автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Стабилизация состояний квадратичносвязных интервальных динамических систем на основе алгебраического метода форм модульных переменных

На правах рукописи

Стебулянин Михаил Михайлович

Стабилизация состояний квадратичносвязных интервальных динамических систем на основе алгебраического метода форм модульных переменных

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (технические

системы)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

2 4 ДПР 2014

Москва - 2014

005547482

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетно образовательном учреждении высшего профессионального образоваш «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН».

Без научного консультанта. Официальные оппоненты:

Капалин Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры "Автоматизированные системы управления и информационные технологии" ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет приборостроения и информатики";

Самохин Вячеслав Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры "Естественные науки" ФГБОУ ВПО "Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова";

Шалумов Александр Славович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой "Информационные технологии" Владимирского филиала ФГБОУ ВПО "Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации".

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики».

Защита состоится «19» июня 2014 г. в 12.00 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.142.03 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский пер, д.За.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН».

Автореферат разослан «_».

2014г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Семячкова Елена Геннадьевна

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Технические сложные динамические объекты, такие, как беспилотные вертолеты, подводные автономные аппараты, роботы различного назначения и другие , бурное развитие которых наблюдается в последние годы, характеризуются нелинейностью уравнений динамики и неточностью задания их параметров, а также существенным взаимовлиянием переменных состояния (многосвязностью), особенно в случае применения безредукторных исполнительных систем.

Такие объекты принадлежат к классу параметрически неопределённых (интервальных) динамических систем с мультипликативными нелинейностями и неустойчивым собственным движением, что вызывает необходимость разработок и оснащения их специальными стабилизаторами тактического уровня управления. При этом важной задачей является обеспечение возможности применения предметно-ориентированных программных пакетов для проектирования и исследования свойств создаваемых систем стабилизации. Между тем, известные программные средства, предназначенные для решения даже близких задач, таких, как задачи матричных неравенств или полиномиальной оптимизации на множествах, решаемые, например, в пакете Gloptipoly в среде MATLAB, не позволяют построить модели универсальных, непрерывных по состоянию, стабилизаторов динамических интервальных систем с мультипликативными нелинейностями. Отчасти это объясняется отсутствием специализированных инструментов интервального анализа форм переменных, начиная уже со 2-го порядка.

Таким образом, задача построения специальных средств стабилизации вызвана развитием в различных областях техники нелинейных динамических многосвязных интервальных систем с неустойчивостью собственного движения, для которых пока не предложено устоявшихся методов анализа и синтеза.

Теоретическая база исследования. Методологию построения законов стабилизации динамических систем дает теория устойчивости выдающегося русского учёного А.М.Ляпунова. Как известно, метод функций Ляпунова стал бурно развиваться в тридцатых годах прошлого века после возникновения под руководством Н.Г.Четаева Казанской школы механиков. Позже последователями идей А.М.Ляпунова стали такие известные российские ученые, как А.И. Лурье, Е.А. Барбашин, H.H. Красовский, Н.П. Еругин, В.А. Плисс, В.А. Якубович, И.Г. Малкин, Б.С. Разумихин, М.А. Айзерман, В.В. Румянцев, В.И. Зубов, A.M. Летов.

В послевоенные годы теория устойчивости получила мировое признание. Достаточно сослаться на работы Р. Бэсса, P.E. Калмана, Дж. Бертрама, И.П. Ла-Салля, С. Лефшеца, В. Хана, В.-М. Попова, Р. Беллмана, Х.Л. Массеры, Дж. Сансоне, Т. Йосидзавы, Р. Конти, Н.Ф. Минорского. Появились такие новые направления, как устойчивость неустановившихся движений, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, устойчивость на конечном интервале,"

проблема обращения в теории устойчивости, устойчивость в критических случаях, устойчивость по отношению к части переменных, устойчивость алгебро-дифференциальных систем и др.

В настоящее время существуют обобщения и рекомендации в области построения функций Ляпунова, предложенные в работах H.H. Красовского, В.А. Якубовича, Е.А. Барбашина, A.M. Летова, В.И. Зубова, Е.Я. Смирнова, Г.А. Леонова, В.М. Матросова, П.Д. Крутько, А.П.Молчанова, Е.С.Пятницкого, J.P. Lasalle, S. Lefschetz, Lindorf D.P., KalmanR.E., Wonham W.M., Parks P.C., Meyer K.R., J.H. Taylor, K.S. Narendra и др.

Тем не менее, исследования в этой области далеки от завершения. Так, в научной литературе по прикладным аспектам интервального анализа, где известны работы таких авторов, как Алефельд Г., Херцбергер Ю., С.П. Шарый, А.В.Лакеев, В.Н. Шашихин, C.B. Емельянов, Ю.И. Шокин, Hyland D.C., Bernstein D.S., Petersen T.R., Hollot C.V., Kaucher E., недостаточно проанализированы вопросы преобразований интервальных, однородных по степени, форм многих переменных. Между тем, такие преобразования могли бы служить эффективным инструментом при построении функций Ляпунова для интервальных систем с мультипликативными нелинейностями.

Целью диссертационной работы является решение научной проблемы стабилизации состояний квадратичносвязных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров путем создания математических основ, методов построения и инженерно-ориентированного алгоритмического обеспечения универсальных стабилизаторов на основе разработанного автором алгебраического метода форм модульных переменных, что способствует техническому прогрессу в таких областях, как робототехника, беспилотная авиация, мобильная техника и станкостроение.

Объектом исследования в диссертации являются математические модели стабилизируемых динамических сложных систем с мультипликативными нелинейностями в условиях параметрической неопределенности.

Предметом исследования являются методы интервального анализа при структурно-алгоритмической реализации устойчивых собственных состояний замкнутых многосвязных нелинейных систем.

Методы исследования основаны на прямом методе А.М.Ляпунова в математической теории устойчивости, классической интервальной арифметике, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математическом анализе, линейной алгебре.

Основные задачи диссертации:

- структурный анализ динамических уравнений квадратичных систем в современной практической мехатронной технике;

- формирование концепции стабилизации движений квадратичносвязных динамических интервальных систем, в рамках которой обеспечивается квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект и минимизация требуемого ресурса управления;

- разработка специального математического обеспечения решений задач стабилизации динамических квадратичных систем с интервальной неопределенностью параметров;

- математическое обоснование применимости интервальных моделей при анализе устойчивости многосвязных динамических систем с переменными коэффициентами;

- разработка инженерно-ориентированного метода и алгоритмов построения универсального стабилизатора для динамических квадратичных интервальных систем, в том числе заданных в квазикоординатах;

- разработка метода настройки регуляторов многосвязной мехатронной системы в режиме малых движений (динамического позиционирования) при неизвестных коэффициентах взаимовлияния степеней подвижности;

- создание метода построения стабилизатора нелинейной полнозамкнутой системы с двусторонним полиномиальным ограничением неизвестных функций собственного движения в возмущениях;

- построение программного комплекса, обеспечивающего моделирование разработанных средств стабилизации исследуемого класса квадратичных систем с визуализацией получаемых результатов.

Наиболее существенные научные результаты, полученные лично автором и выносимые на защиту, а также степень их новизны в развернутом виде:

1 Концепция стабилизации движений квадратичносвязных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров, заключающаяся в применении стабилизаторов тактического уровня, осуществляющих нелинейные обратные связи, сформированные на основе метода форм модульных переменных состояния и обеспечивающих квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект при минимизации требуемого ресурса управления.

2 Условия, при которых устойчивость системы с неизвестными параметрами, непрерывно изменяющимися в установленных интервалах при конечных производных, можно оценивать по устойчивости соответствующей интервальной модели.

3 Алгебраический метод построения стабилизатора интервальных квадратичных систем с полным замыканием (метод компенсатора формы), отличающийся вычислением такой биквадратичной формы переменных при минимизации нормы вектора ее постоянных коэффициентов, что она гарантированно превосходит

любую реализацию из множества допускаемых для интервальной кубичной формы, выражающей производную сферической функции Ляпунова в силу системы, что обеспечивает асимптотическую устойчивость стабилизируемого движения этой системы.

4 Аналитический метод синтеза стабилизаторов интервальных квадратичных систем в квазикоординатах, отличающийся тем, что интервальная кубичная форма полной производной модифицированной эллиптической функции Ляпунова погружается во вспомогательную кубичную форму новых модульных переменных с последующим применением метода компенсатора формы и решением интервального векторного уравнения с кронекеровским множителем при векторном неизвестном, выстраиваемым с помощью операторного ряда.

5 Комбинаторный метод стабилизации системы по скорости на основе информации только о центральных членах уравнений ее динамики, отличающийся однонаправленной двухпараметрической настройкой предложенного закона стабилизатора для каждой из комбинируемых двусвязных систем в составе исходной многосвязной, получаемых обнулением всех координат, кроме двух выбранных, и последующей оптимизацией решений.

6 Теоретическое решение задачи построения аддитивного стабилизатора полнозамкнутой нелинейной динамической системы общего вида, в которой задано только двустороннее конечно-полиномиальное ограничение на неизвестные производные возмущений переменных в собственном движении, заключающееся в формировании компенсатора произвольной конечной однородной интервальной формы переменных состояния, характеризующей стабилизируемый объект.

Теоретическая значимость работы. Выдвинутые в диссертации идеи и их математическое обоснование позволяют получить методическое обеспечение построения стабилизаторов состояний квадратичных интервальных систем в классе непрерывных в пределе функций, что является положительным отличием от известных методов при использовании амплитудных функций знака (сигнатур). Предложенные решения являются новыми законченными научными результатами в области прикладных аспектов интервального анализа форм переменных при синтезе законов управления нелинейными многосвязными системами. Основные теоретические результаты работы получены при выполнении НИР «Создание интеллектуальной технологической системы управления роботом-станком для финишной обработки лопаток авиационных двигателей» в части работ ИМАШ им. А.А.Благонравова РАН по Госконтракту № 14.740.11.0147 от 13.09.2010г., а также при разработках автопилота малогабаритного робота-вертолета по заказу ЗАО «Спецкомплектприбор» (г.Москва).

Практическая значимость работы. Предложенные аналитические, алгоритмические и программные решения по построению универсального стабилизатора сложных интервальных квадратичных систем позволяют снизить

сроки и стоимость проектирования новых технических устройств, получая характеристики их функционирования на математических моделях, а не средствами макетирования и натурного эксперимента. Разработанные алгоритмы могут быть использованы в программном обеспечении реальных робототехнических и мехатронных систем с безредукторными исполнительными приводами, повышая устойчивость и точность их программных движений, а следовательно, расширяя область их функциональных возможностей.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертация соответствует формуле научной специальности 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (технические науки) в области «анализа сложных прикладных объектов исследования» при разработке специального математического и алгоритмического обеспечения систем управления, а также методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза сложных систем в полном соответствии с п.п.5,7 области исследования паспорта указанной специальности.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийском семинаре «Робототехника и мехатроника» 04-05.02.2004г. в г.Москве; на семинаре CSIT'2004 (Computer Science and Information Technologies) 17-19.10.2004г. в Г.Будапеште (Венгрия); научно-методической конференции «Машиностроение - традиции и инновации» 18-20.11.2008г. в г.Москве; на Международной научно-практической конференции «Тенденции и инновации современной науки» 18.06.2012 в г.Краснодаре; на X международной заочной научно-практической конференции «Технические науки - от теории к практике» 28.05.2012г. в г.Новосибирске; на VII Международной научно-практической конференции «Современное состояние естественных и технических наук» 20.06.2012г. в г.Москве, на научных семинарах кафедр «Робототехника и мехатроника» и «Прикладная математика» ФГБОУ ВПО МГТУ «СТАНКИН», а также кафедры «Системы автоматического управления» ФГБОУ ВПО МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Реализация результатов работы. На основании внедрения полученных в диссертации результатов удалось реализовать:

- имитационное моделирование в ИМАШ им. А.А.Благонравова технологической операции обработки роботом-станком РОСТ-ЗОО фасонной поверхности лопатки турбины, показавшее удовлетворительное качество обработки при тангенциальных скоростях стабилизированного движения манипулятора инструмента до 0.1 м/с, что позволило провести обоснованный структурно-параметрический синтез системы управления робота в целом;

- программное обеспечение алгоритмов автопилота разработки ЗАО «Спецкомплектприбор» (г.Москва) для робота-вертолета с классической одновинтовой схемой движителя в режиме стабилизации горизонтальной

плоскости при неподвижном висении, обеспечившее диапазон амплитуд угловых отклонений планера 2-7 градуса.

Достоверность полученных результатов обеспечена математическими доказательствами новых положений на основе указанной выше теоретической базы работы; теоретические результаты подтверждены при компьютерном моделировании разработанных алгоритмов стабилизации и результатами экспериментального исследования автопилота малогабаритного вертолета в условиях стендовых испытаний.

Публикации. Список научных публикаций автора содержит 44 печатных работы, из них 30 статей. Непосредственно по теме диссертации опубликовано 24 статьи; из них 20 статей в журналах перечня ВАК, рекомендованных для публикации результатов работ на соискание ученой степени.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 112 наименований и 9 приложений с комментариями. Общий объем работы - 303 страницы, рисунков - 97.

Содержание работы

Во введении обосновано направление и проблематика исследования в соответствии с научной специальностью, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, а также указана область практического использования результатов.

Первая глава посвящена построению математических моделей динамических квадратичных систем и формированию концепции стабилизации движений таких систем с интервальной неопределенностью параметров. На основе анализа многокоординатных мехатронных объектов сформирован класс уравнений моделей квадратичных систем в современной технике. В качестве примеров были рассмотрены уравнения динамики робота-станка РОСТ-ЗОО, автономного подводного аппарата и беспилотного вертолета без буксируемого груза.

В результате предложена следующая обобщённая модель динамики квадратичной голономной системы в квазикоординатах:

Г Чу = КЧУ)ЧХ

I Чх = Мх + ВШй? + КЧу) + ЧЧуМ ' где qY ё Д", Е Яп - векторы состояния,

ц^Р е д(п+1)™/2. вектор 2-го порядка, соответствующий

И.ЧУ) = Я^ЧУМЧУ), 1/(Лу) = ,

I е Япхп, 5 е Япхт,т <п- известные переменные матрицы,

v £ Rm - интервальный переменный вектор,

А = const £ Rnxn . интервальная постоянная матрица,

D £ йпх(п+1)п/2, Р £ Rmxm - интервальные переменные матрицы,

Q £ Rm - вектор входных воздействий.

Основной вариант уравнений (1) задает тригонометрическая матрица:

I = I(sinqY,cosqY), sinqY = [sinqY1 ...sinqYn]T, cosqY = [cosqY1 ...cosqYn]T.

Система (1) является интервальной, квадратичной по qx и существенно нелинейной по qY. Спецификой в общем случае является условие т <п. Матрица S содержит единичный блок. Набор компонент вектора qx, соответствующих строкам этого блока, обозначим вектором qXa £ Rm и поставим ему в соответствие набор компонент вектора qY, обозначенный qYa £ Rm. Оставшиеся компоненты вектора qx и соответствующие им компоненты вектора qY объединим соответственно в векторы qXp , qYp.

В работе рассмотрены два возможных варианта формирования программного движения системы (1): метод интегрирующей процедуры и метод преследования цели. Так, показано, что:

1) при уравнении скоростей в виде г = J(qYa)qxa> следующее из него уравнение: Чха = КЧга)Ы0 +K4Ya.4x)rd(t) ,

где / - псевдообратная к / матрица, a rd(t) - заданная функция времени, интегрируется относительно полного вектора [qY(.t),qx(_t)]T при условии обратимости матрицы Q = [<?ir]; I, г = 1,..., п - т,

9lr = Im+i т+г ~кш+1 m+r> (xij= üfcli и разрешении уравнений связей в

виде qYp = f(qYa);

2) выражение обобщенных ускорений системы, необходимых для преследования заданного движущегося триэдра осей имеет вид:

Чха =7(<7Ka)(Mrd + k2erd + fd) +КЧга.Чх)(Та - eTd) .

где erd £ R6- составной вектор ошибки положения/ориентации реального триэдра по отношению к заданному; к12 —коэффициенты, к1 = 2еА, к2 = Я2, 0 < е < 1, Л> 0.

При этом разработан алгоритм обновления значений коэффициентов кг, к2 через оперативное вычисление частоты собственных колебаний Я при фиксированном значении показателя колебательности е в силу неравенства аХ2 + ЪХ +с> 0, где:

а = гтаегф Ъ = 2гг\ётф с = 2гт0га - гтйёгй - (г^а)^(1п(|/^а||гй|)) и на примере показана сходимость алгоритма по нулю нормы вектора ошибки ега.

Для найденных величин <7°(с), соответствующих заданному движению

га (с), вектор <2° находим в виде:

<?°С0 = Р(чуЮГЧч°хаЮ - ла<?°(0 -- v(«tf(t))) ,

где Аа е Дтхп, Оа е Дтх(п+1)п/2 - матрицы, образованные теми строками матриц Лийв(1), которые соответствуют компонентам вектора (¡Ха-

Варьированием на программных решениях уравнений (1) с точностью до третьего порядка малости термов переменных была построена квадратичная модель динамики в возмущениях у, £ соответственно величин

Г = + с^Оу + С2(0у(2) + /В(Х)У * £ £ = + В(0£(2) + ГхШу + (С)у® + £>в(Оу * £ + У, е) ' { )

где У(С,у, е) = 1/(С)<р(у,г) + ив(г)у * <р(у, £),

<р(у, £) -функция вариации вектора (} (стабилизатор).

В главе приведен вывод формул для каждой из матриц, участвующих в (2). Матрицы в первом уравнении известны «в точке», в то время как все матрицы во втором уравнении - интервальные. При этом каждое уравнение характеризуется квадратичной связностью переменных. Таким образом, модели в сформированном исследуемом классе динамических интервальных уравнений, квадратичных относительно возмущений квазикоординат и квазискоростей программного движения, учитывают дополнительные особенности систем, тем самым отличаясь от моделей, рассмотренных другими авторами.

В терминах устойчивости решений по отношению к части переменных, предложенных в работах В.В.Румянцева и А.С.Озиранера, сформулирована задача стабилизации системы (1), а именно: требуется в классе непрерывных или непрерывных в пределе функций переменных у, е найти стабилизатор (р, такой, чтобы решение £(0 = 0 было ограниченно у -притягивающим, а решение у(0 = 0 в случае = 0, С2 = 0 было бы у —устойчивым.

Сформулированной задаче стабилизации соответствует структура, представленная на рисунке 1, отвечающая предлагаемой в работе концепции стабилизации движений квадратичносвязных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров. Данную концепцию характеризуют приводимые ниже положения 1) и 2).

Рис. 1. Структурная схема САУ стабилизированным движением

1) В соответствии с данной структурой управление стабилизированным движением носит нелинейный динамический характер и строится с учетом взаимовлияния переменных состояния объекта, которое в возмущенном относительно опорной траектории движении включает второй алгебраический порядок. При этом вектор параметров объекта управления Р задан с точностью до интервала значений.

Все это принципиально не допускает линеаризацию системы для перехода к использованию частотных критериев ее устойчивости с применением принципа «точечного» исследования заданной траектории движения на основе способа замороженных коэффициентов, что предлагалось ранее в работах таких известных в области робототехнических систем ученых, как В.С.Медведев, А.Г.Лесков, А.С.Ющенко, С.Л.Зенкевич и других. Постановка задачи также не предполагает использование амплитудно-релейных воздействий, предложенных в свое время в качестве способа декомпозиции систем Е.С.Пятницким, поскольку часто на практике это недопустимо, как, например, при управлении автоматом перекоса несущего винта вертолета по соосной схеме Камова.

2) Дополнительным требованием является ограничение необходимого ресурса управления системой. В предлагаемой концепции управления это требование учитывается следующим образом. Как известно, метод функций Ляпунова обеспечивает анализ устойчивости решений векторной системы дифференциальных уравнений на основе использования некоторых скалярных соотношений. Пусть У[<р(иО] 6 Дп есть сложная функция переменного IV € Яп и относительно нее известно скалярное уравнение в виде: ^(Чу) = IV7У(IV) (2.1), где IV) есть некоторая заданная форма IV и при этом существует обратная непрерывная функция <р(и>) = ф[К(и')]. Требуется из условия (2.1) найти <р(иО.

Различаются численное и тождественное решение (2.1). При численном решении, основанном на использовании свободных переменных У1(..., У;_1( К;+1,..., Уп, встает вопрос о выборе их значений и собственно индекса I зависимой компоненты У£. При необоснованном выборе решение:

¡1 —-—- может быть очень велико и привести к превышению

располагаемых ресурсов компонент <р даже при достаточно малой Цм'Ц. Тождественным решением (2.1) является такое, которое обращает его в функциональное тождество. В этом случае К(и') ищут в виде некоторой формы

iv) меньшего порядка. Далее используют функцию <р(iv) = <р[К(иО]. Понятно преимущество такого подхода: в силу непрерывности <р(у?) и <р(0) = 0 будем при малых Wi, I = 1,... п иметь и малые <Р),] = 1,... п.

Решение поставленной задачи в соответствии с концепцией, характеризуемой вышеуказанными особенностями, обусловило необходимость разработки специального метода.

Во второй главе приведены математические основы метода интервальных форм модульных переменных, являющегося инструментом решения поставленной задачи. Для этого рассмотрены: преобразования векторов 2-го порядка, предметно-ориентированные вопросы классической интервальной арифметики, элементы алгебры интервальных матриц, правила вычисления интервальных форм модульных переменных. Доказана теорема о компенсаторе интервальной кубичной формы.

Для вектора х = [х1-,х2; — хп-1;*п] введен вектор 2-го порядка по формуле: я:(2) = со1оп[х¡X]] 6 [ = 1,2, ...,п; ) = ¿, ...,п и вычислены

гомоморфизмы К: д™х(п+«"/2 д™™2, £■ дпх»2 дпх(п+1)п/2 из условий выполнения тождеств соответственно (ниже * представляет собой знак кронекерова произведения векторов):

Л ((и +17)® - и® - и®) = К{А)и * V, А е дтх(п+1)п/2( и у е дп итВ и * V = Ут£(в) и(2), В Е дпх"2.

Для произвольной действительной матрицы й 6 Д71*"2 решены тождества:

1)Du*v = DJv*u относительноJ £ д*2*"2 >

2)0х*х = ОЗ'х:(2) относительно 3' 6 Д"2**С*+1)/2.

С помощью специальным образом организованного вектора-строки и„ 6 Дп найдена связь операторов К и 3' в виде: ^К(и„3 ) = Множество всех векторов обозначим через ап.

Для произвольной блочно-симметричной матрицы А = [Лг] 6 йпх™2, где Л; = А? е Япхп, I = 1,..., п , доказано равенство £(Л) = Л¿7'.

Решена следующая задача: построить матрицу Л е дпх("+1)/2/ такую, что К (А) есть блочно-симметричная матрица. В этом случае матрица А названа ступенчатой.

Интервальное число, или И-число, с границами % < а2 обозначено {аъ а2) = (¿4). В работе установлен ряд свойств упорядоченных интервальных чисел по отношению к операциям суперпозиции и покрываемости (вложения), например:

(А) и п((В) и 0) <е п((А) и ((В) и 0)), п > 1 и т.д.

На основании мультипликативной функции £(Ь,(Л)) = в

условиях невыполнения для интервальных чисел дистрибутивного закона доказана следующая формула:

(с + сЩа + Ь)(Л>] = са(А) + сЬ(А) + с1а(А) + йЬ{А) © \с\таЬ(А) ®

Ф Ы\таЬ{А)®тсМ - 2таЬ + \Ь\)(А), где таЬ = {™п(|а|' < ° ,

а инверсная сумма (а, Ъ) ® (с, й) равна И-числу (а + (1,Ь + с). Получены следствия данной формулы.

В главе выявлены некоторые важные свойства интервальных матриц.

И-матрица (С) = (С) и (—(С)) названа зеркальной относительно И-матрицы (С) 6 йпхт. Доказаны следующие леммы.

Лемма 1. Пусть (Л) 6 цпхп2 _ блочно-симметричная зеркальная И-матрица Тогда:(Л)<ей'(£(<Л»).

Лемма 2. Пусть (Л) 6 Л г - зеркальная ступенчатая И-матрица. Тогда: (Л) <6 I (к(Щ.

Для произвольной И-матрицы (Л) 6 Я г определена функция ступенчатой матрицы 5£((Л)), такой что (Л) <6 54((Л)), а для произвольной блочной И-матрицы (С) = [(Сг)... (С;)... (Сп)] е Дпх"2 - функция блочносимметричной И-матрицы В1((С}), такой что (С) <е В1((С)).

И-вектор (Ц) е ап с минимальной интервальной нормой вида Е^СУ; тах — (/¡щЛ) и такой, что (и) <6 (Щ обозначен через (иа). Обозначение (Ма) введено также для И-матрицы (М) е Я"*"2, как совокупности интервальных вектор-строк. При этом очевидно отношение: (М) <6 (Ма).

Для векторов а.Ье Л" введена модульная векторная функция г(а,Ь):

^ г г, и\ - № + ъь если а1ь1 ^0 * +1. {Ьь если а1ъ1 ^ О

Г[(а,Ь)= , „„„ 'и и обозначено = { '

(аг - если а< 0 1 (-Ь,-,если агЬ; < О'

где I = 1,...,п.

Доказаны формулы:

1) гт(а,Ь){С)г(а,Ь) = аг<С)а + ат{С){1Ъ) + (;Ь)г(С)а + (1Ь)г(С)(1й),

2) гг(а, Ъ)ф)г{а, Ь)(2) = аг<0>а® + Ьтф)Ъ^ +

+ЬГ [с + <Д)] а® + аг[£ (/Г«Б») +<Я>]Ь(2).

Если обозначить последнее выражение через ¿(а, Ь, (£>)), то следствием 2) станет равенство: гг(а, Ь)(С)г(а, Ь) * г(а, Ь) = ¿(а, Ь, <С)<7'); <С)е11пхп\

Однородная п —порядка форма к переменных .....¡„¡й^...¡„Щг —Щп > где

а11...гп - коэфициенты, IV 6 й'1, в работе обозначена с помощью 4-х символов: Fr¿l(YV<t). (Особенности обозначения: первая буква любой формы всегда Р; две формы равны тождественно, если соответственно одинаковы все их символы; если какой-либо символ одной формы не равен соответственному символу другой , то коэффициенты этих форм в общем случае никак не связаны друг с другом.) Если все коэффициенты формы постоянны во времени, то форма названа постоянной; если коэффициенты известны во времени , то форма — строгая.

Сумма + Frr£(^v) + ••• + нО названа смешаной формой и условно

обозначена в виде /гг7£+5+""и(и').

Если коэффициенты представлены И-числами, то получаем И-форму:

ргкМ=^.....<аи - ^

Постоянная строгая форма, в общем случае смешаная, и>), такая, что

функция: хр(ы) = _ является положительно

определенной по и» при любой реализации интервальной формы "+£(мО,

названа компенсатором этой формы и обозначена

Для данной интервальной формы 3-порядка и>) переменного »V е Ят найдены формулы компенсатора в виде строгой биквадратичной формы Ргт+4(и0 ПРИ минимизации нормы вектора ее постоянных коэффициентов.

Так, установлено, что если форму Рг£ без ограничения общности задать в виде: РгД(иО = а?™) wf + £]12 ^ 9У*)Щ +

2Г- 2 Щ а™ах) и>? + 8(т) у,, ^ЩГ, Ь]?П ЩЩ

л г0,т<3 где5(т) = 11,т>3'

то данный компенсатор выразится следующей формулой:

= 5Х=1[(1 + 2ы2к)(акы2к + ыкРги) + (1 + М^з^], (3)

где:

1 1 л п т*-П 4-птаХ

Ы-1 = Ш &ЫЩ. «м = 9ы +23*' , сгЛ > шах(2, |а£"п|,

= Ш^д2 + + у,*) =

= +Т,к>1>]ХкцЩ^ + 2к>1>]РкиЫ + И'/) .

,-

> тах1-^-, '--1, 1-+

Хы = с'ы + С хнц = 2 +

Поскольку для системы (2) производная функции Ляпунова на основе квадратичных форм (например, сферической функции) выражается некоторой реализацией интервальной кубичной формы переменных состояния, то формула (3) может стать инструментом построения стабилизатора системы (2). Однако, для этого следует сначала найти условия, при которых устойчивость динамической системы с переменными параметрами, в общем случае неизвестными в заданных интервалах, можно оценивать по устойчивости соответствующей интервальной модели.

В третьей главе выясняются данные условия. Глава содержит теоретический материал, характеризующий область эффективного применения метода интервальных модульных форм при стабилизации сложных динамических систем.

Пусть набор [аъ ..., ап] задает точку г = £;агрг линейного пространства 1п над телом действительных чисел с выбранным базисом {р;}, £ = 1, ...,п, в котором определена функция нормализованного полинома:

РпСО = хп + а^71'1 + - + Оп^х + 0^, ап * О (4)

и пусть [аг ± 8аг, ...,ап + ¿>ап] задает в 2п некоторый (и)-гранник (гипербрус) с центром в ...,ап]. Любой нормализованный полином в (и)-граннике обозначим Р^{х). Доказана следующая лемма:

Пусть у полинома (4) в произвольной точке пространства г71, задаваемой набором ...,ап]. , отсутствуют чисто мнимые корни. Тогда в 1п существует (п)-гранник с центром в [а1(..., а^], такой, что в нем везде знаки

вещественных частей соответственных корней каждого уравнения = 0 неизменны.

Лемма полностью согласуется с известной теоремой о непрерывной зависимости корней полинома от его коэффициентов, но отличается тем, что механизм ее доказательства позволяет установить «диаметр» указанного («)-гранника с центром в [а1(..., ап].

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений: [х = f2(x, у, t)

где у,х £ Rn, t - независимая переменная (время).

Функции /12 определены в полуцилиндре Z = I? X D, 11+ = {0 < t < +00} , где D - открытая область действительного векторного пространства, ограничены и имеют в D ограниченные частные производные всех порядков.

Назовем t0 —частной по у = h(t) системой (5) следующую систему уравнений :

,у= h(ta) = const je = /2 (х, h(to), т) , решение которой обозначим -мО ^.F- h(t0) О < т < оо

Аналогично, t0 - частной по х = ft(t) назовем систему: X = /l(t0) = const

у = Д (у, /i(t0), т) при обозначении решения У(0 ■l' X = h{t0) О < т < со

Рассмотрим некоторое ограниченное решение У = У*(?) в части

переменного л: на кривой y.(t).

Пусть для t0 -частной по у Jit) системы для решения X(t0,r) с начальным условием X(t0,0) = x0(t0) выполняется «нагрузка в нуле»:

Ш^\\х(г)-ха0,т)\\<0, {Д}: 0<]|x(0)-X(íOJ0)||<A (6)

где |*| - обозначение евклидовой нормы вектора. Тогда, если это имеет место

для любого момента 0</о <оо; скажем, что для системы (5) в {Д} достигнуто Сх (у,(0) - состояние на решении xa(t). Если при этом на х0(/) везде

||э/,||

выполняется : hr^j ><т> 0 ^

C^OUO)- состояние назовем невырожденным.

Аналогично для t0 -частной по x,(t) системы определим в {Дг} невырожденное Cy(x,(t)) -состояние.

Если достигается и Cx(y,(t))~, и СДх(О)- состояния на решениях соответственно дс0(О, у0((), скажем, что для (5) в области {A AJ достигнуто Cz(z.(t)) ~ состояние на решении Z0(t), где Z = colon (х j).

При использовании леммы о корнях полинома, изложенной выше, доказана теорема об устойчивости динамической комбинированной системы в следующей формулировке:

Пусть в системе (5) для функций fU2 выполнены условия Липшица по переменным Х,у:

!/!(*,л,0'-Мх^Д< ky ||л - J2|| I/2O1,-ДСг|'

кх, ку = const,

и достигнуто невырожденное Cz(z0(t)) - состояние на ограниченном решении Zo(t). Тогда Z0(t)

является устойчивым по Ляпунову в малом решением (5).

При этом доказано выполнение условий Липшица для многосвязных квадратичных систем с управлениями из класса кубичных форм переменных состояния.

Данная теорема позволяет выяснить условия устойчивости тривиального решения системы (2) при замыкании ее в части переменного е.

Доказано возможное условие устойчивости нелинейной динамической системы с переменными параметрами в виде следующей теоремы:

Пусть для каждой t0 -частной по y{f)=h(f) системы (5) решение X(t0,T) с начальным условием X{t0,Q) = X0{t0) ограничено и в {А} выполнены условия (6), (7). Пусть также h{t) - функция, ограниченная вместе со своими производными

всех порядков. Тогда решение (5) вида X^f) ■iy=h,{t) асимптотически устойчиво по Ляпунову в области 0 < ||х(/) - дс0(/)|| ^ А.

Установлено ее следствие:

Пусть динамическая модель объекта задана уравнением:

х = /(ж, у(0,О + ср(х, t), х(0) = х0 (8)

х 6 Rn — вектор переменных состояния; y(t) 6 Rm — переменный вектор параметров; <р(х, t) £ Rk — стабилизатор нуля, <р(0, i) = О и при этом функция / удовлетворяет условиям теоремы, а для функции y(t), кроме того, определены пределы изменения, так что можно представить ymin < y(t) < утах (неравенство рассматривается покомпонентно). Введем систему сравнения:

х = /(*, (Y), t) + <р(х, t), *(0) = Xq (9)

00 -интервальный вектор (утЫ„ утах), пучок Ш решений которой составлен решениями множества уравнений вида:

X = f2(x, С, t) + <р(х, t), ymin < С = const < утах, *(0) = Xq

Известно, что при <р = <р,(х, t) везде в Ш тривиальное решение (9) асимптотически устойчиво по Ляпунову с «нагрузкой в нуле». Тогда тривиальное решение (8) при <р = <р*(х, t) асимптотически устойчиво по Ляпунову для любой y(t)> имеющей в указанных пределах изменения ограниченные производные.

Таким образом, найдены условия, при которых систему с переменными параметрами, ограниченными вместе со своими производными, можно в задачах стабилизации движения рассматривать, как интервальную по этим параметрам.

В четвертой главе рассмотрены вопросы построения стабилизаторов интервальных квадратичных систем методом модульных форм.

Показано, что модифицированная эллиптическая функция Ляпунова возмущенных переменных у,е имеет полную производную в силу (2) в виде возможной реализации интервальной кубичной формы:

Fr22:3(Y. е)= YT(A^)y + sT(Ate)s + ет(А^)Г + УТ(А^2)у^ + +£r«£2>£(2) + YT(AU)s^ + eT(AtY2)Y^ (10)

Вычислены И-матрицы в (10). Например:

<Л+> = 31 + 2фА), <Л+,> = 3/ + 2фл) + ЗС! + 2и т.д.

Далее доказано утверждение о том, что И-форма модульного переменного iv = г(2е,у) вида £/£+3(и0 = юТ^^ю + мт(М2)иг^ + wт(M3)w * iv является покрывающей для (10) при следующих зеркальных матрицах (М;):

{MJ = -Amix(~ 31 + 2(Da), 3Gx + 2<^>)

(М2) = St(mir (¿(D>, ЗС2 + Ш)) (11)

{M3)=±BI(3Ib+2(Db)°)

Для этого на основе результатов главы 2 форма Fl*+3(w) была представлена в виде:

Fln+4w) = YT(M1)Y + £г(4М1)£ + ут(4М1)е + ут({М2) + (M3)J')Y(2) +

+£г((8М2> + (8М3)Я')еЮ+гт(4С)£Ю+Ет(2С)ГЮ (12)

где (С) = (М2> + (M3)J' + -С(К«М2») + £(K«M3)J')), после чего было проведено сравнение слагаемых в (12) с соответственными слагаемыми в (10).

Следовательно, компенсатор формы (12) (обозначим его Fs%+*(w)) при любой реализации формы (10) приводит производную функции Ляпунова к отрицательной определенности в пространстве переменного s = [у г]7", исключая многообразие Еа, состоящее из точек вида:

So = [-,Yjp = 0,...;..., Ек = 0,... Г,

;'р, i, £ lTn, 1 < р < п, 1 < I < п

Представляя Y(s, у) = (w) + у(гг, у), находим как решение уравнения: -Fs2+4(w) = wTY1(w), w = r(2s, у) e Rn, которое приведено в работе в виде векторной линейно-кубичной формы.

В итоге получен следующий результат:

1) Y(у, е) б С£д)(2), Z = I+xDsls=[y е]т, I* = {ос< t < со)

где Ds -открытая область переменного s, не пересекающая многообразие Еа; ос - число или символ -со .

2) В любой точке а многообразия Еа величина разрыва 1-го рода функции У;(у, е) любой компоненты вектора Y ограничена значением некоторого кубичного полинома с постоянными коэффициентами Рст(у), Рст(0) = 0.

На основе дополнительного анализа поведения функции Ляпунова на =.а установлено, что тривиальное решение в части переменного s системы (6) будет всегда ограниченно у -притягивающим; в части переменного у решение y(t) = const будет у-устойчивым в случае выполнения теоремы об устойчивости динамической комбинированной системы, изложенной выше в гл.З.

Проведена также оценка времени переходного процесса (п. п.) в квадратичных моделях с неявными линейно-кубичными стабилизаторами. Переходный

процесс рассматривался в системе с у -притягивающими решениями е(€) = 0, y(t) = 0 под действием внешнего импульсного возмущения, при этом под

временем процесса понималось время перевода изображающей точки в области Ъ5 с гиперповерхности Е(Я,у,£), описываемой уравнением: +

|уг1|£;| + ¿1) — И2 устойчиво внутрь гиперповерхности £(/?/?, у, е), ¡3 < 1. Установлено, что в этих условиях оценка Г времени п.п. подчинена неравенству:

Т <---——-—, где ак показаны в зависимости (3) автореферата, а оценка

функции /й; (ад.) следующая:

1Л<*к) = 0.9973ак - 0.3397; к = 1,...,п

Далее рассматривалось решение относительно стабилизатора (р уравнения *Т£<У) — ^г2л(£<У) + Рг2п(£'У)- Установлено, что в случае действительных параметров I/, 1/в и I/ - матрица полного ранга, решение в области

Ч (у): Ну11 <

¡1 и-1 у II (/в II уравнения: У(е,у) = 1/(с)ф(у, е) + 1/в(0у * «¡»(у, г) = Л£п(е,у) + Л-|п(е, у)

можно представить в виде бесконечного операторного ряда

9>0,У) = £Г=о(-1)!(с+у *уи+г(е.г),

где и+ = ^Ц)-1^ 6 ЯтХп, 6+ = -в € Ятхпт, а для оператора {РЪ *)к справедливо правило: (РЪ *)ка = Р(Ъ * Р(Ь * Р{Ь * (... Р(Ь * а) ...)))), где число кронекеровых произведений а 6 Ятх1, Ь е Япх1 равно /с. При этом приближенное (реализуемое) решение может быть дано в виде следующей частичной суммы:

<Ры+2 = ЕЙГоЧ-Ц'СС+у *Уи+У + (-1)№(С+у +

+(-1)лт(С+у *)iV+1í/+Frfc1

Установлено также, что в случае интервальных параметров (и), (1/в) решением для <р в области ||у|| < - с точностью до 4 порядка термов переменных у, £ является выражение:

<р(у, е) ± IV) + д-^р^ - С(у, е) + г/'^ву * С (у, е) (13)

где С(у,е) = »"^вУ * (»"ЗДСиО);

(/, Vв -нижние грани матриц (и), (IIв), если при этом V - невырожденная матрица. В работе обосновано достаточное условие для решения функции стабилизатора в виде (13) и построена двумерная оптимизационная процедура его получения. (Объем и структура автореферата существенно затрудняют изложение данного материала в деталях.)

Далее был рассмотрен следующий упрощенный вариант системы (2):

s = DA(t)e + £>(t)£(2) + U(t,r)q> { }

в котором второе уравнение записывалось в виде: ¿£ = ETAis + Lje + Уг(у,£) ; Лг = Aj е Rnxn, Lt £ Rn, j = 1, ...,n.

Было поставлено условие: для каждой пары ограниченных параметров Л;, Ll известны только диагональные элементы (центральные коэффициенты динамики) матрицы Лг. Для этого случая решалась «задача торможения» полученной системы со следующей постановкой: заданы начальные условия у(0) = 0, s(0) = £0 , требуется соответствующим выбором неявного стабилизатора У обеспечить тривиальное решение е = О ограниченно у —притягивающим с заданным диапазоном 6.

Было введено понятие (kv... , kh) - частной системы, kt < ■■■ < kh, или частной h-порядка системы (14), получающейся «замораживанием» координат

== £kh = 0, в результате чего ее уравнения принимают вид:

!Yk± = const, ...,Ykh = const ft = £(, ¿6 {h}

- ^{h} Ai £{h} + Li £{H} + Yi где [кг,... , kh) = {h.} , {h} = {1,2,..., n} - {7i} - перестановки,

£{H) — вектор переменных с номерами, составляющими перестановку {й}; — матрица, получающаяся из Л, вычеркиванием строк и столбцов с номерами kx,...,kh\ L^ — вектор, получающийся из L; вычеркиванием элементов с номерами къ... ,kh\ У|(£{Л} = 0), £{h} - вектор переменных с номерами, составляющими перестановку {Я}.

Доказана теорема о частных системах-.

Пусть для каждой к—частной системы (12), к — 1,п, функция -

^fc(£fc) = ef = Ikkll2 имеет для всех ps 6 (p*s, со), qs е (q's, со) отрицательно определенную производную в области Nk (г): ||£fc||2 < /?2 при неявном стабилизаторе вида: Y^ = — "Zi*s(.Ps£s + ~ 4sEs (15)

где s = 1, n, а диагональные коэффициенты матрицы Л5. Тогда для любого 0 < 8 < R существуют такие р* < ps0 < со ,q* < qsQ < оо, что при каждых ps > ps0, qs > qs0 для решения e(t) системы (12) с начальным условием ||£(0)|| < R справедливо:

1) е(т) никогда не покидает область ||£(т)|| < R

2) наступает такой момент тх , после которого всегда выполняется

||8(Т)|| < S, Т > Г*.

Получен следующий общий вывод: пусть в классе стабилизаторов (15) для частных систем (12) порядка п — 2 , существуют функции Ляпунова:

v[n 2\sn,£i2) = + Sa'i i = 1, -,Сп- Тогда выполняются п.п.1), 2) теоремы о частных системах.

При этом в качестве необходимого условия показано, что неявный стабилизатор (15) с усечением до двух переменных позволяет получить отрицательную определенность производной сферической функции Ляпунова для соответствующей двусвязной системы. Данный подход позволяет реализовать существенно упрощенный модульный принцип однонаправленной двухпараметрической настройки модели многосвязной квадратичной системы.

В пятой главе приведено теоретическое решение задачи построения нуль-стабилизатора для нелинейных систем общего вида, для которых известно только двустороннее конечно-полиномиальное ограничение вектора скорости возмущений.

Постановка задачи.

Даны уравнения возмущенного состояния полнозамкнутой системы в виде: X = f(x, I) + <р(х)

где х Е Rn - вектор возмущений переменных состояния; I 6 Rm - вектор параметров; <р 6 Rn- стабилизатор; f £ Rn - неопределенная функция скорости возмущений, но такая, что значения каждой компоненты /| принадлежат сплошной области с граничными полиномами ¿-го порядка ц,х) и

Pi (*2 i.X),

где 1ц, l2i - известные векторы коэффициентов, при этом:

Pia\hi, 0) = P[2\l2i, 0) = 0; i = üi

Требуется в этих условиях построить стабилизатор решения х = 0 (нуль-стабилизатор) следующего вида: <р{х) 6 С^(Z), Z = /« X Dx, ={0<i<co}

где Dx - открытая область, содержащая точку х = 0, при условии <р(0) = 0.

Решение.

По индукции введен вектор к —го порядка, к >2:

zf = colon^zf-V], j = 1.....n, i =;.....л; z« = z<*>

z e Rn, zW 6

где S(k; ri) обозначает (к — 1)-ю сумму натуральной последовательности 1, ...п и вычислен гомоморфизм:

L: RnxS(l;n) _ RnXn*S(l-2;n) из условия. Azd) = L{A) z[2) „ 2(I-2)5 где z[2] _n0JIffi

кронекеровский квадрат z.

Далее при помощи данного инструмента была доказана лемма-.

Для каждой конечной интервальной формы Fr^(x), х Е Rn и любой наперед заданной положительно определенной квадратичной формы Fr2{x) = хТАх, где А € Rnxn не имеет нулевых коэффициентов, можно указать такую интервальную форму Fr\~2{x), что: Fr^(x) <6 Frn2(x)Frn'_2(*)

На ее основе методом дедуктивного спуска в итоге было получено следующее

решение: <р(х) = -Z(»(Sг(.А)х + 53(Л);с(3>) (16)

1-2

где Z(x) = Иг=2,4.....кХх Ах~) г , к,- ближайшее четное не меньше к

А = Р diag(ai) Р'1, i = l/n, 0 < а1<-<ап, Ре Rnxn невырождена.

Приведены формулы получения матриц 5Х(Л) 6 Rnxn, 53(Л) е KnxS(3;п) в (16), для чего использовался формализм новых математических объектов, названных таблицами. Таким образом, (16) выражает теоретическое решение для аддитивного стабилизатора полнозамкнутой динамической системы с полиномиальной неопределенностью.

В шестой главе рассматривались примеры решений задач по теме исследования. Для этого в среде Matlab был разработан программный комплекс, реализующий теоретические результаты по построению средств стабилизации квадратичных интервальных систем, полученные в работе.

1. Рассмотрен пример решения для некоторой абстрактной системы третьего порядка. Требуется управлениями ^ (x),i = 1,2,3 стабилизировать в нуле следующую систему дифференциальных уравнений переменного xeR3:

*i=(l, 3)х,+(2, 4)*2+{3, 5)х3+(0, 3)*,2+(-l, 1)*22+(-1, 0)х32 + + (1, 2)хЛ+(-2, 1 )х2х3+<р1(х)

х 2={0,1)х2+{-5, -2}х3+(-1, 0)*Л+(1, 2}х?+<р2(х) ^

¿3 = (2, 5)х,+(-1, 0)*2+(0, \)xl + {-2, 2)хЛ+{-5, -3)*Л +рг{х)

Пример собственного (ф,(х)=0) решения системы (17) представлен на рисунке 2, из которого следует очевидная неустойчивость тривиального решения на пучке решений в целом.

1 ........ /.............

...........................

/

— ..... -_____. __

______

......................................I.„...............1..............................

Рис. 2. Собственное решение системы (17).

На основании формулы (3) построен следующий стабилизатор:

(¡\ = -51.22*, -6.57*2 +2.25*3 +4.5*33-2.6х1х22 -16.41*,*з2 -З.147*2*32 (4 = -6.57*, -19.6*2 -6.2*| -2.6*,*,2 - 5.7*2.х^ - 3.147*,*з

=2.25*, -11.3*з -6.2*з +4.5*2*, -16.41*,2*) -5.7*2*3 -3.147х,*2*з

На рисунке 3 показано стабилизированное решение системы (17) в прежних условиях. При этом алгоритму стабилизатора, понятно, «неизвестен» вектор выбранных конкретных коэффициентов уравнений.

Рис.3. Стабилизированное решение системы (17).

Для автоматических вычислений функции нуль-стабилизатора модели, задаваемой совокупностью дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши в общем случае, была совместно с Макаровой Т.А. разработана программа compensator, текст которой приведен в Приложении А диссертации.

2. Рассмотрена задача стабилизации горизонтального висения беспилотного вертолета без буксируемого груза и при условии, что частота вращения несущего винта строго постоянна. Уравнения динамики возмущенного в малом углового движения аппарата с точностью до термов 2-го порядка записывались в виде:

ф = wx — wy у/-, if/=vjy — wzd ; д - wyd + wz

W* = Р11Щ +«123 Wywz -0C113 wxwz +«ш W2 +OC133 W? + Mx (18)

wy = p21wx + p23wz +<x212 wxwy -<x213 wxwz +oc223 WyWz + My wz = -p31Wx +CC311 W2 -«322 Wy +«333 W2 +OC312 WxWy + Maz

где: cp, щ 9- углы курса, тангажа и крена планера в неподвижной СК, wx, wy, wz - проекции вектора угловой скорости на оси связанной СК, Мх = А1гМ

ах + А12 Мау + Ai3Maz; My — А21Мах + А22Мау + А23 Мах> Мау, Maz - составляющие стабилизирующего момента винта.

Независимые аргументы (в соответствии с теорией вертолета) коэффициентов в (18) задавались с помощью генератора случайных чисел с экспоненциальным распределением, при этом расчет коэффициентов полагался неточным в размере допуска ±15%. Ниже на рисунках 4,5 приведены в качестве примера результаты моделирования переменных wx,wy,wz для одной из серий вычислительных экспериментов. Диапазон у - притяжения решений w(t) при этом составил величину не более б.ЗхЮ-7. Программный комплекс задания коэффициентов модели (18) и вычисления функции ее стабилизатора методом форм модульных переменных при использовании формул (3) и (11) приведен в Приложении В диссертации.

Далее модель (18) искусственно усложнялась засчет введения новых, «недостающих» для рассматриваемого класса моделей вида (2), членов. Было установлено, что тривиальное решение в части переменного w стабилизированной модели (18) всегда ограниченно у -притягивающее; в части переменного у = [<р, ¡9, ц^ решение y(t) = const будет у -устойчивым в случае выполнения теоремы об устойчивости в малом динамической комбинированной системы, что соответствовало полученным в работе теоретическим выводам.

Рис.4. Переменные wx, wy, wz в собственном движении (рад/с — с)

U-

3. Рассмотрен пример моделирования позиционного режима движения трехзвенного манипулятора с ангулярной плоскоповоротной кинематической схемой.

Для г — й обобщенной координаты формула изменения во времени была выбрана на основе техники сплайнов:

ЫО = Чы + (10Т-Ч3 - 15Г-4г4 + 6Т~Ч5ШК - цы), О < t < Т (19)

Модель динамики в возмущениях при движении манипулятора по заданному закону получена в виде:

Аё + ду + ее + Я£(2) + Ру * г - Дд (20)

Л,д,ебйзхз, Н е Дзх6, Р £ йзх9 - действительные переменные матрицы, формулы численного вычисления которых получены в работе с помощью формализма Лагранжа для выбранных конструктивных параметров манипулятора.

Запишем (20) в нормальной форме:

у = £

£ = -А~гду - А~1еа - Л-1Н£® - А'гРу * £ + А'1 Ац ' Для связи с обозначениями системы (2) следует положить: I = Е, Сх = О, С2 = 0, 1В = 0, йА = -Л_1е, = — Д = -А^Н, =

После вычисления на законе (19) интервалов матриц А'1, е, д, Н, £), переходим к интервальной системе:

Г = £

£ = <Гг>У+0>Л>£ + (0>£р) + {Ов)у * £ + К(И') ' (21)

где обозначено У(и>) = А~1 Ац, IV = г(2е, у).

Далее применялся метод модульных форм и теорема о компенсаторе с использованием формул (11) и (3) в отношении системы (21).

В качестве примера на рисунках 6,7 приведены результаты моделирования задачи в одной из серии вычислительных экспериментов в части переменного £.

Рис. 6. Переменные £ь е2, £3 в собственном движении (рад/с - с)

Рис. 7. Переменные £х, £2> £з в стабилизированном движении (рад/с — с)

Программный комплекс вычисления функции стабилизатора системы (20) методом форм модульных переменных приведен в Приложении Д диссертации.

4. Были проведены эксперименты по исследованию режима стабилизации горизонтального висения малогабаритного автоматического вертолета с комплексом бортовой аппаратуры в условиях испытаний на специальном тензометрическом стенде фирмы ЗАО «Спецкомплектприбор» (г.Москва), позволяющем проводить измерения действующих на планер вертолета сил и моментов. Соединение вертолета со стендом проводилось через карданов подвес на телескопической тяге, так что обеспечивались 4 степени свободы. Ниже на фотографии показан вертолет на стенде.

Рис.8. Малогабаритный вертолет на тензостенде.

Углы и угловые скорости движения по трем осям измерялись с помощью специального многокомпонентного измерителя, не требующего спутниковой коррекции. В главе приведены предложенные автором формулы вычисления без внешних корректоров углов ориентации аппарата по показаниям прибора на основе трех акселерометров ADXL202, трех датчиков угловой скорости ADXRS300 и трех магнитометров НВ0103А, что имеет научную новизну в области комплексирования навигационных данных.

Вычислительная работа по определению коэффициентов в уравнениях (18) основывалась на формулах вычисления интервалов дробно-рациональных функций, которыми в базисе независимых конструктивных параметров в итоге определялись коэффициенты данных уравнений в соответствии с теорией вертолета. Далее методом форм модульных переменных с помощью

разработанного в диссертации программного комплекса была найдена функция стабилизатора, реализованного в бортовом вычислителе вертолета.

Научный результат экспериментальной работы представляла развязка сигналов управления по каналам тангажа-крена при заданной величине общего шага несущего винта. В главе описан разработанный алгоритм развязки на основе интерполяции поверхностными сплайнами 1-го порядка экспериментально полученных 2-Б функций моментов каналов с последующим применением метода медианного деления для определения точки пересечения двух плоских кривых.

В результате экспериментов получены удовлетворительные результаты стабилизации висения вертолета в условиях вихревых нагрузок (при диаметре несущего винта 1.47 м расстояние по вертикали от его плоскости до пола составляло не более 1.8 - 1.9 м, при этом ширина помещения не превосходила двух диаметров винта, что обусловило вихревое поле вокруг испытательного стенда). Амплитуды колебаний углов тангажа и крена получены в диапазоне 2-7 градусов, при этом амплитуды скорости колебаний не превосходили 0.4 рад/с при периоде не менее 0.67 с. Продольная и поперечная силы, действующие на аппарат, не превосходили по величине 1.5 Н.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Решена научная проблема стабилизации состояний квадратичносвязных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров, таких, как беспилотные летательные аппараты, подводные и технологические роботы, что имеет важное хозяйственное значение, способствуя развитию систем управления движением широкого класса объектов.

2 Раскрыты и изучены системные связи в классе мехатронных объектов, описываемые сформированными интервальными уравнениями, квадратичными относительно возмущений квазикоординат и квазискоростей движения, что позволяет учесть дополнительные особенности объектов управления в задачах стабилизации состояний динамических систем.

3 Впервые предложена концепция стабилизации движений динамических нелинейных систем с интервальной неопределенностью параметров, заключающаяся в применении стабилизаторов тактического уровня управления, осуществляющих нелинейные обратные связи, сформированные на основе метода форм модульных переменных состояния и обеспечивающих квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект при минимизации требуемого ресурса управления.

4 Предложен специальный математический аппарат для интервального анализа квадратичных и кубичных форм многих переменных и найдены условия применимости построенных с его помощью интервальных моделей для решений задач стабилизации динамических систем с неизвестными параметрами, изменяющимися в заданных пределах.

5 Разработан и математически обоснован комбинаторный метод модульной однонаправленной двухпараметрической настройки стабилизаторов квадратичносвязных динамических систем, для которых известны лишь центральные коэффициенты уравнений динамики в нормальной форме Коши.

6 Разработан метод решения задачи построения стабилизаторов полнозамкнутых нелинейных динамических систем общего вида, для которых заданы только двусторонние конечно-полиномиальные ограничения на неизвестные производные возмущений переменных собственного движения.

7 Создано методическое и алгоритмическое обеспечение построения квазинепрерывного универсального стабилизатора многосвязных квадратичных систем. Разработанные алгоритмы формируют новую технологию стабилизации сложных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров на основе специальной модуляции сигналов линейно-кубичных обратных связей тактического уровня управления, которые могут быть реализованы с помощью достаточно простых и доступных компонентов (например, контроллеров в формате РС/104) при помощи лингвистических средств универсальных языков программирования высокого уровня. Полученные аналитические, алгоритмические и программные решения позволяют снизить сроки и стоимость проектирования новых технических устройств, получая характеристики их функционирования на математических моделях, а не средствами макетирования и натурного эксперимента.

8 Результаты работы рекомендуется использовать при создании робототехнических и мехатронных систем с безредукторными исполнительными приводами для обеспечения устойчивости и повышения точности их движений, а также при обучении студентов по направлениям подготовки высшего профессионального образования «Информатика и вычислительная техника» и «Мехатроника и робототехника».

Список основных публикаций по теме диссертации

Из рекомендованного перечня ВАК РФ:

1. Стебулянин, М.М. Задачи прикладных исследований систем управления роботов-станков / М.М.Стебулянин // Справочник. Инженерный журнал, 2002. №2.-С. 23 -25.

2. Афонин, В.Л. Линейный алгоритм управления роботом-станком / В.Л.Афонин,

М.М.Стебулянин // Мехатроника, автоматизация, управление, 2002. - №7 - С 18 -21.

3. Евлоев, О.Н. Динамическая модель робота-станка / О.Н.Евлоев, М.М.Стебулянин //Справочник. Инженерный журнал, 2003. - №1. - С. 43 - 48.

4. Стебулянин, М.М. Метод оптимальной фильтрации шумов процедур интегрирования при измерениях сигналов в комплексных навигационных системах / М.М.Стебулянин // Мехатроника, автоматизация, управление, 2006. -№5.-С. 38-41.

5. Стебулянин, М.М. Метод декомпозиции при анализе устойчивости многосвязной мехатронной системы / М.М.Стебулянин // Вестник МГТУ «Станкин», 2008. - №4. - С. 39 - 44.

6. Стебулянин, М.М. Комбинационный метод синтеза закона управления многосвязными мехатронными системами в режиме динамического позиционирования / М.М.Стебулянин // Мехатроника, автоматизация, управление, 2009. -№10. -С. 31 -35.

7. Стебулянин, М.М. Алгоритм асимптотической стабилизации в целом интервальных квадратичных систем с неограниченным управлением / М.М.Стебулянин // Мехатроника, автоматизация, управление, 2010. - №5. - С. 7 -13.

8. Андреев, А.Г. Метод формирования статорных токов при моделировании вентильного электропривода в составе технологического робота / А.Г.Андреев, М.М.Стебулянин // СТИН, 2010. - №7. - С. 11 -18.

9. Стебулянин, М.М. К выводу уравнений возмущенного движения класса мехатронных систем / М.М.Стебулянин // Вестник МГТУ «СТАНКИН», 2011. -№3(15).-С. 131 - 136.

10. Стебулянин, М.М. Метод интервальных форм при непрерывной стабилизации нелинейных систем с неопределенностью / М.М.Стебулянин // Динамика сложных систем, 2011. - Т.5, №3. - С. 51 -58.

11. Стебулянин, М.М. Принцип контурного управления промышленным роботом в режиме технологической неопределенности / М.М.Стебулянин, А.Г.Синицын // Вестник МГТУ «СТАНКИН», 2011. - №3(15). - С. 161 -164.

12. Синицын, А.Г. Контурное управление манипуляционным роботом в режиме априорной неопределенности закона движения / А.Г.Синицын, М.М.Стебулянин // Известия ВУЗов. Машиностроение, 2011. - №8. - С. 44 - 50.

13. Калядин, В.А. Модель мехатронного модуля с двумя степенями подвижности /

B.А.Калядин, М.М.Стебулянин // Известия ВУЗов. Машиностроение, 2011. - №12. - С. 3 - 7.

14. Стебулянин, М.М. Построение непрерывного нуль-стабилизатора для нелинейных систем с полиномиальным ограничением / М.М.Стебулянин // Проблемы машиностроения и автоматизации, 2012. - №1. - С. 127 - 132.

15. Стебулянин, М.М. Стабилизация интервальных мехатронных систем методом форм / М.М.Стебулянин // Динамика сложных систем, 2012. - №2. - С. 116 -122.

16. Стебулянин, М.М. Задание уравнения управления при синтезе алгоритма позиционирования манипуляционного робота в режиме реального времени / М.М.Стебулянин, А.Г.Синицын // Вестник МГТУ «Станкин», 2012. - №2(20). -

С.131 -135 .

17. Макарова, Т.А. Оценка взаимовлияния движения степеней подвижности трехзвенного робота с безредукторными приводами / Т.А.Макарова, М.М.Стебулянин //Вестник МГТУ «Станкин», 2012. - №3. - С. 145 - 150.

18. Калядин, В.А. Динамическая модель двусвязной мехатронной системы с упругостью и люфтами / В.А.Калядин, М.М.Стебулянин // СТИН, 2012. - №11. -

C. 26 - 29.

19. Калядин, В.А. Способ гашения автоколебаний в приводах мехатронных устройств / В.А.Калядин, М.М.Стебулянин // Известия ВУЗов. Машиностроение, 2012.-№11.-С. 35-41.

20. Макарова, Т.А. Робастный алгоритм стабилизации движения трехзвенного робота с безредукторным приводом / Т.А.Макарова, М.М.Стебулянин // Вестник МГТУ «СТАНКИН», 2013. - №2 (25). - С. 77 - 82.

Другие публикации:

21. Stebulyanin, М.М. Décomposition principle of multivariable mechatronic system/

М.М. Stebulyanin // Proceedings of the Workshop "Computer Science and Information Technologies" , 2004. - V.l: Regulär papes. - P. 107 -110.

22. Стебулянин, М.М. Кинематический алгоритм контурного управления манипу-ляционным роботом в режиме реального времени / М.М.Стебулянин, А.Г.Синицын // Новосибирск: X Международная заочная научно-практическая конференция «Технические науки - от теории к практике». Секция 2. Информатика, вычислительная техника и управление, 2012. - С. 36 - 48.

23. Макарова, Т.А. Анализ традиционного управления движением трехзвенного робота с безредукторным приводом/ Т.А.Макарова, М.М.Стебулянин // Краснодар: Международная конференция «Тенденции и инновации современной науки», 2012. - С. 76.

24. Макарова, Т.А. Метод форм при асимптотической стабилизации решений интервальных квадратичных систем / Т.А.Макарова, М.М.Стебулянин // Москва: Материалы VII Международной научно-практической конференции, 2012. - С. 9 -15.

Заказ № iIOбъeм 1п.л. Тираж 100 экз. Отпечатано в ООО «Петроруш». г. Москва, ул. Палиха 2а. тел. 8(499)250-92-06 www.postator.ru

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный технологический университет «Станкин»

На правах рукописи

0520145102$

Стебулянин Михаил Михайлович

Стабилизация состояний квадратичиосвязиых интервальных динамических систем на основе алгебраического метода форм

модульных переменных

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

(технические системы)

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2014

Содержание

Введение................................................................................5

Глава 1. Моделирование квадратичносвязных систем на примерах объектов мехатроники..............................................................13

1.1 Аспекты моделирования мехатронных систем.............................13

1.2 Примеры динамических моделей объектов мехатроники................21

1.2.1 Робот-станок...............................................................21

1.2.2 Автономный подводный аппарат.....................................26

1.2.3 Беспилотный вертолет...................................................29

1.3 Моделирование программного режима движения..........................35

1.3.1 Метод интегрирующей процедуры....................................35

1.3.2 Метод преследования.....................................................37

1.3.3 Настройка коэффициентов обратных связей..........................39

1.4 Модель возмущенного движения...............................................44

1.5 Задача и концепция стабилизации..............................................48

Выводы из главы 1.....................................................................52

Глава 2. Математические основы метода интервальных форм модульных переменных............................................................53

2.1 Некоторые преобразования векторов 2-го порядка.........................54

2.2 Интервальные числа и действия над ними....................................60

2.3 Элементы алгебры интервальных матриц....................................65

2.4 Вычисление квадратичной и кубичной интервальных форм модульных переменных..........................................................75

2.5 Теорема о компенсаторе интервальной кубичной формы...................82

Выводы из главы 2.....................................................................93

Глава 3. Результаты в области условий устойчивости нелинейных нестационарных систем.............................................................94

3.1 Лемма о (и)-граннике полинома..............................................94

3.2 Условие асимптотической устойчивости нелинейной динамической системы с переменными параметрами......................................101

3.3 Теорема об устойчивости в малом динамической комбинированной системы......................................................112

Выводы из главы 3...................................................................127

Глава 4.Построение стабилизатора интервальной квадратичносвязной системы методом модульных форм...........................................128

4.1 Проблемный вопрос метода форм............................................128

4.2 Метод форм модульных переменных при синтезе неявного стабилизатора.....................................................................132

4.3 Критический анализ полученных результатов.............................139

4.4 Оценка времени переходного процесса в системах

с кубичной стабилизацией.....................................................142

4.5 Решение уравнения стабилизатора...........................................147

4.5.1 Случай действительных параметров..................................147

4.5.2 Случай интервальных параметров.....................................151

4.6 Комбинаторный метод настройки стабилизаторов систем по скорости...........................................................................156

Выводы из главы 4...................................................................167

Глава 5. Построение стабилизатора нелинейных систем с полиномиальными ограничениями скорости возмущений............169

5.1 Матрицы эквивалентных преобразований векторов высокого

порядка............................................................................170

5.2 Лемма о покрывающей конечной интервальной формы................173

5.3 Синтез стабилизатора на основе компенсатора произвольной конечной интервальной формы...........................................................175

Выводы из главы 5...................................................................179

Глава 6. Экспериментальное исследование метода модульных форм....................................................................................180

6.1 Пример абстрактной системы.................................................180

6.2 Пример моделирования режима висения робота-вертолета.............188

6.3 Пример моделирования позиционного режима движения трехзвенного манипулятора...................................................202

6.4 Эксперимент на малогабаритном беспилотном вертолете..............215

Выводы из главы 6..................................................................229

Заключение...........................................................................230

Список литературы.................................................................233

Приложения. Комментарии к разработанным программам................244

А Программа compensator..........................................................246

Б Результаты вычислительных экспериментов в задаче §6.2...............252

В Пакет моделирования режима висения вертолета..............................268

Г Результаты вычислительных экспериментов в задаче §6.3..............278

Д Пакет моделирования позиционного перемещения манипулятора.....286

Е Вертолет на тензостенде........................................................300

Ж Схема бортовой аппаратуры....................................................301

И Электронные устройства системы управления JIA........................302

К Поверхности функций моментов крена и тангажа.........................303

Введение

В 1892 г. появилась знаменитая работа замечательного русского математика Александра Михайловича Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», положившая начало развитию математической теории устойчивости. Эта работа намного опередила свое время, и, может быть, вследствие этого при жизни автора не получила должного признания.

Лишь в 30-х годах после возникновения под руководством Н.Г.Четаева Казанской школы механиков стал бурно развиваться метод функций Ляпунова. Будучи выдающимся ученым, Н.Г.Четаев не только организовал исследования и практическое использование теории устойчивости, но и сам внес весомый вклад в ее разработку [1,2]. Позже последователями идей А.М.Ляпунова стали такие известные ученые, как А.И. Лурье, Е.А. Барбашин, H.H. Красовский, Н.П. Еругин, В.А. Плисс, В.А. Якубович, И.Г. Малкин, Б.С. Разумихин, М.А. Айзерман, В.В. Румянцев, В.И. Зубов, A.M. Летов и многие другие.

В послевоенные годы теория устойчивости движения получила мировое признание. Достаточно сослаться на работы Р. Бэсса, P.E. Калмана, Дж. Бертрама, И.П. Ла-Салля, С. Лефшеца, В. Хана, В.-М. Попова, Р. Беллмана, Х.Л. Массеры, Дж. Сансоне, Т. Йосидзавы, Р. Конти, Н.Ф. Минорского и др.

Появились новые направления: устойчивость неустановившихся движений [3], устойчивость при постоянно действующих возмущениях [4], устойчивость на конечном интервале [5], проблема обращения в теории устойчивости [6,7], устойчивость в критических случаях [8], устойчивость по отношению к части переменных [9,10], устойчивость алгебро-дифференциальных систем [11].

По выражению А.М.Летова «современная теория автоматического регулирования, в каком бы виде она ни излагалась, опирается на единственный и

прочный фундамент - учение А.М.Ляпунова об устойчивости движения».

Появление в последние десятилетия новых сложных технических устройств, таких, как беспилотные вертолеты, подводные автоматические аппараты, роботы-станки, интеллектуальные робототехнические комплексы, обоснованно связывается с успехами в развитии систем стабилизации заданных (программных) движений по многим координатам с взаимовлиянием.

Объясняется это следующим. Как известно, критериями при синтезе линейных систем автоматического управления (САУ) выступают определенные предписания параметров переходных процессов (таких, как относительное перерегулирование, время, установившиеся статические и скоростные ошибки) при ступенчатых или линейно нарастающих входных воздействиях, а также динамические ошибки при отработке эквивалентных гармонических сигналов [21].

Адекватное прогнозирование поведения системы в общей ситуации исходя из характеристик в частных случаях приводит при синтезе линейных САУ к допустимости частных критериев качества.

Однако, нельзя утверждать, что нелинейная САУ сохранит качество при отработке произвольного входного воздействия, если она проанализирована при частных входных сигналах. Сама формулировка и обоснование частных критериев синтеза нелинейной многосвязной системы представляет собой соответствующей сложности задачу.

Поэтому, из-за проблематичности выбора частных критериев, при синтезе таких систем распространен общий подход, как комплекс действий по разработке законов стабилизации заданных (программных) движений, поскольку понятно, что требование устойчивости программного движения является первичным.

Методологию построения законов стабилизации дает теория устойчивости.

Можно даже сказать, что стабилизация движения принципиально есть, прежде всего, следствие решенной задачи асимптотической устойчивости этого движения. Справедливо также и то замечание, что, с одной стороны, построение адекватных законов стабилизации является фактом практического внедрения результатов теории устойчивости, а с другой стороны, новые задачи в области стабилизации движения обогащают и развивают саму эту теорию.

В настоящее время уже существуют определенные обобщения и рекомендации в области построения функций Ляпунова; достаточно указать, например, на работы [23-47]. Тем не менее, следует заметить, что успех в этой области во многом остается зависящим от индивидуального мастерства разработчика системы.

Современные системы основаны на взаимопроникающих связях объектов точной механики , электроники и вычислительной техники, что обусловило появление нового термина: мехатронные системы.

Терминологическим и методологическим вопросам построения мехатронных систем посвящены многие работы [12-20]. Однако, полная классификация пока не дана. Отчасти этому способствует весьма широкое проникновение мехатронных систем в различные области техники, например, робототехнику, авиационную и военную технику, медицинское оборудование, офисную технику, автомобилестроение, контрольно-измерительную технику и др.

Значительная доля рынка в мехатронике приходится на долю робототехнических систем, причем эта доля возрастает засчет появления их новых типов, таких, как интеллектуальные роботы-помощники бытового назначения, роботы-станки, боевые экзоскелетоны, роботы-минеры и др. При этом одной из важных характеристик современной сложной системы является ее многосвязность, что выражается в существенном влиянии нескольких или всех переменных состояния системы друг на друга, особенно в случаях

перспективного применения безредукторных силовых приводов, практически исключающих автоколебательные режимы.

Не умаляя важности и сложности различных вопросов при построении мехатронной системы, следует подчеркнуть, что именно вопросы анализа многокоординатного механического движения являются одними из самых сложных в общем комплексе задач при ее проектировании.

Как правило, в уравнениях динамики многосвязных механических объектов присутствуют произведения обобщенных скоростей, а также нелинейные функции координат движения (например, тригонометрические). В силу этого многосвязная мехатронная система является существенно нелинейной. (Конкретный пример - различного типа роботы с вращательными кинематическими парами и безредукторным приводом.) Кроме того, для нее характерны неточности определения параметров, которые вызываются как причинами вычислительного характера, так и нестационарностью. Так, моменты инерции реального звена промышленного робота могут быть определены только методом конечных элементов, а значит, лишь с некоторой степенью точности. Величины присоединенных масс воды подводного аппарата, увлекаемые при его движении, совокупно зависят от многих факторов и переменны, но ограничены в определенных пределах. В вертолетных системах действие автоматов перекоса несущих винтов может привести к взаимовлиянию каналов тангажа и крена планера в некоторых углах и т.д. Как известно, в подобных случаях системы рассматриваются, как интервальные по параметрам.

Основным инструментом достижения целевых состояний системы продолжает оставаться принцип обратной связи по переменным этих состояний. Традиционное построение регуляторов технических систем (например, в рамках принципа подчиненного регулирования контуров [22]) предполагает их синтез в условиях сепаратных приводов со скалярными выходами. Однако, когда развязка дифференциальных уравнений модели системы на совокупность скалярных не

представляется возможной, принцип главной обратной связи по сепаратному типу уже «не работает».

Таким образом, в настоящее время в практике проектирования новой техники расширяется класс нелинейных интервальных многосвязных систем с необходимостью стабилизаторов на основе векторных обратных связей по переменным состояний. В этом классе получение аналитических решений либо их оценка весьма затруднены, что приводит к возрастанию роли математического моделирования таких систем, а следовательно, общих рекомендаций при построении их моделей. При этом вполне понятно, что оценка качества новой системы возможна только при выполнении требования устойчивости ее состояний, а значит, моделировать имеет смысл только те состояния, которые являются стабилизируемыми.

При моделировании следует разумно ограничить обобщенную математическую модель системы свойствами рассматриваемого конкретного класса, оставляя главные системно-функциональные признаки. Модели современных сложных стабилизируемых систем принадлежат в большом числе случаев к классу многосвязных квадратичных (далее - квадратичносвязных) интервальных моделей с неустойчивостью собственного движения. Это означает, что даже в отсутствие внешних возмущений качество системы будет низким. Общий случай стабилизации системы предполагает наличие двух компонент: компенсатора внешних постоянно действующих возмущений и стабилизатора собственного движения, однако, без второй компоненты система не будет соответствовать предъявленным требованиям даже в самых благоприятных условиях.

При этом программный комплекс, обеспечивающий гарантированное построение стабилизатора собственных состояний квадратичносвязной интервальной системы, требует специального математического обеспечения.

Все вышесказанное определяет цель, задачи и практическую значимость данной диссертации.

Целью диссертационной работы является решение научной проблемы стабилизации состояний квадратичносвязных динамических систем с интервальной неопределенностью параметров путем создания математических основ, методов построения и инженерно-ориентированного алгоритмического обеспечения универсальных стабилизаторов на основе разработанного автором алгебраического метода форм модульных переменных, что способствует техническому прогрессу в таких областях, как робототехника, беспилотная авиация, мобильная техника и станкостроение.

В диссертации решаются следующие научные задачи:

- структурный анализ динамических уравнений квадратичных систем в современной практической мехатронной технике;

- формирование концепции стабилизации движений квадратичносвязных динамических интервальных систем, в рамках которой обеспечивается квазинепрерывное воздействие на стабилизируемый объект и минимизация требуемого ресурса управления;

- разработка специального математического обеспечения решений задач стабилизации динамических квадратичных систем с интервальной неопределенностью параметров;

- математическое обоснование применимости интервальных моделей при анализе устойчивости многосвязных динамических систем с переменными коэффициентами;

- разработка инженерно-ориентированного метода и алгоритмов построения универсального стабилизатора для динамических квадратичных интервальных систем, в том числе заданных в квазикоординатах;

- разработка метода настройки регуляторов многосвязной мехатронной системы в режиме малых движений (динамического позиционирования) при неизвестных коэффициентах взаимовлияния степеней подвижности;

- создание метода построения стабилизатора нелинейной полнозамкнутой системы с двусторонним полиномиальным ограничением неизвестных функций собственного движения в возмущениях;

- построение программного комплекса, обеспечивающего моделирование разработанных средств стабилизации исследуемого класса квадратичных систем с визуализацией получаемых результатов.

Практическая значимость работы состоит в том, что аналитические, алгоритмические и программные решения по построению универсального стабилизатора сложных интервальных квадратичных систем позволяют снизить сроки и стоимость проектирования новых технических устройств, получая характеристики их функционирования на математических моделях, а не средствами макетиров