автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аналитическое конструирование регуляторов для нелинейных объектов на основе функциональных рядов Вольтерра

На правах рукописи

Ловчаков Владимир Иванович

тя^о д

з 1 ш гт

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ ВОЛЬТЕРРА

Специальность 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Тула 1999

Работа выполнена на кафедре "Электротехника и электрические машины" Тульского государственного университета

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Сухинин Б.В.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Капалин В.И.

доктор технических наук, профессор Подчуфаров Ю.Б.

доктор технических наук, профессор Фалдин Н.В.

Ведущая организация: НИИ СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана

у „ №

Защита состоится " / " 2000 г. в часов в учебном

корпусе № 9, ауд. 101 на заседании диссертационного совета Д.063.47.04 Тульского государственного университета (300600, г. Тула, пр. Ленина, 92).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Ваш отзыв на автореферат в одном экземпляре, заверенный печатью, просим направлять на имя ученого секретаря совета.

Автореферат разослан " % " 1999 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ,

д.т.н., профессор ¿[аВ.М. Мазуров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современные производственные объекты являются, как правило, многомерными и нелинейными по своей природе, и использование их линеаризованных моделей при синтезе управляющих устройств (УУ) далеко не всегда позволяет получить требуемые показатели устойчивости и точности протекания регулируемых технологических процессов в условиях действия возмущений значительной мощности ( амплитуды). Всерасширяющееся применение нелинейных систем управления (СУ), обеспечивающих в отличие от линейных систем высококачественное функционирование объектов при изменении режимов их работы в широких пределах, в том числе и в режимах, близких к предельным," оптимальным, вызывает необходимость развития методов их синтеза.

В настоящее время не существует законченных общетеоретических методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления. Причинами этого являются: разнообразие классов функций, используемых для описания динамики объектов управления (ОУ) и УУ: разнообразие требований к качеству процессов в различных режимах функционирования СУ; различные, уровни сложности ОУ, характеризуемые многомерностью, многосвязностыо, многоконтурностью, наличием ограничений переменных и т.д.; отсутствие общего математического аппарата для аналитического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений (ДУ). Для многих практически важных классов нелинейных объектов отсутствуют также простые, инженерные методы проектирования систем управления. В связи с этим проблема синтеза нелинейных многомерных СУ является центральной в теории управления.

Среди большого разнообразия нелинейных объектов в работе выделен достаточно широкий для приложений класс ОУ, для которого оказалось возможным разработать аналитические по форме, относительно простые и эффективные методы и процедуры синтеза квазиоптимальных регуляторов. Модели динамики данных объектов описываются системами дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями от их фазовых координат. Такие модели применяются для описания движения систем самой различной природы: устройств электромеханики, химических реакторов, промышленных объектов с рециклом, биологических и экологических систем (модели Лотки и Вольтерра) и др. Учет запаздывания сигналов в различных каналах существенно раздвигает границы указанного класса ОУ. Явления запаздывания, в значительной степени снижающие устойчивость и качество работы автоматических систем, встречаются в объектах любой физической природы и объясняются конечной скоростью перемещения материальных, энергетических и информационных потоков. Исследуемый класс объектов, получивший название полиномиальных (Porter W., Crouch P.E.), можно многократно расширить, вюпрчив в него объекты с нелинейными характеристиками, являющимися непрерывными функциями, после предварительной аппроксимации их полиномиальными зависимостями. Широкое распространение полиномиальных моделей для

описания различных процессов вызвало появление теории полиномиальных систем (работы М. Фреше, Н. Винера, Г. Ван-Триса, Р. Флейка, Ю.С. Попкова, К.А. Пупкова, В.И. Капалина, A.C. Ющенко, А.Н. Дмитриева, Н.Д. Егупова, JI.B. Данилова и др.). Важнейшее достижение этой теории состоит в разработке для полиномиальных систем математического описания в форме функционального ряда Вольтерра (ФРВ). Данная функциональная модель является обобщением понятия интеграла свертки, используемого для описания линейных ОУ, и обладает такими достоинствами, как универсальность, возможность аналитического представления решений. Это описание позволяет с успехом применять для анализа и синтеза полиномиальных систем известные аналитические, в частности частотные, методы, разработанные для линейных СУ. В настоящей работе математический аппарат ФРВ является единой методологической основой, эффективным инструментом решения формулируемых задач синтеза оптимальных регуляторов для объектов выделенного класса.

В результате анализа основных способов формализации требований к качеству движения синтезируемых систем были сделаны следующие выводы: а) первый способ, состоящий в задании первичных показателей качества переходных процессов, в общем случае нельзя применять к нелинейным СУ вследствие зависимости характера их переходных процессов от вида входных воздействий и начальных условий данных систем; б) применение к многомерным объектам второго способа, заключающегося в представлении желаемого движения системой дифференциальных уравнений, встречает серьезные трудности, связанные с заданием структуры этой системы уравнений с большим числом параметров и со сложностью учета имеющихся ограничений на управляющие воздействия; в) наиболее приспособленным к синтезу нелинейных многомерных СУ является способ формализации, основанный на введении оптимизируемого функционала (критерия качества) интегрального типа.

Использование интегральных критериев, в частности квадратичных функционалов, позволяет определить требования к переходным процессам СУ путем задания значений небольшому числу их весовых коэффициентов, практически произвольный выбор которых обеспечивает фундаментальное свойство синтезируемой системы - ее асимптотическую устойчивость. Дальнейший же итерационный целенаправленный перебор весовых коэффициентов, как правило, удовлетворяет разумным требованиям к первичным показателям качества переходных процессов. Более широкие возможности в этом направлении обеспечивают функционалы с интегрантами полиномиального вида, содержащими слагаемые четвертой степени, которые для исследуемых электромеханических систем имеют физический смысл квадратичных отклонений соответствующих мощностей (энергий) от их заданных значений. Главное же достоинство данного способа формализации заключается в том, что он позволяет использовать для синтеза УУ сложными объектами результаты теории оптимального управления (работы Л.С. Понтрягина, Р. Беллмана, Р. Калаба, В.М. Тихомирова, В.И. Зубова, В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, Р. Габасова, Ф.М. Кириловой и др.)

и теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (работы A.M. Летова, Р. Калмана, A.A. Красовского, A.A. Колесникова, А.Г. Александрова, Ю.П. Петрова, Р.Т. Янушевского). Расширяющееся применение в прикладных задачах управления сложными производственными объектами методов АКОР связано с такими их достоинствами, как общность, предельная формализация, логическая завершенность, принципиальная математическая простота.

Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникла необходимость решения задачи АКОР по критерию качества с интегрантом полиномиального вида. Ее решение как задачи, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана на нелинейные объекты с запаздыванием, функционирующих при действии возмущений волновой структуры (терминология К.Т. Леондеса), относится к центральной проблеме современной теории автоматического управления (A.A. Красовский, A.A. Колесников). Вариант решения этой актуальной проблемы с использованием . математического аппарата ФРВ, который хорошо отражает особенности движения нелинейных объектов рассматриваемого класса, и предлагается в настоящей работе.

Исследования, проводимые по теме диссертации, выполнялись при финансовой помощи Министерства науки, высшей школы и технической политики РФ по программе "Университеты России", гранту № 01.9.80 005085 "Теория синтеза высокоточных следящих приводов антенн радиолокационных станций миллиметрового диапазона радиоволн", полученному в конкурсе проектов по фундаментальным исследованиям в области теории управления.

Цель работы состоит в разработке на основе математического аппарата функциональных рядов Вольтерра теоретических основ, методов и алгоритмов аналитического конструирования квазиоптимальных регуляторов для нелинейных многомерных объектов с запаздыванием; в разработке методик синтеза высокоточных электромеханических систем по критериям качества с полиномиальными интегрантами.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории многомерного преобразования Лапласа, на которых базируются математический аппарат ФРВ, методы теории оптимального управления, теории матриц. При исследовании электромеханических систем применялись методы обобщенной теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальные исследования.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся следующие результаты исследований:

- методология получения и анализа решений в форме ряда Вольтерра двухточечной краевой задачи, отвечающей исследуемой задаче АКОР для полиномиальных объектов рассматриваемого класса, которая содержит методы и алгоритмы определения членов ряда, анализа областей сходи-

мости функционального ряда, областей асимптотической устойчивости решений;

- методы и алгоритмы определения оптимальных интегральных многообразий (терминология К.Г. Валеева, Г.С. Финина) на основе найденных устойчивых решений краевой задачи в форме ФРВ, которые составляют базис соответствующих методов и алгоритмов синтеза законов квазиоптимального управления объектами без запаздывания;

- методология формирования алгоритмов работы в реальном времени устройств упреждения на время запаздывания значений фазовых координат нелинейных объектов с использованием их функциональных моделей в виде ряда Вольтерра и соответственно методология синтеза технически реализуемых квазиоптимальных алгоритмов управления нелинейными объектами с запаздыванием;

- обобщение указанных методов и алгоритмов на конструирование квазиоптимальных систем управления по критериям качества с предельным усреднением;

- модификация указанных методов и алгоритмов на синтез квазиоптимальных релейных систем управления объектами рассматриваемого класса;

- методы и способы структурной реализации квазиоптимальных нелинейных обратных связей, направленные на получение структур УУ меньшей сложности и обеспечивающие восстановление значений неизме-ряемых фазовых координат объекта;

- новые алгоритмы управления электроприводами постоянного и переменного токов, квазиоптимальные по критериям качества с полиномиальными интегрантами и модульным критериям; методики расчета их параметров.

Достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, содержащихся в диссертации, подтверждена математическими доказательствами теоретических результатов, совпадением законов обратных связей, полученных предложенным методом синтеза и методом динамического программирования для модельных задач управления невысокого порядка, применением разработанного метода для синтеза высококачественных СУ электроприводом, результатами цифрового моделирования и экспериментальных исследований синтезированных систем.

Научная новизна. Совокупность проведенных в диссертации исследований позволила на базе математического аппарата ФРВ разработать прикладную теорию аналитического синтеза квазиоптимальных регуляторов для нелинейных объектов широкого класса. С помощью данной теории получены новые алгоритмы управления электромеханическими системами, квазиоптимальными по нетрадиционным, имеющим глубокий физический смысл, критериям качества. В частности, в работе получены следующие новые результаты.

1. Для одномерных и многомерных объектов управления математически строго обоснован переход от решения нелинейной двухточечной

краевой задачи, сформулированной на полубесконечном интервале времени, к решению соответствующего интегрального уравнения. Установлены условия сходимости ФРВ, описывающего решения данного уравнения и соответственно экстремали задачи оптимального управления, которые одновременно гарантируют экспоненциальную и асимптотическую устойчивость нулевого решения указанного интегрального уравнения в некоторой ограниченной области начальных состояний объекта управления.

2. Предложен метод определения желаемого дифференциального уравнения движения синтезируемой замкнутой системы управления из условий равенства его решений в форме ФРВ и найденных устойчивых решений двухточечной краевой задачи. Данный метод вместе с известными соотношениями теории обратных задач динамики (П.Д. Крутько, Л.М. Бойчук) определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления одномерными объектами без запаздывания.

3. На основе найденных устойчивых решений многомерной двухточечной краевой задачи в форме ФРВ разработан метод определения оптимального интегрального многообразия - метод восстановления функциональной зависимости вектора сопряженных координат от компонент векторов фазовых координат ОУ и возмущающих воздействий, которая определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления многомерными объектами без запаздывания.

4. Для объектов с запаздывания в канале управления разработан метод синтеза квазиоптимальных регуляторов, основанный на процедурах упреждения координат состояния нелинейного объекта с использованием его функциональной модели в форме ряда Вольтерра и аппроксимации функциональных составляющих строго оптимального закона управления. Новизна структур систем управления подтверждается авторским свидетельством № 815711.

5. Разработан метод синтеза квазиоптимальных регуляторов для объектов с множественным запаздыванием, основанный на процедуре последовательного упреждения координат состояния нелинейного объекта с использованием функциональных моделей составляющих его каскадов.

6. Предложен подход к построению квазиоптимальных регуляторов с упрощенной структурой, основанный на использовании множественности решения задачи АКОР при действии волновых возмущений, имеющих постоянные и синусоидальные составляющие.

7. Математически доказано, что для обеспечения минимума интегральных квадратичных отклонений релейной системы управления одномерным полиномиальным объектом, описываемым в каноническом пространстве фазовой переменной, не требуется применения квадратичных и кубических обратных связей. Соответственно для многомерных оптимальных релейных СУ показано, что число используемых в них нелинейных обратных связей может быть значительно меньше числа ОС в системах, оптимальных по обобщенному квадратичному функционалу качества. На этом факте основана процедура упрощения структуры устройств управления многомерными полиномиальными объектами.

8. Предложены подход и способы реализации квазиоптимальных законов управления, основанные на переходе от аппроксимации законов обратной связи в форме степенного ряда к аппроксимации функций управления по специальным системам базисных функций и обеспечивающие получение структуры управляющих устройств меньшей сложности. Показана целесообразность использования аппроксимации Паде для приближения законов оптимального управления.

9. Для полиномиальных объектов определенного класса предложен метод синтеза наблюдающих устройств, обеспечивающий устойчивость их работы во всем фазовом пространстве наблюдаемого объекта.

10. Разработан метод синтеза квазиоптимальных систем управления объектами с кусочно-линейными характеристиками, в частности следящих систем при наличии люфта в исполнительном механизме. Новизна синтезированных алгоритмов управления и соответствующих структур следящих систем с люфтом защищены патентом 2114455 и положительным решением от 05.07.99 по заявке № 99104989/09 на выдачу патента.

11. Предложена методика синтеза квазиоптимальных законов управления электромеханическими системами по интегральному критерию качества, содержащему слагаемое четвертой степени от выходной координаты электропривода, которые обеспечивают апериодические переходные процессы систем с практически предельным быстродействием.

12. Разработана методика синтеза квазиоптимальных регуляторов для следящих систем по модульному критерию качества, обеспечивающих повышенные точность и быстродействие процесса слежения.

Практическая ценность. Практическая значимость предложенной в диссертации прикладной теории конструирования квазиоптимальных регуляторов определяется следующими факторами:

1) применением при синтезе СУ нелинейных (полиномиальных) моделей ОУ, учитывающих запаздывание в управлении и промежуточных координатах, которые в сравнении с линейными моделями более достоверно описывают физические процессы многих производственных объектов и существенно расширяют область применения исследуемых систем;

2) получением на основе указанных моделей алгоритмов квазиоптимального управления, обеспечивающих более высокие показатели качества синтезируемых систем в сравнении с типовыми регуляторами и с известными линейными законами управления;

3) разработкой прикладных методик, алгоритмов и программ синтеза, отличающихся относительной простотой и позволяющих сократить время проектирования систем управления и повысить качество проектов.

Простота метода синтеза СУ связана с его аналитическим характером и определяется тем, что нахождение параметров нелинейных алгоритмов управления сводится, в основном, к решению линейных алгебраических уравнений, для матриц коэффициентов которых (матриц типа Вандермон-да) указан аналитический метод обращения. Объем вычислительной работы по предложенному методу имеет приблизительно тот же порядок, что и по методу синтеза оптимальных регуляторов, развитому А.А. Красовским.

Результаты диссертации могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании автоматизированных систем проектирования современных устройств автоматического управления техническими объектами.

Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре электротехники и электрических машин (ЭиЭМ) Тульского государственного университета (ТулГУ), и в ней нашли отражение результаты исследований, проведенных автором в качестве ответственного исполнителя, по выполненным в 1986 - 1991 гг. хозяйственным договорам № 86-442 (№ ГР 01860077440), 89-755, 90-942 между ТулГУ, предприятием УЮ-400/2 г. Тулы и Всесоюзным научно-исследовательским проектно-конструкторским и технологическим институтом электротермического оборудования (ВНИИЭТО) во исполнение Постановления СМ СССР № 1107 от 01.10.87 г.; по гранту № 01.9.80 005085 "Теория синтеза высокоточных следящих приводов антенн радиолокационных станций миллиметрового диапазона радиоволн", проводимого в 1993-1997 гг. в соответствии с приказом Министерства науки, высшей школы и технической политики РФ № 43 от 13.03.92, а также по научно-технической программе "Механика, машиноведение и процессы управления" (направление "Системы идентификации, адаптивные и самообучающиеся системы управления, работающие в условиях неопределенности", проект "Разработка новой технологии создания систем оптимального управления высокоточными электроприводами, функционирующими в условиях неопределенности"), выполняемой в 1998-2000 гг. в соответствии с приказом Министерства общего и профессионального образования РФ от 14.04.98 № 960. Полученные результаты внедрены в практику проектирования систем управления электроприводом в НИИ CM Ml 1У им. Н.Э. Баумана и ОАО ЦКБА г. Тулы, использовались в разработках ВНИИЭТО, Тульского филиала ГУЛ КЕМ, а также применяются в учебном процессе на кафедре ЭиЭМ ТулГУ, о чем имеются соответствующие акты.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались: на Международных научных конференциях "Математические методы в химии и технологиях" (Тверь, 1995; Тула, 1996; Владимир, 1998; Новгород, 1999); на III Международной конференции "Электромеханика и электротехнологии" (Россия, Клязьма 1998); на Международной научно-технической конференции "Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий" (Москва-Сочи, 1998); на Всесоюзной научной конференции "Декомпозиция и координация в сложных системах" (Челябинск, 1986); на III Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статических методов в АСУ ТП" (Тула, 1987); на IX Всероссийской научной конференции "Динамика процессов и аппаратов химической технологии"( Ярославль, 1994); на III Всероссийской научно-технической конференции "Методы и средства измерений физических величин" (Нижний Новгород, 1998); на научно-технической конференции "Электротехнические комплексы автономных объектов - ЭКАО-97" (Москва, МЭИ, 1997); на LUI научной сессии, посвященной дню радио

(Москва, РНТОРЭС им. А.С. Попова, 1998); на межвузовских научно-технических конференциях в Тульском артиллерийском инженерном институте в 1997-1999 гг.; на ежегодных конференциях профессорско- преподавательского состава ТулГУ в 1975 - 1999 гг. и др.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 53 печатных работ, среди которых монография, 2 авторских свидетельства и 2 патента на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов по результатам исследований, библиографического списка из 239 наименований и 7 приложений. Основная часть работы изложена на 332 страницах. Работа содержит 53 рисунка и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, формулируются цель и основные задачи работы, а также приводятся положения, определяющие ее структуру и методы исследования.

В первой главе дается математическое описание исследуемого класса нелинейных объектов управления и его подклассов, важных для приложений, формулируются задачи аналитического конструирования регуляторов для рассматриваемых объектов, обосновывается подход к их решению с использованием математического аппарата функциональных рядов Воль-терра.

Класс нелинейных ОУ, для которого оказалось возможным разработать аналитический метод синтеза квазиоптимальных законов управления, образуют стационарные объекты, описываемые обыкновенным векторным нелинейным дифференциальным уравнением

X(t) = A(X) + B(X)U(t-T0) + C,V(t); U(t) = Vo(t), -x0St<0, (1) где X(t) = [xi(t),...,xn(t)]T - вектор фазовых координат состояния объекта;

U(t) = [uj(t).....um(t)]T - вектор управляющих воздействий; V(t)= [vi(t),...,v,(t)]T -

вектор возмущающих воздействий; А(Х) = AiX + Аг(Х) - матрица-столбец с элементами ai(X) г а*(х1,х2,...,х„), представляющими собой полиномиальные функции от составляющих вектора состояния объекта; В(Х) = Bi + В2(Х) - матрица с элементами-функциями by(xi,x2,...,xn), i = l,2,...,n, j = l,2,...,m, также полиномиального вида; Ci - постоянная матрица размерности пхг; т0 - время чистого запаздывания входного сигнала объекта;

о (t) - вектор начальных функций многомерного звена запаздывания на время то.

Многомерные объекты, описываемые уравнением (1), предполагаются управляемыми, причем вектор управления U(t), компоненты которого являются непрерывными или кусочно-непрерывными функциями, принадлежит следующему замкнутому множеству:

Um={Up:Up(t) € t-Upmax. upmax] V t €[to, «), p =1,2, ...,m } (2)

(как правило, считается ирЫи = 1, р = 1,2,...,m).

В работе большое внимание уделяется также одномерным объектам со

скалярными входными u(t), v(t) и выходным x(t) сигналами: | А „ (p)x(t) - P[x(t),..., x{n-l) (t), v(t),..., v(m) (t)] = Bra (p) v(t -1 о ) + k • u(t -10 ),

[vt/1(t)SBm(p)v(t)+k-u(t) = Vo(t), -x0<t<0, (3)

являющимися подклассом ОУ (I). В уравнении (3) приняты следующие обозначения: An(p), Вт(р) - линейные стационарные дифференциальные

операторы пит порядков (m < п) ; P[x,..,x(n"1),v,..,v(m)]- полиномиальная функция от указанных переменных.

Выделение объектов (3) вызвано двумя причинами. Во-первых, указанные объекты представляют для практики самостоятельный интерес из-за их достаточно широкого распространения. Во-вторых, рассмотрение объектов (3) имеет большое методологическое значение: для них многие формулируемые задачи управления и наблюдения решаются значительно легче, чем для объектов основного класса (1) вследствие их одномерности и

использования пространства X = (x,x,...,x(n_1) ) фазовой переменной. В

связи с этим в работе, как правило, принимается следующая методологическая схема решения задач управления: на первом этапе исследования задача решается для объектов класса (3), на втором этапе полученное решение распространяется на объекты основного класса (1) и далее на ОУ, представляющие собой каскадное (последовательное) соединение объектов (1) или (3).

Полиномиальные характеристики ОУ предполагаются однозначными в некоторых окрестностях начала своих координат, и движение объекта рассматривается именно в области, являющейся пересечением указанных окрестностей, под действием ограниченных по амплитуде возмущений волновой структуры. Функции данной структуры, характерные для многих реальных ОУ, математически описываются выражением

v(t) = v,fj(t) + v2f2(t)+- • -+vMfM(t), LffiCt^^Fiis), ¡ = 1,2,...,M, (4) где fi(t), i =• 1,2,...¡M, - известные функции, имеющие преобразования Лапласа Fi(s), a Vi - неизвестные параметры, которые в случайные моменты времени скачком изменяют свои значения, причем соседние скачки Vi разделены интервалом времени (временем волны возмущения) 0 > 8min.

Так как базисные функции имеют преобразования Лапласа, то возмущения (4) можно также рассматривать как выход некоторой линейной динамической системы, начальные условия которой скачком меняются через время 9 > 8min. Предполагается, что система управления в течение относительно продолжительного интервала 9min успевает провести оценку возмущения и затем соответствующим образом его отработать. После получения оценки возмущения, например с использованием наблюдающих устройств, функция v(t) далее на интервале 6min будет известной, детерминированной. На этом основании для синтеза регулятора, противодействующего данному возмущению, используются методы теории оптимального управления детерминированными объектами.

На множестве возмущений указанной структуры необходимо различать два подмножества, каждое из которых требует своей постановки задачи аналитического конструирования регулятора. Первое подмножество образуют возмущения, описываемые базисными функциями, для которых можно ввести оценку

|fi(i)(0| * Ue-", fmax, X > 0, i = 1,2,3,.,. , j = 0,1,.. (5)

вследствие принадлежности полюсов их преобразований Лапласа Fi(s) левой полуплоскости корней. Множество функций, определенных на интервале времени [0,оо) и удовлетворяющих неравенствам (5), называется множеством экспоненциально ограниченных функций и обозначается -МЕ0)[0,оо).

Если компоненты вектора возмущения Vj(t) €МЕ[0,оо), то задача управления (АКОР-1) формулируется следующим образом: на множестве допустимых управлений (2) найти закон обратной связи U(t) = F,[X(t), V(t), Z(t,t), 0 < т < т0]. образующий совместно с исходным объектом устойчивую замкнутую систему, доставляющую минимум функционалу качества:

100

I, = -J(XTQ,X + Q2(X) + UTRU)dt-»min; (6)

2 о

закон управления должен не зависеть от неизвестных параметров vt , i -1,2,...,М, возмущения и соответственно обеспечивать оптимальную отработку всех возмущающих функций класса (4).

Здесь Q[,R- заданные симметричные положительно определенные

матрицы критерия размерности nxn, mxm; Q(X) = XTQ!X + Q2(X) - положительно определенная функция полиномиального вида, содержащая слагаемые второй, четвертой и т.д. степеней; Z(t,t) - функция состояния звена чистого запаздывания, которая по определению описывает сигнал вдоль линии запаздывания (0 < т < т0) в текущий момент времени t, а при t = 0 равна начальной функции звена v(/0(t).

Если же Vj(t) гМЕ[0,оо) (второе подмножество функций - среди полюсов Fi(s) есть комплексно сопряженные и нулевые), то задача управления (АКОР-2) формулируется аналогично, но для функционала качества

1 0

I2 = lim— f(XTQiX + Q2(X) + UTRU)dt (7)

9->со 29 *

с предельным усреднением. Введение множителя 1/9 обеспечивает функционалу 12 при 0 -»оо конечные значения на ограниченных функциях, но не удовлетворяющих оценкам (5).

Данные задачи АКОР являются обобщениями известной задачи Лето-ва-Калмана на нелинейные объекты при наличии запаздывания и действии возмущений волновой структуры. Их решение относится к центральной

проблеме современной теории автоматического управления - проблеме оптимизации в "большом" (A.A. Красовский, A.A. Колесников).

Решение поставленных задач АКОР можно значительно упростить с использованием результатов работ А.Т. Fuller, Р.Т. Reeve, В.И. Буякоса, A.A. Пионтковского, из которых следует, что закон оптимального управления объектами с запаздыванием в канале управления имеет структуру вида

U(t) = F[X(t + T0),V(t + T0)], (8)

X(t + т0) Э (X(t + Tg), V(t + т0))т = Ф{Х(1), Z(t,T), 0 < Т < Т0]. (9)

Соотношения (8), (9) позволяют провести декомпозицию решения сложной исходной задачи управления на решение двух самостоятельных подзадач: 1) задачи определения функции F[...] - задачи АКОР без учета запаздывания (т0= 0) и 2) задачи определения функционала Ф[...] - задачи синтеза алгоритма функционирования упреждающего устройства (упредителя), определяющего значения упрежденных на время запаздывания координат вектора X(t + т0) состояния "расширенного" объекта через его состояние в текущий момент времени.

Задача синтеза упредителя решена только для линейных ОУ; для нелинейных объектов аналитический вид функционала Ф[...] неизвестен. Однако возможность аналитического описания существует - оно может быть получено путем аппроксимации функционала (9) рядом Вольтерра относительно функции Z(t,T) (теорема М. Фреше). В связи с этим в диссертационной работе сформулирована

задача исследования 1: разработать с использованием аппарата ФРВ метод формирования алгоритмов работы в реальном времени устройств упреждения фазовых координат нелинейных объектов (1), (3); предложить и исследовать методы и способы реализации данных устройств.

Проведенный анализ работ по синтезу оптимальных регуляторов для нелинейных объектов без запаздывания (т0= 0) привел к выводу, что наиболее перспективным подходом к синтезу СУ полиномиальными ОУ рассматриваемого класса является подход, основанный на использовании принципа оптимальных интегральных многообразий (работы В.К. Валее-ва, Г.С. Финина) при нахождении многообразий с применением аппарата ФРВ. Его сущность состоит в следующем. Принцип максимума JI.C. Пон-трягина определяет для объектов (1) оптимальное управление

U(t) = sat^R-1 -BT[X(t)]-vF(t)J (10)

через вектор *P(t) координат сопряженной системы. При этом экстремали объекта X(t) и вектор T(t) являются решениями двухточечной краевой задачи (ДТКЗ) вида

Определив устойчивые траектории X(t), *P(t) задачи (11), в принципе возможно найти взаимосвязь вектора с фазовыми координатами объекта, которые, в свою очередь, зависят от возмущающих воздействий: Т(0 = S[X(t), V(t)]. Интегральное многообразие, описываемое функцией S[...], совместно с выражением (10) однозначно определяет искомый закон оптимального комбинированного управления:

U(t) = sat[R"1 • Вт [X(t)] • S[X(t), V(t)]|. (12)

В связи с этим данное многообразие называется оптимальным.

Однако нахождение интегрального многообразия системы дифференциальных уравнений (11) встречает серьезные трудности. Поэтому в работах A.A. Колесникова предлагается многообразия не определять, а задавать из некоторых соображений. Вопросы разработки принципов, методов, способов задания интегральных многообразий, называемых также си-нергиями, аттракторами, обеспечивающих синтезируемым системам желаемые свойства, составляют основное содержание новой синергетической теории управления нелинейными объектами.

Работа по синтезу нелинейных СУ с использованием аппарата ФРВ привела автора к убеждению, что для полиномиальных объектов класса (1) трудности нахождения оптимальных многообразий могут относительно просто преодолены на основе представления решения двухточечной краевой задачи (11) в форме ряда Вольтерра относительно возмущающей вектор-функции. Данной вывод основывается на следующих особенностях решений нелинейных дифференциальных уравнений в форме ФРВ:

1) эти решения в конечном счете представляются в виде суммы экспоненциальных функций, из которых легко выделить множество устойчивых экстремалей;

2) строгая формализация вычисления членов ряда Вольтерра может облегчить определение взаимосвязи векторов ¥( t), X(t);

3) ряды Вольтерра приспособлены к описанию движения объектов под действием внешних возмущений, что предопределяет целесообразность их использования в решении задач комбинированного управления.

Реализация выбранного подхода к синтезу нелинейных систем предполагает решение следующих задач.

Задача исследования 2: разработать методы и алгоритмы получения решений двухточечной краевой задачи (11) в форме ряда Вольтерра, а также анализа их сходимости и устойчивости.

Задача исследования 3: на основе найденных устойчивых решений краевой задачи разработать методы и алгоритмы определения оптимальных интегральных многообразий - методы и алгоритмы решения задачи АКОР-1.

Задача исследования 4: распространить методы и алгоритмы решения задачи АКОР-1 на решение задачи АКОР-2.

Задача исследования 5: разработать методы и способы структурной реализации синтезированных квазиоптимальных систем управления.

Во второй главе указанные задачи решаются применительно к одномерным объектам управления (3). Для них двухточечная краевая задача, составленная на основе критерия

Ii2=|ïjlqi(x(0(t))2 + r-u2(t)jdt (13)

с использованием уравнения Эйлера- Пуассона, имеет структуру дифференциального уравнения 2п-го порядка с полиномиальной нелинейностью:

| Â 2n (p)x(t) = А „ (-p)Bn (р) v(t) + p[x(t),.., х<2"-»> Ct), v(t),.., v<n+m> (t)],

x(i)(0) = x£\ x(i)(t-»oo), i =0,l,...,n- 1.

(14)

Структура (14) предопределила поиск оптимального интегрального многообразия в форме дифференциального уравнения

í(n)(t) = s[x(t),..,x(n-1)(t),v(t),..,v(m,(t)],

[х(''(0) = Xg', i = 0,l,...,n-1.

Так как решения задачи Коши (15) по определению оптимального интегрального многообразия должны быть устойчивыми и совпадать с решениями краевой задачи (14), то по своему физическому смыслу дифференциальное уравнение (15) являегся уравнением движения синтезируемой замкнутой СУ. Зная это желаемое уравнение движения (ЖУД) конструируемой системы, легко известными методами решения обратных задач динамики (П.Д. Крутько, JT.M. Бойчук) найти закон оптимального управления. В связи с этим вторая глава посвящена, главным образом, разработке метода нахождения ЖУД синтезируемой СУ, в основе которого лежит аналитическое решение краевой задачи (14) в форме ряда Вольтерра

со со со

x(t)= jH,(t,T1)v(T1)dTl + JjH2(t,ti,t2M'Í2)v(T2)^ld^J+- =

О 00

¡1=1 ¡l.¡2=1

представляемое, в конечном счете, как сумма экспоненциальных функций с показателями, имеющими отрицательную вещественную часть.

В процедуре применения аппарата ФРВ к решению двухточечной краевой задачи можно выделить два этапа: 1) преобразование краевой задачи в эквивалентное интегральное уравнение, 2) разработка алгоритма определения членов ряда Вольтерра, описывающего решения данного интегрального уравнения. Методология выполнения первого этапа обосновывается следующими теоремами.

Теорема 2.1: на множестве функций x(t) (й(22п)[0,оо) = Ь2[0,оо)ПМ(2п)[0,оо), L2[0,co) - множество функций, интегрируемых с квадратом) решение краевой задачи (14) эквивалентно решению интегрального уравнения

х(1) = X, (I) + / Н(1, х, )Р[х(х,),..., х(2п-'> (х, )У(Х,),... Уп+т) (т, )№, (17) о

со свободным членом Х1(0, являющимся решением линеаризованной краевой задачи, и ядром

|Ь(1-х2)Ь(т,-х2)ёх2, 0£х,<1,

Н(1,х,)= ° (18)

|Ь(1 - Х2)Ь(Х| - x2)dx2, I < х, <оо, .о

где Ь(0 = 1Г'[1/Сп(р)], причем полином Оп(р) определяется факторизацией оператора А2п(р) = Оп(-р)Сп(р) уравнения Эйлера-Пуассона.

Условия существования решений интегрального уравнения (17) ( краевой задачи (14)) в классе функций £1^2п)[0,оо) и их устойчивости устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 2.2: если возмущающие функции удовлетворяют ограничениям = 5иР 2 г; } = 0,1,...,п + ш, причем преобразование

0^<оо

Лапласа У(б) -ь у(1) имеет полюсы с отрицательными вещественными частями 11есц<0, 1 = 1,2,...,п' (т.е. е

то существует

единственное решение х(0 е0(22п)[0,оо) интегрального уравнения (17), представимое рядом Вольтерра в области, границы которой задаются радиусом Яо:

||х(1)0)Ц*Я0, ¡ = 0,1,...Дп-1 , ' (19)

определяемым как наименьший положительный корень соответствующего алгебраического уравнения; в области (19) нулевое решение интегрального уравнения (17) экспоненциально устойчиво с оценкой

|х0)(0|^хтахе-Х1, х^^И, X = тт{а1,а2,...,ап-,р1,р2,...,ра}, (20)

где р: - корни полинома Оп(р).

Указанные результаты составляют теоретическое обоснование методологии решения двухточечной краевой задачи (14) и соответствующей задачи синтеза оптимальных регуляторов с применением аппарата ФРВ.

Метод рядов Вольтерра в решении интегральных уравнений есть вариация метода последовательных приближений и отличается от него способом упорядочения слагаемых, которые располагаются в искомой функции в соответствии с порядком функциональных выражений (16). Этот способ расположения слагаемых играет принципиальную роль в решении задач АКОР. Осуществив его применительно к уравнению (17), автор предложил рекуррентный алгоритм определения членов искомого ряда Вольтерра, являющийся развитием алгоритма Ю. Ку и А. Вольфа. Он применим для решения интегральных и, следовательно, дифференциальных

уравнений с полиномиальной нелинейностью не только от выходной переменной, но и от функции возмущения и их производных. На его основе получены выражения экстремалей задачи АКОР-1 - выражения для расчета коэффициентов D^, D^,... ряда (16).

С использованием при предельном переходе Т—>со аналитического решения краевой задачи на интервале [0,Т] в форме ряда Вольтерра, доказано (теорема 2.3), что для нахождения экстремалей функционалов с предельным усреднением в области, ограниченной неравенствами (19), можно по-прежнему применять уравнение Эйлера- Пуассона, которое, однако, определяет их неоднозначно, а с точностью до экспоненциально ограниченных функций. Поэтому алгоритм вычисления экстремалей задачи АКОР-1, можно использовать также и для нахождения экстремалей задачи АКОР-2 с учетом наличия нулевых и чисто мнимых полюсов у преобразования Лапласа возмущающей функции.

Указанные выше результаты составляют методологию определения в форме ФРВ экстремалей задачи конструирования оптимальных регуляторов для объектов класса (3).

На основе полученного аналитического решения (16) двухточечной краевой задачи разрабатывается метод нахождения оптимального интегрального многообразия (15). Анализ решения (16) для возмущения V(s) = A/Qn.(s) (полином Qn.(s) имеет некратные корни а, * а2 ап.,

причем п' > ш) позволил установить структуру интегрального многообразия - структуру желаемого уравнения движения синтезируемой системы:

Gn(p)x(t) = f bjV«(t) + 11 I I b* ikx(jl)-x^> .v(j'+l)-v(jk),

j=0 k=2v=0j,_jv=0jv+l_jk=0 (21)

X(i)(0) = 0, i = 0,l,...,n-l.

Искомые параметры bj, b]j_jk уравнения (21) находятся в соответствии с определением интегрального многообразия из условий тождественного равенства решений задачи Коши (21) и двухточечной краевой задачи (14), представленных в форме рядов Вольтерра. Условия выполнения этого тождества при произвольных значениях амплитуды А возмущающего воздействия вытекают из равенств членов одного порядка указанных функциональных рядов, которые можно представить в виде суммы экспоненциальных функций (16). Приравнивая коэффициенты при линейно независимых экспоненциальных функциях, для определения искомых параметров получаем системы уравнений следующего вида:

'¿(-а,)^-«!,, di=A"(Gi)B"(;ai), i = l,2,...,n', (22)

j=o Gn(ai)

I S(-Pi,)jl -(-Piv )j4-«iv+1 )j- -(-ccik )* bj^ = d*i2.Jk,

jl-jv=0jvt|-jk=0

k = 2,3,..., ii,...,iv = 1,2,...,n, iv+1,...,ik =1,2,-,n', v = 0,1,...,k ,

где d^ параметры, однозначно рассчитываемые через коэффициенты двухточечной краевой задачи и ранее найденные коэффициенты ЖУД при нелинейных членах порядка k -1 и ниже.

Система линейных алгебраических уравнений (22) разрешима относительно искомых параметров b = (b0,blf...,bn._[) :

II 'ill11' т

(-а;) , d = (d,,d2,...,dn,)\ (24)

I II n'

так как определитель матрицы коэффициентов данной системы, являющейся матрицей Вандермонда, отличен от нуля при условии а ( * а 2 ■ ■ * а п,. При этом подчеркнем, что для обращения матрицы Вандермонда существует простой аналитический способ (А.П. Мишина, И.В. Проскуряков).

Составив из искомых параметров вектор b'vk' с элементами ь1к] = ьц, j = (..((j/2+j2X3+"+jk-.)4+jk^l. (2=..= ev=n, £v+l =..= £к =n',

решение системы линейных алгебраических уравнений (23) запишем также в матричной форме:

blk|=(W[k))-'d[vk|, к = 2,3,..., v = 0,l.....к, (25)

где d'vkl - вектор-столбец свободных членов системы.

Матрица w£kl коэффициентов этой системы уравнений имеет характерную структуру: ее элементы Wy = (~Pi, )J| •••(-PiJ)Jv(-ctiv+i)Jv+1'"(_c4R )Jk представляют собой произведения элементов матриц Вандермонда

W^lk-PiVT. W^k-a^'i ,

ч II п I II п'

и поэтому она равна кронекеровскому произведению указанных матриц: W™ = Wi ®Wi®--®Wi ® W2 ®W2®-®W2 = W,M ® Wf"v] .

v k-v

Вследствие этого данная матрица обращается аналитически

(w^1)"' =(w{vl)~1 = Wf1 • -®Wfl ® W,-' <8>- • -8)W2'1 , (26)

v k-v

если pt * p2 pn, a! * a2 cxn. . В рассматриваемой задаче управления эти условия выполняются и, следовательно, все параметры искомого желаемого уравнения движения (21) однозначно определяются последовательным решением систем линейных алгебраических уравнений (22), (23).

Принимая во внимание, что для многих практических задач учет в решении первых трех членов ряда Вольтерра обеспечивает приемлемую

точность, в работе даны выражения для вычисления параметров d^ ¿k

при к = 1,2,3. Они позволяют находить ЖУД с кубическими нелинейно-стями.

Таким образом, предлагаемый метод синтеза квазиоптимальных систем управления предполагает выполнение следующих процедур:

1) составление и расчет параметров уравнения Эйлера-Пуассона (14);

2) определение полинома (}„(р) и его корней р(, I = 1,2,...,п, факторизацией дифференциального оператора А2п(Р) = Оп(р)С"п(-р). краевой задачи (14);

3) составление по значениям величин п и п' желаемого уравнения движения (21) синтезируемой СУ и расчет его параметров последовательным (к = 1,2,... и V = к, к-1,...,0 ) решением систем уравнений (22), (23) в соответствии с алгоритмом (25), (26);

4) расчет параметров квазиоптимального закона управления, реачи-зующего найденное ЖУД проектируемой системы.

Основное достоинство предложенного метода решения нелинейной задачи АКОР, называемого в дальнейшем методом рядов Вольтерра, заключается в том, что определение параметров закона управления в основном сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений (22) и (23), которое осуществляется аналитическим, строго формализованным алгоритмом, описываемым уравнениями (25), (26). При этом подчеркнем, что

матрица системы (23) имеет размерность пч'(п')к~" хп1'(п')к". од-

нако, процедура ее обращения (26) с использованием свойств кронекеров-ского произведения матриц приведена к обращению двух матриц Вандер-монда, имеющих малые размерности п х п; п' х п'. Эта особенность метода значительно уменьшает объем вычислений (для объекта пятого порядка с квадратичной нелинейностью более чем на порядок) по сравнению с методом динамического программирования, в котором непосредственно решаются системы с числом уравнений пу(п')к_у, и делает его в указанном отношении практически эквивалентным методу А.А. Красовского.

Предложенный метод можно использовать и для решения задачи АКОР-2, но при этом необходимо учитывать, что управление вследствие неоднозначности определения экстремалей функционала с предельным усреднением, в общем случае, находится неединственным образом. Например, в работе установлена множественность решения задачи АКОР-2 при п+т > 2 и действии синусоидального возмущения у(1) = Азт(й)1+0), причем показано, что замена у(1) = -ш2у(1) в уравнениях Эйлера-Пуассона и управляемого объекта упрощает структуру регулятора и вычисление его параметров.

Метод рядов Вольтерра применен к решению задачи АКОР-3, которая формулируется полностью аналогично задаче АКОР-1, но для критерия (13) при г = 0. Предельным переходом в аналитическом решении задачи АКОР-1 при г —> 0 доказана следующая теорема.

Теорема 2.4: приближенное, определяемое с точностью до кубических членов степенного ряда, решение задачи АКОР-3 имеет вид

и(0 = -818п[д„(р)х(0], (27)

где Дифференциальный оператор С^,(р) находится операцией факторизации полинома

<ыр) = 1(-1)чр2; -<2у(р)с>у(-р) •

¡=о

Высказана гипотеза, что точное решение задачи АКОР-3 описывается также выражением (27).

В третьей главе предыдущие результаты распространяются на задачи управления многомерными объектами (1). Обобщение базируется на систематическом использовании матричного аппарата с применением понятия кронекеровского произведения матриц, который хорошо себя зарекомендовал в решении одномерных задач управления. С указанной целью нелинейность многомерной краевой задачи (11) представляется в форме

ф[У] = К2[У® У] + К3[У® [У® У]]+... , (28)

где матрицы К2,К3 размерности 2пх(2п)2 , 2пх(2п)3 соответствующим образом составляются из коэффициентов полиномиальной функции Ф[У].

Данное описание позволяет применить для решения нелинейных дифференциальных уравнений вида (11) метод А.Д. Модяева и А.Д. Авериной, в котором алгоритм вычисления членов ФРВ строго формализован с использованием операций кронекеровского произведения векторов (матриц). Так, например, определение второго члена ряда Вольтерра нелинейного

интегрального уравнения с ядром Н*(1,т) описывается выражением

00

У2(1) = /н'о,т)К2[У1(т)®У1(т№, (29)

о

где У|(0 - решение линеаризованного интегрального (дифференциального) уравнения.

Для теоретического обоснования применения указанного метода к решению краевой задачи (11) доказаны теоремы, которые являются аналогами теорем 2.1,2.2 применительно к многомерным объектам управления.

Теорема 3.1: если пара матриц (Аи В|) управляема, а матрица А* имеет различные собственные числа р,, Иер! < 0, 1 = 1,2,..,п, то решение двухточечной краевой задачи (11) эквивалентно решению нелинейного интегрального уравнения

00

У(1) =М1О1(0МЙ1Х0 + |н*0,т)[Ф[У(т)]+ СУ(т)]ск (30)

о

с ядром

Н*(1,т) = О(^-с) + Н0,т), О(1,т) = М1В1(0МГ11М12Б1(т)МО2, (31) Н(1 т)=|н°0,т) = М1О1(Г--с)МО1, 0<Х<1,

(н00^,!) = -м2б[ (т - 0мо2, 1<т<оо, где О10) = Шад(ер'',е^,...ер"'), С = (С„0)т,

VI - модальная к А* матрица, представленная в блочном виде:

Чм!1, (32)

МО - обратная ей матрица:

, (МО,, МО,-Л ГмоЛ МО = М =|___ ... 1=1.._ I. (33)

мо21 мо22; vmo2

Теорема 3.2: если вектор начальных условий Хо и вектор возму-цающих функций V(t) ограничены соответствующими константами ||Хо|| < i.o. ||V(t)|| < Ri, то нелинейное интегральное уравнение (30) имеет един-твенное непрерывное решение, описываемое ФРВ, сходящимся в области |Y(t)|| < R, радиус которой определяется соотношением

R = --

|к,1 "

wr. 1 . (34)

з||к3| Щ\к}\\) з.||Кз|Н|в|| • ели возмущения экспоненциально ограничены, то в указанной области юшения экспоненциально устойчивы.

Здесь использованы нормы матрицы и интегрального оператора вида

NObZif sup|a;j(t)|} , |BJ= f;j sup J|Hy(t.T)ldxl .

i=l j=i lost<0 J ¡.j=| [Ost«» 0 J

Сущность, метода рядов Вольтерра в решении многомерных задач 1КОР поясним на примере объектов с квадратичной нелинейностью D[y] = K2[Y® Y] при V(t) = 0. В основе процедуры синтеза регуляторов ежат решения интегрального уравнения (30) в форме ряда Вольтерра, писывающего движение оптимальной СУ. После представления первого лена ФРВ в форме

Y1(t) = M1D1(t)Mr,1X0^MID1(t)r3Mir(t) асчетом соответствующих интегралов от экспоненциальных функций айден второй член (29) этого ряда, и далее определены экстремали задачи птимального управления в следующем виде:

£(t) = X, (t) + Х2 (t) = Mu r(t) + MUKM, [Г(1) ® Г(1)] - Mt jDj (t)KM, [Г® Г], P(t) s ^ (t) + Т2 (t) = М21 Г(1) + M21KM2 [T(t) ® Г(0] - M21D, (t)KM, [Г ® Г], (35)

це KM|,КМг- матрицы, выражаемые через матрицы Кг, М, МО.

На основе соотношений (35) находится оптимальное интегральное ногообразие в форме степенного ряда

vF(t) = S[X(t)] = R,X(t) + R2[X(t)®X(t)]+... , (36)

шисанного с использованием кронекеровского произведения векторов. 1атрицы Ri, R2 этого ряда определяются из условий равенства матичных коэффициентов при экспоненциальных вектор-функциях Г(г), (t)<8>r(t) в уравнении (36) после подстановки в него экстремалей (35). Так, з равенства коэффициентов при функциях T(t) левой и правой частей

уравнения (36) следует, что М2) = К^Мц или

Я, =М21(М11)~'. (37

Аналогично из равенства коэффициентов при функциях Г (ОФЦО найденс Я2 =(М22-К1М12)-^(К^)-[М11®МИ]"1> (38

где

■К" =М02К2[М, ем,], ^(к2) =

Из описания экстремалей задачи АКОР тремя членами ряда Вольтерр; аналогичным образом найдена матрица Яз интегрального многообразие (36), которое, согласно выражению (12), определяет квазиоптимальньп закон обратной связи с точностью до кубических слагаемых:

и(1) = К|х:Х0) + К5с[Х(0®Х(1)] + к2,с[Х(0®Х(0вХ(1)] (39 с параметрами

• К^с =Я"'ВТ(Х)Я,, Кос = Я~'ВГ(Х)К2, = !Г'Вт(Х)11з.

Таким образом, метод рядов Вольтерра в решении многомерных зада1 АКОР предполагает выполнение следующих вычислительных процедур.

1. Составляется ДТКЗ вида (11), ее нелинейность Ф(Х,Т)= Ф(У) пред ставляется отрезком степенного ряда (28), определяются матрицы К2, К3

2. Для матрицы А* ДТКЗ одним из стандартных методов находят ся собственные числа р, и собственные векторы И;, 1 = 1,2,...,2п.

3. Формируется вектор Р со следующим расположением в нём соб ственных чисел:

Р = (р!> Р2. ■■ ■■ •. Рп -Р1 ~Р2.• •• -РпЛ причем считается, что Яер;<0, 1 = 1,2,...,п.

4. Из собственных векторов 1 = 1,2,...,2п, упорядоченных в соот ветстаии с положением их собственных чисел в векторе Р, составляется мо дальная матрица М, которая записывается в блочном виде (32).

5. Вычисляется матрица, обратная к модальной МО = М-1, которая также представляется в блочном виде (33).

6. Находятся матрицы Я,, II2, Яз оптимального интегральногс многообразия по выражениям (37), (38).

. 7. Определяются параметры закона управления (39).

Отметим, что при вычислении матрицы Яг по выражению (38 (аналогично и Яз) обратные матрицы от кронекеровского произведешь матриц находятся по алгоритму (26), вычислительные преимуществ; которого рассмотрены в гл. 2. Его использование подтверждает близости методов синтеза одномерных и многомерных систем в принципиальном ^ вычислительных аспектах.

Кд,

Р1 + Р;+Рк

В разделах 3.4, 3.5 диссертации указанный метод распространен на синтез систем комбинированного управления при действии возмущений волновой структуры, принадлежащих соответственно классам KV1 и KV2.

На основе предложенного метода синтеза была разработана на языке PASCAL-7.0 программа AKOPV.PAS, позволяющая рассчитывать параметры управления (39) для объектов (1) с максимальным порядком п = 10. Программа работает под управлением операционной системы MS-DOS 6.22 и занимает в памяти персонального компьютера объем приблизительно 100 кбайт. Неитерационный характер программы определяет относительно быстрый и без накопления ошибок расчет значений коэффициентов обратных связей по соответствующим аналитическим выражениям. Программа вошла в состав математического обеспечения САПР высокоточных следящих электроприводов (НИИ СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана).

В четвертой главе на основе аппарата рядов Вольтерра разрабатывается методология формирования реализуемых алгоритмов работы в реальном времени устройств упреждения фазовых координат нелинейных объектов (1), (3) (решается задача исследования 1). Она совместно с методами синтеза, изложенными в гл. 2, 3, позволяет для нелинейных объектов с запаздыванием определять квазиоптимальные законы управления структуры (8), (9).

Задача синтеза упредителя решена для линейных ОУ; для нелинейных объектов аналитический вид функционала упреждения (9) неизвестен. В связи с этим в настоящее время для определения упрежденных значений координат нелинейных ОУ используется прогнозирование на основе аналоговых моделей, описывающих поведение объекта без учета запаздывания в ускоренном масштабе времени. Отметим, что алгоритмы функционирования прогнозирующих устройств достаточно сложны в технической реализации и не отличаются строгим математическим обоснованием: при моделировании не учитывается влияние на движение нелинейного объекта начальной функции звена запаздывания у о (0- Таким образом, отсутствие для нелинейных ОУ аналитического представления функционала (9) не позволяет оценить точность приближения предложенных законов управления к строго оптимальному и, главное, указать более простые его реализации.

Возможность аналитического описания функционала (9), однако, существует - оно может быть получено путем аппроксимации функционала соответствующим рядом Вольтерра. Установлено, что при решении задачи упреждения для объектов (3) наиболее целесообразно использовать функциональную модель относительно функции, описывающей реакцию линеаризованного объекта на входное воздействие и ненулевые начальные условия (модель К.А. Пупкова, В.И. Капалина, A.C. Ющенко). Применение данной модели позволило представить функционал упреждения в виде

X, (t + т0) = х(Ы> (t + То ) = £ JC jW) (T0)Xj(t) + f giM) (T)z(t - T)dT +' (40)

j=l 0

£с!г I- ± хц >(т,-.

k=2v=0 ¡1=1 ¡к_„=1 О 0 1=1

где х, j =1,2,...,п - нормальная фундаментная система решения дифференциального уравнения Ап(р)х(0 = 0; g1(т) - импульсная весовая функция линеаризованного объекта; биномиальные коэффициенты, равные числу сочетаний из к элементов по к - у; О^'Т1^ (т,,...,ту) - многомерные импульсные весовые функции, однозначно рассчитываемые через параметры объекта (3) по соответствующей методике; г^т) = - т) -функция состояния звена чистого запаздывания.

Уравнение (40) описывает алгоритм функционирования упреждающего устройства, вычисляющего будущие значения фазовых координат нелинейного объекта (3) в реальном времени. Оно определяет искомый вектор Х(1 + т0) в форме полиномиальной зависимости от текущих значений фазовых координат объекта и функции состояния звена чистого запаздывания, преобразованной нелинейными звеньями с конечной памятью, описываемыми ядрами Вольтерра С*1:1.' . (т,,...,т,,).

Подчеркнем, что упреждение координат линейного объекта описывается первыми двумя слагаемыми выражения (40).

Точная реализация закона управления (8), (40) объектом с запаздыванием невозможна в связи с необходимостью измерения функции которая требует установки бесконечного числа датчиков по линии запаздывания. Поэтому была предложена конечно-разностная реализация управления, которая использует только N = т0 /Дт отсчетов функции состояния звена запаздывания Дт-ц), ц = 1,2,...Ы, взятых с интервалом времени Дт:

иО) = Р[Х(1 + т0),у(1),у(1),...],

XI(I + т0) = £хГ])(Ч)*](0 + £а[;-'> • 2(1 -1, • Дт) +

Г. п .''"к N (41)

+ ± £ ...ЁА^х^О-х^О).

к=2у=0 ¡1=1 ¡к_,=Ик_„+1=1 ¡к=1 2(1-Дт-1к_у+1)"-7(1-Дт-1к), 1=12,..„п.

Реализация основана на аппроксимации интегрального выражения, описывающего нелинейное звено с конечной памятью, соответствующей суммой взвешенных с коэффициентами А^ . значений г(Х, Дт-ц). Величина параметра N в решающей мере определяет как точность приближения управления (41) к оптимальному, так и сложность технической реализации обратной связи (41). При заданном N точность приближения зависит от выбранного способа аппроксимации функции состояния звена

чистого запаздывания, который определяет свою методику вычисления коэффициентов АуТ1.^ обратной связи. Поэтому способ аппроксимации в

каждой конкретной задаче управления предлагается выбирать из условия достижения требуемой точности приближения при возможно меньшем числе координат, характеризующих состояние звена запаздывания.

Достоинства обратной связи (41) вытекают из использования для формирования управляющего воздействия сигналов, снимаемых непосредственно со звена запаздывания, что позволяет учитывать влияние начальной функции этого звена на движение СУ и улучшать ее динамические свойства.

Для управления объектами, состояние звеньев запаздывания которых недоступно измерению, предлагается вместо сигналов тЦ\., цЛт), ц =1,2,...,К, использовать сигналы гм0,цДт), формируемые с помощью модели запаздывания. Введение в регулятор модели запаздывания, включаемой параллельно звену запаздывания, значительно расширяет область применения закона управления (41) за счет потери его оптимальности на начальном интервале времени регулирования [0,т0].

Реализация обратной связи (41) при больших значениях параметров Ч", п, N на элементах аналоговой техники сопряжена с большими трудностями из-за значительного числа множительных и суммирующих устройств. В связи с этим предложен дискретный аналог управления (41), приспособленный к реализации с использованием микропроцессорных кон-гроллеров. Особенно удобна в реализации на контроллерах модификация закона дискретного управления с моделью звена запаздывания.

Для объектов с запаздыванием невысокого порядка рекомендуется аналоговая реализация квазиоптимальной системы управления, содержащая минимальное число множительных, технически сложных устройств.. Пинейная часть этой системы представляет собой структуру известного /предателя Смита.

Полученное результаты, в совокупности составляющие методологию :интеза реализуемых алгоритмов работы в реальном времени устройств /преждения фазовых координат*одномерных объектов (3), были обобщены та многомерные ОУ (1). Для них с использованием функциональной моде-"ш А.Д. Модяева и А.Д. Авериной (29) получено выражение функционала упреждения с точностью до первых двух членов ряда Вольтерра:

ХЦ + т0) = Х,0 + т0) + Х20 + т0) = еА,т° • ХО) + /еА|Т • В • г(1 - т)с1т +

о

+о21 • [Х(1) ® Х(0] + / |о24(т„т2) • [го - Т,) ® го - т2)]ск,<к2 + о о

ч ч

+ /С22(т)-[Х0)®20-т)]с1т+ |о23 (т) • [г(1 - т) ® Х0)]с1т , (42) о о

где ' вектор-функция Z(t-^:) описывает состояние многомерного звена запаздывания в канале управления многомерного объекта; 021, 022(т), С2з(т)> О241 ) - матричные функции, соответствующим образом выражаемые через матрицы объекта А1, Аг, В|, еА,т.

Устройство упреждения (42) имеет характерную структуру - оно содержит многомерные динамические звенья с конечной памятью, которые описываются ядрами С22(т), С23(х), 024(т,,т2). Если представить описание упредителя в координатной форме, то оно оказывается по структуре близким к модели упредителя (40) объекта со скалярным управлением: указанные описания содержат одинаковые структурные элементы - произведения фазовых координат объекта хМ, I = 1,2,...,п, и выходов соответствующих звеньев с конечной памятью. Данная структура сохраняется и для упредителей, построенных с использованием последующих членов ФРВ. В связи с этим для построения на основе описания (42) реализуемых алгоритмов работы устройств упреждения координат многомерных объектов можно использовать все способы и методы, разработанные применительно к объекту со скалярным управлением.

Предложенный метод синтеза квазиоптимальных обратных связей для объектов с запаздыванием в канале управления распространяется на класс объектов, имеющих запаздывания и в промежуточных координатах. Структура этих объектов описывается каскадным ( последовательным) соединением объектов (1) или (3). Обобщение метода основано на последовательном упреждении переменных состояния объекта, начиная с выходного каскада системы.

Работоспособность предложенных законов управления нелинейными объектами с запаздыванием подтверждается результатами цифрового моделирования синтезированных квазиоптимальных систем. Новизна структуры данных систем управления защищена авторским свидетельством № 875711. Предложенная методология синтеза была использована при разработке и настройке микропроцессорного регулятора температуры вакуумной камерной печи СНВС 5.5.5/ЗИ1, имеющей значительное запаздывание.

В пятой главе рассматриваются вопросы структурной реализации синтезированных квазиоптимальных регуляторов для объектов с полиномиальными характеристиками. В предыдущих главах при синтезе управлений использовались предположения: 1) законы управления, как и характеристики нелинейных объектов, представляются в форме полиномиальных функций от фазовых координат ОУ; 2) полный вектор состояния объекта измеряется точно. Так как эти предположения могут в определенных случаях существенно затруднить практическое применение и техническую реализацию синтезированных систем управления, то в данной главе исследуются способы, методы снятия указанных ограничений.

Описание законов управления в форме полиномиальных функций от фазовых координат многомерного ОУ содержит достаточно большое число линейных N1, квадратичных N2, кубических N3 обратных связей:

Nu =N,+N2+N3 =N+N(N + l)/2!+N(N + l)(N + 2)/3!, где'N = n + г шсло координат вектора состояния "расширенного" объекта. Даже при этносительно малом порядке N = 5 закон полиномиальной обратной связи юдержит достаточно большое число слагаемых Ny = 5 + 15 + 35 = 55, для реализации которых требуется использование 55 усилителей и не меньшего 4исла множительных устройств. В данном случае реализация управления ia базе аналоговых электронных устройств существенно затруднена. В свя-ш с этим в диссертационной работе предлагается использовать аппроксимацию функций управления рядами по специальным системам базисных функций ф|(х), i = l,2,... :

со оо оо

u(xlfX2,...,xN)=XI- 2Ci^iN^i, (xi) ,(Pi2(x2)"-<PiN (xn) • (43)

i|=0i2=0 lN=°

При решении конкретной задачи управления путем выбора определенной системы базисных функций можно увеличить скорость сходимости эяда (43) по сравнению со степенным и соответственно уменьшить число шенов усеченного ряда и сложность реализации управления, приближаемого им с заданной точностью. В работе предложены методики расчета соэффициентов Ci|ij iN через известные коэффициенты степенного ряда,

«йденные решением задачи АКОР, для наиболее распространенных си-тем ортогональных функций, таких, как многочлены Лагерра, Лежандра, 4ебышева и др. Методики пересчета коэффициентов рядов основаны на 1спользовании дифференциально-нетейлоровских преобразований Г.Е. Сухова. Показана также целесообразность применения для приближения функций управления аппроксимации Паде, которая не только упрощает )еализацию законов обратной связи, но и обеспечивает, как свидетельству-гг моделирование систем управления, получение для них более высоких юказателей качества.

Как один из способов рационализации структуры квазиоптимальных шогомерных систем, приводящий к уменьшению числа слагаемых в поли-юмиальной функции закона управления, предлагается переход к исполь-ованию релейных управлений. .Для многомерных объектов утверждение •еоремы 2.4 в общем случае неверно, но оно свидетельствует о том, что >птимальное релейное управление, как правило, содержит меньшее число 1елинейных обратных связей.

С точки зрения получения структуры законов управления, допус-:ающей простую техническую реализацию, заслуживает внимания способ ;усочно-линейной аппроксимации нелинейных функций обратной связи. )н приводит к системам с переменной структурой, реализация которых не ;стречает особых затруднений (B.C. Емельянов). Данный подход целесо-»бразно применять к объектам с нелинейными характеристиками, пред-тавленными также кусочно-линейным образом, например, содержащим венья насыщения, люфта. Уравнения объекта (1) при т = 0 и кусочно-[инейной аппроксимации его нелинейностей заменяются Ng системами равнений:

X(t) = A0v+A1vX(t) + B0vU(t) + C,V(t), v= 1,2,...,Ng . (44)

Каждая из этих систем имеет силу только в соответствующей области Gv.

Для объекта (44) на основе модификации метода рядов Вольтерра, изложенного в гл. 3, разработан метод синтеза квазиоптимального управления по квадратичному функционалу качества (7). Он определяет комбинированное управление следующей структуры:

U[X(t),V(t)] = sat^Ko + K^X(t) + KfV(t)j, если X(t) eGv, v = 1,2,...,Ng. (45) Ее матричные коэффициенты задаются уравнениями

Ко = R~'[BojTR-o> K^R-'jBifRi, Kf = R-1^BoJ^-Rf , (46)

R^-iM^Mn'M^-M^i-diagi—, — ,...,—]-MO21-A0v , R^M,^,1 .

vPi P: Pn^

Данный метод в сопоставлении с методом синтеза оптимальных управлений объектами с кусочно-линейными характеристиками A.A. Кра-совского (они дополняют и контролируют друг друга) применялся для конструирования высокоточных следящих систем при наличии люфта в исполнительном механизме. Предложенные новые способы управления и системы для их реализации защищены патентом 2114455 и решением от 05.07.99 по заявке № 99104989/09 на выдачу патента на изобретение.

Сделанное при синтезе алгоритмов управления предположение, что полный вектор состояния объекта измеряется точно, как правило, не выполняется для реальных объектов, так как отдельные координаты вектора состояния или недоступны измерению или измеряются "с существеными случайными ошибками. Анализ работ по синтезу наблюдающих устройств (наблюдателей), восстанавливающих значения неизмеряемых координат ОУ, привел к выводу, что наиболее простой метод, применимый к оцениванию фазовых координат нелинейного объекта (1) с достаточно высокой точностью, разработан П.Д. Крутько. Предлагаемый им наблюдатель имеет структуру, аналогичную структуре наблюдающего устройства для линейных объектов (наблюдателя Люенбергера), причем для выбора переменных параметров kV(1(t) матрицы K(t) наблюдателя с целью повышения устойчивости процесса оценки значений координат нелинейного объекта разработана специальная процедура с механизмом адаптации. Элементы матрицы обратных связей K(t) задаются различными для возмущенного и невозмущенного режимов наблюдения.

Для определенных объектов класса (3) указанный метод синтеза удалось модифицировать с целью обеспечения устойчивой работы наблюдающего устройства в возмущенных режимах, принадлежащих всему фазовому пространству объекта. Была доказана следующая теорема.

Теорема 5.1: для нелинейных объектов вида

AN(p)x(t)+ £ ¿bjij2x(%-x(jj-j')(t) + j2=0j,=0

ЛЛЬ

х(],)(0

(47)

N-1 ]2

+Х 1

существует глобально устойчивый наблюдатель, динамика которого описывается желаемым дифференциальным уравнением аналогичной структуры; данное наблюдающее устройство имеет структуру

' с!2у2

с22у2 + С2зУз +^(У1»у4.-.УМ)

у1 у2

¡=2

р2

РыУ

и(1) + г,(0 + г2(1),

' Ч ш ( '

ЕЕРИ (0- ЕРш,2»

т=2ц=1,3 т=1

2,(1) = Ч т , г2(0 = ч

Е ЕР^ (0 С(0 ЕРытг.т,(0

ш=2ц=1,3 / кт=1 У

(48)

с параметрами Су, р^ Ррт, (3^, ¡о = ш = 2,3,..,я, ц = 1,3,5,...

(для их расчета разработана соответствующая процедура).

Отметим, что'наблюдатель (48) содержит модель объекта управления, представленную в базисе У, и вектор Х(\) ~ ЪХ (1) + 22Ц) сигналов идентификации, компоненты которого представляют собой степенные полиномы от переменных г_,(0 = х(0 - у(0 и = х(г) + у(1) (у(0 = у!(1))-Особенность структуры наблюдения (48) состоит в использовании сигнала

В шестой главе разработанные выше методы синтеза применяются для проектирования устройств управления конкретными электромеханическими системами: электроприводом постоянного тока антенны радиолокационной станции (РЛС) миллиметрового диапазона радиоволн, частотно-регулируемым асинхронным электроприводом (ЭП).

РЛС представляет собой сложный технический комплекс, обеспечивающий обнаружение и автоматическое сопровождение объекта по угловым координатам (азимуту и углу места) и дальности.. Эксплуатационные характеристики радиолокационной станции главным образок определяются точностными и скоростными свойствами следящего привода радиолокационного координатора. Его силовая часть, состоящая из исполнительного механизма на базе двигателя постоянного тока ДПР-72 и транзисторного усилителя мощности, с инженерной точностью описывается в фазовом пространстве возмущенного движения *|(0 = Ф(0~Фг(0, х2(0 = <вя(0-юг(1), х3(0 = 1Д(0 -1,(0, и(0 = иу(0 - иг(0 системой трех линейных дифференциальных уравнений

х1(0 = а12х2(0, х2(0 = 323X3(1), хз(0 = а32х2(0 + аззхз(0 + ь3и(0 (49)

с соответствующими параметрами. Здесь ф, ©д,1д,иу - соответственно

угловое перемещение вала, угловая скорость, ток якорной цепи, питающее напряжение двигателя. Напряжение питания ограничено величиной |и(1)|^ит = 9 В. В качестве базового режима {<р2, сог, ¡2, и2} работы привода рассматривается установившийся режим, в который ЭП приходит под действием задания ф2(0 = сопз1. Основными эксплуатационными режимами привода антенны являются поиск и автосопровождение объекта.

Управление приводом в режиме поиска

Особенностями работы ЭП антенны в режиме поиска объекта наблюдения являются отработка больших рассогласований по соответствующим угловым координатам, предельные угловые скорости движения антенны, частые пуски и остановы на краях сектора поиска. При этом процесс позиционирования на краях сектора поиска должен осуществляться без перерегулирования с целью исключения механических ударов в приводе. В связи с данными особенностями представляется целесообразным для режима поиска осуществить синтез регулятора положения, обеспечивающего ЭП с силовой частью (49) апериодический переходный процесс отработки больших угловых рассогласований с предельным быстродействием.

Для объекта третьего порядка (49) известная структура оптимального по быстродействию регулятора отличается большим числом элементов и сложна для аналоговой реализации. Расчет некоторых ее параметров также сопряжен с серьезными вычислительными трудностями. Эти причины вызвали поиск подхода к построению более простой в реализации структуры следящей системы, имеющей апериодические переходные процессы с быстродействием, близким к оптимальному. Проведенный анализ показал, что регулятор положения с требуемыми свойствами может быть найден решением для объекта (49) задачи АКОР с нестандартным функционалом 100

12=2|[ч1х?(1) + Ч2х1(0 + ЧзХз2(1) + д1х?(0 + ги2(1)]С11. (50)

Введение в критерий качества составляющей (^х, (0 четвертой степени от основной выходной координаты синтезируемой системы вследствие минимизации критерия накладывает большие "штрафы" на значительные и продолжительные угловые отклонения |х,(1)| > 1 привода в процессе управления. Поэтому изменением коэффициента веса данной составляющей можно задать определенные требования к быстродействию проектируемой СУ. При малых отклонениях |х,(0| < 1 критерий (50) практически эквивалентен квадратичному функционалу, которому для объекта (49) соответствует линейное оптимальное управление, обеспечивающее при определенных параметрах апериодический характер переходных процессов системы. Данный качественный анализ свойств СУ, оптимальной по критерию (50), свидетельствует, что соответствующим выбором весовых коэффициентов указанного функционала качества можно придать конструи-

эуемому приводу требуемые свойства. Дальнейшее решение сформулиро-¡анной задачи АКОР подтвердило эту возможность. Закон оптимального ^правления, найденный методом рядов Вольтерра с точностью до ку-шческих членов степенного ряда, имеет структуру

и(0 = 5а1 ¿К^(0 + <3,1 £ 1^x^(0x^(0x^(1) . (51)

Ы ¡,=112=1^3=12

Для данного управления предложена методика выбора коэффициентов :ритерия (50) и соответственно расчета параметров К;, К^^ из условий

фиближения его свойств к свойствам управления, оптимального по ¡ыстродействию. Как показало моделирование системы (49), (51), ее ¡ыстродействие, определяемое по времени входа процесса по >егулируемой переменной в зону ±5% хуст, отличается от предельного на

юсколько процентов при отработке угловых отклонений XI > 1°.

Полученные результаты, а именно, метод синтеза СУ приводами, [риближенно оптимальных по минимуму интегрального функционала ачества с полиномиальным интегрантом, содержащим слагаемые второй : четвертой степеней от фазовых координат привода, и устройство для еализации дискретного аналога закона управления (51), обеспечивающего овышенное быстродействие, внедрены в разработки ОАО ЦКБА г. Тулы ри выполнении НИР "Роман".

Управление приводом в режиме автосопровождения Основной задачей следящего привода антенны РЛС при работе в ре-:име автосопровождения является обеспечение заданной точности слеже-ия в заданных условиях функционирования, которые характеризуются аличием многих, одновременно действующих дестабилизирующих фак-эров. Для повышения точности слежения в работе обоснована целесооб-изность решения задачи АКОР для объекта (49) по критерию вида

X 2 Чух1 № •х+2 <111Х1 (1)|+г • ц20) |[>и=| ¡=|

Рассмотрение данного критерия качества управления представляет эактический интерес, так как в отличие от квадратичного функционала, в л орый придает завышенную роль большим > 1 отклонениям системы, м модульных составляющих этого функционала в равной мере нежела-льны любые отклонения. Для повышения же точности слежения необхо-1мо более интенсивно отрабатывать именно малые |х^0| < 1 отклонения.

ритерий качества (52) позволяет перераспределением значений его весо-.ix коэффициентов задать соответствующие предпочтения нежелатель->сти как больших отклонений, определяемых коэффициентами я^ при

адратичных составляющих функционала, так и малых отклонений, [ределяемых весами модульных составляющих критерия. Сформулированная задача АКОР была решена двумя приближенными

. (52)

способами. Первый способ решения основан на аппроксимаци; |х| = ц(х) = С2х2 + С4х4, найденной методом наименьших квадратов, кото рая сводит рассматриваемую задачу оптимального управления 1 предыдущей задаче (49), (50) аналитического конструирования регулятора Ее решение имеет структуру (51). Моделирование системы с данны» управлением показало, что регулятор (51) не обеспечивает существенной повышения точности слежения. Второй способ решения, оказавшийся бо лее перспективным, основан на приближенном описании нелинейны: функций sign[x¡(t)], I = 1,2,3, соответствующей двухточечной краевой за дачи как функций времени волновой структуры:

з1Бп[х;(1)] = у1(1) = уге-а'('), ¡ = 1,2,...,п, а, -> 0 , (53 причем параметры возмущений в некоторые моменты времени скачкои меняют свои значения с ± 1 на Т1. Приближение (53) преобразует нелиней ную ДТКЗ в линейную краевую задачу при наличии возмущений волново! структуры. На основе аналитического решения последней задачи опреде ляется линейное комбинированное управление, которое с учетом соотно шений (53)приводится к виду

и[Х(1)] = ишай ¿{к*-хК0 + Ка-8цп[х,0)]} . (54

[¡=1

Закон обратной связи (54) имеет характерную структуру (по каждо! фазовой координате объекта действует линейная обратная связь с коэффи циентом К^ и обратная связь через релейный элемент с коэффициенте;. К п), которая допускает простую техническую реализацию на стандартны; суммирующих, усилительных и релейных элементах. Моделирование I макетные испытания системы с управлением (54) показали, что она пс сравнению с линейной и полиномиальной (см. первый способ решения) си стемами имеет повышенное быстродействие и, главное, обеспечиваем значительно более высокую точность слежения. Например, эта система, 1 отличие от указанных СУ, при действии возмущающего момента Мс(0 = 0.5М пош 51^(соз(ш с 0) с частотой юс= 5 Гц обеспечивает среднеквадра тичное значение ошибки, меньшее более чем в 46 раз.

Закон обратной связи (54) и методика расчета его коэффициентов обеспечивающие высокую точность работы электропривода, приняты I использованию в Тульском филиале ГУЛ КБМ при доработке прецизион ных следящих приводов изделия 1Л32 боевой машины командира ком плекса 9К123.

Управление асинхронным приводом Широко применяемый, конструктивно простой асинхронный двигатель (АД) с короткозамкнутым ротором представляет собой сложный многосвязный объект управления с нелинейными характеристиками. Так наиболее простое описание динамики АД с точки зрения числа нелинейны) составляющих, получающееся во вращающейся системе координат, ориен-

тированной по вектору потокосцепления ротора, представляется системой четырех дифференциальных уравнений с шестью нелинейными функциями типа произведения соответствующих переменных двигателя.

В известных работах при решении задач управления асинхронным двигателем используются, как правило, линеаризованные автономные подмодели канала регулирования потокосцепления и канала регулирования момента (скорости), а не полная модель динамики АД. Это не позволяет учитывать действие нелинейных перекрестных связей между фазовыми координатами асинхронного привода, которые, на взгляд автора, отражают принципиальные особенности функционирования привода. С целью учета влияния указанных перекрестных связей сформулирована следующая задача оптимального управления АД как многосвязным нелинейным объектом: в классе кусочно-непрерывных напряжений, удовлетворяющих ограничениям ¡и5Х| £ 1,|и5у| 21, найти управления и5Х, и5у в форме обратных связей, переводящие двигатель из нулевого начального состояния в конечное, определяемое заданиями магнитного потока и скорости а>7. и соответствующими им напряжениями статорных обмоток и» , игу , с минимальным значением квадратичного функционала

00

; = [[я „ - % (О)2 + Ч44 (03 2 - оз г (I))2 + г[(ии - и5х (I))2 + (11^ - Ц5у (О)2 ]]л.

О

Значения весовых коэффициентов критерия Яп, q44, г^О в дальнейшем выбираются в процессе моделирования синтезированной СУ из условия получения для нее требуемого характера переходных процессов.

Для решения данной задачи применен метод рядов Вольтерра, которым синтезирован квазиоптимальный закон управления скоростью АД с точностью до квадратичных составляющих от фазовых координат электропривода. Сконструированная система управления двигателем 4АА56В2УЗ была промоделирована на ЭЦВМ в сопоставлении с линеаризованной системой, закон обратной связи которой получается из ква-шоптимального исключением квадратичных слагаемых. Результаты моде-тарования показали, что нелинейная система управления обеспечивает 5олее высокую точность стабилизации скорости только при работе асинхронного привода с высокими скоростями. Так, например, при со2 = 1.2 скорость в относительных единицах от синхронной) в случае действия зозмущающего момента Мс0) = 1.5Мпотз!^(со5(юс1)), <ас = 5 Гц, выигрыш то значению функционала качества получается 120.8 % , а по относительна ошибке скорости - приблизительно в 1.5 раза. Однако указанные преимущества системы практически исчезают при со2 = 0.7. Поэтому можно делать вывод, что нелинейные СУ целесообразно использовать для управ-гения асинхронными приводами в режимах с высокими скоростями ш2>0.8.

Для работы следящего асинхронного привода в основном характерен даапазон малых скоростей, обеспечивающих заданный установившийся >ежим системы ср° = <р2, шо = 0 . В этом диапазоне скоростей влияние не-

линейных перекрестных связей между каналами регулирования пото-косцепления и скорости ротора становятся несущественным, и эти каналы удается описать с высокой точностью независимыми системами линейных дифференциальных уравнений, которые по структуре аналогичны соответствующим моделям двигателя постоянного тока. На этом основании предлагается использовать для управления следящим асинхронным приводом законы обратной связи вида (51), (54), квазиоптимальные по критерию со слагаемыми четвертой степени (50) или модульному критерию (52), которые хорошо себя зарекомендовали в СУ приводами антенн РЛС - разработаны соответствующие методики расчета параметров указанных управлений. Моделирование данных приводов в системах перемещения антенн РЛС показало, что они по точности конкурентоспособны с приводами постоянного тока. Кроме того, они имеют такие преимущества, важные при использовании в радиолокационных координаторах, как отсутствие радиопомех при функционировании электропривода и высокая перегрузочная способность вследствие исключения щеточно-коллекторного узла. По указанным причинам рекомендовано применение в радиолокационных станциях асинхронного частотно-регулируемого привода с приведенными законами управления. В этом направлении продолжаются исследовательские работы по госбюджетной теме "Разработка новой технологии создания систем оптимального управления высокоточными электроприводами, функционирующих в условиях неопределенности", выполняемой в рамках научно-технической программы " Механика, машиноведение и процессы управления" в соответствии с приказом Министерства общего и профессионального образования РФ от 14.04.98 № 960.

В приложениях приведены доказательства сформулированных теорем и копии документов, подтверждающих практическое использование полученных прикладных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты диссертации теоретически обобщают и развивают методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов для нелинейных объектов с запаздыванием и решают научную проблему разработки методического и алгоритмического обеспечения проектирования современных систем автоматического управления техническими объектами. Решение указанной проблемы применительно к объектам с полиномиальными нелинейными характеристиками позволяет существенно улучшить показатели качества синтезируемых систем, а также сократить сроки проектирования нелинейных систем управления.

Основные теоретические и практические результаты диссертации заключаются в следующем.

1. На основе предложенных процедур определения оптимальных интегральных многообразий и процедур упреждения координат вектора состояния объекта с использованием математического аппарата функциональных рядов Вольтерра разработаны методы, методики, алгоритмы, программы конструирования квазиоптимальных регуляторов для объек-

ов с полиномиальными нелинейностями и наличием запаздывания, кото-ые в совокупности составляют прикладную теорию синтеза систем управ-ения нелинейными объектами широкого для приложений класса. В рамах этой теории предложены:

- методология получения и анализа решений нелинейной двух-очечной краевой задачи на полубесконечном интервале времени в форме |ункционального ряда Вольтерра, которая является основой решения юрмулируемых задач АКОР для объектов управления выделенного класса о интегральным критериям качества с полиномиальными интегрантами;

- метод определения желаемого дифференциального уравнения дви-;ения синтезируемой замкнутой системы управления из условий равенства го решений в форме ФРВ и найденных устойчивых решений двух-очечной краевой задачи - метод синтеза квазиоптимальных законов ком-инированного управления одномерными объектами без запаздывания;

- метод определения оптимального интегрального многообразия в орме полиномиальной зависимости вектора сопряженных координат от гктора фазовых координат объекта управления, записанной с использо-анием кронекеровского произведения векторов, которая однозначно пределяет квазиоптимальные законы комбинированного управления ногомерными объектами без запаздывания;

- методология синтеза реализуемых квазиоптимальных регуляторов 1я нелинейных объектов при наличии запаздывания в канале управления

промежуточных координатах, основанная на процедурах упрежнения эординат состояния объекта с использованием его модели в форме ряда ольтерра и аппроксимации функциональных составляющих строго опти-ального закона управления;

- метод аналитического конструирования квазиоптимальных комби-фованных регуляторов по критерию с предельным усреднением;

- метод синтеза релейных регуляторов, оптимальных по критерию ми-шума интегральных квадратичных отклонений;

- метод построения глобально устойчивых наблюдающих устройств 1я одномерных объектов с полиномиальными нелинейностями;

- методы и способы структурной реализации квазиоптимальных неличных обратных связей, направленные на получение структур устройств фавления меньшей сложности.

Главное достоинство предложенного метода (метода рядов Вольтер-1) синтеза квазиоптимальных регуляторов как для одномерных, так и для того мерных нелинейных объектов без учета запаздывания заключается в >м, что определение параметров закона управления в основном сводится решению систем линейных алгебраических уравнений, матрицы коэффи-гагтов которых выражаются через кронекеровское произведение соответ-вующих матриц Вандермонда. Обращение данных матриц осуществляет-просгым аналитическим, строго формализованным алгоритмом. Эта обенность метода рядов Вольтерра значительно уменьшает объем счислений по сравнению с методом динамического программирования

(для объекта пятого порядка с квадратичной нелинейностью более чем на порядок) и делает его в указанном отношении практически эквивалентным методу A.A. Красовского. Метод рядов Вольтерра использует полностью определенные функционалы качества с полиномиальными интегрантами и применим как к устойчивым, так и к неустойчивым объектам управления.

Достоинство разработанных методов конструирования регуляторов для объектов с запаздыванием состоит в практической реализуемости синтезируемых алгоритмов управления, что достигается применением в законе обратной связи лишь текущих и прошлых значений координат состояния объекта, и в возможности учета влияния начальных функций звеньев запаздывания на движение проектируемой системы.

2. С использованием разработанных методов синтеза получены:

- новые структуры реализуемых квазиоптимальных регуляторов для нелинейных объектов с запаздыванием (а.с. 815711);

- новые структуры систем управления электроприводом, защищенные патентом 2114455 и положительным решением от 05.07.99 по заявке № 99104989/09 на выдачу патента на изобретение.

3. Результаты работы внедрены в практику проектирования систем управления техническими объектами и в практику автоматизации производственных процессов, в частности:

- методические и программные средства для синтеза квазиоптимальных нелинейных систем управления использовались при создании системы автоматизированного проектирования высокоточных следящих приводов в НИИ СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана;

- предложенные методы синтеза применялись при разработке алгоритмов управления электроприводом антенны радиолокационной станции миллиметрового диапазона радиоволн как для режима поиска объекта, так и для режима его автосопровождения. В режиме поиска предложенный закон управления с полиномиальными обратными связями обеспечивает апериодические переходные процессы с практически предельным быстродействием. Для режима автосопровождения разработан регулятор простой в технической реализации структуры, использующий линейно-релейные обратные связи для обеспечения заданной точности слежения при повышенном быстродействии. Указанные результаты использованы в разработках ОАО ЦКБА г. Тулы, в Тульском филиале ГУЛ КБМ;

- предложенные методы синтеза применялись при разработке структуры и настройке микропроцессорного регулятора температуры вакуумной камерной печи СНВС 5.5.5/ЗИ1, имеющей значительное запаздывание. Вакуумная печь на межведомственных испытаниях с представителями от предприятия УЮ-400/2 и ВНИИЭТО получила рекомендацию к промышленному внедрению;

- квазиоптимальный закон непосредственного цифрового управления электрическим режимом дуговой сталеплавильной печи ДСП-200 с учетом действия мультипликативного возмущения - колебаний градиента напря-

жения столба электрической дуги - вошел в состав математического обеспечения АСУТП электродуговой печи, разработанной во ВНИИЭТО.

Предложенные в диссертации методы синтеза, алгоритмы управления могут быть использованы в организациях, НИИ, КБ, занимающихся вопросами проектирования высококачественных систем автоматического управления.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Содержание диссертации опубликовано в 53 работах, основными из которых являются:

1. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Нелинейные системы управления электроприводами и их аналитическое конструирование. - Тула: ТулГУ, 1999. - 180 с.

2. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Применение интегральных уравнений в задаче оптимального управления нелинейными объектами // Автомат, системы оптимал. управл. технол. объектами. - Тула: ТулПИ, 1976. - С. 52-62.

3. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. Синтез дискретного управления нелинейным нестационарным объектом //Автоматика. - 1976. -№ 1. - С. 5770.

1. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Определение ядер Вольтерра нелинейных систем управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. объектами. - Тула: ТулПИ, 1977. - С. 32-39. 5. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Оптимальный регулятор для одного класса неустойчивых объектов // Техн. кибернетика. - Тула: ТулПИ, 1977. -С. 16-26.

5. Ловчаков В.И. Синтез систем управления для одного класса дискретных нелинейных объектов с запаздыванием в канале управления // Автомат. системы оптимал. управл. технол. процессами. -Тула: ТулПИ, 1978.-С. 10-16.

К Ловчаков'В.И., Фомичев A.A. Устройство наблюдения для одного класса нелинейных объектов управления // Автоматика. - 1978. - № 4. -С. 46-59.

>. Ловчаков В.И. Астатические устройства наблюдения для одного класса нелинейных объектов управления // Алгоритмы и структуры спе-циализир. вычислит, устройств. - Тула: ТулПИ, 1978. - С. 105-114. >. Ловчаков В.И., Фомичев A.A., Эдемский В.М. Синтез нелинейной системы оптимального управления электрическим режимом дуговой печи//Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. - Тула: ТулПИ, 1980.-С. 99-106. 0. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. Синтез системы управления для одного класса нелинейных объектов с запаздыванием // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1980. - № 4. - С. 157-165. 1.. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. К структуре оптимального регулятора для нелинейных объектов с запаздыванием в канале управления // Динамика электромехан. систем. - Тула: ТулПИ, 1980. - С. 53-61.

12. 815711 СССР, МКИ G 05 В 11/01. Устройство для оггошальногс управления нелинейным объектом с запаздыванием / Ловчаков В.И. Малов Д.И., Саломыков В.И., Ротенберг Л.А. (СССР). - № 2610707/18 24; Заявлено 04.05.78; Опубл. 23.03.81, Бюл. № 11. - 4 с.

13. Ловчаков В.И. Синтез нелинейного гарантирующего регулятора U Динамика электромехан. систем. - Тула: ТулПИ, 1981. - С. 70-76.

14. Ловчаков В.И. Об одной задаче оптимального управления нелинейными объектами при неисчезающих возмущениях // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. - Тула: ТулПИ, 1981. - С. 31-42.

15. Ловчаков В.И. Приближенное аналитическое решение двухточечной краевой задачи оптимального управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. - Тула: ТулПИ, 1984. - С. 44-47.

16. Ловчаков В.И. Оптимальное управление нелинейным объектом, описываемого усеченным рядом Вольтерра //ТулПИ. - Тула, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 28.09.88, № 7792-В88. -16 с.

17. Ловчаков В.И., Горячев Г.М., Дубальский В.Е. Система оптимального управления объектом первого порядка с нелинейностью вида насыщение// Динамика электромехан. систем.- Тула: ТулПИ, 1989. - С. 42-48.

18. 1486985 СССР, МКИ G 05 В 11/16. Автоматическая система импульсного позиционного регулирования / Горячев Г.М., Ловчаков В.И., Дубальский В.Е., Струков К.В. (СССР). - № 4304958/24-24; Заявлено 08.09.87; Опубл. 15.06.89, Бюл. № 22. - 4 с.

19. Ловчаков В.И. К вопросу аналитического решения нелинейной задачи оптимального управления // ТулПИ. - Тула, 1991. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.91,№4885-В91.-Юс.

20. Ловчаков В.И. Дифференциально-тейлоровские преобразования в синтезе управлений по критерию обобщенной работы // ТулПИ. - Тула, 1 992. - Деп. в ВИНИТИ 14.09.92, № 2774-В92. -16 с.

21. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В. Высокоточный следящий привод радиолокационной станции // Оборон, техника. -1996. - № 1011. -С.71-73.

22. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В., Краснов К.В. Аналитический синтез оптимального управления следящим приводом с люфтом // Электротехн. комплексы автоном. объектов (ЭКАО-97): Тез. докл. науч.-техн. конф. - М.: МЭИ, 1996. - С. 37-38.

23. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Синтез системы частотного управления асинхронным двигателем.// ТулГУ - Тула, 1997.- Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2264-В97. - 23 с.

24. Ловчаков В.И. Синтез оптимального управления нелинейными многомерными объектами // ТулГУ- Тула, 1997. - Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2263-В97. - 30 с.

25. Ловчаков В.И. Синтез оптимальных релейных регуляторов для одного класса нелинейных объектов // Управл. электротехн. объектами.- Тула: ТулГУ, 1997.-С. 46-58.

26. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В. Синтез и анализ оптимальных релейных регуляторов методами A.A. Красовского и дина-

мического программирования // Управл. электротехн. объектами. -Тула: ТулГУ, 1997. - С. 79-88.

'. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В., Краснов К.В. Сравнение методов A.A. Красовского и динамического программирования в решении задач оптимального релейного управления // LUI научная сессия, посвященная дню радио: Тез. докл. - М.: РНТОРЭС им. A.C. Попова, 1998. - С. 60-62.

. 2114455 Россия, МКИ G 05 В 11/01, 5/01. Способ автоматического управления в системе с люфтом и следящая система для его осуществления / Сухинин Б.В., Нечипуренко Ю.Г., Ловчаков В.И., Сурков В.В. - № 97102401/09; Заявлено 18.02.97; Опубл. 27.06.98, Бюл. №18.-8 с.

. Ловчаков В.И. Синтез оптимальных управлений для многомерных объектов с полиномиальной нелинейностью II Математ. методы в химии и технологиях (ММХ-11): Докл. Международ, науч. конф. - Владимир: ВГУ, 1998. - С. 92.

. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Синтез и анализ многосвязной системы комбинированного управления скоростью асинхронного двигателя // Систем, проблемы надежности, математ. моделирования и информа-цион. технологий: Материалы Международ, науч. конф. - Москва-Сочи, 1998.-4.1.-С. 49-51.

. Ловчаков В.И. Аналитическое конструирование оптимальных релейных регуляторов по минимуму интегральных квадратичных отклонений // Систем, проблемы надежности, математ. моделирования и ин-. формацион. технологий: Материалы Международ, науч. конф. -Москва-Сочи, 1998.- Ч. 1. - С. 60-62.

Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Синтез многосвязной квазиоптимальной системы векторного управления скоростью асинхронного двигателя // Электромеханика и электротехнологии: Тез. докл. III Международ, конф. ICEE-98. - Россия, Клязьма, 1998. - С. 127-128. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Многосвязная квазиоптимальная система управления скоростью асинхронного двигателя // Информатика-машиностроение. -1998. - № 4. - С. 66-69.

Ловчаков В.И. Применение рядов Вольтерра в решении задачи аналитического конструирования оптимального регулятора // Изв. вузов. Электромеханика. -1998. - № 5-6. - С. 80-90.

Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В., Краснов К.В. Аналитическое конструирование регулятора для следящей системы с люфтом // Информатика-машиностроение. - 1998.- № 3. - С. 66-69.

Россия, МКИ G 05 В. 11/01, 5/01. Способ автоматического управления в системе с люфтом и следящая система для его осуществления / Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В., Краснов К.В. - № 99104989/09; Заявлено 10.03.99. (положительное решение от 05.07.99) Ловчаков В.И. Метод синтеза квазиоптимальных регуляторов для многомерных объектов с полиномиальной нелинейностью // XII Науч. - техн. конф.: Тез. докл. - Тула: ТАИИ, 1999. - Кн. 1. - С. 162 -163.

38. Ловчаков В.И. Метод синтеза квазиоптимальных комбинирован™ регуляторов для многомерных нелинейных объектов И Математ. м тоды в технике и технологиях (ММТТ-12): Труд. Международ, нау конф. - Великий Новгород: НТУ, 1999. - Т. 1. - С. 218-220.

39. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В., Феофилов Е.И. Анал тическое конструирование систем комбинированного управления об ектами с кусочно-линейными характеристиками // Информационш технологии в проектировании и производстве. -1999. - № 3. - С. 55-58

40. Ловчаков В.И. Метод аналитического конструирования квазиопт мальных нелинейных систем II Управление и информатика. Юби сбор. труд, кафедры "Автоматика и телемеханика" ТулГУ. - М.: 00 "ИСПО-Сервис", 1999. - С. 210-220.

41. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В., Феофилов Е.И. Опт мальное управление объектами с кусочно-линейными характерист ками // Систем, проблемы качества, математ. моделирования и инфо мацион. технологий: Материалы Международ, науч. конф. - Москв; Сочи, 1999. - 4.4. - С. 107-109.

42. Сурков В.В., Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Феофилов Е.И. Инжене ный метод аналитического конструирования для линейных и нелине ных систем // Систем, проблемы качества, математ. моделирования

• информацион. технологий: Материалы Международ, науч. конф. Москва - Сочи, 1999. - 4.4. - С. 109-110.

Подписано ■ печать 2£. 90. Формат бумага 60x84 1/16. Бумага тмшрафская Ха 2 Офсетная печать. Усл. псч. л. Л,3 . Усл. кр.-огг. ¿, 3 . Уч. изд. л. А, О Тираж рс экз. Зака1 ?9С .

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92. Релакциоппо- издательский центр Тульского государственного университета. 300600, г. Тула, ул. Боллина, 151

Технический прогресс в различных сферах народного хозяйства выдвигает высокие требования к качеству выпускаемой продукции и, соответственно, к качеству работы систем управления (СУ) производственными агрегатами и оборудованием. Так как современные производственные объекты являются, как правило, многомерными и нелинейными по своей природе, то использование их линеаризованных моделей при синтезе управляющих устройств (УУ) далеко не всегда позволяет обеспечить требуемые уровни устойчивости и точности протекания технологических процессов при изменении рабочих режимов агрегатов в широких пределах или в условиях действия возмущений значительной мощности (амплитуды). Это определяется тем, что линейные модели, для которых разработаны эффективные методы синтеза, адекватно описывают поведение объекта управления (ОУ) лишь в малой окрестности установившегося режима. Все более широкое применение нелинейных СУ, обеспечивающих высококачественное функционирование промышленных объектов при изменении их переменных состояния в широких интервалах, в том числе и в состояниях, близких к предельным, оптимальным, вызывает необходимость развития методов их анализа и синтеза.

В данном направлении к настоящему времени достигнуты значительные результаты. Это, например, работы В.В. Солодовникова, Е.П. Попова, В.А. Бессекерского, A.A. Вавилова, Е.И. Хлыпало, В.В. Яковлева, С.Е. Душина и др. в области частотных методов расчета и проектирования нелинейных систем. Это работы В.М. Матросова, В.Д. Фурасова, В.М. Кун-цевича, М.М. Лычака по синтезу нелинейных систем с применением аппарата функций Ляпунова. Широкие возможности для синтеза систем, в том числе и для нелинейных, открываются с позиций решения обратных задач динамики (А.Е. Барбашин, П.Д. Крутько, Л.М. Бойчук). Серьезные результаты получены в теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (теории АКОР), связанной с именами A.M. Летова, Р.

Калмана, A.A. Красовского, В.И. Зубова, А.Г. Александрова, Ю.П. Петрова и др. Новые подходы и методы синтеза нелинейных систем предлагает синергетическая теория управления A.A. Колесникова. Первый основной вывод, вытекающий из анализа указанных работ, можно сформулировать следующим образом. В настоящее время не существует законченных общетеоретических методов исследования и проектирования многомерных нелинейных систем управления. Причинами этого являются: невыполнение для них принципа суперпозиции; разнообразие классов функций, используемых для описания динамики нелинейных ОУ и УУ; разнообразие требований к качеству процессов в различных режимах функционирования СУ и при переходах с режима на режим; различные уровни сложности управляемых объектов, характеризуемые многомерностью, многосвяз-ностью, многоконтурностью и т.д.; отсутствие общего математического аппарата для аналитического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. Неизвестны также простые, инженерные методы проектирования систем управления для многих практически важных классов нелинейных объектов. В связи с этим задача синтеза нелинейных многомерных СУ отнесена акад. A.A. Красовским, A.A. Колесниковым к центральной проблеме современной теории управления.

Второй вывод заключается в следующем. Несмотря на развитие численных и качественных методов анализа и синтеза нелинейных систем различных классов, существовала и существует необходимость получения аналитических, пусть даже приближенных, решений задач конструирования регуляторов для нелинейных объектов, важных для приложений классов. Выделение таких классов объектов имеет большое теоретическое и практическое значение в связи с тем, что аналитические методы являются наиболее предпочтительными с точки зрения общности получаемых решений, простоты их использования, экономии машинного времени при их нахождении или анализе. Отмеченные особенности аналитических решений, позволяющих относительно легко исследовать свойства системы при изменении ее параметров в широких пределах, определяет целесообразность применения последних методов в практике проектирования и наладки систем автоматического управления.

Достаточно широкий класс нелинейных объектов, для которого в диссертационной работе удалось разработать сравнительно простые, аналитические по форме метод и методики синтеза квазиоптимальных регуляторов, образуют многомерные стационарные объекты с нелинейными характеристиками полиномиального вида от их фазовых координат, причем в нелинейные модели объектов вектор запаздывающих сигналов управления входит линейным образом. В связи с тем, что при описании нелинейных характеристик динамических объектов (систем) используются полиномы, в дальнейшем указанные объекты и системы называются полиномиальными.

Указанные динамические модели с полиномиальными нелинейностя-ми, на взгляд автора, очень широко используются для описания процессов различной природы. Для обоснования этого базового утверждения приведем примеры из разных областей науки и техники, в которых применяются полиномиальные модели динамики. 1. Устройства электромеханики: в соответствии с обобщенной теорией электрических машин (Г. Крон, Р. Парк, A.A. Горев, И.П. Копылов) динамика всех типов электрических двигателей и генераторов постоянного и переменного токов описывается дифференциальными уравнениями с квадратичными нелинейностями, причем эти нелинейности отражают физическую сущность процессов преобразования электрической энергии в механическую и наоборот. Именно эти объекты рассматриваются в прикладной главе диссертации и показывается, что учет при синтезе СУ нелинейностей характеристик электропривода приводит существенному, качественному улучшению его свойств. 2. Объекты химической технологии: для моделей динамики химических реакторов также характерны квадратичные нелинейности, определяющие в соответствии с законом действующих масс скорость химической реакции двух исходных веществ через произведение их концентраций. 3. Промышленные объекты с рециклом: шаровые мельницы, химические реакторы, объекты в металлургии, горном деле, обогащении и др. 4. Объекты биологии и экологии: большинство современных математических моделей, описывающих динамику популяций, связано с моделями, предложенными Лоткой и Воль-терра, в которых присутствуют произведения фазовых координат системы. Полиномиальные модели находят использование также и в других областях, например, при моделировании и управлении процессами в летательных аппаратах ( работы A.A. Красовского и его учеников). При этом важно подчеркнуть, что выделенный класс полиномиальных объектов можно значительно расширить, включив в него объекты с нелинейными характеристиками, являющимися непрерывными действительными функциями, после предварительной аппроксимации их полиномиальными зависимостями. Учет наличия запаздывания сигналов в каналах объектов дополнительно существенно раздвигает границы рассматриваемого класса ОУ. Явления запаздывания, в значительной степени снижающие устойчивость и качество работы автоматических систем, встречаются в объектах любой физической природы и объясняются конечной скоростью перемещения материальных и энергетических потоков.

Указанное широкое распространение полиномиальных моделей для описания процессов самой различной природы вызвало появление и становление теории полиномиальных систем, результаты которой нашли отражение во многих монографиях (Н. Винер, Г. Ван-Трис, Ю.С. Попков, К.А. Пупков, В.И. Капалин, A.C. Ющенко, Н.Д. Егупов, Л.В. Данилов). Важнейшее достижение этой теории состоит в разработке для полиномиальных систем математического описания типа "вход-выход" с помощью функциональных рядов Вольтерра (ФРВ). Ряд Вольтерра является обобщением понятия интеграла свертки, используемого для описания линейных объектов, на нелинейные динамические системы. В связи с этим данное описание позволяет с успехом применять для анализа и синтеза полиномиальных систем известные аналитические, в частности частотные, методы, разработанные для линейных систем управления. Указанный сравнительно простой и эффективный аппарат рядов Вольтерра в настоящей работе используется как основной математический аппарат решения формулируемых далее задач оптимального управления объектами выделенного класса. Здесь подчеркнем, что решение задач синтеза оптимальных регуляторов именно для полиномиальных объектов и с применением именно аппарата рядов Вольтерра, который для них развит, составляет первую характерную особенность данной диссертационной работы.

Анализ возможных постановок задач управления, вытекающих из трех основных способов формализации требований к качеству движения синтезируемых систем, привел к выводу, что первый способ, состоящий в задании первичных показателей качества переходных процессов, и второй , заключающийся в представлении желаемого движения системой дифференциальных уравнений, практически невозможно использовать при конструировании нелинейных многомерных СУ. Первый способ формализации в общем случае нельзя применять к нелинейным системам вследствие зависимости характера их переходных процессов от вида входных воздействий и начальных условий данных систем. Применение же второго способа к многомерным объектам встречает серьезные трудности, связанные с учетом имеющихся ограничений на управляющие воздействия и с заданием структуры системы дифференциальных уравнений с большим числом параметров, описывающей желаемые движения. В связи с этим наиболее припособленным к применению к сложным нелинейным многомерным ОУ является способ формализации, основанный на введении оптимизируемого функционала (критерия качества) интегрального типа. Его достоинства состоят в следующем. Во-первых, использование интегральных критериев качества, в частности квадратичных функционалов, позволяет определить требования к переходным процессам СУ заданием значений их весовых коэффициентов, число которых может быть значительно меньше числа параметров системы дифференциальных уравнений, описывающей желаемые движения синтезируемой многомерной системы, и меньше числа первичных показателей качества, определяемых для каждой координаты многомерного объекта. При этом практически произвольный выбор весовых коэффициентов обеспечивает синтезируемой системе фундаментальное свойство - свойство асимптотической устойчивости. Во-вторых, дальнейший целенаправленный перебор данных коэффициентов, как правило, удовлетворяет разумные требования к первичным показателям качества систем, к времени переходного процесса, перерегулированию и т. д. Более широкие возможности в этом направлении обеспечивают функционалы с интегрантами полиномиального вида, содержащими слагаемые четвертой степени, которые для электромеханических систем, рассматриваемых в прикладной главе диссертации, имеют большой физический смысл - смысл квадратичных отклонений соответствующих мощностей или энергий. Использование при синтезе систем критериев с такими полиномиальными интегрантами, что является второй отличительной особенностью диссертационной работы, позволяет, например, придать электроприводу повышенное быстродействие, близкое к оптимальному. И, в-третьих, главное достоинство данного способа формализации задач управления заключается в том, что он позволяет использовать для синтеза УУ сложными объектами результаты теории оптимального управления (JT.C. Понтрягин, Р. Беллман, Р. Калаба, В.М. Тихомиров, В.Ф. Кротов, В.И. Гурман, Р. Габасов, Ф.М. Кирилова и др.), и теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) (A.M. Летов, Р. Калман, A.A. Красовский, A.A. Колесников, А.Г. Александров, Ю.П. Петров, Р.Т. Янушевский), которые являются базовыми составляющими современной теории автоматического управления. Следует подчеркнуть, что методы АКОР находят все расширяющееся применение в прикладных задачах управления различными сложными производственными объектами. Это связано с такими достоинствами данных методов, как их общность, логическая завершенность, принципиальная математическая простота.

Таким образом, для ОУ рассматриваемого класса возникла необходимость решения задачи АКОР по интегральному критерию с интегрантом полиномиального вида, частным случаем которого является обобщенный квадратичный функционал качества. При постановке задачи АКОР учитывается, что объекты находятся под действием ограниченных по норме возмущений так называемой волновой структуры (используется терминало-гия работы К.Т. Леондеса) - в этом состоит третья характерная особенность диссертационной работы. Функции данной структуры, широко используемые в классической теории управления, математически представляются как сумма известных базисных функций, преобразуемых по Лапласу, с неизвестными коэффициентами, которые в случайные моменты времени скачком изменяют свои значения, причем соседние скачки разделены до-статачно продолжительным интервалом времени, соизмеримым со временем переходных процессов проектируемой СУ. На этом основании для синтеза регулятора, противодействующего данному возмущению, используются методы теории управления детерминированными объектами.

Решение указанной задачи, являющейся обобщением известной задачи Летова-Калмана на нелинейные объекты с запаздыванием при действии возмущений волновой структуры, как показал анализ существующих работ, представляет серьезную теоретическую проблему, а с учетом широкого распространения указанных объектов - также и практически важную проблему. Для ее решения неизвестны теоретически законченные, относительно простые методы. Так, например, широко известный метод синтеза A.A. Красовского к данным задачам неприменим, так как использует специальный критерий обобщенной работы. При использовании же метода динамического программирования мы сталкиваемся с ситуацией, которую Р. Беллман назвал "проклятием многомерности", в которой для определения коэффициентов полиномиальной ОС необходимо составлять и решать очень большое число алгебраических уравнений. В связи с этим метод динамического программирования практически невозможно применять к объектам выше третьего порядка. В то же время подчеркнем, что для решения данной задачи АКОР не использовался математический аппарат рядов Вольтерра, который, во-первых, хорошо отражает особенности движения рассматриваемых полиномиальных объектов, а, во-вторых, приспособлен к описанию движений нелинейного объекта под действием внешних возмущений. На этом основании в диссертационной работе показывается, что применение аппарата ФРВ может существенно упростить решение задач АКОР в сравнении с известными методами. Например, позволит снять остроту проблемы "проклятия многомерности" и предложить методы определения алгоритмов управления для объектов порядка 10 и выше.

Таким образом, цель работы состоит в разработке на основе математического аппарата функциональных рядов Вольтерра теоретических основ, методов и алгоритмов аналитического конструирования квазиоптимальных регуляторов для нелинейных многомерных объектов с запаздыванием; разработке методик синтеза высокоточных электромеханических систем по критериям качества с полиномиальными интегрантами.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались методы функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений, многомерного преобразования Лапласа, на которых базируются математический аппарат ФРВ, методы теории оптимального управления, теории матриц. При исследовании электромеханических систем применялись методы обобщенной теории электрических машин, цифровое моделирование и экспериментальные исследования.

Основные научные положения, защищаемые в диссертации. На защиту выносятся:

- методология получения и анализа решений в форме ряда Вольтерра двухточечной краевой задачи, отвечающей исследуемой задаче АКОР для полиномиальных объектов рассматриваемого класса, которая содержит методы и алгоритмы определения членов ряда, анализа областей сходимости функционального ряда, областей асимптотической устойчивости решений;

- методы и алгоритмы определения оптимальных интегральных многообразий (терминология К.Г. Валеева, Г.С. Финина) на основе найденных устойчивых решений краевой задачи в форме ФРВ, которые составляют базис соответствующих методов и алгоритмов синтеза законов квазиоптимального управления объектами без запаздывания;

- методология формирования алгоритмов работы в реальном времени устройств упреждения на время запаздывания значений фазовых координат нелинейных объектов с использованием их функциональных моделей в виде ряда Вольтерра и, соответственно, методология синтеза технически реализуемых квазиоптимальных алгоритмов управления нелинейными объектами с запаздыванием;

- обобщение указанных методов и алгоритмов на конструирование квазиоптимальных систем управления по критериям качества с предельным усреднением;

- распространение указанных методов и алгоритмов на синтез квазиоптимальных релейных систем управления объектами рассматриваемого класса;

- методы и способы структурной реализации квазиоптимальных нелинейных обратных связей, направленные на получение структур УУ меньшей сложности и обеспечивающие восстановление значений неизмеряемых фазовых координат объекта;

- новые алгоритмы управления электроприводами постоянного и переменного токов, квазиоптимальные по критериям качества с полиномиальными интегрантами и модульным критериям; методики расчета их параметров.

Научная новизна. Совокупность проведенных в диссертации исследований позволила на базе математического аппарата ФРВ разработать прикладную теорию аналитического синтеза квазиоптимальных регуляторов для нелинейных объектов достаточно широкого для приложений класса и его отдельных подклассов. С ее помощью получены новые алгоритмы управления электромеханическими системами, квазиоптимальными по нетрадиционным, имеющим глубокий физический смысл, критериям качества. В частности, в работе получены следующие новые результаты.

1. Для одномерных и многомерных объектов управления математически строго обоснован переход от решения нелинейной двухточечной краевой задачи, сформулированной на полубесконечном интервале времени, к решению соответствующего интегрального уравнения.

2. Установлены условия сходимости ФРВ, описывающего решения интегрального уравнения (соответствующей двухточечной краевой задачи оптимального управления), которые одновременно гарантируют экспоненциальную устойчивость этих решений в некоторой ограниченной области начальных состояний объекта.

3. Предложен метод определения желаемого дифференциального уравнения движения синтезируемой замкнутой системы управления из условий равенства его решений в форме ФРВ и найденных устойчивых решений двухточечной краевой задачи. Данный метод совместно с известными соотношениями теории обратных задач динамики (П.Д. Крутько, Л.М. Бойчук) определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления одномерными объектами без запаздывания, частным случаем которых являются квазиоптимальные законы обратной связи.

4. Исходя из найденных устойчивых решений многомерной двухточечной краевой задачи в форме ФРВ разработан метод определения оптимального интегрального многообразия - метод восстановления функциональной зависимости вектора сопряженных координат от вектора фазовых координат ОУ и вектора возмущающих воздействий, которая определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления многомерными объектами без запаздывания.

5. Для объектов при наличии запаздывания в канале управления разработан метод синтеза квазиоптимальных регуляторов, основанный на процедурах упреждения координат состояния нелинейного объекта с использованием его функциональной модели в форме ряда Вольтерра и аппроксимации функциональных составляющих строго оптимального закона управления. Новизна структур систем управления подтверждается авторским свидетельством № 815711.

6. Разработан метод синтеза квазиоптимальных регуляторов для объектов с множественным запаздыванием, основанный на процедуре последовательного упреждения координат состояния нелинейного объекта с использованием функциональных моделей, составляющих его каскадов.

7. Предложен подход к построению квазиоптимальных регуляторов простой структуры, основанный на использовании множественности решения задачи АКОР при действии волновых возмущений, имеющих постоянные и синусоидальные составляющие.

8. Математически доказано, что для обеспечения оптимальности релейной системы управления полиномиальным объектом, описываемым одним дифференциальным уравнением п-го порядка, по критерию минимума интегральных квадратичных отклонений не требуется применение квадратичных и кубических обратных связей. Для многомерных же оптимальных релейных СУ показано, что число используемых в них нелинейных обратных связей может быть значительно меньше числа ОС в системах оптимальных по обобщенному квадратичному функционалу качества. На этом факте основана процедура упрощения структуры управляющих устройств многомерными полиномиальными объектами.

9. Предложены подход и способы реализации квазиоптимальных законов управления, обеспечивающие меньшую сложность структур СУ, основанные на переходе от аппроксимации законов ОС в форме степенного ряда к аппроксимации функций управления по специальным системам базисных функций, в частности, к использованию аппроксимации Паде.

10. Для полиномиальных объектов определенного класса предложен метод синтеза наблюдающих устройств, обеспечивающий устойчивость их работы во всем фазовом пространстве наблюдаемого объекта.

11. Разработан метод синтеза квазиоптимальных систем управления объектами с кусочно-линейными характеристиками, в частности следящих систем при наличии люфта в исполнительном механизме. Новизна способа управления и соответствующих структур следящих систем с люфтом защищена патентом № 2114455 .

12. Предложена методика синтеза квазиоптимальных законов управления электромеханическими системами по интегральному критерию качества, содержащему слагаемое четвертой степени от выходной координаты электропривода, которые обеспечивают апериодические переходные процессы систем с практически предельным быстродействием.

13. Разработана методика синтеза квазиоптимальных регуляторов для следящих систем по модульному критерию качества, обеспечивающих повышенные точность и быстродействие процесса слежения. Новизна алгоритмов управления и схем их реализации защищена патентом .

Практическая ценность. Практическая значимость разработанной в диссертации прикладной теории конструирования квазиоптимальных регуляторов определяется такими факторами как 1) применением при синтезе СУ нелинейных моделей ОУ, учитывающих запаздывание в управлении и промежуточных координатах, которые в сравнении с линейными моделями более достоверно описывают физические процессы многих производственных объектов и существенно расширяют область использования исследуемых систем; 2) получаемые с ее помощью алгоритмы управления обеспечивают значительно лучшие показатели качества синтезируемых систем в сравнении с типовыми регуляторами и с известными линейными законами управления; 3) прикладные методики, алгоритмы и программы синтеза отличаются относительной простотой и позволяют сократить время проектирования систем управления и повысить качество проектов. Простота метода синтеза СУ связана с его аналитическим характером и определяется тем, что нахождение параметров нелинейных управлений сводится, в основном, к решению линейных алгебраических уравнений, для матриц коэффициентов которых (матриц типа Вандермонда) указан аналитический метод обращения. Объем вычислительной работы в предлагаемом методе имеет приблизительно тот же порядок, что и в методе синтеза оптимальных регуляторов по критерию обобщенной работы, развитом A.A. Красовским. Результаты диссертации могут быть использованы в различных отраслях промышленности при создании автоматизированных систем проектирования современных устройств автоматического управления.

Реализация результатов. Работа выполнена на кафедре электротехники и электрических машин (ЭиЭМ) Тульского государственного университета (ТулГУ) и связана с выполнением автором хозяйственных договоров № 86-442 (№ ГР 01860077440), 89-755,90-942 в 1986 -91 г.г. между ТулГУ, предприятием УЮ-400/2 и Всесоюзным научно-исследовательским проектно -конструкторским и технологическим институтом электротермического оборудования (ВНИИЭТО) во исполнение Постановления СМ СССР № 1107 от 01.10.87 г., а также госбюджетных НИР по программе "Университеты России", гранту № 01.9.80 005085 "Теория синтеза высокоточных следящих приводов антенн радиолокационных станций миллиметрового диапазона радиоволн", проводимого в 1993-97г.г. в соответствии с приказом Министерства науки, высшей школы и технической политики РСФСР № 43 от 13.03.92 и по научно-технической программе "Механика, машиноведение и процессы управления"^ направление "Системы идентификации, адаптивные и самообучающиеся системы управления, работающие в условиях неопределенности", проект "Разработка новой технологии создания систем оптимального управления высокоточными электроприводами, функционирующими в условиях неопределенности'^, выполняемого в 1998-2000 г.г. в соответствии с приказом Министерства общего и профессионального образования РФ от 14.04.98 № 960. Полученные результаты внедрены в практику проектирования систем управления электроприводом в НИИ СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана и ОАО ЦКБА г. Тулы, использовались в разработках ВНИИЭТО, а также применяются в учебном процессе в ТулГУ, о чем имеются соответствующие акты.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались: на Международных научных конференциах " Математические методы в химии и технологиях" (Тверь, 1995; Тула, 1996; Владимир, 1998; Новгород, 1999); на III Международной конференции "Электромеханика и электротехнологии" (Россия, Клязьма 1998); на Международной научно-технической конференции "Системные проблемы надежности, математического моделирования и информационных технологий" (Москва-Сочи, 1998); на Всесоюзной научной конференции "Декомпозиция и координация в сложных системах" (Челябинск, 1986); на III Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статических методов в АСУ ТП" (Тула, 1987); на IX Всероссийской научной конференции "Динамика процессов и аппаратов химической технологии"( Ярославль, 1994); на III Всероссийской научно-технической конференции "Методы и средства измерений физических величин" (Нижний Новгород, 1998); на научно-технической конференции "Электротехнические комплексы автономных объектов - ЭКАО-97" (Москва, МЭИ, 1997); на LUI научной сессии, посвященной дню радио (Москва, РНТОРЭС им. A.C. Попова, 1998); на межвузовских научно-технических конференциях в Тульском артиллерийском инженерном институте в 1997-99 гг.; на ежегодных конференциях профессорско- преподавательского состава ТулГУ в 1975 - 1999 гг. и др.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 50 печатных работ, получено 2 авторских свидетельства и 4 патента на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка на 239 наименований, 7 приложений. Основная часть работы изложена на 332 страницах. Работа содержит 53 рисунка и 9 таблиц.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Диссертационные исследования были направлены на теоретическое обобщение и развитие методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов для нелинейных объектов широкого и важного для приложений класса. Его образуют многомерные стационарные объекты с полиномиальными нелинейностями и запаздыванием в каналах управления и промежуточных координатах, подверженные действию ограниченных по амплитуде возмущений волновой структуры. Данные исследования решают научную проблему разработки методического и алгоритмического обеспечения проектирования нелинейных систем управления объектами указанного класса. Решение данной проблемы позволяет значительно расширить область применения методов оптимального управления при проектировании современных САУ техническими объектами, существенно улучшающих динамические показатели синтезируемых нелинейных систем, а также сократить сроки их проектирования.

Выполненные в диссертационной работе исследования по поставленной проблеме привели к следующей совокупности основных научных и практических результатов.

1. Выделен достаточно широкий для приложений класс нелинейных объектов, для которых сформулированы задачи оптимального управления (АКОР-1, АКОР-2), имеющие большое теоретическое и практическое значение и допускающие, в то же время, аналитическое решение с использованием математического аппарата функциональных рядов Вольтерра.

2. Установлено, что наиболее предпочтительным подходом к решению поставленных задач АКОР для объектов с полиномиальными нелинейностями является подход к синтезу систем, основанный на использовании принципа оптимального интегрального многообразия при определении интегральных многообразий с помощью аппарата ФРВ.

3. Для одномерных и многомерных объектов управления математически строго обоснован переход от решения нелинейной двухточечной краевой задачи оптимального управления, определенной на полубесконечном интервале времени, к решению соответствующего интегрального уравнения (теоремы 2.1, 3.1).

4. Установлены условия сходимости функционального ряда Воль-терра, описывающего решения указанного интегрального уравнения и, соответственно, экстремали задачи оптимального управления, которые одновременно гарантируют экспоненциальную ограниченность этих решений в некоторой ограниченной области начальных состояний управляемого объекта и, следовательно, экспоненциальную и асимптотическую устойчивость нулевого решения исследуемого интегрального уравнения (теоремы 2.2, 3.2, 3.3).

5. Предложен рекуррентный алгоритм решения интегрального уравнения в форме ФРВ, который применим к решению уравнений с полиномиальными нелинейностями общего вида от управляемой переменной, функции возмущения и их производных. С его помощью получены выражения экстремалей задач АКОР-1 и АКОР-2, лежащие в основе их решения.

6. Для одномерных объектов управления без запаздывания показана целесообразность определения оптимального интегрального многообразия в форме дифференциального уравнения, которое, как установлено, описывает движение оптимальной замкнутой системы. Предложен метод определения этого уравнения, так называемого желаемого уравнения движения (ЖУД), из условий равенства его решений в форме ФРВ и найденных устойчивых решений двухточечной краевой задачи. Данный метод (метод рядов Вольтерра) совместно с известными соотношениями теории обратных задач динамики определяет квазиоптимальные законы комбинированного управления исследуемыми одномерными объектами.

7. Для многомерных полиномиальных объектов управления установлена целесообразность определения оптимального интегрального многообразия в форме полиномиальной зависимости вектора сопряженных координат от вектора состояния управляемого объекта, записываемой с использованием понятия кронекеровского произведения векторов (матриц). На основе найденных устойчивых решений многомерной двухточечной краевой задачи в форме ФРВ разработан метод (метод рядов Вольтерра) нахождения данной зависимости, которая определяет квазиоптимальные законы ОС для исследуемых многомерных объектов с квадратичными и кубическими нелинейностями.

8. Основная особенность предложенного метода рядов Вольтерра для синтеза одномерных и многомерных СУ состоит в том, что при выбранном расположении корней линеаризованной замкнутой системы нахождение параметров нелинейного закона управления сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений, для матриц коэффициентов которых (матриц типа Вандермонда) указан простой аналитический способ обращения. Данный метод синтеза оптимальных СУ приводит к результатам, совпадающим с результатами метода динамического программирования, но в сравнении с ним многократно уменьшает объем вычислений и тем больше, чем выше порядок объекта.

9. В сравнении с методом синтеза A.A. Красовского по критерию обобщенной работы предложенный метод определяет решение также в аналитической форме и имеет приблизительно тот же порядок объема вычислений, но в отличии от первого использует определенные функционалы качества и, соответственно, применим к синтезу систем управления как для устойчивых, так и для неустойчивых объектов.

10. Метод рядов Вольтерра распространен на решение многомерных задач АКОР-1 при наличии экспоненциально ограниченных возмущений волновой структуры. На языке PASCAL 7.0 разработана соответствующая программа расчета матричных коэффициентов квазиоптимальных законов управления объектами с квадратичными не-линейностями. Неитерационный характер программы определяет относительно быстрый и без накопления ошибок расчет значений коэффициентов обратных связей для объектов до десятого порядка включительно по соответствующим аналитическим матричным выражениям. Программа вошла в состав математического обеспечения САПР высокоточных следящих электроприводов (НИИ СМ МГТУ им. Н.Э. Баумана).

11. Доказано, что метод рядов Вольтерра применим к решению задачи АКОР-2, сформулированной с применением функционала качества с предельным усреднением и при учете действия возмущений, имеющих постоянные и синусоидальные составляющие, которая в общем случае имеет неединственное решение. Предложен подход к построению квазиоптимальных регуляторов простой структуры, основанный на использовании множественности решения задачи АКОР-2. Данные результаты применялись при синтезе квазиоптимального регулятора электрического режима дуговой сталеплавильной печи ДСП-200.

12. Предельным переходом в полученном аналитическом решении задачи АКОР-1 при устремлении к нулю весового коэффициента при управлении в квадратичном функционале качества получено решение задачи АКОР-3. При этом доказано, что для обеспечения оптимальности релейной системы управления одномерным полиномиальным объектом (1.8) не требуется применение квадратичных и кубических обратных связей. Для многомерных же оптимальных релейных СУ установлено, что число используемых нелинейных обратных связей может быть значительно меньше числа ОС в системах оптимальных по обобщенному квадратичному функционалу качества. На этом факте основана процедура упрощения структур устройств управления полиномиальными объектами.

13. Решена с использованием математического аппарата рядов Вольтерра задача определения в реальном масштабе времени значений упрежденных на время запаздывания фазовых координат нелинейных объектов с запаздыванием в канале управления и для них, соответственно, найден в аналитической форме оптимальный закон обратной связи. Для его применения разработан ряд реализуемых квазиоптимальных алгоритмов управления с указанием методик расчета их параметров. Проведен анализ свойств полученных алгоритмов управления и даны рекомендации по их применению. Новизна структуры предложенных систем управления защищена авторским свидетельством № 815711.

14. Предложенная методология аналитического конструирования технически реализуемых квазиоптимальных алгоритмов управления как одномерными, так и многомерными нелинейными объектами с запаздыванием распространена на объекты с множественным запаздыванием, структура которых описывается последовательным соединением указанных объектов с запаздыванием в канале управления. Данная методология применялась при разработке структуры и настройке микропрцессорного регулятора температуры вакуумной камерной печи СНВС 5.5.5/ЗИ1.

15. Предложены подход и способы реализации квазиоптимальных законов управления, основанные на переходе от аппроксимации законов обратной связи в форме степенного ряда к аппроксимации функций управления по специальным системам базисных функций и обеспечивающие получение структур управляющих устройств меньшей сложности. Установлена целесообразность использования аппроксимации Паде для приближения законов оптимального управления.

16. Показано, что кусочно-линейная аппроксимация полиномиальной функции закона управления для многих объектов приводит к упрощению структуры квазиоптимальной СУ. В связи с этим на основе модификации метода рядов Вольтерра разработан метод синтеза оптимальных систем с кусочно-линейными характеристиками, в частности следящих систем при наличии люфта в исполнительном механизме. Новизна способа управления и соответствующих структур следящих систем с люфтом защищена патентом № 2114455 .

17. Метод рядов Вольтерра распространен на конструирование нелинейных наблюдающих устройств. Для полиномиальных одномерных объектов ТЧ-го порядка одного класса предложен метод синтеза наблюдателей, обеспечивающий устойчивость их работы во всем фазовом пространстве наблюдаемого объекта. Данный класс ОУ характеризуется стационарной полиномиальной нелинейностью от управляемой переменной и ее производных, в которой суммарный порядок производной в ее слагаемых не превосходит значения N-1. Особенность структуры синтезированного устройства состоит в использовании в цепях обратной связи не только сигнала ошибки наблюдения 2-1^) = х(0 - у(0, но и сигнала 2+1(4) = х(() + у(1).

18. С использованием метода рядов Вольтерра для электропривода постоянного тока получены квазиоптимальные законы управления по критерию качества, содержащему составляющую четвертой степени от угловой координаты привода. Показано, что в синтезированной системе управления радиолокационным координатором за счет использования соответствующих линейных и кубических обратных связей можно обеспечить апериодические переходные процессы с быстродействием, близким к предельному.

19. С целью получения высокой точности слежения метод рядов Вольтерра применен к синтезу следящей системы радиолокационного координатора оптимальной по модульному функционалу качества. Полученный квазиоптимальный закон управления, допускающий простую техническую реализацию в виде линейно-релейных обратных связей по каждой фазовой координате привода, обеспечивает заданную (0.1 мрад.) ошибку автосопровождения объекта радиолокационной станцией в заданных условиях функционирования. Новизна алгоритма управления и соответствующей структуры следящей системы защищена положительным решением от 14.01.2000 по заявке № 99106871/09 на выдачу патента.

20. Метод рядов Вольтерра использовался при синтезе квазиоп-гимальной по квадратичному функционалу качества системы регулирования скорости асинхронного привода, являющегося полиномиальным объектом с двумя управляющими воздействиями. Исследования показали, что она способна обеспечить более высокое в сравнении с линейной системой качество управления только при работе привода с большими относительными скоростями со > 0.8 . С использованием цанного результата обоснована процедура синтеза законов обратной связи для асинхронного частотно-регулируемого привода радиолокационного координатора, для которого в основном характерны малые скорости движения, на основе разделения канала регулирования магнитного потока асинхронной машины и канала регулирования скорости (положения). Конструирование регуляторов потока и положения предлагается проводить с использованием ранее разработанных

387 методик синтеза алгоритмов управления приводом постоянного тока по критерию качества с составляющей четвертого порядка и модульному критерию.

21. Разработанные с использованием математического аппарата функциональных рядов Вольтерра подходы, методы, методики, программные средства конструирования квазиоптимальных регуляторов в совокупности составляют прикладную теорию синтеза систем управления нелинейными объектами с запаздыванием достаточно широкого для приложений класса. Данная теория хорошо зарекомендавала себя при конструировании устройств управления электроприводами постоянного и переменного токов.

По мнению автора весьма перспективным является продолжение начатых в диссертации исследований в следующих направлениях:

- развитие разработанной теории синтеза применительно к задачам исчисления конечных разностей с целью создания оптимальных систем цифрового управления;

- обобщение разработанных методов синтеза нелинейных систем на случай кратных корней линеаризованной подсистемы.

1. Абдулаев Н.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 240 с.

2. Аверина А.Д., Модяев А.Д. Исследование нелинейных систем управления на основе применения дискретных моделей // Дискрет, нелинейные системы / Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1982. -С. 183-206.

3. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986. - 272 с.

4. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа, 1989.-264 с.

5. Александров Е.Е., Бех М.В. Автоматизированное проектирование динамических систем с помощью функций Ляпунова. Харьков: Основа, 1993. - 112 с.

6. Алексеев В.М., Тихомиров B.C., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 430 с.

7. Альбрехт Э.Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем // Прикл. математика и механика. -1961. -Т.25. № 5. - С. 836-844.

8. Альбрехт Э.Г. Об управлении движением нелинейных систем // Диф. уравнения. 1966. - Т. 2, 3. - С. 324-334.

9. Андреев В.А., Казаринов Ю.Ф., Якубович В.А. Синтез оптимальных управлений для линейных неоднородных систем в задаче минимизации среднего значения квадратичного функционала // Докл. АН СССР. -1972. Т. 202. - № 6. - С. 1247-1250

10. Андреев Ю.И. Управление конечномерными линейными объектами. -М.: Наука, 1976. -424 с.

11. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. - 334 с.

12. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.-764 с.

13. Башарин A.B., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. Л.: Энергия, 1982. - 392 с.

14. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986. -502 с.

15. Беллман Р. Динамическое программирование. M.: Изд-во иностр. лит., 1960.-232 с.

16. Белянский П.В., Сергеев Б.Г. Управление наземными антеннами и радиотелескопами. М.: Советское радио, 1980. - 279 с.

17. Бербюк В.Е. Использование первых интегралов в задачах синтеза оптимальных систем управления // Прикл. математика и механика. -1986. Т. 50. - Вып. 1. - С. 17-23.

18. Бербюк В.Е. Динамика и оптимизация робототехнических систем. -Киев: Наукова думка, 1989. 188 с.

19. Бербюк В.Е. Метод первых интегралов для оценки минимума функционала в задачах оптимального управления // Известия РАН. Сер. Техн. киберненика. 1993. - № 3. - С. 39-43.

20. Бойчук J1.M. Структурный синтез нелинейных систем управления. М.: Энергия, 1971. -113 с.

21. Бойчук J1.M. Синтез координирующих систем автоматического управления. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 160 с.

22. Бойчук J1.M. Структурный синтез систем управления нелинейными объектами с помощью вариационного исчисления // Сложные системы управления. Киев: Наукова думка, 1965. - С. 91-96.

23. Брокетт Р. Нелинейные системы и дифференциальная геометрия // ТИИЭР. 1976. - Т. 64, 1. - С. 80 - 94.

24. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. М.: Наука, 1987. - 232 с.

25. Буровой И.А., Горин В.Н., Ромм Р.Ф. Построение динамической модели обратимых гетерогенных процессов // АиТ. 1968. - № 6. - С. 163178.

26. Буякос В.И. Задача быстродействия в системах с запаздыванием в управлении // АиТ. -1971. № 2. - С. 5-7.

27. Бычков Ю.А. Расчет систем управления на основе кусочно-степенных моделей. JL: Энергоатомиздат, 1991. - 130 с.

28. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981. - 412 с.

29. Валеев К.Г., Финин Г.С. Принцип оптимального многообразия // Нелинейные колебания: Труды 9-ой Междунар. конф. Киев: 1984. - С. 46-49.

30. Валеев К.Г. Расщепление спектра матриц. Киев: Вища школа, 1986. -271 с.

31. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем. М.: Мир, 1964. - 167 с.

32. Варшавский О.Г. Оптимальное регулирование системы второго порядка с запаздыванием // Теория и применение дискретных автоматических систем: Труды конф. М.: Изд. АН СССР, 1960. - С. 36-44.

33. Веремей Е.И. Синтез оптимальных регуляторов методом построения дифференциального уравнения устойчивого подсемейства экстремалей //ЛГУ-Л., 1978.-Деп. в ВИНИТИ 31.10.78, №3413-78. 19с.

34. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 248 с.

35. Волков Е.Ф., Ершов H.H., Раженков Е.Т. Синтез многосвязных систем автоматического управления. JL: ЛЭТИ, 1982. - 65 с.

36. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. - 286 с.

37. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. М.: Химия, 1972. - 160 с.

38. Воробьев H.H. Теория рядов. М.: Наука, 1975. - 368 с.

39. Габасов Р., Кирилова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.-507 с.

40. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 288 с.

41. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления. М.: Наука, 1985. -288с.

42. Данилов Л.В. Ряды Вольтерра-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987. - 224 с.

43. Джонсон С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям // Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К.Т. Леондеса. М.: Мир, 1980. - 407 с.

44. Догановский С.А. Параметрические системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1973. - 166 с.

45. Дроздов Н.В., Мирошник И.В., Скорубский В.И. Системы автоматического управления с микроЭВМ. Л.: Машиностроение, 1989. -284 с.

46. Дубальский В.Е., Ловчаков В.И. Микропроцессорная система управления тепловым объектом // Электротермич. процессы и установки. -Тула: ТулПИ, 1991. С. 77-82.

47. Дуванов С.Г., Шекиня В.Л. Корректирующие устройства с конечной памятью в системах автоматического управления. М.: Энергия, 1973. -103 с.

48. Душин C.B. Синтез структурно-сложных систем управления с полиномиальными нелинейностями: Автореф. дис. . д-ра. техн. наук. СПб: Гос. электротехнический ун-т, 1998. - 34 с.

49. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5. М.: Солон, 1998. - 399 с.

50. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. -М.: Наука, 1984.-206 с.

51. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 336 с.

52. Емельянов С. В. Бинарные системы автоматического управления. М.: МНИИПУД984. - 320 с.

53. Емельянов С. В., Коровин С.К. Новые типы обратных связей: управление при неопределенности. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 352 с.

54. Заславский Б. Г., Полуэктов P.A. Управление экологическими системами. М.: Наука, 1988. - 294 с.

55. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.: Судостроение, 1966.-352 с.

56. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 496 с.

57. Игнатенко В.И. Оптимальное управление с прогнозированием инерционными объектами при наличии запаздывания // Изв. вузов. Приборостроение. 1969. - № 12. - С. 30-33.

58. Игнатенко В.И., Коржов В.И. Прогнозирование оптимального по быстродействию управления системами n-го порядка с запаздыванием. // Вестник Киевского политех, института. Серия автоматики и электроприборостроения. Киев: КПИ, 1973. - 10. - С. 12 -14.

59. Израилович М.А. Задача управления конечным состоянием при наличии постоянно действующих возмущений // М.: Изд. Института нефтехим. и газовой промышленности, 1970. Вып. 84. - С. 52-58.

60. Икримов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.- 190 с.

61. Ильницкий Л.Я. Применение дробно-рациональных приближений в теории функциональных преобразователей. Киев: Наукова думка, 1971.-271 с.

62. Кабанов Д.А. Функциональные устройства с распределенными параметрами. М.: Советское радио, 1979. - 336 с.

63. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. М.: Наука, 1987. - 304 с.

64. Калман Р., Арбиб М., Фалб П. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. - 400 с.

65. Катулев A.B. Современный анализ критериев в задачах оптимизации. М.: Радио и связь, 1992. - 120 с.

66. Кафанов В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. -М.: Химия, 1976. -463 с.

67. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Мир, 1977.-650 с.

68. Клейман Е.Г., Мочалов И.А. Идентификация нестационарных объектов (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 2. - С. 3-22.

69. Клюев A.C., Карпов B.C. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 176 с.

70. Колесников A.A. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 160 с.

71. Колесников A.A., Гельфгат А.Г. Проектирование многокритериальных систем управления промышленными объектами. М.: Энергоата-миздат, 1993. - 304 с.

72. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994. - 344 с.

73. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. -М.:ВШ, 1994.- 318 с.

74. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1974. - 832 с.

75. Красовский A.A. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969. - 240 с.

76. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. - 558 с.

77. Красовский A.A., Буков В.И., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными объектами. М.: Наука, 1977.-272 с.

78. Красовский A.A. и др. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

79. Красовский A.A. Некоторые актуальные проблемы науки управления. // Известия РАН. Сер. Теория и системы управления. -1996. № 6. - С. 8-16.

80. Крутько П.Д. Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами. М.: Советское радио, 1967. - 440 с.

81. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987. - 304 с.

82. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988. - 328 с.

83. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов J1.M. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988.- 304 с.

84. Ку И., Вольф А. Применение рядов Вольтерра-Винера для анализа нелинейных систем // Техническая кибернетика за рубежом. М.: Машиностроение, 1968. - С. 145-165

85. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. -М.: Машиностроение, 1976. 183 с.

86. Куликовский Р.Э. Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического управления. М.: Наука, 1967. - 380 с.

87. Кухаренко И.В. Выбор коэффициентов квадратичных функционалов при аналитическом конструировании регуляторов // Изв. вузов. Электромеханика. 1978. - № 4. - С. 44-47.

88. Лазарева А.Б., Пакшин П.В. Решение матричных уравнений Лурье, Риккати, Ляпунова для дискретных систем // Автоматика и телемеханика. -1986.-№ 12. С. 17-22.

89. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 270 с.

90. Лернер А.Я. Принцицы построения быстродействующих следящих систем и регуляторов. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1961. -151 с.

91. Лернер Д.Н., Лукомский Ю.А., Михайлов В.А. Управление морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1979.

92. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.-256 с.

93. Лившиц К.И. Идентификация. Томск: Томский ун-т, 1981. -132 с.

94. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Применение интегральных уравнений в задаче оптимального управления нелинейными объектами // Автомат, системы оптимал. управл. технол. объектами. Тула: ТулПИ, 1976. - С. 52-62.

95. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. Синтез дискретного управления нелинейным нестационарным объектом // Автоматика. 1976. - № 1. - С. 5770.

96. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Определение ядер Вольтерра нелинейных систем управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. объектами. Тула: ТулПИ, 1977. - С. 32-39.

97. Ловчаков В.И., Малов Д.И. Оптимальный регулятор для одного класса неустойчивых объектов // Техн. кибернетика. Тула: ТулПИ, 1977. -С. 16-26.

98. Ловчаков В.И. Синтез систем управления для одного класса дискретных нелинейных объектов с запаздыванием в канале управления // Автомат. системы оптимал. управл. технол. процессами. -Тула: ТулПИ, 1978. С. 10-16.

99. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. Устройство наблюдения для одного класса нелинейных объектов управления // Автоматика. 1978. - № 4. -С. 46-59.

100. Ловчаков В.И. Астатические устройства наблюдения для одного класса нелинейных объектов управления // Алгоритмы и структуры спе-циализир. вычислит, устройств. Тула: ТулПИ, 1978. - С. 105-114.

101. Ловчаков В.И., Фомичев A.A., Эдемский В.М. Синтез нелинейной системы оптимального управления электрическим режимом дуговой печи // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1980.-С. 99-106.

102. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. Синтез системы управления для одного класса нелинейных объектов с запаздыванием // Изв. АН СССР. Сер. Техн. кибернетика. 1980. -№ 4. - С. 157-165.

103. Ловчаков В.И., Фомичев A.A. К структуре оптимального регулятора для нелинейных объектов с запаздыванием в канале управления // Динамика электромехан. систем. Тула: ТулПИ, 1980. - С. 53-61.

104. Ловчаков В.И. Синтез нелинейного гарантирующего регулятора // Динамика электромехан. систем. Тула: ТулПИ, 1981. - С. 70-76.

105. Ловчаков В.И. Об одной задаче оптимального управления нелинейными объектами при неисчезающих возмущениях // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1981. - С. 31-42.

106. Ловчаков В.И. Анализ дуговой сталеплавильной печи как объекта автоматического управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1982. - С. 61-66.

107. Ловчаков В.И. Синтез квазиоптимальных нелинейных управлений на основе функциональных рядов Вольтерра: Дис. . канд. техн. наук. -Л.:ЛЭТИ, 1982.- 195 с.

108. Ловчаков В.И. Приближенное аналитическое решение двухточечной краевой задачи оптимального управления // Автомат, системы оптимал. управл. технол. процессами. Тула: ТулПИ, 1984. - С. 44-47.

109. Ловчаков В.И. Оптимальное управление нелинейным объектом, описываемого усеченным рядом Вольтерра // ТулПИ. Тула, 1988. - Деп. в ВИНИТИ 28.09.88, № 7792-В88. -16 с.

110. Ловчаков В.И., Горячев Г.М., Дубальский В.Е. Система оптимального управления объектом первого порядка с нелинейностью вида насыщение // Динамика электромехан. систем.- Тула: ТулПИ, 1989. С. 42-48.

111. Ловчаков В.И. К вопросу аналитического решения нелинейной задачи оптимального управления // ТулПИ. Тула, 1991. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.91, №4885-В91,-10 с.

112. Ловчаков В.И. Дифференциально-тейлоровские преобразования в синтезе управлений по критерию обобщенной работы // ТулПИ. Тула, 1992. - Деп. в ВИНИТИ 14.09.92, № 2774-В92. -16 с.

113. Ловчаков В.И. Метод равных площадей в идентификации динамических объектов // Математ. методы в химии и хим. технологии (ММХ-8): Тез. докл. Всеросс. конф. Тула: ТулГТУ, 1993. - С. 101.

114. Ловчаков В.И., Ковешников В.А. Аппроксимация переходных функций теплоэнергетических процессов // Электротермич. процессы и установки. Тула: ТулГУ, 1994. - С. 16-24.

115. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Идентификация динамических объектов методом равных площадей и аппроксимация функций в метрике пространства Ъ // Динамика ПАХТ: Тез. докл. IX Всеросс. конф.- Ярославль: ЯГТУ, 1994. Т. 2. - С. 15-16.

116. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Параметрическая идентификация теплоэнергетических объектов управления // Элементы и системы оптимальной идентификации и управл. технол. объектами. Тула: ТулГУ, 1994.-С. 62-69.

117. Ловчаков В.И. Определение весовой функции метода равных площадей при идентификации динамических объектов // Элементы и системы оптимальной идентификации и управл. технол. объектами. Тула: ТулГУ, 1996. - С. 40-47.

118. Ловчаков В.И. Идентификация линейных динамических систем с запаздыванием // Диф. уравнения и их приложения. Тула: ТулГУ, 1996. . с. 37-44.

119. Ловчаков В.И. Идентификация нелинейных динамических систем методом равных площадей с применением биортогональных систем функций // Математ. методы в химии и хим. технологии (ММХ-10): Тез. докл. Международ, науч. конф. Тула: ТулГУ, 1996. - С. 88.

120. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В., Краснов К.В. Аналитический синтез оптимального управления следящим приводом с люфтом // Электротехнические комплексы автономных объектов (ЭКАО-97): Тез. докл. науч.-техн. конф. М.: МЭИ, 1997. - С. 37-38.

121. Ловчаков В.И. К определению весовой функции метода равных площадей идентификации динамических объектов // XI межвуз. науч.-техн. конф. : Тез. докл. Тула: ТВАИУ, 1997. - С. 58.

122. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Синтез системы частотного управления асинхронным двигателем.// ТулГУ- Тула, 1997. Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2264-В97. - 23 с.

123. Ловчаков В.И. Синтез оптимального управления нелинейными многомерными объектами // ТулГУ- Тула, 1997. Деп. в ВИНИТИ 08.07.97, № 2263- В97. - 30 с.

124. Ловчаков В.И. Синтез оптимальных релейных регуляторов для одного класса нелинейных объектов // Управл. электротехн. объектами. Тула: ТулГУ, 1997. - С. 46-58.

125. Ловчаков В.И. Обзор методов идентификации и обоснование метода равных площадей // ТулГУ- Тула, 1997.- Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 469-В98. -31 с.

126. Ловчаков В.И. Идентификация объектов управления с полиномиальной нелинейностью методом равных площадей // Системы управл. электротехн. объектами. Тула: ТулГУ, 1997. - С. 54-67.

127. Ловчаков В.И. Синтез оптимальных управлений для многомерных объектов с полиномиальной нелинейностью // Математ. методы в химии и технологиях (ММХ-11): Тез. докл. Международ, науч. конф. -Владимир: ВГУ, 1998. С. 92.

128. Ловчаков В.И. Метод идентификации систем Винера-Гаммерштейна с применением биортогональных функций // Методы и средства измерений физических величин: Тез. докл. третей Всеросс. науч.-техн. конф. -Нижний Новгород: НГТУ, 1998. Ч. 10. - С. 14-15.

129. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В. Многосвязная квазиоптимальная система управления скоростью асинхронного двигателя // Информатика-машиностроение. 1998. - № 4. - С. 66-69.

130. Ловчаков В.И. Применение рядов Вольтерра в решении задачи аналитического конструирования оптимального регулятора // Изв. вузов. Электромеханика. 1998. - № 5-6. - С. 80-90.

131. Ловчаков В.И. Метод синтеза квазиоптимальных регуляторов для многомерных объектов с полиномиальной нелинейностью // XII науч.-техн. конф. : Тез. докл. Тула: ТАИИ, 1999. - Кн. 1. - С. 162 - 163.

132. Ловчаков В.И. Метод синтеза квазиоптимальных комбинированных регуляторов для многомерных нелинейных объектов // Математ. методы в технике и технологиях (ММТТ-12): Труды Международ, науч. конф. Великий Новгород: НТУ, 1999. - Т. 1. - С. 218-220.

133. Ловчаков В.И. Синтез оптимальных релейных управления для линейных объектов // Информатика-машиностроение. В печати.

134. Ловчаков В.И. Синтез квазиоптимальных комбинированных управлений для нелинейных многомерных объектов // Информатика-машиностроение. В печати.

135. Ловчаков В.И. Метод аналитического конструирования квазиоптимальных нелинейных систем // Управление и информатика. Юбил. сбор. труд, кафедры "Автоматика и телемеханика" ТулГУ. М.: ООО "ИСПО-Сервис" 1999. - С. 210-220.

136. Ловчаков В.И., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Нелинейные системы управления электроприводами и их аналитическое конструирование. -Тула: ТулГУ, 1999. 180 с.

137. Льюнг Л. Идентификация систем. М.: Наука. 1992.- 432 с.

138. Мазуров В.М., Карпов B.C. Расчет модальных цифровых регуляторов для объектов с запаздыванием. Тула: ТулГУ, 1994. - 66 с.

139. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Физико-матем. литература, 1994. - 142 с.

140. Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. М.: Наука, 1967. - 424 с.

141. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975. - 200 с.

142. Менский Б.М. Принцип инвариантности в автоматическом регулировании и управлении. М.: Машиностроение, 1972. - 248 с.

143. Методы теории чувствительности в автоматическом управлении / Под. ред. Розенвассера E.H. и Юсупова P.M. Л.: Энергия, 1971. - 334 с.

144. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.: Наука, 1965. -300 с.

145. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-424 с.

146. Негладкие задачи теории оптимизации и управления / Под ред. проф. В.Ф. Демьянова. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1982. - 324 с.

147. Норман-Сиро Д., Шелуа А. Цифровое нелинейное управление скоростью синхронного двигателя // Автоматика и телемеханика, 1997, №6. -С. 143- 158.

148. Окороков Н.В. Дуговые сталеплавильные печи. М.: Металлургия, 1971.-343 с.

149. Олейников A.B. Оптимальное управление технологическими процессами в нефтяной и газовой промышленности. JL: Недра, 1982. - 216 с.

150. Павленко В.Д. Некоторые вопросы исследования динамики нелинейных систем во временной области на основе интегростепенных рядов. -Киев: Институт кибернетики УССР (препринт), 1974. 62 с.

151. Павлов A.A. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966. - 392 с.

152. Панасюк А.И., Панасюк Б.И. Асимптотическая оптимизация нелинейных систем управления. Минск: Из-во БГУ, 1977. - 208 с.

153. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное коорди-натно-параметрическое управление нестационарными объектами. -М.: Наука, 1980. -244 с.

154. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977. - 280 с.

155. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем при неполностью известных возмущающих силах. Л.: ЛГУ, 1987. - 290 с.

156. Петров Ю.П. Особенности задачи о вычислении экстремума для усредненных функционалов с предельным усреднением // Управление, надежность, навигация. Саранск, Мордовский ГУ, 1978. - Вып.4. - С. 166-169.

157. Петров Ю.П. Оптимальное управление движением транспортных средств. Л.: Энергия, 1969. - 96 с.

158. Петров Ю.П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. Л.: Судостроение, 1973. - 216 с.

159. Пионтковский A.A. К автоматическому регулированию с последействием: Дисс. канд. техн. наук. М., 1970. - 187 с.

160. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. - 332 с.

161. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. -392 с.

162. Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.П., Шмульян Б.Л. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем. М.: Энергия, 1976. - 440 с.

163. Попков Ю.С., Ашимов A.A., Асаубаев К.Ш. Статистическая теория автоматических систем с динамической частотно-импульсной модуляцией. М.: Наука, 1988. - 254 с.

164. Портер В. А. Обзор теории полиномиальных систем // ТИИЭР. 1976. -Т. 64, 1.-С. 23-30.

165. Пупков К.А., Шмыкова H.A. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных работ. М.: Машиностроение,1982.- 150 с.

166. Пупков К.А., Егупов Н.Д., Трофимов А.И. Статистические методы анализа, синтеза и идентификации нелинейных систем автоматического управления. М.: Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 562 с.

167. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.

168. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. Киев: Наукова думка, 1990. - 182 с.

169. Райбман Н.С. Идентификация объектов управления (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 6. - С. 80-83.

170. Рей У. Методы управления технологическими процессами. М.: Мир,1983.- 368 с.

171. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих установках // Автоматика и телемеханика. 1963. - Т. 24. - № 6.

172. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1969. - 208 с.

173. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.552 с.

174. Рудаков В.В., Столяров И.М., Дартау В.А. Асинхронные электроприводы с векторным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1987. - 134 с.

175. Садовой A.B., Сухинин Б.В., Сохина Ю.В. Системы оптимального управления прецизионными электроприводами. Киев: ИСИМО, 1996.-298 с.

176. Садовой A.B. Синтез и исследование оптимальных по точности систем управления электроприводами с низкой чувствительностью к широкому спектру дестабилизирующих факторов: Дис. . д-ра техн. наук. -Днепродзержинск: ДГТУ, 1992. 501 с.

177. Салуквадзе М.Е. Аналитическое конструирование регуляторов. Постоянно действующие возмущения // Автоматика и телемеханика. -1961. T. XXII. - № 10. - С. 1249-1287.

178. Салуквадзе М.Е. Об аналитическом конструировании регуляторов при постоянно действующих возмущениях // Автоматика и телемеханика. 1962. - Т. XXIII. - № 6. - С. 721-731.

179. Салуквадзе М.Е. К задаче синтеза оптимального регулятора в линейных системах с запаздыванием, подверженных постоянно действующим возмущениям. // Автоматика и телемеханика. 1962. - Т. XXIII. -№ 12.

180. Свижерев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологических системах. М.: Наука, 1987. - 368 с.

181. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. - 392 с.

182. Слежановский О.В., Дацковский JI.X. Кузнецов И.С. и др. Системы подчиненного регулирования электроприводов переменного тока с вентильными преобразователями. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 256 с.

183. Смит О. Автоматическое управление. М.: Физматгиз, 1962. - 847 с.

184. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. -М.: Мир, 1983.-400 с.

185. Солодовников В.В., Матвеев П.С. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех. М.: Машиностроение, 1973.-240 с.

186. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового простронства. I. Объекты с одномерным управляющим входом // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. - № 6. - С. 21 -27.

187. Солодовников В.В., Филимонов А.Б., Филимонов Н.Б. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов методом фазового простронства. II. Многосвязное регулирование // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. - № 8. - С. 28 -32.

188. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектральные методы расчетов и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986. - 440 с.

189. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976.-328 с.

190. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В. Высокоточный следящий привод радиолокационной станции // Оборон, техника. -1996. № 10-11.-С. 71-73.

191. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В. Синтез и анализ оптимальных релейных регуляторов методами A.A. Красовского и динамического программирования // Управл. электротехн. объектами. -Тула: ТулГУ, 1997. С. 79-88.

192. Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Сурков В.В., Краснов К.В. Аналитическое конструирование регулятора для следящей системы с люфтом // Информатика-машиностроение. 1998.- № 3. - С. 66-69.

193. Уилкинсон Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол (линейная алгебра) / Пер. с англ. под ред. проф. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1976. - 390 с.

194. Уланов Г.М. Статические и информационные вопросы управления по возмущению. М.: Энергия, 1970. - 256 с.

195. Уонем У. М. Линейные многомерные системы управления. М.: Мир, 1980.- 378 с.

196. Уонхем Д., Джонсон С. Оптимальное релейное управление при квадратичном показателе качества. Теоретические методы расчётов // Труды американского общества инженеров механиков. Серия Д. Пер. с англ. М.: Мир. - 1964. - №1. - С. 145-166.

197. Федоренко Р. П. Приближенные решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. - 486 с.

198. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука, 1964.-464 с.

199. Флейк Р. Теория рядов Вольтерра и ее применение к нелинейным системам с переменными параметрами // Оптимальные системы. Стохастические методы. Труды II конгресса ИФАК. М.: Наука, 1965. -432 с.

200. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. - 448 с.

201. Формальский A.M., Гориневский Д.М. Управление манипуляцион-ными системами на основе информации об усилиях. М.: Наука, 1994. - 368 с.

202. Форрестер Дж. Динамика развития города. М.: Прогресс, 1974. -167с.

203. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977.-248 с.

204. Цирлин A.M. Методы усредненной оптимизации и их приложения. -М.: Наука, Физматлит. 1997. -304 с.

205. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. -576 с.

206. Чжан Жель-вей. Синтез релейных систем по минимуму интегральных квадратичных отклонений // Автоматика и телемеханика. 1961. - № 12. - С. 1601-1608.

207. Шрейнер Р.Т., Дмитренко Ю.А. Оптимальное частотное управление асинхронными электроприводами. Кишинев: Штиинца, 1982. - 224 с.

208. Эйкхофф П. Оценка параметров и структурная идентификация (обзор) // Автоматика. 1987. - № 6. - С. 21-38.

209. Яковлев В.Б., Родионов В.Д. Способы расчета дискретных нелинейных систем автоматического управления методом пространства состояний // Дискрет, нелинейные системы / Под ред. Ю.И. Топчеева. -М.: Машиностроение, 1982. С. 58-88.

210. Яковлев О.С. Синтез асимптотически устойчивых многомерных нелинейных систем // Иследования по теории многосвязных систем: Сб. науч. статей. М.: Наука, 1982. - С. 137-143.

211. Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления. М.: Наука, 1973. - 464 с.

212. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978. -416 с.

213. Brokett R.W Volterra series and geometrik control theory // Automatica.-1976.-№12, 2.-P. 167-176.

214. Fu F.G., Farison J.B. Analysis of a class of non-linear discrete-time systems by the Volterra series // Int. J. Contr. 1973. - № 18, 3. - P. 545551.

215. Fu F.G., Farison J.B. On the Volterra functional evaluation of the response of non-linear discrete-time systems // Int. J. Contr. 1973. - № 18, 3. - P. 553-558.

216. Fuller A.T. Optimal nonlinear control of systems with puze delau // Int. J. Contr. 1968. - № 8, 2. - P. 145-168.

217. Halme A., Hamalainen R.P. On the nonlinear regulator problem // J. Optimiz Theory and Appl. 1975. - № 16, 3-4. - P. 255-275.

218. Hamalainen R.P., Halme A. A salution of nonlinear TPBVPs occuring in optimal control // Automatic. 1976. - № 12, 5. - P. 403-41.

219. Hess R.A., Hude J.G. Suboptimal control of time-delaus systems // IEEE Trans. Automat Contr. 1973. - № 18,6.

220. Leeper J.L., Mulhalland R.J. Optimal control of nonlinear singleinput systems // IEEE Trans. Automat Contr. 1972. - № 17, 3. - P. 401-408.

221. Mee D.H. An extension of predictor control for systems with control tine-delays//Int. J. Contr. 1973. -№ 18,6. - P. 1151-1168.

222. Reeve P.J. Optimal control for systems which include puze delaus // Int. J. Contr. 1970. - № 11, 4. - P. 659-681.

223. Rhoten R.P., Mulhalland R.J. Optimal regulation of nonlinear plants // Int. J. Contr. 1974. - № 19, 4. - P. 707-718.402

224. Zhang Y., Gao J. Optimal regulation of non-linear systems // Int. J. Contr 1989.-№50,3.-P. 993-1000.

225. Доказательство теоремы 2.2

226. X(t) = X,(t) + jH(t,x)Px(x), V(x).dx ,1. П1.2)обозначив1. X(t) ^ f v(t) N Ґ

227. X(t) = x(t) , V(t) = V(t) ,v(n+m)(t)J , H(t,x) = v1. H(t,x) л H(t,x)M2n-l)t,x>1. П1.3)

228. В доказательстве теоремы можно выделить три этапа: 1) доказательство принадлежности решений х^) интегрального уравнения классу функций М<2п)0,со); 2) доказательство принадлежности х(4) е МЕ(2п)[0,оо); 3) доказательство принадлежности х^) е0^2п)[0,оо).

229. Доказательство принадлежности x(t)eM(2n)0,oo).

230. A- X(t) = Xi(t) + В• PX(t), V(t)., (ПІ.5)где В есть линейный оператор1. В- z(t) — jH(t,x)z(x)dx1. ПІ.6)

231. Установим эти условия. Учитывая соотношения (П1.5), (П1.6), (1.23) и используя свойства нормы 91, 178., проведем следующие преобразования левой части неравенства (П1.7):

232. ZX az2 II = ||в. rzx, V. - В • P[Z2, v]|| < И1 - fpfZ!, V] - P[Z2, v]| <q Ц, 2n-l n-t-m1. ФІН I zx=2v=0ji.jv=0jv+j.j(I=0q ц 2n-l

233. HHIZI11 JlJ2-Jv ^2v=0j1.Jv=0bv. .1. J1J2—Jjx1. Jv+l)in)1. Xh) Jjv) Jjl) Jjv)•Zj z21. Ш Jjv) Jjl) jjv)Л1. Z- -z1. П1.8)где1. = max11 l<i<2n-l00sup jH(i)(t,T)0<t<OO Qdx1. П1.9)• = Уу + 1-Іц=0

234. Рассмотрим выражение Д) Лу) ЛІ)1. Ч "Чч -"Ч

235. Ш Ліу-і) ЛЮ „(ІУ-І)\/г,(ІУ) „СУ)1. МЇиу-и гуКІХ). „Чу-ІА^иМ 7иуП ,"Ч ~Ч Ч А21 ~Ч / + .со. .^(іу-І) .Сі). .„си) 2ау))