автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач теории упругости методом двух сеток конечных элементов

|2.'3 11 3 г

сашст-геттз'бургс:^:" гсс:а\гст;г тези^сй;" УШЗЗРСИТЕТ

— — — — — — — — — _ — — — — — _ — — — — _ —

Гл правах рукописи

КУЗК.СШД Сньга Рлкюровка

гЕ'ЛГ^Е ЗАДАЧ ТЕСРКЙ УПРУГОСТИ МЗТСШ ДВУХ СЕТСК каптатиХ э^пкгсз

Специальность 05.23.17 - (трсителькая ькхаЕика

АВТОРЕ О ЕР АТ

диссертация ка соискание учено? степени кандидата технических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1592

Работа выполнена на кауедрм строительной г.ххаппкп и теории упругости Санкт-Петербургского государственного технического , университета.

Научный руководитель - контор технических наук, стараий паяний сотрудник А.З.Вовкуаевский

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор, .?г.А.Розин

Официальное оппоненты - доктор ?игяко-мате:.'.аткческ:;х наук, Кинек К.К. - кандидат технических наук,

ст.научны": сотрудник Гельский В.Г.

Ведущая организация - Проектно-изискательский институт .ТЕК1КДР ОПР СКСГ • •

Еадита диссертации состоится " 8 " декабря 1992 г. в_

часов на заседании специализированного совета к 063.38.08 6 Санкт-Петербургском государственны.: техническом университете по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 25. СПбГГУ, гидротехнический корпус, ауд. _

С диссертацией ыояко ознакомиться в фундакэнта.пьной библиотеке СПбГГУ.

Стзыв на автореферат в двз>х окзешдлрах, заверенный печать», просим направлять на г.ыя ученого секретари специализированного совета по указанному вике адресу.

Автореферат разослан " " _ 1Ь?2 г.

ОЩАЯ ШЙКТЕКтКЛ РАБОТЫ

Актуальность ггооблеми. Развитие строительно,; механики в насто-яд'.ез время судествгпна опирается ка использование численных методов при проведении расчетов ка 3Ü.Í. Наиболее эчТ'ектпвнпми методами численного рзшьая задач строиголыю^ тлохашга лзляэгея кв тодк, основан-кые на дискретизации расчетной облает;;. Самки популярный среди них -метод конечннх элементов С.".КЭ), которы,'; сочетает в себс преил^тдостза методов строительно;: кэхангаа, варкацкоикис к копзчло-разностикх методов.

Расчет строителыых конструхклЗ, в .то:.; число и гидротехнических, приводит х реет tasa задач строительной механики в двукерной и трзхморно- постанов:«. 3 настоящее время существует много отечественных к зарубемннх прогркжшве комплексов, рзалкзувцше 1..КЭ (ЛИРА, CS-íTjPAIiíAK. .tap/Li, , SAP -ГУ и др.). Однако при их использовании

для практических расчетов, особенно в трехмерном случае, возникают сатуацпг, когда достсге^ке приамлемпх результатов становится невозможны или слишком дорогие из-за потребности больших ресурсов ЗВл и значительного количества машинного врв1.:онп. Таким образом, несмотря на активной развитие вычислительно- техники, разработка одХективных вичислятвльшас процессов' и реалпзуадих юс ярогреюших ерздетв по-пре-хенему остается актуально! задачей.

Цель работы:

разработать »¿Лектипные алгоритмы метода двух сеток, тробуицио ментально возмомннх затрат ресурсов ЗВл;

исследовать сходплость предложенных алгоритмов;

развить принцип стандартной области для достижения цели, сфорглу-лированноп в первом пункте;

на основе разрасотаннах методов осуществить программные реализации для решения двумернихп трехмерных: задач;

развить идеи метода двух сс-ток ка решение задач с односторонними связями и частичной проблемы собствэнпю; значений.

Научная новизна работы состоит в слсдущем.

Разработан вариант метода двух сеток, требу пцин минимальных затрат ресурсов jii.i, что достигается внбором эффективного итерационного процесса на густой сетке, оптимальным подбором ого параметров, использованием компактного хранения матрпци на густо« сетке, использованием принципа стандартной области для реализации опорацип проекции.

I.

и интерполяции.

Разработан саргакт кетедо двух сеюк, обладажгЛ простил слго-ко трзбупцгЛ опера:;;:- гроекцгп j: лк-зрцашшг., легко рсодл-зуе;.;ы2 для области:; любо.; слс:::ностг.. Доказала теоретическая сходимость метода.

построен метсд рс^еии,*: задач тесри;: упругости для тел сложной С орлы, пспользу:ххп принципы ссзцг,ар?р.о1. области u оснопапно:; ■ на одаосрокешок виполпсша двух итерационных процессов, одна ;:з которых (метсд двух сстох:) направлен на рс^знне ххязуяо'Л зада1::: теории у пру госта, другой - ira снят::2 поверхности::-; лапрггайнпГ: с требуемого контура.

Разработан алгоритм рссонаг. задач теории упругости с адеадыш-i,;;'. односторонн::'.'.:! связями на осноъс истода двух еэтог.. Показано, что из-за ул^юцойЕЯ скотекы огрсвкчсщ'Л на родной: сетка ьоз:..ом;:о иарусо-нг.с пвоцесса минимизации энергии, приводящее :: заци::лпнгпп:о процесса ели его медленной сходимости. Разработан:: соответствующие пгп;мы, направленные на проодоло.чпо этих затруднепи.1.

Показала возколаоегь пр^енспин метода двух сото:: для решения частично!; проблемы собственных значен;:^ для сг^етрглЕо" поломитель-но определенной; катрадц.

Практическая ценность закачается 'в разработке программ, рса-лкзуюцях чкеленное ребенке двумерных и трожбрньх задач теории упругости, позволявших суцественно сократить время рспоиал, объемы внешней и оперативно;; памяти Olí.1. Разработанные программы использовались для практического расчета гидротехнических сооружен;;...

Внедрение результатов работа. lio разработанным программам, которые использовались как надстройка к програьашо:.:у комплексу СИПР/&АК, выполнены расчеты по определен:::-:) напряпепно-декормпрованно-го состояния гравитационно-прочно., плотины Саясо-!:.у:лонскоп ГЭС.

Достоверность результатов работы подтвермдается путей решения модельных задач, шеицих аналитическое ременне, a -raíste сравнением с решением, полученным другими методами.

Апробация работы. Основное содсржнио работы докладывалось

на школе-семинаре по I/.КЭ, г.Нарва, ILC7 г.;

на научно-технической конференции ШЮа Гвдропрозкта, гД.осква, I.96S г.; ,

на семинаре по строительной механике в С116ГТУ г.).

•2 1 , '

Г:о глатериалагл дкссергсцзл опубракована 4 печатные

рабой:.

Стау-туга - обг,.-.'•."сспт.'-чни. Дкссэртаг^я состоит ::з издания, пяти глад, закягссквя, спксае ¿жгорат^ра, вкличаицего 98 вакленова -кип. Объем работа состазлязт 4ъ0 стр. ¡латиноппс.чого текста, 62 рисунков и у 5" табл:::-.

На наносятся:

аарка.чт истода двух сеток, требу пцг.и кипшольевх затрат ресурсов

УЖ;

упреззикий вариант глэтода дьуз: сстсг:, пе трэбу:^::;! операции проекция п интерполяции;

¡.:етод решения задач теорхи упругости длс тол сложной £ор?.ы, основанный ка сочетании принципа стандартно.'. области к итерационного процасса на днух сетпгх;

метод ро1:опгл задач теория упругости с вдеальыгли односторонними связями на основе вссользогаш: дзух соток;

котод р<эпея:1я частично!-! проблеглм собственных значении для скл-мвтричко!, положительно определенной глатрпци.

РАБОТЫ

1!о ~Ееденип обссиоЕнпается актуальность те;лы исследования, дается кратное опиоапиз содержания диссертации.

Потная глаза поевдэш обзору числапних методов решенте систем алгебраическое урезьеапл зкда:

Р<> (I)

к которш м.КЭ сводит исходную дг.1>1 ореяца&шьну о задачу.

Ирг. расчете конструкции, кдехадс сложу ю {орлу, особенно в трехмерно!: постановке, систегла уравнении ЮЮ алеет высока^ порядок, объективность иришх методов при росте порядка сг.стег.ы падает достаточно бистро. Крото того, ¡:а-за больших значепиЛ числа обусловленности эти задачи плохо поддаются рсас:;:з зслгссичзыамл итерационна,ш метода:.'::.

3 связи с этил в последнее время разработан ряд высоко э&'ектав-ш-1х иторацион.чьа-: методов: метод пореканиих направлен::^, спектрально-эквпвалонтпих операторов п другие. Крсл.е того, з последнее врегля получили активное развило 1/.;:огосеточ;,.ь.:е ьстода, сочетание б себе луч-

3 •

шив свойства прямых :: итерационных методов.

Г.'ногосеточнне методы оказались очзпь удобнимп для автоматизированного ревоккв пространственных задач; на основа этах методов были разработаны программные хшиаокса "¡..ьР:\" (Горький),"ГКТП" (kocrœa), за рубеже:.; созданы прографи типа "■черт:;: яд;кх", для решения боль-кис JUiHoiiHiiX задач. У.з работ, посвященных г.г.огосеточнцм метода:.:, отметка труд:! Астраханцзва Т.П., Еахвалова U.C., Булгакова B.S., Вовкушовского A.B., Золотова А.Б., Ыарчука Г.h., Плутова А.И., Фсдо-рекко P.E., брадкпна Б.Ь., Ьапдурэва З.Б., W. Huck ßu $ L,

A. Brandi, К. Morgan, K.L'6-кпег и других.

На основе анализа современного уровня развитая многоееточных методов .формулируется цели к задачи данной диссертационной работы.

Во итого?, главе лтесе~Т£'у:ч1 разработаны варианти метода двух сеток для реаеккя задач теории упругости l.'X'à, требующие :,г.игл;;.гльрлх затрат ресурсов ciü.i и основопнце на пдзе подавления кокеоясэт.

Рассмотрим основную идею метода. Пусть необходимо осуществить минимизацию конечномерного гупкцлонала, котории получается при решении задач теория упругости илй:

ПС (25

К - симметричная, пологи-тельно определенная матрица порядка К. , fy - вектор пзрбме-денпй, S - вектор нагрузок. Задача минимизации такого функционала эквивалентна решении система уравнений гида (I).

Причина плохо!; сходимости классических итерационных процессов для плохо обусловленных систем видна из связи погрешности и невязки х : t- К4 . Для того, чтобы элективно приблизиться к решению, необходимо делать шаги по направлению погрешности, по известна только невязка, и чем хугсе обусловлена система, тем сильнее направление невязки отличается от направления погрешности. Поэтому для определения направления эТДсктишого шага ci*" воспользуемся соотношением

Б Л1- V (0)

где Ь " - нешрозденная матрица, в некотором смысле близкая к К . Выигрши будот достигнут, если Ь легко общается. В методе дпух сеток легкость обращения ß> достигается иошштием ее-порядка.

Пусть Г1(<у) - результат решения задачи на некоторой сетке, которую будем называть густой. Введем втог.ую, редкую сетку, перемеще-■4 / ■

нпя ее узлов образует ьохто? ffc порядка п. п введем катркиу пн-терполяц:::; С такук, что о,=|'С о . Потребуем, хотя ото к необяза-

I» V

7Сл5КЭ, чтеои густая сстка «¿ались рззул;,таток регулярного дробле-н:ш редко;, в t раз. рцсскотр::-.: задачу:

тог ГГ ' ' (И.--СА

С f +

(4)

легко вкчпелнть, что ;.:;:к::.:нзнру::щН; ro;-.Tori долкзн удозлзтзогять условна

К еГ К ^ (5)

где К = С 'К С , Ч.1 = С , пор.'Д'ок раьзн »г , причем Чс* п. , Tai: кг;: столбдк С линз;.::о пззг.-дед-и, то К положительно определена. Рошш екстеку (5) ¡»кг-л-либо пряди истодом, яащн-лор, кетодси квадратного корн;:, г:олуч;:л

K"V , (6)

зато:.: Интерпол:;-;.е:л' пол;чонкое 10кз::пз на густую сетку

cOxCKC'rt -3>г\ (?)

К'Тектизностн нага (7) определяется ток, насколько короле веютор norr.au!ocui аппроксимируется г,нрн;::ел:кпл вида С• Ясно, чао гладкая состанлягдуя погрешности хорошо представляется таким образок, и по ото: у лаг (7) а:.аудирует ссстазляпцие с tuwn:.ia коке-

рами з спзктралънок раздолен:;::.

Слздукдкк этан необходим для подавления негладкой составляющей погрешности, позн:н.а.Д;с:; при интерполяции. /дя этого применяется какой-дг.бо ;уззгсЕЧсс1Уй ктерацкончкЛ процесс на густо:; сетке:

ТС (К (8)

где параметр процесса наотранзастея на подавленно ипсокочастотик (негладких) ссотанляпкис погрешности.

Б цело:.: алгоритм реализуется елздушд:::.; образок:

1) 0- пачальноз прнолклепне;

2) икчнсляется непязка *»

3) пепязка проектируется на сетку глепьшеР раз:..срностн: t=C%\ ■1) решается система (Ь) на рздко-i сеъ;о прямшм шетодом;

5) полученная по;.ранка интерполируется па густую сетку Cl-Cct и добавляется г, ншсшцекуся сектору CL ;

G) Boswaxioans nj-u интерполяции Бксокочастотнше состапдодко

пограмвостн вкпулагуггзй вагам:; накогс-ллЗо &®сс$гсгскс-

го итерационного процесса (8);

7) полученное тапвм образе:,: р^менве иеволвоувве;; в качает:,а нового гр::бл:и::ен:в., н ooyu.ccis.iv&ict иэгг.гсл' к 1г;::.:ту

метод двух сотой ориентирован ва р.: ванна задач с Оолввнм ::ел:г-:е~ ством покзвеегтг:, поотему вамно, чтоб;; б:лн с::т;:и.о реалвзовапи следуа;?.з операции: <рог:..провнвня матрица местности К , умномения t®t?;:isi па вав.тер, ннтарвуелевнх a^nai»-.'« ваременнвх более густу:э сотку проекция на оолое ре;',::;;:;. ¡лмач тахме и способ хранения катгинд К • '.'а:о:..е того, о:: obthb:.gcv:- ввсстн алво; нтма овпеде-лязтея и вийоро:.-. ктсрыко'люхч) нроцэсеа д.вя подовлонил негладких компонент вектора погрс„ноех::. Чцслстш-з r.;;c;:o,c.43i.vu гогхзглг., что применение кегодо простых arcpaiuul онвзалос: пазактив:::.: ::о сравнению с методе:.; сонрямевнкн градпзнтсв :: чебнво^с;:;:.: ускоренном сходимости. Ьфрекцивноетв последних дз;/н сосалась примерно одинаковой. J-jiя реализации онл вкбран процесс чеб-лоБзпл:: ускорений, а ::э метод сопрягенных градиентов, не т;ебув:.:;:в; nu.;ar.rj. ir^tbKtorjaix параметров. Сто объясняется тем, что метод чабавевс:;;:: ускорен::. а.^екткв-нее реализуете^ г. смысле требуемых ресурсов ntixvit. мроме того, вариант метода сонрнменкнх гргдцектов с одв::л умноменпем матрив:: на вектор численно неустойчив, а вариант с ;;в;мя умноменн::.:!: матрица на вектор менее з^ектнвен.

■ При внборе параметров да» чсбвмевских ускорь;.;:., поступали ело-дукдш образом: верхняя Гранина сноктрс р прнвп.влаов нан некоторая доля от ПК II , гарантирован.::;:; у.;овс:;в подавления воврмвноотн Q и число итераций X задавались, по от::; дав::::.: в^ве-вв^-св вторая граница области гарантированного подавления компонент, а затем ввгчислялись iio сормулам:

э= С2/ч)</т , е -

гЭ ' (V)

R-S „_ _

Оптимальные значения Q , 7 п б:.л:: онрмелеак после серии числен1П;х экспериментов, они оказались веевма устойчпв.тлп и во требовали подбора ври ремеккв других задав. Кокк;етно, Оию принято J&*<?-9 IIКIIj С{ - 0,1-0,2, 7 в завнем..оети от параметр'а дробления -к принималось равн;"::

G

S dr

-и 2

= 7 r= b+z

CO)

Результат;: чиалелллх с.:одог.~.г:;?сп пссо::отгс1и яд-то, а сейчас рас-сл.отрлл: ¿опрос:-: реализации :.:с:сда. гасс:.:алрллал.;сь различило citoco-бц хранен;-?; :латр:;:;а К а сглпз около;.;.::: плкятл и сокгацсн:1Я количества аглр:зллп:;сл:л-: с::лгл:л:л, лолбходх.лл; для реализации процедур;: у:.:ло::сллл. /.'да ллелллллх зкелеллкелтол с-кл избран способ хранения лхтрлцл а л:-щз характер.:.':." строк - салил: около:.:ичн;,и с точки зрепхл ресурсов Ы1...

lip:: реализации лрезллллк и ллтзгколяцки использовался

принцип сталдартлс^области. а качзатл-з стандартной области приливалась область, токологически зклклалллтлая прл:.:оуголън::::у. При такс:.: подходе па опзрац::;; с лхлрлцел :.:сзткостп не требуется ликипх ресурсов öil.;, слязалллх а лаллллзл: дололлптольпхх: узлов, :: в то л:з врзу.я операции кротки;::: и нлтерлоллцлк лз-тко алгоритмизируются.

3 качес

крлтер:л1 окелчалля лроцоесл использовалось веравепст-

II dLll

t

(II)

где || а "И - лор:.:' полого лзлллля задачи ::а редко!; сетке сравнивается с логлол очередного хаг., ллоцссза ке{1/|^ (¡1 -• + сЩ, £ - трзбуолая точность.

Для проверил з::одх..злтн :..стола и зл-^зклпвнозтк крлтархт оконча-лия процесса Сл.лл влполлллл числа пике з^епзрх.хлтк для плоской задачи тзории упру гости для области а бццо колеольпои салки. Кепользова-лись прпхоугслыхх колпчлле олелентл: с бплпнелнол аппроксхлацпеи пе-ре:.:ецен:л:. ¡.агр^зкоЛ плелись касателлккз ус::л;1я на свободно;.: торцо, Прлведе:: рзкаллз одло из :.:одзлвллх задач, которая пт.ела следукцко характеристики: соотношение разделов области 1/4, У = 12^0, густая сетка - 30x15, редкая сетка Л0х5, ~Ь = 3. Результатк представлена г табл..цз I.

Таблица I

Ii c^i _____ r Hur

Точное Г.ЗЛЗНПЗ 'lib?, ir.i ЛЙЛ, '¿LIO 3 38 -

6 - ю-'1 ..153,i. SO i,C3, Л750 0'S5 " 3

10"'J .U)7j, С SO 0'5S ' 5

Самая бсль~эя модельная задача (для области, прсдстовлглкей ссбой схематизации гравитационной плотики), репейная по отсй программе , имела порядок 5125 неизвестных, для со репения потребовалось 4 шага на редкой сетке и 20 умножении матрицы на вектор. Сопоставление по числу арифметических операции с прямым метсдом (метод Гаусса) показало, что для ее решения требуется в 15 раз менызэ. Ка базе этих данных момно установить, что для подобию: задач метод 'двух сеток начинает вынгровать у прямых методов по числу арифметических операикЯ с //~ 6С0.

Разработан упрощенный вариант метода. В предлагаемом методе отсутствует спсраиии проекпий л интерполяции. Для, его реализации необходимо только, чтебы всо узлы редкой сетки согладали с. какими-либо узлами густой (спорные узлы).

Изло-теи суть метода. Обозначим здесь через К матрицу десткости ка редкой сетке, построенную на основе ¡.33. Введем операция закрепления спорных узлов, выраженную соотнесением:

С (Ь = il1 (12)

U.*" - вектор фиксируемых перемещений спорных узлов, соответствуп-щий по структуре 'матрице __К , С- - прямоугольная матрица закреплений, элементами которой являются числа С и I.

Зафиксируем некоторое, например нулевое U'l= О, начальное значение . Цкнимизируем функционал (2) при условиях (12). Для этого сначала воспользуемся методом чебилепекгсе итераций на подпрост-ганстЕе с+(

^ (13)

т*- v 1« м le

t - параметр шага процесса, ^с - вектор условного пнтиградиен-та Пг^в точке Cl^ . Вектор t* вычисляется на основе вектора безусловного антиггадиента (невязки), в котором зануляются компоненты, соответствуюние спорным узлам. Такой процесс будет сходится довольно быстро, поскольку введение закреплений улучшает обусловленность задачи.

В итоге осуществления нескольких сагов (13) в спошых узлах образуется реакции, которые будем считать узловыми нагрузками для ускорявшего шага на редкой сетке. В целом процесс организован следующим образом.

I) В качество начального приближения используется нулевой вектор .

2) Осуществляются чебпаззсхие ктзрацкл с закроплзгаакл опоршми /зла':! (13).

3) Еосле выполнения сер:::: чеб^овсгсх итерации всткслагл кевяз-:-:у снстзпн t- . Бо введенных связях образуется рзакдяп, котсрко с jdpaT'iirr.: знаком дзнстзукт на or.otu Л- С (Ч — t. С^) .

■1) Бкчпсялзм К"4 А я изменяем зпачзн;:я перемещен::« опорнкх ;злзв, прког.гпз к вектору с^- члзк о> С л , ш - параметр ПрО-

'ЗССС.

5) "¿зли HK''il/и С >11 > £ , Е - заданная тонкость репе-пи;, тс ::зра;.од::.: г: кун.лу 2), в противном случао выползем заклзчи-:сль;:у.о rc>i:i.y чсб.^вЕстск птсраци,. без гяксацил опорных узлов.

Донизана таорзтическэя сходимость метода в предположении, что ¡адача (¿), (12)'рсиается точно.

Числзпнко экзперпке;.тк показали, что прсдлог.енний метод, хотя 1 уступает основному, остается достаточно э'Коктибн:дл. Для примера грпводем рзмснис задачи, аналогично! описакнпм ранее. Соотношение :торон равнялось 1/4, f/ = 738, густая сстг.а (8х40)х2 элементов, :едт:ая (4х20)>:2, -L = 2. 2авис:глость £ от Мун* показана на шс.1. Ij, I., I'-, - опзрацни проекция и интерполяции не используется, lC 0.S, 1.0, I.I соответственно, I - операции проекции и ;н?'?гполяцпи использунтся

роме того, раллксь мздольпкз задач:: дла области, нредстсвлягаце;! обои схематизации гравиташитоЛ плотины, А/ =. 5126. Для ее реше-яя потребовалось Ни- = 3 и CS умножения матрицы на вектор. Со-эставлопг.о ко чизлу арифметически операции с методом Гаусса пока-зло, что пг'0:му.х,0зт:;а птзкчнюппого процесса начинается с порядка • истгмц .;,[) Tiic.iwuarocTiiiu. При роьлмш;: задачи с порядком системы Ь6 нопзпземк.х бппгриц, по чеса, амммегичссшех операции составил

о

3,8 роза по срсьпэкко с цряккд методом.

Тгетья глг'^". посвлцела кобола двух соток для прост-

paiiGTueiinoi: задач;; теории у пру гост:; (i:c ба:,е программ-.! С'.'.'. IP/J.XC). В оснозу реализации бщ полошен осг:оы;о2 вариант метода, использу;х;::п операции проекцпп :: пнтерлсляцлп ';лгор:шмл чвбсыэс&ах ускорения.

3 разработанном варианте мето;.;: густая :: род:сак свтг.-: геометрически совпадает, ::о отличзптел пора-дал erxpoxcî-xunr. перемешен;:;: (для "густо;;" сст::;; попользуется злсмент..: с более luco:-;;:,; порядком аппроксимации к с процсшуточпнмп узла:.;:;).

Разработанные программ:: ::р::..с;!ял::сь для расчета гравитацнспло-орочлоИ плоткня Саяно-^ушепско!; ГЭС. Решалась задача с порядком системы А/ = '1047. Результат.: сопоставлялись с расчетами по программа ClnPA!..^, з которой решение слстш.::: урсьлон::,. ...~ЛЪ осуществлено бло-чншм вариантом метода Хслееского. Для спетомц потребовались

3 итерации па редко!, сетке (13 умпошен:;!; матрица па вектор), что заняло б 1,6 раза меньше времени по профессору ±С-10пв по сравнению с прямлц методе:.:. Сто значительно слабое, чем зГ,ектпзность, достигнутая при решен::;: модель:^;: задач. Различие 2 оценках объясняется пре;кдз всего наличие:.; обменов мошду оперативно;: памятью и внешним:: запоминании:.::: устройства:.:;:. 1Сро,..с того, надстройка d данном случае осуществлялась к про:рам..с, ориентированно!: па решение система прями.: методом, поэтому по все операции с точ::и зрен::я метода двух сеток реализовани э:р:; ективпо.

В четвег.то.': глаг-o продло'.:сл птзрецконнчл процесс дли рзшел;;я задач для тел слошлоп бормм па основе сочетания принципа стандартно!: области и метода двух сеток. ! ектньлесть метода двух сеток оообок-но велика, если дискретизация задачи проводилась с использованием регулярной сетки копечнлх элементов, те:; :хк в этом случае матрицу системц мошно хранить в в;;де характерных строк. Компактное хранение матриц приводит как к уменьшен;;:;) затрат ресурсов намят;: Гл.',;, так ; к уменьшения количества ебменев с з;;е:;:нш.:н устройствами, что позволяет элективно реализовать ог.зрац:::з умномення матриц.: на вектор, которая является наиболее трудоемко., з многосеточнчх методах. В большинстве практических задач встречаются сломныо по конфигурации области, которис при обцчном подходе приводят к нерегулярностям сетки конечных элементов. :1;;мепснпе принципа стандартно!! области поз-

слязт нзозмать зтого. Сгикдар'пхя область имеет простую С°?"7 одер::-:? в сзбо депстпитолвну:: ослгс.ь, запдту.'з тзлсм (р::с.2). Цель лгоситма соссопт в '-о:.:, чтобы освободить от усдл::;: требуемы:: конур, что зыьдпалентно близости к нул:о попэрхпостных напряжении на

/лгосисгл сснэ..ан на одновременном выполнении двух итерационных роцзсзои. Один из н:п: осуществляет итерационное реыанне задачи уп-угсстп (метод дну:: сетей), а второй сп::.:зе? усилия с контура. Ос-а::о:п:мся га втором провозе. Сн организован слоду:-^,::.; образом: начала г1'вадо;л:3';ся папр^-мзппе во всеЛ расчетной области (станцарт-Эл области) от впемннх воздопств;:... после этого определяются пор-злвпыз и касательные поверхностные нанряв:е::;;я на границе требуемо-э контура, оти на прямей::;; нр::плад::эа:стея с обрат;;:.:.'; знаком в качс-гвз внз^неп ыагг^з;;:; наряду с постоянно депстлугщс;;. Сно^а опреде- 0 амтея по ним снова возети'павлпвамтся поверхностные на-

р.т"::;:я на контуре, н дрзгосс повторяется до тзх пор, пока компо-понерп'юемпл напр;.; енн'л но стану? достаточно малым::. Опреде-З'П'.с. ;:о.:з!;.:х :: касатс..в;п;х панр/Лон;:^ па перво:.: ваге процесса ) вызывает затру,,,::г>:1:\;. Трудности с г-У. определенном возникают тог-з, когда к почти../ при.;о:.свпа ппопняя нагрузка. В связи с э?:т.; бнл :прабстан способ пычнелз'п'д направо;.::., в простспмп:: треугольном л...;,;оптз плоопен. за.'.ачп пр:: па.пн.:::: смачна па;,ря;.:зп:п. но некоторой

заранее известно;; линии, пзресека:одек олемент.

Г.етод был опробован на решении модельных задач, плекдих порядок ¿000 кзпзвестннх. сопоставления получепншх результатов эти ;;;е задачи были решонк по прогрткдле , где решение системы осу-

ществлялось прям;-..; методом и г-спользопалпсь нерогулярнке сетки конечных элементов. По числу арпклот;;ческ;и; операнд;; бил получен вкпгркн в 1,5 раза, по потребляемому обшему бпзикой памяти в ¡¿00 раз, по оперативной - в 3 раза.

В пято:1 глане диссертации рассматривается алгоритм решения задач с односторонними связями методе:.; двух сеток. Б ото:.: случае вместо безусловной шпш-лпзацпп функционала П (задача ставится в виде:

при * $' ' (14)

где <9 - вектор зазоров ( опс), А - матрица проектирования компонент вектора на направление ограничен:;;;, известии методы решения задач типа (14), оспояапшз па идеях условно-градиентного спуска и других подходах. Здесь используем идеи метода двух сеток.

Пусть достигнуто состояние , удовлзтверялцзс неравенству в (14). Подставив <£= С £ в (14), получи.; следу ;о.:;ую задачу:

"б)

АСА* Я1 где

Задача (15) представляют собо! задачу квадратичного программирования. £е порядок нише, чем порядок задачи (14), но она принципиально слошнзе, поскольку в ней усдо.шпепа структура ограничен::::, на-кладываеких на с1 . 1;оото:,:у, чтобы остаться в рамках пре;::ннх методов решения контакта упругих тел, условие п (15) било упрочню: в . нем били.оставлены только огрбьдооккк, соотпотствуншпе узлам редкой сотки:

А £ * 8j (те)

. Ьлесто классического итерационного процесса для подавлен::» негладких компонент в данном случае попользовался метод условного градиента.

Таким образом, организация процесса подобна сличав дздв*ах£ задачи. Однако из-за упрощения ограничен;^ на редко,» сетке возможен выход перемещений промемуточп;:х узлов густой сотки за границп разро-

генной области.. Непосредственный возврат эт:в\ углов з область кине-латпческк возмомнвх перемещений гломет наруапть процесс минимизации энергии и принести к зацикливанию процесса, что наблюдалось б чпс-аенных экспериментах. иэгсл'кп полностью предотвратить выход из эбластн приводили к замедлению сход;в.:ости.

В итоге кногочпелзннкх попыток бнл внработан прием, который работал устсйч:зо и дал хоровою практическую сходимость. Он основан ;а частичном возврата в разрешенную ооласть (т.е. на постепенной . релаксация волнннпц выхода за грашщу множества кинематически воз-.'омнвх перемещений ).

Сопоставление проводилось с методом кх с.лителей Лагранвл и тодтвердпло эффективность метода. Для-примера приведем решение плоской задач.н теории упругости для области в виде консольной балки, :о с гладкш упором, отстоящим от верхнее грани па зазор , -:рсме вертикальной нагрузки па свободном торце, прикладывается из-гнбакикй момент. .Шрекотри задачи били следующей: соотношение размеров области 1/4, густая сетка 36x9 элементов (прямоугольные ?ломе;:тк с билинейной аппроксимацией перемещений), редкая сетка tixO, t = 3, Л' = 7^:0. = 10, число идеальных односторонних :вязей равнялось 35, па родной - 12: Результата приведены в таблице 2, Т - время по процессору 'OHâ ES&'j-S. Рев:алксь таким задачи : порядком до // = 2733 при 04 8< gO . Бремя реЕения таких задач ¡оставляло примерно 3-4 минута, jI^t = 5-7. Схема задачи я пе-нилеценкя верхней грани no:c£3ai:n на рис.З.а п 6.

Таблица 2

Т ПиХ

Точное репонпи 143,5114 4*55* _

£ = Ю"4 143,5108 • Г 20" II

£= Ю-6 143,5114 2'44" 23

tt//f//'// / // // / f / / / t / J /

В этой sa главе изломан алгоритм ремения частичной проблемы собственных значзшв. для сн..мотгнчноп положительно определенной матрицы К . Он использует обратный степенной метод, дает* шаг которого реализован в Езде процедуры метода двух сеток. В качества началькоп приближения бзрзтся вектор, содсртдо» первую е.огму, обозначил его •6 . Нормируем его, обозначил <J-0 . Далее-для к = 1,2 .... ( к - итерация степенного метода)виполнясм следуьх;ее: I) проектируем на редкую сетку

= С ft-*

2) Решаем систему на редкой сетке

- Г' fa

3) Полученное решение интерполируем на густую сетку

4) Делаем ряд 'итераци" методом Чсбааево на густой сетке

ГД® tr

Результат cl^, на последней итерации обоз 5) Вычисляем II С^ II /'( П ~

начюл min

t*

6) Нормируем вектор , результат обозначаем через

7) Если критерий окончания не наполнен, т.е.

I IVU« —rviin 1 /

(17)

(18)

(IS)

(20)

(21)

(22)

го5бр£цаеь.зя к пункту i, иначе быходеы из цккла.

В итоге получаем J min = J- r-^ir. к осбстззпкнЛ вектор

Собственные вектора, состватству:ад;;е миндальным собстЕеншл ачзнпям, отлпча.отск высокон гладкостью соотгстзгаувдас ш iopM.no-о;..у на одном маге степенного метода применяется один маг с проек-о." на редкую сзтку, хотя в принципе момно организовать и энутрен-1: цикл итзрацп::.

;'ля внчпслзнпн следуыцпх собственных значенпп, начиная со второ-, необходимо препятствовать- тому, чтобы итерации сходились к ранее пдэпнны собственны.: значсп:ц:.;. поэтому процесс повторяется анало-чно, но перед пор..:алпзап::си выполняется ортогонализац::я относи-лвно всех ранее полученные собствоглшх векторов. Зыполнонп числено эксперименты по определению дссятн нпзмих частот, ¡»казашке ра-тсснососнесть и достаточную з?4ехт::впость метода.

Ззклрчонио

Основные результаты заключаются в следующем.

I. Усовершенствован вар::а;;т метода двух сеток, требущип мини-льных затрат ресурсов Jiii и основанный па идее пода зле пил компо-¡:т когроспостл. Ьрозздсги чпелепные эксперименты, позволпвмио побрать параметры процесса и показать эффективность метода. Ьо;дза-, что теоретически метод выигрывает у метода Гаусса по числу ариф-гичзских операции, пач;.ная с сн.отсм порядка Ы »800 для дпуыерных точ не А/* ЙОО для. трехмерных задач, при дэжьнойзда увеличонии радка преимущество метода двух сеток быстро возрастает.

¿. Разработан упрощенный вариант метода двух соток, не требующий зрацип проекции и пнтерполяци::. доказана теоретическая сходшость года. Чпслепнне эксперп..епты показали, что хотя этот вариант и ■ зпгрывает основному, но остается достаточно элективным.

о. Предломен итерационных процесс для ведения задач теории упруги для тел сломпон формы на ос!:ове сочетания принципа стандартщ " тасти и метода двух сеток. Процесс осуществляет снятие напряжений эдптура действительно;: области, который м.омет не совпадать с реб-1Н сетки конечных элементов, имепщеи регулярную структуру. Ддя дцзствлопия этого процесса разработан способ вычисления напряжений фостешом треугольном элементе плоско.; задачи при наличии скачка фяжоши; на некоторой заранео известно;; линии, поресекаыдей эле-;т. Решены модольшло задачи, показавши корроктность метода и его Активность при решении задач высокого порядка.

4. Осуществлена реализации метода двух сеток для пространственной задачи теории упругости (на базе системы C'.'.liPK.'Jli). При это;.; разработан вариант метода, в котором густая и редкая сетки геометрически совпадает (для "густой" сетки используются конечные элементы

с более высока; порядком аппроксимации г. промежуточными узлами). На решение системы с количеством неизвестных <1047 потребовалось в 1,8 раза меньше времени по процессору ОК.; ¿0-1036, чем при использовании прямого метода.

5. Разработан метод решения задач с .односторонними связями с использованием двух сеток. Предложены приемы для борьбы с возможными нарушения:.;;; процесса минимизации потенциальной энергии. Сравнение производившееся с задачей, решенной методом множителей Лаграпга, показало эффективность разработанного метода.

6. Разработан алгоритм решения частичной проблемы собстЕенккх значений матрицу кг основе сочетания обратного степенного метода и метода двух сеток. Проведены численпке эксперименты по получению десяти первых частот, показавшие работоспособность метода.

Основные результаты диссертации ощ блакозай! в следу яда работах:

1.' Бовхусевский A.B., Кузьмина O.ü. Численные эксперименты с бкстросходяддася процессом минимизации йушсционалов.'Рукопись деп. в ВИНИТИ: IS£7, ¡1 5S17-b87.

2. Еовкушевскп:; A.B., Кузьмина 0.13. Релаксационный процесс на двух сетках для решения систем уравнений метода конечных элементов. - Рукопись депонирована в ВЖШ'П: ISOO, Ji I7S2-BS0.

3. Вовкушевскип А.'В., Кузьмина О.В. К решению задач упругости для тел слоаной формы на основе принципа стандартной области. Рукопись депонирована в ВШШ.Т1, I5S0, Ii G23S-BS0.

4. Кузьмина О.В. Некоторые варианты мпогосеточных алгоритмов в задачах теории упругости. // Труды ЛПК, ISc~0, 434, C.78-B3.

Подписано к печати /Sue.Si Ткраж экз.

Заказ 5~!/0 Бесплатно

Отпечатано на ротапринта СПбГГУ

I9525I, С.-Петербург, Политехническая ул., 29