автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Робастная стабилизация линейных дискретных систем со статической обратной связью по выходу

На правах рукописи

РЯБОВ АНТОН ВЛАДИМИРОВИЧ

РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СО СТАТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУ

Специальность 05 13 0] - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических науках)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Н. Новгород 2007

003070118

/

Работа выполнена в Арзамасском политехническом институте (филиале) Нижегородского государственного технического университета им Р С Алексеева

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Пакшин П В

Официальные опиопеигы доктор технических наук, > профессор Ч иркова М М

кандидат технических наук, доцент Гущин О Г

Ведущая организация ОАО АНПП «Темп-Авиа» г Арзамас

Защ1гга состоигся "_31_"_мая_2007 г в _15 00_ часов на заседании

диссертационного совета Д 212 165 05 Нижегородского государственного технического универсигета по адресу 603600 г Нижний Новгород, ул Минина, 24, НГТУ, корпус _1_, аудитория _1258_

С диссертацией можно ознакомт-ься в научно-технической библиотеке Нижегородского Государственного Технического Университета

Автореферат разослан " 2007 г

Ученый секретарь диссертационно! о совета кандидат технических наук, доцеш-

А П Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность 1смы Задача синтеза управления с обратной связью достаточно полно изучена для линеиных систем в случае, когда вектор состояния доступен измерению IIa практике, как правило, непосредственному измерению доступен лишь вектор выхода, функционально связанный с вектором состояния Данный факт очевидным образом приводит к необходимости решения задачи синтеза стабилизирующего управчения с обратной связью по выходу Несмотря на естественность такой постановки, указанная задача остается не исследованной полностью даже для линейных систем со статической обратной связью, извесшы лишь частные случаи, когда она может быгь решена до конца При этом подавляющее большинство результатов относится к системам с непрерывным временем Обзор результатов по данной тематике можно наити в работах Б Т Поляка и П С Щербакова1, V L Syrmos, С Т Abdallah, Р Dorato, К Grigoriadis2 Недавние результаты по дискретным системам представтены в работе G Garcia, В Pradin, S Tarbouriech , F Zeng3 К настоящему времени получен ряд необходимых и достаточных условий стабилизации с использованием статической обратной связи по выходу (D Youla, V Kuccra4, Т Iwasaki, R Skelton5 и др ), из которых стало ясно, что данная задача относится к классу невыпуклых, и ее решение принципиально невозможно простыми средствами Более того, показано, что она является NP-сложной В то же время практика управления требует решения таких задач, в том числе в условиях неопределенности параметров объекта (робастная стабилизация) В соответствии с этим представляется важной разработка методов и алгоритмов решения задачи стабилизации и робастнои стабилизации но выходу на основе достаточных условий и конструктивных эвристических процедур, которые на практике оказываются удовлетворительными, хотя и не всегда гарантируют получение результата

Прогресс в развитии техники и технологий постоянно приводит к появлению новых классов систем, одним из которых являются системы случайной структуры (ССС) Отличительная особенность ССС состоит в наличии случайного процесса смены (переключения) режимов, в каждом из которых поведение системы описывается дифференциальными или разностными уравнениями В настоящее время, благодаря важным применениям в аэрокосмической сфере, энергетике, экономике, и других областях, системы этого класса привлекают широкий интерес специалистов Для ССС, имеющих более сложную гибридную динамику, задача стабилизации с использованием статической обратной связи по выходу еще более усложняется, тем не менее, и здесь практика требует развития методов решения этой задачи

1 Потян Б Т Щербаков П С Трудные задачи линейном теории управления Некоторые подходы к решению // Автоматика и Телемеханика 2005 №5 С 7-46

Syrnios V L Abdallah С T , Dorato Р Grigoriadis К Static output Redback A survey /У Automatic;! 1997 V 33 P 125-137

1 Garcia G Pradin В Tarbouriech and Zeng Г, Robust stabilization and guaranteed cost control for discrete time linear systems by static output feedback IEEE // Automatica 2003 V 39 P 1635-1641

4 Кucera V , De Sotiza С E A necessary and sufficient condition for output feedback stability // Automatica 1995 V 31 P 1357-1359

5 Iwasaki T and Skelton R Pframetrization of all stabilizing controllers via quadratic Lyapunov functions//J Optimization Theory and Appl 1995 V 85 P 291-307

В случае, когда информация о смене режимов отсутствует, и известно только, какие режимы возможны, возникают задачи одновременной стабитзтцш обратной связью по выходу, где нужно обеспечить устойчивость системы одним и тем же регулятором в любом из возможных режимов, и одновременной робастной стабилизации, когда эту же задачу нужно решить при неопределенностях параметров объекта во всех или нескольких режимах

Когда имеется информация о смене режимов, можно получить менее консервативные результаты, применяя регулятор с обратной связью по выходу, параметры которого переключаются в соответствии со сменой режимов В зависимости от неопределенноеги параметров объекта здесь также могут рассматриваться задачи стабилизации и робастной стабилизации

Таким образом, тема исследования является актуальной, поскольку задачи стабилизации, робастной стабилизации и одновременной стабилизации указанных классов дискретных систем отражают тенденции развития современной теории управления и запросы современной практики управления, а в то же время в литературе они изучены недостаточно

Цель работы Целью диссертационной работы является получение условий стабилизации по выходу многорежимных дискретных систем и разработка на их основе конструктивных методов и эффективных на практике интерактивных алгоритмов синтеза стабилизирующих и робастных стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу

Задачи диссертационной работы Исходя из поставленной цели, в диссертационной работе были поставлены задачи разработки методов, а также алгоритмов синтеза регуляторов со статической обратной связью по выходу, обеспечивающих

• стабилизацию и робастиую стабилизацию линейных дискретных систем,

• одновременную стабилизацию и одновременную робастиую стабилизацию семейства линейных дискретных систем,

• стабилизацию и робастиую стабилизацию линейных дискретных систем случайной структуры

Эти методы и алгоритмы должны быть приспособлены для интерактивной программной реализации

Методы исследования При выполнении диссертационной работы использовались методы теории управления в пространстве состояний, теории матриц, матричных уравнений и неравенств, теории оптимального управления, теории случайных процессов, при разработке программного обеспечения использовались пакеты УА1,М1Р/8еОиМ1 на базе интегрированной системы инженерных и научных расчетов МАТЬАВ

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом работ по проекту 02-01-00220-а, поддержанному грантом Российского фонда фундаментальных исследований

Маячная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты

• необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации линейных дискретных систем статической обратной связью по выходу,

• необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации и одновременной робастной стабилизации статической обратной связью по выходу семейства линейных дискретных систем,

• необходимые и достаточные условия робастной стабилизации линейных дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу

Практическая ценность На основе вытекающих из теоретических результатов достаточных условий и конструктивных эвристических процедур предложены интерактивные алгоритмы синтеза регуляторов дискретных систем со статической обратной связью по выходу Эти алгоритмы, реализованные в среде МАТЪАВ, весьма удовлетворительно зарекомендовали себя в результате обширного численного эксперимента и могут быть рекомендованы для применения в практике проектирования цифровых систем управления летательными аппаратами, энергетическими системами и т д, и позволяют существенно сократить сроки проектирования подобных систем Результаты работы внедрены в учебный процесс Арзамасского политехнического института НГТУ и на предприятии ОАО АНПП «Темп-Авиа», что подтверждено соответствующими актами

Па защиту выносятся следующие положения работы

1 Необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации линейных дискретных систем статической обратной связью по выходу и полученные на их основе алгоритмы синтеза стабилизирующих регуляторов

2 Необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации и одновременной робастной стабилизации статической обратной связью по выходу семейства линейных дискретных систем и полученные на их основе алгоритмы синтеза стабилизирующих регуляторов, обеспечивающих одновременную стабилизацию

3 Необходимые и достаточные условия робастной стабилизации линейных дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу и полученные на их основе алгоритмы синтеза стабилизирующих регуляторов

Личным вкладом соискателя в совместных публикациях является доказательства утверждений, разработка алгоритмов и проведение численных экспериментов Научному руководителю, д ф -м н проф Пакшину П В принадлежат общая идея работы и предварительные формулировки теорем

Виедренне. Методы и алгоритмы синтеза робастных регуляторов со статической обратной связью по выходу приняты для использования при выполненияии НИР и ОКР на предприятии ОАО АНПП "ТЕМП-АВИА" Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе при чтении лекций и проведении лабораторных работ по дисциплине «Теория навигационных систем» и «Теория управления» для специальностей «Прикладная математика» и «Авиационные приборы и измерительно-вычислительные комплексы» на дневном и вечернем отделениях Арзамасского политехнического института Нижегородского государственного технического университета

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях

• на 6-й научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н Новгород, 2002 г),

• на всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬАВ» (Москва, 2002 г ),

• на 8-й международной конференции «Системный анализ и управление» (Евпатория, 2003 г ),

• на 2-й международной конференции по проблемам управления (Москва, 2003 г),

• на международной конференции «Физика и управление» (Санкт Петербург, 2003 г)

Публикации Основное содержание диссертации отражено в 8 печатных работах, в том числе в журнале из перечня ВАК

Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель работы, задачи исследования и основные положения, выносимые на защиту

В первой главе приведен обзор результатов, относящихся к теме работы, обозначены трудности на пути развития теории управления со статической обратной связью по выходу и обоснована цель исследования

Во второй главе рассматривается задача стабилизации детерминированной дискретной системы, описываемой уравнениями

=АХ»+В"п>

У„=Схп, О

с использованием статической обратной связи по выходу, здесь хп - т -мерный вектор состояния, ип - к -мерный вектор управления, у„ — I -мерный вектор выхода, А, В, С - постоянные матрицы соответствующих размеров

Представим пространство состояний системы в виде прямой суммы ортогональных подпространств

Я" = Гт(С7)©Кег(С) Тогда для любого х е Я"' можно записать

где х, б 1ш(Сг), хК = Кег(С) Определим матрицы

Е,=СГС, Ек =1 — Е,, где С* означает обращение по Муру-Пенроузу матрицы С Матрицы Е,, Ек являются матрицами проектирования на 1т(Сг) и на Кег(С) соответственно Эти матрицы являются симметричными и единственными

Требуется получить необходимые и достаточные условия стабилизации системы (1) управлением с обратной связью вида

К = ~°Уп (2)

Теорема 1. Система (1) стабилизируема управлением со статической обратной связью по выходу (2) тогда и только тогда, когда сугцествуют матрицы М -М1, Я = ЯТ и X соответствуюгцих размеров такие, что алгебраическое уравнение Риккати

А1 НА-Н-А1 НВ(Я + ВТНВУ1 В1 НА + М = 0 (3)

имеет положительно определенное решение Н = Н1, удовлетворяюи(ее соотношениям

б

я + в7яв> о,

(А - ВК)Г Я (А - ВК) - Я --5Г(Й + Я7 ЯВУ]ВТЯ(А-ВК)~ Я1

-(А - ВК)ЯВ{Я + В1 ЯВ)''5

-[(Л+ 5' НВУ'В1 НВ(Я +

+втнвух г' К = (Я + вгяву*в' НА, Б = ЬЕ, - ВТНАЕК Матрица стабичизирующегоуправления (2) определяется по формуле

С = (В1 ЯВ + Л)"1 (В1 НА + Ь)С*

Рассмотрим функционал

J = t¡^xr,Qxя+гS,STull+u1,Ru,)

л« О

Управление с обратной связью по вектору состояния, которое обеспечивает минимум этого функционала вдоль траекторий системы (1), имеет вид

ип =[57 НВ + ЯУ' [Вт НА + где // - поюжительно определенное решение алгебраического уравнения Риккати

А1 ЯА-Н -(А1 НВ + Я'ХЛ + В7НВУ\В1 НА + 5) + 0 = 0 (4) Нетрудно заметить, что уравнение (3) представляет собой специальный случай (4) при дополнительном условии

5 = ЬЕ, - ВтЯАЕК

Из этой связи результатов теоремы с теорией аналитического конструирования оптимальных регуляторов вытекают достаточные условия и конструктивные эвристические процедуры, которые позволяют предложить алгоритмы вычисления управления со статической обратной связью по выходу, основанные на решении систем линейных матричных уравнений и неравенств Предложено два таких алгоритма Обширный численный эксперимент убедительно доказал их эффективность

Далее система (1) рассматривается при учете возможных неопределенностей Предполагается, что эти неопределенности заданы в виде политопа, т е

[А В) = С1еСсМ, ЯД д-

(5)

другими словами = ^для некоторых 0<,ХЯ <, 1, ^ А ц= 1, где С1д = [Л? Вд],

N - число вершин политопа Система (1) робастно стабилизируема по отношению к политопным неопределенностям (5) статической обратной связью по выходу, если регулятор (2) квадратично стабилизирует систему (1), т е

{А-ВйСУН(А-ВйС)-Я <0, Н> 0 (6)

для всех [А В], удовлетворяющих (5)

Известно, что неравенства (б) выполняются для всех [А В], удовлетворяющих (5), тогда и только тогда, когда

{АЯ-ВЦСС)ТЯ{А1!-ВЧСС)-Я< 0, Н> 0, <7 = 1,

Этот факт позволяет получить условия робастной стабилизации в виде, аналогичном предыдущей теореме

Теорема 2 Система (1) робастно стабилизируема по отношению к политопным неопределенностям (5) статической обратной связью по выходу тогда и только тогда, когда существуют матрицы = £>(/7, = и ¿<; (д = 1, УУ)

соответствуюи/их размерностей, такие, что система матричных квадратных уравнений

а,/ нач - н - А/ да,, (Л+я;' яг,)-' в,/ //л, + а, = о,

имеет положительно определенное решение Н = НТ, удовлетворяющее выражениям

Ъя = л, + в:нвв> о,

(А^-В^УЖ^-В^)-

-н-^ъ'в^нщ-в^)-

Хв'нвХ

<0,9 = 1,

К„={К1+В1НВЯГКИАЧ' й^^Е.-В^Ек

Матрица усиления стабилизируюгцего управления (2) определяется по формуле

а = (в; нв, + нвч + >

где ^ выбирается произвольно из множества {1, ,Л'}

На основе результатов теоремы предложены два алгоритма синтеза робастного стабилизирующего регулятора со статической обратной связью по выходу, в основе которых лежат те же идеи, что и в случае обычного стабилизирующего регулятора

В заключении главы демонстрируется применение алгоритмов к синтезу системы угловой стабилизации летательного аппарата при неопределенных параметрах объекта

Третья глава посвящена исследованию одновременной стабилизации и одновременной робастной стабилизации дискретных систем со статической обратной связью по выходу

Изложены предварительные замечания, где рассматривается ситуация, когда объект может работать в нескольких режимах, причем переход от режима к режиму происходит независимо от субъекта управления, и информация об этом может отсутствовать, например, такой переход может вызываться отказом какого-либо элемента объекта Цель управления - выбрать регулятор, обеспечивающий устойчивость системы в любом из возможных режимов

Рассматриваются условия одновременной стабилизации дискретных систем статической обратной связью по выходу

= А„х„ + В

п+1 <з п а п '

Здесь обозначения переменных соответствуют принятым ранее Относительно матриц Аа и Ва можно лишь утверждать, что

где пары в правой части можно рассматривать как возможные режимы, иными словами, всякий раз неизвестно, какой именно режим из рассматриваемого множества имеет место Каждая из матриц В, В2 В1 имеет полным ранг Измерению доступен лишь вектор уп, и задача заключается в поиске управления в форме (2) так, чтобы стабилизировать систему (7) независимо от режима при неопределенностях каждого из режимов, заданных в виде политопа

[А, В,] = П, еСо[Л„( Вщ], 1 = 1, ,у,д = \, ,Ы (8)

N N

другими словами для некоторых 0<А <1, где ^ - число

вершин политопа, П = [Л„, Ви/]

Предполагается, что множество систем (7) с политопной неопределенностью (8) робастно стабилизируемо статической обратной связью по выходу, если регулятор (2) квадратично стабилизирует каждую систему из данного множества, т е

(А1 - В,СС)' Я, (Л, - 5,СС) - Я, < О, Я, = Н] > 0 (9)

для всех [А1 В,](; = 1, ,у), удовлетворяющих (8)

Известно, что неравенства (9) выполняются для всех [А, В1]{ 1 = 1, ,г),, удовлетворяющих (8) тогда и только тогда, когда

(Аш-Ви1СС)'Н1(А1Ч-Ви1СС)-Н1< О, Н,=Н]> 0, <7 = 1, Этот факт позволяет получить условия робастной стабилизации в виде следующего утверждения

Теорема 3 Множество систем (7) робастно стабилизируемо управлением со статической обратной связью по выходу (2) тогда и только тогда, когда сучцествуют матрицы £2,,= Л = и (/ = 1, <? = 1, ,/V) такие, что система матричных квадратных уравнений

К+<ЯЛ)Х"Л=о

имеет решение, удовлетворяюгцее соотношениям

",="/> о, +

(КИА + «„ГЧ^А + = + я„+,ГЧС>"А+1+ «"Л + + А,) = + л,+„т7+„Д+А„ + А*.,).

/(/ V-1 Щ К/ 1С// ¡<1

Н,(А,

Щ щ'

к*

-[(ми1 + в11пд11у'КИАЛки, +КнаХТ'

<0 ,

I =

1, .V, <7 = 1,

К, = (К, + В'Я В У В1НА Я = ГЕ, - В]Н£К

Матрица стабилизирующего управления (2) определится по формуле

о = (/»¿я, в„ + + ¿„,)С+

для произвочьного выбора ; из множества {1, ,1/} г/ <7 из множества ¡1, , Л^

По результатам теорем предлагаются два алгоритма синтеза регулятора со статической обратной связью по выходу, обеспечивающего одновременную робастную стабилизацию

Рассмотрим один из алгоритмов более подробно в применении к синтезу системы стабилизации углового движения летательного аппарата (ЛА) Простейшая математическая модель контура стабилизации угла ЛА в пространстве состояний имеет следующий вид

х{1)=А{1)х(1) + В{1)и{1), и(0 = *я(0, (Ю)

0 1 0 0

А = ~ат < , в = -а"'

0 а>. 0

где д„ - угол отклонения руля высоты, а," , а'° , а>: , а- аэродинамические коэффициенты ЛА для рассматриваемых режимов полета, номинальные значения которых представлены в таблице Предполагается, что реальные значения коэффициентов находятся в пределах 10% допуска от номинального значения

; < „(О а„, < е.

1 4,2 1,5 -0,77 -7,4

2 7,1 1,9 -1 -12,7

3 78 4,1 -2,8 -57

4 4 1,14 -0,62 -7,5

5 116 2,36 -2,3 -42

б 7,9 М -0,56 -13,8

7 55 0,66 -0,84 -22,5

8 14,5 0,43 -0,33 -8,6

9 18 0,31 -0,34 -10

В рассматриваемой системе измерению доступны угол тангажа 3(1) и угловая скорость тангажа 1ц.(1) В этом случае вектор выхода имеет вид

'т'

I и II

у( 0 =

1 о о О 1 о

«ДО 0(0

С")

а стабилизирующее управление определяется законом вида

ик = «(АД) = -вук = -ву(кА), кА<К{к + 1)Д, где Д - период дискретности БЦВМ

Таким образом, задача синтеза цифровой системы стабилизации контура тангажа сводится к определению коэффициента обратной связи закона управления (11), обеспечивающего одновременную стабилизацию при желаемом качестве переходных процессов для всех режимов системы (7) при указанном разбросе параметров в каждом режиме

В данном примере синтезируется цифровая система стабилизации с периодом дискретности / = 0015, и к переходным процессам предъявляются следующие

требования время переходного процесса не более 3 5 с, перерегулирование не более 5%

1 1

Í :

.....,----

0 05 01 0 15 02 0 25 03 0 35 04 0 45 05 055

t, sec

Рис 1 Графики переходных процессов

Последовательность шагов, реализующих алгоритм одновременной стабилизации следующая

1 Осуществляется выбор базовой модели (базового режима) рассматриваемой системы стабилизации, заданной уравнением (10), и производится расчет весовой матрицы квадратичного функционала качества в соответствии с алгоритмом Джонсона6 При этом пользователь задает желаемые полюсы замкнутой системы для базовой модели

2 Вычисляются матрицы Я,, /е1, из условия

^ 1г[Я, ] -» шах 1=1

при ограничениях в виде линейных уравнений и неравенств 5", = 11Е,-В]Н1А1ЕК, / = 1, ВI Я, Л, + Л, = ВIН2А2 + Л2 = = В*НУА„ + Л„, В]Н^ + 1л=В\Н1А1+12= я, >0, / = 1,

6 Johnson C D The "unreachable poles", defect m LQR theory analysis and remedy // hit j Control 1938 V 47 P 697 - 709

в, У м, Л', о М] О N.

>0,

л/я,д -я,м, м] я + в'нл

>0, / = 1, ,1/

3 Вычисляется матрица С

4 Производится расчет переходного процесса для всех состояний системы (7), по которому судят о качестве полученного управления

5 Если синтезированное управление не удовлетворяет заданным показателям качества, то производится коррекция желаемых полюсов, и процесс повторяется

Последний шаг является интерактивным, здесь пользователь сам должен изменить желаемый спектр, руководствуясь, как общими принципами проектирования, вытекающими из классической теории управления, так и собственным опытом проектирования

Матрица усиления регулятора (11), обеспечивающего одновременную стабилизацию девяти режимов ЛА по углу тангажа получилась равной

С = [- 22 625787,-1 6331893] Характерный вид переходных процессов замкнутой системы стабилизации угла тангажа по режимам представлен на рисунке 1

Четвертая глава посвящена стабилизации и робастиой стабилизации дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу

Рассматриваются условия стабилизации дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу, описываемых уравнением многорежимной системы управления

= А{гп)х„ + В(1„)и„,

где гп - дискретная марковская цепь с конечным числом состояний N = {1, ,у} и матрицей вероятностей перехода П = [я-(;]", л = РгоЬ[/„+, = у | /„ = /], Л(0 = Д> = С(гп) = С,, если /„=(, каждое состояние марковской цепи соответствует определенному режиму системы, остальные обозначения соответствуют принятым ранее Предполагается, что матрицы В,, С, (; е М) имеют полный ранг

В главе решаются следующие задачи

1 Задача нахождения линейного управления со статической обратной связью по выходу

К = если =', (13)

обеспечивающего экспоненциальную устойчивость в среднем квадратичном (ЭУСК) замкнутой системы (12)

2 Задача нахождения управления (13), обеспечивающего ЭУСК системы (12) при аффинных неопределенностях матрицы смены структуры

Наибольший практический интерес представляет третья задача синтеза регулятора вида (11), обеспечивающего одновременную стабилизацию по отношению к неопределенностям вероятностей смены режимов, когда отдельные режимы системы (12) содержат неопределенности, матрица вероятностей смены режимов неизвестна, а моменты смены режимов ненаблюдаемы

Предположим, что неопределенности режимов носят политопный характер, т е для каждого ; б N 12

[А, Я,] = П,еСо[Л„, fi„], <7 = 1, ,N,

(14)

друтми словами П,

</=i

для некоторых

0<Л„,<1, ЁА„ = 1, где

<7=1

£2 =[Л В ], i е N, /V - число вершин политопа

CncicMy (12) будем считать робастио стабилизируемой по отношению к политопным неопределенностям (14) при произвольных вероятностях смены режимов, если управление со статической обратной связью по выходу (11) квадратично стабилизирует замкнутую систему (12), т е

(A, -fi,GC,)'Я(Л,-fi.GC,)-« <0, Н>0, isN (15)

для всех [A, fi,], удовлетворяющих (14)

Известно, что неравенства (15) выполняются тогда и только toi да, когда (A,rl-BulGC,)rH(A,q-B,qGC,)-H< 0, // > 0, « е N, <7 = 1, ,N

Теорема 4 Система (12) робастио стабичизнруема по отношению к политопным неопределенностям (14) при произвольных вероятностях смены структуры тогда и только тогда, когда существуют матрицы Qtq = Q 1, Ящ = Rj" и L 0 б N, <7=1, N) соответствующих размерностей, такие, что система матричных квадратных уравнений

а: НАщ -И- Aj НВщ(Я, + fi,/ НВ,Х fi,,/ НА,,, + Q,q = 0, i е N,

определенное решение H = H1, удовлетворяющее

имеет поюжительно соотношениям

*„, = fi„ + fi,///fi„> 0,

(4,-W'Н(АЧ-ВЧКЧ)~

-h-SÏXBIH^-B,^)-{A^-B^K^HB^S,,

S,,

TCB^hbJÛ

< 0, <7 = 1, ,N,

(Кнвч + КГЧКЩ + A,) = (C.^i+ R.., + ¿„j,

1 = 1, ,v, <7 = 1, , A' — 1,

+ + A,) = iBl^HB^+R^rwl^H,1,+1, + ¿,t„),

( = 1, ,v-l, 9 = 1, ,/V

= + В[,НАЩ, = 1ЩЕ, (,) - В^НА^ (,)

Робастное стабичизирующее управчеиие имеет вид (11), где матрица усиления определяется по формуле

С = (В„ТНВ1Я + RIЧУ\B¿HBЩ + L¡Q)C;, , е N. для произвольного / е N 2/ д е {1,

Теорема 7, в отличие от теоремы 4, накладывает более жесткие требования на матрицу Н она должна быть постоянной для всех режимов, в то время как в условиях теоремы 4 матрица И зависит от режима Это является косвенным

подтверждением того, что робастный закон управления в рамках разработанной теории проектируется с запасом

Из результатов теоремы 7 вытекает алгоритм синтеза регулятора, обеспечивающего робастную стабилизацию по отношению к неопределенностям параметров режимов при произвольных вероятностях смены режимов, реализованный в виде следующих шагов

1 Задать весовые матрицы <2щ и Л

2 Найти матрицу Н = Нт > 0 как решение задачи оптимизации

1г[//] шах

при ограничениях

А^-Н + О^

>0, // = //' >0, 1 = 1, ,у, <7 = 1, ,/У

3 Вычислить матрицу

4 Если система линейных матричных неравенств и уравнений

К, + В1Щ«> о

(Аи1-В,1К11/УН(А,11-В„1К,Г1)-

-Я-ЗХ + ^/йиХ

Н{Аи,-ВщКщ)-{Ащ-ВщКщ)

-[(к+кив„у' к

+КЩаУ'Г

<0

щ

I = 1, <7 = 1,

(Кщ, + в„)Лв*НАщ + А(/) = + я^ПК^Щ^ +

( = 1, .V, <7 = 1, ,А/-1,

+ ЪГ\В*нач + А,) = + +1,+|,;),

( = 1, ,1/-1, <7 = 1,

относительно переменной ¿ч совместна, найти эту матрицу, идти к шагу б, иначе идти к шагу 5

5 Изменить весовые матрицы () и Л„(, идти к шагу 2

6 Вычислить матрицу

с,=(в^ нв, + нв,+ ц)с;

для произвольных I из множества {1, ,у} и </ из множества {1, ,/V} Вычисления закончить

Шаг 5, как и в предыдущем алгоритме, реализуется интерактивно Весовые матрицы вычисляются по заданному спектру желаемых полюсов

Графики переходных процессов замкнутой системы стабилизации угла тангажа представлены на рисунке 2

Матрица усиления регулятора (11), обеспечивающего одновременную стабилизацию девяти режимов ЛА по углу тангажа получилась равной

С = [-5 29558,-1 73606] Характерный вид переходных процессов замкнутой системы стабилизации угла тангажа по режимам представлен на рисунке 2

Чкзн ПОЯ

Рис 2 Графики переходных процессов

В данном случае возможности робастного управления по сравнению с результатами главы 2 сузились переходные процессы здесь всегда оказывались монотонными

В заключении приводятся основные научные результаты, отличительной особенностью которых является, то, что они ориентированы на шггерактивную программную реализацию Эти результаты состоят в следующем

• Получены необходимые и достаточные условия стабилизации и робастиой стабилизации линейных дискретных систем управлением со статической обратной связью по выходу

• Разработаны методы и алгоритмы синтеза стабилизирующих и робастных стабилизирующих регуляторов дискретных систем со статической обратной связью по выходу

• Получены необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации и одновременной робастной стабилизации семейства линейных дискретных систем управлением со статической обратной связью по выходу

• Разработаны методы и алгоритмы сшггеза регуляторов со статической обратной связью по выходу для систем с дискретным временем, обеспечивающих одновременную стабилизацию и одновременную робастную стабилизацию семейства линейных дискретных систем

• Получены необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации управлением со статической обратной связью по выходу линейных дискретных систем случайной структуры

• Разработаны методы и алгоритмы синтеза регуляторов со статической обратной связью по выходу, обеспечивающих стабилизацию и робаетпую стабилизацию систем случайной структуры с дискретным временем

• На базе полученных алгоритмов разработано программное обеспечение в интегрированной системе MATLAB для синтеза законов управления

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Пакшип П В , Рябов А В Алгоритм синтеза управления со статической обратной связью по выходу в дискретных системах случайной структуры // Межвузовский сборник научных трудов молодых ученых «Перспектива 3» - Арзамас АГПИ, 2003 -С 234-239

2 Пакшии П В, Рябов А В Применение линейных матричных неравенств в среде MATLAB для синтеза управления со статической обратной связью по выходу // Тезисы докладов Всероссийской научной конференции «Проектирование научных н инженерных приложений в среде MATLAB» - Москва, 2002 - С 109-110

3 Пакшип П В , Рябов А В Применение линейных матричных неравенств в среде MATLAB для синтеза управления со статической обратной связью по выходу // Материалы Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» - Москва, 2002 (CD-версия)

4 Пакшип П В , Рябов А В Синтез управления со статической обратной связью по выходу в задаче одновременной стабичизации дискретных систем // 8-я международная конференция «Системный анализ и управление» - Евпатория, 2003 -С 119

5 Пакшип П В, Рябов А В Синтез управления со статической обратной связью по выходу для линейных систем // Вторая международная конференция по проблемам управления - Москва, 2003, том 1, с 9

6 Пакшип П В , Ретннскнй Д М , Рябов А В Robust Stabilizing Control of Descrete-Time Jumping System via Static Output Feedback // International Confeience "Physics and Control" Saint Petersburg, Russia, 2003 P 1273-1277

7 Пакшим П В , Рябов \ В Алгоритм решения задачи одновременной стабилизации обратной связью по выходу на основе линейных матричных неравенств // 6-я научная конференция «Нелинейные колебания механических систем» - Н Новгород, 2002 -С 118

8 Пакшип П В, Рябов А В Синтез управления со статической обратной связью по выходу для линейных систем // Автоматика и телемеханика, 2004 -№4 - С 61-69

Подписано в печать 25 04 2007 г Формат 60x84/16 Уел Печ Листов 1 Бумага офсетная Печать офсетная Гарнитура Times New Roman Заказ № 2292 Тираж 100 экз Отпечатано в ОАО «Арзамасская типография» 607220 г Арзамас Нижегородской области, ул Пландпна, 8

Введение.

Глава 1. Состояние проблемы синтеза управления со статической обратной связью по выходу для линейных дискретных систем.

Глава 2. Стабилизация и робастная стабилизация дискретных систем статической обратной связью по выходу.

2.1. Условия стабилизации дискретной системы статической обратной связью по выходу.

2.2. Алгоритмы синтеза стабилизирующего регулятора со статической обратной связью по выходу.

2.3. Условия робастной стабилизации дискретной системы статической обратной связью по выходу при политопных неопределенностях.

2.4. Алгоритмы синтеза робастного стабилизирующего регулятора со статической обратной связью по выходу.

2.5. Применение алгоритмов к синтезу робастной системы угловой стабилизации летательного аппарата при неопределенных параметрах объекта.

2.6. Выводы.

Глава 3. Одновременная стабилизация и одновременная робастная стабилизация дискретных систем статической обратной связью по выходу.

3.1. Задача об одновременной стабилизации.

Предварительные замечания.

3.2. Условия одновременной стабилизации дискретных систем статической обратной связью по выходу.

3.3. Алгоритмы синтеза регулятора со статической обратной связью по выходу, обеспечивающего одновременную стабилизацию.

3.4. Условия одновременной робастной стабилизации дискретных систем статической обратной связью по выходу при политопных неопределенностях.

3.5. Алгоритмы синтеза регулятора со статической обратной связью по выходу, обеспечивающего одновременную робастную стабилизацию.

3.6. Применение алгоритмов к синтезу системы одновременной стабилизации углового движения летательного аппарата.

3.7. Выводы.

Глава 4. Стабилизация и робастная стабилизация дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу.

4.1. Условия стабилизации дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу.

4.2. Алгоритмы синтеза стабилизирующего регулятора дискретных систем случайной структуры со статической обратной связью по выходу.

4.3. Условия робастной стабилизации дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу при аффинных неопределенностях смены структуры.

4.4. Алгоритмы синтеза регулятора со статической обратной связью по выходу, обеспечивающего робастную стабилизацию по отношению к неопределенностям вероятностей смены режимов.

4.5. Условия робастной стабилизации дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу при политопных неопределенностях отдельных режимов и неизвестных вероятностях смены режимов.

4.6. Алгоритмы синтеза регулятора со статической обратной связью по выходу, обеспечивающего робастную стабилизацию по отношению к неопределенностям параметров режимов при произвольных вероятностях смены режимов.

4.7. Применение алгоритмов к синтезу регулятора со статической обратной связью по выходу, обеспечивающего робастную стабилизацию по отношению к неопределенностям параметров режимов при произвольных вероятностях смены режимов углового движения летательного аппарата.

4.8. Выводы.

При управлении динамическими системами, как правило, вектор состояния неизвестен, и непосредственному измерению доступен лишь вектор выхода, функционально связанный с вектором состояния. Данный факт очевидным образом приводит к необходимости решения задачи синтеза стабилизирующего управления с обратной связью по выходу. Несмотря на естественность такой постановки, указанная задача остается не исследованной полностью даже для линейных систем со статической обратной связью (т.е. в случае, считающимся простейшим); известны лишь частные случаи, когда она может быть решена до конца. При этом подавляющее большинство результатов относится к системам с непрерывным временем. Обзор результатов по данной тематике можно найти в работах Б.Т. Поляка и П.С. Щербакова [20]; V. L. Syrmos, С. Т. Abdallah, P. Dorato, К. Grigoriadis [90]. Недавние результаты по дискретным системам представлены в работе G. Garcia, В. Pradin, S Tarbouriech., F. Zeng [43]. К настоящему времени получен ряд необходимых и достаточных условий стабилизации с использованием статической обратной связи по выходу (D. Youla, V. Kucera, Т. Iwasaki, R. Skelton и др.) [63], [58], из которых стало ясно, что данная задача относится к классу невыпуклых и ее решение принципиально невозможно простыми средствами. Более того, показано, что она является NP -сложной. В то же время практика управления требует решения таких задач, в том числе в условиях неопределенности параметров объекта (робастная стабилизация). В соответствии с этим представляется важной разработка методов и алгоритмов решения задачи стабилизации и робастной стабилизации по выходу на основе достаточных условий и конструктивных эвристических процедур, которые на практике оказываются удовлетворительными, хотя и не всегда гарантируют получение результата.

Прогресс в развитии техники и технологий постоянно приводит к появлению новых классов систем, одним из которых являются системы случайной структуры (ССС). Отличительной особенностью ССС является наличие случайного процесса смены (переключения) режимов, в каждом из которых поведение системы описывается дифференциальными или разностными уравнениями. В настоящее время, благодаря важным применениям в аэрокосмической сфере, энергетике, экономике, и других областях, системы этого класса привлекают широкий интерес специалистов. Для ССС, имеющих более сложную гибридную динамику, задача стабилизации с использованием статической обратной связи по выходу еще более усложняется, тем не менее, и здесь практика требует развития методов решения этой задачи.

В случае, когда информация о смене режимов отсутствует и известно только, какие режимы возможны, возникают задачи одновременной стабилизации обратной связью по выходу, где нужно обеспечить устойчивость системы одним и тем же регулятором в любом из возможных режимов, и одновременной робастной стабилизации, когда эту же задачу нужно решить при неопределенностях параметров объекта во всех или нескольких режимах.

Когда имеется информация о смене режимов, можно получить менее консервативные результаты, применяя регулятор с обратной связью по выходу, параметры которого переключаются в соответствии со сменой режимов. В зависимости от неопределенности параметров объекта здесь также могут рассматриваться задачи стабилизации и робастной стабилизации.

Таким образом, тема исследования является актуальной, поскольку задачи стабилизации, робастной стабилизации и одновременной стабилизации указанных классов дискретных систем отражают тенденции развития современной теории управления и запросы современной практики управления; в то же время в литературе они изучены недостаточно.

Целью диссертационной работы является получение условий стабилизации по выходу многорежимных дискретных систем и разработка на их основе конструктивных методов и эффективных на практике алгоритмов синтеза стабилизирующих и робастных стабилизирующих регуляторов со статической обратной связью по выходу.

Задачи диссертационной работы. Исходя из поставленной цели, в работе были поставлены задачи разработки методов и алгоритмов синтеза регуляторов со статической обратной связью по выходу, обеспечивающих: о стабилизацию и робастную стабилизацию линейных дискретных систем; о одновременную стабилизацию и одновременную робастную стабилизацию семейства линейных дискретных систем; о стабилизацию и робастную стабилизацию линейных дискретных систем случайной структуры. Методы исследования. При выполнении диссертационной работы использовались методы теории управления в пространстве состояний, теории матриц, матричных уравнений и неравенств, теории оптимального управления, теории случайных процессов; при разработке программного обеспечения использовались пакеты YALMIP/SeDuMi на базе интегрированной системы инженерных и научных расчетов MATLAB.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты: о необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации линейных дискретных систем статической обратной связью по выходу; о необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации и одновременной робастной стабилизации статической обратной связью по выходу семейства линейных дискретных систем; о необходимые и достаточные условия робастной стабилизации линейных дискретных систем случайной структуры статической обратной связью по выходу. Практическая ценность работы. На основе вытекающих из теоретических результатов достаточных условий и конструктивных эвристических процедур предложены алгоритмы синтеза регуляторов дискретных систем со статической обратной связью по выходу. Эти алгоритмы, реализованные в среде MATLAB, весьма удовлетворительно зарекомендовали себя в результате обширного численного эксперимента и могут быть рекомендованы для применения в практике проектирования цифровых систем управления летательными аппаратами, энергетических системами и т.д., и позволяют существенно сократить сроки проектирования подобных систем.

Внедрение. Основные принципы построения алгоритмов синтеза робастных регуляторов со статической обратной связью по выходу были использованы при проведении исследований по интегрированной навигационной системе на предприятии ОАО АНПП "ТЕМП-АВИА". Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе при чтении лекций и проведении лабораторных работ по дисциплине «Теория навигационных систем» и «Теория управления» для специальности на дневном и вечернем отделениях Арзамасского политехнического института филиала Нижегородского государственного технического университета.

Апробация полученных результатов. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

• на 6-й научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н. Новгород, 2002 г.);

• на всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2002 г.);

• на 8-й международной конференции «Системный анализ и управление» (Евпатория, 2003 г.);

• на 2-й международной конференции по проблемам управления. (Москва, 2003 г.);

• на международной конференции «Физика и управление» (Санкт Петербург, 2003 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 [1118] печатных работах, в том числе в журнале из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, содержащего 97 названий, и занимает 96 машинописных листов.

4.8. Выводы

В данной главе получены необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации линейных дискретных систем при условии, что их структура изменяется по закону однородной марковской цепи. Полученное в этом случае управление должно переключаться синхронно с изменением структуры системы. На практике это реализуемо крайне редко, поэтому необходимо дополнительно решать задачу идентификации структуры в реальном масштабе времени, что представляет собой предмет самостоятельного непростого исследования и в данной работе не рассматривается.

Исследования, проведенные в главе, позволили также косвенно оценить степень консерватизма решения задачи одновременной стабилизации на примере задачи синтеза цифровой системы стабилизации J1A, обеспечивающей одновременную стабилизацию всех заданных режимов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача синтеза робастного стабилизирующего управления со статической обратной связью по выходу, как было установлено в последнее десятилетие, относится к классу NP -трудных, и ее решение в принципе не может быть получено простыми средствами. В то же практика проектирования систем управления постоянно требует решать подобные задачи. Более того, для дискретных систем недостаточно развита и общая теория. Данная работа ставила целью сделать ряд шагов для устранения существующего пробела в развитии теории и практики проектирования робастных дискретных линейных систем со статической обратной связью по выходу. При этом, с учетом NP -сложности основная идея была направлена на получение результатов, приводящим к интерактивной программной реализации, где в определенный момент пользователь должен принять решение, которое трудно формализовать полностью. Такой подход хотя и не отличается полной математической строгостью находится в полном соответствии с общепринятой инженерной практикой проектирования. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Получены необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации линейных дискретных систем управлением со статической обратной связью по выходу.

2. Разработаны методы и алгоритмы синтеза стабилизирующих и робастных стабилизирующих регуляторов дискретных систем со статической обратной связью по выходу.

3. Получены необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации и одновременной робастной стабилизации семейства линейных дискретных систем управлением со статической обратной связью по выходу.

4. Разработаны методы и алгоритмы синтеза регуляторов со статической обратной связью по выходу для систем с дискретным временем, обеспечивающих одновременную стабилизацию и одновременную робастную стабилизацию семейства линейных дискретных систем.

5. Получены необходимые и достаточные условия стабилизации и робастной стабилизации управлением со статической обратной связью по выходу линейных дискретных систем случайной структуры.

6. Разработаны методы и алгоритмы синтеза регуляторов со статической обратной связью по выходу, обеспечивающих стабилизацию и робастную стабилизацию систем случайной структуры с дискретным временем.

7. На базе полученных алгоритмов разработано интерактивное программное обеспечение в интегрированной системе MATLAB для синтеза законов управления.

1. Баландин Д. В., Коган М. М. Линейные матричные неравенства в задаче робастного Нх-управления по выходу // ДАН. 2004. Т. 396. №6. С. 759-761.

2. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез регуляторов на основе решения линейных матричных неравенств и алгоритма поиска взаимообратных матриц. // Автоматика и телемеханика. 2005. №1. С. 82-99.

3. Казаков И. Е, Артемьев В. М., Оптимизация динамических систем случайной структуры, М.: Наука, 1980.

4. Коган М. М. Минимаксный подход к синтезу абсолютностаблизирующих регуляторов для нелинейных систем Лурье //

5. Автоматика и телемеханика. 1999. № 5. С. 78-91.

6. Коган М. М. Решение обратных задач о наихудшем возмущении иминимаксном управлении для линейных непрерывных систем //

7. Автоматика и телемеханика. 1997. № 4. С. 22-30.

8. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом иих аналитическое конструирование, М.: Наука. 1973.

9. Пакшин П. В. Дискретные системы со случайными параметрами иструктурой. М.: Физматлит. 1994.

10. Пакшин П.В., Ретинский Д.М. Робастная стабилизация систем случайной структуры с переключаемой обратной связью по выходу объекта // Автоматика и Телемеханика. 2005. №7. С. 144153.

11. Пакшин П.В., Ретинский Д.М., Рябов А.В. Robust Stabilizing Control of Discrete-Time Jumping System via Static Output Feedback // International Conference Physics and Control, Saint Petersburg, Russia, 2003. P. 1273-1277.

12. Пакшин П.В., Рябов А.В. Алгоритм решения задачи одновременной стабилизации обратной связью по выходу на основе линейных матричных неравенств. // 6-я научная конференция «Нелинейные колебания механических систем». Н. Новгород, 2002.-С. 118.

13. Пакшин П.В., Рябов А.В. Алгоритм синтеза управления со статической обратной связью по выходу в дискретных системах случайной структуры // Межвузовский сборник научных трудов молодых ученых «Перспектива 3». Арзамас: АГПИ, 2003. - С. 234-239.

14. Пакшин П.В., Рябов А.В. Синтез управления со статической обратной связью по выходу для линейных систем. // Автоматика и телемеханика, 2004. №4. - С. 61-69.

15. Пакшин П.В., Рябов А.В. Синтез управления со статической обратной связью по выходу для линейных систем // Вторая международная конференция по проблемам управления. Москва, 2003, том 1, с. 9.

16. Пакшин П.В., Рябов А.В. Синтез управления со статической обратной связью по выходу в задаче одновременной стабилизации дискретных систем // 8-я международная конференция «Системный анализ и управление». Евпатория, 2003. - С. 119.

17. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и телемеханика. 2005. №5.

18. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

19. Abdallah, С., P. Doranto and S. Kami. SPR design using feedback // Proc. 30th IEEE Conf. on Decision and Control, Brighton, U.K., 1991. P. 1742-1743.

20. AitRami M., El Ghaoui L. LMI Optimization for nonstandard Riccati equation arising in stochastic Control // IEEE Trans. Automat. Control. 1996. V. 41. P. 1666-1671.

21. Anderson B. D. O. and Moore J. B. Linear optimal control. New Jersey: Prentice-Hall, 1971.

22. Barmish B. R. Necessary and sufficient conditions for quadratic stabilizability of an uncertain linear system. // J. Optimiz. Theory Appl. 1985. V. 46. No 4.

23. Ben-Tal, A. and M. Zibulevsky Penalty-barrier multiplier methods for convex programming problems // SIAM J. Optim., 1997. V 7. P. 347366.

24. Beran E., Vandenberghe L., and Boyd S. A global BMI algorithm based on the generalized Benders decomposition // Proceedings of the Eur. Control Conf., Brussels, Belgium, Sep. 1997.

25. Bernstein, D. and W. Haddad. Optimal output feedback for nonzero set point regulations // IEEE Trans. Autom. Control, 1987. AC-32, P. 641645.

26. Boyd, S., L. El-Ghaoui, E. Feron and V. Balakrishan. Linear Matrix Inequalities in Systems and Control // Philadelphia: SIAM. 1994.

27. Brockett, R. and C. Byrnes. Multivatiable Nyquist criteria, root loci, and pole placement: a geometric viewpoint // IEEE Trans. Autom. Control, 1981. AC-26, P. 271-284.

28. Byrnes, C. and P. Crouch. Geometrical methods for the classification of linear feedback systems // Syst. Control Lett., 1985. Y 6, P. 239-245.

29. Cao Y.Y., Lam J., Sun Y.X. Static output feedback stabilization: an LMI Approach. // Automatica. 1998. V. 34. P. 1641-1645.

30. Corless M., Zhu G. and Skelton R. E. Robustness of covariance controllers. // Proc. 28th IEEE Conf. Decision Contr., 1998. P. 26672672.

31. Crusius C. A. R. and A. Trofino. Sufficient LMI conditions for output feedback control problems // IEEE Trans. Autom. Control, 1999. V. 44, P. 1053-1057.

32. Doyle J. C. Analysis of feedback systems with structured uncertainties. // IEE Proc., 1982. V. 129, Part D(6): 242-250.

33. Doyle J. C. and Packard A. Uncertain multivariable systems from a state space perspective. // Proc. American Contr. Conf., 1987. P 21472152.

34. Doyle J. C., Packard A. and Zhou K. Review of LFTs, LMIs, and ju. II Proc. American Contr. Conf., P. 1227 1232, 1991.

35. El Ghaoui L. and Gahinet P., Rank minimization under LMI constraints: A framework for output feedback problems // Proceedings of the Eur. Control Conf., Groningen, The Netherlands. 1993.

36. El Ghaoui L., Oustry F., AitRami M. A cone complementarity linearization algorithm for static output-feedback and related problems

37. Proceedings of the 1996 IEEE international symposium on computer-aided control system design, Dearborn, MI, 1996, P. 246-251.

38. Ermer, C. and V. Vandelinde. Output feedback gains for a linear discrete stochastic control problem // IEEE Trans. Autom. Control, 1973. AC-18,P. 154-155.

39. Fujioka H. and Hoshijima K., Bounds for the BMI eigenvalue problem // Trans. Soc. Instr. Control Eng., vol. 33, no. 7, P. 616-621, 1997.

40. Fukuda M. and Kojima M., Branch-and-cut algorithms for the bilinear matrix inequality eigenvalue problem // Сотр. Optim. Appl., 2001. V. 19, no. 1,P. 79-105.

41. Gahinet, P. and P. Apkarian. A linear matrix inequality approach to Д» control // J. Robust Nonlin. Control, 1994. V. 4, P. 421-448.

42. Garcia G., Pradin В., and Zeng F., Stabilization of discrete time linear systems by static output feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 2001. V. 46, no. 12, P. 1954-1958.

43. Geromel J. C., de Souza С. C., and Skelton R. E., Static output feedback controllers: Stability and convexity // IEEE Trans. Autom. Control. 1998. V. 43, no. 1, P. 120-125.

44. Geromel J. C., Peres P. L. D., and Souza S. R., Convex analysis of output feedback control problems: Robust stability and performance // IEEE Trans. Autom. Control. 1996. V. 41, no. 7, P. 997-1003.

45. Geromel J. C., Peres P. L. D., and Souza S. R. Output feedback stabilization of uncertain systems through a min/max problem. // IF AC World Congress (1993).

46. Geromel, J., C. de Souza and R. Skelton. LMI numerical solution for output feedback stabilization // Proceeding of the IEEE Conf., 1995. P. 40-44.

47. Goh К. C., Safonov M. G., and Papavassilopoulos G. P. Global optimization for the biaffine matrix inequality problem // J. Global Optim. 1995. V. 7. P. 365-380.

48. Grigoriadis, К. and R. Skelton. Low-order design for LMI problems using alternating projection methods // Automatica. 1996. V. 32. P. 1117-1125.

49. Gu, D.-W., Choi, B. and I. Postlethwaite. Low-order stabilizing compensators // IEEE Trans. Autom. Control. 1993. V. AC-38, P. 1713-1717.

50. Gu, G. Stabilizability conditions of multivariable uncertain systems via output feedback // IEEE Trans. Autom. Control. 1994. V. AC-35, 925927.

51. Helmke, U. and B. Anderson. Hermitian pencils and output feedback stabilization of scalar systems // Int. J. Control. 1992. V. 56, P. 857876.

52. Henrion D. and Kucera V. Polynomial matrices, LMI's, and static output feedback // Proceedings of the 1st IF AC/IEEE Symp. System Structure and Control. 2001. Prague, Czech Republic.

53. Hotz A. and Skelton R. E. Covariance control theory. // Int. J. Control., 1987. V. 46. No l.P. 13-32.

54. Hyland D. C. and Bernstein D. S. The optimal projection equations for fixed-order dynamic compensation. // IEEE Trans. Automat. Contr. 1984. V. 29 1034-1037.

55. Iwasaki T. Robust performance analysis for systems with norm-bounded time-varying structured uncertainty. // Proc. American Contr. Conf. 1994.

56. Iwasaki Т., Skelton R.E. Parametrization of all stabilizing controllers via quadratic Lyapunov functions // J. Optimization Theory and Applications. 1995. V. 85. P. 291-307.

57. Iwasaki, T. and R. Skelton. All controllers for the general tfoo control problem: LMI existence conditions and state space formulas // Automatica. 1994. V. 30. P. 1307-1317.

58. Jarre, F. An interior method for noncon-vex semide nite programs // Optimization and Engineering, 2000. Vol 1, P. 347-372.

59. JI Y., Chizech H. J. Jump linear quadratic Gaussian control: Steady state solution and testable conditions // Control Theory and Advanced Technology. 1990. V. 6, P. 289-319.

60. Johnson C.D. The 'unreachable poles' defect in LQR theory: analysis and remedy // Int. J. Control. 1998. V.47. P. 697-709.

61. Johnson, T. and M. Athans. On the design of optimal constrained dynamic compensators for linear constant systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1970. V. AC-15, P. 658-660.

62. Kocvara, M. and M. Stingl. PENNON, a code for convex nonlinear and semidenite programming // Optimization Methods and Software, 2003. V. 18 No 3. P. 317-333.

63. Kucera V., De Souza C.E. A necessary and sufficient condition for output feedback stability//Automatica. 1995. V. 31. P. 1357-1359.

64. Lasserre J. В., "Global optimization with polynomials and the problem of moments," //SIAM J. Optim. 2001. V. 11. P. 796-817.

65. Leibfritz F. A LMI-based algorithm for designing suboptimal static Я2/Яю output feedback controllers. // SIAM J. on Control and Optimization. 2001. V . 39. P. 1711-1735.

66. Leibfritz F. and Mostafa E. M. E. An interior point constrained trust region method for a special class of nonlinear semi-denite programming problems // SIAM J. Optim. 2002. V. 12 No 6. P. 10481074.

67. Leibfritz F. and Mostafa E. M. E. Trust region methods for solving the optimal output feedback design problem. // Technical Report Trierer Forschungsberichte Mathematik/Informatik 00-01, Universit'at Trier, Germany, 2000.

68. Leibfritz F. Static output feedback design problems. // PhD thesis, Universit'at Trier, Germany, Published by Shaker Verlag, Aachen, Germany, 1998.

69. Levine, W., T. L. Johnson and M. Athans. Optimal limited state variable feedback controllers for linear systems // IEEE Trans. Autom. Control, 1971. V. AC-16, P. 785-793.

70. Makila P. M. and Toivonen H. Т. Computational methods for parametric LQ problems A survey. // IEEE Trans. Automat. Contr. 1987. V. 32 658-671.

71. Mariton M. Jump Linear Systems in Automatic Control // New York: Marcel Dekker. 1990.

72. Mercadal M. Homotopy approach to optimal, linear quadratic, fixed architecture compensation. // J. Guid. Contr. and Dyn. 1991. V. 14 1224-1233.

73. Moerder, D. and A. Calise. Convergence of a numerical algorithm for calculating optimal output feedback gains // IEEE Trans. Autom. Control, 1985. V. AC-30, P. 900-903.

74. Pakshin P. V., Retinsky D. M. Robust stabilization of jumping systems via static output feedback // Proceedings of the European Control Conference, University of Cambridge, Cambridge 2003 (CD ROM).

75. Perez, F., C. Abdallah, P. Dorato and D. Docampo. Algebraic tests for output stabilizability // Proc. 32th IEEE Conf. on Decision and Control, San Antonio, TX, 1993. P. 2385-2386. 1993.

76. Petersen I. R. and Hollot С. V. A Riccati aquation approach to the stabilization of uncertain linear systems. // Automatica, 1986. V. 22 No 4. P. 397-411.

77. Prempain E. and I. Poslethwaite. Static output feedback stabilization with Я* performance for the class of plants // Syst. Control Lett., 2001. V. 43, P. 159-166.

78. Richter S. and Collins Jr. E. G. A homotopy algorithm for reduced order compensator design using the optimal projection equations. // IEEE Conf. Dec. Contr. 1989. P. 506-511.

79. Rosiniva D., Vesely Y. and Kucera V., A necessary and sufficient condition for static output feedback stabilizability of linear discrete-time systems // Kybernetika. 2003. V. 39, No. 4. P. 447-459.

80. Rotea M. A. and Khargonekar. Stabilization of uncertain systems with norm bounded uncertainty a control Lyapunov function approach. // SIAM J. Contr. Optim. 1989. V. 27 No 6. P. 1462-1476.

81. Rotea M. A. The generalized H2 control problem. Automatica. 1993. V. 29 No 2. P. 373-386.

82. Safonov M. G., Goh К. C., and Ly H., Control system synthesis via bilinear matrix inequalities // Proceedings of. Amer. Control Conf., Baltimore, MD, 1994. P. 45-49.

83. Scherer C. W. and Weiland S., Lecture Notes From Course on LMI's in Control. Delft, The Netherlands: Delft Univ. Technol., Eindhoven Univ. Technol., 2002.

84. Skelton R. E. and Ikeda M. Covariance controllers for linear continuous-time systems. // Int. J. Contr., 1989. V. 49. P. 1773-1785.

85. Skelton R. E. and Iwasaki T. Lyapunov and covariance controllers. // Int. J. Contr. 1993. V. 57 No 3. P. 519-536.

86. Skelton R. E., Iwasaki Т., and Grigoriadis К. M. Approach to Linear Control Design. // New York: Taylor and Francis, 1997.

87. Syrmos V.L., Abdallah C.T., Dorato P., Grigoriadis K. Static output feedback A survey // Automatica. V. 33. 1997. P. 125-137

88. Toker O. and Osbay H., On the NP-hardness of solving bilinear matrix inequalities and simultaneous stabilization with static output feedback // proceeding of Amer. Control Conf., Seattle, WA, Jun. 1995, P. 25252526.

89. Trofmo-Neto A., Kucera V. Stabilization via static output feedback // IEEE Trans. Aut. Control. V. 38. 1993. P. 764-785.

90. Vandenberghe L. and Boyd S. Semidefinite programming. // SIAM Review, 1996. V. 38 No 1. P. 49-95.

91. Wei, K. Stabilization of a linear plant via a stable compensator having no real unstable zeros // Syst. Control Lett., 1990. V. 15. P. 259-264.

92. Wilson D. A. Least squares stationary optimal control and the algebraic Riccari equation. // IEEE Trans. Automat. Contr., 1989. V. AC-34 No l.P. 94-98.

93. Yasuda K, Skelton R. E. and Grigoriadis К. M. Covariance controllers: A new parametrization of the class of all stabilizing controllers. // Automatica, 1993. V. 29 No 3. P. 785-788.

94. Zhu G. and Skelton R. E. Robust discrete controllers guaranteeing l2 and performance. // IEEE Trans. Automat. Contr., 1992. V. AC-37 No 10. P. 1620-1625.