автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Ускоренные алгоритмы и программы численного решения задач кручения упругих стержней произвольного сечения

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ХЕРСОНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

РГб ОД

- 1 ’ СЕІШЧАК Василь Михайлович

. . УДК 621.3:539.3

ПРИСКОРЕНІ АЛГОРИТМИ І ПРОГРАМИ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ КРУЧЕННЯ ПРУЖНИХ СТЕРЖНІВ ДОВІЛЬНОГО ПЕРЕРІЗУ

05.13.06 - Автоматизовані системи управління і прогресивні інформаційні технології

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

ХЕРСОН - 1997

Роботу виконано в Івано —Франківському державному технічному університеті нафти і газу.

Науковий керівник доктор фізико — математичних наук, професор,

Хомченко Анатолій Никифорович

ХДТУ, завідувач кафедри прикладної математики і математичного моделювання

Науковий консультант кандидат технічних наук, доцент,

ІОрчішпш Володимир Миколайович

ІФДТУНГ, завідувач кафедри прикладної математик

Офіційні опоненти:

доктор фізико — математичних наук, професор Лснюк Михайло Пннлоннч, ЧДУ ім. Ю. Федьковича, професор кафедри диференціальних рівнянь

кандидат фізихо —математичних наук, доцент Абрамов Генадій Серафимові ХДТУ, доцент кафедри прикладної математики і математичного моделювання

Провідна установа:

Державний університет "Львівська політехніка", кафедра обчислювальної математики і програмування, кафедра будівельної механіки, м. Львів

Захист відбудеться .1997 року о годині на засідг

спеціалізованої вченої ради К 19.01,06 у Херсонському державному технічн університеті за адресою: 325008, м. Херсон, Бериславське шосе 24, корп.З, 322

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Херсонського державі технічного університету за адресою: 325008, м. Херсон, Бериславське шосе корп.1

Автореферат розісланий & & 1997 р.

Вчений секретар ^ _

спеціалізованої вченої ради ^ Т^оГДльський Ф. Б.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми

Ефективні дослідження теплових і механічних процесів у машинобу-іуванні, суднобудівній промисловості, авіаційних, будівельних, гідротехнічних, трубопровідних та інших важливих інженерних спорудженнях і інструкціях все більше опираються на дискретні моделі механіки ісформівного твердого тіла (МДТГ). Наділені можливістю дуже точно ¡берігати енергетичний баланс, ці моделі відкривають широкі перспективи іля застосування в інженерній практиці досить добре опрацьованих «ближених методів. Це може бути метод скінченних різниць (МСР), метод :кінченних елементів (MCE), метод граничних елементів (МГЕ), метод сонтрольних об’ємів (МКО), або широко розповсюджений алгоритм методу Уіонте-Карло. Однак, традиційні форми дискретних методів приводять до ¡здач великої розмірності, що вимагають для свого розв’язання значних витрат часу і використання високопродуктивних ЕОМ.

У зв’язку з цим виникла актуальна проблема пониження розмірності іадач і прискорення обчислень. Одним із аиіяхів впровадження прегре-:ивних інформаційних технологій є перехід до простіших моделей і економічніших обчислювальних схем. Нові прийоми прискорених обчислень, що іають змогу цілеспрямовано і швидко корегувати параметри об’єкта на стадії іроектування, мають здатність суттєво скоротити строки і вартість розробок. Гому особливої актуальності тепер набувають питання побудови спрощених юделей, розробки швидких методів обчислень та важливі питання лгоритмізації обчислювальних процедур, їх програмного забезпечення і ;омп’ютерної реалізації.

Зв’язок роботи з науковими програмами

Роботу виконано в рамках міжвузівської програми "Нафта і газ України” "Наукові розробки нових технологій видобутку нафти і газу, азопромислового обладнання, поглибленої переробки нафти та газу з іегою одержання високоякісних моторних палив, мастильних матеріалів, :опоміжних продуктів і нафтохімічної сировини", № 37).

Мета наукового дослідження

Створення комп’ютерної технології дослідження напружень і деформа-[ій кручення пружних стержнів довільного перерізу.

Задачі наукового дослідження

1. Побудувати алгоритм способу обертання симплексу (СОС) ді дослідження стаціонарних фізичних полів.

2. Створити програмне забезпечення з метою комп’ютерної реалізації СОС

3. Впровадити в інженерну практику нову формулу наближено

обчислення крутильної жорсткості для складних перерізів. .

4. Побудувати довідкові таблиці геометричних жорсткостей фігур, і

мають практичне використання. ;

5. Розробити методику двостороннього< ¡оцінювання геометричк

жорсткості фігур складної конфігурації. .

6. Дослідити явище роздвоєння максимуму поверхні напруже

Прандтля для перетинів із перешийками. <

Методи дослідження !

Для розв’язання поставлених задач використані методи скінченних р ниць, скінченних елементів, Монте-Карло. А також теорія броунівського і ху, математичний апарат теорії ймовірностей, рівняння і методи мате." гичної фізики.

Наукова новизна одержаних результатів

У роботі набули подальшого розвитку безсіткові методи усереднеї граничних значень у задачах еліптичного типу. Запропонована методика: користовує новий обчислювальний шаблон у формі трикутника (симпле елемента). Вдосконалена схема випадкових блукань звільняє від необхідш будувати решітку, а також моделювати багатокрокові зигзагоподібні блукаї випадкової частини. У швидкому алгоритмі моделюється стрибок часта безпосередньо в граничний вузол, завдяки чому суттєво прискорюю! обчислення. Автором вперше отримані надійні двосторонні оцінки гео\ ричної жорсткості складних фігур на основі гіпотези дифузійної плями. І цьому максимальна відносна похибка (навіть для неопуклих фігур) не ш вшцує 3 %. До нових результатів також відноситься комп’ютерне дос. ження явища роздвоєння максимуму поверхні напружень Прандтля перерізів із перешийками. .

Практичне значення одержаних результатів

1. Запропоновано та обгрунтовано комп’ютерну технологію дослідже температурних полів в областях складної форми, ефективність підтверджено серією обчислювальних експериментів.

з

2. Розроблені рекомендації щодо практичного застосування прискорених пторитмів дослідження напружень та деформацій кручення пружних ержнів довільного перерізу.

3. Для складних геометричних фігур, що мають практичне застосування,

шадені довідкові таблиці геометричних жорсткостей на основі прямих Зчислень за новою наближеною формулою, а також за допомогою дво-Гсфоннього оцінювання. . ,

Практичну значущість результатів,; дисертаційної роботи відзначено у овідці, підписаній 03.09.1997 р. ректором Луцького індустріального інсти-уту професором Ьожидарником ВБ.

Алгоритми, програми, наближені формули і способи двостороннього іціїповання геометричних жорсткостей впроваджено в системах автоматизо-аного проектування ВАТ "Оріана" (м, Калуш, Івано-Франкійської області, акт ¡провадження затверджений 17.04.1997, х>. першим віце-президентом ВАТ Оріана”, доктором-технічних наук, академіком ЧАН України Хабером М.В.). Методика, що запропонована автором, використовується в проектно-кондукторському відділі прч розрахунках на міцність валів і^сосів, компре-;орів і перемішуючих пристріт^. .,

Методика комп’ютерного дослідження напружено-деформованого с^ну глементів металоконструкцій використовується відділом науково-обгрун-гованого проектування. УкрНДІГаз при розрахунках деформацій кручення бурильних колон. (Акт затверджений 03.09.15Q7 р. заступником директора з наукової роботи УкрНДІГаз, кандидатом технічнихчаук Буїйком Б.Т.).

Створене математичне і програмне забезпе<геііп<і підготовлено до передачі у відділ розробки і впровадження САПР УАС А-р. ’Укрнафта” (Начальник відділу, кандидат технічних наук Казанджан М.М.). •

Результати дисертаційної роботи також використовуються в навчальному процесі ІФДТУНГ (лекції, курсове і дипломне проектування) при вивчен-яі профілюючих дисциплін студентами спеціальностей 7.090202 — технологія машинобудування, 7.090217 — обладнання нафтових і газових промислів, 7.090308 — проектування, спорудження та експлуатація нафтогазопроводів і газонафтосховищ, 7.090309 — буріння нафтових і' газових;,свердловин (довідку підписав 04.09.1997 р. начальник навчального відділу ІФДТУНГ доцент Сверила Б.В.). 1 ;

'Особистий внесок здобувана : ; ;

1. Розроблені математичні моделі і написані ефективні та зручні у

користуванні комп’ютерні програми на мовах БЕЙСІК і ПАСКАЛЬ, ще реалізують алгоритми способу обертання симплексу.

2. Розроблена і описана технологія комп’ютерної реалізації СОС на при кладах стаціонарної температурної задачі та задачах кручення стержні складного перетину.

3. Узагальнено отримані результати на інші задачі еліптичного типу. .

4. Виконаний значний обсяг обчислювальних експериментів з метою під

твердження досить високої точності нової наближеної формули по визнг ченню крутильної жорсткості складних фігур. ... • ■■

5. Побудовані двосторонні оцінки геометричної жорсткості для складну перетинів, а також показані способи покращення лівосторонніх оцінок ді опуклих фігур та право сторонніх оцінок для неопуклих фігур.

6. Отримані перші результати експлуатації програмного модуля, и

автоматизує процес побудови поверхонь напружень Прандтля для перетин довільної геометрії. >

7. Проведено дослідження та комп’ютерний аналіз явища роздвоєні

максимуму поверхні напружень Прандтля для круга і квадрата з коловш виточками. •

Постановка задач по темі дисертації належить науковому керівнш доктору фізико-математичних наук, професору Хомченку АН.

Апробація результатів дисертації '

Основні результати даної роботи доповідалися і обговорювалися на:

1. Науково-технічних конференціях професорсько-викладацького склг Івано-Франківського інституту нафти і газу (м. Івано-Франківськ, 1992, 19 рр.) та. науково-технічних конференціях професорсько-викладацького склг Івано-Франківського державного технічного університету нафти і газу Іванр-Франківськ, 1995,1996,1997 рр.).

. 2, Об’єднаному науковому семінарі кафедр вищої математики математичного моделювання Херсонського індустріального інстшуіу керівництвом проф. Хомченка А.Н. (м. Херсон, листопад 1992 р.).

3. Засіданні наукового семінару кафедри вищої математі Івано-Франківського інституту нафти і газу під керівництвом доце Горіули В І. (м. Івано-Франківськ, листопад 1992 р.).

4. Науковому семінарі 4.1 "Проблеми регіональних автоматизова систем управління" Наукової Ради АН України по проблемі "Кібернетї під керівництвом доктора економічних наук Матвеева М.Т., канд. фіз.-і наук Мельника І.М., канд. техн. наук Биченока М.М. (м. Київ, квітень 1993

5. Засіданні секції математики Західного наукового центру АН України у Трикарпатському університеті ім. Василя Стефаника (м. Івано-Франківськ, ковтень 1993 р.).

6. 1-й міжнародній конференції "Міцність і надійність конструкцій гафтогазового обладнання" (м. Івано-Франківськ, лютий 1994 р.).

7. Всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях", присвяченій 70-річчю зід дня народження проф. П.Є.Казимірського (м. Львів, жовтень 1995 р.).

8. Практично-методичному семінарі "Автоматизація технологічної під-

готовки виробництва" під керівництвом доц. Юрковського П.В. (м. Івано-, Франківськ, жовтень 1995 р.). '

9. Всеукраїнській школі-семінарі з математичного моделювання

(Херсон-Лазурне, вересень 1996 р.). . ■ '

Дисертація доповідалась у повному обсязі на:

1. Науковому семінарі кафедри прикладної математики і математичного моделювання Херсонського державного технічного університету під керівництвом д.ф.-м.н., професора Хомченка А.Н. (м. Херсон, червень 1997 р.).

2. Науковому семінарі кафедри прикладної математики Івано-Франківського державного технічного університету нафти і газу під керівництвом к.т.н., доцента Юрчишина В.М. (м. Івано-Франківськ, серпень 1997 р.).

3. Засіданні кафедри вищої математики Івано-Франківського державного технічного університету нафти і газу під керівництвом к.ф.-м.н, доцента Горгули В.І. (м. Івано-Франківськ, серпень 1997 р.).

4. Науковому семінарі кафедри програмного забезпечення ЕОМ Хер-

сонського державного технічного університету під керівництвом д.т.н., професора Ходакова В.Є. (м. Херсон, вересень 1997 р.). :.

Публікації

За результатами наукових досліджень опубліковано 16 друкованих праць (З статті у збірниках наукових праць, одна комп’ютерна програма передана у ФАП ІПС НАН України, 3 роботи депоновані, 9 статей у тезах конференцій), з них 6 праць без співавторства.

Структура і обсяг дисертаційної роботи '

Дисертація складається з вступу, трьох розділів, загальних висновків, списку використаної літератури і трьох додатків. Повний обсяг дисертації 151 сторінка. Обсяг, що займають ілюстрації, таблиці, додатки (А, Б, В),

список використаних літературних джерел (202 найменування) складає ( сторінку. Робота містить 56 рисунків і 12 таблиць.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, сформульовані мета і зад; дослідження, відбиті наукова новизна і практичне значення одержан результатів, зазначено конкретний особистий внесок здобувача, подан перелік основних наукових результатів, що виносяться на захист.

У першому розділі поданий огляд сучасних наближених мето машинного розв’язування задач, математичною основою яких є рівня* Лапласа або Пуассона. Приводяться приклади застосування MCP, MCE, t тоду Монте-Карло. Порівнюються переваги і недоліки вказаних методі точки зору їх точності, швидкості збіжності та витрат машинного часу.

Запропонований принципово новий варіант методу Монте-Карло якому перехідні апостеріорні ймовірності в схемі випадкових блукань впер замінені апріорними. Це призводить до суттєвого прискорення обчислеї досягається застосуванням спеціального обчислювального шаблону у фо симплекс-елемента. Вдале поєднання ймовірнісних ідей методу Mot Карло і барицентричних координат симплексу звільняє від необхідні складати і розв’язувати великі системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Тра ційне нанесення сітки скінченних елементів на досліджувану область таї стає не потрібним, досить передбачити обертання симплекса, який транс граничну інформацію в досліджувану точку.

Обчислювальна процедура послідовного обертання симплекс-елемі реалізує процес блукання броунівської частинки. Шукані величини j качаються в формі середньої винагороди за вихід частинки в грані вузлову точку.

Осереднення по методу Монте-Карло досягається за допомс барицентричних координат симплексу. При цьому значення шук величини визначається як середнє арифметичне значень цієї велич отриманої для кожного положення симплексу, наприклад, для трикуге (ц,Л, кі), (Î2,h, кг) і тд., тобто розглядається набір стоп-кадрів, що міс деяку точку А (рис. 1.1), в якій ми збираємось знайти наближений розв! рівняння Лапласа AU = 0 за умови,, що функція U на границі відома, методика отриманім ЩЛ) така: для кожного певного положення трикут маємо

Un(A) = Ui • & + Uj ■ %j + Uk ■

Рис. 1.1. Спосіб обертання симплексу

Тут І/, с,к — барицентричні координати або геометричні ймовірності, які визначаються як відношення відповідних площ

те.

теза’

(1.2)

де

тез й = ■

1 Хі' їі 1 1 £4 УА

1 Хі 1 , /и ех й/ *= — 1 Ъ

1 Хк г* ¿і 1 Ук

а (ХіХі), (<*у‘Д;)> №Д) — координати досліджуваної точки всередині області Я. Остаточний розв’язок в точці А визначається як середнє арифметичне всіх значень ип (А)

1 Л'

и{А) = ±-2ип(А), (1.3)

Я п= 1

де N — число "стоп-кадрів".

Зауважимо, що число вузлів на границі зручно вибирати кратне трі Взагалі число вузлів і 'їх розміщення залежить від потрібної точное швидкості зміни функції на границі. При необхідності можна зафіксуі один або два вузли, змінюючи розташування тих, що залишились. Зокр при виборі робочих вузлів на границі області, їх можна розміщувати номірно, а можна вибирати густіше там, де функція має більші градієнти.

Спосіб обертання симплексу розповсюджується і на просторові за; При цьому навколо досліджуваної точки буде обертатися тетраедр з чоти вузлами на граничній поверхні.

У другому розділі подаються результати комп’ютерної реалізації ( стосовно задач, що моделюються рівняннями Лапласа або Пуассона. Оп ється алгоритм і блок-схема програми комп’ютерної діагностики стаціоі ної температурної задачі, яка моделюється рівнянням Лапласа, та її комі терна реалізація на ПЕОМ типу ІВМ РС, а також подані результати комі терного аналізу стаціонарного температурного поля в квадратній пласі Числові значення температур порівнюються з результатами обчислень, о маними за допомогою альтернативних методів. Показано, як можна за сувати СОС до розв’язування задачі, пов’язаної з дослідженням теї ратурного поля при наявності джерела (стоку).

Описано алгоритм, блок-схему програми і технологію комп’ютерної лізації задач, що моделюються рівнянням Пуассона в довільній області м дом прискорених статистичних випробувань на прикладі задачі кручі стержня складного перетину (див. рис. 2.1).

Розв’язком такої задачі є функція напружень Прандтля, яка задовіл рівнянню Пуассона 2 2

І4 + І|=_2СЄ ,

■ ах ву

і приймає на контурі постійне значення, причому для однозв’язної обла значення на контурі можна вважати рівним нулю. В рівнянні (2.1) позна1 Є— модуль пружності при зсуві; в — відносний кут закручування.

За допомогою нової функції

поставлена задача зводиться до задачі Діріхле для рівняння Лаплг неоднорідними умовами на границі

Дір = о,

В 17 В 1

В15 Вм

в,

о в,

Рис. 2.1. Форма поперечного перетину і розрахункові точки в СОС

гр/Г-\(хг ^ у1) СО. (2.4)

Визначивши за допомогою СОС значення функції ір у будь-якій досліджуваній точці А, здійснимо перехід до функції <р'за формулою (2.2), тобто

<р{А) = у (А) - -{хА + Ул| ■ С0 (25)

Результати комп’ютерного аналізу подані в порівнянні таблиці 2.1.

Порівняння результатів обчислень по СОС і отриманих альтернативними методами дало підставу зробити наступні основні висновки: СОС визначає значення функції напружень для будь-якої кількості довільно розміщених точок, або в окремій точці; числові результати знаходяться у строгій відповідності з мембранною аналогією Прандтля. Відзначено,що процедури підготовки і введення інформації настільки прості, що для їх виконання не потрібно спеціальних знань.

Таблиця 2.

Результати комп’ютерного аналізу задачі кручення

Досліджувані точки МСР. МСЕ сос

Ао - 2,65909

Аі 1,390 1,75

А2 1,780 1,87119

АЗ 1,410 1,5375

А4 1,780 1,83333

А5 2,320 2,46968

Аб 1,860 ' 2,55167

А7 . 1,410 2,0202

:• А8 1,860 • 2,06817 '

А9 1,710 2,33332

АЮ 1,123 1,5

' Ац .. 0,781 1,25

У цьому лб розділі розглядається гіпотеза дифузійної плями, простор< во-часовий механізм блукання, встановлюється дифузійне тлумачення мем( ранної аналогії. Побудована наближена формула, що виражає крутили жорсткість стержня через максимальну аплікату поверхні Прандтля і плой перетину. Результати комп’ютерного обчислення геометричної жорсткос для окремих фігур подані у порівняльній таблиці 2.2.

Таблиця 2

Результати комп’ютерного обчислення геометричної жорсткості

Форма поперечного перетину Геометрична жорсткість іт Відносна похибка (%)

Табличне значення •^т—^шах’^пер

Круг 1,5708 1,5708 0

Квадрат 2,2496 2,245 0,2

Восьмикутник (прав.) 1,728 1,718 0,6

Трикутник (правильн.) 3,1177 3,1436 0,8

Прямокутник (а: Ь = 1,5) 4,704 4,6619 0,9

Шестикутник (правильн.) 1,84 . 1,82 1,0

Еліпс (а : Ь = 1,5) 3,2624 3,2022 1,8

Прямокутник (а : Ь = 2) 7,3184 7,1169 2,74

Характерною спроможністю СОС є те, що він здатний давати інтервальні оцінки. Цей факт теж пов’язаний з використанням гіпотези дифузійної плями. Проводячи подвійний розрахунок з граничними точками, які отримуються при перетині області спочатку колом мінімального радіуса блукання і?і(Кі=2? дотичного кола), а потім колом максимального радіуса блукання = і?екв.). Яекв. — радіус круга, площа якого рівна площі досліджуваної області), ми отримаємо двосторонню оцінку геометричної жорсткості /т у вигляді інтервалу, що накриває шуканий розв’язок. Приклади побудови двосторонніх оцінок подані у таблиці 2.3. '

Таблиця 2.3

Двосторонні оцінки геометричної жорсткості для окремих фігур

Форма поперечного перетину Двосторння оцінка ■/т(Лі)</т(гЬіг.)<7т(Л2) Відносна похибка в %

Квадрат 2.0578 < 2,2496 < 2.5465 2,4 |

Трикутник (рівносторон.) 2,934 < 3.1177 < 3.2748 0,4

Шестикутник (правильний) 1,7404 < 1,84 < 1,9099 0,8

Восьмикутник (правильний) 1,7034 < 1,728 < 1,7476 0,1

Тавр 52,6202 < 55.104 < 56.5470 0,9

Двотавр 48,6933 < 55,904 < 64.4008 1,2

Рівнобоковий кутник ' 1,5708 < 32,6187 < 63.1742 0.8

Швелер 0,0256 < 1,946 < 3.9218 1,4

У третьому розділі розглядаються аналогії при крученні та обгрунтовується можливість розповсюдження викладених у дисертації ідей на ширО' кий клас подібних задач еліптичного типу, що виникають в інших дисциплінах.

Зазначено, що реалізація мембранної аналогії, обгрунтованої і розробленої у 1904 році видатним німецьким вченим-механіком Людвігом Працдтлем, надала можливість експериментально вивчати напружений стан стержнів, на форму контура яких не накладаються жодні обмеження.

Просторовий графік функції напружень Прандтля ("горб напружень") характерний тим, що його горизонталі є траєкторіями дотичних напружень, а нахил поверхні "горба напружень" пропорційний величині дотичних напружень. Наявність такого графіка дає змогу скласти наочне уявлення про характер функції напружень та зробити важливі висновки стосовно розподілу напружень у поперечному перетині скрученого стержня. ■

У зв’язку з цим виникла ідея комп’ютерної побудови поверхонь напру-

жень Прандтля, яка описана як реалізація двох етапів. На першому ета згідно з геометрією поперечного перерізу, проводиться обчислення значе функції напружень для наперед визначеної кількості точок досліджуваї області. Розрахунки здійснюються сформованою на мові високого рів ПАСКАЛЬ програмою розв’язуваній рівняння Пуассона у довільній обла методом прискорених статистичних випробувань. На другому етапі викої ються графічні роботи за допомогою пакета програм AutoCAD, який є одн із найпотужніших засобів автоматизації графічних робіт. Отримані перші j зультати експлуатації програмного модуля, що автоматизує процес побуде поверхонь напружень Прандтля для перетинів довільної геометрії. На даться приклади комп’ютерної побудови поверхонь напружень Прандтля j круга, квадрата та перетину складної форми. При цьому, для визначеі дотичних напружень у будь-якій точці використовується геометричний г хід (спосіб перетинів).

У цьому ж розділі досліджується цікаве явище роздвоєння максимуму верхні Прандтля для перетинів із перешийками. Подаються результати » п’ютерного аналізу для круга і квадрата з коловими виточками.

Розглянемо область, зображену на рис. 3.1, яка складається з одиничн круга (із центром у початку координат), від якого відкинуто області, угво{ при проведенні з точок Вц-ift) і і?2(і;0) на межі круга кіл радіусом Значення RB будемо надавати з кроком AR¡¡ = 0.05 починаючи з і?в = С Одночасно із зміною і?в будемо слідкувати за зміною значень функції т ружень Прандтля у точках Лі, ,4 2, —,Л2\ (у зв’язку із симетрією розглядув; області відносно осі Ох, до уваги беремо тільки верхню половину крута).

Аналіз значень функції напружень у точках/11,Аг, -,А41 у процесі зл радіуса колових виточок RB показує, що для даної кругової області із діаі рально розміщеними коловими виточками (див. рис. 3.1) роздвоєння маї муму "горба напружень" починається прй RB > 0.2, зокрема,' при RB -максимальне значення отримують точки Ais ІА24: EW =U (Ais)=U (A2a)= 0379; Різниця значень Umax i U(A21), при цьому, становий. UmM - U(Аг

0.0018468. ;Подальші дослідження показали, що максимальні значе t/maxпереміщуються спочатку у точки А\4 і /*28(0.35<і?в<0.50), а пот точки Ап і Лзо (0.5<7?Bs0.7).Зокрема, гфи і?в=0.7 знач

Um№=U(4u)=U(A3o)=02467m, a U(Агі)^0.1999614. Різниця Umax.і U рівна 0.0467657.

На рис. 3.1 також відзначені місця виникнення точокЛ із максималі дотичним напруженням у випадках і?в= 0.25,0.5,0.65.

Рис. 3.1. Кругова області, із коловими виточками радіуса Ип

Аналогічні комп’ютерні дослідження явища роздвоєння максимуму поверхні напружень Прандтля при крученні ми провели для квадратного перетину зі стороною а = 2. На рис. 3.2 зображено просторовий графік поверхні Прандтля для квадрата із коловими виточками і?в=0.7.

Як бачимо, наші комп’ютерні результати підтверджують дослідження Сен-Венана, Файлона та багатьох інших видатних вчених стосовно виникнення та місцезнаходження точок із максимальним дотичним напруженням для перетинів із перешийками. Крім того, наявні сучасні графічні засоби дають змогу візуально спостерігати за появою небезпечних ділянок на межі досліджуваної області. ,

Рис. 3.2. Поверхня напружень Прандтля для квадрата (а = 2) з коловим * виточками И 8=0.7

ВИСНОВКИ

1. Запропонована інформаційна технологія дослідження напружено-; формованого стану пружних стержнів довільного перерізу. Ефективний п хід використовує новий варіант методу Монте-Карло, в якому апостеріо; перехідні ймовірності у схемі випадкових блукань вперше замінені ап орними. Це призводить до суттєвого прискорення обчислень і досягаєт застосуванням спеціального обчислювального шаблону у формі симпле елемента. Вдале поєднання ймовірнісних ідей методу Монте-Карло і ба центричних координат симплексу звільняє від необхідності складати і р в’язувати великі системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Традиційне на сення сітки скінченних елементів на досліджувану область також стає не трібним, досить передбачити обертання симплекса, який транслює грани інформацію у досліджувану точку.

2. Розроблені математичні моделі і написані ефективні та зручі користуванні, комп’ютерні програми на алгоритмічних мовах БЕЙСІ ПАСКАЛЬ, що реалізують алгоритми способу обертання симплексу.

. 3. Розроблена і описана технологія комп’ютерної реалізації СОС прикладах стаціонарної температурної задачі та задачах кручення пру» стержнів складного перетину.

4. Гіпотеза дифузійної плями дала змогу розробити і застосувати стр гію малої вибірки стосовно робочих вузлів на межі досліджуваної обла метою оптимізації обчислень. З гіпотезою дифузійної плями пов’язана п

дова простих і надійних двосторонніх оцінок геометричної жорсткості в областях загального виду. Крім того, з допомогою цієї гіпотези отримана проста наближена формула для обчислення крутильної жорсткості стержнів довільного перетину, а також спрощений спосіб визначення дотичних напружень. '

5. Розглянуті аналогії при крученні. Зазначено, що практична реалізація мембранної аналогії надала можливість експериментально вивчати напружений стан стержнів, на форму контура яких не накладаються жодні обмеження.

6. Запропонований принцип комп’ютерного моделювання поверхонь напружень Іірандтля з метою отримання можливості візуального спостереження на екрані дисплея за характером функції напружень. Отримані перші результати експлуатації програмного модуля, що автоматизує процес побудови поверхонь Прандтля для перетинів довільної геометрії. Наводяться приклади комп’ютерної побудови таких поверхонь для круга, квадрата і перетину складної форми.

7. Проведено дослідження і комп’ютерний аналіз явища роздвоєння максимуму поверхні Прандтля для круга і квадрата з коловими виточками змінного радіуса. Засобами комп’ютерної техніки побудовані просторові графіки таких поверхонь. Вперше на екрані дисплея можна візуально спостерігати за процесом переміщення небезпечних точок на контурі досліджуваної області та роздвоєнням і переміщенням максимуму поверхні Прандтля.

8. Обгрунтована реальна можливість розповсюдження викладених у даній

дисертації ідей на широкий клас подібних задач еліптичного типу, що виникають у інших дисциплінах. .

9. Розроблена в ХДТУ і ІФДТУНГ методика комп’ютерного дослідження і іапружеі іо-дсформоваї юго стану елементів меііи юконсіру кцій може використовуватись при розрахунках на міцність елементів машин, апаратів, конструкцій і споруд, що знаходяться під впливом зовнішніх сил і теплових процесів.

ОСНОВНІ ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Камаєва Л.І, Сеничак В .М., Хомченко А.Н. Метод контрольних об’ємів для чисельного дослідження теплових полів підземних трубопроводів // Розвідка та розробка нафтових і газових родовищ. — Івано-Франківськ, 1993. Вип. ЗО. — с. 135-139.

2. Сеничак В.М. Комп’ютерна діагностика температурних полів в обла-

стях складної форми. Математическое моделирование. Сб. науч. тр./HÄ Украины. Ин-т математики. — Киев, 1996. — С. 209-212.

3. Сеничак В.М., Хомченко А.Н. Программа решения уравнения Пуассі на в произвольной области методом ускоренных статистических испытан і // Фовд алгоритмов и программ ИПС АН Украины. — Киев, июнь 1993. Инв. N. П6412.

4. Камаева Л.И., Сеничак В.М., Хомченко А.Н. Ускоренные алгоритм метода Монте-Карло решения задач Дирихле для уравнения Пуассої Ивано-Франк. ин-т нефти и газа. — Ивано-Франковск, 1992. — 24 с. Деп УкрИНТЭИ 28.07.92., N 1163-Ук92.

5. Сеничак В.М. Числове дослідження явища роздвоєння максиму

функції Прандтдя //Наук.-техн.конф.проф.-викл. складу інституту нафт: газу: Тези доп. — Івано-Франківськ, травень 1994 — с. 213-214. •

6. Сеничак В.М. Алгоритм і програма побудови поверхні Прандтля за

бами комп’ютерної графіки // Наук.-техн.конф.проф.-викл. складу Іваї Франківського державного технічного університету нафти і газу: Тези доп Івано-Франківськ, травень 1995. — с. 71. . . , .

7. Сеничак В.М., Хомченко А.Н. Сучасні підходи до задач круче: стержнів складного перетину //Розробка та застосування математич методів в науково-технічних дослідженнях: Тези доп. Всеукраїнської н конференції, присв. 70-річчю від дня нар. проф. П.Є.Казимірського. — Лі 4-7 жовтня 1995.4.3. — с. 67.

8. Сеничак В.М. Побудова двосторонньої оцінки геометричної жо кості стержнів довільного перетину //Наук-техн. конф. проф.-викл. ск. Івано-Франківського державного технічного університету нафти і газу:' доп.— Івано-Франківськ, травень 1997. — Ч. 2. С. 25.

9. Сеничак В.М., Хомченко А.Н. Алгоритм чисельного визнані крутильної жорсткості стержня довільного перерізу //Наук.-техн. к проф.-викл. складу Івано-Франківського державного технічного уніве тету нафти і газу: Тези доп. — Івано-Франківськ, травень 1997. — Ч. 2. С.'

Сеничак В.М. Прискорені алгоритми і програми чисельного розв’язування задач кручення пружних стержнів довільного перерізу. — Рукопис. .

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.06 — автоматизовані системи управління і прогресивні інформаційні технології. — Херсонський державшй технічний університет, Херсон, 1997.

Дисертація присвячена розробці математичного і програмного забезпечення прискорених алгоритмів (типу методу Монте-Карло) для комп’ютерного дослідження напружень і деформацій кручення пружних стержнів довільного перерізу. В роботі отримав розвиток новий підхід до розв’язання крайових задач еліптичного типу, що поєднує ідеї методу Монте-Карло з технікою скінченних симплекс-елементів. Встановлено, що прискорені алгоритми розв’язання задач кручення вивільнюють обчислювальний процес від громіздких процедур нанесення сітки на досліджувану область та складання і розв’язування великих систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Серія обчислювальних експериментів підтверджує високу, точність нової спрощеної формули двд наближеного обчислення крутильної жорсткості складних фігур. Запропоновані інженерні способи двостороннього оцінювання геометричних жорсткосте# для стержнів складних перетинів. Реалізована програма комп’ютерного дослідження явища роздвоєння максимуму поверхні напружень для перетинів з перешийками- Основні результати роботи знайшли промислове застосування в системах автоматизованого проектування бурильних колон, валів насосів, компрееорі» і перемішуючих пристроїв.

Ключові слова: математичне моделювання, чисельні методи, метод Монте-Карло, задачі еліптичного типу, скінченний симплекс-елемент, крутильна жорсткість. ,,

Сеничак В.М. Ускоренные алгоритмы и программы численного решения задач кручения упругих стержней произвольного сечения. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.06 — автоматизированные системы управления и прогрессивные информационные технологии. • Херсонский государственный технический университет, Херсон, 1997. ,

Диссертация посвящена разработке математического и программно] обеспечения ускоренных алгоритмов (типа метода Монте-Карло) щ компьютерного исследования напряжений и деформаций крушения уцруп стержней произвольного сечения. В работе развивается новый подход решению граничных задач эллиптического типа, сочетающий идеи, мето; Монте-Карло и техники конечных симплекс-элементов. Установлено, ч' ускоренные алгоритмы1 .упругих Стержней освобождают вычислительнь процесс бт процедуры нанесения сетки на исследуемую область, составлен] и решения больших систем линейных алгебраических уравнений. Сер] вычислительных экспериментов подтверждает высокую точность нов< упрощенной формулы для приближенного вычисления крутильне жесткости сложных фигур. Предложены инженерные способц-двусторонн] оценок геометрической жесткости для стержней сложных сечени Реализована программа компьютерного исследования явления раздвоен максимума поверхности напряжений для сечений с. перешейками. Основн] результаты работы нашли промышленное применение в систем автоматизированного проектирования бурильных колонн, валов насоа компрессоров и перемешивающих.устройств.

Ключевые слова: математическое моделирование, численные мето; метод Монте-Карло, задачи эллиптического типа, конечн] симплекс-элемент, крутильная жесткость. .

Senychak V.M. Accelerated algorithms and programs for solutions of tasks stresses and torsion of elastic rods of different cross-sections. - Manuscript!

Dissertation for getting the master’s degree (the Candidate of Sciences Eng.) speciality 05.13.06 - Automatized Control Systems and Advanced Suformatio Technologies. - Kherson State Technical University, Kherson, 1997.

The dissertation deals with the development of the computer programs for accelerated algorythms (of the Monte-Karlo type) for the computer-simula study of stresses and torsion of elastic rods of different cross-sections.. The r approach to the boundary problems of the elliptic type that combines Monte-Karlo method with the technique of finite simplex elemets is introducec is determined that the accelerated algorythms make the procedure of deviding studied area into the network and working out big system of algebraic eguati unnecessary. The series of the computational experiments showed the high j

cision of the new simplified formula for the approximate determination of the torsion hardness of complicated bodies. The engeneering methods of double-sided approximations of the geometrical hardness for the rods of different cross-sections are proposed. The program of computer-aided investigation of the splitting of maximum of tension surface for the pross-sections with the isthmuses is introduced. The main results of the dissertation are applied in the systems of automated projecting of drilling string, shafts pumps, compressors and stirring devices.

Key words: mathematical modelling, numerical methods, Monte-Karlo method, elliptic type problems, finite simplex-method, torsion hardness.

■ ■ a