автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование смешанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек

2 Ь икЛ

На правах рукописи

ЗАБОТИНА Лия Шамилевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ СХЕМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

У

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

КАЗАНЬ - 1997

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор М.М. Карчевский. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор A.A. Злотник, кандидат физико-математических наук И.Н. СидЬров. Ведущая организация: Санкт- Петербургский Экономико-математический институт РАН

Защита состоится 7 CK^uj^C-.K^ ig97 г в 14 час. на заседании Диссертационного Совета К053.29.20 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17, комн. 324, конференц-зал НИИММ им. Н.Г. Чеботарева.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета.

Автореферат разослан № 1997 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета, кандидат физ. - мат. наук, .

доцент Федотов Е.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Сеточные методы (разностные и ко-эчноэлементные) широко применяются для решения задач меха-яки деформируемого твердого тела. К числу наиболее сложных здесь относятся задачи расчета пластин и оболочек с учетом юметрической нелинейности. Исследованию возникающих при гом краевых задач и разностных методов их решения посвяще-1 обширная литература (И.И. Ворович, Е.Г. Дьяконов, А.Д. яшко, М.М. Карчевский, С.Н. Волошановская и др.). Примене-1е классических вариантов МКЭ для этих задач предполагает :пользование эрмитовой интерполяции. Возникающие на этом ,ти алгоритмы оказываются весьма трудоемкими. Для линей-лх задач теории пластин и оболочек возможность применения эостейдшх элементов (класса Сдостигается за счет перехода смешанным методам конечных элементов (СМКЭ). При этом эедварительпо снижается порядок уравнений при помощи вве-;ния вспомогательных неизвестных, что, обычно, осуществляйся за счет использования двойственной или смешанной вариа-гонной формулировки задачи.

В работах Е.Г. Дьяконова, Г.М. Кобелькова предложен и хледован метод сведения уравнений четвертого порядка к си-■емам второго порядка типа Стокса.

Первые СМКЭ для задачи об изгибе пластины были пред->жены Германом, Хелланом, Виссером л обоснованы в работах жонсона, Мийоси. В работах Бреззи, Равьяра, Фалка, Осбор-I получены оптимальные оценки погрешности этих методов,

создала общая теория СМКЭ для линейных эллиптических ура! нений четвертого порядка. Л.В. Масловская исследовала схем. Германа-Джонсона и Германа-Мийоси для задач теории ноле гих оболочек. Г.П. Астраханцевым предложена смешанная схем МКЭ для непологой оболочки произвольной геометрии. Получе ны оптимальные оценки точности, предложен и исследован мето простой итерации для решения соответствующей системы линек ных алгебраических уравнений. Важной особенностью примени емого им подхода является непосредственное использование ис ходпой вариационной формулировки задачи. В качестве вспо могательных неизвестных выступают вторые производные про гиба. Смешанные методы применялись также к нелинейным за дачам теории пластин: для уравнения упруго-пластического из гиба (Бреззи, Джонсон, Мерсье), для уравнений Кармана (Мий оси). Применение СМКЭ для геометрически нелинейных зада1 теории оболочек наталкивается на серьезные трудности. Объяс няется это, по-видимому, тем, что указанные задачи не являются выпуклыми, и для них не удается применить теорию двойствен ности при введении вспомогательных неизвестных.

Настоящая диссертация содержит исследование нового клас са смешанных схем конечных элементов для геометр иче с км и фи зически нелинейных задач теории тонких оболочек. При построении схем используется подход Г.П. Астраханцева. Для нелиней; ных задач теории пластин аналогичные построения применялись М.М. Карчевским.

Цель работы состоит в построении и исследовании сме-

шанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек, а также итерационных методов численной реализации этих схем.

Методы исследования. Используется математический аппарат теории метода конечных элементов, теория интерполяции функций из пространств Соболева, методы нелинейного функционального анализа.

Научная новизна. Построены новые схемы конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек. Исследованы вопросы разрешимости и сходимости указанных схем, получены оценки точности метода. Предложены и исследованы итерационные методы цпя численной реализации СМКЭ.

Практическая значимость. Методы, разработанные в диссертации,"могут быть использованы для численного решения конкретных задач нелинейной теории пластин и оболочек.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту 26 - 29 июня 1991 г.(Казань), Международной научной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чеботарева, 5-11 июня 1994 г. (Казань), 14-ой Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности 25 сентября 1 октября 1995 г. (Волгоград), на отчетных конференциях Казанского государственного университета 1991 - 1994 гг., на семинаре кафедры математического моделирования Московского энергетического института (руководитель - Ю.А. Дубинский),

на семинаре' кафедры вычислительной математики Казапског государственного университета (руководитель - А.Д. Ляшко).

Публикации. Основные результаты диссертации онублико ваны в 7 работах.

Обьем и структура работы. .Диссертация состоит из вве дения, трех глав и списка литературы, содержащего 101 найме нование. Общий объем работы - 117 страниц.

Во введении описывается состояние проблемы, обосновыва ется актуальность темы диссертации, кратко излагаются основ ные результаты работы.

Первая глава посвящена построению СМКЭ и исследованш условий их разрешимости.

В §1 приводятся постановки рассматриваемых в диссертаци задач. Задача о равновесии оболочки формулируется как задач об отыскании критических точек функционала

на нрЪстранстве функций, удовлетворяющих главным граничны] условиям. Здесь и = (щ, 112,113) - вектор смещений точек средин ной поверхности оболочки, е - компоненты мембранной, ае - ком роненты изгибной деформации срединной поверхности оболочки Для них используются выражения, принятые в геометрическ нелинейной теории среднего изгиба, / - вектор внешней нагруз ц> - плотность потенциальной энергии деформации оболочки Предполагается, что - выпуклая функция, имеющай степенно] рост порядка р > 1.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Отдельно отмечаются следующие случаи.

1. Пологая оболочка. Геометрия срединной поверхности олочки отождествляется с геометрией евклидовой плоскости:

(и) = е;;-(и) + 0.5и3„- , еу(«) = 0.5(и;,;- +и;-„-) + к^и3, = 1, 2,

е кц - начальпые кривизпы оболочки, аз,;(и) = —из,¡у, г,^ = 1,2.

2. Геометрически линейный изгиб пологой оболочки:

£у(и) = ву(и), згу (и) = -и3,у, г, = 1, 2.

3. Физически линейный изгиб непологой оболочки

<р(е,ш) = а(е,е) + ¿(ае,ае),

Ь - равномерно ограниченные и положительно определенные адратичные формы. Компоненты деформации вычисляются по щим формулам.

В большинстве рассматриваемых в диссертации задач предлагается, что часть Ги границы Г оболочки жестко закреплена, остальной части, Г<, , выполнены условия шарнирного опирая.

Во втором параграфе, имеющем, в основном, реферативный рактер, приводятся условия разрешимости указанных задач. 1Я физически и геометрически нелинейных задач' об изгибе по-гих оболочек - это теорема М.М. Карчевского, обобщающая зестные результаты И.И. Воровича. Доказательство теоре-[ состоит в применении обобщенного принципа Вейерштрасса. >и этом основную трудность представляет обоснование коэр-тивности. Лля непологих оболочек произвольной геометрии

коэрцитивиость функционала установить не удается (она установлена лишь для некоторых специальных случаев). В связи с этим М.М. Карчевским применялась теорема Канторовича о разрешимости нелинейных операторных уравнений. В диссертации используется аналогичный, но, как нам кажется, более простой способ исследования разрешимости, основанный на теореме Ада-мара. Для физически линейной задачи критическая точка функционала - решение уравнения

Аи = /, Аи = дга(1Рц{и), Г0{и) = J (а(е, е) + Ь(га, а(1)

Устанавливается, что оператор А дифференцируем, его производная положительно определена на некоторой окрестности начала координат, откуда вытекает разрешимость уравнения (1) при достаточно малой правой части.

В §3 описывается применяемый способ построения смешан-<ных схем МКЭ. Этот способ предложен Г.П. Астраханцевым (применительно к нелинейным задачам использовался - М.М.

о

Карчевским) и состоит в следующем. Пусть Я; пространство лагранжевых интерполянтов степени I, обращающихся в нуль на

о о

границе области. Приближенное решение у € Ун =Я/-1 х II ¡1\

о

х Н1 , I > 2 отыскивается как критическая точка функционала

ЫУ) = - I шя,

где ээл отличаются от ж тем, что вторые производные и^ заменяются € Я/, определяемыми из уравнений

^ ю^гф - -0.5 (уз»' + 2/з>; П,;) с1х~ ^ (уз» П3 + У3<1 "•') 1

\/г? € Я/, г, ] = 1,2, п,-= со8(гг,а;,-),

де п = (п\, П2) - нормаль, внешняя к Г. Всюду в диссертации бласть Б - многоугольник.

/

В §4 приводятся вспомогательные сеточные неравенства, ио ользуемые в дальнейшем при исследовании конечноэлементных хем. Среди них наибольший интерес представляет, как нам кается, сеточный аналог теоремы вложения И^ в И^,:

2

¿,7=1,2

§5 посвящен исследованию разрешимости и получению апри-рцых опенок решений СМКЭ. Лля пологих оболочек, теоремы уществования основываются на неравенствах коэрцитивности искретных функционалов. Для непологих оболочек произволь-ой геометрии применяется теорема Адамара. Возникающие при том условия на нагрузку полностью аналогичны условиям раз-ешимости исходных вариационных задач. Исследуются усло-ия, обеспечивающие единственность решений для СМКЭ. От-ельно рассматриваются случаи геометрически линейного изги-а пологой оболочки из физически нелинейного материала при роизвольном р > 1 и геометрически и физически нелинейного из-иба при р — 2. Налагаемые при этом требования на функцию <р сть условия типа сильной выпуклости и Липшиц-непрерывности. >ти условия являются естественными для выпуклых функций, меющих степенной ростр > I и выполнены, например, для функ-ИИ у>(0 =| £ \Р.

Вторая глава содержит исследование различных вопросов

сходимости СМКЭ. Прежде всего изучается сходимость предлагаемых схем при минимальных требованиях к исходным данным, обеспечивающих обобщенную разрешимость соответствующих дифференциальных задач. При этом устанавливается, естественно, лишь слабая сходимость приближенных решений и компонент деформации. Обоснование предельного перехода в сеточных вариационных задачах опирается на получаемые в работе априорные оценки приближенных решений и сеточпые теоремы вложения. При этом особо важную роль играет установленный в работе сеточный аналог теоремы о компактности вложения И^2 в И^р. На таком пути изучаются задачи о геометрически и физически нелинейном изгибе пологой оболочки и задача о геометрически нелинейном изгибе непологой оболочки произвольной геометрии..

В §8 рассматривается задача о геометрически и физически нелинейном изгибе непологой оболочки произвольной геометрии. Для этой задачи не удается установить неравенства коэрцитивное™. Применить теоремы типа теоремы о пеявной функции (напр., теорему Адамара) здесь также не удается, поскольку, гради-епт энергетического функционала при неквадратичной функции не дифференцируем по Фреше на естественном энергетическом

ООО

пространстве V =И/21 х И^1 х • В связи с этим рассматривается регуляризованпая задача (р = 2)

Ы и), Га(и) = Р(и) + а / (|е|2 + |ав|1) ¿Б, а > 0. (2)

иеУ

Устанавливается, что при любом а > 0 задача (2) имеет решение и", существует последовательность а —► 0, такая что иа —» и, где

и - решение исходной задачи, существование которого предполагается. Задача (2) аппроксимируется по СМКЭ, показывается, что при любом а > 0 существует такая последовательность к —> 0, что уа —>■ иа, откуда вытекает существование такой последовательности Л(а) —► 0, что у" —у и в Ьъ-

Сильная сходимость СМКЭ изучается в §10. Показано, что, если функция ¡р и правая часть задачи удовлетворяют условиям однозначной разрешимости, то последовательность приближенных решений сильно сходится к точному: ||и3>у - и$(у3)||£,г, 1К -У^Ниу 0 ПРИ При этом существенно используются уста-

новленные ранее свойства сильной выпуклости функционала задачи или сильной монотонности соответствующего оператора на некоторой окрестности нуля.

В §11 получены оценки точности СМКЭ. Приведем один типичный результат. Рассматривается задача о геометрически линейном изгибе пологой оболочки из физически нелинейного материала, шарнирно опертой по части контура и жестко закрепленной по другой. Предполагаются выполненными условия на функцию <р, обеспечивающие единственность решения и условия гладкости:

«„ и2 6 < ^(¿И,^)) е ^ I > 2, 1/Р+!/,= !.

Тогда:

1) при Гц = Г

Н«зд - II«.- - гл1к < сЛС-'УСр-Ц, р > 2,

2) при Гц ф Г

1Ко- - II",- - У.-||иу КсЬР-М'МЬ-Ч, р > 2.

Аналогичные оценки точности при р = 2 получены также дл; геометрически и физически нелинейной задачи об изгибе полого! оболочки и для задачи о геометрически линейном изгибе неио логой оболрчки произвольной геометрии. Отметим, что оценк; при р = 2, Гц = Г является точной по порядку для «ь^г и вто рых производных из. Для системы уравнений линейной теорга оболочек Г.П. Астраханцевым, получены точные оценки и-для из При этом используется обобщение известного приема полученш оценок точности МКЭ в пространстве Ьч- На нелинейные задач! такой подход распространить не удается.

В третьей главе изучаются вопросы численной реализации СМКЭ. В основе лежит рассмотрение итерационных методо! вида

ик+1 _ .к

В2-— + дга<1Р11{ук) = 0>к = 0, 1, 2, ...,

т

где

2 2 Ву = дга<1Ф(у), Ф(у) = V / {го$(Уз))г <1х + V / йх,

т > О - итерационный параметр. В §13 описывается способ вычи-

сления вектора. дгайГ^у*)- Показано, что при этом приходите

я

предварительно решать несколько систем линейных алгебраических уравнений с матрицей масс, соответствующей базису Ла-гранжа пространства 4

Обращение оператора В сводится к решению системы ли-

нейных алгебраических уравнений вида

-ДЛ2/?+1 = ^,» = 1,2,

2

. + С;;2/*+1 = 0,1,; = 1,2, £ ¿ЗД = К

-.ь

3 >

м=1

где Ад - конечпоэлементпая аппроксимация оператора Лапласа

на пространстве #;_ь М - матрица масс, Су - матрицы ко-нечноэлементных аппроксимаций дифференциальных операторов второго порядка.

Сходимость алгоритма и способы выбора оптимальных, значений параметра т исследуются при р = 2. Используется тот факт, что при условиях сильной монотонности и липшиц-непрерывности градиента функции <р аналогичными свойствами на некоторой окрестности нуля обладает и оператор СМКЭ.

Решение системы вида (3) - довольно трудоемкая задача. Ее существенное упрощение достигается при замене матрицы М - диагональной (известный в МКЭ способ концентрации масс). Возникающий при этом оператор В оказывается энергетически эквивалентным оператору В с постоянными, не зависящими от Л, а система уравнений (3) имеет симметричную положительно определенную ленточную матрицу. Ширина ее ленты зависит от параметра /. В случае прямоугольной области и специальной триангуляции, по-видимому, целесообразно определя т!, оператор В равенством

Скорость сходимости при э том становится зависящей от !> и составляет С){Н~21п£-1) итераций для достижения относительной

О

точности е, но обращение оператора В существенно упрощается за счет возможности применения быстрых методов решения сеточного уравнения Пуассона.

В §15 исследуется метод Ньютона решения смешанной схемы МКЭ для задачи о геометрически линейном изгибе непологой оболочки произвольной геометрии.

В §16 приводятся результаты численных экспериментов для классической задачи о пологой бесконечно длинной цилиндрической оболочке, находящейся под действием нормального равномерно распределенного давления, иллюстрирующие поведение предлагаемых в работе итерационных методов. Численные результаты сравниваются с известным точным решением.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены смешанные схемы конечных элементов для геометрически и физически нелинейных задач теории .тонких оболочек.

2. Исследована сходимость СМКЭ, получены оценки точности приближенных решений в соболевских пространствах.

3. Предложены итерационные методы градиентного типа для численной реализации СМКЭ. Получены оценки скорости сходимости этих методов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Заботина Л.Ш., Карчевский М.М. О разрешимости схемы

I

смешашюго метода конечных элементов для нелинейных задач теории пологих оболочек // Всесоюзная конференция по математическому моделированию и вычислительному эксперименту.

26 - 29 июня 1991 г., Казань. Тезисы докл. - М.: 1991, с.34.

2. Карчевский М.М., Заботива Л.Ш. Смешанный метод ко-гсчных элементов для нелинейных задач теории оболочек / / Кати. ун-т, - Казань, 1993. 22 с. Леи. в ВИНИТИ 07.04.93

N 877 - 1Ш.

3. Заботина JI.III. Смешанный метод конечных элементов цля нелинейных задач теории оболочек // Международная научная конф., поев. 100-летию Н.Г.Чеботарева. 5 — 11 июня 1994 л, г. Казань. Тезисы докл. Часть 2. Алгебра и анализ. С. 56 -37.

4. Заботина Л.Ш. Оценки точности смешанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек/'/ Казан, ^н - т. - Казань, 1995,- 18 с. Деп. в ВИНИТИ 14.04.95 N 1041 - В95.

5. Заботина Л.Ш. О сходимости смешанных схем конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек// Ред. ж. Изв. вузов. Матем. - Казань, 1995. - 23 с. Деп. в ВИНИТИ L2.07.95 N 2142 - В95.

6. Karchevskv М. М., Zahotina L. Sli. On one class of mixed scheues for nonlinear problems of shell theory // Математические заметки ЯГУ. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 1995. - Т. 2. - Вып. 2,- С. 121 -139.

7. Заботина Л.Ш., Карчевский М.М. О смешанных схемах конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек// Изв. вузов. Матем. - Казань, 1990, A4 (404). С. 44 50.