автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Перестановочные методы генерирования случайных процессов с требуемыми статистическими свойствами

На правах рукописи

БУЧНЕВ ОЛЕГ СЕРГЕЕВИЧ

ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МЕТОДЫ ГЕНЕРИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ТРЕБУЕМЫМИ СТАТИСТИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

□034Э27В4

Иркутск-2010

003492764

Работа выполнена на кафедре Автоматизированных систем ГОУ ВПО Иркутский государственный технический университет, г. Иркутск.

Научный руководитель: Доктор технических наук, профессор Петров Александр Васильевич

Официальные

оппоненты:

Доктор технических наук, профессор Краковский Юрий Мечеславович Кандидат физико-математических наук, доцент Братищенко Владимир Владимирович

Ведущая организация:

Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева (ИСЭМ) СО РАН, г. Иркутск.

Защита состоится 25 марта 2010 г. в 12:00 на заседании диссертационного совета Д 218.004.01 в Иркутском государственном университете путей сообщения (664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского 15, ауд. А-803)

Ваш отзыв на автореферат в 2 экземплярах, заверенных печатью организации, прошу выслать по указанному адресу.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Иркутский государственный университет путей сообщения.

Автореферат разослан 24 февраля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного сове-

Н. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Во многих задачах исследования сложных систем внешние воздействия могут быть охарактеризованы как случайные процессы. Для работы с ними применимы методы теории вероятностей и математической статистики, в том числе теории случайных процессов и спектральной теории сигналов. Привлекаемые методы позволяют дать описание имеющихся данных, на основании которых формируются требования к процессам, оказывающим влияние па имитационную модель. Это приводит к необходимости формирования внешних воздействий с заданными вероятностными характеристиками.

Вклад в работы, связанные с генерированием случайных процессов, внесли отечественные и зарубежные ученые В. С. Пугачев, В. И. Тихонов, Н. П. Бусленко, Н. В. Смирнов, В. В. Быков, Д. Нейман, Дж. Бендат и другие, а так же представители иркутской научной школы генерирования случайных процессов Е. И. Попов, Г. П. Хамитов, А. В. Петров, В. В. Братищенко, В. В.Ступин, С. И. Молчан. Их работы посвящены разработке методов тарирования случайных процессов с требуемыми статистическими свойствами: одномерным законом распределения вероятностей и автокорреляционной функцией (АКФ). Необходимость учета взаимных корреляционных связей ме>кду параметрами системы, а так же отсутствие методов, позволяющих получать взаимно-коррелированные случайные процессы для их применения в имитационном моделировании, являются объективными факторами, определяющими актуальность разработки методов генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является разработка численных методов генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов с последующей реализацией и тестированием алгоритмов и программных средств, созданных для экспериментальной проверки разработанных методов.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи: 1. Выполнить анализ преимуществ и недостатков существующих методов генерирования случайных процессов с требуемой автокорреляционной функцией.

2. Разработать методы преобразования первичной случайности, позволяющие получать случайные процессы с требуемой одномерной плотностью распределения вероятностей и требуемыми корреляционными и взаимно-корреляционными свойствами.

3. Разработать программное обеспечение, реализующее разработанные методы, и провести вычислительные эксперименты для подтверждения их работоспособности.

При выполнении работы применялись методы:

1. Теории вероятностей и математической статистики, в том числе теории случайных процессов, спектральной теории сигналов — для генерирования и преобразования случайности, изучения и вычисления характеристик случайных процессов.

2. Имитационного моделирования, теории автоматического управления, теории процессов обогащения полезных ископаемых — для проведения вычислительных экспериментов с моделями систем.

Научную новизну диссертации составляют следующие положения:

1. Метод перестановки интервалов для генерирования случайных процессов с заданными статистическими свойствами.

2. Методика определения параметров для метода перестановки интервалов;

3. Алгоритмы генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, основанные на методе перестановок и на методе перестановки интервалов.

4. Программное обеспечение «Генерирование случайных процессов», содержащее средства генерирования мпогомерных и взаимно-коррелированных случайных процессов с различными законами распределения, включая графические средства отображения полученных результатов и проверку статистических гипотез.

Научно-практическая значимость. Научная значимость работы заключается в создании нового инструментария, позволяющего генерировать взаимно-коррелированные случайные процессы при реализации и экспериментировании с моделями сложных систем. Учет взаимных корреляционных свойств позволяет более полно отражать свойства исследуемой системы в имитационной модели. Практическая ценность заключается в создании программного средства «Генерирование случайных процессов», которое применяется в образовательном процессе кафедры автоматизированных систем ИрГТУ для обучения студентов по дисциплинам «Теория вероятностей и математическая статистика» и «Моделирование систем».

Перестановочные методы внедрены в институте технологий обогащения минерального сырья (г. Иркутск), и используются для построения имитационных моделей обогатительных фабрик в рамках вероятностно-статистического научного направления гравитационных методов обогащения для моделирования стохастических процессов движения зерен и среды.

Апробация работы. Материалы диссертации прошли апробацию на конференциях и семинарах: XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении», г. Иркутск, 2007; IX школе-семинаре молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии», г. Иркутск, 2007; Пятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», г. Санкт-Петербург, 2008; XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении», г. Иркутск, 2008; На III Всероссийской конференции «Винеровские чтения 2009» г. Иркутск, 2009; На научно-методических семинарах кафедры «Автоматизированные системы» Иркутского государственного технического университета в период 2005-2009 гг.

Публикации. Основное содержание работы отражено в 9 публикациях, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Получены два свидетельства об отраслевой регистрации алгоритмов, реализующих разработанные методы.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (102 наименования), и восьми приложений. Общий объем работы 155 страниц (основной текст 119 страниц), содержит 58 рисунков и 14 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируется цель исследования, определяется его научная новизна и практическая ценность, перечисляются результаты, выносимые на защиту.

В первой главе, показывается эффективность моделирования как инструмента исследования систем, обосновывается необходимость применения методов преобразования первичной случайности для проведения имитационных экспериментов, приводятся основные числовые и функциональные характеристики случайных процессов.

Выполнен сравнительный анализ преимуществ и недостатков изложенных в литературе методов генерирования случайных процессов. Среди рассмотренных метод разложения в ряд Фурье, процессы авторегрессии и скользящего среднего, метод формирующего фильтра, перестановочные методы и аналитические преобразования первичной случайности. На основе проведенного анализа выявлена направленность рассмотренных методов на получение случайных процессов с заданной автокорреляционной зависимостью и одномерной плотностью распределения вероятностей.

В заключенной части главы на основе проведенного сравнительного анализа уточняется постановка задачи диссертационной работы.

Вторая глава посвящена описанию предлагаемых автором подходов, методов и алгоритмов генерирования случайных процессов с заданными вероятностными взаимосвязями. Детально рассматривается впервые предложенный автором метод перестановки интервалов для генерирования дискретных стационарных случайных процессов с заданной автокорреляционной функцией и равномерным законом распределения вероятностей. Для получения случайного процесса, обладающего заданными динамическими свойствами, предлагается генерировать каждый элемент реализации в специально определенном именно для него интервале. Изменение границ интервала в соответствии с заданными параметрами и дает впоследствии заданную корреляцию.

Пусть требуется получить реализацию равномерно распределенного в интервале [0,1] дискретного случайного процесса £(/),/= 0,1,.. , обладающего требуемой АКФ. Выберем произвольное случайное число 7]0 из этого интервала [0,1], являющееся первым элементом реализации £(0). Второй и последующие элементы реализации генерируются следующим образом:

1-(А(0-\1приА(0>1, £(0 = | - при А(г) < о,

(1)

(2)

где г/, -равномерно распределенное случайное число в интервале [0,1]. Параметры q и й определяют форму получаемой АКФ. Первый параметр д -интервал между значением полученною на предыдущем этапе элемента и новым интервалом, й - величина нового интервала, с - управляющая переменная, обеспечивающая равномерный закон распределения получаемых реализаций.

Так как получаемые реализации имеют равномерный закон распределения вероятностей в интервале [0,1], для получения реализации с требуемым законом распределения х(0 из реализации , полученной методом перестановки интервалов необходимо выполнить преобразование

*(о=р-\т, (4)

где - обратная функция требуемого закона распределения. Если

преобразование (4) выполнить невозможно, то для изменения закона распределения рекомендуется использовать численные методы, например, метод кусочной аппроксимации.

Применение метода перестановки интервалов позволяет получить случайные процессы с различными типами автокорреляционных функций. Знакопеременная (рисунок 1, а) АКФ получена при исходных значениях q =0,65 и <1 -0,75., в общем случае аппроксимируется выражением

Д(г) = е~ат собОГ) (5)

Экспоненциально-косинусная (рис. 1, б) АКФ аппроксимируется выражением

Л(г) = е~атС0Б(^г) (6)

и получена при исходных значениях д =-0,05 и (1 =0,3.

Приведенные здесь значения параметров д и с1 были выбраны исходя из соображений наглядности.

а) б)

Рисунок 1 — а) Знакопеременная АКФ случайного процесса, б) Экспоненциально-косинусная АКФ случайного процесса.

Для проверки гипотезы о равномерном законе распределения получаемых коррелированных реализаций генерировались пять случайных процессов длиной 1000 отсчетов при различных значениях параметров дне!. Проверка

гипотез о равномерном законе распределения вероятностей выполнялась с 2

помощью критерия % с помощью программного средства статистического анализа 51аизйса У.6. В таблице 1 показаны результаты проверки гипотез.

Таблица 1 - Результаты проверки гипотез о равномерном законе распределения

Я й № опыта

1 2 3 4 5

х2 Р х2 Р Р %2 Р Р

ОД 20 15,8 0,77 16,8 0,66 20,44 0,43 10,29 0,96 13,11 0,87

0,1 0,5 20 13,4 0,85 17,1 0,64 26,01 0,16 10,11 0,96 20,02 0,45

0,9 20 18,4 0,55 11,8 0,92 20,73 0,41 17,72 0,60 23,76 0,25

од 20 22,8 0,29 13,3 0,86 14,49 0,80 12,47 0,89 19,03 0,51

0,5 0,5 20 20,5 0,42 15,9 0,72 24,48 0,22 27,69 0,11 22,05 0,33

0,9 20 25,8 0,17 18,4 0,55 15,98 0,71 19,76 0,47 23,64 0,25

од 20 10,1 0,96 15,2 0,76 8,44 0,98 10,30 0,96 11,07 0,94

0,9 0,5 20 18,9 0,52 22,1 0,33 15,07 0,77 9,87 0,97 17,16 0,64

0,9 20 18,5 0,55 22,3 0,32 17,94 0,59 14,30 0,81 18,08 0,58

Для того, чтобы отвергнуть гипотезу о равномерном законе распределения при 5% уровне значимости, значение р должно быть меньше или равно 0,05. Как видно из таблицы, ни одна из гипотез не отвергнута,

следовательно, закон распределения получаемых реализаций можно считать приближенно равномерным.

Можно расширить возможности метода, определив для каждого момента времени I значения ц и с1 в (2):

Л(/) = £(/-1)+ <#-!)($,+« (7)

= ?,'+/ = ЧМ1 = = 4+/ = ¿¡+2! = •■•»» = (8)

где I - период, на котором заданы значения qi и . Таким образом, значения и с?,- образуют два упорядоченных множества (2 = >•••><?/} и £> = {<^1,^2»—мощностью /. Применяя такой подход можно более точно воспроизводить случайный процесс с заданной автокорреляционной функцией.

Для определения параметров д! и с/,- предлагается следующая методика. При исследовании входных параметров и выходных результатов -автокорреляционной функции или спектральной плотности случайного процесса, получаемого при определенных входных параметрах, автором установлено, что они обладают очевидной взаимосвязью. Так, значения частот спектральной плотности со получаемого случайного процесса зависят от параметра ц, а рассеяние вокруг центральной частоты Л со от параметра (I. Исследования проводились на дискретных случайных процессах длиной Т=1000 значений и частотой дискретизации /1/ = 1. Спектр был получен дискретным преобразованием Фурье автокорреляционной функции длиной 1000 отсчетов с шагом автокорреляции Ат = 1. Коэффициенты спектра вычислялись следующим образом:

1 т 2 т 2кт ~Т 1 т

I т=1 I Г=1 1 1 1 г—1

По результатам эмпирических наблюдений выявлены следующие зависимости.

1. Число всплесков в спектре равно мощности I множеств () и И.

2. Ширина всплеска А<3){ равна величине параметра с11.

3. Для перехода от цетральных частот всплеска Щ к параметрам метода необходимо определить максимальную дисперсию Бц в спектре и соответствующую ей частоту 0)ц.

4. Для случая, когда в спектре один всплеск: I = 1, ^ = Аа\, дх=тц-с1х12.

5. Для случая, когда в спектре два всплеска: 1 = 2, с1\=Ащ, й2 = Аа2. Для определения д1 следует воспользоваться эмпирическими зависимостями:

2

д1 = а-Ад1, д2=со-Лд2, где со = ац-^1<11/4, Ад^ находится решением

¿=/

уравнения Вц = 0,9814-1,1978^^ Ад2 = -Ад,.

6. Для случая, когда в спектре три всплеска: 1 = 3, ^=Аса1, й2 = Ай32, с/3 = Ащ. Для определения q¡ следует воспользоваться эмпирическими зависимостями: д^= со — Ац^, ц2=0}~ Ад2, <?3 = Ш- Ад^, где

з

0) = а>ц а Ад\,Ад2 - любая точка с абсциссой Ад^ и ординатой

1=1

Лд2 эллипса, образуемого сечением эллиптического параболоида, описываемого выражением

,Ад2) = 0,9814-1,1978^ -\,\9Шд1Ад2 -1,1978Ад\ плоскостью, параллельной при F(Л71 ,Ад2) = Бц.

Адъ =-\(Ад1+Ад2).

Применение описанной эмпирической методики позволяет определить параметры и метода перестановки интервалов для получения случайных процессов с требуемой автокорреляционной функцией.

Для генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов автором предлагаются два алгоритма. Первый из них основан на методе перестановок, а второй является развитием метода перестановки интервалов.

Чтобы получить методом перестановок М взаимно-коррелированных случайных процессов £г-(г),1=1,М с экспоненциально-косинусной ВКФ (6), необходимо выполнить следующие действия.

Пусть ^¡(1),й;(2),...,г = 1,М - реализации исходных некоррелированных случайных процессов с одномерными законами распределения вероятностей, которыми должен обладать каждый из генерируемых случайных процессов

= 1,7У = 1,М. Для реализации метода перестановок необходимо положить £¡(1) = 77,(1),/=1,М и образовать массив из и элементов

Е/(2) =

ип(2) и,2(2) ... и1в(2) «21(2) И22 (2) ... и2п(2)

"л/1 (2) «л/2 (2) - "л/л (2)

щ(2) %(3) ... 7,(11 + 1) 72(2) 772 (3) - %(» + 1)

7л/(2) 7л/(3) ... 7лД" + 1)

где п - параметр упорядочения. Чем больше п, тем сильнее вводимая корреляция.

После этого вводится корреляция внутри массива ¿7(2). Для этого значения в его столбцах переставляются таким образом, чтобы разность всех элементов в каждом столбце была минимальной.

После того, как значения в массиве упорядочены, формируется промежуточный массив отклонений

¿(1) =

Ы2) Ы2) ... 4,(2)

Ят(2) ЛМ2(2) ... ЛМп(2)

Ш-ип(2)\ ... \ш-щпО)\

В получившемся массиве отклонений в каждой строке выбирается минимальный элемент Яу(2). Когда минимальные в каждой строке значения

находятся в одном столбце массива, соответствующие им значения массива выбираются в качестве элементов реализации генерируемых процессов. В противном случае минимальное в каждой строке значение отклонения вычитается от остальных значений в соответствующей строке массива, кроме нулевых, до тех пор, пока не будет получен столбец, состоящий из нулей.

Элементы столбца массива [/(2), соответствующего столбцу массива отклонений, состоящему из нулей, принимаются в качестве элементов реализаций генерируемых взаимно-коррелированных случайных процессов. На место выбранных из У(2) значений заносятся новые значения из исходных реализаций, остальные значения не меняются:

и1к (3) = ?7, (п + 2); Иу (3) = Иу (2), ] где к - индекс выбранного столбца массива 1/(2). Процедуры выбора столбца массива повторяются до тех пор, пока не будет получена реализация нужной длины.

На рисунке 2 показаны два случайных процесса до упорядочения и график их взаимной корреляционной функции.

» * » « « а я « • » м а ™ л! ( „ з , , 1 « ,г„ ,, их я» аи зоя* * » « м « « <• а) б) Рисунок 2 - а) -случайные процессы до упорядочения; б) - их взаимная корреляционная функция.

Как видно из графика, значения взаимной корреляционной функции близки к нулю, что указывает на отсутствие взаимной корреляционной зависимости. На рисунке 3 показаны два случайных процесса после упорядочения по описанному алгоритму и график их взаимной корреляционной функции.

"Г • 2 л А А» / уА А

V V V ^ i / V1

50 ш т м оз4бв]оимн1в»п«ава»»*»»4в*г44*в«5от

а) б)

Рисунок 3 — а) -случайные процессы после упорядочения; б) - их взаимная

корреляционная функция.

На этом рисунке значение взаимной корреляционной функции при г = О близко к единице, что указывает на наличие сильной корреляционной зависимости между случайными процессами.

Другой подход к введению взаимной корреляции основан на методе перестановки интервалов, и описывается следующим образом. Для введения взаимной корреляции двух или большего числа М случайных процессов при генерировании методом перестановки интервалов требуется вычислять среднее отклонение полученных значений реализаций от среднего значения процесса: _ М

4 = 1141 /М, где /1,— -1) — ■ Новый элемент реализации £, (0 ¡=1

генерируется по аналогии с (7):

\~{А^)-\\при А,(0>1, -А, (0, при А10)<0, А/ (/), в остальных случаях.

4 (0 = 6 0-0 + с,- (/ - 1)(ди + (Л - 4-)) Г 1, если Ai(t)<0, [-/, если 4(0 >1.

Графики случайных процессов для случая, когда М =2 и <?1 = ~ —0,05 и ~ = и их взаимная корреляционная функция приведены на рисунке 4.

(П) (12)

, 4Й.&С0

а) б) Рисунок 4 - а) График двух взаимно-коррелированных случайных процессов, полученных методом перестановки интервалов: б)- ВКФ случайных

процессов.

Здесь, как и в предыдущем случае, значение взаимной корреляционной функции при т = 0 близко к 1, что указывает на наличие сильной корреляционной зависимости между случайными процессами.

В тексте диссертации приводятся результаты проверки гипотез о значимости первых пятидесяти коэффициентов взаимной корреляции с использованием ^критерия. При уровне значимости 5% все коэффициенты приняты статистически значимыми.

В заключительной части второй главы автор сравнивает возможности метода перестановки интервалов с возможностями известных и изложенных в литературе методов, позволяющих генерировать случайные процессы с требуемой АКФ. Для примера взяты данные о газовой печи, в которую подаются воздух и метан, и на выходе печи оценивается смесь газов, содержащая двуокись углерода С02. В качестве моделируемых процессов были приняты скорость подачи газа в печь, считываемая каждые 9 секунд, и концентрация С02 на выходе газовой печи. Автокорреляциошгые и взаимная корреляционная функция двух процессов показана на рисунке 5.

а) б)

Рисунок 5 - АКФ (а) и ВКФ (б) входа и выхода для данных газовой печи

Случайный процесс с заданной АКФ (рисунок 5, а) был получен методами перестановки интервалов, методом разложения в ряд Фурье, методом скользящего среднего и применением процессов авторегрессии. При генерировании каждым методом было получено пятьдесят реализаций случайных процессов с заданной АКФ, по которым оценивалось среднее _ 50 I 2 1 2 _

значение ошибки £ = ££■,•/50, где = (г), г = 0,1,

¿=1 г=0 г=0

¿ = 120 - длина заданной автокорреляционной функции, - значения

полученной АКФ, (г) - значения заданной АКФ. Кроме этого оценивались среднее значение модуля максимального отклонения А заданных значений АКФ от полученных, и мера разности функций О заданной и полученной АКФ, вычисленная на основе вейвлет-коэффициентов. Полученные оценки точности приведены в таблице 2.

Таблица 2. Сравнение точности генерирования методом перестановки интервалов с точностью других методов

Метод генерирования т> £ А

Метод перестановки интервалов 1,0122 0,7388 0,5088

Метод разложения в ряд Фурье 1,3988 0,5522 0,5227

Процессы авторегрессии 1,4430 0,9688 0,4977

Метод формирующего фильтра 1,4244 0,7988 0,4788

При сравнении числовых данных таблицы можно заключить, что точность генерирования метода перестановки интервалов не уступает точности изложенных в литературе методов.

Применяя метод перестановки интервалов, удалось получить взаимнокоррелированные случайные процессы. Графики ВКФ и АКФ процессов показаны на рисунке 6.

3 10 20 40 И ЕО 73 60 90 100 110 1 0 Ю 20

а) б)

Рисунок 6 - АКФ (а) и ВКФ (б) случайных процессов, полученных с помощью метода перестановки интервалов.

Для изображенной на рисунке б реализации значение отклонения £ полученной ВКФ от заданной равно 0,4045 - это отклонение является минимальным из всех пятидесяти наблюдений. Среднее значение ошибки £ =0,7125. Модуль максимального отклонения теоретических значений АКФ от эмпирических для приведенной реализации А = 0,247. Среднее значение отклонения Д = 0,453.

Учитывая, что задача генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов ранее не ставилась, приведенные результаты получены впервые.

В третьей главе рассматривается применение разработанных автором методов, алгоритмов и программных средств для моделирования автоматической системы, а так же описание программного средства «Генерирование случайных процессов». При проведении экспериментов с моделью автоматической системы возможно получение аналитического решения, и сравнение его с результатом, полученным методом имитационного моделирования.

Для экспериментальной проверки разработанных методов и реализующих их алгоритмов выбрана простейшая замкнутая линейная стационарная система автоматического управления с передаточной функцией вида:

1Г(р) =

где L ТмТ1ообТ21Юб, М T¡ooST¡mб ^~TlooeTlmf ~^TIoo6Tloo6, N Т1оаб +Т1адб +Т!оаб,

Требуется определить спектральную плотность выходного сишпа при воздействии на вход системы:

а) аддитивной смеси некоррелированных случайных процессов x(t) = s(t) + n(t), где s(t) - случайный процесс с нулевым средним значением и

функцией корреляции г (т) = сг'е'"''1 coscy0r; n(t) - статистически независимый от s(í) стационарный нормальный белый шум со спектральной плотностью N

s„(a)) = оо<£0<оо;

б) аддитивной смеси взаимно-коррелированных случайных процессов х(t) = s(t) + n(t) с нулевыми средними значениями и функциями корреляции

вида:г (г) = ст]емл cosоз0т;ф) = а2йе""ы cosco.r ,r¡n(r) = ги(г) = coso0r

Получе1ш аналитические выражения спектральных плотностей на выходе автоматической системы для случая некоррелированных s(t) и n(t) (13):

) =- (2aal(A + В) + ABN0)(kg6lko62)2

У 2AB(lV + (М2 - 2LN)co + (N - 2MQ)a? + Q2)

и для случая, когда s(t) и n(t) обладают взаимной корреляцией (14):

S (cj) = +2а™ + iko62)2 (14)

у AB(L2co6+(M2 ~2LN)CO4+(N2-2MQ)a2 +Q2)' где А=хх2 + (<a-cu0), В = а2 +(ta + <u0).

Для моделирования передаточной функции системы был выбран способ комбинирования производных, для численного решения дифференциальных уравнений применен метод Рунге-Кутга. При этом на вход системы подавался генерируемый с помощью метода перестановки интервалов случайный процесс с заданными исходными данными характеристиками, и оценивалась автокорреляция и спектральная плотность выходного сигнала. Оценки получаемых в результате моделирования спектральных плотностей Sy(ü>) на выходе системы для первого случая, когда процессы s(t) и п({) статистически независимы, приведены на рисунке 7.

Рисунок 7 - Спектральные плотности для случая статистически независимых процессов: а) график полученной аналитически спектральной плотности; 6) спектральная плотность, полученная путем моделирования.

Для второго случая, когда процессы и л(г) обладают взаимной

корреляцией, спектральные плотности показаны на рисунке 8: 1ЭД

0,2 ад

0,15

0.1

0,05 I

0 llllllll I

а) б)

Рисунок 8 - Спектральные плотности для случая, когда процессы обладают статистической зависимостью: а) график полученной аналитически спектральной плотности; б) спектральная плотность, полученная путем

моделирования.

Оценка модуля максимального отклонения эмпирической спектральной плотности от теоретической дает следующие результаты: для случая а) (рисунок 9) £lmax = 0,014, для случая б) (рисунок 10) max = 0,023. Полученные отклонения укладываются в пределы 15 % погрешности.

Реферируемые в работе методы и алгоритмы генерирования случайных процессов с заданными статистическими свойствами реализованы в виде программного продукта «Генерирование случайных процессов», интерфейс которого изображен на рисунке 9. При его разработке важным фактором являлась доступность. Поэтому работа с программным продуктом происходит в операционной среде Windows, в качестве среды разработки выбрана среда Delphi 7 фирмы «Borland». Пользователь предлагаемого программного продукта получает возможность задавать свойства случайных процессов, закон

распределения и его параметры, выбирать методы генерирования случайных процессов и задавать параметры метода. Так же реализована возможность анализа отдельной реализации случайного процесса. Дла этого выполняется построение гистограммы частот, автокорреляционной функции, спектральной плотности, вычисление статистических оценок и проверка гипотез. Есть возможности ведения протокола генерирования, где отражаются все промежуточные вычисления при использовании выбранного метода, возможность сохранения текущих настроек в формате XML и их восстановление, возможность экспорта данных в текстовый файл или в табличный редактор Microsoft Excel.

В заключительной части третьей главы на примере технологической схемы Коршуновского ГОКа (Иркутская область) показаны варианты практического внедрения разработанных и выносимых на защиту методов и алгоритмов.

Рисунок 9 - Интерфейс программы «Генерирование случайных процессов»

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационном исследовании получены следующие результаты:

1. Предложен метод перестановки интервалов, позволяющий генерировать случайные процессы с равномерной плотностью распределения вероятностей и заданной автокорреляционной функцией.

2. Разработана методика определения параметров метода перестановки интервалов для получения случайных процессов с требуемой автокорреляционной функцией.

3. Разработаны алгоритмы, дополняющие метод перестановок и метод перестановки интервалов, которые обеспечивают генерирование случайных процессов, обладающих взаимной корреляцией.

4. Проведены вычислительные эксперименты с моделью автоматической системы. Результаты проведенных экспериментов и полученные численные оценки показывают, что предлагаемые методы и алгоритмы генерирования могут использоваться в исследовании стохастических систем на ряду с уже существующими, и, кроме этого, позволяют генерировать взаимно-коррелированные случайные процессы для повышения адекватности имитационной модели.

5. Создано программное средство «Генерирование случайных процессов», реализующее методы генерирования многомерных и взаимно-коррелированных случайных процессов с различными законами распределения, включая графические средства отображения полученных результатов и проверку статистических гипотез.

6. Разработанные теоретические положения и программные средства опробованы экспериментально и внедрены в институте технологий обогащения минерального сырья (г. Иркутск) и в образовательном процессе кафедры автоматизированных систем ИрГТУ, что подтверждено актом и справкой о внедрении.

Таким образом, в диссертации на основе разработанного метода перестановки интервалов решена важная научно-техническая задача моделирования случайных процессов с требуемыми корреляционными свойствами.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях, определенных перечнем ВАК РФ:

1. Бучнев, О.С. Подход к генерированию взаимно-коррелированных случайных процессов [Текст]/ О. С. Бучнев, А. В. Петров //Иркутск: Вестник ИрГТУ - 2005. - №4(24). - с. 34-39.

2. Бучнев, О.С. Разработка методов преобразования первичной случайности для генерирования случайных процессов с заданными статистическими свойствами [Текст] /О.С. Бучнев//Воронеж: Вестник ВорГТУ.- Т.4.№4. -2008.- с.33-36.

В других изданиях:

3. Бучнев, О.С. О методе генерирования случайных процессов с заданными динамическими свойствами [Текст] /О.С. Бучнев, A.B. Петров//Информационные и математические технологии в науке и управлении/Труды XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении», 4.1. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН,2007-С. 86-90.

4. Бучнев, О.С. Генерирование взаимно-коррелированных случайных процессов методом перестановки интервалов[Гекст]/О.С. Бучнев, A.B. Петров// Информационные и телекоммуникационные системы и технологии/Труды между нар. конф. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та,2007.-С.367-370.

5. Бучнев, О.С. О моделировании входных воздействий автоматических систем [Гекст]/О.С. Бучнев//Математическое моделирование и информационные технологии/Материалы IX школы-семинара молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии». Изд-во ИДСТУ СО РАН,2007.- С.40-44.

6. Бучнев, О.С. Программный инструментарий генерирования случайных процессов [Текст]/О.С. Бучнев, A.B. Петров// Информационные и математические технологии в науке и управлении/Труды XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении» .4.2. Иркутск: ИСЭМ СО РАН,2007.-С.170-177.

7. Бучнев, О.С. Об изменении статистических свойств случайного процесса [Текст]/О.С. Бучнев, А. В. Петров//Иркутск:Весгаик ИрГТУ.-2008.-№ 1 (33) .-С. 122-126.

8. Бучнев, О.С. Эмпирический подход к изучению спектрального состава случайных процессов[Гекст]/О.С. Бучнев// Высокие технологии, фундаментальные и прикладные исследования, образование/Сборник трудов Пятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности». -Т12.-СПб.:Изд-во Политехн.ун-та.- 2008.-С.52-53.

9. Бучнев, О.С. Применение генераторов взаимно-коррелированных случайных процессов для имитационного моделирования систем [Электронный ресурс]// Материалы III Всероссийской конференции «Винеровские чтения 2009» - Иркутск, ИрГТУ, 2009.

10. Бучнев О. С. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки №

8928 «Алгоритм введения авто-, и взаимной корреляции» от 17.08.2007 г. Номер государственной регистрации 50200701741, г. Москва.

11. Бучнев О. С. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки №

8929 «Алгоритм изменения закона распределения случайного процесса с сохранением его динамических свойств» от 17.08.2007 г. Номер государственной регистрации 50200701742, г. Москва.

Подписано в печать 22.02.2010. Бумага офисная белая. Печать RISO. Тираж 120 экз. Заказ № 130006.

Отпечатано в ООО «Оперативная типография Вектор» 664025, г.Иркутск, ул. Степана Разина д.6, офис 106, т.: (3952) 33-63-26,25-80-09 e-mail: dc@siline.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И МЕТОДЫ ИХ ГЕНЕРИРОВАНИЯ.

1.1 Определение и классификация моделей.

1.2 Имитационное моделирование.

1.2.1 Оценка точности результатов имитационного моделирования.

1.3 Случайные процессы.

1.4 Характеристики случайных процессов.

1.4.1 Основные статические характеристики случайных процессов.

1.4.2 Основные динамические характеристики случайных процессов.

1.5 Генерирование с заданными вероятностными взаимосвязями как объективная необходимость в динамической имитации.

1.6 Классификация методов генерирования случайных процессов.

1.7 Определение меры близости случайных процессов на основе вейвлет коэффициентов.

1.8 Описание существующих методов генерирования.

1.8.1 Метод разложения в ряд Фурье.

1.8.2 Процессы авторегрессии и скользящего среднего (AR- и ARMA-процессы).

1.8.3 Метод формирующего фильтра.

1.8.4 Аналитические преобразования первичной случайности.

1.8.5 Метод неканонических разложений.

1.8.6 Метод, основанный на безынерционном нелинейном преобразовании нормального случайного процесса.

1.8.7 Метод перестановок.

1.8.8 Анализ и генерирование нестационарных случайных процессов.

1.8.9 Сравнение существующих методов.

1.9 Выводы по главе I и постановка задачи диссертационного исследования.

2. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ.

2.1 Метод перестановки интервалов.

2.2 Определение параметров метода.

2.3 Пример работы предложенного автором алгоритма.

2.4 Генерирование взаимно-коррелированных случайных процессов.

2.4.1 Алгоритм генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, основанный на методе перестановок.

2.4.2 Алгоритм генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, основанный на методе перестановки интервалов.

2.5 Оценка точности результатов применения метода.

2.6 Выводы по главе II.

3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДЛАГАЕМЫХ АВТОРОМ МЕТОДОВ, АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ.

3.1 Подготовительные мероприятия для проведения имитационного моделирования.

3.2 Применение методов для моделирования инерционного звена автоматической системы.

3.2.1 Описание структуры моделируемой автоматической системы и определение цели моделирования.

3.2.2 Решение задачи с помощью математических преобразований.

3.2.3 Описание процесса моделирования и результаты.

3.3 Программное средство «Генерирование случайных процессов».

3.4 Имитационная,модель Коршуновского ГОКа.

3.5 Описание программных средств, созданных для проведения исследований

3.6 Выводы по главе III.

Научно-техническое развитие современного общества не только открывает перспективы в различных сферах деятельности человека, но и ставит перед его участниками новые задачи, требующие точного, быстрого и экономичного решения. К числу таких задач относятся, среди прочих, задачи оценки качества принимаемых в управлении решений, задачи оптимизации структуры систем любой природы, исследования и прогнозирования их поведения. Общепризнанным является тот факт, что наиболее приемлемым из всех вариантов решения таких задач является математическое моделирование, в том числе имитационное. Обычно анализ характеристик процессов функционирования сложных систем с помощью только аналитических методов наталкивается на значительные трудности, приводящие к необходимости существенного упрощения моделей. Это может привести к получению недостоверных результатов. С развитием средств вычислительной техники, наряду с построением аналитических моделей, для оценки характеристик сложных систем большое распространение получили имитационные модели. Имитационная модель способна учитывать воздействие на систему большого числа случайных факторов, стохастические свойства и наличие корреляционных связей между большим числом переменных и параметров.

Во многих задачах исследования сложных систем внешние воздействия, оказывающие влияние на систему, могут быть охарактеризованы и рассмотрены как случайные процессы. Для работы с ними применимы методы теории вероятностей и математической статистики, в том числе теории случайных процессов и спектральной теории сигналов. Привлекаемые методы позволяют дать описание имеющихся данных, на основании которых формируются требования к процессам, оказывающим влияние на имитационную модель. Это приводит к необходимости формирования внешних воздействий с заданными вероятностными характеристиками.

Вклад в работы, связанные с генерированием случайных процессов, внесли отечественные и зарубежные ученые В. С. Пугачев, В. И. Тихонов, Н. П. Бусленко, Н. В. Смирнов, В. В. Быков, Д. Нейман, Дж. Бендат и другие, а так же представители иркутской научной школы генерирования случайных процессов Е. И. Попов, Г. П. Хамитов, А. В. Петров, В. В. Братищенко, В. В.Ступин, С. И. Молчан. Их работы посвящены разработке методов генерирования случайных процессов с требуемым одномерным законом распределения вероятностей и требуемыми динамическими свойствами. Необходимость учета взаимных корреляционных связей между параметрами системы, а так же отсутствие методов, позволяющих получать взаимно-коррелированные случайные процессы для их применения в имитационном моделировании, являются объективными факторами, определяющими актуальность разработки способов генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов.

Целью работы является разработка численных методов генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов с последующей реализацией и тестированием алгоритмов и программных средств, реализующих предложенные методы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить задачи:

- обзор, реализация существующих методов генерирования случайных процессов и последующий анализ их преимуществ и недостатков;

- разработка методов преобразования первичной случайности, позволяющих получать случайные процессы с требуемой одномерной плотностью распределения вероятностей и требуемыми корреляционными и взаимно-корреляционными свойствами;

- разработка программного обеспечения, реализующего разработанные методы, и проведение вычислительных экспериментов для подтверждения их работоспособности.

В настоящее время для исследования систем, в которых есть взаимно-коррелированные случайные процессы, применяют либо аналитические методы, либо прибегают к упрощению моделей, что снижает достоверность получаемых результатов. Достижение заявленной цели позволит расширить круг задач, решение для которых может быть найдено с помощью имитационного моделирования, а так же повысить точность результатов за счет повышения адекватности модели.

При выполнении работы применялись методы:

- Теории вероятностей и математической статистики, в том числе теории случайных процессов, спектральной теории сигналов - для генерирования и преобразования случайности, изучения и вычисления характеристик случайных процессов.

- Имитационного моделирования, теории автоматического управления, теории процессов обогащения полезных ископаемых — для проведения вычислительных экспериментов с моделями систем.

Научную новизну диссертации составляют следующие положения:

- Метод перестановки интервалов для генерирования случайных процессов с заданными статистическими свойствами.

- Методика определения параметров для метода перестановки интервалов;

- Алгоритмы генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, основанные на методе перестановок и на методе перестановки интервалов.

- Программное обеспечение «Генерирование случайных процессов», реализующее методы генерирования многомерных и взаимно-коррелированных случайных процессов с различными законами распределения, включая графические средства отображения полученных результатов и проверку статистических гипотез.

Научно-практическая значимость. Научная значимость работы заключается в создании нового инструментария, позволяющего генерировать взаимно-коррелированные случайные процессы при реализации и экспериментировании с моделями сложных систем. Учет взаимных корреляционных свойств позволяет более полно отражать свойства исследуемой системы в имитационной модели. Практическая ценность заключается в создании программного средства «Генерирование случайных процессов», которое применяется в образовательном процессе кафедры автоматизированных систем ИрГТУ для обучения студентов по дисциплинам «Теория вероятностей и математическая статистика» и «Моделирование систем». Перестановочные методы внедрены в институте технологий обогащения минерального сырья (г. Иркутск), и используются для построения имитационных моделей обогатительных фабрик в рамках вероятностно-статистического научного направления гравитационных методов обогащения для моделирования стохастических процессов движения зерен и среды.

Материалы диссертации прошли апробацию на конференциях и семинарах: XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении», г. Иркутск, 2007; IX школе-семинаре молодых ученых «Математическое моделирование и информационные технологии», г. Иркутск, 2007; Пятой международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», г. Санкт-Петербург, 2008; XII Байкальской Всероссийской конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении», г. Иркутск, 2008; На III Всероссийской конференции «Винеровские чтения 2009» г. Иркутск, 2009; На научно-методических семинарах кафедры «Автоматизированные системы» Иркутского государственного технического университета в период 2005-2009 гг.

Основное содержание работы отражено в 9 публикациях, из них 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для представления основных результатов кандидатских диссертаций. Получено два свидетельства об отраслевой регистрации алгоритмов, реализующих разработанные методы.

3.6 Выводы по главе III

Данная глава подробно описывает имитационные эксперименты, при проведении которых применялся метод перестановки интервалов. В ней показаны возможности алгоритма генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, основанного на методе перестановки интервалов, для моделирования автоматических, производственных систем и технологических схем обогащения полезных ископаемых.

Пример применения перестановочных методов реализует автоматическую систему управления. При проведении эксперимента с таким типом систем возможно получение аналитического решения, и сравнение его с результатом, полученным имитационным путём. На вход автоматической системы подается сигнал с определенными динамическими характеристиками — автокорреляция и спектральная плотность. Характеристики сигнала на выходе соответствуют решению, полученному аналитически, что показывает правомерность применения метода перестановки интервалов и введения взаимной корреляции для решения задач имитационного моделирования, где есть взаимно-коррелированные случайные процессы.

Описаны возможности и интерфейс программного средства «Генерирование случайных процессов», созданное для практического использования в научных исследованиях. Программное средство реализует все разработанные автором методы и алгоритмы, и позволяет получить случайные процессы с различными статическими и динамическими свойствами, задаваемыми пользователем.

На примере технологической схемы Коршуновского ГОКа показаны варианты практического внедрения разработанных и выносимых на защиту методов.

В заключительной части главы дается краткое описание программного средства и составляющих его модулей, которые были реализованы в рамках выполнения диссертационного исследования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе исследованы проблемы изучения сложных систем с помощью имитационного моделирования, при этом особое внимание уделено методам генерирования случайных процессов с заданными статистическими свойствами, играющими ключевую роль в исследовании сложных стохастических систем. Автором выполнены реализация и последующее исследование существующих методов генерирования случайных процессов, отмечены их недостатки, главный из которых - узкая направленность на получение определенных статистических свойств.

Отличительной особенностью диссертационного исследования является то, что в нем впервые подробно рассмотрены вопросы взаимной корреляционной зависимости случайных процессов. Основными результатами выполнения работы являются:

- метод перестановки интервалов, позволяющий генерировать получать случайные процессы с заданными статистическими свойствами;

- методика определения параметров для метода перестановки интервалов;

- алгоритмы генерирования взаимно-коррелированных случайных процессов, являющиеся дополнением к методу перестановок и методу перестановки интервалов;

- программное обеспечение «Генерирование случайных процессов», реализующее методы генерирования многомерных и взаимно-коррелированных случайных процессов с различными законами распределения, включая графические средства отображения полученных результатов и проверку статистических гипотез.

Проведены эксперименты с моделью автоматической системы. Результаты проведенных экспериментов и полученные численные оценки показывают, что предлагаемые методы и алгоритмы генерирования могут использоваться в исследовании сложных стохастических систем на ряду с уже существующими, и, кроме этого, позволяют генерировать взаимно-коррелированные случайные процессы для более полного отражения свойств исследуемой системы в имитационной модели.

Разработанные теоретические положения и программные средства опробованы экспериментально и внедрены в институте технологий обогащения минерального сырья, что подтверждено документом о внедрении. Результаты проведенных экспериментов и полученные численные оценки показывают, что предлагаемые методы и алгоритмы генерирования могут использоваться в исследовании сложных стохастических систем на ряду с уже существующими, и, кроме этого, позволяют генерировать взаимно-коррелированные случайные процессы для более полного отражения свойств исследуемой системы в имитационной модели. Так же результаты диссертационного исследования внедрены в образовательном процессе кафедры автоматизированных систем ИрГТУ при изучении дисциплин «Теория вероятностей и математическая статистка» и «Моделирование систем».

Развитие методов имитационного моделирования, и, в частности, методов генерирования случайных процессов, позволит повысить точность получаемых в процессе моделирования результатов, расширить области его применения, а так же снизить временные и материальные затраты на его проведение. Всё это позволит найти решение для многих теоретических и практических задач, которые, возможно, не удается решить с помощью существующих и описанных в современной отечественной и зарубежной литературе методов.

1. Айзерман, М.А. Лекции по теории автоматического регулирования /М. А. Айзерман. -М.: Гос. изд. физ.-мат. л-ры, 1958. 520 с.

2. Бакалов, В.П. Цифровое моделирование случайных процессов /В. П. Ба-калов. М.: МАИ, 2002.- 88 с.

3. Барский, Л.А. Системный анализ в обогащении полезных ископаемых /Л. А. Барский, В. 3. Козин. М.: Недра, 1978. - 486 с.

4. Бендат, Дж. Основы теории случайных шумов и ее применение/ Дж. Бен-дат; пер. с англ. М., «Наука», 1965.

5. Бендат, Дж. Измерение и анализ случайных процессов/Дж. Бендат, А. Пирсол; пер. с англ. М., «Мир», 1970.

6. Бендат, Дж. Прикладной анализ случайных данных./Дж. Бендат, А. Пирсол; пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 540 е., ил.

7. Бендат, Дж. Применения корреляционного и спектрального анализа/Дж. Бендат, А. Пирсол; пер. с англ. М., Мир, 1983. - 312 е., ил.

8. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления/ В. А. Бе-секерский, Е. П. Попов, -изд. 4-е перераб. и доп. СПб, Изд-во «Профессия», 2004. - 752 с. - (Серия: Специалист).

9. Бокс, Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление/ Дж. Бокс, Дженкинс Г.; пер. с англ. под ред. В. Ф. Писаренко.-М.:Мир, 1974.- 557 е.: ил.

10. Ю.Борисов, Ю. П. Математическое моделирование радиосистем: учебное пособие для вузов./Ю. П. Борисов. М. Советское радио, 1976.

11. Бурнаев, Е.В. Меры близости для временных рядов на основе вейвлет ко-эффициентов/Е. В. Бурнаев, Н. Н. Оленев // Труды XLVIII научной конференции МФТИ, 25-26 ноября 2005 г. 4.VII. 244 с. С. 108-110.

12. Бусленко, В. Н. Автоматизация имитационного моделирования сложных систем / В. Н. Бусленко. М. Наука, 1977. - 239 е., ил.

13. Бусленко, Н. П. Моделирование сложных систем / Н. П. Бусленко. М.: Наука, 1988-399с.

14. Бусленко, Н. П. Лекции по теории сложных систем / Н. П. Бусленко, В. В. Калашников, И. Н. Коваленко М.: Сов. радио, 1973. - 440 е., ил.

15. Бучнев, О. С. Об изменении статистических свойств случайного процесса. / О. С. Бучнев // Вестник ИрГТУ, №1 (33). -2008 г. С. 122-126.

16. Бучнев, О.С. Подход к генерированию взаимно-коррелированных случайных процессов/ О. С. Бучнев, А. В. Петров //Вестник ИрГТУ, Изд-во ИрГТУ, №4(24) 2005 г., с. 34-39.

17. Быков, В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике / В. В. Быков. М.: Советское радио, 1971. - 328 с.

18. Веников, В.А. Теория подобия и моделирование / В. А. Веников. М.: Б. и., 1984.-439 с.

19. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей: учеб. для ВУЗов / Е. С. Вентцель. -М.: Высшая школа, 2003. 575 с.

20. Гихман, И. И. Введение в теорию случайных процессов /И. И. Гихман, А. В. Скороход. -М.: Наука, 1977. 568 с.

21. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей: учебник / Б. В. Гнеденко. -М.: Едиториал УРСС, 2007. 448 с.

22. Голенко, Д.И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на ЭВМ / Д. И. Голенко. М.: Наука, 1965. - 227 с.

23. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: учебник для вузов / И. С. Гоноровский. М.: Радио и связь, 1986.

24. Горяинов В. Т. Примеры и задачи по статистической радиотехнике / В. Т. Горяинов, А. Г. Журавлев, под. ред. В. И. Тихонова; М.: «Советское радио», 1970. - 600 стр.

25. Евсиков, Ю. А. Преобразование случайных процессов в радиотехнических устройствах: учеб. пособие для вузов /Ю. А. Евсиков, В. В. Чапур-ский. М.: Высшая школа, 1977. - 264 с.

26. Елисеева, И. И. Группировка, корреляция, распознавание образов / И. И. Елисеева, В. О. Рукавишников. М.: Статистика, 1977. - 144 с.

27. Ермаков, С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы / С. М. Ермаков. М.: Наука, 1975. - 471 е., ил.

28. Имитационное моделирование производственных систем // Под ред. А. А. Вавилова; пер. с нем; -М.: Машиностроение; Берлин: Техник, 1983.

29. Карлин, С. Основы теории случайных процессов / С. Карлин М.: Мир, 1971.-536 с.

30. Кельтон, В. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-е изд / В. Кельтон, А. Лоу; пер. с англ. СПб.: Питер: Киев: Издательская группа BHV, 2004. - 847 е.: ил.

31. Кендалл, М.Теория распределений/М.Кендалл, А. Стюарт. -М.: Наука, 1966.

32. Клейнен, Дж. Статистические методы в имитационном моделировании / Дж. Клейнен. М.: Статистика, 1978. - 556 е., ил.

33. Клир, Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач / Дж. Клир; пер. с англ.; М.: Радио и связь, 1990. — 544с.

34. Колмогоров, А. Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей / А. Н. Колмогоров. Известия АН СССР, сер. математ. 1941. -т. 5. с. 3-14.

35. Коняев, К. В. Спектральный анализ случайных процессов и полей / К. В. Коняев. -М.: Наука, 1973 168 с.

36. Крамер, Г. Стационарные случайные процессы / Г. Крамер, М. Лидбет-тер; пер. с англ. под. ред. Ю. К. Беляева. -М. Мир, 1969. -398 с.

37. Красовский, А. А. Основы автоматики и технической кибернетики / А. А. Красовский, Ю. Г. Поспелов. М., Л.: Гос. энерг. изд-во, 1962. - 600с.: ил.

38. Левин, Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б. Р. Левин.- М.: Радио и связь , 1989 653 с.

39. Лэнинг, Д. X. Случайные процессы в задачах автоматического управления / Д. X. Лэнинг, Р. Г. Бэттин; пер. с англ. под ред. В. С. Пугачева. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. - 387 с.

40. Ляпунов, А. А. Проблемы теоретической и прикладной кибернетики / А.

41. A. Ляпунов. -М.: Наука, 1980. 335 е., ил.

42. Ляпунов, А.А. Теоретические проблемы кибернетики / А. А. Ляпунов, С.

43. B. Яблонский // Проблемы кибернетики. М: 1963. - Вып. 9, с. 5-22.

44. Мартин, Ф.Ф.Моделирование на вычислительных машинах / Ф. Ф. Мартин; пер. с англ. М.: Сов. радио, 1972. — 288 е., ил.

45. Месарович, М. Общая теория систем: математические основы / М. Меса-рович, Я. Такахара; пер. с англ. Э. JI. Наппельбаум; под ред.С. В. Емельянова. -М.: Мир, 1978.-311 с.

46. Миллер, Б. М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б. М. Миллер, А. Р. Панков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

47. Мирский, Г. Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. Изд. 2-е переработ, и доп. / Г. Я. Мирский. М.: «Энергия», 1972.

48. Мирский, Г. Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения / Г. Я. Мирский. М.: Энергоиздат, 1982. - 320 е., ил.

49. Моисеев, Н. Н. Математика ставит эксперимент / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1979.-224с.

50. Молчан, С. И. Процесс Марковского упорядочения / С. И. Молчан, А. В. Петров, В. В. Ступин // Вероятностные автоматы и их приложения / Сб. докл. 3 Всес. симпозиума Казань, 1986. - с. 184-188.

51. Мороз, А. И. Курс теории систем: учеб. пособие для вузов по спец. «Прикладная математика» / А. И. Мороз. М.: Высш. школа., 1987. - 304 с.

52. Мочалин, В. В. Расчет уровня страхового запаса / В. В. Мочалин, Е. И. Попов // Автоматизированные системы управления. Теория, методология, моделирование, технические средства. Иркутск, 1974. -с. 20-26.

53. Мухин, О. И. Компьютерная инструментальная среда / О. И. Мухин -Пермь: ПГТУ, 1991.

54. Нейлор, Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем / Т. Нейлор; пер. с англ.; М.: Мир, 1976. -500 с.

55. Новиков, JI. В. Основы вейвлет-анализа сигналов: учебное пособие / JI. В. Новиков. С.-Пб., Изд-во СПбГТУ, 1999.

56. Петров, А. В. Анализ простейшей процедуры генерирования случайных процессов / А. В. Петров. Иркутск: изд-во ИрГТУ, 2004. — 50 с.

57. Петров, А. В. К вопросу расширения функциональных возможностей перестановочных процедур / А. В. Петров //Вероятностные автоматы и их приложения. Тезисы 3 всес. симпозиума. -Казань, 1983. с. 47.

58. Петров А. В. Моделирование систем: учебное пособие / А. В. Петров. — Иркутск: Изд-во ИрГТУ. 2000. -268 е., ил.

59. Петров, А. В. О двух алгоритмах упорядочения / А. В. Петров, Г. П. Хамитов // Автоматизированные системы управления. Теория, методология, моделирование, технические средства. Иркутск, 1974. - стр. 115125.

60. Петров, А.В. Накопление, хранение и использование статистической информации в АСУ / А. В. Петров // Методология проектирования АСУП. Тезисы докладов к научно-техническому совещанию. Таллин, 1980. -с.168.

61. Поляк, Ю.Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах / Ю. Г. Поляк. М.: Советское радио, 1971. - 400с.: ил.

62. Поспелов, Д. А. Логико-лингвистические модели в системах управления / Д. А. Поспелов. М.: Энергоиздат, 1981. - 232с.

63. Пугачев, В. С. Статистические методы в технической кибернетике / В. С. Пугачев. -М.: Советское радио, 1971. 192 с.

64. Пугачев, B.C. Теория вероятностей и математическая статистика / В. С. Пугачев. М.: Наука, 1979. - 496 с.

65. Пугачев, B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления / В. С. Пугачев.-М.: Физматгиз,1962. — 883 с.

66. Райбман, Н. С. и др. Оценка параметров модели при типовой идентификации линейных объектов /Н. С. Райбман. М. ИПУ, 1973.172 с.

67. Райбман, Н. С. Построение моделей процессов производства / Н. С. Райбман, В. М. Чадеев. М., «Энергия», 1975. 376 с. с ил.

68. Розанов, Ю. А. Введение в теорию случайных процессов / В. А. Розанов. -М.: Наука, 1982.-128 с.

69. Рыжиков, Ю.И., Управление запасами / Ю. И. Рыжиков. М.: Наука, 1969.-344с.

70. Рытов, С. М. Введение в статистическую радиотехнику / С. М. Рытов. -4.1. М.: Наука, 1976 - 494 с.

71. Сакович, В.А. Модели управления запасами / В. А. Сакович. Минск: Наука и техника, 1986.-318с.,ил.

72. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры./ А. А. Самарский, А. П. Михайлов. М.: Физматлит, 2001. - 320 с.

73. Самарский, А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент / А. А. Самарский. Вестн. АН СССР, М. 1979. №5.

74. Сиськов, В. И. Корреляционный анализ в экономических исследованиях /

75. B. И. Сисков. -М.: Статистика, 1975. 168 с.

76. Соболь, И. М. Численные методы Монте-Карло / И. М. Соболь М.: Наука, 1973.-312с.

77. Советов, Б. Я. Моделирование систем: учеб. для вузов / Б. Я Советов, С. А. Яковлев. 3-е изд. перераб. и доп. -М. высш. шк., 2001. - 343 е.: ил.

78. Справочник по обогащению руд. Обогатительные фабрики / под. ред. О.

79. C. Богданова, Ю. Ф. Ненарокомова. 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Недра, 1984, с. 358.

80. Тихонов, А. Н. Математические модели и научно-технический прогресс (автоматизация обработки наблюдений) / А. Н. Тихонов. В кн.: Наука и человечество, год 1979.-^TVI. Знание, 1979.

81. Тихонов, В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов / В. И. Тихонов. М.: Радио и связь, 1986. - 296 е.: ил.

82. Тихонов, В. И. Статистическая радиотехника / В. И. Тихонов. -М.: Советское радио, 1966.

83. Тихонов, О.Н. Закономерности эффективного раз-деления минералов в процессах обогащения полезных ис-копаемых / О. Н. Тихонов. М.: Недра, 1984. - 208 с.

84. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер. -М.: Мир, 1984-751 с.

85. Форрестер, Дж. Основы кибернетики предприятия (индустр. динамика) / Дж. Форестер. М.: Прогресс, 1971. - 340 е., ил.

86. Хамитов, Т.П. Генерирование случайных процессов с немонотонными корреляционными функциями / Г. П. Хамитов // Труды Иркутского политехнического института. Выпуск 56. 1970 г.

87. Хамитов, Г.П. Имитация случайных процессов / Г. П. Хамитов. Иркутск: Изд-во Иркутского унив., 1983. - 184 с.

88. Хедли, Дж. Анализ систем управления запасами / Дж. Хедли, Т. Уайтен; пер. с англ.; — М.: Наука, 1969. -511с.

89. Цыпкин, Я. 3. Основы теории автоматических систем / Я. 3. Цыпкин. -М.: Наука, 1977-560 с.

90. Шалыгин, А. С. Прикладные методы статистического моделирования / А. С. Шалыгин, Ю. И. Палагин. JI. машиностроение, 1986.

91. Шелухин, О. И. Негауссовские процессы в радиотехнике / О. И. Шелу-хин. М.: Радио и связь, 1999, 289 с.

92. Шеннон, Р. Имитационное моделирование систем искусство и наука / Р. Шеннон. - М.: Мир, 1978. - 418 с.

93. Box, G.E.P., G. М. Jenkins and G. С. Reinsel: Time Series Analysis: Forecasting and control, 3d ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs , New Jersey (1994).

94. Gupta U. G. Using citation analysis to explore the intellectual base, Knowledge dissemination and research" impact of interfaces (1970-1992). Interfaces, 27: 85-101. 1997.

95. Cario, M. C., and В. I. Nelson: Autoregressive To Anything : Time-Series Input Processes For Simulation. Operations Res. Letters, 19: 51-58 (1996).

96. Cario, M. C., and В. I. Nelson: Numerical Methods For Fitting and Simulation Autoregressive-to-Anything Processes. Informs J. Comput., 10: 7281 (1998).

97. Lane M. S., A. H. Mansour, J. L. Harpell: Operations research techniques: a longitudinal update 1973-1988. Interfaces, 23: 63-68. 1993.

98. M. Livny, B. Melamed and A. K. Tsiolis, "The impact of autocorrelation on queuing systems", Management Sci. 39. 322-339 (1993).