автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез робастных алгоритмов угловой стабилизации метеорологической ракеты



На правах рукописи

Аро Хабиб Олалекан

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ АЛГОРИТМОВ УГЛОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ

Специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (в технике и технологиях)»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 2 гтн 2011

Санкт-Петербург

2011

4853471

Работа выполнена на кафедре компьютерного проектирования аэрокосмических измерительно-вычислительных комплексов в Санкт-Петербургском государственном университете аэрокосмического приборостроения на английском языке

Научный руководитель: кандидат технических наук

Бродский Сергей Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Тимофеев Адиль Васильевич

кандидат технических наук, доцент Емельянов Валентин Юрьевич

Ведущая организация: Самарский государственный аэрокосмический

университет имени академика С.П. Королёва

Защита диссертации состоится по разрешению ВАК РФ № 08.05/818-7 от

09.06.2011на английском языке " "_ года в ....ч ... мин на

заседании диссертационного совета Д 212.233.02 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения" по адресу: 190000, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Морская, д. 67

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГУАП

Автореферат разослан " "..........2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Р _ ^ .

доктор технических наук, профессор /Г Л )£/». / Л.А.Осипов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Успешно разработанная система управления должна обеспечивать устойчивость и приемлемое качество функционирования, несмотря на существенную априорную неопределенность в динамике системы и во внешних воздействиях. Именно эта способность проектируемой системы управления понимается под робастностью в настоящем исследовании. Разработка таких систем с использованием методов математического моделирования значительно сокращает стоимость и время проектирования, а также повышает эффективность проектирования. Имеется возможность не только рассматривать множество допустимых математических моделей объектов управления, но и гарантировать качество системы путем использования робастных алгоритмов управления, соответствующих выбранному критерию.

В классической системе управлении с одним входом и одним выходом (SISO), робастность достигается путем обеспечения должной добротности и запаса устойчивости по фазе. В теории управления многомерными системами с несколькими входами и несколькими выходами (MIMO) преобладают методы синтеза управления, основанные на квадратичном критерии эффективности и гауссовых возмущениях. Методы оказались успешными во многих приложениях в аэрокосмической технике, где могут быть получены точные математические модели, и где описания внешних возмущений на основе белого шума считаются вполне приемлемыми.

Однако, применение таких методов, которые называют линейно-квадратичными гауссовыми (LQG), к задачам, где точные математические модели неизвестны с априорной неопределенностью, показало низкую степень надежности LQG контроллеров. Это привело к существенному росту научных исследований в разработке методов синтеза робастных контроллеров в контуре управления.

Последние достижения в области компьютерных технологий, особенно в области специализированных программных пакетов, внесли огромный вклад в развитие методов исследования систем управления. Это косвенно расширило область применения теории управления, упростив анализ и моделирование сложных систем управления. Наличие пакетов прикладных программ (MATLAB, MathCAD, ANSYS, FLUENT, и т.д.) облегчает задачу практической реализации теоретических решений.

Несмотря на появление новых и развитие известных методов синтеза робастных законов управления в условиях априорной неопределенности, при неполной информации о параметрах и характеристиках объекта проблема устойчивости в системах управления еще полностью не решена и продолжает быть актуальной. Важные результаты по теории управления в условиях априорной неопределенности связаны с работами Дюллерада Г.Е., ДойлаДж.С., ГловераК., Паганини Ф.Г., Сиоуриса Г.М., ПетковаР.Н.,

Константинова М.М., Санчес-Пена Р., СнайераМ., Небылова A.B., Позняка A.C., Поляка Б.Т., Первозванского A.A., Фрадкова A.JI., Цыпкина Я.З., Якубовича C.B. и др.

Метеорологическая ракета относится к классу упругих конструкций, которая подвержена случайным внешним возмущениям, шумам измерений и упругим деформациям. Практика проектирования летательных аппаратов показывает, что упругость конструкции метеорологических ракет делает задачу проектирования системы управления сложнее. Влияние внешних возмущений и шума измерений, а также различия между математическими моделями, используемыми для проектирования и моделью идеальной системы, делает построение системы управления сложной задачей для проектировщика. Несоответствия между математической моделью, используемой для проектирования, и моделью фактической системы иногда называют динамическими возмущениями. Задача разработки новых и эффективного применения существующих методик синтеза робастного управления для угловой стабилизации нелинейного, нестационарного упругого динамического объекта в условиях априорной неопределенности имеет большое значение.

Цель диссертационной работы заключается в разработке и применении методов синтеза систем робастного управления для решения задачи угловой стабилизации движения нестационарным, нелинейным упругим объектом в условиях априорной неопределенности на примере метеорологической ракеты.

Основные задачи

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ существующих методов робастного синтеза систем управления.

2. Разработка и исследование полной математической модели пространственного движения упругой метеорологической ракеты.

3. Построение модели продольных изгибных колебаний ракеты с использованием экспериментальных данных, соответствующих доминирующим гармоникам.

4. Линеаризация полной нелинейной модели объекта в различных точках программной траектории, определение модели продольного движения.

5. Представление модели объекта в M/D форме, содержащей независимое описание номинальной модели объекта и нормированных неопределенностей. Такое представление модели удобно при использовании методов проектирования робастных систем управления.

6. Анализ эффективности применения методологии робастного управления на основе Ноо-методов в сочетании с подходами на основе ц-синтеза и анализа.

7. Выбор и коррекция вес чых матричных передаточных функций и передаточной функции идеальной замкнутой системы в постановке задачи синтеза робастного регулятора с использованием LQG методов.

8. Обоснование выбора передаточной функции идеальной замкнутой системы с учетом неопределенности в параметрах модели упругости, форм и частот собственных колебаний.

9. Синтез редуцированных контроллеров с последующей интерполяцией параметров для произвольной точки траектории, несовпадающей с точками линеаризации.

Методы исследований. В ходе выполнения диссертационного исследования использовались методы системного анализа, теории оптимального и робастного управления, теории идентификации динамических систем, теории оптимизации и математического программирования.

Научная новизна выполненных исследований заключается в следующем:

1. Разработана модель аэроупругой метеорологической ракеты, пригодная для синтеза системы управления с учетом различных неопределенностей в модели объекта.

2. Разработана методика синтеза робастного управления движением нестационарным упругим объектом с учетом неопределенности собственных форм и частот.

3. Разработана процедура выбора весовых передаточных функций и передаточной функции идеальной модели объекта, обеспечивающих сходимость алгоритмов робастного синтеза.

4. Разработаны процедуры идентификации распределенных параметров модели упругого объекта, соответствующих первым экспериментальным доминирующим гармоникам.

Практическая значимость. Выполненные в диссертационной работе исследования могут служить основой для построения общей методики синтеза робастной системой управления подвижными упругими аэрокосмическими объектами с учетом различной априорной неопределенности в модели объекта и внешних воздействиях.

Полученные в диссертационной работе результаты позволяют:

1. Осуществить эффективную обработку экспериментальных данных для определения параметров модели упругости, используя предложенные методы идентификации распределенных параметров.

2. Снизить трудоемкость исследований и уменьшить вычислительную сложность процедур моделирования и синтеза применением разработанных методов редукции модели аэроавтоупругости.

3. Обеспечить реализуемость методов синтеза робастного управления, используя при выборе весовых параметров результаты ЬСЮ -синтеза.

4. Обеспечить плавное изменение параметров системы управления нестационарным упругим объектом, применяя предложенную методику интерполяции параметров редуцированных контроллеров заданного порядка.

5. Повысить качество и надежность системы управления путем оптимального размещения дополнительных датчиков для определения упругих составляющих движения объекта.

Практическая ценность состоит также в программной реализации предложенных методов синтеза робастного управления с использованием пакета моделирования МАТЪАВ/ЗТМиЬГМК.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Обобщенная математическая модель динамики аэроупругой метеорологической ракеты, предназначенная для задачи робастного синтеза системы управления и содержащая модели неопределенностей основных параметров.

2. Синтез робастной системы управления угловым движением упругой метеорологической ракеты в условиях априорной неопределенности основных параметров модели, а также собственных форм и частот изгибных колебаний.

3. Анализ результатов синтеза робастной системы управления.

Внедрение результатов. Математическая модель и предложенные методики синтеза робастной системы управления были использованы в научных исследованиях, проводимых в Международном институте передовых аэрокосмических технологий (МИПАКТ) ГУАП. Методические разработки были использованы в учебном процессе на кафедре №11 ГУАП при магистерской подготовке технических специалистов Национального центра космических исследований и разработок (КАБЫ)А) Нигерии. Научные результаты исследований были использованы в программе по созданию метеорологических ракет в Нигерийском космическом агентстве, о чем свидетельствует акт внедрения.

Апробация работы Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на 16-й и 17-й Санкт-Петербургских международных конференциях по интегрированным навигационным системам (Санкт-Петербург, 2009, 2010 гг.), на ежегодных научных сессиях Государственного университета аэрокосмического приборостроения (Санкт-Петербург, 2009 , 2010, 2011гг.), на 2-й Международной конференции по интеллектуальным системам управления и обработке сигналов П\АС, 1С01Ч'09 (Стамбул, 2009 г.), на Международном семинаре по аэрокосмической технике, наведению, навигации и системам управления АвОТСБ'ОР (Самара 2009г.), на 5-й Международной конференции по последним достижениям в области космических технологий 11АБТ'2011, (Стамбул, 2011г.) на Международной конференции "Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках" БРЕХР 2011 (Самара 2011г.) и других конференциях.

Публикации. Основные положения и результаты диссертационных исследований опубликованы в 12 печатных работах, из которых 2 работы опубликованы и одна принта к публикации в рецензируемых научных журналах из перечня ВАК, 9 работ опубликованы в сборниках научных конференций.

Структура п объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (82 наименований) и 17 приложений. Общий объем диссертационной работы - 163 страниц машинописного текста. Работа содержит 60 рисунков, 7 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ПО ГЛАВАМ

Во введении обоснована актуальность и практическая значимость проводимых исследований, определены цель работы, основные задачи исследований. Рассматриваются особенности выбранной математической модели аэроупругого подвижного объекта с учетом влияния неопределенностей в параметрах и структуре модели объекта и различных типов возмущений. Дается краткое описание использованных методов синтеза робастной системы управления, описываются преимущества выбранных методов и их актуальность. Сформулированы научные и практические результаты, выносимые на защиту

В первой главе, являющейся вводной, представлен обзор современных методов описания моделей упругих летательного объекта с учетом влияния аэроупругости на систему управления. Рассматриваются методы моделирования различных видов неопределенностей в системах управления, дается их сравнительная классификация. Дается краткий обзор традиционных и современных робастных методов управления с обратной связью, позволяющих уменьшить влияние этих неопределенностей, рассматриваются преимущества и недостатки каждого метода.

Во второй главе создается полная математическая модель упругой метеорологической ракеты, которая функционально разделена на связанные между собой подсистемы. Каждая из подсистем имеет входные и выходные параметры, зависимость между которыми определяется посредством систем дифференциальных уравнений, функциональных и временных зависимостей в аналитической или табличной формах. Каждая подсистема также представлена в виде структурной схемы.

В качестве среды моделирования выбран программный пакет Matlab содержащий средство построения и моделирования динамических систем Simulink. Использование имеющихся в нем стандартных блоков, различных функций и утилит, таких как Aerospace Blockset и Robust Control Toolbox, позволило сократить время построения модели и сосредоточить все внимание на ее особенностях.

За основу взята стандартная модель пространственного движения твердого тела с переменной массой Custom Variable Mass 6-Degree-of-Freedom (CVM 6DOF). Поступательное и вращательное движение объекта в связанной системе координат описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. В векторной форме эти уравнения имеют вид:

где V - вектор скорости центра масс, О - вектор угловой скорости, Г и М вектора сил и моментов, действующих на тело, т и I - масса и тензор инерции

dt т

(1)

(2)

твердого тела. Действующие на тело силы F и моменты М формируются с учетом аэродинамики, реактивной тяги двигателя и гравитации. Уравнения упругих изгибных колебаний, возникающих под воздействием распределенных сил и моментов, в дискретной форме описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений в векторной форме:

Ф'МФ Ф'НФ £+ £22Ф'МФ ^ = (3)

где в качестве переменных состояния выступают моды <?; собственных упругих колебаний. Поперечные смещения q, выбранных узловых точек упругой линии связаны с модами линейным преобразованием:

q = (4)

где матрица состоит из векторов столбцов собственных форм изгибных колебаний, матрица Ф'МФ-диагональная матрица обобщенных масс{М( Ы Л}, П- диагональная матрица собственных частот ...„}, М - диагональная

матрица локальных масс { ,=/...„ }.

Обобщенные силы соответствуют распределенной поперечной

нагрузке f с учетом распределенных аэродинамических сил, а также сосредоточенных сил и моментов в точках приложения х, управляющих воздействий. Обобщенная матрица демпфирования может быть принята диагональной матрицей:

Ф'ЕФ = ^2£М|«ц), (5)

где будут соответствовать коэффициентам демпфирования отдельных мод. Распределенные аэродинамические нагрузки зависят от локальных углов атаки и параметров угловой и линейной скорости твердого тела. Текущие параметры вращательного и поступательного движения твердого тела входят в уравнения (1) и (2), действующих на тело сил и моментов, и влияют на аэродинамические и прочие параметры нестационарной модели объекта. Структурная схема эффекта аэроупругости представлена на рисунке 1 и 2.

Изменение распределения массы объекта, связанное с расходом топлива, определяет изменение координаты положения центра масс, что приводит к изменению точки приложения моментов аэродинамических сил и тяги двигателя, относительно центра масс.

Зависимости параметров модели от параметров движения и времени предсказуемы и могут быть представлены в функциональной и табличной форме. Неопределенность в величине параметров, полученных в результате натурного или вычислительного эксперимента, может учитываться в виде диапазона отклонения этого параметра от номинального значения.

Основные аэродинамические коэффициенты метеорологической ракеты были получены с использованием метода конечных элементов. Эксперимент проводился с использованием программы Fluent для различных чисел Маха.

r>b

Distributed Aerodynamic

Рисунок 1- Блок-схема модели аэроупругости

X

Xcg

V.

dH/dt -i

в'

Vair

atan2

ан/гх

atan2

dczi/da —

v,?

Pt —

E

My

-> Fz

Ькю

Fz(x)

Рисунок 2 - Блок-схема модели локальных аэродинамических сил

Варьировались углы атаки а, скольжения /? и крена у при различных угловых скоростяхр, ¡7, г и углах отклонения воздушных рулей 8Х, Зу, 8?. Они оказались отличными от экспериментальных данных, полученных в ходе испытаний, проведенных в Нигерийском Космическом агентстве. На основании этого предполагается, что зависимости аэродинамических коэффициентов, показанные на рисунках 3 и 4, содержат мультипликативную неопределенность в пределах 10% (0,9 -1,1 от номинального значения).

Аналогично, путем сравнения результата натурного и вычислительного эксперимента с помощью программы АИБУЗ определены неопределенности для коэффициентов, связанных с упругостью. Мультипликативная неопределенность значений собственных частот и форм изшбных колебаний в определенных точках также условно принята равной 10%, как показано на рисунке 1.

<5у-

5.. С

» lu!

А 10% J JD-► С*;

№№

10%

fins

А10%

772

Sx

А ю%

А ю%

|~ô~}-»- niyfms |Г|» m/ms

Рисунок 3 - Структура неопределенностей в аэродинамических коэффициентах

аэродинамических рулей

В третьей главе описывается и анализируется влияние эффекта аэроупругости на систему управления движением метеорологической ракеты. Подробно рассматривается взаимодействие модели динамики твердого тела и модели упругих изгибпых колебаний посредством распределенных аэродинамических сил. В качестве первого приближения используется положение стрип-теории о том, что локальные силы пропорциональны локальным углам атаки.

Локальный угол атаки в точке с координатой х1 на продольной оси упругого летательного аппарата с учетом изгибных упругих колебаний имеет вид:

где, — — локальный угол наклона упругой линии в текущии момент времени,

¿¡1 - локальная скорость изменения поперечной деформации, У1 - локальная воздушная скорость, в- угловая скорость, а - угол атаки твердого тела.

тР

► V Д 10%

Д 10%

Mach

Д ю%

Д ю%

Щп

ïB

S

>i— -1

J X — Д 10% [-W L

Reference Span

Д 10%

Reference Length

x — Д 10%

Reference Span

<J>

embody

Cybody

Czbodv

.д-body

Jilybody

-> mzbody

Рисунок 4 - Структура неопределенностей в основных аэродинамических

коэффициентах

Распределенная поперечная аэродинамическая сила ¥г (рс) вдоль продольной оси летательного аппарата пропорционально величине скоростного напора р Уг2/2 и распределенному аэродинамическому коэффициенту подъемной силы сг1:

Fzi = p-fczial

(7)

Эффект проявления упругих колебаний в контуре обратной связи системы управления связан с упругими поступательными и вращательными перемещениями измерительной системы, аэродинамических рулевых поверхностей и сопла двигателя. Математические модели сенсоров

(акселерометров и датчиков угловой скорости) с учетом изгибных колебаний корпуса летательного аппарата представлены на рисунке 5.

В систему сенсоров входят модели измерительных устройств, установленных на корпусе ракеты, таких как гироскопы и акселерометры. Они представлены в виде передаточных функций. Если упругая составляющая входных сигналов сенсоров игнорируется или не учитывается должным образом, то существует много примеров, когда в контуре возникает самовозбуждение. Возрастающие колебания могут приводить к разрушению конструкции. Таким образом, эффект возникновения упругих колебаний в контуре обратной связи (structural feedback) должен быть рассмотрен надлежащим образом.

Проблемы динамического взаимодействия системы управления и упругой конструкции зависят от расположения датчиков, распределенных параметров упругости, собственных форм и частот, а также характеристик демпфирования. Для их решения предпринимаются различные подходы, например:

1. Используются полосовые фильтры для подавления резонансных частот.

2. Выбираются благоприятные места установки датчиков.

3. Увеличивается число датчиков.

Измерительная система занимает ключевое место в разработке систем управления и угловой стабилизации упругих летательных аппаратов. Выбор и размещение используемых датчиков влияют на точность регулирования. Неопределенность собственных форм упругой составляющей измеряемых параметров движения в продольной плоскости учитывается в модели сенсоров как показано на рисунке 5.

Z

У

WACC n z

W v Gyro Rate V

и Gyro Rate

Рисунок 5 - Модель измерений с учетом упругости

Управление метеорологической ракетой осуществляется синхронными поворотами четырех аэродинамических рулей, которые составляют ее оперение. Модель сервопривода рулей представлена в виде передаточной функции на рисунке 6. Возникающие отклонения аэродинамических рулей приводят к возникновению ^родинамических сил и моментов, которые должны обеспечивать выполнение заданного закона управления.

Отклонение и поворот упругой линии в точке вращения рулей, а также в точке приложения вектора реактивной тяги твердотопливного ракетного двигателя приводит к возникновению дополнительных аэродинамических нагрузок на корпус ракеты, что в свою очередь приводит к ее деформации.

Влияние изгибной деформации в продольной плоскости на действие рулей и тяги с учетом неопределенности собственных форм показано на рисунке 6.

Установленные значения неопределенностей, которые соответствуют результатам сравнения отдельных натурных и вычислительных экспериментов могут быть изменены на этапе проектирования системы управления, например, с целью компенсировать эффект проявления упругости в контуре обратной связи. В этом случае номинальное значение собственных форм изгибных колебаний и диапазон изменения определяются задачами синтеза.

Рисунок 6 - Влияния упругости на сервопривод аэродинамических рулей

и на тягу двигателя

В четвертой главе рассматриваются вопросы синтеза робастной системы управления метеорологической ракетой. Описывается процедура линеаризации модели объекта в заданных точках номинальной траектории. Осуществляется выделение из полной модели пространственного движения только модели вращательного движения в плоскости тангажа с учетом изгибных колебаний. Осуществляется представление линейной модели в форме, содержащей номинальную модель системы и унифицированную модель всех неопределенностей. Решаются вопросы применения методов Нт и ц-синтеза.

Полное описание разомкнутой системы, включающей в себя модель продольного движения ракеты с учетом упругости, модели сервопривода и модели сенсоров задается в виде верхнего дробно-линейного преобразования (ЬРТ).

Параметры номинальной модели в вычисляются для серии точек программной траектории. Вектор состояния номинальной модели содержит переменные, входящие в уравнения динамики твердого тела, переменные состояния сервопривода и переменные состояния модели упругости (моды упругих колебаний). Для особых условий, например при нулевых скоростях или угле атаки, некоторые переменные вектора состояния и некоторые параметры неопределенностей не проявляются и могут быть исключены из модели.

Модель аэродинамики для продольного движения твердого тела содержит следующие пять неопределенных коэффициентов:

13

с( = [сх, С2а, с\\ ШуУ, 7ПуУ|, 1=1...5,

где сх - коэффициент силы аэродинамического сопротивления, с™ — коэффициент зависимости аэродинамической подъемной силы от угла атаки,

с^ - коэффициент зависимости аэродинамической подъемной силы от угла поворота руля по оси у, 7п"у — коэффициент зависимости момента аэродинамического демпфирования от угловой скорости по тангажу соу и гПуУ -коэффициент зависимости аэродинамического управляющего момента от угла поворота руля по оси у.

Для моделирования упругости рассматриваются только первые три моды изгибных колебаний. Дополнительно используются следующие семь коэффициентов неопределенности:

сг = {сео11 сь>2> сй)3' са> сд> СР' сг}> /=6...12, где сы\, сш2, сыз - коэффициенты неопределенности изменения собственных частот первых трех мод, са, сд,сР и ст - коэффициенты неопределенности в определении собственных форм изгибных колебаний в местах расположения акселерометров, гироскопов, оси вращения рулей и точки приложения тяги Все эти коэффициенты могут быть представлены в следующей форме:

с = с(1 + рс£с), (8)

где рс - относительная неопределенность, с — номинальное значение неопределенного коэффициента с и 6С - нормированная величина коэффициента неопределенности. Все относительные неопределенности рс были приняты равными 10% для нормированных неопределенностей:

~1<8С< 1. (9)

Коэффициент неопределенности также может быть представлен в виде верхнего дробно-линейного преобразования (ЬРТ)

с = ^(МсА), (10)

где Мс = [£ !]. (11)

ь 5с

р

мс <—

Рисунок 7 - Структура неопределенности в форме верхнего ЦТ

Коэффициенты неопределенности могут быть выделены из модели в отдельный блок неопределенностей Д, который состоит из нормированных параметров неопределенности с нулевым номинальным значением и диапазоном изменения от -1 до 1.

А = сНад(8С!-). (12)

Модель системы в форме верхнего дробно-линейного преобразования Ь"и (С, Д) представлена на рисунке 8.

Рисунок 8 - Структура модели системы в форме верхнего ЬБТ

Входное воздействие и соответствует управляющему сигналу, подаваемому на сервопривод, выходной сигнал в' - измеряемой угловой скорости по тангажу, выходной сигнал пг - измеряемому вертикальному ускорению в связанной системе координат. Проектируемая система управления должна обеспечить угловую стабилизацию по тангажу и отработку заданного закона управления по нормальному ускорению при наличии случайных внешних возмущений и шумов измерений. Блок-схема замкнутой системы на рисунке 9 включает обратную связь с контроллером К, а также блоки, отражающих неопределенность модели и весовые функции, связанные с выполнением требований к характеристикам замкнутой системы.

Рисунок 9 - Структурная схема замкнутой системы для Нт и ц -синтеза

Входными сигналами являются определяющий требуемую величину поперечного ускорения сигнал г и шумы измерений //а и ц% для ускорения п1 и угловой скорости в, соответственно. Выходными сигналами являются сигнал еи, характеризующий затраты на управление с весовой передаточной функцией \¥и и сигнал ер с весовой функцией \Ур, характеризующий отличие динамики

замкнутой системы от динамики идеальной системы с передаточной функцией М. Передаточные функции W„ and Wg соответствуют динамике акселерометров и гироскопов, измеряющих нормальное ускорение пу, и угловую скорость в. Коэффициент Ка - статический коэффициент усиления акселерометра. Для имитации шумов измерений используются формирующие фильтры с передаточными функциями Wa„ and Wgn , на которые подаются произвольные шумы fja и fjg. fja удовлетворяющие условиям: \\fja ||2 < 1, \\Vg\\2 ^ 1- Весовая функция Wp выбрана для усиления сигнала рассогласования ер в полосе низких частот.

Первоначально для нахождения передаточной функции контроллера К используется процедура субоптимального Нт-синтеза.

Стандартная конфигурация системы для Нт -синтеза показана на рисунке 10, где w обозначает внешние входные сигналы, z - выходные сигналы, которые должны быть минимизированы, у - вектор доступных контролеру К измерений и u-вектор управляющих сигналов.

(14)

а) б) с)

Рисунок 10 - Стандартная конфигурация системы для Н^ синтеза (а) и для ц-синтеза (б) и (с) Обобщенная модель системы P(s) компонуется из исходной системы, при Д = 0 (рисунок 9), принимая во внимание что:

z = col(ev,eu), w = col(r,fja,fig), у= co/(yl,y2). (13)

Обобщенная модель системы может быть представлена в виде:

_ Г^пО) РМ l.P2i(.s) Рг zOOJ'

z = [РЦ + P12KU ~ РггКТ^Рп] w =: F,(P. K)w, (15)

где F;(P, К) - нижнее LFT для передаточных функщш Р и К.

Цель -синтеза состоит > нахождении стабилизирующего регулятора K(s) сводящего к минимуму энергию выхода системы на всем диапазоне частот. Это эквивалентно минимизации Нт -нормы передаточной функции от входа w к выходу z. Субоптимальньш Нт синтез заключается в нахождении стабилизирующего контроллера К, такого, что -норма передаточной функции замкнутой системы была бы меньше заданного положительного числа:

ns)=[;

l|F,(P./OII»<y, 06)

где

Y>Yo ~ min К stabilizing Н^(Р, К)\\т. (17)

Оптимальное решение находится в ходе итераций уменьшением задаваемого числа у.

Результаты синтеза Н^-контроллера приведены в пятой главе. Эксперименты показали, что -контроллер гарантирует робастную стабильность, но не обеспечивает требуемых динамических характеристик по управлению. Для получения лучшего результата рассматривается применение, ц-синтеза в сочетании с -синтезом.

Устойчивость системы при фиксированном регуляторе и различных видах неопределенностей можно исследовать с помощью ц-анализа. Для систем имеющих М/Д- конфигурацию при всех возмущениях ]| Д (i-) ] [ < у заданной структуры робастная устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда

suPc>o KM(jo>)) < Vу, (18)

где fi(M) - структурное сингулярное число для системы М = Fi (Р, К).

Решение задачи выбора оптимального контроллера, который обеспечивает выполнение условия (18), находится методом ц-синтеза. Учитывать требования к динамическим характеристикам замкнутой системы в рамках ц -синтеза позволяет добавление блока фиктивной неопределенности Ар к блоку параметрических неопределенностей модели (рисунок Ю.с).

Таким образом, задача сводится к выбору регулятора К, обеспечивающего выполнение условия (18), а задача о максимальной робастности (т.е. о нахождении максимального у, для которого можно обеспечить робастную устойчивость) к минимизации М{Р, K)(j(ß) по К:

infK^sup^jiHlM^P.K^Qü))] (19)

Не существует прямого метода решения этой оптимизационной задачи. На практике часто используется метод решения, называемый D-K итерациями. Хотя процедура D-K итераций не гарантирует сходимости, но в большинстве случаев сходится к минимальной величине ц.

Процедуры Нса и ц-синтеза реализованы для расширенной модели метеорологической ракеты, с учетом всех описанных неопределенностей и требований к динамическим характеристикам системы с использованием стандартных функций пакета Robust Toolbox Matlab.

В пятой главе представлен анализ результатов проектирования замкнутой системы с использованием методов Ит оптимизации в сочетании с ц-сшггезом. Первоначально контроллер проектируется для модели жесткой ракеты используя Нт субоптимальный метод и ц-синтез.

Проектирование и моделирование контроллера с помощью субоптимального Нш метода в сочетании с ц-синтезом осуществляется для сороковой секунды полета. Результаты, полученные при проектировании контроллера для модели твердой ракеты без учета эффекта аэросервоупругости

с использованием Нт субоптимального подхода сравниваются с результатами дизайна контроллера с использованием метода ц-синтеза.

Результаты показали, что ц-синтез обеспечивает лучшие робастные динамические характеристики замкнутой системы чем -субоптимальный регулятор (рисунок 11), хотя оба контроллера гарантируют робастную устойчивость (рисунок 12). Поэтому в дальнейшем для модели метеорологической ракеты с учетом аэроупругости для первых трех мод изгибных колебаний синтез контроллера осуществляется с использованием метода ^.-синтеза.

Результаты сравнения ц-контроллера, спроектированного для динамики твердого тела (ЕМ) и ц-контроллера, спроектированного с учетом модели упругости (БМ) показаны на рисунках 13,14,15.

ROBUST PERFORMANCE

R08UST PERFORMANCE

¿5

Frequency (rad/s)

а) 6)

Рисунок 11 - Частотные характеристики цЦш) с учетом неопределенностей Д и Ар замкнутой системы с Нт -контроллером а) и ц-контроллером б), характеризующие робастное качество исполнения

ROBUST STA8IUTY

R06USTSTABUTY

V

\

Frequency (rad/*)

а)

Frequency (fad/»)

б)

Рисунок 12 - Частотные характеристики ц{]ш) с учетом неопределенности Д замкнутой системы с Нт -контроллером а) и ц-контроллером б), характеризующие робастную устойчивость

Из рисунка 11 видно, что робастные рабочие характеристики замкнутой системы не гарантируется Нт -контроллером. Максимальное значение частотной характеристики для структурного сингулярного числа (SSV) больше, чем 1, тогда как ц-контроллер гарантирует высокую производительность (для тех же неопределенностей, SSV меньше 1). По этой причине ц-контроллер используется в контуре системы управления метеорологических ракет.

На рисунке 13 сравниваются результаты моделирования переходной характеристики замкнутой системы с контроллером для модели без учета аэросервоупругости и с контроллером для упругой модели с учетом трех первых мод изгибных колебаний. Из рисунка 13 видно, что перерегулирование не превышает 25% при времени установления в пределах 3 секунд для обоих контроллеров при одинаковом опорном сигнале.

Response In

N \

/ \ *__

/

/

\

а

а) б)

Рисунок 13 - Реакция на ступенчатые управляющие воздействия по ускорению пу для системы с ц-контроллером для ИМ а) и РМ б) На рисунке 14 показана динамика отклонения аэродинамического руля 52. Максимальный угол примерно 18 градусов для модели твердого тела и около 8 градусов по упругой модели.

Closed-loop conlral and Fins detection

Closed-loop contrd and Fins deflection

-Control 6о

-Fin. S

/ 1

N J

¥ N

\

\

а) 6)

Рисунок 14 - Реакция на ступенчатые управляющие воздействия по отклонению аэродинамического руля 52 для ЯМ а) и БМ б)

Амплитудная характеристика замкнутой системы на рисунке 15 показывает, что в области низких частот амплитуда близка к 1, что характеризует точность отслеживания опорного сигнала. Полоса пропускания замкнутой системы составляет около 3 рад/сек. В результаты моделирования подтверждают допустимость неопределенностей параметров модели.

ОозесНоор тадг*ак1е р1о!

К

ч

к-

Ск«е<Ноор тэдпНиЛэ ркЛ

Г

10 10 10 10 Япзчиепсу (гай/з)

Рисунок 15 - Диаграмма Боде для замкнутого контура для ИМ а) и БМ б) Особое внимание уделяется сравнению переходных характеристик замкнутой системы с ц-контроллером при ступенчатом управляющем воздействии амплитудой которая соответствует изменению нормального ускорение п2, а также переходным характеристикам по отклонению аэродинамического руля 52 и частотным характеристикам замкнутой системы.

'0' Т«Це«оту «1 АегоЫай^йу

о Тга^йоо 3?2

1_оа<1 оГ лтойей

[. вЬоог Тга^сЬ>гу ]

$1>о** Ьоое ЗО

Моае! ^е<ЛЮп Т1те ¡40

Сгеа1е О реп Ьаор

Н «лГетЙу Реждп

а о

Соп{го8вг огйсг гсаисЬоп—

ЛлЫо1 ГЬв -оск« йаКиЬхаЬоп 5у«вт • -

С

Ргедиопсу геаро^&ад

Тст>е гсзропьаз

- ЭиМу^еп Рагатйегз

Ассе1егот廈г 1гап«Гег (ипсйоп \Л/а

Ассд*сгогас!ег дЬертд ?иг£Цоп УУап : дуто 1гапз?ег ^пгйюг УУд

дуге по«5е аЬарстд -Гипсит УУдд ТИе всгиа?зг &тс$ол* \ЛМ

- 1с1еЫ Мойе! апс! УУе^дИКпд <ипсйапБ-

«св(Мо<2е11гвп*<ег ^псйоп Лт

- Ипсепвгяез Бипилюп -

Ргедислсу гевропвев

Твтк гезроп»е$

_ Рс-?огтапс< уу^дПЦпд 1ипс1оп УУр Ссп?го1 ламп \veighting Гипдсп уУи

Рисунок 16 - Фрагмент пользовательского интерфейса программного пакета созданного для моделирования динамики и синтеза системы управления

Эти и другие графики были получены с использованием специально разработанного автором программного обеспечения на базе МаЙаЬ (рисунок 16). Блок-схема общего процесса моделирования представлена на рисунке 17.

Рисунок 17 - Блок-схема процесса моделирования

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. При моделировании неопределенностей редукция модели объекта позволяет избежать ошибок в линейной аппроксимации при применении линейных робастных методов синтеза системы управления для нелинейных объектов.

2. Полученная модель неопределенностей для упругой метеорологической ракеты содержит реальные параметрические неопределенности в высоко структурированной форме. Такие модели пригодны к применению методов синтеза робастной системы управления.

3. Нт -контроллеры и ц-контроллеры гарантируют робастную устойчивость соответствующей замкнутой системы, но Н^-синтез не гарантирует робастное качество исполнения для заданного диапазона неопределенностей, что делает

необходимым его совместное использование с ц-синтезом для достижения лучших результатов.

4. Моделирование замкнутой нелинейной системы подтверждает эффективность ц-контроллера в подавлении возмущений и упругих колебаний при обеспечении требуемой реакции на опорные сигналы. Моделирование также подтверждает справедливость выбора модели неопределенностей.

5. Использование ц-контроллера эффективно для различных траекторий и в широком диапазоне числа Маха. Синтез системы управления необходимо проводить на множестве точек траектории для различных условий полета.

6. Допустима редукция контроллера до определенного порядка. Использование серии редуцированных контролеров одинакового порядка упрощает задачу аппроксимации параметров контроллера в промежуточных точках.

7. Настройка частотных и временных характеристик отклика замкнутой системы с ц-контроллером может быть достигнуто путем изменения весовых функций и параметров идеальной модели.

По материалам диссертации опубликованы работы:

1. АроХ.О. Применение методологии робастного синтеза к системе угловой стабилизации метеорологической ракеты. Известия вузов — Приборостроение, Санкт-Петербург, №11, 2011 (рецензируемый научный журнал из Перечня ВАК, принято к публикации).

2. Аро Х.О. Метод робастного синтеза аэрокосмического аппарата. Гироскопия и навигация, №3 (66), 2009, с.86 (рецензируемый научный журнал из Перечня ВАК).

3. Аро Х.О. Разработка низкостоимостной интегрированной навигационной системы для метеорологической ракеты. Гироскопия и навигация, №3 (70), 2010, с.97 (рецензируемый научный журнал из Перечня ВАК).

4. Aro И.О., Adetoro L.M. Review of Nigerian Space Programs. Proceedings of the annual Scientific Conference of SUAI. Saint Petersburg, Russia. 2009.

5. Aro И.О., Adetoro L.M. Nigeria Space Programs. International Scientific Russian-American Journal, Actual Problems of Aviation and Aerospace Systems. Kazan, Daytona Beach, vol. 2(29). 2009.

6. Aro И.О. Robust Control Approach of Aerospace Vehicle. Proceedings of the 16th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint Petersburg, Russia. 2009.

7. Aro И.О. Investigating the Robust methods used in Controlling Non-stationary, Nonlinear Flexible Object. Proceedings of the IFAC Workshop on Aerospace, Guidance, Navigation and Control Systems. Samara, Russia. 2009.

8. Aro И.О., Brodsky .S. A., Adetoro L.M. Intelligent Approach to Experimental Estimation of Flexible Aerospace Vehicle Parameters. Proceedings of 2nd IFAC International conference on Intelligent Control Systems and Signal Processing, ICON, Istanbul. 2009.

9. Aro H.O. Algorithms for Robust Control of Flexible Flying Vehicle. Proceedings of the annual Scientific Conference of SUAI. Saint Petersburg, Russia. 2011.

10. Aro H.O. Development of a Low-Cost Strap-down Integrated INS/GPS for Sounding Rocket. Proceedings of the 17й1 Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems. Saint Petersburg, Russia. 2010.

11.Apo X.O. Влияние нежесткости корпуса на систему управления метеорологической ракетой. Научная сессия ГУАП: Сб. докл.: В 3 ч. 4.1. Технические науки/ СПб.: ГУАП, 2011. (принято к публикации).

12. Aro H.O. Application of Robust Control Methodology for Sounding Rocket Attitude Stabilization. Proceedings of the 5th International Conference on Recent Advances in Space Technologies, Istanbul, 2011.

Формат 60x84 1\16 .Бумага офсетная. Печать офсетна— Тираж 100 экз. Заказ № 373.

Редакционно-издательский центр ГУАП 190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

На правах рукописи

04.2.01 1 6462 2 "'

Аро Хабиб Олалекан

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ АЛГОРИТМОВ УГЛОВОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ

Специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (в технике и технологиях)»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель кандидат технических наук С.А. Бродский

Санкт-Петербург 2011

MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE RUSSIAN FEDERATION State educational institution of higher professional education «SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY OF AEROSPACE INSTRUMENTATION»

On the right of manuscript

Aro Habeeb Olalekan

SYNTHESIS OF ROBUST ALGORITHMS FOR ATTITUDE STABILIZATION OF SOUNDING ROCKET

Specialty 05.13.01 «System Analysis, Control and Information Processing (In Engineering and Technology)»

Dissertation submitted in pursuance of the degree of Candidate of Technical Science

Scientific Supervisor Candidate of Technical Sciences Brodsky S.A.

Saint Petersburg 2011

TABLE OF CONTENTS

ACRONYMS 4

INTRODUCTION 6

v.

1 Literature review 17

1.1 Models of a structural dynamic system 17

1.2 Model of a rigid rocket in the pitch plane 18

1.3 Second order structural models 23

1.4 Models with sensors and actuators 27

1.5 Aeroelasticity 29

1.6 The effect of aeroservoelasticity 31

1.7 Model reduction for design of guidance and stabilization system 34

1.8 Common control methods 35

1.9 Uncertainties modelling 46

2 Mathematical model of the sounding rocket 50

2.1 Coordinate systems 50

2.2 Three-dimensional orientation 52

2.3 Modelling using the aerospace blockset 54

3 Effects of flexibility 74

3.1 Aeroelasticity subsystem 75

3.2 Elastic sensors subsystem 86

3.3 Elastic fin subsystem 90

3.4 Elastic thrust 91

4 Robust controller design 94

4.1 Introduction 94

4.2 Linear fractional transformation 95

4.3 Uncertainty block 96

4.4 Performance requirements 98

4.5 H-infinity design 103

4.6 jx-synthesis 109

2^

5 Results of simulation 115

CONCLUSIONS 126

REFERENCES 127

APPENDIX A- - Fly and aerodynamics parameters 135

APPENDIX B - ■ Coefficients of the rocket model 137

APPENDIX C - - Creates the uncertainty rocket model 138

APPENDIX D ■ - Sets the parameters for continuous time system simulation 142

APPENDIX E- ■ Sets the sensors transfer functions 144

APPENDIX F - Sets the performance weighting functions 145

APPENDIX G ■ - Creates the continuous time OL system interconnection 146

APPENDIX H ■ - Creates continuous time model of the uncertain OL system 147

APPENDIX I - Sets the DK-iterations parameters in the mu-synthesis 150

APPENDIX J- Creates the simulation model of the closed loop system 151

APPENDIX K ■ - Design of H-infinity controller 152

APPENDIX L- • Design of mu-controller 153

APPENDIX M - Analysis of RS, nominal and RP 154

APPENDIX N - Frequency responses of the closed loop system 156

APPENDIX 0 - Transient responses of the closed loop system 160

APPENDIX P- Controller order reduction 162

APPENDIX Q ■ - Transient responses of the perturbed continuous time CLS 163

ACRONYMS

3D - Three Dimensional 6D0F- Six Degree of Freedom CAD - Computer Aided Design CL - Closed Loop CLS - Closed Loop System

COESA - Committee on Extension to the Standard Atmosphere

CS - Control System

CVM - Custom Variable Mass

DCM - Direct Cosine Matrix

DOF - Degree Of Freedom

EFMS - Estimated Forces and Moments Subsystem

EOM - Equation of Motion

FEM - Finite Element Method

FM - Flexible Model

GPS - Global Positioning Satellite

IC — Initial Condition

ICAO - International Civil Aviation Organization

IF AC - International Federation of Automatic Control

IMU - Inertial Measuring Unit

INS - Inertial Navigation System

LFT - Linear Fractional Transformation

LQE - Linear Quadratic Estimator

LQG - Linear Quadratic Gaussian

LQR - Linear Quadratic Regulator

MEMS - Micro-Electro-Mechanical Systems

MIMO - Multi Input Multi Output

NASRDA - National Space Research and Development Agency

4

OBC - Onboard Computer ODE - Ordinary Differential Equation OL - Open Loop Q - Quaternion

RCT - Robust Control Toolbox RH-Right Hand

RIDE - Robust Inverse Dynamic Estimation

RM-Rigid Model

RP - Robust Performance

RS - Robust Stability

SI - System International

SISO - Single Input Single Output

SUAI - Saint Petersburg University of Aerospace Instrumentation

SS - State Space

SSV -Structured Singular Value

TF - Transfer Function

UAV - Unmanned Air Vehicle

UGV - Unmanned Ground Vehicle

VMMA - Variable Mass Missile Airframe

A successful designed control system should always be able to- maintain stability and performance level in spite of a priori uncertainty in system dynamics and or in the working environment to a certain degree. Robustness is the ability, of a designed control system to maintain<it performance and stability characteristics under the effect of all types of influences [1]. The design of such systems using the methods of mathematical simulation substantially reduces the-cost and time of design-as well as increases the effectiveness of such designs [24]. This makes it possible not to only set the mathematical models of the robust control» systems, but also to get' the performance using the quality control algorithms in accordance with the stated goal.

A sounding rocket sometimes called a research rocket is an instrument-carrying rocket designed to take measurement and perform scientific experiments during its sub-orbital flight. Sounding rockets are advantageous for some research due to their low cost, ability to conduct research in areas inaccessible to either balloons or-satellites. They are also used as test beds for equipment that will be used in more expensive and- risky orbital spaceflight missions. The smaller size of a sounding rocket also makes launching from temporary sites possible allowing for field studies at remote locations, even in the middle of the ocean, if fired from a ship.

In Nigeria, the National Space Research and. Development Agency started the sounding rocket program to take readings or carry instruments from 10 to 80 kilometres above the surface of the earth, this altitude is generally between weather balloons and satellites, the region above the maximum5 altitude for balloons is about 40 km and the minimum-for satellites is approximately 120 kilometres[8,9]. The budget for a sounding rocket is very cheap compare to 'conventional rockets. The advent of low cost, MEMS accelerometers and gyroscopes offers the opportunity for applying integrated navigation system for a wide variety of new applications [63]. This includes navigation and guidance of low cost, small unmanned air vehicles (UAVs) or autonomous ground vehicles (UGYs), sounding rockets etc [3].

The major tendency in sounding rocket development in Nigeria is to reduce as low as possible the cost of production and increase the payload capacity. For this reason, application of a low cost, integrated navigation system which consists of micro-electromechanical systems (MEMS) should be considered the most appropriate. The low cost integrated Inertial Navigation System with Global Positioning System INS/GPS would consist of MEMS IMU, MEMS accelerometers, gyroscopes, compass and GPS [14,76].

The sounding rocket belongs to the class of flexible structure which is vulnerable to external disturbances, measurement noise and elastic deformation. The practice of design and construction of flying vehicles indicates that the flexibility construction of a sounding rocket makes the construction of a control system more difficult [24].

The circle of solvable scientific problems connected with the dynamics and control system of flying vehicles is reflected in Figure 1 below: To maintain stability and performance level in spite of dynamics perturbations, flexibility and uncertainties in the working environment, a sounding rocket needs to be equipped with a robust control system.

Robust control methodology has evolved with powerful techniques to optimise performance, without sacrificing stability in the presence of uncertainties. Robustness is of crucial importance in modern control system design because real engineering systems are vulnerable to external disturbance and measurement noise and there are always differences between mathematical models used for design and the actual system [2].

Figure 1 - Position of information measuring complex and control systems of a flexible flying vehicle as a general concept of aeroservoflexibility

where, OBC is the On-Board Computer.

The effect of external disturbances and measurement noise as well as the differences between mathematical models used for design and the actual system is termed a priori uncertainty. The differences between mathematical models used for the design and the actual system are called dynamic perturbations (A). Dynamic perturbations are due to some factors namely:

The initial conditions (IC) of a system may not be accurately specified or completely unknown,

A mathematical model of any real system is always just an approximation of the true, physical reality of the system dynamics. Typical sources of the discrepancy include unmodelled (usually high-frequency) dynamics, neglected nonlinearities in

the modelling, effects of deliberate reduced-order .models, and system-parameter variations due to environmental changes and torn-and-worn factors. Mathematical model can be presented in the next form Gp (s) = G0 (5) + A(5), where, Gp (s) denotes actual system dynamics, G0(s) denotes nominal model description of the system andA(s) denotes the dynamic perturbation of the system:

In classical single-input single-output control (SISO), robustness is achieved by ensuring good gain and phase margins. Due to the increasing complexity of physical systems under control and rising demands on system" properties, most industrial control systems are no longer single-input and single-output (SISO) but multi-input and multi-output (MIMO)' systems with' a high interrelationship (coupling) between these channels. The number of (state) variables in. a system could be very large as well. These systems are called multivariable systems [34].

When multivariable design techniques were first developed in the 1960s, the emphasis was placed on achieving good performance, and not on.robustness. These multivariable techniques were based on linear quadratic performance criteria and

v

Gaussian-disturbances, and" proved to be successful in many aerospace applications where accurate mathematical models can be obtained, and descriptions for external disturbances/noise based on white noise are considered appropriate. However, application of such methods commonly referred to as the linear quadratic Gaussian (LQG) methods, to other industrial problems made apparent the poor robustness properties exhibited? by LQG controllers. This led to a substantial* research effort to develop a theory that could explicitly address the robustness issue in feedback design.

The appearance of new and the development of the known methods of creating the robust laws of control under the conditions of a priori uncertainty, i.e., with incomplete information about the parameters or the characteristics of the object, all this testifies to the fact that the problem of robustness in control systems is not yet fully solved and is going on all the time.

The development in computer technology, especially in the area of software packages, really contributed immensely to the development of control systems. This

9

indirectly widened the field of application of control theory. This development in the Integrated Technology sector simplifies the way analysis and simulations of complex control systems are carriediout. The presence of the powerful packets of applications programs (MATLAB, MATI ICAD, ANSYS, FLUENT, etc) facilitates the task of the practical realization of the theoretical solutions.

This research focuses on incorporating knowledge-of the mismatch f between the physical system and its mathematical models into' the control design process. GontroL design models of flexible structures are developed to fit into'the structured singular value (fi) framework, used in the analysis and synthesis of control*laws. The design model is based on a nominal or base plant model, uncertainty descriptions, and flexibility models. It1 defines a family or set of uncertain plant models in-which the "real" structure is assumed to reside, ¿¿-synthesis methods are applied to the* model sets to generate control laws for the flexible structure. Since the "real!' structure is assumed to lie inside the model set, measures of robustness and1 performance characteristics of the control laws can be evaluated and predicted when implemented on the "real" flexible structure.

In< the design of the robust controller for the object of-research, it is noted that the main causes of discrepancies in the dynamics of rocket is caused by the bending moments and aerodynamic coefficients. The aerodynamic coefficients are determined experimentally as a function on the Mach number and may vary significantly during the duration of flight the rocket. For this reason, the variation, of uncertainties coefficients is assumed to be 10% from: the nominal. This percentage is actually much larger than the real one but it makes possible for the-controller design to work satisfactorily under the changes of the rocket mass and velocity during the flight duration.

In the design of the robust controller, two stages of design approaches are considered, namely:

The rocket is assumed to be rigid and the uncertainties are mainly from the aerodynamic coefficients. This is a simplified approach and it makes it possible to quickly design a robust methodology for the rigid body;

The nexti stage takes consideration of the aeroflexibility and aeroservoflexibility of the rocket during flight as a result of the bending moments due to trajectory requirement. The uncertainty coefficients as a result of the flexibility of the structure are taken into consideration in the design of the robust controller. The robust stability and performance characteristics are analysed using' the p. synthesis approach.

The robust controller is designed using the Robust Control Toolbox inside the Matlab/Simulink software package. High- fidelity mathematical model of the sounding rocket was generated, using Matlab/Simulink software. The control law based on'the H-Infinity sub-optimal approach together with p, synthesis and-analysis was implemented in the design of the robust controller.

Main results on robust control theory under the condition of a priori uncertainty is related to papers and books by Andrievsky B.R., Barabanov A.E., Dullerud G.E., Fradkov V.O., Konstantinov M.M., Nebylov A.V., Paganini F.G., Petkov P.H., Sanchez-Pena R., Siouris G.M., Sznaier M., et al.

The task of the application! of robust synthesis methodology for attitude stabilization of a dynamic, nonlinear, non-stationary flexible object operating under the condition of a priori uncertainty is relevance.

The aim of this> research consist of the application of robust control methodology in the attitude stabilization of a typical dynamic, nonlinear, non-stationaiy flexible object operating under the condition of a priori uncertainty. The set aim of work is achieved by the application of a robust control methodology based on the H-infinity and fi-synthesis/analysis approaches [43]. The H-infinity and (x-synthesis/analysis methods based on the following.

• Characteristics which the methods possess.

• Based on powerful mathematical background.

11

• Systematic and simple application procedures.

• Good history of real applications.

• Clear and logical design steps that are similar, to classical methods.

• Developed and applied by leading Russian professionals for the last decade. •' Well-developed tools and published literature.

• Availability of modern programming language — Matlab for its implementation.

• Modified*and extended for different application situations.

In the course of this dissertation research, the following methods are used: the methods of system analysis, optimal and robust control! theory, identification theoiy of dynamic systems, and optimization theory and mathematical programming.

Scientific novelty of research of the concluded researched consist of the following.

The method and procedure for the synthesis of robust» control algorithms for nonlinear non-stationaiy flexible dynamic object under the influence of a priori uncertainties was developed.

The flexibility model of a sounding rocketsuitable for the synthesis of control system under the influence of various forms of uncertainties in the system model was developed.

The procedure of selection of weighting functions and'transfer function of an

ideal model of the object, ensuring the feasibility of robust synthesis was developed.

The technique of optimal placement of additional'sensors to isolate the elastic

component of motion was developed.

The procedure of synthesis« of a series of fixed-order controllers for linear

models of the object at the given points of the trajectory followed by interpolating

parameters for, controlling the non-stationaiy object was developed.

The procedures for the identification of distributed parameters of the model of

elastic object corresponding to the first experimental dominant harmonics, taking into

account a priori information the distributed mass and stiffness was developed.

12

The results of dissertation work are obtained in the course of the research may serve as a basis for construction the general method of synthesis of robust control system of dynamic elastic aerospace objects taking into account various a priori uncertainties in the object model and external influences. The results obtained in the thesis allows for the following.

• To» cany out effective processing of experimental data to determine the parameters of the model of elasticity, using the proposed methods for the identification of distributed parameters.

• Reduce the complexity of investigations and reduce the computational complexity of the procedures for modelling and synthesis using developed methods of reducing the model of aeroservoelasticity.

• Ensure the feasibility of robust control synthesis methodology, using in the selection of weighting parameters results from LQG synthesis.

• Ensure smooth change in parameters, of the control system of non-stationary flexible objects by applying the proposed method of interpolation parameters of reduced controller of given order.

• Improve the quality and reliability of the control system by the optimal placement of additional sensors to determine the elastic components of motion of the object.

The practical value also lies in the software implementation of the proposed methods of robust control synthesis using the simulation package MATLAB/SIMULINK.

At the defence, the following positions would be carried out.

• A generalized structural model of a flexible sounding rocket,' designed for the problem of robust synthesis of control systems containing uncertainties of key parameters.

• Method of the synthesis of the algorithms of the robust control system for nonlinear non-stationary flexible dynamic system working under the condition of a priori uncertainty.

• Evaluation of the effectiveness of the results of the developed method of synthesis of robust control systems.

The mathematical model and proposed methods of synthesis of robust control systems have been used in scientific research carried out by the Nigerian Space Agency (NASRDA) in the development of control system for elastic objects.

Main results of dissertation work where presented and discussed at the 16th and' 17th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems-(Saint Petersburg, 2009, 2010), at the Annual Scientific Sessions of the State University of Aerospace Instrumentation Scientific Session (Saint. Petersburg, 2009, 2010, 2011), at the 2nd IF AC International conference on Intelligent Control Systems and Signal Processing, ICON Istanbul, 2009, at the IF AC Workshop on Aerospace, Guidance, Navigation and Control Systems (Samara 2009) at the 5 th International Conference on Recent Advances in Space Technologies, Istanbul, 2011 and at the International conference on Scientific and Technological Experiments on Automatic Space Vehicles and Small Satellites SPEXP, Samara, Russia. 2011.

The content of dissertation work is stated in 12 publications which consist of 3 publications in peer review journals in the Russian Federation and 9 articles worldwide.

In the works, published in co-authorship, the following scientific and practical results belong to the dissertator: Intelligent Approach to Experimental Estimation of Flexible Aerospace Vehicle Parameters, Nigeria Space Programs, Actual Problems of Aviation and Aerospace Systems and Application of robust synthesis methodology for sounding rocket attitude stabilization.

The dissertation work consists of introduction, five chapters, conclusion, references and appendix. The work is presented in 129 pages of basic text, 60 figures, 82 references and 17 appendixes. The content of dissertation work is stated in 12 publications.

In the works, published in co-authorship, the following scientific and practical results belong to the dissertator: Intelligent Approach to Experimental Estimation of

14

Flexible Aerospace Vehicle Parameters, Nigeria Space Programs, Actual Problems of Aviation and Aerospace Systems, 16th and 17th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems and Application of robust synthesis methodology for sounding rocket attitude stabilization.

The first chapter gives literature review of robust control methods in used and also the advantages of the choice of the chosen methods used in the research work for the attitude stabilization of the object of research.

The second chapter gives analytical preview of the definition of the mathematical model of a system in control engineering using the state space approach and the transfer function methods. The chapter also narrate the methods used in obtaining the mathematical models of the longitudinal dynamics as well as the rotational dynamics of the object of research, the linearization approach and the block diagram of a typical stabilization system of a sounding rocket.

The third chapter narrates the effects of flexibility on the structure and control system. The structural feedback phenomena is described and the ways of eliminating the effect of structural feedback on the control system as well as its effects on the fins and thrust vector.

The fourth chapter narrates the design of the robust controller based on the H-Infinity and mu-synthesis methodology. The design and simulation of the controller is done using Matlab/Simulink software package. The uncertainty model is also described in this chapter.

The fifth chapter narrates the results of the simulation and the conclusion based on the experimental results.

The obtained results can be used for the solution of the problems on robust control of nonlinear non-stationary flexible dynamic system working under the condition of a priori uncertainty.

In this research a graphical user interface (GUI) software was developed using Matlab. The GUI software allows for easy simulation and analysis of the rocket dynamics for different models. It will be of great assistance for control design

15

engineering students in various institutions of higher learning, particular students of the State University of Aerospace Instrumentation in Saint Petersburg. The developed software would also be of immense benefit to entire technical staff of the National Space Research and Development Agency in Nigeria.

All thanks and gratefulness goes to God Almighty for giving me the opportunity in life to attain this height. I would like to say a big thank you to the management of my agency, the National Space Research and Development Agency (NASRDA), in Abuja, Nigeria for sponsoring this program.

My appreciation also goes to my wife and the entire member of my family for their moral and spiritual support.

I would like to extend my gratitude also to entire management of the State University of Aerospace Instrumentation, Saint Petersburg, Russia, especially Professor Nebylov, A. V. (Honoured Scientist of the Russia Federation), Professor Panferov A.I., Professor Tihomirov M.E. and Professor Yatsevich G.B. for their lovely guidance and advice. Last but not the least, a big appreciation goes to my supervisor in person of Doctor Brodsky S.A., for his guidance, valuable advice and materials for the success of my work.

1 Literature review

1.1 Models of a structural dynamic system

Possible approaches to the mathematical description of different types of elastic vehicles are known. Mass and- aerodynamic characteristics are changing* considerably during the flight of aerospace, vehicles. From the point of view of control theory such vehicles are the typical'non-linear and non-steady plants. The aim of a designer is to create the light* construction» For these reason such objects are deformed in flight, and their elastic properties appear. Elastic longitudinal and lateral oscillations of the complex form arise, which frequencies are changing during the flight. Elastic oscillations are usually described by differential- partial equations or ordinary differential equations of the great dimension. Deformation of a body results in appearance of the local attack of angles and slide angles. As a result of it, the local forces and'moments of forces arise. These forces and moments are synchronized with the changes of local angles of attack and slide. The local forces and moments are the reasons for amplification or attenuation of elastic oscillations. This phenomenon is known as aeroelasticity. At excessive development of elastic oscillations the structural failure may take place. Paying attention to these effects has a great importance at control of space stations and space probes, airplanes and other mobile objects liable to the considerable dynamic loads.

Models of a linear system are described* by linear differential equations. The equations can be,organized in a standard form called state-space representation. This form is a set of first-order differential equations» with unit coefficient at. the first derivative. The models can. also be represented in the form of a transfer function; after applying the Laplace or Fourier transformation. The state-space representation carries information about the internal structure (represented by states) of the model, while the transfer function describes the model in terms of its input-output properties (although its internal state can be somehow recovered). Also, the state-space models are more convenient and create less numerical difficulties than transfer functions when one deals with high-order models [60].

1.2 Model of a rigid rocket in the pitch plane

The equations of motion of the sounding rocket are derived using Newton

laws. In deriving the rigid-body equations, the following assumptions are made [70].

1. A rigid body is an idealized1 system of particles, and5 the body does not undergo any changes incize or shape during the flight duration. Translation* of the body results in that every line in the body remains parallel to its original position at all times. Consequently, the rigid body can be treated as a particle whose mass is that of the body and is concentrated at the centre of mass. In assuming a rigid body, the aeroelastic effects are not included in the equations. With this, assumption, the forces acting between individual elements of mass are eliminated. Furthermore, it allows the airframe motion to ¡be described completely by a» translation of the centre of gravity and by a rotation* about this point. In addition, the airframe is assumed to have a plane of symmetry coinciding- with the vertical plane of reference. The vertical plane of reference is the plane defined by the rocket Xb-and Zb- axes as shown in ¡Figure 2. The Yb- axis which is perpendicular to this plane is the principal axis and the products of the inertia Ixy and IYz vanishes.

2. Aerodynamic symmetry in roll: the aerodynamic forces and moments acting on the vehicle are assumed to be invariant with the roll position of the rocket relative to the free-stream velocity vector, consequently,- this assumption greatly simplifies the equations of motion by eliminating the aerodynamic cross-coupling terms between« the roll motion; and the pitch and yaw motions. In addition, a different set of aerodynamic characteristics for the pitch and yaw is not required.

3. A constant mass will be assumed.

4. The rocket equations of motion are written in the body-axes coordinate frame.

5. The vehicle aerodynamics is nonlinear.

6. The undisturbed atmosphere rotates with the Earth.

7. The winds are defined with respect to the Earth.

8. A spherical Earth rotating at a constant angular velocity is assumed.

9. An inverse-square gravitational l