автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование метода интегральных суперпозиций на задачах о кручении упругих стержней сложного сечения

На правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУПЕРПОЗИЦИЙ НА ЗАДАЧАХ О КРУЧЕНИИ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ СЛОЖНОГО СЕЧЕНИЯ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Воронеж — 2005

Работа выполнена в Воронежской государственной технологической академии на кафедре высшей математики

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор

Чернышев Александр Данилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор

Спорыхин Анатолий Николаевич

доктор физико-математических

наук, профессор

Зеленев Вячеслав Михайлович

Ведущая организация: Липецкий государственный технический универсистет

Защита диссертации состоится «17» ноября 2005 г. в 13— на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Воронежской государственной технологической академии в ауд. 3А (конференц-зал) по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВГТА

Автореферат разослан «/2. » октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

И.А. Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Постановка и решение краевых задач математической физики играет важную роль в исследованиях различных разделов физики, экологии, науки о человеке, природе и обществе, при проектировании различных механизмов и конструкций. Для решения таких задач, как правило, применяют приближенные численные методы, среди которых наибольшее распространение получили методы конечных раз-^ ностей, конечных и граничных элементов. На основе этих ме-

тодов созданы программные комплексы для ЭВМ (ЭоМШэгкв, Апвуэ и др.), широко применяемые в различных областях па-^ уки и техники. Однако, практика использования численных

методов выявила не только их преимущества, но и некоторые недостатки. К числу последних относится затрудненность надежной оценки погрешности расчетных результатов. Этот недостаток особенно ощутим в последнее время в связи с применением численных методов для расчета ответственных объектов и процессов, от которых зависит безопасность людей

На этом фоне использование аналитических методов выглядит предпочтительнее, поскольку полученные с их помощью решения в виде аналитических формул более надежны. Они могут быть использованы для дальнейших преобразований, могут быть проверены па удовлетворение дифференциальным уравнениям и краевым условиям решаемой задачи, т.е их погрешность может быть надежно оценена. В этой связи .-« тема диссертации представляется актуальной, поскольку в ра-

боте рассматриваются вопросы применения нового численно-аналитического метода интегральных суперпозиций для решения краевых задач в областях сложной формы.

Целью работы является исследование погрешности метода интегральных суперпозиций на примере решения задач о кручении упругих стержней сложного криволинейного сечения.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:

- сформулировать и научно обосновать применение метода интегральных суперпозиций при

I библиотека I

евых задач в общем виде для одно- и двусвязных криволинейных областей;

- получить оценки погрешности метода и проверить их в ходе численых экспериментов на тестовых задачах с известным точным решением;

- разработать алгоритм применения и выбора расчет-ней схемы метода для криволинейных областей с гладкой и кусочно-гладкой границей, обеспечивающих минимально возможную погрешность приближенного решения;

- найти закономерности и дать рекомендации по применению метода интегральных суперпозиций для решения краевых задач в сложных криволинейных областях с особенностями (угловые точки, выпуклые и вогнутые участки);

- рассмотреть эффективность использованных расчетных схем и предложить возможные способы их усовершенствования

Метода исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы вычислительной математики и моделирования, теории дифференциальных уравнений в частных производных, методы интерполирования функций.

Научная новизна.

1. Показана возможность применения нового численно-аналитического метода интегральных суперпозиций для решето я линейных краевых задач в областях сложной криволинейной формы, отличающегося небольшой трудоемкостью и высокой точностью.

2. Приближенное решение линейной краевой задачи, полеченное методом интегральных суперпозиций, имеет явный агалитический вид, точно удовлетворяет дифференциальному уравнению задачи, граничным условиям в расчетных точках, что дает возможность надежной оценки его погрешности.

3. Полученные аналитические формулы для оценки погрешности метода при решении задач в областях сложной формы позволяют до проведения расчетов оптимизировать расчет-н>ю схему метода с целыо повышения точности приближенного решения.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты ргботы (теоретические положения, методики решеиия практических задач) могут быть использованы для приближенного

решения линейных краевых задач, а также задач, сводящихся к краевым, для гладких и кусочно-гладких, одно- и многосвязных областей с неоднородными граничными условиями 1-го, 2-го или 3-го рода, а также, если граничные условия заданы разрывно.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы доложены и обсуждены на IV Российской научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2003», г. Воронеж, 24-26 сентября 2003 г.; II конференции молодых ученых научной школы академика В.В. Новожилова. г. Санкт-Петербург, 17-18 апреля 2003 г.; Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 24-28 мая 2004 г.; V Международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2004», г. Воронеж, 22-24 сентября 2004 г.; Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 12-17 сентября 2005 г.; XLI, XLII отчетных научных конференциях ВГТА за 2002, 2003 гг., г. Воронеж, 2003, 2004 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 128 страницах, включает 47 рисунков и 9 таблиц; состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 100 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и основные задачи, объект и предмет исследования, раскрывается научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приводятся данные по апробации, публикации по теме диссертации и краткое содержание работы.

В первой главе проводится теоретическое обоснование метода интегральных суперпозиций (ИС), предложенного А. Д. Чернышевым для решения линейных краевых задач. Суть метода изложена на примере решения линейной стационарной

краевой задачи в общем виде для криволинейной одпосвязиой области П с кусочно-гладкой границей Г

Ь(и)=д0, и\г = 0 , иеС2(П), иес( г),

где Ь - линейный дифференциальный оператор второго порядка, и (х, у) - непрерывная вместе со своими первыми и вторыми производными функция в области П, д0 - произвольная константа и Г - граница области П.

При помощи данного метода показано, что общее решение уравнения (1) можно представить в следующей интегральной форме:

тт

и= [ 1{С1(в) ,С2(в), {¡¿в + ^2/{С*и,С*2г, + и ,

= (г- го) пг , О^0г<7Г, г = 1,..., п ,

где С к (0) ~ неизвестные суммируемые в смысле Лебега функции, С*кг - неизвестные коэффициенты, а вг и п - значения углов и количество слагаемых в конечной сумме, которые могут быть неизвестными.

Для нахождения всех перечисленных неизвестных следует воспользоваться граничными условиями из (1), и тогда задела о нахождении функции /7 (х, у) сведется к решению обобщенного интегрального уравнения Фредгольма 1 рода, для решения которого необходимо интервал [0,7г) разбить на мелкие секторы А9) (] = 1,..., т), а границу Г независимо от углов 6] разбить па мелкие участки расчетными точками г) так, чтобы точек разбиения на Г было в два раза больше, чем углов в3, т.е. 2 т, и представить интеграл в (2) конечной суммой

7П

и = >, / [Су' С2.7, + /чн ,

и (3)

где в* - некоторые средние значения углов вг в секторах Дб, Выполняя граничные условия, придем к следующей системе

для определения Су и Счу

т.

/ [Су, С2], + /-Н = о , = (П - го) П, . 14)

¿=1

В (4) имеем замкнутую систему 2 т линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) относительно 2т неизвестных Из решения системы (4) найдем коэффициенты С^.,. Подставив их в (3), получим в явном аналитическом виде приближенное решение рассматриваемой задачи (1). Оно точно удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению из (1). Граничное условия выполняются точно в расчетных точках г} и нриб/и-жеино во всех промежуточных точках границы области Г2.

Рассмотренным подходом можно воспользоваться и для краевой задачи с неоднородными граничными условиями 2-го или 3-го рода, а также, если граничные условия заданы разрывно. Кроме этого, метод ИС может быть использован при решении краевых задач для многосвязных областей. В рабе те приведены алгоритм и расчетные формулы для получения приближенного решения краевой задачи в двухсвязной области О, которые ввиду своей громоздкости здесь не приводятся.

Погрешность метода ИС исследуется в работе на примере решения задач о кручении упругих стержней в постановке Сен-Венана. Эта задача сводится к интегрированию уравнения Пуассона

в области П поперечного сечения стержня. На контуре Го од-носвязного поперечного сечения Г2 заданы граничные условия

<У|Го = 0. (6)

Если поперечное сечение стержня представляет собой многосвязную область, т.е. стержень имеет продольные цилиндрические полости, контур Г, ограничивающий поперечное сечение стержня, будет состоять из нескольких внутренних замкнутых контуров Гх, Г2,..., Гп, охваченных внешним контуром Го, и граничные условия запишутся в виде

и\гг — иг , г = 0,1,... , 17)

где иг - значение функции II (х, у) па контуре Гг. Значения неизвестных постоянных £7ь 1/2, ■ ■ ■, ип на внутренних контурах сечения Гх, Гг,..., Гп определяются из соотношений

— (¿5 = -г = 1,..., п , (8)

оп Г,

которые должны выполняться для каждого из внутренних контуров Гг. Здесь Пг — площадь области, ограниченной контуром Г^. Касательные

напряжения тхг и Туг связаны с функцией напряжений II(х, у) выражениями

где G - модуль сдвига материала стержня, © - угол закручивания на единицу длины стержня (крутка) Жесткость стержня на кручение С в случае полых стержней связана с функцией напряжений соотношением

C = 2G^"c/(xlí/)díí + 2G¿ü,íli. (10)

fio Í=1

Для сплошных стержней в формуле (10) следует положить константы иг = 0. Крутящий момент М в линейной модели вычисляется по формуле М = С ©.

Поскольку частное решение F (£) уравнения (5) является конечным полиномом по то его интегральная суперпозиция по угловому параметру в приводит к вырожденному интегральному уравнению, что не позволяет получить решение задачи (5)—(6), т.е. задача (5)-(6) для метода ИС является вырожденной. Поэтому была предложена следующая модификация метода при помощи искусственного введения малого параметра.

В исходное уравнение (5) вводится дополнительное слагаемое с малым параметром е и далее рассматриваются две вспомогательные задачи

Д{7 + е2 [/ = -2 , U\r — 0 , (11)

ДУ-е2 ¥ = -2, У|г = 0 . (12)

К задачам (11) и (12) можно применять метод ИС, т.к. функция Р (£) для них не будет иметь вид целого полинома по Тогда приближенные решения задач (11) и (12) можно представить в виде

т

и (х,= №со8 (£6) + взз1п (£&)] - оз)

3=1

т

V (X, у) = £ [С3 ехр (е О + ^ (-£ Ш + 2/е2, (14)

где А3, В3 и С3, И3 - неизвестные постоянные, подлежащие определению из граничных условий. Подставив (13) и (14) в условия из (11) и (12), получим относительно А3, В3 и С3, 03 две замкнутые системы ЛАУ с 2 т неизвестными в каждой

т.

1Аз соз (е + В3 зш (с £у)]= 2/е2, Ьз = (п-г0)щ , I =-- 1,..., 2т ,

771

5][С,-ехр(£^) + ^ехр(-£^)] = -2Д-2,

5=1 (16)

= (п - г0) п3 , 1 = 1,...,2т.

Решив системы (15) и (16), найдем искомые коэффициенты, а, следовательно, и приближенные решения (13) и (14).

В работе аналитически показано, что при е I точнэе решение задачи (11) или (12) отличается от точнсго решения исходной задачи (5)-(6) на величину 81/ ~ е2. Если лайде! ы решения обеих вспомогательных задач, то их полусумма даст более точное решение задачи (5)-(6), которое будет иметь погрешность 611 ~ £4.

Распределение погрешности 511 по области П имеет сложную структуру, поэтому в качестве величин, характеризующих это распределение, было решено использовать следующие максимальные значения погрешности: — тах (й — С/о) внутри

области fi и SU|г max = max U|r — £/o|r на ее границе Г. При использовании метода ИС погрешность 5Un имеет место, когда для решения краевой задачи необходимо вводить в исходное дифференциальное уравнение малое слагаемое (как в рассматриваемом случае задачи о кручении). Погрешность 6U|г гпах всегда отлична от нуля и обусловлена заменой интеграла в (2) конечной интегральной суммой. На величину 5U\r -тах оказывают влияние параметры расчетной схемы метода ИС, состоящей из 2т расчетных точек fj, полюса го и системы углов 9j, а также геометрические характеристики области П Кроме этого, в случае решения модифицированной задачи (с дополнительным малым слагаемым) SU|г тах зависит еще и от е. Анализ результатов численных экспериментов по решению задачи о кручении упругих стержней правильного треугольного, эллиптического, кругового и квадратного сечений позволил установить следующие закономерности.

1. Погрешность 5Un зависит от величины параметра е, а также от формы области Q, и может быть представлена в виде

5Un*Cne2, е < 1, (17)

где коэффициент Сп определяется формой области П и в общем случае может зависеть от количества расчетных точек 2 т. Если в качестве решения задачи (5)-(6) используется полусумма приближенных решений (13) и (14) вспомогательных задач (11) и (12), то в этом случае 5Uu ~ Сп £4- Данные эмпирические оценки 5Uq точно согласуются с полученными ранее в этой главе теоретическими результатами. Для треугольной и эллиптической областей найдены численные значения коэффициентов С£р) « Ю-268 и Ct} ~ Ю-06-

2. Погрешность 5U|г тах зависит от количества расчетных точек 2 т, длины дуги между двумя соседними расчетными точками As и формы области Г2. Положение полюса fo не влияет на SU\r max, а углы в3 следует выбирать так, чтобы они равномерно разбивали интервал [0,7г) па мелкие секторы. Зависимость погрешности Ш\г тах от параметров е, As и 2т можно выразить функцией вида

6U\Tmax*Cr(As,2rn)ek, к > 0. (18)

Коэффициент Сг и показатель к определяются формой области П, в частности для треугольной области к га т — 2, а для эллиптической к и т. Для рассмотренных областей были найдены зависимости СГ (Дз, 2 т), которые приведены в табл. 1.

Таблица ]

Оценки коэффициента пропорциональности Сг( Дя, 2п.) для различных областей П

Область: Прав, треуг-к Эллипс (р=С) Эллипс (р—2)

Сг(с1,2т) 10-ш/з д5т 10"3т/2Дзт 10-т/2д5т

Область: ЭЛЛИПС (р=1.01) Круг Квадрат

СТ{<1,2т) 10-7т/20 д5т 10-4т/3 д52т 10-1768д52

Поскольку коэффициенты Сп и Сг можно найти для любой области П, то с учетом (17) и (18) выражение для погрешности 611 решения задачи (5)—(6), полученного с помощью метода ИС, можно записать в следующем обобщенном виде:

5и = тах [Са е2, Сг (Да, 2 т)] . (19)

Т.е. если задачу (5)-(6) заменить на вспомогательную задачу (11) или (12) с малым слагаемым е2и и решить се с помощью метода интегральных суперпозиций, то в зависимости от значений параметров е, Дя, т и формы области П максимум го-грешности будет иметь место либо на границе Г, либо в тутрн Г2, а его значение можно определить с помощью выражения (19).

На основе полученных в главе результатов были сформулированы алгоритмы решения краевых задач методом ИС д тя одно- и двусвязных областей.

Во второй главе рассматриваются особенности приме! е-ния метода ИС для решения краевых задач в областях сложной формы, когда граница Г имеет протяженные чередукжц е-ся выпуклые и вогнутые участки, образующие углы в местах их сопряжения. Такая ситуация существенно влияет на погрешность приближенных методов. На примере решения задачи о кручении упругого круглого стержня с продольной круговой выточкой анализируется зависимость погрешности 5[/|г гаах от

геометрических характеристик поперечного сечения Г2 стержня и параметров расчетной схемы метода ИС.

Одпосвязная область ¡1 представляет собой круг радиуса #2! из которого вырезан круг радиуса Их < Д2 с центром О , находящимся на радиусе (рис. 1). Кусочно-гладкая грапи-

Рис. 1. Поперечное сечение стержня с продольной круговой выточкой в декартовой системе координат

ца Г области О состоит из двух гладких участков Гх и Г2 и имеет две особенности: углы в точках А и 5, где эти участки сопрягаются, и протяженный вогнутый участок Гх. Установлено, что для подобных областей равномерное распределение расчетных точек п по всей границе Г неэффективно (гюх реш-ность <5^1гтах оказывается большой величиной по сравнению с максимальным значением функции напряжений в этой области). Для снижения погрешности предлагается специальным образом выбирать расчетную схему: каждый гладкий участок границы в отдельности следует разбивать расчетными точками равномерно, но с разными шагами Аб'х и Дб'2- В этом случае на положение точек г/ на каждом из гладких участков накладываются ограничения. С помощью численных экспериментов было показано, что расчетные точки должны располагаться так, чтобы отношение К — Двх/Двг имело заранее определенное значение К*. При К = К* максимальные погрешности

приближенного решения на участках Г1 и Г2 имеют примерно одинаковые значения <5Г7|* тах. Из численных экспериментов получены эмпирические оценки отношения К*

К* (7) % 246.69269 7-105989 (Щ

и погрешности тах

«Мг и « Ю"(7) (21)

где коэффициент Ъ (7) имеет вид

Ь (7) « 10.54742 - 0.162517 • (22)

На основе оценок (20)-(22) сформулирован алгоритм построения оптимальной, в смысле минимума погрешности на границе, расчетной схемы метода ИС для подобных областей. Этот алгоритм был апробирован на примере решения тестовой задачи (5)-(6) с известным точным решением (для случая, когда центр выточки находится в точке (—В,2',0)). Численный эксперимент показал высокую степень соответствия оценочного и расчетного значений погрешности 51/ тах.

Далее метод ИС использовался для решения задачи о кручении стального стержня, выполненного из пружинной сгга-ли марки 60Г, для которого 7 » 64°. Решение задачи (5)-н6) строилось как полусумма решений (13) и (14) вспомогательных задач (11) и (12), малый параметр е полагался равным 10 ~4. Величина максимальной погрешности на границе задавалась 5и\*г тах « 3 х Ю-3. В соответствии с предложенным алгоритмом для обеспечения заданной точности на участке Г1 было выбрано 2 т\ — 20 расчетных точек, а на участке Г2 - 2 т^ — = 296 точек, равномерно покрывающих каждый из участко з.

Расчет приближенного решения ио(х,у) показал, что погрешность максимальна в малых окрестностях угловых точек А и В, где она имеет значение <$[/|г тах « 5.18699х Ю-3, т.е. отличается от предварительно заданного значения <5!У|*. Ш(1Х примерно на Ю-3. Погрешность 5£7|г быстро убывает с удалением от углов. Так, между третьей и четвертой расчетными точками вблизи углов ее значение составляет уже 9.63799 > Ю-7 па

участке Ti и 2.19324 х Ю-4 на участке Гг, а вблизи наиболее удаленной от выреза точки (Яг;0) - 0?7|Г2 max ~ 3 х 10 18. Максимальное значение max Uo ~ 0.42381 функция напряжений принимает в точке (0.13601; 0).

Чтобы найти касательные напряжения и жесткость на кручение рассматриваемого стержня, необходимо вычислить частные производные и двойной интеграл от функции напряжений Uq (х, у). Т.к. полученное выражение для С/о {х, у) имеет явный аналитический вид, то это можно сделать без использования каких-либо аппроксимаций. В работе получены аналитические формулы для касательных напряжений

eGQ т

Txg = -у- J2 U~A3 Sin + В3 C0S +

3=1

+ С J exp (e ) - D3 exp (-e ^)] cos в3} , eGQ m

Tyz =--y- Sin (£ О + B3 COS +

3=1

+ Cj exp — D3 exp (—sin 03 } и жесткости на кручение ra

С = 2 G [Аз Ia} + Bj IB} + C3 ICj + D3 IDj]. (24) j=i

Для рассматриваемого стержня расчет по формуле (24) дает значение жесткости C/G = 0.59787.

Имея выражения (23) для txz и fyz, можно определить

абсолютное значение касательного напряжения т = 4- fjjz в любой точке области П. На рис. 2 приведен график распределения напряжения f по границе области О, где, согласно теории, оно принимает максимальное значение. Для сравнения иа рис. 3 представлено распределение погрешности дт на границе области, для которой решалась тестовая задача (7 « 80°) Анализ этих результатов показывает, что для подобных областей Q погрешность 5т максимальна в угловых точках A vi В и быстро убывает с удалением от них (0т|д 3.18347 х 10_3,

V-

3

И

г»

0,-5-

-50 -25 0 25 50 75 V

-150 -100 -50

50 100 150

Рис. 2. Распределение абсолютных значений касательного напряжения т / (6' © Д2) по границе поперечного сечения стержня: д^ — на участке Гь б) — на участке Г2

-90 -60

-180 -120 -60

60 120 <р°

Рис. 3. Значения десятичного логарифма погрешности 15т\ на границе области П

^1(хо,+Й1;0) » 1-90569 X Ю-8, 8т|№;0) » 9.32685 х Ю"10 при 7 « 80°). Т.к. области подобны, то характер поведения 5т остается неизменным, следовательно, большое значение т при 7 и 64° в углах обусловлено большой локальной погрешностью. Действительно, на остальных участках границы поведение т согласуется с теоретическими представлениями о характере возникающих в скручиваемом стержне напряжений: максимальное значение тахт и 1.66513£? в Дг напряжение т принимает на границе выточки в точке (хо' + Ял] 0) и убывает с приближением к углам. Отсюда можно заключить, что заданной точности решения задачи тах ~ 3 х Ю-3 недостаточно. Снизить погрешность можно путем добавления новых расчетных точек, однако, этот подход в случае острых углов 7 оказывается малоэффективным.

В третьей главе рассматриваются вопросы модификации стандартной расчетной схемы метода ИС с целыо повышения

эффективности вычислительного процесса и снижения погрешности получаемого приближенного решения. Для этого предлагается с помощью вспомогательного разреза Го разбить об-лестъ П на две односвязпые области П} и Г^- Разрез Го разделяет у част к и границы Г1 и Г2 каждый на две части так, что

Г

Г] = Гр> и г<2)

и Г2 = Г^ иГ^2), т.е. область П1 имеет гра-

ницу Г^ + Г^ -Н Г0, а область

границу Г[2) + Г^' + Г0.

(2)

01ределим функцию напряжений Ьто(х, у) следующим образом

ио(х,у) = -

1 + (я, у) € ,

(25)

где составляющие II^ (х, у) и У^ (х,у) (<? = 1,2) - суть нри-б-гиженпые решения в областях Пд следующих задач-

Аи + е2и = -2,

С/С1) =

г0

и^ (х,у)

аим

-.(•г)

О,

Го

оим

АУ-е2У = -2,

Г*1)

Го

Го

(Х,у)

дум

Го

дщ

дщ = 0, дУЮ

(26)

Го

Го

дщ

(27)

Го

Здесь щ - единичная нормаль к Го, направленная либо в область П], либо в область П2 и р = 1.2 - номер участка границы. Функции и У^ искались в виде (13) и (14). Для нахождения неизвестных коэффициентов В^ и С^. В^ решались две системы ЛАУ, содержащие по 4т — 2 (тх + тг + то) уравнений, где 2т\ = 20, 2шг = 296 и то = 82 - количество расчетных точек на участках границы Гх, Г2 и па разрезе Го-Чтобы оценить эффективность данного подхода в табл. 2 приведены результаты, получрнные при использовании расчетных схем с дополнительным разрезом Го и без пего. Причем, в обоих случаях размерность системы ЛАУ для определения ко-эофициентов одинакова. Из данной таблицы видно, что введение вспомогательного разреза Го позволяет при том же объеме

Таблица 2

Эффективность расчетной схемы при использовании вспомогательного разреза Го

Расчетная схема Кол-во точек ^Irmax *т\л

С разрезом Ш1=10 т2=148 шо=82 5.83262 х Ю-6 1.36053 х Ю-3

Без разреза mi=16 m2=224 9.44142 х Ю-4 0.85288

вычислений получить приближенное решение задачи с максимальной погрешностью 5U\r тах, порядок которой в два раза меньше, чем при использовании расчетной схемы без разреза. Погрешность 5т имеет приемлемое с точки зрения инженерных расчетов значение. Следует отметить, что при введении разреза Го возникают еще две погрешности в удовлетворении граничных условий на Го, однако, их максимальные значения принебрежимо малы по сравнению с 5U\V max и составляют

SU' ~ 2.77601 х Ю-14 и 6U|г тах и 3.00719 х 10~19.

Го max

Если область Cl обладает свойством симметрии, то предложенную расчетную схему можно значительно упростить. Задача (5)-(6) в этом случае сводится к следующим двум задачам относительно функций U^ (х, у) и V^ (х,у) для области Qi:

Uw (i, у)

дим

О,

duQ UW (x,y) 9VW

Го

0,

= 0

(28)

W (x,y)

rd) 1 2

0,

du0 V(1) (x,y)

= 0

r0

(29)

л(1)

= 0

При этом используется свойство симметрии области П и фупк-

(о\

ции С/о, как решения задачи (5)-(6) в этой области: Щ (х, у) =

= и^ (./;, —у), а разрез Го проводится по оси симметрии области. Численные эксперименты показали, что погрешности Я/|г тах, 5 1Т' и 5т при вычислениях по такой расчетной

Го тах

схеме имеют такой же порядок, как при расчетах без использования симметричных свойств области Г2. Однако, порядок систем ЛАУ при этом уменьшается в два раза. Отсюда можно заключить, что в случай симметричных областей П применение метода интегральных суперпозиций с использованием расчет-ней схемы, учитывающей свойства симметрии, позволяет гголу-чгть высокоточное приближенное решение задачи (5)-(6) при меньших временных затратах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сформулирован и научно обоснован числепио-апали-тический метод интегральнь'х суперпозиций для приближенного решения линейных краевых задач в сложных одно- и многосвязных криволинейных областях с различными граничными условиями. Полученное с помощью данного метода решение ид еет явный аналитический вид, точно удовлетворяет дифференциальному уравнению задачи и граничным условиям в точках дискретизации границы области, между этими точка-мр граничные условия выполняются приближенно.

2. Исследована погрешность метода при решении задач о кручении упругих стержней правильного треугольного, эллиптического, кругового и квадратного сечений. На основе сопоставления с точными решениями задач для этих областей получены эмпирические оценки погрешности. Выявлена высокая точность метода при решении краевых задач для выпуклых одиосвязных областей с гладкой и кусочно-гладкой границей.

3. Проведен анализ погрешности метода для сложных криволинейных областей с особенностями типа угловых точек и протяженных чередующихся выпуклых и вогнутых участков гршицы. На основе этого анализа предложен алгоритм выбора расчетной схемы, оптимальной в смысле минимума погрешности. Для односвязпой круговой области с круговым вырезом получена оценка погрешности метода в виде аналитиче-

ской формулы, учитывающая параметры расчетной схемы и геометрические характеристики области.

4. С учетом предложенного алгоритма и найденной оценки погрешности получено приближенное решение задачи о кручении стального стержня круговог о сечения с продольной круговой выточкой, контур которой пересекает внешний участок границы под острым углом. Приведены аналитические выражения для расчета касательных напряжений и жесткости на кручение для данного стержня. Рас читаны максимальные значения погрешности функции напряжений и касательных напряжений на границе области поперечного сечения стержня.

5. Предложены варианты повышения численной эффективности использованных расчетных схем, позволяющие существенно повысить точность приближенного решения краевой задачи и уменьшить вычислительные затраты.

6. В результате проделанной работы выявлены закономерности в зависимости погрешности метода от формы облас ги и параметров расчетной схемы, позволяющие до проведения вычислений оптимизировать алгоритм расчета приближение го решения с целью повышения его точности и снижения вычислительных затрат.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Даньшин, A.A. Метод интегральных суперпозиций в задаче о кручении упругого стержня с продольной круговой выточкой [Текст] // Авиакосмические технологии «АКТ-2004» Тр. пятой Междунар. науч.-техн. конференции. - Воронеж-ВГТУ. - 2004. ч.2. - С. 26-32

2. Даньшин, A.A. Погрешность метода интегральных суперпозиций для областей с кусочно-гладкой границей [Текст] // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сб. трудов международной школы-семинара. - Е!оронеж ВГУ. - 2004. 4.1, Т.1. - С. 179-182

3. Даньшин, A.A. Эффективная расчетная схема метода интегральных суперпозиций [Текст] // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сб. трудов международной школы-семинара. - Воронеж: ВГУ. - 2005. 4.1. - С. 121-126

ИИ 8 4 34

4. Чернышов, А.Д. Исследование погрешности метода суперпозиций одномерных решений в задачах теплопроводности [Текст] / А.Д. Чернышов, A.A. Даньшин // Вестник ВГТУ, серия «Энергетика», - Воронеж. — 2002. вып.7.2. — С. 20-25

5. Чернышов, А.Д. Влияние неравномерного разбиения границы на погрешность в методе суперпозиций [Текст] / А.Д. Чернышов, A.A. Даньшин // Авиакосмические технологии «ЛКТ-2003» Тр. четвертой Российской науч.-техн. конференции. - Воронеж: ВГТУ. - 2003. ч.1. - С. 221-228

6. Чернышов, А.Д. Применение метода малого параметра в задачах о кручении упругих стержней криволинейного сечения [Текст] / А.Д. Чернышов, A.A. Даньшин // Нелин. проблемы механики и физики деформируемого тв. тела: Сб. трудов нг.учной школы академика В.В. Новожилова. - СПб: СПбГУ. -2С03. вып.7. - С. 213-222

7. Чернышов, А.Д. Оценка погрешности метода суперпозиций одномерных решений в нестационарных задачах теплопроводности [Текст] / А.Д. Чернышов, A.A. Даньшин, H.A. Чгрнышов // Инженерно-физический журнал. — 2004. Т.77. №4. - С. 27-30

РНБ Русский фонд

2006-4 16861

Подписано в печать ИВ. 0$ 2005г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Ризография Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ЧЬО Воронежская государственная технологическая академия (ВГТА) Участок оперативной полиграфии ВГТА Адрес академии и участка оперативной полиграфии 394000, г. Воронеж, пр. Революции, 19

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Построение решений задач о кручении упругих стержней методом интегральных суперпозиций

1.1. Постановка задачи о кручении.

1.2. Метод интегральных суперпозиций.

1.2.1. Расчетная схема для односвязной области.

1.2.2. Расчетная схема для многосвязной области.

1.3. Метод введения малого параметра.

1.4. Погрешность метода интегральных суперпозиций.

Глава 2 Задачи о кручении стержней с выточками

2.1. Зависимость погрешности от выбора расчетной схемы.

2.1.1. Расчетная схема метода интегральных суперпозиций

2.1.2. Алгоритм выбора расчетных точек на границе кусочно-гладкой односвязной области с выпуклыми и вогнутыми участками.

2.1.3. Зависимость погрешности от значения угла сопряжения гладких участков границы.

2.1.4. Зависимость погрешности от шага дискретизации границы области.

2.1.5. Сопоставление приближенного и точного решений.

2.2. Кручение стального круглого стержня с круговой выточкой

Глава 3 Применение эффективных расчетных схем с использованием дополнительных разрезов

3.1. Введение разреза в области поперечного сечения.

3.2. Использование свойства симметрии области Q.

Актуальность темы. На современном этапе развития различных отраслей промышленности при разработке новых технологий возникают все большие потребности в рассмотрении прикладных задач теории упругости, а также совершенствовании математического аппарата для их решения.

В истории развития методов решения краевых задач теории упругости можно выделить несколько этапов. Первый этап характеризуется использованием точных аналитических методов. Начавшись с основополагающих работ Фурье и Д'Аламбера он продлился до середины XX века. В этот период с помощью метода разделения переменных были получены решения ряда дифференциальных уравнений в частных производных для простейших областей — круга, квадрата, эллипса, равностороннего треугольника цилиндра, шара и др. Дальнейшие усилия математиков были направлены на совершенствование этого и разработку новых аналитических методов. Причем, каждое решение какой-либо новой задачи являлось значительным событием в научных кругах.

Среди многочисленных технических задач, возникающих при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений, важное место занимают расчеты их элементов на кручение. Особое значение имеет исследование напряженного состояния валов различной формы (цилиндрических, конических, ступенчатых, с выточками, с полостями и др.), работающих на кручение в упругом режиме. Часто представляет интерес и вопрос о концентрации напряжений в местах резкого изменения формы скручиваемого тела.

Первое исследование по кручению призматических стержней принадлежит Кулону [84], который в мемуаре, изданном в 1787 г. дал теорию кручения круглых призматических стержней. Согласно этой теории, поперечные сечения в круглых стержнях при кручении остаются плоскими и радиусы не искривляются, поворачиваются только сечения друг относительно друга.

Спустя почти 100 лет после исследований Кулона в 1856 г. вышел в свет знаменитый мемуар Сен-Венана [55], который явился новой вехой на пути дальнейшего развития механики деформируемого тела. В этом ме-муаре Сен-Венан дал физические основы и строгую математическую теорию кручения упругих тел. Учитывая, что решение многих задач теории упругости зачастую связано с большими математическими трудностями, Сен-Венан изложил свой «полуобратный метод» решения этих задач. Он получил решения ряда задач, в частности задачи о кручении стержней с равносторонним треугольным, эллиптическим, прямоугольным сечениями.

Впервые метод решения задач теории упругости при помощи функций комплексного переменного использовал Г.В. Колосов. В его работе [31] было дано решение задач о кручении стержня с эллиптическим, прямоугольным и равносторонним треугольным сечением. Дальнейшее развитие метод получил в исследованиях Мусхелишвилли. В его монографии [45] приведены примеры решения задач о кручении сплошных призм с сечениями в виде эпитрохоиды, лемнискаты Бута, петли лемнискаты Бернулли, а также полых призм с многосвязными сечениями в виде двух конфокальных эллипсов и неконцентрических окружностей.

В обширной монографии Арутюняна [4] изложен метод приведения решения к бесконечным системам линейных уравнений. Приведены примеры решения широкого спектра задач о кручении изотропных призм различных профилей. Так, получены решения для широко применяемых в технике стержней с сечением в виде неравнобокого уголка, тавра, двутавра, швеллера, прямоугольника, «креста», трапеции, треугольника (полигональные сечения). Также рассмотрены задачи о кручении стержней круговых и эллиптических сечений с краевыми зубцами, продольными выточками и полостями различной геометрии. Кроме того, получены решения для стержней прямоугольного сечения с симметричными и несимметричными прямоугольными полостями.

Появление в середине 1950-х гг. быстродействующих электронно-вычислительных машин определило дальнейшее развитие методов решения задач математической физики. С этого момента начался следующий этап, характеризующийся становлением нового направления в науке — вычислительной математики. В это время началось бурное развитие численных методов, общий принцип которых заключается в дискретизации области решения краевой задачи и использовании определенных упрощений с целью сведения процесса интегрирования дифференциальных уравнений ко множеству элементарных арифметических действий. На основе этих методов к настоящему моменту созданы пакеты прикладных программ для ЭВМ, получившие широкое применение в различных областях науки и техники. Непрерывный рост производительности ЭВМ позволил решать все более сложные задачи, построенные на нелинейных моделях поведения изу-■ чаемых объектов.

Например, в современной литературе большое внимание уделяется задачам кручения стержней из анизотропных вязкоупругих и упругопла-стических материалов, как отвечающих реально используемым решениям в технике и строительстве. При рассмотрении таких задач, как правило, используются приближенные методы.

Так, в [22,29,60] излагается метод однородных решений, с помощью которого решены задачи о кручении естественно закрученного стержня, цилиндрической пружины, кругового кольца, цилиндра с винтовой анизотропией.

Широко используются различиные варианты метода малого параметра [34,57,77,82,86-88,96]. Для решения задачи о кручении круглого стержня с глубокой прямоугольной выточкой в [23] применяется метод пограничного слоя. В работе [49] для решения задач о кручении круглого, прямоугольного и L-образного стержня в линейной постановке предлагается аналитический метод граничных состояний.

Метод компенсирующих нагрузок предлагается использовать в [46] для решения задач кручения анизотропных полых стержней с произвольным поперечным сечением. Неклассические интегральные уравнения для уравнения Лапласа, обеспечивающие повышенную точность при численной реализации, применяются в [6, 36] для решения задачи Сен-Ванана (кручение и изгиб силой цилиндрического стержня), приводятся примеры решения задачи для круга и кругового кольца. В [30] рассматривается метод декомпозиции, используемый при решении задач о кручении стержня прямоугольного сечения и уголка. В работах китайских ученых изложены результаты расчета на кручение труб овального и полигонального со скругленными углами поперечного сечения [99] и сплошного стержня с прямоугольным сечением, состоящим из набора прямоугольников с различными упругими свойствами [83]. При решении этих задач использовался метод разложения решения по собственным функциям. Вычислительные особенности применения потенциала простого слоя для расчета стержней на кручение приводятся в [38].

Приближенные методы, основанные на теории функции комплексного переменного, применяются в [48,59,98] для расчета на кручение анизотропных, изотропных и ортотропных стержней. В [89,92] изложены методы решения задач о кручении полого стержня с кольцевой поперечной выточкой полукруглого профиля и сплошного стержня с поперечным сечением в виде сектора круга, основанные на применении функций Грина.

Отдельное направление в исследованиях по кручению стержней составляет решение т.н. обратных задач, когда необходимо найти такое сечение стержня, которое бы обладало максимальной жесткостью на кручение при заданных свойствах материала и необходимых элементах сечения (полости, выточки и т.п.). Здесь можно отметить работы российских [33,43] и зарубежных [91,94,95] ученых.

Наибольшее распространение получили различные вариационные методы, среди которых следует особо отметить методы Ритца [28,39,44], Бубнова—Галеркина [13,28,62], Треффца [39,44]. Так, в [25,26] используется метод Ритца для решения задачи о кручении растянутых стержней эллиптического и правильного треугольного сечений. С помощью обобщения аналитического метода Треффца в [11,12] численно решаются задачи кручения упругих призматических стержней с поперечными сечениями в виде уголка и рамы, содержащих трещины, а также квадратного сечения с крестообразной полостью. В [97] методом Бубнова—Галеркина строятся решения задачи кручения призматических стержней произвольного поперечного сечения в условиях стесненного кручения. Этот же метод используется в работах [1,3,5,18,37,40] при решении ряда задач о кручении стержней.

В настоящее время самым популярным методом для решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов (МКЭ). Описанию этого метода посвящена обширная литература (см., например, [24,32,52,54,58]). Так, в [27] МКЭ используется для решения задачи о кручении упругого круглого стержня с прямоугольными выточками, а в [93] — с прямоугольным сплошным поперечным сечением, с прямоугольным полым сечением, разделенным балкой, и с полым сечением, ограниченным синусоидальными кривыми. В [85] МКЭ применяется для исследования влияния полуэллиптической трещины на жесткость при кручении круглого стержня. С помощью МКЭ проводится расчет на кручение стержней с многосвязным [90], L-образным сечениями различных типоразмеров [100], прямоугольным сплошным поперечным сечением и прямоугольным сечением с квадратным отверстием по центру [78].

Из анализа литературы можно сделать вывод, что определенные методы используются для решения некоторого узкого класса краевых задач, в то время как другие являются более универсальными. К первым относятся в первую очередь аналитические и приближенные аналитические методы. В число универсальных методов, приводящих к приближенным решениям краевых задач входят различные численные методы. Все приближенные методы можно объединить в следующие три группы:

1. Группа методов, обеспечивающих решение, приближенно удовлетворяющее как краевым условиям, так и дифференциальным уравнениям. В эту группу входят методы типа Рейсснера, метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР) [17,35,53];

2. Группа методов, дающих решение, точно удовлетворяющее краевым условиям и приближенно — дифференциальным уравнениям, к которой относятся методы типа Ритца, метод R-функций [50,51,61];'

3. Группа методов, предлагающих решение, приближенно удовлетворяющее краевым условиям и точно — дифференциальным уравнениям. Этой группе принадлежат методы типа Треффца, метод граничных элементов (МГЭ) [2,7-9], метод фиктивных канонических областей (ФКО) [10,15,16,79].

Повсеместное применение численных методов в полной мере выявило не только их бесспорные преимущества, но и непреодолимые недостатки. К числу последних относится невозможность надежной оценки погрешности расчетных результатов. Решения, получаемые численными методами, представляют собой массивы чисел, о погрешности которых судят по тому, как эти числа изменяются с увеличением количества разбиений заданной области. Обычно считают, что результатам можно доверять, если они перестают изменяться с измельчением сетки. Однако, в [15] на тестовых задачах, решения которых известны, показано, что численные результаты при измельчении сетки могут сходиться вовсе не к решению задачи. Таким образом, перед исследователями встает проблема надежности результатов, получаемых с помощью численных методов.

Выходом из этой ситуации может стать использование аналитических методов. Аналитический вид решения краевой задачи дает возможность надежной оценки его погрешности. Тем не менее, данные методы не обладают универсальностью численных методов и, вследствие этого, плохо поддаются алгоритмизации. По этой причине, несмотря на очевидные преимущества аналитических методов, до сих пор нет практически ни одного программного комплекса, способного получать решение широкого класса краевых задач в аналитическом виде. Исключением является работа [80], в которой описана созданная автором прикладная программа «Regions», использующая элементы систем искусственного интеллекта, для построения решений кравых задач методом фиктивных канонических областей. С помощью этой программы были получены в явном аналитическом виде приближенные решения ряда краевых задач, в том числе, для одной задачи программа нашла неизвестное ранее точное решение.

В связи с вышесказанным, тема диссертации представляется актуальной, поскольку в работе рассматриваются вопросы применения нового численно-аналитического метода интегральных суперпозиций для решения важного класса прикладных задач. Метод предложен А.Д. Чернышевым и опубликован в центральных журналах [67-76]. В настоящей работе с помощью численных экспериментов проводится анализ погрешности метода интегральных суперпозиций на примере решения новых задач о кручении упругих стержней сложного поперечного сечения, приводятся алгоритмы применения метода и оценки погрешности. Полученные результаты в дальнейшем могут быть использованы при разработке программного комплекса для решения краевых задач в областях сложной формы.

Целью работы является исследование погрешности метода интегральных суперпозиций на примере решения задач о кручении упругих стержней сложного криволинейного сечения.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были поставлены следующие основные задачи:

- сформулировать и научно обосновать применение метода интегральных суперпозиций при решении линейных краевых задач в общем виде для одно- и двусвязных криволинейных областей;

- получить оценки погрешности метода и проверить их в ходе числе-ных экспериментов на тестовых задачах с известным точным решением;

- разработать алгоритм применения и выбора расчетной схемы метода для криволинейных областей с гладкой и кусочно-гладкой границей, обеспечивающих минимально возможную погрешность приближенного решения;

- найти закономерности и дать рекомендации по применению метода интегральных суперпозиций для решения краевых задач в сложных криволинейных областях с особенностями (угловые точки, выпуклые и вогнутые участки);

- рассмотреть эффективность использованных расчетных схем и предложить возможные способы их усовершенствования.

Объект исследования. Процесс нахождения приближенного решения линейных краевых задач.

Предмет исследования. Погрешность нового численно-аналитического метода интегральных суперпозиций.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы вычислительной математики и моделирования, теории дифференциальных уравнений в частных производных, методы интерполирования функций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

1. Показана возможность применения нового численно-аналитического метода интегральных суперпозиций для решения линейных краевых задач в областях сложной криволинейной формы, отличающегося небольшой трудоемкостью и высокой точностью.

2. Приближенное решение линейной краевой задачи, полученное методом интегральных суперпозиций, имеет явный аналитический вид, точно удовлетворяет дифференциальному уравнению задачи, граничным условиям в расчетных точках, что дает возможность надежной оценки его погрешности.

3. Полученные аналитические формулы для оценки погрешности метода при решении задач в областях сложной формы позволяют до проведения расчетов оптимизировать расчетную схему метода с целью повышения точности приближенного решения.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы (теоретические положения, методики решения практических задач) могут быть использованы для приближенного решения линейных краевых задач, а также задач, сводящихся к краевым, для гладких и кусочно-гладких, одно- и многосвязных областей с неоднородными граничными условиями 1-го, 2-го или 3-го рода, а также, если граничные условия заданы разрывно.

На защиту выносятся:

1. Алгоритмы использования метода интегральных суперпозиций для решения линейных краевых задач в областях сложной криволинейной формы;

2. Эмпирические оценки точности метода интегральных суперпозиций;

3. Приближенное решение задачи о кручении упругого круглого стержня с продольной круговой выточкой;

4. Возможность получения эффективных расчетных схем для кусочно-гладких областей.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы доложены и обсуждены на IV Российской научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2003», г. Воронеж, 24-26 сентября 2003 г.; II конференции молодых ученых научной школы академика В.В. Новожилова, г. Санкт-Петербург, 17-18 апреля 2003 г.; Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 24-28 мая 2004 г.; V Международной научно-технической конференции «Авиакосмические технологии «АКТ-2004», г. Воронеж, 22-24 сентября 2004 г.; Международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 12-17 сентября 2005 г.; XLI, XLII отчетных научных конференциях ВГТА за 2002, 2003 гг., г. Воронеж, 2003, 2004 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы следующие работы:

1. Даныпин, А. А. Метод интегральных суперпозиций в задаче о кручении упругого стержня с продольной круговой выточкой // Авиакосмические технологии «АКТ-2004» Тр. пятой Междунар. науч.-техн. конференции. - Воронеж: ВГТУ. - 2004. ч.2. - С. 26-32

2. Даныпин, А.А. Погрешность метода интегральных суперпозиций для областей с кусочно-гладкой границей / / Современные проблемы механики и прикладной математики: Сб. трудов международной школы-семинара. - Воронеж: ВГУ. - 2004. ч.1, Т.1. - С. 179-182

3. Даныпин, А.А. Эффективная расчетная схема метода интегральных суперпозиций // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сб. трудов международной школы-семинара. - Воронеж: ВГУ. -2005. ч.1. - С. 121-126

4. Чернышов, А.Д. Исследование погрешности метода суперпозиций одномерных решений в задачах теплопроводности / А.Д. Чернышов, А.А. Даныпин // Вестник ВГТУ, серия «Энергетика», -Воронеж. — 2002. вып.7.2. - С. 20-25

5. Чернышов, А.Д. Влияние неравномерного разбиения границы на погрешность в методе суперпозиций / А.Д. Чернышов, А.А. Даныпин // Авиакосмические технологии «АКТ-2003» Тр. четвертой Российской науч.-техн. конференции. - Воронеж: ВГТУ. — 2003. ч.1. — С. 221-228

6. Чернышов, А.Д. Применение метода малого параметра в задачах о кручении упругих стержней криволинейного сечения / А.Д. Чернышов, А.А. Даныпин // Нелин. проблемы механики и физики деформируемого тв. тела: Сб, трудов научной школы академика В.В. Новожилова. - СПб: СПбГУ. - 2003. вып.7. - С. 213-222

7. Чернышов, А.Д. Оценка погрешности метода суперпозиций одномерных решений в нестационарных задачах теплопроводности / А.Д. Чернышов, А.А. Даныпин, Н.А. Чернышов // Инженерно—физический журнал. - 2004. Т.77. №4. - С. 27-30

Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 128 страницах, включает 47 рисунков и 9 таблиц; состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 100 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в ходе выполнения диссертационной работы были получены следующие основные результаты:

1. Сформулирован и научно обоснован численно-аналитический метод интегральных суперпозиций для приближенного решения линейных краевых задач в сложных одно- и многосвязных криволинейных областях с различными граничными условиями. Полученное с помощью данного метода решение имеет явный аналитический вид, точно удовлетворяет дифференциальному уравнению задачи и граничным условиям в точках дискретизации границы области, между этими точками граничные условия выполняются приближенно.

2. Исследована погрешность метода при решении задач о кручении упругих стержней правильного треугольного, эллиптического, кругового и квадратного сечений. На основе сопоставления с точными решениями задач для этих областей получены эмпирические оценки погрешности. Выявлена высокая точность метода при решении краевых задач для выпуклых односвязных областей с гладкой и кусочно-гладкой границей.

3. Проведен анализ погрешности метода для сложных криволинейных областей с особенностями типа угловых точек и протяженных чередующихся выпуклых и вогнутых участков границы. На основе этого анализа предложен алгоритм выбора расчетной схемы, оптимальной в смысле минимума погрешности. Для односвязной круговой области с круговым вырезом получена оценка погрешности метода в виде аналитической формулы, учитывающая параметры расчетной схемы и геометрические характеристики области.

4. С учетом предложенного алгоритма и найденной оценки погрешности получено приближенное решение задачи о кручении стального стержня кругового сечения с продольной круговой выточкой, контур которой пересекает внешний участок границы под острым углом. Приведены аналитические выражения для расчета касательных напряжений и жесткости на кручение для данного стержня. Расчитаны максимальные значения погрешности функции напряжений и касательных напряжений на границе области поперечного сечения стержня.

5. Предложены варианты повышения численной эффективности использованных расчетных схем, позволяющие существенно повысить точность приближенного решения краевой задачи и уменьшить вычислительные затраты.

6. В результате проделанной работы выявлены закономерности в зависимости погрешности метода от формы области и параметров расчетной схемы, позволяющие до проведения вычислений оптимизировать алгоритм расчета приближенного решения с целью повышения его точности и снижения вычислительных затрат.

1. Акудеико Л.Д. Эффективный численно-аналитический метод решения нелинейных вариационных задач механики / Л.Д. Акуденко, С.В. Нестеров // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. - 2001. №6. - С. 77-82

2. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований М.: Изд-во Ассоц. строит, вузов, 2000. - 754 с.

3. Алиев К.А. Кручение круглого цилиндрического бруса, армированного круглыми стержнями // Спектр, теория операторов и ее прил. -1998. Т.8. С. 223-227

4. Арутюнян Н.Х. Кручение упругих тел / Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян М.: Физматгиз, 1962. - 688 с.

5. Базаренко Н.А. Операторный метод решения плоской задачи теории упругости // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. №3. С. 73-83

6. Бахтин К.Г. Интегральные уравнения в задачах расчета кручения стержней / К.Г. Бахтин, В.Н. Михайлов // Мат. мех. 2003. №5. -С. 147-150

7. Бенержди П. Метод граничных элементов / П. Бенерджи, Р. Баттер-филд М.: Мир, 1984. - 494 с.

8. Бреббия К. Методы граничных элементов / К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел М.: Мир, 1987. - 524 с.

9. Бреббия К. Применение метода граничных элементов в технике / К. Бреббия, С. Уокер М.: Мир, 1982. - 248 с.

10. Вабищевич П.Н. Численное исследование задач упругого кручения цилиндрических стержней // Мат. моделир. 1998. Т.10. №1. - С. 63-72

11. Власов В.И. Метод вычисления коэффициентов интенсивности напряжений / В.И. Власов, C.JI. Скороходов // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2001. №3. - С. 186-187

12. Галеркин Б.Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок // Вестник инженеров -1915. Т.1. №19. С. 897-908

13. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С.К. Годунов, А.Г. Антонов, О.П. Кири-лкж. В.И. Костин 2 е изд., перераб. и доп. - Новосибирск: Наука, 1992. - 360 с.

14. Гладкий C.JI. О возможностях метода фиктивных канонических областей для решения задач теории упругости / C.JI. Гладкий, Н.И. Симакина, JI.H. Ясницкий // Динамика и прочность машин. Вестник ПГТУ. Пермь: Изд. ПГТУ, 2000. №. - С. 114-122

15. Гладкий C.JI. Об оценке погрешости метода фиктивных канонических областей / C.JI. Гладкий, JI.H. Ясницкий // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2002. №6. - С. 69-75

16. Годунов С.К. Разностные схемы / С.К. Годунов, B.C. Рябенький М.: Наука, 1977. - 440 с.

17. Губа А.В. О кручении призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации / А.В. Губа, JI.M. Зубов // Прикладная математика и механика. 2002. Т.66. №2. - С. 316-324

18. Данынин А.А. Метод интегральных суперпозиций в задаче о кручении упругого стержня с продольной круговой выточкой // Авиакосмические технологии «АКТ—2004» Тр. пятой Междунар. науч.-техн. конференции. Воронеж: ВГТУ. - 2004. ч.2. — С. 26-32

19. Даныпин А.А. Погрешность метода интегральных суперпозиций для областей с кусочно-гладкой границей // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сб. трудов международной школы-семинара. Воронеж: ВГУ. - 2004. ч.1, Т.1. — С. 179-182

20. Данынин А.А. Эффективная расчетная схема метода интегральных суперпозиций // Современные проблемы механики и прикладной математики: Сб. трудов международной школы-семинара. Воронеж: ВГУ.- 2005. ч.1.-С. 121-126

21. Друзь А.Н. Однородные решения задачи Сен-Венана для естественно закрученного стержня / А.Н. Друзь, Н.А. Поляков, Ю.А. Устинов // Прикладная математика и механика. 1996, Т.60. №4. - С. 660-668

22. Залунина А.А. О концентрации напряжений в глубокой выточке в задаче кручения / А.А. Залунина, Ю.В. Петров // Вестник СПбГУ. -1998. Сер.1. №3. С. 71-74

23. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике М.: Мир, 1975. -541 с.

24. Зонов Д.В. Приближенное решение задачи кручения призматических стержней с треугольным поперечным сечением при больших деформациях // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки 1998. №4. - С. 44-46

25. Зонов Д.В. Приближенное решение задачи кручения призматических стержней эллиптического поперечного сечения при больших деформациях // Изв. Ростов, гос. строит, ун-та. 1999. №4. - С. 56-60

26. Иванов Б.С. Решение задачи о кручении некруглых тел методом конечных элементов // Машиноведение. 1997. №5. С. 134-140

27. Канторович JI.B. Методы приближенного решения уравнений в частных производных / Л.В. Канторович, В.И. Крылов М.-Л.: ОНТИ, 1936. - 528 с.

28. Каргин Д.П. Однородные решения и задачи Сен-Венана для винтовой пружины / Д.П. Каргин, Н.В. Курбатова, Ю.А. Устинов // Прикладная математика и механика. 1998. Т.62. №4. - С. 690-698

29. Клабукова Л.С. Метод декомпозиции в задачах кручения стержня прямоугольного сечения и уголка / Л.С. Клабукова, Г.И. Пшеничнов, Е.А. Яковлева // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1996. №4. С. 181-190

30. Колосов Г.В. Применение комплексных диаграмм и теории функций комлексной переменной к теории упругости М.-Л.: ОНТИ, 1935. -224 с.

31. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 208 с.

32. Коробко А.В. Геометрическое моделирование формы области в двухмерных задачах теории упругости и строительной механики: дис. . д-ра техн. наук. Орел. 2000. - 331 с.

33. Космодемьянский А.А. (мл.) О кручении стержней с сечением, близким к круговому // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1997. №5. - С. 169172

34. Курант Р. О разностных уравнениях математической физики / Р. Курант, К. Фридрихе, Г. Леви // Успехи матем. наук. 1940. вып.8. -С. 125-160

35. Кучер В.А. Интегральные уравнения задачи Сен-Венана и задачи об антиплоской деформации / В.А. Кучер, В.А. Пупырев // Прикладная математика и механика 2002. Т.66. №3. - С. 465-469

36. Кязимова Р.А. Нелинейное кручение круглого стержня, армированного продольным круговым стержнем // Спектр, теория операторов и ее прил. 1997. №6. - С. 227-230

37. Ларионов Г.И. Исследование вычислительных особенностей применения потенциала простого слоя для расчета валов на кручение // Вопр. химии и хим. технол. 2002. №1. - С. 116-120

38. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости М.: Гостехиздат, 1943. - 287 с.

39. Ломакин Е.В. Кручение стержней с зависящими от вида напряженного состояния упругими свойствами // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. -2002. №4. С. 30-38

40. Лурье А.И. Теория упругости М.: Наука, 1970. - 939 с.

41. Ляв А.Е. Математическая теория упругости М.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

42. Мануйлов Г.А. Геометрические оценки жесткости и касательных напряжений при свободном кручении призматических упругих стержней // Проблемы теории и практики в инженерных исследованиях. 1998. т. - С. 160-162

43. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике М.: Наука, 1970. - 512 с.

44. Мусхелишвилли Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости М.: Изд-во АН СССР, 1949. - 707 с.

45. Нескородев Р.Н. Решение задач кручения и изгиба анизотропных полых стержней с произвольным поперечным сечением при помощи фундаментальных функций // Прикл. мат. и мат. моделир.: Тр.

46. Междунар. симп. «Методы дискрет, особенностей в задачах мат. физ.», Феодосия, 26-29 июня. 1997. - С. 144-146

47. Новацкий В. Теория упругости М.: Мир, 1975. - 872 с.

48. Огарков В.Б. Об одном алгоритме решения статических и динамических задач теории кручения, изгиба упругих стержней и теплопроводности //7 Четаев. конф. «Анал. мех., устойчивость и упр. движением», Казань, 10-13 июня. 1997. - С. 154-159

49. Пеньков В.Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики / В.Б. Пеньков, В.В. Пеньков // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т.2. №2. - С. 115-137

50. Рвачев B.JT. Кручение стержней сложного профиля: учеб. пособие / B.J1. Рвачев, И.В. Гончарюк Харьков: ХПИ, 1973. - 104 с.

51. Рвачев B.JT. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности / В.Л. Рвачев, Н.С. Синекоп Киев: Наук, думка, 1990. - 216 е.

52. Розин J1.A. Метод конечных элементов в приложении к упругим системам М.: Стройиздат, 1977. - 128 с.

53. Самарский А.А. Теория разностных схем: Уч. пособие для студ. вузов М.: Наука, 1989. - 616 с.

54. Сегерлинд JL Применение метода конечных элементов М.: Мир, 1979. - 392 с.

55. Сен-Венан Б. Мемуар о кручении призм. Мемуар об изгибе призм. -М.: Физматгиз, 1961. 518 с.

56. Сорокин В.Г. Марочник сталей и сплавов /В.Г. Сорокин, А.В. Волос-никова, С.А. Вяткин и др; под общ. ред. В.Г. Сорокина М.: Машиностроение, 1989. - 640 с.

57. Спорыхин А.Н. Метод возмущений в задачах упругопластического кручения стержней / А.Н. Спорыхин, Ю.Д. Щеглова // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. №5. С. 54-64

58. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс- М.: Мир, 1977. 351 с.

59. Угодчиков А.Г. Решение задач теории упругости методами функций комплексного переменного. Н. Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та,2001. 395 с.

60. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М.: Физ-матлит, 2003. - 128 с.

61. Тарсис Е. Ю. Метод R-функций для решения задач теории упругости составных тел на основе смешанных вариационных принципов // Доп. Нац. АН Украши. 2002. №1. - С. 63-69

62. Флетчер К. Численые методы на основе метода Галеркина / Пер. с англ. JT.B. Соколовской; под ред. В.П. Шидловского. М.: Мир, 1988.- 352 с.

63. Чернышов А.Д. Исследование погрешности метода суперпозиций одномерных решений в задачах теплопроводности / А.Д. Чернышов, А.А. Даныпин // Вестник ВГТУ, серия «Энергетика». Воронеж. —2002. вып.7.2. С. 20-25

64. Чернышов А.Д. Оценка погрешности метода суперпозиций одномерных решений в нестационарных задачах теплопроводности / А.Д. Чернышов, А.А. Данынин, Н.А. Чернышов // Инженерно-физический журнал. 2004. Т.77. №4. - С. 27-30

65. Чернышов А.Д. Решение нестационарных задач теплопроводности для криволинейных областей при помощи прямого построения собственных функций // Инженерно-физический журнал. 2004. Т.77. №2. - С. 160-166

66. Чернышов А.Д. Об одном методе решения линейных динамических задач теории упругости // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2000. №5. -С. 131-142

67. Чернышов А.Д. Динамические плоские краевые задачи для криволинейных термовязкоупругих тел // Прикл. мех. и теор. физика. 2005. Т.46. №2. — С. 158-169

68. Чернышов А.Д. Применение аппарата собственных функций при решении динамических задач для криволинейных областей // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2005. №3. - С. 66-73

69. Чернышов А.Д. Нестационарное течение вязкой жидкости в трубе треугольного сечения // Механика жидкости и газа. 1998. №5. - С. 199203

70. Чернышов А.Д. Динамические задачи для упругого стержня треугольного сечения при плоской деформации // Докл. Российской академии наук 2003. Т.392. №3. - С. 346-349

71. Чернышов А.Д. Решение плоской, осесимметричной и пространственной однофазной задачи Стефана // Инженерно-физический журнал. 1974. Т.27. №2. - С. 341-350

72. Чернышов А.Д. Точные решения нестационарных задач теплопроводности для полупространства и треугольной призмы / / Инженерно-физический журнал. 1998. Т.71. №4. - С. 749-754

73. Чернышов А.Д. Решение первой и второй краевых задач нестационарной теплопроводности для треугольной области / А.Д. Чернышов, О.П. Резцов // Инженерно-физический журнал. 2000. Т.73. №5. -С. 911-917

74. Чернышов А.Д. Задачи теплопроводности для угловой области с внутренним источником // Инженерно-физический журнал. 2003. Т.76. №4. - С. 150-155

75. Шешенин С.В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых краевых задач механики деформируемого твердого тела // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1997. №2. - С. 21-26

76. Шляхов С.М. Кручение призматического бруса при его поверхностной цементации / С.М. Шляхов, Г.П. Пономарева // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред. -2000. Ш. С. 49-54

77. Ясницкий JI.H. Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред. М.: Гл. ред. физ. мат. лит., 1992. - 126 с.

78. Ясницкий JI.H. Введение в искусственный интеллект: уч. пособие по спецкурсу Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2002. - 143 с.

79. Aleynikov S.M. Comparision of complex methods for numerical solutions of boundary problems of the Laplace equation by efficiency / S.M.

80. Aleynikov, A.V. Stromov j j Eng. anal, with bound, elem. 2003. №6. Vol. 28. - P. 615-622

81. Buracu V. Approximate prandtl functions for regular polygons / V. Buracu, A. Alecu // Sci. Bull. D. 1999. №1-2. Vol. 61. - P. 375-383

82. Chen T. Torsion of a rectangular checkerboard and the analogy between rectangular and curvilinear cross-sections // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 2001. №2. Vol. 54. - P. 227-241

83. Coulomb C. A. Recherches theoriques et experiment ales sur la force de torsion, et sur l'elasticite des fils de metal // Historire de 1'Academie Royale des Sciences annee 1784. 1787. — P. 229—269

84. Da Fonte M. Stress Intensity Factors for semi-elliptical surface cracks in round bars under bending and torsion / M. Da Fonte, M. De Freitas // Int. J. Fatigue. 1999. №5. Vol. 21. - P. 457-463

85. Dell'Isola F. An extension of Kelvin and Bredt formulas / F. Dell'Isola, L. Rosa // Math, and Mech. Solids. 1996. Vol. 1. - P. 243-250

86. Dell'Isola F. Outlooks in Saint Venant theory. Part II. Torsional rigidity, shear-stress «and all that» in the torsion of cylinders with section of variable thickness / F. Dell'Isola, L. Rosa // Arch. Mech. 4. 1996. Vol. 48. - P. 753-763

87. Dell'Isola F. Outlooks in Saint-Venant theory. Part III. Torsion and flexure in sections of variable thickness by formal expansions / F. Dell'Isola, G.C. Ruta // Arch. Mech. 1997. №2. Vol. 49. - P. 321-343

88. Dong Zh. On torsion of prismatic bars with sectorial cross-sections / Zh. Dong, H. Zhao, Y. Cao // Zhongguo kuangye daxue xuebao. 1997. №3. Vol. 26. - P. 105-109

89. Ecsedi I. Relations for the torsion of nonhomogeneous cylindrical bars // J. Comput. and Appl. Mech. 2001. №2. Vol. 2. - P 189-194

90. Grbic D. Resavanje problema torzije stapa poligonalnog poprecnog preseka pomocu B-splajna / D. Grbic, Z. Bojovic // Tehnika. 2001. №6. Vol. 56.- P. NG19-NG23

91. Hasegawa H. Torsion of an elastic thich walled cylinder with a semicircular notch / H. Hasegawa, H. Akiyama, Sh. Takahashi // Nihon kikai gakkai ronbunshu. 1998. A 619. Vol. 64. - P. 656-660

92. Jablonski T.F. Torsion of a saint-venant cylinder with a non-simply connected cross-section / T.F. Jablonski, XJ. Andreaus // Eng. Trans.- 1999. №1. Vol. 47. P. 77-91

93. Kim Y.Y. Topology optimization of beam cross sections / Y.Y. Kim, T.S. Kim // Int. J. Solids and Struct. 2000. №3. Vol. 37. - P. 477-493

94. Lederman C. An optimization problem in elasticity // Prepr. Trab. mat. ' 241. 1994. - P. 1-31

95. Mishuris G. S. Asymptotic expansion of solution of the torsion problem for an elastic rod with a cavity and a thin bonded multilayer // Arch. Mech. 1997. №1. Vol. 49. - P. 35-48

96. Reagan S.W. Constrained torsion of prismatic bars / S.W. Reagan, W.D. Pilkey // Finite Elem. Anal, and Des. 2002. №10. Vol. 38. - P. 909-919

97. Ri H.G. Warping function of the twisting bar / H.G. Ri, C.S. Jon // Suhak. 1998. №2. - P. 42-44

98. Wang C.Y. Torsion of tubes of arbitrary shape // Int. J. Solids and Struct.- 1998. Vol. 35. P. 719-731

99. Wei X. Torsion of angle-bar // Lixue yu shijian 1996. Vol. 18. №5 -P. 69-71