автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методика и алгоритмы построения кусочно-дифференциальной модели на основе нестационарного временного ряда для оценивания состояния динамической системы

/ Л)

На правах рукописи

0У4Ь

АБДЕНОВА Гаухар Амирзаевна

МЕТОДИКА И АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ КУСОЧНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА ДЛЯ ОЦЕНИВАНИЯ СОСТОЯНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в промышленности)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г о йнв юн

Новосибирск - 2010

004619259

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении

высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Воевода Александр Александрович;

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Куцый Николай Николаевич;

доктор технических наук, профессор Малышснко Александр Максимович.

Ведущая организация:

ФГУП «Сибирский государственный научно-исследовательский институт метрологии», г. Новосибирск

Защита состоится «25» января 2011г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.05 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, НГТУ, корпус 1, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан «¿'/» декабря 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент '//(¿¿¿¿^Г Шпилевая О. Я.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. К настоящему времени проведено достаточно много исследований и получены впечатляющие практические решения задач идентификации и задач прогнозирования, фильтрации в науке, технике, экономике, демографии и других областях. Но практика показывает, что прогнозировать достаточно сложно. Иногда прогноз основывается на Хорошо изученных закономерностях и осуществляется наверняка, а в некоторых областях не удается дать однозначный обоснованный прогноз. Причины - в неопределённости или в не наблюдаемости различных факторов процесса, случайные явления, чрезвычайные ситуации. Следовательно, совершенствование прогнозирования многими специалистами видится в совершенствовании моделей и в развитии соответствующих эффективных методов решения задач параметрической идентификации.

На современном этапе, проблема прогнозирования решается с помощью математических моделей в двух направлениях:

- на основе моделей в форме регрессионных зависимостей, т.е. статическая форма описаний зависимостей переменных факторов;

- на основе динамических моделей, в частности: в форме дифференциальных моделей; или моделей в форме пространства состояний (ПС) (зависимость переменных изменяющихся во времени с элементами упреждений на основе скорости изменения некоторых факторов); или в форме дифференциальных уравнений в частных производных и т.д.

Теоретико-методологической основой исследования по вопросам структурной и параметрической идентификации, по прогнозированию, фильтрации и управлению в технических системах послужил обзор концепций, сформулированных в работах зарубежных теоретиков и практиков авторами, которых являются: К. Острем, Р. Мехра, П. Эйкхофф, Р. Бен Мрад, Е. Фараг, А. Кисикайя, X. Кайран Ахмет и др. Эти задачи решались и в трудах отечественных ученых, в частности И.В. Абраменковой, А.Л. Бунич, В.Г. Горского, Ю.Е. Воскобойникова, В.В. Конева, В.В. Круглова, В.Н. Овчаренко, М.А. Огаркова, С.М. Пергаменщикова, В.Н. Подладчикова, А.И. Рубана, И.В. Щербань и др.

Одной из целей использования упомянутых выше типов моделей состоит в том, чтобы получить прогнозные оценки некоторых факторов с желаемой степенью точности. Известно, что регрессионные модели, используемые для целей прогнозирования с увеличением (например, временного) интервала упреждения дают прогнозные оценки с увеличивающимися значениями дисперсии по мере отдаления от центральной точки фиксированного интервала, на котором построена модель. Тем более, если система при наблюдении дает нестационарный временной ряд, то описание ее поведения статической моделью окажется нереалистичным, и следовательно, прогнозные данные могут быть не верными. Более гибкие и наиболее точные прогнозные оценки (в частности, в режиме реального времени), поведения исследуемого объекта, с элементами коррекции текущих оценок на основе полученных текущих

значений наблюдений дают модели, которые описывают исследуемый динамический объект в форме стохастических моделей в ПС. Поэтому, исходя из вышесказанного, актуальна задача преобразования математических моделей объектов в статической форме и в форме моделей распределенного типа к описанию объектов и построению стохастических кусочно-дифференциальных моделей в ПС во временной области на основе нестационарных рядов наблюдений.

Целью диссертационной работы является разработка методики построения кусочно-дифференциальной или кусочно-разностной стохастической модели в ПС в виде непрерывно-дискретной или в виде чисто дискретной модели на основе нестационарного ряда наблюдений для прогнозирования, фильтрации оценок состояния и управления динамической системой.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

- разработать алгоритм построения стохастической модели в ПС в случае, когда в исходных моделях статических зависимостей входные и выходные данные зашумлены;

- разработать алгоритм преобразования нелинейной статической модели в стохастическую модель в форме ПС (частный случай);

- разработать алгоритм для адаптивного рекуррентного оценивания медленно изменяющихся параметров в модели обобщенной авторегрессии на подынтервалах, обладающие свойством квазистационарности;

- разработать алгоритм преобразования стохастической модели распределенного типа в ПС в стохастическую модель в форме ПС во временной области;

- разработать алгоритм оценивания дисперсии шумов динамики и измерительной системы в подынтервалах на основе нестационарного временного ряда (скалярный случай), а также разработка алгоритма расчета ковариационных матриц шумов измерительной системы, шумов начального состояния и шумов динамики исследуемого объекта (векторный случай);

- разработать методику построения кусочно-дифференциальной стохастической модели на основе нестационарного ряда наблюдений для решения задач оценивания состояния и управления объектом на практике.

Методы исследования: поставленные в работе задачи решены с использованием методов и положений математического анализа, дифференциального исчисления, теории фильтрации, теории управления, теории математической статистики и методов вычислительной математики.

Предметом исследования выступают аналитический, численный анализ различных типов моделей, их модификация с целью перехода к описанию объекта стохастической моделью в ПС.

Объектом исследования являются статические и динамические системы, функционирующие в статической, сосредоточенной и распределенной формах.

Научная новизна работы и результаты, выносимые на защиту:

- алгоритм построения стохастической модели в форме ПС для статического уравнения в случае зашумления входных и выходных переменных;

- алгоритм преобразования нелинейной статической модели с двумя факторами к стохастической модели в ПС (частный случай);

- алгоритм адаптивного рекуррентного оценивания медленно изменяющихся параметров обобщенной авторегрессионной модели на подынтервалах, обладающих свойством квазистационарности;

- алгоритм преобразования модели объекта, описываемого стохастическими моделями распределенного типа к адекватной стохастической модели в форме ПС во временной области с последующим решением задачи параметрической идентификации;

- алгоритм оценивания характеристик шумов динамики и измерительной системы на основе временного ряда на подынтервалах (скалярный и векторный случаи);

- методика построения кусочно-дифференциальной модели в виде стохастической модели в ПС на основе нестационарного ряда наблюдений для решения задач тестового и практического характеров.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для решения задач планирования и управления в промышленных предприятиях. Использование полученной методики построения стохастической кусочно-дифференциальной модели в пространстве состояний позволяет сократить затраты на проведение натурных испытаний по оценке качества изделий как одного из технологических показателей продукции заводов.

Внедрение результатов исследования. Методика построения кусочно-дифференциальной модели в форме ПС внедрена как инструмент, позволяющий осуществлять контроль качества продукции на территории АО «Востокмашзавод» (г. Усть-Каменагорск, РК) при изготовлении металлургического оборудования, а именно, редуктора поворота ковша, захвата автоматического и вакуумного ковша. Кусочно-дифференциальная модель описывает плотность распределения значений длин деталей, характеризующих точность, как один из показателей качества продукции.

В ходе выполнения хоздоговорной работы ТОР 1-08 на основе математического метода оценивания состояния с помощью аппарата калманов-ской фильтрации осуществлен расчет индуктивных и емкостных параметров элементов аттенюатора: мощностью 1кВт, полоса частот 0 - 1000 МГц, коэффициент стоячей волны аттенюатора по входу не превышает 1,2 для всего частного диапазона, затухание в полосе частот 20 дБ, неравномерность коэффициента передачи менее ± 1 дБ, входное сопротивление аттенюатора равно 50 Ом. (ФГУП «РТРС» филиал «Липецкий областной радиотелевизионный передающий центр» (г. Липецк, РФ)).

Методика построения стохастической кусочно-дифференциальной модели внедрена для расчета количества прогнозных поставок зернового сырья в мукомольно-комбикормовые комбинаты, для решения логистических задач. Разработанная методика построения кусочно-дифференциальной модели апробирована на тестовых примерах и примерах с реальными данными относительно поставок сельскохозяйственной продукции в течение всего 2001

года в ОАО «Восточно-Казахстанский мукомольно-комбикормовый комбинат» (г. Семей, PK).

Подтверждением практической ценности результатов исследования служат акты внедрения, полученные в выше упомянутых организациях, а также справки об использовании результатов научно-практических исследований в учебном процессе кафедр автоматики и экономической информатики НГТУ.

Апробация результатов исследования. Основные положения и выводы исследования докладывались и обсуждались на: 7-ом Российско-Корейском международном симпозиуме науки и техники, 2003, т.З; Международном симпозиуме науки и техники (Новосибирск, 2003); Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления». -Томск, 2004; III Международной научно-практической конференции аспирантов и молодых ученых "Страны СНГ в условиях глобализации" (Москва, РУДН, 2004); VI Среднеевропейской научно-технической конференции "Компьютерные методы и системы в автоматике и электротехнике", "VI MSKAE", IEEE POLAND Section Marketing i Ekonomika, (Ченстохова, Польша, 2005); Международной научно - технической конференции «ИКИ-2001», «Измерение, контроль, информатизация» (Барнаул, 2001,2003,2005,2007,2009,2010).

Публикации: Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 17 работах, в том числе: 3 статьи в изданиях, входящие в перечень научных журналов, рекомендованных ВАК РФ; 10 статей в сборниках научных трудов; 4 работы - в сборниках трудов и материалов Международных и Российских конференций. Из 17 публикаций 9 статей - без соавторства и 8 - в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников из 149 наименований и 2 приложений. Общий объем работы составляет 171 страниц, в том числе, основное содержание работы изложено на 150 страницах, включая 14 таблиц, 20 рисунков.

Личный вклад. Все разработки и научные результаты, выносимые на защиту и изложенные в тексте диссертации, получены либо самим автором лично, либо при его непосредственном участии. Экспериментальные исследования и программная реализация выполнялись также при непосредственном участии автора.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, определены научная новизна и практическая ценность работы, дана общая характеристика полученных результатов.

В первой главе рассмотрены проблемы решения задач параметрической идентификации на основе нестационарных рядов наблюдений. На практике

очень часто ряд данных наблюдений со свойствами нестационарности, который характеризует исследуемый объект, можно представить в виде нескольких квазистационарных рядов данных наблюдений со своими квазистационарными параметрами, а также шумовыми характеристиками. Визуальное разделение всего ряда на квазистационарные составляющие в виде подынтервалов, предлагается проверять с помощью критерия Чоу. Использование этого критерия позволяет подтверждать разбивку всего ряда данных наблюдений на подынтервалы с соответствующими элементарными рядами для корректного построения кусочно-дифференциальной стохастической модели в форме ПС.

Для построенной стохастической модели в форме ПС можно использовать аппарат фильтра Калмана. Известно, что этот аппарат содержит в себе много трудностей, связанных с наиболее точным оцениванием параметров (коэффициентов) уравнений динамики, параметров характеристик шумов измерительной системы, начального состояния и динамики исследуемого объекта. Чтобы избежать проблем с расходимостью при калмановской оценке состояния требуется, чтобы построенная модель, прежде всего, удовлетворяла четырем свойствам (эти свойства исследователи очень часто забывают проверять в совокупности, анализируя их лишь частично, разрозненно): устойчивости, наблюдаемости, управляемости, идентифицируемости. В работе приведены известные критерии, которые позволяют проверить удовлетворение построенной модели перечисленным выше свойствам.

Проведенный обзор построения математических моделей по работам отечественных и зарубежных ученых в области параметрической идентификации динамических систем и прогнозирования их состояний показал, что в плане математического моделирования имеется тенденция активного использования и построения стохастических моделей в ПС. Поэтому в работе предлагаются алгоритмы преобразования уравнений статического характера, стохастических моделей типа обобщенной авторегрессии, стохастических уравнений распределенного типа к стохастическим моделям в форме ПС.

В связи с этим в работе рассматриваются задачи оценивания параметров и характеристик шумов на подынтервалах в следующих уравнениях: линейные статические модели в виде

у(х) = аТ •х + Ь + £(х) = у(х,а,Ь) + е(х); (1)

нелинейные статические модели в виде

у(х) = Дх, в) + е(х) = у(х, в) + е(х), (2)

где х - вектор варьируемых факторов; у(х,в)~ вектор-функция, отражающая зависимость переменных состояния от факторов и неизвестных параметров в. Относительно случайных ошибок предполагается, что они удовлетворяют условиям:

Е{е(х)} = 0; Е{е(х,)• £Г(Х])} = Щхи)■ ^, где 0(х) - дисперсионная матрица измеряемых откликов выхода измерительной системы в точке х е С1Х. Здесь - пространство переменных состояния объекта. В зависимости от объема априорной информации обычно

используются различные подходы конкретизации вида функции /(х, в). Необходимо оценить параметры а и Ь уравнения (1) и в уравнения (2).

К описанию динамических систем в форме моделей ПС исследователи прибегают все чаще. При этом динамика системы описывается стохастическими конечно-разностными или дифференциальными уравнениями в форме Коши, а измерительная система - в форме стохастических дискретных алгебраических уравнений. Исходя из этого, квазистационарная линейная система на подынтервалах может быть описана стохастической дискретной моделью в стандартной форме:

+1) = • х(0 + С• и(0 + х(0) = х0, Г = 0,^-1, (3)

Я'+1) = Я-дг(/ + 1) + У(/ + 1), / = 0, N-1, где •*(')> и(')> КО - соответственно векторы откликов, переменных состояния, управляющих входных сигналов, шума динамики системы, ошибок измерений (наблюдений).

Линейная квазистационарная непрерывно-дискретная система на подынтервалах может быть описана моделью вида:

х(0 = Л-х(0+В-«(<)+Ч0, *(<о) = *о, Ж) = Я-х(Г,)+Ч<Д (4)

где и'(/) - белый гауссовский процесс, с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей (?; дг0 - вектор начального состояния с ковариационной матрицей Р(1й); А, В - постоянные матрицы; -

весь интервал времени, на протяжении которого ведется наблюдение за процессом; у(1к) - известный вектор измерений (наблюдений); Н- матрица наблюдения; у(/) - белая гауссовская последовательность, с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Я; N - количество дискретных наблюдений. Задача параметрической идентификации состоит в оценивании неизвестных параметров, входящих в элементы матриц Р, <7 или А, В моделей вида (3), (4) соответственно.

Дифференциальные уравнения в частных производных на практике нередко используются для описания систем, изменяющихся во времени и в пространстве. С объектами такого типа приходится иметь дело в металлургии, химии, биологии и т. д. Пространственно-временные модели в ПС могут описываться с помощью уравнений вида:

д(

(5)

+ Л-и(х, + /V и<х, /) = 0,

(б)

где аи Ар си е1, /¡, р1 - постоянные коэффициенты; х,/ -пространственная координата и время (0<х<Ь, (кО) соответственно; д(х,1) - функция состояния системы с распределенными параметрами с некоторыми граничными и начальными условиями; и(х,1) - входное управляющее воздействие распределенного типа, которое удовлетворяет определенным амплитудным ограничениям иЫп ¿и(х,/)£ишх; - белый гауссовский процесс рас-

пределенного типа с нулевым математическим ожиданием и известной ковариацией Граничные условия q(P,0)=q0; 3 г(хк>^) ~

дискретный распределенный выход измерительной системы, индексы к и s означают, что пространственно-временная функция состояния может измеряться только в дискретных пространственных точках хк и в дискретные моменты времени И - заданный весовой коэффициент; £(хк,1^) -белый гауссовский шум измерительной системы распределенного типа с нулевым математическим ожиданием и известной ковариацией К. При выше перечисленных условиях ставится задача оценивания коэффициентов уравнения (5) на основе входа и выхода системы.

Итак, в первой главе рассматриваются: вопросы преобразования линейных и нелинейных статических уравнений, моделей систем распределенного типа к стохастическим моделям в форме моделей ПС; вопросы совокупной проверки свойств моделей в ПС таких как устойчивость, наблюдаемость, управляемость и идентифицируемость с помощью соответствующих индивидуальных критериев; визуальное разделение ряда данных наблюдений на квазистационарные составляющие с подтверждением этого разбиения с помощью критерия Грегори Чоу.

Во второй главе излагается алгоритмическое обеспечение, позволяющее преобразовать исходные уравнения статического характера (заданные в линейной и нелинейной формах), а также уравнения, которые описывают динамический объект в распределенной форме к уравнениям в виде стохастических моделей в ПС.

Пусть исходная статическая модель представлена в виде, когда в регрессионной зависимости зашумлены вход и выход:

I; = а + Ь-Х1 +£;, V; - Х{ + ¿>(-, I =1, N, (7)

где Б} и 8, - случайные величины, характеризующие ошибки значений входа и выхода соответственно; х, - истинные, но неизвестные значения входа системы, N - объем выборки. Относительно шумов €, и 8, очень часто предполагают, что они распределены нормально с нулевым средним и дисперсиями и сг2(у,) соответственно и коэффициентом корреляции р, = 0.

Оценки параметров а и Ъ определяются из условия минимума функционала: F = l/2•]Г;;=J(ft-(а + Ь-х,))2/сг2(У1) + (у1 -х)гкг2(у,)). Истинные значения*,, можно находить из условия: дР/дх\(а = а,Ь = Ь)=0, /=1,и.

К сожалению, такой подход не всегда приемлем на практике. Когда объем выборки п в достаточной степени большой, то соответственно увеличивается число неизвестных до величины и + 2 для системы (7). Здесь возникает множество проблем, связанных, например, с плохой обусловленностью матрицы при решении алгебраических систем уравнений в условиях неточных исходных данных, обладающих в некоторой степени свойством коррелированное™.

В связи с этим в работе предлагается другой, более упрощенный подход. Суть такого подхода состоит в следующем. Пусть значения { / = 1,и } -дискретные значения входа {х,-, г = 1, и} системы с учетом аддитивных шумов наблюдений. «Пилообразный» процесс { /' = 1 ,п} можно сгладить с помощью регуляризирующего кубического сплайна. Алгоритм сглаживания позволяет в первом приближении сгладить процесс { у,-, I = 1, п } и получить новые приближения / = 1,и} относительно истинных значений входа

системы, которые можно подставить в первое соотношение выражения (7) и на основе МНК оценить параметры а и Ь.

Стохастическую модель в ПС иногда эффективнее использовать на практике. Вводятся следующие обозначения: через х1 ) обозначим переменные выхода системы в момент времени tк; через -^(^с) обозначим переменные входа системы в тот же момент времени; через ~

наблюдение за состоянием х[ (¡к), а через у 2 - наблюдение за состоянием хг(*к)- Так как х^) зависит от то мы могли бы сформировать

следующую динамическую модель в форме конечно-разностных стохастических и алгебраических соотношений в ПС.

С помощью процедуры регуляризирующего сплайна значения временных рядов £=0,и-1}и {>"2(^+1), ¿ = 0,и-1} преобра-

зуются во временные ряды {^1(^+1), & = 0,и-1} и {^2(^+1)' А = 0,и-1} соответственно. Подставляя эти значения в соответствующие переменные модели динамики объекта с учетом аддитивных помех, получим соответственно следующую систему двух стохастических уравнений:

= «11 -Ч(1к) + аП -*2('*)+%('*)>

1*2('*+1) = «21 • + «22. * = О.П-1.

Если объем выборки в достаточной степени большой, то с помощью МНК можно получить следующие оценки коэффициентов Оц ~<3ц, Щ2~3у2, «21ю«21> «22 й «22- С учетом полученных оценок мы можем записать соотношения, позволяющие осуществлять прогнозирование и фильтрацию значений переменных состояния с помощью аппарата дискретного фильтра Калмана.

Подход формирования модели системы, связанный с идеей от линейной статики к динамике, может быть легко обобщен на случай от нелинейной статики к динамике.

Инженерный алгоритм преобразования нелинейной статической модели в стохастическую модель в ПС предложен для описания процесса вида

Р{Х,Г) = А-Ха -У1'", (8)

где А, а - некоторые постоянные. Так как к = X/У, то /{к)~ А-ка. Соотношение (8) можно записать как 1п/ = а-1п£ + 1пЛ, а если учитывать ошибки наблюдений и воздействия другого рода возмущений, то можно записать так: 1п/ — а ■ 1пк + Ь + е. Последнее соотношение необходимо для того, чтобы получить возможность провести преобразования по переходу от стационарного регрессионного соотношения к динамической форме представления модели в ПС. Для этого введем следующие обозначения: = 1п& = х2; /+1 = /*+1; к-0,ЛГ-1, что позволяет

записать исходное соотношение в виде х1 (?)=а(1) ■ х2(/)+Щ)+£(/) с учетом того, что временной ряд, как и ряд наблюдения, может обладать свойством нестационарности.

Далее рассмотрим временные ряды для переменных х^^), с

учетом ошибок наблюдения: х^/*) => (г^), ... ,21(Сдг_1), г^/^)},

Запишем уравнения связи между новыми переменными, которые связывают переменные состояния и переменные выхода измерительной системы. Предварительно введем обозначения следующих векторов:

2 - (г1,22)7'- наблюдения, х = (х1,х2)Г- переменная состояния. Уравнение

для наблюдения за состоянием запишем в виде ^ ) = Я • ) + v(fк ).

Теперь исходя из того, что все процессы протекают во времени и скорость изменения динамики можно заложить в переменную производной от вектора состояния, запишем:

{х1(1) = ап-ххЦ) + ап-х2(1)+Ь1-и(1)+к1{1), х1(0) = х10,

1*2(0 = а21 ■х1(0 + а22-х2{() + Ь2-и{() + м>2{г), х2(0) = х20. С учетом уравнения для измерительной системы получим:

(х(1) = А-х(1) + 3-и(г) + И0, х(0)=х0,

Соотношение (9) представляет собой модель исследуемого процесса в форме ПС, заданную с точностью до неизвестных параметров, которые требуются оценить на основе вход-выхода системы. Кроме того, требуется оценить характеристики шумов измерителей, шумов начального состояния и динамики.

Алгоритм преобразования динамической системы с распределенными параметрами (модель, описывающая объект во времени и пространстве) в адекватную стохастическую сосредоточенную модель в ПС в виде обыкновенных стохастических уравнений в конечных разностях (с целью решения задачи параметрической идентификации) предложен в разделе 2.4, Этапы алгоритма.

Шаг 1. Примем интервалы квантования для tux соответственно равными At п Ах. Тогда из (5) получим соотношение в частных разностях:

~2'%s + <7i-l,J+ Т~ТТ(%+U+l ~(lk,s+l ~<Ik+l,s +(lk,s)+ Ax Дх-ЛГ

+~{lk+i,s-qk,s)+^3k,s+1 -itti)+e1 -4k,s + vi-4,s +Л -n,s =°-

Шаг 2. Теперь проведем группировку значений функций q(x,t)no величинам соответствующих координат к и s узлов сетки и переобозначим коэффициенты при дискретных значениях функции q(x,t). Тогда выражение (10) в конечных разностях запишется в виде

а-Як+U +b'4M,s+\ +c'4k,s +dk,s+i+e-qk_ltS +v-uks +p-Mk,s =0. (11) Предположим, что щ s = - белая гауссовская распределенная последовательность с нулевыми средними и конечными дисперсиями.

Шаг 3. Запишем систему уравнений, получаемых из (11) для к-1,2,...., и, затем умножим все соотношения этой системы на (-1), а затем слагаемые, содержащие индексы (s + l), оставим в левой части, а остальные слагаемые с индексами s перенесем в правую часть. Тогда уравнения запишутся следующим образом:

~d%s+l ~b(l2,s+1 =e%,s +c%s +a42,s +Щ,s +PMи =°.

•............... (12)

-dqn,s+1-ЬЧп+и+1 =ecln-l,s +"ln,s ,s +vun,s +PM„,s =°-

Граничные условия для (12) могут быть заданы в виде

0.Дх = 0, (и + 1)-Дх = £. (13)

Шаг 4. Вводя некоторые обозначения, выражение (12) можно записать в векторно-матричном виде

R-Xs+1 =M-XS +G-US +D-ps +{b2 -вя+1 +a2 -0S). (14)

Умножим слева соотношение (14) на R"1, получим X^^R-i-M-Xs + R-i-G-Us + R^-D-Ms + R-1* (J5)

х(1>2-05+1+а2-Ъ +e2-6s).

Шаг 5. Форма представления соотношения относительно выражения (15) требует введения дополнительных обозначений после некоторых

преобразований. Пусть для начала ps =(i?2 '9s\®nxn\a2 ''HsPt

матрица размера (пх(п + 3)). Теперь и - вектор управления увеличим на три компоненты, предварительно введя следующие обозначения: Ф = Я~1 • М\

г=/г_1-д в=я~1а

Все последние матрицы имеют размерность их и. Первую компоненту обновленного вектора и5 заменим 1, а матрица С увеличится первым столбцом матрицы р, и дополнительными (и + 2)-м столбцом и (и + 3)-м

столбцом р,: С = (<г2|л_1-^2 \Ь2\, и!1={\.1}! в,)Т.

Окончательно выражение (15) запишется в виде

Х,+1 = (16)

Временной параметр может принимать значения: 5 = 0,1,2,..., а начальные условия

Л'0=(<71,0 <72,0 - Чп>0 У, (17)

контролируемые входные воздействия окончательно будут иметь размерность вектора (и + 3)х1 и 5 = 0 будет иметь следующую форму

= к "1,0 "2,о ••• ««,о % °*+г)Т' а неконтролируемое входное воздействие ^ будет иметь вид:

Мг=(ми М2,* ••• Мп,*Т-

После введенных обозначений матрица й преобразуется к структуре вида

д G=

а с

0

а

0 0

0 0

0 0

0 О

О О

О

О О

е О

а с

О О а Ь

ях(л+3)

а матрица Г = Е, где Е - единичная матрица.

Шаг 6. Введем обозначения y,=z, Xs=q для уравнения (6) при условии h = const. Тогда соотношение (6) можно записать в следующей векторной форме:

ys=h-Xs+es, ¡ = 0,1,2,.... (18)

Уравнения (16) с начальным условием (17), а также уравнение (18) - есть модель стохастической системы с распределенными параметрами, описываемая в форме ПС во временной области, соответствующая пространственно-временному описанию в форме ПС (5), (6).

Отметим, что описание объекта в форме стохастической модели в ПС позволяет использовать в дальнейшем модель для решения задач предсказания и фильтрации по схеме Калмана.

Алгоритм рекуррентного оценивания параметров обобщенной авторегрессионной модели для нестационарного процесса на подынтервалах,

обладающих свойством квазистационарности, приведен с учетом использования одной важной рекомендации.

Пусть функционирование динамической системы формально описывается в виде s -линейных стационарных уравнений авторегрессии

П ГП

y,(t+1)« • у,(' - /)+ 5А ■«»('- *)+*»(')■

>0 4=1

Матрица постоянных коэффициентов {ау}, {Ь^} размерности (sx«), (j х w) соответственно неизвестна, и задача состоит в том, чтобы по наблюдениям процессов {y,(t+1)}, [уД/)}, ..., tv,f/~«)}> (м,(/-1)}, ... , построить последовательные оценки для{д,у}, {bik}. Поскольку

информация о параметрах {ау}, {bik} заключена в процессах {у, (/ +l)}, ..., {y,{t-n)}, {«,(/-1)}, ... , {ut(t-m)}, то при оценивании этих параметров в принципе можно ограничиться i-м уравнением системы. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать лишь одно уравнение. Пусть система описывается обобщенной авторегрессионной моделью общего вида

y(t)+a1y(t-i)+...+any(t-n)=+b1u(t-l)+...+bmu(t-m) + £(t), (19) где y{t), u(t) - выход и вход процесса в дискретные моменты времени, п> 1, m~i 1, п>т, t=l,2,...,N; N - объем выборки; e(t) - дискретная форма гаус-совской последовательности типа белого шума с нулевым средним, неизвестной, но ограниченной дисперсией и не коррелирующей с u(t). Введем следующие обозначения: хТ =(al,...>a„,bl>...,bm), YT ={y(V),...,y(N)),

vT={e(l),...,e(N)), hJ=[-yit-\),...,-yQ-n), u(t-l).....u{t~m)\ t =

IIT =[hlгде v - (e(l),..., e(N), каждая e(t) - белая шумовая последовательность. Эти обозначения позволяют получить матричную формулу для модели (19) в виде

r = H-x + v. (20)

Для процедуры известного рекуррентного оценивания параметров на подынтервалах, начальную оценку можно получить по МНК.

Далее для оценивания в режиме реального времени требуется переписать уравнение (19) в рекуррентной форме в виде: *(/) = x(t -1) + L{t)\y(t) - hj ■ x(t -1)],

40 l + h\t)-P{t-l)-h{t)' (21)

P(t) = P(t-\) + - л_иТ/

Соотношения (21) определяют алгоритм рекуррентного МНК. Матрицу Р(0) можно определить как ковариационную матрицу вектора начального состояния х(0), которая вычисляется на основе МНК или определятся из соотношения

Предложенный алгоритм оценивания параметров обобщенной авторегрессионной модели в рекуррентной форме позволяет в режиме реального времени получать прогнозные оценки выходных данных на подынтервалах, которые в смежных подынтервалах «сшиваются» с помощью регуляризирующего сплайна.

Таким образом, во второй главе предложены алгоритмы преобразования линейных и нелинейных статических уравнений, моделей распределенного типа к форме стохастических моделей в ПС во временной области. Предлагается использование известного алгоритма рекуррентного оценивания параметров модели обобщенной авторегрессии на подынтервалах с последующей процедурой «сшивания» полученных значений коэффициентов с помощью регуляризирующего кубического сплайна.

В третьей главе описывается методика и особенность построения кусочно-дифференциальной стохастической модели в форме ПС на основе нестационарных рядов данных наблюдений. Алгоритмы, полученные в предыдущих главах, использованы в построении кусочно-дифференциальной стохастической модели для плотности и функции распределения значений длин деталей, характеризующих точность как один из показателей качества продукции. Пусть х(<) - значение истинного состояния (в нашем случае -истинные значения длин деталей) для некоторого значения параметра * е [*о»*лг]> где '> характеризуют номер длины детали в порядке возрастания;

'<- е Мл-], к ~ ~ значения длины на выходе измерительной системы. Независимость и непрерывность значения состояния х(?) от измерительной системы - логически приводят к описанию этого состояния в виде конечно-разностного уравнения, а признак дискретности наших измерений - к виду алгебраических уравнений. Если теперь за начальное значение принять минимальное значение исходного вариационного ряда, то можно предложить к рассмотрению стохастическую непрерывно-дискретную модель в форме ПС на подынтервалах в виде (4)

х = щх + Ь1+\м1, *(0) = х0, Ук =хк +ек, (22)

где х - выход состояния (или частота попадания), - выход измерительной системы, - случайная погрешность к-го измерения (и^ и имеют нормальные распределения, нулевые математические ожидания и дисперсии Q и Л соответственно), х0 - вектор начального состояния с дисперсией Р0. Необходимо оценить параметры д,- и 6/ модели, /=1, М, М- число подынтервалов разбиения.

Исходный интервал наблюдения можно разбить на несколько подынтервалов, в нашем случае мы разбили на два подынтервала [1, 4] и [4, 7], где граница наблюдения определяется существенным изменением поведения процесса (полигона). На каждом интервале вычисляются значения параметров а,- и Ь, и строится математическая модель вида (22). В результате

вычислений для плотности распределения найдены оценки параметров на подынтервалах: [1, 4] - {я,=-СЮ5; Ь, =-5,08} и [4, 7] - {<^=-021; ^ =-2,76}. Дня набора накопленных частот {1, 7, 18, 33, 42, 48, 50} построена гистограмма и по описанной выше процедуре вычислены параметры дифференциальной модели для интервала [I, 7]: {а=-Д09; 6=1058}..

На рис.1 (а) представлены данные накопленных частот и полученная кривая на основе одной дифференциальной модели. Как видно, модель не обладает достаточной точностью аппроксимации.

Рис.1. Данные накопленных частот и графики дифференциальной модели (а) и кусочно-дифференциальной модели (б)

С целью повышения качества модели интервал наблюдения визуально разбивается на два подынтервала [1, 4] и [4, 7]. На каждом подынтервале строится своя дифференциальная модель. Вычисленные параметры моделей для интервалов равны {я(= -0,31; Ь\~ 6,00} и {аг = -0,42; Ъг = 23,80} соответственно. Полученная кривая кусочно-дифференциальной модели представлена на рис. 1(6). Уменьшение погрешности модели на двух подынтервалах может быть показано вычислением значений среднеквадратичных отклонений исходных данных от результатов моделей, которые: для случая модели на всем интервале - 3,49; для кусочно-дифференциальной модели - 1,03.

Для дальнейшего повышения точности аппроксимации можно использовать стохастическую модель в ПС. Но это требует в свою очередь расчетов дисперсии шумов измерителя и динамики, а также ковариационных матриц шумов измерительной системы, шумов начального состояния и шумов динамики в случае векторного состояния системы.

Представим модель временного ряда в терминах дискретной модели в ПС: х(10) = х0, ук=хк+ук, к = 1, N , где хк - истин-

ное значение уровня исследуемого временного ряда {у^ , к = 1, И} в момент времени к до момента к +1, представляющего собой некоррелированную последовательность с неизвестным средним значением ЕК'и'к)]^'} и 1 9

дисперсией ¿Км^) =£?; случайная последовательность с нуле-

2 2

вым средним и неизвестной дисперсией Е\ук ] = <т -Я.

Алгоритм оценивания шумовых характеристик моделей временного ряда

Шаг 1. Формирование последовательности невязок упрощенного фильтра

у<2> и у® в соответствии с выражениями ~Ук-\ > к = 2,М и

Шаг 2. Оценивание среднего значения прироста уровня ряда д по

формуле д(к\к)=д(к-1\к-1)+(У(к-1)У(г^2) -д(к-1\к-1)), к = .

Шаг 3. Построение последовательностей произведений центрированных значений невязок по формуле

Шаг 4. Оценивание дисперсии шума модели динамики с* в соответствии с выражением

¿1{к\к) = а1{к-1\к-1)+(У(к-2))\уУ-д*{к-1\к-\)}, .

Шаг 5. Построение последовательностей значений невязок по формуле

к = 2,3,4,... .

Шаг 6. Оценивание дисперсии шума измерителя а2 на основе выражения а2{к\к) = а2(к-1\к~1)+(\1{к-\))-[ук'1 -а2{к~\\к~\)}, к =

с начальным условием ст2(1|1) = 0 .

Шаг 7. Прогнозированное значение уровня ряда на один шаг х(к +1 (/с) и оценка фильтрации х{к+\\к + Х) выполняются в соответствии с алгоритмом калмановской фильтрации. Алгоритм проиллюстрирован тестовым примером.

Предложенная методика построения кусочно-дифференциальной модели внедрена в практическую деятельность отдела контроля (АО «Востокмаш-завод») при изготовлении металлургического оборудования: редуктора поворота ковша, захвата автоматического и вакуумного ковша. Апробирование методики было осуществлено на тестовых данных. Такая методика позволяет проверять качество продукции, изготовляемой для металлургического оборудования, сократить затраты па проведение натурных испытаний по оценке изделий как одного из технологических показателей продукции завода.

В четвертой главе диссертационной работы решается задача транспортной логистики с использованием методики построения кусочно-дифференциальной стохастической модели в ПС. Установлено, что неэффективное размещение предприятий мукомольно-комбикормового производства на территории региона (области, края) вызывает значительные затраты, связанные с необходимостью перевозки сельскохозяйственной продукции'в больших объемах и на значительные расстояния. В связи с этим особое внимание должно отводиться решению логистических (транспортных) задач прогнозирования количества поставок зерновых культур с помощью

математических моделей, которые необходимы также для решения других прикладных задач.

В данной главе дается методика к описанию динамических систем в форме стохастических моделей в ПС. Пусть динамическая система описывается уравнениями в ПС, или уравнениями вида (4). Для простоты положим п-1, и(() = 1, Я = 1, и используем уравнения вида:

*(0=4*(0+Ди(0+£(0; *(%)=%>

Необходимо оценить значения параметров Д, В- по данным наблюдений УОк )> к = 1,М. Для данных нестационарного поведения исследуемого объекта, с помощью алгоритма Чоу, можно подтвердить визуальное разбиение данных на квазистационарные подынтервалы и затем оценить неизвестные параметры в соответствующих подынтервалах на основе известной входной и выходной информации. Предложенная методика апробирована на тестовых данных (рис. 2).

Рис.2. Кусочно-дифференциальная модель («кусочно-гладкая» линия) и данные наблюдений («пилообразная» линия)

Для данных практического характера, в частности для данных мукомольно-комбикормового комбината, выше изложенная методика позволит записать две модели в пространстве состояний, соответствующие двум наборам данных наблюдений:

fi(/) = Aj ■ x(t) + ¿i • u(t) + e(t), x(tQ) = xQ = y(tx), i = 1,2;

\y(tk) = x(tk) + v(_tk), k=ij.

Полученные оценки параметров динамики системы и применение алгоритма фильтрации Калмана позволят построить три траектории поведения исследуемого объекта (рис. 3) или получить три набора данных:

- набор реальных наблюдений У1 = {у(/Л)Д = 1,10} и Г2 = {у(^)Д=10,12} ;

- набор данных оценок предсказаний динамики объекта ХР1 = {хр^к ),к= 1,10} и ХР2 = {хр(1к),к = Щ2} ;

- набор данных оценок калмановской фильтрации динамики объекта ХР1 = {хД1к ),к = Щ и АУ2={х/(1к ),к = 10Д2} .

500 400 330 200 100 о -100

! | 1 1 $ /^Ул • ! * -реальные .......предсказанные -фтьтрационные

1 1 | ИХ ! 1

( 1 / [

-^ к 1 !\\ 1

10 11 12

Рис.3. Графики поведения реальных, предсказанных и фильтрационных поставок зерновых культур за 12 месяцев

Численные исследования показали, что кусочно-дифференциальная стохастическая модель в ПС точнее описывает наблюдаемый нами процесс. Величины рассогласований, которые характеризуют отклонения между значениями реальных данных и оценок предсказаний, незначительные. Это говорит о гибкости аппарата калмановской фильтрации и о более доверительном отношении к стохастическим моделям в форме ПС. Поэтому полученная модель была использована для помесячного прогнозирования поставок зерновых культур в течении следующего 2002 года.

В заключении сформулированы основные результаты исследования.

В приложении приведены результаты обработки данных и акты о внедрении результатов работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1) алгоритмы преобразования линейных и нелинейных статических моделей в стохастическую модель в ПС для решения задач оценивания состояния системы с помощью уравнений калмановской фильтрации;

2) алгоритм рекуррентного оценивания параметров обобщенной авторегрессионной модели, позволяющий в режиме реального времени получать прогнозные оценки выходных данных на подынтервалах,

обладающих свойством квазистационарности. Представлены численные расчеты;

3) алгоритм преобразования стохастической модели с распределенными параметрами в ПС к адекватной стохастической модели в форме ПС во временной области;

4) алгоритмы вычислений характеристик шумов динамики, начального состояния и измерителей на подынтервалах для скалярного и векторного случаев;

5) методика построения кусочно-дифференциальной стохастической модели в форме ПС на основе нестационарных данных наблюдений, в частности, для использования построенной модели как инструмент, позволяющий решать задачи контроля за качеством продукции;

6) методика построения кусочуо-дифференциальной стохастической модели в форме пространства состояний на основе нестационарного временного ряда как решение задачи транспортной логистики для прогнозирования количества поставок зернового сырья на мукомольно-комбикормовые комбинаты.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Абденова Г.А. Структурно-параметрическая идентификация систем с распределенными параметрами с использованием модели типа «вход-состояние-выход» // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2010. № 1(38). С. 9-16.

2. Абденова Г.А. Прогнозирование значений уровня временного ряда на основе уравнений фильтра Калмана // Ползуновский вестник. Барнаул: АлтГТУ, 2010. № 2. С. 4-6.

3. Абденова Г.А., Апсалямов H.A., Толысбаев Б.С. Прогнозирование уровней поставок зернового сырья на мукомольное производство // Известия международной академии наук высшей школы. Новосибирск: НГТУ, 2006. № 1 (35). С. 114-124.

Публикации в рецензируемых изданиях

4. Абденова Г.А., Мальцев A.C. Кусочно-дифференциальная модель для полигона и кумулянты данных измерений относительно длин выпущенной продукции Н Вестник АлтГТУ. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2006. №2. С. 157-161.

5. Абденова Г.А. Стохастическая нестационарная модель для функции Кобба-Дугласа в пространстве состояний И Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. № 3 (57). С. 41-46.

6. Абденова Г.А. Построение кусочно-дифференциальной модели в пространстве состояний для контроля качества продукции // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. № 3 (57). С.47-56.

7. Абденова Г.А. Прогнозирование некоторых параметров технических систем

на основе моделей регрессионного и динамического характеров // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. № 1 (59). С. 3-12.

8. Абденова Г.А. Адаптивное прогнозирование и фильтрация временного ряда с помощью моделей пространства состояний // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. № 1 (59). С. 35-44.

9. Абденова Г.А. Оценивание коэффициентов авторегрессионной модели в рекуррентной динамической форме // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. № 2 (60). С. 161-164.

10. Абденова Г.А., Воевода А.А. Идентификация непрерывных многомерных систем по дискретным наблюдениям // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. № 2 (60). С. 165-168.

11. Абденова Г.А. К проблеме анализа характеристик моделей систем в форме пространства состояний // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. №3(61). С. 3-10.

12. Абденова Г.А., Воевода А.А. Оценивание параметров и характеристик шумов нестационарных процессов в стохастических системах, описываемых в пространстве состояний // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2010. № 3 (61). С. 11-18.

13. Abdenova G.A., SnisarenkoA. Forecasting of tax receivings using adaptive Kalman filtration // The 7-th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology, KORUS-2003r. C. 45-50.

14. Абденова Г.А., Толысбаев Б.С. Моделирование поставки зерна на мукомольное производство. Т. 2.// VI Средне-европейская научно-техническая конференция «Компьютерные методы и системы в автоматике и электротехнике» «VIMSKAE», Section Marketing and Economies. POLAND: Czestochowa University of Technology, 2005. P. 57-59.

15. Абденова Г.А., Мальцев A.C., Хасанова A. Использование кусочно-дифференциальной модели для оценки качества продукции / Измерение, контроль, информатизация// Материалы 7-й международной научно-технической конференции АптГТУ 1-2 июня 2006г. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2006. С. 51-52.

16. Абденова Г.А., Шайханова А.К. Один подход преобразования регресссион-ной модели к рекуррентной динамической модели / Измерение, контроль, информатизация Н материалы 7-й международной научно-технической конференции АлтГТУ 18-19 мая 2010 г. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2010. С. 51-52.

17. Абденова Г.А., Снисаренко А.В., ТрошинаГ.В, К вопросу построения кусочно-дифференциальной модели в форме пространства состояний для прогнозирования// Материалы III международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Страны СНГ в условиях глобализации», РУДН, Москва, 31 марта - 2 апреля 2004. С. 335336.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20,

тел./факс (383) 346-08-57 формат 60 X 84/16 объем 1.5 п.л. тираж 100 экз. заказ № 98 подписано в печать 15.12.2010 г