автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математической модели фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений

На правах рукописи

МУХАМБТОВА Гульнара Зуфаровна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЯВНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ

АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2004

Работа выполнена на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Насыров Фарит Сагитович

доктор физико-математических наук, профессор Асадуллин Рамиль Мидхатович доктор физико-математических наук, профессор Павлов Игорь Викторович

Волгорадский государственный университет, г. Волгоград

Защита диссертации состоится "_"_ 2004 г

в ____час. на заседании диссертационного совета КР-212 288.26 при

Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу 450000, ул К Маркса, 12

С диссертацией можно ознакомится в библитеке Уфимского государственного авиационного технического университета.

Автореферат разослан __________________2004 г

Ученый секретарь диссертационного совета, д ф.-м. н., проф. Г.Т.Булгакова

гооб-4 МШО

Z07?.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие математические и технические задами допускают следующую математическую постановку в терминах теории случайных процессов. На некотором вероятностном пространстве (П, F, Р) задан частично наблюдаемый случайный процесс Zt = (Xt,Yt). t > 0, у которого наблюдаться может лишь вторая компонента Yt.t> О В каждый момент времени t требуется, основываясь на наблюдениях l¡jo,¡] — {X?, 0 < s < i}, давать оценку (ненаблюдаемых) значений Xt Эта задача оценивания (иначе - задача фильтрации) X, по У[0,(] и является предметом рассмотрения настоящей работы

Хорошо известно, что если ЕХ? < со, то наилучшей в среднеквадратиче-ском смысле оценкой X¿ является апостериорное среднее т, — E(Xt¡Ftv), где Fj = er{w : Ys,s < t} есть сг-алгебра, порожденная величинами Yjo,i] Таким образом, решение задачи оптимальной (в средне-квадратическом смысле) фильтрации сводится к отысканию условных математических ожиданий mt — E(Xt\Ff).

Эта задача принадлежит к числу классических задач статистики случайных процессов Первые замечательные результаты, связанные с фильтрацией стационарных процессов, были получены А Н Колмогоровым1 и Н Винером2. После появления работы Р.Калмана и Р.Бьюси3 в 60-70-х годах бурно развивалась теория фильтрации для систем, динамика которых описывается уравнениями Ито

Значительные результаты этой теории были получены Р Ш Липцером и А Н Ширяевым4 В монографии этих авторов были рассмотрены задачи оптимальной фильтрации (а также смежные задачи интерполяции, экстраполяции, последовательного оценивания, различения гипотез и т. п ) для случая непрерывного времени Привлекательность этих задач в случае непрерывного времени объясняется (помимо их собственного интереса) тем, что для них удается получать прозрачные формулировки и компактные формулы. Для угловно-гауссовских процессов (в, £) получена замкнутая система уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Тем самым выделен очень широкий класс случайных процессов, для которых удастся эффективным образом решить задачу построения оптимального нелинейного фильтра. Также рассмотрены вопросы оптимальной линейной фильтрации и оптимальной нелинейной

' Колмогоров А Н Интерполирование и экстраполирование стационарных и случайных последователь ностсй Изв. АН СССР Сер мат, 1941 Т 5 N 1 С 3-14

2 Wiener N Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series N Y 3 Wiley and Sons, 1949, 207 p.

'Kalrnan R.E , Bucy R S New results m linear filtering and prediction theory - Trans ASME Ser D J Basic Eng, 1961 V 83 P 95-108

'Лигщер P III , Ширяев A H Статистика случайных npniirtinnn >4 Tf.y a |Q"4 696 c

I *OC (мциоиммия) i I «нишвти» „ I CWnniiii ^ I

фильтрации для условно-гауссовских процессов Здесь же, помимо фильтрации, изложены соответствующие результаты для задач интерполяции и экстраполяции. Даются применения теории фильтрации к разнообразным задачам статистики случайных процессов. Подробно рассмотрены задачи линейного оценивания, даются применения к некоторым задачам управления, теории информации Даны применения к небайесовским задачам статистики (оценки максимального правдоподобия для коэффициентов линейной регрессии, последовательное оценивание и последовательное различение статистических гипотез).

Известно5, что решение задачи фильтрации для процессов, оиисывемых уравнениями Ито, эквивалентно решению некоторого уравнения, называемого обычно уравнением фильтрации. Это уравнение фильтрации относится к новому типу уравнений, оно сочетает в себе черты уравнений Ито и уравнений в частных производных. Уравнения такого типа называют стохастическими дифференциальными уравнениями Ито в частных производных. Наиболее подробно в настоящее время исследованы линейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, которые изучены в моно! рафии Б Л Розовского Общий метод решения подобных уравнений был предложен Ф С Насыровым6 Данный метод основан на теории потраекторных симметричных интегралов7, которые в случае винеровского процесса являются детерминированными аналогами стохастических интегралов Стратоно-вича Ф С Насырову с помощью техники симметричных интегралов удалось при определенных условиях свести решение стохастического дифференциального уравнения к решению некоторой системы (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных Ранее в теории стохастических дифференциальных уравнений случаи, когда известна явная формула для определения (сильного) решения стохастического дифференциального уравнения, были немногочисленны.

В настоящей работе применяется новая техника симметричных интегралов по произвольной непрерывной функции, которые, с одной стороны, являются ослабленными вариантами интегралов типа Стильтьеса, а с другой стороны, в случае винеровского процесса, совпадают со стохастическими интегралами Стратоновича.

5Розовский Б Л Эволюционные стохастические системы Линейная теория и приложеиия к статистике с 1учайных процессов М Наука, 1983. 208 с.

6Насыров Ф С Симметричные инте! ралы и потраекториые аналоги стохастических дифференциальных уравнений // Вестник УГАТУ - Уфа, 2004 г Т. 4 N2 С 55-66

7Насыров Ф С Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике Труды МИАН, 2002 I 237 С 265г278.

1

2

Цель работы. Целью настоящей работы является построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов В работе решались следующие задачи.

1 Построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и вывод явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.

2. Получение некоторых способов замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности

3 Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.

На защиту выносятся следующие результаты:

1 Аналитический метод построения явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и способ получения явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.

2. Некоторые способы замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют упростить уравнение для фильтрационной плотности.

3 Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации

Методы исследований. Методы исследования опираются на методы теории стохастических дифференциальных уравнений; теории вероятностей, теории случайных процессов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных, а также на аппарат теории локальных времен.

Научная новизна результатов. Новым является аналитический метод и полученное с его помощью решение задачи фильтрации диффузионных процессов, путем сведения решения данной задачи к некоторой системе (неслучайных) дифференциальных уравнений. Данный метод также применим для решения других видов стохастических дифференциальных уравнений в частных производных.

Новыми являются формулы замены неременных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, позволяющие в некоторых случаях упро-

стить уравнений для фильтрационной плотности распределения диффузионного процесса.

Новым является решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет 1еоре-гическое и практическое значение. Полученные результаты теории фильтрации могут найти широкое применение к разнообразным задачам статистики случайных процессов В частности, к таким задачам, как задача фильтрации полезного сигнала на фоне шума, задача линейного оценивания и задача управления Методы и результаты диссертации также могут быть использованы в теории стохастических дифференциальных уравнений, в теории симметричных интегралов, а так же в других областях знания, где стоит задача выделения полезного сигнала на фоне шума.

Апробация работы. По основным результатам были сделаны доклады

1 На Международной Молодежной научной школе-конференции (Казань, 2002).

2 На Международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, МГУ, 2003).

3 На Международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Абрау-Дюрсо, 2004)

4 На Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Сочи. 2004)

5 На математических семинарах УГАТУ, БГПИ, ВолГУ, РГСУ

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в восьми публикациях, среди которых четыре статьи автора([2,5,6,7]), четыре публикации тезисов докладов ([1,3,4,9]) и одна статья в соавторстве ([8]).

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя введение, две главы, содержащих в совокупности 12 параграфов, заключение и список литературы, содержащий 73 наименования Общий обьем диссертации составляет 100 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении к диссертации обоснованы цель и актуальность работы, кратко изложено содержание работы и сформулированы результаты, выносящиеся на защиту.

В первой главе диссертации рассматривается математическая модель фильтрации диффузионных процессов, выводятся явные формулы для для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов и решений линейных и нелинейных стохастических дифференциальных уравнений.

В п. 1.1 13 даются основные сведения о теории стохастических дифференциальных уравнений, рассматривается математическая модель фильтрации диффузионных процессов и дается постановка задачи фильтрации

Пусть У(<), - некоторые диффузионные процессы, которые задаются стохастическими дифференциальными уравнениями Ито:

' Х{1) = Х(0) + ¡Ьс^Х^У^з + &dn{s,X{s),Y{s))dv{s)+ +Sldu{s,X(s),Y{s))dw{s),

(1)

по = по) + +

где №($) = (^(5),«;(«)) двумерный винеровский процесс.

Предположим, что диффузионный процесс У(£) доступен наблюдениям, а - нет. Наша задача состоит в том, чтобы по значениям У(<) построить условное распределение случайной величины X(£).

Пусть /ЗуМ (соответственно ~ пополненная но мере Р

сх-алгебра, порожденная значениями процесса У(£) (соответственно Х(^) при t Е [в, г]. Будем считать, что задана функция / : Л —» Я, для которой Е|/(Х(*))|2 < оо. Хорошо известно, что Е(/(Х(С))1&-[(М)), <

<Е [О, Г], является

наилучшей в среднем квадратичном -измеримой оценкой для /(Х(£))

Задачу вычисления Е(/(^(£))|/?у'°'(') называют задачей фильтрации, а условное распределение Р(Х(£) 6 ~ фильтрационной мерой.

Известно, что условное математическое ожидание Е(/(Х(0)|/?у'°'^) можно вычислить явно, если известна некоторая функция х), которая называется нормализованной фильтрационной плотностью. Тогда искомое математическое ожидание выразится следующим образом:

Е (пхтРгм) = ¡ктпт е ад10-41) = /д лхмг,*^,

где p{t,x)dx = Р(X(t) £ dxÜ3YM), P(t,x) = (X(t) < x\ /?у'0<') нормализованная фильтрационная плотность Сама p(s,x) может быть найдена следующим образом-

P(s,x) = v(s,x) (JRn{s,x)dx} ,

где q(s, х) это ненормализованная фильтрационная плотность, она удовлетворяет так называемому уравнению фильтрации

r](t, х) - 77(0, i) = jí4 [(a(s, х, y(s))77(s, x))xx - (b(s, x, Y(s))r]{s, ar))2] ds+

+ L [ ~ X' Y^VÍs, x))x + h(s, x, Y(s))T,(s,x)}d„(s).

Это уравнение является стохастическим дифференциальным уравнением Ито в частных производных Таким образом, решение задачи фильтрации сводится к решению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Для уравнений такого тина известны условия существования и единственности решения8. Лишь в редких случаях, например, в линейном удавалось найти аналитическое решение этого уравнения.

Основная цель данной работы состоит в том, чтобы найти эффективный способ аналитического решения данного уравнения, путем его сведения к системе дифференциальных уравнений в частных производных, для которой хорошо известны численные и аналитические методы решения С этой целью применяется новая техника симметричных интегралов, которые являются потраекторными аналогами стохастических интегралов Стратоновича

Определение 1.1.1. Будем говорить, что пара функций {/>(,?), f(s, и)}, s € [0,1], и € R, удовлетворяют условию (5) на [0, t], если:

(a) функция v(s), s б [0, í], непрерывна;

(b) при и. в. и функция f(s,u), s G [0, í], имеет ограниченное изменение и непрерывна справа по s £ [0,t];

(c) при н в. и справедливо равенство Jq1(i/(s) = tí)|/|(ds,u) = 0, где при каждом и функция \f\(s, и) есть полное изменение функции /(т, и) по переменной г на отрезке [0, s];

(d) полное изменение |/|(í, и) функции /(s, и) по переменной s на отрезке [0, £] локально суммируемо по и.

Пусть пара функций {f(s), /(s,u)}, s е [0,1], и £ R, удовлетворяют условию (5) на [0, í]. Рассмотрим разбиения Т„, тг 6 N. отрезка [0, t], Тп = {4П)}, О = íí,n) < t|n) < - < 4П) < - < — t, n € N, такие, что

аКаллиннпур Г Стохастическая терия фильтрации M Наука, 1987 320 с

б

Тп с Тп+1, п £ Ы, и А„ = тах|4п) - 4"Л| 0 при п -4 оо. Через г»^), в £ [0, обозначим ломаную, построенную по функции и (в) и отвечающую разбиению Тп Введем следующие обозначения: Д= — ¿Ц."^,

[Д4П)] = к— ~ Определим симметричный ин-

теграл следующим образом:

/; /(,, к*» * <ж=я*.

если предел в правой части равенства существует и не зависит от выбора последовательности разбиений Тп, п 6 N.

Замечание 1.1.1. Симметричный интеграл в случае винеровского процесса ¡/(в) является детерминированным аналогом стохастическою интеграла Стратоновича.

В п 1.4 - 1.5 дается вывод формул для явных решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в одномерном случае, которые необходимы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов Рассматриваются одномерные стохастические дифференциальные уравнения Ито вида

~ аг) =

Г

Jo

a(s, + b(s, x)+ Ф, x)rj(s, x) + f{s, x)

ds-f

+

drj(s,x) . . x)—qx— + 4S i x) + g(s, ж)

&/(s), (2)

1ДР a(s,x) = a(s,x,w), b(s,x) = b(s,x,w), c(s,x) = c(s,x,w), f{s,x) = f(s,x,üj), a(s,x) = cr(s,x,u>), h(s,x) = h(s,x,u>), (j(s, x) = p(s, (здесь w - переменная, символизирующая случай). Второй интеграл в правой части уравнения (2) есть стохастический интеграл Ито, v(s) - одномерный стандартный винеровский процесс. Будем полагать, что коэффициенты этого уравнения удовлетворяют условиям предсказуемости, необходимым для существования стохастических интегралов Ито. Наложим следующее условие коэффициент a(s,x) ф 0, при любых s их. Будем искать решение (2) в виде функции t)(s,x) = <p(s, х, f(s)), для которой имеют смыслы интегралы в правой части уравнения (2), и которое обращает это уравнение в тождество.

Поскольку с помощью формулы Ито в случае гладких интеграндов стохастические интегралы Ито (прямые и обратные) могут быть сведены к по-1раекторным симметричным интегралам (стохастическим интегралам Стратоновича), то оказалось возможным рассматривать не только стохастические,

но и потраекторные (детерминированные) аналоги эволюционных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных вида

где второй интеграл в правой части (3) есть симметричный интеграл по детерминированной непрерывной функции неограниченной вариации ^(£). Достоинством такого подхода является тот факт, что в этом случае нет необходимости в ограничительных условиях типа предсказуемости, налагаемых при использовании стохастического интеграла Ито.

Для уравнений вида (2) доказана следующая теорема.

Теорема 1.4.1. Пусть дано уравнение (2) с начальным условием т](0,х) — ф(х, 1^(0)). Тогда решение уравнения (2) может быть найдено в виде г)(з, х) = <р(ь, х, "(в)), где функция х, и) удовлетворяет системе уравнений

Фи = оч>х + Р + 9-,

• <р3 = (а - дет2) ухх + (Ь - \орх - ст/г) фх + (с - \окх - <р+ (4)

+/ - \одх -

и начальпыму условию <р(0, х, 1/(0)) — Г)(0, х).

Таким образом, решение уравнения фильтрации свелось к решению системы (4) дифференциальных уравнений в частных производных Следовательно, вместо решения сложного стохастического дифференциального уравнения (2), достаточно найти функцию <р = «^(й, х, и), которая удовлетворяет системе (4), с соответствующим начальным условием. Решение же системы (4) в различных случаях может быть найдено численными или аналитическими методами.

Оказалось, что данный метод может быть применен в случае линейных стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом Пусть ¿?(з) = (г/1 (в),..., г/"(5)) - п-мерный винеровский процесс, компоненты которого являются независимыми процессами броуновского движения Рассмотрим систему п стохастических дифференциальных уравнений

г?(<, х) — 17(0, х) =

И то

L«=ii=i

+

+ t + c(s, x)Vl(s, x) + /(s, x)

ds+

+ Ц f£ + hl(s,xW(s,x)+gl(s,x)

dul(s), / = 1, .,n, (5)

где вторые интегралы в правых частях есть стохастические интегралы Ито, х е Я™, х ~ (х1,хт). Предполагается, что коэффициенты уравнений (5) удовлетворяют стандартным условиям предсказуемости, необходимым для существования стохастических интегралов Ито; при этом все а1'(я, х) ф О, для любых 5 и х

Теорема 1.6.1- Пусть дана система уравнений (5), с начальным условием /7(0, х) — ф(х, г/(0)). Тогда решение системы (5) может быть найдено в виде вектор-функции г}(з, х) — <р(з, х, г/(я)),

ip(s, х, и) =

ipl(s,x,u1) <pn(s,x,un)

где функции >pl(s, х, к1), ..., <fn{s. х, и") удовлетворяют системе уравнений (¿>'u,(s, х, ы') = £ crtl(s, x)<p!x,(s, x, u1) + h'(s, x)ipl(s, x, ul) + g1 (s, x),

V5's(s,x,u')|uww = £ z a,J{s,x)iplx.xl(s,x,i/(s))+ i=ij-i

(6)

+ Y. i)'(s, i, i/(s)) + ф, ф1 (s, i, i/'(î)) + /(s, i)-

г=1

E o,l{s, x)<filx,ui(s, x, tt')|„W(») - ¿ht(s, x)(pl^{s, x, u')|uw(,,

и начальному условию <p(0, x, i/(0)) = fj{0, x)

Таким образом, показано, что решение системы уравнений (5) свелось к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных (6).

В п 1 7 рассматриваются нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных вида

где а(э,х,т)) = а{з,х,т],ш), Ь{з,х,т]) = Ь{в,х,т),ш), с{в,х,1?) г с(з,х,г),ш), а(в,х,т/) = <7(5,2,77,0;), к(з,х,ту) ~ Второй интеграл в правой

части уравнения (7) есть стохастический интеграл Ито, г/(5) - стандартный винеровский процесс. Полагаем, что коэффициенты этого уравнения удовлетворяют условиям предсказуемости, необходимым для существования стохастических интегралов Ито, <т(я, х, т?) ф 0 при любых я н х. Решением этого уравнения будет любая функция вида г)(.ч,х) — <£>(й, т, г^)), для которой имеют смыслы интегралы в правой части уравнения (7) и которое обращает это уравнение в тождество

Теорема 1.7.1. Пусть дано уравнение (7), с начальным условием г](0, х) = ф(х, 1у(0)) Тогда решение уравнения (7) может быть найдено в виде х) = <р(в, х, 1/(5)), где функция х, и) удовлетворяет системе уравнений

и начальному условию <¿>(0, х, Х(0)) = 7/(0, х).

Таким образом, решение уравнения (7) свелось к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных

Система (8) имеет слишком общий вид, и решение в явном виде построить для нее весьма затруднительно Поэтому явное решение построено для одного частного случая, когда ст = 1, к = ^ЦТх)- а коэффициенты а, 6 и с зависят только от $, х: а — а(в, х), Ь — х), с — с(я, х)

Итак, решение определенных классов нелинейных эволюционных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных и их по-траекторных аналогов удалось свести к решению системы обычных дифференциальных уравнений в частных производных.

<ри = о{}р)ух -I Н(<р),

V, = Ртх [а{ч>) -(У)] + (<^х)2 [ - ст(<р)ац,(ч>)] +

+<Рт [*>(¥>) - - %сг(<р)<гх(<р) - +

+с(<р) - - \а{ч>)Ьх{у)

(8)

Основным результатом первой главы является п 1.8, в котором построены явные формулы для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов с использованием решений систем дифференциальных уравнений в частных производных

Теорема 1.8.1. Пусть дана система уравнений (1) и предполагается известным р(0,х) — г/(0, х) распределение случайной величины X(t) в начальный момент времени Тогда ненормализованная фильтрационная плотность rj(s, х) случайной величины X(t) может быть найдено в виде r](s, х) = .pis. х, и), где функция <р(.s, х, и) удовлетворяет системе уравнений

<Р-и = -о%Ч> - + htp, • Vs = Vxx [а - IС2] + <Рх [2ах - Ъ- \аах + ah] + (9)

+<Р [ахх ~ЬХ~ |(сгг)2 + hax - \аахх + \hxa - \h2]

и начальному условию <р(0, х, ¡/(0)) = rj(0, х), где коэффициенты системы вычисляются по формулам:

^UJ ^2 , IJ \2\ l ¿11^21 + ^12^22 , С2

a = -((d„) +(du)), Ь = Cl, h= {{dn)2 + {d22)2y/2

При этом нормализованная фильтрационная плотность р{ s. т) имеет вид P{s, х) = r](s, х) ф, x)dx} .

Искомое условное математическое ожидание выразится следующим образом:

E(f(X(t))\Pri0't]) = ¡Rf(x)p(t,x)dx.

Таким образом, решив эту систему, можно найти решение задачи фильтрации диффузионных процессов.

Во второй главе диссертации рассматривается математический аппарат, необходимый для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. Поскольку решение задачи фильтрации удается свести к решению некоторого стохастического дифференциального уравнения для фильтрационной плотности, то одним из инструментов, прозволяющих упростить уравнение фильтрации, является замена переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах.

В п 2.1 даны основные сведения о симметричных интегралах, и введено понятие несобственного симметричного интеграла. Конструкция расширенного симметричного интеграла опирается на следующее утверждение. Пусть s G [0,+00), - непрерывная функция с локальным временем a(s,u), а /(s), s G [0,+00), - суммируемая функция. Тогда f(s) = ft+(Ç(s), X(s)) при п в. s е [0, t], где функция /¡+(х,к) = f(-y(x,u))l(a(t,u) > х). у(z,u) -inf{s : a(s, и) > z}, £(s) = a(s, X(s)).

Определение 2.1.1. Функция /t+(i,u), так же как и функция ft(£(s)'X(s)), называется представлением функции f(s) на отрезке [0, <].

Расширенный симметричный интеграл был построен для определенного класса интеграндов вида f(Ç(s),X(s)) и приведенное выше утверждение показывает, что класс интеграндов достаточно широк в том смысле, что для каждой суммируемой на [0, t] функции f(s) существует представление ff(Ç(s),X(s)), для которого расширенный симметричный интеграл может быть определен.

Определение 2.1.2. Пусть X(s), s G [0,+00), - непрерывная функция с локальным временем a(t,u) Расширенным симметричным интегралом называется интеграл по заряду

(E)l*f(s)*dX(s)^£f+{tts),X(s))*dX(s)=fR+xJt+(x,u)Gt(dxdu),

где Gt(dxdu) - заряд, однозначно определяющийся своими значениями на "прямоугольниках" Ах В:

Gt(A х В) = Q* l((a(t,u),u) G А х B)du-

-l-jR l((a(t,и),и) G (А \ {0}) х B)sgu(u - X(0))du+

+1- ( l(u G B,a(t,u) > 0)sgn(w - X(0))dul(0 G A).

Известно, что для определенного класса интеграндов расширенный симметричный интеграл может быть получен как предел собственных симметричных интегралов, т. е. является несобственным симметричным интегралом Пусть пара функций {X(s),f(s, и)}, s G [0, +00), и G R, удовлетворяет условию (5), и, кроме того, функция обладает локальным

временем a(t,u). Обозначим -y(x,v) — inf{s : a(s, v) > x}, (5, u) ~ ^ ¡^ f(y(a(s, v), v, v)dv. Тогда справедливо равенство

limЦ Ms, X(s)) * dX(s) = (E) Ц f(s, X(a)) * dX(s).

Расширенный симметричный интеграл входит в обобщенную формулу Ито9, которая является основной формулой замены переменных в стохастическом исчислении Ито.

Для упрощения решения задачи фильтрации иногда бывает удобно предварительно сделать замену переменных в симметричных интегралах В п. 2 2 показаны некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах которые входят в уравнение фильтрации

Доказана теорема о замене переменных в симметричном интеграле

Теорема 2.2.1. Пусть X(s), s € [0,1], - непрерывная функция, и пара функций {X(s),p,(s, u)}, s G [0,1], u € R, удовлетворяет условию (S), причем функция ju(s, и) непрерывно дифференцируема по s при п. в. и.

Пусть

Y(t) = jT' ф, X(s)) * dX(s) = „(i, X(t)).

Если пара функций {У (s), Q(s, и)} удовлетворяет условию (S), то пара функций (X(.s), Q(s, ip(s, X(.s)))//(s, X(s))} удовлетворяет условию (S), я справедливо равенство

Ц Q(s, Y (s)) * dY(s) = { Q(s, ф,Х(з))Ы8, X(s)) * dX(s)+

rt

+ J0 Q(s,<p{s,X{s)))tps(s,u)|„=X(»).

Рассматривается замена переменных в расширенном симметричном интеграле Доказана теорема о замене переменных в расширенном симметричном интеграле.

Теорема 2.3.1. Пусть X(s). s G [0, t], - непрерывная функция, Ф(г), г G непрерывная ограниченная функция, s G [0, t], - функция

ограниченной вариации Тогда

(Е) £<b(Y(s))*(s)*dY(s) = (Е) /ЧМВД)У(ВД)Ф(*) * dX(s), где F(s) = ip(X(s)).

Ранее замены переменных в симметричных интегралах не были известны.

9Нагыров Ф С Обобщенная формула Ито и стохастическое исчисление Ито для непредсказуемых функций // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти H В Ефимова- труды участников Ростов-на-Дону, 2004 г С 269-271

В п 2 3 дано решение задачи возмущения локальных времен. Рассмотрим задачу фильтрации в следующей постановке. Пусть Y(t) = X(t) + w(t), где X(t) - полезный сигнал (гладкая функция), w{t) так называемый "шум", например, некоторый случайный процесс, обладающий локальным временем Надо оценить значения X(t) по наблюдаемым значениям Y(t). В некоторых случаях бывает полезным узнать, обладает ли выходной сигнал X(t) + w(t) локальным временем, поскольку локальное время может дать дополнительную информацию о поведении выходного сигнала

Пусть V(s), s G. [0,1], вещественнозначная борелевская функция. Ниже удобно интерпретировать переменную s как время. Обозначим через т(-) произвольную меру на сг-алгебре /3([0,1]) Рассмотрим функцию распределения

- /о' l(l/(s) < x)r(ds).

Определение 2.4.1. Если при каждом t мера $«(■) абсолютно непрерывна относительно меры Лебега А(-), то производная Радона - Никодима otT(t,и) — ~ц(и) называется локальным временем функции m(s)

Локальное время a(t,u), если оно существует, при каждом фиксированном t есть плотность времени пребывания. Это означает, что при каждом х £ R справедливо следующее равенство $t{x) — a(t,u)du.

Так как функция a (t, и) при каждом t определяется с точностью до множества нулевой лебеговой меры, то естественным является вопрос о выборе "хорошего"варианта (версии) локального времени Оказывается, можно всегда считать, что локальное время a(t, и) измеримо как функция двух переменных и является при каждом и неубывающей непрерывной справа функцией по i; меру на ст-алгебре борелевских множеств /3([0,1]) отрезка [0,1], которую она порождает, мы будем обозначать a(dt, и)

Задача возмущения была впервые поставлена в работе Гемана и Горовица10 Она состоит в следующем Пусть u{t), t £ [0,1], - вещественнозначная, борелевская функция, которая обладает "хорошим" локальным временем a(dt,x). Возьмем достаточно гладкую функцию /(t). Надо определить, будет ли сумма v{t) + f(t) обладать локальным временем. Решить эту задачу Геману и Горовицу удалось только в случае, когда f(t) непрерывно дифференцируема и v{t) обладает совместно непрерывным локальным временем at(x), таким, что отображение х —> щ{х) является абсолютно непрерывным для каждого i, и a't(x) — интегрируема на [0,1] х R.

Решение задачи возмущения для случайного процесса броуновского движения vt = u(t, ш) приведено в работе П-А.Мейера- пусть Wt - случайный

wGeman D, Horowitz J Occupation densities - Ann Probab 1980 V 8 N 1 P 1 67

процесс, согласованный с а алгебрами броуновского движения Vt, У которого почти все траектории являются функциями ограниченной вариации, то!да процесс vt +wt обладает локальным временем, в данной работе используется техника стохастического интегрирования. В настоящей работе решена задача возмущения в более общей постановке

Теорема 2.4.1. Пусть v(t), t G [0,1], - вещественнозначная измеримая функция, обладающая локальным временем a(t,u), совместно непрерывным по двум переменным, f(t) - гладкая, строго монотонно возрастающая функция, тогда v(t) + /(£). t 6 [0,1], обладает локальным временем.

Таким образом, получено решение задачи возмущения локальных времен для задачи фильтрации, т. е найдены условия, при которых "возмущенный" сигнал обладает локальным временем

Основные результаты работы

1 Построены явные формулы для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов. Они позволяют свести решение стохастического дифференциального уравнения для ненормализованной фильтрационной плотности к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных Найден аналитический метод решения некоторых классов стохастических дифференциальных уравнений в чапных производных

2 Получены некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах, позволяющие значительно упростить уравнение фильтрации и систему дифференциальных уравнений в частных производных, к которой сводится задача вычисления фильтрационной плотности

3 Решена задача возмущения локальных времен для выходного сигнала в задаче фильтрации, состоящая в том, что для аддитивной задачи фильтрации вычислено локальное время выходного сигнала в предположении, что шум обладает локальным временем.

Публикации по теме диссертации

1. Мухаметова ГЗ О проблеме возмущения локальных времен // Лобачевские чтения - 2002. Материалы Международной Молодежной научной школы-конференции - Казань Издательство Казанского матемтического общества, 2002 г. С. 65-66.

2 Мухаметова Г 3. Локальные времена и задача возмущения. // Вестник УГАТУ. - Уфа: УГАТУ, 2003 г. Т 4. N 2. С. 155-158.

3 Мухаметова Г.З. О явных формулах для решения задачи фильтрации диффузионных процессов // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова- Труды участников. Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004 г. С. 266-268.

4. Мухаметова Г.З О решениях нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. // Обозрение прикладной и промышленной математики Материалы Одиннадцатой Всероссийской Школы-коллоквиума по стохастическим методам. - Москва: ООО Редакция журнала "ОПиПМ", 2004 г. Том 11. Вып. 3. С. 511.

5 Мухаметова ГЗ Замена переменных в симметричных интегралах // Актуальные проблемы математики Математические модели современного естествознания Межвузовский научный сборник - Уфа- УГАТУ, 2004 г. С 178-184

6 Мухаметова ГЗ. Некоторые явные формулы для решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных.

/ Актуальные проблемы математики Математические модели современного естествознания Межвузовский научный сборник. - Уфа: УГАТУ, 2004 г С. 185-193.

7 Мухаметова Г 3 Решение задачи фильтрации диффузионных процессов // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвузовский научный сборник - Уфа- УГАТУ, 2004 г С 194 204.

8 Мухаметова Г 3 , Насыров Ф С О явных формулах для решений эволюционных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник УГАТУ. - Уфа- УГАТУ, 2004 г Т. 5 N 2(10) С 58 - 66.

9 Muhainetova G Z Smooth Perturbations of a Borel Function. // Колмогоров и современная математика. Сборник трудов Международной конференции - Москва: Механико-математический факультет МГУ им M В.Ломоносова, 2003 г. С. 514.

МУХАМЕТОВА Гульнара Зуфаровна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФИЛЬТРАЦИИ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЯВНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

05 13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 17 октября 2004 г Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman Суг. Уел печ. л. 1,0. Усл. кр.-отт. 0,9. Уч -изд л. 0,9. Тираж 100 экз Заказ N 637. Бесплатно. Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12

в- - 15 2

РНБ Русский фонд

2006-4 2072

Введение

Глава 1. Математическое моделирование фильтрации диффузионных процессов с использованием явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений

1.1. Основные обозначения и сведения

1.2. Постановка задачи фильтрации диффузионных процессов

1.3. Предварительные сведения о стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных

1.4. Одномерные линейные стохастические дифференциальные уравнения и их детерминированные аналоги

1.5. Построение явных формул для решений стохастических дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами

1.6. Явные формулы для решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с многомерным винеровским процессом

1.7. Нелинейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных

1.8. Построение решений задачи фильтрации диффузионных процессов с использованием решений систем дифференциальных уравнений в частных производных

Глава 2. Разработка математического аппарата для решения задачи фильтрации диффузионных процессов

2.1. Некоторые сведения о симметричных интегралах

2.2. Симметричные интегралы и замена переменных

2.3. Замена переменных в расширенных симметричных интегралах

2.4. Локальные времена и задача возмущения для выходного сигнала в задаче фильтрации

Многие математические и технические задачи допускают следующую математическую постановку в терминах теории случайных процессов. На некотором вероятностном пространстве ($7, F, Р) задан частично наблюдаемый случайный процесс Zt = (Xt,Yt), t > 0, у которого наблюдаться может лишь вторая компонента Yt, t > 0. В каждый момент времени t требуется, основываясь на наблюдениях У[о^] = {К,, 0 < s < £}, давать оценку (ненаблюдаемых) значений Xt. Эта задача оценивания (иначе - задача фильтрации) Xt по У[о,*] и является предметом рассмотрения настоящей работы.

Хорошо известно, что если E-Xf < оо, то оптимальной в среднеквадра-тическом смысле оценкой Xt является апостериорное среднее rrit = E(Xt\Ff), где Fj = g{uj • Ys,s < t} есть сг-алгебра, порожденная величинами Таким образом, решение задачи оптимальной (в сред-неквадратическом смысле) фильтрации сводится к отысканию условных математических ожиданий rrit = Е(Xt\Ff).

В общем случае эта оценка нелинейно зависит от наблюдений и называется фильтром. Формула Байеса для условного математического ожидания дана в [50] для случая, когда Xt и наблюдаемый "шум" независимы, однако она полезна только для случая фиксированного t. Когда наблюдения поступают непрерывно (как это и происходит в большинстве приложений), то требуется оценка, которую можно непрерывно корректировать, чтобы учитывать новые данные. Формула Байеса не позволяет проводить рекурсивных вычислений подобного рода, так как оценку в момент времени t нельзя эффективно использовать для вычисления оценки в момент t + h. Практический метод, который является также и математически более приемлимым, состоит в том, чтобы вывести стохастическое дифференциальное уравнение для вычисления фильтра и использовать стохастическое исчисление Ито.

В 40-х годах XX века японский математик К.Ито заложил основы теории стохастических дифференциальных уравнений (см. [45]), за которыми впоследствии укрепилось название "стохастические уравнения Ито". В дальнейшем теория уравнений Ито бурно развивалась и продолжает развиваться в настоящее время. С ее современным состоянием можно ознакомиться по монографиям И.И.Гихмана, А.В.Скорохода [5], К.Ито, Г.Маккина [12], Н.В.Крылова [17], Р.Ш.Липцера, А.Н.Ширяева [20], С.Ватанабе, Н.Икеды [1] и др.

Первоначально уравнения Ито предназначались для описания на вероятностном языке диффузии в газах и жидкостях (первые варианты такого описания были получены в работах Л.Башелье [37], А.Эйнштейна, М.Смолуховского [35], Н.Винера [63], И.И.Гихмана [4], [5] и др.) Однако впоследствии оказалось, что они являются очень удобным аппаратом для решения многих других физических и инженерных задач. В частности, эти уравнения с успехом применяются в теории управления динамическими системами по неполным данным (см., например, [14], [19], [33]).

Одним из важнейших этапов управления по неполным данным и является "фильтрация" - выделение полезной информации из комбинации " сигнал"+" шум". Эта задача принадлежит к числу классических задач статистики случайных процессов. Первые замечательные результаты, связанные с фильтрацией стационарных процессов, были получены А.Н.Колмогоровым [15] и Н.Винером [64]. После появления работы Р.Калмана и Р.Бьюси [51] в 60-70-х годах XX века бурно развивалась теория фильтрации для систем, динамика которых описывается уравнениями Ито.

Значительные результаты этой теории были получены Р.Ш.Липшером и А.Н.Ширяевым. В монографии [20] этих авторов подробно рассмотрены вопросы оптимальной фильтрации (а также смежные задачи интерполяции, экстраполяции, последовательного оценивания, различения гипотез и т. п.) для случая непрерывного времени. Привлекательность этих задач в случае непрерывного времени объясняется (помимо их собственного интереса) тем, что для них удается получать прозрачные формулировки и компактные формулы. Для условно-гауссовских процессов (0,£) получена замкнутая система уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Тем самым выделен очень широкий класс случайных процессов, для которых удается эффективным образом решить задачу построения оптимального нелинейного фильтра. Помимо фильтрации, в [20] изложены соответствующие результаты для задач интерполяции и экстраполяции. Даются применения теории фильтрации к разнообразным задачам статистики случайных процессов. Подробно рассмотрены задачи линейного оценивания, даются применения к некоторым задачам управления, теории информации. Даны применения к небайесовским задачам статистики (оценки максимального правдоподобия для коэффициентов линейной регрессии, последовательное оценивание и последовательное различение статистических гипотез).

Широкое распространение в приложениях получил метод фильтрации, применимый к процессам, которые описываются линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, так называемый метод Калмана-Бьюси (см. [20]).

Известно (см. [30]), что решение задачи фильтрации для процессов, описываемых уравнениями Ито, эквивалентно решению некоторого уравнения, называемого обычно уравнением фильтрации. Это уравнение фильтрации относится к совершенно новому типу, оно сочетает в себе черты уравнений Ито и уравнений в частных производных. Уравнения такого типа называют стохастическими дифференциальными уравнениями Ито в частных производных.

Как выяснилось, теория фильтрации не обладает монополией на использование уравнений такого типа. Они возникают во многих областях знания: физике, химии, биологии и других.

Наиболее подробно в настоящее время исследованы линейные стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, которые изучены в монографии Б.Л.Розовского [30]. Общий метод решения таких уравнений был предложен Ф.С.Насыровым [27]. Данный метод основан на теории потраекторных симметричных интегралов [26], которые в случае винеровского процесса являются детерминированными аналогами стохастических интегралов Стратоновича. Ф.С.Насырову с помощью техники симметричных интегралов удалось при определенных условиях свести решение стохастического дифференциального уравнения Ито в частных производных к решению некоторой системы (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных. Ранее в теории обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений случаи, когда известна явная формула для определения (сильного) решения стохастического дифференциального уравнения, были немногочисленны (см. [1]).

В настоящей работе для решения задачи фильтрации диффузионных процессов применяется новая техника симметричных интегралов по произвольной непрерывной функции, которые, с одной стороны, являются ослабленными вариантами интегралов типа Стилтьеса, а с другой стороны, в случае винеровского процесса, совпадают со стохастическими интегралами Стратоновича.

Цель и задачи исследований. Целью настоящей работы является построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. В работе решались следующие задачи.

1. Построение явных формул для решения задачи фильтрации диффузионных процессов в терминах систем (неслучайных) дифференциальных уравнений в частных производных и вывод явных формул для аналитических решений стохастических дифференциальных уравнений в частных производных в линейном и нелинейном случае.

2. Получение некоторых способов замены переменных в симметричном и расширенном симметричном интегралах, которые позволяют значительно упростить уравнение для фильтрационной плотности.

3. Решение задачи возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Построены явные формулы для решения одномерной задачи фильтрации диффузионных процессов. Они позволяют свести решение стохастического дифференциального уравнения для ненормализованной фильтрационной плотности к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных, с помощью которой можно найти явные формулы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов.

Пусть X(t), Y(t) - некоторые диффузионные процессы, которые задаются стохастическими дифференциальными уравнениями Ито: X(t) =X(0) + fic1(8iX(8),Y(s))d8+fid11(8,X(8),Y(s))dw(8) + + tid12(s,X(s),Y(s))dv(s),

Y(t) =Y(0) + ftc2(s,X(s),Y(s))ds + jtd22(s,Y(s))dv(s), где W(s) = (u;(s), - двумерный винеровский процесс.

Предположим, что диффузионный процесс Y(t) доступен наблюдениям, a X(t) — нет. Наша задача состоит в том, чтобы по значениям Y(t) построить условное распределение случайной величины X(t). Тогда интересующее нас математическое ожидание можно выразить следующим образом:

E(f(X(t))\frm) = /д/№(*(<) € dx\fr№) = JRf(x) p(t,x)dx, где p{t,x)dx = Р(X(t) £ dx\(3Ym), p(t,x) = (X(t) < x\(3Ym) - нормализованная фильтрационная плотность. Сама p(s, х) может быть найдена следующим образом: p(s, х) = rj(s, х) (Jr ф, x)dx) , где rj(s, х) - это ненормализованная фильтрационная плотность, она удовлетворяет так называемому уравнению фильтрации t ф, х) - 77(0, х) = Jq [(a(s, х, Y(s))rj(st х))хх - (b(s, х, Y(s))rj{s, х))х + J* [- ж, ж))® + h(s,x,Y(s))r](s,x) dv(s), ds+ где а = ~{(dn)2+ (du)2), b = ci, a = ^ h = Уравнение фильтрации после дифференцирования примет вид:

7](t, х) - 77(0, х) = J* [ajcxfs, х, Y(s))rj(s, х) + 2ax(s, х, Y(s))r?x(s, х)+ a(s, х, У (s))ijxx(s, х) - bx(s, х, Y(s))rj(s, х) - 6(s, х, Y(s))rjx(s, х) ds+ Jo [ ~ ax(S'Х' ~~ У /i(s,ж,y(s))77(s,х) dv(s).

Это уравнение является стохастическим дифференциальным уравнением Ито в частных производных. Таким образом, решение задачи фильтрации сводится к решению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. Решение этого уравнения r}(s,x) можно найти как решение r](s,x) = ip(s, х, v(s)) системы дифференциальных уравнений в частных производных ipu = —ах<р - а<рх + hip, 4>S = Vxx [а - \а2] + <рх [2ах - Ь- \аах + ah] + ахх — Ьх — ах)2 + hax - \аахх + \hxa - \h2] , с начальным условием 99(0, х, ^(0)) = т](0,х).

Найден аналитический метод решения некоторых классов стохастических дифференциальных уравнений в частных производных, с помощью которой и решается уравнение фильтрации.

2. Получены некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах, позволяющие значительно упростить уравнение фильтрации и систему диффенциальных уравнений в частных производных, к которой сводится задача вычисления фильтрационной плотности.

3. Решена задача возмущения локальных времен для выходного сигнала в задаче фильтрации, состоящая в том, что для аддитивной задачи фильтрации вычислено локальное время выходного сигнала в предположении, что "шум" обладает локальным временем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены явные формулы для решения задачи фильтрации диффузионных процессов, найдена методика решения стохастических дифференциальных уравнений в частных производных с линейными и нелинейными коэффициентами, которая необходима для решения задачи фильтрации, рассмотрены некоторые способы замены переменных в симметричных интегралах, позволяющие упростить уравнение фильтрации, и решена задача возмущения локальных времен для выходного сигнала задачи фильтрации.

1. Ватанабе С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. М.: Наука, 1986. 448 с.

2. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1996. 400 с.

3. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980. 440 с.

4. Гихман И.И. О некоторых дифференциальных уравнениях со случайными функциями. // Укр. мат. журн., 1950. Т. 2. N 3. С. 45-69.

5. Гихман И.И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. Ч. I. // Укр. мат. журн., 1950. Т. 2. N 4. С. 37-63. Ч. II. // Укр. мат. журн., 1951. Т. 3. N 3. С. 317-339.

6. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1971. 664 с.

7. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982. 611 с.

8. Гихман И.И., Скороход А.В. О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах. // Успехи мат. наук, 1996. Т. 21. N 5. С. 83-152.

9. Григелионис Б. О стохастических уравнениях нелинейной фильтрации случайных процессов. // Лит. мат. сб., 1972. V. 12. N 4. С. 37-51.

10. Дьячков A.M. О существовании интеграла Стилтьеса. // ДАН, 1996. Т. 350. N 2. С. 156-161.

11. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994. Т. 1. 368 с. Т. 2. 544 с.

12. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. М.: Мир, 1986. 329 с.

13. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. М.: Наука, 1987. 320 с.

14. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 650 с.

15. Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных и случайных последовательностей. // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1941. Т. 5. N 1. С. 3-14.

16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

17. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977. 399 с.

18. Крылов Н.В., Розовский Б.Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы. // Успехи мат. наук, 1982. Т. 37. N 6. С. 75-95.

19. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

20. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. 696 с.

21. Маккин Г. Стохастические интегралы. М.: Мир, 1972. 182 с.

22. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Вычайшая школа, 1974. 768 с.

23. Мацаев В.И., Соломяк М.З. Об условиях существования интеграла Стилтьеса. // Матем. сборник, 1972. Т. 88. N 4. С. 522-535

24. Мейер П.-А. Вероятность и потенциал. М.: Мир, 1973. 324 с.

25. Насыров Ф.С. О локальных временах для функций и случайных процессов 1. // Теория вероятн. и ее примен. 1995. Т. 40. Вып. 4. С. 798-812.

26. Насыров Ф.С. Симметричные интегралы и их применение в финансовой математике. // Труды МИАН, 2002. Т. 237. С. 265-278.

27. Насыров Ф.С. Симметричные интегралы и потраекторные аналоги стохастических дифференциальных уравнений. // Вестник УГАТУ.

28. Уфа: УГАТУ, 2003 г. Т. 4. N 2. С. 55-66.

29. Насыров Ф.С. Обобщенная формула Ито и стохастическое исчисление Ито для непредсказуемых функций. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова: Труды участников. -Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004 г. С. 269-271.

30. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

31. Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы. Линейная теория и приложения к статистике случайных процессов. М.: Наука, 1983. 208 с.

32. Скороход А.В. Линейные стохастические дифференциальные уравнения и стохастические полугруппы. // Успехи мат. наук, 1982. Т. 37. N 6. С. 157-183.

33. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной р-вариации. // Изв. вузов, 1965. Т. 2(45). С. 171-187.

34. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978. 316 с.

35. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989. 640 с.

36. Эйнштейн А., Смолуховский М. Броуновское движение. // Сб. ст. М.: ОНТИ, 1936. 287 с.

37. Berman S.M. Nonincrease almost everywhere of certain measurable function with applications to stochastic processes. // Proc. Amer. Math. Soc., 1983. V. 8. N 1. P. 141-144.

38. Bachelier L. Theorie de la speculation. // Ann. sci. Ecole norm super., 1900. V. 17. N 3. P. 21-86.

39. Cramer H. On some classes of non-stationary processe. // Proc. Foufth Berkeley Symp. Math. Statist. Probability. Vol. II. Berkeley and Los Angeles: University of California Press., 1961. P. 57-58.

40. Fleming W.H. Distributed parameter stochastic systems in populationbiology. // Lect. Notes Econ. and Math. Syst., 1975. V. 107. P. 179-191.

41. Follmer H., Protter P., Shiryayev A.N. Quadratic covariation and an extension of Ito's formula. // Bernoulli, 1995. V. 1. P. 149-169.

42. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications. Vol. 1. New York: Academic., 1975.

43. Geman D. A note on the continuity of local times. // Proc. Amer. Math. Soc., 1976. V. 57. N 4. P. 321-326.

44. Geman D., Horowitz J. Occupation densities. // Ann. Probab. 1980. V. 8. N 1. P. 1-67.

45. Geman D., Horowitz J. Smooth perturbations of a function with a smooth local time. // Trans. Amer. Math. Soc. V. 267. N 2. 1981. P. 517-530.

46. Ito K. On a stochastic integral equation. // Proc. Jap. Acad., 1946. V. 22. P. 32-35.

47. Ito K. Multiple Wiener integrals. // Journal of Math. Soc. Japan., 1951. V. 3. P. 157-169.

48. Ito K. Spectral type of the shift transformation of the differential processes with stationary increments. // Trans. Amer. Soc. 1656. V. 81. P. 253-263.

49. Ito K. Lectures on Stochastic Processes. // Tata Ins. Fundamental Research. Bombay, 1961.

50. Ito K., Nisio M. On stationary solutions of a stochastic differential equation. // Journal of Math. Kyoto Univ. 1964. V. 4. P. 1-75.

51. Kallianpur G., Struiedel C. Estimation of stochastic processes with additive white noise observation errors. // Ann. Math. Statist. 1968. V. 39. P 785-801.

52. Kalman R.E., Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory. // Trans. ASME Ser. D. J. Basic Eng., 1961. V. 83. P. 95-108.

53. Kondurar V. Sur l'integrale de Stieltjes. // Recueil Math., 1937. V. 2.1. P. 381-366.

54. Kunita H. Stochastic integrals based on martingales taking values in Hilbert space. // Nagoya Math. J., 1970. V. 38. N 1. P. 41-52.

55. Kunita H. Cauchy problem for stochastic partial differential equations arising in nonlinear filtring theory. // Syst. and Contr. Lect., 1981. V. 1. N 1. P. 37-41.

56. Kunita H. On the decomposition of solutions of stochastic differential equations: Proc. Durham Conf. Stoch. Integrals. // Lect. Notes in Math., 1981. V. 851. P. 213-255.

57. Levy P. Processus stochastiques et mourement Brownien. Paris, 1965.

58. Luxemburg W.A.J. Rearrangement-invariant Banah function spaces. // Proceedings of Simposium in Analisis Queen's University, June, 1967.

59. Meyer P.A. Integrales stochastiques I, II, III, IV. // Seminare de Probabilities I. Universite de Strasbourg. Lecture Notes 39. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1967. P. 72-162.

60. Meyer P.A. Sur un probleme de filtration. // Seminaire de Probabilites VII. Universite de Strasbourg. Lecture Notes 321. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1973. P. 223-247.

61. Meyer P.A. Un cours sur les integrales stochastiques. // Seminaire de Probabilities X. Lecture Notes in Math. V. 511, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1976.

62. Nasyrov F.S. On continuous local times for continuous functions and stochastic processes. // Journal of Math. Sciences. Proceedings of XVII Seminar on Stability Problems of Stochastic Models, 1997. V. 84. N 3. P. 1128-1137.

63. Nasyrov F.S. Quasi-integrals and stochastic integration. // Journal of Math. Sciences. Proceedings of XVII Seminar on Stability Problems of Stochastic Models, 1998. V. 91. N 3. P. 1962-1974.

64. Wiener N. Differential space. //J. Math. Phys., 1923. V. 2. P. 131-174.

65. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary-time series. // N. Y.: J. Wiley and Sons, 1949. 207 p.

66. Мухаметова Г.З. О проблеме возмущения локальных времен. // Лобачевские чтения 2002: Материалы Международной Молодежной научной школы-конференции. - Казань: Издательство Казанского математического общества, 2002 г. С. 65-66.

67. Мухаметова Г.З. Локальные времена и задача возмущения. // Вестник УГАТУ. Уфа: УГАТУ, 2003 г. Т. 4. N 2. С. 155-158.

68. Мухаметова Г.З. О явных формулах для решения задачи фильтрации диффузионных процессов. // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова: Труды участников. -Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004 г. С. 266-268.

69. Мухаметова Г.З. Замена переменных в симметричных интегралах. / / Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвузовский научный сборник. Уфа: УГАТУ, 2004 г. С. 178-184.

70. Мухаметова Г.З. Решение задачи фильтрации диффузионных процессов. / / Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвузовский научныйсборник. Уфа: УГАТУ, 2004 г. С. 194-204.

71. Мухаметова Г.З., Насыров Ф.С. О явных формулах для решений эволюционных стохастических дифференциальных уравнений в частных производных. // Вестник УГАТУ. Уфа: УГАТУ, 2004 г. Т. 5. N 2(10). С. 58-66.

72. Muhametova G.Z. Smooth Perturbations of a Borel Function. // Колмогоров и современная математика: Сборник трудов Международной конференции. Москва: Механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2003 г. С. 514.