автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Сеточные методы для некоторых нелинейных задач теории пологих оболочек и фильтрации

Р Г Б ОА

1 о АПР 1995

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ПАНКРАТОВА Ольга Впациславна

СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК И ФИЛЬТРАЦИИ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1995

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского университета.

Научные руководители: доктор физико - математических

наук, профессор ЛЯШК0 Анатолий Дмитриевич, кандидат физико - математических наук, доцент

БАДРИЕВ Ильдар Бурханович Официальные оппоненты: доктор физике - математических

наук, профессор ВАБИЩЕВИЧ Петр Николаевич кандидат физико - математических наук, доцент

СТРЕБКОВ Евгений Владимирович Ведущая организация: Ростовский государственный

университет.

Защита состоится "28" апреля 1995 г. в 14 час. 30 мин. ш заседании диссертационного Совета К053.29.20 в Казанском го сударственном университете по адресу: 420008, г.Казань, ул. Уни верситетская, 17, ком. 324, конференц-зал НИИММ им. Н. Г. Чебота рева.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГ инени Н. И. Лобачевского С420008, г. Казань, ул. Ленина, 18). Автореферат разослан 995 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физ. - мат. наук, доцент^^^^- Е. М. Федото

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сеточные методы в настоящее время являются самым распространенным средством решения задач математической физики. К числу наиболее развитых из них относятся, прежде всего, методы конечных разностей и конечных элементов. Различные аспекты преимущественно линейной теории этих методов освещены в многочисленных работах.

Хорошо известно, что при описании реальных задач, возника-ощих.в механике, физике, технике,возникает, как правило, необхо-1ИМость учета нелинейных эффектов, что существенно усложняет построение и теоретическую оценку качества сеточных аппроксимаций соответствующих краевых задач. Значительные трудности, естест-1енно, возникают и при построении эффективных итерационных мето-10в решения нелинейных уравнений математической физики.

К настоящему времени довольно широко изучены сеточные схемы [ итерационные методы для нелинейных задач с сильно монотонными шераторами.

В диссертации рассматриваются задачи, при описании которых юзникают эллиптические уравнения и неравенства с операторами, г.е являющимися сильно монотонными. Это - задачи теории стацио-:арной фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному акону фильтрации с предельным градиентом, а также задачи физи-ески нелинейного изгиба тонких пологих оболочек, находящихся од воздействием произвольно направленной внешней нагрузки.

Цель работы заключается в построении и исследовании сеточ-

ных методов решения стационарных задач фильтрации с предельным градиентом и задач физически нелинейного изгиба тонких пологих оболочек.

Методы исследования. В диссертации используются метод монотонных операторов и методы выпуклого анализа, в частности, теория двойственности. При построении конечномерных аппроксимаций применялись методы сумматорных тождеств и конечных элементов.

Научная новизна. Построены и исследованы итерационный процесс типа Удзавы решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации с разрывным законом и сеточного аналога этого алгоритма. Построена разностная схема для задачи об изгибе тонкой пологой физически нелинейной оболочки, находящейся под действием произвольно направленной внешней нагрузки, и исследована сходимость разностной схемы. Предложен и исследован итерационный метод типа Удзавы решения разностной схемы для задачи об изгибе тонкой пологой физически нелинейной оболочки.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при решении конкретных задач нелинейной фильтрации и теории пологих оболочек.

Апрооация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского госуниверситета, на итоговых научных конференциях Казанского госуниверситета 1988- 1994 г., на семинарах Всесоюзной школы молодых ученых "Современные проблемы численного анализа' СЕреван, 1988 г.), на Республиканской конференции молодых ученш и специалистов СМинск,1989 на Всесоюзной конференции "Мате-

матическое моделирование и численный эксперимент" (Казань, 1991 г.), на 4-й Всероссийской школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Абрау-Дврсо. 1992 г.5, на Международной конференции "Flow thorough porous media and reservior engee-ring applications" СМосква, 1992 г.}, на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100 - летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий объем работы 100 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы и кратко описывается содержание работы.

Глава 1 посвящена построение и исследованию итерационного процесса типа Удзавы для нелинейной стационарной задачи теории фильтрации.

В § 1 приводится постановка задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону. Закон фильтрации записывается в виде:

y(u) = - g(|v u|z)vu, где v - скорость фильтрации, и - давление, дС?23£ - разрывная

при ? = /3 функция, определяющая закон фильтрации и имеющая вид:

дС?г)? = доС?гЗ? + д^2)?. где = 0 при ? < (3, д^2}^ = * при ? > ¡3, & > О, доС?2)?

- неотрицательная при £ £ 0 неубывающая функция, имеющая на бесконечности степенной рост порядка р - 1 > 0.

Фильтрация рассматривается в области О с К", т > 1, с границей Г.

Под решением стационарной задачи фильтрации с известной плотностью внешних источников Г понимается функция и € V =

о

= N а,СП) такая, что

П О

Г € V*. V* = Уч<_1>СП}, q = р/Ср-1), <•,•> - отношение двойственности между V и V*.

Задаче С1)"ставится в соответствие двойственная задача

р

ГС и) = ^ РСт)),

где VБ!1.

ДуЭ = 1пГ ЛС«),

С 2)

где 3: У* - -И' ,

- 7 -|w|

JCw) = J J fC?2)? dx,

Q 0

M = Cw € Y* <w,vr)>Y + <f,i7> = О V V « V >,

Y = CL СП))"1, Y* = CL СП))"1, <•,•>., - отношение двойственности p q ' ' i

между Y и Y*, а функция рСС?+90гХ?+$) при £ > О является обратной к доСС?+/3)г)С?+/3).

Отметим, что задача С15 представляет собой постановку задачи фильтрации в терминах давлений, а задача С2) - в терминах поля скоростей.

Далее, в § 2, на Y* х V вводится функция Лагранжа

LCw, 17) = JCw) + <w,777>v + <f,77>, СЗ)

и задачам С1),С2) ставится в соответствие задача нахождения сед-ловой точки лагранжиана L:

LCv,u) = sup inf LCw, т)) C4)

7)€V weY*

Вводится в рассмотрение также модифицированный лагранжиан Lr, заданный на Y*x V по формуле

L Cw,7)} = LCw,т)) * - lldiv w - fll* С5)

2 V*

Доказана теорема od эквивалентности задач нахождения седловых точек модифицированного лагранжиана С5!) и лагранжиана СЗ). Кроме

того, установлена связь между сецловой точкой задачи С4) и решениями задач С1) и С2).

В § 3 для нахождения седловой точки модифицированного лагранжиана С5) в предположении, что р = 2, строится итерационный процесс типа Удзавы, состоящий в следующем.

Для произвольного заданного элемента и0 € V строится последовательность <УП, ип>°° :

П=1

1. При известном и" определяем у" как решение задачи

\ .

I Су^.и") = 11* 1 С*. ип)

г „ г

2. Находим затем ип+1 из соотношения

< уСип+'-ип),77}> = + <?,т)>1 V Г) € V.

Доказана теорема о сходимости предложенного итерационного процесса при р € СО,г).

Глава 2 посвящена построению и исследованию сеточных схем для задачи С1), С2) и алгоритма решения их численной реализации.

В § 1 главы 2 приведены вспомогательные результаты, связанные с построением регулярной триангуляции области П. Вводятся также соответствующие конечномерные аналоги задач С1), С 2} и доказываются утверждения об их разрешимости.

В § 2 главы 2 исследуется сходимость решения схемы ЖЭ для задачи С2) к решению.исходной при произвольном р > 1. Доказана слабая сходимость последовательности решений схем МКЭ для задачи С2) к некоторому решению дифференциальной задачи. Если провести

регуляризацию функции р, так чтобы регуляризованная функция была равномерно монотонной, то имеет место сильная сходимость последовательности <уь> сеточной схемы для регуляризованной задачи.

3 § 3 строится и исследуется итерационный процесс, являющийся конечномерной аппроксимацией предложенного в первой главе алгоритма для задачи С5).

Вторая часть диссертации связана с исследованием и решением вариационных задач нелинейной теории упругости. Б ней рассматривается задача об изгибе тонкой пологой оболочки, находящейся под действием произвольно направленной внешней нагрузки. Предполагается, что плотность потенциальной энергии изгиба <р - выпуклая непрерывная функция, имеющая произвольный степенной рост порядка р > 1 на бесконечности.

В 3 главе методом сумматорнкх тождеств построена и исследована разностная схема для задачи об изгибе тонкой пологой оболочки.

§ 1 главы 3 носит вспомогательный характер. В нем математически формулируется задача об изгибе тонкой пологой оболочки как задача минимизации функционала потенциальной энергии:

1пГ ГСи), (6)

где

ГСи) = |рС£,*Мх - |г1и1ёх, П П

V = И «>хй <1>х V <г1

П -ограниченная двумерная область (срединная поверхность оболочки), с = etJCu) = 0.5 Си4^ + Uj>1 + V.u^) +

+ kjjU3 , i,j=l,2 - компоненты тангенциальной деформации срединной поверхности оболочки, * = С* ,х ,х ), х, Си) = - и „ ,,

Г 1112' 22 1J 31J'

i,j = 1,2 - компоненты изгибной деформации, k. j - начальные кри- ' визны оболочки, f = Cf,f,f)eV* = W <_l> х vi ("l> х W ("г>,

12 3 q q q

1/р + 1/q = 1 - внешняя нагрузка.

§ 2 главы 3 посвящен построению разностной схемы для задачи С6) и исследованию ее разрешимости. При этом в области Q строится сетка 5, вводятся конечномерные аналоги компонент тангенциальной деформации еа и компонент изгибной деформации *а , а также соответствующие конечномерные пространства. Задаче C6D ставится в соответствие разностная задача

min §Су), (7)

о

у€Н

где

$Cy) =

4

fCy) 4lCi>C£«' "e>-»«"h.h. 1Г1ьУ1'

а <о

Н -пространство сеточных вектор - функций у=Су1 . У2. У3) •

Доказывается также конечномерный аналог неравенства Корна. Далее в § 2 доказывается теорема о разрешимости разностной схемы (7).

В § 3 исследуются условия сходимости разностной схемы С7). Установлена равномерная ограниченность ее решения и доказана

слабая сходимость в соответствущих пространствах восполнений компонент тангенциальной и изгибной деформаций и смещений к их дифференциальным аналогам.

В главе 4 построен итерационный процесс типа Удзавы, предназначенный для решения вариационных задач, возникающих при описании изгиба тонкой пологой физически нелинейной оболочки.

В § 1 главы 4 вводятся: 0д - пространство сеточных вектор -

в 2

функций qr. = Са „). _ , определенных на сетке со, а=Са. ,а.Э. -

и 1 О X —1 1 ^ 1 ^ —1

мультииндекс, компоненты которого могут принимать значения ± 1,

о

пространство 0 = 0в * 0в * 0в х 0в и оператор В: Н -» О, В =

2 О

СВСа а -))1 ^ , где операторы Ва: Н -+ 0в определяются следующим образом:

В„у=Ся С у),Су) Су),*„ Су),*,, Су),* Су}).

а? си 1 7 си г 1 си2 1 си 1 ^ 0(12 -1 0122 ■'

о

На Н х 0 х 0 вводится лагранжиан

ЬСУ.Ч.м) = -Кч) + вСу) + <М,ВУ^>, С 8)

где

= 1 £ СРСда),1)а, да 0в, ССу) = ЬЬг £ Г11Л . V « Н,

а

1 8

а 1 =1

Ставится задача нахождения седловой точки лагранжиана I/.

LCu, рД) = inf sup LCv,q,ju). C9)

pcHQ veH q€Q

Вводится также расширенный лагранжиан:

L.Cv,q,p) = LCv,q,fj) + - |Bv-q|2, CIO)

2

где г - положительная константа, |q|z = <q,q>.

В § 2 главы 4 строится итерационный процесс типа Удзавы для нахождения седловой точки расширенного лагранжиана L; предварительно устанавливается эквивалентность задачи С93 и задачи нахождения седловой точки расширенного лагранжиана СЮ) и связь между седловой точкой задачи С9) и решением задачи минимизации С8). Указанный алгоритм состоит в следующем.

Пусть Х.°€ Q - произвольный заданный элемент. Строится последовательность Суп,рпДп>™_1 следующим образом.

При известном \п определяем Су",рп) как решение системы

' 6Cv3-GCyn)-KXn;BCv-yn)>+r<Byn-pn,6Cv-yn)>>0 yv«H <ф'С pn),q-pn>—<Xn,q-pn> +г<pn-By",q-pn>>0 V q € Q Полагаем затем

Xn+1 = Xn + § CBy"-?")- С12)

На каждом шаге итерационного процесса необходимо решить систему линейных уравнений относительно у" Сэта система аналогична линейной задаче плоской теории упругости) и нелинейную си-

- 13 -

стему уравнений относительно рп

Далее, в § 2 главы 4 доказывается сходимость итерационного процесса СИ)-С 12). Установлена сходимость итерационных приближений к решению задачи С9).

В § 3 приводится описание численного эксперимента, проведенного на основе разработанного в главе 4 итерационного процесса. Результаты методических расчетов свидетельствуют об эффективности предложенного алгоритма.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построен и исследован итерационный процесс типа Удзавы решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации с разрывным законом, позволяющий одновременно находить как давление, так и скорость фильтрации, удовлетворяющую уравнению неразрывности.

2. Построены и исследованы сеточные схемы конечных элементов для нелинейной задачи стационарной фильтрации с разрывным законом и итерационных методов численной реализации этих сеточных схем.

3. Построена разностная схема для задачи об изгибе тонкой пологой физически нелинейной оболочки, находящейся под действием произвольно направленной внешней нагрузки и исследована сходимость разностной схемы.

4. Предложен и исследован итерационный метод типа Удзавы решения разностной схемы для задачи об изгибе тонкой пологой фи-

зически нелинейной оболочки, позволяющий одновременно находить как вектор смещений, так и компоненты тензора деформации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Бадриев И. Б. , Панкратова 0.В. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных стационарных задач теории фильтрации // В сб.: Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во Казанок. ун-та. - 1989, - вып. 16,- С. 17 - 33.

2. Бадриев И. Б. , Карчевский М. М. , Панкратова 0. В. 0 численном решении нелинейной задачи фильтрации с разрывным законом методом Удзавы // Применение информатики и вычислит, техники при решении народнохозяйств. задач. Тезисы докл. Республ. конф. молодых ученых и специалистов СМинск, 1989). - Минск: Изд-во ИМ Белорусок. АН. - 1989. - С. 119.

3. Бадриев И. Б. , Карчевский М. М., Панкратова 0. В. 0 решении задач стационарной фильтрации с предельным градиентом // Матема-тич. моделирование и вычислит, эксперимент. Тезисы докл. Всесо-юзн. конф. СКазанъ, 19915. - М: Изд-во ИПМ РАН - 1991. - С. 11.

4. Бадриев И. Б. , Карчевский М. М., Панкратова 0. В. Применение метода для решения задачи об изгибе пологой оболочки // Численные методы механики сплошной среды. Тезисы докл. 4-й Всерос. школы молодых ученых САбрзу-Дюрсо, 1992). Красноярск.-1892. -

С. 112.

3. Карчевский М. М. , Панкратова 0. В. Исследование разностных схем для вариационных задач нелинейной теории пологих, оболочек

// ВИНИТИ N 1083 - В94. - Деп., - 1994. -19 с.

6. Панкратова О. В. Метод расширенного лагранжиана для вариационных задач нелинейной теории оболочек //ВИНИТИ N 1729 - В94.

- Деп.. 1994. -16 с.

7. Бадриев И.5., Карчевский М. И., Панкратова О.В. Разностные методы решения задачи об изгибе пологой оболочки // Алгебра и анализ. Часть II.: Тезисы докл. Междунар. научной конф., посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994)

- Казань: Изд-во Казанского ун-та - 1994. - с.21—22.

8. Бадриев И. 5., Панкратова 0. В. Разностные кэтоды решения задач фильтрации с разрывным законом//Алгебра и анализ. Часть II: Тезисы докл. Междунар. научной конф., посвященной ЮО-летив со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань 1994) - Казань: Иэд-во Ка-занск. ун-та - 1994. - с. 22 - 23.

Сдано в набор 21.03.95 ?. Подписано в печать 23.03.95 г. Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л. I. Тираж 100. Заказ 126.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина» 4/5