Блочный синтез инвариантных систем слежения

Ахобадзе, Анна Гурамиевна

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Блочный синтез инвариантных систем слежения

кандидата физико-математических наук: Ахобадзе, Анна Гурамиевна
город: Москва
год: 2009
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Блочный синтез инвариантных систем слежения»

Автореферат диссертации по теме "Блочный синтез инвариантных систем слежения"

УДК 62-50

На правах рукописи

0034Э(

АХОБАДЗЕ АННА ГУРАМИЕВНА

БЛОЧНЫЙ СИНТЕЗ ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ СЛЕЖЕНИЯ

Специальность: 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степепи кандидата физико-математических наук

Москва 2009

1 1 ФЕБ 2010

003491637

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Научный руководитель: доктор технических наук

КРАСНОВА Светлана Анатольевна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук г.н.с. ИЛУ РАН

СОЛНЕЧНЫЙ Энгель Михайлович

кандидат физико-математических наук доцент МТГУ им. Н.Э. Баумана ТКАЧЕВ Сергей Борисович

Ведущая организация: Технологический Институт Федерального

государственного образовательного учреждения профессионального высшего образования Южный федеральный университет в г. Таганроге (ТТИ ЮФУ)

Защита состоится «_ 20/0 г. в /У .00 часов

на заседании Диссертационного Совета Д 002.226.02 Учреждения Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65. Телефон Совета (495) 334-93-29, факс (495) 334-93-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН. Автореферат разослан «Р1 » 20^; г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.226.02,

кандидат технических наук В.Н. Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В диссертации изучается задача слежения за заданными траекториями выходных переменных объекта автоматического управления. Несмотря на то, что рассматриваемая математическая модель объекта управления (ММ ОУ) представлена линейными дифференциальными уравнениями, она имеет качественные признаки сложной системы (высокую размерность, многоканальность, неполноту измерений, наличие внешних возмущений, неопределенность целевого условия), присущие достаточно широкому классу современных объектов автоматического управления различного назначения. Учитывая, что задача слежения является одной из основных при автоматизации технологических объектов, ее разработка представляется актуальной проблемой современной теории и практики управления. В условиях неопределенности возможность обеспечить асимптотическую сходимость выходных переменных к задающим воздействиям определяется не только структурными свойствами оператора объекта управления, но также возможностью восстановить текущую информацию об объекте управления и среде его функционирования.

Задача слежения при наличии внешних возмущений достаточно полно изучена в рамках геометрического и вариационного подходов в расширенной постановке в предположении, что возмущающие и задающие воздействия порождаются автономными динамическими моделями с известными параметрами (У.М. Уонем, Ю.Н. Андреев и др.). В то же время проблемы синтеза следящих систем при наличии неконтролируемых внешних воздействий, модель которых неизвестна, недостаточно представлены в современных публикациях и требуют привлечения и разработки специальных методов для комплексного решения задач оценивания и синтеза обратной связи, обеспечивающей инвариантность в асимптотике замкнутой системы слежения.

В данной работе задача слежения рассматривается в условиях целого комплекса указанных неопределенностей без расширения пространства состояний. Для информационного обеспечения законов управления, обеспечивающих инвариантность замкнутой системы слежения в асимптотике, разработан альтернативный подход, не требующий ввода автономных моделей и основанный на использовании наблюдателей состояния с разрывными корректирующими воздействиями, функционирующими в скользящем режиме (C.B. Емельянов, В.И. Уткин). Данный класс наблюдателей при определенных условиях позволяет решить задачу оценивания не только неизмеряемых переменных, но и неизвестных внешних воздействий (С.А. Краснова, В.А. Уткин), что позволяет компенсировать их влияние с помощью комбинированного управления (B.C. Кулебакин, Б.Н. Петров, С.Д. Земляков и др.).

Основная проблема при решении задачи слежения заключается в том, что выходные переменные могут быть не связаны непосредственно с управляющими воздействиями. Возникает необходимость отображения задач, сформулированных в пространстве выходных переменных, в пространство состояний. Конструктивным приемом в таком случае является неособое преобразование переменных состояния, приводящее к эквивалентной системе

вход-выход, непосредственно отражающей связи входных и выходных переменных, Наиболее целесообразным является прямой метод - получение выходного отображения исходной системы путем многократного дифференцирования выходных переменных с целенаправленной неособой заменой переменных состояния координатами выходного вектора и их производными (А. Исидори, И.В. Мирошник и др.)- В качестве методологической основы декомпозиции как задач анализа, так и задач синтеза в работе используется блочный подход (А.Г. Лукьянов, В.А. Уткин, В.И. Уткин, П. Кокотович). К настоящему времени в рамках блочного подхода разработаны процедуры синтеза систем стабилизации, наблюдения, адаптивного управления.

Разработанные в диссертации методы синтеза инвариантных систем слежения являются развитием блочного подхода и метода разделения движений в классе систем с разрывными управлениями. В отличие от известных покомпонентных децентрализованных форм вход-выход, разработаны принципы организации и получения совместных блочных форм наблюдаемости и управляемости, которые состоят из связанных квадратных подсистем вход-выход различной размерности с учетом возмущений различного типа.

Цель работы состоит в изучении структурных свойств линейных стационарных динамических систем общего вида относительно выходных (регулируемых-и измеряемых) переменных при действии внешних возмущений различного типа и последующий синтез инвариантных систем слежения в рамках блочного подхода. Основные задачи работы:

- формализовать классы линейных стационарных систем, для которых задача слежения за заданными траекториями выходных переменных при действии внешних возмущений различного типа имеет решение в асимптотике;

- разработать процедуры приведения ММ ОУ к совместным блочным формам управляемости и наблюдаемости, которые комплексно отражают структурные свойства оператора объекта управления (инвариантность, управляемость и наблюдаемость относительно выходных переменных) с учетом возмущений различного типа;

-получить ранговые условия существования совместных блочных форм;

- на основе совместных блочных форм разработать декомпозиционные процедуры синтеза базовых (т.е. в предположении об измеряемое™ всех переменных) законов комбинированного управления, обеспечивающих асимптотическую сходимость выходных переменных к заданным траекториям инвариантно к действию внешних возмущений;

- разработать методы информационного обеспечения базовых законов управления с использованием наблюдателей на скользящих режимах.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа, методов современной теории управления: блочного принципа управления, разделения движений в классе систем с разрывными управлениями, функционирующими в скользящем режиме, теории наблюдателей состояния, инвариантности и устойчивости.

Научная новизна. 1) В постановке задачи слежения предполагается,

что система функционирует в условиях целого комплекса неопределенностей: только выходные (регулируемые) переменные подлежат измерениям; на систему действуют внешние неконтролируемые возмущения; допускается параметрическая неопределенность оператора объекта управления; не имеется аналитического описания задающих воздействий. Задача рассматривается без расширения пространства состояний.

2) Разработаны принципы организации и построения эквивалентных моделей вход-выход, имеющих блочную структуру: совместной блочной формы управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных с учетом возмущений без предположения об их гладкости (СБФВВ); совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости с учетом гладких возмущений (СБКФ). Сформулированы ранговые условия существо-вашм СБФВВ, СБКФ в терминах исходной системы.

3) Показано, что на основе СБФВВ, СБКФ задача синтеза разделяется на независимо решаемые подзадачи меньшей размерности. При этом и задача наблюдения, и задача собственно управления выходными переменными решаются относительно одних и тех же переменных нового координатного базиса, что не требует выполнения прямых и обратных преобразований в реальном времени и существенно упрощает структуру регулятора.

4) Использование наблюдателей на скользящих режимах для информационного обеспечения базовых законов управления является альтернативой по отношетпо к расширенным постановкам задач слежения, так как не требует построения автономных динамических моделей возмущающих и задающих воздействий и позволяет существенно снизить объем априорной информации об объекте управления и среде его функционирования.

Практическая значимость. Разработанные процедуры анализа и синтеза инвариантных систем слежения, опирающиеся на структурные свойства ОУ, функционирующего в условиях неопределенности, достаточно универсальны, могут быть реализованы посредством вычислительной техники, что определяет возможность внедрения разработанных алгоритмов в АСУ современными сложными технологическими объектами различного назначения.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях: «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем», DSMSI (Киев, 2007); «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2007); «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO (Москва, 2008, 2009); III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления, ВМКПУ (Москва, 2008); X Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008); X Международном семинаре по системам с переменной структурой, VVS (Турция, Анталия, 2008), а также на семинарах МГТУ им. Н.Э. Баумана, ИПУ РАН. Работа выполнена в рамках комплексного проекта фундаментальных исследований РАН 2.4.2, 2422/07 (тема 3.4.1, 3412/07). Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе две [9, 10] в журналах, рекомендуемых ВАК РФ. Структура работы.

Диссертация изложена на 134-х страницах, состоит из введения, 4-х глав, заключения, 8 рис., списка литературы (100 наименований).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава имеет обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 обсуждается комплекс проблем, которые возникают при решении задачи слежения. В разделе 1.2 приводится решение расширенной задачи слежения. В разделах 1.3-1,4 изложены специальные разделы современной теории автоматического управления, используемые в работе. В разделе 1.5 определяются цели и задачи диссертационной работы.

Объектом исследования является линейная динамическая конечномерная стационарная система автоматического управления, математическая модель которой имеет вид

m=m)+Bu{t)+Qi1(t\ у\(t)=Dx(t), (i)

где х g R" - вектор состояния, и е Rp - вектор управляющих воздействий, y¡ е - вектор выходных (регулируемых) переменных, r¡ е Rq - вектор внешних возмущений, A,B,Q,D ~ матрицы с постоянными элементами соответствующих размерностей, rankD = т0, rankS = р, rankO = q . Ставится задача слежения за заданными (наблюдаемыми) траекториями g(t)eRm° выходных переменных. Требуется синтезировать закон комбинировагаюго управления, при котором отклонения от заданных траекторий й, (í) = >\ (г) - g(r) асимптотически стремятся к нулю

lime,(/) = 0, е, е Rm°, (2)

а остальные переменные ограничены при t > 0, в следующих предположениях: 1) внешние возмущения полагаются неизвестными ограниченными функциями времени 77(f) е Rq Г\1*, которые: а) не предполагаются гладкими; б) предполагаются гладкими с ограниченными производными до (и-1) -го порядка, диапазоны их изменения полагаются известными; 2) измерениям подлежат только выходные переменные >\, шумы в измерениях отсутствуют; 3) допускается параметрическая неопределенность фрагментов матриц Q, А, принадлежащих пространству управлений интервалы изменения их

элементов известны;'4) задающие воздействия полагаются произвольными гладкими ограниченными функциями времени с ограниченными производными до п-го порядка g(t) е Rm° ПГПС[0 оз), g(0(t) е Rm° ПГ ПС", i = й. Аналитический вид функций g(t) не известен, имеются только их текущие значения, как следствие, не имеется информации об их производных. Задача слежения рассматривается в «узкой» постановке без расширения пространства состояний за счет динамических моделей задающих и возмущающих воздействий, не предполагается также использование динамического компенса-

тора, порождающего производные управляющих воздействий. Класс допустимых управлений включает функции того же класса, к которым относятся внешние воздействия.

Во второй главе в рамках блочного подхода изучаются структурные свойства систем общего вида (1) при действии внешних возмущений без предположения об их гладкости в задачах управления выходными переменными. В разделе 2.1 вводятся основные типы неособых линейных преобразований, используемых в работе. В разделе 2.2 вводится понятие блочной формы общего вида относительно выходных переменных с учетом внешних возмущений (БФОВВ), разработана пошаговая процедура ее получения. Суть процедуры заключается в последовательных однотипных невырожденных заменах переменных состояния выходными переменными и их производными. В ходе процедуры выявляются группы выходных переменных (или их линейных комбинаций), которые подлежат многократному дифференцированию (ограничением является отсутствие предположений о гладкости возмущений и управлений). С этой целью, на каждом шаге каждый блок БФОВВ, переменными которого являются компоненты укороченного вектора производных выходных переменных, последовательно приводится к регулярной форме относительно истинных управлений, внешних возмущений и фиктивных управлений, в качестве которых фигурируют переменные следующего блока. Размерность непреобразованного вектора состояния системы (1) на каждом шаге сокращается, процедура заканчивается за конечное число шагов р<п .В результате система (1) приводится к БФОВВ вида ! f —

У/ = IД/УJ + + //. Й = I 4У] + 4+ Qih-1 + V,, / = 1, // -1;

>1 >1

у'м = t A*yj. у и =2 4л+4л > Ум = £ Ял+Ьмхм+ Л'

>1 j=1 >1

Ум = + +SA-1 + V *м =tCJ'j +GMXM + Rm1m+Smum>

7=1 1

где =со!(>'/,л:,), х0 = *, Т^у, =col(y;,yi,yi>yi) = yieRm", /я,..,

dimjv = dim>'1+/ = mt * 0, 7)„«ы = col(v, , и,), иа = и, dimy, - dim v, = pt,

рм*0, ТЩТ1,.ч = col(/,,/7,.), deti]0 = 77, dimv,. = dim f^-q,.,

i = l, //; m0 + + dim+... + p„ +6imuM = p.

БФОВВ (3) составляется с целью комплексного анализа структурных свойств системы (1) (инвариантности, управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных), что определяет одно из следующих условий окончания процедуры на /л -м шаге.

1) Полная БФОВВ имеет место, если в результате процедуры весь век-

юр состояния л* е К" системы (1) взаимно-однозначно отобразился в новые переменные Тхх = со\{у1,...,уц), йе^ФО, у^К™-', т0 +... + тц_1 = п, т.е. в (3) сИту, Ф 0, ¿ = 1,,«-1,. (Нгпх =0. <Иту =0.

Неполная БФОВВ имеет место, если на ¡л -м шаге:

2) нет возможности сформировать линейную комбинацию р -х производных выходных переменных, подлежащих повторному дифференцированию, т.е. в (3)

<1шуц = 0, Ф 0 ; (4)

3) весь вектор управлений и е Кр взаимно-однозначно отобразился в новые переменные Т„и = со1(;',,..., ) е Яр, ф0, т.е. в (3)

сЦтнд =0, сИтл^ . (5)

Процедура приведения системы (1) в БФОВВ (3) состоит из последовательности невырожденных замен переменных векторов состояния, управления и возмущений и соответствующих им преобразований подобия, следовательно, не изменяет присущих системе (1) структурных свойств, которые определяют конечный вид БФОВВ. В общем случае БФОВВ имеет несколько эквивалентных реализаций, количество которых определяется числом сочетаний базисных миноров локальных матриц перехода.

Утверждение 1. Любые реализации БФОВВ,' полученные в результате последовательностей неособых преобразований с различными локальными матрицами перехода Т^х у и1]) («Ай ф 0, г = 1,//), эквивалентны и име-

ют одинаковую структуру, т.е. все являются полными (или неполными), имеют одинаковое количество блоков и подблоков одинаковой размерности.

Замечание 1. Перебор различных сочетаний базисных миноров и проверка их обусловленности образуют дополнительную логику, являющуюся неотъемлемой частью процедуры, которая может быть реализована на ПК. Здесь можно провести аналогию с методом окаймляющих миноров для определения ранга матрицы, где значение ранга матрицы окончательно устанавливается после перебора всех допустимых вариантов.

В разделе 2.3 проводится анализ структурных свойств системы (1) в терминах БФОВВ (3). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1 (достаточное условие наблюдаемости). Вектор состояния системы (1) полностью наблюдаем относительно выхода уг - Их, если эквивалентное отображение (1) имеет вид полной БФОВВ.

В случае неполных БФОВВ (3) с учетом (4) или (5) в работе выделено наблюдаемое подпространство вектора состояния максимально возможной размерности, инвариантное к внешним возмущениям.

Теорема 2 (условие полной инвариантности выходных переменных). Инвариантность в асимптотике выходных переменных системы (1) к внешним ограниченным возмущениям ту (г) (без предположения об их гладкости) мо-

жет быть обеспечена, если: в полной БФОВВ (3) dim 0, i = l,fj; в

неполной БФОВВ (3)-(4) dim у, = q,, = 0, i = \,ц и Re < 0 ; в неполной

БФОВВ (3), (5) dim >•,. = q,, = 0, i = , dim ^ = 0 и Re Л(G„) < 0.

Теорема 3 (условие разрешимости задачи слежения при измеряемости всех переменных). Задача слежения (2) за произвольными гладкими задающими воздействиями g(t) выходных переменных y\(t) системы (1) при действии внешних возмущений (без предположения об их гладкости) имеет решение тогда, когда в БФОВВ (3) dim у, = 0 , dim у' = О, i = l,fi и при dimх^Фй решения последней подсистемы ограничены.

В третьей главе в рамках блочного подхода разработаны методы анализа и синтеза инвариантных следящих систем при действии внешних возмущений без предположения об их гладкости. В разделе 3.1 детализируется постановка задачи (2). В разделе 3.2 на основе теорем 1-3 вводится

Определение 1. Для линейной системы (1) эквивалентная система вида

i — И ~ ~ ~ --

У,=1,4;У' + Ун1, y,='LAjy'j + Dixfl+Zirji+vi, i = 1.//-1;

J-' (6)

Ум = + 25А + 2 А + V

= + gA + 5Л+1 + 1 j=I

является совместной блочной формой управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных с учетом возмущений (СБФВВ), при dim ху =0 — полной, при dim хц ф 0 - неполной СБФВВ.

Переменные системы (6) - линейные комбинации выходных переменных и их производных до (¿¡-1)-го порядка - связаны с переменными х системы (1) невырожденным преобразованием Тхх = со\(у1,...,у11,х11), где

// < п - максимальная относительная степень, Т!уу: = colfjv, v,)" у' йеЩФО, i = \,fi-\, y/i=y„, dimj, = dimj-(+/ = m: ф 0, m0 + =1, I + dimxp=n, dimj, = dimv, =pt-mi t -m: (могут отсутствовать какие-либо уравнения относительно у, при р,= 0, р ф 0), рЛ +... ри = т0, т0+дйти^ =р, Т„и =col(v1,...,v/i,^+1) , Г,77 =со1(т7,,...,^1), +

+ dim77A+I = q, detTIllrr Ф 0. К последней подсистеме, которая образует внутреннюю динамику, предъявляется требование ограниченности решений:

||л:Д0||<Х = const, Vr>0. (7)

В первых подблоках СБФВВ (6) относительно yi (i = 1, ц -1) векторы ум выполняют двойную функцию: в задаче наблюдения подлежат оценива-

шпо на г -м шаге и трактуются как фиктивный выход полной размерности для (¡' -1-1) -го блока относительно со1(у,>;,уж) = Т1+1 ум; в задаче слежеши полагаются фиктивным управлением полной размерности и целенаправленно выбираются для обеспечения требуемой динамики у1. Переменные у,.

г = 1, // — 1, у,, непосредственно регулируются истинными управлениями V,.

Теорема 4 (достаточные условия существования СБФВВ). Если для оператора линейной стационарной невозмущенной системы (1), где 0 = 0,

гапк!) = т0 < гапкБ - р<п, существует натуральное число ц : 1 < ц < п,

что выполняются условия:

1) Д = йВ, гапкД =р1<т0, П2 =

пав

гапкВ2 = + р2<т0,...,

В„

В»-г

оа»~2в

, гапк^., = гапкВ 2 + р х <т0, В =

Ви-*

БА^В

гапкВ^ = гапкЯ^ + рц = рх +... ■+ р^ +рм=т0\ 2) (А В)0 = (В О), гапк(А В\ = т0,

(а в\ = (а в\ =

СА =

Г(АВ)"

В А Ш

(а В\ оа2 оав

о 1)а в

,гапк(Л В)1=т0+(т^р]), ти, + р1 =т0, ...,

, г(А В)2=т(А В\+{тг+рг), тг + Рг=т,\...\ , гапк(Л В)и = гапк(1 В)^ + рм = т0+1, т0 <1 <п,

где I = + р,.) + рм , тм + рм = , ри = ти_х, то существуют невырож-

денные преобразования = Тии =со1(Ч»1,...,у//,г;и),

с1ег Т1и * 0, приводящие систему (1) к СБФВВ (6).

При выполнешга данных условий выходные переменные (или их линейные комбинации Туу'\ ) можно разделить на непересекающиеся группы

ТуУ, =со\{уи,уп„..,у1ц), у„ еЯр-, = т0, (8)

каждая из которых имеет одинаковую относительную степень V, = г, 1 < V, < п, т.е. линейно независимые комбинации управляющих воздействий ранга р, в соответствующих дифференциальных уравнениях относительно у„ появятся минимум после г дифференцирований и

/ = + рдф0. (9)

В случае возмущенной системы (1) 0^0 без предположения о гладкости rj{t), к условиям теоремы 4 добавляется требование, которое является условием полной инвариантности выходных переменных: ЬпQ„ cbnВц О Q^ = rB/1,QM=((nQ)T (DAQ)T ...(DA'J~lQ)T)T. (10)

В разделе 3.3 в рамках блочного подхода разработана пошаговая процедура приведения системы (1) к СБФВВ (6), на каждом шаге которой последовательно исследуются и преобразовываются блоки относительно производных выходных переменных. Приведение каждого блока к регулярной форме относительно истинных управлений (выделение р, базисных строк

матрицы Bj и обнуление линейно зависимых строк) позволяет непосредственно сформировать линейные комбинации выходных переменных, подлежащие повторному дифференцированию. Каждый i-й (/ = 1,¡j., /i<n) шаг процедуры состоит в общем случае из следующих операций: П1 - получение дифференциальных уравнений для у, е Rm, т.е. i -го блока СБФВВ; П2 -приведение его к регулярной форме относительно управления; ПЗ - закрепление за группой выходных переменных «своих» управляющих воздействий и неособая замена векторов управления и возмущений; П4 - удаление зафиксированных управлений из непреобразованной подсистемы.

На каждом шаге комплексно проверяются условия теоремы 4 и (10), выполнение которых означает либо получение СБФВВ, либо переход на следующий шаг. При их невыполнении задача слежения за заданными траекториями не может быть решена в асимптотике, требуется аппаратная доработка системы или корректировка цели управления. (A i ?) - все компоненты вектора состояния х преобразованы в новые переменные dim yt = dim (A i *) (получена полная СБФВВ) или нет dim у,. < dim (A i **). (В /' ?) - все выходные переменные обеспечены истинным управлением, условие инвариантности (10) выполнено р. = т1Л (В i *) или нет pt < тям (В i **). При получении неполной СБФВВ проводится анализ ограниченности решений (7). (С; ?) - инвариантность в асимптотике выходных переменных к внешним возмущениям обеспечить нельзя, если гапк(в, Q, ) > р, (С / *); можно, если rank (7?, fi ) = />,, 0<р, < т:1 (С / **) или гапк(Д Q,)=P: -0 (С/***); (D i ?) - часть выходных переменных не обеспечивается ни фиктивным, ни истинным управлением, если гапк(д, 5()<wM или dim у-= rank (д в) = = от/ч и Pi = p-pi~ — -Рм (D/ *); обеспечивается, если dim г-, = гапк(д В/) = т1{ и р; < р-рх -...- р,_х (D i **). На рис. 1 показана блок-схема процедуры, «черным квадратом» обозначен конец процедуры (см. замечание 1).

Опишем первый шаг процедуры преобразований системы (1) к СБФВВ.

Начало

■■ 1. тп * О

Bff

At? Ai 111 Bi?

f^m

Полная СБФВВ..

А/

Синтез обратной связи

ТТ1

з:

В/?

-Ш1

Неполная СБФВВ

ВГ

ДА

Система работоспособна?

НЕТ

С/?

с?

сг

или а

D п

Di*

D Г

П2 ПЗ П 4

Аппаратная доработка системы или корректировка цели управления

Рис. 1. Блок-схема процедуры получения СБФВВ

А1) В системе (1), где rankD = mQ * 0, выполняется одно из условий: т0 = п (dim у\ - dim х) (А1*)шга т0<п ( dim у\ < dim х) (А1**). А1*, П1) После дифференцирования yx=Dx в силу системы (1) и обратной подстановки x = D~ly1, det D Ф 0 имеем

У\ = Аиу, + В,и + QM, Ап = DAD-1, BX=DB, Q,=DQ. (11)

В1) Обозначим rankB1 = p, < p. В системе (11) выполняется одно из условий: р}=т0 (В 1 *)-получена полная СБФВВ (11), переходим к синтезу обратной связи; рх<т0 (В1**) - часть выходных переменных размерности (т0 - гапкВ,) не обеспечена истинным управлением и будет вынуждена отрабатывать «чужие» задающие воздействия. Процедура заканчивается.

А1**, П1) Перегруппируем вектор состояния х = со1(х„ х,) , х, е Rm°, х{ е R"~m° так, чтобы в линейном разложении v, = Dx = Д,*, + Dnxt выполнялось условие dctDu # 0. Выполнив неособую замену переменных

х»Тп

Ти =

д, д,

ТпАТ~1 =

Аи Д \Cl! Gl

. Тив =

л)

, det Гц

mo /

in \

,TUQ = 12

представим систему (1) в виде двух подсистем

У\ = Д.Л + Z)A +Blu + Q1j], 5, =Спу\ + <5,х, +5.И+Д/7 ■ (12)

В1) В первой подсистеме (12) выполняется одно из условий: (В1*) - получена неполная СБФВВ (12), проверяем устойчивость собственных движений второй подсистемы (Re A(G, ) < 0 ?); (В 1 * *) - процедура продолжается.

С1) В первой подсистеме системы (12) выполняется одно из условий: rank(5, Ол)> pl (С1*) - условие инвариантности (10) не выполнено, процедура заканчивается; rank(Z?, Q1)=pl, 0<р1<т0 (С1**) или гапк(Д Q}) = = pl=0 (С1 ***) - процедура продолжается.

D1) В первой подсистеме системы (12) выполняется одно из следующих условий: гапк(/)1 BL)<m0 или dim у, гапк(В1 и pl=p (D1*) - в

первом случае часть выходных переменных не обеспечивается фиктивным управлением, в качестве которого рассматриваются переменные вектора состояния , а во втором - уже фиктивные управления х1 не обеспечены истинным управлением, ресурс которого исчерпан, процедура заканчивается; dim у, - гапк(Д 5,) = тй и < р (D1**) — все выходные переменные обеспечены фиктивным и/или истинным управлением.

Результат первого шага в случае (А1 **, Bl**, CI***, D1**). В системе (12) Д = 0, <2^ = 0, т.е. весь вектор первых производных выходных переменных подлежит повторному дифференцированию. С учетом обозначений у, = Цх,, rank Л, = dim у, первая подсистема (12) примет вид первого блока СБФВВ: j>, = Л-j', + уг. Переходим на второй шаг процедуры, где аналогичные построения применяются ко второй подсистеме (12) с фиктивным выходом у2 = Dix]. В случае (Al**, Bl**, CI**, D1**) выполняем аннулирующие преобразования, которые позволят сформировать линейную комбинацию у1, не зависящую от и и 77, и подлежащую второму дифференцированию. П2) Переставим строки и расщепим первую подсистему (12):

№ Ш =

'К а'

А а.

>У 1 :

, ranks, = rankfl, = dimy, = рх ф 0, рх < тв, (13)

dim = т0 - pi = mt. Обнулим лгаейно зависимые строки матрицы , выполнив неособую замену переменных у, = у, - , В' В, = В,, В' = В, В, :

'уЛ й

— >

= ■>'*. тп =

"о -А

-в;

(14)

Br Q\j

>0,-0 или

где det Тп а 0 и О. = 0. В частных случаях Вх-0 В1 = О => = О, Тп = I с точностью до перестановок.

Во втором подблоке (14) р1 координат вектора управления, соответст

вующих базисным столбцам матрицы 2?,, фиксируются в качестве управляющих воздействий для рх компонент вектора у1 и исключаются из второй подсистемы (12). В сипу (С**) при этом также будет вытеснена соответствующая часть компонент вектора возмущений т], если (¿х ф О.

ПЗ) Выполним неособые замены Ди = V,, О-г) = :

Cl II .Т13 = ¡4 в12

и, ) > 0 L „

V- 1/ \ Р-Л у

, det Ти Ф 0, {¡1,vieRpl,uleRp~

Д = (Ви Вп), det Ви Ф 0, ад = , ад = (Д S,);

(15)

кЛи

т =

> 14

Qn Qu о I,

>а =

4~4iJ

бг

вп, Qu,

det Qn Ф 0, det 7j4 ф О, dim/7, = dim^ = rankg, = ql<pi, ^ e ,

ri^Qui^-Q^), Q& Z, =

ЧЙЗЙ,'

, Л,) .

П4) При Р1 Ф О исключим V! и, следовательно, 77, из правой части второго уравнения (12) с помощью неособой замены переменных х, = - Р]у1:

,Т15=\ 1 Ые17;5^0. (16)

чу ^г-^ ^-»о ;

Результат первого шага в случае (Al**, Bl**, CI**, D1**). В результате неособых замен переменных (13)-(16) система (12) примет вид

= сиУ*++Vi+■ В результате аннулирующих операций сформирована линейная комбинация

первых производных выходных переменных у\, которые подлежат повторному дифференцированию. С учетом у2 = Дх,, rankZ), = dim v, = »1, первая подсистема (17) примет вид ух = /!,>•' + v2. Переходим на второй шаг процедуры, где аналогичные преобразования применяются к последней подсистеме (17) С ФИКТИВНЫМ ВЫХОДОМ у2 = Цх, , и т.д.

С целью обозначить связи между управляемыми и управляющими переменными, разделим вектор состояния СБФВВ (6) на подвекторы:

у, = со1(д/+],...,y^fi-iiУщ)> dimy,j = Pj, i = 1, //-2; (18)

1 V,

(т,

, У, + ЩУ,

, ¡ = 2, ц-2,

где допускается р] =0 (т.е. с1ип;л =0), г = 1, р-2. С учетом (18) СБФВВ

(6) представима в виде блочных квадратных подсистем вход-выход с упорядоченными перекрестными связями, которые с учетом упрощенных обозначений (у, = у„, уи = уд, у, = у, и т.п.) имеют вид

и и

= + Уъ=Аг:У\+Уъ> Уп^ЛА^Уз+^г + Фг'-' О9)

у=1 ]=1

Уи = Лм,\У1+Ун+ВиУг2, Ун = Аи\У\ + Уз; + 5з/Лз»-.

1-1 А

й-и = +Уя> Ун = ХАиУу +4 + Фп->

У\ц = Ац,\У\ + У2ц + Л* = А^У, + Ам,2У2 + Узц +

;=г

У „-и = £ + .Уда. ¿да = I ЛаЛ + + ^ >

>1 >1

где $ = Цх^ / = 1,//, ||$(/)||</) - известные константы \//>0 (в

предположении об ограниченности внешних возмущений т]1 (/) и (г) (7)).

В системе (19), которая имеет размерность (9), уравнения относительно каждой группы выходных переменных (8) являются первыми блоками блоч-но-управляемых и одновременно блочно-наблюдаемых квадратных подсистем, размерность блоков которых р,, г = 1, р можно трактовать как совместные индексы управляемости и наблюдаемости системы (1) относительно выхода с учетом возмущений. Структурная схема системы (19) при р = 3 показана на рис. 2: у = со!(у1 ,у2,у3), у,- е Я"-1; У1 =со\(уи,уп,уи), =со\(угг,уя)\ р^О, т0=р1+р2+р2, ф

с1ш1>'п =рх, с1шгу12 =с1ш1>'22 =р2, 1

V —

dlmyIз = сЬту,3 = dщl у3 - р2. —+ г

Ф\ ^

у_

У,

У, 1

У и

Уг I У 23 I

Рис. 2. Структурная схема системы (19) при р. = 3 15

Конструктивность разработанного подхода заключается в том, что анализ структурных свойств системы (1) заложен в приведенной процедуре. Никаких априорных требований к системе не предъявляется. Процесс трансформации системы (1) в СБФВВ (6) связан с выполнением неособых преобразований отдельных блоков, т.е. замены переменных и преобразования подобия декомпозируются на последовательно выполняемые операции, размерность которых уменьшается с каждым шагом. Для любых реализаций СБФВВ справедливо утверждение 1.

В разделе 3.4 на основе системы (19) разработана декомпозиционная процедура синтеза комбинированных законов управления, обеспечивающих асимптотическую сходимость выходных переменных (8) к заданным траекториям gieRp', Tyg = col(g1;g2,...,g^) инвариантно к действию внешних возмущений. Задача (2) сводится к задаче стабилизации невязок еь = уи -gi, -» 0, еи е/?Р|, i = 1,¡и и решается процедурно в рамках блочного подхода, что позволяет декомпозировать задачу синтеза размерности (Р\Л+...+на последовательно решаемые элементарные задачи формирования фиктивных, а потом и истинных управлений в каждой i -й подсистеме системы (19).

Без ограничения общности рассмотрим / -ю (/ = \,ц) подсистему системы (19). Представим ее первое уравнение относительно невязки

ёу + B2ie22 +сри + у2п где , \(ри(f)|< Fh, первые полные

производные функций (pl, = YlC]iJylJ+Cuxgl+Bli{-Un{en) + gi)-gl

j-г

гладкие, Lr1, (e„) = col(i7I1, (e11I ),...,i7^ (e^')) - обратная связь, стабилизирующая невязки еи, функции U{, (е^) непрерывно дифференцируемы требуемое число раз, t/„(0) = 0, C\i} =(AliV~B2l-Al2V), АюУ1 = £А1Шу1Г. Желая сформировать фиктивное комбинированное управление у2, = -Uu (etj) - , обеспечим стабилизацию невязки е., - yv + Uy (ev ) + <pu

4 = Cl.Ai +Cl,ien + внеп + <Ри +Уц, еи'Уи e RP'> где Cl2=A2L22-BsiAa22, \<p2i(0||<F2i = const, C'u = А2Ш-A2i22Al2u -

и M

-В3,Агг,и +BVAlX22An,U> <Pll = C2/,lg, + MjJ'u + Mj^ ~Cl,2UvMl) +

/де13)ёп. Вектор-

функция (ръ подлежит повторному дифференцированию, что позволяет выбрать фиктивное комбинированное управление у3, = -U2i (e2i) - <p2j, и т.д. Аналогично для (i -2 )-го уравнения / -й подсистемы (19) получим

Kv +<P,-V +У,->./> IK-vW= const,(20)

Л=1

где компоненты q>}_2; подлежат повторному дифференцированшо и

Ckj.n ~ - Вк+(21)

Лемма 1. Для фрагментов матрицы (21) справедливо равенство

= S Х £ ^ Х А>-1,га,Я Х П S Л,и-!,// ■

т-п t=n s=n l~n

Теорема 5. Для системы (19) к -е уравнение i -й цепочки (к+ } < i) п не-

вязках представимо в виде ёи = ЦСки1ет,+Вк+уемм + <pki + ук+и, где мат-

рицы C¿(„ удовлетворяют (21).

В подсистеме (20) поставим задачу выбора комбинированного фиктивного управления в виде у,_и = -U¡_2, (е,_2) - ср(_г ¡. Составим дифференциальное уравнение относительно невязки =y¡-u+Ul_v(e^2.) + <pi_2¡:

i-i

¿i-1 i = <P¡-1, + У a. rae компоненты вектор-функции <р,л, = £ 4ч ¿ +

№

-r(oU^2 ,/ce,_2 ,)¿,_, / + й-? / подлежат повторному дифференцированию, |^M>/(f)||á V/ > 0 . что позволяет сформировать фиктивное комбинированное управление в виде уи - -б7, u (е,_,,) - е>,_м . Относительно невязки

ей - Уи + U^J (е,_м ) + <римеем ёи = <pü + vf, где <ря = У] Д,+ +

+(9í//-uM-u)¿,--u+9'/-i./. 11%= const Ví>0. В результате г-я подсистема системы (19) примет вид К = Сщвц + Я2/г22 -£/i,Oii) + e2„ e2¡ +^2i,2e22

i—2

&Í-2J ~ Tj Ci-2,i,n em + B¡-V ei-\j-\ ~ U1-2 i (et-2 i ) + ei-l i >

¿/-у + ёд

На последнем шаге сформированные локальные зависимости обеспечиваются с помощью истинного комбинированного управления

(23)

что приведет к замкнутой подсистеме е„ = -11 и (ен).

Для информашюнного обеспечения базовых законов (23) используются наблюдатели на скользящих режимах, позволяющие непосредственно решить

задач}' оценивания переменных е„ и неопределенностей <р„ за теоретически конечное время. Наблюдатель имеет структуру системы (22), а именно

¿1, = СуЛе„ + В 2iz12 -Uv(ev) + zv +wu, ^^

=Сюеи +С1.2-22 +^3,-33 -U2,(z2i) + z2i + w2,.,..., ¡-2

n=2

¿i-u + +vvv> = v/ +w«>

где Zj, e RF' - векторы состояния, w^ e Rp< - векторы разрывных корректирующих воздействий наблюдателя, которые последовательно (сверху вниз) выбираются так, чтобы решить задачу стабилизации относительно невязок = с,- - > Ej, eRp',j = \J- В силу (22), (24) имеем

1-2

¿/-2,, = ZCi-2J,nE«n + -W,-2,f> (25)

n=2

где для Л6Г7, (£•_,,) = t/^ (z ^ + с) - Ujt (гу,) выполняются условия Липшица

||д^ )|| * ^ lb I. h = c°nst >0,7 = 277—1. (26)

Используя технику каскадного синтеза наблюдателей на скользящих режимах, в первой подсистеме (25) с учетом измерений еи = -g, сформируем разрывные корректирующие воздействия w1( = A/„sign£n, где здесь и далее Мь = const > 0, sign% = col(sign^uд,..., signsUp ). С учетом соотношений S22 - - 0} П {с22 = 0}, обеспеченных во второй цепочке (19), при Л/1;>|гг2/]| выполняются достаточные условия е^£ь <0 и на многообразии S{i = S22 f| {£,, - 0} => zu = ev возникнет скользящий режим за конечное время Г,, > г22. При t > ru. из уравнения статики ¿и = 0 имеем эквивалентное управление wlieq = е2,, значения которого получим с выходов фильтров первого порядка с малой постояшюй времени: г,, е RPl,

Vi^-^+w,,, г,, (0 = ^,(0 +О,, (А,-.О, ИшI Ou(4,0 = 0. (27)

С учетом (26), (27) и соотношений S33 = {г„ = 0}П{£23 = 0}П{£-3; =0} , обеспеченных в третьей цепочке (19), во второй подсистеме (25) выбор w2i = M2isigarv, где M2i > ¡f3i|, ту я s2i, приведет к elie2i < 0, и, как следствие, к возникновению за теоретически конечное (т.е. с точностью до затухающих собственных движений переменных фильтров (27)) время r2, >max{i„,i33} скользящего режима на многообразии

S2I = S33 il S22 n {s2, = 0} => z2i = e2i. Из статики s2i = 0 имеем эквивалентное управление w;/eq = £3j, значения которого получим с выходов фильтров (27) и которые используем для синтеза разрывной коррекции в третьей подсистеме (25) и!., =A/3(signr2j., г,,. ~s3i, и т.д. В последней подсистеме (25) выбор

wft. =Afi/signrJ.u, где TM j ~sn, М„ > Fu £„ёи <0, приведет к возникновению скользящего режима на Su =, П К, = 0} => zn = еи за теоретически конечное время tu > . При t > tu из статики £„ = 0 имеем эквивалентное управление е>т = сри, значения которого получим аналогично (27).

Еще раз подчеркнем, что использование наблюдателя на скользящих режимах (24), построенного на основе системы (22) с замкнутыми локальными связями, не требует ввода динамических моделей возмущающих и задающих воздействий, упрощает вычислительный аспект процедуры синтеза (не требуется составлять аналитические выражения вектор-функций <ри, i = \, р. допускается их параметрическая и функциональная неопределенность) и снижает требования к объему априорной информации об объекте управления и среде его функциошфования. Существенно, что с помощью данных наблюдателей непосредственно оцениваются составляющие комбинированного закона управления v, = -Uu (:п ) - т„ (23), т.е. не требуется возвращаться к координатным базисам ни системы (19), ни системы (1).

Рассмотрены численные примеры, результаты моделирования которых подтвердили теоретические положения, разработанные в данной главе.

В четвертой главе показано, что предположение о гладкости в системе

(1) неконтролируемых возмущений r](t) существенно расширяет класс инвариантных систем слежения. В разделе 4.1 детализируется постановка задачи

(2). В разделе 4.2 вводится понятие СБКФ - совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных линейных систем (1) с учетом гладких возмущений, ограниченных вместе со своими производными до (л-1) -го порядка.

Определение 2. Совместной блочно-канонической формой управляемости и наблюдаемости будем называть эквивалентную модель вход-выход системы (1), полученную в результате неособых преобразований переменных состояния и управляющих воздействий, и имеющую блочную структуру вида

Pi = Ум> Р, = t Aj/j +DtxM+ Vi + QJ^, i = 1, fi -1; (28)

j-1

К = tA^y'j + DMxM + v + QJ, iu=tC^y'j + Ga +Smuu+ RJu_x;

¡=1 j-\

Tzx + A = colC,..... У„. ). /, = C0K17. /7,-, V(M> ). det Tx Ф 0, (29) т.е. переменные системы (28) - координаты выходного вектора (или их линейно независимые комбинации) и их производные до { и -1) -го порядка -

связаны с перемешшми х неособыми преобразованиями (29), в которых задействованы компоненты вектора возмущений tj и их производные до

С" — 2)-ГО порядка, Tiyyi = col(yi,yi) = у', detТ^фО, i = ft-l, dimy; =

= dimjiH = mi Ф 0, m0+... + mM=l, / + dimx/;=n, dim;?, = dimv; = p,

Pi +-+ P„=m 0> mo +dimMA = p , Tuu - col(v],...,vM,uM), det Tu ф0.

При dim = 0 СБКФ (28) называется полной, при dim х^ф 0 - неполной, где переменные хц могут быть и ненаблюдаемыми, и неуправляемыми. Для работоспособности неполной СБКФ достаточно выполнения (7).

Аналогично СБФВВ (б), в СБКФ (28) векторы yi+, в подблоках относительно у, трактуются как фиктивные управления в задаче слежения, и как фиктивные выходы в задаче наблюдения (здесь ум - линейные комбинации переменных состояния, возмущающих воздействий и их производных (29) в отличие от традиционной задачи наблюдения указанных координат по отдельности, которая может не иметь решения). Сформулированы и доказаны условия существования СБКФ, аналогичные теореме 4. Отличие заключается в том, что выполнение условий согласования (10) не требуется, что расширяет класс систем (1), в которых задача слежения может быть решена в асимптотике (2) инвариантно к действию внешних возмущений.

В разделе 4.3 разработана пошаговая процедура трансформации системы (1) в СБКФ (28), в которой проверка условий теоремы 4, замены переменных и преобразования подобия разделяются на операции, размерность которых сокращается с каждым шагом. Каждый г'-й (/' = 1,//, р<п) шаг процедуры (см. рис. 3 и замечание 1) состоит в общем случае из следующих операций: П1 - получение дифференциального уравнения относительно переменных у, <= Rm'-' (г -го блока СБКФ) и его анализ, ограничешгем является отсутствие операций дифференцирования компонент вектора управления и, т.к. задача решается без расширения пространства состояний; П2 - приведение i -го блока к регулярной форме относительно истинного управления, что позволяет сформировать линейные комбинации / -х производных выходных

переменных ум е R1"' («, < m,ч), подлежащих повторному дифференцированию; ПЗ - закрепление за г-й группой выходных переменных «своих» управляющих воздействий с неособой заменой координат вектора управления; П4 - аннулирование в непреобразованной подсистеме управлений, закрепленных за j -ми (j = 1, /') группами выходных переменных.

На каждом шаге комплексно проверяются условия существования СБКФ и пролонгации/окончания процедуры: (А г ?) - все переменные состояния -Т преобразованы в новые переменные v,,...,>',, >', е Л'""1, т0 +...+ =п (А/*) или нет т0 +...+т1_] < п (A i **); (В/?) - все выходные

переменные обеспечены истинным управлением рх + ...+р, = т0 < р (В / *) или нет рх +... + р: < т0 (В i **); (С г ?) - окончание, если да, + р, < /и;_, или т: + р1 = т1_1, р1 + ...+ р,= р (Сг*), или пролонгация процедуры, если

= т/-1. л = о (с/**)или т, + р,. = , <р, р,>о (а***)■

Начало

/:=1, тйФ О

А.

АН

т В/?

Полная

А /

Синтез обратной связи

П1

В/?

Неполная СБКФ

Система работоспособна?

Аж

с»?

С/'

/:=/ + !

С/

П2 ПЗ

П4

1 НЕТ

Аппаратная доработка системы или корректировка цели управления

т,

Рис. 3. Блок-схема процедуры получения СБКФ

Опишем первый шаг процедуры преобразований. А1) В системе (1), где гапкО = т0 ф 0, выполняется одно из условий: .„ -п (сМт^ = (Нтх) (А1*); т0 < п (<Иту, <сИтх) (А1**).

А1*, П1) После дифференцирования ух=Вх в силу системы (1) и обратной подстановки х = И~1ух, * 0 имеем

у, ^„у^и + й'Ь 4,= ЛИГ1, Вх = ЭВ , Ql = Б<2. (30)

В1) Обозначим гапкВ, = р1 < р. В системе (30) выполняется одно из условий: р1 = ?п0 (гапкД = с1]'т у, ) (В1*) - получена полная СБКФ (28), состоящая из одного блока (30); р1 <т0 (гапкй, < сПт у,) (В1**) - часть выходных переменных не обеспечена истинным управлением и будет вынуждена отрабатывать «чужие» задающие воздействия. Процедура заканчивается.

А1**, П1) Перегруппируем вектор состояния х = со1(х,, х,), х, еГ', х, е/?"~ш° так, чтобы в линейном разложении у, = Вх = Бихх+ Вх2хх вы-

поднялось условие det£>n Ф 0. Выполнив неособую замену переменных

л-н>Гг

У\

Du I

, detru ф 0,

п-т„ у

представим систему (1) в виде двух подсистем

j, =/!„>', +Bxu + Qtf, x1=Cuyl + G,;«, +5,м + Л1?7,

где Г,

■^-tesMiMi

В1) В первой подсистеме (31) выполняется одно из условий: (В1*) или (В1**). В случае (А1 **, В1*) система (31) является неполной СБКФ, проверяется ее работоспособность (Re A(G:) < 0?). В случае (Al**, В1**) процедура продолжается.

С1) В (31) выполняется одно из условий: rank(i), Я,) < т0 или rank(Z), Д)= т0 и рх= р (С1*) - в первом варианте часть выходных пере-ме1шых не обеспечивается фиктивным управлением, в качестве которого рассматриваются переменные хх, а во втором - уже фиктивные управления дг, не обеспечены истинным управлением м, процедура заканчивается; dim у, = rankD, = тй и р1-0 (С1**) - получен первый блок СБКФ вида

Л ->'з> У2 е Л™' > т\ - тч = переходим на второй шаг, где аналогичные построения применяются ко второй подсистеме (31) с фиктивным выходом У2 =АпУ\+ Dixi + Q\T1\ dim у, = гапк(д В,) = ml + pl=mQ и 0 < рх < р (С1***) - выполняем аннулирующие преобразования, которые позволят непосредственно сформировать комбинацию производных у\, которые не зависят от управления и подлежат повторному дифференцированию.

П2) Переставим строки и расщепим первую подсистему (31):

5i =

А)

уМ»

. Ai =

. А

А.

а =

(32)

где гапкй, = rank/?, = dimy, = р,, dim yx=ma-pl=mi, 0 < p,< m(1. Обнулим линейно зависимые строки матрицы 5, с помощью неособой замены перемешшх у, = у, - , где = В{, В' ~ ByB* :

>1 ^,2

II ___✓ = ' ^12 =

У W

где Tv

D, В, D, Вг rank(Z)1 Б,)

Д О

А 5,.

Г > 12

Д..

т~> = ■чз

detТп ФО,

(33)

а у

Л.

с Т'1 = г

= m1 + />, -m0=> rankD, = от, = dim у,, /и, * 0.

Если В1 = О, то Г12 = / с точностью до перестановок. ПЗ) Во втором подблоке (33) р1 управляющих координат, соответствующих базисным столбцам матрицы В,. фиксируются в качестве управлений для р1 компонент вектора у\ с помощью неособой замены Вхи = V,:

5,2

щ f \

LdetJ^O, В,={Ви 512) (34)

det Ви * 0, и,, v, е Д л, и2 е R™, = IPi, ЗД^ = (Ри S,').

В результате преобразований (32)-(34) система (31) принимает вид

Ji =А:У' +А*1 +0,П = Уг, ух=Лиу\ + Dxxx +v, +Qxtj,

. . . (j5)

x^C^, +Glxl+Pnv1+Slu2+RlT],

где y2 g Rm - линейные комбинации первых производных выходных переменных, подлежащие повторному дифференцированию. Тот факт, что неособая замена у2 = Аиу\+Dlxi+Qlrj, где rankD, = dimуг = /и,, зависит от внешних возмущений, приведет после дифференцирования к появлению их производных, что допустимо в рассматриваемом классе систем.

П4) С целью исключить из дифференциального уравнения относительно у2 управляющие воздействия v,, зарезервированные для у\, выполним неособую замену переменных и соответствующие преобразования подобия:

Уг =Уг -ВД, Уг е , В21 = АИ +ЦРп, (36) _ . _ \ N ( I О ^

4Уг = тА У: = * , Г]4 = й , detТ14 #0.

UJ U'J lj

Переходим на второй шаг, где аналогичные преобразования выполняются для последней подсистемы (35) с фиктивным выходом (36), и т.д.

Для любых реализаций СБКФ (28) справедливо утверждение 1.

В разделе 4.4 на основе СБКФ (28) разработана блочная процедура синтеза обратной связи, обеспечивающая асимптотическую сходимость выходных переменных к заданным траекториям инвариантно к внешним возмущениям. Аналогично (18)-(19) выполнена группировка вектора состояшм СБКФ (28). В результате выходные переменные путем перестановок разделяются на непересекающиеся группы с одинаковой относительной степенью

Тпу1=со\(у,,у12,у13,...,у^), (v,=l), yu€RPl (v.=i, i = 2,u),

дифференциальные уравнения относительно которых являются первыми блоками блочно-канонических квадратных подсистем вход-выход. В каждой подсистеме полученной системы решается задача слежения за соответствующими траекториями 7"12g- = colCg,,^^,^^,...,^), которая сводится к задаче стабилизации невязок е, = у, - g, 0, ej е Rp] , е.. = уи -gl --> 0,

еп е Лл , / = 2,р и решается процедурно на основе блочного принципа, что позволяет разделить задачу синтеза размерности / = р{ +2рг + + на последовательно решаемые элементарные задачи формирования фиктивных, а потом и истинных комбинированных управлений в каждой г'-й (/ = ],«) подсистеме. Для информационного обеспечения базовых законов управления разработана процедура синтеза наблюдателей на скользящих режимах, позволяющих за теоретически конечное время решить задачу оценивания составляющих базовых законов управления. Синтез наблюдателей также разделяется на независимо решаемые элементарные подзадачи синтеза разрывных корректирующих воздействий, амплитуды которых выбираются на основе достаточных условий возникновения скользящих режимов, имеющих вид неравенств. По принципам организации данные процедуры аналогичны процедурам синтеза из раздела 3.4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе при исследовании в рамках блочного подхода задачи слежения за заданными траекториями выходных (измеряемых и регулируемых) переменных линейных динамических стационарных систем при действии внешних неконтролируемых возмущений различного типа:

1) предложена концепция эквивалентных моделей вход-выход линейных систем, имеющих блочную структуру, с учетом внешних возмущений различного типа (СБФВВ - без предположения о гладкости внешних возмущений, СБКФ - в предположении об их гладкости);

2) получены ранговые условия существования СБФВВ, СБКФ;

3) разработаны декомпозиционные процедуры трансформации математической модели объекта управления в СБФВВ, СБКФ, которые позволяют комплексно исследовать структурные свойства исходных систем: инвариантность в асимптотике, управляемость и наблюдаемость относительно выхода;

4) разработаны процедуры блочного синтеза инвариантных систем слежения на основе СБФВВ, СБКФ;

5) разработаны методы информационного обеспечения алгоритмов управления с помощью наблюдателей на скользящих режимах, имеющих структуру СБФВВ, СБКФ с замкнутыми локальными связями, что позволяет декомпозировать процедуру синтеза разрывных корректирующих воздействий наблюдателя и за теоретически конечное время получить текущие оценки составляющих базовых законов комбинированного управления. Данный подход существешю упрощает структуру регулятора, не требует построения моделей возмущающих и задающих воздействий.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Краснова С.А., Ахобадзе А.Г. Каскадный подход к управлению выходными переменными при наличии внешних возмущений // Тезисы докладов международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем», DSMSI. Киев, 22-25 мая 2007. С. 57.

2. Краснова С.А., Ахобадзе А.Г. Структурные свойства линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений // Тезисы V международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве». Тирасполь. 3-6 июня 2007. С. 46-48.

3. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Декомпозиционный анализ и синтез линейных динамических систем относительно выходных переменных // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'08. Москва. 28-31 января 2008. С 960-976.

4. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Инвариантность к возмущениям и стабилизация выходных сигналов линейных динамических систем. М: ИПУ РАН. 2008. Труды Института. Том XXVIII. С. 37-54.

5. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Блочные формы динамических систем относительно выходных переменных при наличии внешних возмущений // Труды III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления (ВМКПУ'2008). 7-9 апреля 2008. М.: ИПУ РАН. 2008. С. 17-18.

6. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Блочные методы анализа и синтеза нелинейных динамических систем относительно выходных переменных // Тезисы докладов X Международного семинара им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». 3-6 июня 2008. Москва. С. 34-35.

7. Utkin V.A., Krasnova S.A., Akhobadze A.G. Tracking problem on output values under effect of external disturbances // Proc. of 10th International workshop on variable structure systems WS'08. June 8-10, 2008. Turkey. P. 238-243.

8. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Декомпозиционный анализ разрешимости задачи слежения в нелинейных динамических системах // Труды международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'09. Москва. 26-30 января 2009. С. 1422-1447.

9. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Решение задачи слежения в условиях неопределенности на основе совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости / Управление большими системами. Выпуск 24. М.: ИПУ РАН, 2009. С.34-80.

10. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Задача слежения в линейных многомерных системах при наличии внешних возмущений // АиТ. 2009. №6. С. 18-44.

Личным вкладом соискателя в работах [1, 2, 4] является разработка процедур приведения исходной системы к БФОВВ и доказательство теорем. В работах [3, 5-9] - разработка процедуры приведения исходной системы к СБФВВ, формулировка условий ее существования, разработка процедуры и формулировка условий существования СБКФ [10]. Научным руководителем д.т.н. С.А. Красновой сформированы общая идея работы и предварительные формулировки основных процедур и теорем.

Подписано в печать 10.1 ¡.2009. Формат 60x90/16. Бумага офсетная 1.0.п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 2174

^™>!\гис'кивскш О ГОСУДАРСТВЕННОГО горного университета

Лицензия на издательскую деятельность ЛР Лг 062809 Код издательства 5X7(03)

Отпечатано в типографии Издательства Московского государственного горного университета

119991 Москва, ГСП-1, Ленинский проспект, 6; Издательство МГГУ; тел. (495) 236-97-80; факс (495) 956-90-40

Оглавление автор диссертации — кандидата физико-математических наук Ахобадзе, Анна Гурамиевна

Введение.

Глава 1. Проблемы анализа и синтеза следящих систем.

Основные положения блочного подхода.

1.1. Описание проблемы управления выходными переменными 10 объектов автоматического управления.

1.1.1. Постановка задачи.

1.1.2. Проблема отображения.

1.1.3. Виды и источники неопределенностей.

1.2. Расширенная задача слежения.

1.2.1. Алгебраический подход.

1.2.2. Геометрический подход.

1.3. Блочные формы линейных динамических систем.

1.3.1. Блочная форма управляемости.

1.3.2. Блочная форма наблюдаемости.

1.4. Системы с разрывными управлениями, функционирующими в скользящем режиме.

1.4.1. Условия попадания и скольжения.

1.4.2. Метод эквивалентного управления.

1.4.3. Идеальный и реальный скользящий режим.

1.4.4. Наблюдатели состояния на скользящих режимах.

1.5. Цели и задачи диссертационной работы.

Глава 2. Блочный анализ выходного отображения.

2.1. Основные типы неособых преобразований.

2.1.1. Регулярная форма относительно управления.

2.1.2. Замена координат вектора состояния выходными переменными.

2.2. Блочная форма общего вида относительно выходных переменных с учетом внешних возмущений (БФОВВ).

2.2.1. Процедура получения блочного выходного отображения.

2.2.2. Условия окончания процедуры.

2.3. Условия существования решения различных задач управления относительно выходных переменных.

2.3.1. Наблюдаемость относительно выходных переменных

2.3.2. Инвариантность выходных переменных.

2.3.3. Слежение за заданными траекториями выходных переменных.

2.4. Краткие выводы.

Глава 3. Блочный анализ и синтез следящих систем при действии неконтролируемых возмущений без предположения об их гладкости

3.1. Постановка задачи.

3.2. Совместная блочная форма управляемости и наблюдаемости линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений без предположения о гладкости (СБФВВ).

3.3. Процедура конструктивного анализа.

3.4. Декомпозиционный синтез обратной связи на основе СБФВВ

3.5. Краткие выводы.

Глава 4. Блочный анализ и синтез следящих систем при действии гладких неконтролируемых возмущений.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Совместная блочно-каноническая форма управляемости и наблюдаемости (СБКФ).

4.3. Процедура конструктивного анализа.

4.4. Декомпозиционный синтез обратной связи на основе СБКФ

4.5. Краткие выводы.

Введение 2009 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Ахобадзе, Анна Гурамиевна

Актуальность работы. В диссертационной работе изучается задача слежения за заданными траекториями выходных переменных объекта автоматического управления. Несмотря на то, что рассматриваемая математическая модель объекта управления представлена линейной динамической системой, она имеет такие качественные признаки сложной системы как высокую размерность, многоканальность, неполноту измерений переменных вектора состояния, допускается неопределенность параметров. На систему действуют внешние неконтролируемые возмущения, не имеется аналитического описания задающих воздействий и, как следствие, информации об их производных. Такие особенности присущи достаточно широкому классу современных систем автоматического управления различного назначения. Учитывая, что задача слежения является одной из основных при автоматизации технологических объектов, ее разработка представляется актуальной проблемой современной теории и практики управления.

В указанных условиях возможность обеспечить асимптотическую сходимость выходных сигналов к задающим воздействиям определяется не только структурными свойствами оператора объекта управления, но также возможностью восстановить текущую информацию об объекте управления и среде его функционирования, требуемую для синтеза обратной связи и компенсации действия имеющихся неопределенностей. Требуется найти комплексное решение задач оценивания и синтеза обратной связи, обеспечивающее робастность и инвариантность замкнутой системы слежения.

Задача слежения при наличии внешних возмущений достаточно полно изучена в рамках геометрического и вариационного подходов в расширенной постановке, в предположении, что возмущающие и задающие воздействия порождаются автономными динамическими моделями с известными параметрами (У.М. Уонем, Ю.Н. Андреев и др.). В то же время проблемы синтеза следящих систем при наличии неконтролируемых внешних воздействий, модель которых неизвестна, недостаточно представлены в современных публикациях и требуют привлечения и разработки специальных методов для комплексного решения задач оценивания и синтеза обратной связи, обеспечивающей инвариантность в асимптотике замкнутой системы слежения.

Важной особенностью рассматриваемого объекта управления настоящего исследования является многомерность и многоканальность. В таких системах, как правило, возникает необходимость в предварительном преобразовании исходной модели в канонические формы, в терминах которых проблемы анализа и синтеза упрощаются, а формулировка результатов значительно облегчается по сравнению с формулировкой в терминах исходной системы. Конструктивным приемом в решении задачи слежения как линейных, так и нелинейных динамических систем является неособое преобразование координат вектора состояния, приводящее к эквивалентной системе вход-выход, непосредственно отражающей связи входных и выходных переменных (А. Исидори, И.В. Мирошник и др.). Наиболее целесообразным является прямой метод - получение выходного отображения исходной системы путем многократного дифференцирования выходных переменных с целенаправленной неособой заменой координат вектора состояния координатами выходного вектора и их производными.

В качестве методологической основы декомпозиции как задачи анализа, так и задачи синтеза в работе используется блочный подход, основы которого предложены в середине 80-х годов прошлого века (А.Г. Лукьянов, В.А. Уткин, В.И. Уткин, П. Кокотович), и который обладает большей конструктивностью, а также грубостью к вариациям параметров по сравнению с известными каноническими представлениями. К настоящему времени в рамках блочного подхода разработаны декомпозиционные процедуры анализа и синтеза задач стабилизации и наблюдения применительно к многомерным системам общего вида, в том числе и при наличии внешних возмущений. Суть блочного метода заключается в том, что в ходе неособых однотипных элементарных преобразований математической модели удается выявить соответствующие структурные свойства (управляемости и наблюдаемости) и представить систему в блочном виде, определяющем архитектонику декомпозиционного синтеза соответствующей задачи. Однако данные результаты, хотя и решают проблему «большой размерности», не находят непосредственного применения в задаче управления выходными переменными, требующей комплексного анализа и синтеза указанных проблем. Блочные формы наблюдаемости и управляемости исходной системы, как правило, не совпадают, задачи наблюдения и собственно управления решаются относительно разных координатных базисов, что требует при синтезе обратной связи выполнения прямых и обратных преобразований в реальном времени.

Возникает естественное желание упростить структуру регулятора, сформулировав и задачу наблюдения, и задачу собственно управления выходами в терминах совместной эквивалентной блочной формы управляемости и наблюдаемости, на основе которой обе задачи будут решаться относительно одних и тех же блоков преобразованных координат, что позволяет избежать выполнения прямых и обратных замен переменных в реальном времени. В рамках блочного подхода синтез обеих задач будет сведен к последовательному решению элементарных подзадач стабилизации невязок, размерности которых равны размерностям блоков блочной формы.

Рассматриваемые в диссертационной работе задачи управления выходными переменными объектов автоматического управления являются развитием блочного подхода и метода разделения движений в классе систем с разрывными управлениями. В отличие от известных покомпонентных децентрализованных форм, в данной работе предлагается блочная структура эквивалентной модели, которая состоит из связанных подсистем вход-выход различной размерности с учетом возмущений. В каждой подсистеме группы компонент выходного вектора регулируются «своими» управляющими воздействиями (или непосредственно, или через цепочку интеграторов), не влияющими на поведение других выходных координат, и в которых имеется возможность устранить или компенсировать внутренние перекрестные связи и внешние возмущения с помощью обратной связи.

Цель работы состоит в изучении структурных свойств линейных стационарных динамических систем общего вида относительно выходных (регулируемых и измеряемых) переменных при действии внешних возмущений различного типа и последующий синтез инвариантных систем слежения в рамках блочного подхода. Основные задачи работы:

- разработать процедуры приведения математической модели объекта управления к совместным блочным формам управляемости и наблюдаемости, которые комплексно отражают структурные свойства оператора объекта управления (инвариантность, управляемость и наблюдаемость относительно выходных переменных) с учетом возмущений различного типа;

- получить ранговые условия существования совместных блочных форм;

- на основе совместных блочных форм разработать декомпозиционные процедуры синтеза базовых (т.е. в предположении об измеряемости всех переменных) законов комбинированного управления, обеспечивающих асимптотическую сходимость выходных переменных к заданным траекториям инвариантно к действию внешних возмущений;

Указанный комплекс задач определяет структуру и содержание диссертационной работы, состоящей из четырех глав.

Первая глава имеет обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 формулируется постановка задачи слежения по выходным переменным объекта автоматического управления, обсуждается комплекс проблем, которые возникают при ее решении. В разделе 1.2 рассматривается расширенная задача слежения с учетом динамических моделей задающих и возмущающих воздействий. В следующих разделах на содержательном уровне изложены специальные разделы современной теории автоматического управления, используемые в диссертационной работе. В разделе 1.3 представлены основные положения одного из методов декомпозиции - блочного подхода. В разделе 1.4 описываются особенности систем с разрывными управлениями, функционирующими в скользящем режиме. В разделе 1.5 определяются цели и задачи диссертационной работы.

Во второй главе в рамках блочного подхода изучаются структурные свойства линейных многомерных динамических систем при действии внешних возмущений без предположения об их гладкости в задачах управления выходными переменными. В разделе 2.1 вводятся основные типы неособых линейных преобразований, используемых в рамках блочного подхода. В разделе 2.2 вводится понятие блочной формы общего вида относительно выходных переменных с учетом внешних возмущений (БФОВВ), разработана пошаговая процедура ее получения. В разделе 2.3 в терминах БФОВВ формализованы условия наблюдаемости и инвариантности относительно выходных переменных, а также условия, при которых БФОВВ является совместной формой управляемости и наблюдаемости с учетом возмущений, что является предпосылкой решения задачи слежения.

В третьей главе исследуется задача слежения за заданными значениями выходных переменных при действии внешних неконтролируемых возмущений без предположения об их гладкости. В разделе 3.1 детализируется постановка задачи. В разделе 3.2 сформулированы достаточные условия существования совместной блочной формы управляемости и наблюдаемости линейных систем относительно выходных переменных с учетом возмущений (СБФВВ). В разделе 3.3 в рамках блочного подхода разработана пошаговая процедура приведения математической модели объекта управления к СБФВВ. В разделе 3.4 на основе полученной блочной формы разработана декомпозиционная процедура синтеза обратной связи, обеспечивающая отработку выходными переменными заданных траекторий инвариантно к действию внешних возмущений. Для информационного обеспечения базовых законов управления используются наблюдатели состояния на скользящих режимах, позволяющие решить задачу оценивания ошибок преобразованной системы, имеющихся неопределенностей и внешних возмущений за теоретически конечное время.

В четвертой главе исследуется задача слежения за заданными значениями выходных переменных при действии внешних неизвестных гладких возмущений с ограниченными производными в общем случае до (я-1)-го порядка. В разделе 4.1 детализируется постановка задачи. В разделе 4.2 вводится понятие совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости линейных систем с учетом возмущений рассматриваемого класса (СБКФ), формализуются условия ее существования. Показано, что предположение о гладкости внешних возмущений расширяет класс линейных систем, в которых задача слежения решается в асимптотике инвариантно к действию внешних возмущений. В разделе 4.3 разработана пошаговая процедура трансформации математической модели исходной системы в СБКФ. На основе СБКФ в разделе 4.4 разработана декомпозиционная процедура синтеза комбинированной обратной связи, которая сводится к последовательно решаемым элементарным подзадачам стабилизации и обеспечивает асимптотическую сходимость выходных сигналов к заданным траекториям инвариантно к внешним возмущениям. Для информационного обеспечения базовых алгоритмов управления разработана процедура синтеза наблюдателей состояния на скользящих режимах, позволяющих за теоретически конечное время решить задачу оценивания составляющих базового закона управления, что существенно упрощает структуру регулятора. В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы.

2) получены ранговые условия существования СБФВВ, СБКФ;

4) разработаны процедуры блочного синтеза инвариантных систем слежения на основе СБФВВ, СБКФ;

5) разработаны методы информационного обеспечения алгоритмов управления с помощью наблюдателей на скользящих режимах, имеющих структуру СБФВВ, СБКФ с замкнутыми локальными связями, что позволяет декомпозировать процедуру синтеза разрывных корректирующих воздействий наблюдателя и за теоретически конечное время получить текущие оценки составляющих базовых законов комбинированного управления. Данный подход существенно упрощает структуру регулятора, не требует построения моделей возмущающих и задающих воздействий.

Научная новизна диссертационной работы.

1) В постановке задачи слежения предполагается, что система функционирует в условиях целого комплекса неопределенностей: только выходные (регулируемые) переменные подлежат измерениям; на систему действуют внешние неконтролируемые возмущения; допускается параметрическая неопределенность оператора объекта управления; не имеется аналитического описания задающих воздействий. Задача рассматривается без расширения пространства состояний.

2) Разработаны принципы организации и построения эквивалентных моделей вход-выход, имеющих блочную структуру: совместной блочной формы управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных с учетом возмущений без предположения об их гладкости (СБФВВ); совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости с учетом гладких возмущений (СБКФ). Сформулированы ранговые условия существования СБФВВ, СБКФ в терминах исходной системы.

4) Использование наблюдателей на скользящих режимах для информационного обеспечения базовых законов управления является альтернативой по отношению к расширенным постановкам задач слежения, так как не требует построения динамических моделей возмущающих и задающих воздействий и позволяет существенно снизить объем априорной информации об объекте управления и среде его функционирования.

Практическая значимость. Разработанные процедуры анализа и синтеза инвариантных систем слежения, опирающиеся на структурные свойства объекта управления, функционирующего в условиях неопределенности, достаточно универсальны, могут быть реализованы посредством вычислительной техники, что определяет возможность внедрения разработанных алгоритмов в АСУ современными сложными технологическими объектами различного назначения.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем», DSMSI (Киев, 2007); «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2007); «Идентификация систем и задачи управления», SICPRO (Москва, 2008, 2009); III Всероссийской молодежной конференции по проблемам управления, ВМКПУ (Москва, 2008); X Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008); X Международном семинаре по системам с переменной структурой, VVS (Турция, Анталия, 2008), а также на семинарах МГТУ им. Н.Э. Баумана, ИПУ РАН.

Работа выполнена в рамках комплексного проекта фундаментальных исследований РАН 2.4.2, 2422/07 (тема 3.4.1, 3412/07).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе две [5, 6] в журналах, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура работы. Диссертация изложена на 134-х страницах, состоит из введения, 4-х глав, заключения, 8 рис., списка литературы (100 наименований).

Заключение диссертация на тему "Блочный синтез инвариантных систем слежения"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В задаче слежения (в отличие от задачи стабилизации) основная проблема заключается в том, что, как правило, регулируемые переменные не связаны непосредственно с управляющими воздействиями. Возникает необходимость отображения задач, сформулированных для выходных переменных, в пространство состояний, что не тривиально для многомерных, многоканальных систем. Для разрешимости задачи слежения даже в условиях полной определенности оператор объекта управления должен удовлетворять специфическим условиям: стандартные предположения об управляемости и наблюдаемости не обуславливают существование закона управления, обеспечивающего отслеживание выходными переменными задающих воздействий, являющихся переменными функциями времени. В свою очередь, наличие комплекса неопределенностей (неполнота измерений, действий внешних неконтролируемых возмущений, неопределенность целевого условия) требует привлечения и разработки специальных методов синтеза и информационного обеспечения.

Методологической основой разработанных в диссертации процедур анализа и синтеза следящих систем, функционирующих в условиях неопределенности, связи является метод разделения движений в классе систем с разрывными управлениями и блочный подход, достаточно хорошо развитый применительно к задачам стабилизации и наблюдения. Центральная проблема диссертационной работы заключается в исследовании структурных свойств линейных динамических систем относительно выходных переменных и формулировка условий, при которых система приводима к совместным блочным формам управляемости и наблюдаемости относительно выходных переменных с учетом внешних возмущений различного типа (СБФВВ, СБКФ). На основе таких форм и задача наблюдения, и задача собственно управления выходными переменными могут быть решены в одном и том же новом координатном базисе, минуя обратные преобразования. При таком подходе сохраняются основные преимущества указанных методов: декомпозиция процедур анализа и синтеза, инвариантность в асимптотике выходных переменных к внешним возмущениям.

1) предложена концепция эквивалентных моделей вход-выход линейных систем, имеющих блочную структуру, с учетом внешних возмущений различного типа (СБФВВ — без предположения о гладкости внешних возмущений, СБКФ — в предположении об их гладкости);

2) получены ранговые условия существования СБФВВ, СБКФ;

4) разработаны процедуры блочного синтеза инвариантных систем слежения на основе СБФВВ, СБКФ;

5) разработаны методы информационного обеспечения алгоритмов управления с помощью наблюдателей на скользящих режимах, имеющих структуру СБФВВ, СБКФ с замкнутыми локальными связями, что позволяет декомпозировать процедуру синтеза разрывных корректирующих воздействий наблюдателя и за теоретически конечное время получить текущие оценки составляющих базовых законов комбинированного управления. Данный подход существенно упрощает структуру регулятора, не требует построения моделей возмущающих и задающих воздействий.

Библиография Ахобадзе, Анна Гурамиевна, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

2. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Инвариантность к возмущениям и стабилизация выходных сигналов линейных динамических систем. М: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2008. Труды Института. Том XXVIII. С. 37-54.

3. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Решение задачи слежения в условиях неопределенности на основе совместной блочно-канонической формы управляемости и наблюдаемости / Управление большими системами. Выпуск 24. М.: ИЛУ РАН, 2009. С.34-80.

4. Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Задача слежения в линейных многомерных системах при наличии внешних возмущений // АиТ. 2009. №6. С. 18-44.

5. Белман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Едитория УРСС, 2003.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

7. Геращенко Е.И., Геращенко С.М. Метод разделения движений и оптимизация нелинейных систем. М.: 1975.

8. Ю.Дракунов C.B., Изосимов Д.Б., Лукьянов А.Г., Уткин В.А., Уткин В.И. Принцип блочного управления // АиТ. 1990. Часть 1. №5. С.38-47; Часть 2. №6. С.20-32.

9. П.Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.

10. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.

11. З.Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физмат-лит, 2003.

12. Ивахненко А.Г. Об условиях абсолютной инвариантности автоматических систем // Автоматика. №3. 1987. С. 90-91.

13. Исследования по теории многосвязных систем / Сб. под ред. Б.Н. Петрова. М.: Наука, 1982.

14. Ильин A.B., Коровин С.К., Фомичев В.В. Об уравнениях и свойствах нулевой динамики линейных управляемых стационарных систем // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42. № 12. С. 1626-1636.

15. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

16. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

17. Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

18. Колесников A.A. Прикладная синергетика: основы системного синтеза. -Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2007.

19. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

20. Краснова С.А., Кузнецов С.И. Оценивание на скользящих режимах неконтролируемых возмущений в нелинейных динамических системах // АиТ. 2005. №10. С. 54-69.

21. Краснова С.А., Уткин В.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. М.: Наука, 2006.

22. Краснова С.А., Уткин В.А., Уткин A.B., Нгуен Тхань Тиен. Прямой метод синтеза системы управления рабочим органом манипулятора при неполных измерениях // Проблемы управления. № 1. 2008 г. С. 10-18.

23. Краснова С.А., Уткин В.А., Уткин A.B. Блочный синтез управления механическими системами в условиях неопределенности // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2009. №6. С. 41-54.

24. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.

25. Красовский H.H. Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985.

26. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. Киев: Наукова Думка, 2006.

27. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

28. Мееров М.В. Исследование и оптимизация многосвязных систем управления. М.: Наука, 1986.31 .Мисриханов М.Ш. Инвариантное управление многомерными системами. Алгебраический подход. М.: Наука, 2007.

29. Мирошник И.В., Никифоров В.А., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

30. Мирошник И.В. Согласованное управление многоканальными системами. JL: Энергоатомиздат, 1990.

31. Нгуен Куанг Хынг, Уткин В.А. Задачи управления двигателем постоянного тока // АиТ. №5. 2006. С. 102-118.

32. Петров Б.Н., Рутковский В.Ю., Земляков С.Д. Адаптивное координатно-параметрическое управление нестационарными объектами. М.: Наука, 1980.

33. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

34. Проскурников A.B., Якубович В.А. Задача об инвариантности системы управления по части выходных переменных // Доклады РАН. 2006. Т 406. С. 30-34.

35. Розоноэр JT. И. Вариационный подход к проблеме инвариантности систем автоматического управления // АиТ. 1963. Часть 1. № 6. Т. 24. С. 744—757.

36. Сиротина Т.Г., Нгуен Куанг Хынг, Уткин В.А. Использование сигмои-дальных обратных связей в электроприводах постоянного тока // М: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2006. Труды Института. Том XXVII. С. 78-85.

37. Солнечный Э.М. Вырожденные системы и их использование в задачах синтеза заданного поведения. М.: Наука, 1989.

38. Теория систем с переменной структурой / Под ред. C.B. Емельянова. М.: Наука, 1970.

39. Труды Научного семинара «70 лет теории инвариантности» / Под ред. С.Н. Васильева; сост. А.П. Курдюков. -М.: Изд-во ЯКИ, 2008.

40. Уонем У. М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход. М.: Наука, 1980.

41. Уткин A.B. Метод расширения пространства состояния в задаче синтеза автономного управления // АиТ. 2007. № 6. С. 81-98.

42. Уткин В.А. Инвариантность и автономность в системах с разделяемыми движениями // АиТ. 2001. №11. С. 73-94.

43. Уткин В.А., Уткин В.И. Метод разделения в задачах инвариантности // АиТ. 1983. №12. С. 39^48.

44. Уткин В.И., Янг К.Д. Методы построения плоскостей разрыва в многомерных системах с переменной структурой // АиТ. 1978, №10. С. 72-77.

45. Уткин В.И. Принципы идентификации на скользящих режимах // ДАН СССР. 1981. Т. 257. №3. С. 558-561.

46. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1987.

47. Филиппов А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Математические заметки. 1980. Т. 27. № 2. С. 255-266.

48. ЦыпкинЯ.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

49. Щипанов Г.В. Теория и методы построения автоматических регуляторов // АиТ. 1939. № 1.С. 4-37.

50. Якубович В.А. Синтез стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих независимость выходной переменной системы управления от внешнего воздействия // Доклады РАН. 2001. Т. 380. №1. С.27-30.

51. Aguiar А.Р., Hespanha J.P., Kokotovic P.V. Zero Dynamics and Tracking Performance Limits in Nonlinear Feedback Systems // Analysis and Design of Nonlinear Control Systems. P. 3. Berlin: Springer- Heidelberg. 2008. P. 149159.

52. Aguiar A., Martinez-Guerra R., Maya-Yescas R. State estimation of partially unknown nonlinear systems: a class of integral high gain observers // IEEE Proceedings Control Theory and Applications. 2003. V. 150. № 3. P. 240-244.

53. Almedia D.I., Alvarez J. Robust synchronization of nonlinear SISO systems using sliding mode control // Nonlinear Dynamics. 2006. V.46. № 3. P. 293-306.

54. Aneke N.P.I., Nijmeijer H., de Jager A.G. Trajectory tracking by cascaded backstepping control for a second-order nonholonomic mechanical system // Nonlinear control in the Year 2000, V. 258. Berlin: Springer-Heidelberg. 2000. P. 35-47.

55. Bestle D., Zeits M. Canonical form observer design for non-linear observers with linearizable error dynamics // Int. J. Control, 1981, V. 23, P. 419-431.

56. Bobtsov A.A. A Robust Control Algorithm for Tracking the Reference Signal // Automation and Remote Control. 2003. V.64. № 6. P. 943-950.

57. Brunovsky P. On classification of linear control systems // Kybernetica. 1970. V. 6. P. 173-178.

58. Bukov V.N., Bronnikov A.M. Conditions for output invariance of linear systems // Automation and Remote Control. 2005. V.66. № 2. P. 189-199.

59. Byrnes C.I., Priscoli F.D., Isidori A. Output regulation of uncertain nonlinear systems. Boston: Birkhauser, 1997.

60. Chang J.L. Robust sliding mode control with disturbance attenuation using only output feedback // JSME International Journal. Series C. Mechanical System Machine elements and Manufacturing. 2003. V. 46. № 1. P 239-244.

61. Davison E.J. The output control of linear time-invariant systems with unmeas-urable arbitrary disturbances // IEEE Trans. 1972. V. AC 17. № 5. P. 621630.

62. Drazenovic B. The invariance conditions in variable structure systems // Automática. 1969. V.5. № 3. P. 287-295.

63. Driessen B.J., Duggirala V.M. Globally Asymptotic and Locally Exponential Tracking Observer/Controller for a Relatively Large Class of Systems with Hysteresis // Journal of Intelligent and Robotic Systems. 2007. V.50. № 2. P. 207-215.

64. Floquet T., Barbot J.P. An observability form for linear system with unknown inputs // Int. J. Control. 2006. №79. P. 132 139.

65. Herman R., Krener A.J. Nonlinear controllability and observability // IEEE Trans. Autom. Control, 1977, V. 22, № 5, P. 728-740.

66. Huang H.-C., Tsai C.-C. Adaptive Trajectory Tracking and Stabilization for Omnidirectional Mobile Robot with Dynamic Effect and Uncertainties // Proceedings of the 17th IF AC. Seoul, Korea, July 6-U, 2008. P. 5383-5388.

67. Huang Y.-J., Wang Y.-J. Steady-State Analysis for a Class of Sliding Mode Controlled Systems Using Describing Function Method // Nonlinear Dynamics. 2002. V.30. № 3. P. 223-241.

68. Jeong H.-S., Utkin V.I. Sliding mode tracking control of systems with unstable zero dynamics // Variable structure systems, sliding mode and nonlinear control, V. 247. Berlin: Springer- Heidelberg. 1999. P. 303-327.

69. Jian-Xin X., Abidi K. Output Tracking with Discrete-Time Integral Sliding Mode Control // Modern Sliding Mode Control Theory. V. 375. Berlin: Springer-Heidelberg. 2008. P. 247-268.

70. Isidori A. Nonlinear control systems. 3rd Ed. Berlin: Springer-Verlag. 1995.

71. Kalman R.E. Mathematical description of linear systems // SIAM J. Control. 1963. V.l P. 152-192.

72. Kalman R.E. Lectures on controllability and observability //CIME. Bologna. 1968.

73. Kokotovic P.V., O'Malley R.B. and Sannuti P. Singular perturbation and reduction in control theory // Automatica. 1976. № 12. P. 123-132.

74. Krstic M., Kanellakopoulos I. and Kokotovic P. Nonlinear and Adaptive Control Design. New York: Wiley, 1995.

75. Lefeber E., Robertsson A., Nijmeijer H. Linear controllers for tracking chained-form systems // Stability and Stabilization of Nonlinear Systems, V. 246. Berlin: Springer-Heidelberg. 1999. P. 183-199.

76. Liu P.T. An optimum approach in target tracking with bearing measurements // Journal of Optimization Theory and Applications. 1988. V.56. № 2. P. 205214.

77. Luenberger D.G. Observers of multivariable systems // IEEE Trans. 1966. Vol. AC-11. P. 190-197.

78. Luenberger D.G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. V. 12. P. 290-293.

79. Marino R., Tomei P. Nonlinear control systems design. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1995.

80. Martynyuk-Chernienko Y.A., Slynko V.I. Synthesizing Controls for an Uncertain System with a Conditionally Invariant Set // International Applied Mechanics. 2003. V.39. № 11. P. 1343-1353.

81. Morse A.S., Wonham W.M. Status of Non-interacting Control // IEEE Trans. Automat. Control. 1971. Vol. AC-16. № 6. P. 568-581.

82. Nijmeijer H., A.J. van der Schaft. Nonlinear Dynamical Control Systems. Berlin: Springer. 1990.

83. Nikolskii M.S. A nonlinear tracking problem // Cybernetics and Systems Analysis. 1973. V.9. № 2. P. 293-296.

84. Pan Y.-L. Robust Observer-Based Output Tracking Control of Nonlinear Systems with Sensor Measurement Delays // Proceedings of the 17th IF AC. Seoul, Korea. July 6-11, 2008. P. 2785-2790.

85. Proychev Ph. and Mishkov R.L. Transformation of Nonlinear Systems in Observer Canonical Form With Reduced Dependency on Derivatives of the Input // Automatica. 1993. Vol. 29. № 2. P. 495-498.

86. Rouchon P., Rudolph J. Invariant tracking and stabilization: problem formulation and examples // Stability and Stabilization of Nonlinear Systems, V. 246. Berlin: Springer-Heidelberg. 1999. P. 261-273.

87. Schumacher J. M. Compensator synthesis using (C,A,B,)-pairs // IEEE Trans. Automat. Control. 1980. Vol. AC-25. P. 1133-1138.

88. Slotine J.E. Sliding controller design for non-linear systems // Int. J. Control. 1984. Vol. 40, № 2. P.421-^34.

89. Slotine J.E., Sastry S.S. Tracking control of nonlinear systems using sliding surfaces with application to robot manipulators // Int. J. Control. 1983. Vol. 38. № 2. P. 465-492.

90. Slotine J.E., Hendricks J., Misawa E. On sliding observers for nonlinear systems // Trans, of the AMS. Journal of dynamic systems, measurement and control. 1987. V.9. P. 245-252.

91. Sokolov V.F. Adaptive Suboptimal Tracking for a First-Order Object under Lipschitz Uncertainty // Automation and Remote Control. 2003. V.64. № 3. P. 457-467.

92. Stadlmayr R., Schlacher K. Tracking Control for Port-Hamiltonian Systems Using Feedforward and Feedback Control and a State Observer // Proc. of the 17th IFAC. Seoul, Korea. July 6-11, 2008, P. 1833-1838.

93. Walcott B. L., Corless M. J. and Zak S. H. Observation of dynamical systems in the presence of bounded nonlinearities/uncertainties // Proc. of 25th Conference on Decision and Control. Athens. Greece. Dec. 1986. P. 961-966.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00