автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Теория изыскания наилучших геодезических проекций

МЩЩСГЕРСГВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный университет геодезии и картографии

ПОДШИВАЛОВ ВЛАДИМИР ПАВЛОВИЧ

ТЕОРИЯ ИЗЫСКАНИЯ НАИЛУЧШИХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ

Спещшлыжть 05.24.01-Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

УДК 528.23

На правах рукописи

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре прикладной геодезии и фотограмметрии Полоцкого государственного университета

Научный консультант Доктор технических наук профессор Л. М. Бугаевский

Официальные оппоненты: Доктор технических наук профессор В. В. Бойков Доктор технических наук профессор В. И. Иванов Доктор технических наук профессор Ю. И. Маркузе

Ведущая организация - указана в решении диссертационного сове-

Защита состоится " " _199^ г. в часов на

заседании диссертационного совета Д. 063.01.01 при Московском государственном университете геодезии и картографии по адресу: 103064, Москва, К - 64, Гороховский пер., 4 ( ауд. 321 ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУГК Автореферат разослан " и ^_199^'г.

Ученый секретарь

диссертационного совета С. А. Сладкопевцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современное состояние развитая мировой науки и техники, а также накопленный опьгг производства геодезических, топографических и картографических работ обеспечивают возможность широкого внедрения принципиально новых измерительных технологий, в том числе рациональное и продуктивное испога^вание спутниковых геодезических систем ГЛОНАСС (РФ) и GPS - NAVSTAR (США). Это вьщвигаег новые требования как по оперативности, так и точности к накоплению, отображению, математической обработке и выдаче информации о поверхности Земли и объектах на ней, основанных на использовании компьютерных технологий, базирующихся на математическом и программном обеспечении, обладающем общностью подхода и привод ящем к оптимальному решению определенных классов задач.

Сочетание современных измерительных, обрабатывающих и отображающих технологий позволяет создавать геоинформационные системы, обеспечивающие достаточно точный учет и рациональное использование ресурсов, а также преобразования земной поверхности в wrrepecax человечества как в глобальном, так и региональном масштабах.

В области геодезических измерений и их математической обработки следует отметить достижение, не имеющее аналогов во всем мире. На территории бывшего Советского Союза совместными усилиями геодезистов ныне независимых государств создана единая геодезическая основа, взаимное плановое положение пунктов которой, оцененное по результатам уравнивания, характеризуется средними квадратичеосими погрешностями порядка; 0.030.07 м. Практическое применение в настоящее время современной аппаратуры и спутниковых методов на основе приемников GPS и ГЛОНАСХЗ представляет качественно новые возможности как по оперативности, так и точности координатных определений, недостижимые традиционными геодезическими методами. Сейчас можно утверждать, что уже разработанные спутниковые приемники тала Trimble, Ldca, Ashtech станут по крайней мере на ближайшие 10-15 лег стандартной геодезической аппаратурой, каковой до настоящего времени были теодолиты, свегодальномеры, нивелиры. В связи с этим актуальной в настоящее время задачей является разработка математических методов совместной обработки в соответствующей координатной среде банков референцных и общеземных геодезических данных с целью модернизации государственной геодезической основы, направленной на ее сгущение и повышение точности, оперативное формирование математически упорядоченного геодезического обоснования для различных объектов, что позволит существенно расширить круг научных и технических задач, надлежащим образом обеспечиваемых геодезическими данными.

Развитие международного сотрудничества и коммуникаций предполагает над лежащее обеспечение международных проектов, что возможно в рамках единой мировой системы координат на поверхности соответствующего

эллипсоида и на плоскости самых различных геодезиче$зсих проекций. Стандартной системе геодезических координат \VGS-84, ГО 90 или другой должна соответствовать стандартная, универсальная, гибкая и достаточно точная система плоских прямоугольных координат в наилучших геодезических проекциях с соответствующим математическим обеспечением, отвечающим современному уровню развития компьютерных технологий.

Анализ геодезических проекций, применяющихся в настоящее время в различных странах, указывает на то, что каждая из них обладает как достоинствами, так и недостатками применительно к тем или иным условиям, их выбор обусловлен главным образом удобством создания общегосударственной системы плоских прямоугольных координат и возможностью разработки приемлемых наставлений и инструкций д ля пользователей. При этом, естественно, для решения локальных задач, например, при создании специальных высокоточных инженерно - геодезических построений такие системы неудобны и здесь применяются локальные системы координат, часто не связанные с общегосударственной, но обеспечивающие минимальные искажения эллипсоидальных элементов на плоскости.

С точки зрения математического обеспечения самых различных геодезических проекций отмечается подавляющее преобладание проекций, полученных на основе теории конформных отображений поверхностей. При оценке достоинств геодезических проекций учитывается их точность, удобство вычислений и величина искажений метрических элементов эллипсоида при их отображении на плоскости.

При этом следует отметить, что наряду с глубокими и всесторонними исследованиями в области теории и практики картографических проекций, геодезические проекции, несмотря на известные исследования их отдельных вариантов, не получили должного обобщенного анализа с целью изыскания их оптимальных или наилучших взаимосвязанных вариантов, что можно объяснить большим объемом вычислений и их трудоемкостью в геодезических проекциях при вычислениях вручную. В современных условиях с широким использованием ЭВМ становится возможным и оправданным формирование общей теории изыскания наилучших геодезических проекций для решения как научных, так и практических задач в самых различных условиях.

Теория конформных отображений построена на уравнениях Лапласа, представляющих собой дифференциальные уравнения второго порядка эл-лшпического типа в частных производных, которые устанавливают совместно с дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных Коши - Римана условия изометрического преобразования координат на поверхностях с помощью аналитических функций общего вида, которые в данном случае являются гармоническими. В этом заключается основное преимущество конформных отображений, так как их исследования сводятся к задачам теории поверхностей.

Основы теории исследуемой проблемы заложены выдающимися учеными К. Гауссом, Л. Эйлером, Н. Тиссо, Ж. Лагршшем, П. Чебышевым, Д. Граве, М. Лаврентьевым и др. Дальнейшее развитие теория картографических и геодезических проекций получила в исследованиях И. Ламберта, Р. Бонна, Н.Делиля, Ф.Шуберта, В. Каврайского, А.Маркова, Ф. Крашвского, В. Витковского, М. Соловьева, Н. Урмаева, В. Морозова, В. Христова, Л. Бугаевского, Л. Вахрамеевой, Г. Мещерякова, Г. Кону совой, А. Лисичанского, А. Павлова и др.

Формирование информационного пространства, допускающего различную степень обобщения и вычленения элементов, его составляющих, с вполне определенной и достаточной точностью, предполагает применение ма пиитических методов его отображения в соответствующей координатной среде. Такая среда, как показывает опыт, может быть создана на основе геодезических проекций, которые обеспечивают высокую точность отображения, технология практического применения геодезических проекций детально аграбогана. Вместе с этим стремительный уровень развития современных измерительных технологий и внедрение компьютерной техники в математическую обработку измерений предполагают применение математических методов, обеспечивающих обобщенное описание и исследование геодезических проекций, без чего невозможно создание универсальных алгоритмов и программ для ЭВМ по отысканию наилучших и взаимосвязанных вариантов проекции для достижения оптимальных условий решения самых различных задач. Этим определяется акту альность проблемы, решение которой рассматривается в диссертации.

Целью настоящей работы является создание теории изыскания конформных геодезических проекций, обеспечивающей возможность обобщенного исследования, взаимосвязи и альтернативной оценки достоинств и недостатков самых различных, в том числе известных, геодезических проекций с точки зрения их соответствия критерию Чебышева - Граве о наилучших проекциях применительно к условиям решаемой задачи.

Работа посвящена исследованию общих методов организации вычислений в рамках отображения односвязных областей регулярных поверхностей, допускающих получение вычислительного алгоритма для широкого спектра конформных геодезических проекций с моделируемыми в известных пределах свойствами, удобного для реализации на ЭВМ. Такой подход имеет важное значение и, мы надеемся, найдет самое широкое применение при выборе оптимальных систем плоских прямоугольных координат для отдельных государств, регионов, а также для решения специальных задач локального характера, требующих минимально возможных искажений и максимально возможной точности их учета.

Общий подход и универсальный метод анализа геодезических проекций, допускающие изыскание вариантов, удовлетворяющих критерию Чебышева-Граве о наилучших проекциях, на основе единого

вычислительного алгоритма, не имеют аналогов и представляют собой новое научное направление, обеспечивающее в современных условиях отималык*,; решение следующих задач на плоскости геодезических проекций:

— изыскание и автома 1 ическом режиме с широким использованием компьютерных технологий наилучших геодезических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева -1 раве, применительно к произвольным по ферме границ территориям и для решения различных задач;

— обобщенный альтернативный анализ геодезических проекций, применяемых в различных государствах дня решения самых разнообразных специальных задач как с точки зрения характеристик искажений, так и удобства их пракгическо! о прима м |ия;

— использование методов дифференциальной геометрии и теории поверхностей для описания элементов геометрических образов в конформных отображениях одпосвязных областей регулярных поверхностей на основе общих для рассматриваемого класса конформных отображений выражений, удобных для вычислений на ЭВМ и обеспечивающих с необходимой точностью связь в полярных координатах на отображаемых поверхностях, что необходимо иметь в геодезических проекциях при редуцировании измерений;

варьирование распределением искажений и их минимизация внутри изображаемой области в рамках общего алгоритма вычислений с целью изыскания наилучшей геодезической проекции, отвечающей критерию Чебышева -Граве;

— трансформация по общей методологии и алгоритму известных конформных картографических проекций в геодезические, удовлетворяющие критерию Чебышева - Гране о наилучших проекциях;

анализ влияния изма гений параметров и ориентировки земного эллипсоида в геодезических проекциях на основе общих дифференциальных формул;

— расширение круга потребителей и большая доступность измерительных спутниковых систем вРЯ и ГЛОНАСС путем использования в их математическом и программном обеспечении общей теории и алгоритма вычислений в геодезических проекциях;

— формирование гибкой координатной среды геоинформационных систем, приспособляемой к условиям решаемой задачи и наилучшим образом обеспечивающей отображение информации на плоскости геодезической проекции.

Перечень решаемых задач определяет научное и практическое значение исследований.

Принципиальное огличие и научная новизна исследований,выполненных в настоящей работе, состоит в обобщенном анализе геодезических проекции с целыо получения их наилучших вариантов, отвечающих критерию Чебышева - 1 'раве, при этом обеспечиваются: во-первых, достаточно высокая для современных измерений точность вычислений всех ком-

понентов геодезической проекции; во-вторых, на основании общих формул для вычислений, независимо от вида геодезической проекции, возможность состапления унифицированных программ для ЭВМ по решению самых разнообразных задач; в-третьих, представляется возможность автоматизации не только вычислений в широком классе геодезических проекций, но и выбор их наилучшего варианта, обусловленного конкретными условиями решаемой задачи.

На защиту выносятся следующие положения:

— общая теория алгоритмического описания конформных геодезических проекций, допускающая моделирование величины и распределения линейных искажений для ограниченных по размерам областей;

— общая методология преобразования конформных картографических проекций, в том числе получаемых на основе поликонических в широком смысле проекций Лагранжа, удовлетворяющих критерию Чебышева - Граве, в геодезические при отображении малых областей;

— общие принципы формирования наилучших композиционных геодезических проекций на основе известных в математической картографии методов и возможностей обобщенного алгоритмического описания отдельных проекций, их составляющих;

В настоящую работу включены основные результаты исследовании, выполненных лично автором.

Основные положения диссертации докладывались автором и одобрены:

- на IV Всероссийском форуме "Геоинформационные технологии. Управление. Природопользование. Бизнес" ( Москва, 1997 г.);

- на республиканской научно-технической конференции "Геодезия, картография и кадастры" (111 У, г. Новоподоцк, март 1997 г.);

- на научно-техническом совете Белорусского Государственного Комитета по земельным ресурсам, геодезии и картографии ( г. Минск, январь 1998 г.);

- на международной научно-технической конференции, посвященной 100 - легию со дня рождения профессора И. В. Зубрицкого ( БСХА, г. Горки, февраль 1998 г.)

По теме диссертации опубликована научная монография объемом 125 страниц и 12 научных статей.

Диссертация состоит из нведения, пяти глав основной части, выводов, списка из 87 использованных источников, таблиц 30, общий объем составляет 183 страницы машинописного текста

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:

Во введении обоснован выбор направления научных исследований, их актуальность, научное и праютчгасое значение в современных условиях, приведен анализ состояния вопроса, роль и вклад российских ученых и

ученых других стран, исследования которых положены.в основу диссертационной работы.

В первой главе диссергпаиии "Конформное отображение поверхностей" изложены в краткой форме основные положения теории конформных отображений для односвязных областей рстулярш.к поверхностей, а также определены необходимые и достаточные условия, определяющие возможность надлежащего алгоритмического описания этой теории, удобного для реализации на ЭВМ.

Если линейные элементы поверхностей заданы в изометрической параметризации

=

dG22 = X22(u2,v2)(du22+dvг2)\

(1)

то связь в координатах от принятого начала выражается гармоническими выражениями

А и2 = и2 - и

02 — Е с^Р^ )=1

Av ? = V, -v02 = Е с,£>

Э 3

Ли, =и2-и0}= 2 Р^

¿ivl = ^ 1-^01 = где гармонические полиномы имеют выражения.

(2)

(3)

= -1р1 1-101

-¡Я, + 2j.JP,

= Р'

1-1 О! = Р'

Р\

(Э = 1,2,3,..., л)

Здесь и в последующих рассуждениях следует принять начальные условия: рд = р'0 = 1; д0 = д' = 0, а коэффициенты Су и Су постоянны для всей изображаемой области и являются производными по изометрическим координатам от функций ( 1 ), они определяют вид проекции.

Частные производные, описывающие теорию конформных отображений, получают общие для любого вида конформной проекции выражения ( 4 ) и ( 5 ), удобные для вычислений на ЭВМ. Число членов разложений у в ( 2 ), ( 3 ) ив последующем зависит от размеров изображаемой области и необходимой точности вычислений метрических элементов.

=

к2 =

ок2 п-г л

ЗА", л-1 . . ч

= 7ГГ- = - = +

л —2

=

ди2 дv 2

дv 2 ди1

ди2

д\г г

дкг _

ди1 ду1

дк3 дк,

д\гг ди1

дк3 дк4

ди1 дv 2

дк3 _ _

д V1

дТг Эи,

ди2

ди,

диг дv1

дк\ 8к\

8иг

дк\ дк\

ди2

дк\ дк\

8иг дv1

дк\ дк\

дv1 диг

;(4)

к\ =

" 1 А 0-0

к\ = "

■= ^О' + ^' + гК^об'о-.)

9 я.,

(5)

Основные характеристики проекций получают универсальные выражения:

частный масштаб длин -

ш = ^ЧМ: <6>

1 г т Ь2

сближение меридианов -

= (7)

к 2 к 2

уравнение Схольса для геодезической кривизны изображения геодезических линий одной поверхности на другой -

Г = sin a j - Г, cos а 1,

где принято

Г,

Х:т 1

1 ( дХ.

1 ( дХ,

Х2 \ди} J Xj \dujj

+

Х3т

1 дХ.

\dv 1

X,

дХ.

_i

д V -

]Cj ICj ]с 2 Jc^ kf + k¡

к. кj + к2 к 3 k¡ + k¡

Г = sina'2-r'2cosa'2,

(9)

Г\ =

дХ.

2 -3u2

X, \ди.

Г\ =

X.

ш

2

дХ}

X1 \dv.

k'f+k'l к* i к*2 з

Для производных, описывающих отображения полярных координат, имеем также универсальные уравнения для вычислений:

du, _

da 2 mX

da , 1

da, mX\

dk-, 1

da, mX,

d кг 1

da j mX,

dJr, 1

do, mX,

dkt 1

sin a,

' da 2 itiJ.,

dX,)

-- cosa -

dvj

do .

шХ,

dX ,

du.

(k3 sin a , - k4 cosa ,); (Jrs cosa , + k6 sin a ,), (Jr, cosa , - ki sin a ,);

sin a ,

; (10)

йц, _ собо , . с* V 2 _ вш а г

ао

с? а _ 1

<3а

1

с? а 2

с/*-', _ _ с!а г ~ %

Я..

сова , -

6Х1 <1 и,

эш а

+ Г:

(Л-', сова 2 + /г'4 бш а 2 );

с? ст 2

¿к-1 з

ЙО 2

с? А-'

= т—соя а 2 - бш а 2);

= сова 2 + вт а 2);

^ 2

= (Лг', сова 2 - Лг'5 в ¡па,);

(11)

с? о г X г

Заметим, что производные, вошедшие в уравнения ( 2 ) - ( 11 ), получают вполне определенные уравнениями ( 1 ) выражения и их вычисление не представляет труда.

Геодезический азимут О- 2(Ис) направления, соединяющего две

изображенные точки на другой поверхности, вычисляется по формуле

= «1(1^) -Г^ (»2)

где а ^^ — геодезический азимут направления, соединяющего точки одной поверхности, изображаемые на другой.

Изображенное геодезическое расстояние Осоединяющее на поверхности образы двух любых точек, выражается формулой

(13)

где ст - отображаемое геодезическое расстояние. В диссертационной работе приведены некоторые частные случаи для определенных пар отображаемых поверхностей, иллюстрирующие работу указанных общих формул. В частности, если речь идет об изображении на плоскость, то значения коэффициентов С } получаются из гармонического уравнения, описывающего изображение осецого меридиана

А Х = {Х-Х0)=Т.с.Р1

(Я

(14)

г

Во вгтрой главе " Теория и методология описания конформных геодезических проекций" произведен анализ ювестных и наиболее распространенных в различных странах геодезических проекций, определено то, что для них является общим и определяющим возможность их алгоритмического описания на основе общей теории конформных отображений малых областей с моделируемыми в известных пределах искажениями.

Для трех видов геодезических проекций получены выражения для коэффициентов уравнения вида (14 ), которые определяют их и обеспечивают необходимую точность вычислений всех характеристик проекций д ля определенных размеров изображаемой области: для цилиндрических проекций -

с, = г^ £ сояД; с, = sing,; с, = ■5- cos1 Д^д'Д, - v;5); v„ 2 о

c4 =^sin4co824(5-tg2^ + с.

;(15)

^ =^со8<В0(5~18сд1Д +tg% + \Aцi-5Ъr¡ltg%)■1 с4 = ^апДсоз4д(58Сд2Д -61-Сд4Д -270п'о+ЗЗ^г:д2д);

^ = ¿о008' в°(479сд^ " 61 ~179с^+

Ъ = ^апДсо8< д(1385 - 31ШдЧ+ 543Сд4Д

для азимутальных проекций -

Я^^гаД^-^апД^^ссе2 Д (2сд2Д - ^); V,, £ Ы

с4 ^япДон'Д^д^ +6г£44<); Ч = -1 ^Д + 2Сд4Д +12<-91< Сдгд);

С< -17-2tg4Д-270^+570^4);

с, = ¿сое5 Д(180Сд2Д -17-114Сд4Д +4Сд«д);

Ч ^¿^«в0 4(62-^4+60сд4Д-¿двд);

Для решения задачи по образному переходу получены значения коэффициентов по известному правилу обращения степенного ряда, обеспечивающие точность, эквивалентную прямому переходу.

12

(16)

1 _

С ! = —'С 2--3

С, с,

>с'з = ~т(~С2 ~с>сэ)

с4— 7 (5с,с2с3 с,с4 5с2) с\

с\ - -^-(бс,2с2с4 + 3с,2с3 + 14с2 - с,3с} - 21c,cjc3) ci

с\ = -^-(7с,эс2с5 + 7с,3с3с4 + 84с,с2с3 - с,4св -с.

-28с,2с2с4 -28C,2C2C2 -42С2)

с'7 = -^-(8с4с2с6 + 8с4с3с5 + 4с4с2 + 120с2с23с4 + ci

+ 180с,2с2с3 + 132с2 - с,5с, - З6с,3с2с3 -

-72с,3с2с3с4 - 12с3с3 - ЗЗОс,с2с3)

с'8= ~4т(9С/С2С7 -42 9С2 -CjCg -4 5cj'c*c6 -ci

- Э0с\с2с3с5 — 4 5с*с2с4 + 4 9 5с\с22с3с4 +

+ 1 6 5 с* с2с 5 -495с?с2с4 + 1 65c^c2cj -

- 9 9 0 Cj с2с3 +12 8 7 сгс2с 3 -4 5с*с3с4 +

-9cfc3cs + 9cfc4c 5)

для конических проекций имеем для любого П-

= -тН)0^5*)0-^' = 1.2,3,.., л).

(17)

(18)

Поскольку значение П может быть любое, практически нет ограничений по размерам изображаемой области эллипсоида на плоскости с необходимой точностью. Для обеспечения односвязности достаточно лишь ввести ограничения АВ^ = АЬ^ -< ТС. Здесь также получаем и для обратного перехода в проекциях рекуррентное выражение для коэффициентов

с.. = ^.(мп В0)(з-'\ (19)

Далее приводятся формулы, позволяющие сравнительно просто предрассчитать точность вычисления основных характеристик геодезических проекций для различных размеров изображаемой области.

Для моделирования оптимальных условий изображения различных по форме и размерам областей для всех видов геодезических проекций предусмотрена возможность выбора значения масштаба в центральной точке проекций ТПо по аналогии с тем, как это предусмотрено в проекции 1ГГМ.

Пусть мы имеем некоторую область на поверхности эллипсоида, которую необходимо отобразить на плоскости геодезической проекции с наименее возможными линейными искажениями, при этом выбрали

начальную точку с координатами В0,Ь0 • Если принять т'0 = 1,

очевидно максимальные линейные искажения, вызванные масштабом |

Л» , определяются в цилиндрической проекции в точке, имеющей А1/та1, в конической — в точке, имеющей ДВтах, а в азимутальной в точке, наиболее удаленной от начальной. Пусть мы получили эти значения Ш тах в соответствующих точках изображаемой области трех

видов проекции. Для определения значения М0, приводящего к минимизации абсолютных значений линейных искажений в любой проекции, следует выполнить условие

^тах ~ 2 = 1 -

откуда получаем

2 , (20)

2 + Л1'т,х

при этом замечаем соотношение

Ш = Л2 0 т 1 . справедливое для любой точки изображаемой области.

Возникает вопрос,как выбрать наиболее предпочтительную проекцию из трех видов. Здесь необходимо учитывать многие факторы, основным из которых, на первый взгляд, являются сложившиеся традиции в практическом применении геодезических проекций. В современных условиях, когда речь идет о создании информационных систем с широким применением компьютерных технологий, традиции, сложившиеся при ручном счете, не должны быть определяющими. В этом

случае целесообразно из значений Л2'тах, полученных в трех видах проекций для изображаемой области, выбрать значение, наименее отличное от единицы, в этом случае с помощью уравнения (20) получим геодезическую Проекцию, в которой линейные искажения по абсолютной величине будут минимальны. Здесь вполне оправдано принять значения

Ь, = + = Т(В„ + в,)

. ч „ 1

2

в цилиндрической и конической проекциях. Для азимутальной проекции значения В0, Ь0 целесообразнее всего принять соответствующими координатам центра окружности, описанной вокруг контура изображаемой области.

Исследования показывают, что таким образом предвычисленное значение Ш0 позволяет примерно вдвое уменьшить максимальные линейные искажения по абсолютной величине в сравнении с искажениями при т0 = 2 внутри изображаемой области. Если возникает вопрос

о возможностях увеличения изображаемой области при наперед заданных допустимых предельных линейных искажениях, то анализ алгоритма позволяет утверждать, что максимальные разности долгот и широт изображаемой области в цилиндрической и конической и радиус описанной вокруг изображаемой области окружности могут бьпъ увеличены в л/^Г раз по сравнению с проекциями при тд — 1-

Показано, что изменение значения ГПо с целью оптимизации линейных искажений совершенно не влияет на сближение меридианов и не изменяет порядка величины кривизны изображения геодезических линий, что позволяет сделать вывод о том, что такой путь может быть использован с целью выбора оптимального для данных условий вида геодезической проекции.

Сравнительный анализ значений коэффициентов (15)-(19) показывает, что первые два из них являются общими для всех трех видов проекций, следовательно при одинаковых начальных условиях координаты и другие характеристики различных геодезических проекций отличаются на малые величины третьего порядка, что имеет существенное значение. Теоретические выводы апробированы вычислениями на ЭВМ, приведенными в диссертации.

В третьей главе " Геодезические проекции, па основе, теории и методологии наилучших картографических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева-Граве" рассмотрена теорема Чебышева-Граве и возможность на ее основе изьккания наилучших геодезических проекций в рамках общего алгоритма вычислений. Для геодезических проекций такого класса также, как и для картографических, возникает вопрос, насколько точно изокола должна повторять контур изображаемой области. Этому вопросу уделено много внимания при изыскании наилучших картографических проекций.

В. Каврайский по этому вопросу указывал на два возможных пути решения задачи, оба из которых могут быть лишь приближенными для произвольных по форме контуров: во-первых, поиск достаточно близкой к конформной проекции, строго удовлетворяющей условию на контуре; во-вторых, поиск строго конформной проекции, приближенно

удовлетворяющей граничному условию Чебышева - Граве. Для геодезических проекций реализуется второй путь.

Это указывает на то, что любая отдельно взятая проекция из рассмотренных во второй главе имеет ограниченные возможности по приспособлению к изображаемой территории и, следовательно, не может рассматриваться как наилучшая в соответствии с критерием Чебышсва-Граве.

На примере композиции рассмотренных во второй главе проекций по известным в математической картографии принципам, а также на основе конформных поликонических проекций Лагранжа предложена общая и универсальная методология трансформации конформных картографических проекций, в том чисто и наилучших, в геодезические с использованием общего алгоритма вычислений.

Доказано, что в композиции могут участвовать не только пары, но и группы проекций, при этом достаточно получить коэффициенты композиционной проекции по формуле

С, = + к2С*1+..., (21)

в которой при выборе композиционных коэффициентов к1 , к2,— Целесообразно учесть условие

кI + Ь + ... = I-в этом случае координаты и другие характеристики композиционной проекции будут того же порядка, что и у отдельных проекций, участвующих в композиции. Вид и число проекций, в различной степени участвующих в композиции, позволяют добиться изоколы, по форме достаточно близкой к контуру границы изображаемой области, следовательно, такая проекция будет отвечать критерию Чебышева-Граве о наилучших проекциях. Формула ( 20 ) также работает и для композиционных проекций.

Перспективными представляются и другие методы исследований в области математической картографии для рационального применения общего алгоритма геодезических проекций по расширению семейства конформных отображений эллипсоида и плоскости при выборе оптимальной или наилучшей проекции при конкретных условиях. В работах Л. Бугаевского даны обобщенные подходы к анализу различных картографических проекций, приведено алгоритмическое их описание.

Для отыскания геодезических проекций, отвечающих критерию Чебышева-Граве, наибольший интерес представляют поликонические в "широком смысле" проекции, которые, с одной стороны, объединяют в себе как частные случаи цилиндрические, конические и азимутальные проекции эллипсоида на плоскости, с другой стороны, для них даны вполне определенные правила выполнения критерия Чебышева-Г'раве.

В математической картографии особое место по своим свойствам занимают поликонические проекции Лагранжа, которые имеют замкнутые формулы для вычисления основных характеристик проекций, допускают частные случаи, представляющие наибольший

интерес для целей геодезии и в некотором смысле обобщающие класс проекций, которые могут быть употребимы как геодезические. Кроме того, что из общего алгоритма проекций Лагранжа получаются как частные случаи известные геодезические проекции: коническая Ламберта (а = - sin Во), стереографическая Гаусса (а = l). в них параметр

а имеет вполне определенный геометрический смысл, a именно он определяет форму изоколы, описанную вокруг контура изображаемой области.

Если а и Ь — меридиональная и параллельная полуоси эллипса изоколы, наиболее подходящего к контуру изображаемой области, параметр ОС вычисляется по формуле Л. Бугаевского_

Г 1-СЬ/аУ

а =

1 +

■eos' В

(22)

V 1 + (ь/0

Для геодезических проекций, как уже отмечено во второй главе, целесообразно допустить ряд ограничений, позволяющих общие формулы для вычисления плоских прямоугольных координат записать в виде гармонических разложений (14). Это позволяет применить общий алгоритм геодезических проекций и для класса поликонических проекций Лагранжа. Для этого достаточно получить уравнение изображения осевого меридиана. В геодезических проекциях, как правило, речь идет об изображении на плоскости малых областей эллипсоида и здесь целесообразно ввести зональную систему геодезических координат.

В результате получаем выражения для коэффициентов геодезических проекций, которые получаются на основе поликонических в широком смысле конформных проекций Лагранжа и выполняют ту же роль, что и ранее полученные коэффициенты для цилиндрических, конических и стереографических наиболее известных геодезических проекций

с, = т.

с

—cosB. V.

с2 = —а(1 - 2d);Cj = —а2(1 - 6d + 6d2)

с, = —a'i

24

ci

С5 = ——а

120

с.

с. = ——а

6 720

ci

с, = ——с

5040

с,

(l - 62d4- 540d2 - 1560d3 + 1800d4 - 720d5)

1 - 126d + 1806d2 - 8400dJ + "j +16800d4 - 15120ds + 5040d'J f I - 254d + 5796dJ -40824d' + 126000d4 40320 ~ v-191520d5 + 141120d' - 40320d' J

а

(23)

Здесь принято обозначение

_ а + sin В 0

Как известно, проекции Лагранжа допускают не только отмеченные ранее частные случаи. Полагая в (23) (X = 0, имеем в цилиндрических проекциях Лагранжа

с2 = с3 =. ,.= сл =0; I

кг= к3 — к4 =...= кп — О; к2 = с1)

и далее получаем очень простые выражения

х = х0 + слАд1 У =Уо

Вполне очевидно, что цилиндрическая проекция данного класса представляет определенный интерес и для решения геодезических задач, прежде всего из-за очень простых формул для вычислений. Формулы для цилиндрической проекции Лагранжа показывают, что в принципе любая цилиндрическая проекция не может быть приспособлена к локальному замкнутому контуру и, следовательно, не может отвечать критерию Чебышева-Граве о наилучших проекциях. Эта проекция наиболее удобна для близэкваториальных областей эллипсоида с любой разностью долгот крайних точек .

Полагая (X = 1, получаем значения коэффициентов, определяющих стереографическую геодезическую проекцию Гаусса

с с с

С, =щ,—с™в0;сг =--±*тв0;с, =-1-сое5 В0^д2В0-1);

(25)

(26)

12

с, =—sin В0 eos2 В0 (2 -1 д 2В0);

с, =•

240

с,

cos4B0(2-lltg2B0+2tg\B0);

°6 = 1440 SÍnB°C0S< B°(26tgJB° ~17 ~

Я

20160

eos6 Bo(180tgzB0 — 114tg4B0 +4tg% -17);

с, = -

-sinB0cos6B0(62-19tgJB0 +60fcg4B0 -tgsB0);

(27)

40320

Здесь обратим внимание на то, что стереографическая проекция Гаусса им!еет коэффициенты, следуемые из геодезической проекции Рус-силя, если в них положить для выражений, стоящих в скобках, е'2 = 0 ■ 18

Анализ основных характеристик стереографических проекций Руссиля и Гаусса позволяет сделать вывод о том, что проекция Гаусса более удобна для практического применения как геодезическая, так как формулы для вычислений у нее существенно проще, а характеристики искажений в этих проекциях практически одинаковы.

Отметим, что в случае при а = —51 л Во получаем другой частный случай - коническую проекцию Ламберта, рассмотренную во второй главе. Это представляет определенный интерес для обобщенного описания и анализа наилучших геодезических проекций на основе поликонических проекций Лагранжа.

Полезно проиллюстрировать некоторые качественные характеристики геодезических проекций, в основе которых лежат поликонические в широком смысле конформные проекции Лагранжа. Для этого в общем алгоритме достаточно указать значения коэффициентов С

выражаемые формулами (23), а значение (X здесь может быть любым, наиболее приемлемым для решения конкретной задачи в данных проекциях, но в любом случае они будут близкими к единице.

Анализ различных видов геодезических проекций, полученных на основе поликонических в широком смысле проекций Лапэанжа, позволяет сделать вывод о том, что их практическое применение вполне оправдано и позволяет существенно расширить возможности поиска оптимальных геодезических проекций для решения различных задач в определенных условиях. Для этой цели возможно применение стандартных программ для ЭВМ, базирующихся на общем алгоритме геодезических проекций.

Особенностью проекции Лагранжа, в отличие от рассмотренных во второй главе и композиционных, является то, что при значении масштаба в центральной точке, равном единице, получаем изоколу нулевых искажений в виде овала, внутри которой находится область с масштабом, меньше единицы, как это имеет место в рассмотренных ранее проекциях при оптимальном значении масштаба в центральной точке. Отмеченное свойство поликонических проекций • показывает,

что уже на этапе выбора параметра (X, наиболее приспособленного к контуру изображаемой области, происходит некоторая оптимизация распределения искажений, не только на контуре, но и внутри области,

поэтому варьирование значением Л2 0 с целью уменьшения искажении необходимо производить с учетом значения масштаба в главной точке проекции.

Анализ качественных характеристик наилучших геодезических проекций, полученных любым из рассмотренных способов, показывает, что наилучшие характеристики примерно одинаковы для определенной области и в принципе могут быть получены любым из рассмотренных способов. Это предоставляет определенные степени свободы при выборе наилучшей геодезической проекции, что для их практической реализации весьма важно. Вместе с этим отметим, что для проекций Лагран-

жа уже на стадии подбора наиболее подходящего значения параметра (X возможна минимизация искажений внутри изображаемой области, у них искажения внутри области более равномерно распределены, чем в композиционных и тем более в какой-либо отдельно взятой геодезической проекции.

В четвертой главе " Обучите изменений, параметров земного жчипсоида в геодезических проекциях" рассматривается современная концепция в измерениях, системах координат, применяемых для геодезического обеспечения решения различных задач. На основе известных дифференциальных формул для эллипсоидальных координат и общих формул геодезических проекций приводятся дифференциальные формулы для геодезических проекций, позволяющие сравнительно просто получать изменения различных характеристик проекций, обусловленные изменениями параметров и ориентировки земного эллипсоида.

С учетом принятых ранее обозначений дифференциальные уравнения для конформных геодезических проекций принимают вид

3

(Зх = сЗх0 + + кгс1Ь + I Р^С-}

3=1 (28) с1у ~ йу0 + к2вЬ - к,<1 д + £

Для дифференциалов коэффициентов, определяющих вид геодезических проекций, имеем общие для любой из рассматриваемого класса проекций формулы

СОвВ

=

т.

с!а +

2 Л

авт Зп 2

2Щ

(29)

= (30)

г 2 1

Отметим, что, ограничиваясь лишь этими значениями и пренебрегая последующими, мы по формулам (28) поправки в плоские прямоугольные координаты любой геодезической проекции, в том числе и композиционных, вычислим с погрешностью не более 0.005 м для отображаемой области указанных нами размеров. Для поликонических проекций Лагранжа здесь будет иметь место уравнение

с*с3 - у(1- 2сОс*с,. (31)

Если учесть, что в сложившейся практике применения геодезических проекций в одной зоне отображаются значительно меньшие по размерам области (шестиградусные зоны), то формулы (28) с учетом только величин (29)-(31) обеспечивают вычисление поправок в плоские прямоугольные координаты с погрешностью не более 0.001 м независимо от вида проекции.

Для того, чтобы реализовать возможности общей теории и алгоритма наилучших геодезических проекций в формулах (28), необходимо еще учесть: для цилиндрических проекций

81П1ЬL(l-ctg:вo)clcI■, (32)

с}с3 =

в конических проекциях

с1с3 =

эт г Вп

с/с];

(33)

в азимутальных проекциях

с1с3 =

вш В

Z-(l-JCtg*B0)dc1^

(34)

Для композиционных проекций эти величины формируются с учетом коэффициентов кг, к2, ... . Для поликонических проекций Лагранжа получаем

а

(35)

с*с3 = —(1 - 6с? + 6с0с*с,.

2

В этом случае задача по преобразованию координат решается в одной зоне с размерами, регламентированными для алгоритма геодезических проекций. При этом обеспечивается точность не хуже 0.001 м.

Приведенные формулы можно применять, если необходимо ввести поправки в плоские прямоугольные координаты тех пунктов, для которых известны изменения геодезических широт и долгот, вызванные изменениями параметров и ориентировки.

Для обратного перехода дифференциальные уравнения запишутся в виде

= к'2 с?х - к\ сЗу + £ Р'} с/с^

1=1

с!1 = к'2с1у + к'^х + ьо'^с'^ Для дифференциалов коэффициентов с( с1 ^ имеем соответственно

сТс*, = -т0с'$

С08 Вг

/

с1а +

аь'т В

2М-

(36)

(37)

с 1

вш. В,

с\ с1с\•

(38)

Если необходимо вести вычисления в области, размеры которой выходят за пределы шестиградусной зоны Гаусса-Крюгера, но лежат в

пределах области, размеры которой регламентированы для алгоритма, приведем значения еще одного дифференциала

= 2с<2$тВ0+4^Дс1с']-с'41с1с3- 09)

\ С ^ С 2 /

Здесь значения дифференциалов с1с3 берутся для соответствующего вида проекции, где для удобства следует принять

(40)

С?

Теперь задача преобразования координат в геодезических проекциях указанного класса при переходе от одной геодезической системы координат к другой решается в пределах территории указанных размеров, если известны параметры их преобразования: координаты центра тяжести реферешшой системы относительно общеземной; изменение параметров эллипсоида.

В пятой главе " Коордшшгтая среда для геоширорлщшшых систем " отмечается основополагающее значение гибкой и приспособляемой координатной среды к условиям решаемой задачи, обеспечивающей, с одной стороны, строгое и достаточно точное решение задачи отображения различной информации в автоматизированных информационных системах, с другой стороны, минимально возможные искажения этой информации. Подчеркивается важность обеспечения взаимосвязи систем различной степени обобщения и согласованность масштабов отображения их смежных элементов. Решение такого рода задачи иллюстрируется на основе общей теории и методологии изыскания наилучших геодезических проекций.

На основе анализа возможностей, заложенных в общей теории наилучших геодезических проекций, предлагается для различных условий методология выбора оптимальных вариатггов геодезических проекций дня территорий различных размеров и конфигурации. На примере различных государств дискутируется вопрос о наилу шли проекциях общегосударственного, регионального и локального назначения, при этом указываются недостатки системы координат Гаусса-Крюгера , как и любой другой отдельно взятой проекции, и возможность отказа от нее в современных условиях применения компьютерных технологий. При этом обеспечиваются существенно меньшие искажения, чем на краю шестиградусных зон, что может дать значительный тех! шко—экономический эффект и рациональное использование сил и средств для надлежащего топографо-геодезического обеспечения различных отраслей хозяйственной деятельности.

Теоретические выводы подкрашены их апробация! на ЭВМ по исследовательским программам, основные характеристики различных проекций д ля конкретных условий некоторых государств иллюстрируются в таблицах. Например, для Украины, расположенной в четырех шестиградусных координатных зонах проекции Гаусса-Крюгера, на граничных меридианах кото-22

рых линейные искажения достигают в относительной мере величины 1:1500, а если учесть практику применения перекрытий зон, эти искажения могут достигать 1 : 1250. Если поставить целью изображения всей территории этого государства в одной зоне, то в цилиндрической прекции можно добиться максимальных линейных искажений 1 : 360; конической - 1: 800; азимутальной -1:720; наилучшей -1:1100.

Анализ взаимного расположения шесгиградусных координатных зон проекции Гаусса-Крюгера и границ различных государств бывшего Союза показывает, что практически все они расположены либо в двух и более зонах, либо на краю зоны. Более того, это характерно для их адмигшстративных областей и большинства крупных городов, что вызывает определенные неудобства в практическом применении этой проекции как в общегосударственном масштабе, так для геодезическою обеспечения региональных и локальных задач.

В качестве иллюстрации возможностей предлагаемой теории и методологии наилучших геодезических проекций приведем в таблице 1 основные характеристики различных вариантов общегосударственной системы плоских прямоугольных координат на примере Республики Беларусь, которая расположена в трет шестиградусных зонах проекции Гаусса-Крюгера, на краю которых линейные искажения достигают величины 1:1900.

Таблица 1

Обозначения величин Цилиндрическая Коническая Азимутальная Наилучшая

то 0.9992827 0.9995151 0.9995677 0.9996700

ты 0.9992833 1.0004848 1.0000437 1.0003243

ms 0.9996570 1.0004468 1.0002201 1.0003181

tflE 1.0007165 0.9998528 1.0004327 1.0003274

mw 1.0006414 0.9995318 1.0002514 1.0003298

(5 sis) \ /max 1:1400 1:2060 1:2310 1:3030

Как видно из таблицы 1, здесь применение единой для всего государства системы плоских прямоугольных координат вполне возможно даже на основе отдельно взятых конической либо азимутальной проекций, при этом предельные искажения будут меньше, чем на краю шесгиградусных зон проекции Гаусса-Крюгера, а применение наилучших геодезических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева-Граве, может дать ощутимый технике)- экономический эффект. При этом заметим, что наилучшая проекция может бьпъ получена тремя способами: на основе поликонических Лагранжа, на основе композиций конической с азимутальной и конической с цилиндрической, что обеспечивает определенные степени свободы при их выборе для практических целей.

В таблице 2 на примере административных областей Республики Беларусь приведены варианты для выбора региональных систем координат. При этом заметим, что в проекции Гаусса-Крюгера все области, кроме Минской, расположены в двух шесгиградусных зонах.

Таблица 2

Наименование областей Лучшая из отдельно взятых проекций Чебышевская проекция

Вид Композиция

Брестская Коническая 1:13000 0.09К+0.91А 1:15500

| Витебская Коническая 1:13000 0.55К+0.45А 1:15400

| Гомельская Азимутальная 1:12600 0.215А+0.785Ц 1:16600

1 Гродненская Цилиндрическая 1:11200 0.68А+0.32Ц 1:20080

Минская Азимутальная 1:13000 0.755А+0.245Ц 1:17800

Могилевская Цилиндрическая 1:6700 0.375К+0.625Ц 1:17800

Как видно из таблицы 2, наибольший эффект Чебышевские проекции по сравнением с лучшими из отдельно взятых дают для территорий со сложной конфигурацией границ.

Примеры локальных систем координат приведены в таблице 3 для Москвы и Минска в пределах окружностей, описанных около их кольцевых дорог, радиусами соответственно 20 и 10 км.

Таблица 3

Обозна- г.Москва г.Минск

чения Вид проекции Вид проекции

вели- Цилиндри- Кони- Азиму- Цилиндри- Кони- Азиму-

чин ческая ческая тальная ческая ческая тальная

55° 45' 53» 54'

¿0 37» 37' 27» 34'

0.9999985 0.9999974 0.9999986 0.9999992 0.9999996 0.9999996

ли 1.00000150 1.0000025 1.0000013 1.00000075 1.0000003 1.0000003

1(85/5)^ I 1:670000 1:400000 1:770000 1:1400000 1:3300000 1:330000С

В случае, когда границы локальной области отличаются от окружности, для формирования локальных систем координат целесообразно применять Чебышевские проекции, как это продемонстрировано для регионов и государств.

Общая теория и алгоритм, на основе которых формируются различные системы координат, обеспечивают их простую взаимосвязь, реализуемую в рамках стандартных программ для ЭВМ.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В результате выполненных исследований и на основе анализа геодезических проекций, применяемых в различных странах, подтверждается тезис о том, что несомненными преимуществами обладают проекции, полученные на основе теории конформных отображений поверхностей. Главным их достоинством является независимость частного масштаба изображения длин от направления, что для практики применения проекций имеет большое значение, так как при этом существенно упрощается и унифицируется решение задачи редуцирования на плоскость линейных измерений.

Практически все многообразие известных и широко распространенных, а также новые геодезические проекции представлены весьма узким семейством, следуемым из общей теории конформных отображений регулярных поверхностей и определяемым, как указывал профессор В. Морозов, вполне определенными ограничениями. Это позволило для любых двух односвязных областей регулярных поверхностей выразить общие уравнения теории конформных отображений в частных производных в виде алгоритмов, удобных для вычислений на ЭВМ и имеющих общий вид для данного семейства проекций. На этой основе предлагаются общие для данного семейства взаимных конформных отображений поверхностей уравнения для вычисления основных характеристик проекций, а также уравнения связи полярных геодезических координат на любых регулярных поверхностях.

Показано, что в рамках общего алгоритма, описывающего взаимное отображение поверхности эллипсоида вращения и плоскости в различных видах конформных отображений, применяемых для геодезических целей, для получения какого-либо частного случая необходимо и достаточно получить уравнение гармонического вида для изображения на плоскости меридиана эллипсоида, принимаемого за осевой в зональной системе. При этом заложена возможность варьирования значением ТЩ в центральной точке изображаемой области, что обеспечивает в определенных пределах возможность управления распределением линейных искажений внутри этой области. Показано, что только это уравнение определяет вид геодезической проекции из класса конформных, как отдельно взятых, гак и композиционных.

Получены формулы для вычисления коэффициентов Су _ определяющих вид геодезических проекций, обеспечивающие вычисление плоских прямоугольных координат и редуцирование расстояний в геодезической проекции с погрешностью, не более 0.001 м, дирекционных углов и азимутов —0.001", широт и долгот — 0.0003", если изображаемая область эллипсоида ограничена сфероидической трапецией с разностью долгот Д Ь < 12 и разностью изометрических широт Л с/ < 12° для цилиндрических и конических проекций. В проекциях азимутальных, композиционных и проекциях, полученных на основе поликонических проекций Лагранжа, указанная точность обеспечивается при размерах изображаемой области эллипсоида ограниченной окружностью, эллипсом либо овалом, описанными около чтой трапеции. Для конических проекций получены рекуррентные формулы, позволяющие вычислить любое число коэффициентов при

этом размеры области эллипсоида, отображаемой на плоскости с указанной выше точностью, должны удовлетворять лишь критерию их односвязности.

На основе исследований, выполненных в настоящей работе, получен общий алгоритм вычислений, удобный для реализации на ЭВМ для конформных отображений определенного семейства, описывающего геодезические проекции, который апробирован на различных примерах.

Теоретически обосновано и подтверждено на примерах вычислений, что при общих начальных параметрах Вд, Ь0, тд геодезических проекций класса, описанного общим алгоритмом, плоские прямоугольные координаты в различных их видах отличаются лишь на малые величины третьего порядка, а величина сближения меридианов на плоскости вообще не зависит от изменения значения ТПд. Значение геодезической кривизны изображения геодезической линии одной поверхности на другой при этих условиях меняется, но незначительно и остается малой величиной того же порядка, что и при значении масштаба в центральной точке изображаемой области, равном единице. На этом основании сделан вывод о том, что выбор наилучшей геоде-; зической проекции возможно производить только на основе оптимизации линейных искажений, что характерно для любых конформных проекций.

Получены формулы для предрасчета точности вычислений различных элементов геодезической проекции описанного общим алгоритмом, независимо от ее вида, которые несложно ввести в общий алгоритм вычислений в геодезических проекциях на ЭВМ для автоматизации процесса выбора основных параметров проекции при конкретных условиях.

Показаны основные пути моделирования оптимальной геодезической проекции по характеру распределения и величине линейных искажений внутри изображаемой области путем выбора вида проекции из определенного общей теорией класса и значения т. д для нее.

В результате исследования общего алгоритма геодезических проекций сделан вывод о том, что, моделируя значения для изображаемой области, можно примерно вдвое по абсолютной величине уменьшить максимальные линейные искажения внутри ее, чем при 1, существенно увеличив при этом окрестности регламентируемых и пре-небрегаемо малых линейных искажений, в известных пределах перемещать эти окрестности внутри изображаемой области, придавать им различную форму.

В результате выполненных исследований вычислительных возможностей общего алгоритма конформных геодезических проекций, сделан вывод о том, что он может эффективно применяться с целью изыскания наилучшей в конкретных условиях координатной среды для отображения на плоскости информации о геометрических образах эллипсоида с точностью, необходимой и достаточной для решения самых различных задач с учетом современных требований.

Многочисленные и продуктивные исследования в области математической картографии по поиску наилучших или идеальных картографических проекций обеспечили возможность разработки общей методологии и общего теоретического обоснования (в рамках и на основе общего алгоритма) получения геодезических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева - Граве о наилучших конформных проекциях.

Для этой цели исследованы основы формирования композиционных геодезических проекций с использованием методов, рассматриваемых в работах А. Лисичанского для картографических проекций, при этом показана возможность автоматизации этого процесса путем композиции коэффициентов, определяющих в общем алгоритме вид геодезической проекции, а не координат. При этом композиционные проекции сохраняют конформность и для них также возможно моделирование значения масштаба в центральной точке проекции по общей методике, описанной для отдельной проекции. Исследования, выполненные в настоящей работе, позволяют сделать вывод о том, что в композициях могут участвовать не только цилиндрические и конические с азимутальными, но и конические с цилиндрическими проекции, возможны также композиции не только пар, но и групп проекций, если это необходимо.

Исследованы вопросы получения геодезических проекций на базе поликонических конформных проекций Лагранжа с использованием исследований, приведенных в работах Л. Бугаевского для решения задач математической картографии и обобщающих довольно широкий спектр конформных проекций. В результате предложена общая методология трансформации конформных картографических проекций в гео-

дезические с использованием общего алгоритма, получены коэффициенты С/, определяющие поликонические геодезические проекции Лагранжа, при этом указано место известных геодезических проекций: квазистереографической Руссиля, стереографической Гаусса, и конической Ламберта как частных случаев поликонических проекций Лагранжа.

Отмечается то, что применение для геодезических целей конформных проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева - Граве о наилучших проекциях, вполне оправдано с применением компьютерных технологий и на базе общего алгоритма конформных геодезических проекций .

Учитывая современные тенденции в развитии геодезических измерений и вычислений, определение как современных стандартных приборов для геодезических измерений спутниковых приемников GPS и ГЛОНАСС и общеземной системы координат WGS-84 или Г13 90, предлагаются общие принципы модернизации геодезической основы для небольших по размерам государств. Для осуществления связи между различными координатными системами как референцными, так и общеземными предлагаются дифференциальные формулы для плоских прямоугольных координат геодезических проекций, определяемых общим алгоритмом. При этом показано, что при размерах координатных зон в геодезических проекциях не более того, как это принято в проекции Гаусса-Крюгера, дифференциальные формулы для преобразования плоских прямоугольных координат не зависят от вида геодезической проекции и являются общими, если учесть реальные отличия параметров и ориентировки референц-эллипсоида Красовского и общего земного эллипсоида.

Точность дифференциальных формул для плоских прямоугольных координат в геодезических проекциях соответствует точности дифференциальных формул для геодезических координат, при этом существенно упрощается практическая задача по установлению новой системы координат для некоторых государств. Указывается, что при этом основной проблемой является установление исходных параметров преобразований.

Отмечается роль и значение гибкой и приспособляемой координатной среды для оптимального отображения баз данных геоинформационных систем, формируемых на основе компьютерных технологий, отмечаются ограниченные возможности традиционной для нас системы зональных координат Гаусса-Крюгера, как и любой другой системы, полученной на основе какой-либо отдельно взятой геодезической проекции.

На примере отдельных государств рассмотрены основные принципы выбора различных, в том числе и наилучших геодезических проекций в зависимости от размеров и формы контуров их территорий, а также основных параметров оптимизации. Приведены расчеты основных критериев точности вычислений в геодезических проекциях, обус-28

ловленные современными возможностями измерений с применением спутниковых приемников GPS - ГЛОНАСС-.

На примере административных областей Республики Беларусь предложен порядок введения оптимальных региональных систем координат. Приведены основные величины, характеризующие максимально возможные линейные искажения внутри региона для различных видов, в том числе и для наилучших геодезических проекций, что подтверждает эффективность их применения.

Предложено три варианта выбора локальных систем координат, обеспечивающих минимально возможные искажения. Приведены основные параметры локальных систем на примере городов Москвы и Минска, которые обеспечивают минимально возможные искажения внутри локальной территории и математически строгую связь как с общегосударственной, так и с региональной системами.

Сформулированы научно-технические основы и требования к выбору оптимальной геодезической проекции, определяющей гибкую и приспособляемую координатную среду геоинформационных систем различного назначения и содержания на основе общего алгоритма вычислений на ЭВМ.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Научная монография 1.Подшивалов В. П. Теоретические основы формирования координатной среды для геоинформационных систем. Научное издание — Но-вополоцк, ПГУ, 1998 , 125 с.

Научные статьи:

1. Подшивалов В. П. Об изображении эллипсоида на сфере // Тр. НИИГАиК, т. XXX. —1973, с. 59-63.

2. Подшивалов В. П. Уравнение Клеро для квазигеодезических линий эллипсоида // Тр. НИИГАиК, т. XXX. — 1973, с. 77-84.

3. Подшивалов В. П. Прямой метод решения обратной геодезической задачи на любые расстояния. // Геодезия, картография и аэрофотосъемка.—Львов, 1980, с. 121-125.

4. Подшивалов В. П. Формулы для редуцирования измеренного отрезка прямой на поверхность эллипсоида // Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. — 1984, No 1, с.30-37.

5. Подшивалов В. П., Салим А. О выборе геодезической проекции для ограниченных территорий // Геодезия и картография. — 1994, № 7, с. 12-14.

6. Подшивалов В. П. Общий алгоритм вычислений в геодезических проекциях // Вести Полоцкого госуниверситета. Прикладные науки. Т.1. Новополоцк: 1995, с. 66-74.

7. Подшивалов В. П. Координатная среда для геоинформационных систем //Геодезия и картография. —1997, №6, с.51-55.

8. Подшивалов В. П., Есса А. Выбор геодезических проекций для кадастра II Геодезия и картография. —1997, № 7, с.45-48.

9. Подшивалов В. П. О вычислении геодезических проекций для ГИС. II Материалы IV Всероссийского форума " Геоинформационные технологии. Управление. Природопользование. Бизнес"- М., 1997, с. 145- 147.

Ю.Подшивалов В. П. Разработка систем координат для земельного кадастра II Сборник научных трудов "Геодезическое обеспечение кадастра, землеустройства и сельскохозяйственного строительства"г Горки, 1997,с. 13-16.

11.Подшивалов В. П. Один из путей модернизации геодезической основы II Геодезия и картография. — 1998 , № 2, с. 24 - 25.

12.Подшивалов В. П. Харуна М. Системы плоских прямоугольных координат для африканского континента II Геодезия и картография. — 1998, №4,с.40 - 42.

.президиум. . I

' (решение от " " О^ 19Ш г., Кг р^З./ присудил ученую степень ДСЖТО:/

Начальник управления ВАК Рос ......________________

УДК 528.23

На правах рукописи

Кандидат технических наук доцент Подшивапов Владимир Павлович

Диссертация

на соисжение ученой отепени доктора

Специтьность 06.24.01 Г&одвзия

Научный контупьтент Доктор технических наук профессор Бугаевский XI, М

Но^ополоцк 1998 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................ .4

ГЛАВА 1. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ....... ..13

1.1. Элементы теории конформного отображения поверхностей ... 13

1.2. Конформные отображения малых областей.............19

1. 3. Порядок вычислений в конформных преобразованиях элементов

внутренней геометрии малых областей регулярных поверхностей......27

1. 4. Поверхности вращения...............................32

1. 5. Конформные отображения поверхностей вращения и

плоскости................................ .37

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ОПИСАНИЯ КОНФОРМНЫХ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ.......................44

2. 1 Общие замечания по геодезическим проекциям, наиболее

распространенным в различных странах.........................44

2, 2. Основные уравнения, определяющие вид геодезической

проекции ................................48

2. 3. О формировании общего алгоритма вычислений при переходе

с поверхности эллипсоида на плоскость геодезических проекций......53

2. 4. О формировании общего алгоритма вычислений при переходе

с плоскости геодезических проекций на поверхность эллипсоида......62

2. 5. Анализ точности общего алгоритма геодезических проекций . ... 69 2. 6. Распределение линейных искажений внутри изображаемой

области.....................................73

2. 7. Некоторые численные характеристики общего алгоритма геодезических проекций.........................84

ГЛАВА 3. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ И МЕТОДОЛОГИИ НАИЛУЧШИХ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ КРИТЕРИЮ ЧЕБЫШЕВА-ГРАВЕ..........91

3. 1 О критерии Чебышева-Граве применительно к

геодезическим проекциям.........................91

3. 2 Композиционные геодезические проекции..............96

3. 3 Геодезические проекции на основе поликонических проекций Лагранжа:.................................................102

ГЛАВА 4 ОБ УЧЕТЕ ИЗМЕНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА В ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ.............115

4. 1. Современная концепция в измерениях и системах

координат на поверхности Земли....................115

4. 2. Взаимосвязь референцных и общеземных систем

координат для ограниченных территорий.................117

4. 3. Взаимосвязь между референцными и общеземными системами плоских прямоугольных координат в геодезических проекциях ....... 123

ГЛАВА 5. КООРДИНАТНАЯ СРЕДА ДЛЯ ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ , . . :...........................................131

5. 1. Отображение как основополагающий фактор

автоматизированных информационных систем..............131

5. 2. Сравнительный анализ основных характеристик геодезических

проекций и выбор их наилучшего варианта для различных условий.....134

5 .3 Общегосударственная система координат..............149

5.4. Региональные системы координат.................155

5.5. Локальные системы координат.................. 161

ВЫВОДЫ.............................. 168

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ................ 176

ВВЕДЕНИЕ

Современное состояние развития мировой науки и техники, а также накопленный опыт производства геодезических, топографических и картографических работ обеспечивают возможность широкого внедрения принципиально новых измерительных технологий, в том числе, рациональное и продуктивное использование спутниковых геодезических систем ГЛОНАСС (РФ) и GPS - NAVSTAR (США). Это выдвигает новые требования как по оперативности, так и точности к накоплению, отображению, математической обработке и выдаче информации о поверхности Земли и объектах на ней, основанных на использовании компьютерных технологий, базирующихся на математическом и программном обеспечении, обладающем общностью подхода и приводящему к оптимальному решению определенных классов задач.

Сочетание современных измерительных, обрабатывающих и отображающих технологий, позволяет создавать геоинформационные системы, обеспечивающие достаточно точный учет и рациональное использование ресурсов, а также преобразования земной поверхности в интересах человечества как в глобальном, так и региональном масштабах.

В области геодезических измерений и их математической обработки следует отметить достижение, не имеющее аналогов во всем мире. На территории бывшего Советского Союза совместными усилиями геодезистов ныне независимых государств создана единая геодезическая основа, взаимное плановое положение пунктов которой, оцененное по результатам уравнивания, характеризуется средними квадратическими погрешностями

порядка 0.03-0.07 м [5,27,34 и др.]. Практическое применение в настоящее время современной аппаратуры и спутниковых методов на основе приемников GPS и ПЛОНАСС представляет качественно новые возможности как по оперативности, так и точности координатных определений, недостижимые традиционными геодезическими методами. "Сейчас с полной уверенностью можно утверждать, что уже разработанные спутниковые приемники (типа Trimble, Leica, Ashtech) станут (по крайней мере на ближайшие 10-15 лет) стандартной геодезической аппаратурой, каковой до настоящего времени были теодолиты, свето-дальномеры, нивелиры [27]". В связи с этим актуальной в настоящее время задачей является разработка математических методов совместной обработки в соответствующей координатной среде банков референцных и общеземных геодезических данных с целью модернизации государственной геодезической основы, направленной на ее сгущение и повышение точности, оперативное формирование математически упорядоченного геодезического обоснования для различных объектов , что позволит существенно расширить круг научных и технических задач, надлежащим образом обеспечиваемых геодезическими данными.

Развитие международного сотрудничества, коммуникаций предполагает надлежащее обеспечение международных проектов, что возможно в рамках единой мировой системы координат на поверхности соответствующего эллипсоида и на плоскости самых различных геодезических проекций. Стандартной системе геодезических координат WGS-84, ПЗ 90 или другой должна соответствовать стандартная, универсальная, гибкая и достаточно точная система плоских прямоугольных координат в наилучших геодезических проекциях с соответствующим матема-

тическим обеспечением, отвечающим современному уровню развития компьютерных технологий.

Анализ геодезических проекций, применяющихся в настоящее время в различных странах, указывает на то, что каждая из них обладает как достоинствами, так и недостатками применительно к тем или иным условиям, их выбор обусловлен главным образом удобством создания общегосударственной системы плоских прямоугольных координат и возможностью разработки приемлемых наставлений и инструкций для пользователей. При этом, естественно, для решения локальных задач, например, при создании высокоточных инженерно - геодезических построений такие системы неудобны и здесь применяются локальные системы координат, часто не связанные с общегосударственной, но обеспечивающие минимальные искажения эллипсоидальных элементов на плоскости.

С точки зрения математического обеспечения самых различных геодезических проекций отмечается подавляющее преобладание проекций, полученных на основе теории конформных отображений поверхностей. При оценке достоинств геодезических проекций учитывается их точность, удобство вычислений и величина искажений метрических элементов эллипсоида при их отображении на плоскости.

При этом следует отметить, что, наряду с глубокими и всесторонними исследованиями в области теории и практики картографических проекций, геодезические проекции, несмотря на известные исследования их отдельных вариантов [3,4,21,22,43,59,60,64,68,69-85 и др.], не получили должного обобщенного анализа с целью изыскания их оптимальных или наилучших, взаимосвязанных вариантов, что можно объяснить большим объемом вычислений и их трудоемкостью в геоде-

зических проекциях при вычислениях вручную. В современных условиях с широким использованием ЭВМ становится возможным и оправданным формирование общей теории изыскания наилучших геодезических проекций для решения как научных, так и практических задач в самых различных условиях.

Целью настоящей работы является создание общей теории описания конформных геодезических проекций, достаточно строго обеспечивающей исследование, взаимосвязь и альтернативную оценку достоинств и недостатков самых различных, в том числе известных, геодезических проекций с точки зрения их соответствия критерию Чебышева - Граве о наилучших проекциях применительно к условиям решаемой задачи.

Теория конформных отображений построена на уравнениях Лапласа, представляющих собой дифференциальные уравнения второго порядка эллиптического типа в частных производных, которые устанавливают совместно с дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных Коши - Римана условия изометрического преобразования координат на поверхностях с помощью аналитических функций общего вида, которые в данном случае являются гармоническими. В этом заключается основное преимущество конформных отображений, так как их исследования сводятся к задачам теории поверхностей [ 61-63 и ДР-3-

Основы теории исследуемой проблемы заложены выдающимися учеными К. Гауссом, Л. Эйлером, Н. Тиссо, Ж. Лагранжем, П. Чебышевым, Д. Граве, М. Лаврентьевым и др. Дальнейшее развитие теория картографических и геодезических проекций получила в исследованиях И. Ламберта, Р. Бонна, Н. Делиля, Ф. Шуберта, В. Каврайского, А. Маркова, Ф. Красовского, В. Витковского, М. Соловьева, Н. Урмаева,

В. Морозова, В. Христова, Л. Бугаевского, Л. Вахрамеевой, Г. Мещерякова, Г. Конусовой, А. Лисичанского, А. Павлова и др.

Формирование информационного . пространства, допускающего различную степень обобщения и вычленения элементов, его составляющих, с вполне определенной и достаточной точностью, предполагает применение математических методов его отображения в соответствующей координатной среде. Такая среда, как показывает опыт, может быть создана на основе геодезических проекций, которые обеспечивают высокую точность отображения, технология практического применения геодезических проекций детально отработана. Вместе с этим стремительный уровень развития современных измерительных технологий и внедрение компьютерной техники в математическую обработку измерений предполагают применение математических методов, обеспечивающих обобщенное описание и исследование геодезических проекций, без чего невозможно создание универсальных алгоритмов и программ для ЭВМ по отысканию наилучших и взаимосвязанных вариантов проекции для достижения оптимальных условий решения самых различных задач. Этим определяется актуальность проблемы, рассматриваемой в настоящей работе.

Работа посвящена исследованию общих методов организации вычислений в рамках отображения односвязных областей регулярных поверхностей, допускающих получение вычислительного алгоритма для широкого спектра конформных геодезических проекций с моделируемыми в известных пределах свойствами, удобного для реализации на ЭВМ. Такой подход имеет важное значение и мы надеемся найдет самое широкое применение при выборе оптимальных систем плоских прямоугольных координат для отдельных государств, регионов, а также

для решения специальных задач локального характера, требующих минимально возможных искажений и максимально возможной точности их учета.

Общий подход и универсальный метод анализа геодезических проекций, допускающие изыскание их наилучших вариантов, удовлетворяющих критерию Чебышева - Граве, на основе единого вычислительного алгоритма, не имеют аналогов и представляют собой новое научное направление, обеспечивающее в современных условиях оптимальное решение следующих задач на плоскости геодезических проекций:

— изыскание в атоматическом режиме с широким использованием компьютерных технологий наилучших геодезических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева - Граве, применительно к самым различным по очертанию границ территориям; --- обобщенный и объективный анализ геодезических проекций, применяемых в различных государствах и для решения различных специальных задач, как с точки зрения характеристик искажений, так и удобства практического применения;

— использование общих методов дифференциальной геометрии для отображения элементов геометрических образов в конформных отображениях односвязных областей регулярных поверхностей на основе общих для рассматриваемого класса конформных отображений выражений, удобных для вычислений на ЭВМ и обеспечивающих с необходимой точностью связь в полярных координатах на отображаемых поверхностях, что необходимо иметь в геодезических проекциях при редуцировании измерений ;

— варьирование видом и распределением искажений внутри изображаемой области известных геодезических проекций, а также их композиции в рамках общего алгоритма вычислений с

целью изыскания наилучшей геодезической проекции, отвечающей критерию Чебышева - Граве;

— трансформация по общей методологии и алгоритму известных конформных картографических проекций, удовлетворяющих критерию Чебышева - Граве о наилучших проекциях, в геодезические;

— учет изменений параметров и ориентировки земного эллипсоида в геодезических проекциях на основе общих дифференциальных формул;

— расширение круга потребителей и большая доступность измерительных спутниковых систем GPS и ГЛОНАСС путем использования в их математическом и программном обеспечении общего алгоритма вычислений в геодезических проекциях;

— формирование гибкой координатной среды геоинформационных систем, приспособляемой к условиям решаемой задачи и наилучшим образом обеспечивающей отображение информации на плоскости геодезической проекции;

Перечень решаемых задач определяет научное и практическое значение исследований.

Принципиальное отличие и научная новизна исследований, выполненных в настоящей работе, состоит в обобщенном анализе геодезических проекций с целью получения их наилучших вариантов, отвечающих критерию Чебышева - Граве, при этом обеспечиваются: во-первых, достаточно высокая для современных измерений точность вычислений всех компонентов геодезической проекции; во-вторых, на основании общих формул для вычислений, независимо от вида геодезической проекции, возможность составления унифицированных программ для ЭВМ по решению самых разнообразных задач; в-третьих, представляется возможность автоматизации не только вычислений в ши-

роком классе геодезических проекций, но и выбор их наилучшего варианта, обусловленного конкретными условиями решаемой задачи.

На защиту выносятся следующие положения:

— общая теория алгоритмического описания конформных геодезических проекций с моделируемым распределением искажений для ограниченных по размерам областей ;

— общая методология преобразования конформных картографических проекций, в том числе, получаемых на основе поликонических в широком смысле проекций Лагранжа, удовлетворяющих критерию Чебышева - Граве, в геодезические при отображении малых областей;

—- общие принципы и пути формирования наилучших композиционных геодезических проекций на основе известных в математической картографии методов и возможностей обобщенного алгоритмического описания отдельных проекций, их составляющих;

В настоящую работу включены основные результаты исследований, выполненных лично автором.

Основные положения диссертации докладывались автором и одобрены:

- на IV Всероссийском форуме " Геоинформационные технологии. Управление. Природопользование. Бизнес." ( Москва, 2

— 6 июня 1997 г.);

- на республиканской научно-технической конференции "Геодезия, картография и кадастры." ( ПГУ, г. Новополоцк, март 1997 г.);

- на научно-техническом совете Белорусского Государственного Комитета по земельным ресурсам, геодезии и картографии ( г. Минск, январь 1998 г.);

v v i

- на международной научно-техническои конференции, посвященной 100 - летию со дня рождения профессора И. В. Зубри цкого ( БСХА, г. Горки, февраль 1998 г.);

По теме диссертации опубликована монография объемом 125 страниц и 12 научных статей.

Диссертация состоит из введения, пяти глав основной части, выводов, списка из 88 использованных источников, таблиц 28, общий объем составляет 183 страницы машинописного текста.

ГЛАВА 1

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

1. 1 Элементы теории конформного отображения поверхностей

Если две регулярные поверхности П1 и П2 заданы первыми основными квадратичными формами Гаусса для произвольной параметризации и* , V"'

? ? Г' {1'1)

<±ъ2 - Е2с1и^2+2Е2с1^