автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Инвариантные методы синтеза радиотехнических систем в конечномерных базисах и их применение при разработке радиолокационных систем сопровождения

ВВЕДЕНИЕ

1 ОПТИМАЛЬНОЕ РЕКУРРЕНТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ФИЛЬТРАЦИОННАЯ ОБРАБОТКА СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В БАЗИСАХ ФУНКЦИЙ ВИЛЕНКИНА-КРЕСТЕНСОНА

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Предварительные замечания.

1.1.2 Вещественная рекуррентная ш -модель случайного сигнала.

1.1.3 Векторное покадровое описание сигнала и критерии оптимальности.

1.2 Оптимальные рекуррентные т -представления сигнала в базисе ВКФ.

1.3 Комплексная рекуррентная т -модель сигнала и связанные с ней оптимальные представления.

1.4 Синтез рекуррентных т -фильтров с заданной амплитудно-частотной характеристикой.

1.5 Синтез оптимальных рекуррентных га-фильтров.

1.6 Обсуждение и анализ полученных результатов.

2 ФИДУЦИАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕКУРРЕНТНОЙ т-МОДЕЛИ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА

2.1 Постановка задачи.

2.2 Редукция выборочного пространства и нахождение минимальной достаточной статистики.

2.3 Вычисление плотности вероятностей минимальной достаточной статистики.

2.4 Вычисление фидуциальных распределений.

2.5 Построение оптимальных точечных оценок.

2.6 Проверка на адекватность и идентификация рекуррентной т -модели.

2.7 Обобщение полученных результатов на комплексную рекуррентную т -модель.

7.2 Постановка задачи.220

7.3 Построение алгоритма СНП для тракта вторичной обработки 228

7.3.1 Описание метода синтеза .228

7.3.2 Синтез рабочего алгоритма.232

7.3.3 Структурная схема алгоритма вторичной обработки . 234 7.4 Синтез алгоритма первичной обработки доплеровского канала РЛС.236

7.4.1 Особенности первичной обработки в режиме СНП . . . 236

7.4.2 Постановка задачи и основные этапы первичной обработки .238

7.4.3 Предварительная цифровая обработка сигнала . 241

7.4.4 Обнаружение сигнала.243

7.4.5 Расчет апостериорной вероятности правильного обнаружения .251

7.4.6 Оценивание параметров и спектральный анализ сигнала. Управление разрешающей способностью, частотная селекция помех.252

7.4.7 Структурная схема алгоритма первичной обработки . 257

8 РАДИОЛОКАЦИОННОЕ СОПРОВОЖДЕНИЕ

НА ПРОХОДЕ С СОХРАНЕНИЕМ ОБЗОРА 261

8.1 Введение.261

8.2 Постановка задачи.264

8.3 Синтез алгоритма СНП-0 для тракта вторичной обработки . 269

8.3.1 Описание метода синтеза .269

8.3.2 Синтез рабочего алгоритма.272

8.3.3 Структурная схема алгоритма вторичной обработки . 274

8.4 Синтез алгоритма первичной обработки доплеровского канала РЛС.276

8.4.1 Особенности первичной обработки в режиме СНП-0 . 276

8.4.2 Постановка задачи и основные этапы первичной обработки .278

8.4.3 Идентификация т-модели сигнала.281

8.4.4 Обнаружение сигнала .283

8.4.5 Оценивание параметров сигнала.288

8.4.6 Структурная схема алгоритма первичной обработки . 290

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 295

ЛИТЕРАТУРА 301

ВВЕДЕНИЕ

Формулировка проблемы и ее актуальность. Одним из основных направлений научно-технического прогресса в области теории и проектирования радиотехнических систем и устройств является разработка новых методов статистической обработки сигналов. Центральной проблемой этого направления является развитие теории и исследование методов выделения полезной информации из доступной наблюдению, регистрации и обработке смеси сигналов и помех. Важными классами задач этой проблемы являются: обнаружение сигналов на фоне помех, оценивание (фильтрация) параметров сигналов и спектральный анализ сигналов. Для этих классов задач к настоящему времени создана достаточно разработанная теория статистического синтеза соответствующих оптимальных алгоритмов [1]—[13]. Однако данная теория и используемые в ней модели случайных процессов ориентированы главным образом на бесконечномерный базис представления сигналов и помех, что часто приводит к трудно реализуемым процедурам обработки. Возникает хорошо знакомая разработчикам ситуация: получен оптимальный алгоритм обработки сигналов, но для того чтобы его использовать в реальной системе требуется дополнительная "деформация" алгоритма с целью его упрощения и сокращения общего числа вычислительных операций. Поскольку указанные действия приводят к потере оптимальности, а величину этих потерь аналитически трудно контролировать, то ценность всех предшествующих процедур оптимизации заметно снижается. Таким образом возникает необходимость разработки таких статистических методов синтеза, при которых бы получаемые оптимальные алгоритмы имели простую структуру, высокую вычислительную эффективность и на этапе реализации не нуждались в дополнительной "деформации", приводящей к потере оптимальности. Этим требованиям можно удовлетворить, если оптимальный синтез производить непосредственно в том конечномерном базисе, в котором осуществляется его вычислительная реализация. В то лее время для конечномерных базисов теория статистического синтеза оптимальных алгоритмов обработки начала интенсивно развиваться лишь в последние два десятилетия и весьма далека от своего завершения. Развитию этой теории для перечисленного класса задач (обнаружение, фильтрация, спектральный анализ), а также обобщению ее на задачи с априорной неопределенностью относительно некоторых параметров сигналов и помех и посвящена данная работа.

В дальнейшем будут рассматриваться только каузальные стационарные гауссовские случайные процессы (сигналы и помехи) с дискретным временем, заданные в виде непрерывнозначных последовательностей х == {х{}, г € 1+ (в общем случае комплексных), а под базисом их представления будет пониматься ортогональная мультипликативная система функций В = {е(/, г), / 6 Т, г Е Х\ в гильбертовом унитарном пространстве со скалярным произведением < х, у >= М[а^г/г-] = ^ Иху, где I — конечное или бесконечное множество целых временных индексов г; Х+ С Т — подмножество неотрицательных индексов; Т — дискретное или континуальное множество частот /; Иху — взаимная корреляционная матрица случайных последовательностей {хг}, . Кроме того предполагается, что все последовательности получены в результате равномерной дискретизации по времени с интервалом Т из соответствующих непрерывных случайных процессов, имеют нулевое математическое ожидание, а в качестве бесконечномерного базиса их представления для определенности принят дискретно-континуальный базис Фурье

Д^{ехр0-2тг/Тт), / € [~/н, /н], т = 0, ±1, ±2,.}, (0.1) где ] — мнимая единица, /н = 1/27Г — частота Найквиста. При указанных условиях вероятностное описание случайного процесса {жг-} в базисе (0.1) однозначно задается корреляционной функцией

Дс(т-) = г, г + г = 0,1,2,. . (0.2)

В общем случае выбор подходящего базиса представления сигналов не всегда очевиден и может рассматриваться как самостоятельная задача оптимизации [14, 15]. При проектировании радиотехнических систем (РТС) часто основным критерием такого выбора является согласование базиса с последующей цифровой обработкой сигналов, так как это позволяет уже на этапе синтеза оптимального алгоритма обработки учесть возможность его быстрой вычислительной реализации в заданной спектральной области. В работах [16]—[19] показано, что с этой точки зрения весьма перспективными являются конечномерные мультипликативные базисы {(l/V^Had^,г), = Г„={0,1,.,п - 1} }, (0.3) составленные из дискретных ортонормированных функций Виленкина-Крестенсона (ВКФ). Их применение полностью совместимо с работой ЦВМ, поскольку сигналы всегда обрабатываются конечными блоками в дискретной форме, и для всех этих базисов имеются быстрые спектральные алгоритмы. При частных значениях основания m система ВКФ совпадает с базисом дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) и базисом Уол-ша. В дальнейшем все процедуры обработки сигналов, синтезированные в базисе ВКФ, будут для краткости называться алгоритмами m-обработки (в том числе алгоритмами m-фильтрации, m-обнаружения и т. д ., при необходимости конкретизации типа обработки).

Для стохастических сигналов теория синтеза оптимальных алгоритмов обнаружения, фильтрации и спектрального анализа в базисах функций Виленкина-Крестенсона В^ [20]—[28] разработана гораздо слабее, чем в бесконечномерном базисе. В основу этой теории положена нерекуррентная стохастическая т -модель в виде дискретного га -стационарного случайного процесса г £ на конечном временном интервале Хм — = {0,1,., N — 1} , который обычно соответствует времени наблюдения и регистрации реального сигнала {яг}. Корреляционная функция модельного процесса {¿сг} представляется в виде конечной линейной комбинации функций Виленкина-Крестенсона Had'm|(/i, г) е sir'

4га)М= = £№а;НасИ(м, г) = (i/N)Y,ieIriRx(i § г - о, (0.4) а его ковариационная матрица R^ = (R^(г © j)) имеет специальную m блочно-циркулянтную структуру (0 — операция поразрядного вычитания по модулю т). В случае априорной неопределенности относительно корреляционных параметров сигнала Rx(r), для ее преодоления обычно применяются методы максимального правдоподобия или наименьших квадратов. Отметим, что часто применение нерекуррентной га -модели в задачах синтеза оказывается неявным и заменяется эквивалентной процедурой нахождения га -инвариантной импульсной характеристики соответствующего алгоритма обработки [20, 24].

Главным недостатком существующей теории статистического синтеза в конечномерных базисах является ограниченные возможности ее применения. В частности, в рамках данной теории многие важные проблемы, связанные с модельным т -представлением сигналов в виде марковских процессов, параметрическим спектральным анализом, проверкой сложных гипотез, рекуррентным оцениванием и фильтрацией (в том числе в условиях априорной неопределенности) не находят адекватного описания и решения. Математическая формализация этих задач в конечномерных базисах требует новых моделей и нестандартных подходов. Другой недостаток касается области практической реализации и состоит в том, что синтез оптимальных алгоритмов т-обработки на основе этой теории приводит к нерекуррентным вычислительным процедурам. При больших N это может потребовать недопустимо большого объема оперативной памяти, а известный эвристический подход — искусственное разбиение реализации сигнала на более мелкие независимые блоки с последующей их т-обработкой — ведет к потере оптимальности алгоритма в целом.

Основная проблема, рассматриваемая в данной работе, может быть сформулирована следующим образом:

• для базисов функций Виленкина-Крестенсона разработать теорию статистического синтеза алгоритмов обнаружения, фильтрации и спектрального анализа стохастических сигналов на фоне помех, которая была бы свободна от указанных выше недостатков и позволяла в условиях неполной априорной информации строить рекуррентные алгоритмы т -обработки, обладающие одновременно тремя качествами: оптимальностью, простотой и быстрой вычислительной реализацией.

Актуальность этой проблемы обусловлена следующими причинами:

• В современных радиотехнических устройствах и системах цифровая обработка сигналов с помощью микропроцессоров и мини-ЭВМ занимает главенствующие позиции, так как представляет совершенно новые уникальные возможности по совершенствованию и оптимизации всей процедуры извлечения полезной информации. В связи с этим возникает необходимость в разработке новых статистических методов синтеза алгоритмов обработки сигналов, адаптированных под специфику последующей цифровой вычислительной реализации.

• Существующие в настоящее время статистические подходы к синтезу оптимальных алгоритмов функционирования РТС ориентированы в основном на бесконечномерный базис представления сигналов и помех. Поэтому получаемые на их основе оптимальные решения могут не учитывать ряд ограничений, связанных с технологией получения и обработки информации, конечным размером наблюдаемой выборки и необходимостью последующей быстрой реализации алгоритма в реальном времени.

• Отсутствует общая конструктивная теория статистического синтеза алгоритмов функционирования РТС в конечномерных базисах представления. Ряд научных вопросов, связанных с построением оптимальных рекуррентных алгоритмов т -обработки, т-фильтрации и параметрического спектрального т-оценивания в условиях априорной неопределенности до настоящего времени не рассматривался.

Цель исследований. Эффективный путь получения новых решений для задач т -обработки, т-фильтрации и спектрального т -оценивания состоит в применении рекуррентных стохастических т -моделей случайных процессов и использовании фидуциального (инвариантного) метода преодоления априорной неопределенности. Разработка, исследование и использование таких ш-моделей, а также формулировка и развитие фидуциального статистического подхода применительно к решению указанных задач т -обработки представляют собой основное содержание данной работы.

В диссертации предлагается рекуррентный способ описания случайных процессов в базисе ВКФ — рекуррентная т -модель, который предполагает векторное покадровое представление бесконечной случайной последовательности {х;}, г С 2Т+ на некоторой заранее определенной системе дискретных временных интервалов Т = {Д&, к = 0,1,2,.} , Тдт = и£о ^к с помощью стохастического разностного уравнения, инвариантного относительно специальной группы т-ичных преобразований. Все интервалы Д*, входящие в систему Т, имеют фиксированный размер п < N, могут пересекаться, а случайные процессы, образующие каждый кадр , т -стационарны и при переходе от кадра к кадру описывают некоторую векторную марковскую последовательность {х&}. Такая рекуррентная марковская т -модель может рассматриваться как дальнейшее развитие и обобщение нерекуррентной т -модели на случай, когда интервал регистрации Хдг процесса {#¿1 больше интервала его га -представления Д*. При этом с точки зрения аппроксимирующих свойств она оказывается намного богаче нерекуррентной т -модели, а при N = т обе модели совпадают.

Главные достоинства рекуррентной т -модели — существенное расширение круга решаемых задач в базисе ВКФ и возможность получения рекуррентных алгоритмов т-обработки. В частности на ее основе оказывается возможным синтезировать оптимальные рекуррентные процедуры т-фильтрации (типа Калмана) и параметрического спектрального т -оценивания. В то же время в области практического применения, все получаемые рекуррентные алгоритмы т-обработки не требуют большого объема оперативной памяти и допускают быструю вычислительную реализацию.

Часто синтез оптимальных процедур в базисе ВКФ приходится осуществлять в условиях неполной априорной информации, когда параметры т -моделей процессов неизвестны и должны быть оценены по наблюдаемой выборке. Для преодоления этой априорной неопределенности в диссертации предлагается использовать фидуциальный статистический подход, предложенный в начале 30-х годов P.A. Фишером [29, 30], а затем получивший строгое математическое обоснование работах Д.А. Фрейзера [31, 32] и Г.П. Климова [33, 34]. Суть данного подхода состоит в том, что при заданной статистической модели процесса {хг} и известной выборке хм = (xi,.,хм) выносится решение о его неизвестном параметре в следующего вида: утверждается, что в есть случайный элемент и указывается его вероятностное фидуциальное распределение р*(в |хм) на пространстве параметров в = {в} . По своему смыслу фидуциальное распределение аналогично апостериорныму и называется фидуциальной (или инвариантной) рандомизированной оценкой параметра 0. Однако в отличие от байесовского подхода, для его вычисления используется только естественная симметрия модели относительно определенной группы преобразований и не требуется знание априорного распределения р(в). Полезность применения фидуциального статистического подхода при синтезе алгоритмов т-обработки обусловлена по крайней мере тремя причинами: инвариантное апостериорное распределение р*(6 |хм) позволяет находить оптимальные точечные оценки неизвестных параметров т -модели по критерию наименьшего среднего риска для любой функции потерь и вычислять потенциальные апостериорные точности полученных оценок; в большинстве случаев для вычисления аналогичных оценок и характеристик применение байесовского подхода оказывается невозможным из-за отсутствия информации об априорном распределении р(в); по сравнению с другими небайесовскими методами преодоления априорной неопределенности, например, максимального правдоподобия или наименьших квадратов, фидуциальный метод оказывается более предпочтителен на этапе идентификации т -модели, так как позволяет учесть качество получаемых оценок и уменьшить потери информации при малых объемах выборки.

Таким образом, целью работы является:

• разработка новых методов синтеза оптимальных рекуррентных алгоритмов га-обнаружения, т-фильтрации и параметрического спектрального га -оценивания в условиях возможной неполной априорной информации с использованием инвариантного статистического подхода;

• синтез новых алгоритмов т-обработки;

• исследование наиболее важных характеристик новых оптимальных рекуррентных алгоритмов га -обработки и соответствующих информационных систем, в которых такие алгоритмы применяются;

• применение новых методов синтеза для оптимизации трактов первичной и вторичной обработки бортовых радиолокационных систем в различных режимах сопровождения.

Научная новизна и вклад исследования в разработку проблемы. Научная новизна работы состоит в создании новой методологии статистического синтеза оптимальных алгоритмов функционирования РТС, которые адаптированы к условиям их последующей цифровой реализации в конечномерных базисах ВКФ. Она включает в себя

• предложение и обоснование адекватности новых вероятностных т -моделей случайных процессов, подлежащих обработке в РТС;

• применение теории статистических решений к новым га-моделям для получения общих соотношений, определяющих оптимальные алгоритмы функционирования РТС в конечномерных базисах ВКФ;

• развитие и применение фидуциальных методов математической статистики для получения оптимальных инвариантных алгоритмов функционирования РТС в конечномерных базисах ВКФ.

Наиболее важные новые положения, вносимые автором в разработку проблемы, можно сформулировать следующим образом: предложены рекуррентные марковские т -модели (вещественные и комплексные) и на их основе разработаны процедуры оптимального рекуррентного т -представления случайных процессов в базисах ВКФ; исследованы потери, возникающие при переходе от бесконечномерного базиса представления к базисам ВКФ, при различных критериях т-аппроксимации; на основе теории статистических решений и предложенных га -моделей получены аналитические выражения для оптимальных алгоритмов га -обнаружения, га-фильтрации и параметрического спектрального га-оценивания стохастических сигналов на фоне помех; эти алгоритмы имеют блочно-рекуррентную структуру и учитывают специфику их последующей цифровой реализации в базисе ВКФ; используя фидуциальный статистический подход, получены аналитические выражения для инвариантных апостериорных распределений параметров га -моделей; разработана оптимальная фидуциальная процедура идентификации таких га -моделей и найдены апостериорные характеристики качества функционирования соответствующих инвариантных алгоритмов 772-обработки; на основе теории статистических решений разработаны многогипотез-ные скользящие адаптивные методы совместного обнаружения и фильтрации траекторных измерений, и получены соответствующие алгоритмы траекторной обработки; показано, что все полученные оптимальные алгоритмы га -обработки сигналов имеют простую каноническую структуру и допускают быструю вычислительную реализацию, что важно с точки зрения их технического применения,; путем статистического моделирования на соответствующих примерах показано, что оптимальные алгоритмы га -обработки по своим вероятностным характеристикам весьма незначительно проигрывают аналогичным алгоритмам, построенным для бесконечномерного базиса представления, т. е. синтез в базисе ВКФ приводит к высокоэффективным оптимальным процедурам.

Практическая ценность и область применения результатов исследования. Практическая ценность работы состоит в том, что в ней развиты конструктивные методы статистического синтеза таких оптимальных процедур обработки сигналов, которые имеют высокие качественные показатели и одновременно адаптированы под специфику последующей цифровой реализации в заданном конечномерном базисе. Это позволило получить для задач обнаружения, фильтрации и спектрального анализа сигналов новые алгоритмы т -обработки, обладающие тремя важными свойствами: оптимальностью, простотой и быстрой вычислительной реализацией. Кроме того, для более эффективного использования результатов т-обработки в задачах радиолокационного сопровождения на проходе разработаны многогипотезные скользящие адаптивные алгоритмы совместного обнаружения и фильтрации траекторных измерений, отличающиеся от известных простотой и компактностью технической реализации.

Область практического применения. Все перечисленные алгоритмы используются в диссертации для оптимизации трактов первичной и вторичной обработки бортовых радиолокационных систем (БРЛС) при различных режимах сопровождения. Синтез радиолокационных алгоритмов обработки осуществляется для двух основных режимов многоцелевого слежения доплеровской квазинепрерывной БРЛС: сопровождения на проходе с сохранением обзора (СНП-О) и сопровождения на проходе в условиях радиопротиводействия (СНП).

Термином "сопровождение на проходе" называется совместная первичная и вторичная обработка радиолокационной информации (обнаружение-измерение сигналов целей и фильтрация их траекторий) в условиях непрерывного сканирования диаграммы направленности РЛС в некоторой зоне ответственности и заданной стратегии взаимодействия устройств первичной и вторичной обработки. При этом процедуры обнаружения-измерения и сопровождение траекторий осуществляются внутри специальных адаптивных стробов, текущее положение и величина которых определяются на основе всей имеющейся апостериорной информации.

Перечисленные выше режимы многоцелевого слежения позволяют в той или иной степени реализовать указанный принцип сопровождения и одновременно обладают рядом других дополнительных возможностей, связанных со спецификой работы БРЛС. При этом конкретный выбор режима зависит от типа применяемой антенны, тактики слежения (обзор или наведение), приоритетности целей и шумовой обстановки.

Режим СНП-О является штатным режимом сопровождения современной бортовой доплеровской РЛС и предназначен для обзора некоторого углового сектора (сектора ответственности) параллельно со слежением на проходе за несколькими наиболее приоритетными целями из того же сектора. Он имеет широкую область применения, и может быть реализован как в случае аннтенны с механическим сканированием, так и в случае фазированной антенной решетки (ФАР). В этом режиме луч диаграммы направленности антенны переодически последовательно просматривает все угловые элементы заданного сектора ответственности, двигаясь по заранее определенному растру. При этом отраженные сигналы с каждого углового направления разделяются на временные фрагменты и подвергаются спектральной рекуррентной т-обработке, которая включает в себя алгоритмы адаптивной т-фильтрации и инвариантного многоканального т -обнаружения-измерения. В результате такой первичной сигнальной т-обработки формируются отметки обнаруженных целей в виде оптимальных оценок до-плеровских частот, дисперсии отметок, а также апостериорные вероятности обнаружения. Полученные данные затем подаются на алгоритм траекторией обработки, который синтезируется на основе специально разработанного скользящего адаптивного метода совместной фильтрации и обнаружения и не требует больших вычислительных затрат.

Режим СНП (без сохранения обзора) предназначен для более качественного сопровождения на проходе приоритетных целей, с предоставлением дополнительных возможностей по селекции шумовых помех за счет использования более сложного, чем в режиме СНП-О, многогипотезного алгоритма траекторной обработки и более точного т-оценивания доплеров-ских сдвигов. Кроме того, он позволяет для каждой цели обеспечить управляемое разрешение по частоте и параметрический спектральный т-анализ в базисе ДЭФ в пределах частотного строба сопровождения. Данный режим может быть реализован на практике только при использовании ФАР, поскольку тактика сканирования диаграммы направленности антенны предполагает мгновенные переключения с одной цели на другую, а обзор всего сектора ответственности не требуется.

Внедрение. Следующие результаты диссертационной работы внедрены на предприятиях МРП в 1986-1993 г. г. в техническое и программное обеспечение бортовых радиолокационных систем:

• инвариантный многоканальный доплеровский алгоритм т -обнаружения сигналов целей для режима сопровождения на проходе;

• методы синтеза многогипотезных скользящих адаптивных алгоритмов совместного обнаружения и фильтрации траекторных измерений, а также полученные на их основе рабочие алгоритмы траекторной обработки для режимов сопровождения на проходе с сохранением обзора и сопровождения на проходе с повышенным уровнем шумовых помех.

Кроме того, результаты диссертации внедрены в учебный процесс МТУ СИ на кафедре радиотехнических систем в соответствующих курсах лекций по специальности 2007 - Радиотехника.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и получили одобрение на Всесоюзных научно-технических конференциях ВНТОРЭС им. А. С. Попова (Киев, 1988; Туапсе, 1989; Суздаль, 1989; Ташкент, 1990;); на Всесоюзном семинаре ОП ВНТОРЭС им. А. С. Попова (Севастополь, 1991); на Международной научно-технической конференции (Киев-Харьков, 1993); на 2-ой Всероссийской с участием стран СНГ конференции РОАИ-2-95 (Ульяновск, 1995); на Научно-технической конференции ОС-95 (Минск, 1995); а также на научно-технических конференциях професорско-преподавательского состава МТУСИ (1987-1999 г. г.). При этом основные положения диссертации опубликованы в научно-технических журналах и сборниках (более 25 работ, из них 7 в академических журналах принадлежат лично автору), а также в 12-ти отчетах по НИР и ОКР.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационной работы:

• основные положения теории статистического синтеза оптимальных рекуррентных алгоритмов т -обнаружения, т -фильтрации и параметрического спектрального т -оценивания сигналов на фоне помех в условиях неполной априорной информации;

• структуры указанных оптимальных алгоритмов т-обработки и результаты исследования их характеристик;

• результаты применения разработанной методологии синтеза для оптимизации тракта первичной обработки радиолокационной системы сопровождения на проходе;

• методы синтеза многогипотезных скользящих адаптивных алгоритмов совместного обнаружения и фильтрации траекторных измерений;

• структуры скользящих адаптивных алгоритмов траекторной обработки для различных режимов сопровождения на проходе.

В первой главе предлагается новый метод описания случайных сигналов и помех в конечномерных базисах ВКФ, основанный на применении рекуррентных марковских т-моделей (вещественных и комплексных). С их помощью разрабатываются и исследуются оптимальные процедуры перехода от бесконечномерного базиса представления к конечномерным базисам ВКФ, а также методы синтеза различных цифровых рекуррентных т-фильтров. Оценивается вычислительная эффективность полученных алгоритмов и приводятся результаты статистического моделирования.

Вторая глава посвящена развитию фидуциального статистического подхода применительно к решению задачи оценивания параметров векторной марковской т -модели сигнала. Получены аналитические выражения для инвариантных апостериорных распределений этих параметров, найдены их оптимальные точечные оценки по критерию минимума среднеквадра-тической ошибки, выражения для расчета эффективностей оценок. Разработана процедура сравнительной проверки га -моделей на адекватность и оценивается необходимый объем обучающей выборки.

В третьей главе рассматривается параметрический метод спектрального оценивания, основанный на аппроксимации случайных процессов рекуррентными т -моделями. Получена оптимальная параметрическая т-оценка спектральной плотности мощности (СПМ) случайного сигнала в базисе дискретно-континуальных экспоненциальных функций. Оцениваются частоты, отвечающие отдельным "пикам" СПМ, и выводятся формулы для апостериорных точностей полученных оценок. Разработан быстрый рекуррентный алгоритм спектрального т -оценивания. Приводятся результаты статистического моделирования.

В четвертой главе получено явное выражение для центральной частоты квазигармонического сигнала в базисе ДЭФ через параметры комплексной марковской т -модели, и найдено инвариантное апостериорное распределение этой частоты в условиях, когда сигнал наблюдается на фоне белой шумовой помехи, а их вероятностные характеристики неизвестны. Получены аналитические выражения для оптимальной несмещенной оценки центральной частоты в базисе ДЭФ и ее апостериорной точности. Показано, что алгоритм т-оценивания частоты допускает быструю рекуррентную вычислительную реализацию и приводятся результаты его статистического моделирования на ЭВМ.

В пятой главе разрабатывается фидуциальный метод синтеза инвариантных алгоритмов т-обнаружения гауссовских стохастических сигналов на фоне шумовых помех при частично известных параметрах сигнала (заданы нормированные корреляционные функции сигнала и помехи и отношение сигнал/шум на входе) и полностью неизвестных параметрах сигнала (задана только нормированная корреляционная функция помехи). Получены соответствующие оптимальные алгоритмы т -обнаружения, и показано, что они допускают быструю блочно-рекуррентную вычислительную реализацию. Анализируются их вычислительная эффективность и характеристики обнаружения.

В шестой главе Используя фидуциальный статистический подход, найдены инвариантные апостериорные распределения амплитуды и фазы гармонического сигнала в базисе ВКФ в условиях, когда его значения наблюдаются на фоне нестационарной коррелированной помехи. Получены оптимальные (в смысле минимума среднего квадрата ошибки) т-оценки амплитуды и фазы, и соответствующие им апостериорные точности. Показано, что алгоритм т -оценивания допускает быструю вычислительную реализацию и приведены результаты его статистического моделирования.

В седьмой главе развитая в диссертации теория статистического синтеза в конечномерных базисах применена для оптимизации тракта первичной обработки доплеровского канала БРЛС в режиме СНП при действии шумовых заградительных помех и амплитудных флуктуациях отраженного сигнала. Разработан многогипотезный скользящий адаптивный метод совместного обнаружения и фильтрации траекторных измерений и на его основе построен субоптимальный алгоритм траекторной обработки. Приведены и описаны структурные схемы полученных устройств первичной и вторичной обработки.

В восьмой главе на основе развитой в предыдущих главах теории синтеза разрабатываются оптимальные процедуры первичной и вторичной обработки для доплеровского канала БРЛС, работающего в режиме СНП-О. Показано, что в этом случае многоканальный алгоритм первичной т -обработки заметно упрощается, а траекторный фильтр становится од-ногипотезным. Приведены и описаны структурные схемы соответствующих устройств первичной и вторичной обработки.

Заключение содержит основные научные и практические результаты проведенного исследования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты диссертационной работы сводятся к следующему.

1. Развита теория статистического синтеза оптимальных алгоритмов обработки сигналов на фоне помех в базисах функций Виленкина-Крес-тенсона применительно к задачам обнаружения, фильтрации и параметрического спектрального анализа. Суть ее состоит в применении рекуррентных стохастических га -моделей случайных процессов и использовании фидуциального (инвариантного) метода преодоления априорной неопределенности. Новый подход существенно расширяет возможности синтеза и область практического применения получаемых алгоритмов га-обработки.

2. Основными преимуществами новых предлагаемых методов статистического синтеза в базисах ВКФ являются:

• наличие корректно определяемого критерия оптимальности (для задач т-оценивания (фильтрации) — минимум среднеквадрати-ческой ошибки, для задач га -обнаружения — критерий Неймана-Пирсона);

• возможность в условиях неполной априорной информации находить не только моментные характеристики параметров случайных сигналов, но и их инвариантные апостериорные (фидуциальные) распределения;

• специальная блочно-рекуррентная структура получаемых оптимальных алгоритмов га -обработки, допускающая их простое каноническое представление в обобщенной спектральной области базиса ВКФ;

• возможность высокоэффективной вычислительной реализации всех алгоритмов га -обработки с использованием известных графов

295 быстрых преобразований Виленкина-Крестенсона без какой либо дополнительной редукции, приводящей к потере оптимальности.

3. Для описания сигналов и помех в конечномерных базисах функций Виленкина-Крестенсона предложены новые стохастические га -модели (вещественные и комплексные), обладающие рекуррентной марковской структурой и хорошими аппроксимирующими свойствами. На основе рекуррентных га -моделей разработаны оптимальные процедуры перехода от бесконечномерного базиса представления к базисам ВКФ, которые позволяют по известным корреляционным (или спектральным) характеристикам процесса рассчитать параметры га -моделей и обеспечить их хорошую адекватность реальному процессу. Исследованы потери качества, возникающие при таком переходе, для базиса Уолша, базиса дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) и различных критериев га -аппроксимации, и показано, что эти потери не превышают в среднем 3 . 4%.

4. На основе предложенных га-моделей, для базиса ВКФ разработаны методы синтеза цифровых рекуррентных га-фильтров с заданными частотными характеристиками, а также оптимальных рекуррентных га -фильтров (типа Калмана), минимизирующих среднеквадрати-ческую ошибку фильтрации, которые в отличии от известных нерекурсивных т -фильтров требуют при реализации гораздо меньший объем памяти и обладают более широкими функциональными возможностями. Путем статистического моделирования, исследованы свойства получаемых га -оценок. Показано, что оптимальный рекуррентный га-фильтр по качеству фильтрации весьма незначительно проигрывает оптимальному винеровскому фильтру, синтезированному в бесконечномерном базисе. В частности, при фильтрации в базисе Уолша относительный проигрыш в величине среднеквадратической ошибки составляет б. 12%. Однако при этом количество арифметических операций для га-фильтра растет пропорционально длине реализации N, а для обычного фильтра — пропорционально И2.

5. Используя фидуциальный статистический подход, получены аналитические выражения для инвариантных апостериорных плотностей вероятностей параметров марковской га-модели (вещественной и комплексной), и разработана оптимальная фидуциальная процедура ее идентификации, которые в дальнейшем эффективно используются при сравнительной проверке т -моделей на адекватность, определения необходимого объема обучающей выборки, синтеза оптимальных алгоритмов т -обнаружения, спектрального т -оценивания и др. в условиях неполной априорной информации.

6. Разработан параметрический метод спектрального т-оценивания в базисе дискретно-континуальных экспоненциальных функций (ДКЭФ). На его основе получена оптимальная параметрическая т -оценка спектральной плотности мощности (СПМ) случайного сигнала, которая допускает быструю рекуррентную вычислительную реализацию, и в отличии от известных авторегрессионных спектральных оценок является несмещенной и не критична к зашумлению отсчетов сигнала. Разработан субоптимальный метод оценивания локальных центральных частот, отвечающих отдельным "пикам" СПМ в базисе ДКЭФ, и получены формулы для вычисления апостериорных дисперсий этих частот. Путем статистического моделирования исследованы свойства параметрических спектральных га -оценок при действии коррелированной помехи и белого шума. Показано, что при соответствующем выборе порядка га -модели можно всегда обеспечить релеевский предел разрешения спектров сигналов. Причем по сравнению с аналогичными по сложности авторегрессионными спектральными оценками (синтезированными в бесконечномерном базисе), спектральные га-оценки обладают в условиях "белого" зашумления в 2 . .4 раза меньшей средне-квадратической ошибкой.

7. Получено явное выражение для центральной частоты квазигармонического сигнала в базисе ДЭФ через параметры комплексной марковской га -модели, и, используя фидуциальный подход, найдено инвариантное апостериорное распределение этой частоты в условиях, когда сигнал наблюдается на фоне белой шумовой помехи, а их вероятностные характеристики неизвестны. Получены аналитические выражения для оптимальной несмещенной га-оценки центральной частоты в базисе ДЭФ и ее апостериорной дисперсии. Показано, что алгоритм т-оценивания частоты является адаптивным, широкополосным, многоканальным и допускает быструю рекуррентную вычислительную реализацию. Путем статистического моделирования исследованы его свойства и показано, что по сравнению с известным неадаптивным многоканальным частотным измерителем в базисе ДЭФ он обладает в 2. 3 раза меньшей среднеквадратической ошибкой.

8. Для базиса функций Виленкина-Крестенсона разработан фидуциаль-ный метод оценивания амплитуды и фазы гармонического сигнала на фоне нестационарной шумовой помехи с заданными корреляционными характеристиками и на его основе получены инвариантные апостериорные распределения амплитуды и фазы в базисе ВКФ. Найдены оптимальные по критерию минимальной среднеквадратической оценки оценки амплитуды и фазы и соответствующие им потенциальные апостериорные точности оценивания. Показано, что построенные алгоритмы т -оценивания имеют простую каноническую структуру и допускают быструю вычислительную реализацию. Путем статистического моделирования исследованы свойства полученных оптимальных т-оценок; показано, что при действии коррелированных помех и размерах выборки N > 25 переход к конечномерным базисам ВКФ приводит к. незначительной потере эффективности (7. 12%) оценивания фазы, в то же время по сложности вычислительной реализации оптимальные га-измерители фазы и амплитуды оказываются намного проще (6 и более раз) аналогичных оптимальных измерителей, синтезированных в бесконечномерном базисе.

9. Разработан фидуциальный метод синтеза инвариантных алгоритмов га -обнаружения гауссовских стохастических сигналов на фоне шумовых помех при частично известных параметрах сигнала (заданы нормированные корреляционные функции сигнала и помехи и отношение сигнал/шум на входе) и полностью неизвестных параметрах сигнала (задана только нормированная корреляционная функция помехи).

На основе этого метода для двух указанных ситуаций получены инвариантные адаптивные алгоритмы т-обнаружения, в том числе многоканальный инвариантный алгоритм, позволяющий одновременно оценивать отдельные характеристики случайного сигнала; доказана их оптимальность (наибольшая мощность) и несмещенность в заданном классе решающих правил. Показано, что все алгоритмы имеют блочно-рекуррентную структуру и допускают быструю вычислительную реализацию; найдены аналитические выражения для расчета порогов и условных характеристик обнаружения.

Путем статистического моделирования исследованы характеристики обнаружения инвариантных решающих правил при различных основаниях базисной системы ВКФ, и проведено сравнение их с аналогичными характеристиками обнаружения в бесконечномерном базисе. Показано, что оптимальные алгоритмы т-обнаружения несмотря на простоту и компактность обладают практически такой же эффективностью, что и оптимальные алгоритмы в бесконечномерном базисе представления. Кроме того, в условиях неполной априорной информации они оказываются гораздо более конструктивными, так как для расчета соответствующих порогов обнаружения удается получить строгие аналитические выражения.

10. Развитая в диссертации методология синтеза оптимальных алгоритмов т-обнаружения и спектрального т-оценивания применена для оптимизации тракта первичной обработки доплеровского канала бортовой квазинепрерывной РЛС. Получены два рабочих алгоритма адаптивного многоканального обнаружения-измерения: один для режима слежения на проходе в условиях радиопротиводействия (СНП), другой для режима слежения на проходе с сохранением обзора (СНП-О). Оба алгоритма оптимальны по критерию Неймана-Пирсона, инвариантны к мощности принимаемого сигнала, позволяют вычислять апостериорные вероятности обнаружения, формировать доплеровские отметки целей и их дисперсии, и при этом имеют блочно-рекуррентную структуру и допускают высокоэффективную вычислительную реализацию. Для сопровождения на проходе плотной группы целей, построен быстрый алгоритм параметрического спектрального анализа, который дает возможность получать непрерывные спектральные оценки сигнала внутри частотного строба и управлять разрешением целей по частоте.

11. Разработаны многогипотезные скользящие адаптивные методы совместной фильтрации и обнаружения для траекторной обработки радиолокационных измерений, позволяющие минимизировать суммарную ошибку фильтрации и селекции отметок целей внутри строба сопровождения и обеспечить оптимальное двухстороннее взаимодействие трактов первичной и вторичной обработки в режимах СНП и СНП-О. На основе этих методов синтезированы два рабочих субоптимальных алгоритма траекторной обработки — одногипотезный, для режима СНП-О, и многогипотезный, для режима СНП, которые обес

300 печивают нормальное функционирование доплеровского канала сопровождения при повышенном уровне ложных отметок и замираниях сигнала, компактны и просты в реализации. По сравнению с известным алгоритмом траекторного сопровождения, у которого селекция ложных отметок осуществляется по критерию наименьшего отклонения от центра строба, полученный многогипотезный алгоритм позволяет при действии шумовых помех и амплитудных замираниях сигнала почти в три раза уменьшить число сорванных трасс ив 2 . 3 раза уменьшить ошибки сопровождения по скорости.

1. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - М. : Радио и связь, 1989. - 656 с.

2. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М. : Радио и связь, 1982. - 624 с.

3. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М. : Радио и связь, 1983. - 320 с.

4. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М. : Радио и связь, 1991. - 608 с.

5. Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема. М. : Сов. радио, 1973. - 143 с.

6. Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М. : Сов. радио, 1977. - 432 с.

7. Шинаков А.П., Трифонов А.П. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. М. : Радио и связь, 1986. - 264 с.

8. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М. : Сов. радио, 1978. - 320 с.

9. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М. : ИЛ, 1973. - 900 с.

10. Леман Е. Проверка статистических гипотез. М. : Наука, 1979. - 408 с.

11. Теория обнаружения сигналов /Под ред. П. А. Бакута. М. : Радио и связь, 1984. -440 с.

12. Сэйдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М. : Связь, 1976. - 496 с.

13. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М. : Мир, 1990. - 584 с.

14. Мановцев А. П. Оптимальные базисы в задачах представления и фильтрации сообщений // Радиотехника. 1975. - Т. 30, № 7. - С. 38.

15. Драган Я.П. Структура и представления моделей стохастических сигналов. Киев: Наукова думка, 1980. - 384 с.

16. Хижниченко В. И. Стационарный подход к анализу одного класса нестационарных случайных процессов // Радиотехника. 1974. - Т. 29, № 7. - С. 10.

17. Блюмин С. Jl., Шмырин А. М. О некоторых математических аспектах цифровой обработки сигналов // Радиотехника. 1975. - № 8. - С. 24.

18. Лабунец В. Г. Алгебраическая теория сигналов и систем (цифровая обработка сигналов). Красноярск: Краснояр. ун-т, 1984. - 480 с.

19. Трахтман А. М., Трахтман В. А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М. : Сов.радио, 1975. - 208 с.

20. Пирл. Обработка случайных сигналов функциями Уолша // Зарубежная радиоэлектроника. 1972. - № 8. - С. 42.

21. Голиков В. С. Эффективность m-ичной междупериодной обработки при обнаружении сигналов с неизвестной частотой доплера на фоне коррелированных помех // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1990. - Т. 34, № 4. - С. 25.

22. Голиков В. С. Теория оптимальной m-ичной междупериодной обработки при обнаружении флюктуирующих сигналов на фоне коррелированных помех и шумов // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1987. - Т. 31, № 4 - С. 4.

23. Голиков В. С., Кравченко Н. И. Эффективность га-ичного оптимального дискретного фильтра при обнаружении пачки сигналов с неизвестным временем ее начала на фоне коррелированных помех // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1986. - Т. 30, № 11.- С. 53.

24. Шеломов Е. А. Теория оптимальной m-фильтрации Винера // Радиотехника и электроника. 1990 - Т. 35, № 10. - С. 2080.

25. Шеломов Е. А. О корреляционных функциях и спектрах случайных сигналов в базисах функций Виленкина-Крестенсона // Радиотехника и электроника. 1993 - Т. 38, № 5.- С. 831.

26. Шеломов Е. А. Теория оптимальной m-фильтрации в обобщенной спектральной области // Радиотехника и электроника. 1993. - Т. 38, № 9. - С. 1584.

27. Шеломов Е. А. Об m-корреляционных матрицах // Радиотехника и электроника. -1994. Т. 39, № 9. - С. 1348.

28. Волчков В.П. Фидуциальное оценивание m-стационарных гауссовских случайных процессов // Радиотехника и электроника. 1997. - Т. 42, № 2. - С. 150-160.

29. Fisher R. A. The concepts of inverse probability and fiducial probability referring to unknown parameters // "Proc. Roy. Soc. (London)", A 139, 343-348, 1933.

30. Fisher R. A. The fiducial argument in statistical inference // "Ann. Eugenics", 6, 391-398, 1935.

31. Fraser D. A. S. The structure of inference. New York: John Wiley, 1968. - 590 c.

32. Fraser D. A. S. The fiducial method and invariance // Biometrika, 1961, v. 48, p. 261-280.

33. Климов Г. П. Инвариантные выводы в статистике. М. : Моск. ун-ет, 1973. - 186 с.

34. Климов Г. П., Кузьмин А. Д. Инвариантные оценки // Теория вероятностей и ее применения. 1975. - Т. 20, № 2. - С. 309.

35. Оппенгейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. М. : Связь, 1979. -401 с.

36. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М. : Мир, 1978. - 848 с.

37. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М. : Мир, 1982. - 428 с.

38. Бендат Дж., Пирсол А. Приложения корреляционного и спектрального анализа. М. : Мир, 1982. - 312 с.

39. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М. : Мир, 1974. - Вып. 1.- 320 с.

40. Дженкинс Г., Ватте. Спектральный анализ и его приложения. М. : Мир, 1971, вып. 1.- 430 с. 1972, вып. 2. - 390 с.

41. Пойда В. Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. Минск: Наука и техника, 1978. - 301 с.

42. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов.- М. : Связь, 1980. 248 с.

43. Хармут X. Ф. Передача информации ортогональными функциями. М. : Связь, 1975.- 272 с.

44. Блюмин С. Л., Трахтман A.M. Дискретное преобразование Гильберта на конечных интервалах // Радиотехника и электроника. 1977. - Т. 25, № 7. - С. 1390.

45. Кренкель Т. Э. Спектральный анализ на конечных коммутативных группах // Радиотехника. 1975. - Т. 30, № 6. - С. 19.

46. Робинзон, Гренджер. Расчет нерекурсивных цифровых фильтров Уолша // Зарубежная радиоэлектроника. 1973. - № 4. - С. 12.

47. Агарвал Р., Баррас С. Теоретико-числовые преобразования для быстрого вычисления цифровой свертки // ТИИЭР. 1975. - Вып. 4. - С. 6.

48. Трахтман В. А. Быстрое преобразование Фурье для широкого класса ортогональных функций // Радиотехника и электроника. 1976. - Т. 24, № 5. - С. 1034.

49. Зеленков А. В. Быстрое преобразование спектра сигнала из базиса функций Уолша в базис дискретных экспоненциальных функций // Радиотехника и электроника. 1977,- Т. 25, № 3. С. 552.

50. Зеленков А. В. О связи спектров мощности и автокорреляционных функций дискретных сигналов в базисах ВКФ и ДЭФ // Радиотехника и электроника. 1978. - Т. 26, № 2. - С. 315.

51. Красовский А. А., Белоглазов И. Н., Чигин Г. П. Теория корреляционно-экстремальных навигационных систем. М. : Наука, 1979. - 447 с.

52. Фоменко И. Б. Анализ случайных процессов с использованием функций Уолша // Радиотехника и электроника. 1977. - Т. 25, № 4. - С. 720.

53. Волчков В. П. Оптимальное рекуррентное представление случайных сигналов в базисах функций Виленкина-Крестенсона // Радиотехника и электроника. 1997. - Т. 42, № 8.- С. 947-958.

54. Волчков В. П. Фидуциальное оценивание параметров рекуррентной т -модели случайного сигнала // Радиотехника и электроника. 1997. - Т. 42, № 9. - С. 1042-1056.

55. Волчков В. П. Фидуциальный подход к построению несобственных априорных распределений. М., 1987. - 26 с. - Деп. в ЦНТИ "Информсвязь", № 1070-СВ.

56. Волчков В. П. Параметрическое спектральное оценивание случайных сигналов с использованием рекуррентных т -моделей // Радиотехника и электроника. 1998. - Т. 43, № 4. - С. 421-437.

57. Волчков В. П. Фидуциальное оценивание центральной частоты случайного квазигармонического сигнала в базисе дискретных экспоненциальных функций // Радиотехника и электроника. 1998. - Т. 43, № 5. - С. 587-602.

58. Волчков В. П. Фидуциальное оценивание амплитуды и фазы гармонического сигнала в базисах функций Виленкина-Крестенсона // Радиотехника и электроника. 1997. -Т. 42, № 10. - С. 1229-1241.

59. Волчков В. П. Обнаружение случайных сигналов в базисах функций Виленкина-Крес-тенсона при неполной априорной информации // Цифровая обработка сигналов. 1999. - № 1. - С.

60. Шлома A.M. Фидуциальный подход к теории фильтрации / / Радиотехника и электроника. 1981. - Т. 26, № 9. - С. 1845.

61. Шлома А. М., Фролов С. М. Фидуциальный подход к задаче адаптивной фильтрации многосвязного марковского процесса // Радиотехника и электроника. 1984. - Т. 29, № 7. - С. 1379.

62. Воеводин И. И., Тыртышников Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М. : Наука, 1987. - 320 с.

63. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М. : Мир, 1976. - 755 с.

64. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М. : Мир, 1989. - 655 с.

65. Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. М. : Радио и связь, 1986. - 296 с.

66. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. М. : Наука, 1975. - Т. 1. -731 с.

67. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. М. : Мир, 1974. - 592 с.

68. Переход Н. Г. Измерение параметров фазы случайных сигналов. Томск: Радио и связь, 1990. - 245 с.

69. Ширяев А. Н. Вероятность. М. : Наука, 1980. - 575 с.

70. Крамер Г. Математические методы статистики. М. : Мир, 1976. - 632 с.

71. Трахтман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Сов. радио, 1972. - 352 с.

72. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М. : Наука, 1971. 1108 с.

73. Шлома А. М., Бакулин М. Г. Нелинейная фильтрация марковских процессов по косвенным переменным // Радиотехника. 1989. - № 11. - С. 49.

74. Пикаев И. К., Шлома А. М. Спектральное оценивание квазигармонических сигналов на фоне белого шума // Радиотехника и электроника. 1995. - Т. 40, № 5. - С. 777.

75. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М. : Мир, 1984. - Т. 2.- 752 с.

76. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М. : Физматгиз, 1963.- 500 с.

77. Фомин В. Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М. : Наука, 1984.- 288 с.

78. Сосулин Ю. Г. Теория последовательных решений и ее применения. М. : Радио и связь, 1985. - 272 с.

79. Теоретические основы радиолокации / Под ред. В. Е. Дулевича. М. : Сов. радио, 1978. - 608 с.

80. Шлома А. М. Адаптивный последовательный анализ сигналов в условиях априорной неопределенности // Радиотехника и электроника. 1974. - Т. 22, № 5. - С. 927.

81. Первачев С. В., Перов А. И. Дискретный алгоритм скользящего адаптивного приема // Радиотехника и электроника. 1981. - Т. 26, № 1. - С. 73.

82. Шлома А. М., Волчков В. П. Синтез скользящих адаптивных алгоритмов фильтрации в условиях нестационарной параметрической неопределенности // Радиотехника и электроника. 1985. - Т. 30, № 11. - С. 2184.

83. Сосулин Ю. Г. Теоретические основы радиолокации и навигации. М. : Радио и связь, 1992. - 304 с.

84. Кузьмин С. 3. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. М. : Радио и связь, 1986. - 352 с.

85. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. М. : Сов. радио, 1962. - Т.2.- С. 310-333.

86. Охрименко А. Е., Тосеев И. Т. Анализ характеристик обнаружения систем междупе-риодной обработки. Радиотехника и электроника. 1971. - Т. 16, № 1. - С. 67.

87. Фединин В. В. Особенности оценки эффективности систем селекции движущихся целей с учетом некогерентного накопления импульсов. Радиотехника и электроника. 1981.- Т. 26, № 5. С. 955.

88. Проскурин В. И. Распределение вероятностей квадратичного функционала от гаус-совского случайного процесса // Радиотехника и электроника. 1985. - Т. 30, № 7. -С. 1335.

89. Болынев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М. : Наука, 1983. - 690 с.

90. Таблицы распределения Рэлея-Райса. М. : ВЦ АН СССР, 1964. - 246 с.

91. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М. : Наука, 1969. -280 с.

92. Волчков В. П. Адаптивная интерполяция траекторий движения объекта // Цифровая обработка и передача сигналов: Сб. статей. М., 1989. - 23 с. - Деп. в ЦНТИ "Информ-связь", № 1613.

93. Волчков В. П., Шлома А. М. Адаптивная фильтрация нестационарных многосвязных марковских последовательностей // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1989.- Т. 32, № 4. С. 33.

94. Волчков В. П., Шлома А. М. Адаптивная фильтрация нестационарных марковских последовательностей // Радиотехника. 1984. - № 12. - С. 41.

95. Волчков В. П., Шлома А. М. Синтез оптимальных алгоритмов вторичной обработки // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1984. - Т. 27, № 8. - С. 22.

96. Волчков В. П. Адаптивная фильтрация в дискретных линейных системах // Методы обработки сигналов в радиотехнических системах: Сборник научных трудов межвузовский. М. : МИРЭ'А, 1986. - С. 97.

97. Волчков В. П., Ерохин С. И., Мареев А. Ю. и др. Фильтрация нестационарных случайных траекторий движения объекта // Вопросы радиоэлектроники. Сер. ОВР. 1984. -Вып. 9. - С. 110.

98. Волчков В. П. Негауссовские мультипликативные модели в задачах оптимального прогноза // Функционально-ориентированные вычислительные системы: Тез. докл. Ме-ждунар. науч.-технич. конф. Киев-Харьков: ХПИ, 1993. - С. 95.

99. Волчков В. П. Синтез скользящих адаптивных алгоритмов для систем вторичной обработки радиолокационной информации // Системы и средства передачи информации по каналам связи: Тр. учебных институтов связи. Л. : ЛЭИС, 1985. - С. 128.

100. Волчков В. П., Мамонов А. В. Синтез систем фазовой автоподстройки частоты в условиях априорной неопределенности // Радиотехнические системы и устройства: Тр. учебных институтов связи. Л. : ЛЭИС, 1985. - С. 38.