автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теория и численно-аналитические алгоритмы моделирования случайных режимов динамических систем

На правах рукописи

Полосков Игорь Егорович

ТЕОРИЯ И ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ РЕЖИМОВ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь - 2004

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Пермского государственного университета.

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Владимир Владимирович Маланин Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Александр Исаакович Кобрин доктор физико-математических наук, профессор Александр Николаевич Румянцев доктор физико-математических наук, профессор Михаил Петрович Юшков

Ведущая организация:

Институт механики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова, г.Москва

Защита состоится 25 ноября 2004 года в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д212.189.09 в Пермском государственном университете по адресу: 614600, г.Пермь, ул.Букирева, д. 15, зал заседаний Ученого совета ПГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Работа посвящена математическому моделированию и анализу случайных процессов в динамических системах различных классов, разработке и реализации методов и алгоритмов, предполагающих проведение значительных аналитических (символьных) выкладок и численных расчетов на всех этапах исследования.

Задачи вероятностного исследования процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших как в теоретическом, так и в практическом плане. Необходимость их решения актуальна при изучении различных явлений: расчете полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализе движения транспортных средств по неровной дороге; оценке точности гироскопических приборов и перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследовании качки судов при нерегулярном морском волнении; анализе технологических процессов производства; изучении отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя, ошибок в работе систем управления и ветровых возмущений в период разгона; анализе изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов, флуктуационных шумов усилителей в устройствах регулирования и следящих системах, непредсказуемого спроса в экономике; шумов в радиоэлектронных устройствах; анализе нейронных систем мозга и т.д.

Моделированием сложных и масштабных явлений в стохастических системах, исследованием случайных режимов, возникающих при движении объектов различной природы, занимается интенсивно развивающаяся наука - статистическая динамика (одна из прикладных ветвей теории случайных процессов). Сходные проблемы изучаются некоторыми разделами других наук (теорией случайных колебаний, статистическими радиотехникой, физикой, механикой, термодинамикой и др.).

Большой вклад в теоретические и прикладные аспекты изучения случайных явлений в динамических системах внесли как отечественные ученые А.А.Марков, А.Н.Колмогоров, С.Н.Бернштейн, Н.Н.Боголюбов, Л.С.Понтрягин, Н.И.Андреев, И.А.Богуславский, В.В.Болотин, В.И.Бунимович, А.Д.Вентцель, И.И.Гихман, М.Л.Дашевский, М.Ф.Диментберг, Б.Г.Доступов, Е.Б.Дынкин, Л.Г.Евланов, И.Е.Казаков, В.И.Кляц-кин, В.Г.Коломиец, В.А.Котельников, А.А.Красовский, П.СЛанда, Б.Р.Ларин, Б.П.Макаров, В.В.Маланин, А.Н.Малахов, Г.Н.Мильштейн, М.А.Миронов, Ю.А.Мит-ропольский, Ю.И.Параев, А.А.Первозванский, В.С.Пугачев, К.А.Пупков, С.М.Рытов, В.А.Светлицкий, А.А.Свешников, И.Н.Синицын, В.В.Солодовников, РЛ.Стратоно-вич, В.И.Татарский, В.И.Тихонов, А.А.Фельдбаум, М.И.Фрейдлин, Э.М.Хазен, Р.З.Хасьминский, И.Д.Черкасов, так и зарубежные -лорд Релей, А.Эйнштейн, П.Лан-жевен, А.Фоккер, Смолуховский, Н.Винер, С.Чандрасекар, А.Е.Уленбек, Л.С.Орн-штейн, С.О.Райс, Г.Крамер, К.Ито, Дж.Л.Дуб, РЛеви, Дж.Ф.Баррет, Р.К.Бутон, Р.С.Бьюси, К.В.Гардинер, Н.Г.Ван-Кампен, P.Hanggi, R.A.Ibrahim, T.K.Caughey, S.Crandall, Г.Дж.Кушнер, Y.K.Lin, К.Дж.Мерклингер, Д.Мидлток, Нгуен Донг Ань, И.Пригожин, H.Risken, T.T.Soong, P.D.Spanos, Г.Хакен, E.Wong и др., которые провели значительное число исследований количественного (вычисление характеристик случайных процессов) и качественного (исследование на управляемость, устойчивость) направлений.

В диссертационной работе к классу стохастических (или вероятностных, или случайных, или статистических) систем отнесены системы со случайными параметрами, которые представляют собой возмущения, влияющие на поведение исследуемых объектов. Такие системы средствами математического моделирования позволяют описать

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

3 БИБЛИОТЕКА

ад"*»

функционирование реальных нелинейных объектов, в которых параметры являются случайными процессами и/или величинами. Основным математическим аппаратом исследования таких систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, является теория случайных марковских процессов. Используя эту теорию, в особенности, последние достижения в развитии метода уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК-уравнения) и его различных обобщений во многих случаях удается получить интересные и важные как в теоретическом, так и практическом плане результаты.

Нелинейные детерминированные математические модели1 вполне оправдывают себя при решении многих прикладных задач. Однако они далеко не исчерпывают всего многообразия реальных физических явлений. Известно немало примеров, когда анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным. Это объясняется тем, что во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера (внешние силовые и кинематические, внутренние параметрические и др.), оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы и приводящие к стохастическим переходным режимам даже в детерминистических системах.

Использование вероятностных методов при изучении движения нелинейной системы, находящейся под действием случайных возмущений, дает возможность исследовать ее реакцию в ответ не на одно какое-нибудь конкретное воздействие, а на целую совокупность возможных случайных возмущений.

Случайность в нелинейных системах приводит к новым эффектам, ненаблюдаемым при детерминированной постановке задач: переходам из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных "толчков"; существуют распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора; дискретный спектр автоколебаний становится непрерывным; при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов возникают элементы хаоса; статистическая связь параметрических и аддитивных шумов приводит к появлению систематической составляющей в выходном сигнале; влияние параметрических шумов проявляется в уменьшении запаса устойчивости или возникновении неустойчивых режимов, в изменении резонансных частот и в других эффектах; при широкополосном спектре параметрических возмущений невозможно избежать основного резонанса, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смысл; несмотря на то, что движение систем с шумами и без них совпадает в среднеквадратическом, на больших интервалах времени их поведение существенно различается и др.

Известно значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики2. В первую очередь, к ним относятся, известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления

1 Кобрин А.И., Окунев Ю.М., Садовничий В.А. Математическое моделирование простракственной задачи внешней баллистики динамически симметричного тела с высокими несущими свойствами // Фундаментальная и прикладная математика. - 1998. - Т.4. - N 3. - С.975-1008; Лилов Л.К. Моделирование систем связанных тел. - М.: Наука, 1993. - 272 е.; Лурье А.И. Аналитическая механика. -М.: Физматгиз, 1961. - 824 е.; Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика: Учеб.ддя вузов / Под ред. П.Е.Товстика. - М.: Высш. гак., 2000. - 592 с.

2 Болотин В.В- Случайные колебания упругих систем. - М.: Наука, 1979. - 336 е.; Гардинер К.В. Стохастические задачи в естественных науках. - М.: Мир, 1986. - 526 е.; Диментберг Ы. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. - М.: Наука, 1980. - 368 е.; Казаков U.E. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. - М.: Наука, 1975. - 432 е.; Пугачев B.C., Синпцын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. - М.: Наука, 1985. - 560 е.; Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977. - 486 с. и др.

плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегро-дифференциальными уравнениями Пугачева. Основными классами таких алгоритмов являются аналитические методы, методы упрощения исходной задачи, линеаризации, численные методы, методы интегральных преобразований, бесконечных рядов, вариационные методы, методы возмущений, итерационные схемы, методы сведения к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), методы интегральных уравнений, сочетания различных схем и др.

Однако до настоящего времени не был разработан ни один более или менее универсальный алгоритм, пригодный для решения значительной части возникающих задач. Это приводит к тому, что список методов случайного анализа постоянно пополняется новыми алгоритмами. При этом как новые, так и известные методы случайного анализа, как правило, сложны для использования, а большая их часть требует проведения длинных математических выкладок (преобразований, приведения подобных, дифференцирований, интегрирований и др.), выполнение которых вручную является сложной и небезошибочной процедурой.

Поэтому естественными являются попытки использования систем аналитических вычислений (CAB, компьютерной алгебры) при решении таких задач, уже давно предпринимаются попытки автоматизировать процесс исследования стохастических систем, как это имеет место в детерминированном случае3. К сожалению, до сих пор в связи с большими техническими сложностями реализуются, в основном, методы, позволяющие находить только самые простые числовые характеристики фазового векто-ра4. Ситуация здесь во многом сходна с положением в других отраслях науки: современные задачи требуют новых подходов и расчетных инструментов, что не позволяет использовать имеющиеся пакеты прикладных программ, реализующие известные алгоритмы.

Использование CAB позволяет расширить круг методов, доступных для автоматизированного применения, сократить временные затраты при вводе данных об исследуемом объекте, работать с математической моделью в символьном виде, выводить уравнения в каждом конкретном случае, что может приводить к существенному сокращению затрат времени процессора ЭВМ на этапе численных расчетов и др. Существенной частью этих разработок, кроме реализации численных алгоритмов, может быть сочетание численных и аналитических расчетов; автоматизация генерирования подпрограмм вычисления правых частей ОДУ на языках высокого уровня, таких, как Fortran, С, Pascal; построение общих соотношений, связывающих искомые параметры; визуализация полученных результатов с помощью двумерной и трехмерной графики и др.

Подводя итог вышесказанному, можно сделать следующий вывод: несмотря на достаточно долгий период развития статистической динамики, анализ научной литературы показывает существование в области изучения случайных явлений в ди-

3Гердт В.П., Тарасов О.В., Шпрков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике // УФН. -1980. - Т.130. - N1. - С.113-147; Грошева М.В., Ефимов Г.Б., Самсонов В.А. Символьные преобразования на ЭВМ в задачах управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1998- - N 1. - С.80-91; Ефимов Г.В., Зуева Е Ю., Щенков И.В. Из истории развития и применения компьютерной алгебры в Институте прикладной математики имени М.В.Келдьппа // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. - М., 2003. - 20 е.; Максимов В.П., Румянцев А.Н. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике: Конструктивное исследование // Изв. вузов. Математика. 1993. N 5. С. 56-71.

* Пугачев B.C., Синицын И.Н., Шин В.И. Программная реализация метода нормальной аппроксимации в задачах анализа нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. -1987. - N 2. - С.62-68; Rehak M.L., Dimagpo F.L., Benaroya H., Etishakoff I. Random vibration with MACSYMA // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1987. - V.61. - N 1. - P.61-70

намических системах значительного числа нерешенных задач; наличие таких задач объясняется тем, что во многих важных случаях отсутствуют как теоретический аппарат, так и соответствующие алгоритмы расчетов. Это и позволяет сделать вывод об актуальности тематики диссертации.

Цель и задачи работы состоят в создании аналитического аппарата моделирования стохастических систем различных классов, а именно, описываемых обыкновенными стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) с запаздыванием и без, СДУ в частных производных (ЧП), стохастическими интегро-дифференциа-льными уравнениями (СИДУ), со случайным непрерывным и дискретным входом; в поиске путей построения иных математических моделей явлений, описываемых данными уравнениями, моделей, более удобных для дальнейших исследований; в разработке алгоритмов статистической динамики, реализующих построенные методики, с учетом возможностей CAB и в их применении на основе CAB при решении конкретных и содержательных задач математики, механики, физики, техники, экологии и др.; в сочетании при решении одной задачи преимуществ различных CAB; в создании программных комплексов, соединяющих аналитические, численные, управленческие и визуализационные возможности, которые, как правило, требуют для своего построения использования программных средств нескольких типов.

Цель работы достигается в рамках единого методологического подхода, основанного на разработке теоретического аппарата решения поставленных задачи, алгоритмов их практической реализации и решении различных модельных и прикладных задач с использованием CAB на всех этапах исследования.

Положения, выносимые на защиту. Применяемая методология, в рамках которой решен ряд теоретических и прикладных задач различного уровня сложности, формирует общую проблематику и позволяет выделить основные позиции, представляемые на защиту:

1. Аналитический аппарат моделирования и анализа СДУ с постоянными кратными запаздываниями, основанный на расширении фазового пространства исследуемых систем; процедуры вычисления плотности вероятности фазовых векторов, описываемых такими СДУ; алгоритмы практической реализации данного аппарата, представляющие в совокупности решение актуальной научной проблемы статистической динамики.

2. Схема, использующая переход от непрерывной модели к дискретной и обратно, вывода уравнений для первых моментов случайных полей, описываемых СДУ в ЧП, примеры прямого использования схемы и ее применения для вычисления стационарных функционалов вероятности.

3. Методика, основанная на применении формулы Фуруцу-Новикова, и результат построения системы уравнений для первых моментов фазового вектора, удовлетворяющего линейной системе СИДУ.

4. Соотношения между основными числовыми характеристиками случайных векторов (моментами, кумулянтами и квазимоментами), записанные в мультииндексной форме.

5. Необходимое условие существования стационарного потенциала полиномиального типа и применение этого условия для построения нелинейных СДУ с заданными вероятностными характеристиками.

6. Методы моделирования стохастических систем различных классов (полуобратной задачи, бесконечных линейных систем, формального разложения переходной плотности вероятности).

7. Новые элементы в теории и алгоритмизации известных методов статистической динамики (степенных рядов, интегратора, принципа детального баланса) и примене-

ния новых для вычислительной практики функций Христова.

8. Методику построения пакетов прикладных программ (ППП), компоненты которых разрабатываются с помощью существенно отличных друг от друга компьютерных приложений.

9. Результаты численно-аналитических расчетов, полученные при моделировании ряда объектов математики, механики, физики и техники со случайными характеристиками.

Научная новизна. В работе впервые:

- разработан аппарат моделирования и анализа стохастических систем с постоянными запаздываниями, в том числе кратными, который открывает возможности создания нового направления в анализе различных явлений, что и было показано на примерах исследования движения автомобиля по неровной дороге и решения задач экологии;

- построена схема вывода уравнений для первых моментов случайных полей, которая продемонстрирована на примере систем с распределенными параметрами, описываемых стохастическими аналогами уравнений Гинзбурга-Ландау, Бюргерса и колебаний вертикальной колонны под действием случайной следящей нагрузки;

- разработан ряд алгоритмов и методов решения задач статистической динамики, а именно, построения автомодельных решений ФПК-уравнений, нахождения новых условий наличия стохастических потенциалов полиномиального типа и возможности применения принципа детального баланса, вычисления статистических характеристик второго порядка на основе разложения переходной плотности вероятности в ряд по дельта-функциям;

- построены методики практического применения функций Христова при исследовании случайных режимов в системах с распределенными параметрами;

- для решения ряда задач статистической динамики, а именно, при моделировании систем с запаздыванием, интегро-дифференциальных систем и систем со случайными параметрами, применена техника расширения фазового пространства, что позволило получить важные в теоретическом и практическом плане результаты;

- предложено новое направление в стохастической теории чувствительности, связанное с оценкой влияния случайных параметров на вероятностные характеристики объекта;

- построен пакет прикладных программ, в работе которого сочетается качественно различное математическое обеспечение, а именно, система аналитических вычислений, СУБД, язык численного программирования и браузер научного графического редактора;

- осуществлено применение систем аналитических вычислений на всех этапах вероятностного исследования (проведение аналитических выкладок, построение общих соотношений, подготовка вычислительных формул для численно-аналитических расчетов, визуализация, построение замкнутого цикла расчетов в одном сеансе: генерирование подпрограмм на языках численного программирования - запуск компилятора этого языка - запуск построенного ЕХЕ-модуля на счет - визуализация и др.);

- выполнен классификационный анализ отечественных и зарубежных работ по методам и алгоритмам численно-аналитического решения задач вероятностного исследования динамических систем.

Достоверность результатов. Разработка теоретических основ, точных и приближенных алгоритмов стала возможной на основе глубокого сочетания современных достижений естественных и других наук, подкрепленных быстрым развитием технического и программного обеспечения вычислительной техники. Достоверность полученных результатов подтверждается использованием аппарата математического анализа,

дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), численных методов, теоретической и нелинейной механики, оптимального управления, теории вероятностей, теории случайных процессов, современных методов программирования, применением систем аналитических вычислений, сравнением этих результатов с определенными по другим методикам.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют повысить эффективность и качественный уровень научно-исследовательских работ академических и учебных заведений, конструкторских бюро различного назначения, сократить сроки выполнения этих работ. Ряд результатов является значительным вкладом в общую теорию стохастических систем и разработки программных систем.

Материалы диссертации используются в учебном процессе при подготовке и чтении автором курса "Компьютерная алгебра" и "Системы аналитических вычислений в механике" для студентов Пермского государственного университета.

Значимость работы подтверждается также поддержкой исследований личными грантами РФФИ {N 02-01-96406, 2002-2003 г.г.) и МО РФ по фундаментальным исследованиям в области естественных и точных наук (N E02-1.0-151, 2003-2004 гг.).

Личный вклад. Автором лично проводились постановка, анализ, алгоритмизация и решение всех представленных в диссертации задач. Все результаты, изложенные в единоличных публикациях, получены лично автором. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

- на Всесоюзной школе "Системы аналитических вычислений в механике"(Клязь-ма, октябрь 1987 г.);

- па III Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения "(Пермь, апрель 1988 г.);

- на Республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений" (Рига, декабрь 1988 г.);

- на Всесоюзной конференции "Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ" (Вильнюс, апрель 1990 г.);

- на IV Международном совещании по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях (Дубна, ОИЯИ, май 1990 г.);

- на Всесоюзной научно-технической конференции "Применение статистических методов в производстве и управлении" (Пермь, сентябрь 1990 г.);

- на Научно-технической конференции "Применение ЭВМ для решения задач механики" (Севастополь, май 1991 г.);

- на семинаре по приложениям CAB в механике (руководитель - академик Д.М.Климов, Институт проблем механики РАН, апрель 1993 г.);

- на Международном совещании "Приложения компьютерной алгебры" (International Workshop "Computer Algebra Applications", проходившей параллельно конференции International Symposium on Symbolic and Algebraic Computations, ISSAC93; Киев, Украина, июль 1993 г.);

- на Международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике (International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics, CSAM' 93; Санкт-Петербург, июль 1993 г.);

- на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизации проектирования в машиностроении (Модель-проект 95)"; Казань, июнь 1995 г.);

- на Международном совещании "Новые компьютерные технологии в системах

управления" (International Workshop "New computer technologies in control systems"; Переславль-Залесский, август 1995 г.);

- на VII Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, Украина, май 1996 г.);

- на Международных симпозиумах по символьным и алгебраическим вычислениям (International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation; ISSAC-96, Цюрих, Швейцария, июль 1996 г.; ISSAC-98, Росток, Германия, август 1998 г.);

- на Международной конференции "Вычислительное моделирование и вычисления в физике" (International Conference "Computational Modelling and Computing in Physics"; Дубна, ОИЯИ, сентябрь 1996 г.);

- на Юбилейной научной конференции, посвященной 80-летию университета (Пермь, ПГУ, октябрь 1996 г.);

- на Зимних школах по механике сплошных сред (11-й - Усть-Качка, февраль-март 1997 г.; 13-й - Пермь, февраль 2003 г.);

- на Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (International Conference "Modelling and Investigation of Systems Stability"; Киев, Украина, май 1997 г.);

- на VII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1997 г.);

- на Международной конференции "Компьютерная алгебра в научных вычислениях" (International Conference "Computer Algebra in Scientific Computing"; Санкт-Петербург, апрель 1998 г.);

- на V Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН, июнь 1998 г.);

- на Всероссийской научной конференции "Фридмановские чтения"(Пермь, сентябрь 1998 г.);

- на Международной научно-методической конференции "Университеты в формировании специалиста XXI века" (Пермь, ПГУ, май 1999 г.);

- на Пермской конференции "История физико-математических наук" (Пермь, ПГУ. октябрь 1999 г.);

- на 6-ой Международной конференции IMACS по приложениям компьютерной алгебры (6th International IMACS Conference on Applications of Computer Algebra; Санкт-Перербург, июнь 2000 г.);

- на 20 Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (20th Intern. Congress on Theoretical and Applied Mechanics, ICTAM2000; Чикаго, США, август 2000 г.);

- на Международных симпозиумах по системе Mathematica (International Mathe-matica Symposium; IV - IMS2001, Токио, Япония, июнь 2001 г.; V - IMS03, Лондон, Великобритания, июль 2003 г.);

- на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, август 2001 г.);

- на V и VI Международных конгрессах по математическому моделированию (V, VI International Congress on Mathematical Modelling; V ICMM, Дубна, октябрь 2002 г.; VI ICMM, Н.-Новгород, сентябрь 2004 г.);

- на Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Екатеринбург, февраль 2003 г.);

- на III Всероссийском совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики вузов Российской Федерации (Пермь, июнь 2004 г.):

- научном семинаре кафедры механики и управления Пермского госуниверситета (руководитель - проф.Маланин В.В.);

- научном семинаре лаборатории N 15 Института механики сплошных сред УрО РАН (руководитель - д.ф.-м.н. Райхер Ю.Л.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 67 работ.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 406 страницах, включает 16 таблиц, 111 рисунков, библиографию из 505 литературных источников, состоит из списка обозначений и сокращений, введения, 6 глав, заключения и приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из следующих основных разделов:

Обозначения и сокращения.

Введение.

1. Методы решения задач статистической динамики.

2. Построение аппарата и аналитические методы анализа нелинейных систем.

3. Разработка методов и алгоритмов расчета основных вероятностных характеристик фазовых векторов.

4. Случайные режимы обобщенных динамических систем.

5. Некоторые прикладные задачи статистической динамики и моделирования случайных режимов.

6. Автоматизация моделирования и анализа нелинейных объектов.

Заключение.

Список литературы.

Приложения.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования.

Первый раздел носит обзорный характер.

В подразделе 1.1 приведены необходимые сведения по теории марковских случайных процессов, которая служит теоретической основой работы, определены используемые объекты, такие, как марковский случайный процесс, белый шум £(t), стохастическое дифференциальное уравнение в смысле Стратоновича5

dx{t) = f{x,t)dt + G{x,t)dw{t) (1)

(х £ R", w = £ е Rm - вектор независимых гауссовских белых шумов с единичными интенсивностями; w 6 Rm - стандартный винсровский процесс с нулевым математическим ожиданием и единичной матрицей дисперсий; /(•, •) = {(/,(•, -)}т : R" х [i0, оо) —► R" и (?(■,•) = {эи(-,-)} : х [*о,оо) -> R" х Rm - неслучайные вектор и матрица), переходная р(х, t\y, т) и одноточечная р(х, t) плотности вероятности распределения фазового вектора, ФПК-уравнение для этих характеристик

|=М-] -¿¿[-(«.ад] (2)

с начальным условием

lim p{x,t\y,T) = 6(x-y) или p(x,t0) = po(z) (3)

соответственно, где "' '

^ п т ßg ^ т

а' = /< + ö Е Z яГ9]к, Ьц = Y, 9<к9,к, (4)

ОХ3 4=1

ьДименберг М.Ф. См.1

моменты, кумулянты, ковариацни и т.д.

В подразделе 1.2 предлагается классификация существующих методов статистической динамики и их обзор. Необходимость такой классификации назрела давно, но несмотря на значительное число известных методов и алгоритмов, различные авторы (М.Ф.Диментберг, H.Risken)6, как правило, в своих обзорах упоминают весьма ограниченный список таких методик, что не может служить основой для удобной классификации. В представленной работе более, чем 90 методов, разнесены на 12 групп.

В подразделе 1.3 дается понятие о компьютерной алгебре, приложениях систем аналитических вычислений (CAB) и применении компьютерной алгебры для решении задач статистической динамики. Компьютерная алгебра (системы аналитических вычислений) выделилась в отдельную ветвь Computer science в 1965 г. С тех пор данное направление, как и все компьютерные науки, шагнули далеко вперед, а сами CAB превратились в мощный инструмент исследователя-математика, физика, механика и т.д. Современные CAB массового применения, такие, как Mathematica и Maple, обладают множеством привлекательных характеристик, которые обеспечивают получение результатов научной работы быстрым и удобным способом.

К сожалению, применение CAB в статистической динамике нельзя признать достаточно распространенным, имеются только немногочисленный ряд прикладных работ соответствующего направления. Здесь необходимо отметить, что ощутимый объем из указанного списка составили работы ученых ПГУ, выполненные под руководством профессора В.В.Маланина.

В подразделе 1.4 описывается краткая история появления и развития статистической динамики.

Второй раздел работы связан с построением аналитического аппарата исследования, который применяется для точного и приближенного решения задач как в данном, так и в других разделах.

В подразделе 2.1 в мультииндексной форме выводятся соотношения, связывающие основные числовые характеристики случайных величин - начальные моменты

кумулянты (семиинварианты) и квазимоменты муль-

тииндекс, |а| = öj + Ü2 +...+ап), наиболее часто применяемые на практике. Основные результаты сформулированы в виде утверждения и трех следствий к нему:

ЛЕММА 2.1. Связь между начальными моментами та и кумулянтами ха случайного вектора выражается формулами

а а

та+е, = Е Cnxß+e.ma-0< *а+е. = "We.~ Е О > 0, X < S < П.

ß=0 ß=Q,ß^a

Следствие 2.1. Старшие смешанные моменты n-мерного нормального распределения

1 "

"о Е vJk(xj ~ ~ ак) ,

где а, = M[zJ, V = {D^}, j,k = 1,7? - матрица ковариаций, \D\ - определитель матрицы V, * элементы обратной к V матрицы, могут быть вычислены по формуле

m^-a5mf_e>+(a3-l)P„mf_2£,+ £ akV,km^k, N > 0, 1 < a < п. (5)

k=l,k^s

еДиментберг М.Ф. См.1; Ruhen И. The Fokker-Planck equation. Methods of Solution and applications. 2nd ed. - Berlin: Springer-Verlag, 1996. - 488 p.

СЛЕДСТВИЕ 2.2. Моменты та и квазимоменты qa случайного вектора х связаны соотношением ^

где моменты вычисляются по формулам (5).

СЛЕДСТВИЕ 2.3. Для кумулянтов ха и квазимоментов qa случайного векторах верно равенство

Е Ci+e,ma-0+B, ЯР = £

Вид полученных соотношений позволяет сделать вывод, что они более удобны для использования в приложениях, чем известные, так как замкнуты, пе требуют перестановки индексов, а количество последних неизменно и зависит только от размерности случайного вектора. В этом же подразделе рассматривается программный пакет ProbRel, созданный на входном языке системы аналитических вычислений (CAB) Ma-thematica и предназначенный для облегчения практического использования построенных соотношений, приведены структура и примеры применения пакета. Результаты этого подраздела использованы при решении ряда задач в рамках настоящей работ и представляют интерес с точки зрения алгоритмической поддержки CAB.

В подразделе 2.2 для исследования случайных режимов в нелинейных динамических системах предлагается метод полуобратной задачи для решения уравнения Фок-кера-Планка-Колмогорова. Такое название метода связано с его положением: обычно в прямых задачах по заданным уравнениям разыскиваются их решения; в обратных задачах по решениям - коэффициенты уравнений. Рассматриваемый метод занимает промежуточное положение между этими двумя крайними точками: задаваясь решением ФПК-уравнения и частью его коэффициентов, можно найти остальные коэффициенты этого уравнения.

При исследовании различных систем очень часто возникают задачи о получении решений заданной структуры (периодических, автомодельных и др.), которые важны как для понимания процессов, происходящих в данных системах, так и для практических приложений. В пункте 2.2.1 рассматриваются две задачи подобного типа. Первая состоит в нахождении условий, когда нестационарное уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова имеет решение, не зависящее от времени. Во второй определяются соотношения для коэффициентов ФПК-уравнения, которые приводят к перемещению кривой распределения без изменения формы. Такие постановки задач важны, например, в теории управления, когда требуется поддерживать вероятностные характеристики фазового вектора вблизи заданных значений7.

В пункте 2.2.2 рассматривается задача о получении необходимых условий существования стохастических потенциалов полиномиального типа в случае, когда нелинейности коэффициентов ФПК-уравнения носят степенной характер. Эти условия существенно упрощают применение метода неопределенных коэффициентов, что и используется в сочетании с методом полуобратной задачи при решении ряда конкретных задач. Так с использованием данного метода решена хорошо известная проблема о виде систем СДУ, имеющих гауссово стационарное распределение фазового вектора. Решение другой задачи дает два класса стохастически эквивалентных нелинейных систем, а именно, показано, что стохастический потенциал

_0 = (х? + х\? - (l? + xl)

7Красовский А.А. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. - М.: Наука, 1968. - 240 с.

имеют системы с характеристиками

Л = g\*i - Сц2 - ifcitä + х\) + С2(х?х2 + х^), /2 = Cji, + 5^x2 - 2s^x2(x? +1|) - C2(z? + х!х|)

1

1,

U = 4(23? + С4)х, + - 2sfxf + -(-2С, +С3- 2С5)х2-

—C2XjX2 + C5xjx2 + ^C4xixSj + (~2д\ - С4)хtX2+ +|(-2С2 + Сз - 2С5)х| - C3x\xl - С4Х1Х2 + (~С3 + С5)х^, h = Chi + С2Х[ + С5х* + - С4)х2 - ¿С4х?х2+

+С4х\х2 + |(2С2 - С3 + 2C5)xix^ + Съх\х\+

+д\х\ + (-2д\ + СА)х\х\ + (С3 - Съ)ххх\ - 2д\х%,

где Ск - произвольные постоянные, а белые шумы - аддитивные в первом случае и мультипликативные во втором.

Рассмотренная схема может быть применена для построения систем требуемой структуры с заданными вероятностными характеристиками.

Объект исследования в подразделе 2.3 - принцип детального баланса (ПДБ)8. ПДБ - хорошо известный метода анализа систем в физике, который относительно недавно стал применяться для поиска решений стационарных Ф ПК-уравнений. При достаточной общности этого принципа использование его выводов на практике затруднительно даже с применением CAB. Поэтому в работе, исходя из ПДБ, получены соотношения, представленные в виде двух лемм и следствий к ним: ЛЕММА 2.2. Пусть система СДУ имеет вид

где все х, - четные переменные (е, = 1), а В = GGT - невырожденная матрица. Тогда необходимые условия существования потенциала будут иметь вид

Е

к=1

л

= Е

к=1

(6)

где i,j = 1,2,..., n, i ф j, dtk - элементы матрицы D = В-1.

Следствие 2.4. Пусть G - постоянная матрица, тогда соотношения (6) принимают форму

к-Л ахз к= 1 ' Лемма 2.3. Пусть система СДУ имеет вид

х + Нх + f(x) = С?,

вГардинер K.B. Стохастические задачи в естественных науках. - М.: Мир, 1986. - 526 с.

где Н,0- постоянные матрицы, а произведение В матрицС и (У невырождено. Тогда для существования стохастического потенциала необходимо выполнение равенств

9/р _ dfp

р=1

°дхг'

l,j=l,n, i^ij,

(7)

где - элементы симметричной матрицы IV = В-1 Я. Следствие 2.5. Если

+<30

а=0

(а - мультииндекс), то условия (7) эквивалентны системе равенств

п п

Е + = Е + 1)/р,«+е,! а > О,

Р=1 Р=1

где е* = {¿ь}, 1 <к,з <п,$к,- символ Кронекера.

Эти соотношения позволяют в некоторых частных случаях решить поставленную задачу в квадратурах. Далее приведены примеры анализа конкретных систем СДУ с одной и многими степенями свободы, предложен алгоритм реализации на компьютере формализма ПДБ в символьном виде с помощью одной из систем компьютерной алгебры. Например, для системы СДУ

х, + С.30Ж? + с,211?Х2 + с,\гХ1х\ + (\тх\ = ¿=1,2,

где с,зо, с,21, с,12 и с,оз " постоянные, причем о и с,оз неотрицательны, потенциал и его линии уровня для сш = 1, сщ = 0.24, сцч = -0.66, сюз = 0.08, сгзо = 0.08, От = -0.66, с212 = 0.24, Сад = 1, д\ = дг = 1 изображены на рис.1 и 2.

Рис.1

Рис.2

Третий раздел посвящен вопросам разработки и реализации приближенных методов анализа нелинейных динамических систем со случайным входом.

В подразделе 3.1 изучаются системы, на поведение которых влияют факторы в виде случайных параметров (не изменяемых во времени случайных величин). Важность анализа таких систем связана с тем, что при моделировании реальных технических объектов случайные параметры представляют разброс конструкционных и технологических параметров изделий в поле допуска.

В пункте 3.1.1 рассматривается метод интегратора, разработанный G.C.Looney9, с коррекциями и дополнениями автора данной работы. Этот метод предназначен для

яЬоопеу C.G Numerical solution of systems of random differential equations with Gaussian statistics

О 3 t 9 12 15 О 3 6 9 12 15

Рис.3 Рис.4

численной оценки первых моментов нелинейных систем с нормально распределенными начальными условиями и случайными параметрами. При решении конкретных задач метод был реализован с помощью программ на входных языках систем аналитических вычислений Reduce, Mathematica и Maple. В качестве первого примера рассмотрено движение снаряда в атмосфере. Для оценки точности метода часть задачи была решена аналитически. Сравнение теории с численными расчетами показало приемлемость алгоритма. Кроме этого, исследовалась простейшая система гидродинамического типа вида10

которая описывает также движение гироскопа с изотропным трением, возбуждаемого постоянным моментом внешних сил относительно неустойчивой оси. Стационарное решение рассматриваемой системы определяется параметром аналогом числа Рейнольдса. В предположении случайности параметра R,, имеющего гауссово распределение моделировалась динамика первых моментов мод и !з, вид которых изображен на рис.3, 4 для R,о = 1. Показано, что математическое ожидание имеет в единице точку бифуркации.

В пункте 3.1.2 представлен метод бесконечных линейных систем, позволяющий построить аппроксимацию плотности вероятности, причем в отличие от многих других алгоритмов на любом уровне замыкания оценка плотности имеет вероятностный характер. Так на рис.5 показана динамика точных (непрерывная линия) и приближенных (точечная) профилей плотности вероятности смещения описываемого модельным уравнением

(хо - случайная величина). Имеющиеся в литературе аналоги данного алгоритма имеют более узкое применение, например, предназначены для анализа систем с угловыми координатами.

В пункте 3.1.3 рассматриваются вопросы замены винеровского процесса в задачах статистической динамики линейными комбинациями тригонометрических функций с коэффициентами - независимыми случайными величинами. Важность этого состоит в том, что исследование нелинейных систем со случайным шумом на входе представляет собой достаточно сложную задачу. С другой стороны, анализ поведения объектов, моделируемых дифференциальными уравнениями со случайными параметрами, вообще говоря, более прост. Поэтому иногда имеет смысл приближенно заменить первые

1[>В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. - М.: Наука, 1975. - 239 с.

■ 2 -1 0 1 2 0 0.5 1 1.3 2 2.5 3

Рис.5 Рис.6

вторыми. В данном пункте численно оценивались характеристики такой замены. Так для нелинейной системы

х + г + £х3 = г > 0, 5 > 0 (9)

качество рассматриваемой замены (линии 0 и 1) по отношению к дисперсии смещения х можно уяснить из рис.6.

В подразделе 3.2 объектом исследования являются нелинейные динамические системы, возмущаемые белыми или цветными шумами.

02468 10 012345

Рис.7 Рис.8

В пункте 3.2.1 представлен обобщенный метод интегратора, разработанный автором в ряде работ. Этот метод является развитием метода интегратора и позволяет приближенно вычислять моменты фазового вектора до любого (разумного) порядка. Необходимость такой разработки состояла в том, что метод интегратора плохо адаптирован для систем с мультипликативными шумами. Кроме этого, он дает оценки только первых двух моментов фазовых координат. Разработанный обобщенный метод ликвидирует указанные пробелы, представляя собой еще один способ замыкания бесконечных систем соотношений для моментов различных порядков, а также может быть приспособлен для анализа случайных полей, описываемых СДУ в частных производных. Приведенные примеры демонстрируют пригодность данного метода для моделирования систем различных классов.

В одной из задач исследовался физический маятник, к которому приложена сила а центр вращения маятника мог перемещаться в горизонтальном и вертикальном направлениях по законам являются независимыми гауссов-

скими случайными функциями типа белого шума с единичными интенсивностями.

Уравнение движения этого маятника ( £ - угол отклонения от вертикали) может быть приведено к виду11

ф + 2 аф + J1 sin ^ + + Ы2 (0 cos <р +г/3£3 (<) sin <р = 0. (10)

Динамика вторых центральных моментов фазовых координат изображена на рис.7 для а = 0.1, ы = 2, Tnj(0) = 2, Тог(0) = 0, v¡ = 1/6, v2 = 1/3 = 1/4. Анализ всего спектра графиков показал, что изменение коэффициентов при шумах в данной задаче не оказывает практически никакого влияния на средние фазовых координат. Ситуация же с элементами матрицы дисперсий другая: налицо существенный рост размаха колебаний этих элементов (в полтора-два раза) при увеличении

В пункте 3.2.2 рассматриваются вопросы представления переходной плотности вероятности с помощью ряда по дельта-функциям Дирака и их производным. Такое представление позволяет вычислять характеристики не только первого (моменты), но и второго порядка ( корреляционные функции и спектральные плотности). В работе представлены соответствующие соотношения. Известные из литературы алгоритмы основаны, как правило, на разложении переходной плотности в ряд по собственным функциям оператора ФПК-уравнения, что до сих пор представляет весьма непростую задачу. Разработанный алгоритм продемонстрирован на примере ставшей уже классической системы первого порядка (9), где е > 0 - малый параметр, причем в случае линейного аналога данной системы результаты применения метода совпадают с известными из литературы12 теоретическими. На рис.8 приведены графики спектральной плотности смещения для различных значений параметров.

Рис.9 Рис.10

В пункте 3.2.3 представлена модификация метода степенных рядов А.А.Красовс-кого13, рассмотрены проблемы практического использования метода и, в частности, теоретические аспекты отображения многомерных "треугольных" массивов в линейную ОП компьютера. Данная модификация распространяет указанный метод на случай зависимости матрицы диффузии от фазовых координат и имеет относительно простую структуру системы ОДУ для коэффициентов разложения логарифма плотности вероятности в степенной ряд, удобную для практической реализации. Алгоритм демонстрируется на примере анализа системы

¿1 + Си® 1 + С12Х2 + ßix\ = VsîÇlt ¿2 + C21I1 + СПХг + = (11)

11 Николаепкп H.A., Ульянов C.B. Статистическая динамика машиностроительных конструкций. -М.: Машиностроение, 1977. - 368 с.

"Гардинер К.В. См.1

иКрасовский A.A. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом рядов // ДАН СССР. - 1972. - Т.205. - N 3. - С.550-552.

где Су, /i,, 3, > 0, i,j = 1,2 - постоянные, для которой было выполнено моделирование изменения плотности вероятности Вид плотности вероятности в момент времени, соответствующий окончанию расчетов, изображен на рис.9. В качестве одного из методов замыкания бесконечной системы ОДУ для коэффициентов разложения плотности предложена процедура галеркинского типа, пригодность которой продемонстрирована при примере системы Ван-дер-Поля

где h и д - положительные постоянные. Вид аппроксимации соответствующей стационарной плотности вероятности изображен на рис.10.

В четвертом разделе изложена теория и приведены примеры применения этой теории для анализа нескольких классов систем, которые названы обобщенными динамическими. Термин "обобщенные" здесь используется в смысле, отличном от обычно употребляемого в теории стохастических дифференциальных уравнений, а фиксирует то, что для изучения рассматриваемых систем пока не существует такого ставшего уже классическим аналитического и в то же время прикладного аппарата, как теория случайных марковских процессов. Можно надеяться, что изложенные в данном подразделе результаты в какой-то мере помогут будущим исследователям построить соответствующие полные теории.

В подразделе 4.1 изложена методика исследования стохастических дифференциально-разностных систем с постоянным запаздыванием

основанная на расширении фазового пространства. Данный подход базируется на построении цепочки уравнений типа Фоккера - Планка - Колмогорова для переходных плотностей распределения фазовых векторов увеличивающейся размерности. Предложены четыре аналитических схемы, на основе которых можно строить процедуры вычисления аппроксимаций плотности вероятности и первых моментов фазовых координат. Заметим, что до сих пор основным методом анализа систем подобного типа является метод Монте-Карло, недостатки которого хорошо известны. Применение представленной методики демонстрируется на модельных примерах анализа линейных и нелинейных (колебания демпфированного вибратора, на который действует пружина с запаздывающей реакцией) систем, приведенных в заключительной части подраздела. Например, расчеты показали, что переход смещения х к стационарному состоянию в системе, описываемой уравнениями

происходит в форме колебательного режима в отличие от апериодического для соответствующей системы без запаздывания. Это наглядно видно по поведению плотности вероятности х, изображенной на рис.11 и 12.

Аналитический аппарат, разработанный в данном разделе, применяется в разделе 5 для решения задачи транспортировки. Кроме этого, идея разработанных алгоритмов без особого труда может быть применена для анализа ОДУ и уравнений в частных производных детерминированных систем с постоянным запаздыванием на основе стандартных средств CAB Mathematica.

В подразделе 4.2 рассматриваются вопросы изучения систем стохастических инте-гро-дифференциальных уравнений (СИДУ).

Рис.11

Рис.12

В пункте 4.2.1 решается задача построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для математических ожиданий и корреляционных моментов

п 71 г

«.(О = Е МгН№ + Т, вчЛФ^М^.

р=1(о

-я;-= ^ М^Н-ДМг) + ¿^

I Вф(г1,г)т;р((2,г) <0

IВ1р(«ьг)7Пр;(г,<2)^г ,

¿7Пц(М) = Л

¿г ^

р-1

А,р(<)ти(М) + А«('К.(М)

+

В,р(е,т)т,р(£,т) + В,р(4,г)ш,р({,г)

9=1

компонент векторного случайного процесса, удовлетворяющего системе линейных СИ-

ДУ

= + + (1)^(0, ¿ = (14)

Р=1 р=1(0 9=1

где А,р, В1р И - известные непрерывные функции своих аргументов.

Приближенное решение построенных уравнений в некоторых случаях может быть более удобным по сравнению с часто применяемым численным решением уравнений для матрицы Коши, а затем численным же определением интегралов от произведений элементов этой матрицы и некоторых заданных функций.

В пункте 4.2.2 рассматривается проблема сведения систем СИДУ к стохастическим дифференциальным уравнениям. Представлены две точные и одна приближенная схемы такого сведения, приводятся примеры применения схем для анализа переходных процессов, описываемых модельными уравнениями

I

¿(4) = -1(0 - /31 йт + до№

£(<) + 2сй(«) + + /31 е"<1'-т)х3(т) йт = о

Характерные переходные режимы для первых моментов х(4), описываемого последним уравнением, изображены на рис.13 и 14.

Рис.13

Рис.14

Как следует из известных источников4, в отличие от представленных схем авторы, как правило, рассматривают только случаи экспонентно-разностного ядра для точного сведения или применения процедур численного интегрирования (метод прямоугольников) для приближенного решения таких задач.

В пункте 4.2.3 представлена приближенная схема вычисления математических ожиданий и корреляционных моментов для компонент векторного случайного процесса, являющегося решением системы линейных СИДУ типа (14). Эта схема основана на итерационной процедуре аппроксимации матрицы-функции Коши для указанной системы в виде

и представляет собой аналог метода последовательного дифференцирования для систем ОДУ. Данная процедура была применена для моделирования случайного режима в системе

х + 2ах + и:

,lx + ßje-^x(T)dT = g<£{t)

(15)

и при сравнении с точным решением, полученным с помощью сведения уравнения (15) к системе линейных СДУ, показала свою эффективность.

"Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроавто-упругость. - М.: Наука, 1980. - 384 е.; Потапов В.Д. Устойчивость движения стохастической вязко-упругой системы // Прикладная математика и механика. - 1993. - Т.57. - Вып.З. - С.137-145.

В отличие от существующих методов итерационного решения уравнений для матрицы Коши в предложенной процедуре операция интегрирования не используется, что, естественно, позволяет применять рассмотренную методику для более широкого класса систем, чем существующие алгоритмы.

В подразделе 4.3 представлен новая методика вывода моментных уравнений для случайных полей, которые описывают поведение нелинейных распределенных систем

т

= f{x, г, и, и'х, и"хх,...) + в{х, г, и, и'х, ихг,...) т){х, г)

(16)

с начальным условием возмущаемых внешними и внутренними слу-

чайными полями. Методика основана на дискретизации СДУ в частных производных, выписывании на основе ФПК-уравнения моментных уравнений для счетного числа фазовых координат, а затем на обратном переходе к непрерывной среде. Привлекательность такого подхода состоит в том, что аппроксимационные процедуры дискретизации при вычисления моментов могут применяться для решения детерминированных уравнений, а не стохастических, как это обычно происходит на практике. Показано, что в некоторых случаях эта методика позволяет строить аналитические выражения стационарных функционалов вероятности анализируемых полей. Методика демонстрируется на ряде примеров, среди которых стохастические аналоги уравнений Гинзбурга-Ландау, Бюргерса, параметрических колебаний колонны. Так в случае системы двух уравнений Гинзбурга-Ландау

дщ (х,1) (Н

= ¿¡о д + сии¡(х,г) + с12и2(т,г) + Спи^г,*) + 0\щ{х,О,

диг^ = 4, + «21 "1(1,о + Ски-2(х,0 + С2зг4(х,<) + аггц[х, ¿),

где < 0, с,о, с, 1, с,2, с, - постоянные (г = 1,2), установлено, что при условии С\'га\ = с2¡а* функционал вероятности будет иметь вид

( г п г +00 2 +0°/ \'

<Р. = С'-ехР Е^ у / / и\{х)йх-Ц / к(х)1

Н—1 1 1- -00 —00 -00

йх

+ I и1(х)и2(х)&|.

1.3 1.25 1

0.75 0.5 0.25

р

.0

ч N Ч- *

Р.1 /л

л

1

Рис.15

Рис.16

В подразделе 4.4 рассматривается задача анализа систем, которые подвержены совместному влиянию непрерывных и дискретных случайных воздействий, обычно описываемых белыми шумами и пуассоновскими процессами соответственно. Для решения задачи вычисления плотности вероятности случайного смещения, которая удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Колмогорова-Феллера

была применена схема, основанная на построении системы ОДУ для начальных моментов

и точном их решении. При этом значения плотности были приближенно восстановлены на основе отрезка ряда Эджворта (рис.15), причем необходимые для построения плотности квазимоменты вычислялись с помощью соотношений представленных в подразделе 2.1. Для ряда случаев была построено аналитическое решение уравнения для стационарной характеристической функции, по которой вычислялась соответствующая плотность вероятности. Имеющееся в книге15 решение данной задачи получено более сложным искусственным путем.

В пятом разделе представлен ряд прикладных задач из различных областей науки.

В подразделе 5.1 рассматривается классическая задача о вращательном движении динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки под действием малого диссипативного, а также случайных аддитивного и мультипликативного моментов

x + f{x) = -£Dx + <JsGl£ + yfiG2V, f = {-kx2xz, кх3хх, 0}т,

к —{А — С)/В > О, С\ = diag(§n хх, gnx2, 513X3), G2 = diag(gji, gn, ga),

g,3 = const, ¿=1,2, j = 1,2,3,

где x = {х\,%г,хз}т - вектор угловой скорости тела в связанной системе координат; А — В, С - главные центральные момепты инерции тела; е - малый положительный параметр; D = {dtJ} - ЗхЗ-матрида с положительными элементами; £ = {£ь£2>?з}г и г] = {?/[.т(2,щ}т - независимые гауссовы векторные белые шумы с единичными

интенсивностями. Методом усреднения впервые построена стационарная плотность распределения характеристик такого движения, приведены графики маргинальных стационарных плотностей распределения (для амплитуды колебаний - на рис.16) и условия их существования.

В подразделе 5.2 построен аналитический аппарат и анализируется движение транспортного средства (ТС) по неровной дороге (рис.17), представляемой случайным процессом типа цветного шума. В линейной модели учитывается наличие расстояния между осями передних и задних колес. Используя переход от уравнения фильтра, описывающего случайный микропрофиль дороги, к ФПК-уравнению и обратно построена модель микропрофиля, пригодная для анализа движения при любой скорости (в т.ч. и переменной) ТС. Программно сгенерирована и численно решена система обыкновенных дифференциальных уравнений для первых моментов вертикального перемещения

"Тихонов В.И., Миронов М.А. См.1

dp(x.t) = ддгр{хл) д dt 2 дх2 дх

[axi>(x,i)]-fp(x,i) + ^ J . V \p(x',t)dx', (17)

-со

Рис.17

Рис.18

Рис.19

и угла галопирования (на рис.18, 19 приведена динамика дисперсий двух из фазовых координат) для различных скоростей движения, типов дорог и автомобилей. Для решения поставленной задачи применена одна из процедур, представленных в подразделе 4.1. Как правило, при решении подобных задач исследователи какими-либо приближенными процедурами стараются избавиться от запаздывапия. Применение же метода Монте-Карло, как известно, имеет свои минусы.

В подразделе 5.5 для анализа поведения упругой колонны под действием случай-ной осевой нагрузки

сРи „ ди -гд*и _ Ô5«

« +F(Î) «(O.t) = uxx{0,t) = u(L,t) = uxx{L,t) =

Ox2 ' 0,

где a - малый параметр, EI - жесткость колонны на изгиб; m - погонная масса, R — SEI/lTul = фЕ1/2жи) - коэффициент внутреннего вязкого трения на единицу длины, ф — коэффициент внутреннего поглощения; S ~ 0.05..0.15 для металлических конструкций, w - частота собственных колебаний, P(t) = Ро^1+<То£(')] > Ро> "о ~ постоянные коэффициенты, Ç(i) - белый шум, L - длина колонны, построены уравнения в частных производных (ЧП) для первых моментов случайного смещения точек колонны от положения равновесия, для вывода которых использовано понятие функционала вероятности. Результирующие уравнения совпали с построенными в подразделе 4.3,

012345 012345

Рис.20 Рис.21

что является косвенным подтверждением пригодности представленной там методики. Для решения этих уравнений применен метод Галеркина (на рис.20 и 21 изображено поведение математического ожидания и дисперсии смещения середины колонны). В монографии16 при той же постановке задачи сначала применялась процедура Га-леркина, заменявшая одно СДУ в ЧП на бесконечную систему обыкновенных СДУ, которые затем и исследовались.

Рис.22

В подразделе 5.4 для приближенного решения моментных уравнений для случайных полей применяется ортонормированная система функций Христова17

П+1 п+1

приведены свойства этих функций. На примерах полей, описываемых уравнениями Гинзбурга-Ландау (рис.22) и Бюргерса, продемонстрирована техника приближенного анализа, основанная на применении символьных выкладок на компьютере и численных расчетов. Заметим, что в иностранной литературе данная система функций была опубликована более 20 лет назад, но применение ее до появления современных

Ibrahim R.A■ Parametric random vibration. - Letchworth: Roseaich Sludies Press Ltd., 1985. - ХП, 342 p.

17Chnstov C.I. A complété orthogonal system of functions in L2(-oc, oo) space // SLAM J. of Appl. Math. - 1082. - V.42. - N 6. - P.1337-1344.

мощных CAB было невозможным. В работе представлен алгоритм, сочетающий генерирование правых частей уравнений для коэффициентов разложения моментов в системе Mathematica, построение оптимизированных Fortran-программ средствами CAB Maple, численный счет в Compaq Visual Fortran и визуализацию результатов средствами CAB Mathematica.

В подразделе 5.5 рассматриваются вопросы, связанные с экологическим мониторингом и оценкой уровня загрязнения речной воды.

В пункте 5.5.1 осуществляется введение в проблематику математической экологии, обосновывается необходимость решения соответствующих задач.

В пункте 5.5.2 рассматривается задача оценки характеристик r,(t), },(i) (г = 1.2,3) загрязнения речного водного бассейна, который моделируется каскадом нескольких водных резервуаров:

r2(i) = 0.9 £ ajr^t - т>) - 1.32z2(i)+0.1m2(i) + 4.19 +

г3(г) = 0.9 ¿a,r2(i - г,) - 1.32z3(t) + 0Am3{t) + 4.19 +

(в рассмотренном примере s = 3). Такая модель приводит к необходимости применения стохастических дифференциальных уравнений с кратными запаздываниями

В данном пункте произведено распространение теории подраздела 4.1 на изучаемый класс уравнений. Затем построенная теория применяется для решения поставленной задачи, что позволило вывести и решить уравнения для первых моментов случайных характеристик загрязнения (на рис.23 и 24 - математические ожидания и дисперсии фазовых координат). Аналитические выкладки, расчеты и представление результатов произведены с помощью пакета Mathematica. Разработанная в диссертационной работе методика полностью снимает все проблемы при решении рассмотренного класса задач.

В пункте 5.5.3 решается задача распространения пятна загрязнения по течению реки на основе стохастической модели конвективного переноса

где с(х, i) > 0 - концентрация загрязняющих веществ в точке х в момент времени i; D, К, U - положительные постоянные, представляющие собой неслучайные коэффициенты продольной диффузии и консервативности вещества, а также среднюю скорость водного потока. В процессе решения построены и решены в аналитической форме уравнения для двух первых моментов случайной концентрации загрязнения

Рис.23

Рис.24

Рис.25

(на рис.25 представлено изменение профилей математического ожидания концентрации с). Длинные выкладки и представление результатов выполнено с помощью CAB Mathematica.

В подразделе 5.6 рассматриваются принципы использования CAB Mathematica для решения задач оптимизации по критерию обобщенной работы и на основе использования уравнения Беллмана, представлен ряд вариантов операционного метода ААКрасовского, предназначенный для решения указанного выше уравнения, и теоретический аппарат применения метода степенных рядов, аналогичный разработанному для решения ФПК-уравнений. На рис.26 показаны поверхности функции Беллмана, полученные последним методом при построении оптимального регулятора, который наилучшим образом успокаивает колебания, возникающие в системе

x + 2ai + J2x + fixi = ti л/ff

из-за случайных возмущений.

а,ш,/1,д > О

Рис.26

Рис.27

В подразделе 5.7 представлена задача оценки влияния на движение объекта разброса внутри поля допуска детерминированных и случайных конструкционных параметров и технологических погрешностей, рассмотрена методика решения задачи, принципы и техника ее практической реализации. Приведено описание основного моделируемого объекта и пакета программ численной части процедуры решения задачи. Для упрощения анализа существенно нелинейных систем предложена новая, хотя и хорошо в теории вероятностей известная функция, сглаживающая нелинейности типа sign. В последнем пункте подраздела рассматривается новое направление применения стохастической теории чувствительности для анализа случайных процессов в нелинейных динамических системах. Данное направление связано с оценкой влияния на основные характеристики фазового вектора изменения как детерминированных, так и случайных параметров. Для модельной системы

где в начальный момент времени случайное смещение х распределено по нормальному закону

(Д - детерминированные параметры, i = 1..5), построены функции чувствительности плотности вероятности смещения х к изменению параметров /3,. На рис.27 изображена такая функция для i = 3 (цифры рядом с отдельными графиками указывают на моменты времени t^ = 0.2fc, к = 0..5, которым эти графики соответствуют).

Шестой раздел посвящен описанию разработанных автором работы трех пакетов прикладных программ (ППП), созданных в различное время и предназначенных для целей автоматизации научных исследований и обучения.

В подразделе 6.1 представлен комплекс программ DifNewR, позволяющий находить частные производные от правых частей последовательности алгебраических равенств, записанных в фортраноподобном виде. Данный комплекс представлял собой аналитическую часть процедуры решения задачи из подраздела 5.7 и применялся при подготовке численных расчетов в задаче об анализе влияния случайных параметров на динамику системы, состоящей из трех тел.

В подразделе 6.2 описывается ППП VMRack, предназначенный для генерирования моделей нелинейных динамических систем с сосредоточенными параметрами в векторно-матричной форме с учетом возможности дальнейшего использования построенных моделей в задачах анализа случайных режимов. Необходимость разработки такого пакета диктовалась как запросами некоторых методов статистической динамики, так и отсутствием в существующих CAB соответствующего двуединого аппарата. Работа пакета демонстрируется на примерах моделирования относительного движения связки твердых тел и кинематики робота-манипулятора.

В подразделе 6.3 рассматривается ППП "Статистическая динамика", дано описание характеристик и алгоритмов функционирования ППП. Основным принципом при разработке ППП являлся следующий: при построении эффективных проектных решений для реализации структурных компонентов должны использоваться наиболее подходящие программные инструменты.

X = -V ■ X + х(0) = х0,

а случайный параметр v - по равномерному на отрезке [¡3i,i%]

ft(®;/3) = —Ц-, 1/€ [Д./У-

Данный принцип декларировался уже довольно давно, но до последнего времени он оставался практически нереализуемым. И только в последнее время создание операционных систем типа MS Windows 95/98 и далее (а также соответствующих программных продуктов) позволило перейти от теории к практике и построить действительно работающие программные системы, состоящие из разнородных программных компонентов.

Теоретический материал (к настоящему времени имеются описания более, чем девяноста различных методов статистической динамики, а также введение в теорию марковских процессов) подготовлен в системе и представляет собой, во су-

ти, электронный учебник, который затем после переработки был издан в виде монографии. В зависимости от предустановки материал может демонстрироваться в среде Windows браузером графического DVI-формата (стиль MjgX/MikTeX) либо PDF-формата (AcrobatReader).

Заметим, что "промышленный" вариант пакета доступа из системы Mathematica посредством ODBC к различным реляционным базам данных был представлен фирмой Wolfram Research на рубеже 2000 года.

В заключении приведены основные выводы, полученные в процессе исследований, которые сводятся к нижеследующему:

1. Одним из решающих условий эффективного решения задач моделирования случайных режимов в динамических системах различной природы является их правильная классификация, оценка пригодности существующих методов исследования и выбор адекватных алгоритма решения и математического обеспечения компьютера.

2. Для достижения поставленной в диссертации цели разработаны теоретические основы применения соотношений между основными вероятностными характеристиками случайных векторов, анализа стохастических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, с запаздыванием (распределенным и постоянным) и без, что позволило решить ряд актуальных задач статистической динамики.

3. Построены эффективные точные и приближенные алгоритмы вычисления основных вероятностных характеристик случайных режимов в системах различных классов, которые позволили расширить круг моделируемых объектов.

4. Вновь созданные и модернизированные известные алгоритмы были применены для решения ряда задач исследования случайных режимов в системах различной природы, в том числе изучаемых в весьма далеких друг от друга разделах математики, механики, техники, экологии и др., а именно, для анализа вращений маятника со случайно колеблющейся точкой подвеса и передачи энергии в системе гидродинамического типа, изучения движения автомобиля и переноса речных загрязнений и т.д.

5. Выявлены новые эффекты, присущие стохастическим системам различных классов, а именно, возможность появления автомодельных решений ФПК-уравнений, бифуркации в системах гидродинамического типа, множественность форм стохастических нелинейных динамических систем, имеющих в качестве стационарного нормальное гауссово распределение, сходимость в пределе по времени плотностей вероятности характеристик вращения твердого тела под действием случайных аддитивных и мультипликативных моментов к распределениям, напоминающим модельные распределения теории вероятностей и др.

6. На основе полученного в работе необходимого условия существования полиномиального стохастического потенциала вычислительным экспериментом подтверждено существование широких классов стохастически эквивалентных систем.

7. Использование ряда хорошо известных методов, в основном, теоретического плана в сочетании с применением систем компьютерной алгебры способствует успеш-

ному продвижению при решении весьма сложных задач, что продемонстрировано при аппроксимации матрицы Коши системы линейных СИДУ.

8. Ряд представленных результатов позволяет найти точки соприкосновения в исследованиях стохастических систем различных классов, например, показана возможность замены винеровского процесса тригонометрических функций со случайными коэффициентами при решении задач статистической динамики.

9. Полученные более строгим, чем ранее, методом результаты моделирования движения автомобиля по дороге со случайным микропрофилем и при наличии лага между передними и задними колесами наглядно подтверждают высказанную рядом исследователей гипотезу о необходимости учета в модели транспортного средства эффекта запаздывания и случайности высот точек дорожного полотна.

10. В работе выполнен классификационный анализ отечественных и зарубежных работ по методам и алгоритмам численно-аналитического решения задач вероятностного исследования динамических систем, который может быть применен как для установления характерных свойств новых методик, так и в образовательном процессе.

11. При решении различных задач статистической динамики подтверждено высказанное в обзоре примыкающих по тематике к диссертация работ утверждение о том, что несмотря на широкий спектр различных процедур моделирования случайных явлений, до сих пор не исчезла необходимость разработки новых методов статистической динамики и модернизации известных на основе использования современных компьютерных пакетов аналитических вычислений.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Аналитические и численные методы исследования. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 160 с.

2. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика.

- 2002. - N 9. - С.58-73.

3. Полосков И.Е. Об одном подходе к анализу случайных процессов в распределенных системах // Математическое моделирование. - 2003. - Т. 15. - N 4. - С.85-100.

4. Полосков И.Е. О вращении твердого тела под действием диссипативного и случайных моментов // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2004. - Вып.2. -С.24-27.

5. Полосков И.Е. О расчете первых моментов случайной концентрации вещества речного загрязнения // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2004.

- T.VII. - N 2 (18). - С.103-110.

6. Malanin V.V., Poloskov I.E. On CA application in solving some statistical dynamical problems // IV Intern. Conf. on Computer Algebra in Physical Research. - Singapore e.a.: World Scientific, 1991. - P.335-339.

7. Malanin V. V., Poloskov I.E. Random effects analysis with computer algebra systems // The ISSAC'96 Poster Session Abstracts / W.W.Kuchlin (editor). - Zurich: ETH, 1996. - P.55-58.

8. Poloskov I.E. Compound program packages and a nonlinear random fluctuations analysis // Proc. of the 1998 Intern. Symp. on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC-98). - New York: ACM Press, 1998. - P.70-75.

9. Poloskov I.E. Analysis of random regimes and computer algebra // 20th Intern. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM2000, Chicago) / Abstract Book.

- Univ. of Illinois at Urbana-Champaign: Technical Report N 950, 2000. - P.55.

10. Poloskov I.E. CAS Mathematics and Analysis of Random Regimes // Symbolic Computation: New Horizons/ Proc. of the IV Intern. Mathematica Symposium (IMS2001). - Tokyo Denki Univ. Press, 2001. - P.401-408.

11. Poloskov I.E. Random regimes in nonlinear systems and computer algebra // IUTAM Symp. on Nonlinear Stochastic Dynamics / Program and abstracts. - Univ. of Illinois at Urbana-Champaign, 2002. - 2 p.

12. Poloskov I.E. Symbolic and Symbolic-Numeric Calculations in Applied Mathematics, Mechanics and Ecology // Challenging the Boundaries of Symbolic Computation / Proc. of the 5th Intern. Mathematica Symp. (London). - London: Imperial College Press, 2003. - P.317-324.

13. Poloskov I.E. CAS Mathematica in Random Studies // Proc. of Intern. Conf. on Computational Science (ICCS 2003, Melbourne, Australia and St. Petersburg, Russia) / Lecture Notes in Computer Science, N 2657. - Berlin: Springer-Verlag, 2003. - Part I. -P.781-790.

14. Полосков И.Е. О применении компьютерной алгебры к анализу случайных процессов в распределенных системах // Вестник Пермского ун-та. Информационные системы и технологии. - 2001. - Вып.5. - С.82-85.

15. Полосков И.Е. Пакет ProbRel для символьных вероятностных расчетов // Вестник Пермского ун-та. Информационные системы и технологии. - 2003. - Вып.б. - С. 19-22.

16. Полосков И.Е. Уравнения для первых моментов фазового вектора линейной интегро-дифференциальной системы // Вестник Пермского ун-та. Математика. Информатика. Механика. - 2003. - Вып.5. - С.70-73.

17. Полосков И.Е. О применении метода бесконечных систем для анализа нелинейных систем со случайными параметрами // Проблемы механики управляемого движения. Оптимизация процессов управления. - Пермь, 1992. - С.105-109.

18. Полосков И.Е. О возможности применения метода интегратора для решения задач статистической динамики нелинейных систем // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. - Пермь, 1993. - С.54-61.

19. Полосков И.Е. Применение метода бесконечных линейных систем для вероятностного анализа одной нелинейной системы // Там же. - Пермь, 1995. - С.138-142.

20. Полосков И.Е. Анализ переходного режима в одной системе со случайным непрерывно-дискретным входом // Там же. - Пермь, 1995. - С. 143-149.

21. Полосков И.Е. Об одном представлении переходной плотности вероятности // Проблемы механики и управления. - Пермь, 1996. - С.145-152.

22. Полосков И.Е. Пакет программ автоматизации обработки векторно-матрич-ных выражений // Там же. - Пермь, 1996. - С.153-165.

23. Полосков И.Е. Применение принципа детального баланса для получения стационарных плотностей вероятности некоторых нелинейных систем // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: Межв.сб.научн.тр. / Перм. ун-т. - Пермь, 1997. - С. 118-127.

24. Полосков И.Е. Об аппроксимации винеровского процесса // Там же. - Пермь, 1997. - С.128-135.

25. Полосков И.Е. Некоторые вопросы разработки пакета прикладных программ (ППП) "Статистическая динамика" // Там же. - Пермь, 1998. - С.131-139.

26. Полосков И.Е. Обобщенный метод интегратора и его применение для анализа линейных стохастических систем с мультипликативными возмущениями // Там же. - Пермь, 1999. - С.132-145.

27. Полосков И.Е. Использование компьютерной алгебры для реализации алгоритмов оптимального управления // Там же. - Пермь, 1999. - С.146-158.

28. Полосков И.Е. Анализ случайных режимов и компьютерная алгебра // Там

же. - Пермь, 2000. - C.I 13-120.

29. Полосков И.Е. Метод полуобратной задачи в анализе некоторых стохастических систем // Там же. - Пермь, 2001. - С.113-125.

30. Полосков И.Е. Об одном подходе к оценке чувствительности нелинейных систем к изменению параметров // Там же. - Пермь, 2002. - С.58-69.

31. Полосков И.Е. Об анализе некоторых классов стохастических интегро-диф-ференциальных уравнений // Там же. - Пермь, 2003. - С.99-106.

32. Полосков И.Е. О колебаниях упругой колонны под действием случайной нагрузки // Там же. - Пермь, 2003. - С. 107-116.

33. Полосков И.Е. Некоторые принципы реализации численно-аналитического интерфейса при моделировании систем со случайным входом // Тез. докл. VII Все-росс. школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования". -Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1997. - С.117-123.

34. Полосков И.Е. Моделирование движения транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания // III Всеросс. совещание-семинар заведующих кафедрами теоретич. механики вузов Российской Федерации: Тезисы докладов / Перм.ун-т. - Пермь, 2004. - С.113-114.

35. Poloskov I.E. Compound program packages in random science training and technical modelling // Proc. of the III Intern. Mathcmatica Symp. (IMS-99, Linz, Austria). - http://south.rotol.ramk.fi/ keranen/IMS99/paper47/ims99paper47.pdf (Abstract: The Mathematica Journal. - 2001. - V.8. - N 2).

Подписано в печать 15.10.2004. Формат 60x84/16. Усл. печ.л.1,91. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ N

Отпечатано на ризографе ООО "УЦ Информатика" 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15

»2080 4

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

И НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПЫ ПРИМЕНЕНИЯ CAB.

1.1. Основные положения теории марковских процессов.

1.2. Классификация и обзор точных и приближенных методов статистической динамики.

1.2.1. Точные методы.

1.2.2. Методы упрощения исходной задачи.

1.2.3. Методы линеаризации.

1.2.4. Численные методы.

1.2.5. Методы интегральных преобразований.

1.2.6. Методы бесконечных рядов.

1.2.7. Вариационные методы.

1.2.8. Методы возмущений.

1.2.9. Итерационные схемы.

1.2.10. Методы сведения к системам ОДУ.

1.2.11. Методы интегральных уравнений.

1.2.12. Методы, сочетающие различные схемы.

1.2.13. Замыкание бесконечных систем ОДУ.

1.3. Применение систем аналитических вычислений при моделировании нелинейных систем со случайным входом.

1.3.1. Компьютерная алгебра.

1.3.2. Классификация и основные характеристики систем аналитических вычислений.

1.3.3. CAB и статистическая динамика.

1.4. История и пути развития математического аппарата исследования случайных режимов.'.

2. ПОСТРОЕНИЕ АППАРАТА И АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

2.1. Вывод соотношений между моментами, кумулянтами и квазимоментами случайных величин.

2.1.1. Необходимость получения соотношений.

2.1.2. Вывод соотношений.

2.1.3. Пакет ProbRel.

2.2. Применение метода полуобратной задачи при анализе некоторых стохастических систем.

2.2.1. О стохастических системах с заданными свойствами.

2.2.2. Необходимое условие существования стохастического потенциала полиномиального типа и его применение.

2.3. Расчет стационарной плотности вероятности на основе принципа Ф детального баланса.

3. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ОСНОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ФАЗОВЫХ ВЕКТОРОВ

3.1. Системы со случайными параметрами и их моделирование.

3.1.1. Техника и применение метода интегратора.

3.1.2. Метод бесконечных систем.

3.1.3. Об аппроксимации винеровского процесса в задачах моделирования стохастических систем.

3.2. Приближенные методы анализа нелинейных систем, возмущаемых случайными шумами. и 3.2.1. Обобщение метода интегратора и техника его применения.

3.2.2. Метод формального представления переходной плотности и расчет статистических характеристик второго порядка.

3.2.3. Приближенное исследование нелинейных систем с аналитическими характеристиками посредством степенных рядов

4. СЛУЧАЙНЫЕ РЕЖИМЫ ОБОБЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

4.1. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом.

4.1.1. О явлении запаздывания в динамических системах.

4.1.2. Постановка задачи.

4.1.3. Метод решения.

4.1.4. Примеры и выводы.

4.2. Исследование стохастических систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями.

4.2.1. Уравнения для первых моментов фазового вектора линейной интегро-дифференциальной системы.

4.2.2. О стохастических интегро-дифференциальных уравнениях, сводимых к СДУ.

4.2.3. Итерационный метод приближенного анализа линейных СИДУ

4.3. Применение аналитического аппарата теории марковских прор цессов к изучению динамики случайных полей.

4.3.1. О стохастических процессах в непрерывной среде.

4.3.2. Методика исследования.

4.3.3. Уравнение Гинзбурга-Ландау.

4.3.4. Стохастическое уравнение Бюргерса.

4.3.5. Случайные колебания колонны.

4.4. Моделирование и анализ систем со случайным непрерывно-дискретным входом.

5. НЕКОТОРЫЕ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ РЕЖИМОВ.

5.1. Исследование вращения твердого тела под действием диссипатив-ного и случайных моментов.

5.2. Моделирование движения транспортного средства по дороге со случайным профилем с учетом запаздывания.

5.2.1. О проблемах изучения перемещения автомобилей по неровным дорогам.

5.2.2. Модель транспортного средства.

5.2.3. Схема расчетов и численные результаты. 5.3. Расчет характеристик колебаний упругой колонны под действием случайной нагрузки.

5.3.1. Об анализе случайных полей.

5.3.2. Задача о колебании колонны.

5.3.3. Численные результаты.

5.4. Применение функций Христова в задачах анализа случайных полей.

5.4.1. Вид и свойства функций системы.

5.4.2. Оценка характеристик случайных полей, описываемых уравнениями Гинзбурга-Ландау и Бюргерса.

5.5. Стохастическое моделирование динамики загрязнения бассейна реки.

5.5.1. Введение в проблематику.

5.5.2. Дискретная модель с кратными запаздываниями.

5.5.3. О конвективном переносе загрязнений.

5.6. САВ в задачах управления детерминированными и стохасти-тическими системами.

5.6.1. Постановка задачи.

5.6.2. Варианты операционного метода и их реализация с помощью систем компьютерной алгебры.

5.6.3. О формализме метода степенных рядов.

5.7. Анализ влияния детерминированных и случайных параметров ц на динамику механических систем.

5.7.1. О стохастической теории чувствительности.

5.7.2. Задача об оценке влияния случайных параметров на динамику старта одной сложной механической системы и методика ее решения.

5.7.3. Модельные расчеты.

5.7.4. Расчет функций влияния.

5.7.5. О некоторых обобщениях в задачах оценки стохастической чувствительности.

6. АВТОМАТИЗАЦИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ.

6.1. Автоматическое дифференцирование программ на языке Fortran и пакет DifNewR.

6.1.1. Назначение пакета.

6.1.2. Структура пакета.

6.1.3. Алгоритм работы.

6.1.4. Входная информация.

6.1.5. Выходная информация.

6.1.6. Об оформлении текста программ.

6.1.7. О практическом применении пакета.

6.2. Формирование математических моделей систем и подготовка их численного анализа с помощью ППП VMPack.

6.2.1. Назначение пакета и его реализация.

6.2.2. Алгоритм работы.

6.2.3. Вход, выход и запуск пакета.

6.2.4. Задача о моделировании динамики относительного движения цепочки твердых тел.

6.2.5. Об оценке погрешности позиционирования робота-манипулятора.

6.3. Пакет "Статистическая динамика" как сложный программный комплекс.

6.3.1. Назначение пакета и принципы разработки.

6.3.2. История разработки и проблемы реализации.

6.3.3. Характерные особенности текущей версии пакета и его структура.

6.3.4. Алгоритмы статистической динамики и их реализация.

Актуальность. Работа посвящена математическому моделированию и анализу случайных процессов в динамических системах различных классов, разработке и реализации методов и алгоритмов, предполагающих проведение значительных аналитических (символьных) выкладок и численных расчетов на всех этапах исследования.

Задачи вероятностного исследования процессов в нелинейных динамических системах относятся к числу важнейших как в теоретическом, так и в практическом плане. Необходимость их решения актуальна при изучении различных явлений: расчете полета летательных аппаратов под действием атмосферной турбулентности; анализе движения транспортных средств по неровной дороге; оценке перемещений высотных сооружений при ветровых и сейсмических воздействиях; исследовании качки судов при нерегулярном морском волнении; анализе технологических процессов производства; изучении отклонений элементов орбиты спутника от расчетных, возникающих из-за неточности изготовления ракеты-носителя и ошибок в работе систем управления; анализе изменения нагрузок энергосистем, зависящих от потребления энергоресурсов, флуктуационных шумов усилителя в устройствах регулирования и следящих системах, непредсказуемого спроса в экономике, шумов в радиоэлектронных устройствах; анализе нейронных систем мозга и т.д.

Моделированием сложных и масштабных явлений в стохастических системах, исследованием случайных режимов, возникающих при движении объектов различной природы, занимается интенсивно развивающаяся наука -статистическая динамика (одна из прикладных ветвей теории случайных процессов). Сходные проблемы изучаются некоторыми разделами других наук (теорией случайных колебаний, статистическими радиотехникой, физикой, механикой, термодинамикой и др.).

В настоящей работе к классу стохастических (или вероятностных, или случайных, или статистических) систем отнесены системы со случайными параметрами (в широком смысле), которые представляют собой возмущения, влияющие на поведение исследуемых объектов. Такие системы средствами математического моделирования позволяют описать функционирование реальных нелинейных систем, в которых параметры являются случайными процессами и/или величинами. Основным математическим аппаратом исследования таких систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, является теория случайных марковских процессов. Используя эту теорию, в особенности, последние достижения в развитии метода уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК-уравнения) во многих случаях удается получить интересные и важные как в теоретическом, так и практическом плане результаты.

Нелинейные детерминированные математические модели [38, 88, 90, 119, 154, 159, 182, 270] вполне оправдывают себя при решении многих прикладных задач. Однако они далеко не исчерпывают всего многообразия реальных физических явлений. Действительно, у многих технических систем разброс выходных сигналов под действием различных шумов и помех достаточно мал [23, 80, 303], что и дает возможность изучать такие объекты детерминированными методами. Но в настоящее время известно немало примеров, когда анализ объекта в чисто детерминированной постановке не является достаточным [73]. Это объясняется тем, что во всякой реальной динамической системе существуют случайные флуктуации различного характера [7] (внешние силовые и кинематические, внутренние параметрические и др.), в том или ином смысле малые по сравнению с неслучайными факторами [39], но оказывающие определенное отрицательное воздействие на работу системы [64]; случайный разброс начальных положений и скоростей, возникающий из-за неточности измерений, ошибок изготовления и др. и приводящий к стохастическим переходным режимам даже в детерминистических системах [135]. Описание таких явлений классическими методами затруднительно.

В принципе для исследования систем при наличии случайных возмущений можно применить оценки отклонения регулируемой величины от заданного значения в наихудшем случае, т.е. в случае возмущения, произвольно ограниченного по модулю. Однако, ведя расчет на максимальное значение случайного возмущения, вероятность появления которого, вообще говоря, невелика, необходимо предъявлять заведомо более жесткие требования к системе, чем это вызвано сутью дела. Поэтому к значительно лучшим и технически более приемлемым результатам приводят методы, характеризующие усредненное поведение системы при наличии случайных возмущений.

Кроме этого, использование вероятностных методов при анализе движения нелинейной системы, находящейся под действием случайных возмущений, дает возможность исследовать ее реакцию в ответ не на одно какое-нибудь конкретное воздействие, а на целую совокупность возможных случайных возмущений. К необходимости привлечения вероятностных идей приводит и естественная ситуация упрощения математической модели объекта. Неучитываемые при этом факторы имеют, как правило, случайную природу.

Случайность в нелинейных системах приводит к новым эффектам, ненаблюдаемым при детерминированной постановке задач: переходам из окрестности одного устойчивого состояния в окрестность другого под действием случайных "толчков" [73, 147]; существуют распределения случайных параметров, при которых стационарная система оказывается нестационарной по отношению к моментам фазового вектора [80, 144]; дискретный спектр автоколебаний становится непрерывным [7, 147, 173]; при одновременном воздействии случайного и гармонического сигналов возникают элементы хаоса; статистическая связь параметрических и аддитивных шумов приводит к появлению систематической составляющей в выходном сигнале [80]; влияние параметрических шумов проявляется в уменьшении запаса устойчивости или возникновении неустойчивых режимов, в изменении резонансных частот и в других эффектах; при широкополосном спектре параметрических возмущений невозможно избежать основного резонанса, так что изучение резонансов более высокого порядка в известной степени теряет смысл [211]; несмотря на то, что движение систем с шумами и без них совпадает в среднеквадра-тическом [215], на больших интервалах времени их поведение существенно различается [39] и др.

Известно значительное число точных и приближенных методов решения задач статистической динамики. В первую очередь, к ним относятся известные алгоритмы построения решений стохастических дифференциальных уравнений, вычисления плотности вероятности, расчета характеристических функций, управляемых интегро-дифференциальными уравнениями Пугачева. Основными группами таких алгоритмов являются аналитические методы, методы упрощения исходной задачи, линеаризации, численные методы, методы интегральных преобразований, бесконечных рядов, вариационные методы, методы возмущений, итерационные схемы, методы сведения к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), методы интегральных

•г уравнений, сочетания различных схем и др.

Однако до настоящего времени не был разработан ни один более или менее универсальный алгоритм, пригодный для решения значительной части возникающих задач. Это приводит к тому, что список методов случайного анализа постоянно пополняется новыми алгоритмами. При этом как новые, так и известные методы случайного анализа, как правило, сложны для использования, а большая их часть требует проведения длинных математических выкладок (преобразований, приведения подобных, дифференцирований, интегрирований и др.), выполнение которых вручную является сложной и небезошибочной процедурой.

Поэтому естественными является попытки использования систем аналитических вычислений (САВ, компьютерной алгебры) при решении таких задач, уже давно предпринимаются попытки автоматизировать процесс исследования стохастических систем, как это имеет место в детерминированном случае. К сожалению, до сих пор в связи с большими техническими сложностями реализуются, в основном, методы, позволяющие находить только самые простые числовые характеристики фазового вектора. Ситуация здесь во многом сходна с положением в других отраслях науки: современные задачи требуют новых подходов и расчетных инструментов, что не позволяет использовать имеющиеся пакеты прикладных программ, реализующие известные алгоритмы.

Использование CAB позволяет расширить круг методов, доступных для автоматизированного применения, сократить временные затраты при вводе данных об исследуемом объекте, работать с математической моделью в символьном виде, выводить уравнения в каждом конкретном случае, что может приводить к существенному сокращению затрат времени процессора ЭВМ на этапе численных расчетов и др. Существенной частью этих разработок, кроме реализации численных алгоритмов, может быть сочетание численных и аналитических расчетов; автоматизация генерирования подпрограмм вычисления правых частей ОДУ на языках высокого уровня, таких, как Fortran, С, Pascal; построение общих соотношений, связывающих искомые параметры; визуализация полученных результатов с помощью двумерной и трехмерной графики и др.

Подводя итог вышесказанному, можно сделать следующий вывод: несмотря на достаточно долгий период развития статистической динамики, анализ научной литературы показывает существование в области изучения случайных явлений в динамических системах значительного числа нерешенных задач; наличие таких задач объясняется тем, что во многих важных случаях отсутствуют как теоретический аппарат, так и соответствующие алгоритмы расчетов. Это и позволяет сделать вывод об актуальности тематики диссертации.

Цель и задачи работы состоят в создании аналитического аппарата моделирования стохастических систем различных классов, а именно, описываемых обыкновенными стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ) с запаздыванием и без, СДУ в частных производных (ЧП), стохастическими интегро-дифференциальными уравнениями (СИДУ), со случайным непрерывным и дискретным входом; в поиске путей построения иных математических моделей явлений, описываемых данными уравнениями, моделей, более удобных для дальнейших исследований; в разработке алгоритмов статистической динамики, реализующих построенные методики, с учетом возможностей CAB и в их применении на основе CAB при решении конкретных и содержательных задач математики, механики, физики, техники, экологии и др.; в сочетании при решении одной задачи преимуществ различных CAB; в создании программных комплексов, соединяющих аналитические, численные, управленческие и визуализационные возможности, которые, как правило, требуют для своего построения использования программных средств нескольких типов.

Цель работы достигается в рамках единого методологического подхода, основанного на разработке теоретического аппарата решения поставленных задачи, алгоритмов их практической реализации и решении различных модельных и прикладных задач с использованием CAB на всех этапах исследования.

Положения, выносимые на защиту. Применяемая методология, в рамках которой решен ряд теоретических и прикладных задач различного уровня сложности, формирует общую проблематику и позволяет выделить основные позиции, представляемые на защиту:

1. Аналитический аппарат моделирования и анализа СДУ с постоянными кратными запаздываниями, основанный на расширении фазового пространства исследуемых систем; процедуры вычисления плотности вероятности фазовых векторов, описываемых такими СДУ; алгоритмы практической реализации данного аппарата, представляющие в совокупности решение актуальной научной проблемы статистической динамики.

2. Схема, использующая переход от непрерывной модели к дискретной и обратно, вывода уравнений для первых моментов случайных полей, описываемых СДУ в ЧП, примеры прямого использования схемы и ее применения для вычисления стационарных функционалов вероятности.

3. Методика, основанная на применении формулы Фуруцу-Новикова, и результат построения системы уравнений для первых моментов фазового вектора, удовлетворяющего линейной системе СИДУ.

4. Соотношения между основными числовыми характеристиками случайных векторов (моментами, кумулянтами и квазимоментами), записанные в мультииндексной форме.

5. Необходимое условие существования стационарного потенциала полиномиального типа и применение этого условия для построения нелинейных СДУ с заданными вероятностными характеристиками.

6. Методы моделирования стохастических систем различных классов (полуобратной задачи, бесконечных линейных систем, формального разложения переходной плотности вероятности).

7. Новые элементы в теории и алгоритмизации известных методов статистической динамики (степенных рядов, интегратора, принципа детального баланса) и применения новых для вычислительной практики функций Христова.

8. Методику построения пакетов прикладных программ (ППП), компоненты которых разрабатываются с помощью существенно отличных друг от друга компьютерных приложений.

9. Результаты численно-аналитических расчетов, полученные при моделировании ряда объектов математики, механики, физики и техники со случайными характеристиками.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

- на Всесоюзной школе "Системы аналитических вычислений в механике" (Клязьма, октябрь 1987 г.);

- на III Уральской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения"(Пермь, апрель 1988 г.);

- на Республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений" (Рига, декабрь 1988 г.);

- на Всесоюзной конференции "Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ" (Вильнюс, апрель 1990 г.);

- на IV Международном совещании по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях (Дубна, ОИЯИ, май 1990 г.);

- на Всесоюзной научно-технической конференции "Применение статистических методов в производстве и управлении" (Пермь, сентябрь 1990 г.);

- на Научно-технической конференции "Применение ЭВМ для решения задач механики" (Севастополь, май 1991 г.);

- на семинаре, по приложениям CAB в механике (руководитель - академик Д.М.Климов, Институт проблем механики РАН, апрель 1993 г.);

- на Международном совещании "Приложения компьютерной алгебры" (International Workshop "Computer Algebra Applications", проходившей параллельно конференции International Symposium on Symbolic and Algebraic Computations, ISSAC93; Киев, Украина, июль 1993 г.);

- на Международном конгрессе по компьютерным системам и прикладной математике (International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics, CSAM'93; Санкт-Петербург, июль 1993 г.);

- на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизации проектирования в машиностроении (Модель-проект 95)"; Казань, июнь 1995 г.);

- на Международном совещании "Новые компьютерные технологии в системах управления" (International Workshop "New computer technologies in control systems"; Переславль-Залесский, август 1995 г.);

- на VII Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, Украина, май 1996 г.);

- на Международных симпозиумах по символьным и алгебраическим вычислениям (International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation; ISSAC-96, Цюрих, Швейцария, июль 1996 г.; ISSAC-98, Росток, Германия, август 1998 г.);

- на Международной конференции "Вычислительное моделирование и вычисления в физике" (International Conference "Computational Modelling and Computing in Physics"; Дубна, ОИЯИ, сентябрь 1996 г.);

- на Юбилейной научной конференции, посвященной 80-летию университета (Пермь, ПГУ, октябрь 1996 г.);

- на Зимних школах по механике сплошных сред (11-й - Усть-Качка, февраль-март 1997 г.; 13-й - Пермь, февраль 2003 г.);

- на Международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (International Conference "Modelling and Investigation of Systems Stability"; Киев, Украина, май 1997 г.);

- на VII Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1997 г.);

- на Международной конференции "Компьютерная алгебра в научных вычислениях" (International Conference "Computer Algebra in Scientific Computing"; Санкт-Петербург, апрель 1998 г.);

- на V Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН, июнь 1998 г.);

- на Всероссийской научной конференции "Фридмановские чтения" (Пермь, сентябрь 1998 г.);

- на Международной научно-методической конференции "Университеты в формировании специалиста XXI века" (Пермь, ПГУ, май 1999 г.);

- на Пермской конференции "История физико-математических наук" (Пермь, ПГУ, октябрь 1999 г.);

- й^б^^^^^ународной конференции IMACS по~ приложениям компьютерной алгебры (6th International IMACS Conference on Applications of Computer Algebra; Санкт-Перербург, июнь 2000 г.);

- на 20 Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (20th Intern. Congress on Theoretical and Applied Mechanics, ICTAM2000; Чикаго, США, август 2000 г.);

- на Международных симпозиумах по системе Mathematica (International Mathematica Symposium; IV - IMS2001, Токио, Япония, июнь 2001 г.; V - IMS03, Лондон, Великобритания, июль 2003 г.);

- на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, август 2001 г.);

- на V и VI Международных конгрессах по математическому моделированию (V, VI International Congress on Mathematical Modelling; V ICMM, Дубна, октябрь 2002 г.; VI ICMM, Н.-Новгород, сентябрь 2004 г.);

- на Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Екатеринбург, февраль 2003 г.);

- на III Всероссийском совещании-семинаре заведующих кафедрами теоретической механики вузов Российской Федерации (Пермь, июнь 2004 г.): научном семинаре кафедры механики и управления Пермского госуниверситета (руководитель - проф.Маланин В.В.);

- научном семинаре лаборатории N 15 Института механики сплошных сред УрО РАН (руководитель - д.ф.-м.н. Райхер Ю.Л.).

Кратко остановимся на содержании работы, которая состоит из введения, шести разделов, заключения, библиографического списка и приложений.

Первый раздел носит обзорный характер. В подразделе 1.1 приведены основания теории марковских случайных процессов, которая служит теоретической основой работы. В подразделе 1.2 предлагается классификация существующих методов статистической динамики и их обзор. В подразделе 1.3 дается понятие о компьютерной алгебре, приложениях систем аналитических вычислений и применении компьютерной алгебры для решении задач статистической динамики. В подразделе 1.4 описывается краткая история появления и развития статистической динамики.

Второй раздел работы связан с построением аналитического аппарата исследования, который применяется для точного и приближенного решения задач как в данном, так и в других разделах.

В подразделе 2.1 в мультииндексной форме выводятся соотношения, связывающие основные числовые характеристики случайных величин - начальные моменты, кумулянты (семиинварианты) и квазимоменты, наиболее часто применяемые на практике. Основные результаты сформулированы в виде одной леммы и трех следствий к ней. Вид полученных соотношения позволяет сделать вывод, что они более удобны для использования в приложениях, чем известные, так как замкнуты, не требуют перестановки индексов, а количество последних неизменно и зависит только от размерности случайного вектора. В этом же подразделе рассматривается программный пакет ProbRel, созданный на входном языке системы аналитических вычислений (CAB) Ма-thematica и предназначенный для облегчения практического использования построенных соотношений, приведены структура и примеры применения пакета.

В подразделе 2.2 для исследования случайных режимов в нелинейных динамических системах предлагается метод полуобратной задачи для решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Такое название метода связано с его положением: обычно в прямых задачах по заданным уравнениям разыскиваются их решения; в обратных задачах по решениям - коэффициенты уравнений. Рассматриваемый метод занимает промежуточное положение между этими двумя крайними точками: задаваясь решением ФПК-уравнения и частью его коэффициентов, можно найти остальные коэффициенты этого уравнения.

При исследовании различных систем очень часто возникают задачи о получении решений заданной структуры (периодических, автомодельных и др.), которые важны как для понимания процессов, происходящих в данных системах, так и для практических приложений. В пункте 2.2.1 рассматриваются две задачи подобного типа. Первая состоит в нахождении условий, когда уравнение уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК-уравнение) имеет решение, не зависящее от времени. Во второй определяются соотношения для коэффициентов ФПК-уравнения, которые приводят к перемещению кривой распределения без изменения формы.

В пункте 2.2.2 рассматривается задача о получении необходимых условий существования стохастических потенциалов полиномиального типа в случае, когда нелинейности коэффициентов ФПК-уравнения носят степенной характер. Эти условия существенно упрощают применение метода неопределенных коэффициентов, что и используется в сочетании с методом полуобратной задачи при решении ряда конкретных задач.

Объект исследования в подразделе 2.3 - принцип детального баланса (ПДБ) и его применение для вычисления стационарной плотности распределения фазового вектора нелинейной динамической системы, описываемой стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ). Исходя из ПДБ, получены соотношения, представленные в виде двух лемм и следствий к ним и позволяющие в некоторых частных случаях решить поставленную задачу в квадратурах; приведены примеры анализа конкретных систем СДУ; предложен алгоритм реализации на компьютере формализма ПДБ в символьном виде с помощью одной из систем компьютерной алгебры.

Третий раздел посвящен вопросам разработки и реализации приближенных методов анализа нелинейных динамических систем со случайным входом.

В подразделе 3.1 изучаются системы, на поведение которых влияют фаг**-торы в виде случайных параметров (не изменяемых во времени случайных величин). Важность анализа таких систем связана с тем, что при моделировании реальных технических объектов случайные параметры представляют разброс конструкционных и технологических параметров изделий в поле допуска.

В пункте 3.1.1 рассматривается метод интегратора, разработанный G.C.Looney, с коррекциями и дополнениями автора данной работы. Этот метод предназначен для численной оценки первых моментов нелинейных систем с нормально распределенными начальными условиями и случайными параметрами. При решении конкретных задач метод был реализован с помощью программ на входных языках систем аналитических вычислений Reduce и Mathematica.

В пункте 3.1.2 представлен метод бесконечных линейных систем, позволяющий построить аппроксимацию плотности вероятности, причем в отличие от многих других алгоритмов на любом уровне замыкания оценка плотности имеет вероятностный характер

В пункте 3.1.3 рассматриваются вопросы замены винеровского процесса в задачах статистической динамики линейными комбинациями тригонометрических функций с коэффициентами - независимыми случайными величинами.

В подразделе 3.2 объектом исследования являются нелинейные динамические системы, возмущаемые белыми или цветными шумами.

В пункте 3.2.1 представлен обобщенный метод интегратора, разработанный автором в ряде работ. Этот метод является развитием метода интегратора и позволяет приближенно вычислять моменты фазового вектора до любого (разумного) порядка.

В пункте 3.2.2 рассматриваются вопросы представления переходной плотности вероятности с помощью ряда по дельта-функциям Дирака и их производным. Такое представление позволяет вычислять характеристики не только первого (моменты), но и второго порядка (характеристические и корреляционные функции).

В пункте 3.2.3 представлена модификация метода степенных рядов А.А.Красовского, рассмотрены проблемы практического использования метода и, в том числе, процедура галеркинского типа, пригодная для замыкания систем ОДУ метода степенных рядов.

В четвертом разделе изложена теория и приведены примеры применения этой теории для анализа нескольких классов систем, которые названы обобщенными динамическими. Термин "обобщенные" здесь используется в смысле, отличном от обычно употребляемого в теории стохастических дифференциальных уравнений, а фиксирует то, что для изучения рассматриваемых систем пока не существует такого ставшего уже классическим аналитического и в то же время прикладного аппарата, как теория случайных марковских процессов. Можно надеяться, что изложенные в данном подразделе результаты в какой-то мере помогут будущим исследователям построить соответствующие полные теории.

В подразделе 4 Л изложена методика исследования стохастических дифференциально-разностных систем с постоянным запаздыванием, основанная на расширении фазового пространства. Данный подход базируется на построении цепочки уравнений типа Фоккера - Планка - Колмогорова для переходных плотностей распределения фазовых векторов увеличивающейся размерности. Применение этой методики демонстрируется на примерах, приведенных в заключительной части подраздела.

В подразделе 4-2 рассматриваются вопросы анализа систем стохастических интегро-дифференциальных уравнений (СИДУ).

В пункте 4.2.1 решается задача построения системы обыкновенных дифференциальных уравнений для математических ожиданий и корреляционных моментов для компонент векторного случайного процесса, удовлетворяющего системе линейных СИДУ.

В пункте 4.2.2 рассматривается проблема сведения систем СИДУ к стохастическим дифференциальным уравнениям. Представлены две точные и одна приближенная схемы такого сведения, приводятся примеры применения схем.

В пункте 4.2.3 представлена приближенная схема вычисления математических ожиданий и корреляционных моментов для компонент векторного случайного процесса, являющегося решением системы линейных СИДУ. Схема основана на итерационной процедуре аппроксимации матрицы-функции Коши для указанной системы.

В подразделе 4-3 изложена новая методика вывода моментных уравнений для случайных полей, которые описывают поведение нелинейных распределенных систем, возмущаемых внешними и внутренними случайными полями. Показано, что в некоторых случаях эта методика позволяет строить аналитические выражения стационарных функционалов вероятности анализируемых полей. Методика демонстрируется на ряде примеров, среди которых стохастические аналоги уравнений Гинзбурга-Ландау, Бюргерса, параметрических колебаний колонны.

В подразделе 4-4 рассматривается задача анализа систем, которые подвержены совместному влиянию непрерывных и дискретных случайных воздействий, обычно описываемых белыми шумами и пуассоновскими процессами соответственно: Для решения задачи вычисления плотности вероятности случайного смещения была применена схема, основанная на построении системы ОДУ для начальных моментов и точном их решении. При этом значения плотности были приближенно восстановлены на основе отрезка ряда Эджворта, причем необходимые для построения плотности квазимоменты вычислялись с помощью соотношений представленных в подразделе 2.1.

В пятом разделе представлен ряд прикладных задач из различных областей науки.

В подразделе 5.1 рассматривается классическая задача о вращательном движении динамически симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки под действием малого диссипативного, а также случайных аддитивного и мультипликативного моментов. Методом усреднения построена стационарная плотность распределения характеристик такого движения, приведены графики маргинальных стационарных плотностей распределения и условия их существования.

В подразделе 5.2 анализируется движение транспортного средства по неровной дороге, представляемой случайным процессом типа цветного шума. В линейной модели учитывается наличие расстояния между осями передних и задних колес. Построена и численно решена система обыкновенных дифференциальных уравнений для первых моментов вертикального перемещения и угла наклона корпуса. Для решения поставленной задачи применена одна из процедур, представленных в подразделе 4.1.

В подразделе 5.3 для анализа поведения упругой колонны под действием случайной осевой нагрузки построены уравнения в частных производных для первых моментов случайного смещения точек колонны от положения равновесия, для вывода которых использовано понятие функционала вероятности. Для решения этих уравнений применен метод Галеркина.

В подразделе 5.4 для приближенного решения моментных уравнений для случайных полей применяется ортонормированная система функций Христова, приведены свойства этих функций. На примерах полей, описываемых уравнениями Гинзбурга-Ландау и Бюргерса, продемонстрирована техника приближенного анализа, основанная на применении символьных выкладок на компьютере и численных расчетов.

В подразделе 5.5 рассматриваются вопросы, связанные с экологическим мониторингом и оценкой уровня загрязнения речной воды.

В пункте 5.5.1 осуществляется введение в проблематику математической экологии, обосновывается необходимость решения соответствующих задач.

В пункте 5.5.2 рассматривается задача оценки характеристик загрязнения речного водного бассейна, который моделируется каскадом нескольких водных резервуаров. Такая модель приводит к необходимости применения стохастических дифференциальных уравнений с кратными запаздываниями. В данном пункте произведено распространение теории подраздела 4.1 на изучаемый класс уравнений. Затем построенная теория применяется для решения поставленной задачи, что позволило вывести и решить уравнения для первых моментов случайных характеристик загрязнения. Аналитические выкладки, расчеты и представление результатов произведены с помощью пакета Mathematica.

В пункте 5.5.3 решается задача распространения пятна загрязнения по течению реки на основе стохастической модели конвективного переноса. В процессе решения построены и решены уравнения для двух первых моментов случайной концентрации загрязнения.

В подразделе 5.6 рассматриваются принципы использования CAB Mathematica для решения задач оптимизации по критерию обобщенной работы и на основе использования уравнения Беллмана, представлен ряд вариантов операционного метода А.А.Красовского и методика применения метода степенных рядов, предназначенные для решения указанного выше уравнения.

В подразделе 5.7 поставлена задача оценки влияния на движение объекта разброса внутри поля допуска детерминированных и случайных конструкционных параметров и технологических погрешностей, рассмотрена методика решения задачи, принципы и техника ее практической реализации. В последнем пункте подраздела рассматривается новое направление применения стохастической теории чувствительности для анализа случайных процессов в нелинейных динамических системах. Данное направление связано с оценкой влияния на основные характеристики фазового вектора изменения как детерминированных, так и случайных параметров.

Шестой раздел посвящен описанию трех пакетов прикладных программ (ППП), созданных в различное время и предназначенных для целей автоматизации научных исследований и обучения.

В подразделе 6.1 представлен комплекс программ Dif ЫеуЯ, позволяющий находить частные производные от правых частей последовательности алгебраических равенств, записанных в фортраноподобном виде.

В подразделе 6.дописывается ППП УМРаск, предназначенный для генерирования моделей нелинейных динамических систем с сосредоточенными параметрами в векторно-матричной форме с учетом возможности дальнейшего использования построенных моделей в задачах анализа случайных режимов.

В подразделе О рассматривается ППП "Статистическая динамика", дано описание характеристик и алгоритмов функционирования ППП.

В заключении приведены основные выводы, полученные в процессе исследований.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: [17, 164, 166, 168, 169, 170, 171, 172, 229, 230, 232, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, ?40, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459].

Автором лично проводились постановка, анализ, алгоритмизация и решение всех представленных в диссертации задач. Результаты, изложенные в единоличных публикациях, получены автором. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту, ректору Пермского государственного университета академику Международной Академии Наук Высшей Школы, профессору, доктору технических наук Маланину В.В., обратившему мое внимание и поддерживавшему в течение многих лет мой интерес к задачам статистической динамики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведенных исследований и полученных результатов можно сформулировать следующие выводы:

1. Одним из решающих условий эффективного решения задач моделирования случайных режимов в динамических системах различной природы является их правильная классификация, оценка пригодности существующих методов исследования и выбор адекватных алгоритма решения и математического обеспечения компьютера.

2. Для достижения поставленной в диссертации цели разработаны теоретические основы применения соотношений между основными вероятностными характеристиками случайных векторов, анализа стохастических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, с запаздыванием (распределенным и постоянным) и без, что позволило решить ряд актуальных задач статистической динамики.

3. Построены эффективные точные и приближенные алгоритмы вычисления основных вероятностных характеристик случайных режимов в системах различных классов, которые позволили расширить круг моделируемых объектов.

4. Вновь созданные и модернизированные известные алгоритмы были применены для решения ряда задач исследования случайных режимов в системах различной природы, в том числе изучаемых в весьма далеких друг от друга разделах математики, механики, техники, экологии и др., а именно, для анализа вращения маятника со случайно колеблющейся точкой подвеса и передачи энергии в системе гидродинамического типа, изучения движения автомобиля и переноса речных загрязнений и т.д.

5. Выявлены новые эффекты, присущие стохастическим системам различных классов, а именно, возможность появления автомодельных решений ФПК-уравнений, бифуркации в системах гидродинамического типа, множественность форм стохастических нелинейных динамических систем, имеющих в качестве стационарного нормальное гауссово распределение, сходимость в пределе по времени плотностей вероятности характеристик вращения твердого тела под. действием случайных аддитивных и мультипликативных моментов к распределениям, напоминающим модельные распределения теории вероятностей и др.

6. На основе полученного в работе необходимого условия существования полиномиального стохастического потенциала вычислительным экспериментом подтверждено существование широких классов стохастически эквивалентных систем.

7. Использование ряда хорошо известных методов, в основном, теоретического плана в сочетании с применением систем компьютерной алгебры способствует успешному продвижению при решении весьма сложных задач, что продемонстрировано при аппроксимации матрицы Коши системы линейных СИДУ.

8. Ряд представленных результатов позволяет найти точки соприкосновения в исследованиях стохастических систем различных классов, например, показана возможность замены винеровского процесса тригонометрических функций со случайными коэффициентами при решении задач статистической динамики.

9. Полученные более строгим, чем ранее, методом результаты моделирования движения автомобиля по дороге со случайным микропрофилем и при наличии лага между передними и задними колесами наглядно подтверждают высказанную рядом исследователей гипотезу о необходимости учета в модели транспортного средства эффекта запаздывания и случайности высот точек дорожного полотна.

10. В работе выполнен классификационный анализ отечественных и зарубежных работ по методам и алгоритмам численно-аналитического решения задач вероятностного исследования динамических систем, который может быть применен как для установления характерных свойств новых методик, так и в образовательном процессе.

11. При решении различных задач статистической динамики подтверждено высказанное в обзоре примыкающих по тематике к диссертации работ утверждение о том, что несмотря на широкий спектр различных процедур моделирования случайных явлений, до сих пор не исчезла необходимость разработки новых методов статистической динамики и модернизации известных на основе использования современных компьютерных пакетов аналитических вычислений.

12. Сочетание аналитических выкладок и численных расчетов на компьютере позволяет создавать эффективные и относительно простые процедуры решения сложных задач случайной динамики объектов из различных отраслей науки и техники.

При проведении исследований в рамках диссертационной работы впервые:

1. Разработан аппарат моделирования и анализа стохастических систем с постоянными запаздываниями, в том числе кратными, который открывает возможности создания нового направления в анализе различных явлений, что и было показано на примерах исследования движения автомобиля по неровной дороге и решения задач экологии.

2. Построена схема вывода уравнений для первых моментов случайных полей, которая продемонстрирована на примере систем с распределенными параметрами, описываемых стохастическими аналогами уравнений Гинзбурга-Ландау, Бюргерса и колебаний вертикальной колонны под действием случайной следящей нагрузки.

3. Разработан ряд алгоритмов и методов решения задач статистической динамики - построения автомодельных решений ФПК-уравнений, нахождения новых условий наличия стохастических потенциалов полиномиального типа и возможности применения принципа детального баланса, вычисления статистических характеристик второго порядка на основе разложения переходной плотности вероятности в ряд по дельта-функциям.

4. Построены методики практического применения функций Христова при исследовании случайных режимов в системах с распределенными параметрами.

5. В процессе решения ряда задач статистической динамики ( моделирования систем с запаздыванием, интегро-дифференциальных систем и систем со случайными параметрами) применена техника расширения фазового пространства, что позволило получить важные в теоретическом и практическом плане результаты.

6. Предложено новое направление в стохастической теории чувствительности, связанное с оценкой влияния случайных параметров на вероятностные характеристики объекта.

7. Построен пакет прикладных программ, в работе которого сочетается качественно различное математическое обеспечение, а именно, система аналитических вычислений, СУБД, язык численного программирования и браузер научного графического редактора.

8. Осуществлено применение систем аналитических вычислений на всех этапах вероятностного исследования (проведение аналитических выкладок, построение общих соотношений, подготовка вычислительных формул для численно-аналитических расчетов, визуализация, построение замкнутого цикла расчетов в одном сеансе: генерирование подпрограмм на языках численного программирования - запуск компилятора этого языка - запуск построенного ЕХЕ-модуля на счет - визуализация и др.).

Разработка теоретических основ, точных и приближенных алгоритмов стала возможной на основе глубокого сочетания современных достижений естественных и технических наук, подкрепленных быстрым развитием технического и программного обеспечения вычислительной техники. Достоверность полученных результатов подтверждается использованием аппарата математического анализа, дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), численных методов, теоретической и нелинейной механики, оптимального управления, теории вероятностей, теории случайных процессов, современных методов программирования, применением систем аналитических вычислений, сравнением этих результатов с определенными по другим методикам.

Полученные в диссертационной работе результаты позволяют повысить эффективность и качественный уровень научно-исследовательских работ академических и учебных заведений, конструкторских бюро различного назначения, сократить сроки выполнения этих работ. Отдельные результаты являются определенным вкладом в общую теорию стохастических систем и разработки программных систем.

1. Аверина Т.А., Артемьев С. С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений // ДАН СССР. -1986. Т.288. - N 4. - С.777-780.

2. Адомиан Дж. Стохастические системы. М.: Мир, 1987. - 376 с.

3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. -280 с.

4. Акселърод И.Р., Белоус Л.Ф. Программирование на языке СИРИУС // Вычислительная математика и вычислительная техника: Всесоюз. семинар (Харьков, 1972). Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1972. - N 3. - С.68-120.

5. Андреев Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления. М.: Наука, 1980. - 415 с.

6. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. - 336 с.

7. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.З. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. - 568 с.

8. Анулова C.B., Веретенников А.Ю., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Стохастическое исчисление // Итоги науки и техники. Соврем.проблемы матем. Фундаментальные направления. Т.45. М.: ВИНИТИ, 1989. - С.5-260.

9. Артемьев В.М. Статистический анализ нелинейных систем с использованием теории марковских случайных процессов. Минск: МВИЗРУ ПВО, 1969. - 144 с.

10. Артемьев С.Е., Демидов Г. В. Определение плотности распределения решения дифференциального уравнения с помощью сплайнов // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1984. - Т.15. - N 4. - С.3-10.

11. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990. -336 с.

12. Астапов Ю.М., Медведев B.C. Статистическая теория систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1982. - 304 с.

13. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. -447 с.

14. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин A.C. Введение в статистическую физику и оптику. М.: Наука, 1981. - 640 с.

15. Бабаджянц JI.К. Продолжаемость и представление решений в задачах небесной механики // Труды ИТА АН СССР. 1978. - Вып.17. - С.3-45.

16. Бабицкий В.И., Крупенин B.JI. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985. - 320 с.

17. Баянов А.Э., Маланин В.В., Полосков И.Е. Автоматизированная генерация программ вычисления частных производных рекуррентно заданных функций / Пермск. ун-т. Пермь, 1987. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 4666-В87.

18. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. - Т.2. - 296 с.

19. Бекларян Л.А. Дифференциальные уравнения с отклоняющим аргументом как бесконечномерная динамическая система. М.: ВЦ АН СССР, 1989. - 18 с.

20. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: Мир, 1967. 548 с.

21. Белоцерковский С.М., Кочетков Ю.А., Красовский A.A., Новицкий В.В. Введение в аэроавтоупругость. М.: Наука, 1980. - 384 с.

22. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

23. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. - 400 с.

24. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1958. - 408 с.

25. Богуславский И.А. Статистический анализ многомерных систем при использовании полиномов Эрмита многих переменных // Автоматика и телемеханика. 1969. - N 7. - С.36-51.

26. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. - 336 с.

27. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1982. - 351 с.

28. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. -М.: Машиностроение, 1984. 312 с.

29. Борукаев Т.Б. Использование метода невязок в статистическом анализе нелинейных систем // Радиотехника и электроника. 1984. - N 10. - С.2029-2032.

30. Борцайкин С.М., Светушков H.H. О фундаментальном решении уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова с особенностями в коэффициентах / МАИ. М., 1986. -Юс.- Деп.в ВИНИТИ, N 2744-В86.

31. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. - 208 с.

32. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: Мир, 1983. - 136 с.

33. Булдырев В. В. Вычисление коэффициентов формального разложения функции Грина многомерного параболического уравнения и диаграммная техника // Вестник ЛГУ. 1983. - Вып.1. - N 1. - С.10-16.

34. Булычев Ю.Г., Бурлай И.В. Синтез алгоритма оптимального управления в классе функций с финитным спектром на неравномерной сетке интерполяции // Автоматика и телемеханика. 1997. - N 2. - С.3-17.

35. Булычев Ю.Г., Погонышев С. А. Метод численного интегрирования многомерного уравнения Фоккера-Планка на основе усеченных алгоритмов быстрого преобразования Фурье // Радиотехника и электроника. -1989. Т.34. - N 6. - С.1241-1249.

36. Валеев К.Г., Хрисанов С.М. Интегральные уравнения для совместных плотностей распределения // Дифференциальные уравнения и применения / Труды Третьей конференции. Руссе, Болгария. 1987. - 4.1. - С.67-70.

37. Ван-Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. -М.: Высшая шк., 1990. 376 с.

38. Величенко В.В. Матрично-геометрические методы в механике с приложениями к задачам робототехники. М.: Наука, 1988. - 280 с.

39. Веитцелъ А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М: Наука, 1979. -424 с.

40. Верланъ А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978. - 292 с.

41. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В.Н. Че-ломей (пред.). М.: Машиностроение, 1979. - Т.2. - 351 с.

42. Виндрих X. Применение методов статистической линеаризации и усреднения для систем с предельными циклами // Прикладная механика. -1988. Т.24. - N 1. - С.122-126.

43. Виноградова Э.В., Шепелев Г.В. К вопросу о дифференцируемости воздействий при вероятностном анализе колебаний механических систем // Динамика и прочность конструкций: Тематический сб-к научн. трудов. -Челябинск: ЧПИ, 1975. N 159. - С.33-40.

44. Вишик М.И., Фурсиков A.B. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980. - 442 с.

45. Власов A.A. Статистические функции распределения. М.: Наука, 1966. - 356 с.

46. Волконский В.А. Случайная замена времени в строго марковских процессах // Теория вероятностей и ее применения. 1958. - Т.З. - N 3. -С.332-350.

47. Волконский В.А. Построение неоднородных марковских процессов с помощью случайной замены времени // Там же. 1961. - Т.6. - N 1. - С.47-56.

48. Воронина Н.В., Маланин В.В., Рекка P.A. Осциллирующие функции и некоторые их приложения. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та, 1990. - 112 с.

49. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: теория и приложения. М.: Наука, 1985. - 384 с.

50. Вукобратович М., Стокич Д., Кирчански Н. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами. М.: Наука, 1989. -376 с.

51. Гардинер К.В. Стохастические задачи в естественных науках. М.: Мир, 1986. - 526 с.

52. Гердт В.П., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике // УФН. 1980. - Т.130. - N 1. - С.113-147.

53. Гиляров Н.П. Моделирование речных потоков. Д.: Гидрометео-издат, 1973. - 200 с.

54. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. К.: Наукова думка, 1968. - 354 с.

55. Гладкий В.Ф. Динамика конструкции летательных аппаратов. -М.: Наука, 1969. 496 с.

56. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. - 208 с.

57. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. К.: Вища школа, 1989. - 347 с.

58. Гончаренко В.М. О случайных колебаниях упругих тел и теория марковских процессов // Прикладная механика. 1991. - Т.27. - N 8. - С.95-100.

59. Горлиное В. Т., Журавлев А.Г, Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи: Учебное пособие. М.: Сов.радио, 1980. -544 с.

60. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. М.: Мир, 1965. - 276 с.

61. Гринвалъд Д.И. Турбулентность русловых потоков. JL: Гидроме-теоиздат, 1974. - 167 с.

62. Грошева М.В., Ефимов Г.В. и др. Системы аналитических вычислений на ЭВМ: Аналитические пакеты программ // Информатор ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. М., 1983. - N 1. - 65 с.

63. Грошева М.В., Ефимов Г.Б., Самсонов В.А. Символьные преобразования на ЭВМ в задачах управления // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. - N 1. - С.80-91.

64. Гусев A.C., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. - 240 с.

65. Дашевский М.Л. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов // Автоматика и телемеханика. 1967. - N 11. - С.62-81.

66. Дашевский М.Л., Липцер Р.Ш. Приближенный анализ нестационарных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1967. - N 8.- С.32-43.

67. Дашевский М.Л. Уравнения семиинвариантов нелинейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 1968. - N 10. - С.63-71.

68. Дашевский М.Л. А semiinvariant method of closing the equations for moments in statistical analysis of nonlinear systems // Проблемы управления и теория информации. 1975. - Т.4. - N 4. - С.317-326.

69. Дашевский М.Л. Техническая реализация моментно-семиинвари-антного метода анализа случайных процессов // Автоматика и телемеханика. 1976. - N 10. - С.23-26.

70. Дашевский М.Л. Algorithmization of the semiinvariant method of studying nonlinear systems // Проблемы управления и теории информации.- 1978. Т.7. - N 5. - С.305-316.

71. Демух В.И. Приближенный метод анализа точности нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1965. - N 6. - С.1021-1025.

72. Деч Р. Нелинейные преобразования случайных сигналов. М.: Советское радио, 1965. - 198 с.

73. Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980. - 368 с.

74. Диментберг М. Ф. Точное решение одной задачи о колебаниях системы со случайным параметрическим возбуждением // Прикладная математика и механика. 1980. - Т.44. - N 6. - С.1140-1142.

75. Диментберг М.Ф. Точное решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для некоторых динамических систем // Прикладная математика и механика. 1983. - Т.47. - N 4. - С.555-558.

76. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамике систем с переменными параметрами. М.: Наука, 1989. - 176 с.

77. Динамика управления роботов / Под ред. Е.И.Юревича. М.: Наука, 1984. - 336 с.

78. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. - 544 с.

79. Дроздов М.Ю., Маланин В.В. О создании Фортран-программ средствами САВ РЕДЬЮС // Труды Международной конференции "Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике".- Дубна: ОИЯИ, 1985. С.114-119.

80. Евланов Л.Г., Константинов В.М. Системы со случайными параметрами. М.: Наука, 1976. - 568 с.

81. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971. - 328 с.

82. Ефимов Г.В., Зуева Е.Ю., Щенков И.Б. Из истории развития и применения компьютерной алгебры в Институте прикладной математики имени М.В.Келдыша // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН. М., 2003.- 20 с.

83. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. - 328 с.

84. Закс М.Б. Аналитические преобразования на ЕС ЭВМ. Саратов: Изд-во СГУ, 1981. - 143 с.

85. Заяц О.И. Об аналитических свойствах решения уравнения В.С.Пугачева в форме А.А.Свешникова / ЛПИ. Л., 1987. - 15 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 7461-В87.

86. Заяц О.И. Решение уравнения В.С.Пугачева в форме А.А.Свешникова для одной релейной системы / ЛПИ. Л., 1987. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 7462-В87.

87. Заяц О.И. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в задачах статистической динамики систем релейного типа (обзор) / ЛПИ. Л., 1987. - 38 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 4938-В87.

88. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. - 276 с.

89. Знаменский В.А. Гидрологические процессы и их роль в формировании качества воды. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. - 248 с.

90. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел: Учебное пособие. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. - 344 с.

91. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. - 280 с.

92. Ивович В.А. Переходные матрицы в динамике упругих систем. М.: Машиностроение, 1981.

93. Иосилевич Г.Б., Лебедев П.А., Стреляев В.С. Прикладная механика. М.: Машиностроение, 1985. - 576 с.

94. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. В 2-х т. М.: Мир, 1980. - Т.1. - 280 е.; 1981. - Т.2. - 317 с.

95. Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. М.: Сов.радио, 1973. - 232 с.

96. Казаков И.Е. Приближенный вероятностный анализ точности работы существенно нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1956.- Т. 17. N 5. - С.387-409.

97. Казаков И.Е., Доступов В.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1962. - 332 с.

98. Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1969. - 262 с.

99. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975. - 432 с.

100. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М.: Наука, 1980. - 384 с.

101. Казаков И.Е., Мальчиков C.B. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1983. - 384 с.

102. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. М.: Наука, 1987. - 304 с.

103. Калдербенк В.Дж. Курс программирования на ФОРТРАНе-IV. -М.: Энергия, 1978. 87 с.

104. Камне de Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. М.: Физматгиз, 1963. - 104 с.

105. Картвегивили Н.А. Стохастическая гидрология. Л.: Гидроме-теоиздат, 1975. - 163 с.

106. Каримов В.А. Расчет коэффициентов статистической линеаризации типовых многомерных нелинейностей // Труды ЦАГИ. М., 1982. -Вып. 153. - С.40-55.

107. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

108. Кафаров В.В., Дорохов И.Н., Липатов JI.H. Системный анализ процессов химической технологии. М.: Наука, 1982. - 344 с.

109. Качмарж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. - 507 с.

110. Кашкарова А.Г., Шин В.И. Модифицированные семиинвариант-ные методы анализа стохастических систем // Автоматика и телемеханика.- 1986. N 2. - С.69-79.

111. Кириллов A.A., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979. - 384 с.

112. Климов Д.М. Компьютерная алгебра и ее применение в задачах механики // Вестник АН СССР. 1987. - N 9. - С.34-42.

113. Климов Д.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики // Механика и научно-технический прогресс. Т.1. Общая и прикладная механика. М., 1987. - С.170-186.

114. Климов Д-М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. - 215 с.

115. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975. - 239 с.

116. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах. М.: Наука, 1980. - 336 с.

117. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Динамика проводящего твердого тела в высокочастотном магнитном поле //ДАН СССР. 1980. - Т.255. -N 5. - С.1063-1066.

118. Кобрин А.И., Сартаев К.З. Погрешности гироскопа с центральной сферической опорой, вызванные влиянием возмущающих моментов двигателя // Вестник МГТУ. Приборостроение. -1994. N2/94 (15). С.87-91.

119. Колмановский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448 с.

120. Колмановский В.В., Шайхет Л.Е. Устойчивость стохастических систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 1993. - N 7. - С.66-85.

121. Колмогоров А.Н. Uber die analitische Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ann. 1931. - 104. - 415-458 (Русский перевод: Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи математических наук. - 1938. - Т.5. - С.5-41).

122. Колмогоров А.Н. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer-Verlag, 1933 (Русский перевод: Основные понятия теории вероятностей. - М.: Наука, 1974. - 120 е.).

123. Коломиец В.Г., Цикайло Т.-Н.М. Метод усреднения в стохастических существенно нелинейных системах //О некоторых существенно нелинейных задачах случайных колебаний. Киев, 1984. - С.15-33. - Препринт / Ин-т матем.АН УССР: N 24.

124. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях. М.: Наука, 1984. - 256 с.

125. Конашенкова А.Г., Шин В.И. Приближенный метод определения моментов фазовых координат многомерных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1990. - N 1. - С.43-52.

126. Коненков Ю.К., Давтян М.Д. Случайные механические процессы в оборудовании машин. М.: Машиностроение, 1988. - 272 с.

127. Кореневский Д.Г. Устойчивость решений детерминированных и стохастических дифференциально-разностных уравнений (алгебраические критерии). Киев: Наукова думка, 1992. - 208 с.

128. Кореневский Д.Г., Коломиец В.Г. Некоторые вопросы теории нелинейных колебаний квазилинейных систем со случайным запаздыванием // Математическая физика. Киев, 1967. - Вып.З. - С.91-113.

129. Корзняков A.A., Маланин В.В. Об одном итерационном методе решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Проблемы механики управляемого движения. Иерархические динамические системы. Пермь, 1978. - С.103-108.

130. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1969. - 832 с.

131. Косаче в И.М., Ерошенков М.Г. Аналитическое моделирование стохастических систем. Минск: Навука i тэхника, 1993. - 264 с.

132. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Высшая школа, 1978. - 287 с.

133. Красовский A.A. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М.: Наука, 1968. - 240 с.

134. Красовский A.A. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом рядов // ДАН СССР. 1972. - Т.205. - N 3. - С.550-552.

135. Красовский A.A. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для динамических систем с аналитическими характеристиками // Известия АН СССР. ТК. 1972. - N 6. - С.200-211.

136. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

137. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. - 232 с.

138. Красовский A.A., Буков В.Н., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977. - 272 с.

139. Крендалл С. Случайные колебания с нелинейными восстанавливающими силами. К.: Ин-т матем. АН УССР, 1961. - 14 с.

140. Кресип Г.И. О применении метода Бубнова-Галеркина в теории стохастических систем // Прикладная механика. 1977. - T.XIII. - N 2. -С.132-134.

141. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Квазимомент-ные функции в теории случайных процессов // ДАН СССР. 1954. - Т.94. -N 4. - С.615-618.

142. Куриленко A.M. Свойства линейных динамических систем со случайными параметрами // Изв.АН СССР. Техническая кибернетика. 1984.- N 4. С.183-191.

143. Куряков В.А. Об эволюции вращения динамически симметричного тела под действием постоянных и диссипативных моментов // Прикладная механика. 1993. - Т.29. - N 3. - С.82-85.

144. Кушнер Г.Дж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969. - 200 с.

145. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. - 360 с.

146. Ланда П. С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. - 320 с.

147. Ланцощ К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

148. Ласкин Н.В., Пелетминский С.В., Приходъко В.И. Статистическая механика систем в случайных процессах. Киев, 1977. - 36 с. - Препринт / ИТФ АН УССР: 77-133Р.

149. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.-Л.: Физматгиз, 1963. - 360 с.

150. Лебедев Н.Ф. Динамика гидравлических забойных двигателей. -М.: Недра, 1981. 251 с.

151. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники.- М.: Радио и связь, 1989. 656 с.

152. Лилов Л.К. Моделирование систем связанных тел. М.: Наука, 1993. - 272 с.

153. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 414 с.

154. Лукшин А.В., Смирнов С.Н. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений // Математическое моделирование. 1990. - Т.2. N 11. - С.108-121.

155. Лумпов В.И., Маланин В.В. Реализация итерационного метода для решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова в системе аналитических вычислений REDUCE2 // Динамика управляемых механических систем. Иркутск: ИПИ, 1982. - С.158-163.

156. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.824 с.

157. Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. М.: Машиностроение, 1983. - 264 с.

158. Макеев В.П., Гриненко Н.И., Павлюк Ю.С. Статистические задачи динамики упругих конструкций. М.: Наука, 1984. - 232 с.

159. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике: Конструктивное исследование // Изв. вузов. Математика. 1993. N 5. С. 56-71.

160. Маланин В.В., Жданов Г.А. Об одном итерационном операторном методе исследования динамических систем со случайными возмущениями // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные механические системы. Пермь, 1982. - С. 103-113.

161. Маланин В.В., Полосков И.Е. О возможности использования уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова для решения задач надежности // Динамика и алгоритмы управления роботов-манипуляторов. Иркутск, 1982. - С.57-61.

162. Маланин В. В. Об одном методе исследования нелинейных динамических систем со случайными параметрами // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1983. -С.83-87.

163. Маланин В.В., Полосков И.Е. Исследование нелинейных стохастических систем с применением языка ФОРМАК // Там же. Пермь, 1984.- С.105-111.

164. Маланин В.В., Шарова Л.В., Шанченко Н.И., Шульгин A.M. Решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова методом Пуанкаре // ДАН УзССР. 1985. - N 1. - С.8-10.

165. Маланин В.В., Полосков И.Е. Практическая реализации некоторых методов решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы.- Пермь, 1985. С.88-96.

166. Маланин В.В., Полосков И.Е. Исследование стохастических уравнений Дюффинга и Матье посредством функциональных рядов // Там же.- Пермь, 1986. С.98-102.

167. Маланин В.В., Полосков И.Е. Об оценке влияния случайных параметров на динамику одной нелинейной системы // Тезисы докладов научной конференции "Моделирование сложных механических систем". Ташкент: РДЭНТП Общества "Знание"Узбекистана, 1991. - С.57-58.

168. Маланин В.В., Полосков И.Е. Случайные процессы в нелинейных динамических системах. Аналитические и численные методы исследования.- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 160 с.

169. Малахов А.H. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1967. - 660 с.

170. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразования. М.: Сов.радио, 1978. - 376 с.

171. Малышев В.В., Пакшин П.В. Прикладная теория стохастической устойчивости и оптимального стационарного управления: Обзор // Изв.АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. - 4.1. - N 1. - С.42-66; 4.2. - N 2. -С.97-120.

172. Мальчиков C.B. Приближенный метод определения законов распределения фазовых координат нелинейных автоматических систем // Автоматика и телемеханика. 1970. - N 5. - С.43-50.

173. Мальчиков C.B. Определение закона распределения выходных переменных многомерной нелинейной системы // Автоматика и телемеханика.- 1973. N 11. - С.16-21.

174. Марчук Г. И. Математические моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 320 с.

175. Мелъц И.О., Пыхова Т.А., Усков Г.В. Многомерная статистическая линеаризация функций, содержащих множители степенного, показательного и тригонометрического типов, а также <5-функции // Автоматика и телемеханика. 1967. - N 12. - С.65-75.

176. Мерклингер К.Дж. Численный анализ нелинейных систем управления с помощью уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Труды II Международного конгресса ИФАК. Оптимальные системы. Статистические методы. М.: Наука, 1965. - С.324-339.

177. Методы оптимизации в статистических задачах управления / Батков A.M., Александров В.М., Мишулина А.О. и др. М.: Машиностроение, 1974. - 240 с.

178. Механика промышленных роботов: Учеб. пособие для втузов; В 3-х кн. / Под ред. К.В.Фролова, Е.И.Воробьева. М.: Высшая шк., 1988. -Кн.1. - 304 е.; Кн.2. - 367 с.

179. Милъштейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во УралГУ, 1988. - 223 с.

180. Миркина A.C. Применение метода многомасштабных разложений для решения уравнений с нестационарными коэффициентами // Изв.АН СССР. Механика твердого тела. 1978. - N 1. - С.22-31.

181. Митрополъский Ю.А., Коломиец В.Г. Усреднение в стохастических системах // Украинский математический журнал. 1971. - Т.23. - N 3.- С.318-345.

182. Митрополъский Ю.А., Коломиец В.Г. Применение асимптотических методов в стохастических системах // Приближенные методы исследования нелинейных систем. К.: Ин-т матем. АН УССР, 1976. - С. 102-147.

183. Митрополъский Ю.А., Нгуен Донг Анъ. Случайные колебания в квазилинейных системах стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием // Украинский математический журнал. 1986. - Т.38. - N 2.- С.181-183.

184. Митрополъский Ю.А., Нгуен Донг Анъ. Случайные колебания в квазилинейных системах стохастических интегро-дифференциальных уравнений // УМЖ. 1987. - Т.39. - N 4. С.472-478.

185. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. - 384 с.

186. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 512 с.

187. Мишанина М.Г., Музычук О.В. К анализу нелинейных динамических систем, возбуждаемых интенсивным небелым шумом // Прикладная математика и механика. 1992. - Т.56. - Вып.6. - С.1039-1042.

188. Молодцов С.Н. К статистическому анализу нелинейных резонансных систем с широкополосными случайными воздействиями // Изв. АН СССР. Радиотехника и электроника. 1986. - Т.31. - N 3. - С.509-514.

189. Молодцов С.Н. О модельных распределениях нелинейных стохастических систем марковского типа / Горьк. ин-т инж. водного тр-та. Горький, 1989. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 4954-В89.

190. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. М.: Наука, 1967. - 4.2. - 720 с.

191. Мощук П.К., Синицын И.Н. О стохастических неголономных системах // Прикладная математика и механика. 1990. - Т.54. - Вып.2. -С.213-223.

192. Мощук Н.К., Синицын И.Н. О стационарных и приводимых к стационарным режимах в нормальных стохастических дифференциальных системах // Прикладная математика и механика. 1991. - Т.55. - Вып.6. -С.895-903.

193. Мухитдинов Т.М., Коломиец В. Г. О непрерывной зависимости решений стохастических интегро-дифференциальных уравнений от параметра // Асимптотические методы в нелинейной механике. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1974. - С.184-192.

194. Мышкис АД. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. - 352 с.

195. Назаров Н.А, Демидов В.Н. Методы и результаты численного моделирования переноса неконсервативной примеси в речном потоке // Водные ресурсы. 2001. - Т.28. - N 1. - С.38-46.

196. Найденов В.И., Крутова Н.М. Исследование многолетних колебаний уровня Каспийского моря на основе теории стохастических дифференциальных уравнений // Водные ресурсы. 2002. - Т.29. - N 3. - С.299-310.

197. Найденов В.И., Швейкина В.И. Нелинейные модели колебаний речного стока // Водные ресурсы. 2002. - Т.29. - N 1. - С.62-67.

198. Нгуен Донг Ань. К вопросу решения уравнений Фоккера-План-ка-Колмогорова для неавтономной механической системы с одной степенью свободы // Прикладная механика. 1984. - Т.ХХ. - N 3. - С.87-93.

199. Нгуен Донг Ань. Некоторые вопросы теории случайных колебаний в нелинейных стохастических дифференциальных уравнениях высших порядков. Диссертация . канд.физ.-мат.наук. - Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1984. - 70 с.

200. Нгуен Донг Ань. К вопросу об интегрируемости усредненных уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1985. - N 3. - С.45-48.

201. Нгуен Донг Ань. Об исследовании случайных колебаний в неавтономных механических системах при помощи уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова // Прикладная математика и механика. 1985. - Т.49. - N 3. -С.506-512.

202. Нгуен Донг Ань. Влияние различных типов периодических случайных возбуждений на систему Ван-дер-Поля // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. - N 1. - С.43-46.

203. Нгуен Донг Ань. Взаимное влияние различных типов случайных и периодических возбуждений на колебания нелинейных систем. Дисс. . доктора физ.-мат.наук. - Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1986. - 225 с.

204. Нгуен Тиен Кхием. Нелинейные колебания вязкоупругих пластин под действием стационарных случайных сжимающих сил // Прикладная механика. 1986. - Т.22. - N 12. - С.115-118.

205. Нгуен Тиен Кхием. Случайные колебания в самовозбуждающихся системах с запаздыванием // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. - N 2. - С.62-65.

206. Никитин H.B. Континуальные интегралы и статистический анализ динамических систем в пространстве состояний. М.: МИФИ, 1985.

207. Николаенко H.A., Ульянов C.B. Статистическая динамика машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. - 368 с.

208. Норкин С. Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. - 354 с.

209. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 400 с.

210. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. - 639 с.

211. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973. - 322 с.

212. Отчет по теме "Разработка и создание с использованием систем аналитических вычислений компьютерного курса по теоретической механике" за 1994 г. (Программа "Университеты России"): Рук-ль В.В.Маланин. -Пермь: ПГУ, 1994. 37 с.

213. Павлов К.А. К анализу нелинейных систем со случайными входными воздействиями // Исследования по динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. - Вып.2. - С.225-238.

214. Павловский Ю.Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организационные структуры. I // ЖВМиМФ. 1974.- Т. 14. N 4. - С.862-872.

215. Павлюк Ю.С., Сакулин В.Д. Аналитическая оценка случайных колебаний линейных систем в случае запаздывания колебаний // Динамика и прочность конструкций: Тематический сб-к научн. трудов. Челябинск: ЧПИ, 1975. - N 159. - С.62-67.

216. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. - 328 с.

217. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов.радио, 1976. - 184 с.

218. Первозванский A.A. Случайные процессы в нелинейных автоматических системах. М.: Физматгиз, 1962. - 352 с.

219. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях в частных производных.- М.: ГИТТЛ, 1953. 360 с.

220. Петухов В.Р. Групповой анализ дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: ИТЭФ, 1983. - 15 с. - Препринт / ИТЭФ: N 15.

221. Петухов В.Р. Расширение групп преобразований уравнений с отклоняющим аргументом. М.: ИТЭФ, 1985. - 7 с. - Препринт / ИТЭФ: N 99.

222. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. - 248 с.

223. Погонышев С. А. Численный метод исследования статистической динамики стохастических систем // Изв.АН СССР. Техническая кибернетика. 1992. - N 2. - С.130-135.

224. Погорелое Д.Ю. О кодировании символьных выражений при синтезе уравнений движения систем твердых тел // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1993. - С.209-213.

225. Поло сков И.Е. Об одной модификации метода рядов решения ФПК-уравнения // Тезисы докладов Областной отчетной научной конференции (механико-математические секции). Пермь, 1980. - С.22.

226. Полосков И.Е. О развитии одного метода исследования нелинейных вероятностных систем / Пермск. ун-т. Пермь, 1985. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 7951-В85.

227. Полосков И.Е. О связи моментов и кумулянтов многомерных распределений / Перм. ун-т. Пермь, 1986. - 5 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 8871-В86.

228. Полосков И.Е. О формальном представлении решения ФПК-уравнения для переходной плотности вероятности / Пермск. ун-т. Пермь, 1988. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 6880-В88.

229. Полосков И.Е. Об одной задаче анализа движения твердого тела под действием случайных моментов // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1988. С.146-152.

230. Полосков И.Е. О построении стационарной плотности системы мы двух уравнений Дюффинга // Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции "Применение статистических методов в производстве и управлении". Пермь, 1990. - Т.1. - С.162.

231. Полосков И.Е. Об одном алгоритме расчета стационарной плотности вероятности // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1991. - С.90-95.

232. Полосков И.Е. О применении метода бесконечных систем для анализа нелинейных систем со случайными параметрами // Проблемы механики управляемого движения. Оптимизация процессов управления. Пермь, 1992. - С.105-109.

233. Полосков И.Е. О возможности применения метода интегратора для решения задач статистической динамики нелинейных систем // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные динамические системы.- Пермь, 1993. С.54-61.

234. Полосков И.Е. Применение метода бесконечных линейных систем для вероятностного анализа одной нелинейной системы // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь, 1995. -С.138-142.

235. Полосков И.Е. Анализ переходного режима в одной системе со случайным непрерывно-дискретным входом // Там же. С. 143-149.

236. Полосков И.Е. Об одном методе расчета корреляционных функций // Тезисы докладов VII Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". "Исследование систем". Киев: КГУ, 1996. - С.111.

237. Полосков И.Е. Об одном представлении переходной плотности вероятности // Проблемы механики и управления. Пермь, 1996. - С. 145-152.

238. Полосков И.Е. Пакет программ автоматизации обработки вектор-но-матричных выражений // Там же. С.153-165.

239. Полосков И.Е. О некоторых точных решениях уравнения Фок-кера-Планка-Колмогорова // Thesis of reports of International Conference "Modeling and Investigation of Systems Stability". Section "Systems Simulation". Kiev: KU, 1997. - C.107.

240. Полосков И.Е. Об аппроксимации винеровского процесса // Там же. Пермь, 1997. - С.128-135.

241. Полосков И.Е. Применение компьютерной алгебры для реализации алгоритмов оптимального управления // Тезисы докладов V Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". М.: ИПУ РАН, 1998. - С.75.

242. Полосков И.Е. Анализ систем со случайным входом обобщенным методом интегратора // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции "Фридмановские чтения". Пермь, 1998. - С.80.

243. Полосков И.Е. Некоторые вопросы разработки пакета прикладных программ (ППП) "Статистическая динамика"// Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 1998. - С. 131-139.

244. Полосков И.Е. Некоторые замечания по истории статистической динамики // История и методология науки: Межвуз. сб. науч. трудов / Перм. ун-т. Пермь, 1999. - Вып.6. - С.54-62.

245. Полосков И.Е. Использование компьютерной алгебры для реализации алгоритмов оптимального управления // Там же. Пермь, 1999. -С.146-158.

246. Полосков И.Е. Анализ случайных режимов и компьютерная алгебра // Там же. Пермь, 2000. - С.113-120.

247. Полосков И.Е. Анализ случайных колебаний в нелинейных системах и компьютерная алгебра // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике / Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - С.494.

248. Полосков И.Е. Метод полуобратной задачи в анализе некоторых стохастических систем // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т. Пермь, 2001. -С.113-125.

249. Полосков И.Е. О применении компьютерной алгебры к анализу случайных процессов в распределенных системах // Вестник Пермского унта. Информационные системы и технологии. 2001. - Вып.5. - С.82-85.

250. Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. 2002. - N 9. - С.58-73.

251. Полосков И.Е. Об одном подходе к оценке чувствительности нелинейных систем к изменению параметров // Проблемы механики и управления: Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т.- Пермь, 2002. С.58-69.

252. Полосков И.Е. Об одном подходе к анализу случайных процессов в распределенных системах // Математическое моделирование. 2003. - Т. 15.- N 4. С.85-100.

253. Полосков И.Е. Пакет ProbRel для символьных вероятностных расчетов // Вестник Пермского ун-та. Информационные системы и технологии. 2003. - Вып.6. - С.19-22.

254. Полосков И.Е. Уравнения для первых моментов фазового вектора линейной интегро-дифференциальной системы // Вестник Пермского ун-та. Математика. Информатика. Механика. 2003. - Вып.5. - С.70-73.

255. Полосков И.Е. Об анализе некоторых классов стохастических интегро-дифференциальных уравнений // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. ун-т.- Пермь, 2003. С.99-106.

256. Полосков И.Е. О колебаниях упругой колонны под действием случайной нагрузки // Там же. Пермь, 2003. - С.107-116.

257. Полосков И.Е. О вращении твердого тела под действием диссипа-тивного и случайных моментов // Известия РАН. Механика твердого тела.- 2004. Вып.2. - С.24-27.

258. Полосков И.Е. О расчете первых моментов случайной концентрации вещества речного загрязнения // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. - T.VII. - N 2 (18). - С.103-110.

259. Поляхов H.H., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика: Учеб.для вузов / Под ред. П.Е.Товстика. -2-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 2000. 592 с.

260. Понтрягин Л., Андронов А., Витт А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. 1933. - Т.З. - С.165-180.

261. Потапов В.Д. Устойчивость движения стохастической вязко-упругой системы // Прикладная математика и механика. 1993. - Т.57. -Вып.З. - С.137-145.

262. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973. - 496 с.

263. Пугачев B.C. Случайные функции,определяемые дифференциальными уравнениями // Труды ВВА им.Н.Е.Жуковского. 1944. - Вып. 18.- С.3-36.

264. Пугачев В. С. Применение теории марковских процессов к анализу точности автоматических систем // Изв. АН СССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1961. - N 3. - С.46-57.

265. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. - 884 с.

266. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. - 400 с.

267. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. - 560 с.

268. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Шин В.И. Проблемы анализа и условной оптимальной фильтрации в реальном масштабе времени процессов в нелинейных стохастических системах // Автоматика и телемеханика. 1987. - N 12. - С.3-24.

269. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Шин В.И. Программная реализация метода нормальной аппроксимации в задачах анализа нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1987. - N 2. - С.62-68.

270. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Чередниченко A.A., Шин В.И., Синицын В.И. Математическое обеспечение для анализа многомерных нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1991. - N 1.

271. Пупков К.А. Статистический расчет нелинейных систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1965. - 403 с.

272. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.

273. Пупков К.А., Шмыкова H.A. Анализ и расчеты нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов. М.: Машиностроение, 1982. - 150 с.

274. Пухов Г.Е. Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. К.: Наукова думка, 1978. - 260 с.

275. Пухов Г.Е., Войтенков И.Н. Основы стохастических дифференциальных преобразований // Электронное моделирование. 1988. - Т.10. -N 6. - С.3-11.

276. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. - 712 с.

277. Разевиг В.Д. Корреляционный анализ систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1973. - N 9. - С.42-48.

278. Расулов М.Л. Применение метода контурного интеграла. М.: Наука, 1975. - 256 с.

279. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем автоматического управления. J1.: Энергия, 1969. - 208 с.

280. Росин М.Ф., Булыгин B.C. Статистическая динамика и теория эффективности систем управления. М.: Машиностроение, 1981. - 312 с.

281. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. - 288 с.

282. Рубаник В. П. Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск: Изд-во "Университетское", 1985. - 143 с.

283. Рудых Г.А., Синицын A.B. Разложение и сходимость решения обобщенного уравнения Лиувилля по ортонормированной системе функций // Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск: Наука, 1987. - С.252-266.

284. Ружников Г.М., Суржик В.В. Исследование статистической динамики летательных аппаратов // Методы возмущений в механике. Новосибирск: Наука, 1982. - С.112-125.

285. Румянцев А.Н. Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании краевых задач. Пермь: Изд-во ПермГУ, 1999. - 174 с.

286. Рытое С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. - 404 с.

287. Рытое С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1978. - 4.II. - 464 с.if tf

288. Савараги И., Су гаи Н., Суханара И. Статистические методы анализа и синтеза нелинейных систем автоматического регулирования при случайных воздействиях // Труды I Международного конгресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961. - Т.З. - С.191-197.

289. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. 1979. - N 5. - С.38-49.

290. Саульев В.К., Черников A.A. Решение уравнения Фоккера-План-ка-Колмогорова методом конечных разностей // Автоматика и телемеханика. 1990. - N 3. - С.98-102.

291. Светлицкий В.А. Механика стержней: Учебник для ВТУЗов. В 2-х ч. 4.2. Динамика. М.: Высшая школа, 1987. - 304 с.

292. Светлицкий В.А. Случайные колебания механических систем. -М.: Машиностроение, 1991. 320 с.

293. Свешников A.A. Прикладные методы случайных функций. М.: Наука, 1968. - 464 с.

294. Семенов В.В. Уравнение обобщенной характеристической функции вектора состояния системы автоматического управления // Аналитические методы синтеза регуляторов. Саратов: СПИ, 1977. - Вып.2. - С.3-36.

295. Синицын И.Н. Методы статистической линеаризации (Обзор) // Автоматика и телемеханика. 1974. - N 5. - С.82-94.

296. Синицин В. И. Новый приближенный метод нахождения одномерного распределения векторного процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением // ДАН СССР. 1989. - Т.309. - N 3. - С.541-544.

297. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1977. - 480 с.

298. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 1987. - 231 с.

299. Системы: декомпозиция, оптимизация и управление / Составители М.Сингх, А.Титли. М.: Машиностроение, 1986. - 496 с.

300. Скрябин Н.Г. Моделирование уравнения Фоккера-Планка случайным блужданием с переменным шагом // Доклад на V конференции по теоретической кибернетике, Новосибирск. Якутск: Якутский филиал СО АН СССР, 1980. - 34 с. - Препринт.

301. Смольников Б.А. Проблемы механики и оптимизации роботов. -М.: Наука, 1991. 232 с.

302. Соколов И.Д. Метод осреднения функциональных поправок. К.: Наукова думка, 1967. - 336 с.

303. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. - 470 с.

304. Сотскова И.А. О построении алгебраического тензорного уравнения обобщенной характеристической функции / МАИ. М., 1985. - 22 с. -Деп. в ВИНИТИ, N 4293-85.

305. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В.С.Королюка. К.: Наукова думка, 1978.- 584 с.

306. Старков С.Н. Метод малого параметра в задаче прогноза движения со случайными начальными данными / ЛИТМО. JL, 1984. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 7451-84.

307. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Б.Г.Доступова. М.: Машиностроение, 1970. - 408 с.

308. Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов.радио, 1961. - 558 с.

309. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. - 209 с.

310. Стрелкова H.A. Применение метода Вьеториса решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова при исследовании одной нелинейной системы // Проблемы механики управляемого движения. Оптимизация управляемого движения. Пермь, 1992. - С.116-125.

311. Сухомлин Н.Б., Илюхин С.А. Случайные процессы, эквивалентные гауссовым. I / Лен-ский ин-т авиац.приборостр. Л., 1987. - 13 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 3458-В87.

312. Тертычный В.Ю. Стохастическая стабилизация управляемого вращательного движения твердого тела // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1989. - N 2. - С.9-14.

313. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

314. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квази-когеррентный прием сигналов. М.: Сов.радио, 1975. - 704 с.

315. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. - 486 с.

316. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. - 624 с.

317. Тихонов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов.- М.: Радио и связь, 1986. 296 с.

318. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности.- М.: Сов. радио, 1972. 240 с.

319. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968. - 382 с.

320. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. М.: Мир, 1984. - Т.2. - 738 с.

321. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978. - 318 с.

322. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - 352 с.

323. Фодчук В. И. Асимптотические методы нелинейной механики в теории дифференциально-разностных уравнений. Автореф. дисс. . д-ра физ.-мат. наук. - Киев: Ин-т математики, 1972. - 19 с.

324. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1978. - 279 с.

325. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 428 с.

326. Фушич В.И., Чопик В.И., Черкасенко В.П. (Fushchich W.I., Cho-pyk V.I., Cherkasenko V.P.) Symmetry and exact solutions of multidimensional nonlinear Fokker-Planck equation // ДНАН Украины. Сер."Мат., естеств., техн. науки". 1993. - N 2. - С.32-42.

327. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов.радио, 1968. - 256 с.

328. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 405 с.

329. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991. - 240 с.

330. Хасъминский Р.З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией // Теория вероятностей и ее применения. 1963. - Т.8. -N 1. - С.3-25.

331. Хасъминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. - 368 с.

332. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. - 421 с.

333. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при проектировании конструкций. М.: Мир, 1988.

334. Царьков Е.Ф. Системы стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия АН Латвийской ССР. Сер. физ. и техн. наук. 1968. - N 2. - С.57-64.

335. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. Рига: Зинатне, 1989. - 421 с.

336. Чайковский М.В., Янович Л.А. О численном нахождении корреляционных функций решения систем линейных интегро-дифференциальных уравнений со случайно возмущенной правой частью // Дифференциальные уравнения. 1987. - N 2. - С.328-338.

337. Черкасов И.Д. О преобразовании диффузионного процесса в ви-неровский // Теория вероятностей и ее применение. 1957. - Т.2. - N 3. -С.384-388.

338. Черкасов ИД. Преобразование диффузионных процессов: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 1981. - 132 с.

339. Черкасов И.Д. Преобразования диффузионных процессов и их применения: В 2-х кн. Саратов: Изд-во СГУ, 1988.

340. Чермных C.B. Метод бесконечных систем в теории нормальных форм неавтономных дифференциальных уравнений / Лен-ский ун-т. Л., 1987. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ, N 1587-В87.

341. Чернецкий В.И. Анализ точности нелинейных систем управления. М.: Машиностроение, 1968. - 244 с.

342. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. - 352 с.

343. Шахинпур М. Курс робототехники. М.: Мир, 1990. - 527 с.

344. Шахтарин Б.И., Сизых В.В., Курочка Б.Я. Статистические характеристики систем синхронизации второго порядка // Вестник МГТУ. Сер. Приборостр. 1993. - N 1(10). - С.3-16.

345. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965. - 328 с.

346. Шин В. И. Decomposition of non-linear stochastic systems described by differential equations // Проблемы управления и теории информации. -1982. Т.Н. - N 6. С.441-453.

347. Шин В.И. Декомпозиция задач оценивания состояния многомерных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1985. - N 3. -С.62-72.

348. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. - 576 с.

349. Шмелев А.Б. Основы марковской теории нелинейной обработки случайных полей. М.: Изд-во МФТИ, 1998. - 208 с.

350. Шопа В.М., Сухоролъский М.А., Полевой Б.Н. Математическая модель нелинейной механической системы с упорами // Прикладная механика. 1990. - Т.26. - N 4. - С.109-113.

351. Штейнволъф А.Л. Определение коэффициентов статистической линеаризации по высшим моментным характеристикам // Проблемы машиностроения. 1985. - N 24. - С.64-69.

352. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. - 683 с.

353. Эльсголъц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. М.: Наука, 1971. - 296 с.

354. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. - 196 с.

355. Яценко Н.Н., Прутчиков O.K. Плавность хода грузового автомобиля. М.: Машиностроение, 1968. - 220 с.

356. Ahlbehrendt N., Кетре V. Analyse stochastischer Systeme. Nicht linear dynamische Systeme. Berlin: Academic-Verlag, 1984.

357. Atkinson J.D., Caughey Т.К. Spectral density of piecewise linear first order systems excited by white noise // Int. J. of Non-Linear Mech. 1968. -V.3. - N 2. - P.137-156.

358. Atkinson J.B. Eigen-function expansions for randomly excited nonlinear systems // J. of Sound and Vibr. 1973. - V.30. - N 2. - P.153-172.

359. Avellaneda M.E.W. Statistical properties of shocks in Burgers turbulence // Communications in Math. Physics. 1995. - V.172. - N 1. - P.13-38.

360. Beaman J. J., Hedrick J.K. Improved statistical linearization for analysis and control nonlinear stochastic systems // Trans, of ASME. J. of Dyn. Systems, Measurement and Control. 1981. - V.103. - N 3. - P.14-21.

361. Beck M.B. The application of control and systems theory to problems of river pollution control / Ph.D. Thesis. Cambridge University, 1974.

362. Benaroya H. Nonrecursive statistics for integral equations solutions // Appl. Math, and Comput. 1987. - V.24. - N 4. - P.275-280.

363. Berkowitz S., Garner F.J. The calculation of multidimensional Her-mite polynomials and Gram-Charlier coefficients // Mathematics of Computation. 1970. - V.24. - N 111. - P.537-545.

364. Bluman G. W., Cole J.D. Similarity methods for differential equations. Berlin: Springer-Verlag, 1974. - 232 p.

365. Bluman G. W., Kumei S. Symmetries and differential equations. -Berlin: Springer-Verlag, 1997. 412 p.

366. Booton R.C. Nonlinear control systems with random inputs // Trans.IRE. 1954. - V.CT-1. - P.9-18.

367. Bruckner A., Lin Y.K. Generalization of the equivalent linearization method for non-linear random vibration problems // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1987. - V.22. - N 3. - P.227-235.

368. Canapol B.D. The convergence of the generalized function solution of Kramers' equation // Transport theory and statistical physics. 1984. - V.13.- N 1&2. P.69-83.

369. Caughey Т.К., Payne H.J. On the response of a class of self-excited oscillators to stochastic excitation // Int. Journal Non-Linear Mech. 1967. -V.2. - P.125-151.

370. Caughey Т.К. Nonlinear theory of random vibrations // Advances in Applied Mechanics. 1971. - V.ll. - P.209-253.

371. Caughey Т.К., Dienes J.K. Analysis of a nonlinear first-order system with a white noise input // J. of Appl. Phys. -1961. V.32. - N 11. - P.2476-2479.

372. Caughey Т.К., Ma F. The exact steady-state solution of a class of nonlinear stochastic systems // Int. J. of Non-Linear Mech. 1982. - V.17. - N 3.- P.137-142.

373. Caughey Т.К. On the response of nonlinear oscillators to stochastic excitation // Random Vibrations. / Winter Annu. Meet, of Amer. Soc. of Mech. Eng. New York, 1984. - P.9-14.

374. Chandrasecar S. Stochastic problems in physics and astronomy // Reviews of Mod. Physics. 1943. - V.15. - N 1. - P.2-87.

375. Chen C., Tomizuka M. Lateral control of commercial heavy vehicles // Vehicle System Dynamics. 2000. - V.33. - N 6. - P.391-420.

376. Christov C.I. Poisson-Wiener expansion in non-linear stochastic systems // Год-к Соф.ун-т. Фак. по мат. и мех. Кн. 2. Механика. 1981. - Т.75.- С.143-165.

377. Christov C.I. A complete orthogonal system of functions in L2(—oo, oo) space // SIAM J. of Appl. Math. 1982. - V.42. - N 6. - P.1337-1344.

378. Coffey W.T., Kalmykov Yu.P., Waldron J.T. The Langevin equation with applications in physics, chemistry and electrical engineering. Singapore e.a.: World Scientific, 1996. - 413 p.

379. Cryer C. W. Numerical methods for functional differential equations // Delay and functional differential equations and their applications / Ed. by K.Schmitt. New York, London: Academic Press, 1972. - P. 17-101.

380. Cyganowski S. A Maple package for stochastic differential Equations // Proc. of the VII Biennial Conf. on Computational Techniques and Applications (CTAC95). Singapore: World Scientific, 1996. - P.223-230.

381. Defilippi M. An efficient multiharmonic algorithm for nonlinear multidimensional random vibration // Proc. of the 11th Int. Conf. on Nonlinear Oscillations. 1987. - P.539-542.

382. Diskmanns E.D., Myslewetz B.D. Recursive 3-d road and relative ego-state recognition // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 1992. -V.14. - N 2. - P.199-213.

383. Dunne J.F., Wright J.H. Threshold crossings in nonlinear systems and ship capsize prevention // Lecture Notes in Control and Inf. Sciences, N 59. 1984. - P.566-576.

384. Ebeling W., Engel-Herbert H. Stochastic theory of kinetic transitions in nonlinear mechanical systems // Успехи механики. 1982. - T.5. - N 3/4. -С.41-60.

385. Ebeling W., Herzel H., Pichert W., Shimanski-Geier L. Influence of noise on Duffing-Van der Pol oscillators // Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik and Mechanik. 1986. - V.66. - N 3. - P. 141-146.

386. ElBeheiry E.M., Karnopp D.C. Optimal control of vehicle random vibration with constrained suspension deflection // Journal of Sound and Vibration. 1996. - V.189. - N 5. - P.547-564.

387. Frank P.M. Introduction to system sensitivity theory. New York: Academic Press, 1978. - 386 p.

388. Fuller A.T. Analysis of nonlinear stochastic systems by means of Fokker-Planck equation // Int. J. of Control. 1969.- V.9. - N 6. - P.603-655.

389. Gaines J.G. Stochastic Analysis // ftp://ftp.maths.ed.ac.uk/ pub/jessica

390. Grafton R.B. Periodic solution of Lienard equations with delay: Some theoretical and numerical results // Delay and functional differential equationsand their applications / Ed. by K.Schmitt. New York, London: Academic Press, 1972. - P.321-329.

391. Grasman J. Asymptotic analysis of nonlinear systems with small stochastic perturbations // Mathematics and Computers in Simulation. 1989. - V.31. - N 1-2. - P.41-54.

392. Grossman S. Non-Markovian macroscopic dynamics // Z. Phys. B. -Condensed Matter. 1982. - V.47. - N 3. - P.251-263.

393. Нас A., Youn I. Optimal design of active and semi-active suspensions including time delays and preview // Journal of Vibrations and Accoustics. -1993. V.115. - P.498-508.

394. Hampl N.C., Schneller G.I. Probability densities of the response of non-linear structures under stochastic dynamic excitation // Stochastic Structural Mechanics / Lecture Notes in Engineering, N 31. Berlin: Springer-Verlag, 1987.

395. Hearn A.C. REDUCE User's manual. Version 3.6. Santa Monica (CA): The Rand Corporation, 1995. - 232 p.

396. Heck A. Introduction to Maple. Berlin: Springer-Verlag, 1993.500 p.

397. Hennig КRoberts J.B. Average methods for randomly excited nonlinear oscillations // Random Vibration. Status and Recent Developments / Studies in Applied Mechanics, N 14. Amsterdam: Elesevier, 1986. - P.149-161.

398. Hopkins T.R., Wait R. A comparision of Galerkin, collocation and the method of lines for partial differential equations // Int. J. for Num. Meth. in Engineering. 1978. - V.12. - P.1081-1107.

399. Ни Sh., Lakshmikantham V. Monotone iterative technique for integ-ro-differential equations // Асимптотические методы математической функции: Сб-к научн. трудов / АН УССР. Ин-т математики. Киев: Наукова думка, 1988. - С.263-270.

400. Ibrahim R.A. Parametric random vibration. Letchworth: Research Studies Press Ltd., 1985. - XII, 342 p.

401. Ibrahim R.A., Heo H. Stochastic Response of Nonlinear Structures with Parameter Random Fluctuations // AIAA Journal. 1987. - V.25. - N 2. -P.331-338.

402. Indira R., Valsakumar M.C., Murthy K.P.N., Ananthakrishna G. Diffusion in a bistable potential: A comparative study of different methods of solution // J. of Stat. Physics. 1983. - V.33. - N 1. - P.181-194.

403. Jaynes E. T. // Phys. Rev. 1957. - V.106. - P.620-630.

404. Katz A., Schuss Z. Reliability of elastic structures driven by random loads // SI AM J. Appl. Math. 1985. - V.45. - N 3. - P.383-402.

405. Kemnitz H. Polynomials expansions for solutions of Dxu(x,t) = Dtu(x,t), r = 2,3,4,. // SIAM J. of Math. Anal. 1982. - V.13. - N 4. -P.640-650.

406. Kendall W.S. Symbolic ltd calculus: an overview // Report of Department of Statistics. Univ. of Warwick. N 223. 1991. - 9 p.

407. Kendall W.S. Computer algebra in probability and statistics // Report of Department of Statistics. Univ. of Warwick. N 236. 1992. - 18 p.

408. Kendall W.S. Itovsn3: doing stochastic calculus with Mathematica // Report of Department of Statistics. Univ. of Warwick. N 238. 1992. - 36 p.

409. Ku J.H. On the analysis of nonlinear stochastic systems //IX Меж-дунар. конф. по нелинейным колебаниям. Киев, 1981. - Т.1. - С.200-207.

410. Langley R.S. A finite element method for the statistics of non-linear random vibration // J. of Sound and Vibr. 1985. - V.101. - N 1. - P.41-54.

411. Langley R.S. A finite element method for the survival probability of nonlinear oscillators // Computers h Structures. 1987. - V.27. - N 5. - P.611-617.

412. Lieforghe D., Shy Y.K., Fleury C. Shape sensitivity analysis using low and high order finite elements // AIAA/ASME/ASCE/AHS 29th Struct., Struct. Dyn. and Mater. Conf. / Collect. Techn. Pap. Washington. D.C., 1988.- Pt.3. P.1656-1666.

413. Lin Y.K. Probabilistic theory of structural dynamics. New York: McGraw-Hill Book Сотр., 1967.

414. Lin Y.K., Cai G.Q. Equivalent stochastic systems // Trans, of the ASME. J. of Appl. Mech. 1988. - V.55. - N 4. - P.918-922.

415. Lin Y.K., Yong Y., Cai G. Exact solution for nonlinear systems under parametric and external whitenoise excitations // Stoch. Struct. Mech. / Lecture Notes in Engineering, N 36. Berlin: Springer-Verlag, 1987. - P.269-280.

416. Lin Y.K., Cai G. Exact stationary response solution for second order nonlinear systems under parametric and external white noise excitations. Part II // Trans, of the ASME. J. of Appl. Mech. 1988. - V.55. - N 3. - P.702-705.

417. Liron N.j Rubinstein J. Calculating the fundamental solution to linear convection-diffusion convection problems // SIAM J. of Appl. Math. 1984.- V.4. N 3. - P.493-511.

418. Liske H., Platen E. Simulation studies on time discrete diffusion approximations // Mathematics and Computers in Simulation. 1987. - V.29. -P.253-260.

419. Looney C.G. Numerical solution of systems of random differential equations with Gaussian statistics // Journal of Math. Anal, and Appl. 1985.- V.105. P.222-230.

420. Malanin V. V., Poloskov I.E. On CA application in solving some statistical dynamical problems //IV International Conference on Computer Algebra in Physical Research. Singapore e.a.: World Scientific, 1991. - P.335-339.

421. Malanin V. V., Mikriukov V.M., Poloskov I.E. Prototype of the expert system on stochastic dynamics // International Congress on Computer Systems and Applied Mathematics (CSAM'93) / Abstracts. St.-Peterburg: CMC "POLYLOG", 1993. - P.207-208.

422. Malanin V. V., Poloskov I.E. Random effects analysis with computer algebra systems // The ISSAC'96 Poster Session Abstracts / W.W.Kuchlin (editor). Zurich: ETH, 1996. - P.55-58.

423. Malanin V.V., Poloskov I.E. Compound program packages and a nonlinear random fluctuations analysis // Extended abstracts of International Conference "Computer Algebra in Scientific Computing". St.Peterburg, 1998.- P.85-90.

424. MapleTech. 1996. - V.3. - N 1.

425. Menh N.C. Responses of weakly non-linear dynamic systems subjected to random parametric and external excitations // J. of Sound and Vibr.- 1987. V.113. - N 1. - P.1-8.

426. Menh N.C. On the investigation of stochastic dynamic systems by successive approximation // Z. angev. Math, and Mech. 1986. - V.66. - N 6. -P.250-251.

427. Nelson E. Dynamical theories of Brownian motion. Princeton: Princeton University Press, 1967 (2nd ed. - 2001. - 120 p. - http://www.math. princeton.edu/~ nelson/books.html).

428. Nelson P. Adomian's method of decomposition: critical review and examples of failure // Journal of Comput. and Appl. Math. (North-Holland). -1988. V.23. - N 3. - P.389-393.

429. Ohtori Y., Spencer Jr.B.F. Semi-implicit integration algorithm for nonlinear stochastic vibration // 8th ASCE Speciality Conference on Probability Mechanics and Structural Reliability. PMC2000-323. - 6 p.

430. Orabi I.I., Ahmadi G. Response of the Duffing oscillator to a non-Gaussian random excitation // Trans, of the ASME. Journal of Appl. Mech. -1988. V.55. - N 3. - P.710-743.

431. Paul R.P. Robot manipulators: mathematics, programming and Control. Cambridge (MA): MIT Press, 1981.

432. Pawleta M. Stochastyczna linearyzacja zlozonych ukladov dynamiz-nych // Mechanica teoretyczna i stosowana. 1991. - V.29. - N 2. - P.355-375.

433. Pawula R.F. Generalizations and extensions of the Fokker-Planck-Kolmogorov equations // IEEE Trans. Inf. Theory. 1967. - V.IT-13. - N 1. -P.33-41.

434. Payne H.J. An approximation method for nearly linear, first-order stochastic differential equations // Int. Journal of Control. 1968. - V.7. - N 5. - P.451-463.

435. Poloskov I.E. Compound program packages and a nonlinear random fluctuations analysis // Proceedings of the 1998 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC-98). New York: ACM Press, 1998. - P.70-75.

436. Poloskov I.E. Computer Algebra and Random Regimes Analysis // Abstracts of 6th Intern. IMACS Conf. on Applications of Computer Algebra. -St.Peterburg: EIMI, 2000. P.49.

437. Poloskov I.E. Analysis of random regimes and computer algebra // 20th Intern. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM2000, Chicago) / Abstract Book. Univ. of Illinois at Urbana-Champaign: Technical Report N 950, 2000. - P.55.

438. Poloskov I.E. CAS Mathematica and Analysis of Random Regimes // Symbolic Computation: New Horizons/ Proceedings of the IV International Mathematica Symposium (IMS2001). Tokyo Denki Univ. Press, 2001. - P.401-408.

439. Poloskov I.E. Random regimes in nonlinear systems and computer algebra // IUTAM Symposium on Nonlinear Stochastic Dynamics / Program and abstracts. Univ. of Illinois at Urbana-Champaign, 2002. - 2 p.

440. Poloskov I.E. Algorithms of random studies and their realization // V International Congress on Mathematical Modelling (V ICMM, Dubna) / Book of abstracts. M.: "JANUS-K", 2002. - V.2. - P.32.

441. Poloskov I.E. On stochastic analysis of dynamics in continuous media //VI Intern. Congress on Mathematical Modeling / Book of Abstracts. Nizhny Novgorod: Univ. of Nizhny Novgorod, 2004. P.295.

442. Potapov V.D. Stability of stochastic elastic and viscoelastic systems.- New York: John Wiley & Sons, 1999. 275 p.

443. Pourahmadi M. Tailor expansion of exp I J2 akZk) and some appli1. U=o )cations // Amer. Math. Monthly. 1984. - V.91. - N 5. - P.303-307.

444. Rabitz H. General sensitivity analysis of differential equation systems // Fluctuations and Sensitivity in Nonequilibrium Systems / Ed. by W.Horthemke and D.K.Kondepudi. Berlin e.a.: Springer-Verlag, 1984. - P.196-203.

445. Rajan S., Davies H. G. Multiple time scaling of the response of a Duffing oscillator to narrow-band random excitation // J. of Sound and Vibr. 1988.- V.123. N 3. - P.497-506.

446. Rayleigh J. W.S. Theory of sound. 2nd Ed.- London: Macmillan, 1899.- V.l. (reprinted in New York: Dover, 1945).

447. Rehak M.L., Dimaggio F.L., Benaroya H., Elishakoff I. Random vibration with MACSYMA // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1987. - V.61. - N 1. - P.61-70.

448. Ricciardi L.M. Diffusion processes and related topics in biology // Lecture Notes in Biomathematics, N 14. New York, Berlin: Springer-Verlag, 1977. - 200 p.

449. Rice S. 0. Mathematical analysis of random noise // Bell System Tech. Journal. 1943/4. - V.23/24. - P.l-162.

450. Risken H. The Fokker-Planck equation. Methods of solution and applications. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1996. - 488 p.

451. Roberts J.B., Spanos P.D. Stochastic averaging: an approximate method of solving random vibration problems // Int. J. of Non-Linear Mech.- 1986. V.21. - N 2. - P.111-134.

452. Romero F., Romero J.L. Exact solutions for diffusion in a class of non-harmonic potentials // Physics Letters. 1984. - V.104A. - P.455-458.

453. Rosenbloom P.C., Widder D.V. Expansions in terms of heat polynomials and associated functions // Trans, of Amer. Math. Soc. 1959. - V.12. -P.220-226.

454. Semenov V. V., Sotskova I.L. The spectral method for stochastic control system analysis // Stochastic Control / Proc. of the 2nd IFAC Symposium, Vilnuis. Oxford, 1987. - P.503-508.

455. Socha L. Application of moment equations to sensitivity analysis of the stochastic dynamical systems // Akad. Wiss. DDR Inst. Mech. 1985. - B.s.- N 2. P.157-166.

456. Socha L. The sensitivity analysis of stochastic nonlinear dynamical systems 11 J. of Sound and Vibr. 1986. - V.110. - N 2. - P.271-288.

457. Solnes J. Stochastic processes and random vibrations. Theory and practice. New York: John Wiley &; Sons, 1997. - 432 p.

458. Sombo J., Karlov K., Grishkov Y. SmartMECHATRONICS motion control system // Proc. of Intern. Workshop "New Computer Technologies in Control Systems".- Pereslavl-Zalessky: CPRC of PSI of RAS, 1995. P.60-62.

459. Soong T.T., Chung L.L. Response cell probabilities for non-linear random systems // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1985. - V.52. - N 1. - P.280-282.

460. Sullivan P. J., Yip H. A solution-scheme of the conservative-diffusion equation // Journal of Applied Math, and Physics. 1985. - V.36. - N 4. - P.596-608.

461. Suzuki M. Fluctuation and relaxation in stochastic systems // Supplement of the Progress of Theoretical Physics, N 69. 1980. - P.160-173.

462. Szopa J. Sensitivity analysis of stochastic systems to initial conditions // Journal of Sound and Vibr. 1984. - V.97. - N 4. - P.645-649.

463. Szopa J., Bestle D. On the application of stochastic systems to chaotic systems // Journal of Sound and Vibr. 1986. - V.104. - N 1. - P.176-178.

464. Tamboli J.A., Joshi S.G. Optimum design of a passive suspension system of a vehicle subjected to actual random road excitations // Journal of Sound and Vibration. 1999. - V.219. - N 2. - P.193-205.

465. Tamura H. A discrete dynamical model with distributed transport delays and its hierarchical optimization to preserve stream quality // IEEE Trans. SMC. 1974. - N 4. - P.424-429.

466. To C. W.S. Random response of a Duffing oscillator by the stochastic central difference method // J. of Sound and Vibr. 1988. - V.124. - N 3. -P.427-433.

467. Tuckerman M., Berne B.J. Vibrational relaxation in simple fluids: comparision of theory and simulation // Journal of Chem. Phys. 1993. - V.98. - N 9. - P.7301-7318.

468. Unlenbeck A.E., Ornstein L.S. On the theory of the brownian motion // Physical Review. 1930. - V.36. - N 3. - P.823-841.

469. Valkeila E. Computer algebra and stochastic calculus some probabilities // CWI Quaterly. - 1991. - N 4. - P.229-238.

470. Virk G.S. Runge-Kutta method for delay-differential systems // IEE Proc. 1985. - V.132. - Pt.D. - N 3. - P.119-123.

471. Volkov V.S., Pokrovsky V.N. Generalized Fokker-Planck equation for non-Markovian processes // Journal of Math. Phys. 1983. - V.24. - N 2. -P.267-270.

472. Watzlawek W. Wärmepolynome Modell für besondere lösungssysteme bei linearen partiellen Differentialqelichungen // Berichte der Mathematisch-Statistischen Sektion im Forschungszentrum, Graz. - 1983. - B.211. -34 s.

473. Wedig W. Spectral analysis of non-smooth dynamical systems // Stochastic Structural Dynamics. Rotterdam: Balkema, 1999. - P.249-256.

474. West B.J. Measurement, information and uncertainty 11 Mathematics and Computers in Simulation. 1987. - V.29. - N 3/4. - P. 169-189.

475. Widder D. V. The heat equation. London: Academic Press, 1975. -XIV, 267 p.

476. Wolfram S. The Mathematica Book. 4th ed. Cambridge: Univ. Press, 1999. - 1470 p.

477. Wong E. The construction of a class stationary Markoff processes // Proc. Amer. Math. Symp. Appl. Mech. 1963. - V.16. - P.264-276.

478. Wong E., Hajek B. Stochastic processes in engineering systems // Springer Texts in Electrical Engineering. New York: Springer-Verlag, 1985. -XI, 361 p.

479. Wu W.F., Lin Y.K. Cumulant-neglect closure for non-Gaussian oscillators under random parametric and external excitation // Int. Journal NonLinear Mech. 1984. - V.19. - N 4. - P.349-362.

480. Xia N.-M., Boyce W.E. The density function of the solution of a random initial value problems containing small stochastic processes // SIAM J. of Appl. Math. 1984. - V.44. - N 6. - P.1192-1209.

481. Yar M., Hammond J.K. Spectral analysis of a randomly excited Duffing system // Proc. of 4th Int. Modal Anal. Conf., Los Angeles, Calif. 1986. -V.l. - N 4. - P.736-742.

482. Young G.E., Chang R.J. Prediction of the response of nonlinear oscillators under stochastic parametric and external excitations // Int. J. of NonLinear Mech. 1987. - V.22. - N 2. - P.151-160.

483. Yong Y., Lin Y.K. Exact stationary-response solution for second order nonlinear systems under parametric and external white-noise excitations // Trans, of the ASME. J. of Appl. Mech. 1987. - V.54. - N 2. - P.414-418.

484. Zhdanov R.Z., Lagno V.I. On separability criteria for a time invariant Fokker-Planck equations // ДНАН Украины. Сер."Мат., естеств., техн. науки 1993. N 2. - С.18-21.

485. Zhang W. Analytical solution of a class of multidimensional Fokker-Planck equations // Int. J. of Control. 1988. - V.48. - N 2. - P.791-799.

486. Zielinski P. An application of the Fokker-Planck equation in stochastic reservoir theory // Appl. Math, and Comput. 1984. - V.15. - N 2. -P.123-136.

487. Zimoch Z. Sensitivity analysis of vibration systems // Journal of Sound and Vibrations. 1987. - V.115. - N 3. - P.447-458.