Синтез квазиоптимальных управлений по критерию обобщённой работы с использованием функциональных рядов Вольтерра

Кирпа, Алексей Валерьевич

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез квазиоптимальных управлений по критерию обобщённой работы с использованием функциональных рядов Вольтерра

кандидата технических наук: Кирпа, Алексей Валерьевич
город: Тула
год: 2008
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Синтез квазиоптимальных управлений по критерию обобщённой работы с использованием функциональных рядов Вольтерра»

Автореферат диссертации по теме "Синтез квазиоптимальных управлений по критерию обобщённой работы с использованием функциональных рядов Вольтерра"

На правах рукописи

Кирпа Алексей Валерьевич

СИНТЕЗ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИИ ПО КРИТЕРИЮ ОБОБЩЕННОЙ РАБОТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в промышленности)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

ии^171322

Тула 2008

003171322

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Ловчаков Владимир Иванович

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Фатуев Виктор Александрович

доктор технических наук, профессор Капалин Владимир Иванович

Ведущая организация

ОАО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения», г Тула

Защита состоится

Об_2008 года в 9 часов на заседании

диссертационного совета Д 212 271 05 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу.

300600, г Тула, пр Ленина, 92,9-101

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Автореферат разослан " 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета

В М Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Непрерывный рост сложности технических систем, а также требований к точности управления ими, приводит к необходимости развития методов синтеза нелинейных многомерных систем управления, обеспечивающих высококачественное функционирование объектов в широком диапазоне рабочих режимов Существующее разнообразие нелинейных объектов не дает возможности разработать единственный универсальный метод синтеза, который был бы одинаково эффективен во всех возможных случаях В связи с этим работы по созданию новых методов синтеза нелинейных систем не теряют своей актуальности К числу данных работ относится и настоящая диссертация, предлагающая новые методики конструирования квазиоптимальных по функционалу обобщенной работы (ФОР) многомерных систем управления для выделенного множества нелинейных объектов

Как показал анализ литературы, среди большого разнообразия нелинейных объектов управления важное место занимают объекты, модели динамики которых описываются системами дифференциальных уравнений с полиномиальными не-линейностями от их фазовых координат Данные объекты получили название полиномиальных (W Porter, Р. Е. Crouch) Широкое распространение полиномиальных моделей для описания различных процессов вызвало появление и становление теории полиномиальных систем (Н.Винер, Д.Джордж, Г Ван-Трис, Ю. С Попков, К А Пупков, В И Капалин, А С Ющенко и др ), важнейшее достижение которой состоит в разработке математического описания типа «вход-выход» с помощью функциональных рядов Вольтерра (ФРВ) Прямая функциональная связь между входом и выходом при известных ядрах Вольтерра обеспечивает относительно простое аналитическое решение задачи определения движения нелинейного объекта под действием произвольного входного сигнала

Среди полиномиальных объектов представляется целесообразным выделить объекты, имеющие кроме линейных составляющих только квадратичные или только кубические составляющие математического описания Выделение и анализ данного множества объектов имеет большое методологическое значение' 1) данные объекты представляют для практики самостоятельный Интерес, поскольку достаточно широко распространены (устройства электромеханики (И П Копылов, Г. Крон), химические реакторы (В. В Кафанов, В П Мешалкин), биологические и экологические системы (модели Лотки и Вольтерра) и др ), 2) для них задачи управления решаются значительно легче, чем для других полиномиальных объектов, вследствие наличия нелинейностей лишь второй или третьей степеней, 3) описания полиномиальных объектов, содержащих нелинейные члены более высоких степеней, можно привести к описаниям с квадратичными или кубическими нелинейностями путем расширения пространства состояния объекта новыми координатами, представляющими собой произведения исходных координат.

В связи с этим цечесообразно выделение в самостоятельное исследование задачи управления данными объектами на основе применения ФРВ, которую сформулируем как задачу оптимального управления в рамках перспективного, с теоретической и практической точек зрения, направления аналитического конструиро-

вания оптимальных регуляторов (АКОР) (работы А. М Летова, Р Калмана, А. А Красовского, В Н Букова, А. А Колесникова и др) Расширяющееся применение в прикладных задачах управления сложными производственными объектами методов АКОР связано с такими их достоинствами, как общность, предельная формализация, логическая завершенность, принципиальная математическая простота

Решение задачи АКОР, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана (оптимизация по квадратичному критерию) на многомерные объекты управления с полиномиальными нелинейностями, как показал анализ существующих работ, представляет серьёзные трудности, связанные с необходимостью решения уравнения Гамиль гона-Якоби-Беллмана в частных производных, нелинейного относительно искомой функции Беллмана Это делает метод Летова-Калмана практически неприменимым к нелинейным объектам выше третьего порядка Более приспособленным к решению указанной задачи является метод А. А Красовского- применение ФОР в решении сложных нелинейных задач оптимизации позволяет существенно сократить вычислительные затраты по сравнению с квадратичным функционалом сходного типа Это дает возможность перейти от теоретических исследований к решению достаточно сложных практических задач управления многомерными нелинейными объектами Кроме того, общее сопоставление систем, оптимальных в смысле минимума ФОР и классических функционалов в отношении традиционных прямых показателей качества переходных процессов или точности при стохастических возмущениях свидетельствуют в пользу ФОР

Цель работы состоит в модификациях метода прогнозирующей модели А А Красовского на основе использования ФРВ, позволяющих синтезировать квазиоптимальные законы управления многомерными объектами с квадратичными и кубическими нелинейностями; в разработке на их основе квазиоптимального закона управления асинхронным электроприводом роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями

Достижение указанной цели требует решения следующих задач исследования 1. Разработать методики приближенного аналитического решения с помощью различных видов ФРВ однородных дифференциальных уравнений, описывающих

свободные движения многомерных объектов управления с квадратичными и кубическими нелинейностями

2 Разработать аналитический способ определения весовых коэффициентов взвешенного функционального ряда Вольтерра (ВФРВ), обеспечивающего более точное решение дифференциального уравнения свободного движения объекта и, как следствие, решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества по сравнению с использованием стандартного ФРВ

3 Модифицировать метод прогнозирующей модели А А. Красовского на основе применения различных видов ФРВ и разработать соответствующие методики синтеза квазиоптимальных управлений для многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями

4 Применить разработанные методики синтеза квазиоптимальных управлений к построению системы векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями

Объектом исследования являются системы управления с полиномиальными нелинейностями фазовых координат второй и третьей степеней.

Предметом исследования является метод синтеза квазиоптимальных управлений с использованием прогнозирующей модели объекта (метод прогнозирующей модели А А Красовского)

Методы исследования. При получети теоретических результатов использовались методы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории оптимального управления и аппарат ФРВ При исследовании электромеханической системы (асинхронный электропривод) применялись методы обобщенной теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальное исследование

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты, лежащие в основе предлагаемых модификаций метода прогнозирующей модели А. А. Красовского с использованием ФРВ-

- разработаны методики приближенного аналитического решения с помощью различных видов ФРВ однородных дифференциальных уравнений с квадратичными и кубическими нелинейностями в области сходимости ФРВ, для определения границ которой предложена соответствующая методика,

- предложен способ аналитического определения весовых коэффициентов ВФРВ,

- в виде модификаций метода прогнозирующей модели А. А Красовского на основе различных видов ФРВ разработаны методики синтеза квазиоптимальных управлений, образующих вместе с полиномиальными объектами второй и третьей степеней, асимптотически устойчивые системы управления в ограниченной области фазового пространства, для определения границ которой предложена соответствующая методика,

- на основе разработанных методик синтеза квазиоптимальных управлений получен закон регулирования, используемый в системе векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся следующие результаты исследований

1 Приближенные аналитические решения многомерных дифференциальных уравнений, описывающих свободные движения объектов управления с квадратичными и кубическими нелинейностями, которые в области сходимости ФРВ определяются с инженерной точностью в виде суммы первых двух (ненулевых) членов ФРВ по строго формализованной процедуре, не требующей больших объемов вычислений

2 Способ аналитического определения весовых коэффициентов ВФРВ, обеспечивающего решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества по сравнению с использованием стандартного ФРВ Согласно указанному способу весовые коэффициенты находятся из условия приближения получаемого решения в виде ФРВ уравнения свободного движения объекта к его точному решению

3, Модификации метода прогнозирующей модели А А Красовского на основе различных видов ФРВ, представленные в виде соответствующих методик синтеза квазиоптимальных управлений для объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями, которые обеспечивают при использовании стандартного ФРВ решение задачи АКОР, совпадающее с решениями известных методов (метода степенных рядов и метода А А Красовского), но с гораздо меньшими вычислительными затратами, а при использовании ВФРВ - решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества, чем при использовании стандартного ФРВ

4 Синтезированный закон регулирования, обеспечивающий по сравнению с законом, предложенным в работе А В Садового, и ПИД-законом более качественное регулирование скорости асинхронного электропривода в режимах работы, характеризующихся резкими и частыми изменениями задания по скорости при постоянном моменте нагрузки на валу двигателя и при моменте нагрузки, искаженном помехами Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена строгими математическими доказательствами теоретических результатов, совпадением получаемых результатов с результатами широко известных методов синтеза (метода степенных рядов и метода А А Красовского), практическим применением разработанных квазиоптимальных законов управления в конкретной электромеханической системе

Практическая ценность. Практическая значимость разработанных в диссертации методик синтеза управлений определяется следующим указанные методики позволяют без особых трудностей аналитического и вычислительного характера, присущих широко известным методам, синтезировать легко реализуемые на практике квазиоптимальные по ФОР системы управления многомерными объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями с квадратичными и кубическими нелинейностями

Результаты работы могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании современных устройств автоматического управления, а также при разработке систем автоматизированного проектирования указанных устройств

Реализация результатов. Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» (ТулГУ) Полученные результаты использованы в научно-исследовательской работе (НИР) при выполнении гранта РФФИ № 05-01-96707 «Разработка методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов и математическое моделирование оптимальных по точности и быстродействию нелинейных систем управления динамическими объектами», при выполнении НИР «Блокировка» в Тульском филиале ФГУП «КБ машиностроения», а также в учебном процессе ТулГУ, о чем свидетельствуют соответствующие акты

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены и обсуждены на второй Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами» (Тула, 2002), Международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий» (Москва, 2003), первой Всероссийской научно-технической конференции студентов и аспирантов «Идеи молодых - новой России» (Тула, 2004), Межрегиональной научно-технической конференции «Интеллектуальные и информационные системы» (Тула, 2004), XVII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Кострома, 2004) и IX Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы проектирования и производства систем и комплексов» (Тула, 2006).

Публикации. По результатам выполненных исследований автором лично и в соавторстве опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка на 189 наименований, 12 приложений Материал изложен на 172 страницах Работа содержит 19 рисунков и 7 таблиц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, формулируются цель и основные задачи исследования работы, обосновываются методы исследования, а также приводятся положения, определяющие ее структуру

В первой главе даются математические описания исследуемых Нелинейных объектов управления, представляющих интерес для практического использования, формулируется задача АКОР для указанных объектов, обосновывается подход к её решению на основе совместного использования идей и результатов принципа минимума ФОР А. А Красовского и метода исследования нелинейных объектов с помощью ФРВ Ставятся и обосновываются задачи исследования

Множество нелинейных объектов управления, к которому оказалось возможным применить указанный подход к решению задачи АКОР, образуют стационарные многомерные объекты, описываемые дифференциальным уравнением с полиномиальными нелинейностями

Х(0 = Р(Х) + В(Х) и(0, (1)

где / - время, Х(0 = (х, (Д ,%(<))Т - вектор фазовых координат объекта, Р(Х) -вектор размерности N полиномиальных функций от компонентов вектора Х(0.

и(() =(и,(<), ,ит(О)1 - вектор управляющих воздействий, В(Х) - функциональная матрица размерности Шт коэффициентов при управляющих воздействиях

Рассматриваемые объекты (1) предполагаются управляемыми в некоторой области фазового пространства, содержащей точку X = 0.

Предполагается, что возмущения У(/) = (у, (/),. , ^(0)Т> действующие на объект, описываются ограниченными по величине функциями, представляющими собой устойчивые решения линейных дифференциальных уравнений уЛ0 = с,1 е~Х,>1 +с/2 -е~х'2' + .. (X, 1Д, 2, >0, ; = 1 г), причём коэффициенты с„,с,2, могут скачком изменять свои значения в случайные, но разделенные

достаточно длительным интервалом, моменты времени, в течение которого система управления успевает идентифицировать возмущения и затем соответствующим образом их отработать В этом случае все возмущения (в общем случае и определенное количество их производных) можно включить в расширенный вектор состояния объекта- Х(г) = (*,(/), ,х„(/))т =(х,(?),.. МЧ )Т

Основное внимание в настоящей работе уделяется выделенным из множества (1) объектам, имеющим квадратичные и кубические нелинейности Для них предлагается новая форма описания с использованием кронекеровского произведения

Х(0 + А, Х(0 + А2 [Х(/)®Х(/)]=В(Х) и(/) (2)

для объектов с нелинейностями второй степени, которые имеют несимметричные характеристики, и

Х(/) + А, Х(0+А3 [Х(0®Х(0®Х(<)]=В(Х) и(/) (3)

для объектов с нелинейностями третьей степени, которые имеют симметричные характеристики относительно точки начала координат фазового пространства В уравнениях (2), (3) приняты следующие обозначения' А(, А2, А3 - матрицы размерностей пхп, пхп2 и пхп3 соответственно параметров стационарного объекта, ® - символ кронекеровского произведения

У ®V = (у1( _у2)т ®(у,,у2)Т = (У| • V,у2 У)т=(у, vuy^ \г,уг у„у2 г2)Т

Для оценки качества управления объектами в работе используется ФОР

л 1 Га5(Х)>т

•М

х'соо х(/)+

41эх«;

В(Х) ИЧ-ВТ(Х) —^ + ит(<) Я и(0 4 Ж(/)

л, (4)

(), К - заданные симметричные положительно определенные матрицы размерностей пхп и тхт соответственно Задача управления сформулирована аналогично задаче АКОР А. А Красовского. требуется найти закон управления в функции координат и(Х(/)), образующий вместе с объектом (2) или (5) асимптотически устойчивую систему управления, переводящий ее из произвольного начального состояния Х(/ = 0) = Х0 в конечное Х(1 со) = 0 с минимальным значением ФОР

Решение поставленной задачи управления, согласно основной теореме А А Красовского, определяется выражением 1 сЭД

т)

и0ПТ(Х) = -1 Я-1 ВТ(Х) (5)

в котором функция Беллмана 5(Х) удовлетворяет уравнению Ляпунова №)Т Р(х)+хт(<) д Х(0=0 Р(Х)= -А' |Х(')®Х(°1 ,1 (6)

Iах(о) ; -А, Х(О-А3 [х(о®х(о®х(о];

Наиболее общим подходом решения уравнения (6), на котором основаны методы с прогнозирующей моделью, является использование соотношения

СО

5(Х)= {\УТ(;,Х) О УУ(/,Х) Л, Х = Х0, (7)

где Х0) представляет собой решение задачи Коши

Х(/) = Р(Х) при Х0=Х(/ = О) (8)

для дифференциального уравнения, описывающего свободное движение рассматриваемого объекта управления Соотношение (7) непосредственно выводится из уравнения (6) для асимптотически устойчивого объекта

Поскольку уравнение (8) может интегрироваться в общем виде лишь в редких случаях, то для большинства нелинейных объектов с целью решения сформулированной задачи АКОР требуется найти приближенное, но аналитическое решение задачи Коши (8) Такое решение для объектов управления (2), (3) может быть получено с использованием ФРВ Это явилось основанием для разработки указанного нового подхода к решению нелинейной задачи АКОР на основе использования ФРВ и принципа минимума ФОР А А Красовского, базирующегося на определении функции Беллмана-Ляпунова в соответствии с выражением (7) при найденном в форме ряда Вольтерра решении задачи Коши (8) На пути разработки данного подхода возникает необходимость в решении следующей задачи исследования I разработать методики приближенного аналитического решения с помогцью различных видов ФРВ однородных дифференциальных уравнений, описывающих свободные движения многомернь1Х объектов управления с квадратичными и кубическими нелинейностями

Поскольку приближенное решение дифференциального уравнения (8) с помощью ФРВ является единственным этапом, не позволяющим получить оптимального управления (получается лишь квазиоптимальное), близость синтезируемых управлений к оптимальным будет определяться точностью решения уравнения (8) Как показал анализ литературы, точность решения данного уравнения можно повысить либо за счет увеличения количества членов ФРВ в решении, либо за счёт использования ВФРВ, имеющего весовые коэффициенты при всех или некоторых членах ряда Правильный выбор весовых коэффициентов для ВФРВ обеспечивает повышенную точность решения дифференциального уравнения при том же количестве членов ряда Благодаря этому в процессе синтеза квазиоптимальных управлений можно получить существенно меньшие величины заданного критерия качества по сравнению с использованием стандартного ФРВ. В связи с этим возникает задача исследования 2 разработать аналитический способ определения весовых коэффициентов ВФРВ, обеспечивающего более точное решение дифференциального уравнения свободного движения объекта и, как следствие, решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества по сравнению с использованием стандартного ФРВ

Решение двух указанных задач исследования создает предпосылки для разработки нового подхода к решению нелинейной задачи АКОР, относящегося к классу методов с прогнозирующей моделью Обоснование и анализ свойств данного подхода составляет задачу исследования 3 модифицировать метод прогнозирующей модели А А Красоеского на основе применения различных видов ФРВ и разработать соответствующие методики синтеза квазиоптимальных управлений для многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями

Приложение полученных теоретических результатов рассматривается в задаче исследования 4 применить разработанные методики синтеза квазиоптимальных управлений к построению системы векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями

Во второй главе решаются задачи исследования 1,2 Для решения первой задачи сначала было определено количество членов ФРВ, обеспечивающее инженерную точность решения однородных дифференциальных уравнений с квадратичными и кубическими нелинейностями

Х(/) + А, Х(/) + А2 [Х(/)®Х(0]=0, (9)

Х(/) +А[ Х(0 + А3 • [х(0 ® Х(/) ® Х(/)] = 0 (10)

Это было сделано на основе анализа сходимости ФРВ, результатом которого явилось утвержйеше-L если матрица (—А|) дифференциального уравнения Х(/) + А, Х(/) + А2 [Х(0®Х(/)]+А3 [Х(/)®Х(/)®Х(/)]=В(Х) U(r) (И)

имеет собственные числа с отрицательными вещественными частями и если вектор начальных условий Х0 и вектор управляющих функций U(f) ограничены соответствуюгцими положительными константами ||Х0|| S RQ, j|U(/)| < R^, причем нормы вектора и матрицы задаются выражениями

V(/) = maxi sup (v,(/)|L P(0 = шах ¿1 sup \pt (0|k (12)

nxlfl li'S" {OsKm J ||w x <7 j| y=l lo<«M 'J

mo нелинейное дифференциальное уравнение (11) имеет единственное непрерывное решение, описываемое ФРВ, сходящимся в области |X(i)|| ^ R (R0 < R, R\ < R), радиус которой для уравнения с квадратичной нелинейностью (при А3 =(0)) определяется соотношением

для уравнения с кубической нелинейностью (при А2 =(0)) -

_ <14)

а для уравнения с квадратично-кубической нелинейностью -

НАЛ '' " 42

r=r23<-

3|А,| ^3|A3|J 3 ¡¿21| ||А3||

(вуравнениях (13)-{15) испочьзуется следующая норма

1 (15)

N1=™*! Пй.уМ Д н«,-с)=«гА>(м) (16)

интегрального оператора)

Основываясь на результатах данного утверждения, определяющего достаточные условия сходимости ФРВ, было показано, что для уравнения с квадратичными нелинейностями (9) нормы второго и третьего членов ФРВ в области сходимости (13) не превышают 1/4 и 1/8 части нормы первого члена ряда соответственно На основании этого был сделан вывод, что внутри области, ограниченной радиусом (13), свободные движения объектов, удовлетворяющие уравнению (9), можно с инженерной точностью описать первыми двумя-тремя членами ФРВ Аналогичные выводы в первом приближении можно сделать и для уравнения с кубическими нелинейностями (10) Указанные выводы согласуются с существующими работами и практикой применения ФРВ, которые показывают, что описание движения нелинейного объекта, найденное с точностью до ДГ-го члена ФРВ (Ы- порядок полиномиальной нелинейности дифференциального уравнения), как правило, дает приемлемую точность внутри областей, ограниченных неравенствами (13)—(15) В связи с этим, в дальнейшем решения дифференциальных уравнений с квадратичными нелинейностями (9) в области (13) определяются в виде ФРВ с точностью до второго члена ряда

х(/, х0) *х,(/, х0)+х2(л х0) = г,(о х^+г2(0 х^2], (17)

а решения дифференциальных уравнений с кубическими нелинейностями (10) в области (14) - с точностью до третьего члена ряда Однако фактическое решение уравнения (10) в силу симметричности характеристик относительно точки начала координат будет определяться первым и третьим членами ФРВ

Х(/, х0)» х,(<,х0)+х3(<, х0) = г,(о х^ + г3(0 х'031 (18)

В выражениях (17), (18) приняты следующие обозначения Х10И=Х0, Х[,21=Х0®Х0, Х|,3]=х0®Хо®Х0,

г,(/)=г,(/)=в-А>', г2(о=-/е-А'('"т) А2 [г^фад] л, (19)

г3(/)=-]е-А'{'-т) А3 [г,«® ад® г,«] ж

Решения полиномиальных дифференциальных уравнений можно представлять не только в виде стандартного ФРВ, как, например, по вышеизложенной методике с помощью соотношений (17)-(19), но и в виде различных модификаций ряда - взвешенных рядов Вольтерра Проведенный анализ точности решений дифференциальных уравнений (9), (10) с помощью различных видов ВФРВ показал, что при нахождении решения в виде суммы двух членов ряда1 а)Х(0 = С [Х,(0 + Х2(/)], б)Х(/) = С, Х,(/) + Х2(0, В)Х(0 = Х,(0 + С2 Х2(0, Г)Х(|) = С, Х,(0 + С2 Х2(0 (С, С|, С2 - диагональные матрицы весовых коэффициентов), наиболее целесообразным оказывается применение ВФРВ с весовым коэффициентом при втором чле-

не ряда Это связано с тем, что 1) ряд (в) имеет наивысшую точность решения уравнений среди рядов с одним весовым коэффициентом, 2) использование ВФРВ с двумя весовыми коэффициентами (ряд (г)) позволяет не столько улучшить точность решения по сравнению с рядом (в), сколько существенно увеличить объёмы вычислений, связанных с нахождением весовых коэффициентов Для иллюстрации в таблице 1 приведены оценки точности решений уравнений (9) и (10) при конкретных параметрах с помощью различных видов ВФРВ и стандартного ФРВ -д) Х(/) = Х,(/) + Х2(/) Оценка точности производилась при помощи функционала 00 „

' = / 2][д:численпое|(')~-*ФРВ/(')]2 -О '=1

___Таблица 1

Тип решения Величины отклонений от истинного решения

объект с квадратичной нелинейностью объект с кубической нелинейностью

при Хо = (1 3 13)т при Х0=(2 2)т при Хо = (13 13)т при Х„=(2 2)т

а 175 10"* 183 10~5 50 10"' 269 10""

б 207 10"* 234-10~5 53 10"' 314 10"*

в 29 10"* 31 КГ1 12 10"' 60 10"*

г 14 10"* 14-Ю"5 10 10"' 43 10"*

д 317 10"* 366 10"5 131 10"7 803 10"*

ПО-

В связи с этим, в дальнейшем решения уравнений (9), (10) в областях (13), (14) при использовании ВФРВ определяются соответственно следующим образом

Х(/, х0) - г,(0 хЦ1 +С(Х0) Ъг{0 х},21, (20)

х(г,х0)«г,(о х10ч+с(х0) 13</) х[031 (21)

Для определения весовых коэффициентов в работе предлагается следующий способ подставив, с учетом (19)—(21), выделенные в уравнении (9) или (10) две равные между собой функции, например Р'(*,Х0) = Х(/, Х0),

-А, Х(/,Х0)-А2 [Х(/, Х0)®Х(/, Х0)] для (9), (22)

-А, Х(/,Х0)-А3 [Х(/,Х0)®Х(*,Хо)®Х(/,Х0)] для (10), в функционал, оценивающий их близость, например

1 = ]£[/Л', Х0) -/;«, Х0)]2 л (23)

0'=1

(УД/, Х0), /,"(/, Х0) - 1-ые координаты векторов Р'(*, Х0) и Р"(/, Х0) соответственно), затем, отбросив из полученного функционала все слагаемые, содержащие весовые коэффициенты выше второй степени (с повышением степени вес слагаемых в функционале уменьшается), и далее, взяв от оставшегося выражения частные производные по каждому весовому коэффициенту, можно получить систему из п линейных относительно весовых коэффициентов уравнений, решение которой позволит определить искомые коэффициенты как функции начальных условий.

Применение вышеизложенных методик решения однородных дифференциальных уравнений (9), (10) с помощью стандартного и взвешенного ФРВ проиллюстрировано на конкретных примерах.

В третьей главе решается задача исследования 3 Модифицирование метода прогнозирующей модели А А Красовского на основе применения различных видов ФРВ и разработка соответствующих методик синтеза квазиоптимальных управлений для многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелиней-ностями были осуществлены в рамках предложенного в настоящей работе подхода к решению нелинейной задачи АКОР, предусматривающего 1) решение задачи Коши (8) в виде стандартного (17)—(19) или взвешенного (19)—(23) ФРВ,

2) построение функции Беллмана-Ляпунова (7) с помощью полученного ФРВ;

3) определение квазиоптимального по ФОР управления (5) на основе найденной функции Беллмана-Ляпунова

В соответствии с разработанными методиками- квазиоптимальное управление, доставляющее минимум ФОР, на решениях уравнения (2) определяется выражением

= И"1 В'(Х)

иопт(Х) = -^ и-1 ВТ(Х)

X 2 0<Л(Х) мс„(Х) хм

0 1=1

а на решениях уравнения (3) -

[3(7*2) 3(1*2) _ _

£ 2 мс„(Х) X"

J=0 1=1

где Х[1!=Х, Х[21=Х®Х, Х(3] = Х®Х®Х,

Б(0) (X) = б(0) (X) = 0(|) (X) = В(1) (X) = Е, Е - единичная матрица,

0(2)(Х) = Е®Хт+Хт®Е, Б(3)(Х) = Е®(Х®Х)т+(Х®Х)т ®Е + Хт ®Е®Хт,

г?(<,х) = ^(с(х) г2(/, х> х^')т, г?(/. х) = ^(с<х) 23(г,х) =

дХ дХ

х) = г,(1, х) = е~А,'> г2(<,х) = -|е"А'('-,) а2 [г1(т,х)®г1(т,х)] а,

г3(лх)=-|е-А1('-т) а3 [гдт, х) ® г^т, х) ® г,(т, х)] <л,

мс/ц(Х) = 2 |г^(/,х) м(/,)(Х) <з м(1)(Х) г,(/,х) л при р = 0,1,2, * = и.

ОТ»

мс9дх) = 2 ]г£(/,х) м№(Х) о м(,,)(Х) г„(/,х) л при ? = о, 1,з, V = 1, з,

М(0) (X) = М(1) (X) = Е, М(2)(Х) = М(3)(Х) = С(Х)

Данные соотношения приведены для наиболее общего случая, когда применяется ВФРВ При использовании стандартного ФРВ в них необходимо положить С(Х)=Е

В качестве иллюстрации в таблице 2 приведены величины ФОР при решении задачи АКОР для конкретного объекта с помощью различных видов ФРВ. а) стандартного ФРВ (17)—(19), б) ВФРВ (19)—(23)

Таблица 2

Применяемый тип ФРВ Величина ФОР

при Гц=Г22=1, <711=422=1000 При Гц=/ 22=1, <?11=422=Ю0 при Г|1=Ги=1, 411=422=10 ПрИГп=П2=10, <?И=<722=1

а 150764 281 27 15 627 1425186

6 1576 9 146 25 14 293 1 423854

Для определения областей асимптотической устойчивости синтезируемых с помощью ФРВ систем управления доказано утверждение 2 если матрица (-А|) дифференциального уравнения

Х(/) + А, Х(0 + А2 [Х(0®Х(0]+А3 [Х(0®Х(/)®Х(/)] = 0 (24)

имеет различные характеристические числа, являющиеся или вещественными отрицательными, или комплексными с отрицательными вещественными частями, то тривиальное решение Х=0 указанного уравнения в области, содержащей начало координат фазового пространства и ограниченной радиусом R, величина которого определяется условиями утверждения 1, асимптотически устойчиво

Таким образом, чтобы определить область асимптотической устойчивости синтезированной системы управления, необходимо привести описание системы к виду (24) и затем вычислить efe радиус с помощью выражений (12)-(16)

Сравнение предлагаемой модификации метода прогнозирующей модели на основе стандартного ФРВ с широко известными методами (методом степенных рядов и методом А. А Красовского) показало совпадение получаемых результатов Однако предлагаемая модификация в отличие от указанных методов позволяет. 1) существенно сократить объёмы вычислений (см рис 1), 2) оценить точность решаемой задачи АКОР, которая определяется точностью решения уравнения (8) свободного движения объекта в виде ФРВ, 3) определить область асимптотической устойчивости синтезируемой системы управления Кроме того, определение параметров квазиоптимальных законов управления с помощью ФРВ строго формализовано и гораздо легче поддайся алгоритмизации

Рис. 1. Зависимости объёмов У операций сложения, вычитания, умножения и деления, производимых над скалярными величинами, от порядка и объекта с квадратичной нелинейностью На рисунке- 1 - объём в методе степенных рядов, 2 - объем в методе А А Красовского, 3 - объём в разработанной модификации метода прогнозирующей модели

Применение предлагаемых в работе методик синтеза управлений проиллюстрировано на конкретных примерах

В четвёртой главе решается задача исследования 4 Структурная схема построенной системы векторного управления скоростью асинхронного электропривода состоит из следующих элементов 1) датчики тока, напряжения и скорости, являющиеся первичными источниками сигналов обратной связи, 2) наблюдающее устройство, осуществляющее вычисление модуля результирующего вектора пото-косцепления ротора и его угла в неподвижной системе координат, 3) преобразователи Кларка, реализующие преобразования трехфазных токов и напряжений в двухфазные и наоборот, 4) преобразователи Парка, выполняющие пересчет координат из неподвижной во вращающуюся со скоростью магнитного поля ротора систему координат и наоборот, 5) регулятор, осуществляющий стабилизацию регулируемых координат на заданных уровнях, 6) преобразователь частоты, выполняющий широтно-импульсную модуляцию питающего двигатель напряжения, 7) объект управления - асинхронный двигатель (АД)

На основе полученной математической модели возмущенного движения АД для двигателя АИР56В4УЗ с параметрами Риоы = 180 Вт, инш = 220/380 В (Д/Y), /ком = 1 09/0 63 А (Д/Y), Мнои = 1 27 Н м, мноы = 141 рад/с, Rs = 55 Ом, Rr = 29 Ом, М = 0 817 Гн, Ls = 1 4295 Гн, L, = 1 2545 Гн, J = 0 00079 кг м2, р = 2

при фиксированном задающем воздействии по потокосцеплению ротора \\i°r = 0 8 Вб синтезируется квазиоптимальный по ФОР закон управления U(X) = (w, (X), и2(Х))т, состоящий из достаточно большого количества полиномиальных слагаемых (первая координата имеет 26 слагаемых, а вторая - 34) Условно обозначим данный закон управления как (25*) В результате исключения несущественных слагаемых (слагаемых с наименьшими по модулю значениями коэффициентов) получен упрощенный вариант синтезированного закона и,(Х) = 1/т sat[(-555 103 х,-6 96 104 x3)/Um], -l,yi-\,

u2(\) = Um sat[(-2 57 103 х2-5 00 102 х4 - sat[y] = у,-1 <у< 1, (25)

-6 07 103 х2 х} -5.90 102 х3 х4 -3.58 103 х2 x32)/i/ra], 1'у-1'

где Х\ - отклонение от заданного значения проекции тока статора на результирующий вектор потокосцепления ротора, х2 - отклонение от заданного значения проекции тока статора на перпендикулярную к вектору потокосцепления ротора ось, лз - отклонение от заданного значения потокосцепления ротора, х» - отклонение от заданного значения скорости АД, Um=-Jl 220 В - ограничение на сигнал управления

Для оценки качества регулирования проводится моделирование системы векторного управления скоростью АД при различных законах управления 1) полный вариант синтезированного закона (25*), 2) упрощённый вариант синтезированного закона (25), 3) закон регулирования, предложенный в работе А В Садового

H|(0 = t/m Slgn

Ts тг dyr(0

t;+T,

"2(0 = ^m S'gn

4) ПИД-закон регулирования щ{() = ит sat

da(t)

sign|>] =

(26)

«2(0 = (/m sat

12000 J(v,(0-v?)A+13 -(iMO-V?)

210 (ю(0-ш°)+— |(м(/)-м°)л + 0 08 -(co(/)-co0)W

(27)

В выражениях (26), (27): ю° - задание по скорости, со(/) - фактическая величина скорости АД, уДО - фактическая величина потокосцепления ротора, Г, = Lr/Rr, r/^/fo+i?, K2r),L\=Ls-Lm Kr, Kr = Lml Lr, Lm= \ 5 М.

Для АД в составе силового электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями, работающей в режиме поиска цели, характерны частые и резкие изменения задания по скорости при постоянном полезном моменте нагрузки на валу, на который, зачастую, накладываются различные возмущающие воздействия Указанные особенности были учтены в моделировании работы асинхронного электропривода (см рис 2) Качество регулирования скорости оценивается с помощью показателя '2=0 4,

/= j К(/)-сo(t)fdt, (28)

í,=o

и величины перерегулирования. Отметим, что наличие перерегулирования в работе" указанного электропривода недопустимо В таблице 3 приведены величины функционала (28) и перерегулирования, обеспечиваемые рассматриваемыми законами регулирования в выделенных режимах работы

___Таблица 3

Законы регулирования Показатели оценки качества регулирования скорости в различных режимах работы

нагрузкаМс=\ Н м нагрузка Л/с=1 Н м с помехами

величина функционала (28) перерегулирование величина функционала (28) перерегулирование

при увеличении скорости при уменьшении скорости при увеличении скорости при уменьшении скорости

(25*) 378 9674 - - 3887281 - -

(25) 378 9679 - - 388 7286 - -

(26) 436 7916 - - 443 2857 - -

(27) 384 4257 03% 93% 395 1311 03% 93%

Из приведённой таблицы видно, что синтезированный закон квазиоптимального управления в полном и упрощённом вариантах обеспечивает достаточно качественное регулирование скорости в режимах работы АД, характеризующихся резкими и частыми изменениями задания по скорости при постоянном моменте

нагрузки на валу и при моменте нагрузки, искажённом помехами. По результатам сравнений (см. рис. 2 и табл. 3) синтезированный закон в полном и упрощённом вариантах обеспечивает более качественное регулирование скорости по сравнению с законами (26) и (27).

а). Нагрузка Мс= 1 Нм. б). Нагрузка Мс= 1 Нм с помехами.

Рис. 2. Графические результаты моделирования системы векторного управления скоростью асинхронного двигателя при различных законах регулирования. На рисунке: 1 - задание по скорости, 2 - момент нагрузки на валу двигателя, 3 - скорость АД под воздействием закона (25*), 4 - скорость АД под воздействием закона (25), 5 - скорость АД под воздействием закона (26), 6 - скорость АД под воздействием закона (27).

Для экспериментального подтверждения полученных результатов моделирования был разработан лабораторный стенд микропроцессорной системы векторного управления скоростью асинхронного электропривода. В состав стенда входят: двигатель АИР56В4УЗ, персональный компьютер (ПК), электронные модули.

Электронные модули включают: 1) ОБР-контроллер ТМ8320ЬР2402А - ядро системы управления, реализующее интерфейс с ПК и осуществляющее все вычисления (т. е. выполняет- функции наблюдающего устройства, преобразователей Кларка и Парка, регулятора); 2) преобразователь частоты - силовой преобразователь, формирующий систему трёхфазных напряжений, подаваемых на АД; 3) модуль сопряжения, организующий передачу сигналов обратной связи от датчиков к микропроцессору; 4) блок управления, осуществляющий задание режимов работы АД; 5) источник питания, обеспечивающий питанием ОвР-контроллер, модуль сопряжения и блок управления. Информация о текущем состоянии АД выводится на экран монитора ПК.

Графические результаты моделирования и работы стенда, обеспечиваемые законом (25), приведены на рисунке 3.

Рис. 3. Графические результаты моделирования и работы стенда

системы векторного управления скоростью асинхронного двигателя. На рисунке: I - задание по скорости, 2 - траектория движения реального АД, 3 - траектория движения моделируемого АД.

Сравнение показало, что максимальная разница в получаемых с помощью модели и стенда траекториях движения АД не превышает 6.2 %.

В приложениях приведены доказательства утверждений, примеры использования предлагаемых методик решения дифференциальных уравнений с помощью ФРВ, примеры синтеза квазиоптимальных управлений на основе разработанных методик, а также копии документов, подгверждающих внедрение полученных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертационной работы развивают метод прогнозирующей модели А. А. Красовского применительно к синтезу квазиоптимальных управлений для многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем

1 Разработаны методики приближенного аналитического решения с помощью различных видов ФРВ однородных дифференциальных уравнений, описывающих свободные движения многомерных объектов управления с квадратичными и кубическими нелинейностями Решения указанных уравнений в области сходимости ФРВ, для определения границ которой предложена соответствующая методика, находятся с инженерной точностью в виде суммы первых двух (ненулевых) членов ФРВ

2 Разработан аналитический способ определения весовых коэффициентов ВФРВ, обеспечивающего более точное решение дифференциального уравнения свободного движения объекта и, как следствие, решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества по сравнению с использованием стандартного ФРВ

3. Модифицирован метод прогнозирующей модели А А Красовского на основе применения различных видов ФРВ и разработаны соответствующие методики синтеза квазиоптимальных управлений для многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями. Определена область асимптотической устойчивости синтезируемых с помощью ФРВ систем управления Расчет коэффициентов полиномиальных управлений строго формализован с использованием операций сложения, умножения и кронекеровского произведения матриц и вследствие этого легко поддается алгоритмизации Применение стандартного ФРВ в решении нелинейной задачи АКОР позволяет получить тот же конечный результат, что и широко известные методы (метод степенных рядов и метод А А Красовского), но с гораздо меньшими вычислительными затратами, а использование ВФРВ обеспечивает решение задачи квазиоптимального управления с меньшей величиной заданного критерия качества

4 На основе разработанных методик синтеза квазиоптимальных управлений получен закон регулирования, используемый в системе векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями Результаты моделирования показали, что синтезированный закон регулирования обеспечивает по сравнению законом, предложенным в работе А В. Садового, и ПИД-законом более качественное регулирование скорости в режимах работы двигателя, характеризующихся резкими и частыми изменениями задания по скорости при постоянном моменте нагрузки на валу и при моменте нагрузки, искаженном помехами. Достоверность полученных результатов моделирования подтверждена результатами стендовых испытаний

Результаты диссертационной работы нашли практическое применение в Тульском филиале ФГУП «КБ машиностроения» при выполнении НИР «Блокировка», а также в учебном процессе ТулГУ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Ловчаков В И , Кирпа А В , Карпухин В П., Сухинин Б В К определению параметров имитационной модели асинхронного двигателя // Системы управления

электротехническими объектами Сб трудов второй Всероссийской научно-практической конференции Тула Изд-во ТулГУ, 2002, с 9-10

2 Ловчаков В И , Сухинин Б В , Феофилов Е И , Кирпа А В, Лукашин О В Анализ точности решения дифференциальных уравнений методом рядов Вольтер-ра // Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных и электронных технологий Материалы Международной конференции и Российской научной школы Часть 5 M Радио и связь, 2003, с 13-14

3 Кирпа А, В., Ловчаков В И Синтез регуляторов с использованием рядов Вольтерра // Идеи молодых - новой России. Сб. тез. док 1-й Всероссийск. научно-техн конф студ иасп Тула-Изд-во ТулГУ, 2004, с. 178.

4 Кирпа А, В., Ловчаков В. И., Сурков В В Анализ точности решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью различных видов рядов Вольтерра // Интеллектуальные и информационные системы Материалы межрегиональной научно-технической конференции / Тульский государственный университет Тула, 2004, с 25-27.

5 Ловчаков В И, Сухинин Б В, Кирпа А В., Феофилов Е И. Решение задачи АКОР по критерию обобщённой работы с использованием функциональных рядов Вольтерра // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-17. Сб трудов XVII Международ, науч конф • В 10 т. Т. 2 Секция 2 / Под общ ред В С. Балакирева Кострома изд-во Костромского гос. технол ун-та, 2004, с. 62-64

6. Ловчаков В. И., Сухинин Б. В., Кирпа А. В., Лукашин О. В. Новая форма описания нелинейных объектов и задач оптимального управления. // Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Информационные технологии. Системы управления». Вып. 3. Том. 2. Тула: ТулГУ, 2006. С. 12-15.

7. Кирпа А. В. Аналитическое конструирование квазиоптимальных регуляторов с использованием взвешенного ряда Вольтерра // Известия ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып. 9. Часть 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006, с. 255-258.

8. Кирпа А. В., Ловчаков В. И. Аналитическое конструирование оптимальных нелинейных регуляторов по критерию обобщённой работы с использованием рядов Вольтерра. // Изв. вузов. Электромеханика, 2007, № 2, с. 45-50.

Изд лиц. ЛР № 020300 от 12 02 97 Подписано в печать 22 05 2008 Формат бумаги 60x84 1/16 Бумага офсетная Уел печ л 1,1 Уч -изд. л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 04U Тульский государственный университет 300600, г Тула, просп Ленина, 92 Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г Тула, ул Болдина, 151

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Кирпа, Алексей Валерьевич

Введение.

1. Состояние теории оптимального управления объектами рассматриваемого класса.

1.1. Математическое описание задачи управления.

1.1.1. Уравнения динамики управляемых объектов.

1.1.2. Выбор критерия оптимизации. Постановка задачи управления.

1.2. Сравнительный анализ методов решения нелинейной задачи аналитического конструирования оптимального регулятора.

1.2.1. Методы синтеза оптимальных управлений по квадратичному критерию качества.

1.2.2. Методы синтеза управлений по критерию обобщённой работы.

1.2.3. Синтез оптимальных управлений с использованием функциональных рядов Вольтерра.

1.3 Обоснование и постановка задач исследования.

2. Математический аппарат функциональных рядов Вольтерра в решении многомерных дифференциальных уравнений с квадратичными и кубическими нелинейностями.

2.1. Формирование членов и определение области сходимости многомерного функционального ряда Вольтерра.

2.2. Стандартный функциональный ряд Вольтерра в решении многомерных однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями.

2.2.1. Решение дифференциальных уравнений с квадратичными нелинейностями.

2.2.2. Решение дифференциальных уравнений с кубическими нелинейностями.

2.3. Анализ точности решения нелинейных дифференциальных уравнений с помощью различных видов рядов Вольтерра.

2.4. Взвешенный функциональный ряд Вольтерра в решении многомерных однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями.

2.4.1. Определение весовых коэффициентов взвешенного ряда Вольтерра из условия приближения к истинному решению.

2.4.2. Решение дифференциальных уравнений с квадратичными нелинейностями.

2.4.3. Решение дифференциальных уравнений с кубическими нелинейностями.

3. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов по критерию обобщённой работы с использованием рядов Вольтерра.

3.1. Подход к синтезу квазиоптимальных управлений на основе функциональных рядов Вольтерра.

3.2. Стандартный функциональный ряд Вольтерра в решении задачи аналитического конструирования оптимального регулятора.

3.2.1. Решение задачи аналитического конструирования для объекта с квадратичной нелинейностью.

3.2.2. Решение задачи аналитического конструирования для объекта с кубической нелинейностью.

3.2.3. Определение области асимптотической устойчивости синтезируемой с помощью ряда Вольтерра системы управления.

3.2.4. Сравнение предлагаемого подхода к синтезу управлений с известными методами.

3.3. Взвешенный функциональный ряд Вольтерра в решении задачи аналитического конструирования оптимального регулятора.

3.3.1. Определение весовых коэффициентов взвешенного ряда Вольтерра из условия минимума вспомогательного функционала.

3.3.2. Решение задачи аналитического конструирования для объекта с квадратичной нелинейностью.

3.3.3. Решение задачи аналитического конструирования для объекта с кубической нелинейностью.

4. Аналитическое конструирование оптимального регулятора скорости для системы векторного управления асинхронным электроприводом.

4.1. Постановка задачи аналитического конструирования оптимального регулятора для электропривода.

4.2. Аналитическое конструирование квазиоптимального регулятора скорости

4.2.1. Построение математической модели асинхронного двигателя.

4.2.2. Построение математической модели системы векторного управления скоростью асинхронного электропривода.

4.2.3. Синтез регулятора скорости и его сравнение с другими регуляторами на основе моделирования.

4.2.4. Экспериментальное подтверждение результатов моделирования.

Введение 2008 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Кирпа, Алексей Валерьевич

В современный и обозримый будущий периоды времени перед теорией управления будут возникать [1] всё более сложные и ответственные задачи. Это связано не только с автоматизацией как неотъемлемой чертой научно-технического прогресса, но и ролью управления как средства обеспечения стабильности и безопасности в условиях нарастающих конфликтов, экологического кризиса, истощения традиционных природных ресурсов и других трудно обратимых процессов.

Современная теория управления неразрывно связана [2] с идеями оптимизации, которые пронизывают все её разделы, являясь по существу основой анализа и проектирования (синтеза) систем управления объектами самой различной природы. Идеи оптимизации сделались одним из основных инструментов развития теории управления, а теория управления в свою очередь оказала решающее влияние не только на развитие математических теорий, но и трансформировала само содержание понятия «оптимальность» в управление.

Несмотря на то, что общая задача оптимального управления давно стала классической и разработано много методов её решения, работы по созданию новых алгоритмов не теряют своей актуальности, поскольку конкретные прикладные задачи настолько разнообразны, что невозможно предложить единственный универсальный подход, который показал бы себя одинаково эффективно во всех возможных случаях.

Самые разнообразные по своему физическому содержанию задачи управления могут быть сведены к двум основным математическим постановкам [3]:

1. Задачи программирования траекторий движения, обладающих, в частности, некоторыми желаемыми экстремальными свойствами. Решению задач этого класса (то есть синтезу систем оптимальных по режиму управления) посвящено большое число публикаций [4—17].

2. Задачи синтеза регулятора, позволяющего стабилизировать движение объекта вдоль программной траектории в соответствии с выбранным критерием качества - аналитическое конструирование оптимального регулятора (АКОР) [18-23]. Рост актуальности решения данного класса задач (то есть синтеза систем оптимальных по переходному процессу) связан с тем фактом, что реальное движение объекта управления всегда отличается от желаемого по причине отсутствия полной априорной информации о параметрах, свойствах и условиях функционирования, а также зачастую с невозможностью точной реализации программных управлений. Данные обстоятельства вызвали необходимость разработки регуляторов, функционирующих по принципу обратной связи: по отклонениям от программного движения и гасящих эти отклонения. Методы АКОР находят всё расширяющееся применение в прикладных задачах управления различными сложными объектами, что связано с такими их достоинствами [24], как общность, логическая завершённость, принципиальная математическая простота. Одному из подходов решения задачи АКОР посвящена настоящая работа.

Непрерывный рост сложности технических систем, а также требований к точности управления ими, приводит к необходимости развития методов синтеза нелинейных многомерных систем управления, обеспечивающих в отличие от линейных систем высококачественное функционирование объектов при изменении их рабочих режимов в широком диапазоне, в том числе и в режимах близких к предельным. В данном направлении к настоящему времени достигнуты значительные результаты. „ Это, например, работы В. В Солодовникова., Е. П. Попова, В. А. Бессекерского, А. А. Вавилова, Е. И. Хлыпало, В. В. Яковлева, С. Е. Душина и другие работы в области частотных методов расчёта и проектирования нелинейных систем. Это работы В. М. Матросова, В. Д. Фурасова, В. М. Кунцевича, М. М. Лычака по синтезу нелинейных систем с применением аппарата функций Ляпунова. Широкие возможности для синтеза нелинейных систем открываются с позиций решения обратных задач динамики (А. Е. Барбашин, П. Д. Крутько, Л. М. Бойчук).

Серьёзные результаты получены в теории аналитического конструирования нелинейных регуляторов благодаря А. А. Красовскому, В. И. Зубову, А. Г. Александрову, Ю. П. Петрову и др. Новые подходы и методы синтеза нелинейных систем предлагает синергетическая теория управления А. А. Колесникова. Первый, основной вывод, вытекающий из анализа указанных работ, можно сформулировать следующим образом [24]: в настоящее время не существует законченных общетеоретических методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления. Причинами этого являются:

• невыполнение для них принципа суперпозиции;

• разнообразие классов функций, используемых для описания динамики нелинейных объектов управления и управляющих устройств;

• разнообразие требований к качеству процессов в различных режимах функционирования систем управления;

• различные уровни сложности управляемых объектов, характеризуемые многомерностью, многосвязностью, многоконтурностью и т. д.;

• отсутствие общего математического аппарата для аналитического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений.

Неизвестны также простые инженерные методы проектирования систем управления для многих практически важных классов нелинейных объектов. В связи с этим задача синтеза нелинейных многомерных систем управления отнесена академиками А. А. Красовским и А. А. Колесниковым к центральной проблеме современной теории управления.

Второй вывод заключается в следующем: не смотря на развитие численных и качественных методов анализа и синтеза нелинейных систем, существовала и существует необходимость получения аналитических, пусть даже приближённых, решений задач конструирования регуляторов для различных классов нелинейных объектов. Выделение таких классов объектов имеет большое теоретическое и практическое значение в связи с тем, что аналитические методы являются наиболее предпочтительными с точки зрения общности получаемых решений, простоты их использования, экономии машинного времени при нахождении или анализе решений. Отмеченные особенности аналитических решений, позволяющих относительно легко исследовать свойства системы при изменении её параметров в широких пределах, определяют целесообразность применения аналитических методов в практике проектирования и наладки систем автоматического управления. Кроме того, «наличие конструктивной аналитической теории всегда свидетельствовало о высоком уровне развития той или иной точки науки. Это положение вряд ли изменится и в эпоху мощного развития численных и алгоритмических методов, так как связано с неподавлением естественного интеллекта искусственным» (А. А. Красовский).

Широкое распространение полиномиальных моделей (моделей с нелинейными характеристиками полиномиального вида относительно фазовых координат) для описания процессов самой различной природы вызвало появление и становление теории полиномиальных систем, которая в первую очередь связана с именами Н. Винера [25], Д. Джорджа [26], Г. Ван-Триса [27-29], Д. Баррета [30] и Р. Флейка [31, 32]. Отдельные аспекты этой теории отражены и в отечественных монографиях [33-43] Ю. С. Попкова, К. А. Пупкова, В. И. Капалина, А. С. Ющенко, Н. Д. Егупова, Л. В. Данилова и др. Важнейшее достижение указанной теории состоит в разработке для полиномиальных систем математического описания типа «вход-выход» с помощью функциональных рядов Вольтерра (ФРВ) [40, 44—51]. Прямая функциональная связь между входом и выходом при известных ядрах Вольтерра обеспечивает относительно простое аналитическое решение задачи определения движения нелинейного объекта под действием произвольного входного сигнала. В основе такого подхода лежит теорема Фреше и её обобщения - континуальные аналоги теоремы Вейерштрасса [52] об аппроксимации непрерывных функций на отрезке вещественной оси многочленом. ФРВ является обобщением понятия интеграла свёртки, используемого для описания линейных объектов, на нелинейные динамические системы. В связи с этим данное описание позволяет с успехом применять для анализа и синтеза полиномиальных систем известные аналитические, в частности частотные, методы, разработанные для линейных систем управления.

Динамические модели с полиномиальными нелинейностями очень широко используются [24] для описания процессов самой различной природы, например: объектов химической технологии [53, 54], промышленных объектов с рециклом [54, 55], объектов биологии и экологии [56, 57], робототехнике [58-62], радиотехнике [63-67], процессов в летательных аппаратах [68-70] и др. Выделенное множество полиномиальных объектов управления можно значительно расширить, включив в него объекты с нелинейными характеристиками, являющимися непрерывными действительными функциями, после предварительной их аппроксимации полиномиальными зависимостями.

Указанный сравнительно простой и эффективный аппарат рядов Вольтерра в настоящей работе рассматривается как основной математический аппарат решения нелинейных дифференциальных уравнений объектов (с постоянными параметрами) для формулируемой далее задачи оптимального управления. Решение задач АКОР для стационарных полиномиальных объектов с применением аппарата ФРВ является первой характерной особенностью данной работы.

Анализ возможных постановок задач управления, вытекающих из трёх основных способов формализации требований к качеству движения синтезируемых систем, показал [24], что первый способ, состоящий в задании первичных показателей качества переходных процессов, и второй, заключающийся в представлении желаемого движения системой дифференциальных уравнений, практически невозможно использовать при конструировании нелинейных многомерных систем управления. Первый способ формализации в общем случае нельзя применять к нелинейным системам вследствие зависимости характера их переходных процессов от вида входных воздействий и начальных условий данных систем. Применение же второго способа к многомерным объектам встречает серьёзные трудности, связанные с учётом имеющихся ограничений на управляющие воздействия и с заданием структуры системы дифференциальных уравнений с большим числом параметров, описывающей желаемое движение. В связи с этим наиболее приспособленным для применения к сложным нелинейным многомерным объектам управления является способ формализации, основанный на введении оптимизируемого функционала (критерия качества) интегрального типа.

Использование интегральных критериев качества позволяет определить требования к переходным процессам системы управления путём задания значений весовым коэффициентам интегрального критерия, число которых может быть значительно меньше числа параметров системы дифференциальных уравнений, описывающей желаемое движение синтезируемой многомерной системы, и меньше числа первичных показателей качества, определяемых для каждой координаты многомерного объекта. При этом практически произвольный выбор весовых коэффициентов обеспечивает синтезируемой системе фундаментальное свойство — свойство асимптотической устойчивости. Главное достоинство данного способа формализации задач управления заключается в том, что он позволяет использовать для синтеза управляющих устройств сложными объектами результаты теории синтеза систем оптимальных по режиму управления и результаты теории синтеза систем оптимальных по переходному процессу.

Основу современной теории оптимальных систем составляют [71] принцип максимума JI. С. Понтрягина [72,73] и метод динамического программирования Р. Беллмана [74-76]. Целевой функционал, используемый в методе JI. С. Понтрягина, не содержит членов, зависящих от управления. Оптимальное управление находится при условии, что оно заключено в определённой разрешённой области, то есть учитываются физические возможности автоматических систем. Кроме того, принцип максимума устанавливает необходимые условия сильного экстремума функционала, то есть экстремума в классе кусочно-непрерывных функций. К числу недостатков принципа максимума относятся: сложность метода, релейный характер полученного управления и его «программный» (когда управление зависит от времени) вид.Другой метод решения задач оптимального управления, получивший название динамического программирования, предложен американским учёным Р. Беллманом. Принцип оптимальности определяет достаточно общее необходимое условие оптимальности динамических систем, но он не является всеобщим - принцип справедлив только для систем, у которых оптимальная траектория не зависит от предыстории системы, а целиком определяется её исходным состоянием. Основное достоинство данного метода заключается в том, что при наличии ограничений на управляющие воздействия и фазовые координаты объекта он позволяет синтезировать замкнутую (когда управление зависит от фазовых координат) систему оптимального управления, что очень важно для задач АКОР. Общая и отчётливая формулировка метода динамического программирования, данная Р. Беллманом, а также многочисленные приложения метода к разнообразным проблемам теории принятия решения, экономики, экологии и других областей знания способствовали закреплению [77] этого метода как одного из важнейших инструментов теории управляемых процессов.

К методу динамического программирования примыкает «линейно-квадратичная задача» (задача Летова—Калмана) теории управления. А. М. Летовым и Р. Калманом были получены [18—23] аналитические решения задачи об оптимальной стабилизации линейных стационарных объектов при квадратичном функционале качества. Дальнейшее развитие теории АКОР было связано с применением функционала обобщённой работы (ФОР) А. А. Красовского. В работах [78-85, 68, 86, 69, 87-98] и др. содержится последовательное развитие постановок задач и формулировок принципа минимума ФОР. Это развитие идёт в направлении расширения классов управляемых объектов, форм целевого функционала и метода доказательства так называемой основной теоремы А. А. Красовского.

Применение неклассического (полуопределённого) ФОР позволяет для сложных нелинейных задач оптимизации сократить вычислительные затраты на два-три и более порядков в сравнении с классическим целевым функционалом сходного типа, что является-неоспоримым преимуществом ФОР и показано во многих работах [68—70, 78-98] путём сопоставления материалов обширных численных решений и общими теоретическими путями. Кроме того, попытки [99, 100] общего сопоставления систем, оптимальных в смысле минимума ФОР и классических функционалов, в отношении традиционных прямых показателей качества переходных процессов или точности при стохастических возмущениях свидетельствуют в пользу ФОР как в отношении запаса фазы и амплитуды для линейных стационарных систем [99], так и статистической точности [100].

ФОР А. А. Красовского позволяет задать [101] следующие требования к синтезируемым управлениям: точность приведения объекта в заданное положение в указанный момент времени (терминальная задача); минимизация отклонений фазовых координат рассматриваемого процесса от желаемых позиций (квазитерминальная задача); минимизация затрат на управление безынерционными исполнительными устройствами в оптимальной системе.

Таким образом, использование ФОР в задачах АКОР обладает большими преимуществами, что позволяет перейти от теоретических исследований к решению достаточно сложных практических задач [101]. Решение задач АКОР на основе принципа минимума критерия обобщённой работы А. А. Красовского является второй отличительной особенностью данной работы.

Настоящая диссертационная работа была посвящена разработке такого подхода к синтезу управлений, который максимально сочетал бы в себе указанные положительные свойства принципа минимума ФОР А. А. Красовского и метода исследования нелинейных объектов с помощью ФРВ. Проведённая в данном направлении исследовательская работа определила принадлежность данного подхода к классу методов с прогнозирующей моделью [70, 87, 92, 98, 102]. Методы синтеза управлений на основе прогнозирующей модели являются наиболее универсальной формой оптимального в смысле минимума ФОР алгоритма управления. Иллюстрацией и обоснованием этого могут служить работы [70, 92, 103-106]. Опыт организационного управления показывает [107], что прогнозирование, предвидение является необходимым элементом всякого рационального управления. Определение оптимального управления посредством прогнозирования свободного движения управляемого объекта является вполне естественным, в несколько неопределённых и эвристических формах это было предложено Г. Зиболцем [108], К. Келли [109] и др. ещё задолго до появления строгой теории. Методы синтеза управлений данного класса основаны на интегрировании (решении) уравнения свободного движения управляемого объекта. Если не принимать во внимание ошибок интегрирования, то методы с прогнозирующей моделью следует отнести к точным методам оптимизации.

Таким образом, проведённые исследования установили возможность модификации метода прогнозирующей модели А. А. Красовского на основе ФРВ, позволяющей рассчитывать реализуемые на практике алгоритмы квазиоптимального управления полиномиальными многомерными объектами по строго формализованным методикам с относительно небольшими затратами вычислительных ресурсов, в частности - возможность получения квазиоптимального закона управления асинхронным электроприводом.

Цель работы состоит в модификациях метода прогнозирующей модели А. А. Красовского на основе использования ФРВ, позволяющих синтезировать квазиоптимальные законы управления многомерными объектами с квадратичными и кубическими нелинейностями; в разработке на их основе квазиоптимального закона управления асинхронным , электроприводом роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями.

Достижение указанной цели требует решения следующих задач исследования.

1. Разработать методики приближённого аналитического решения с помощью различных видов ФРВ однородных дифференциальных уравнений, описывающих свободные движения многомерных объектов управления с квадратичными и кубическими нелинейностями.

2. Разработать аналитический способ определения весовых коэффициентов взвешенного функционального ряда Вольтерра (ВФРВ), обеспечивающего более точное решение дифференциального уравнения свободного движения объекта и, как следствие, решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества по сравнению с использованием стандартного ФРВ.

3. Модифицировать метод прогнозирующей модели А. А. Красовского на основе применения различных видов ФРВ и разработать соответствующие методики синтеза квазиоптимальных управлений для многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями.

4. Применить разработанные методики синтеза квазиоптимальных управлений к построению системы векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями.

Предметом исследования является метод синтеза квазиоптимальных управлений с использованием прогнозирующей модели объекта (метод прогнозирующей модели А. А. Красовского).

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории оптимального управления и аппарат ФРВ. При исследовании электромеханической системы (асинхронный электропривод) применялись методы обобщённой теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальное исследование.

• разработаны методики приближённого аналитического решения с помощью различных видов ФРВ однородных дифференциальных уравнений с квадратичными и кубическими нелинейностями в области сходимости ФРВ, для определения границ которой предложена соответствующая методика;

• предложен способ аналитического определения весовых коэффициентов ВФРВ;

• в виде модификаций метода прогнозирующей модели А. А. Красовского на основе различных видов ФРВ разработаны методики синтеза квазиоптимальных управлений, образующих вместе с полиномиальными объектами второй и третьей степеней, асимптотически устойчивые системы управления в ограниченной области фазового пространства, для определения границ которой предложена соответствующая методика;

• на основе разработанных методик синтеза квазиоптимальных управлений получен закон регулирования, используемый в системе векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся следующие результаты исследований.

1. Приближённые аналитические решения многомерных дифференциальных уравнений, описывающих свободные движения объектов управления с квадратичными и кубическими нелинейностями, которые в области сходимости ФРВ определяются с инженерной точностью в виде суммы первых двух (ненулевых) членов ФРВ по строго формализованной процедуре, не требующей больших объёмов вычислений.

2. Способ аналитического определения весовых коэффициентов ВФРВ, обеспечивающего решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества по сравнению с использованием стандартного ФРВ. Согласно указанному способу весовые коэффициенты находятся из условия приближения получаемого решения в виде ФРВ уравнения свободного движения объекта к его точному решению.

3. Модификации метода прогнозирующей модели А. А. Красовского на основе различных видов ФРВ, представленные в виде соответствующих методик синтеза квазиоптимальных управлений для объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями, которые обеспечивают при использовании стандартного ФРВ решение задачи АКОР, совпадающее с решениями известных методов (метода степенных рядов и метода А. А. Красовского), но с гораздо меньшими вычислительными затратами, а при использовании ВФРВ — решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества, чем при использовании стандартного ФРВ.

4. Синтезированный закон регулирования, обеспечивающий по сравнению с законом, предложенным в работе А. В. Садового, и ПИД-законом более качественное регулирование скорости асинхронного электропривода в режимах работы, характеризующихся резкими и частыми изменениями задания по скорости при постоянном моменте нагрузки на валу двигателя и при моменте нагрузки, искажённом помехами.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена строгими математическими доказательствами теоретических результатов, совпадением получаемых результатов с результатами широко известных методов синтеза (метода степенных рядов и метода А. А. Красовского), практическим применением разработанных квазиоптимальных законов управления в конкретной электромеханической системе.

Практическая ценность. Практическая значимость разработанных в диссертации методик синтеза управлений определяется следующим: указанные методики позволяют без особых трудностей аналитического и вычислительного характера, присущих широко известным методам, синтезировать легко реализуемые на практике квазиоптимальные по ФОР системы управления многомерными объектами, описываемыми дифференциальными уравнениями с квадратичными и кубическими нелинейностями.

Реализация результатов. Работа выполнена в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» (ТулГУ). Полученные результаты использованы в научно-исследовательской работе (НИР) при выполнении гранта РФФИ № 05-01-96707 «Разработка методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов и математическое моделирование оптимальных по точности и быстродействию нелинейных систем управления динамическими объектами», при выполнении НИР «Блокировка» в Тульском филиале ФГУП «КБ машиностроения», а также в учебном процессе ТулГУ, о чём свидетельствуют соответствующие акты.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, библиографического списка на 189 наименований, 12 приложений. Материал изложен на 172 страницах. Работа содержит 19 рисунков и 7 таблиц.

Заключение диссертация на тему "Синтез квазиоптимальных управлений по критерию обобщённой работы с использованием функциональных рядов Вольтерра"

ВЫВОДЫ

1. Проведён анализ способов управления АД, в результате которого выделено векторное управление, основанное на координатных преобразованиях измеряемых и регулируемых переменных. Для реализации векторного управления построена математическая модель возмущённого движения АД в системе координат, ориентированной по результирующему вектору потокосцепления ротора, наиболее приспособленная к синтезу регулятора скорости с помощью разработанного подхода к решению задачи АКОР.

2. На основе разработанного подхода к решению задачи АКОР, для системы векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями, синтезирован квазиоптимальный по ФОР закон регулирования скорости (4.27). Поскольку полученный закон оказался неприемлемым для практической реализации из-за большого количества полиномиальных слагаемых, на его основе был получен упрощённый вариант закона регулирования (4.28), характеризующийся малым количеством слагаемых и обеспечивающий практически то же качество регулирования, что и исходный закон (4.27).

3. На основе моделирования системы векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями проведён сравнительный анализ качества регулирования скорости с помощью различных законов регулирования: синтезированного закона регулирования (в полном и упрощённом вариантах); закона, предложенного в работе А. В. Садового; ПИД-закона регулирования. Анализ результатов показал, что синтезированный закон (в полном и упрощённом вариантах) обеспечивает более качественное регулирование скорости в режимах работы АД, характеризующихся резкими и частыми изменениями задания по скорости при постоянном моменте нагрузки на валу и при моменте нагрузки, искажённом помехами. Достоверность полученных результатов моделирования подтверждена результатами стендовых испытаний.

154

Заключение

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Разработаны методики приближённого аналитического решения с помощью различных видов ФРВ однородных дифференциальных уравнений, описывающих свободные движения многомерных объектов управления с квадратичными и кубическими нелинейностями. Решения указанных уравнений в области сходимости ФРВ, для определения границ которой предложена соответствующая методика, находятся с инженерной точностью в виде суммы первых двух (ненулевых) членов ФРВ.

2. Разработан аналитический способ определения весовых коэффициентов ВФРВ, обеспечивающего более точное решение дифференциального уравнения свободного движения объекта и, как следствие, решение задачи квазиоптимального управления с меньшим значением критерия качества по сравнению с использованием стандартного ФРВ.

3. Модифицирован метод прогнозирующей модели А. А. Красовского на основе применения различных видов ФРВ и разработаны соответствующие методики синтеза квазиоптимальных управлений для многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями. Определена область асимптотической устойчивости синтезируемых с помощью ФРВ систем управления. Расчёт коэффициентов полиномиальных управлений строго формализован с использованием операций сложения, умножения и кронекеровского произведения матриц и вследствие этого легко поддаётся алгоритмизации. Применение стандартного ФРВ в решении нелинейной задачи АКОР позволяет получить тот же конечный результат, что и широко известные методы (метод степенных рядов и метод А. А. Красовского), но с гораздо меньшими вычислительными затратами, а использование ВФРВ обеспечивает решение задачи квазиоптимального управления с меньшей величиной заданного критерия качества.

4. На основе разработанных методик синтеза квазиоптимальных управлений получен закон регулирования, используемый в системе векторного управления скоростью асинхронного электропривода роботизированной системы дистанционного обнаружения и слежения за подвижными целями. Результаты моделирования показали, что синтезированный закон регулирования обеспечивает по сравнению законом, предложенным в работе А. В. Садового, и ПИД-законом более качественное регулирование скорости в режимах работы двигателя, характеризующихся резкими и частыми изменениями задания по скорости при постоянном моменте нагрузки на валу и при моменте нагрузки, искажённом помехами. Достоверность полученных результатов моделирования подтверждена результатами стендовых испытаний.

Библиография Кирпа, Алексей Валерьевич, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Красовский А. А. Неклассические целевые функционалы и проблемы теории оптимального управления (обзор). // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1992, № 1, с. 3-41.

2. Моисеев Н. Н. Оптимизация и управление (эволюция идей и перспективы). // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1974, № 4, с. 3-16.

3. Системы оптимального управления прецизионными электроприводами / А. В. Садовой, Б. В. Сухинин, Ю. В. Сохина.: Под ред. А. В. Садового. К.: ИСИМО, 1996. 298 е., ил.

4. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Наука, 1966. 624 с.

5. Розенман Е. А. Об оптимальных переходных процессах в системе с ограниченной мощностью. // Автоматика и телемеханика, 1957, № 6, с. 497— 516.

6. Святославский В. А. Применение принципа максимума для расчёта оптимального управления двигателями постоянного тока с независимым возбуждением. // Электричество, 1963, № 9, с. 10-15.

7. Петров Ю. П. Оптимальное управление электроприводами. М.: Госэнергоиздат, 1961, 187 с.

8. Каялов Г. М., Ладыжевский А. М. Обобщённое исследование задач оптимального управления электроприводами постоянного тока. // Электричество, 1969, № 11, с. 45-51.

9. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. М.-Л.: Энергия, 1965. 220 с.

10. Лернер А. Я. Принципы построения быстродействующих следящих систем и регуляторов. М.: Госэнергоиздат, 1961. 150 с.

11. Антомонов Ю. Г. Автоматическое управление с применением вычислительных машин. Л.: Судпромгиз, 1962. 340 с.

12. Павлов А. А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966. 390 с.

13. Васильев А. И., Анисимов А. С. Оптимальные процессы в микроэлектроприводах. M.-JL: Энергия, 1966. 143 с.

14. Пышкало В. Д., Акимов JI. В., Шамрай В. П. Оптимальные по быстродействию промышленные электроприводы. М.: Энергия, 1967. 104 с.

15. Антомонов Ю. Г. Синтез оптимальных систем. К.: Наукова думка, 1972. 320 с.

16. Куличенко Т. А. Оптимальные по быстродействию следящие приводы с двигателями постоянного тока. // Изв. вузов. Приборостроение, 1976, № 8, с. 35—40.

17. Колесников А. А. Принцип построения оптимальных и квазиоптимальных по быстродействию систем управления. // Изв. вузов. Электромеханика, 1978, № 2, с. 133-140.

18. ЛетовА. М. Аналитическое конструирование регуляторов. I. // Автоматика и телемеханика, 1960, № 4, с. 436—441.

19. ЛетовА. М. Аналитическое конструирование регуляторов. II. // Автоматика и телемеханика, 1960, № 5} с. 561-568.

20. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. III. // Автоматика и телемеханика, 1960, № 6, с. 661-665.

21. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов. IV. // Автоматика и телемеханика, 1961, № 4, с. 425—435.

22. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. V. // Автоматика и телемеханика, 1962, № 11, с. 1405-1413.

23. Kalman R. Е. Contribution to the Theory of Optimal Control // Bulet. Soc. Mat. Mech. 1960. Vol. 5, No 1, P. 102-119.

24. Ловчаков В. И., Сухинин Б. В., Сурков В. В. Нелинейные системы управления электроприводами и их аналитическое конструирование. Тула: ТулГУ, 1999. 180 с.

25. N. Wiener. Response of a Nonlinear Device to Noise. M. I. T. Radiation Laboratory, Cambridge, Mass., Report No. V-16s., Apr., 1942.

26. D. A. George. Continuons Nonlinear Systems. M. I. T. Research Laboratory of Electronics, Cambridge, Mass., Tech., Rep. No. 355, July, 1959.

27. H. L. Van Trees. Functional Techniques for the Analysis of the Nonlinear Behavior of Phase-Locked Loops. Proc. IEEE, v. 52, No 8, pp. 894-911, Aug., 1964.

28. H. L. Van Trees. Synthesis of Optimum Nonlinear Control Systems. M. I. T. Press. Cambridge, Mass., 1962.

29. H. L. Van Trees. A Threshold Theory for Phase — Locked Loops. M. I. T. Lincoln Laboratory, Lexington, Mass., Tech. Rep. No 246, Aug., 1961.

30. J. F. Barret. The use of Functionals in the Analysis of Nonlinear Physical Systems. Statistical Advisory Unit, Ministry of Supply, Great Britain, Rep. No 1/57, 1957.

31. R. H. Flake. Volterra Series Representation of Nonlinear Systems. AIEE Trans., vol. 81, Part II, pp. 330-335, 1963.

32. R. H. Flake. Volterra Series Representation of Time Varying Nonlinear Systems. Proc., Second International Congress of IF AC on Automatic control, Basel, Switzerland, Paper No 408/1, 1963.

33. Федоренко P. П. Приближённые решения задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 486 с.

34. Данилов JL В. Ряды Вольтерра-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987. 224 с.

35. Кабанов Д. А. Функциональные устройства с распределёнными параметрами. М.: Сов. Радио, 1979. 336 с.

36. Куликовский Р. Э. Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического управления. М.: Наука, 1967. 380 с.

37. Павленко В. Д. Некоторые вопросы исследования динамики нелинейных систем во временной области на основе интегростепенных рядов. Киев: Ин-т кибернетики УССР (препринт), 1974. 62 с.

38. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем / Ю. С. Попков, О. Н. Киселёв, Н. П. Петров, Б. JI. Шмульян. М: Энергия, 1976. 440 с.

39. Попков Ю. С., Ашимов А. А., Асаубаев К. Ш. Статистическая теория автоматических систем с динамической частотно-импульсной модуляцией. М.: Наука, 1988. 254 с.

40. Пупков К. А., Егупов Н. Д., Трофимов А. И. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1998. 562 с.

41. Колесников А. А. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. М.: Энергоатомиздат, 1987. 160 с.

42. Белянский П. В., Сергеев Б. Г. Управление наземными антеннами и радиотелескопами. М.: Советское радио, 1980. 279 с.

43. Пупков К. А., Капалин В. И., Ющенко А. С. Функциональные ряды в . теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. 448 с.

44. Ку И., Вольф А. Применение рядов Вольтерра-Винера для анализа нелинейных систем. // Техн. Кибернетика за рубежом. М.: Машиностроение, 1968. С. 145-165.

45. Пинчук В. М. Аппроксимация непрерывных процессов -конечными рядами Вольтерра при помощи итеративной процедуры. // Автомаитка, 1983, № 5, с. 39^6.

46. Мельников Г. И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 200 с.

47. БрокеттР. Нелинейные системы и дифференциальная геометрия // ТИИЭР. 1976. Т. 64. С. 80-94.

48. Apartsyn A. S. Mathematical modeling of the dynamic systems and objects with the help of the Volterra integral series // EPRI-SEI Joint seminar. Beijing, China. 1991. P. 117-132.

49. Apartsyn A. S. On some identification method for nonlinear dynamic systems // ISEMA-92. Shenzhen, China. 1992. P. 288-292.

50. Doyle III F., Pearson R., OgunnaikeB. Identification and Control Using Volterra Models. Springer-Verlag, 2002.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. 832 с.

52. Вольтер Б. В., Сальников И. Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М.: Химия, 1972. 160 с.

53. Кафанов В. В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1976. 463 с.

54. Олейников А. В. Оптимальное управление технологическими процессами в нефтяной и газовой промышленности. JL: Недра, 1982. 216 с.

55. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

56. Заславский Б. Г., Полуэктов Р. А. Управление экологическими системами. М.: Наука, 1988. 294 с.

57. Кулешов В. С., Дакота Н. А. Динамика систем управления манипуляторами. М.: Энергия, 1971. 304 е., ил.

58. Петров Б. Н., Рутковский В. Ю., Круткова И. Н., Земляков С. Д. Принципы построения и проектирования самонастраивающихся систем управления. М.: Машиностроение, 1972. 260 с.

59. Догановский С. А. Параметрические системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1973. 168 с.

60. Управляющие системы промышленных роботов. / Ю.Д.Андрианов, JI. Я. Глейзер, М. Б. Игнатьев и др. М.: Машиностроение, 1984. 288 с.

61. Электроприводы промышленных роботов с адаптивным управлением / Под ред. В. Н. Афанасьева. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987. 165 е., ил.

62. ПеровВ. П. Расчёт радиолокационных следящих систем с учётом случайных воздействий. Л.: Судпромгиз, 1961. 168 с.

63. Кривицких Б. X. Автоматические системы радиотехнических устройств. М.: Госэнергоиздат, 1962. 341 с.

64. Артамонов В.М. Следящие системы радиолокационных станций автоматического сопровождения и управления. JL: Судостроение, 1969. 488 е., ил.

65. Фельдман Ю. И., Гидаспов Ю. Б., Гомзин В. Н. Сопровождениедвижущихся целей. М: Сов. радио, 1978. 228 с.

66. Белянский П. В., Сергеев Б. Г. Управление наземными антеннами и радиотелескопами. М.: Сов. радио, 1980. 280 е., ил.

67. Красовский А. А. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969. 240с.

68. Красовский А. А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 558 с.

69. Буков В. Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полётом. М.: Наука, 1987. 232 с.

70. Кочетков Ю. А., Кулифеев Ю. Б. Синтез управления детерминированными системами методом инвариантного погружения. // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1984, № 1, с. 79-88.

71. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 392 с.

72. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 341 с.

73. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Иностр. литература, 1960. 232 с.

74. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. 458 с.

75. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969. 118 с.

76. Черноусько Ф. JL Динамическое программирование // Соросовский образовательный журнал, 1998, № 2, с. 139-144.

77. Красовский А. А. Интегральные оценки моментов и синтез линейных систем. // Автоматики и телемеханика, 1967, № 10.

78. Красовский А. А. Интегральные оценки моментов и синтез нелинейных регуляторов. // Автоматики и телемеханика, 1967, № 12.

79. Красовский А. А. Интегральные оценки моментов и синтез регуляторов нейтрального объекта. // Автоматики и телемеханика, 1968, № 1.

80. Красовский А. А. Интегральные оценки моментов и синтез регуляторов нестационарного объекта. // Автоматики и телемеханика, 1968, № 2.

81. Красовский А. А. Аналитическое конструирование систем управления нелинейными пассивными объектами. // Изв. АН СССР. Тенх. кибернетика,1968, №4.

82. Красовский А. А. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М.: Наука, 1968.

83. Красовский А. А. Обобщение задачи аналитического конструирования регуляторов при заданной работе управлений и управляющих сигналов. // Автоматики и телемеханика, 1969, № 7.

84. Красовский А. А. Развитие аналитического метода синтеза условно оптимальных управлений нелинейного объекта. // Автоматики и телемеханика,1969, № 11.

85. Красовский А. А. Аналитическое конструирование систем автоматического регулирования по критерию обобщённой работы. // Изв. АН СССР. Тенх. кибернетика, 1970, № 3.

86. Шендрик В. С. Синтез оптимальных управлений методом прогнозирующей модели. // ДАН СССР. 1975. Т. 224. № 3.

87. Казаков И. Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975.

88. Бондарос Ю. Г. Аналитическое конструирование контуров управления дискретных систем с полиномиальными характеристиками. // Изв. АН СССР. Тенх. кибернетика, 1975, № 3.

89. Кочетков Ю. А. Об оптимальном управлении детерминированными системами. // Изв. АН СССР. Тенх. кибернетика, 1976, № 1.

90. Красовский А. А. Об одном обобщении задачи аналитического конструирования систем управления. // Проблемы управления и теории информации. 1976. Т. 51(1).

91. Красовский А. А., Буков В. Н., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977.

92. Красовский А. А. Полуопределённые функционалы и оптимальное регулирование. // Пятый Всес. съезд по теоретической и прикладной механике (аннотации докл.). Алма-Ата: Наука, 1981.

93. Ванюрихин Г. И., Иванов В. М. Синтез оптимальных дискретных управлений по критерию обобщённой работы // Изв. АН СССР. Тенх. кибернетика, 1981, № 3.

94. Красовский А. А. Обобщение решения задачи оптимизации при неклассическом функционале // ДАН СССР. 1985. Т. 284. № 4, с. 808-811.

95. Красовский А. А. Стохастический принцип минимума обобщённой работы // ДАН. 1986. Т. 287. № 6, с. 1345-1347.

96. Красовский А. А. Развитие принципа минимума обобщённой работы // Автоматики и телемеханика, 1987, № 1.

97. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.

98. Александров А. Г. Свойства аналитически сконструированных линейных систем. Автоматики и телемеханика, 1975, № 10.

99. Красовский А. А. О преимуществах систем управления, сконструированных по критерию обобщённой работы // Изв. АН СССР. Тенх. кибернетика, 1970, № 5.

100. Коробков С. Н. Структура оптимальных нелинейных управлений, синтезируемых по критерию обобщённой работы // Изв. АН СССР. Тенх. кибернетика, 1977, № 3, с. 182-190.

101. Красовский А. А., ШендрикВ. С. Универсальный алгоритм оптимального управления непрерывными процессами // Автоматики и телемеханика, 1977, № 10.

102. Красовский А. А. Оптимальное управление посредством физической прогнозирующей модели // Автоматики и телемеханика, 1979, № 2, с. 156-162.

103. Буков В. Н., Зубов Н. Е. Релейное управление на основе алгоритма с прогнозирующей моделью // Автоматики и телемеханика, 1986, № 6.

104. Лысенко А. И. Синтез ветвящихся траекторий, оптимальных по критерию обобщённой работы // Научно-методические материалы. Алгоритмическое обеспечение интегрированных бортовых комплексов. М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1987.

105. Мисриханов М. Ш. Адаптивные прогнозирующие системы и их алгоритмическое обеспечение в задаче управления энергокомплексом // XI Всес. совещание по проблемам управления: Тез. докл. Ташкент, 1989. М.: АН СССР, 1989.

106. Красовский А. А. Прогнозирование и оптимальное автоматическое управление // Изв. АН СССР. Тенх. кибернетика, 1986, № 4, с. 115-122.

107. ZiebolzH., PaynterH. М. Possibilities of a two-time scale computing system for control and simulation of dynamic systems / Proc. of the National Electronics Conference. 1954.

108. Keeley C. R. Predictor instruments look to the future // Control Engineering. March. 1962.

109. Солодовников В. В., Филимонов А. Б., Филимонов Н. Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового простронства. I. Объекты с одномерным управляющим входом // Изв. вузов. Приборостроение. 1982, №6, с. 21-27.

110. Колесников А. А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994. 344 с.

111. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа, 1994. 318 с.

112. Бычков Ю. А. Расчёт систем управления на основе кусочно-степенных моделей. Л.: Энергоатомиздат, 1991. 130 с.

113. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем. М.: Мир, 1964.

114. Дроздов Н. В., Мирошник И. В., Скорубский В. И. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989. 284 с.

115. Душин С. В. Синтез структурно-сложных систем управления с полиномиальными нелинейностями: Автореф. дис. . д-ра. техн. наук. СПб: Гос. электротехнический ун-т, 1998. 34 с.

116. Ловчаков В. И. Анализ дуговой сталеплавильной печи как объекта автоматического управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1982. С. 61-66.

117. Валеев К. Г., Финин Г. С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981. 412 с.

118. Джонсон С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям// Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К. Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. 407 с.

119. Ланкастер П. Теория матриц / Перевод с англ. С. П. Дёмушкина. 2-е изд. М.: Наука, 1982, 269 с.

120. Садовой А. В. Синтез и исследование оптимальных по точности систем управления электроприводами с низкой чувствительностью к широкому спектру дестабилизирующих факторов: Дис. . д-ра техн. наук. Днепродзержинск: ДГТУ, 1992. 501 с.

121. Буровой И. А., Горин В. Н., Ромм Р. Ф. Построение динамической модели обратимых гетерогенных процессов // АиТ. 1968, № 6, с. 163-178.

122. Бойчук Л. М. Структурный синтез нелинейных систем управления. М.: Энергия, 1971. 113 с.

123. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988. 328 с.

124. Емельянов С. В. Бинарные системы автоматического управления. М.: МНИИПУД984. 320 с.

125. Крутько П. Д., Максимов А. И., Скворцов Л. М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988.

126. Цыпкин Я. 3. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. 576 с.

127. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

128. Абдуллаев Н. Д., Петров Ю. П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. 240 с.

129. Красовский А. А. Аналитическое конструирование систем ручного управления летательными аппаратами // АиТ. 1973. № 2.

130. Красовский А. А. Прогнозно-оптимизационная полуформализованная модель деятельности человека-оператора // АиТ. 1991. № 10.

131. Красовский А. А. Прогнозно-оптимизационная модель деятельности оператора // ДАН. 1991. Т. 317. № 1.

132. Крутько П. Д. Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами. М.: Советское радио, 1967. 440 с.

133. Калман Р., Арбиб М., Фалб П. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.400 с.

134. Летов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.256 с.

135. РойтенбергЯ. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 552 с.

136. Икримов X. Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. 190 с.

137. Лазарева А. Б., Пакшин П. В. Решение матричных уравнений Лурье, Риккати, Ляпунова для дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1986. № 12. С. 17-22.

138. Альбрехт Э. Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // ПММ. 1961. Т. 25. № 5. С. 836-844.

139. Альбрехт Э. Г. Об управлении движением нелинейных систем // Диф. уравнения. 1966. Т 2, 3. С. 324-334.

140. Зубов В. И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966.

141. Красовский А. А., Буков В. И., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными объектами. М.: Наука, 1977.

142. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.

143. Салуквадзе М. Е. Аналитическое конструирование регуляторов. Постоянно действующие возмущения // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. XXII. № 10. С. 1249-1287.

144. Колесников А. А., ГельфгатА. Г. Проектирование многокритериальных систем управления промышленными объектами. М.: Энергоатамиздат, 1993. 304 с.

145. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. 764 с.

146. Бондарос Ю. Г. Аналитическое конструирование контуров упрвления двумерными системами //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. № 5.

147. Красовский А. А. Аналитическое конструирование контуров сближения // Космические исследования. 1974. Т. XII. Вып. 1.

148. Буков В. Н., Красовский А. А. Операционный алгоритм оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 1974. № 10.

149. Справочник по современной прикладной теории автоматического управления / Под ред. Красовского А. А. М.: Наука, 1986.

150. Ку И. X., Вольф А. А. Применение функционалов Вольтерра-Винера для анализа нелинейных систем. В кн. Техническая кибернетика за рубежом. Под ред. проф. В. В. Солодовникова. М.: Машиностроение, 1968. 280 с.

151. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. 240 с.

152. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 683 с.

153. Ловчаков В. И., ФомичёвА. А. Синтез дискретного управления нелинейным нестационарным объектом // Автоматика. 1976. № 1. С. 57—70.

154. Ловчаков В. И. Приближённое аналитическое решение двухточечной краевой задачи оптимального управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1984. С. 44-47.

155. Ловчаков В. И. К вопросу аналитического решения нелинейной задачи оптимального управления // ТулПИ. Тула, 1991. Деп. в ВИНИТИ 29.12.91, № 4885-В91. 1Q с.

156. Ловчаков В. И. Применение рядов Вольтерра в решении задачи аналитического конструирования оптимального регулятора // Изв. вузов. Электромеханика. 1998. № 5-6. С. 80-90.

157. Ловчаков В. И. Метод аналитического конструирования квазиоптимальных нелинейных систем // Управление и информатика. Юбил. сбор. труд, кафедры "Автоматика и телемеханика" ТулГУ. М.: ООО "ИСПО-Сервис"1999. С. 210-220.

158. Ловчаков В. И, Малов Д. И. Определение ядер Вольтерра нелинейных систем управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. объектами. Тула: ТулПИ, 1977. С. 32-39.

159. Рейбман Н. С., ЧадеевВ.М. Построение моделей процессов производства. М.: Энергия, 1975. 375 с.

160. Кирпа А. В. Аналитическое конструирование квазиоптимальных регуляторов с использованием взвешенного ряда Вольтерра // Известия ТулГУ. Серия. Проблемы специального машиностроения. Вып. 9. Часть 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2006, с. 255-258.

161. Кирпа А. В., Ловчаков В. И. Синтез регуляторов с использованием рядов Вольтерра // Идеи молодых новой России: Сб. тез. док. 1-й Всероссийск. научно-техн. конф. студ. и асп. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004, с. 178.

162. Кирпа А. В., Ловчаков В. И. Аналитическое конструирование оптимальных нелинейных регуляторов по критерию обобщённой работы с использованием рядов Вольтерра. // Изв. вузов. Электромеханика, 2007, № 2, с. 45-50.

163. Лукашин О. В. Анализ асимптотической устойчивости в целом полиномиальных систем третьего порядка // Математические методы в технике и технологиях. Сборник трудов Международной научной конференции. Вып. 19. Москва, 2006. С. 68-74.

164. Электропривод переменного тока с частотным управлением. Бюттнер Ю., Гусяцкий Ю. М., Кудрявцев А. В. и др. / Под ред. Г. А. Щукина. М.: Моск. энерг. ин-т, 1989. 76 с.

165. Blashke F. The principle of field orientation as applied to the new transvector closed loop control system for rotating field machines. Siemens Review, Volume 34, Pages 217-220, May 1972.

166. Системы подчинённого регулирования электроприводов переменного тока с вентильными преобразователями / О. В. Слежановский, Л. X. Дацковский, И. С. Кузнецов и др. М.: Энергоатомиздат, 1983. 256 с.

167. Ковач К. П., РацИ. Переходные процессы в машинах переменного тока. Пер. с нем. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963. 744 с.

168. Кононенко Е. В., Сипайлов Г. А., Хорьков К. А. Электрические машины. Л.: Высшая школа, 1975. 279 с.

169. Башарин А. В., Новиков В. А., Соколовский Г. Г. Управление электроприводами. Л.: Энергия, 1982. 392 с.

170. Рудаков В. В., Столяров И. М., ДартауВ.А. Асинхронные электроприводы с векторным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1987. 134 с.

171. Унифицированная серия асинхронных двигателей Интерэлектро / В. И. Радин, И. Лондин, В. Д. Розенкноп и др.; Под ред. В. И. Радина. М.: Энергоатомиздат 1990. 416с.: ил.

172. Field Orientated Control of 3-Phase AC-Motors. Texas Instruments. BPRA073. http://www.ti.com/general/docs/lit/getliterature.tsp?literatureNumber= bpra073&fileType=pdf.

173. Дарьенков А. Б., Марков В. В., Титов В. Г. Бездатчиковая система векторного управления с ориентацией по вектору потокосцепления ротора. http://masters.donntu.edu.ua/2005/eltf/bondarenko/library/article9.htm.

174. Клюев А. С. Наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования. М., 1989.

175. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие. 3-е изд., испр. СПб.: Издательство «Лань», 2004. 256 с.

176. Доказательство утверждения об области сходимости решений в виде ФРВ однородных дифференциальных уравнений

177. Н(7, т) = <rAi<'-T) (П. 1.6)интегрального оператора).

178. Переходя к доказательству утверждения, отметим, что решение дифференциального уравнения (П. 1.1) эквивалентно 140. решению следующего нелинейного интегрального уравненияt

179. Х(0 = X1(t)+ Je-ai(r"t) -FX(t).-dx, (П. 1.7)огде

180. Хх (t) = e~Al' • Х0 + Je~Al (f-T) • В • U(t) • dx,о

181. А2 ■Y1(0®Y1(0-Y2(0®Y2(0.+ ^

182. A3-y, (0 ® yj (0 (x) yj (0 y2 (0 ® y2 (t) ® y2 (0j1. Yi (0 ® Yj (0 ® Yj (i) -y2(0®Y2(0®Y2(0

183. Для дальнейшего преобразования выражения (ПЛ. 10) воспользуемся соотношением

184. Y!(Oil• IfYy(0- Y2(Oil +1Yx(0- Y2(Oil-1Y2(Oil <2-R-!Yj(0- Y2(0||.

185. Используя понятие кронекеровской степени Y(/)M = Y(0A1. ® Y(0 [124], найдём оценку нормы1. W3.(0-y|3](0

186. Yf3. (0 Y|21(0 ® Y2 (0 + Y^(0 ® Y2 (0

187. Y|3. (0 + Yl (0 ® Y^ (0 Yl (0 ® Y^ZJ (0-И,

188. YИ (0 ® (Yi (0 Y2 (0) + Yl (0 ® СYi (0 - Y2 (0) ® Y2 (0 +(Y1(0-Y2(0)®Y|21(0И1. П.1.12)yfj (0 ■ IIyt (0 y2 (Oil + fy, (Oil • IIy, (0 - y2 (/)| • |y2 (Oil +||y! (0 - y2 (Oil • IyИ(0|| < 3 • R2 ■ ||y! (0 - y2 (0||.

189. Подставив неравенства (П. 1.11) и (П.1.12) в выражение (П. 1.10), получимоценку

190. FY! (0. F[Y2 (ОН < [2 • R ■ JA21 + 3 • R2 • ||A3 ||J- fYx (0 - Y2 (0|| (П. 1.13) С учётом соотношений (П. 1.9) и (П. 1.13) условие сжатия оператора L{ принимает вид11^21|' I?' ^1 А21| + 3 • J А3IJ <ц. (П.1.14)

191. Соответственно для объекта с квадратичной нелинейностью (А3 =(0)), как следует из (П. 1.14), радиус определяется соотношением11. R = R2 =2' I1! ' А2а для уравнения с кубической нелинейностью ( А2 = (0) ) 1. R = R3 <11. З'РУЦАз!

192. Таким образом, утверждение доказано.

193. Решение в виде стандартного ФРВ однородного дифференциального уравнения с квадратичной нелинейностью1. Дано:

194. Х(0 + • Х(0 + А2 • Х(0 (8) Х(0. = 0,1. П.2.1)где1. А, =v0 1 j1. А2 =г-\ 2 0 0Л -2-2 0 01. Хо —fy Л \x02j1. П.2.2)1. Решение.

195. Предварительно, определив функции по (2.25)1. Zl(t) = e~Av* = ехр5 0^ > Г.- о )• t v 7, J

196. Z2(0 = Je"Al"('-T) • А2 • Z,(х) ® Ъх (т). • dx =Чехр 5 0-1 2 0 (Л0 7J ^ X)J 1-2 -2 0 03 1 ' 5 V 'fe- 5,о

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00