автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Системный анализ устойчивости нелинейных динамических систем

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ТИХОМИРОВ ОЛЕГ ГЕННАДЬЕВИЧ

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05 13 01 — Системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0031Т8021

Санкт-Петербург — 2007

003178021

Работа выполнена на кафедре теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель. заслуженный работник высшей

школы Российской Федерации, доктор физико-математических наук, профессор Жабко Алексей Петрович

Официальные оппоненты доктор фЮИКО-Математических

наук, профессор Александров Александр Юрьевич (Санкт-Петербургский государственный университет)

кандидат технических наук, профессор Шамберов Владимир Николаевич (Санкт-Петербургский государственный морской технический университет)

Ведущая организация: Мордовский государственный

университет имени Н.П Огарева

Защита состоится 2007 г. в _/£. ч. 121?мин на

заседании диссертационного совета Д.212 232 50 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, В О., Университетская наб. 7/9, Менделеевский Центр

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Автореферат разослан « 2 ( » К&^^Л 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ -мат наук,

профессор Курбатова Г.И

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория устойчивости получила свое развитие еще в XVIII веке, когда Леонард Эйлер строго поставил и реши задачу устойчивости состояния равновесия мехагалеский системы - стержня, сжатого сжимающей силой Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в трудах Ляпунова А М Им были предложены два метода для исследовашга устойчивости механических систем

Первый метод позволяет исследовать поведение возмущенных решений, которые строятся в виде рядов и на основе их свойств делается вьюод об устойчивости невозмущеипого решения исходной системы Дальнейшему развитию данного метода посвящено большое количество работ таких ученых как Малкин И Г, Красовский Н Н , Четаев Н Г., Зубов В И Близкое направление по исследованию асимптотического поведения решений и выводов по устойчивости развивается в работах Еругина Н П , Воскресенского Е В

В основе второго метода Ляпунова лежит исследование функций, обладающих специальными свойствами. Этот метод анализирует не только устойчивость решений, но также позволяет ответить на ряд других важных вопросов. Например, дает возможность оценить область асимптотической устойчивости, получить условия, при которых решение остается устойчивым под воздействием различных возмущений и так далее

На данный момент задача устойчивости не потеряла своей актуальности Устойчивость, асимптотическая устойчивость или неустойчивость являются одними из важпейших свойств динамических систем Одним из основных подходов для решения вопроса об устойчивости для нелинейных систем является замена исследуемой системы на некоторую вспомогательную систему, которая является более простой для исследования Для упрощенной системы доказывается устойчивость и показывают, что данное свойство сохраняется при переходе к первоначальной системе

Ляпуновым были получены условия, при которых лилейное приближение решает вопрос об устойчивости нулевого решения Им также были получены условия, когда вопрос об устойчивости не может бьиь решен только исследованием линеиного приближения В этом случае приходится рассматривать члены более высокого порядка Таким образом, возникает задача анализа устойчивости по первому, в

широком смысле, приближению Исследованием данного вопроса занимались такие ученые как Малкин И Г, Красопскии Н Н , Зубов В И. Ими были получен ряд результатов для данных систем, но в большинстве случаев они касались систем стационарных обыкновенных дифференциальных уравнений. Определенные результаты для случая нестационарных однородных систем были получены в работах Александрова А Ю

Таким образом, возникает задача перехода от исследования нестационарного случая к стационарному Одним из самых известных методов, позволяющих это сделать, является метод усреднения Его развитием занимались такие ученые как Боголюбов Н.Н, Митро-псшьский Ю А В их работах были получены теоремы, оценивающие отклонение решения усредненной системы от решения исходной системы. К сожалению, в случае бесконечного интервала времени накладываются сильные ограничения на правые части исходной системы

В настоящее время остается открытым вопрос об анализе устойчивости по первому, в широком смысле, приближению однородных нестационарных динамических систем и по управлению такими системами

Целью диссертационной работы является анализ устойчивости и диссипативности однородных нестационарных дифференциальных уравнений, а также построение функции Ляпунова для данного типа систем На основе которой можно было бы построить оценку области асимптотической устойчивости и исследовать различные типы возмущений, не нарушающих устойчивости исходной системы

Основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований

- анализ устойчивости нестационарных однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений па основе второго метода Ляпунова,

- анализ различных возмущений, воздействие которых не нарушается асимптотическую устойчивость нулевого решения исходной системы,

- построение управления, решающего задачу стабилизации одного класса систем нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых

в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа устойчивости нелинейных систем Анализ устойчивости осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости Одним из основных методов исследования является второй метод Ляпунова

Научная новизна работы состоит в том, что в ней, в отличие от большинства предшествующих исследований, был получен ряд теорем, которые позволяют перейти от исследования однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к стационарным системам Проведен системный анализ систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений и для случая, когда существует среднее, построена функция Ляпунова, которая позволяет получить оценку области асимптотической устойчивости, а также исследовать различные возмущения, при которых система не теряет свойства асимптотической устойчивости нулевого решения Для некоторых классов управляемых систем решена задача стабилизации Все положения, выносимые на защиту, являются новыми

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер Но результаты работы могут быть использованы для исследования устойчивости конкретных динамических систем в критических случаях Также полученные результаты могут быть использованы для дальнейших исследовашш устойчивости однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Реализация и внедрение результатов работы. Результаты, представленные в диссертационной работе, внедрены в учебном процессе факультета ПМ-ПУ при чтении курса «Второй метод Ляпунова для анализа устойчивости обобщенно-однородных систем».

Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (апрель 2003 и 2004

г.), а также докладывались на научной конференции Средневолж-ского математического общества (г Саранск, июль 2007 г). В системе МАТЬАВ был реализован алгоритм оценки области асимптотической устойчивости для однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений Он был представлен на конференции «Проектирование научных и ипжеперных приложений в среде МАТЬАВ». (г Санкт-Петербург, октябрь 2007 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 печатных работах, одна из которых входит в список, рекомендуемый ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, 13 параграфов, заключения и списка литературы Объем работы составляет 99 страниц. Список литературы включает 43 наименования

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена содержательная постановка исследуемой задачи, сделан обзор предшествующих исследований по близкой проблематике, а также описано краткое содержание работы по главам

Первая глава содержит 6 параграфов и посвящена исследованию устойчивости нулевого решения однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для правых частей которых существует среднее

В первом параграфе приводится постановка задачи и формулируются основные предположения

Рассматривается однородная нестационарная система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

x = F'i(í,a:) (1)

Функция х) является однородной по х вектор-функцией порядка однородности /х > 1, определенная при I 6 [0, +оо) и х е Еп Кроме того предполагается, что данная функция является непрерывной по Ь и непрерывно дифференцируемой по х А также выполняется неравенство

||^(4,а:)||<а||хГ

при 4 > 0, х 6 Еп и некоторой положительной постоянной а > О

Кроме указанных выше условий, предполагается, что аналогичные условия выполняются для частных производных по х от х). Т е для любого г = 1, , п существуют постояшше /?г > 0 такие, что

дх.

<ш\

ц-1

В первой главе для исследования устойчивости нулевого решения системы (1) используется метод усреднения Поэтому предполагается, что существует среднее для функции х), а именно,

причем имеет место равномерная сходимость по (4, х) € [0, +оо) х

«И < !}■

В качестве усредненной рассматривается система

х = ЁЦх) (2)

Предполагается, что функция Рч*(х) является непрерывно дифференцируемой и система (2) асимптотически устойчива по Ляпунову. В этом случае существует функция Ляпунова для данной системы, непрерывно дифференцируемая столько же раз как и функция Р^(х). Требуется, чтобы данная функция Ляпунова была, как минимум, дважды непрерывно дифференцируема

Во втором параграфе приводятся необходимые сведения об однородных стационарных системах обыкновенных дифференциальных уравнений Основные результаты, описываемые в этом параграфе были получены Зубовым В И и Александровым А Ю

В третьем параграфе доказывается вспомогательная лемма, на которую опирается доказательство основной теоремы данной главы.

Лемма 1.3.1. Пусть для определенной и кусочно непрерывной по £ € (—оо,+оо), непрерывной и однородной по х £ Еп порядка однородности ц > 1 функции /''({, х) выполнены условия

1) 1/^,2)1 <М||тГ,

для любых t их из области определения, где М - неотрицательная постоянная,

t+T

2) ~ J J>*(T,x)dT 0 при Т —> +оо t

равномерно по (t,x) е (—оо,+оо) х {||х|| < 1} Тогда будет верна оценка

t

£ J р*{т,х)йт

— оо

для любых t и х из области определения. Здесь ip(e) > 0 и <р(е) О при в —► О

В заключении приводится иллюстративный пример В четвертом параграфе доказывается основная теорема данной главы В основе доказательства лежит второй метод Ляпунова Ниже приводиться формулировка теоремы

Теорема 1.4.1. Если пулевое решение усредненной системы (2) является асимптотически устойчивым по Ляпунову, то нулевое решение исходной системы (1) также является асимптотически устойчивым

В ходе доказательства показывается, что функции семейства

V(t,x) = V(x) + J^^ [F»(x) - F»(t,x)] dr,

будут являться функциями Ляпунова для исходной системы при достаточно малых значениях параметра е. Здесь V{x) однородная функция Ляпунова для усредненной системы

Формулируется ряд следствия из доказанной теоремы В пятом параграфе приводиться алгоритм оценки области асимптотической устойчивости дая однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В основе метода лежат оценки, полученные в лемме из третьего параграфа и функция Ляпунова, построенная в четвертом параграфе Приводится иллюстративный пример

В шестом параграфе делается краткий обзор полученных результатов

IMI*

Вторая глава диссертационной работы посвящена исследованию однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, но в отличии от предыдущей главы, для них не предполагается существования среднего по независимой переменной от правых частей системы.

В первом параграфе приводится формальная постановка задачи а также рассматриваются два примера которые показывают, что из асимптотической устойчивости нулевого решения в любой «замороженный» момент времени не следует асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы

Второй параграф посвящен доказательству основной теоремы данной главы Рассматривается система

х1=Е?(Ь,х) »=1, ,п, (3)

где ц>1 порядок однородности данной системы. Предполагается, что вектор-функция х) является равномерно непрерывной по £ и непрерывно дифференцируемой по х А также существуют вектор-функции р'1{х) и такие, что выполнены условия

*)<£?(*), » = 1, ,п

Доказывается следующая теорема.

Теорема 2.2.1.Если система

хг = Р1Чх), г-1, ,п,

асимптотически устойчива по Ляпунову для любой непрерывно дифференцируемой функции Р'1г(х), подчиненной неравенству

1 = 1, ,п,

то система (3) является равномерно диссипативной

В третьем параграфе делается краткий обзор полученных результатов, а также дается направление для дальнейших исследований

Третья глава посвящена исследованию различных возмущений на правые части системы однородных нестационарных дифференциальных уравнений, при которых сохраняется асимптотическая устойчивость нулевого решения Во-второй части главы рассматривается управляемая система нелинейная по х и линейная по и На

основе результатов, полученных ранее, решается задача стабилизации для данных систем

В первом параграфе рассматривается система дифференциальных уравнений следующего вида

® = JF"(i,®) + C?a(i,a;),

(4)

где х) и Са(1,х) - однородные по х вектор-функции порядков /х > 1 и сг > 1 соответственно, определенные при £ € [0, +оо) иже Еп. Наравне с этой системой рассматривает невозмущенная система

x = F»{t,x)

(5)

Делаются некоторые дополнительные предположения относительно функций а;) и 6,,т(£, я) Пусть эти функции являются непрерывными по Ь и непрерывно дифференцируемыми по х. Кроме того, существуют постоянные ах > 0 и а2 > 0 такие, что при любых ¿их из области определения выполняются неравенства

\\Р^,х)\\<а1\\х\\>\

||Сст(г,*)||<а2||*Г

Также предполагается, что аналогичные условия выполняются для частных производных по а; от а;) и для интегралов от функции С(Ь,х) и ее частных производных по х. Те. для любого г =■ 1, ,п существуют постоянные /?г > 0, 7, > 0 и V > 0 такие, что

dFi*{t,x)

I /

дх.

дС(т,х)

< Ш\

ц-1

дхг

dr

<ъ\\х

ICT-1

I

I

GCT(r, x)dr

< НЫГ

Также предполагается, что для функции х) существует среднее

г+т

F»(x)=Thm^ J F»(r,x)dT,

причем имеет место равномерная сходимость по € [0,+оо) х (||ж|| < 1} Усредненной системой для невозмущепной системы (5) будет система уравнений

х = Ё'Чх)

(6)

Далее предположим, что функция является непрерывно диф-

ференцируемой и нулевое решение системы (0) асимптотически устойчиво по Ляпунову В этом случае, существует функция Ляпунова для данной системы, непрерывно дифференцируемая столько же раз как и функция Требуется, чтобы данная функция Ляпунова

была, как минимум, дважды непрерывно дифференцируема

Во втором параграфе при указанных выше предположениях относительно функций доказывается ряд теорем

Теорема 3.2.1 Если порядки однородности возмущенной системы (4) связаны неравенством

2а > ц + 1,

то нулевое решение данной системы является асимптотически устойчивым по Ляпунову

Приводиться ряд следствий и замечаний. Показывается, что за счет усиления ограничений на возмущающую функцию С (Ь х) можно ослабить ограничения на порядки однородности Пусть кроме указанных выше условий выполняются еще и следующие, найдутся числа а > 0 и 6 > 0 и существуют постоянные £г > 0, г)г] > 0 и ( > 0 такие, что для любого ? = 1, , п и ;/ = 1, , п выполняются неравенства

//

<та

I Т

II

д&1{9,х) дхг

II

д2С»{в, х) дх} дхг

¿вдт

сШт

<

а-1

Кроме того предполагается, что для усредненной системы существует трижды непрерьпзно дифференцируемая функция Ляпунова В этих предположениях справедлива следующая теорема

Теорема 3.2.2. Если порядки однородности возмущенной системы (4) связаны неравенством

За > ц + 2,

то нулевое решение данной системы является асимптотически устойчивым по Ляпунову

Формулируется замечание, которое позволяет продолжить ослабление условий на порядки однородности для функций (4, х) и х) за счет введения дополнительных условия на функцию х) Каждая теорема иллюстрируется небольшим примером В третьем параграфе исследуется следующая управляемая система

х = Р"{1,х) + Са{г,х)и, (7)

где х) - однородная вектор-функция размерности п и порядка однородности ц > 1, а х) матрица размерности (п х то) состоящая из однородных функций порядка а > 1

Как и в предыдущих параграфах предполагается, что функции х) и С(1, х) ограничены и непрерывны по 4 и непрерывно дифференцируемы по х. Далее, на основе результатов полученных в предыдущих параграфах, формулируется ряд условий на порядки однородности /х и сг при которых можно добиться асимптотической устойчивости нулевого решения системы (7) с помощью управления с обратной связью имеющего следующий вид

и = Сх (8)

А также в случае, когда управлением в виде (8) нельзя добиться асимптотической устойчивости нулевого решения, рассматривается управление в виде

и = к5(х), (9)

где 1г&(х) является однородной функцией порядка <5 > 0 Предполагается, что существует среднее для функции С" (Ь, х)

Ь+Т

гЬт ^ / СГ(т,х)<1т = &{х),

4

причем имеет место равномерная сходимость по (4, х) е [0, +оо) х №\ < 1}

На основе указанных выше предположений формулируется и доказывается ряд теорем.

Теорема 3.3,1. Если порядки однородности х) и Са(1,х) связаны неравенством

<г < /л — 1,

то управление в виде линейной обратной связи

и = Сх

является стабилизирующим при условии, что нулевое решение системы

х = б"(х)Сх,

асимптотически устойчиво по Ляпунову

Теорема 3.3.3. Если порядки однородности функций и

С(Ь,х) связаны неравенством

а <2^-2,

и существует постоянные а > 0 и Ъ > 0 такие, что для любого f и г выполняется неравенство

J Р'1(т,х)г1т о

< Ь\\х\Г\ (11)

то управление в виде линейной обратной связи

и = Сх,

является стабилизирующем при условии, что нулевое решение системы

х = б"{х)Сх,

асимптотически устойчиво по Ляпунову

По аналогии с предыдущим параграфом ослабляются условия на порядки однородности за счет введения дополнительных ограничений на функцию

< а||а;||

(10)

./ охг

Каждая теорема иллюстрируется небольшим примером, для которого строиться стабилизирующее управление В случае когда невозможно построить управление в виде линейной обратной связи делается ряд замечаний о построения управления в виде (9)

В последнем параграфе данной главы делается небольшой обзор полученных результатов и описывается ряд нерешенных вопросов, которые планируется исследовать в дальнейшем

В заключении перечисляются основные результаты выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработан системный подход к анализу асимптотической устойчивости систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений, правые части которых имеют среднее по времени Сформулирована и доказана теорема об асимптотической устойчивости нулевого решения для данного типа систем, которая позволяет свести задачу к исследованию стационарных; систем. Получена функция Ляпунова, на основе которой построен алгоритм оценки области асимптотической устойчивости

2 Исследован случай, когда правые части системы не имеют среднего Показано, что асимптотической устойчивости системы однородных нестационарных дифференциальных уравнений в любой «замороженный» момент времени недостаточно для асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы В то же время, если несколько усилить условия на правые части системы, можно показать равномерную диссипативность для данного типа систем Сформулирована и доказана соответствующая теорема

3 Даны описания классов возмущений на правые части системы, которые не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы Предложен алгоритм построения функции Ляпунова для возмущенной системы.

4 Получены условия стабилизации для класса нелинейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений На

основе результатов, полученных в предыдущих главах, сформулированы и доказаны несколько теорем, которые дают основные принципы построения управления с линейной обратной связью, которое решает задачу стабилизации для данных системы. Для случая, когда задача стабилизации не может быть решена в виде управления с линейной обратной связью, предложен алгоритм построения управления в виде нелинейной обратной связи

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендуемых ВАК

Тихомиров О Г Устойчивость однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. // СПб Вестник СПбГУ Сер 10, вып. 3. 2007. С 123 - 130.

Публикации в других изданиях

1. Тихомиров О.Г. Оценка области асимптотической устойчивости эргодических однородных систем // «Процессы управления и устойчивость», СПб: Изд-во СПбГУ, Вып. 34. 2003, С 250 - 252.

2. Тихомиров О.Г. Метод замороженного времени для анализа устойчивости однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // «Процессы управления и устойчивость», СПб Изд-во. СПбГУ, Выл 35. 2004, С 281 - 284

3 Тихомиров ОГО равномерной диссипативности систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений // «Вопросы механики и процессов управления СПб.: Изд-во. СПбГУ, N24. 2006 С 156 - 166

4. Тихомиров О.Г. Оценка области асимптотической устойчивости для систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений. // Труды Ш всеросийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ» - Электрон дан. - СПб Изд-во. СПбГУ, 2007 - 1 электрон опт диск. С 731 - 736

Подписано в печать 19 11 07 Формат 60x84 71б Печать офсетная. Уел 1,0 п л Тир 100 экз Зак № 388 Лицензия серия ЛП№ 000332 от 15 12 1999 г

Отпечатано с оригинал-макета в ООО «Издательство «ОМ-Пресс» 190031, Санкт-Петербург, наб р Фонтанки, 117 Тел 768-83-10 (58-310), факс 768-87-96(58-796)

Введение

Глава I. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОРОДНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Постановка задачи и основные предположения.

§2. Свойства однородных функций и решений систем однородных дифференциальных уравнений.

§3. Вспомогательные результаты.

§4. Асимптотическая устойчивость систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений, правые части которых имеют среднее.

§5. Оценка области асимптотической устойчивости.

§6. Обзор основных результатов

Глава II. АНАЛИЗ ДИССИПАТИВНОСТИ ОДНОРОДНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

§1. Постановка задачи и основные предположения.

§2. Теорема о равномерной диссипативности систем однородных дифференциальных уравнений.

§3. Обзор основных результатов

Глава III. СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Постановка задачи и основные предположения.

2. Влияние возмущений на устойчивость систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений

§3. Стабилизация одного класса нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений.

§4. Обзор основных результатов.

Теория устойчивости получила свое развитие еще в XVIII веке, когда Леонард Эйлер строго поставил и решил задачу устойчивости состояния равновесия механический системы - стержня, сжатого сжимающей силой. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в трудах Ляпунова A.M.[27]. Им были предложены два метода для исследования устойчивости механических систем. Первый метод тем или иным образом исследовал возмущенные решения, которые в основном искались в виде рядов и па основе их свойств делался вывод об устойчивости нулевого решения исходной системы. Этот метод применим только к ограниченному классу случаев. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах Малкина И.Г.[29], Че-таева Н.Г.[40], Барбашина Е.А.[5], Зубова В.И.[19], Козлова В.В.[25]. Близкое направление по исследованию асимптотического поведения решений и выводов по устойчивости развивается в работах Еругина Н.П.[16], Воскресенского Е.В.[13],[12].

В отличии от первого метода, второй метод Ляпунова является более общим. В его основе лежит исследование функций, обладающих специальными свойствами. Одним из основных преимуществ данного метода является то, что он не ограничивается только вопросами устойчивости, но также позволяет ответить на ряд других важных вопросов. Например, оценка области асимптотической устойчивости, получение условий, при которых нулевое решение остается устойчивым под воздействием различных возмущений и так далее. Развитию данного метода посвящено большое количество работ [26], [6], [19], [21], [34].

Одним из основных подходов для решения вопроса об устойчивости для нелинейных систем является замена исследуемой системы на некоторую вспомогательную систему, которая является более простой для исследования. Для упрощенной системы доказывается устойчивость и показывают, что данное свойство сохраняется при переходе к первоначальной системе.

Еще Ляпуновым были получены условия, при которых линейное приближение решает вопрос об устойчивости нулевого решения. Им также были получены условия, когда вопрос об устойчивости не может быть решен только исследованием линейных членов. В результате приходится рассматривать члены более высокого порядка. Эта задача получила дальнейшее развитие в следующих работах [29], [42].

В некоторых случаях приходится исследовать системы, разложение которых в ряд не содержит линейных членов. В результате этого задача сводится к исследованию систем с однородными правыми частями. Исследованием таких систем занимались Красовский Н.Н., Малкин И.Г., Зубов В.И. Было показано [29], [24], что возмущения более высокого порядка однородности не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Также были получены оценки на решения системы в том случае, когда нулевое решение является асимптотически устойчивым. Зубовым В.И. было показано, что асимптотическая устойчивость для данного класса систем возможно только тогда, когда порядок однородности является рациональным числом с нечетным числителем и знаменателем. Также им было показано, что при условии асимптотической устойчивости нулевого решения системы существует однородная функция Ляпунова, при этом данная функция является столько же раз непрерывно дифференцируемой, как и правые части системы.

В случае, когда правые части являются нестационарными, анализ устойчивости значительно усложняется. В своей работе Ляпунов предложил подход, который позволяет решить эту проблему, когда правые части являются периодическими функциями, но для более общего случая задача не была решена. Одним из подходов, которые позволяют перейти от исследования нестационарной системы к исследованию стационарной, является метод усреднения. Развитием данного метода занимались такие ученые, как Ван-дер-Поль Б.[10], Боголюбов Н.Н.[7],[8], Митропольский Ю.А.[31]. Было строго математически обосновано применение данного метода, а также получена оценка отклонения решения исходной системы от решения усредненной системы на конечном и бесконечном интервале. Полученные результаты были сформулированы для достаточно широкого класса систем и в следствие этого предполагались сильные ограничения на правые части уравнений. В случае однородных правых частей удается значительно ослабить данные ограничения.

Александров А.Ю.[1], [2], [3] в своих работах исследовал взаимосвязь между устойчивостью нулевого решения усредненной системы и исходной нестационарной системы. Им рассматривались системы вида где fs(x) и hj(x) - однородные функции порядка ц > 1 и а > 1 соответственно. Делалось предположение, что нулевое решение невозмущенпой системы асимптотически устойчиво по Ляпунову и на основе этого делался вывод об асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Основным методом исследования являлся метод оценок [19]. Нами будет получен похожий результат в первой главе, но в основу исследования будет положен второй метод Ляпунова. Будет несколько усилено условие на правые части системы, за счет этого можно будет гарантировать равномерную устойчивость нулевого решения исходной системы. Для этого случая будет построено однопараметрическое семейство функций и доказано, что при достаточк s = 1,., п $ — 1, ., 71, но малом значении параметра, функции данного семейства будут являться функциями Ляпунова. На основе стандартных методов будет предложен механизм для оценки области асимптотической устойчивости для систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений, для которых существует среднее. В работах Александрова А.Ю. были также исследованы различные случаи возмущающей функции bsj(t). Для случая, когда интеграл от этой функции ограничен, были получены условия на порядки однородности fi и а, при которых нулевое решение возмущенной системы остается устойчивым. Похожие условия, только в более общем случае, будут получены нами в третьей главе.

Основной целью второй главы является исследование нестационарных однородных систем, для правых частей которых не существует среднее. Приводятся примеры, которые показывают, что из устойчивости системы при любом «замороженном» моменте времени не следует устойчивость исходной системы. Получены условия, при которых система однородных нестационарных дифференциальных уравнений является равномерно диссипа-тивной. Сформулирована и доказана соответствующая теорема.

В третей главе рассматриваются различные типы возмущений, которые не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. В качестве возмущающих функций будут рассматриваться различные однородные нестационарные функции. В первую очередь интерес представляют функции, порядок однородности которых меньше чем порядок однородности правых частей исходной системы. Во второй части главы исследуется управляемая система нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений. На основе результатов, полученных в первой и третей главе, формулируется несколько теорем о стабилизации данных систем.

Диссертация основа на результатах автора, опубликованных в статьях [35], [36], [37], [38], [39]. Все теоремы, замечания, следствия и примеры снабжены номером. Результаты других ученых даются без номера и со ссылкой на первоисточник. При ссылках на формулы из другого параграфа будет использоваться два числа. Первое указывает номер параграфа, второе номер формулы в нем. Если формула находится в другой главе, то будет использоваться ссылка, состоящая из трех чисел.

Заключение

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Разработан системный подход к анализу асимптотической устойчивости систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений, правые части которых имеют среднее по времени. Сформулирована и доказана теорема об асимптотической устойчивости нулевого решения для данного типа систем, которая позволяет свести задачу к исследованию стационарных систем. Получена функция Ляпунова, на основе которой построен алгоритм оценки области асимптотической устойчивости.

2. Исследован случай, когда правые части системы не имеют среднего. Показано, что асимптотической устойчивости системы однородных нестационарных дифференциальных уравнений в любой «замороженный» момент времени недостаточно для асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. В то же время, если несколько усилить условия на правые части системы, можно показать равномерную диссипативность для данного типа систем. Сформулирована и доказана соответствующая теорема.

3. Получены классы возмущений на правые части системы, которые не нарушают асимптотической устойчивости нулевого решения исходной системы. Предложен алгоритм построения функции Ляпунова для возмущенной системы.

4. Получены условия стабилизации для класса нелинейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. На основе результатов, полученных в предыдущих главах, сформулировано и доказано несколько теорем, которые дают основные принципы построения управления с линейной обратной связью, которое решает задачу стабилизации для данных системы. Для случая, когда задача стабилизации не может быть решена в виде управления с линейной обратной связью, предложен алгоритм построения управления в виде нелинейной обратной связи.

1. Александров А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений систем нестационарных дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Докл. РАН, 1996. Т. 349. N 3. С. 295-296.

2. Александров А.Ю. Об асимптотической устойчивости решений нелинейных неавтономных систем // Известия РАН, Теория и системы управления. 1999. N 2. С. 5-9.

3. Александров А.Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем СПб.: Изд-во. Санкт-Петербургского ун-та, 2004. 183 с.

4. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48. N 5. С. 707-713.

5. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 215 с.

7. Боголюбов Н.Н., Крылов Н.М. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. Киев: Изд-во АН-УССР, 1934. 108 с.

8. Боголюбов Н.Н., Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику. -Киев: Изд-во АН-УССР, 1937. 365 с.

9. Бор Г. Почти периодические функции. М.:УРСС, 2005, 127 с.

10. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связьиздат, 1935.

11. Вейссенберг А.Н. Критерий знакоопределенности форм высшего порядка // Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38. N3 С. 571-574.

12. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. Саранск: СВМО, 2001. 300 с.

13. Воскресенский Е.В., Артемьева Е.Н., Белоглазое В.А., Мурюмин С.М. Качественные и асимптотические методы интегрирования дифференциальных уравнений. Саранск: Изд-во Саратовского университета. Саранский филиал, 1988. 188 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

15. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.:Наука, 1967. 472 с.

16. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1979. 744 с.

17. Зорич В.А. Математический анализ. М.: МЦНМО, 1998. Т. 2. 787 с.

18. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 632 с.

19. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая Школа, 1973. 272 с.

20. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

21. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

22. Зубов В.И. Процессы управления и устойчивость. СПб.: НИИ Химии СПбГУ. 1999. С. 29-34.

23. Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. -М.: Изд. Иностранной литературы. 1961. 221 с.

24. Красовский Н.Н. Об устойчивости по первому приближению // Прикл. математика и механика. Т. 19. N 5. 1955. С. 516-530.

25. Козлов В.В., Фурта С Д. Первый метод Ляпунова для сильно нелинейных систем // Прикладная математика и механика. Т. 60, N 1, 1996. С. 10-22.

26. Ла-Саллъ Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 166 с.

27. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 386 с.

28. Малкин И.Г. Теорема об устойчивости по первому приближению // Докл. АН СССР. Т. 76. N 6. 1951. С. 783-784.

29. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

30. Мартынюк А.А., Като Д., Шестаков Л.А. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев : Наукова думка, 1990. 256 с.

31. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. -Киев: Наукова думка, 1971. 440 с.

32. Новиков М.А. О знакоопределенности форм двух переменных // Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск: Наука, 1986. С. 169-179.

33. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964. 368 с.

34. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 304 с.

35. Тихомиров О.Г. Оценка области асимптотической устойчивости эрго-дических однородных систем // Процессы управления и устойчивость, СПб.: Изд-во СПбГУ, Вып. 34. 2003, С. 250 252.

36. Тихомиров О.Г. Метод замороженного времени для анализа устойчивости однородных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Процессы управления и устойчивость, СПб.: Изд-во. СПбГУ, Вып. 35. 2004, С. 281 284.

37. Тихомиров О. Г. О равномерной диссипативности систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений // Вопросы механики и процессов управления, СПб.: Изд-во. СПбГУ, N 24. 2006. С. 156 166.

38. Тихомиров О.Г. Устойчивость однородных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // СПб.: Вестник СПбГУ. Сер. 10, вып. 3. 2007. С. 123 130.

39. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 208 с.

40. Coleman С. Growth and decay estimates near non-elementary points // Canad. J. Math. 1970. V. 22. N 6. P. 1156-1167.

41. Salvadori L. On the stability of equilibrium in critical case // Meccanica. 1967. V. 2. N 2. P. 82-94.

42. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method.- Tokyo:The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.