автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез робастных систем управления на основе блочного подхода

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ ИМ. В.А. ТРАПЕЗНИКОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

УДК 62-50 На правад рукописи

005012864

СИРОТИНА ТАТЬЯНА ГЕННАДЬЕВНА

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ БЛОЧНОГО ПОДХОДА

Специальность: 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)»

2 9 МДР ¿012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2012

005012864

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (ИПУ РАН)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

г.н.с. ИПУ РАН УТКИН Виктор Анатольевич

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

г.н.с. ИПУ РАН

КРАСНОВА Светлана Анатольевна

Официальные оппоненты:

КУРДЮКОВ Александр Петрович доктор технических наук, зав. лаб. №1 ИПУ РАН

ТКАЧЕВ Сергей Борисович доктор физико-математических наук, профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт программных систем им. А.К. Айламазяна РАН

Защита состоится 23 апреля 2012 г. в 14 часов на заседании Диссертационного Совета Д 002.226.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65. Телефон Совета (495) 334-93-29, факс (495) 334-93^0.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН.

Автореферат разослан «_» марта 2012 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.226."1, доктор технических наук

^ЧгГ-—Р В.К. Акинфиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Задача стабилизации переменных состояния динамических объектов автоматического управления является фундаментальной проблемой, постановка и решение которой послужили основой становления и развития теории управления. Классические методы теории управления предполагают наличие точной математической модели объекта управления. Но такая ситуация является идеализированной: в практических задачах некоторые параметры объекта управления могут быть заранее неизвестными или значительно меняться в процессе эксплуатации, что требует привлечения и разработки специальных методов, обеспечивающих заданные характеристики управляемого процесса в условиях неопределенности.

Проблема стабилизации в условиях параметрической неопределенности изучается в рамках активно развивающейся в настоящее время теории роба-стного управления. К классическим методам анализа разомкнутых систем относятся, результаты по интервальной устойчивости полиномов, робастные частотные методы, метод D -разбиений. К методам синтеза робастного управления относятся методы квадратичной стабилизации, линейной квадратичной оптимизации, На -оптимизации. Следует отметить, что в данных подходах в постановках задач, как правило, не делается предположений о структурных свойствах управляемости системы, а используемые косвенные методы, которые часто сводятся к численным процедурам, не всегда гарантируют нахождение решений. В основном методы робастной теории позволяют установить лишь факт устойчивости разомкнутой или замкнутой системы и могут не обеспечить заданных качественных характеристик переходных процессов, что снижает их практическую значимость. Необходимость в разработке альтернативных, конструктивных методов робастного управления свидетельствует об актуальности темы диссертационного исследования.

В диссертации решается проблема робастной стабилизации с гарантированным запасом устойчивости линейных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров с помощью линейной обратной связи по состоянию. Методологическую основу разработанных процедур анализа и синтеза робастных систем составили понятие сверхустойчивости (Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков) и блочный принцип управления (А.Г. Лукьянов, В.А. Уткин, В.И. Уткин). Целесообразность применения данных подходов к задачам робастного управления обусловлена тем, что в этих подходах результаты формулируются в терминах элементов матриц, а не их собственных значений.

Объект исследования - практически значимый класс линейных стационарных систем, в которых при всех значениях неопределенных параметров из интервалов с известными границами сохраняются структурные свойства управляемости, определяемые номинальной системой.

Цель работы - разработка методологических основ для реализации блочного принципа в линейных стационарных системах с интервальной неопределенностью параметров и декомпозиционных процедур синтеза систем с заданным запасом устойчивости при всех значениях неопределенных пара-

метров из интервалов с известными границами. Основные задачи работы. Для линейных стационарных систем с определенными параметрами:

- разработать принцип формирования матрицы перехода к блочной форме управляемости (БФУ) в терминах матрицы управляемости системы;

- разработать блочную процедуру синтеза обратной связи по состоянию, обеспечивающую сверхустойчивость системы в новом координатном базисе.

На основе полученных результатов для линейных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров:

- формализовать ранговые требования к структуре неопределенных матриц, при выполнении которых неопределенная система приводится к БФУ независимо от неизвестных параметров;

- для частного случая БФУ с определенными матрицами перед фиктивными и истинными управлениями разработать декомпозиционную процедуру синтеза робастного управления, обеспечивающего сверхустойчивость системы в новом координатном базисе и, как следствие, заданный запас устойчивости в исходной замкнутой системе во всех интервалах неопределенности;

- для общего случая БФУ неопределенной системы формализовать достаточные условия реализуемости робастного управления и разработать процедуру блочного синтеза стабилизирующей обратной связи, обеспечивающей заданный запас устойчивости во всех интервалах неопределенности;

- применить разработанные методы блочного синтеза робастного управления в задаче управления парогенератором.

Методы исследования. Теоретические результаты работы обоснованы математически с использованием аппарата линейной алгебры, математического анализа; методов теории управления: робастной стабилизации, блочного принципа управления, устойчивости и сверхустойчивости и подтверждены результатами моделирования.

Научная новизна диссертационной работы.

1. Предложен структурный подход к синтезу робастного управления, обеспечивающего заданный запас устойчивости в линейных стационарных системах с интервальной неопределенностью параметров в предположении, что структурные свойства управляемости, определяемые номинальной системой, сохраняются при всех значениях неопределенных параметров из интервалов с известными границами.

2. Выявлена связь структурных свойств управляемости линейной стационарной системы со структурой БФУ; формализованы принципы формирования матриц преобразований, которые отражают пошаговые процедуры замены переменных в процессе блочного синтеза.

3. Развитие в комплексе аппарата блочного принципа управления и сверхустойчивых систем позволило формализовать проблему синтеза обратной связи в терминах элементов матриц (а не их собственных значений), что послужило конструктивной основой для синтеза робастного управления.

4. Формализованы ранговые условия, при которых в неопределенной системе сохраняются структурные свойства управляемости, определяемые номинальной системой. Показано, что при их выполнении неопределенная

система приводится к БФУ с помощью невырожденного линейного преобразования, определяемого номинальной системой.

5. В рамках блочного подхода разработаны декомпозиционные процедуры синтеза стабилизирующей обратной связи, обеспечивающие заданный запас сверхустойчивости и, как следствие, гарантированный запас устойчивости при всех значениях неопределенных параметров из интервалов с известными границами.

6. Разработаны методы блочного синтеза робастного управления парогенератором, обеспечивающего заданный запас устойчивости замкнутой системы при изменении параметров в известных диапазонах.

Практическая значимость. Разработанные декомпозиционные методы анализа и синтеза робастных систем управления для линейных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров достаточно универсальны, так как опираются на структурные свойства управляемости оператора объекта управления. Разработанные алгоритмы могут быть реализованы в АСУ современными техническими и технологическими объектами различного назначения. Предложенный подход может быть использован для стабилизации нестационарных (как непрерывных, так и дискретных) линейных, а также некоторых классов нелинейных систем в условиях неопределенности.

Реализация результатов работы. Разработанные методы блочного синтеза робастного управления приняты в ОАО «МОЭК» для использования при проектировании программного обеспечения для управления типовыми парогенераторами.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международных научно-практических конференциях: «Идентификация систем и задачи управления» БЮРЮ (Москва, 2005, 2006); «Системный анализ, управление и навигация» (Крым, Евпатория, 2005, 2009); III Международной конференции по проблемам управления (Москва, 2006); VIII Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 2006); V Международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве» (Тирасполь, 2007); «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» (Киев, 2009); Всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения» (Тольятти, 2009); XI Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010); X международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения», АПЭП (Новосибирск, 2010); «Управление в технических системах», УТС (Санкт-Петербург, 2010); «Передовые информационные технологии, средства и системы автоматизации и их внедрение на российских предприятиях», А1ТА (Москва, 2011), на семинарах МГТУ им. Н.Э.Баумана, ИПУ РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, из них одна в журнале, рекомендуемом ВАК РФ. Структура работы. Диссертация изложена на 140 страницах, состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы (91 наименование) и приложения; содержит 25 рис., 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Первая глава имеет обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 представлен краткий обзор основных методов теории робастной устойчивости и стабилизации для линейных динамических систем управления. Обосновывается необходимость в разработке конструктивных методов робастного управления. В разделе 1.2 изложены основные понятия, на которые опираются разрабатываемые в диссертации методы.

Определение 1.1. Матрица A = (au)eRm" называется сверхустойчивой,

если на ее главной диагонали находятся отрицательные числа, которые по абсолютной величине больше суммы модулей недиагональных элементов по строке:

min {-a,¡ - ¿ Щ} = а > 0 , i = \,п , (1)

где число а имеет смысл запаса сверхустойчивости. Сверхустойчивая матрица является гурвицевой.

Сверхустойчивость (в отличие от устойчивости) формулируется в терминах элементов матрицы системы, а не ее собственных значений, что является предпосылкой использования этого понятия в задачах робастной стабилизации. Но не во всякой управляемой системе можно обеспечить сверхустойчивость с помощью линейной статической обратной связи, безусловное исключение составляют элементарные системы.

Определение 1.2. Система х = Ах + Ви, где xeR" - вектор состояний, и eRp - вектор управлений, называется элементарной, если

(Р>п)л(тапкВтр =«). (2)

Выбор в элементарной системе управления и=-В^Кх, К = diag(jt;) ,=Гл, здесь и далее Б+ = ВТ(ВВГ)'1 - псевдообратная матрица матрицы В: ВПУрВ*рУП = /„, 1П - единичная матрица указанной размерности, приведет к замкнутой системе х = (Л- К)х, которая при выборе k¡ на основе неравенств

(а, -к, <0)л ((*, -а„)- I |а,у| >0), i = \ñ (3)

j=Uj*l

будет сверхустойчивой. Синтез сверхустойчивой неэлементарной системы требует привлечения аппарата блочного принципа управления, основные положения которого изложены в разделе 1.3 для линейных стационарных динамических систем с определенными параметрами

к = Ах + Ви, (4)

где xeR" - вектор состояний, подлежащий прямым измерениям, и е Rp -

вектор управлений, AeR™, В &Rmp, rankB = pQ < р < n, пара (А,В)

управляемая.

Определение 1.3. Для любой управляемой системы (4) существует невы-

рожденное линейное преобразование Тх = х' =со1(хг,...,д:0), А' = ТАТ'Х , В' = ТВ , которое приводит ее к блочной форме управляемости (БФУ) вида хг = Аггхг + Вгхг_,, х, = А1гхг + ...+ Аих. + В,х^, ¡=г-1,1, (5)

■¿О = А)гХг +•••+ А»Х0 +В0и •

БФУ состоит из связанных элементарных подсистем (блоков) размерности сНггис,. = гапкВ, = р1, р{ >рм, р0+...+рг = п, векторы хм трактуются как

фиктивные управления в ¡' -х блоках (/' = г,1). На основе БФУ (5) задача синтеза декомпозируется на последовательно решаемые элементарные подзадачи выбора сначала фиктивных, а потом и истинных управлений.

Обосновывается необходимость в дальнейшем развитии блочного подхода применительно к задачам робастной стабилизации. В разделе 1.4 определяются цели и задачи диссертационной работы.

Во второй главе в рамках блочного подхода решается задача сверхстабилизации по обратной связи линейных стационарных динамических систем с определенными параметрами (4). В разделе 2.1 выявлена связь структурных свойств управляемости системы (4) (а именно, ранговой структуры ее матрицы управляемости) со структурой БФУ (5). В системе (4) пара (А, В)

управляемая, т.е. матрица управляемости имеет полный ранг:

= АВ А2В - Л"'РаВ)' тапШ = (6)

Ранговая структура матрицы управляемости (6) характеризуется индексами р^Ы, ¡ = 0,г, р0>р{>...>рг, г<п-р0 и показателем управляемости и = г +1, которые определяются при последовательном наращивании ранга матрицы управляемости по следующей схеме:

гапкб = р0ФО, гапк (В АВ) = рй + рх, ра>р^ 0, (7)

гапк(В АВ А2В) = рй+р1 + р2, р]>р2*0,...,

гапк(В АВ ... АГВ) = р0+р} +...+ рг, рг^>рг* 0,

гапк(Я АВ ... А'В А'"ХВ) =рй+...+рг+ 0; (гапкЖ = п) <=> (р0 +...+ рг=п).

В отличие от традиционной пошаговой процедуры получения БФУ, которая непосредственно применяется к модели объекта управления (4), разработан принцип формирования матрицы перехода к БФУ в терминах матрицы управляемости, который более конструктивен в контексте задач робастного управления. Перепишем блоки матрицы управляемости (6) справа налево, не

выполняя перестановок внутри блоков А'В := Р', / = г, 1, В:-Р°:

№„хри=(Г Р°). (8)

Введена матрица перехода Т от координатного базиса системы (4) к координатному базису БФУ (5) как произведение невырожденных матриц

ття=тгАтг_г..тй,да. ?;,„*„) *0, (9)

которое отражает последовательное (справа налево) приведение методом

7

Гаусса матрицы управляемости (8) к нижнему треугольному блочному виду 'Рп О О ... О О Ъ-г, 1 О ...О О

IV = Т1У =

"(лхри) 1 "

Р\г Р\,г-\ ••• ^

р р р р р

гог о,»—] га,г-2 ••• го\ гоау

(10)

здесь и далее О - нулевая матрица. В общем случае каждый г -й шаг преобразования состоит из двух операций с матрицами 7] = ТаТл , где Тп - матрица перестановок строк, Та - матрица, с помощью которой обнуляются верхние линейно зависимые строки матрицы Р', / = 0, г -1. Доказана следующая

Теорема 2.1. Пусть в системе (4) пара (А, В) управляема и характеризуется индексами управляемости (7). Тогда замена переменных Тх-х* с матрицей перехода (9) преобразует систему (4) в БФУ (5).

В разделе 2.2 на основе БФУ (5) формализована пошаговая процедура блочного синтеза модального управления, которая заключается в последовательном (сверху вниз) решении элементарных задач синтеза фиктивных управлений (локальных обратных связей) вплоть до синтеза истинного управления, обеспечивающего заданный спектр матрице замкнутой системы.

Разработан принцип формирования матрицы перехода Н от БФУ (5) к системе с замкнутыми локальными связями в виде произведения матриц

Н = НхН2..Лг,ЬАН,^* 0. (11)

Суть преобразований заключается в пошаговом приведении БФУ (5) к верхней треугольной блочной форме (с установкой на главной диагонали матриц К, е , г = г, 1, которые можно выбрать произвольно) относительно отклонений е1 е Кр' , / = г —1,0 между реальными и выбранными значениями фиктивных управлений. В результате замены переменных Нх" = со1(ег,ег_,,...,е0), хг=ег, НА'Н~Х = Ае, ИВ* =В' получена система

е, =-А:,.е,.+В,£',._1, / = г,1; ¿о =Л°А+... + <е0+50ы. (12)

Таким образом, после невырожденного линейного преобразования НТх = е система (4) представлена в новом координатном базисе и имеет вид (12).

Синтез истинных управлений сводится к решению элементарной задачи ,

" = = V (13)

и приводит к замкнутой системе

ё; = -К,е, + Я,ем , I = ^; ¿0 = -К0е0, Г1сИА/;) +К,) = 0. (14)

1-г

Устойчивость системы (14) обеспечивается назначением гурвицевых матриц (-К.), / = г,0 на главной диагонали.

Данные результаты составили основу разработанной в разделе 2.3 процедуры блочного синтеза сверхустойчивой системы в новом координатном базисе, которая не требует нахождения собственных значений матрицы коэффициентов системы и гарантирует в исходной замкнутой системе заданный запас устойчивости. Доказана следующая

Лемма 2.1. В сверхустойчивой матрице А е Я"х" запасы сверхустойчивости (1) и устойчивости 1шп{-КеАДЛ)} ._^ =т] > 0 и связаны неравенством

г]>а. (15)

Основной результат по обеспечению сверхустойчивости с помощью обратной связи по состоянию в рамках блочного подхода в линейной стационарной системе с известными параметрами представляет следующая

Теорема 2.2. Для любой управляемой линейной стационарной системы (4) существует линейный закон управления, который обеспечивает сверхустойчивую замкнутую систему в новом координатном базисе с заданным запасом сверхустойчивости.

Действительно, любая управляемая система (4), (7) с помощью преобразований НТх = е и закона управления (13) может быть представлена в блоч-но-треугольном виде (14), где выбор Кт = Ша, т = г,0,

К =<г + ХМ Вт={Щ), ¿ = = = ст >0,»=1^, (16)

№

обеспечивает замкнутую систему со сверхустойчивой матрицей с запасом сверхустойчивости а и собственными значениями

Заметим, что свойство сверхустойчивости не инвариантно к невырожденным линейным преобразованиям, т.е. в общем случае матрица исходной замкнутой системы (4) с управлением (13), (16) в виде

и = ^е = РйНх = Р0НТх = Лс (18)

будет не сверхустойчивой, а просто устойчивой со спектром (17).

Следствие из теоремы 2.2. Закон управления, обеспечивающий сверхустойчивую замкнутую систему в новом координатном базисе с запасом сверхустойчивости а-т]л>0, обеспечивает стабилизацию исходной системы с заданным запасом устойчивости: г)><г = г]л.

В частности, для системы (4), (16), (18) к^ =т] = а = . В третьей главе в рамках блочного подхода решается задача стабилизации линейных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров в предположении, что структурные свойства управляемости, определяемые номинальной системой, сохраняются в неопределенной системе во всех интервалах неопределенности. Основу построений составили разработанные в главе 2 процедуры получения БФУ и блочного синтеза сверхустойчивой системы для номинальной системы. В разделе 3.1 формализуется

постановка задачи. Объектом исследования являются линейные стационарные системы, математическая модель которых имеет вид

х = (А + А)х + {В + В)и, (19)

где х е Я" - вектор состояний, подлежащий прямым измерениям, и е Яр -вектор управлений. Элементы матриц А е Я"х", В е Л"хр, определяющие номинальную систему (4), (7) известны; элементы матриц А = (ау) е Я"*",

В = (Ьч) е Втр постоянны и неизвестны, их значения принадлежат закрытым интервалам с известными границами:

«,,пт ^ «// ^ «цтах - } = 1,Ъ ¿>утт ^ - АУшах , ¿=1«, ] = \р~ (20)

Ставится задача синтеза линейной обратной связи и = £'х, обеспечивающей стабилизацию системы (19) с заданным запасом устойчивости ,

тт{-КеЩА + А) + (В + В)Р]}1-^г1>т1й>0 (21)

при всех значениях неопределенных параметров из интервалов (20).

В разделе 3.2 введено понятие блочной формы управляемости (БФУ) для систем с интервальной неопределенностью параметров.

Определение 3.1. Для системы (19), (20) с номинальной системой (4), (7) БФУ является полученная в результате невырожденного линейного преобразования Тх—х = со1(д:г ,...,х0), (ЫГ*0, А* = ТАТ'\ А* = ТАТ'1, В* =■ ТВ , В" = ТВ система вида

= (А г + Д> К + ■ ■ • + (4 + Д, )*, +(Д+ В, )х,._,, (22)

=(Л, +-+(Ло + ДюК + (во

где матрицы AІJ, В1 известны и совпадают с соответствующими матрицами

БФУ (5) номинальной системы (4); элементы матриц Д,, Д. постоянны и

неизвестны, границы интервалов, которым принадлежат их значения, пере-считываются с учетом (20) и преобразований подобия. Качественные признаки БФУ (22): 1) наличие структурных нулей, т.е.

(о ^ 'о 4

В' = , в* =

(р0Ур)у

, Ац = Ау = Одх/)., /' = г,2 , у = г - 2,0 ;(23)

2) «элементарность» всех блоков, т.е. выполнение ранговых условий

гапк(А + й,) = гапкб,. = сПтх, = р1, / = г, 0, р0 + р1 + ...+ рг = п (24)

при всех допустимых значениях элементов матриц Ду, В,. При этом и пары

((В! + В,), (4, + Лп)), i = г,0, и вся система являются управляемыми.

Формализованы ранговые условия, при выполнении которых система (19) сохраняет во всех интервалах неопределенности (20) структурные свойства управляемости, определяемые номинальной системой (4), (7):

10

гапкб = гапк(5 + В) = гапк(5 (В + В)) = р0 ; (25)

(гапк(В АВ ...А* В) = тапЩВ +В) (А + А){В + В)... (А + А)'(В + В)) = = гапк(Л АВ ... А'В (В + В) (А + А)(В + В)...(А + АУ(В + В)) = р0 + р1+...+ р1) о(гапк(Я АВ ... А'В) = гапк(Я АВ...А'В (А + АУ(В + В)) = Ро + Р] +...+ р,)

V/ = 1,г; Ро + /71+-+/'г ="• Теорема 3.1. Пусть в номинальной системе (4) пара (Л, 5) управляема и характеризуется индексами управляемости (7). Если в системе (19) во всех интервалах неопределенности (20) для пары ((А + А), (В + В)) выполняются

условия (25), то невырожденная замена переменных с матрицей перехода (9), которая зависит только от матриц номинальной системы А, В, приводит систему (19) в БФУ (22)-(24) инвариантно к неизвестным параметрам.

Для теоремы 3.1 верно и обратное утверждение, определяющее конструктивный способ проверки ранговых условий (25). Если замена переменных с матрицей перехода (9) приводит систему (19) в БФУ (22)-(24), то во всех

интервалах неопределенности (20) для пары ((А + А), (В+В)) выполняются ранговые условия (25). В выражениях (25) выполнение первых равенств (типа гапкй = гапк(В + В) = р0) означает, что матрицы управляемости номинальной и неопределенной систем характеризуются одинаковыми индексами управляемости, что определяет одинаковую структуру БФУ номинальной (5) и неопределенной (22) систем: одинаковое количество блоков и их размерности (7). Выполнение вторых равенств (типа гапкД = гапк(В (В + В)) = ри) означает одинаковую дислокацию в БФУ (5) и (22) структурных нулей (23).

Ранговые условия (24) являются признаком управляемости БФУ (22)

при всех допустимых значениях элементов матриц Ду, ] = г,;, Д., /' = ;-,0,

однако в условиях неопределенности их выполнение является в общем случае необходимым, но недостаточным для реализуемости робастного управления. В рамках используемого подхода требуются дополнительные предположения о структуре неопределенных матриц (Б, + Д.),г =г,0 перед фиктивными и истинными управлениями. В следующих разделах выделены классы из систем (22)-(24), для которых осуществим синтез робастного управления.

В разделе 3.3 рассматриваются линейные стационарные системы (вначале со скалярным, а потом и векторным управлением), математическая модель которых имеет вид БФУ (22)-(24), где матрицы перед фиктивными и истинными управлениями не содержат неопределенных параметров.

Теорема 3.3. Если в системе (22)-(24)

УД =0,г=^) (26)

то существует линейный закон управления по обратной связи, который обес-

печивает в замкнутой системе заданный запас устойчивости > О при всех значениях элементов неопределенных матриц Д,, / = г,0, из интер-

валов с известньши границами.

На основе БФУ (22), (26) разработана процедура блочного синтеза роба-стного управления, которая основана на процедуре блочного синтеза модального управления. Показано, что невырожденное линейное преобразование с

матрицей перехода (11), т.е. Их' =со1(ег,...,е0), х, = ег, Н(А' +А')Н~1,

НВ* = В*, приводит БФУ (22), (26) к системе относительно отклонений вида

/+1 . Л _

ёг=(Агг-Кг)ег+Вгег_,, = £4е; +(4/-+ Я,ем,/ = г-1Д; (27)

]=г

¿о = ¿(Л°, + + (41> + Дю)ео + 5о"»

где ЛГ, е Яр'',р', »' = г,1 - матрицы, подлежащие определению; матрицы

(у = г,1) и диапазоны изменения элементов матриц А'у (/ = г -1,0, _/' = г,/+1) пересчитываются в силу преобразований подобия. Закон управления

и = -В+0(4,ег +...+Л>о +К0е0)^Р0гег +...+ ^00е0 (28)

приводит к замкнутой подсистеме ё0 = +...+ ^,6, +(ДХ) -^Г0)е0. Выбор диагональных матриц Кт = (На, /и = г,0 и их элементов в виде

1 = = (29)

где + ±ЗГ+Ш

ЪТ> Д5-<гГ°>. »«¡а

утт - яу -°утах • ау ~ тах11 1> Нутах 1Ь ' ~ 1>Рт > ] ~1>Р1 >

приводит к замкнутой системе (27)-(29) со сверхустойчивой матрицей с запасом сверхустойчивости а>а=т]й во всех интервалах неопределенности

элементов матриц А™г В силу следствия из теоремы 2.2 управление

и = Р0Нх* гарантирует в замкнутой системе (22), (26) запас устойчивости г; > а 2: т]л при всех допустимых значениях неопределенных параметров.

Определенность матриц перед фиктивными и истинными управлениями (26) в БФУ (22) существенна, так как позволяет реализовать комбинированные управления, компенсирующие члены с известными матрицами. В случае неопределенности этих матриц возможность такой компенсации отсутствует. В разделе 3.4 вначале рассматривается частный случай системы (19):

12

р = 1, (30)

т.е. и е7? - скалярное управление, В еЛ"*1, В фО. Необходимые и достаточные условия реализуемости робастного управления в системе со скалярным управлением в рамках используемого подхода определяет следующая

Теорема 3.4. Если в системе (19), (30) при всех значениях неопределенных параметров из конечных интервалов (20) сохраняются структурные свойства управляемости (25), определяемые номинальной системой, то существует линейный закон управления, который обеспечивает в замкнутой системе (19), (30) заданный запас устойчивости > 0 при всех значениях неопределенных параметров из конечных интервалов (20).

Действительно, при выполнении (25) с помощью невырожденной замены переменных Тх = х' =(*„_,,...,*„) с матрицей перехода (9), которая зависит только от матриц номинальной системы, система (19), (30) представима в виде БФУ (22)-{24), которая состоит из и связанных одномерных подсистем:

*/ = О/ „-Л-1+-+Я/Л = и-1,1; ¿о = ао.л-А-! +-+а00х0 +Ь0и, (31)

где а,у = ау + о,у, } - п -1,1, Ь = Ь, + ^ , / = п -1,0, и при всех значениях неопределенных параметров , Ь, из интервалов с известными границами, которые пересчитываются в силу (20) и преобразований подобия, выполняются условия (24), а именно, Ь, ф 0 л + ¿( Ф 0 , / = и -1,0. Второе условие озна-

чает, что знаки элементов Ьп / = и—1,0 постоянны и известны для всех 6, из конечных интервалов. На основе этого факта для системы (31) разработана пошаговая процедура синтеза фиктивных управлений х, =-км51$п(Вм)ем = = /мем, ¡ = п-2,0, где км - коэффициенты обратной связи, подлежащие определению; е„_, = , е, = ^с,- — ~ отклонения между реальными и

выбранными значениями фиктивных управлений. В результате замены переменных Нх' = е = со1(елЧ,..., е0) и преобразований подобия с матрицей

1 0 0 0 0" -/„-. 1 0 0 0 Н — Н^.Л^ = /я.,/„_2 -Л.2 1 0 0, (32)

-Л 1 о

и-1)"/^,-/, (-1 - -А и

БФУ (31) приводится к системе относительно отклонений

¿„-1=(«„-.,„-1 -ЦЦх, , (33)

,+1 — —■ I-1 — --0 —О —

¿, = ^aueJ+(a;i-k¡\bi\)ei+b¡e¡_^,i = n-2^;ë0= 2>оуе,+ьо">

где а^ = а'у + ац, коэффициенты а'0 известны, а,у ~ неизвестны, границы интервалов а\]тш < а[ < а-тах, а у =тах{| а'утЬ |,| а!.юах |} , / = п -1,0, ; = п -1,/ пересчотываются в процессе преобразований с учетом (20); Ъ1тт < Ь< Ь1аах,

К =тах{|Ъ, +Ь1ЮШ |,|Ь,+Ь1пшх |}, Ь; =пип{\Ь,+Ь,тт |,|Ь,+Ь1т |}, ¡ =

Закон управления

и = -к^п(Ь0 )е0 = /0е0, (34)

приводит к замкнутой подсистеме ¿о = а0°,/1-1ел-1 + + (<*оо IК 1)ео •

При выборе коэффициентов обратной связи в виде

К-\=(ап-\ +«П-1тах +К-\ + СТ)/6л-1>

Ь, =(4+4тах + X У=».-1

=(а&) +А&ШИ + £ (|<|+50°у)+сг)/^.

имеем замкнутую систему (33)-(35) со сверхустойчивой матрицей с запасом сверхустойчивости а>а-г!л при всех значениях неопределенных элементов из допустимых интервалов. В силу следствия из теоремы 2.2 законы управления и = -£0к1£п(£0)/г0х* и и = -к^щпф^ИцТх, где - нижняя строка матрицы Я (32), обеспечивают и в замкнутой БФУ (31), и в исходной системе (19), (30) соответственно гарантированный запас устойчивости 7] >ст >т}л во всех интервалах неопределенности.

В отличие от систем со скалярным управлением, в системах с векторным управлением условия (25) являются в общем случае необходимыми, но не достаточными для реализации робастного управления в рамках используемого подхода. В следующей теореме выделен класс систем из БФУ (22)— (24), в которых можно обеспечить с помощью статической обратной связи по состоянию заданный запас устойчивости за счет получения сверхустойчивой системы в новом координатном базисе.

Теорема 3.5. Если в БФУ (22)~(24) все матрицы

1 + В„,т = 7,0, Вт(М = ВтВ+п = (Ь'), <Ь™<Ь^ (36)

являются матрицами с преобладающими диагоналями при всех значениях элементов матриц В,, / = г,0 из интервалов с конечными границами и

ШШ МГтш!- 1АИ =

I _

м8па + й/Г™п) = я§п(1+5я"Я1в)=м8па+4Л. >» = г,0, (37)

Щ + а^) + Ь1+а)1ЪГ,Ып-2,\, (35)

где b™ ■= max {| b™mn |, 1\}, i,j = l,pn, m = r,0, то существует линейный

закон управления, который обеспечивает в замкнутой системе (22) гарантированный запас устойчивости г/ > r;d во всех интервалах неопределенности

элементов матриц Д„;, / = г, m, Вт, т = г, 0.

Доказательство теоремы 3.5 опирается на следующую лемму. Лемма 3.1. Если матрица В = (6^) е R"*" имеет преобладающую диагональ тт{|6/;|- 2 — = /л>0, то при любой матрице А ~ (а0) е R"*" № .j*i

п

матрица А - kBS, где /г = тах{д,.( + (+cr> . —//i, 5 = diag{sign6„.}.=F-,

J=JJ*i

будет сверхустойчивой с запасом сверхустойчивости а > 0 .

На основе системы (22), (36) разработана пошаговая процедура синтеза фиктивных управлений =-kmtlB*+lSm+l = Fmtlem+1, ш-г-1,0, где кт+1 -коэффициенты обратной связи, подлежащие определению, Sm+1 = diag{sign( 1 + 6 , = Bm+lB+^ = W*)-, er=xr,

em ~ xm ~Fm+iemH ~ отклонения между реальными и выбранными значениями фиктивных управлений, ет е RPm. В результате замены переменных Нх* = е= col(e,,..., е0) и преобразований подобия с матрицей перехода

(38)

0 О . о

0 . о о

-F^ . О о

~Fr2K.Fr Fr-iFrA . О О

НГ'К,.^, (-1 YFv..FrA (-1 )mF2..J=;.2 . • 'А О

(-1 )'Fv.fT (-1 r'F,..^, (-1YF^F^ • -F, 'ро ,

имеем систему относительно отклонении

¿^tA'eJ + {A'-ki(I + Bl)Si)eiHBi+Bl)e^,i = 7J-

i=r о _

j-r

Закон управления

и = Foeo = -koKsoeo>

(39)

(40)

где S0 = diag{sign(l+b?)}.=1—, BOip0Xpg) = BoBo =(bjj), приводит к замкнутой

подсистеме ¿0 = ^ A^jCj + (Аф -k0(I + B0)S0)eQ. Выбор коэффициентов

j=r

кт = шах{а„

т(тт)

т(тт) г "//шах

+ а1,+а}.=г~!цт, т = г,О,

где < = £(|«,7<тг)I + 5™(иг)) + • • -++ +

м 1 1 м1

I (|«,Г| + ¿Г) + %<\Ь™ 1 + = т =

(41)

Ра

= 5>Г'> 1+5ГГ))+-+ К1 «Г 1 + 5^»); ¿=1^;

т(т1) < -ш(т/) , утт ~ "у

т(тО -т(т/) _ г. т(т/) . . т(т/) ц аутах > -таМ1а/упш1 1> I а//тах I/>

приводит к замкнутой системе (39)—(41) со сверхустойчивой матрицей.с запасом сверхустойчивости а>су=т]л во всех интервалах неопределенности.

Управление и = Я0Н0х*, где #0 - р0 нижних строк матрицы Я (38), обеспечивает в БФУ (22), (36) гарантированный запас устойчивости г] > ст . Полученные результаты имеют самостоятельную ценность для систем, изначально имеющих вид БФУ (22)-(24), где выполняются условия (26) или (36).

В четвертой главе теоретические результаты, полученные в предыдущих главах, используются для блочного синтеза системы управления парогенератором марки Пр-420-13.8-550ГМ. В разделе 4.1 в качестве математической модели объекта управления принята система пятого порядка, которая получена путем линеаризации в окрестности рабочей точки фазового пространства в номинальном (рабочем) режиме парового котла барабанного типа х = Ах + Ви, (42)

где х = со1(х,,...,х5)ей5 -вектор состояний, подлежащий прямым измерениям, компоненты которого имеют смысл отклонений от номинальных значений в рабочем режиме, х1 - давление в барабане парового котла (бар), х2 -уровень жидкости в барабане (м), х3 — температура жидкости в барабане (град. С), х4 - температура паровыпуска (град. С), х5 - массовое паросодер-жание (%); и = со1(и,,ы2) е Я2 - вектор управления, и, воды (кг/сек), и2 - тепловой поток в трубе (кДж/сек),

0,0250 0,0191 ^

поток питательной

' -0,129 0,000 0,0396 0,00329 0,000 - 0,0000779

0,0718 0,000 0,0411 0,000 0,000361 0,000

-од 0,000 0,000035

0,000122 -0,621

0,000887 -3,851

-0,0822 0,000

0,0000426 -0,0741

5 =

0,000 0,000 0,000 0,0000249 0,000

0,00139 0,0000359 -0,00989 0,000 -0,00000543

гапк5 = 2 = р().

В разделе 4.2 для номинальной системы (42)-{43) в рамках блочного подхода синтезировано модальное управление, обеспечивающее заданный из технологических требований спектр Я, = —0,049, 3 = -0.0755 ± 0,0511/,

Я4 5 = —0.141 ± 0,017у". Показано, что пара (А, В) (43) управляема и характеризуется показателем управляемости V = 3 и индексами управляемости Ро = Р\ =2>Л =1 • Согласно теореме 2.1 система (42)-{43) приводима к БФУ

(5) с помощью невырожденного линейного преобразования Тх =х' с матрицей перехода Т (9). БФУ состоит из 3-х блоков размерности р!:

х2 = А 22-Х2 + В2л(блок 2), (44)

х{ - Ахгхг +Апх1 + В1х0 (блок 1),

До = Л02х2 + Атхх + Аюхо + В0и (блок 0).

Выполют пошаговую процедуру синтеза модального управления, которая в силу гапкВ, = сИтдг, = р1, г = 2,0 сводится к решению элементарных задач назначения матриц собственных движений каждого блока с собственными значениями: А, =-0,049 - в блоке 2; =-0.0755 ±0,0511 ] - в блоке

1; Я4 5 =-0.141±0,017У - в блоке 0, получим систему в новом координатном базисе Нх' -е с матрицей перехода Н (11):

¿2 = -К2е2 + В2е1, ё1 = -К,е1 +В,е0, е0 = 42е2 + + А^е0 + В0и. (45)

Выбор управления

" = ~Щ\42е2 + 4) Iе! + (4» + К0)С0] = 1<0е,

где ^ =

1027216 -231016 -140110 69981 126080'

2815

-515

-50

108

186

(46)

, приводит к замк-

нутой подсистеме ё0 = -К0е0 . В силу НТх = е закон управления

и = Р0НТх =

0,868x105 -0,762x10б 0,133х106 0,7х105 0,51х107

(47)

0,547x10 -0,785x10 О.ПЗхЮ"1 -0,108x10' 0,419х104

обеспечивает в исходной замкнутой системе (42), (43), (47) заданный спектр.

Моделирование проводилось в среде МАТЬАВ-81МТЛЖК. На рис. 1-5 представлены переходные процессы новых переменных е2(0 е,(/) = со1(еи(/),е12(/)), е0(0 = со1(е0|(г),е02(?)) замкнутой системы (45)-(46).

54 ¡,С "'О 50 100

Рис. 4. Рис.5

На рис. 6-10 представлены переходные процессы переменных исходной замкнутой системы (42), (47) х = со1(х,,...,х5) с начальными условиями

x¡(0) = 0 ;х2(0) = 0,02 ; х3(0) = 0; jc4(0) = 0 ; х5(0) = 0 .

х3,м_

(48)

50 100 t,C

Рис. 6. График изменения отклонения от рабочего давления

.т.ирадС

Рис. 7. График изменения отклонения от рабочего уровня жидкости в барабане

Ї5Г......У,с

Рис. 8. График изменения отклонения от рабочей температуры жидкости в барабане

Рис. 9. График изменения отклонения от рабочей температуры паровьшуска

Рис. 10. График изменения отклонения от рабочего массового паросо-держания

В реальном объекте управления некоторые параметры могут отличаться от номинальных значений в силу объективных причин, связанных со старением оборудования, изменением условий эксплуатации и других факторов, которые невозможно полностью учесть при составлении математической модели. В частности, в математической модели (42)-(43) не учитывались ос-

таточные члены линеаризации. При синтезе системы управления действующим объектом требуется рассматривать задачу в робастной постановке.

В разделе 4.3 математическая модель с определенными параметрами (42)-(43), приведенная к БФУ (44), принята в качестве номинальной системы. В предположении, что структурные свойства управляемости, определяемые номинальной системой, сохраняются в параметрически неопределенной системе, за основу построений принята математическая модель в виде (22), (26):

*2 = А11хг+Вгх1,хх = 1пх2 + 1их, +В{х0,х0 = Ä02x2 +АтХ]+Лтх0 + Впи, где Ду = Л,у + Л, - матрицы AlJ,Bi известны (44), матрицы Ду - неизвестны, значения элементов матриц Ат1 могут отклоняться на ± 10% от номинальных значений Д,, что соответствует технологическим требованиям. На основе данной БФУ выполнена процедура блочного синтеза робастного управления, обеспечивающего сверхустойчивую замкнутую систему с запасом сверхустойчивости ст > а = T7d = 0,049 = min{ReA,} в базисе НТх = Нх' = е:

ё2 =(Л22 ~К2)е2 + В2еи ¿, = 1'2е2 +(I,\ -Kt)e, +В,е0, = 4}2е2 + + Аюе0 + BÜU,

(49)

и=-В^К0ео =F0e0, и =

-0,318x10 0 ^ 0 0,441хЮ5 Как следствие, закон управления и = FgH0Tx =

-0,928x10' -0,272x10" -0,302x10" -0,318x10* 0,132xl0,2"|

-0,61х105 - 0,225x108 -ОДОбхЮ6

0

0,109x10

х (50)

обеспечит гарантированный запас устойчивости ц > в исходной замкнутой системе во всех интервалах неопределенности. Как видим, стабилизация параметрически неопределенной системы требует больших ресурсов управления (50) по сравнению с модальным управлением (47).

На рис. 11-15 представлены переходные процессы переменных замкнутой сверхустойчивой системы (49) е(0 = со1(е2(0,еп(0,е12(0,е0|(0,е02(/)) При моделировании рассматривалась нестационарная система, где неопределенные параметры плавно менялись в диапазонах Ау = А'и эти/, со = 2 рад/с.

с02 0.05

-0.05 -0.1 -0.15 -0.2

»Г, С

Рис. 14. Рис. 15.

Как видим, в сверхустойчивой системе время переходных процессов значительно меньше, чем в системе с модальным управлением (45)-{46) (см. рис. 1-5), а перерегулирование практически отсутствует.

На рис. 16-20 представлены переходные процессы переменных

х({) = Т~1Н~1е(1), л-(0 = со1(х,,...,х5) исходной замкнутой неопределенной

системы х = Ах + Ви с управлением (50) и начальными условиями (48).

дГрбар

*2,м

20 X 1С'

Г, С

Рис. 16. График изменения отклонения от рабочего давления

х., |радС

1,С

о

-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

Тс

Рис. 17. График изменения отклонения от рабочего уровня жидкости в барабане

____________________________________х,.%

г,с

1| X 10 05

-О.Зп'

-й-

Г, С

Рис. 18. График изменения отклонения от рабочей температуры жидкости в барабане

Рис. 19. График изменения отклонения от рабочей температуры паровыпуска

Рис. 20. График изменения отклонения от рабочего массового паросодержания

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе при исследовании в рамках блочного подхода проблемы ро-бастной стабилизации линейных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров:

1) разработаны принципы формирования матрицы перехода к блочной форме управляемости (БФУ) на основе преобразования матрицы управляемости номинальной системы;

2) показано, что в любой управляемой системе с помощью обратной связи по состоянию может быть обеспечена сверхустойчивость в новом координат-

20

ном базисе; разработана блочная процедура синтеза сверхустойчивой номинальной системы;

3) формализованы ранговые требования к структуре неопределенных матриц, при выполнении которых неопределенная система может быть приведена к БФУ с помощью преобразования, определяемого только матрицей управляемости номинальной системы;

4) для частного случая систем в виде БФУ с определенными матрицами перед фиктивными и истинными управлениями разработана декомпозиционная процедура синтеза робастного управления, обеспечивающего заданный запас устойчивости замкнутой системы во всех интервалах неопределенности;

5) для общего случая параметрически неопределенных систем в виде БФУ формализованы достаточные условия реализуемости робастного управления и разработана декомпозиционная процедура синтеза, обеспечивающего заданный запас устойчивости замкнутой системы;

6) разработаны методы робастного синтеза системы управления парогенератором при параметрической неопределенности математической модели.

Публикации по теме работы

а) Публикации в рецензируемых журналах ВАК

1. Краснова С.А., Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Структурный подход к робаст-

ному управлению // Автоматика и телемеханика. 2011. №8. С. 65-95.

б) Статьи в научных сборниках и периодических научных изданиях

2. Сиротина Т.Г., Нгуен Куанг Хынг, Уткин В.А. Использование сигмои-дальных обратных связей в электроприводах постоянного тока. М: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН. 2006. Труды Института. Том XXVII. С. 78-85.

в) Публикации в материалах научных мероприятиях (международных и российских конференциях)

3. Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Стабилизация динамических систем на основе СГ -функций в цепи обратной связи // Труды Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'05. Москва. 28-31 января 2005. С. 395-403.

4. Кузнецов С.И., Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Задача стабилизации линейных систем с сигмоидальной обратной связью // Тезисы докладов 10-й международной конференции «Системный анализ, управление и навигация». Крым. Евпатория. 3-10 июля 2005. С. 153-154.

5. Нгуен Куанг Хынг, Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Использование сигмои-дальных обратных связей в электроприводах постоянного тока// Труды Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'06. Москва. 30 января - 2 февраля 2006. С. 773-781.

6. Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Нейросетевой подход к решению задачи стабилизации динамических систем // Тезисы докладов Третьей международной конференции по проблемам управления. Москва. 20-22 июня 2006. Т.2. С. 168.

7. Уткин В.А., Сиротина Т.Г. Синтез систем управления с учетом фазовых ограничений на основе сигмоидальных функций в обратной связи // Тру-

ды VIII Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах». Самара. 24-28 июня 2006. С. 216-222.

8. Уткин В.А., Сиротина Т.Г. Синтез САУ с учетом фазовых ограничений на основе сигмоидальных обратных связей // Тезисы V международной конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве». Тирасполь. 3-6 июня 2007. С. 58-59.

9. Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Задача стабилизации линейных систем с учетом фазовых ограничений на основе блочного подхода // Тезисы международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем» DSMSI-2009. Киев. 27-29 мая 2009. С. 314.

10. Краснова С.А., Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Задача стабилизации с учетом ограничений на фазовые координаты и управляющие воздействия // Тезисы 14-й международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация». Крым, Евпатория. 28 июня-5 июля 2009. С. 91.

11. Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Учет фазовых ограничений в задаче слежения на примере двигателя постоянного тока // Сборник материалов Всероссийской научно-технической конференции «Проведение научных исследований в области машиностроения». Тольятти. 27-28 ноября 2009. 4.1. С. 45-51.

12. Сиротина Т.Г., Краснова С.А. Блочный синтез обратной связи в задачах робастной устойчивости систем // Тезисы докладов XI Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». Москва. 1-4 июня 2010. С. 200-201.

13. Краснова С.А., Сиротина Т.Г., Уткин В.А. Блочный синтез робастного управления // Материалы X международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2010. Новосибирск. 22-24 сентября 2010. Т.7. С. 122-129.

14. Сиротина Т.Г. Стабилизация линейных систем с учетом ограничений на фазовые переменные и управления // Материалы конференции «Управление в технических системах» УТС-2010. Санкт-Петербург. 12-14 октября 2010. С.91-94.

15. Сиротина Т.Г. Робастный синтез линейных систем со скалярным управлением // Труды международной научно-практической конференции «Передовые информационные технологии, средства и системы автоматизации и их внедрение на российский предприятиях» AITA-2011. Москва. 4-8 апреля 2011. С. 906-920.

Личным вкладом соискателя в работе в [1] являются доказательства основных теорем, численные примеры; в работах [2-5] - разработка процедур синтеза алгоритмов управления; в [6] - декомпозиционной процедуры синтеза системы управления маятником; в [7-9] - однопараметрических процедур настройки коэффициентов обратной связи; в [10] - процедур синтеза обратной связи; в [11] - алгоритмов настройки формирователя заданий; в [12, 13] - процедур приведения систем к новому координатному базису. Научным руководителем д.т.н. В.А.Уткиным сформированы общая идея работы и предварительные формулировки основных теорем.

Зак. 29. Тир. 100. ИПУРАН

61 12-5/2427

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

СИНТЕЗ РОБАСТНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ БЛОЧНОГО ПОДХОДА

Специальность: 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

УДК 62- 50

На правах рукописи

Сиротина Татьяна Геннадьевна

Научный руководитель д.т.н., проф. В.А. Уткин

Научный консультант д.т.н., проф. С.А. Краснова

Москва-2012

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.................................................................................................................4

Глава 1. Методологические основы робастного управления 14

1.1. Методы робастной стабилизации и управления........................................15

1.2. Стабилизация и сверхстабилизация......................................................................21

1.3. Блочный принцип модального управления....................................................29

1.4. Цели и задачи диссертационной работы........................................................38

Глава 2. Синтез сверхустойчивых линейных стационарных систем

в условиях параметрической определенности..................................................................41

2.1. Принцип формирования матрицы перехода к блочной форме управляемости (БФУ) на основе преобразований

матрицы управляемости............................................................................................................42

2.2. Блочный синтез модального управления на основе БФУ............49

2.3. Блочный синтез сверхустойчивых систем......................................................57

2.4. Краткие выводы........................................................................................................................68

Глава 3. Декомпозиционный синтез робастного управления

на основе блочной формы управляемости............................................................................70

3.1. Постановка задачи..............................................................................................................71

3.2. Получение БФУ в условиях интервальной

неопределенности параметров..........................................................................................73

3.3. Робастная процедура блочного синтеза при определенности матриц перед фиктивными и истинными управлениями............................78

3.3.1. Системы со скалярным управлением..................................................79

3.3.2. Системы с векторным управлением....................................................89

3.4 Достаточные условия реализуемости робастного управления... 93

3.4.1. Неопределенные системы со скалярным управлением... 93

3.4.2. Неопределенные системы с векторным управлением..........102

3.5. Краткие выводы......................................................................................................................109

Глава 4. Блочный синтез системы управления парогенератором..................112

4.1. Описание модели объекта управления................................................................112

4.2. Блочный синтез модального управления..........................................................115

4.3. Блочный синтез робастного управления............................................................123

4.4. Краткие выводы......................................................................................................................131

Заключение......................................................................................................................................................132

Список литературы....................................................................................................................................135

Приложение 140

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Задача стабилизации переменных состояния динамических объектов автоматического управления является фундаментальной проблемой, постановка и решение которой послужили основой становления и развития теории управления. Классические методы теории управления основаны на предположении точного описания математической модели управляемого процесса и среды его функционирования. Однако такая ситуация является идеализированной: в реальных задачах некоторые характеристики и параметры объекта управления могут быть заранее неизвестными или значительно меняться в процессе эксплуатации, что требует разработки и привлечения специальных методов, обеспечивающих заданные характеристики управляемого процесса в условиях неопределенности.

К решению задач управления в условиях параметрической неопределенности в настоящее время обращено повышенное внимание многих исследователей. Прямой путь решения задачи стабилизации состоит в получении оценок неизвестных параметров модели объекта управления, или непосредственно, с использованием теории идентификации, или косвенно, на основе теории адаптации [33, 80]. Имея оценки неизвестных параметров, появляется возможность использовать хорошо разработанные методы модального управления. Отметим, что в задачах идентификации и адаптации используется метод расширения пространства состояний [55].

Другое направление в решении задачи стабилизации параметрически неопределенных систем относится к активно развивающейся в настоящее время теории робастного управления, в которой можно условно выделить два направления: проблемы анализа и проблемы синтеза. К классическим методам анализа разомкнутых систем относятся результаты по интервальной устойчивости полиномов [34, 56], робастные частотные методы [38-41], метод I) - разбиений [35, 36]. К методам синтеза робастного управления относятся методы квадратичной стабилизации, основанные на поиске общей квадра-

тичной функции Ляпунова [4, 67]; линейной квадратичной оптимизации [67, 86], где гарантируется заданный сверху уровень квадратичного критерия; Яда-оптимизации [19, 28]. Следует отметить, что в данных подходах в постановках задач, как правило, не делается предположений о структурных свойствах управляемости системы. Указанные методы робастной теории позволяют установить лишь факт устойчивости разомкнутой или замкнутой системы, и не дают напрямую ответ на вопрос о характере сходимости, что снижает их практическую значимость. Кроме того, используемые в теории робастной стабилизации косвенные методы, которые часто сводятся к численным процедурам, не гарантируют нахождения решений. Необходимость в разработке альтернативных, конструктивных методов робастного управления свидетельствует об актуальности темы диссертационного исследования.

В диссертационной работе рассматривается проблема робастной стабилизации с гарантированным запасом устойчивости линейных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров с помощью линейной обратной связи по состоянию. Методологическую основу разработанного подхода составляет синтез сверхустойчивых замкнутых систем (Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков) с использованием и модификацией процедур блочного принципа управления (А.Г. Лукьянов, В.А. Уткин, В.И. Уткин). Блочный принцип управления основан на невырожденном линейном преобразовании математической модели объекта управления в блочную форму управляемости (БФУ). БФУ отражает структурные свойства управляемости оператора объекта управления и состоит из связанных элементарных блоков, что является предпосылкой декомпозиции задачи синтеза на последовательно решаемые элементарные задачи. Существенно, что для реализации процедуры блочного синтеза не требуется находить собственные значения матрицы разомкнутой системы, что выгодно отличает данный подход от процедур синтеза модального управления на основе известных канонических представлений. Этот факт является предпосылкой использования блочного принципа в задачах робастного управления в комплексе с понятием сверхустойчивой

системы, которое также формулируется непосредственно в терминах элементов матриц, а не их собственных значений.

Объект исследования - практически значимый класс линейных стационарных систем, в которых при всех значениях неопределенных параметров из интервалов с известными границами сохраняются структурные свойства управляемости, определяемые номинальной системой.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методологических основ для реализации блочного подхода в линейных стационарных системах с интервальной неопределенностью параметров и декомпозиционных процедур синтеза систем с заданным запасом устойчивости при всех значениях неопределенных параметров из интервалов с известными границами.

Данная цель определила следующие задачи работы. Для линейных стационарных систем с определенными параметрами:

- разработать принцип формирования матрицы перехода к блочной форме управляемости (БФУ) в терминах матрицы управляемости системы;

- разработать блочную процедуру синтеза обратной связи по состоянию, обеспечивающую сверхустойчивость системы в новом координатном базисе.

На основе полученных результатов, для линейных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров:

- формализовать ранговые требования к структуре неопределенных матриц, при выполнении которых неопределенная система приводится к БФУ независимо от неизвестных параметров;

- для частного случая БФУ с определенными матрицами перед фиктивными и истинными управлениями разработать декомпозиционную процедуру синтеза робастного управления, обеспечивающего сверхустойчивость системы в новом координатном базисе и, как следствие, заданный запас устойчивости в исходной замкнутой системе во всех интервалах неопределенности;

- для общего случая БФУ неопределенной системы формализовать достаточные условия реализуемости робастного управления и разработать процедуру блочного синтеза стабилизирующей обратной связи, обеспечивающей заданный запас устойчивости во всех интервалах неопределенности;

- применить разработанные методы блочного синтеза робастного управления в задаче управления парогенератором, функционирующим в условиях интервальной неопределенности параметров.

Указанный комплекс задач определили структуру и содержание диссертационной работы, которая состоит из четырех глав.

Первая глава имеет обзорно-постановочный характер. В разделе 1.1 представлен краткий обзор основных методов теории робастной устойчивости и стабилизации для линейных динамических систем. Обосновывается необходимость в разработке конструктивных методов робастного управления. В следующих разделах на содержательном уровне изложены специальные разделы современной теории автоматического управления, которые составили методологическую основу диссертационного исследования. В разделе 1.2 изложено понятие сверхустойчивости линейной динамической системы, которое (в отличие от устойчивости) формулируется в терминах элементов матрицы системы, а не ее собственных значений, что является предпосылкой его использования в задачах робастной стабилизации. Тот факт, что не во всякой управляемой системе можно обеспечить сверхустойчивость с помощью линейной статической обратной связи (исключение составляют элементарные системы) приводит к необходимости привлечения блочного принципа управления, основные положения которого изложены в разделе 1.3 для линейных параметрически определенных моделей объектов управления. Конструктивность данного метода заключается в том, что математическая модель исходной системы представляется в виде связанных элементарных блоков, что обуславливает декомпозицию задачи синтеза на последовательно решаемые элементарные подзадачи модального управления. Требуется дальнейшее развитие данного подхода применительно к задачам робастной стабилизации

с целью обеспечить сверхустойчивость во всех допустимых диапазонах неопределенных параметров модели объекта управления. В разделе 1.4 определяются цели и задачи диссертационной работы.

Во второй главе в рамках блочного подхода решается проблема сверхстабилизации линейных стационарных динамических систем с определенными параметрами. В разделе 2.1 выявлена связь структурных свойств управляемости линейной стационарной системы (а именно, ранговой структуры ее матрицы управляемости) со структурой блочной формы управляемости (БФУ). В отличие от традиционной пошаговой процедуры получения БФУ (см. раздел 1.3), которая непосредственно применяется собственно к модели объекта управления, разработан принцип формирования матрицы перехода к БФУ в терминах матрицы управляемости, который более конструктивен в контексте будущих постановок задач робастного управления. В разделе 2.2 на основе БФУ формализована процедура блочного синтеза модального управления, разработан принцип формирования матрицы перехода к системе с замкнутыми локальными связями. Данные результаты составили основу разработанного в разделе 2.3 блочного синтеза сверхустойчивых систем в новом координатном базисе, который не требует нахождения собственных значений матрицы коэффициентов системы и гарантирует в исходной замкнутой системе заданный запас устойчивости. Показано, что любая управляемая система приводится с помощью линейной обратной связи по состоянию к сверхустойчивой в новом координатном базисе.

В третьей главе в рамках блочного подхода решается задача стабилизации линейных стационарных систем, функционирующих в условиях интервальной неопределенности параметров, в предположении, что структурные свойства управляемости, определяемые номинальной системой, сохраняются в неопределенной системе во всех интервалах неопределенности. Основу построений составили разработанные в главе 2 процедуры получения блочной формы управляемости (БФУ) и блочного синтеза сверхустойчивых систем для номинальной системы. В разделе 3.1 формализуется постановка задачи.

В разделе 3.2 введено понятие БФУ для систем с интервальной неопределенностью параметров, формализованы ранговые требования к структуре неопределенных матриц, при выполнении которых система приводима к БФУ независимо от неизвестных параметров. Доказано, что соответствующее невырожденное преобразование определяется матрицей управляемости номинальной системы. В следующих разделах на основе БФУ неопределенной системы разработаны декомпозиционные процедуры синтеза робастного управления, обеспечивающего сверхустойчивость в новом координатном базисе и, как следствие, заданный запас устойчивости исходной замкнутой системы во всех интервалах неопределенности. В разделе 3.3 рассматривается частный случай систем, имеющих вид БФУ, где матрицы перед фиктивными и истинными управлениями не зависят от неопределенных параметров. В разделе 3.4 рассматривается общий случай БФУ неопределенной системы, формализованы достаточные условия реализуемости робастного управления в рамках используемого метода. В каждом разделе вначале рассматриваются системы со скалярным управлением, потом разработанные процедуры обобщаются на случай систем с векторным управлением. Приведены численные примеры, демонстрирующие полученные результаты.

В четвертой главе теоретические результаты, полученные в предыдущих главах, используются для блочного синтеза системы управления парогенератором марки Пр-420-13.8-550ГМ. В разделе 4.1 приводятся линеаризованная модель объекта управления и его технические характеристики. В разделе 4.2 для номинальной системы в рамках блочного подхода синтезирован закон модального управления, обеспечивающий заданный спектр матрицы замкнутой системы. В разделе 4.3 рассматривается параметрически неопределенная модель объекта управления, структурные свойства управляемости которой соответствуют структурным свойствам управляемости номинальной системы. В рамках блочного подхода решена задача синтеза робастного управления, обеспечивающего заданный запас устойчивости при всех значениях неопределенных параметров из интервалов с известными границами.

Приведены результаты моделирования разработанных алгоритмов, реализованных в среде МАТЬАВ-81МЦЪШК. Показано, что закон управления, синтезированный для стационарной системы, обеспечивает гарантированный запас устойчивости и в случае, когда неизвестные параметры плавно меняются в известных диапазонах.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы.

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертационной работе при исследовании в рамках блочного подхода проблемы робастной стабилизации линейных стационарных систем с интервальной неопределенностью параметров:

1) разработаны принципы формирования матрицы перехода к блочной форме управляемости (БФУ) на основе преобразования матрицы управляемости номинальной системы;

2) показано, что в любой управляемой системе с помощью обратной связи по состоянию может быть обеспечена сверхустойчивость в новом координатном базисе; разработана блочная процедура синтеза сверхустойчивой номинальной системы;

3) формализованы ранговые требования к структуре неопределенных матриц, при выполнении которых неопределенная система может быть приведена к БФУ с помощью преобразования, определяемого только матрицей управляемости номинальной системы;

4) для частного случая систем в виде БФУ с определенными матрицами перед фиктивными и истинными управлениями разработана декомпозиционная процедура синтеза робастног