автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Стохастические асимптотические характеристики и их приложения в цифровой обработке многомерных сигналов

; П о о)

ВЫЧИСЛИГЕЛЬНЬИ ЦЕНТР АН АРМ. ССР АКАДЕМИЯ НАУК АРМЯНСКОЙ ССР

На правах рукописи УДК 621.391:621.372

Испирян Сусанна Мнацакановна

СТОХАСТИЧЕСКИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ МНОГОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ

Специальность 05.13.16 -

"Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов. в научных исследованиях"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ЕРЕВАН - 1990

Работа выполнена в Вычислительном центре Академии наук Армянской ССР

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор АГАШ С.С.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор .СИРОДКА И.Б.

кандидат физико-математических наук ЧИГЧЯН Р.Н.

Ведущая организация: ВНИИ Телевидения (Ленинград)

/ Io-

Защита состоится "ü " ,__1990г.IV часо

на заседании специализированного совета |\ C0jjtUJ,O'L по защи те диссертаций на соискание ученой степени кандидата техническ: наук при Вычислительном центре АН Api.ССР и ЕГУ по адресу: Ереван, ул. П. Севака, I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ АН Арм.ССР и ЕГУ.

Автореферат разослан

" 1в " сШрали?., 1990г.

Ученый секретарь

специализированного совета / .

д.ф.-м.н., профессор i ■ sjl С.С.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одними из важных классов автоматизированных систем научных исследований (ЛСНШ, занимающими особое место благодаря широкому применению в них вычислительной техники, являются автоматизированные системы обработки изображений -сигналов (АСОИз). В различных областях науки и техники, таких, как биология, физика, сейсмология, медицина, космические исследования, связь и др. информация об исследуемом объекте регистрируется в виде цифрового сигнала. Это обстоятельство обуславли -вает широкое применение систем цифровой обработки сигналов.

Основные задачи, решаемые этими системами - это эффективное кодирование (сжатие данных с целью хранения или передачи), фильтрации, распознавание и т.д. К настоящему времени среди разнообразия методов цифровой обработки сигналов наибольшее применение получили методы, основанные на аппарате быстры« ортогональных преобразований, которые используются в различных этапах обработки.

Большой объем обрабатываемой информации является характерной особенностью АСОИз и делает время обработки сигналов особо важным фактором. Это приводит к рассмотрению следующего вопроса: возможно ли дальнейшее уменьшение времени обработки при выбранном преобразовании пусть даже в ущерб точности восстановления. Одним из путей для ответа на него таков, чтоб вместо обычных статистических характеристик спектра сигнала изучать другие, в частности, его асимптотические характеристики. Отметим, что у Э. Хеннана, Д. Бриллинджера и др. получены результаты об асимптотически нормальном распределении элементов спектра для ортогональных фурье, синусного, косинусного преобразований с соответствующим выбором исходных процессов-сигналов. Для спектров ортогональных преобразований (Уолша-Адамара, Уолша-Пэли, Уолта, ВКФ-Кронекера, усеченных и др.), часто использующихся на практике, до сих пор не найдены асимптотические характеристики как при стационарных, так им- - стационарных исходных процессах. Это отмечалось в известной монографии Прэтта*' .

I) Прэтт У. Цифровая обработка изображений: в 2-х т. - М.: Изд-во Мир, 1982, т. I .

Вышеуказанные задачи являются более важными при рассмогре нии многомерных сигналов. Обычно задача сжатия двумерного сигна ла размера ) (например, когда информация в виде вектора дл ны N получается из г источников) сводилась (с использованием ортогональных преобразований) к сжатию одномерного сигнала значительно большей длины.Для существенного сокращения времени обработки возникает необходимость получения новых алгоритмов сжатия двумерных сигналов (цифровое представление в виде прямоуго; ной матрицы) без их развертки в одномерные. Аналогичные вопрось возникают и при решении задачи фильтрации сигналов.

Цель работы. Разработка алгоритмов сжатия и фильтрации а налов, полученных из нескольких источников с применением ортоп нальных преобразований, для чего необходимо:

- выявить асимптотические свойства совместных кумулянтов спектра и векторов^ортогональных преобразований для малозавис; мых, стационарных и т- - стационарных сигналов при равномерно ограниченных преобразованиях;

- получить асимптотические распределения векторов дискре ных ортогональных преобразований, а именно: Уолша-Дцамара,Уолщ Пэли, Уолпа, ВКФ-Кронекераортогональных преобразований в вид кронекеровского произведения и их суммы, усеченных преобразова ний в' различных базисах и др.;

- разработать и реализовать алгоритмы сжатия сигналов, л лученных из нескольких источников, требующие меньших затрат вр меня, чем ранее известные алгоритмы;

- разработать и реализовать алгоритмы винеровской фильтр ции, отличающиеся высоким быстродействием.

Научная новизна. В работе наедены условия и доказаны тес ремы об асимптотическом поведении совместных кумулянтов спектр об асимптотически нормальных распределениях векторов ортогона; ных преобразований для малозависимых, стационарных и ууь - стационарных сигналов при равномерно ограниченных преобразования) получены в конечной форме асимптотические распределения векто] ортогональных преобразований: Уолша-Ддамара, Уолша-Пэли, Уолпн

' Рассматриваются не только отдельные элементы спектра, но и любое их подмножество. Упорядоченные элементы которого буд< называть вектором преобразования.

усеченных и др.; предложены новые алгоритмы сжатия, основанные на асимптотике дисперсий спектра, подходе с группированием дисперсий, использовании понятия спектра мощности; представлении о получении двумерного сигнала из С источников и др.; предложены алгоритмы винеровской фильтрации, основанные -на асимптотике дисперсий преобразования. Сравнение с известными, используемыми на практике алгоритмами подтвердило их большее быстродействие (в частности,-.при сжатии одномерного сигнала в 0(Ы) раз (при фильтрации - раз), а в случае Г источников - в

О(Н^гМ) раз). Ошибка восстановления в некоторых предложенных алгоритмах сжатия меньше, чем в известных алгоритмах.

Практическая ценность работы. Предложенные в работе алгоритмы можно применять при решении прикладных задач - быстрой передачи данных по каналам связи; повышения достоверности передачи, оперативной обработке и регистрации; для снижения мощности, уменьшения емкости и упрощения приемопередающих устройств (следовательно, увеличения их надежности); уменьшения стоимости передачи данных; сокращения расходов и времени на хранение и поиск информации, а также при Нахождении разумного компромисса между точностью представления данных и пропускной способностью системы с улучшением ее характеристик; создания банка данных; оперативной обработки экспериментальной информации.

Полученные результаты могут способствовать новым исследованиям в области дискретных ортогональных преобразований и их применение в обработке сигналов.

Реализация результатов. Предложенные в диссертационной работе алгоритмы сжатия и фильтрации вошли в:

1) Комплекс программ для решения на ЕС ЭВМ задач спек -трального и корреляционного анализа (СКАН) в соответствии с договором о научно-техническом сотрудничестве между ВЦ АН Арм.ССР к Институтом Кибернетики АН УССР для серии ЕС ЗЕМ в операцион-той системе ОС, внедрен в Институте Кибернетики с экономической ¡ффектнвностью 290.7 тыс.руб. В общем эконош1ческом эффекте до-1евое участие Вычислительного центра АН Арм. ССР составляет 96.9 гыс.'руб. (в создании комплекса программ автор являлась ответственным исполнителем); ~----- _

2) Пакет прикладных программ обработки многомерных сигна-юв (ППП ОМС) для серии ЕС ЭШ в операционной системой X версии

6.1 и выше, допускающий работу как в пакетном, так и диалоговом режиме. ППП ОМС, в реализации которого автор являлась одним из участников, представлен в ГосФАП (per. № 50860000353).

Апробация работы. Основные положения и результаты работы были доложены и опубликованы в тезисах докладов на Всесоюзном семинаре "Автоматизированные системы обработки изображений" (Ди лижан, 1984), на 1У-ой научно-технической конференции молодых ученых и специалистов района 26 комиссаров (Цахкадзор, 1984), и 1У конференции молодых ученых Закавказских Республик (Тбилиси, 1986), на Всесоюзной конференции "Автоматизированные системы об работки изображений (Львов, 1986), на Первом Всесоюзном Конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (Ташкент, 1986), на третьей Всесоюзной конференции "Обработка изображений и дистанционные исследования (ОИДЮ-87" (Новосибирск, 1987), на семинаре "Проблемы создания систем обработки, анализа и распознавания изображений" (Ташкент, 1988), .в школе-семинаре "Статистические метода распознавания образов i компьютерной кластеризации" (пос. Вукин Киевской обл. 1989).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано i научных работ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложений. Работа содержит 121 стр. основного текста, список литературы на 9 стр.

Первая глава посвящена изучению стохастических асикптоти ческих характеристик сигнала в спектральной области, а именно, нахождению статистических асимптотических свойств совместных к мулянтов спектра и векторов равномерно ограниченных преобразов ний малозависимого, стационарного и т- -стационарного сигнале размера ( г * N ), где Г фиксировано.

В §1.1 обсуждаются взвешенное преобразование

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

и преобразование

где t( 1 --Ojtt-íSL-y.•fyu) И<м) сглаживающие функ-

ции ограничены, имеют ограниченную вариацию и обращаются в нуль при . ful >í , Q,(í,a) - ограниченная функция, случайный вектор-процесс, компоненты которого вещественны и Е1ХГ1<ъ° ( £ - знак математического ожидания).

Приводятся следующие обозначения и определения. ^ (Я) - функция распределения случайного вектора, столбцы компонент которого образуют вектор Л- (\írt

- корлальное распределение случайного Г -компонентного вектора X , с математическим ожиданием ^ и ковариационной матрицей Z^ í ~ класс стационарных и маяозависимых сигналов; /Ч^ - класс /?t- -стационарных и излозависишх сигналов.

Определение ,1.1.1. Совместным кумулянтом (семиинвариантом) f -го порядка вектора , А'л) называется вы-

ражение х

сшгД,...,^) = Z(-irYP-í)í (ВСПК.})- (В( ГШ)

. JÉ-v'i ;«-}»<'

где суммирование ведется по всем разбиениям N -о Ь- i г

, » ЧГ";'»), г-

множества {i .,.,[-) .

Обозначь С^...^,,-, U = У^))

Отметим, что: 2) процесс X(t) - стационарен (строго стационарен), если совместное распределите X^fy-t), ■ X^í^+t) не зависит от i для всех ¿/é1,...1i^c=Ojti)... и ü^.^a^^ .^r^K^^ly-tí) стационарный процесс называется малсзависиихм, если

оо

в) процесс называется уц, - стацяокарнш, если

т.е. К-ый совместный кумулянт инвариантен относительно сложения по модулю wv ( Ф^ ).

Изучается в общей постановке задача нахождения статистических характеристик преобразованного процесса RJl) РАя ограниченных функций Qít^), в частности, выбора таких условий, при которых распределения векторов

R М

упростятся (например, будут нормальны) t

В 51.2 вычисляются кумулянты векторов преобразований (I),-(2), а также находятся их асимптотические выражения при следую-

щих условиях:

I) Функция ОН;;)) _ равномерно ограничена, т.е. существует такое число , -что для ¿.а-о,«,«!,"- справедливо - И3(£,2)| £/Ч

может быть комплексноэначной функцией); 2 а) исходный сигнал малоэависю^, стационарен, б) исходный сигнал малозависим, ж, -стационарен. Вводятся•следующие обозначения.

н!,-^«) - 1> бЙ«««»кЛ±М- иШ

А-1

Н- I-17 С1"*.....^-^¿бС^Л^^^-'^А)

Находится асимптотическое поведение кумулянтов векторов преобразований (1),(2). Имеет место

Теорема 1.2. Пусть *(£)£ Н1г 1= 1,%.. Тогда справедливы

а) СаюД^аД-, ^»к» +

б) Я^к))«О при к>5 ,

где ..

(О ) N при 1=1 и преобразовании (I),

I | ^ при 1=1. и преобразовании (2),

причем ^^ы ~ О-

В §1.3 доказываются теоремы о предельном распределении векторов преобразований (1),(2), в том числе - теорема об аст готической нормальности распределения векторов (К^Ма)/", преобразования СI).

Рассматриваются примеры нахождения асимптотических расщ делений векторов преобразований (2), с ортогональными система! Виланнина-Крестенсона, Карунена-1оэва и исходным сигналом ХИ из классов N£ й М1 соответственно. Далее, доказываются тео ремы об асимптотических свойствах кумулянтов и векторов двуые; ного равномерно ограниченного преобразования случайного сигнала в виде матрицы размера (гхЫ ), причем А И) может быть как : класса Н4 , так и из .

Во второй главе выводятся асимптотические распределения векторов РсцС») преобразования (2), когда система

функций является одной из ортогональных систем типа Уолш усеченных - Уолта и в базисах функций Виленкина, а также в ви де кроненеровского произведения и их суммы .

В §2.1 находятся асимптотические распределения векторов СКйС«, —, РЦШ) преобразования (2), когда явллется од -

ной из систем типа Уолша: Уолша-Ддамара, Уолша-Пэли, Уолша, а также БКф-Нронекера. Приведем один из полученных результатов, заранее приняв следующие обозначения:

б - множество натуральных чисел Ь , на которых функции Щ2) образуют ортогональную систему,

= С^со)) где с,(и,о) = >

где =ипг(\СЧ Що));

•

Утверждение 2.1. Пусть и £К4,Я) -ортогональная

система Уолша. Тогда для предельного распределения столбца Л преобразования (2) приМ-»<~ (Це(?) имеют место следующие соотношения эквивалентности:

ь£/0 [ ОЛЗДД [С,(и,о)+с;(-^о>>СлМо) при

Г(я)« "I . . и'1

* I ПРИ

где знак ~ понимается в обычном смысле.

В §2.2 находятся асимптотические распределения преобразования (2), когда ортогональная матрица, соответствующая системе

является: кронекеровским произведенйем матриц Уол-ша-Дцамара, Уолпа-Адамара и матрица, соответствующей ортонорми-рованной системе, суммой кронекеровских произведений ортогональных матриц.

В §2.3 рассматриваются усеченные преобразования типа Уолша, а также усеченные преобразования в базисах функций Виленкина, которые содержат три класса базисов в соответствии с возможными разбиениями N на множители: базис УПВРЗ-функции усеченного преобразования Вилегесина-Понтрягина для , базис УПВКФ-функции усеченного преобразования Виленкина-Крестенсона для Ы=Г> Г > X, » базис УПВУФ-функции усеченного преобразования Виленкина-Уолша для N=2, . Находятся асимптотические распределения столбцов этих преобразований.

В главе 3 разработаны и реализованы алгоритмы сжатия, .фильтрации дискретных сигналов,' полученных из нескольких источ-

ников (представленных в виде прямоугольных матриц) с использованием асимптотики дисперсий спектра быстрых ортогональных преобразований.'

В 53.1 приводятся три подхода выбора информативных спектральных коэффициентов при сжатии случайных сигналов с целью уменьшения времени его выполнения при фиксированном коэффициенте сжатия.

Первый подход, основанный на асимптотике дисперсий, разбивается на два метода:

1) сжатие сигнала при зональном отборе;

2) снижение размерности сигналов при минимизации расстояния внутри их класса в спектральной области.

В параграфе показано, что время сжатия при зональном отборе с асимптотикой дисперсий одномерного сигнала, определяющееся общим количеством операций умножения и сложения, в раз (коэффициент приЕо^М больше или равен единице) меньше по сравнению с известным алгоритмом с обычными дисперсиями. Время выполнения алгоритмов, а также среднеквадратические ошибки восстановления приведены в табл. I и на рис. I. В двумерном случае (когда сигнал описывается как марковский процесс первого порядка, а строки и столбцы обрабатываются независимо) этим методом требуется в 0(4) раз меньше операций, чем при обработке извест ним алгоритмом.

Количество вычислений, требующееся в задачах снижения раз мерности класса сигналов при условии минимизаций их расстояния в спектральной области, с определенными ограничениями с использованием ортогонального преобразования Уолша-Дцамара (Уолша -Пэли) в 0(Н) раз.меньше, чем преобразованием Карунена-Лоэва.

Второй подход сжатия сигналов, с группированием дисперсий, основан на том, что если у случайных величин близкие математические ожидания, а дисперсии малы, то сами случайные вели -чины близки. Алгоритм сжатия и восстановления сигнала этим подходом схематично можно представить в виде 'следующих шагов:

шаг I: случайный сигнал X подвергается ортогональному преобразованию (2) { г«1 )•

шаг 2: вычисляются дисперсии спектра I? (я) ( ,£) );

шаг 3: группируется вектор 5) по заданному порогу & , в каждую группу входят те элементы 8 , у которых

Преобразование Коэфф. сжатия Дисперсии

обыч. асимп. обыч. асимп. обыч. асимп. обыч. асимп. обыч. асимп.

СО 1 РЬ в <я а £ ч я 2 0.5800 0.6007 0.5623 0.6221 0.4863 0.6047 0.5295 0.6209 0.7290 0.7361

4 0.7787 1.0601 0.7449 1.2273 0.6457 1.1288 0.7331 1.0397 0.8490 Г.2631

8 0.9383 1.3435 0.7586 1.2292 0.7081 1.1622 0.8348 1.2021 0.9166 1.2631

Уолша-Пэли 2 0.5800 0.5800 0.5623 0.5623 0.4863 0.4863 0.5295 0.5295 0.7280 0.7280

4 0.7787 0.7787 0.7449 0.7449 0.6457 0.6457 0.7331 0.7331 •0.8490 0.8490

8 0.9383 1.3288 0.7586 1.2290 0.7081 0.8849 0.8348 1.2012 0.9166 1.3121

Уолша 2 0.5830 0.5800 0.5623 0.5623 0.4863 0.4863 0.5295 0.5295 0.7203 0.7280

4 0.7787 0.7787 0.7449 0.7449 0.6457 0.6457 0.7331 0.7331 0.8450 0.8490

8 0.9383 1.3288 0.7586 1.2364 0.7081 1.1516 0.8348 1.2017 0.9166 1.3129

Размерность 8 16 32 64 128

. Таблица I

Среднеквадратическая ошибка восстановления одномерного сигнала (с ортогональными преобразованиями Уолша-Дцамара,Уолша-Пэли,Уолша) алгоритмами с зональным отбором спектральных коэффициентов с коэффициентом 2,4,6.В одном алгоритме используются обычные дисперсии спектра,во втором -•асимптотика дисперсий спектра.Исходные сигналы из марковского процесса первого порядка при

Время сжатия и восстановления одномерного сигнала в секундах, с ортогональными преобразованиями Уолша-Адамара (а) и Уолша (б), алгоритмами с зональным отбором спектральных коэффициентов, с.коэффициентом сжатия 2,4,8. В одном алгоритме используются обычные дисперсии спектра (I), йо втором - асимптотика дисперсий спектра (II). Исходные сигналы из марковского процесса первого порядка при 0.5 .

Количество этих групп р зависит как от Й , так и от%-

йаг 4: элементы в группах и группы (по первому элементу) располагаются в порядке убывания;

шаг 5: по коэффициенту сжатия к. передаются М элементов спектральных коэффициентов ( М - количество передаваемых элементов) следующим образом:

I) при передаются среднеарифметические значения спек-

тральных коэффициентов соответствующих групп,

II) при М>Р - по одному элементу,из соответствующих групп спектральных коэффициентов подряд, всзго М-Р элементов. Кроме того, передаются и Р среднеарифметических значений остальных непередаваемых элементов групп спектральных коэффициентов;

шаг 6: при восстановлении непередаваемые спектральные коэффициенты заменяются соответствующими передаваемыми среднеарифметическими значениями, а если их нет - нулягги ( );

шаг 7: производится обратное преобразование спектра ЯЧз) ; шаг 8: вычисляется среднеквадратическая ошибка восстановления. ^ При использовании описанного алгоритма сжатия ошибка восстановления уменьшается по сравнению с алгоритмом с зональным отбором спектральных коэффициентов (например, при N»64 , ,{«0.9 предложенным алгоритмом ошибка восстановления есть '0.3395 , а алгоритмом с зональным отбором -о,чи8 ). В указанном подходе, заменяя обычные дисперкда их асимптотикой, время сжатия уменьшается в О(СсуЫ) раз;

В третьем подходе сжатия' сигналов информационной характеристикой служит спектр мощности преобразования Уолша-Адаыара.

Время передачи приведенным подходом в 2 раза меньше, чем алгоритмом сжатия с пороговым или зональным отбором спектральных коэффициентов (в предложенном алгоритме передаются только значения спектральшх коэффициентов без их номеров).

Время.сжатия этим подходом в раз, где 0.5<«.<1

меньше, чем, алгоритмом с зональным отбором и в 1 + <>СлО раз больше, чем алгоритмом с пороговым отбором.

Сжатие сигналов указанным подходом целесообразнее исполь-.зовать, чем отмеченными алгоритмами в смысле времени выполнения и исходя из того факта, что в этом подходе не требуется знания

статистических характеристик сигнала.

Что касается ошибки восстановления, то она в указанного подхг-де меньше', чем по алгоритму с пороговым отбором спектральных коэффициентов.

В §3.2 рассматривается скатив сигналов полученных из Г источников. Сжатие -таких сигналов сводилось (с использованием ортогональных"преобразований) к обработке одномерных значительно большей длины гМ . В этом параграфе предлагаются алгоритмы сжатия таких сигналов без их развертки'в одномерные, основанные на асимптотике дисперсий и использовании : преобразований Фурье, Уолша-Адамара,- Каждый из предложенных алгоритмов (о конкретным преобразованием) сравнивается с известными алгоритмами. В результате время- сжатия по. провоженным алгоритмам значительно меньше, чем по известным, а с использованием преобразования Уолша-Адамара оно меньше, чем в соответствующих алгоритмах с преобразованием Фурье.

В §3.3 ставится вопрос о возможности уменьшения времени винеровской фильтрации, задача которой заключается в минимизации расстояния (в данном случае среднекзадратичзской ошибки) мевду сигналом X и его оценкой X = А УА2 , где 2 - входной N -мерный вектор, представляющий собой сушу вектора данных X и шумового вектора V/ , V - винеровский фильтр в виде матрицы размера ( М*М )» Л - ортогональная система. Рассматриваются одномерные и двумерные (когда столбцы и строки'обрабатываются независимо) винеровские фильтры. Предлагаются алгоритмы, основанные на асимптотике дисперсий. При использовании предложенных алгоритмов, время фильтрации меньше (в одномерном случае в раз, а в двумерном - в 0(1) раз), чем при известных алгоритмах.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Найдены асимптотические выражения совместных кумулянтов спектра и распределений векторов равномерно ограниченных преобразований малозависимых, стационарных и т^ - стационар -ных сигналов.

2. Получены асимптотические распределения векторов класса быстрых ортогональных преобразований: Уолша—Адамара, Уолша—Пэли, .Уолша, ВКФ-Кронекера, кронекеровского произведения и их суммы,

усеченных преобразований в разных- Оазисах и др.

3. Разработаны и реализованы алгоритмы сжатия основанные на асимптотике дисперсий спектра; подходе с группированием дисперсий; использовании понятия спектра мощности и др., имеющие большее быстродействие, чем известные алгоритмы (з частности, когда сигнал получен из одного источника в ОCN) раз, из Г источников -0(f£о^гЮ раз). Ошибка восстановления в большинстве из предложенных.алгоритмов меньше, чем в известных алгоритмах.

4. Найдены алгоритмы винеровской фильтращи, основанные на асимптотике дисперсий преобразований. Время реализации предложенных алгоритмов меньше по сравнению с известными (в одномерном случае в Of-HogN) раз, в двумерном - в 0(1) раз) с использованием ортогональных преобразований типа Уолша.

5. Реализован комплекс программ для решения задач спектрального и корреляционного анализа (СКАЮ, ориентированный на обработку сигналов.

Публикации.

1. Агаян С.С., Испирян С.М., Матевосян А.К. Асимптотические распределения ограниченных ортогональных преобразований и быстрые алгоритмы вычисления моментов высшего порядка,- В сб.: Математические вопросы кибернетики и вычислительной техники.

Т. XII, Ерован, 1984, с. 130-156.

2. Испирян С.М. Асимптотические распределения быстрых ограниченных ортогональных преобразований. - В сб.: Автоматизация технической подготовки производства. Минск, 1985, с. 147-153.

3. Агаян С.С., Аллахвердян С.В., Даллакян В.Л., Испирян С.М., Матевосян А.К., Мелкумян З.А. Проблемно-ориентированный пакет прикладных программ цифровой обработки многомерных сигналов (ППЦ ОМС). - В сб.: Математические вопросы кибернетики и вычислительной техники. Т. XIII, Ереван, 1984, с. 61-65.

4. Испирян С.М. Вероятностная асимптотическая характеристика ограниченных ортогональных преобразований. Первый Всесоюзный Конгресс Общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли. Ташкент, 1986, с. 241.

5. Испирян С.М. Распознавание преобразований применяемых над случайным процессом. Проблемы автоматического управления. 1У конференция молодых ученых Закавказских Республик. Тбилиси, 1986, - с. 300.