып.4. С.539-547.

4. Андреев A.C. Об устойчивости неавтономного функционально- дифференциального уравнения. // Доклады Российской Академии наук. 1997. Т.356, N 2. С.151-153.

5. Андреев A.C. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: УлГУ, 2005.

6. Андреев A.C., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // Прикл. матем. и механ. 1997. Т.61, вып. 1. С. 44-51.

7. Андреев A.C., Павликов C.B. Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнении // Механика твердого тела. 2004. Вып. 34. С. 112-118.

8. Андреев A.C., Павликов C.B. Об устойчивости по части переменных неавтономного функционально дифференциального уравнения // Прикл. матем. и механ. 1999. Т.63, вып.1. С.3-12.

9. Андреев А. С., Хусанов Д.Х. К методу функционалов Ляпунова в задаче об асимптотической устойчивости и неустойчивости // Диффер. уравнения. 199S. Т.34, N 7. С.876-885.

10. Андреев A.C., Хусанов Д.Х. Предельные уравнения в задаче об устойчивости функционально-дифференциального уравнения // Диффер. уравнения. 1998. Т.34, N 4. С.435-440.

11. Андреева Е.А., Колмаповский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

12. Андронов A.A., Майер А.Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т.7, N 2,3. С.95-106.

13. Арутюняи Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. Ы.: Наука, 1983.

14. Афанасьев В.И. Динамические системы управления с неполной информацией. Алгоритмическое конструирование. М.: УРСС, 2007.

15. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

16. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. 1952. T.S6, N 3. С.453-546.

17. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

18. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроупругость. М.: Наука, 1980.

19. Бобцов A.A., Ефимов Д.В., Сергеев К.А. К задаче стабилизации нелинейных афинных систем //в кн. «Навигация и управление движением» (материалы 3-ей конференции молодых учёных). СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2001. С.113-122.

20. Богомолов В.Л. Автоматическое регулирование мощности гидростанций по водостоку // Автоматика и телемеханика. 1941. N 4,5. С. 103-129.

21. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

22. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

23. Горяченко В.Д. Методы исследования устойчивости ядерных реакторов. М.: Атомиздат. 1977.

24. Громов Ю.Ю., Земской H.A., Лагутин A.B., Иванова О.Г., Тютюнник В.М. Системы автоматического управления с запаздывнием. Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007.

25. Турецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение. 1974.

26. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.

27. Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. 1997.

28. Дружинина О.В., Шестаков A.A. Обобщённый прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах // Матем. сборник. 2002. Т. 193, N 10. С.17-48.

29. Зорин В.В. и др. Кафедра биохимии и технологии микробиологических производств УГН-ТУ в решении задач топливно-энергетического комплекса, био- и органического синтеза // Нефтегазовое дело. 2008. Т.6, N 2. С. 169-176.

30. Зубер И.Е. Решение задачи стабилизации для одного класса нелинейных систем с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2003. N 3. С.66-76.

31. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

32. Калатин Б. С. О принципе сведения для асимптотически треугольных дифференциальных систем // ПММ. 2007. Т. 71, вып.З. С.389-400.

33. Кащенко С.А. Исследование системы дифференциально-разностных уравнений, описывающих работу ядерного реактора // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. 1985. Вып.2. С.66-69.

34. Ким A.B. ¿-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: УрО РАН, 1996.

35. Княжище Л.Б. Локализация предельных множеств и асимптотическая устойчивость неавтономных уравнений с запаздыванием. 1,11 // Диффер. уравнения. 1998. Т.34: N 2, С.189-196; N 8, С.1056-1065.

36. Коллшповский В.Б. Об устойчивости нелинейных систем с запаздыванием. // Мат. заметки. 1970. Т.7, N 6. С.743-751.

37. Колмановский В.Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием // Докл. РАН. 1993. Т.331, N 4. С.421-424.

38. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

39. Колмановский Б.Б., Носов В.Р. Системы с последействием нейтрального типа // Автоматика и телемеханика. 1984. N 1. С.5-35.

40. Косое A.A. О глобальной устойчивости неавтономных систем. I // Изв. вузов. Математика. 1997. N 7. С.28-35.

41. Красильников П.С. Об обобщённой схеме построения функций Ляпунова из первых интегралов // Прикл. матем. и механ. 2001. Т.65, вып.2. С.199-210.

42. Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием // Прикл. матем. и механ. 1956. Т.20, N 4. С.513-518.

43. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1959.

44. Кунцевич B.M., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: «Наука», 1977.

45. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

46. Мартынюк A.A., Като Д., Шестаков A.A. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.

47. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1985.

48. Никонов В.П., Щенников В.Н. Устойчивоподобные свойства решений линейных интервальных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1999. N 12. С.49-57.

49. Павликов С. В. К задаче о стабилизации управляемых механических систем // Автоматика и телемеханика. 2007. N 9. С.16-26.

50. Павликов C.B. К задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2007. N 7. С.29-38.

51. Павликов C.B. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. Наб. Челны: Изд-во Института управления, 2006.

52. Павлов A.A. Синтез релейных систем оптимизации по быстродействию. М.: Наука, 1988.

53. Перцев Н.В. Анализ устойчивости стационарного решения модифицированной модели противовирусного иммунного ответа // Вестник Омского университета. 1998. В.З. С.19-21.

54. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М., 1961.

55. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1964. Т.28. С.1297-1324.

56. Прасолов A.B. О применении функций Ляпунова для исследования неустойчивости решений систем с последействием // Вест. ЛГУ. 1981. Cep.l, N 19. С.116-118.

57. Прасолов A.B. Признаки неустойчивости для систем с последействием // Вест. ЛГУ. 1988. Cep.l, N 3. С.108-109.

58. Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикл. матем. и механ. 1956. Т.20, N 4. С.500-512.

59. Разумихин B.C. Прямой метод теории устойчивости систем с последействием // Успехи мат. наук. 1983. Т.38, вып.5(233). С.130.

60. Разумихин B.C. Устойчивость эредитарных систем. М.: Наука, 1988.

61. Резван В. Абсолютная устойчивость автономных систем с запаздыванием. М.: Наука. 1983.

62. Ризниченко Г.Ю., Рубин A.B. Биофизическая динамика продукционных процессов. М., ИКИ. 2004

63. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Днффср. уравнения. 1983. Т.19, N 5. С.739-776.

64. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикл. матем. и механ. 1970. Т.34, вып.З. С. 440-456.

65. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

66. Седова Н.О. Анализ дифференциальной модели кроветворного процесса // Сборник тезисов XI Международной научно-технической конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления». Москва-Донецк, 2008. С.90-91.

67. Седова Н.О. Вырожденные функции в исследовании асимптотической устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 2005. Т.78, N 3. С.468-472.

68. Седова Н.О. Глобальная асимптотическая устойчивость и стабилизация нелинейных систем с последействием // Труды IX Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск, 2007. T.2. С.208-223.

69. Седова Н.О. Глобальная асимптотическая устойчивость и стабилизация в нелинейной каскадной системе с последействием // Изв. вузов. Математика. 2008. N 11. С.208-223.

70. Седова Н.О. К вопросу об оптимальной стабилизации нелинейных систем с запаздыванием // VI Крымская Международная Матем. школа «Метод функций Ляпунова и его приложений» (Крым, Алушта, 8-15 сентября 2002 г.) Тезисы докладов. Симферополь, 2002. С.128.

71. Седова Н.О. К вопросу о полной неустойчивости для дифференциальных уравнений запаздывающего типа Фундаментальные проблемы математики и механики, Уч. записки УлГУ. 2001. Том 10, вып. 1. С.77-94.

72. Седова Н.О. К вопросу о равномерной асимптотической устойчивости для систем с запаздыванием / / International Conference «Dynamical system modelling and stability investigation» (Kyiv, May 27-30, 2003). Thesis of conference reports. Kyiv, 2003. C.101.

73. Седова Н.О. К вопросу о синтезе стабилизирующего управления нелинейной системой с запаздыванием // International Conference «Dynamical system modelling and stability investigation» (Kyiv, May 2005). Thesis of conference reports. Kyiv, 2005. C.109.

74. Седова Н.О. К задаче стабилизации запаздывающей обратной связью с неограниченным запаздыванием, зависящим от состояния // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Т. 42(1). С. 38-41.

75. Седова Н. О. К методу Ляпунова-Разумихина для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра // Фундаментальные проблемы математики и механики, Уч. записки УлГУ. 2000. Том 8, вып.1. С.117-125.

76. Седова Н.О. К методу Ляпунова-Разумихина для уравнений с бесконечным запаздыванием // Диффер. уравнения. 2002. Т. 10. С.1338-1347.

77. Седова Н. О. Контролирующие функционалы в задаче стабилизации систем с запаздыванием // Проблемы управления. 2008. N 3. С.23-29.

78. Седова Н.О. Локальная и полуглобальная стабилизация в каскаде с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2008. N 6. С.70-81.

79. Седова Н. О. Метод Ляпунова-Разумихина в задаче об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений // Фундаментальные проблемы математики и механики, Уч. записки УлГУ. 2005. Т.15, вып.1. С.84-122.

80. Седова Н.О. Неавтономная модель взаимодействия биологических видов с неограниченным запаздыванием: условия сходимости решений при отсутствии положительного равновесия // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. Т.15, вып.5. С.922-923.

81. Седова Н. О. Об асимптотической устойчивости в целом для нелинейных дифференциальных уравнений с последействием // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, вып.2. С.346-347.

82. Седова Н.О. Об асимптотической устойчивости нестационарного режима работы ядерного реактора с двумя слабо связанными активными зонами. Обозрение промышленной и прикладной математики. 2003. Т.10, вып.1. С. 215-216.

83. Седова Н.О. Об асимптотической устойчивости равновесия в модели динамики стволовых клеток крови // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т.12, вып.2. С.505-506.

84. Седова Н. О. Об исследовании устойчивости неавтономого ФДУ на основе функций Ляпунова и предельных уравнений. // Тезисы докладов Международной Конференции « Моделирование и исследование устойчивости систем». Киев, 1997. С.98.

85. Седова И.О. О неустойчивости систем с запаздыванием //IX Крымская Международная Матем. школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Алушта, 15-21 сентября 2008 г.) Тезисы докладов. Таврический национальный университет, Симферополь. 2008. С. 147.

86. Седова И.О. О развитии прямого метода Ляпунова для функционально-дифференциальных уравнений с бесконечным запаздыванием // Мат. заметки. 2008. Т.84, N 6. С.888-906.

87. Седова И.О. О стабилизации нелинейной каскадной системы с запаздыванием // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. Т.11, вып.З. С.669-670.

88. Седова Н.О. Предельные уравнения в изучении асимптотической устойчивости решений неавтономных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Фундаментальные проблемы математики и механики. Учёные записки УлГУ. Т.12, вып.2. 2002. С.29-42.

89. Седова Н. О. Прямой метод Ляпунова в задаче управления с запаздыванием в цепи обратной связи // International Conference «Dynamical system modelling and stability investigation» (Kyiv, May 27-29, 2009). Thesis of conference reports. Kyiv, 2009. C.308.

90. Седова Н.О. Прямой метод Ляпунова в решении задач стабилизации и слежения с запаздывающей обратной связью // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. Т. 42(1). С.31-37.

91. Седова Н.О. Синтез стабилизирующих управлений для неавтономных систем с последействием // Тезисы докладов Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007». Санкт-Петербургский гос. университет, 2007. C.108.

92. Седова Н.О. Стабилизация и устойчивость треугольных систем дифференциальных уравнений с учётом запаздывания // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2006. Т.13, вып.З. С.540-541.

93. Седова И.О. Стационарное состояние модели Солоу с учётом устаревания технологий // Сборник тезисов X Международной научно-технической конференции «Моделирование, идентификация, синтез систем управления» Москва-Донецк. 2007. С.71.

94. Седова И. О. Устойчивость в системах с неограниченным последействием // Автоматика и телемеханика. 2009. N 9. С.128-140.

95. Седова И.О. Устойчивость и стабилизация в системах с неограниченным последействием // Тезисы X Международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 3-6 июня 2008 г.) С.263-264.

96. Сергеев B.C. Об асимптотической устойчивости и оценке области притяжения в некоторых системах с последействием // Прикл. матем. и механ. 1996. Т.60, N 5. С.744-751.

97. Сергеев B.C. О неустойчивости нулевого решения одного класса интегродифференциальных уравнений // Диффер. уравнения. 1988. Т.24, N 8. С.1443-1454.

98. Сергеев В. С. О предельно периодических движениях в некоторых системах с последействием // Прикл. матем. и механ. 2004. Т.68, N 5. С.857-869.

99. Сиразетпдинов Т.К. Устойчивость систем с распределёнными параметрами. Казань: Из-во Казанского авиац. ин-та, 1971.

100. Тимошенко A.B., Моргунов A.B., Анохина Е.А. Синтез схем экстрактивной ректификации эзеотропных смесей в комплексах колонн с частично связанными тепловыми и материальными потоками // Теоретические основы хим. технологии. 2007. Т.41, N 6. С.649-654.

101. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.:Мир, 1984.

102. Хусаинов Д.Я., Шатырко A.B. Метод функций Ляпунова в исследовании устойчивости дифференциально-функциональных уравнений. Киев: Изд-во Киевского университета, 1997.

103. Шестаков A.A. Обобщённый прямой метод Ляпунова для систем с распределёнными параметрами. М.: Наука, 1990.

104. Шиманов С.И. О неустойчивости движения систем с запаздыванием во времени // Прикл. матем. и механ. 1960. Т.24, N 1. С.55-63.

105. Шимапов С.Н. Устойчивость систем с запаздыванием // Труды II Всес. с'езда по теоретической и прикладной механике (Москва, 1964). М.: Наука, 1965. С.170-180.

106. Щенников B.H. Оптимальная стабилизация нелинейных управляемых динамических систем // Системы управления и информационные технологии. 2008. N 2(32). С.57-59.

107. Элъсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

108. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978.

109. Albertini F., Sontag E.D. Continuous control-Lyapunov functions for asymptotically controllable time-varying systems // Intern at. J. Control. 1999. N 72(18). P.1630-1641.

110. Andreev A., Sedova N. Liapunov-Razumikhin functions and stability of nonautonomous differential equation with delay // Abstracts of International Congress «Nonlinear analysis and its applications». Москва, 1998. С.60.

111. Andreev A., Sedova N. On the stability of nonautonomous equations with delay via limiting equations // Func. Diff. Equations (Israel). 1998. Vol. 5, N 1-2. P.21-37.

112. Artstein Z. Topological dynamics of ordinary differential equations //J. Differ. Equations. 1977. V.23. P.216-223.

113. Artstein Z. The limiting equations of nonautonomous differential equations // J. Differ. Equations. 1977. V.25. P.184-202.

114. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methods, and Applications. 1983. V. 7, N 11. P.1163-1173.

115. Artstein Z. Uniform asymptotic stability via limiting equations //J. Differ. Equations. 1978. V.27. P.172-189.

116. Atkinson F., Haddock J. On determining phase spaces for functional differential equations // Funkcialaj Ekvacioj. 1988. V.31. P. 331-348.

117. Bereketoglu H., Gyori I. Global asymptotic stability in a nonautonomous Lotka-Volterra type system with infinite delay // Journal of Math. Anal, and Appl. 1997. V.210. P.279-291.

118. Bernfeld S.R., Haddock J.R. Liapunov-Razumikhin functions and convergence of solutions of functional-differential equations // Appl. Anal. 1979. V.4. P.235-245.

119. Blanchini F., Ryan E.P. A Razumikhin-type lemma for functional differential equations with application to adaptive control // Automatica. 1999. V.35. P.809-818.

120. Buger M., Martin M.R. W. Stabilizing control for an unbounded state-dependent delay equation // Proceedings of the 3th International conference on dynamical systems and differentil equations. Kennesaw, 2000. P.57-67.

121. Burton T.A. Construction of Lyapunov functionals for Volterra equations // J. Math. Anal, and Appl. 1982. V.85. P.90-105.

122. Burton T.A. Uniform stabilities for Volterra equations //J- of Differential equations. 1980. V.36. P.40-53.

123. Burton T.A., Hatvani L. Stability theorems for nonautonomous functional differential equations by Liapunov functionals // Tohoku Math. Journ. 1989. V.41. P.65-104.

124. Burton T.A., Hatvani L. On nonuniform asymptotic stability for nonautonomous functional differential equations // Differ, and Integral Equat. 1990. V.3. P.285-293.

125. Burton T.A., Somolinos A. Asymptotic stability in differential equations with unbounded delay // EJQTDE, 1999. N 13.

126. Chern J.L., Huang S.Z. Global stability in delay equation models of hematopoiesis // Proc. Natl. Sci. Counc. ROC(A). 2000. V.24. P.293-300.

127. Cooke K.L. Functional differential equations close to differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1966. V.72. P. 285-2SS.

128. Cooke K.L. Asymptotic theory for the delay-differential equation u'(t) = —au{t — r(u(t))) // J. Math. Anal. Appl. 1967. V.19. P.160-173.

129. Corduneanu C., Lakshmikantham V. Equations with unbounded delay: a survey // Nonlinear Analysis, Theory, Methods &Applications. 1980. V.4. P. 831-877.

130. Cui J., Chen L., Wang W. The effect of dispersal on population growth with stage-structure // Computer Math. Appl. 2000. V.39. P.91-102.

131. Cui J., Sun Y. Permanence of predator-prey system with infinite delay // Electronic Journal of Diff. Equations. 2004. N 81. P.l-12.

132. Culshaw R.V., Rúan S., Webb G. A mathematical model of cell-to-cell spread of HIV-1 that includes a time delay //J. Math. Biol. 2003. V.46. P.425-444.

133. Driver R.D. Existence and stability of solutions of a delay-differential system // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1962. V.10. P.401-426.

134. Faria T. Global attractivity in scalar delayed differential equations with applications to population models // J. of Math. Anal, and Appl. 2004. V.289. P.35-54.

135. Fowler A.C. and Mackey M.C. Relaxation oscillations in a class of delay differential equations // SIAM J. Appl. Math. 2002. Vol.63, No. 1. P.299-323.

136. Freeman R.A., Kokotovic P.V. Robust Control of nonlinear systems. Birkhauser, Boston, 1996.

137. Freeman R.A., Primbs J.A. Control Lyapunov functions: new ideas from an old source // Proceeding of the 35th IEEE Conference on Decision and Control. Kobe, Japan, 1996. P.3926-3931.

138. Fu X., Li X. Razumikhin-type theorems on exponential stability of impulsive infinite delay differential systems // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. V. 224, Is. 1. P.l-10.

139. Grimmer R. and Seifert G. Stability properties of Volterra integrodifferential equations //J. Differential equations. 1975. V.19. P.147-166.

140. Gyori /., Hartung F. Preservation of stability in delay equations under delay perturbations // Journal of Math. Anal, and Appl. 1998. V.220. P. 290-312.

141. Haddock J. The «evolution» of invariance principles £L la Liapunov's direct method //in «Advances in nonlinear dynamics. Stability and Control: Theory, Methods and Applications. Volume 5» (editors: Sivasundaram S., Martynyuk A.A.). 1997. P.261-272.

142. Haddock J. and Hornor W. Precompactness and convergence in norm of positive orbits in a certain fading memory space // Funkcialaj Ekvacioj. 1988. V.31. P.349-361.

143. Haddock J., Krisztin T., Terjeki J. Invariance principles for autonomous functional differential equations // J.Integral Equat. 1985. V.10. P.123-136.

144. Haddock J., Ko Y. Lyapunov-Razumikhin functions and an instability theorem for autonomous functional-differential equations with finite delay // Rocky Mtn. J. Math. 1995. V.25. P.261-267.

145. Haddock J. and Terjeki J. Liapunov-Razumikhin functions and an invariance principle for functional differential equations //J. Differential equations. 1983. V.48. P.95-122.

146. Haddock J. and Terjeki J. On the location of positive limit sets for autonomous functional differential equations with infinite delay //J. Differential equations. 1990. V.86. P. 1-32.

147. Haddock J., Zhao J. Instability for autonomous and periodic functional differential equations with finite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1996. V.39. P.553-570.

148. Haddock J., Zhao J. Instability for functional differential equations // Math. Nachr. 2006. V.279. P.1491-1504.

149. Hale J., Kato J. Phase space for retarded equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1978. V.21. P. 11-41.

150. Hamaya Y. Total stability property in limiting equations of integrodifferential equations / / Funkcialaj Ekvacioj. 1990. V.33. P.345-362.

151. Hamzi B. Some results on inverse optimality based designs // Systems Control Letters. 2001. V.43. P.239-246.

152. Hara T., Yoneyama T., Miyazaki R. Some refinements of Razumikhin's method and their applications // Funkcialaj Ekvacioj. 1992. V.35. P. 279-305.

153. Hino Y. On stability of some functional differential equations // Funkcialaj Ekvacioj. 1971. V.14. P.47-60.

154. Hmo Y. Stability properties for functional differential equations with infinite delay // Tohoku Math. J. 1983. V.35. P.597-605.

155. Hmo Y., Murakami S. Limiting equations and some stability properties for asymptotically almost periodic functional differential equations with infinite delay // Tohoku Math. J. 2002. V.54. P.239-257.

156. Hino Y., Murakami S. Stability properties of linear Volterra equations / / J. Differential equations. 1991. V.89. P.121-137.

157. Hino Y., Murakami S., Naito T. Functional differential equations with infinite delay // Lecture Notes in Math. V. 1473. Springer-Verlag, 1991.

158. Hornor W.E. Invariance principles and asymptotic constancy of solutions of precompact functional differential equations // Tohoku Math. J. 1990. V.42. P.217-229.

159. Horiior W.E. Liapunov-Razumikhin pairs and the location of positive limit sets for precompact functional differential equations with infinite delay // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications. 1992. V.19. P.441-453.

160. Hou C., Gao F. and Qian J. Stability criterion for linear systems with nonlinear delayed perturbations // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1999. V.237. P.573-582.

161. Hristova S.G., Roberts L.F. Razumikhin technique for boundedness of the solutions of impulsive integrodifferential equations // Mathematical and computer modelling. 2001. V. 34, N 7-8. P. 839-847.

162. Ibanez C.A., Frias O.G. Controlling the inverted pendulum by means of a nested saturation function // Nonlinear Dyn. 2007. V.53, N 4. P.273-280.

163. Ibanez C.A., Frias O.G., Castanon M.S. Lyapunov-based controller for the inverted pendulum cart system // Nonlinear Dyn. 2005. V.40, N 4. P.367-374.

164. Iggidr A., Kahtine B., Outbib R. Semidefinite Lyapunov functions. Stability and stabilization // Math. Control Signals Systems. 1996. V.6. P.95-106.

165. Iggidr A., Sallet G. On the stability of nonautonomous systems // Automatica. 2003. V.39. P.167-171.

166. Ignatyev A.O. On the asymptotic stability in functional differential equations // Proceedings of the American Math. Society. 1999. V.127, N 6. P.1753-1760.

167. Ilchmann A., Sangman C.J. Output feedback stabilization of minimum phase systems by delays // Systems & Control Letters. 2004. V.52. P.233-245.

168. Jakubiak J., Lefeber E., Tchon K., Nijmeijer H. Two observer-based tracking algorithms for a unicycle mobile robot // Int. J. Appl. Math. Comp. Sci. 2002. V.12, N 4. P.513-522.

169. Jankovic M. Control Lyapunov-Razumikhin functions and robust stabilization of time delay systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 2001. V.46. P.1048-1060.

170. Jankovic M. Control of nonlinear systems with time delay // Proceeding of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control. Maui, Hawaii USA, 2003. P.4545-4550.

171. Jankovic M. Extension of control Lyapunov functions to time-delay systems // Proceeding of the CDC, Sydney, Australia, 2000. P.4403-4408.

172. Jankovic M., Sepulchre R., Kokotovic P. V. CLF based designs with robustness to dynamic input uncertainties // Systems and Control Letters, 1999. V.37. P.45-54.

173. Jankovic M., Sepulchre R., Kokotovic P. Global adaptive stabilization of cascade nonlinear systems // Automatica. 1997. V.33, №2. P.363-368.

174. Jiang Z.P. Lyapunov design of global state and output feedback trackers for nongolonomic control systems // Intern. J. of Control. 2000. V.73. P.744-761.

175. Jiao X., Shen T., Sun Y. Tarnura K. Krasovskii functional, Razumikhin function and Backstepping // Pror. of 8th Int. Conf. on Control, Automation, Robotics and Vision. Kunming, China, 2004. P. 1200-1205

176. Jimenez S., Yu W. Stable synchronization control for two ball and beam systems // Proceedings of ICEEE-2007 (Mexico, Sep.5-7, 2007). P.290-293.

177. Kaliora G., Astolfi A. Nonlinear control of feedforward systems with bounded signals // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. V.49, N 11. P.1975-1990.

178. Kalman R.E. When is a linear control system optimal? // Trans. ASME, Ser. D: J. Basic Eng. 1964. V.86. P.l-10.

179. Karafyllis I., Tsinias J. A converse Lyapunov theorem for non-uniform in time global asymptotic stability and its application to feedback stabilization // SIAM J. of Control and Optimization. 2003. V.42, N 3. P.936-965.

180. Karafyllis I., Tsinias J. Non-uniform in time stabilization for linear systems and tracking control for non-golonomic systems in chained form // Intern. J. of Control. 2003. V.76. P.1536-1546.

181. Kato J. Asymptotic behavior in functional differential equations with infinite delay. / / Lecture Notes Math. 1982, N 1017. P.300-312.

182. Kato J. On Lyapunov-Razumikhin type theorems for functional differential equations // Funkcialaj Ekvacioj. 1973. V.16. P.225-239.

183. Kato J. Stability in functional differential equations // Lecture Notes in Math. 1980. V.799. P.252-262.

184. Kato J. Stability problem in functional differential equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1978. V.21. P.63-80.

185. Kato J. and Yoshizawa T. Remarks on global properties in limiting equations. // Funkcialaj Ekvacioj. 1981. V.24. P.363-371.

186. Kharitonov V.I. Niculescu S.-I., Moreno J., Michels W. Static output feedback stabilization problem: necessary conditions for multiple delay controllers // IEEE Transaction on Automatic Control. 2005. V.50, N 1. P.82-86.

187. Knyazhishche L.B., Shcheglov V.A. On the sign definiteness of Liapunov functionals and stability of a linear delay equation // EJQTDE, 1998. N8. P.l-13.

188. Ko Y. The instability for functional differential equations // J. Korean Math. Soc. 1999. V.36, №4. P.757-771.

189. Kolmanovskn V., Myshkis A. Applied theory of functional differential equations. Kluwer Academic Publishers, 1992.

190. Krasil'nikov P.S. Functional extensions of a solution germ space of first order differential equation and their applications // Nonlinear Analysis. 1997. V.28, i.2. P.359-375.

191. Lakshmikantham V. Lyapunov function and a basic inequality in delay-differential equations // Archive for rational mechanics and analysis. 1962. V.7, N 1. P.305-310.

192. Lakshmikantham V., Leela S. A unified approach to stability theory for differential equations with infinite delay // J. of Integral equations. 1985. V.10. P.147-156.

193. Lin Y. and Sontag E. Control-Lyapunov universal formulas for restricted inputs // Control-Theory and Advanced Technology. 1995. V. 10. P.1981-2004.

194. Liu B.; Marquez H.J. Razumikhin-type stability theorems for discrete delay systems // Automatica. 2007. V. 43, Is. 7. P. 1219-1225.

195. Lozano It., Brogliato B., Landau I.D. Passivity and global stabilization of cascaded nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1992. AC-37. P.1386-1389.

196. Luo W.-P., Zhong S.-M. Yang J. Stability for Impulsive Neural Networks with Time Delays by Razumikhin Method // Proc, of International Conference on Machine Learning and Cybernetics, 2006. P.4149-4154.

197. Mao X. Comments on «An improved Razumikhin-type theorem and its Applications» // IEEE Transactions on automatic control. 1997. V.42. P.429-430.

198. Mao X., Lam J., Xu S., Gao H. Razumikhin method and exponential stability of hybrid stochastic delay interval systems //Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2006. V. 314, Is. 1. P.45-66.

199. Mazenc F., Mondie S., Niculescu S.-I. Global asymptotic stabilization for chains of integrators with a delay in the input // Proceedings of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control. 2001. P. 1843-1848.

200. Mazenc F., Sepulchre R., Jankovic M. Lyapunov functions for stable cascades and applications to stabilization // IEEE Trans, on Autom. Control. 1999. V.44, N 9. P.1795-1800.

201. McConley M.W., Appleby B.D., Dahleh M.A., Feron E. A control Lyapunov function approach to robust stabilization of nonlinear systems // Proceedings of he American Control Conference. Albuquerque, New Mexico, June 1997. P. 329-333.

202. Michiels W., Sepulchre R., Roose D. Robustness of nonlinear delay equations w.r.t. bounded input perturbations // Proceeding of the Fourteenth Int. Symposium of Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS2000). P. 1-5.

203. Michiels W., Sepulchre R., Roose D. Stability of perturbed delay differential equations and stabilization of nonlinear cascade systems // TW Report 298, Department of Computer Science, Katholieke Universiteit Leuven, Belgium, January 2000.

204. Mikolajska Z. Une remarque sur des notes der Razumichin et Krasovskij sur la stabilite asimptotique // Ann. Polon. Math. 1969. V.22. P.69-72.

205. Moylan P.J. Implications of passivity in a class of nonlinear systems / / IEEE Trans, on Automatic Control. 1974. V.19. P.373-381.

206. Moylan P.J. and Anderson B.D.O. Nonlinear regulator theory and an inverse optimal control problem // IEEE Transactions on Automatic Control. 1973. V.18, N 5. p.460-465.

207. Murakami S. Perturbation theorems for functioned differential equations with infinite delay via limiting equations // J. Differential equations. 1985. V.59. P.314-335.

208. Murakami S. Stability in functional differential equations with infinite delay // Tohoku Math. J. 1985. V.36. P.561-570.

209. Murakami S., Naito T. Fading memory spaces and stability properties for functional differential equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1989. V.32. P.91-105.

210. Myshkis A.D. Razumikliin's method in the qualitative theory of processes with delay // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. 1995. V.8, N 3, P.233-247.

211. Niculescu S.-I, Michiels W. Stabilizing a chain of integrators using multiple delays // IEEE Trans, on Automat. Control. 2004. V.49. N 5. P.802-817.

212. Panteley E., Lefeber E., Loria A., Nijmeijer H. Exponential tracking control of a mobile car using a cascaded approach // Proc. IFAC Workshop Motion Control, Grenoble, France, 1998. P.221-226.

213. Panteley E., Loria A. Global uniform asymptotic stability of cascaded non-autonomous nonlinear systems // Proc. 4th European Control Conf., Louvain-La-Neuve, Belgium, July 1997. Paper N 259.

214. Panteley E., Loria A. On global uniform asymptotic stability of nonlinear time-varying systems in cascade // Syst. Contr. Letters. 1998. 33(2): 131.

215. Parrot M. Convergence of solutions of infinite delay differential equations with an underlying space of continuous functions // in «Lecture Notes in Mathematics». V.846. Springer-Verlag, New-York. 1981.

216. Parrot M. The limiting behavior of solutions of infinite delay differential equations // J. of Math. Anal, and Appl. 1982. V.87. P.603-627.

217. Rao M.R.M., Sivasundaram S. Asymptotic stability for equations with unbounded delay // J. of Math. Anal, and Appl. 1988. V.131. P.97-105.

218. Reyhanoglu M. Exponential stabilization of an underactuated autonomous surface vessel // Automatica. 1997. V.33. P.2249-2254.

219. Sedova N. Asymptotic stability in delayed equations via limiting equations // Abstracts of Second International Congress «Nonlinear Dynamical Analysis (NDA'2)» (Москва, 3-8 июня 2002 г.). Москва, 2002. С.89.

220. Sedova N. Control and «inverse optimality» in delayed systems // Proceedings of 11th IEEE International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (29.08-01.09 2005 r.) Miedzyzdroje, Poland. P.91-94.

221. Sedova N. On employment of semidefinite functions in stability of delayed equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2003. V 281. N 1. P.313-325.

222. Sedova N.O. On the stability of nonautonomous FDE of Volterra type // Труды средневолж-ского математического общества. Саранск: СВМО, 1999. Том 2, N 1. С.111-112.

223. Sedova N. Razumikhin-type theorems in the problem on instability of nonautonomous equations with finite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 2004. V.47. P.187-204.

224. Seibert P., Sudrez R. Global stabilization of nonlinear cascaded systems // Syst. Contr. Letters. 1990. V.14. P.347-352.

225. Seifert G. Liapunov-Razumikhin conditions for asymptotic stability in functional differential equations of Volterra type // J. Differential equations. 1974. V.16. P.289-297.

226. Seifert G. Liapunov-Razumikhin conditions for stability and boundedness of functional differential equations of Volterra type, // J. Differential equations. 1973. V.14. P.424-430.

227. Seifert G. On Caratheodory conditions for functional differential equations with infinite delays // Rocky Mountain J. of Mathematics. 1982. V.12, N 4. P.615-619.

228. Seifert G. Uniform stability for delay-differential equations with infinite delay // Funkcialaj Ekvacioj. 1982. V.25. P.347-356.

229. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V.127. P.214-262.

230. Sergeev V.S. Stability of solutions of Volterra integro-differential equations // Mathematical and computer modelling. 2007. V.45, N 11. P.1376-1394.

231. Sepulchre R., Jankovic M., Kokotovic P. V. Constructive Nonlinear Control. London: SpringerVerlag, 1997.

232. So J.W.-H., Yu J.S., Chen M.-P. Asymptotic stability for scalar delay differential equations // Funkcialaj Ekvacioj. 1996. V.39. P.l-17.

233. Sontag E.D. A universal construction of Artstein's theorem on nonlinear stabilization // Systems & Control Letters. 1989. V.13. P.117-123.

234. Sontag E.D. A Lyapunov-like characterization of asymptotic controllability // SIAM Journal on Control and Optimization. 1983. V. 21. P.462-471.

235. Sontag E.D. Remarks on stabilization and input-to-state stability // IEEE Conference on Decision and Control, Tampa, Dec. 1989. IEEE Publications, 1989. p.1376-1378.

236. Strauss A., Yorke J.A. Perturbing uniform asymptotically stable nonlinear systems // J. Differential Equations. 1969. V.6. P.452-483.

237. Tan M.-C. Asymptotic stability of nonlinear systems with unbounded delays //J. Math. Anal. Appl. 2008. V.337. P.101-1021.

238. Taniguchi T. Asymptotic behavior theorems for non-autonomous functional differential equations via Lyapunov-Razumikhin method // Journal of Math. Analysis and Appl. 1995. V.189. P.715-730.

239. Taniguchi T. Asymptotic behavior theorems of solutions of functional differential equations with finite delay. // Journal of Math. Analysis and Appl. 1996. V.199. P.776-786.

240. Teel A. and Praly L. On assigning the derivative of a disturbance attenuation control Lyapunov function // Math. Control Signals and Systems. 2000. V.13. P.95-124.

241. Terjeki J. On the asymptotic stability of solutions of functional differential equations // Annalea Polonici Mathematici. 1979. V.36. P.299-314.

242. Torkel Glad S. On the gain margin of nonlinear and optimal regulators // IEEE Transactions on Automatic Control. 1984. V.29, N 7. P.615-620.

243. Torktl Glad S. Robustness of nonlinear state feedback a survey // Automática. 1987. V.23, N 4. P.425-435.

244. Vanualailai J., Nakagiri S.-I. Stability of a system of Volterra integro-differential equations //J. Math. Anal, and Appl. 2003. V.281. P.602-619.

245. Wang Q., Liu X. Impulsive stabilization of delay differential systems via the Lyapunov-Razumikhin method // Applied Mathematics Letters. 2007. V. 20, Is. 8. P. 839-845.

246. Wang Z. Comparison method and stability problem for functional differential equations // Tohoku Math.J. 1983. V.35. P.349-356.

247. Xiao Y., Chen L. An SIS epidemic model with stage structure and a delay // Acta Mathematicae applicatae sinica, English series. 2002. V.18, JV4. P.607-618.

248. Xu B. Author's reply. // IEEE Transactions on automatic control. 1997. V.42. P.430.

249. Xu B. Stability of retarded dynamical systems: a Lyapunov functions approach // Journal of Math. Anal, and Appl. 2001. V.253. P.590-615.

250. Xu B. and Liu Y. An improved Razumikhin-type theorem and its Applications // IEEE Transactions on automatic control. 1994. V.39. P.839-841.

251. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method. Tokio: The Math. Soc. of Japan, 1966.

252. Zhang B. Formulas of Liapunov functions for systems of linear ordinary and delay differential equations // Funkcialaj Ekvacioj. 2001. V.44. P.253-278.

253. Zhang S. A new approach to stability theory of functional differential equations // Ann. Of Diff. Eqns. 1995. V.ll. P.495-503.

254. Zhang S. A new technique in stability of infinite delay differential equations // Computers & Mathematics with Applications. 2002. V.44. P. 1275-1287.

255. Zhang Y., Wang M. Two families of Liapunov functions for functional differential systems // Acta Mathematica Sinica, English Series. 1999. V.15. P.197-206.

256. Zhicheng W. Comparison method in stability problem in functional differential equations // Tohoku Math. J. 1983. V.35. P.349-356.

257. Zhi-Xiang L. Liapunov-Razumikhin functions and the asymptotic properties of the autonomous functional differential equations with infinite delay // Tohoku Math. J. 1986. V.38. P.491-499.

258. Zhou B., Duan G.-R., Li Z.-Y. On improving transient performance in global control of multiple integrators system by bounded feedback // System & Control Letters. 2008. V.57, N 10. P.867-875.1. Предметный указатель1. М-пара, 247 ш-пара, 247

259. Допустимое управление, 118 Функция Ляпунова, 29 знакоопределенная, 30 знакопостоянная, 30 Интеграл качества, 119

260. Инвариантная производная функционала, 152 КЛКФ (контролирующий функнонал Ляпунова-Красовского), 154 вырожденный, 164 КЛРФ (контролирующая функция Ляпунова

261. Разумихина), 168 Класс функций %, 30

262. Квазиинвариантность положительного предельного множества, 44, 1741. Множество

263. K(tn,c), 49, 202 L(l, U*), 46, 199 M(t,c,V*), 46, 199 Mx(t,cQ,T), 211 N(V*), 199 N{c), 561. N(t, c,V*), 45, 1991. Woo(f,c-0,T), 211