автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Фильтрация процесса, управляющего дисперсией нестационарного гауссовского шума

Томский государственный университет

На правах рукописи УДК 519.2

Богданов Александр Леонидович

Фильтрация процесса, управляющего дисперсией нестационарного гауссовского шума

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: доктор физ. мат. наук, профессор Терпугов А.Ф.

Томск 2000

Работа выполнена в Томском государственном университете.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Смагин В.И. кандидат технических наук Якупов Р.Т.

Ведущее предприятие:

НИИ систем управления, волновых процессов и технологий при Сибирской аэрокосмической академии (г. Красноярск)

Защита состоится 23 марта в 14.00 на заседании Диссертационного Совета Д 063.53.03 при Томском государственном университете. С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат (в 2-х экземплярах, заверенные печатью) посылать по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ученому секретарю ТГУ Буровой Н.Ю.

Г,

/

Автореферат разослан

Ученый секретарь Дисс к.ф.-м.н., доцент

Тривоженко Б.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

При разработке систем связи возникают следующие задачи:

• изучение свойств помех, действующих в каналах связи и имеющих как естественное, так и техническое происхождение;

• разработка математических моделей таких помех, отражающих тот факт, что мощность этих помех может меняться со временем;

• разработка методов, позволяющих в режиме реального времени оценивать мощность этих помех.

Несмотря на обилие экспериментальных работ, посвященных этой проблеме, нет общепринятой математической модели этих помех, учитывающей то, что мощность этих помех изменяется со временем случайным образом, а анализ функционирования многих технических систем и оценка в режиме реального времени мощности этих помех невозможны без учета этой изменчивости. Поэтому проблема разработки таких моделей и, на их основе, алгоритмов оценки текущего значения мощности помехи остается актуальной и в настоящее время.

Гауссовские случайные процессы являются основой теории выделения и обнаружения сигналов в шумах, развитой для нужд техники и радиолокации, и поэтому в качестве модели помех, мощность которых изменяется со временем случайным образом, можно предложить модель дважды стохастического гауссовского случайного процесса, дисперсия которого зависит от другого процесса, который в данной работе выступает под именем управляющего процесса. Сам управляющий процесс предполагается либо диффузионным марковским, либо чисто разрывным марковским случайным процессом. Автору представляется, что такая модель может достаточно адекватно описывать реальность и поэтому заслуживает изучения как сама по себе, так и в качестве основы для выработки алгоритмов фильтрации мощности шума, работающих в реальном времени. Цель работы

При выполнении данной работы ставились следующие задачи:

1. Усовершенствовать математическую модель помех, действующих в канале связи, предложенную Т. В. Калашниковой, применительно к коррелированным гауссовским шумам, дисперсия которых зависит от диффузионного процесса с известными коэффициентами сноса и диффузии. , »

2. На основе этой модели построить алгоритмы фильтрации управляющего процесса из круга следующих алгоритмов:

• алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов;

• нормального (гауссовского) приближения для апостериорной плотности вероятностей управляющего процесса, приводящим к алгоритмам, подобным фильтру Калмана;

• линейного алгоритма фильтрации текущего значения дисперсии гауссовского шума.

3. Методом имитационного моделирования проверить работоспособность предложенных алгоритмов.

4. Разработать программное обеспечение, реализующее линейные алгоритмы и алгоритмы нормального приближения, ориентированные на персональные ЭВМ.

Состояние проблемы

Одним из сравнительно новых направлений в теории случайных процессов и математической статистике является исследование и оценка характеристик так называемых дважды стохастических процессов. В Томском государственном университете подобные исследования ведутся под руководством профессоров Горцева A.M. и Терпугова А.Ф..

Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: берется какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, и эти характеристики делаются зависимыми от другого случайного процесса, который обычно называют управляющим процессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим случайным процессом.

В настоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов. Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастический пуас-соновский поток событий. Этот поток событий имеет следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий интенсивности М£(0)> интенсивность которого зависит от управляющего процесса £,(/). Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем; диффузионный марковский процесс; чисто разрывный марковский процесс. Такие дважды стохастические потоки успешно применялись в качестве математической модели для сигналов, получающихся при лазерном зондировании атмосферы, прохождении излучения через вещество и так далее. Они нашли также применение при

описании систем массового обслуживания, функционирующих в изменяющихся условиях.

Вторым классом дважды стохастических процессов, также уже достаточно подробно исследованным, являются дважды стохастические авторегрессионые модели. В них берется процесс авторегрессии какого-то порядка, и коэффициенты регрессии этого процесса считаются зависящими от другого случайного процесса. Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом. В литературе исследованы характеристики таких процессов, оценка параметров управляющего процесса, фильтрации таких процессов.

В настоящей работе рассматриваются оптимальные и субоптимальные алгоритмы фильтрации дважды стохастического гауссовского случайного процесса. В этом смысле, она является продолжением и развитием работы Т. В. Калашниковой, в которой исследованы алгоритмы линейной фильтрации дисперсии белого гауссовского шума, дисперсия которого зависит от квадрата гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и известной функцией корреляции. Основные отличия данной работы от работ Т.В. Калашниковой следующие:

1. Для белого гауссовского шума рассмотрены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации и их нормальная аппроксимация.

2. Рассмотрена модель гауссовского процесса в виде авторегрессио-ной модели первого порядка, в которой от управляющего процесса зависит сомножитель, стоящий перед стохастическим слагаемым. Рассмотрены вопросы оптимальной линейной и нелинейной фильтрации этого коэффициента.

3. Алгоритмы линейной фильтрации обобщены на многомерный случай.

Научная новизна работы

По мнению автора, научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем:

1. Для случая некоррелированного гауссовского процесса, дисперсия которого зависит от диффузионного марковского процесса, получены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации управляющего процесса и уравнения для апостериорного среднего и дисперсии управляющего процесса в нормальном приближении. Эти алгоритмы получены в двух вариантах - при дискретных измерениях и измерениях в непрерывном времени.

2. Предложена модель нестационарного гауссовского шума в виде ав-торегрессионого процесса первого порядка, у которого коэффици-

ент при стохастическом слагаемом зависит от управляющего процесса, который считается либо марковским процессом, либо стационарным гауссовским процессом с известной функцией корреляции. В рамках данной модели получены:

• алгоритмы оптимальной линейной фильтрации значений коэффициента при стохастическом слагаемом;

• алгоритм оптимальной нелинейной фильтрации управляющего процесса;

• уравнение для апостериорного среднего и дисперсии управляющего процесса в рамках нормального приближения.

Эти алгоритмы получены также в двух вариантах - при дискретных измерениях и измерениях в непрерывном времени. 3. Большая часть результатов, изложенных в предыдущем пункте,

перенесена на многомерный случай. Основные научные положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты работы:

1. Вид уравнений (в дискретном и непрерывном времени), определяющих апостериорную плотность вероятностей управляющего процесса для следующих случаев:

• некоррелированный гауссовский процесс;

• гауссовский процесс в виде авторегресс.ионого процесса первого порядка, у которого от управляющего процесса зависит сомножитель Перед стохастическим слагаемым;

2. Вид уравнений (в дискретном и непрерывном времени) определяющих апостериорные среднее и дисперсию апостериорной плотности вероятностей управляющего процесса в нормальном приближении в тех же случаях, что и в предыдущем пункте.

3. Вид уравнений, определяющих весовые коэффициенты (в дискретном времени) или весовую функцию (в непрерывном времени) оптимального линейного фильтра для фильтрации дисперсии гаус-совского процесса, когда этот процесс является авторегрессионым процессом первого порядка, или произвольного порядка, у которого управляющий процесс, входящий в сомножитель перед стохастическим слагаемым, является гауссовским случайным процессом с известной функцией корреляции.

4. Явное решение этих уравнений в случае, когда управляющий процесс является гауссовским случайным процессом с экспоненциальной функцией корреляции.

Методика исследования

Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории условных марковских процессов, теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов. Правиль-

ность и работоспособность линейных алгоритмов фильтрации, а также алгоритмов фильтрации, основанных на нормальной аппроксимации апостериорной плотности вероятностей, подтверждается результатами имитационного моделирования этих алгоритмов на ЭВМ. Практическая ценность

Данная работа выполнялась в инициативном порядке в плане продолжения тематики хоздоговорных работ, финансирование которых было прекращено, а также в соответствии с планом научно - исследовательских работ факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Результаты исследований могут найти применение при построении систем связи, адаптирующихся к уровню мощности шума в канале связи, а также при анализе экспериментальных данных о шумах, действующих в реальных каналах связи. Реализация полученных результатов

Разработанные алгоритмы фильтрации мощности шума в канале связи реализованы программно в виде комплекса программ. Публикации

Основные результаты работы опубликованы в следующих статьях:

1. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного дважды стохастического гауссовского шума //Известия высших учебных заведений. Физика. - 1998. № 4. - С. 15 -22

2. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного стохастического гауссовского шума //Известия высших учебных заведений. Физика. - 1999. № 4. — С. 3 - 7

3. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Оптимальная нелинейная фильтрация мощности нестационарного гауссовского шума //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сборник статей /под ред. проф. А.Ф. Терпугова - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. -С.3-11.

Апробация работы

Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на

1. Научно-практической конференции "Наука, образование, производство: интеграция и новые технологии" 18-19 ноября, 1997, Анжеро-Судженск;

2. Научно-методической конференции "Наука и образование: пути интеграции", Анжеро-Судженск, 1998;

3. Научно-теоретической конференции "Образование и наука на пороге третьего тысячелетия: научно-теоретическая конференция" Барнаул, 1999.

Содержание работы

Во введении показана актуальность работы; формулируется цель работы; описывается состояние проблемы на текущий момент времени; указывается место данной работы среди других работ по данной тематике; сформулированы основные научные положения, выносимые на защиту; описывается методика исследования; указывается практическая ценность полученных результатов. Также приводится краткое изложение результатов работы по главам.

В первой главе рассматривается оптимальная нелинейная фильтрация дисперсии некоррелированного гауссовского процесса. В разделе 1.1 излагаются основные соображения по построению модели дважды стохастического шума. Предполагается, что прибором наблюдается шум, присутствующий в канале связи, интенсивность которого меняется в соответствии с некоторой, ненаблюдаемой явно, техногенной помехой. Наблюдаемый шум обозначается как х((), а ненаблюдаемая помеха как ,у(?). Измерения шума производятся через равные промежутки времени шума. Относительно измеряемых значений х., / = 1, N предполагается, что величины xi являются нормальными случайными величинами с математическим ожиданием М{хг} = 0 и дисперсией £>{х;} = о2 + /(у(0) и являются независимыми при фиксированной реализации >>(/).

Предположение о независимости значений xi при фиксированной реализации процесса у{1) говорит о том, что мы имеем дело с широкополосным шумом. Если бы дисперсия шума £>{х;} была константой, т.е. £>{;сг } = а2, то такой процесс в радиотехнике носил бы имя белого гауссовского шума. Наличие слагаемого /(>'(0) делает дисперсию этого шума переменной, да и сам процесс х(7) перестает быть гауссовским, если у(1) - случайный процесс.

Что касается вида дисперсии П{хг } = а2 + /0;(0) > 10 пеРвое слагаемое можно трактовать как дисперсию ошибок измерений процесса х{1) измерительным устройством или как мощность естественной компоненты шума (космические шумы, шумы атмосферы,...), кото-

РОССИЙСКАЯ

рая почти не изменяется во времени. Второе

это мощность шумов технического происхождения. Предполагается, что /(.у(О) - известная функция, в аргументе которой стоит некоторый процесс у(7), который в дальнейшем будет называться управляющим процессом. Чтобы применить теорию оптимальной фильтрации необходимо считать, что у{1) - является марковским процессом.

Задачей фильтрации являлось нахождение = м'СИ*' ) -

апостериорной плотности вероятностей значений процесса у(/) в момент времени I при условии, что наблюдалась реализация процесса х(7) до момента / включительно по измерениям шума .

В разделе 1.2 конкретизировался вид ненаблюдаемого управляющего процесса у{1) и строились алгоритмы оптимальной фильтрации и гауссовской аппроксимации в дискретном и непрерывном времени. Управляющий процесс считался либо диффузионным марковским с известными коэффициентами сноса и диффузии

Ь(у^), либо чисто разрывным управляющим марковским с переходной плотностью вероятностей

где /(я,у'^,у) - плотность распределения значений процесса у{{) в момент времени / при условии, что в момент 5 значение процесса было у'; ф(Ху')- плотность распределения значений процесса у(Г) в момент времени I при условии, что в момент í произошел скачек и в момент t- 0 значение процесса было у'; a(í,y)Aí- вероятность того, что за время процесс у(() претерпит изменение.

Для случая диффузионного управляющего процесса алгоритм оптимальной фильтрации выглядит в дискретном времени следующим образом:

1. на интервале между измерениями апостериорная плотность вероятностей м-'Су,/) значений процесса у{1:) определяется решением уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка

= -1 {а(у, 0 "(у, 0} + \ ~т {Ь(у, *МУ, 0} (1)

с начальным и граничными условиями

Чу,0(=г* =ЧуЛ+0), (2)

т^(±00,/) = о,

= О, (3)

_у=±со

ду

где 7^ - момент измерения. 2. в моменты измерений Тк апостериорная плотность вероятностей I) пересчитывается по формуле Байеса:

м>(у, Тк + 0) = -р-, (4)

)р{х\у)м>{у,Тк-0)йу

где 7^-0 и 7^+0 - моменты времени непосредственно перед и непосредственно после момента измерений.

Для случая чисто разрывного управляющего процесса алгоритм оптимальной фильтрации в дискретном времени выглядит следующим образом:

1. на интервале между измерениями апостериорная плотность вероятностей м>(уу1~) значений процесса у(1) определяется решением уравнения

^^ = -а(1,у)м>(у,1) +1 (5)

с начальным и граничными условиями (2), (3);

2. - в моменты измерений Тк апостериорная плотность вероятностей

м>(у,() пересчитывается по формуле Байеса (4).

Для рассмотренных случаев построены алгоритмы гауссовской аппроксимации.

В разделе 1.3 рассматривается вопрос перехода к непрерывному времени. Переход к непрерывному времени в рассматриваемой модели столкнулся с определенными принципиальными трудностями. Поэтому целью исследования стало найти модель наблюдаемого шума , в которой предельный переход стал бы возможен и приводил к невырожденным результатам. Было предложено, считая что М - интервал времени между измерениями, брать дисперсию £){х(/)} измеряемого процесса х(() в виде

/){х(0Ь О2

где а - некоторый неизвестный параметр, значение которого необходимо установить.

Отсутствие Д?а в слагаемом при а2 можно объяснить в той ситуации, когда с2 есть дисперсия ошибки измерений самим измеряющим устройством. Эти ошибки можно считать некоррелированными.

Что касается параметра а, стоящего в Aía, то целью исследований как раз и являлось выяснение того, при каком значении а после предельного перехода а( -» 0 получится невырожденный результат, и получение самого уравнения для оптимальной фильтрации.

Оказалось, что невырожденный результат получается при а = 1. Для диффузионного управляющего процесса уравнение определяющее апостериорную плотность вероятностей значений процесса

ги(у, имеет вид:

" ^ {а(у> *)м,{у> +{ъ{у> • (6)

где 7(0=//(У^с,^-

Начальное условие для уравнения >1>(у>щ _ = И'оОО > ^

граничные условия имеют вид (3).

Для данного случая построен алгоритм гассовской аппроксимации и проведено имитационное моделирование для частного случая, когда

/Су) = у2, Ф, 0 = -оу. Ну, 0 = ъ, (8)

где а и ъ - некоторые константы.

Для случая чисто разрывного управляющего процесса уравнение определяющее апостериорную плотность вероятностей значений процесса у{{) имеет вид:

Х2(1)-СГ2 -

+ У4 (/ОО-ЛОЖУ.О- (9)

2сг

Начальное и граничные условия имеют вид (7), (3), соответственно.

Во второй главе рассматривается линейная и нелинейная фильтрация дисперсии коррелированного гауссовского процесса в дискретном и непрерывном времени.

В разделе 2.1 излагаются основные соображения по построению модели наблюдаемого процесса. Белый гауссовский шум является некоторой, достаточно абстрактной, моделью реальных шумов, так как реальные шумы имеют всегда ограниченную ширину спектра, определяемую, например, полосой пропускания входного устройства. Поэтому представляет интерес рассмотрение вопросов фильтрации дисперсии шума, занимающего ограниченную полосу частот. Одной из широко используемых моделей описания таких процессов является авто-регрессионая модель. Обобщение этой модели на случай, когда дисперсия процесса х(7) зависит от управляющего процесса у(1:), бралось в следующем виде:

хг =ахгЧ +пг^а2+у^ , где хг - есть значение процесса *(/) в момент времени I (интервал между измерениями А/ = 1); п{ - последовательность независимых стандартных нормальных случайных величин (т.е. нормальных случайных величин с М{п1} - 0 и £>{>?,} = 1); а-некоторый параметр (]а|<1); определяющий ширину спектра мощности; а -некоторая константа; у1 - значение управляющего процесса у(1) в момент времени I.

Задача фильтрации формулировалась следующим образом: пусть известны значения процесса хг для -со <1<Т. Необходимо

построить оценку величины <з2т=а2+у1 (или величины

у1 = а2т - о2) в момент времени Т.

В разделе 2.2 рассматриваются вопросы оптимальной линейной фильтрации как в дискретном, так и в непрерывном времени. В случае дискретного времени фильтр брался в следующем виде:

со

¿Г +£.. (1°)

¿=о

где у г - некоторые весовые коэффициенты; Ь - некоторая постоянная.

В качестве критерия качества фильтрации брался критерий среднеквадратичной погрешности, и неизвестные параметры у.

7 = 0, оо и Ь находились из условия минимума среднеквадратичной ошибки, а именно

е2 = м{(а2-о2г)2|->шт. (11)

Было показано, что неизвестные параметры у J определяются решением следующей системы уравнений

СО

Ту Л=я,,./ = бЯ (12)

¿=0

где

СО / . \

Л =2Хаад а2Н((а2 +ад)2 + 2/?2(£ - /)| + К2 (к -/+|/ - /))!,

к,1=0 ■ '

со

Bj=2Za2kR2(k + j)

Ь=0

а константа Ь имеет вид

v 1 — ix !=0 у

В частном случае, когда Л2 (/' - у) =' , где ^ - некоторый

параметр, определяющий время корреляции управляющего процесса ^-дисперсия управляющего процесса, был найден явный вид неизвестных параметров у ., константы Ь, величины ошибки фильтрации и проведено имитационное моделирование.

В случае непрерывного времени наблюдаемый процесс брался в виде

£&•(/) = -ах(?)Ш + л/ст2 + у2 .

где а - некоторая константа, у(7) - значение управляющего стационарного гауссовского процесса у{() с корреляционной функцией К{т)

в момент времени I; м>(() -стандартный винеровский процесс; а2 -

некоторая постоянная.

Задача фильтрации формулировалась аналогичным образом: по

наблюдаемой реализации х(1) (/ = -со,Г) построить оценку параметра а2(Т) = о2 +у2(Т). Оценка искалась в виде:

62(T) = \y(í)x\T-t)dí + L. (13)

о

Неизвестная весовая функция у (() и константа L находились из критерия оптимальности (11).

Было показано, что y(t) определяется решением следующего

интегрального уравнения:

00

Jy(/)A(s,t)dt = B(s), s = 0,ас, (14)

о

где

T-t T-t

A(t,s) = 2 J +mf +2R2(p~q))c^dq +

-со —со

T-tT-s

+ 2 J ¡e-2a(T-s-p)e~2a{T-t^R2(p-q)dpdqlfxnn s<t,

Ts

B(s) = 2 ¡R2 (T-p)e-2a(T-s-p)dp,

-CO

а константа L имеет вид

f 1 " L = (g2 + Ä(0))|^1 ~ ^JyCMj ■

В разделе 2.3 рассматриваются вопросы оптимальной нелинейной фильтрации в дискретном и непрерывном времени.

В случае дискретного времени считалось, что наблюдения за процессом x(t) ведутся через равные интервалы времени А/. Предполагалось, что х(() описывается следующим уравнением

Ах(/) = д(х, + Л/сг2 + /(у)Ди>,

где - коэффициент сноса процесса <з2 - некоторая кон-

станта, характеризующая коэффициент диффузии процесса х(1) при отсутствии процесса _>'(/); / (у) - некоторая функция от ненаблюдаемого процесса у(1); Д>у - приращение стандартного винеровского процесса.

Относительно ненаблюдаемого процесса делались предположения аналогичные предположениям из первой главы, т.е. рассматривались случаи когда у(() является диффузионным марковским с известными коэффициентами сноса и диффузии и чисто разрывным с заданной переходной плотностью вероятностей.

Алгоритм фильтрации в дискретном времени выглядит следующим образом:

1. на интервале между измерениями апостериорная плотность вероятностей ч>(уЛ) значений процесса у(() определяется решением уравнения (1) для случая диффузионного марковского процесса и решением уравнения (5) для случая чисто разрывного марковского процесса с начальным (2) и граничными условиями (3).

2. в моменты измерений Тк апостериорная плотность вероятностей М}(.У, 0 пересчитывается по формуле Байеса (4).

Для рассмотренных случаев построены алгоритмы гауссовской аппроксимации.

В случае непрерывного времени считалось, что наблюдаемый процесс х(1) описывается следующим уравнением:

¿¿ф) = q(x, + •

Смысл входящих в уравнение компонент оставался прежним.

Рассуждения, использующиеся при выводе уравнения, определяющего апостериорную плотность вероятностей \\>(у,{) значений

процесса ХО > повторяют рассуждения аналогичного случая первой главы.

Для диффузионного марковского управляющего процесса было получено уравнение, определяющее м>(у^):

^^ = Цу, 0 + [пу) - Щи>(у, 0,

где

Для случая чисто разрывного марковского управляющего процесса уравнение для м>{у,1) имеет вид

^^ = -а^М^О + \^,у')ф\у>^(у'^)с1у' +

Начальное и граничные условия совпадают с (7) и (3), соответственно.

Для случая диффузионного марковского управляющего процесса построен алгоритм гауссовской аппроксимации. Для частного случая (8) проведено его имитационное моделирование.

В третьей главе производится обобщение результатов линейной фильтрации на случай авторегрессионной модели произвольного порядка.

В разделе 3.1 рассматривается математическая модель процесса в дискретном времени. Считается , что значения х1 процесса х(/),

измеряемого через равные промежутки времени &, представляются в виде

= рл-1 +рг*»-2+-+р***-* + п,' (15)

где р1,р2,...,рк - некоторые коэффициенты, а пг ~ независимые стандартные нормальные случайные величины.

Задача фильтрации - по наблюдаемой реализации

(I = -оо5Г) построить оценку параметра а2(7) = сг2 +у2(Т). Оценка искалась в виде

00

бг +

;=0

где у{ -некоторые весовые коэффициенты;Ь -некоторая постоянная. Критерий оптимальности совпадал с (11).

В предположении, что все корни характеристического уравнения

для процесса (15) удовлетворяют условию |-г,|<1, 1 = 1,к, т.е. в предположении, что авторегрессионая модель (15) является устойчивой, значения х1 записывались в виде

СО__

1=0

где коэффициенты ai могут быть выражены в явном виде через корни характеристического уравнения. В дальнейшем все выкладки производились именно с этой формой представления процесса х(/) .

В разделе 3.2 было показано, что неизвестные параметры у . определяются решением системы уравнений (12), где

СО

A^l^alallfik-l+li-j\) +

к, 1=0

kj=о v '

со

Bj=2Za2kR2(j + k),

к= О

Оптимальное значение константы L имеет вид:

[СО 00 N

;=0 к=0 J

Значение минимальной среднеквадратичной ошибки фильтрации равно

[со оо ^

;= О /Sr=0 J

В разделе 3.3 коэффициенты ак и корреляционная функция управляющего процесса i?2(x) брались в виде

р=i

где z - р-й корень характеристического уравнения; - константы,

также выражающиеся через корни характеристического уравнения z ,

А - некоторый параметр, определяющий время корреляции управляющего процесса y(t); R0 - дисперсия управляющего процесса.

Был найден явный вид неизвестных параметров у ., константы

L и величины ошибки фильтрации.

В разделе 3.4 рассматривается линейная фильтрация управляющего процесса в непрерывном времени.

Считалось, что процесс х(/) определяется следующим уравнением:

<ю

Г ■ 7--

х(/) = I а(х)^о~ +>""(/- т)(3м>{1 - х),

о

где - стандартный винеровский процесс.

Задача фильтрации формулировалась аналогичным образом: по наблюдаемой реализации х{1) (I = - оо, Т) построить оценку параметра а2 (7) =о2 +у2(Т). Оценка искалась в виде

со

о

Неизвестная весовая функция у (7) и константа Ь находились из критерия оптимальности (11).

Было показано, что у (7) определяется решением интегрального уравнения (14), где

А(1, ¿) = 211 а2{р)а2 (<7)Я2 - .$) + ^ - р)йрйц +

о о

ОО СО

Л

5(5) = 2{а2(р)Л2(5 + ^)ф,

о

оптимальное значение Ь имеет вид

[оо со

0 0 ^ Значение минимальной среднеквадратичной ошибки фильтрации равно

( оо а> Л

52 = 2 К2 (0) -11 у0)а2 (р)К2 (5 + р)Жф .

^ о о '

Аналогично рассмотренному выше частному случаю является случай, когда функция а{1) и функция корреляции управляющего процесса

y(t) имеют вид

û(О = HQ ехр{-а;| î |}, R2 (?) = Я2 ехр{- Al 11},

!=i

где Qj, аг, R02, А0 - некоторые константы, были найдены явный вид неизвестных параметров у ., константа L и величина ошибки фильтрации.

В приложении 1 дается вывод системы уравнений для моментов более высоких порядков, которые можно применять для повышения точности фильтрации и частным видом которых являются уравнения для апостериорного среднего и дисперсии при гауссовской аппроксимации.

В приложении 2 описывается программное обеспечение для персонального компьютера, реализующее разработанные алгоритмы фильтрации.

Так как основным назначением программы является демонстрация работы алгоритмов фильтрации, а не обработка реальных данных, то в ней отсутствуют средства ввода и анализа данных пользователя. Тем не менее, в программе присутствует возможность экспорта данных, как исходных процессов, так и результатов для того, чтобы

иметь возможность анализировать их в других математических пакетах при необходимости.

Filters Demo Project Рамп

•i иль-рициа

Ш^ШШтшШ® inriof і ианин-

r,n\nn

і piMtir

яшрвр^

Управляющий п

Реализованы следующие алгоритмы:

• алгоритм линейной фильтрации в дискретном времени в модели авторегрессии первого порядка;

• алгоритм гауссовской аппроксимации нелинейной фильтрации в непрерывном времени в модели коррелированного гауссовского шума;

• алгоритм гауссовской аппроксимации нелинейной фильтрации в непрерывном времени в модели некоррелированного гауссовского шума;

Изменением в интерактивном режиме характеристик исходных процессов и параметров фильтров можно наблюдать результаты работы алгоритмов фильтрации в реальном времени, оценивать их качество, чувствительность и устойчивость к входным данным.

Пинейнаа фильтрация

/іравіял^и.іроиос^ЧСЙ _

I 'LMPHi гнгіп

рІЗШЗЩІр

»-M

jtoiMwiiwffi

Jap®!®'Il

Д ''"ечрриг

-4 1W7IN- I .i,0m~ r4na)i met n t rr

^онстдатувстгмэ«уявй»э ,0 00100

ІоооомГ

Jk аэрировать- ^ I ßc5pec ]

jj ИТ J-_

¿»v** 1

X Закрыть

В приложении 3 приводятся графики, наглядно демонстрирующие работу фильтров.

Линейная фильтрация N =500, & =5,

а = 0.001, ¿ = 0.001, у0 =0.0, «7 = 0.1, а2 =0.001, х0 =0

Исходные процессы Линейная фильтрация

Нелинейная Фильтрация

(случай коррелированного наблюдаемого процесса) N = 1000, А/ =0.01,

а- 1.16, Ъ = 2.17, у0 =0.1, ц = 0.0, ст2 =0.08, х0 =1.0, т0 = 1.0, £>0 =0.00001

Исходные процессы Нелинейная фильтрация

Нелинейная Фильтрация

(случай некоррелированного наблюдаемого процесса)

N = 1000, А/=0.01,

а = 1.63, Ъ — 0.41, у0 =0.1, ^ = 1.5, а2 =0.1, х0 = 1.0 т0 = 0.7, Ц, = 0.00001

,1 1 , -V« 1

•1Ш О КГ 2Ю 32 <0 Щ) £Ш 7Ш ею ЯП яш . ш

Время

'г]_1 1" — -у1» -Оценка 1

1

1

1ЛГ ш 1

Исходные процессы Нелинейная фильтрация

И

Введение.

1. Оптимальная нелинейная фильтрация дисперсии некоррелированного гауссовского процесса.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Фильтрация в модели с дискретным временем.

1.2.1. Случай диффузионного управляющего процесса.

1.2.2. Случай чисто разрывного марковского управляющего процесса.

1.3 Фильтрация в модели с непрерывным временем.

1.3.1. Случай диффузионного управляющего процесса.

1.3.2. Случай чисто разрывного марковского управляющего процесса.

1.4. Резюме.

2. Фильтрация дисперсии коррелированного гауссовского процесса.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Линейная фильтрация.

2.2.1. Фильтрация в дискретном времени.

2.2.2. Фильтрация в непрерывном времени.

2.3. Нелинейная фильтрация.

2.3.1. Фильтрация в дискретном времени.

2.3.2. Фильтрация в непрерывном времени.

2.4. Имитационное моделирование.

2.5. Резюме.

3. Фильтрация дисперсии гауссовского шума в многомерном случае.

3.1 Математическая модель процесса в дискретном времени.

3.2 Линейная фильтрация управляющего процесса в многомерном случае.

3.3 Фильтрация управляющего процесса в случае многомерной авторегрессионой модели.

3.4 Фильтрация управляющего процесса в непрерывном времени.

3.5. Резюме.

Актуальность работы

При разработке систем связи возникают следующие задачи:

- изучение свойств помех, действующих в каналах связи и имеющих как естественное, так и техническое происхождение;

- разработка математических моделей таких помех, отражающих тот факт, что мощность этих помех может меняться со временем;

- разработка методов, позволяющих в режиме реального времени оценивать мощность этих помех.

Несмотря на обилие экспериментальных работ, посвященных этой проблеме [3, 4, 10, 24, 38, 41, 42, 63, 74], нет общепринятой математической модели этих помех, учитывающей то, что мощность этих помех изменяется со временем случайным образом, а анализ функционирования многих технических систем и оценка в режиме реального времени мощности этих помех невозможны без учета этой изменчивости. Поэтому проблема разработки таких моделей и, на их основе, алгоритмов оценки текущего значения мощности помехи остается актуальной и в настоящее время.

Гауссовские случайные процессы являются основой теории выделения и обнаружения сигналов в шумах, развитой для нужд техники и радиолокации, и поэтому в качестве модели помех, мощность которых изменяется со временем случайным образом, можно предложить модель дважды стохастического гауссовского случайного процесса, дисперсия которого зависит от другого процесса, который в данной работе выступает под именем управляющего процесса. Сам управляющий процесс предполагается диффузионным случайным процессом. Автору представляется, что такая модель может достаточно адекватно описывать реальность и поэтому заслуживает изучения как сама по себе, так и в качестве основы для выработки алгоритмов фильтрации мощности шума, работающих в реальном времени. Цель работы

При выполнении данной работы ставились следующие задачи:

1. Усовершенствовать математическую модель помех, действующих в канале связи, предложенную Т.В. Калашниковой [32], применительно к коррелированным гауссовским шумам, дисперсия которых зависит от диффузионного процесса с известными коэффициентами сноса и диффузии.

2. На основе этой модели построить алгоритмы фильтрации управляющего процесса из круга следующих алгоритмов:

- алгоритмов оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов;

- нормального (гауссовского) приближения для апостериорной плотности вероятностей управляющего процесса, приводящим к алгоритмам, подобным фильтру Кал-мана;

- линейного алгоритма фильтрации текущего значения дисперсии гауссовского шума.

3. Методом имитационного моделирования проверить работоспособность предложенных алгоритмов.

4. Разработать программное обеспечение, реализующее линейные алгоритмы и алгоритмы нормального приближения, ориентированные на персональные ЭВМ.

Состояние проблемы

Одним из сравнительно новых направлений в теории случайных процессов и ма- ' тематической статистике является исследование и оценка характеристик так называемых дважды стохастических процессов. В Томском государственном университете подобные исследования ведутся под руководством профессоров Горцева A.M. и Терпугова А.Ф.

Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: берется какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, и эти характеристики делаются зависимыми от другого случайного процесса, который обычно называют управляющим процессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим случайным процессом [52].

В настоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов. Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастический пуассоновский поток событий [15 - 23, 34, 47, 49, 69, 70]. Этот поток событий имеет следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий интенсивности )), интенсивность которого зависит от управляющего процесса <^(7) . Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем; диффузионный марковский процесс; чисто разрывный марковский процесс. Такие дважды стохастические потоки успешно применялись в качестве математической модели для сигналов, получающихся при лазерном зондировании атмосферы, прохождении излучения через вещество и так далее [2, 65, 71]. Они нашли также применение при описании систем массового обслуживания, функционирующих в изменяющихся условиях [43 - 46].

В работах, посвященных этим потокам, рассматривается широкий круг вопросов - изучение характеристик этих потоков [52, 66, 72], оценка характеристик управляющего процесса [15 - 23, 30, 31], фильтрация интенсивности [35, 47, 48, 49, 50, 57, 58, 59] и так далее.

Вторым классом дважды стохастических процессов, также уже достаточно подробно исследованным, являются дважды стохастические авторегрессионые модели. В них берется процесс авторегрессии какого-то порядка, и коэффициенты регрессии этого процесса считаются зависящими от другого случайного процесса. Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом [73]. В литературе исследованы характеристики таких процессов [26, 28, 29, 68], оценка параметров управляющего процесса [26, 27, 67], фильтрации таких процессов [14, 39, 51, 56]. Однако автору неизвестны работы, в которых управляющий процесс вводился бы в сомножитель, стоящий перед стохастической частью таких процессов, то есть в сомножитель, определяющий дисперсию получающегося процесса. В данной работе автор попытался восполнить этот пробел.

В настоящей работе рассматриваются оптимальные и субоптимальные алгоритмы фильтрации дважды стохастического гауссовского случайного процесса. В этом смысле она является продолжением и развитием работы Т.В. Калашниковой [32], в которой исследованы алгоритмы линейной фильтрации дисперсии белого гауссовского шума, дисперсия которого зависит от квадрата гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и известной функцией корреляции. Основные отличия данной работы от работ Т.В. Калашниковой следующие:

1. Для белого гауссовского шума рассмотрены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации и их нормальная аппроксимация.

2. Рассмотрена модель гауссовского процесса в виде авторегрессионой модели первого порядка, в которой от управляющего процесса зависит сомножитель, стоящий перед стохастическим слагаемым. Рассмотрены вопросы оптимальной линейной и нелинейной фильтрации этого коэффициента.

3. Алгоритмы линейной фильтрации обобщены на многомерный случай. Научная новизна работы

По мнению автора, научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем:

1. Для случая некоррелированного гауссовского процесса, дисперсия которого зависит от диффузионного марковского процесса, получены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации управляющего процесса и уравнения для апостериорного среднего и дисперсии управляющего процесса в нормальном приближении.

Эти алгоритмы получены в двух вариантах - при дискретных измерениях и измерениях в непрерывном времени.

2. Предложена модель нестационарного гауссовского шума в виде авторегрессионого процесса первого порядка, у которого коэффициент при стохастическом слагаемом зависит от управляющего процесса, который считается либо марковским процессом, либо стационарным гауссовским процессом с известной функцией корреляции.

В рамках данной модели получены:

- алгоритмы оптимальной линейной фильтрации значений коэффициента при стохастическом слагаемом;

- алгоритм оптимальной нелинейной фильтрации управляющего процесса;

- уравнение для апостериорного среднего и дисперсии управляющего процесса в рамках нормального приближения.

Эти алгоритмы получены также в двух вариантах - при дискретных измерениях и измерениях в непрерывном времени.

3. Большая часть результатов, изложенных в предыдущем пункте, перенесена на многомерный случай.

Основные научные положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие результаты работы: 1. Вид уравнений (в дискретном и непрерывном времени), определяющих апостериорную плотность вероятностей управляющего процесса для следующих случаев:

- некоррелированный гауссовский процесс;

- гауссовский процесс в виде авторегрессионого процесса первого порядка, у которого от управляющего процесса зависит сомножитель перед стохастическим слагаемым;

2. Вид уравнений (в дискретном и непрерывном времени) определяющих апостериорные среднее и дисперсию апостериорной плотности вероятностей управляющего процесса в нормальном приближении в тех же случаях, что и в предыдущем пункте.

3. Вид уравнений, определяющих весовые коэффициенты (в дискретном времени) или весовую функцию (в непрерывном времени) оптимального линейного фильтра для фильтрации дисперсии гауссовского процесса, когда этот процесс является авторегрессионым процессом первого порядка, или произвольного порядка, у которого управляющий процесс, входящий в сомножитель перед стохастическим слагаемым, является гауссовским случайным процессом с известной функцией корреляции.

4. Явное решение этих уравнений в случае, когда управляющий процесс является гауссовским случайным процессом с экспоненциальной функцией корреляции.

Методика исследования

Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей [8, 11, 13, 50], теории условных марковских процессов [12, 13, 50, 53], теории оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов[53, 61]. Правильность и работоспособность линейных алгоритмов фильтрации, а также алгоритмов фильтрации, основанных на нормальной аппроксимации апостериорной плотности вероятностей, подтверждается результатами имитационного моделирования этих алгоритмов на ЭВМ. Практическая ценность

Данная работа выполнялась в инициативном порядке в плане продолжения тематики хоздоговорных работ, финансирование которых было прекращено, а также в соответствии с планом научно - исследовательских работ факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Результаты исследований могут найти применение при построении систем связи, адаптирующихся к уровню мощности шума в канале связи, а также при анализе экспериментальных данных о шумах, действующих в реальных каналах связи. Реализация полученных результатов

Разработанные алгоритмы фильтрации мощности шума в канале связи реализованы программно в виде комплекса программ. Содержание работы

Во введении излагаются: актуальность работы; цель работы; состояние проблемы и место данной работы среди других работ по данной тематике; научная новизна работы; основные научные положения, выносимые на защиту; методика исследования; практическая ценность и реализация полученных результатов. Приводится также краткое изложение результатов работы по главам.

Заключение

В работе были рассмотрены вопросы линейной и нелинейной фильтрации ненаблюдаемого управляющего процесса в моделях коррелированного и некоррелированного шума. Идея этих моделей состоит в том, что коэффициент, определяющий дисперсию наблюдаемого процесса, считается зависящим от управляющего процесса. Относительно последнего делались предположения, что он является либо диффузионным марковским случайным процессом с известными коэффициентами сноса и диффузии, либо чисто разрывным марковским случайным процессом с известной переходной плотностью вероятностей.

В случае линейной фильтрации наблюдаемый процесс моделировался как процесс авторегрессии первого порядка. В рамках этой модели выведены уравнения, определяющие оптимальный фильтр в дискретном и непрерывном времени.

Для частного случая экспоненциальной функции корреляции был найден явный вид оптимальных весовых коэффициентов в дискретном времени и весовой функции фильтра в непрерывном времени, а также определено значение минимальной среднеквадратичной погрешности фильтрации. Полученные результаты были проверены предельным переходом от дискретного к непрерывному времени.

Было сделано обобщение результатов линейной фильтрации на случай авторегрессии произвольного порядка К.

При решении задачи нелинейной фильтрации была использована теория оптимальной нелинейной фильтрации марковских процессов. Однако тот факт, что от управляющего процесса зависит коэффициент, определяющий дисперсию наблюдаемого процесса (обычно рассматривается случай, когда от управляющего процесса зависит

1. Андерсон Т. Стохастический анализ временных рядов. -М.: Мир. 1976. -755с.

2. Апанасович В.В., Коляда A.A. Чернявский А.Ф. Статистический анализ потоков событий в физическом эксперименте Минск: Университетское, 1988.-251 с.

3. Бакут П., А. , Большаков И. А. , Герасимов Б. М. , Курикша А, А. , Репин В. Г., Тартаковский Г. П. , Широков В. В. Вопросы статистической теории радиолокации. -М. : Сов. радио. 1964, Том 2. 1079с.

4. Бакут П. А. , Большаков И. А. , Герасимов Б. М. , Курикша А. А. , Репин В. Г., Тартаковский Г. П., Широков В. В. Вопросы статистической теории радиолокации. М. : Сов. радио. 1963, Том 1. - 424с.

5. Богданов А. Л., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного дважды стохастического гауссовского шума //Известия высших учебных заведений. Физика 1998. № 4 - С. 15-22

6. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного стохастического гауссовского шума //Известия высших учебных заведений. Физика 1999. № 4 - С. 3 - 7

7. Богданов А.Л., Терпугов А.Ф. Оптимальная нелинейная фильтрация мощности нестационарного гауссовского шума //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Сборник статей / Под ред. Проф. А.Ф. Терпугова Томск: Изд - во ТГУ - 1999 160 с.

8. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986

9. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана Бьюси. - М.: Наука, 1982. -200 с.

10. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями к радиолокации. Пер. с англ., под ред. Горелика Г. С. Изд -во Сов. радио. 1955.

11. Гихман Й.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов М.: Наука, 1982.-200 с.

12. Гнеденко Б. В., Коваленко И. И. Введение в теорию массового обслуживания . -М.: Наука, 1987. 313 с.

13. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. - 256 с.

14. Голубев Г. А., Писарев О. В. Линейная фильтрация стационарных процессов с дискретным временем // Автомат, и телемех. 1992, № 7. - С.55.61.

15. Горцев А. М. , Катаева С. С. Оптимизация гистерезисной дисциплины обслуживания несимметричным резервным каналом. // Изв. вузов. Физика. 1996. №4. -С. 3-10.

16. Горцев А. М., Баранник Н. Ф. Оценка максимального правдоподобия параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий //Радиотехника. 1991, № 12. С. 20 - 25.

17. Горцев А. М., Катаева С. С. Оптимальное подключение несимметричного резервного прибора к однолинейной СМО в нестационарных условиях. //Радиотехника. 1994, № 8. С. 20 - 24.

18. Горцев А. М., Климов И. С. Оценивание периода наблюдаемости и-интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1996, № 2. -С. 8- 11.

19. Горцев А. М., Климов И. С. Оценивание параметров знакопеременного пуассоновского потока событий //Радиотехника. 1994, № 8. С. 3 - 9.

20. Горцев А. М., Климов И. С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его не наблюдаемости // Радиотехника. 1991, № 12.-С. 3-7.

21. Горцев А. М., Нежельская JI. А. , Шевченко Т.И, Оценивание состояний МС потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. вузов. Физика. 1993. Хз 12. - С. 67 - 85.

22. Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оптимальная нелинейная марковская фильтрация марковского потока событий с переключениями // Техника средств связи. Серия "" Системы связи '\ 1989. - Вып. 7. с. 46 - 54."

23. Гримм. Основные характеристики внешнего шума // Зарубежная радиоэлектроника. 1960 № 6.

24. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования М. Наука 1976., 317 с.

25. Идрисов РФ. Идентификация дважды стохастической авторегрессионой • модели первого порядка методом максимального правдоподобия // Измерение характеристик случайных сигналов с применением микромашинных средств. Тезисы докладов. Новосибирск. 1987. С. 78

26. Идрисов Р.Ф. Оценка параметров дважды стохастической, авторегрессионой модели методом максимального правдоподобия // Стат. анализ и обработка экспериментальных данных. Межвузовский сборник науч. трудов. Новосибирск, НЭТИ, 1988. С. 40 - 46.

27. Идрисов Р.Ф. Статистический анализ дважды стохастической авторегрессионой модели // Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов. Тезисы докладов. Гродно. 1988. С. 42 - 43.

28. Идрисов Р.Ф. Устойчивость и идентификация дважды стохастической авторегрессионой модели //П Конференция молодых ученых Сибири и дальнего востока. Тезисы докладов. Новосибирск. 1987. С. 52 - 53.

29. Идрисов Ф.Ф. выделение трендов временных рядов при наличии ошибок в измерениях моментов времени //Изв. вузов. Физика. 1996. № 4. С. 11 - 16. •

30. Идрисов Ф.Ф. Оценка функции корреляции и спектра интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока// Радиотехника. 1996, № 2.-С. 3-7.

31. Калашникова Т.В. Фильтрация и оценка функции корреляции управляющего процесса дисперсии дважды стохастического шума /дис. на соиск. ученой степ. канд. техн. /ЛГУ; 1996, 105с.

32. Калашникова Т.В., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация мощности нестационарного белого шума //Известия высших учебных заведений. Физика 1995. № 3 - С. 32 - 36.

33. Коваленко И. Н. , Кузнецов Н. Ю., Шуренков В. М. Случайные процессы. Справочник. Киев: Наук, думка. 1983. - 368 с.

34. Коротаев И. А. Адаптивная фильтрация интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий // Управляемые системы массового обслуживания. Томск : Изд во Томского университета, 1984

35. Крамер Г., Линдбеттер М. Стационарные случайные процессы. М.: Мир, 1987.-313с.

36. Кульман Н. К. Асимптотически оптимальная фильтрация гауссовского процесса в канале с запаздыванием // Вероятностные процессы и их приложения. М., 1989. - С. 46 - 50.

37. Левин Б. Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. -М.: Сов.радио. 1960.

38. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Нелинейная фильтрация диффузионных марковских процессов. Труды математического института им. В.А."

39. Стеклова АН СССР, 1968. т. 104, с. 135 180.

40. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М. Наука, 1974.-696 с.

41. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ. , под ред. Левина Б. Р. М.: Сов. радио. 1961. Том 1.

42. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ. , под ред. Левина Б. Р. М.: Сов. радио. 1962. Том 2.

43. Назаров А. А., Никифоров Е. С. Асимптотический анализ дважды стохастических потоков, управляемых марковскими процессами // Стохастические и детерминированные модели сложных систем. Новосибирск, 1988. с. 78 - 85.

44. Назаров А. А., Никифоров Е. С. Асимптотический анализ дважды стохастических потоков, управляемых полумарковскими процессами// Техника средств связи. Сер. С. С. 1989. Выл. 7. с. 71 76

45. Назаров А. А., Никифоров Е. С. Асимптотический анализ полумарковских потоков// Оптимальное управление: Геометрия и анализ. Кемерово, 1988. -с. 123

46. Поттосина С. А. , Терпугов А. Ф. Линейная фильтрация случайных процессов при измерениях в случайные моменты времени // Изв. вузов. Физика. 1994. № 2. С. 67 - 72.

47. Поттосина С. А. , Терпугов А. Ф. Фильтрация дважды стохастических рекуррентных точечных процессов // Радиотехника. 1991. № 12. С. 20 -25.

48. Поттосина С. А. , Терпугов А. Ф. //Изв. Вузов. Физика. 1993. № 12. С. 54.

49. Радюк Л. Е. , Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск. : Изд во Томск, ун - та, 1988. - 174 с.

50. Репин В.Г. Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. Сов. радио, 1977. -432 с.

51. Скляревич А. Н. , Скляревич Ф. К. Вероятностные методы объектов с возможными изменениями. Рига: Зитатне. 1989. - 366 с.

52. Стратонович Р.Л. Принципы адаптивного приема. М.: Сов. радио, 1973.320 с.

53. Стратонович P.JL Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд - во МГУ, 1966. - 320 с.

54. Терпугов А.Ф., Поттосина С.А. Фильтрация интенсивности дважды стохастических точечных случайных процессов // Радиотехника, 1991, N 2 -с. 8 14.

55. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975 - 720 с.

56. Федосов Е. Н. Адаптивная нелинейная фильтрация интенсивности дважды стохастического рекуррентного потока событий // Теория и техника приема, передачи и обработки информации.: Тез. докл. 4.1. Харьков - Туапсе, 1996-с. 38.

57. Федосов Е. Н. Оптимальная нелинейная фильтрация дважды стохастического пуассоновского потока, управляемого чисто разрывным марковским процессом //Изв. вузов. Физика. 1995. № 3. С. 17-21.

58. Федосов E.H. Нелинейная фильтрация MC потока при наличии мертвого времени // Изв. Вузов. Физика, 1997, N 4 - с. 38 - 44.

59. Хазен Э.М. Байесовские оценки в задачах фильтрации сигналов // Радиотехника и электроника. 1968. - N 5 - с. 842 - 850.

60. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1969

61. Хазен Э.М. О стохастических дифференциальных уравнениях для апостериорного распределения вероятностей в задачах адаптивной фильтрации и обнаружения сигналов// Автоматика и телемеханика: 1971. -N11. с. 86 -93.

62. Широков В. В. , Репин В. Г. Воздействие помех на систему автоматической регулировки усиления // Радиотехника. 1959, № 4.

63. Fedosov On filtering for double stochastic sifting Poisson processes // Исследование систем и сетей массового обслуживания.: Тез. докл. -Гродно, 1996-с. 68-69.

64. Grandell J. Doubly stochastic Poisson processes. Lecture notes in mathematics' 529. Berlin: Springer - Verl. 1976. - 234 p.

65. Helm W.E., Woldmann К. H. Optimal control of arrivals to multiserver queues in a random environment//!. Appl. Probability. 1984. - Vol. 21, № 3. - P. 602 -615.

66. Nicholls D. F. The Box Jenkins approach to random coefficient autoregressive128modelling. Applied Probability Trust. 1986. - P. 231 - 240.

67. Ray D. On the autoregressive model with random coefficients. Calcutta Statist. Assoc. Bull. 1983, 32. № 127 - 128. - P. 136 - 142.

68. Ben Slimane and T. Le Ngoc. A double stochastic Poisson model for self -similar traffic. //Conference Record of the International Conference on Communications (ICC). 1995.

69. Snyder D. L. Random point processes. N. Y. Wiley. 1975.

70. Snyder D.L. Filtering and detection for doubly stochastic Poisson point process // IEEE Transactions on Information Theory. 1972. - Vol. IT-18. N1.-p. 91102.

71. Snyder D.L. Random point processes. N. Y.: Wiley, 1984. - 465 p.

72. Tjostheim D. Some doubly stochastic time series models. J. of Time Series Analyssis, - Yol .7,№1. 1986.-P. 51-71.

73. Wiesner Source noises and their in influence on radar systems. Trans. IRE. 1954. DE-1.№4.