автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез динамических систем управления по выходным переменным на основе блочного подхода

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова

УДК 62-501.2

УТКИН АНТОН ВИКТОРОВИЧ

СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПО ВЫХОДНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ НА ОСНОВЕ БЛОЧНОГО ПОДХОДА

Специальность: 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2007

0G3059427

003059427

Работа выполнена в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Научный руководитель: доктор технических наук

КРАСНОВА Светлана Анатольевна

Официальные оппоненты:

доктор технических наук КУРДЮКОВ Александр Петрович

кандидат физико-математических наук ТКАЧЁВ Сергей Борисович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет (ЛЭТИ)

Защита состоится 2007 г. в часов

на заседании Диссертационного Совета № 1 Д 002.226.01 Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65. Телефон/факс Совета (495) 334-93-29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Автореферат разослан «_» мая 2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета доктор технических наук

В.К. Акинфиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Последние годы развитие теории автоматического управления обусловлено возрастающей сложностью объектов автоматизации. При описании технологических процессов все чаще используются многомерные нелинейные многосвязные динамические модели, при составлении которых необходимо принимать во внимание, как неопределенность среды функционирования, так и неопределенности математических моделей с точки зрения их адекватности реальным процессам. Как следствие, при формировании обратной связи возникают проблемы, связанные с высокой размерностью задачи синтеза, наличием параметрической неопределенности оператора объекта управления и т.п.

Одним из активно развивающихся подходов к решению задач управления в последние десятилетия является метод разделения движений с использованием в цепи обратной связи разрывных управляющих воздействий и организацией скользящих режимов (Емельянов C.B., Уткин В.И.). К достоинствам данного метода относятся: декомпозиция общего движения системы на разнотемповые составляющие, упрощение процедуры синтеза за счет понижения размерности и выбора коэффициентов настройки регулятора на основе неравенств, инвариантность движения в скользящем режиме к внешним и параметрическим возмущениям. В рамках данного метода получил развитие блочный подход к анализу и синтезу задач управления и наблюдения (Уткин В.А., Лукьянов А.Г., Краснова С.А.), позволяющий осуществить полную структурную декомпозицию задач синтеза с разделением на независимо решаемые элементарные подзадачи меньшей размерности, чем исходная. Следует отметить также работы школы A.A. Колесникова с очень близкой блочному подходу идеологией метода синтеза АКАР. Указанные преимущества данных методов активно использовались при решении, как задач наблюдения, так и собственно управления, но в разных преобразованных координатах, что приводило к необходимости выполнять обратные преобразования, затрудняющие синтез регулятора. Рассмотренные в диссертационной работе задачи теории и практики автоматического управления являются развитием блочного подхода и метода разделения движений в классе систем с разрывными управлениями.

Цель диссертационной работы состоит в изучении структурных свойств линейных и нелинейных динамических систем управления общего вида относительно выходных (регулируемых и измеряемых) переменных и последующий синтез задач управления и наблюдения, что включает:

- разработку процедур приведения математических моделей исходных систем к блочным формам управляемости относительно выходных переменных (БФУВ), в терминах которых формализуются структурные свойства исходных систем и которые являются предпосылкой декомпозиционного син-

теза задач стабилизации, слежения и наблюдения относительно выходных переменных в одних и тех же преобразованных координатах;

- представление систем с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях параметрической неопределенности, в совместной форме управляемости и наблюдаемости, на основе которой комплексно решаются задачи наблюдения, идентификации и модального управления;

- разработку декомпозиционных процедур анализа и синтеза автономно управляемых нелинейных систем в различных постановках;

- применение разработанных методов к синтезу систем управления электромеханическими объектами.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, методов современной теории управления - разделения движений в классах систем с большими коэффициентами и разрывными управлениями, функционирующими в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, динамических компенсаторов, инвариантности и устойчивости. Теоретические положения подтверждены результатами моделирования на ПК в среде МАТЬАВ, а также их практическим использованием в задачах управления электромеханическими системами.

Научная новизна.

1) Показано, что приведение математических моделей линейных систем управления к БФУВ является основой для последующего декомпозиционного синтеза задачи наблюдения и задачи собственно управления в одних и тех же преобразованных координатах, что позволяет избежать обратных преобразований и существенно упрощает синтез регулятора.

2) Предложен прямой метод синтеза линейных систем с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях неопределенности, позволяющий комплексно решить задачи наблюдения, идентификации параметров и синтезировать стабилизирующую обратную связь.

3) Использование метода расширения пространства состояния позволило разработать конструктивную процедуру приведения нелинейной динамической системы к совместной форме управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных.

4) На основе полученной формы формализованы условия разрешимости задач автономного управления выходными переменными. Разработана многоконтурная структура автономных регуляторов, включающая декомпозиционные процедуры синтеза собственно управления, наблюдателей состояния и динамических компенсаторов. Предложено решение задачи слежения за заданными значениями выходных переменных, в которой класс допустимых задающих воздействий расширен по сравнению с известными постановками.

5) Полученные теоретические результаты существенно упрощают реше-

ние ряда основных задач управления в электромеханических системах.

Практическая значимость работы заключается в том, что реализация результатов, полученных в диссертационной работе, приведёт к достижению значительного технико-экономического эффекта при синтезе широкого класса технологических объектов управления высокой размерности в условия действия внешних возмущений и при неполной информации о векторе состояния, в частности, при синтезе электромеханических систем.

Реализация результатов работы. Разработанные алгоритмы синтеза систем управления относительно выходных переменных реализованы в базовом ПО программно-технического комплекса ПТК «Квинт СИ».

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO (Москва, ИПУ РАН 2004,2006,2007); международных конференциях «Системный анализ, управление и навигация» (Крым, Евпатория, 2004, 2006); всероссийских научных конференциях «Управление и информационные технологии» УИТ (Санкт-Петербург, 2005, 2006); международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль» (Тольятти, 2006); IX Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2006); VII международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП (Новосибирск, 2006), III международной конференции по проблемам управления (Москва, 2006), а также на семинарах ИПУ РАН. Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 работ. Структура работы. Диссертация изложена на 162-х страницах, содержит введение, 4 главы, заключение, 32 рис., список литературы (82 наименования) и приложение, подтверждающее внедрение полученных результатов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В первой главе, которая носит обзорный характер, приводится описание методов теории автоматического управления, положенных в основу диссертационного исследования. Определяются цели и задачи работы.

Во второй главе изучаются структурные свойства линейных многомерных динамических систем управления в задаче слежения за заданными значениями выходных переменных. Предполагается, что только выходные переменные доступны для измерения.

В разделе 2.1 приводится описание проблемы и постановка задачи. Рассматривается линейная динамическая многомерная система

х = Ах + Ви, ух = Dx, (2.1)

где х е R" - вектор состояния, yt е Rm" - вектор выходных переменных,

и е Rp - вектор управляющих воздействий, А, В, D - известные матрицы с постоянными коэффициентами, rankD = т0<п.

Если пара (А, В) -управляема, то система (2.1) с помощью последовательности неособых замен переменных Мих = со^х,,...,*,), detМи ФО, приводится к блочной форме управляемости вида

/ _ /

*I = X Ацхз + в,хы • I = 1, / -1; X, = L A„Xj + В,и, (2.2)

j=1

/

где dim х, = rankS, = рп Ylpj ~п > А и ' - индексы и показатель управляе-

ы

мости системы (2.1). Данная форма является основой для декомпозиционного синтеза обратной связи в задаче стабилизации системы (2.1) либо в задаче слежения за заданными значениями переменных х,. Если вектор х, совпадет с вектором ух, то на основе (2.2) возможно также решение задачи слежения за заданными значениями выходных переменных. Такая ситуация характерна для математических моделей широкого класса электромеханических объектов управления, но в общем случае указанное совпадение не имеет места.

Соответственно, если пара (D, А) - наблюдаема, то система (2.1) с помощью последовательности неособых замен переменных Мух = col(y, det Mу фО, приводится к блочной форме наблюдаемости вида

+ АмУм + = v-Y,yu=f,A^yj + Вии, (2.3)

м >=I

u-l

где dim ум =гапкД ,+1 = от,, /иу - п, т, и и - индексы и показатель на-

ыо

блюдаемости системы (2.1). Данная форма является основой для декомпозиционного синтеза наблюдателя состояния, позволяющего получить оценки неизмеряемых преобразованных переменных у2,—,уи, использование которых при синтезе обратной связи в системе (2.2) потребует выполнения в реальном времени обратных преобразований.

В разделе 2.2 в рамках блочного подхода разработана пошаговая процедура приведения системы (2.1) к блочной форме управляемости относительно выходных переменных (БФУВ). Задача решается в ограниченной постановке без ввода динамических компенсаторов производных управляющих воздействий. В основе данной процедуры лежит последовательность неособых однотипных преобразований: на каждом шаге каждый блок БФУВ, переменными которого являются компоненты укороченного вектора производных выходных переменных, последовательно приводится к регулярной фор-

ме относительно истинных и. фиктивных управлений, в качестве которых рассматриваются фазовые координаты - переменные следующего блока. Формализуются условия, при которых исходная система представима в виде блочно-управляемых и одновременно блочно-наблюдаемых относительно групп выходных переменных подсистем. В ходе процедуры раскрываются структурные свойства исходной системы, которые зависят от матриц А, В, D и определяют возможность и архитектонику декомпозиционного синтеза обратной связи, в рамках которого и задачи управления выходными переменными и задача наблюдения решаются в одних и тех же преобразованных координатах, минуя обратные преобразования, что существенно упрощает синтез регулятора. Опишем первый шаг процедуры.

Шаг I. 1) Перегруппируем компоненты вектора состояния так чтобы в линейном разложении у ~ Dx = Duxx + Di2xx выполнилось условие

detDn * 0, х = col(jct, Зс,), ic, € Rm°, xxeR"~m°. Это позволяет установить взаимно-однозначное соответствие йежду выходными переменными и частью исходных координат вектора состояния:

х!-»#,, ' = ? , #„ = "

V*i/ Hi/ V J"-«0/ Здесь и далее I - единичная ма1рица указанной размерности, О - соответствующая нулевая матрица. Тогда система (2.1) представима в виде

Ух = А\У\ + А*. + ^и, i, = С,хух + + Qa. (2.4)

2) Пусть в (2.4) rankfi, = рх и rank{Z),, Вх) = р, + /л, <т0, от, #0. Первое уравнение (2.4) последовательно приводится к регулярной форме сначала относительно истинных управлений и, а затем - фиктивных управлений, в качестве которых в соответствии с блочным принципом управления рассматриваются фазовые координаты хх. В результате имеем

У\ = 4 Л»

_ (2.5)

У\ = А\У\ + Д*1 + Д«>

X, +GtXj +ё,м,

где Нпу, = Н(у,, й, уУ, det Нп * 0, dimy, = rankD, = m,, dimj, = ranks, = p,, dim yx =rn0-m]-pr В частном случае в системе (2.5) может отсутствовать первое и/или третье уравнение. Отсутствие второго уравнения является одним из условий окончания процедуры на первом шаге. Другое условие - «выборка» всех компонент вектора управления, т.е. рх= р.

3) Если в (2.5) р] * 0, то введем невырожденное преобразование вектора управляющие воздействий

ин> Я,

Нп =

Д1 Д-

0 /

, det#]3

Р-Рх У

где и = со1(й,, и,), ы,, V, еГ1, щ еЯ™, Д = (Д, Д2), айД, . Тогда два последних уравнения системы (2.5) принимают вид

4) Исключим вектор V, из второго уравнения (2.6) с помощью неособой замены переменных

Я„

У1

'УЛ

Vх! У

> #14 =

О ^

~Рг I.

, detНи

п~щ у

в результате которой второе уравнение (2.6) принимает вид

i, = Спу, + G,*, + 2,«, ^ dim jc, = dim ic, = n - m0. (2.7)

В предположении dim у, = m, ^ 0 и dim г/, = p-px переходим ко второму шагу процедуры, на котором преобразования, аналогичные Ни-Ни, применяются к системе (2.7), для которой в качестве фиктивного выхода принимается вектор уг = D[x{, dim у2 = dim j), = rankD, = m{, и т.д.

Размерность вектора состояния исходной системы на каждом шаге сокращается и процедура закончится за конечное число шагов. В результате, на последнем т] -м шаге система (2.1) приводится к БФУВ вида

.У,

j=1 i л

у, =Е4уУу+Ум> 1

й = »7-1;

(2.8)

>1

где //nxw =col(yi,x<), detНпфО, у = col(yu...,yn), Hnyi = col(>>„ >•,., >>),

2d

det tf(2 * 0, dimy, = dim >>,Ч1 = /я, #0, /и, + dim = п, dimj?, = dimv( = р,,

HnuiA =col(vi,M/), u0=u, x, = X,. - ?iyt, dimj,. =m,_l-m,-pf ( / = 1, 77 ).

В блочном представлении (2.8) могут отсутствовать любые подблоки относительно переменных у, и/или yt. БФУВ (2.8) называется полной, если в результате преобразований dim хп - 0.

В разделе 2.3 в терминах ЕФУВ (2.8) указаны управляемое и наблюдаемое подпространства вектора состояния максимальной размерности. Формализованы условия, при которых БФУВ является совместной формой управляемости и наблюдаемости, что является предпосылкой решения задачи слежения, когда требуется обеспечить движение выходных переменных у[

вдоль некоторых (корректно заданных) траекторий yd] (t), ydi е Rm°. Показано, что данная задача разрешима тогда, когда система (2.1) приводится к БФУВ (2.8), где: _

1) первые подблоки во всех блоках отсутствуют (dim у, =0 V/ = 1,77), поскольку в противном случае часть выходных переменных будет вынуждена отрабатывать чужие задающие воздействия;

2) пара (G7 Qn) - стабилизируема или матрица Gn - устойчива, если

rankg7 = 0.

Чтобы указать связи между блоками, выполним дополнительное разбиение вектора состояния системы (2.8) вида

У, = col(j>w+,.....-у,^,,j>„>, dimj>e =pj, i = 1, tj-2,

что позволяет представить систему (2.8) в виде блочно-управляемых и одновременно блочно-наблюдаемых подсистем, в которых уравнения относительно каждой группы компонент вектора выходных переменных #12j>, =col(j'1,j)12,>'13,...,jp1,) являются первыми блоками:

Й = 1 Д^+v,; (2.9)

У=>

м

У\з = *Л\1.\У\ + у г 3. Уа = ¿г\\У\ + Дв лУг + Уг> Уз = t Я¡У) + А*, +

7=1

Уь, = + >V Уь, = К.М

Уп-2,п = 2Ач-гуп jyJ + Ан'Л-i = I Дн ¿У} +Уп'% = ¿Дл + ^пхп + V >1 М J=1

На основе системы (2.9) согласно блочному подходу синтез и задачи

наблюдения и задачи управления выходными переменными разделяется на

независимо решаемые элементарные подзадачи размерности р,.

Структурная схема системы (2.9) показана на рис. 1 при tj - 4 в предположении, что Ур,*0, / = 1~4, у = со\{ух,...,уА), у, еRm'-', m,_,=f>, ;

J=i

ИпУх^СО^.Угг.УпМ, НггУп =col(у2,у2},у24), Н31у} =col(?„&), Уь=У<; dimdim>-t2 = dimy2 = р2, dimу]3 = dimу23 = dimу3 = р3, dim у¡4 = dim j>24 = dim у, = dim Я: = Л •

V4>*4

У f

J'

( Уг Ух р f

У Р

f Уз -► -► 1 h У, р -ц. i

I У* » I У1 I У] ь f

1 * Ун

УкУкУз

Jh

У» У г

Рис. 1. Структурная схема системы (2.9) при ц ■= 4 В разделе 2.4 рассматриваются системы с одним входом и одним выходом вида

х = Ах+Ьи, у{ =с1гх+си, х<= Я", и,ухеЯ. (2.10)

Показано, что если система (2.10) наблюдаемая и управляемая, то ее можно привести к совместной форме управляемости и наблюдаемости за счет расширения пространства состояния. Последовательно дифференцируя выходную переменную п раз, получим каноническую систему вида ух = с!т(Ах+Ьи) + сй = уг, у2 - (1Т(А2х + АЬи + Ьй) + си = у},...,

„(«-О

(2.11)

= с1т(А"-хх + А"-гЬи + А"-ъЬй +...+ АЬи("-3) +Ьи1"~2)) + си"' - = уп,

у„ = (¡Г(АП х + + сим = ату + яг2 + ей,

(=0

где управление и = гх является выходом динамического компенсатора

21~-г1+гм, / = 1, л-1; iп=-zn+gтz+cй, (2.12)

линейные комбинации переменных которого заменяют производные управ-

ления й = -гх + гг,и = -г1 + гг, = -гпА+г„, и(,,) =-г„+ gгг + и, и -

новое управление. Существенно, что нули передачи «переместились» из модели объекта управления в искусственно сформированный динамический компенсатор (2.12), нулевую динамику которого удается сделать устойчивой.

На основе данных теоретических положений разработана методика совместного решения задач • идентификации и наблюдения применительно к линейным системам общего вида с одним входом и одним выходом, функционирующим в условиях параметрической неопределённости:

х = (Л + 1)х+(Ь+Ь)и, у1 ={с1 + 2)тх+(с+с)и, (2.13)

где х е Я" - вектор состояния; и, ух е Я - скалярное управление и выходная (измеряемая) переменная; постоянные коэффициенты матрицы А и векторов Ь, (1, с полагаются известными; постоянные параметры матрицы А и векторов Ь, с!, с полагаются неизвестными. Ставится задача стабилизации системы (2.13) в предположении, что она является управляемой и наблюдаемой.

Как было показано, система (2.13) неособой (но неизвестной) заменой переменных может быть представлена в каноническом виде

У/=Ум> ' = 1, «-1; у„ = ату + ^гг + сй\ а = О, ¿ = 0, с = 0;

y„ = aтy + gтz + cu; (2.14)

¿,=-2,+2м, / = 1,я-1; z„=-z„+gтz+cu, (2.15)

где д, с - оценки параметров g> с, стабилизирующая обратная связь типа

ей = ~ату - gтг /¡ух -к..+/пу„ может быть сформирована только по оценочным параметрам. Поскольку само неособое преобразование системы (2.13) к виду (2.14) неизвестно, будем осуществлять синтез обратной связи в терминах преобразованной системы (2.14), что обеспечит и стабилизацию системы (2.13). Разработанные декомпозиционные процедуры синтеза обратной связи включают синтез наблюдателя состояния на скользящих режимах и идентификатора параметров.

Так как динамический компенсатор (2.15) целенаправленно реализуется в вычислительной среде и переменные его вектора состояния известны, наблюдатель состояния строится для системы (2.14) и имеет вид

(216)

уп^ату + ^тг + си+\п, где у = ооЦух,...,уп)£.Яп - вектор состояния; V, (/ = I, я) - корректирующие воздействия наблюдателя, я, с - переменные состояния идентификатора

параметров a,g,c, синтез которого осуществим позже. С учетом (2.14), (2.16) получим систему уравнений относительно невязок e¡ = y¡ -y¡:

¿,-eM-v„ / = (2i7)

é„ = aTs + aTy + gTz + си - v„, где a — a-ä, g = g—g, c = c — c.

Стандартная процедура синтеза наблюдателя состояния (2.16) на скользящих режимах заключается в последовательном формировании разрывных корректирующих воздействий v, = M,.signs¡, M¡ > ¡£/+1|, é¡, = 0 => v¡eq = sitl, где v, - эквивалентное значение разрывного управления, получаемое с выхода высокочастотного фильтра первого порядка с малой постоянной времени

М + v,> r,(t) = vl (t) + Ol(v„0, lira(//,,0 = 0, (2.18)

м-*0

что приводит к последовательному возникновению скользящих режимов и стабилизации системы (2.17): s, = 0 => yt = у,, i-\,n. В результате на последнем шаге получим оценку выражения, стоящего в правой части последнего уравнения (2.17) v„eq = а'у + gTz + ей.

Построим идентификатор неизвестных параметров системы (2.14) вида á = tonyT, t = Лу„гт, с = Äv„ü (2.19)

и запишем систему уравнений относительно незязок а-a-ä, g-g-g, с = с-с

a = -Áv„yr, g = -Áv„zr, c = -Av„m. (2.20)

В обозначениях w = col(.y, z, и) и АС = (äT, gT, с) уравнения (2.20) можно представить в виде

&C = -ÄACwwT, (2.21)

где dimw = (2« + l)xl, dim AC = lx(2« + l).

Для системы (2.21) составим функцию Ляпунова V = Х(АСДСГ). В силу (2.21) получим выражение для ее производной V = -¿(ACwv/AC7) -= -A||s||2, s = ACw. В известных предположениях о линейной независимости

оо 2

компонент вектора w и при условии, что VAC = const интеграл J |s¡ dt

о

расходится, выполняются соотношения lim V = 0, lim AC = 0 lim a = О, limg = 0, lime = 0, что и доказывает асимптотическую сходимость пере-

менных идентификатора (2.19) к значениям параметров векторов а, с.

Структурная схема замкнутой системы (2.13), (2.15), (2.16), (2.19) показана на рис. 2.

3—|

Компенсатор (2.15) 4—|

1 г, 8, с и

Регулятор

£1

и = г

Объект управления (2.13)

V,

1>,1

Г

Наблюдатель состояния на скользящих режимах (2.16)

М,

У 2 ,

ГТ

У1сд

1 к 1

-1

№ +1

м,

Уг,

У(«-1)еч ~ £п

"Р

У 2 ,

1

рр+\

I

-1

м„ У, 2, и -► I

Уп .

РР + 1

. -¿Т- , — Г,

Идентификатор параметров (2.19)

У

I

►с

Рис. 2. Структурная схема замкнутой системы 13

В третьей главе изучаются структурные свойства нелинейных динамических систем относительно выходных переменных. В разделе 3.1 разработана пошаговая "процедура приведения математической модели нелинейной системы общего вида к блочно-канонической форме управляемости относительно выходных переменных с использованием метода расширения пространства состояния и построения динамического компенсатора производных управляющих воздействий. На основе полученной формы формализованы условия разрешимости задач стабилизации, слежения и наблюдения относительно выходных переменных.

В разделе 3.2 разработана укороченная процедура конструктивного анализа разрешимости задачи автономного управления компонентами вектора выходных переменных независимо друг от друга с помощью соответствующих компонент вектора управляющих воздействий. Предложенный подход позволяет расширить класс автономно управляемых систем по сравнению с известными результатами теории управления. Рассматривается нелинейная многомерная динамическая система вида

х = /(х,и), = й(х), (3.1)

где х е X с R", и е Rm - векторы состояния, выходных (регулируемых и измеряемых) переменных и управляющих воздействий соответственно. Вектор-функции f{x,u), h(x) принадлежат классу гладких функций. Без ограничения общности предполагается, что rank {ЗА/йг} = т и гапк{Э/ /5м} = т.

Для системы (3.1) разработана процедура конструктивного анализа разрешимости расширенной задачи автономного управления на основе приведения математической модели (3.1) объекта управления к блочно-каноиической форме управляемости относительно выходных переменных (БКФУВ). Данный подход позволяет формализовать условия разрешимости задачи автономного управления и подготовить систему к блочному синтезу обратной связи, в рамках которого и задача наблюдения и задача автономного управления выходными переменными декомпозиционно решаются в одних и тех же преобразованных координатах. Суть процедуры заключается в последовательном дифференцировании компонент вектора выходных переменных и однотипных диффеоморфных замен локальных переменных. Опишем первый шаг данной процедуры.

Шаг 1. 1) Перестановкой компонент представим вектор состояния системы (3.1) в виде х = col(x0, *,), где х, е R"~m, xQ е Rm и rank{dA/5x0} = т. В результате диффеоморфной замены локальных переменных col(x0, X,) -» col(y,, х,) система (3.1) представима в виде

Ü = А,Си„х„«), х, =y¡(^„x„«). (3.2)

2) Пусть в первой подсистеме (3.2) выполняется условие

гапк{5А1 !и}-тхФО. Если тх <т, то перестановкой строк представим первую подсистему (3.2) в виде двух подсистем

У\ = M^i > ■*i»«). У\ = ^ (7!> х,, и), (3.3)

где у, = со1(у,,й), У\ е , dim у, = rank{dhjdu} = тх.

Введем обозначение vx = hx(yx,xx,u), расщепим вектор управляющих воздействий на два подвектора так и = col(u,,uj), dim«! = тх, чтобы выполнялось условие rank{dA1/dut} = тх, что позволяет выполнить неособую замену переменных и -> со1(м,, v,). В результате система (3.2) примет вид

У\ = к(У\>х\>*\)> £ =v,;i, =/,U,x„vi,m1). (3.4)

Процедура может закончиться на первом шаге по одному из условий:

1) если dim.p| = 0 (т.е. тх -т), то задача автономного управления имеет решение, поскольку каждой компоненте вектора выходных переменных поставлена в соответствие компонента вектора управляющих воздействий;

2) если в первой подсистеме (3.2) Tank{dhjdu dhx/dxx} = рх <dimух (или

в терминах системы (3.4) rank{8hx Jдхх} <dimj),), то задача автономного управления относительно всего вектора выходных переменных не имеет решения, а именно, (т- />,) выходным переменным нельзя поставить в соответствие ни истинные ни фазовые управления (в качестве последних рассматриваются компоненты вектора хх).

В противном случае при условии rank{6//j / бхх} = dim ух переходим ко второму шагу процедуры, на котором аналогичные преобразования применяются к последнему уравнению системы (3.4), для которого в качестве фиктивного выхода рассматривается вектор у2 = hx(yx,xx,vl), и т.д.

Чтобы не ограничивать класс управляющих воздействий классом гладких функций, введем компенсатор с устойчивыми собственными движениями

Mu'v = ~2ь + zu+,.' = 1^-2; = + v„ (3.5)

где v, = Z||, V] - новые управляющие воздействия, dim zu = т{, / = 1,7-1, (77-1) - число блоков компенсатора, определяемое процедурно; /ии = const > 0 - постоянные времени блоков динамического компенсатора, значения которых будут выбираться на этапе синтеза. Таким образом,' второе уравнение системы (3.4) ух -zxx дополняется цепочкой апериодических звеньев (3.5) и переменные ух останутся автономно управляемыми посредст-

вом новых управлений v,, dim yt = dim vj = w,.

На каждом шаге процедуры конечная размерность непреобразованного вектора состояния уменьшается -» col(_v,,x,) и процедура закончится за конечное число шагов. Покажем окончательный вид БКФУВ системы (3.1), полученный на последнем ( ц -м) шаге в предположении, что на предыдущих шагах ни одно из указанных условий окончания процедуры не выполнилось: У, = УМ, / = 1.9-1; У, =h4iy'rl,x4,zt4,v4y, (3.6)

У/ = Z/,, Hviv = -zи + гип, j = 1,Г)-/-1,

¿VA-H = ~zi,n-i + / = 1, Г] -1; (3.7)

i

где д =col(y„...,y ), у, = со1(у,.,й), dim у, = mt, dim у, = ,

/ = 1,77; dim*4 = я - 77/я + (77 - l)m, +(j]-2)m2 +...+mrf_]; dim«^ = т-^Щ >

ы

вектор z* содержит компоненты введенных компенсаторов типа (3.5) управлений v(. = zn , dim v, = dim z,y = m,, / = 1,77 -1.

В терминах БКФУВ (3.6)—(3.8) сформулированы достаточные условия разрешимости расширенной задачи автономного управления. Задача автономного управления всеми выходными переменными системы (3.1) имеет

п __

решение тогда, когда в полученной БКФУВ ]Гyt=m, что означает

Ы1

dim«4 = 0 и dimуп = 0. При этом система (3.8) может либо отсутствовать

(выбрано все пространство состояния и х —> у^, dim х = dim у* =«), либо

присутствовать. В последнем случае автономное управление в системах (3.6)-(3.7) является технически реализуемым, если собственные движения системы (3.8) являются ограниченными. Суммарный порядок вводимых компенсаторов в общем случае равен ¿,«¡(9 - 0 либо меньше при т, = 0.

(=1

Если dimУг, , но при этом rmk{dhn /дх^} = рп < dim д (либо dimхп =0), то автономность относительно (т-т1 -тг -...-тп -рп) компонент вектора выходных переменных обеспечить невозможно, задача автономного управления всеми выходными координатами не имеет решения.

16

БКФУВ (3.6>-(3-8), в которой dimуп = 0 и решения системы (3.8) ограничены, является основой для блочного синтеза обратной связи. В силу указанных ранговых соотношений данная форма является одновременно и блоч-но-наблюдаемой и блочно-управляемой. Чтобы указать связи между блоками, выполним дополнительное разбиение вектора состояния системы (3.6)

у, = col(vi(+1,.у,п), dimyIJ=mJ, / = 1,7-2 и представим систему

(3.6)-{3.7) в виде автономных блочно-управляемых относительно выхода цепочек интеграторов и расширяющих пространство состояния апериодических звеньев - блоков компенсаторов:

Й =z„, fshzv = -z1( +zhM, 1 = 1,7-2, = ~z\*-\ (3-9)

Уi2 = Й- Уг = г21. Mzi^i = "22/ + Z2.M> *"= 1»г7 —3»

^2,n-2Z2j)-2 = ~~:2,n-2 + V2>

Я = ^2/. Л/ = Уз/'-.У/-,,, = % У, =

Ay-2-y =-Zy +Z,.J+1,;= 1,7-Z-l,=-2,^+5;, /=3,7-1;

Лч =Угп>Угп =Угч>™*Уггл ~Уп-\'Уч-\ =Уп'У* = V Структурная схема системы (3.9) показана на рис. 3 при 7 = 4, где У, = col(y„yl2,yl3,yl4), у2 =col(y2,y23,y24), уу=со1(у3,у}), у4=у4; dim у, = пц, dim j>,2 = dim = тг, dim уп = dim v23 = dim^ = m}, dim j)14 =

4

= dimy24 = dim>-3 = dimy4 = m4, dimy, = £ m, = m, у = col^,,...,^).

i=1

1 1 1

*пь J *»

Pa P + l РпР + 1 — р

1 1

*22ъ J 72 * i Уп

/¿22Р+1 МпР + 1

1 А

» j Уз к J У23 ^ J •Ч

Л1Р + 1

J У* Ь J J Г24 J'm

» 11 W J

Рис. 3. Структурная схема системы (3.9) при 7=4

В разделе 3.3 на основе БКФУВ разработаны декомпозициионные процедуры синтеза автономного управления выходными переменными (стабилизации и слежения в различных постановках), которые вкгаочают: базовый алгоритм управления, синтез наблюдателя состояния на скользящих режимах и динамического компенсатора. Без 01раничения общности рассматривается / -я (/ = 1, т]) блочно-управляемая и блочно-наблюдаемая автономная цепочка системы (3.9) относительно переменных уи в упрощенных обозначениях Уп = У:2. У12 = Ун = = щ; _ (ЗЛО)

Мп*п ="z/i +z/2.....Ä.V-/V- =-zi,n-i + iV (ЗЛ1)

Базовые алгоритмы синтеза задачи слежения

В предположении, что задающие воздействия выходных переменных ynd(t) е Rm- описываются гладкими функциями времени, можно обеспечить асимптотическую сходимость выходных координат к заданным траекториям limуп(/) = 0, где ylt = уп - ум . (3.12)

I—ко

Задача (3.12) сводится к задаче стабилизации невязок уп и решается в рамках блочного подхода. Для системы (3.10) разработана пошаговая процедура синтеза обратной связи, которая сводится к решению элементарных задач размерности т1 и заключается в последовательном выборе в каждом блоке фиктивных управлений. На первом шаге в первом блоке системы (3.10), записанном относительно невязок уп = уп -ynj, фиктивное управление выбирается в виде уа = -К,\>'л гДе Кп = diag(^), кп> >0

(У = l,mj) - здесь и далее коэффициенты обратной связи, обеспечивающие желаемые темпы сходимости собственных движений (3.12). На втором шаге требуется решить задачу стабилизации невязок между выбранным и фактическим фиктивным управлением уа - у а + Кпуп ~ynd 0. С этой целью в

блоке уа - yi3 +Кпуп -упа выбирается фиктивное управление вида Ув = -Кауп - К,х (~Кпуп +уп)+ У ad > 3 на третьем шаге решается задача стабилизации невязок уп = уп + Kt2yn + Ка(-Кпуа + уп) - yad -> 0, и т.д.

В результате указанной процедуры на последнем (/ -м) шаге замкнутая система (3.10) приводится к наддиагональному виду

ру = -Kvyv + yi J+v j = 1 ,i-1; % = -КИуи + zn, (3.13)

где zn = zn - ziXd - невязки между фактическим и выбранным фиктивным

управлением

= Упа, ) - КиУи> (3.14)

Д-У/> У/ш > ) - условное обозначение полученных в результате преобразований линейных комбинаций переменных у' =со1 (уц,...,уи) и производных задающих воздействий = со1(у1у,у,ы,...,у1$) с коэффициентами матриц

ЛГ*., =(Кп,...,К1М). В силу процедуры новые переменные у' = со1(у„.....уЙ)

связаны неособыми преобразованиями с исходными переменными у*, в которых задействованы производные задающих воздействий у*и.

Приведенная процедура синтеза обратной связи решает поставленную задачу (3.12) и поведение переменных в замкнутой системе (3.13) подчиняется логической цепочке: -> 0 => у№ 0 => у,м 0 => ... => у,,(0 -> 0

Выбранные фиктивные управления (3.14) трактуются как задающие воздействия для системы (3.11), что позволяет осуществить декомпозицию верхнего уровня и независимо рассматривать задачи синтеза собственно системы (3.10) и динамического компенсатора (3.11).

В более общей постановке, когда задающие воздействия упа(0 не принадлежат классу гладких функций, но ограничены в некоторой норме вместе с производными первого порядка (||(/)|| </•",- известная константа), задача слежения решается с заданной точностью

¡|5>,||<<5„=С0П51. (3.15)

Процедура синтеза обратной связи в системе (3.10), обеспечивающего заданную точность слежения (3.15), также решается на основе описанного блочного подхода. В результате процедуры последовательного выбора фиктивных управлений уравнения замкнутой системы примут вид

= (злб)

Ун =~КУн + *«

где переменные упа трактуются как неизвестные возмущения, не принадлежащие пространству управления. В неособых преобразованиях у у у у (в отличие от предыдущей процедуры) не задействованы производные задающих воздействий уы: уп = уп + кпуп, Уп = -кпуа + к*уп - кпуп, и т.д.

Выбранные в последнем блоке фиктивные управления

*ш=-А(У%Кл)"-кнУи» С3-17)

являются задающими воздействиями для отработки системой (3.11).

Для выбора в системе (3.16) коэффициентов обратной связи ку > О

{j - 1,/), обеспечивающих (3.15), использован второй метод Ляпунова. Разработана декомпозиционная процедура анализа квадратичной формы

' 1 _т_

К ~ Z Ку' Ку ~ ~ Уу У у > которая сводится к последовательному обеспечению у=1 2

соотношений Ул <0, Va + Vn <0, Vn+Vn+FB <0,...,^ = <0. В резуль-

>i

тате получена иерархическая система неравенств выбора коэффициентов: к-п=кп >(S2+Fi)/Sn, k; = kv >vIJ.l+k;l..A;J_]F,ysu,

k^ku>kl.r(iAF,lSu. (3.18)

С учетом (3.18) поведение переменных замкнутой системы (3.16) подчиняется логической цепочке: |у„|! < 5Н => ¡дм| ^ => - => ЦРлЦ ^

Информационное обеспечение базовых алгоритмов управления

Вектор состояния динамического компенсатора (3.11) известен, поскольку данное устройство целенаправленно формируется в вычислительной среде. Система (3.10) является блочно-наблюдаемой относительно измеряемых переменных уп . Для получения текущих оценок неизмеряемых преобразованных переменных y:j (j = 2,i) построим наблюдатель состояния вида

у о - Уц+\+ wo> J ~ M-i; Ун = *а + w<-» (3 ■19)

где у0 - вектор состояния, - корректирующие воздействия наблюдателя

(dim ytJ = dim wtJ =mn j = 1 ,i), которые последовательно формируются в виде разрывных функций так, чтобы решить задачу стабилизации системы относительно невязок Sy = у,, - у tJ, которая в силу (3.10), (3.19) имеет вид

¿„ = eIJtl -Wij,j = l,i-1; £•„ = -W„. (3.20)

Стандартная процедура синтеза наблюдателя состояния (3.19) на скользящих режимах заключается в последовательном формировании разрывных корректирующих воздействий wlj ^M^gne^, М0 > Щ^Ц, ¿0~0=> => = е, j+1 (значения эквивалентного управления w^ получаем с выходов фильтров типа (2.18)), что приводит к последовательному возникновению скользящих режимов и стабилизации системы (3.20) за теоретически

конечное время: е0 = 0 уи = у у, 7 = 1,/.

Синтез динамического компенсатора

На втором этапе решается задача слежения выходных переменных динамического компенсатора 2Л (3.11) за заданными значениями гм (3.14) или (3.17), выбранными на первом этапе. В силу сделанных предположений в обоих случаях обеспечивается асимптотическая сходимость невязок 1п :

Итг,, (0 = *„„(*)• (3.21)

/->00

Обозначим ¡0 =1/у = 1,Т]-/ и перепишем систему (3.11) в виде

*(/ = 1и + ). ) ~ 1./7 -'" 1. = '/.<н К'/.-н + V,) • (3 -22)

Для системы (3.22) в рамках блочного подхода разработана пошаговая процедура синтеза обратной связи, которая заключается в последовательном выборе параметров - постоянных времени , при которых обеспечивается

соотношение (3.21) с желаемыми темпами сходимости.

На первом шаге в первом блоке системы (3.22), записанном относительно невязок гп =/,,[-(2;1 +21Ы) + гп]-21У , фиктивное управление выбирается в виде г,2 = 2пй + рл2м. Выбор параметра 1п = 1 / рп обеспечивает желаемые темпы сходимости в замкнутой системе 2п = -1пгп +2а, где 2ц - гп ~ ~~ Ил^па - невязка между фактическим и желаемым фиктивным управлением. На втором шаге решается задача г(2 —> 0: в системе

+ выбираем фиктивное управле-

ние = г,^ + + ра{2,ы + , а выбор параметра //2 = 1/А? обес-

печивает желаемые темпы сходимости замкнутой системы =-112гп+г,3. На третьем шаге аналогично обеспечивается стабилизация невязок гп —> 0, и т.д. В результате указанной процедуры система (3.22) преобразуется к виду

Ь = + ■ 1 = Ь1 ~' ~(3 23) К-1 = Ч?- (*/.,-/ + П + . Л))-

где А{г*л,ц') - линейные комбинации производных задающих воздействий г/, с параметрами /г," = (/'„)• Формирование ком-

пенсирующего управления в последнем блоке системы (3.23) в виде V, = -А(г\',,//*) решает поставленную задачу (3.21). В замкнутом блоке

z,= -l,щГ,г,выбор параметра =Мобеспечивает желаемые темпы сходимости и поведение переменных (3.23) подчиняется логической цепочке: zj>lH -> 0 => zjЛ_м -> О => ... => zj2 -> 0 => г„ -> 0 => zn -> znd.

Заметим, что для обеспечения компенсирующего управления не потребуется непосредственно вычислять производные задающих воздействий (3.14) или (3.17). Можно воспользоваться возможностями наблюдателей состояния на скользящих режимах, которые, по сути, являются дифференциаторами на скользящих режимах и за теоретически конечное время позволят получи'ть оценки и преобразованных переменных системы (3.23) и неопределенностей ее последнего блока.

Другой способ заключается в подавлении неопределенностей A(z'vju') при формировании разрывного управления v,. = -M,sign z, ,

М, > , /л' )|. Тогда в последнем блоке системы (3.23) за конечное время возникает скользящий режим по многообразию z, = 0. Движение в скользящем режиме инвариантно к параметрическим возмущениям, роль которых в данном случае играют задающие воздействия и их производные.

Синтез динамического компенсатора (3.11), (3.23) целенаправленно реализуется в вычислительной среде с высоким быстродействием по сравнению с динамикой объекта управления, что часто позволяет пренебречь динамикой динамического компенсатора в замкнутом контуре системы управления.

В четвёртой главе разработанные процедуры анализа и синтеза нелинейных систем применяются к решению прикладных задач. В качестве объекта управления рассматриваются электромеханические системы. В разделе 4.1 разработаны декомпозиционные процедуры синтеза системы управления положением маятника, функционирующей в условиях неопределенности. В разделе 4.2 разработаны декомпозиционные процедуры синтеза системы управления положением рабочего органа (схвата) робота-манипулятора. Решена задача слежения за заданными значениями вектора выходных переменных, который описывается нелинейной вектор-функцией, определяющей положение схвата. Математическая модель объекта управления была приведена к совместной блочной форме относительно выходных переменных, на основе которой задачи управления и наблюдения решены в одних и тех же преобразованных координатах. Главной особенностью разработанного метода является прямой синтез, не требующий решения достаточно трудоёмкой обратной задачи динамики. Показано, что использование наблюдателей состояний с разрывными корректирующими воздействиями позволяет получить дополнительную информацию об объекте управления и, как следствие, существенно упростить синтез регулятора. Приведены результаты моделирования в среде MATLAB для двухзвенного плоскостного робота.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в работе:

1) процедуры конструктивного анализа структурных свойств линейных и нелинейных динамических систем относительно выходных переменных с приведением математической модели объекта управления к блочно-управляемым формам относительно выходных переменных, в терминах которых сформулированы условия разрешимости задач стабилизации, слежения и наблюдения;

2) метод комплексного решения задач наблюдения, идентификации параметров и модального управления для линейных систем с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях неопределенности;

3) на основе приведения математической модели нелинейного объекта управления к совместной форме управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных с использованием метода расширения пространства состояния разработаны многоуровневые декомпозиционные процедуры синтеза автономного управления (стабилизации и слежения в различных постановках), включающие синтез наблюдателя состояния на скользящих режимах и динамического компенсатора.

4) разработанные алгоритмы использованы в задачах управления электромеханическими системами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО

В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Уткин A.B., Краснова С.А. Управление положением маятника в условиях неопределенности. М: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2003. Труды Института. Том XXI. С. 59-69.

2. Уткин A.B., Уткин В.А. Идентификация линейных систем: применение скользящих режимов // Труды III Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'04. Москва. ИПУ РАН. 28-30 января 2004. С. 955-963.

3. Уткин A.B., Твердохлебов A.C., Уткин В.А. Прямой метод идентификации динамических систем на скользящих режимах. // Тезисы докладов 9-й международной конференции «Системный анализ управление и навигация». Крым, Евпатория. 4-11 июля 2004. С. 46-47.

4. Уткин A.B., Кузнецов С.И., Краснова С.А. Управление электромеханиче-

скими системами в условиях неопределенности // Сборник докладов 3-й всероссийской научной конференции «Управление и информационные технологии» УИТ-2005. Санкт-Петербург, 30 июня-2 июля 2005. Изд-во СПбГЭТУ. Т. 1.С. 106-114.

5. Уткин A.B., Краснова С.А., Твердохлебов A.C. Блочная форма управляемости относительно выходных переменных // Труды Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'06. Москва. ИПУ РАН. 30 января - 2 февраля 2006. С. 1362-1370.

6. Уткин A.B., Уткин В.А., Нгуен Куанг Хынг. Бездатчиковый электропривод постоянного тока с независимым возбуждением // Сборник докладов Международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль». Тольятти. ТГУ. 23-25 мая 2006. Ч. И. С. 169-172.

7. Уткин A.B., Нгуен Тхань Тиен, Краснова С.А. Компенсация внешних неконтролируемых возмущений в электромеханических системах // Сборник докладов Международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль». Тольятти. ТГУ. 23-25 мая 2006. Ч. И. С. 166-169.

8. Уткин A.B., Нгуен Тхань Тиен, Краснова С.А. Принцип комбинированного управления в электромеханических системах, функционирующих в условиях неопределённости // Тезисы докладов IX Международного семинара им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва. ИПУ РАН. 31 мая - 2июня 2006. С. 190-191.

9. Уткин A.B., Нгуен Тхань Тиен, Краснова С.А. Управление схватом в ро-бототехнических системах // Тезисы докладов третьей международной конференции по проблемам управления. Москва. ИПУ РАН. 20-22 июня 2006. Том 1.С. 33.

Ю.Уткин A.B. Синтез автономного управления в нелинейных динамических системах // Тезисы докладов третьей международной конференции по проблемам управления. Москва. ИПУ РАН. 20-22 июня 2006. Том 1. С. 33.

П.Уткин A.B., Уткин В.А., Краснова С.А. Автономное управление в динамических системах // Тезисы докладов 11-й международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация». Крым, Евпатория. 2-9 июля 2006. С. 165-167.

12. Уткин A.B., Нгуен Тхань Тиен, Краснова С.А. Блочный прдход к управлению нелинейными динамическими системами по выходу // Труды VII Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП 2006. Новосибирск. НГТУ. 26-28 сентября 2006. Том 7. С. 261-266.

13. Уткин A.B., Краснова С.А. Управление по выходу в нелинейных системах // Сборник докладов 4-й Всероссийской научной конференции" «Управление и информационные технологии» УИТ-2006. 10-12 октября 2006. Санкт-Петербург. С. 52-57.

14. Уткин A.B. Управление роботами-манипуляторами по выходным переменным. М: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2006. Труды Института. Том XXVII. С. 99-107.

15. Уткин A.B. Автономное управление в нелинейных системах // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'07. Москва. ИПУ РАН. 29 января - 1 февраля 2007. С. 640-653.

16. Уткин A.B. Метод расширения пространства состояния в задаче синтеза автономного управления // АиТ. 2007. № 6. С. 81-98.

Зак. 27. Тир. 100. ИПУ.

9<С

Введение.

Глава 1. Методы синтеза систем с разделяемыми движениями.

1.1. Метод разделения движений.

1.1.1. Системы с разрывными управлениями.

1.1.2. Системы с большими коэффициентами.

1.1.3. Сингулярно возмущенные системы.

1.1.4. Практические аспекты.

1.2. Управляемость. Блочно-канонические представления.

1.2.1. Управляемость линейных систем.

1.2.2. Управляемость нелинейных систем.

1.3. Наблюдаемость. Блочно-канонические представления.

1.3.1. Наблюдаемость линейных систем.

1.3.2. Наблюдаемость нелинейных систем.

1.4. Выводы и постановка задач.

Глава 2. Структурные свойства линейных систем в задаче слежения.

2.1. Описание проблемы. Постановка задач.

2.2. Блочная форма управляемости относительно выходных переменных линейных систем.

2.3 .Условия разрешимости различных задач управления.

2.3.1. Наблюдаемость.

2.3.2. Управляемость и стабилизируемость.

2.3.3. Разрешимость задачи слежения.

2.4. Синтез линейных систем с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях параметрической неопределенности.

2.4.1. Постановка задач.

2.4.2. Понятия относительной степени и нулей передачи.

2.4.3. Совместное решение задач идентификации и наблюдения.

2.5. Выводы к главе 2.

Глава 3. Управление нелинейными динамическими системами относительно выходных переменных.

3.1. Блочно-каноническая форма управляемости нелинейных систем относительно выходных переменных.

3.2. Условия разрешимости задач автономного управления.

3.2.1. Ограниченная задача автономного управления.

3.2.2. Расширенная задача автономного управления.

3.3. Декомпозиционные процедуры синтеза.

3.3.1. Синтез задачи стабилизации.

3.3.2. Синтез задачи слежения.

3.3.3. Синтез задачи слежения при неполной информации о задающих воздействиях.

3.3.4. Информационное обеспечение базовых алгоритмов управления.

3.3.5. Синтез динамического компенсатора.

3.3.6. Пример.

3.4. Выводы к главе 3.

Глава 4. Управление электромеханическими системами.

4.1. Управление угловым положением маятника в условиях неопределенности.

4.1.1. Описание объекта управления. Постановка задач.

4.1.2. Обеспечение заданной точности.

4.1.3. Обеспечение экспоненциальной сходимости.

4.2. Управление рабочим органом робота-манипулятора.

4.2.1. Модель объекта управления. Постановка задач.

4.2.2. Процедура приведения к БКФУВ.

4.2.3. Решение задачи слежения по выходным переменным. Синтез управляющих воздействий.

4.2.4. Информационное обеспечение базового алгоритма управления. Синтез наблюдателя состояния.

4.3. Моделирование движения двухзвенного робота-манипулятора.

4.3.1. Описание модели объекта управления.

4.3.2. Базовый алгоритм управления.

4.3.3. Решение задачи наблюдения.

4.3.4. Результаты моделирования.

4.4. Выводы к главе 4.

Актуальность работы. Последние годы развитие теории автоматического управления обусловлено все возрастающей сложностью объектов автоматизации. При описании технологических процессов все чаще используются многомерные, нелинейные многосвязные динамические модели, при составлении которых необходимо принимать во внимание, как неопределенность среды функционирования, так и неопределенности математических моделей с точки зрения их адекватности реальным процессам. Как следствие, при формировании обратной связи возникают проблемы, связанные с высокой размерностью задачи синтеза, наличием параметрической неопределенности оператора объекта управления и т.п.

Одним из активно развивающихся подходов к решению задач управления в последние десятилетия является метод разделения движений с использованием в цепи обратной связи разрывных управляющих воздействий и организацией скользящих режимов (Емельянов С.В., Уткин В.И.), обладающих следующими привлекательными свойствами: декомпозиция общего движения на разнотемповые составляющие; упрощение процедуры синтеза; инвариантность движения в скользящем режиме к внешним и параметрическим возмущениям. В рамках данного метода получил развитие блочный подход к анализу и синтезу задач управления и наблюдения (Уткин В.А., Лукьянов А.Г., Краснова С.А.), позволяющий осуществить полную структурную декомпозицию задач синтеза с разделением на независимо решаемые элементарные подзадачи меньшей размерности, чем исходная. Следует отметить также работы школы А.А. Колесникова с очень близкой блочному подходу идеологией метода синтеза АКАР.

Указанные преимущества данных методов активно использовались при решении, как задач наблюдения, так и собственно управления, но в разных преобразованных координатах, что приводило к необходимости выполнять обратные преобразования, затрудняющие синтез регулятора.

Рассмотренные в диссертационной работе задачи теории и практики автоматического управления являются развитием блочного подхода и метода разделения движений в классе систем с разрывными управлениями. В диссертационной работе задачи управления и наблюдения решаются относительно одних и тех же выходных координат на основе предварительного приведения модели объекта управления к совместной блочной форме управляемости и наблюдаемости, что позволяет избежать решения обратных задач в реальном времени.

Цель диссертационной работы состоит в изучении структурных свойств линейных и нелинейных динамических систем управления общего вида относительно выходных (регулируемых и измеряемых) переменных и последующий синтез задач управления и наблюдения, что включает:

- разработку процедур приведения математических моделей исходных систем к блочным формам управляемости относительно выходных переменных (БФУВ), в терминах которых формализуются структурные свойства исходных систем и которые являются предпосылкой декомпозиционного синтеза задач стабилизации, слежения и наблюдения относительно выходных переменных в одних и тех же преобразованных координатах;

- представление систем с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях параметрической неопределенности, в совместной форме управляемости и наблюдаемости, на основе которой комплексно решаются задачи наблюдения, идентификации и модального управления;

- разработку декомпозиционных процедур анализа и синтеза автономно управляемых нелинейных систем в различных постановках;

- применение разработанных методов к синтезу систем управления электромеханическими объектами.

Указанный комплекс задач определяет структуру и содержание диссертационной работы, состоящей из четырех глав.

В первой главе, которая носит обзорный характер, приводится описание методов теории автоматического управления, положенных в основу диссертационного исследования. В разделе 1.1 приводятся основные положения классической теории скользящих режимов, показана связь описания движения в скользящих режимах с медленными движениями в системах с глубокими обратными связями, обсуждаются вопросы реализуемости данного вида систем. В разделе 1.2 приведены ранговые условия управляемости линейных и нелинейных динамических систем. Описывается блочный подход и метод разделения движений в классе систем с разрывными управлениями и большими коэффициентами применительно к задаче стабилизации. В разделе 1.3 приведены ранговые условия наблюдаемости линейных и нелинейных динамических систем. Приведена процедура декомпозиционного синтеза наблюдателя состояния на скользящих режимах. В разделе 1.4 определяются цели и задачи диссертационной работы.

Во второй главе изучаются структурные свойства линейных динамических систем относительно выходных переменных. В разделе 2.1 приводится описание проблемы и постановка задачи. В разделе 2.2 разработана пошаговая процедура приведения исходной математической модели линейной системы общего вида к блочной форме управляемости относительно выходных переменных. В разделе 2.3 на основе полученной формы формализованы условиях разрешимости различных задач: стабилизации, слежения, наблюдения относительно выходных переменных. В разделе 2.4 разработана методика совместного решения задач идентификации и наблюдения применительно к системам с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях параметрической неопределённости.

В третьей главе изучаются структурные свойства нелинейных динамических систем относительно выходных переменных. В разделе 3.1 разработана пошаговая процедура приведения исходной математической модели нелинейной системы общего вида к блочно-канонической форме управляемости относительно выходных переменных с использованием метода расширения пространства состояния и теории динамических компенсаторов. На основе полученной формы формализованы условия разрешимости задачи стабилизации, слежения и наблюдения относительно выходных переменных. В разделе 3.2 разработана укороченная процедура конструктивного анализа разрешимости задачи автономного управления. В разделе 3.3 на основе полученной блочной формы разработаны процедуры декомпозиционного синтеза задач стабилизации, слежения и наблюдения относительно выходных переменных.

В четвёртой главе разработанные в теоретических главах процедуры анализа и синтеза применяются к решению прикладных задач. В качестве объектов управления рассматриваются электромеханические системы. В разделе 4.1 разработаны декомпозиционные процедуры синтеза системы управления положением маятника, функционирующей в условиях неопределенности. В разделе 4.2 разработаны декомпозиционные процедуры синтеза системы управления положением рабочего органа (схватом) робота-манипулятора. Приведены результаты моделирования в среде MATLAB.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы. В приложении приведены документы, подтверждающие практическое применение результатов.

На защиту выносятся следующие основные научные результаты:

1) методы конструктивного анализа структурных свойств линейных систем относительно выходных переменных, основанные на пошаговых процедурах приведения математических моделей объектов управления к блочно-управляемым формам относительно выходных переменных, в терминах которых сформулированы ранговые условия разрешимости задач стабилизации, слежения и наблюдения;

2) прямой метод решения совместной задачи идентификации параметров и наблюдения для линейных систем с одним входом и одним выходом, функционирующих в условиях неопределенности;

3) методы конструктивного анализа структурных свойств нелинейных систем относительно выходных переменных, основанные на пошаговых процедурах приведения математических моделей объектов управления к блочноканоническим формам управляемости относительно выходных переменных, в терминах которых сформулированы условия разрешимости задач стабилизации, слежения и наблюдения;

4) декомпозиционные процедуры анализа и синтеза задачи автономного управления для нелинейных динамических систем, основанные на блочном представлении математической модели относительно выходных переменных, методе расширения пространства состояния и методе разделения движений;

5) теоретические результаты работы использованы при решении следующих прикладных задач:

- синтез системы управления положением маятника, функционирующей в условиях неопределенности;

- синтез системы управления положением рабочего органа (схватом) робота-манипулятора.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, методов современной теории управления: разделения движений в классах систем с большими коэффициентами и разрывными управлениями, функционирующими в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, динамических компенсаторов, инвариантности и устойчивости. Теоретические положения подтверждены результатами моделирования на ПК в среде MATLAB, а также их практическим использованием в задачах управления электромеханическими системами.

Научная новизна диссертационной работы.

1) Показано, что приведение математических моделей линейных систем управления к блочным формам управляемости относительно выходных переменных является основой для последующего декомпозиционного синтеза и задачи наблюдения, и задачи собственно управления в одних и тех же преобразованных координатах, что позволяет избежать обратных преобразований в реальном времени и существенно упрощает синтез регулятора.

2) По сравнению с известными результатами, связанными с изучением областей устойчивости линейных систем с параметрическими неопределённостями, предложен прямой метод синтеза линейных систем с одним входом и одним выходом, позволяющий комплексно решить задачи наблюдения не-измеряемых координат, идентификации параметров и синтезировать стабилизирующую обратную связь.

3) Использование метода расширения пространства состояния позволило разработать конструктивную процедуру приведения нелинейной динамической системы к совместной форме управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных.

4) На основе полученной формы формализованы условия разрешимости задач автономного управления выходными переменными. Разработана многоконтурная структура автономных регуляторов, включающая декомпозиционные процедуры синтеза собственно управления, наблюдателей состояния и динамических компенсаторов. В частности, предложено решение задачи слежения за заданными значениями выходных переменных, в которой класс допустимых задающих воздействий расширен по сравнению с известными постановками.

5) Полученные теоретические результаты позволили существенно упростить решения ряда основных задач управления в электромеханических системах.

Практическая значимость заключается в том, что реализация результатов, полученных в диссертационной работе, приведёт к достижению значительного технико-экономического эффекта при синтезе широкого класса технологических объектов управления высокой размерности в условия действия внешних возмущений и при неполной информации о векторе состояния, в частности, при синтезе электромеханических систем.

Реализация результатов работы. Разработанные алгоритмы синтеза систем управления относительно выходных переменных реализованы в базовом ПО программно-технического комплекса ПТК «Квинт СИ».

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO (Москва, ИПУ РАН, 2004, 2006, 2007); международных конференциях «Системный анализ, управление и навигация» (Крым, Евпатория, 2004, 2006); всероссийских научных конференциях «Управление и информационные технологии» УИТ (Санкт-Петербург, 2005, 2006); международной научно-технической конференции «Автоматизация технологических процессов и производственный контроль» (Тольятти, ТГУ, 2006); на IX Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2006); VII международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП (Новосибирск, НГТУ, 2006), III международной конференции по проблемам управления (Москва, 2006), а также на семинарах ИПУ РАН.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 16 работ.

Структура работы. Диссертационная работа изложена на 162 страницах, состоит из введения, 4-х глав, заключения, 32 рис., списка литературы (82 наименования) и приложения, подтверждающего внедрение полученных результатов.

4.4. Выводы к главе 4

В данной главе показана работоспособность разработанных алгоритмов управления выходными переменными применительно к электромеханическим системам с использованием приведения математических моделей объектов управления к БКФУВ, блочного подхода и методов синтеза систем с разрывными управлениями. Показано, что полученные блочные представления относительно выходных координат позволяют исключить решение задач обратной динамики. Использование наблюдателей состояний на скользящих режимах позволяет получить требуемую информацию об объекте управления, что приводит к существенному упрощению алгоритмов синтеза, которые заключаются в последовательном выборе коэффициентов обратной связи в элементарных блоках, размерность которых не превышает размерность вектора выходных переменных.

Применительно к модели маятника решена задача слежения с заданной точностью за заданными значениями в условиях неполной информации о векторе состояния и функций задания, которые рассматриваются в качестве внешних неконтролируемых возмущений. Использование наблюдателя состояния на скользящих режимах позволило получить максимум возможной информации о неизвестных параметрах, которую часто не удается получить с помощью наблюдателей с линейным корректирующим воздействием; использование скользящих режимов в цепи обратной связи позволило подавить имеющиеся неопределенности.

Применительно к модели робота-манипулятора с избыточной размерностью предложено решение задачи слежения относительно координат схва-та, синтеза обратной связи, и задачи информационного обеспечения выбранных алгоритмов управления. Предложенный подход позволяет избежать обратного пересчёта координат. Приведены результаты моделирования разработанных алгоритмов на ПК в среде MATLAB, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов.

155

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные в диссертационной работе задачи теории и практики автоматического управления являются развитием блочного подхода и метода разделения движений в классе систем с разрывными управлениями и глубокими обратными связями. Преимущества данных методов, связанные с декомпозицией исходной задачи синтеза на независимо решаемые подзадачи меньшей размерности и обеспечением инвариантности к внешним возмущениям и имеющимся параметрическим неопределенностям, активно использовались при решении как задач наблюдения, так и собственно управления, но в разных преобразованных координатах, что приводило к необходимости выполнять обратные преобразования, затрудняющие синтез регулятора. Цель диссертационной работы состояла в получении совместной блочной формы управляемости и наблюдаемости исходной системы, на основе которой обе задачи решаются относительно одних и тех же преобразованных координат, f при этом преимущества метода разделения движений сохраняются."

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе.

1) Для математических моделей линейных и нелинейных динамических систем общего вида разработаны конструктивные процедуры неособых преобразований к блочным формам управляемости относительно выходных переменных, позволяющие выявить структурные свойства исходных систем относительно выходных переменных. Формализованы условия, при которых полученные формы являются одновременно и блочно-управляемыми и блоч-но-наблюдаемыми относительно выходных переменных, что является предпосылкой декомпозиционного синтеза наблюдателя состояния и регулятора в одних и тех же преобразованных координатах в рамках задачи слежения за заданными значениями выходных переменных.

2) Предложен конструктивный способ представления линейных систем класса SISO, функционирующих в условиях параметрической неопределенности, в канонической форме управляемости относительно выхода с использованием метода расширения пространства состояния. В терминах полученной формы разработаны декомпозиционные процедуры синтеза обратной связи, включающие синтез наблюдателя состояния на скользящих режимах, идентификатора параметров и выбор структуры динамического компенсатора.

3) На основе приведения математической модели нелинейного объекта управления к совместной форме управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных с использованием метода расширения пространства состояния разработаны многоуровневые декомпозиционные процедуры синтеза автономного управления (стабилизации и слежения в различных постановках), включающие контур наблюдателя состояния на скользящих режимах и динамического компенсатора.

4) Разработанные алгоритмы использованы в задачах управления электромеханическими системами. Приведены результаты моделирования на ПК в среде MATLAB, подтверждающие эффективность разработанных методов.

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

2. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Элементы математического моделирования в програмных средах MATLAB 5 и Scilab. СПб.: Наука, 2001.

3. Белман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.

4. Брайсон А., Хо Ю Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Аналитические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

7. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: 1975.

8. Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Мир, 1971.

9. Динамика управления роботами / Под ред. Е.И. Юркевича. М.: Наука, 1984.

10. Ю.Дракунов С.В., Изосимов Д.Б., Лукьянов А.Г., Уткин В.А., Уткин В.И. Принцип блочного управления // АиТ. Ч. I. 1990. № 5. С. 3-13; Ч. И. 1990. №6. С. 20-31.

11. П.Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

12. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. М.: Наука, 1997.

13. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

14. Иванов В.А., и др. Математические основы теории автоматического управления. М.: Высшая школа, 1984.

15. Исследования по теории многосвязных систем / Сб. под ред. Б.Н. Петрова. М.: Наука, 1982.

16. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

17. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

18. Краснова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. М.: Наука, 2006.

19. Краснова С.А. Каскадный синтез системы управления манипулятором с учетом динамики электроприводов // АиТ. 2001. №11. С. 51-72.

20. Краснова С.А., Кузнецов С.И. Оценивание на скользящих режимах неконтролируемых возмущений в нелинейных динамических системах // АиТ. 2005. №10. С. 54-69.

21. Краснова С.А., Уткин В. А, Михеев Ю.В. Каскадный синтез наблюдателей состояния нелинейных многомерных систем // АиТ. 2001. №2. С. 4363.

22. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные систмы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.

23. Крутько П.Д., Черноусько Ф.Л. Декомпозирующие алгоритмы управления движением нелинейных динамических систем // Изв. РАН. ТиСУ, 2002. №4. С. 8-24.

24. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

25. Лукьянов А.Г. Блочный метод синтеза нелинейных систем на скользящих режимах // АиТ. 1998. № 7. С. 14-34.

26. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Управление движением манипуляцион-ных роботов на принципе декомпозиции при учёте динамики приводов // АиТ. 1989. №2. С. 67-81.

27. Мееров М.В. Системы многосвязного регулирования. М.: Наука, 1965.

28. Мирошник И.В., Никифоров В.А., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб., 2000.

29. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами. М.: Наука, 1980.

30. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

31. Современная прикладная теория управления: Синергетический подход в теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

32. Теория автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986.

33. Теория систем с переменной структурой / Под ред. С.В. Емельянова. М.: Наука, 1970.

34. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1998.

35. Уонем У. М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход. М.: Наука, 1980.

36. Управление в физико-технических системах / Под ред. А.Л Фрадкова. М.: Наука, 2004.

37. Уткин А.В., Уткин В.А., Краснова С.А. Управление положением маятника в условиях неопределенности // Труды Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва 2003. Том XXI. С. 59-69.

38. Уткин А.В., Уткин В.А. Идентификация линейных систем: применение скользящих режимов // Труды III Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'04, РИТУ РАН, 28-30 января 2004. Москва. С. 59-69

39. Уткин А.В., Краснова С.А., Твердохлебов А.С. Блочная форма управляемости относительно выходных переменных // Труды Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'06, Москва, 30 января 2 февраля 2006. ИЛУ РАН. С. 1362 -1370.

40. Уткин А.В., Краснова С.А. Управление по выходу в нелинейных системах // Труды 4-ой Всероссийской научной конференции УИТ, 10-12 октября 2006. Санкт-Петербург. С 52-67.

41. Уткин А.В. Автономное управление в нелинейных системах // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'07. Москва. ИПУ РАН, январь 2007 С. 640-653.

42. Уткин А.В. Метод расширения пространства состояния в задаче синтеза автономного управления // АиТ. 2007. № 6. С. 81-98.

43. Уткин В.А. Инвариантность и автономность в системах с разделяемыми движениями // АиТ. 2001. № 11. С. 73-94.

44. Уткин В.А., Уткин В.И. Метод разделения в задачах инвариантности // АиТ. 1983. №12. С. 39-48.

45. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1987.

46. Уткин В.И. Принципы идентификации на скользящих режимах // ДАН СССР. 1981. Т. 257. №3. С. 558-561.

47. Фельдбаум А.А. Электрические системы автоматического регулирования. М.: Оборонгиз, 1957.

48. Филиппов А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Математические заметки. 1980. Т. 27. № 2. С.255-266.

49. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа (в трёх частях). М.: ФИЗМАТГИЗ. 1960.

50. Цыпкин яз. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

51. Черноусько Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

52. Чиликин М.Г., Ключев В.И., Сандлер А.С. Теория автоматизированного электропривода. М.: Энергия, 1979.

53. Bestle D., Zeits М. Canonical form observer design for non-linear observers with linearizable error dynamics // Int. J. Control, 1981, V. 23, P. 419-431.

54. Brunovsky P. On classification of linear control systems // Kybernetica, 1970, V. 6, P. 173-178.

55. Davison E.J. The output control of linear time invariant systems with un-measurable arbitrary disturbances // IEEE Trans. 1972. AC-17. № 5. P.621-630.

56. Drazenovic B. The invariance condition in variable structure systems // Auto-matica. 1969. V. 5. № 3. P. 287-295.

57. Freeman R.A. and Kokotovic P.V. Backstepping design of robust controllers for s class of nonlinear systems // Preprints of 2nd IF AC Nonlinear Control Systems Design Symposium. 1992. France. P. 307-312.

58. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd Ed. Berlin: Springer-Verlag. 1995.

59. Jonson C.D. Futher study of linear regulator with disturbances satisfying a linear differential equation // IEEE Trans. 1970. Vol. AC-15. P. 222-228.

60. Kalouptsidis N. Prolongations and Lyapunov functions in Control Systems // Math. Systems Theory. 1983.№16. P.233-249.

61. Kokotovic P.V., O'Malley R.B. and Sannuti P. Singular perturbation and reduction in control theory // Automatica. 1976. № 12. P. 123-132.

62. Krstic M., Kanellakopoulos I. and Kokotovic P. Nonlinear and Adaptive Control Design. New York: Wiley, 1995.

63. Luenberger D.B. Observers of multivariable systems // IEEE Trans. 1966. Vol. AC-11. P. 190-197.

64. Morse A.S., Wonham W.M. Status of Non-interacting Control // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. Vol. AC-16. № 6. P. 568-581.

65. Nicosia S., Tomei P. A global output feedback controller for flexible joint robots // Automatica. 1995. Vol. 31. № 10. P. 1465-1469.

66. Nijmeijer H., A.J. van der Schaft. Nonlinear Dynamical Control Systems. Berlin: Springer. 1990.

67. Proychev Ph. and Mishkov R.L. Transformation of Nonlinear Systems in Observer Canonical Form With Reduced Dependency on Derivatives of the Input//Automatica. 1993. Vol. 29. № 2. P. 495^98.

68. Schumacher J. M. Compensator synthesis using (C,A,B,)-pairs // IEEE Trans. Automat. Control. 1980. Vol. AC-25. P. 1133-1138.

69. Slotine J.E. Sliding controller design for non-linear systems // Int. J. Control. 1984. Vol. 40, №2. P.421-434.

70. Slotine J.E., Sastry S.S. Tracking control of nonlinear systems using sliding surfaces with application to robot manipulators // Int. J. Control. 1983. Vol.38. №2. P. 465-492.

71. Stepanenko Y. and Chun-Yi Su. Variable structure control of robot manipulators with nonlinear sliding manifilds // Int. J. Control. 1993. V. 58. №. 2. P. 285-300.

72. Walcott B. L., Corless M. J. and Zak S. H. Observation of dynamical systems in the presence of bounded nonlinearities/uncertainties // Proc. of 25th Conference on Decision and Control. Athens. Greece. Dec. 1986. P. 961-966.

73. Won-Kee Son, Oh-Kyu Kwon. Control of nonlinear systems via feedback linearization and constrained model predictive control // Proceedings of the XIV IFAC, 1999, V. F, P. 103-108.

74. Willems J. C. Almost Invariant Subspaces: An Approach to High Gain Feedback design. Almost Conditionally Invariant Subspaces // IEEE Trans. Automat. Control. Part 1: 1981. Vol. AC-26. № 1. P. 235-252; Part 2: 1982. Vol. AC-27. № 5. P. 1071-1085.

75. Yuan J., Stepanenko Y. Composite adaptive control of flexible joint robots // Automatica. 1993. Vol. 29. № 3. P. 609-619.