автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Решение задач фильтрации устойчивыми явными методами

Российский научный центр «Курчатовский институт»

На правах рукописи УДК 519.633

РАСТОРГУЕВ Иван Александрович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ УСТОЙЧИВЫМИ ЯВНЫМИ МЕТОДАМИ

05.13.11 — Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Российском научном центре «Курчатовский институт»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Лебедев Вячеслав Иванович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Алексеев Владимир Сергеевич

доктор физико-математических наук, Гуревич Михаил Исаевич

Ведущая организация

Казанский Государственный университет

я Уг? 2006 г. в ¿Г^мин.

Защита диссертации состоится^ на заседании диссертационного совета Д 520.009.04 в Российском научном центре «Курчатовский институт» по адресу 123182, г. Москва, пл. Курчатова, д.1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт»

Автореферат разослан 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук ^ Г.В.Яковлев

"7

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Задачи фильтрации в пористых средах имеют практическое значение для исследований, связанных с:

• защитой окружающей среды (прогнозы распространения загрязнения);

• гидротехникой (фильтрация вблизи плотин, водохранилищ и других гидротехнических сооружений);

• гражданским строительством (дренаж фундаментов и подвалов зданий);

• сельским хозяйством (ирригация и дренаж сельскохозяйственных полей)

• водоснабжением и нефтегазодобычей.

В каждой из указанных выше областей применения задач фильтрации существует практическая потребность в численных методах, позволяющих решить задачи многомерной линейной (напорной) и нелинейной (безнапорной или ненасыщенной) фильтрации. В сегодняшней практике для численного решения фильтрационных задач, как правило, используются методы, основанные на неявном способе аппроксимации производной по времени. Неявные методы в случае линейной задачи не имеют ограничений на временной шаг, однако, при решении нелинейных задач они требуют и итераций для уточнения нелинейных параметров, и уменьшения размера для временного шага.

Альтернативой для неявных методов может оказаться использование специальных явных разностных схем, которые не требуют итераций, не имеют ограничений, связанных с шагом по времени, знаком нелинейного оператора, и имеют преимущества перед неявными методами при решении «жестких»1 задач. Подобными достоинствами обладает «солвер», предложенный В.И.Лебедевым - ОиМКА, который обладает следующими свойствами:

• использует явный способ записи дифференциального оператора;

• в нем задействован механизм выбора переменных шагов по времени, основанный на Т - последовательностях полиномов Чебышева;

• применительно к нелинейным задачам, метод не использует итераций и в связи с этим требует меньше временных затрат для расчетов.

' Постановка условия жестких залач дана в книге В.И.Лебедева «Функциональный анализ и вычислительная математика. Москва. Физматлит 2000»

Цели и задачи работы

Целью данной работы является анализ эффективности, тестирование и программная реализация явного метода DUMKA для решения задач фильтрации. Для достижения цели диссертации рассмотрены решения нелинейных задач фильтрации, для которых метод DUMKA наиболее перспективен:

• численная одномерная и двумерная модели экспресс-налива в скважину; [4,10];

• обратная задача по определению параметров водоносного горизонта, основанная на модели экспресс-налива (реализованная автором в виде графического интерфейса, программа SLUG) [4, 5];

• численная одномерная и двумерная модели налива (откачки) в скважину с учетом эффектов инерции [10,12];

• одномерная и двумерная модели насыщенной-ненасыщенной фильтрации [1,2,7,8];

• двумерная модель капиллярного барьера [3]. Результаты работы, выносимые на защиту:

1. Метод решения обратной задачи по определению параметров водоносного горизонта, реализованной в виде программы SLUG.

2. Численная двумерная модель налива (откачки) в скважину с учетом эффектов инерции.

3. Двумерная модель капиллярного барьера. Методы исследования

Основаны на базовых положениях теории экстремальных многочленов, наименее отклоняющихся от нуля; теории операторно-разностных схем; теории итерационных методов; численном моделировании с привлечением анализа экспериментальных материалов.

Научная новизна

На основе проведенных численных расчетов моделирования фильтрации жидкости в насыщенной-ненасыщенной области с использованием явного метода DUMKA создана оптимальная, с точки зрения временных затрат на вычисления, программа для моделирования капиллярного барьера.

Предложен новый подход и методика интерпретации экспериментальных данных эксперимента экспресс-налив.

Выведены дифференциальные уравнения, на основе которых создана численная модель, описывающая двумерный процесс взаимодействия скважина-пласт с учетом эффектов инерции.

Достоверность

Представленные в диссертации результаты обоснованы теоретическим анализом, численным моделированием и были верифицированы на экспериментальных данных.

Практическая значимость

Предложенная численная модель капиллярных барьеров может быть использована при проектировании хранилищ отходов. Созданная программа SLUG fio определению параметров водоносных пластов может быть использована как инструмент, необходимый при проведении работ по опробованию скважин и пластов. Программа SLUG была успешно опробована на скважинах следующих объектов:

• площадка временных хранилищ радиоактивных отходов на территории РНЦ «Курчатовский институт» (результаты интерпретации приведены в диссертации);

• Обоснование дренажа взлетно-посадочной полосы в аэропорту Минеральные воды

• для обоснования защиты подземных вод от загрязнения на военной базе на озере Ладога;

• Московский Зоопарк;

• Калининградское целлюлозно-бумажное предприятие «Цепрусс»;

• Старообрядческий комплекс (бывшая улица Войтовича, г. Москва);

• Наблюдательные и артезианские скважины на территории бывшей гостиницы «Россия», г. Москва, улица Варварка, 6.

Апробация работы

Основные результаты докладывались на всероссийской молодежной научной школе-конференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач» (г. Казань, КГУ, 2001, 2003, 2004), на международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания»

5

(г. Обнинск, 2002), на всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященной памяти А.Ф.Сидорова (г. Новороссийск, 2002), на научно-производственной конференции «Инженерные изыскания в XXI веке» (Москва, ПНИИС, 2003), на научно-практической конференции, посвященной 70-летию ФГУП «НИИ ВОДГЕО» (Москва, ФГУП «НИИ ВОДГЕО», 2004), второй курчатовской молодежной научной школе (Москва, РНЦ «Курчатовский институт», 2004), на международной конференции «FEM-MODFLOW» (Чехия, Карловы Вары, 2004), на научно-производственной конференции «Урал атомный - Урал промышленный» (г. Екатеринбург, 2005), на всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (г. Новороссийск, 2005), на конференции, проведенной фирмой Grundfos «Современное эффективное оборудование и технологии в проектировании, строительстве и эксплуатации систем водоснабжения из подземных источников» (г. Москва, 2005), на второй всероссийской конференции «Современные проблемы изучения и использования питьевых подземных вод (памяти Л.С.Язвина)» (г. Звенигород. 2006), на VI всероссийской молодежной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики" (Казань, 2006).

Личный вклад автора

Постановка и решение задач диссертации. Развитие современных методов численного моделирования для решения задач фильтрации. Выполнена верификация эффективности явного метода DUMKA с неявным методом, и определен тип задач, для которых алгоритм DUMKA наиболее эффективен. Решен ряд задач - о насыщенной-ненасыщенной фильтрации в одномерной и двумерной однородной и неоднородной областях, о капиллярных барьерах, о моделировании экспресс-наливов и динамики движения столба жидкости в стволе скважины с учетом инерции. Диссертантом предложен новый подход по определению параметров эксперимента экспресс-налив на основе численных методов. Этот подход была реализован в виде программы SLUG.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 7 в соавторстве. Из них 2 - статья в материалах международной конференции, 5 статей в сборниках трудов, 3 - в тезисах докладов всероссийских конференций и 2 в реферируемых журналах.

б

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 155 страниц, в том числе 29 рисунков, 43 графиков, 17 таблиц. Список литературы состоит из 130 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность темы диссертации, изложены основные цели и задачи диссертации, показана их практическая значимость, представлена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В настоящий момент общепринятым модельным уравнением, описывающим насыщенную-ненасыщенную фильтрацию принято уравнение Ричардса, а для фильтрации в насыщенных условиях используют уравнения Буссинеска. Оба типа задач фильтрации, описываемых уравнениями Ричардса и Буссинеска, относятся к классу «жестких» задач.

Большой вклад в разработку основ математического моделирования, исследование корректности постановок краевых задач параболического типа (типа задач фильтрации) и создание численных алгоритмов внесли математики: П.Я. Полубаринова-Кочина, В.И. Лебедев, Г.И. Марчук, Н.С. Бахвалов, В.И. Агошков, Р.П. Федоренко, A.B. Лапин, Г.М. Кабельков, Ю.В. Василевский, A.A. Самарский, В.Е. Шаманский. Разработке физических основ, выводу постановок, включая разработку методов расчетов, экспериментальным работам и численному моделированию уделено внимание в трудах - Я. Бэра, Б.С. Шержукова, B.C. Алексеева, Н.П. Куранова, В.М. Мироненко, В. Румынина, Р.Х. Каримова, В.М. Гаврилко, И.М. Гершановича, А.Д. Курманенко, А.Г.Тесля, Ф.М. Бочевера, Н.Н.Лапшина, A.A. Киселева, С.Ф. Григоренко, Э.А. Грикевича, В.М. Шестакова, С.О. Гриневского, A.B. Лехова, С.П. Позднякова, P.C. Штенгелова, В. Кинзельбаха и др.

Первая глава посвящена физическому описанию процессов насыщенной-ненасыщенной фильтрации, приведены уравнения состояния Ван Генухтена, Брукса-Кури и основное уравнение ненасыщенной фильтрации - уравнение Ричардса (уравнение параболического типа), описывающее динамику движения ненасыщенной влаги:

С(А)—=У(ЛГ(й)™)+— 61 дг

где С(Ь)=с!е/(1Ь- дифференциальная влагоемкость [1/Ц-, Ь - давление, измеряемое высотой водного столба [Ц &■ объемное влагосодержание, равное отношению объема пор, занятого водой, ко всему объему породы [¿.3Л.3]; К(И) - коэффициент фильтрации, [¿/7]; г-вертикальная координата, предполагающая, что положительным является направление снизу вверх; Г - время.

Для уравнений Брукса-Кури было использовано преобразование Кирхгофа, которое из-за вида уравнений Брукса-Кури может быть вычислено аналитическим образом. Преобразование Кирхгофа позволяет привести правую часть уравнения (1) вида к стандартному виду У2(^(А)). Плюс этого преобразования - оно

сокращает временные затраты. Минус - преобразование легко реализуется только для однородных задач.

Динамика движения жидкости при насыщенном режиме фильтрации описывается уравнением Буссинеска, которое в радиальном представлении выглядит следующим образом:

где Л(г,0 = р(г,0+г -напор воды, равный сумме величин давления и вертикальной координаты от выбранной плоскости сравнения (в данном случае от подошвы водоносного горизонта); г - расстояние от оси скважины; /л- водоотдача (гравитационная или упругая, в зависимости от типа водоносного горизонта); I -время; гс - радиус скважины; Т(г, Ц [/ЛТ] - гидропроводимость водоносного пласта; К [1Л] -коэффициент фильтрации; т [Ц - мощность водоносного пласта (расстояние между верхним и нижним водоупорами).

В первом параграфе первой главы даны смешанные постановки для одномерной задачи насыщенной-ненасыщенной фильтрации. В следующем параграфе приводятся постановки задач насыщенной фильтрации - об экспресс-наливе, для одномерной и

8

(2)

{

ЛГЛ(г,/),А(г,/)<от Кт, А(г,Г)>т

двумерной задачах о притоке воды к скважине с учетом эффектов инерции. Третий параграф первой главы посвящен описанию пространственной дискретизации задач насыщенной-ненасыщенной фильтрации, четвертый - описанию задач об экспресс-наливе одномерной и двумерной задач с учетом инерции.

Алгоритму ЭиМКА отведен пятый параграф первой главы, в котором приведено краткое описание этого метода численного решения жестких задач. Описание включает в себя блочную схематизацию расчета с помощью РиМКА, интерфейс обращения к программным кодам. Приведена аналитическая формула эффективности Р11МКА по сравнению с обычным явным методом Эйлера. Для обеспечения устойчивости счета в алгоритме Р11МКА временные шаги связаны с параметрами многочленов Чебышева. Оценка показывает, что превосходство алгоритма Р11МКА над явным методом равно степени этих полиномов.

Во второй главе приведены результаты численных расчетов для поставленных в первой главе задач, решения которых были получены с помощью алгоритма Р11МКА:

1) одномерной насыщенной фильтрации (параграф 6);

2) одномерной насыщенной-ненасыщенной фильтрации (параграф 6);

3) одномерной неоднородной ненасыщенной фильтрации (параграф 6);

4) двумерной неоднородной ненасыщенной фильтрации (параграф 6);

5) профильной насыщенной-ненасыщенной фильтрации в пласте со скважиной (для этой задачи были просчитаны разные варианты, по которым было произведено сопоставление с программой \ZS2D) (параграф 7);

6) о капиллярных барьерах (параграф 8);

7) об экспресс-наливе (параграф 9);

8) об одномерном взаимодействии скважина-пласт с учетом инерции (параграф

9);

9) о двумерном взаимодействии скважина-пласт с учетом инерции (параграф 9). Кратко приведем описание результатов расчетов, которые были выполнены для задач №№ 2,5,6,9.

Особенность задачи N22 заключается в том, что для ненасыщенной области используется конечно-разностная постановка (1), которая решается явным методом Р11МКА. В насыщенной же области коэффициент перед производной по времени в (1) С(Ь) равен нулю, задача становится эллиптической и решается неявным методом -методом верхней релаксации. Фронт просачивания движется, движется граница

раздела насыщенной и ненасыщенной области - задача превращается в задачу с подвижной границей.

Были получены три варианта решения задачи №2: с использованием уравнений на коэффициенты Ван Генухтена, Брукса-Кури и Брукса-Кури с преобразованием Кирхгофа. Для апробации построенного численного алгоритма были также выполнены расчеты с помощью программы 3\Л/МЗ_2й, разработанной геологической службой США (11303). Важно отметить следующую особенность решения задач насыщенной-ненасыщенной фильтрации: вид фронта насыщения напоминает движение фронта типа «ступенька» при решении гиперболических задач.

Постановка задачи №5 (профильной насыщенной-ненасыщенной фильтрации в пласте со скважиной), приведенной в параграфе 7 второй главы была предложена автором для того, чтобы сопоставить эффективность расчетов явного алгоритма йиМКА по сравнению с неявными методами. Для сравнения была взята программа \ZS2D, которая использует метод неполной факторизации в качестве «солвера». Была решена линейная задача (насыщенной фильтрации) и нелинейная задача (насыщенной-ненасыщенной фильтрации). Результаты сопоставлений приведены в таблице 1. Расчеты для обоих «солверов» были выполнены с одинаковой точностью аппроксимации решения и говорят о близких временных затратах на решение линейной задачи и о существенном превосходстве ОимКА при решении нелинейной задачи.

Таблица 1. Процессорное время в условных временных единицах (у.в.е.), затраченное методами УЭгР и РУМКА для решения линейной и нелинейной задач

задачи \ZS2D ОиМКА

линейная 9 5

нелинейная 41 12

Решение задачи о капиллярных барьерах приведено в параграфе 8 второй главы. Капиллярные барьеры образуются в ненасыщенных условиях, когда слой мелкозернистых пород лежит на слое крупнозернистых отложений. Барьер возникает из-за разной проницаемости мелко-крупнозернистых пород в ненасыщенных условиях и расположения обоих слоев под определенным углом (<р>0 к горизонтальной поверхности). Для оценки эффективности капиллярных барьеров существует аналитическая формула Росса:

где ¿.-длина непроницаемого для воды капиллярного барьера, р-угол наклона барьера, у- эмпирическая константа, К, - коэффициент фильтрации мелкозернистого слоя при полном насыщении, д- инфильтрационное питание. Входящие в (3) значения Я, у относятся к верхнему мелкозернистому слою. Из формулы (3) следует, что капиллярный барьер существует, если угол наклона <р>0 и инфильтрационное питание <?« Кг. Формула Росса дает предельный размер капиллярного барьера. Она получена для установившихся условий с использованием ряда приближений.

В результате проведенных численных расчетов было найдено, распределение давлений /?, насыщенность порового пространства водой 8 и приток к нижней границе барьера, который можно интерпретировать как инфильтрационное питание и просачивание через барьер. График, характеризующий протекание через барьер, полученный по результатам расчетов с подробной дискретизацией, приведен на рис. 1. Из графика на рис. 1 следует, что при расчетах с подробной дискретизацией вблизи границы слоев достигается хорошее совпадение с формулой Росса. При этом численные расчеты показывают, что протекание через барьер начинается раньше, чем это следует из аналитического решения и защитное действие барьера оказывается больше, чем по решению Росса. Установлено, что положение точки, где соотношение количества влаги, прошедшего вертикально сквозь барьер к количеству поступившей равно 0.5, что точно совпадает с решением для заданных условий ¿. = 32.6 м (пересечение сплошной и пунктирной линий на рис 1).

Расстояние (м)

Рис.1 .Сравнение численных результатов с результатами, полученными по формуле Росса

Проведенные численные эксперименты доказали формирование капиллярного барьера и показали хорошее совпадение с аналитической формулой Росса. Это позволяет считать, что модель была разработана верно и может быть использована для расчетов капиллярных барьеров.

В девятом параграфе второй главы приведена постановка задачи о двумерном взаимодействии скважина-пласт с учетом инерции2 (задача №9), для которой была проведена апробация модели на фактических данных и представлены результаты апробации. Приведено описание экспериментальной установки и результатов эксперимента - скорости движения столба жидкости в скважине, которые описаны в работе Э.Грикевича3, Для сопоставлений расчетов для модели, учитывающей инерцию и не учитывающей инерцию были выполнены тестовые расчеты для 4 сценариев откачки из одиночной скважины с одинаковым дебитом для двух значений коэффициентов фильтрации (К=20м/сут и К=200м/сут) с учетом инерции и без

1 Здесь под инерцией подразумевается наличие столба воды в скважине с ненулевой массой.

'ЭЛ. Грикевич. Влияние гидравлических сопротивлений скважины на приток воды. - ВНИИМОРГЕО, Рига, 1969

инерции (см. таблицу 2). Значения остальных параметров модели были выбраны следующими: /1 = 0.02, г4=0.02м, т = 6м, Л0 = 12.0м, 2 = -800м3/сут.

Таблица 2. Расчетные понижения и удельные дебиты для тестовых сценариев 1-4

1, с учетом инерции К=20м/сут 2, без инерции К=20м/сут 3, с учетом инерции К=200м/сут 4, без инерции К=200м/сут

Понижение 5 (м) 5.6 3.4 2.1 0.4

Удельный дебит, (м2/сут) 142.8 253.3 381.0 2000.0

Глядя на таблицу 2, следует отметить существенное уменьшение удельных дебитов при учете инерционных аффектов. Вертикальное распределение притока к фильтру скважины позволяет выявить наиболее нагруженную область фильтра. Как видно из рис. 2, 3 - это верхние 2 метра фильтровой части скважины. Нижняя часть фильтра при этом испытывает малую нагрузку. Исходя из этого, можно сделать вывод, что независимо от длины фильтра при откачке или закачке наиболее нагруженной частью (рабочей) является только определенная зона фильтра. Значительное снижение удельного дебита скважины при учете динамических эффектов в стволе скважины требует использования скорректированных моделей при подборе водоподъемного оборудования, выборе конструкции скважин и при выполнении гидравлических расчетов скважинных водозаборов.

-500 —1

а

н ё 8 -1000 — о ?

о п н О.

О I-

о л

о Е §&

£ Е -1500 — 5 и 5 о И о о. и

-2000 '

Скорость притока к фигътру "" ~ — — скважимыс учетом инерции

_ Скорость притока к фигътру

скважины без учета инерции ф 0 ^ Распределение напора для

откачки с учетом инерции - Распределение напора без учета инерции

г— 10

— 9

— 8

— 7

Т

-г

т

ш э о ■а а о

' 6

1 I 1 I ' I

0 1 2 3 4 5 6 Высота от подошвы фильтра (метры)

Рис. 2. Распределение по вертикали радиальных скоростей фильтрации и напоров на границе

фильтра для сценариев 1 и 2 (К=20 и/сут)

I 1 I

0 1 2 3 4 5 6 Высота от подошвы фильтра (метры)

Рис. 3. Распределение по вертикали радиальных скоростей фильтрации и напоров на границе

фильтра для сценариев 3 и 4 (К=200 м/сут)

Оценке чувствительности одномерной модели экспресс-налива к параметрам, основанной на конечно-разностной постановке уравнения (2) уделено внимание в последней части второй главы. В качестве входных параметров для анализа чувствительности были выбраны основные -К,^,4,г„Н0 -коэффициент фильтрации, водоотдача, сопротивление прискважинной зоны или скин-эффект, радиус фильтра и начальный напор (начальное возмущение уровня воды в скважине). Были получены кривые с относительными значениями чувствительности параметров K,ju,£,riyH0, корреляции параметров друг с другом и зависимость относительной ошибки определения параметров в зависимости от начального возмущения Н0.

Третья глава начинается с обзора полевых экспериментов по опробованию скважин. Приведены такие методы, как опережающее опробование водоносных пластов, расходометрия. Описан принцип опробования скважин с помощью пластоиспытателей, эксперимент по оценке скорости притоков к скважинам Грикевича, испытание скважины с помощью экспресс-налива, выполненное Шержуковым4 , а также другие эксперименты.

Недостатками аналитических методов определения параметров пласта являются, во-первых, использование лишь линеаризованных моделей (это ограничение связано с используемыми методами построения аналитических решений) и, во-вторых, сложность интерпретации результатов по трехпараметрическому аналитическому решению. Поэтому, в качестве альтернативы аналитическим методам предлагается программный подход по определению параметров, основанный на численных методах.

В тринадцатом параграфе третьей главы приведено описание программы SLUGD по определению параметров водоносного пласта - коэффициента фильтрации, водоотдачи (К,ц) и сопротивления прискважинной зоны (£) по набору экспериментальных данных на основе решения задачи об оптимальном управлении.

В связи с необходимостью визуально наблюдать за процессом поиска параметров и пользоваться интерактивным режимом подготовки и загрузки входных данных, была предложена модификация программы SLUGD - программа SLUG. Программа SLUG была разработана в среде MSDEV 4.0 с помощью графической

4 Б.С Шержукон, В.С.Алексеев, АД.Курманенко Рекомендации по определению параметров горных пород и грунтов методом экспресс-налива в несовершенные скважины. -ВНИИ ВОДГЕО, 1979

библиотеки MFC. Также как и в программе SLUGD, в программе SLUG для численных расчетов задействован «солвер» DUMKA.

Поиск параметров в программе SLUG производится вр^ную. Двигая один из «слайдеров», (стандартный контроль MS Windows), отвечающих одному из параметров варьируется численное значение соответствующего параметра (см. рис.4) в заданном диапазоне (см. рис. 5).

К«11.90М001мМяу] hH-IMIH lui-i.72««ttl

,74000 . НОМ 3QOOO

5 ГУ |

Рис. 4 Главное окно программы SLUG - поиск параметров (прерывистая кривая - фактические данные, сплошная— модельные)

. Open deta П|е:

iKurcheiW : 0:\мп*а*\ятг_2\31Ш1М«

- Ranges of paramefefS: -— |äi <r,< |p jü QGI . <m< | JOS P ' <ktk iffi Un»s: " flm/secLWm/dai.1 -J

|UNC0NFINED _-]

a-^mtei itickres* j*1 ^ ' InihaiRealAquifef PieKUfe 11431 Head {before rietbon] (Ml:. 1 - _

аЛяЫай: - |a044 ; tadiuxof wet: |Q Q44 Rea)AqiifeiPm«i*eHead 1 _ (fn* measured tan] [efkean . be eoualhOl . 1 -Irtfal ReeiWel Diwdown < ¡1.500000 (frifmeasuiedifecrij (SCt . . ■

! OK , | ' Save | Load | Cancel

V Aceourt Abnwohare Pusure * ' 1

Ii'л -

View Schema

Рис. 5 Окна ввода основных и дополнительных параметров программы SLUG

Рис. 6 Результаты интерпретации эксперимента с откачкой и восстановлением

Экспериментальные данные подстегиваются в виде текстового файла содержащего два столбца. Первый столбец - время, второй - напор или понижение. Формат столбца со временем либо абсолютный «час:мин:сек» (формат «даталоггера»), либо относительный (в секундах или минутах или часах или днях; единицы измерения также задаются в окне ввода) с момента начала эксперимента. Кроме того, окно ввода параметров позволяет задавать геометрию скважин: радиус фильтра, радиус скважины, свойства водоносного горизонта (напорный, безнапорный), начальный напор в пласте, начальное возмущение напора воды в скважине (для экспериментов по экспресс-наливу), дебит и длительность откачки (для экспериментов с откачкой). Пример результатов интерпретации эксперимента с откачкой и восстановлением приведен на рис. 6.

В параграфе 18 третьей главы приведено описание одной из площадок, для которой были получены по результатам интерпретации экспресс-наливов значения коэффициентов фильтрации.

На территории РНЦ «Курчатовский институт» имеется сеть наблюдательных скважин, пробуренных для проведения режимных наблюдений за состоянием подземных вод на площадке временных хранилищ радиоактивных отходов (ВХРАО) [6]. В 17 скважинах (12 на верхний, надморенный водоносный горизонт и 5 на нижний, надъюрский) в апреле 2005 года были проведены серии опытных работ -экспресс-наливов. По результатам экспресс-наливов среднее значение коэффициента фильтрации в верхнем надморенном водоносном горизонте имеет значение 4.4 м/сут, а в нижнем надъюрском - 3.8 м/сут. Карта распределения значений коэффициентов фильтрации на площадке ВХРАО и прилегающей территории приведена на рис. 7.

Для сопоставления по результатам интерпретации экспресс-наливов были использованы результаты опытных откачек, проведенных ранее на площадке ВХРАО Б.С.Шержуковым. Им были получены средние значения коэффициентов фильтрации для верхнего и нижнего водоносных горизонтов 4.2 м/сут и 2.2 м/сут.

Полученные значения коэффициентов фильтрации по результатам интерпретации экспресс-наливов с помощью программы SLUG были задействованы при проведении геофильтрационного моделирования площадки ВХРАО.

Рис.7 Карта значений коэффициентов фильтрации на площадке ВХРАО РНЦ «Курчатовский институт».

Выводы.

Основными результатами диссертационной работы, включающей проведение

теоретических, полевых и численных экспериментов, является следующее.

• Впервые выведены уравнения двумерной модели взаимодействия скважина-пласт с учетом эффектов инерции, при помощи которых получена оценка характера распространения возмущения, вызванного наливом и откачкой из скважины, в зависимости от глубины от подошвы фильтра.

• С помощью алгоритма DUMKA получены решения задач насыщенной-ненасыщенной фильтрации жидкости в пористой среде. Решена задача о протекании капиллярных барьеров. Алгоритм DUMKA использовался как «солвер» для модели экспресс-налива, а также для решения задачи о взаимодействии скважина-пласт с учетом инерции.

• Создана оригинальная компьютерная программа SLUG, которая позволяет определять значения параметров водоносного пласта - коэффициента фильтрации, параметра водоотдачи, а также и сопротивления прискважинной зоны. Программа использует экспериментальные данные, получаемые при проведении экспресс-наливов в скважинах. Для интерпретации этих данных в программе SLUG задействована численная модель экспресс-налива. Программа SLUG была использована при проведении экспериментов по опробованию наблюдательных скважин на территории площадки временных хранилищ радиоактивных отходов РНЦ «Курчатовский институт». Полученные результаты хорошо согласуются с результатами интерпретации проводимых ранее кустовых откачек.

> Созданные в рамках диссертационной работы новые программные средства, реализующие алгоритм DUMKA, демонстрируют высокую скорость и надежность при решении задач фильтрации подземных вод в пористой среде. Результаты исследований открывают перспективы улучшения и математического и программного обеспечения для решения геофильтрационных задач с применением указанного алгоритма в качестве «солвера».

Литература.

1. И.А. Расторгуев. Расчет уравнений фильтрации устойчивыми явными методами. Труды математического института имени Н.И.Лобачевского. Том 13. Материалы всероссийской молодежной научной школы-конференции. Казань, 19-23 ноября 2001 г

2. И.А. Расторгуев. Моделирование уравнений фильтрации устойчивыми явными методами. Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Международная конференция. Обнинск, 14-18 мая 2002г '

3. В.И. Лебедев И.А. Расторгуев. Расчет уравнений фильтрации устойчивыми явными методами. Тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященного памяти А.Ф. Сидорова. Дюрсо. 15-17 сентября 2002 г

4. И .А. Расторгуев, А.В. Расторгуев. Определение параметров безнапорных водоносных горизонтов с помощью экспресс-наливов в скважины. Инженерные изыскания в XXI веке. Материалы научно-производственной конференции. ПНИИС. Москва 2003

5. А.В. Лапин, И.А. Расторгуев. Решение задачи об экспресс-наливе методами оптимального управления. Труды математического центра имени Н.И. Лобочевского. Том 26. Материалы всероссийской молодежной научной школы-конференции. Издательство казанского математического общества. Казань. Июнь 2004

6. A. Rastorguev, К. Buharin, V. Volkov, D. Tsurikov, Yu. Zverkov, I. Rastorguev, E. Volkova. Prognosis of radionuclid contamination spreading on the site of Temporary Waste Storage of RRC "Kurchatov Institute". Conference ECORAD2004. The scientific basis for environment protection against radioactivity. Aix-en-Provance, France. 6-10 September

7. I. Rastorguev, E. Volkova, E. Gorbunova. Evaluation of fractured aquifer bottom position according to groundwater level observation data in the region of underground nuclear explosion execution. International conference on Final Element Models, MODFLOW, and more: solving groundwater problems. Karlovy Vary, Czech Republic. 13-16 September 2004.

8. И.А. Расторгуев, Э.М. Горбунова. Определение трещиноватости водоносного горизонта в зоне подземного ядерного взрыва. -Материалы конференции «Урал атомный-Урал промышленный». Февраль, 2005 г

9. И.А. Расторгуев. Сравнение явных и неявных численных методов для расчетов задач фильтрации. - Материалы XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Сентябрь, 2005 г

10. И.А. Расторгуев, Р.Х. Каримов. Численная модель эксперимента экспресс-налив с учетом инерции в скважине. Проблемы инженерной геоэкологии. Сборник трудов. Выпуск 10. Москва 2005.

11. И.А. Расторгуев. Сравнение явных и неявных численных методов для расчетов задач фильтрации. // Вычислительные методы и программирование. 2006. Раздел 7.185-189.

12. И.А.Расторгуев. Влияние инерционных эффектов на гидравлические характеристики скважин. Москва. Водоснабжение и санитарная техника. №7. 2006.

Автор диссертации выражает глубокую признательность своему научному руководителю, д.ф.-м.н. профессору В.И. Лебедеву, благодарит коллектив НИИ ВОДГЕО за постановки задач и внимание к работе, коллективы структурных подразделений РНЦ «Курчатовского института» - Институт Проблем Безопасного использования Ядерной Энергии и Научно-технологического

Комплекса «Реабилитация» за оказанную помощь и полезные советы.

Подписано в печать 24.07.2006. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,25 Тираж 70. Заказ 54

Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1.

1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О НЕНАСЫЩЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ.

1.1 Постановка задачи ненасыщенной фильтрации.

1.2 Уравнения состояния в задачах насыщенной-ненасыщенной фильтрации.

1.3 Решение задачи ненасыщенной фильтрации с помощью преобразования Кирхгофа.

1.4 Постановка профильной задачи насыщенной- ненасыщенной фильтрации для случая со скважиной.

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СКВАЖИНА-ПЛАСТ.

2.1 Постановка задачи об экспресс-наливе.

2.2 Одномерная задача о притоке воды к скважине с учетом инерции.

2.3 Двумерная задача о притоке воды к скважине с учетом инерции.

3 КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О НЕНАСЫЩЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ.

3.1 Конечно-разностная постановка одномерной задачи ненасыщенной фильтрации.

3.2 Конечно-элементная постановка двумерной задачи ненасыщенной фильтрации.

3.3 Конечно-разностная постановка профильной задачи насыщеннойненасыщенной фильтрации для случая со скважиной.

4 КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ

СКВАЖИНА-ПЛАСТ.

4.1 Конечно-разностная постановка задачи об экспресс-наливе.

4.2 Конечно-разностная постановка двумерной задачи о притоке воды к скважине с учетом инерции.

5 АЛГОРИТМ DUMKA.

5.1.1 Блок-схема программы.

5.1.2 Аналитическая оценка эффективности.

ГЛАВА 2.

6 РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ НАСЫЩЕННОЙ-НЕНАСЫЩЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА DUMKA.

6.1 Одномерная однородная задача без насыщения.

6.2 Одномерная насыщенная-ненасыщенная фильтрация в однородной области.

6.3 Одномерная насыщенная-ненасыщенная фильтрация в неоднородной области.

6.4 Двумерная насыщенно-ненасыщенная фильтрация в неоднородной области.

7 СРАВНЕНИЕ АЛГОРИТМА DUMKA С ПРОГРАММОЙ VS2D ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ НАСЫЩЕННОЙ-НЕНАСЫЩЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ К СКВАЖИНЕ.

7.1 Совершенная скважина.

7.2 Несовершенная скважина в напорном пласте (линейная задача).

7.3 Несовершенная скважина в безнапорном пласте -нелинейная задача.

7.4 Основные параметры, используемые при расчетах в VS2D.

7.5 Основные параметры, используемые при расчетах в DUMKA.

8 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАПИЛЛЯРНЫХ БАРЬЕРОВ.

9 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ СКВАЖИНА-ПЛАСТ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМА DUMKA.

9.1 Задача об экспресс-наливе.

9.2 Одномерная задача о притоке воды к скважине с учетом эффектов инерции

9.2.1 Аналитическое решение.

9.2.2 Критерий возникновения осцилляций.

9.2.3 Влияние эффекта движения столба воды на измерения уровня воды.

9.2.4 Попытка идентификации параметров водоносного горизонта с учетом эффекта инерции.

9.3 Двумерная задача о притоке воды к скважине с учетом эффектов инерции

9.3.1 Верификация двумерной модели с учетом эффекта инерции.

9.3.2 Результаты численных расчетов модели с заданным постоянным дебитом.

9.3.3 Результаты численных расчетов модели экспресс-налива.

9.3.4 Оценка динамических эффектов модели.

9.3.5 Анализ расчетов численной модели.

9.3.6 Заключительные комментарии по модельным расчетам.

10 ОЦЕНКА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МОДЕЛИ ЭКСПРЕСС-НАЛИВА.

ГЛАВА 3.

11 ОБЗОР МЕТОДОВ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ СВОЙСТВ ПЛАСТОВ С ПОМОЩЬЮ СКВАЖИН.

11.1 Историческая справка.

11.2 Опережающее опробование водоносных пластов.

11.3 Метод расходометрии гидрогеологических скважин.

11.4 Испытатели пластов.

11.5 Эксперимент по оценке скоростей притоков к скважине.

11.6 Эксперимент по прямому продавливанию фунта.

11.7 Эксперимент по определению неоднородности с помощью георадара.

11.8 Определение параметров фунтов с помощью трасерного эксперимента и томографических исследований.

11.9 Дипольный эксперимент.

11.10 Эксперимент с мгновенным возмущением уровня воды в скважине, пробуренной в высоко проводящей формации.

11.11 Эксперимент по опробованию скважины при возбуждении водоносного горизонта с помощью отжатия уровня воды сжатым воздухом.

12 ПРИБОР ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ.

13 ОБЗОР АНАЛИТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ И МЕТОДОВ ПО ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ОПРОБОВАНИЯ СКВАЖИН.

13.1 Формула Тейса.

13.2 Формула Купера-Якоба.

13.3 Метод Хворслева.

13.4 Метод Купера-Бредерхофта-Пападопулоса.

13.5 Формула Боуера-Райса.

13.6 Метод Хантуша-Якоба.

13.7 Формула Болтона.

13.8 Формула Ньюмана.

13.8.1 Формула Шержукова.

14 ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПО ОПРВДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ.

15 ОПИСАНИЕ ПРОГРАММ SLUGD ПО ИНТЕРПРЕТАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ЭКСПРЕСС-НАЛИВ МЕТОДОМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.

16 ОПИСАНИЕ ИНТЕРАКТИВНОЙ ПРОГРАММЫ SLUG ПО ПОИСКУ ПАРАМЕТРОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ЭКСПРЕСС-НАЛИВ.

17 ЧИСЛЕННОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММЫ SLUG.

18 РЕЗУЛЬТАТЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТА ЭКСПРЕСС-НАЛИВ.

Актуальность работы

Задачи фильтрации в пористых средах имеют практическое значение для исследований, связанных с:

• защитой окружающей среды (прогнозы распространения загрязнения);

• гидротехникой (фильтрация вблизи плотин, водохранилищ и других гидротехнических сооружений);

• гражданским строительством (дренаж фундаментов и подвалов зданий);

• сельским хозяйством (ирригация и дренаж сельскохозяйственных полей);

• водоснабжением и нефтегазодобычей.

В каждой из указанных выше областей применения задач фильтрации существует практическая потребность в численных методах, позволяющих решить задачи многомерной линейной (напорной) и нелинейной (безнапорной или ненасыщенной) фильтрации. В сегодняшней практике для численного решения фильтрационных задач, как правило, используются методы, основанные на неявном способе аппроксимации производной по времени. Неявные методы в случае линейной задачи не имеют ограничений на временной шаг, однако, при решении нелинейных задач они требуют и итераций для уточнения нелинейных параметров, и уменьшения размера для временного шага.

Альтернативой для неявных методов может оказаться использование специальных явных разностных схем, которые не требуют итераций, не имеют ограничений, связанных с шагом по времени, знаком нелинейного оператора, и имеют преимущества перед неявными методами при решении «жестких» задач. Подобными достоинствами обладает «солвер», предложенный В.И.Лебедевым - DUMKA, который обладает следующими свойствами:

• использует явный способ записи дифференциального оператора;

• в нем задействован механизм выбора переменных шагов по времени, основанный на Т - последовательностях полиномов Чебышева;

• применительно к нелинейным задачам, метод не использует итераций и в связи с этим требует меньше временных затрат для расчетов.

Цель и задачи работы

Целью данной работы является анализ эффективности, тестирование и программная реализация явного метода DUMKA для решения задач фильтрации. В диссертации рассмотрены нелинейные задачи фильтрации, для решения которых метод DUMKA наиболее перспективен:

• численная одномерная и двумерная модели экспресс-налива в скважину [51];

• обратная задача по определению параметров водоносного горизонта, основанная на модели экспресс-налива (реализованная автором в виде графического интерфейса, программа SLUG) [31], [46];

• численная одномерная и двумерная модели налива (откачки) в скважину с учетом эффектов инерции [50], [52];

• одномерная и двумерная модели насыщенной-ненасыщенной фильтрации [48], [110];

• двумерная модель капиллярного барьера. Результаты, выносимые на защиту:

1.Обратная задача по определению параметров водоносного горизонта - программа SLUG.

2.Численная двумерная модель налива (откачки) в скважину с учетом эффектов инерции. З.Двумерная модель капиллярного барьера.

Методы исследования основаны на базовых положениях теории экстремальных многочленов, наименее отклоняющихся от нуля; теории операторно-разностных схем; теории итерационных методов; численном моделировании с привлечением анализа экспериментальных материалов.

Научная новизна. Проведен ряд численных экспериментов по моделированию процессов в насыщенной-ненасыщенной зоне на основе явного метода DUMKA, позволивший разработать и оптимизировать сточки зрения временных затрат программу по моделированию капиллярного барьера. Предложены новый подход и методика по определению параметров из экспериментов по опробованию скважин на основе численного решения обратной задачи. Приведены дифференциальные уравнения и численная модель, описывающие одномерные процессы взаимодействия скважина-пласт с учетом эффектов инерции. Выведены уравнения, на основе которых произведены численные эксперименты для двумерной модели взаимодействия скважина-пласт с учетом эффектов инерции.

Достоверность. Представленные в диссертации результаты обоснованы теоретическим анализом, численным моделированием и были верифицированы на экспериментальных данных.

Практическая значимость.

Предложенная численная модель капиллярных барьеров может быть использована при проектировании хранилищ отходов. Созданная программа SLUG по определению параметров водоносных пластов может быть использована как инструмент, необходимый при проведении работ по опробованию скважин и пластов. Программа SLUG была опробована на скважинах на следующих объектах:

• обоснование дренажа взлетно-посадочной полосы в аэропорту Минеральные воды;

• площадка временных хранилищ радиоактивных отходов на территории РНЦ «Курчатовский институт» (результаты интерпретации приведены в диссертации);

• для обоснования защиты подземных вод от загрязнения на военной базе на озере Ладога;

• Московский Зоопарк;

• Калининградское целлюлозно-бумажное предприятие «Цепрусс»;

• Старообрядческий комплекс (бывшая улица Войтовича, г.Москва);

• наблюдательные и артезианская скважины на территории бывшей гостиницы «Россия», г.Москва, улица Варварка, 6.

Апробация работы

Основные результаты докладывались на всероссийской молодежной научной школе-конференции «Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач» (г. Казань, КГУ, 2001, 2003, 2004), на международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания» (г. Обнинск, 2002), на всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященной памяти А.Ф.Сидорова (г.Новороссийск, 2002), на научно-производственной конференции «Инженерные изыскания в XXI веке» (Москва, ПННИИС, 2003), на научно-практической конференции, посвященной 70-летию ФГУП «НИИ ВОДГЕО» (Москва, ФГУП «НИИ ВОДГЕО», 2004), Второй Курчатовской молодежной научной школе (Москва, РНЦ «Курчатовский институт», 2004), на международной конференции «FEM-Modflow» (Чехия, Карловы Вары, 2004), на научно-производственной конференции «Урал атомный -Урал промышленный» (г.Екатеринбург, 2005), на Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (г.Новороссийск, 2005), на конференции, проведенной фирмой Grundfos «Современное эффективное оборудование и технологии в проектировании, строительстве и эксплуатации систем водоснабжения из подземных источников» (г.Москва, 2005), на второй всероссийской конференции «Современные проблемы изучения и использования питьевых подземных вод (памяти

Л.С.Язвина)»(г.Звенигород. 2006), на VI всероссийской молодежной школе-конференции "Численные методы решения задач математической физики" (Казань, 2006).

Личный вклад автора

Автору принадлежит инициатива в постановке и решении основных задач диссертации. Личный вклад автора состоит в изучении и использовании современных методов численного моделирования для решения задач фильтрации. Проведено сопоставление эффективности явного метода DUMKA с неявным методом, позволившее выявить тип задач, для которых алгоритм DUMKA наиболее эффективен. Автором был решен ряд задач - о насыщеной-ненасыщенной фильтрации в одномерной и двумерной однородной и неоднородной областях и капиллярных барьерах, о моделировании экспресс-наливов и динамики движения столба жидкости в стволе скважины с учетом инерции. Диссертантом предложен новый подход по определению параметров эксперимента экспресс-налив на основе численных методов. Этот подход была реализован в виде программы SLUG.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 7 в соавторстве. Из них 2 статьи в материалах международных конференций, 5 статей в сборниках трудов, 3 - в тезисах докладов всероссийских конференций и 2 - в реферируемых журналах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 155 страниц, в том числе 30 рисунков, 43 графиков, 17 таблиц. Список литературы состоит из 130 наименований.

проведенные теоретические, полевые и численные эксперименты позволяют

сделать следующие выводы и отметить достижения автора:

• Выписаны дифференциальные уравнения насыщенной-ненасыщенной

фильтрации для одномерного и двумерного случаев. Приведены уравнения

состояния Ван Генухтена и Брукса-Кури, задающие уравнения на коэффициенты,

предложено преобразование Кирхгофа, позволяющее привести правую часть

уравнения Ричардса выражению, содержащему вторую производную от решения. Для уравнений состояния Брукса-Кури получен аналитический вид

преобразования Кирхгофа для лравой части. Приведена конечно-разностная

лостановка для одномерной задачи насыщенной-ненасыщенной фильтрации и

конечно-элементная постановка для двумерной задачи насыщенной ненасыщенной фильтрации. Численно получено преобразование Кирхгофа для

уравнений состояния Ван Генухтена. • Выписаны дифференциальные уравнения, олисывающие взаимодействие

скважина-пласг. Приведены одномерная и двумерная лостановка задачи о

взаимодействии скважина-пласт с учетом эффеетов инерции. • С помощью алгоритма DUMKA произведены численные расчеты задач

ненасыщенной фильтрации (чисто параболическая задача); Решена задача

насыщенной-ненасыщенной фильтрации с подвижной фаницей зоны насыщения -

в области насыщения решается эллиптическая задача, а в ненасыщенной области

параболическая. Для расчета эллиптической задачи использовался метод верхней

релаксации. Кроме того, были произведены расчеты движения фронта насыщения

в неоднородной области, ислользующие уравнения состояния Ван-Генухгена и

Брукса-Кури. Результаты численных расчетов были верифицированы на расчетах

ло профамме SWMS-2D и хорошо согласуются с ними. • Эффективность алгоритма DUMKA была опробована на двумерной профильной

задаче насыщенной-ненасыщенной фильтрации с внешним источником -

скважиной. Было произведено сопоставление результатов расчетов, точности и

временных затрат с профаммой VS2D. Было показано, что для линейных задач

DUMKA и \/S2D показали одинаковое время расчета, а для нелинейных задач

алгоритм DUMKA многократно лревосходит ло скорости вычисления профамму

VS2D и, следовательно, значительно более эффективен для такого рода задач. • С помощью алгоритма DUMKA была решена с практической точки зрения

интересная задача о капиллярных барьерах. Численные расчеты показали хорошее совпадение критерия эффективности капиллярных барьеров с

аналитической формулой Росса. Получена постановка численной модели эксперимента экспресс-налив в скважину. Результаты расчета модели были верифицированы на аналитической формуле

Шержукова. Произведен анализ чувствительности для модели эксперимента экспресс-налив. Было найдено, что наибольшая чувствительность модели проявляется к значению

начального возмущения уровня воды в скважине и к значению коэффициента

фильтрации. Получены фафические зависимости, описывающие корреляции всех

параметров друг с другом, зависимости ошибки определения параметров от

величины начального возмущения. Приведена постановка численной одномерной модели взаимодействия скважина пласт с учетом эффектов инерции. Произведены сопоставления с аналитической

формулой Спрингера и Гелхара. Численно получен критерий возникновения

осцилляции. Дана интерпретации результатов откачки из скважины с

прослеживающимся долговременными колебанием уровня воды в скважине. Осуществлена оценка поправки показаний прибора для измерения давления типа

«даталоггер» на движение столба воды в скважине. Приведена постановка двумерной модели взаимодействия скважина-пласт с

учетом эффектов инерции, по которой получена оценка характера

распространения возмущения, вызванного наливом и откачкой в пласте и в

скважине в зависимости от глубины от подошвы фильтра. Кроме того, получена

характеристика скорости истечения воды из фильтра скважины от глубины для

случая, когда насос расположен в верхней части фильтра. Эта характеристика

говорит о том, что при таком способе установки насоса наибольшая нафузка

оказывается на верхнюю часть фильтра. Создана профамма по интерпретации результатов эксперимента экспресс-налив

методом оптимального управления (SLUGD) и интерактивная профамма (SLUG)

для ручного поиска параметров. Обе профаммы используют численные расчеты,

основанные на явном алгоритме DUMKA. Тестовые расчеты, выполненные с помощью профамм ЗШвОи SLUG на

табулированных экспериментальных данных, показали достаточную стелень

точности определения параметров АГ,//,^ -коэффициента фильтрации,

водоотдачи (фавитационной для безнапорного водоносного горизонта и упругой

для напорного), сопротивления прискважинной зоны. Интерактивная профамма SLUG была задействована для интерпретации

реальных экспериментальных данных чфивых, полученных лри проведении наливов в наблюдательные скважины, пробуренные на верхний надъюрский

водоносный горизонт и нижний надморенныи водоносный горизонты на площадке

временных хранилищ радиоактивных отходов и прилегающей территории РНЦ

«Курчатовский институр>. Полученные результаты интерпретации наливов позволили определить значения параметров K,fi,^ в 18 исследованных

скважинах и согласуются с результатами интерпретации экспресс-наливов по

формуле Шержукова, с результатами интерпретации проводимых ранее кустовых

откачек. Все задачи были решены с помощью явного алгоритма DUMKA. Машинное время,

затрачиваемое на решение задач, оказалось сравнимым с временем расчета по

неявным методом при решении линейных задач, а для решения нелинейных задач

алгоритму DUMKA потребовалось значительно меньше времени. Следует

отметить возможность варьирования параметров алгоритма DUMKA, что

позволяет улучшать точность аппроксимации и скорость вычисления. В заключение следует отметить, что алгоритм DUMKA демонстрирует высокую

скорость и надежность при решении задач фильтрации подземных вод в пористой

среде. Из этого следует отметить необходимость его дальнейшего применения, в

качестве «солвера» при решении этих задач.

1. В.И. Агошков, П.Б. Дубовский, В.П. Шутяев Методы решения задачматематической физики. -М.: ФизМатЛит. 2002.

2. В.И. Агошков Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. -М.: ИВМ РАН. 2003.

3. B.C. Алексеев, А. Г. Тесля Временные методические указания по определению фильтрационных свойств пород при опережающем опробовании водоносных горизонтов. Изд. ВСЕГИНГЕО. М. 1967.

4. B.C. Алексеев, Л.А. Рохлин, А. Г. Тесля Экспресс-опробования гидрогеологических скважин. -Гидрогеология и инженерная геология. Экспресс-информация.-М.: ВИЭМС, 1972, вып. I, с 12-18.

5. В.С.Алексеев, А.Д.Курманенко. Опыт определения коэффициента водопроводимости пластов по данным экспресс-налива в скважины. -М.:ВИЭМС, 1973.

6. В.С.Алексеев, АДКурманенко, М.И.Фазлуллин Экспресс-методы опробования гидрогеологических скважин. -М.:ВИЭМС, 1979.

7. В.И.Аравин, О.Н.Носова Натурные исследования фильтрации. Ленинград. Энергия 1969.

8. А.И. Арцев, Ф.М. Бочевер, Н.Н. Лапшин, А.Е.Орадовская, Э.М. Хохлатов. Проектирование водозаборов подземных вод. М.: Стройиздат. 1976.

9. Бадов В.В., Киселев А.А. Численное решение задачи взаимодействия поверхностных и подземных вод. Москва. Водные ресурсы. N 1, 1983,66-80 с.

10. Бадов В.В., Киселев А.А. Совместное движение фунтовых вод и влаги зоны аэрации. Москва. Водные ресурсы.N 1,1982,16-26с.

11. Н.С. Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М. Кобельков Численные методы. Москва Санкт-Петербург Фзиматлит. 2000

12. Н.С. Бахвалов, Г.М. Кобельков, Ю.А. Кузнецов, В.И.Лебедев, Ю.М. Нечепуренко, В.В. Шайдуров Численные методы решения задач математической физики. Современные проблемы вычислительной математики и мат.моделивания. Т.1. М.: Наука, 2005.

13. Бреббия К., Теплее Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. Москва. Мир. 1987,524с.

14. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. Москва., Мир., 1971,451с.

15. Ф.П.Васильев Методы оптимизации-М.: Наука, 1976.

16. М.Венцель, В.Б.Залесный Усвоение данных в одномерной модели конвекции-диффузии тепла в океане. Известия Академии Наук. Физика атмосферы и океана, 1996, т 32 №5.

17. Н.Н. Веригин, С.В.Васильев, B.C. Саркисян, Б.С. Шержуков Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. -М.: Недра. 1977.

18. В.М.Гаврилко, B.C. Алексеев. Фильтры буровых скважин. -М.: Недра. 1985.

19. И.М.Гершанович Гидрогеологические исследования в скважинных методом расходометрии.-М.: Недра. 1981.

20. Ф.Гилл, У.Мюррей, М.Райт Практическая оптимизация -М.: Мир, 1985.

21. Э.А. Грикевич Гидравлика водозаборных скважин и методы расчета параметров скважины и пласта.: Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук.-ВНИИМОРГЕО, Рига, 1984.

22. Э.А. Грикевич Влияние гидравлических сопротивлений скважины на приток воды. -ВНИИМОРГЕО, Рига, 1969.

23. А.М. Дерюга Георадиолокационное изучение техногенно-измененных грунтов в геоэкологических целях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва. МГСУ. 2005.

24. Интернет-страница статьи о бурении. Все о бурении скважин (http://infoburenie.narod.ru/burenie.htm).

25. М.К. Керимов К семидесятилетию со дня рождения профессора В.И. Лебедева. -М.: ЖВМФ, 2005.

26. Г.Корн, Т.Корн Справочник по математике. М: Наука, 1984

27. Н.П. Куранов. «Методические рекомендации по оценке фильтрационных параметров слабопроницаемых пород при экспресс-опробовании скважин» -М. ВНИИ ВОДГЕО, 1987.

28. А.Д. Курманенко Исследование зональной проницаемости пород методом расходометрии и экспресс-налива. Диссертация, представленная на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва. ВСЕГИНГЕО. 1974.

29. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. -М.: Наука. 1986

30. А.В. Лапин, И.А. Расторгуев. Решение задачи об экспресс-наливе методами оптимального управления. -Издательство казанского математического общества. Казань. Том 26, июнь 2004.

31. В.И. Лебедев Явные разностные схемы для решения жестких задач с комплексным или разделимым оператором. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000.

32. В.И.Лебедев Функциональный анализ и вычислительная математика. Москва. Физматлит 2000.

33. В.И. Лебедев Как решать жесткие системы уравнений явными разностными методами. Вычислительные процессы и системы. Москва. Наука. 1991Г.И.Марчук Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

34. В.И. Лебедев. И.А. Расторгуев. Расчет уравнений фильтрации устойчивыми явными методами. Тезисы докладов IX Всероссийского совещания по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященного памяти А.Ф. Сидорова. Дюрсо. 2002.

35. В.И. Лебедев, К.В. Ушаков Оптимизация вычислительных методов в вихреразрешающем моделировании // Труды XLVIII научной конференции МФТИ, Москва-Долгопрудный, 25-26 ноября 2005

36. Г.И.Марчук Вычислительные процессы и системы. Выпуск 8. М.:Наука, 1991

37. Г.И.Марчук, В.И. Агошков Введение в проекционно-сеточные методы. М.:Наука, 1981.ЗЭ.Мироненко В, Румынии В. Проблемы гидроэкологии. Том 3. Книга 1. Москва. Издательство МГГУ. 1999.

38. Дж.Ортега, В.Рейнболт Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. -М.: Мир. 1975.

39. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения фунтовых вод. Москва. Наука. 1977,664с.

40. А.Д.Полянин Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.:Физико-математическая литература. 2001

41. И.А. Расторгуев. Расчет уравнений фильтрации устойчивыми явными методами. Труды математического института имени Н.И.Лобачевского. Том 13. Материалы всероссийской молодежной научной школы-конференции. Казань, 19-23 ноября 2001г.

42. И.А Расторгуев. Моделирование уравнений фильтрации устойчивыми явными методами. Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Международная конференция. Обнинск, 14-18 мая 2002г

43. И.А. Расторгуев, А.В. Расторгуев. Определение параметров безнапорных водоносных горизонтов с помощью экспресс-наливов в скважины. Инженерные изыскания в XXI веке. Материалы научно-производственной конференции. ПНИИС. Москва 2003.

44. И.А. Расторгуев. Явный метод второго и более порядка точности для решения конвективно-дисперсионного уравнения (сборник тезисов докладов к научно-практической конференции, посвященной 70-летию ФГУП «НИИ ВОДГЕО»). Москва, 2004 г

45. И.А. Расторгуев. Решение задачи об экспресс-наливе в скважину методами оптимального управления. 2-ая Курчатовская молодежная школа. Москва. 2004.

46. Расторгуев И., Горбунова Э. Определение трещиноватости водоносного горизонта в зоне подземного ядерного взрыва. -Материалы конференции «Урал атомный -Урал промышленный». Февраль, 2005 г

47. Расторгуев И.А. Сравнение явных и неявных численных методов для расчетов задач фильтрации. -Материалы XI Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования». Сентябрь, 2005 г

48. И.А.Расторгуев, Р.Х.Каримов Численная модель эксперимента экспресс-налив с учетом инерции в скважине. Проблемы инженерной геоэкологии. Сборник трудов. Выпуск 10. Москва 2005.

49. Расторгуев И.А. Сравнение явных и неявных численных методов для расчетов задач фильтрации.// Вычислительные методы и программирование. 2006. Раздел 7.185-189.

50. Расторгуев И.А. Влияние инерционных эффектов на гидравлические характеристики скважин. Москва. Водоснабжение и санитарная техника. №7.2006.

51. А.А.Самарский, А.П.Михаилов Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Москва. Физматлитиздат,2001,320с.

52. А.А.Самарский, П.Н.Вабищевич Численные методы решения обратных задач математической физики. М.:УРСС 2004

53. ААСамарский Теория разностных схем. М.: Наука 1983.

54. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. Москва. Издательство МФТИ. 1994.

55. Э.Хайер, Г. Ваннер Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. -М.: Мир, 1999.

56. Э.Чайлдс Физические основы гидрогеологии почв. -Ленинград. Гидрометеоиздат. 1973.

57. Ф. А. Шевелев, А. Ф. Шевелев Таблицы для гидравлического расчета водопроводных труб : Справ. Пособие. 117 с. 20 см, 6-е изд., доп. и перераб. М. Стройиздат. 1984.

58. В.Е.Шаманский Численное решение задач фильтрации фунтовых вод на ЭЦВМ,- Киев: «Наукова Думка», 1969.

59. Б.С Шержукое, В.С.Алексеев, А.Д.Курманенко Рекомендации по определению параметров горных пород и грунтов методом экспресс-налива в несовершенные скважины. -ВНИИ ВОДГЕО, 1979

60. В.М.Шестаков, Д.Н. Башкатов, И.С. Пашковский, B.C. Алексеев, Ю.О, Зеегофер, А.Г, Тесля, ИТ. Гаврилов, А.А. Рошаль, В.В. Бадов Опытно-фильтрационные работы. Москва. Недра, 1974.

61. Р.С.Штенгелов, В.Л.Веселова, С.О.Гриневский, М.И.Казаков, М.Е. Козырицкая, А.А.Куваев, А.В.Лехов, А.Л.Петров, В.М.Шестаков, А.Л.Язвин Гидрогеодинамические расчеты на ЭВМ. Москва, Издательство Московского университета. 1994.

62. V. Bortolotti, A. Campagnoli, М. Gombia Quantitative Relaxation Tomography (QRT) and field test to estimate porosity/transmissivity relationship in fractured aquifers. -Conference FEM-MODFLOW, Karlsbad, September 2004.

63. N.S, Boulton Analisis of data from nonequilibrium pumping test alowing for delayed yild from storage. Proc. Inst. Civil Eng., 26 (6693) 1963.

64. Bouwer, H. 1989. The Bouwer and Rice Slug Test An Update, Ground Water, vol.27, No. 3, pp. 304-309.

65. Bouwer, H., Rice, R.C., 1976. A slug test for determining hydraulic conductivity of unconfined aquifers with completely or partially penetrating wells, Water Resour. Res., 12 (3),

66. J. Butler, X.Zhan Hydraulic tests in highly permeable aquifers. Water Resources Research, vol. 40, no.2, 2004.

67. Celia M.A., Bouloutas E.J, ZabraR.L. A General mass conservative numerical solution for unsaturated flow equation. Water Resources Research. 1990,26(7),1483-96

68. Characterization of groundwater flow for near surface disposal facilities. -IAEA, Vienna, 2001 (http://www-pub. iaea.org/MTC D/publications/PDF/te 1199 prn.pdf).

69. R,Cooley A finite difference method for unsteady flow in variable saturated porous media: application to a single well. Water Resources Research, vol. 7, no 6. 1971.

70. Cooper, H.H., J.D. Bredehoeft and I.S. Papadopulos, 1967. Response of a finite-diameter well to an instantaneous charge of water. Water Resources Research, vol. 3, pp. 263-269.

71. Cooper, H.H. and C.E. Jacob, 1946. A generalized graphical method for evaluating formation constants and summarizing well field history, Am. Geophys. Union Trans., vol. 27, pp. 526-534.

72. Diersch H.-J.G.,P.PerrochetOn the primarry variable switching technique for simulating unsaturated-saturated flows. Adv.Water Resour.1999,v.23,271-301

73. Direct-push hydraulic profiling in an unconsolidated alluvial aquifer. Kansas Geological Survey, Open-file Report 2000-62 http://www.kgs.ku.edu/Hydro/Publications/OFROO62/index.html

74. Forsyth P.A.,Wu Y.S.,Pruess K.Robust numerical methods for saturated-unsaturated flow with dry initial conditions in heterogeneous media. Adv.Water Resour. 1995, v. 18,25-38

75. Frind E, Gillham R, Pickens J. Application of unsaturated flow properties in the design of geologic environments for radioactive waste storage facilities, in Final Elements in Water Resources. Pp 3.133-3.163. Pentech,London. 1977.

76. Govindaraju R, Or D.Kawas M, Rolston D. Error analyses of simplified unsaturated flow models under large uncertainty in hydraulic properties. Water Resources Research. 1992

77. Hantush, M.S. and C.E. Jacob, 1955. Non-steady radial flow in an infinite leaky aquifer, Am. Geophys. Union Trans., vol. 36, pp. 95-100.

78. A.Harbaugh, M.McDonald Users documentation for MODFLOW-96,an update to the U.S.Geological Survey modular finite-difference ground-water flow model,USGS Open-File Report 96-486.1996.

79. A.Harbaugh, M.McDonald Programmer's documentation for MODFLOW-96,an update to the U.S.Geological Survey modular finite-difference ground-water flow model,USGS Open-File Report 96-486.1996.

80. A.Harbaugh, EBanta .M.Hill, M.McDonald MODFLOW-2000, The U.S.Geological Survey modular ground-water model.User guide to modularization concepts and the ground-water flow process. U.S. Geological Survey. Open-file report 00-92. 2000

81. M.Hill Preconditioned Conjugate-Gradient2 (PCG2). A computer program for solving groundwater flow equations. U.S.GeologicalSurvey,Denver (1990)

82. M.Hill Solving ground water flow problems by conjugate-gradient methods and the strongly implicit procedure. Water Resour. Res. 26(9): 1961-1969.1990.

83. W.Hundsdorfer, J.Verwer Numerical solution of time-depended advection-diffusion-reaction equations. Springer series in compution mathematics. Berlin. 2000.

84. Hydraulic Tomography and the Impact of A Priori Information: An Alluvial Aquifer Example. Kansas Geological Survey, Open-file Report 2003-71 (http://www.kgs.ku.edu/Hydro/WellTests/OFR0371/index.html)

85. Hvorslev, M.J Time Lag and Soil Permeability in Ground- water Observations, U.S. Army Corps of Eng., Waterways Exp. Stn. Vicksburg, MS. Bull. 36, 56 pp., (1951)

86. Johens J.E., Woodward C.S. Newton-Krylov multigrid solvers for large-scale, highly heterogeneous, variably saturated flow problems. Advances in Water Resources. 2001, v24,p.763-774.

87. Z.J.Kabala The dipole flow test a new single-borehole test for aquifer characterization. Water Resources Research, vol.29, no 1,1993.

88. K.L.Kipp. Type curve analysis of inertia) effects in the response of well to a slug test. Water Resources Research, vol.21, no 9,1985.

89. Kizelbach W.Groundwater modelling. An introdution with sample programs in BASIC.Amsterdam-Oxford-New-York-Tokyo,Elsevier,1986,p.329

90. Kirkland M.R.,Hills R.G.,Wierenga P.J. Algorithms for solving Richards' equation for variably saturated soils. Water Resour. Res.1992.V28.N8.,p2049-2058.

91. Kung K. Preferential flow in a sandy vadose zone. 1. Field observation. Geaderma. 46.59-71.1990.

92. Lapalla, EG, Healy, R.W., and Weeks, EP.Documentation of computer program VS2D to solve the equations of fluid flow in variably saturated porous media, U.S. Geological Survey Water Resources Investigations Report 83-4099,131 p. 1987

93. V.I.Lebedev Explicit Difference Schemes for time-variable steps for solving stiff system of equations. Sov. J. Anal. Math. Modeling. Vol 8. №2 pp. 111-135.1989

94. V. I.Lebedev Explicit Difference Schemes for Solving Stiff Problems with a Complex or Separable Spectrum. Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 40, No. 12,2000, pp. 1729-1740.

95. V.I. Lebedev, S.V. Loutsenko and V.N. Lykossov Large-eddy simulation of convective boundary layer using explicit difference schemes // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling Volume 15, No. 1, 2000, p.95-110

96. V.I.Lebedev, A.A.Medovikov Method of second order accuracy with variable time steps. Izvestia Vyssh. Uchebn. Zaved. . Matematica. 1998. no. 5. 65-63; translation in Russian Math. (Iz. VUZ) 42 (1998), no. 9,52-60 (1999).

97. Mathematical Derivations of Semianalytical Solutions for Hydraulic Tests in Highly Permeable Aquifers. Kansas Geological Survey, Open-file Report 200360.

98. C.D. McElwee, G.C. Bohling, J.J. Butler Sensitivity analysis of slug tests. Part 1. The slugged well. Journal of Hydrology, vol 164 (1995), pp 53-67.

99. C.D. McElwee, G.C. Bohling, J.J. Butler Sensitivity analysis of slug tests. Part 2. Observation wells. -Journal of Hydrology, vol 164 (1995), pp.69-87.

100. C.D. McElwee Improving the analysis of slug tests. -Journal of Hydrology, vol. 269 (2002), pp.122-133.

101. Miyazaki T. Water flow in unsaturated soil in layered slopes. J Hydrol. 102. 201-214.1988.

102. Moench, A.F., 1995. Combining the Neuman and Boulton Models for Flow to a Well in an Unconfined Aquifer. Ground Water, vol. 33, No. 3, pp. 378-384.

103. Morsched J, Kaluarachchi J. Application of artificial neural network and genetic algorithm in flow and transport simulations. Advances in Water Resources. 1998, vol.22, N2, p145-158

104. Neuman, S.P., 1975. Analysis of pumping test data from anisotropic unconfined aquifers considering delayed yield, Water Resources Research, vol. 11, no. 2, pp. 329-342.

105. Oldenburg C.M. ,Pruess К On numerical modeling of capillary barriers. Water Resources. Res.1993.V29.N4.,p1045-1056.

106. E.Park, H.Zhan Hydraulics of finite-diameter horizontal well with wellbore storage and skin effect. Advances in water resources. V 25.2002.389-400

107. Parker J, Lenhard R. Vertical integration of three-phase flow equation for analysis of light hydrocarbon Plume Movement. Transport in porous media 5.1989. p 187-206.

108. S. Reidel Geologic Data Package for 2005 Integrated Disposal Facility Waste Performance Assessment. Pacific NorthWest National Laboratory f http://www.hanford.gov/docs/gpp/fieldwork/idf/PN NL-14586.pdf).

109. Richards L.A. Capillary conduction of liquid through porous mediums. Physics; 1931.1,318-333.

110. Ross B.The diversion capacity of capillary barries. Water Resour. Res. 1990. V26., N10,2625-2629.

111. Simunec J, Vogel T, Van Genuhten Mth. The SWMS2D code for simulating water flow and solute transport in two-dimensional varialy saturated media. U.S. Solinity Laboratory. 1994.

112. D.J.Sutton, Z.J.Kabala, D.E.Schaad, N.C.Ruud The dipole-flow test with a tracer: a new single-borehole tracer test for aquifer characterization. Journal of Contaminant Hydrology. Vol 44. 2000. 71-101.

113. The Dipole Flow Test for Site Characterization: Some Practical Considerations. Kansas Geological Survey, Open-file Report 98-20 (http://www.kgs.ku.edu/Hvdro/Publications/OFR98 20/index.html).

114. Theis, C.V., 1935. The relation between the lowering of the piezometric surface and the rate and duration of discharge of a well using groundwater storage, Am. Geophys. Union Trans,, vol. 16, pp. 519-524.

115. Van Genuchten Mth. A close form equation for predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil Sci Soc., 1980,44,892-898.

116. Web site of AquifefWin32 (http://www.aquiferanalysis.com).

117. Web site of AquiferTest; (http://www.waterloohvdroqeologic.com/software/aquifertest/aQuifertest pricing.h tm)

118. Web site of Mala GeoSciencehttp://www, malags.se/applications/borehole.php),

119. Web site of SCAIME (http://www.scaime.com/welcome.html)

120. Web site of USSL (http://www.ussl.ars.usda.gov)

121. Webb S.W.Generalization of Ross' tilted capillary barrier diversion formula for different two-phase characteristic curves. Water Resour. Res. 1997, V.33,N8,1855-1859.

122. T. Yeh, S.Liu Hydraulic tomography: Development of a new aquifer test method. Water resources research,vol.36,no.8,2000.

123. P.Witherspoon, J.Javandel, S.Neuman Use of finite element method in solving transient flow problems in aquifer systems. Inst. Ass. Sci. Hydrol., Symp. Publ. No. 81.1968.

124. V. Zlotnik, V. McGuire Multi-level slug tests in highly permeable formations: 1,2. Modification of the Springer-Gelhar (SG) model. -Journal of Hydrology, vol. 204 (1998).