автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Фильтрация и оценка функции корреляции управляющего процесса дисперсии дважды стохастического шума

Томский государственный университет

РГ6 од 1 5 ДЕК одь*

На правах рукописи УДК 519.2

КАЛАШНИКОВА ТАТЬЯНА ВЛАДИМИРОВНА

ФИЛЬТРАЦИЯ И ОЦЕНКА ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ УПРАВЛЯЮЩЕГО ПРОЦЕССА ДИСПЕРСИИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ШУМА

Специальность 05.13.1 б -Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель : доктор физико - математических наук, профессор ТЕРПУГОВ А. Ф.

Томск-1996

Работа выполнена в Томском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Лившиц К. И.

кандидат технических наук, Якупов Р. Т.

Ведущее предприятие:

Белорусский государственный университет (г. Минск)

Защита состоится Уу^" ■£- 1996 г. в

на заседании диссертационного Совета Д 063. 5 3. 03 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36. Ученому секретарю Совета

/V часов

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиоге] Томского государственного университета.

Автореферат разослан "_" НС'1996 т.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физ,- мат. на}'к, доцент / Тривоженко Б.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

альность проблемы. Одним из последних направлений в теории шных процессов и математической статистике является исследование и ка характеристик так называемых дважды стохастических процессов. В ком государственном университете подобные исследования ведутся >уководством профессоров Горцева А. М. и Терпугова А. Ф. ая схема построения таких процессов заключается в следующем; гея какой-либо известный класс случайных процессов с известными стеристиками, и эти характеристики делаются зависящими от другого 1Йного процесса, который обычно называют управляющим случайным ессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим 1Йным процессом.

зстоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов, ым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно здованным, является дважды стохастические пуассоновские потоки rtffl. В работах JI. Гела, М. Нойтса, П. Трэн-Гия, М. ван Хорна, Л. ;на выполнен анализ СМО при поступлении потока требований, «явность которого изменяется в случайные моменты времени ( ды стохастический пуассоновский процесс поступления требований -зочник, Дж. Грэндел ). Эти потоки имеют следующую структуру: гея пуассоновский поток событий с интенсивностью A (c;{t)),

гсивность которого зависит от управляющего процесса ¿Т/). едний обычно считается марковским процессом одного из следующих а: дискретный марковский процесс с непрерывным временем, >узионный марковский процесс, чисто разрывный марковский процесс, дважды стохастические потоки достаточно хорошо описывают шы, получающиеся при лазерном зондировании атмосферы, ождении излучения через вещество и так далее. В работах по этим <ам рассматривается широкий круг вопросов - изучешге характеристик потоков, фильтрация, оценка характеристик управляющего процесса и алее.

Вторым классом дважды стохастических потоков, которые также и достаточно большое отражение в литературе, являются дважды этические авторегрессионные модели. В них берется процесс агрессии какого-то порядка и коэффициенты

процесса делаются зависимыми ог другого случайного процесса. Изуч случаи, когда этот управляющий процесс является процессом независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случаш процессом. В литературе также исследованы характеристики та процессов, оценки параметров управляющего процесса, фильтрация та процессов.

В настоящей работе делается попытка изучить дважды стохастичес гауссовский процесс. Автору не удалось найти работы, посвящен исследованию таких процессов. В общем случае следовало бы в: гауссовский случайный процесс и сделать его математическое ожидаю функцию корреляции зависящими от какого-то управляющего проце Однако такая модель очень сложна для исследования и может б предметом дальнейшей работы. Поэтому в данной диссертации рассмот| более простая модель: берется гауссовский процесс с нуле; математическим ожиданием и независимыми значениями, и дисперсия э" процесса предполагается зависящей от другого случайного проце который считается стационарным гауссозским случайным процессо нулевым математическим ожиданием и известной функцией корреляци работе рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся оценки фут корреляции управляющего процесса дисперсии и его фильтрации.

Цель работы. При выполнении данной работы ставились следую задачи:

1. Предложить математическую модель помех, действующих в канале се на основе идей, приводящих к так называемым дважды стохастичес моделям случайных процессов и временных рядов.

2. Построить оценки корреляционной функции процесса, управляют мощностью шума в канале связи, для двух случаев:

- измерения помехи производятся через равные промежутки времени;

- измерения помехи производятся в случайные моменты врем образующие пуассоновский поток событий.

3. Исследовать статистические свойства предложенных оценок и прове; правильность проведенного исследования методом имитацион: моделирования.

4. На основе предложенной модели получить ачгоригмы оптимаш линейной фильтрации мощности шума в предположении,

параметры математической модели шума известны точно. 1сследовать, как влияет на точность фильтраций неточность в знании шетров модели шума,

:одика исследования. Для решения поставленных задач использовались эды теории вероятностей, случайных процессов, математической истихи. Численные расчеты проведены на компьютере. Правильность шьтатов, относящихся к опенкам параметров модели широкополосного ia, проверена путем имшшшошюго моделирования на ЭВМ.

чная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в зующем:

Предложена математическая модель помехи, дисперсия которой еняется со временем случайным образом, в виде широкополосного ;совского шума с независимыми значениями, дисперсия которого в tein времени t представляется в виде

(T2{t) = а20 +y\t) ,

- постоянная составляющая мощность шума, а y(i) - стационарный :сонекий случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и гкдией корреляции R(т) (который ниже называется управляющим иессом).

дя случая, когда измерения самого шума xfi') производятся через равные межутки времени, построены оценки аЦ, R2 (Q), R2 (к) величин , R2 (0), R2(k) . Доказана асимптотическая несмещенность этих оценок, цена их асимптотическая дисперсйя и показана их состоятельность. Для случая, когда измерения производятся в случайные моменты «ени, образующие пуассоновский поток событий постоянной

А 2 2 енсивности Л , построены ядер1ше оценки R (т) функции R (т).

:азана асимптотическая несмещенность этих оценок, найдена их «птотическая дисперсия и показана их состоятельность. Получены алгоритмы оптимальной линейной фильтрации мощности .ia x(t) в предположении, что параметры а\ и R(t) известны точно для чаев, когда измерения шума производятся через равные промежупш мели и когда измерения шума производятся в

случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток собь: постоянной интенсивности Л,

5. Исследовано, насколько увеличивается средне-квадратическая опп фильтрации мощности шума, если вместо точных значений параметров и подставить их оценки.

Практическая ценность. Датшая работа выполнялась в инициатив порядке в плане продолжения тематики хоздоговорных ра финансирование которых было прекращено. Результаты исследош могут быть использованы для фильтрации и оценки функции коррел* управляющего процесса дисперсии дважды стохастического шума, к измерения производятся через равные промежутки времени и к моменты измерений образуют пуассоновский поток событий постоя! интенсивности.

Реализация полученных результатов. Разработанные алгоритмы построению оценок функции корреляции и оптимальной лине! фильтрации управляющего процесса дисперсии дважды стохастичес: шума в случае, когда измерения производятся через равные промеж времени и в случае, когда моменты измерений образуют пуассоноы поток событий постоянной интенсивности, а также прогр&\ реализующие эти алгоритмы, были переданы в порядке личной инициат в Технологическую лабораторию ТЭЦ-3 АО ТОМСКЭНЕРГО. результаты использовались при разработке модели влияния органиче веществ на физико-механические свойства материалов паропроводов.

На защиту выносятся следующие научные положения:

1. Вид оценок параметров а\, Я2(0), Я.2 (к), когда измер производятся через равные промежутки времени. Свойства этих оцен< асимптотическая несмещенность, асимптотическая диспе] состоятельность.

2. Вид ядерных оценок функции р}(1) когда измерения производят случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток соб] постоянной интенсивности. Свойства этих оценок - асимптотик несмещенность, асимптотическая дисперсия, состоятельность.

3. Вид алгоритмов оптимальной линейной фильтрации мощности

la при известных параметрах crj и R'ft) при измерениях, изводящихся через равные промежутки времени, и при измерениях в гайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий гоянной интенсивности. Средае-квадратическая погрешность шальной линейной фильтрации.

Формулы, определяющие увеличение средне-квадратической ошибки шальной линейной фильтрации при замене параметров модели их гаами.

ликации по теме диссертации приведены в конце автореферата.

юбация работа. Основные положения диссертации и отдельные ее •дьтаты докладывались и обсуждались на:

1. VIII Международном симпозиуме "Непараметрические и робастные статистические методы в кибернетике и информатике", Красноярск, 1995.

2. Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-96", Москва, 1996.

3. Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ÍNPRIM-96", посвященном памяти А. А. Ляпунова, А. П. Ершова, И. А. Полетаева, Новосибирск, 1996.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав эвного текста, заключения и списка литературы. Общий объем работы -страниц, включая 23 рисунка и 1 справку об использовании 'льтатов. Библиография содержит 79 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной эты, дается краткий анализ других работ в этом же научном завлеки и. формулируется цель работы, основные защищаемые «льтаты, дается характеристика полученных в работе результатов.

В первой главе рассматривалась следующая модель процесса : пусть ется некоторый случайный процесс y(t), который считается шонарным гауссовским случайным процессом с нулевым

математическим ожиданием и функцией корреляции Я}, ( г). Измере

процесса х(0 в несовпадающие моменты времени при фиксирован реализации процесса у(0 считаются независимыми нормалып случайными величинами с Л/|.х*. | = 0 и условными дисперсиями, равш

сг1 + у' ({¡ ), то есть они зависят от управляющего процесса у(0.

Строились оценки параметров управляющего процесса у (О в случаях:

1. Измерения шума производятся через равные промело, времени.

Для построения оценок квадрата функции корреля] использовались статистики вида

1=1 (=1

Их математическое ожидание имеет вид

г И+ад)2 +2л2(*>.

N-к ,

¡=1

М{

поэтом}' в качестве оценки к (к ) величины Я2(к) естественно рассмогр оценку вида

(л'!'1-

Если ряд (л) сходится, то эта оценка является асимпгготич!

{=1

несмещенной и ее смещение имеет вид

убывает как

Вариация этой оценки имеет вид:

у] , г»

R\k) - R4k)j U - j + + k)R\s - Â-) +

{R\k)R(s + k)R(s - к) + R1(k)R1(s) + R(k)R(s)R(s + k)R(s - *))] + 2R4(0) +■ 6BR\0)R7 (k) + 32R(0)R2 (k)R(2k) + 1б(сг02 + Д(0))* \k)R(2k) + (er02 + R(0)fR(2k) + 48i?4(£) + 48(ст02 + /?(0))/?(0)Л2(£) +

■Д2(0)(сгог + R(0)): + + R(0))* +8R\k)(a- H- R{Q)f ]

J

точностью до членов порядка 1/N2 и выше она совпадает с дисперсией

К

й опенки. Если по прежнему ряд ^ R" (s) сходится, то вариация

S--1

[ет величиной, убывающей как 1/N, то есть оценка является тоятелъной.

Для к~0 эта оценка не работает, поэтому для построения я'-(О) N■

1 V 4

смотрим статистику вида — > xt , математическое ожидание которой

г = 1

:ет вид

Г 1 А'

м\ èHх* = 3°о+ад+9R2 с®) ■

2 - 2

этому в качестве оценки /? (0) величииы ^ предлагается взять тистику вида

1^1» (I » VI

тематическое ожидание этой оценки имеет вид

тс

уда видно, что если ряд Я" , то оцетпса является асимптотически

5=1

вмещенной и ее смещение убывает как 1/М,

Вариация этой оценки была найдена методом линеаризации, она таь убывает как 1 /'N, то есть оценка состоятельная.

Для оценки параметра из тех же статистик, что и выше, 61 составлена оценка вида

-Му-1

ЛГ ¿-I '<

1

1

у

Л'ГТ ' -6 А''т

Эта оценка также имеет смешение и дисперсию убывающие 1/М, то есть является асимптотически несмещенной и состоятельной.

2. Моменты измерений образуют пуассоновский поток собы постоянной и известной интенсивности /,.

Процесс наблюдается на интервале [0,Т], тогда число измерен сделанных на этом интервале будет случайной величиной.

В качестве оценки квадрата функции корреляции управлякш процесса дисперсии, рассматривалась оценка ядерного типа:

П\г)

1

где (р{х) некоторая функция, обладающая свойствами:

a) (р{х) = (р(~х);

b) ф(х) отлична от нуля лишь на интервале значений аргумента [-1; 1 ];

c) ср(х)>0 ;

1

а) ¿!х — 1.

Ьу - некоторый параметр, зависящий от времени наблюдения Т.

Эти оценки исследовались в асимптотическом случае при Т— Математическое ойсидание этой оценки имеет вид

Л/{#(г)} = Я\т) + |-(я2(г))" |л-2 р(х) ёх + о{

Откуда видно, что для асимптотической несмещенности этой оце необходимо чтобы при Т->=о Ьт->0.

Дисперсия предложенной оценки имеет вид

1

и

(д2(г)} = [(8/?4(0) + 6Я2(0)(СТо2 +ад)2 +(сг02 + ад)4)

Д2(г)(б4/?2(0) +48(сг02 + ад)ад + 9(ст02 +ад)2) + 48Л4(г)

+

| полученной формулы видно, что для выполнения условия |л2(г)|->0 при Т~>сс, то есть для состоятельности оценки II2 {т) обходимо потребовать, чтобы ТИт —> со при Т—>сс.

Вариация предложенной оценки, то есть ее средне-квадратическая грешность имеет вид

ТИт

:(г)} = м{(я2(г) - Л:(г))2} - />[/?:(г)} + М2{Р(г) - Я:(г)} - АЦ + у

п 1

(/?'») \х2<р{х)ск

о

8Л4(0) + 6Я2(0)(<г2 + К( О))' + (сх2 + Л(0))4] + К2(г)(б4Я2 (0)

1

48(<т2 + Л(0))/?(0) +9(сг; + Л(0))2) + 48Я4(г) .

ГД.&

+

сшмум которой достигается тогда, когда Ьт имеет зависимость от Т в

ие К =

, где С - некоторый коэффициент.

С целью подтверждения полученных теоретических результатов, иго проведено имитационное моделирование предложенньгх оценок. :новные закономерности здесь следующие: достаточно хорошее впадение оценок параметров с их истинным значением, получается лишь >и N порядка нескольких тысяч и более,

причем объем выборки увеличивается с ростом величины <ri. /R( 0); случае со случайными моментами измерений, требовались еще болыв объемы выборки порядка 10000 и более.

Во второй главе строилась оптимальная линейная фильтраь управляющего процесса дисперсии дважды стохастического шума в рам* предложенной модели. Величины а20 и R(0) считаются швестньв Рассмотрим два случая:

1. Измерения шума производятся через равные промежут времени.

Предполагается, что измерения начались неограниченно давно,

/ч 2 —

текущему моменту соответствует хк. Оценка <xv дисперсии оерется в ви,

¿v =

где yt,i = 0,сс - некоторые весовые коэффициенты, а L - некото] константа. Выбор Xf после коэффициента у связан с тем, 1 M^xf | = Эта оценка представляет собой, по сути, линейн

'У

фильтрацию процесса xi с весовыми коэффициентами yi . Величины yi vlL будем находить из условия

s2- м|(ст_у -о-у)2| min,

то есть из условия минимальной средне-квадратической ошибки в оце: дисперсии.

Вычисляя значение е1, можно получить для него явное выраже;

в виде

* W04 + 2a20R(0)+3R2(0)-2(crt -i-Л(0))2 £ ^ 4-(а02 + R(0)jfn I +

к=о \t=О '

+ 2(а04 + 2a2R(0) + 3R\0))Xу\ ~

к=0 fc = 0s=0

- 4Z n r2 C.v - ty-k)+¿ - 2 Д^о +■ ВД) 1 - £ / J

A'=0 v Jt=0 '

Найдем теперь уравнения, определяющие величины L и у, при торых средне-квадратическая погрешность фильтрации е2 будет шимальна. Приравнивая нулю производную от е2 по l , найдем ггимальное значение L :

Г 00 Л

= (а2+ад) !-][>*

V Ый /

:ли это выражение подставить в выражение для s2, то получим : = 2Д2(0) + 2(сг40 +2<rS/?(0) + 3/?2(0))¿yí +

/ЫО

СО

к х к=0

жравнивая теперь нулю производную от е2 по y¡ , получим уравнение, ределяющее оптимальные значения коэффициентов y¡¡ :

У kR2 (ts_k - / v_,) + у s (at + 2<7¡ R(0) + 3R2 (0)) = R2 (tx - rA..J)

В общем случае записать решение этого уравнение в явном виде ожно. Поэтом}' явное решение было получено для функции корреляции

да /¿(г ) = R(0) exp^-jт \Jткгр}, где гкор - время корреляции процесса

i). В этом случае у, имеют вид у s = (l - у }а}~/s , где у - корень уравнения

. SÍl + a2) + (l-cr2)

- у—-—i-+1 = 0, меньший 1.

S а

= 3 + 2 + ; а = exp(-2Af/ г ). R{ 0) R2( 0) " 1 кор>

1гда средне-квадратическая ошибка фильтрации примет вид 2R2{ 0) а(\-ау)

Если а — 1 - а « 1, то приближенно у и к имеют вид

г=1- 1Е

V 5 ' 2Д2(0)

то есть в случае, когда интерваты между измерениями много мены времени корреляции е2->0.

2. Моменты измерений образуют пуассоновский поток событ] постоянной интенсивности к . Рассмотрены два фильтра:

А. Фильтр, весовые коэффициенты которого зависят лишь

номера измерения.

х

! = -СС

Отличие от случая 1. будет в том, что при вычислении средь квадратической погрешности фильтрации надо провести дополнительн усреднение по мохментам измерений /,.

л

В результате е примет вид:

* 2Л:(0) + 2(<Тф + 2<г;Л(0) - Л Д3(г) Л (Л_Г) " +

ЬО о ' ''

Приравнивая нулю производную от в2 по , полним следукж уравнение, определяющее оптимальные весовые коэффициенты у к.

ж „ / . \ к-$ -1

у3(а40 +2а20Я{0) + 4/?2(0)} + ^ук [к^^Ц—е^Оу^

о Г ~ 51 V-

7 , Х(Л гУ'1

о

Рассмотрим частный случай для = Л(0)ехр^-|г I

тк1р - время корреляции процесса у(1). Тогда уравнение для оптимальн коэффициентов примет

(<г04 +2сг02ад+3/?2(0)) + Хгл^(0)

4=о

2 + Аг^

л

К2(0)

/ ч \

Л Ткор

.2 + Я ТЬр;

:е остальные результаты будут как в случае 1, только с заменой а на

Лт,

КОр

кар +2

Б. Фильтр, весовые коэффициенты которого зависят от момента мерения, точнее от разности между текущим моментом времени и ментом измерения

:ли величину Ь брать в виде

средне-квадратическая ошибка фильтрации примет вид 2 =2Д2(0) + 2(С^ -ь2сг20ВД + 4Д2(О))А +

О

сС X ос

2Л21 (г/)/ (v)/?2(и - v) (¡и <Ь - 4А (^)д2 (и) йи

0 0 о

2

Приравнивая нулю вариацию £ по у(и) , получим интегральное >авнение, определяющее оптимальный вид функции у (и)

(ст1 + 2ст^(0) + 4К2 (0))г («) + Л |г(у)Я2 (и -у)сЫ = Я2 (и)

о

Рассмотрим случай, когда Ж и) = /?(0)ехр(- ¡г^/г . Тогда авпевяе примет вид

(1 + S)r (и) + к Jy(v)e~2 dv = exp(-2u/rkop) о

Решая это уравнение, получаем явный вид для оптимальных коэффициент }{и).

у{и)~ А* ехр(-;к * и)

j* = r Гк°Р 2 • у" = 2 Ii I ^ r<i"op

При этих значениях у4* и ;/ средне-квадратическая ошибка фильтрации равна

^ 2

2R2(0)

1+ ~ V 1 +

При Ятков ->со оба предлагаемых фильтра обеспечива одинаковую средне-квадратическую погрешность, в том смысле, 1 г2

lim —~ = 1, Для других значений Яг. второй фильтр незначитеш

хуже первого, однако его техническая и программная реализация гора сложнее, поэтому первый фильтр предпочтительнее,

В последнем параграфе этой главы рассмотрен вопрос о т насколько увеличится значение средне-квадратической ошибки фильтраи если er2, R2(0), R2(r) заменить их оценками, которые отличаются истинных значений этих величин. Общий результат исследования своди к тодгу, что средне-квадратическая погрешность фильтрации от та замены возрастет на величину порядка 1/N или 1/лТ, где N - чи измерений,

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты настоящей работы состоят в следующем: Предложена математическая модель помех, действующих в канале связи, основе идей, приводящих к дважды стохастическим моделям случайных зцессов и временных рядов, в виде широкополосного гауссовского шума ^зависимыми значениями, дисперсия которого представляется в виде ямы постоянной составляющей и стационарного гауссовского случайного зцесса.

Построены оценки корреляционной функции процесса, управляющего щностью шума в канале связи и постоянной составляющей дисперсии ма в случае, когда моменты измерений производились через равные эмежутки времени. Представлен явный вид этих оценок и найдены их шства - асимптотическ&ч несмещенность, асимптотическая дисперсия и ;тоягельность.

Построены ядерные оценки функции корреляции управляющего процесса щности исследуемого шума в случае, когда моменты измерений эазуют пуассоновский поток событий постоянной интенсивности. На основе предложенной модели, получены алгоритмы оптимальной шейной фильтрации мощности исследуемого шума в предположении, что заметры математической модели шума известны точно для двух случаев, -да измерения шума производятся через равные промежутки времени, и -да измерения шума производятся в случайные моменты времени, эазующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности, йдена средне-квадратическая погрешность оптимальной линейной льтрации.

5. Исследовано влияние на точность фильтрации неточность в знаний замстров модели шума, то есть насколько увеличивается средне-щратическая ошибка фильтрации мощности шума, если вместо точных тений параметров подставить их оценки.

Создан комплекс программ для оценки функции корреляции эавляющего процесса мощности исследуемого шума для двух случаев, -да моменты измерений производятся через равные промежутки времени, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий :тоянной интенсивности.

Публикации по теме диссертации.

1. Калашникова Т. В. , Терпугов А. Ф. Линейная фильтрация мощное нестационарного белого гауссовского шума // Изв. вузов. Физика. 199 - № 3. -С. 32-36.

2. Калашникова Т. В. Линейная фильтрация мощности нестационарно] белого гауссовского шума при измерениях в случайные момент времени. // Информатика и процессы управления: Межвуз. сб. научнь статей. Красноярск: КГТУ. 1996. -С. 94-99.

3. Калашникова Т. В. , Терпугова Н. С. Оценка функции корреляш управляющего процесса дисперсии нестационарного белого гауссовско! шума. // Изв. вузов. Физика. 1997. - № 4. ( принято к печати).

4. Калашникова Т. В. Оценка функции корреляции мощное нестационарного белого гауссовского шума при случайных измерения // Тезисы докладов международной конференции студентов и аспирант« по фундаментальным наукам "Ломоноеов-96". МГУ. Москва. 12-апреля 1996.