автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и алгоритмы синтеза управлений многосвязных динамических систем

На правах рукописи

Каледина Елена Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АЛГОРИТМЫ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЙ МНОГОСВЯЗНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ ДПР 2015

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005566587

Ульяновск - 2015

005566587

Работа выполнена на кафедре фундаментальной информатики в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент, Щенннкова Елена Владимировна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет», профессор кафедры информационных систем

Квитко Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, НОУ ВПО «Мордовский гуманитарный институт», заведующий кафедрой бизнес-информатики, Андронов Артем Николаевич

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет»

Защита диссертации состоится «20» мая 2015 г. В 12"" часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при ФГБОУ ВПО «Ульяновский государственный университет», расположенном по адресу: г. Ульяновск, ул. Набережная р. Свняги, 106, корп. 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ульяновского государственного университета и на сайте ВУЗа http://ppo.ulsu.ru, с авторефератом - на сайте ВУЗа http://ppo.uIsu.ru и на сайте Высшей аттестационной комиссии при Министерстве образования и науки РФ - http://vak.ed.gov.ru.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 432017, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, д. 42, УлГУ, Отдел подготовки кадров высшей квалификации.

Автореферат разослан » сМ-О-рТ^ 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.278.02

кандидат физико-математических наук, доцент М.А. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В настоящее время развитие автоматического управления характеризуется широким внедрением дискретных регулирующих устройств (компьютеры, микропроцессоры и т.д.) при управлении непрерывными динамическими объектами и процессами. Наиболее точно эти процессы описываются математическими моделями, сочетающими непрерывное и дискретное время, то есть, так называемыми, непрерывно-дискретным системами. Проблема разработки управляющих воздействий, обеспечивающих стабилизацию программных движений непрерывно-дискретных систем является предметом многочисленных исследо-

" 1 "* 3 4

вании ■ .

Стоит отметить, что большинство существующих технологических процессов, описываемых непрерывно-дискретными системами - это сложные многосвязные системы, состоящие из отдельных управляемых подсистем, объединенных в единую систему посредством внутрисистемных связей. Их существенным преимуществом является одновременное решение ряда локальных задач и снижение их сложности, повышение надежности работы в целом.

Однако организационная структура управления данных систем усложняется и часто оказывается многоуровневой. Подобное усложнение объектов вызывает возрастание проблемы их математического моделирования с разработкой соответствующих комплексов программ. Поэтому представляет большой интерес разработка методов и алгоритмов построения моделей управлений многосвязных непрерывно-дискретных систем. В рассматриваемых в работе многосвязных системах цифровой регулятор используется для управления непрерывным объектом.

Эффективным средством анализа устойчивости и синтеза управлений для непрерывно-дискретных систем являются различные модификации второго метода Ляпунова. Однако проблема существования общей функции Ляпунова в полном объеме - нерешенная проблема теории управления и ее успешное найдено только для отдельных классов систем5.

В настоящее время метод функций Ляпунова активно используется при исследовании устойчивоподобных свойств решений отдельных классов

' Александров А. Ю., Платонов А. В. Об устойчивости гибридных однородных систем // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Фнз.-мат. науки. -2010. -№ 5 (21). - С. 24-32.

2 Козлов Р. И., Козлова О. Р. Исследование устойчивости нелинейных непрерывно-дискретных моделей экономической динамики методом ВФЛ I, II // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2009. - № 2. - С. 104-113, №> 3, - С. 41-50.

3 20. Васильев С. Н., Косов А. А. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов // Автоматика и телемеханика. -2011.-Вып. 6-С. 27-47.

4 Efimov D., Polyakov A., Fridman Е„ Perruquetti \V„ Richard J.-P. Comments on finite-time stability oftime-delay systcms //Automática. - 50 (2014) - P. 1944-1947.

5 Te Huí, A. N. Mitchel Stability theory for hybrid dynaraical systems // IEEE, Transactions automatic control. - Vol. 43, №4, 1998.

многосвязных систем6-7. Таким образом, можно утверждать о перспективности и актуальности развития исследований вопросов устойчивости и методов построения стабилизирующих управлений для многосвязных управляемых непрерывно-дискретных систем с помощью метода функций Ляпунова.

Объектом исследования являются многосвязные управляемые непрерывно-дискретные системы.

Предметом исследования являются модели управления многосвязных непрерывно-дискретных управляемых систем.

Цель работы - математическое обоснование новых моделей управления многосвязных систем с разработкой соответствующих алгоритмов и программ моделирования стабилизирующих управлений конкретных систем.

Поставленная цель определила необходимость решения следующего комплекса взаимосвязанных задач:

1) теоретическое обоснование и разработка математических моделей управления для многосвязных систем;

2) определение условий для поиска предельных моментов квантования кусочно-постоянных управлений линейных и многосвязных систем;

3) алгоритмизация процесса построения кусочно-постоянных управлений для линейных и многосвязных систем;

4) создание программного комплекса для численной реализации разработанных алгоритмов.

Научная новизна работы заключается в создании новых моделей кусочно-постоянного управления многосвязных систем с разработкой соответствующих алгоритмов и программ расчета стабилизирующих управлений, позволяющих решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых линейными и многосвязными системами.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) метод построения кусочно-постоянных управлений для линейных систем с нестационарными и периодическими матрицами коэффициентов;

2) модель управления стационарных многосвязных систем, стабилизирующая поведение как системы в целом, так н локальных подсистем. Полученный результат распространен для случаев многосвязных систем с нестационарными и с периодическими матрицами коэффициентов;

3) модель кусочно-постоянного управления манипулятора, использующаяся в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве;

6 Васильев С. Н, Маликов А. И. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых гибридных систем // Сборник статей «Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию МММ КазНЦ РАН». - Казань: Фолиант, 2011. - Т. 1. С. 23-81.

Атександров А. Ю. Исследование устойчивости решений одного класса сложных систем С ^М™' С'"ПеТСрбурп У"~та- ~ СеР- 10- Прикл. матсм. информ. прои. упр.- 2011. - № 4. -

4

4) численным метод моделирования движении, описываемых многосвязными системами с кусочно-постоянным управлением с автоматическим расчетом предельного шага квантования, основанным на поиске оценок функций Ляпунова.

5) программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов.

Общетеоретическая значимость н практическая ценность. Теоретической значимостью обладают разработанные модели кусочно-постоянного управления движением многосвязных систем, алгоритм и программный комплекс, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых данными системами. Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что разработанные модели и комплекс программ, их реализующий, могут найти применение при синтезе управляющих воздействий в задачах автомобиле- и авиастроения, робототехники, управления летательными аппаратами и т. д.

Достоверность результатов, представленных в диссертации, обеспечивается корректностью применения методов качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости. Основным математическим аппаратом исследования являются метод векторных функции Ляпунова, системы сравнения и методы стабилизации.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Зубова (Санкт-Петербург, 2010); Международных научно-технических конференциях молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2011, 2012. 2014): Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы науки» (Тамбов. 2011); Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2012); научных конференциях «Огаревские чтения» (Саранск, 2009-2014).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, из которых 5 - в изданиях, входящих в перечень ВАК.

Личный вклад автора. Постановка задач исследования осуществлена совместно с научным руководителем. Все результаты, приведенные в диссертации и выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 150 страниц. Список литературы содержит 123 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, его научная новизна; приводятся сведения об апробации работы и обзор по главам и пунктам.

Первая глава посвящена обоснованию вопросов устойчивости управляемых математических моделей, описываемых многосвязными стационарными системами с кусочно-постоянным управлением.

В п. 1.1 приводятся известные определения и теоремы об устойчивости, необходимые при изложении диссертации.

В п. 1.2 рассматривается модель, описываемая многосвязной управляемой системой вида

где дгЛ. ей .-(л и Ач - постоянные матрицы размерности соответственно п, х п и и,, х/7,.; Ьх - вектор размерности л. / = 1,г/. Управление г/у =ич(рЛ) зависит

от дискретных моментов времени (моментов квантования) и представляет собой кусочно-постоянную функцию на каждом промежутке времени 1 е ( />/;,( /)-1 )/;]; где Л>0 - шаг квантования, р = 0,1,2,... . Управление рассматриваемой системы дифференциальных уравнений на первом отрезке [О,/;] обращается в нуль. В случае, когда управление воздействует только на подсистемы

исходной системы (1) оно зависит только от положений системы в моменты квантования и выбирается как г/Л =А-[.г, (/?//), где к] - постоянный вектор.

С целью доказательства возможности стабилизации системы (1) с помощью кусочно-постоянного управления используется прямой метод Ляпунова. В качестве функции Ляпунова выбирается векторная функция Г(.г) = (1\(х1 ),...,

К/^,,))1 • '^ (л'л ) = л'.ГСлл'у - функции Ляпунова, решающие вопрос об асимптотической устойчивости линейных систем х, =(А,, \ - Г,</. Учитывая условия Н. Н. Красовского8

х,=А,х,+1\и,(р11)+ V Ач-X/, 5 = 1, с/,

(1)

л\ + Ь^и\рЬ), .1 = 1,1/

(2)

КЫ2 ''.(V.) V,

[

(где л,,, /.21, с\ и - положительные постоянные), преобразование рч = \\ ' и найденные оценки невязки л\ -л\(р/;). производная функции Ляпунова принимает вид

Ф.

где

Л

,12-12

ЧИЧ21 -12-12 л11л12

С1И1-/1!

Л 2,1 2

(3)

-1 2 '-11

1-^1 --ч(/'л)

V К

\ьчкч \ . 1 2

Для обеспечения асимптотической устойчивости системы (3) коэффициенты усиления А\ (л- = 1,д) выбираются таким образом, чтобы К с >.- (А) <0, / = 1 ,ц. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если для системы (1) выполняются следующие условия:

1) векторы ЛЧЬХ,.... линейно независимы, s = 1,с/ ;

2) коэффициенты усиления к[ (р = \,с}) такие, что Ке /.,(./) < 0,

то нулевое решение многосвязной управляемой динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями (1) при /; < /?о (/¡о - предельный таг квантования) будет расчетно асимптотически устойчивым.

Для как можно более полного учета фактического характера взаимосвязей подсистем управляющее воздействие для системы (1) можно сформировать в виде

Л р Л

суммы их = ;/л +г/л , где - управления на уровне подсистем (2) (локальное р

управление), lls - управление на уровне исходной системы (1) (глобальное управление). В п. 1.3 получена модель двухуровневого кусочно-постоянного управления, обеспечивающего расчетную асимптотическую устойчивость решений непрерывно-дискретных многосвязных систем. Управляющие воздействия моделируются в виде

= *ЛГзгд(р!,). «.!' = ¿А-^-Ы,). V - Ц . 7=1, /- V

В этом случае в системе (3) матрицы А , В и £(/>/')• определяются следующим образом:

!; у || II Y |!

'I -'12 • Ы12 с\\А\ч+ь\к\ч\

А =

С1

2л,,

Л/1 +ь\кч\\

V12}12

с!-,

И I ")

в =

С, :Ь, к[1 С1 Ы|2]

„12 "И , С2|Ы21 „12 -"11 с2р2к2 1

2)\1 1 "> 12

сч\р<1кч2\ сЧ%к1

2>'2 1 О 2/. " 1'/ 1 2/. " 1</

0 0 Л'2 .VI |/•'//) 0 0

0 0 II ... |.г(/-;

м

За счет выбора коэффициентов усиления kl всегда можно обеспечить асимптотическую устойчивость подсистем (2). причем с заранее заданными корнями характеристического уравнения. Варьируя глобальное управление, можно добиться выполнения условия Rc /. ¡(А) < 0, 5-, /' = \,q .

В п. 1.4 исследуется задача о расчетной асимптотической устойчивости положения равновесия по части переменных непрерывно-дискретной системы вида

— = Л.\' + Bu(ph), (4) dt

где ,х<е R",и е Rr,r<n, А и В - постоянные матрицы размерности соответственно ихи «Xг. Управление ;/=(//,,...,//, )' зависит от дискретных моментов времени и представляет собой вектор, т.е. n(t) = u(ph) = Kx(ph), t e (pli, (p +1)/;], К - постоянная матрица размерности rxn.

Для доказательства возможности стабилизации системы (4) посредством кусочно-постоянного управления используется идея В. 11. Воротникова," построения некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений, называемой р -системой. Доказывается, что вопрос об асимптотической устойчивости непрерывно-дискретной системы по части фазовых переменных сводится к исследованию асимптотической устойчивости положения равновесия вспомогательной и -

системы по всем переменным.

Во второй главе исследуется вопрос моделирования кусочно-постоянных управлений нестационарных систем.

В п. 2.1 рассматривается линейная система вида

— = A(t).x + B(t)ïï, (5) dt

где xeR",ïïeR. A(t) и B(l)~ матрица и вектор размерности соответственно пхп и /ïxl. Предполагается, что их элементы есть непрерывные функции, которые могут быть представлены в виде

где Ло и В0 - постоянные матрица и вектор, V l(>) и \B(t ) - функциональные матрица и вектор такие, что для всех I > О ЛЛ(/); < Cj и ||ЛВ(?)J < ( > О и ¡;: > О -достаточно малые числа). Управление П представляет собой кусочно-постоянную скалярную функцию /?(/) = н

(pli), / е (/;/;, (р + l)/i].

Доказана следующая теорема.

9 Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. - М.: Наука, 1991. - 288 с.

Теорема 2. Если векторы В„, .\ВЦ......-/,',' 'В„ линейно независимы и, кроме

того, система = Л(г).х + В{г)н стабилизируема в целом непрерывным управлением вида и = С„х, то существуют коэффициенты усиления С, ={с„-},- ¡7, » предельный шаг квантования /;0 такие, что нулевое решение системы (5) будет рас-

четно асимптотически устойчивым. Управление и = С1х(рЬ) при этом будет стабилизировать систему (5) при всех Л < Лп.

Полученный результат в п. 2.2 распространяется на нестационарные многосвязные системы

л\ =4(/).у% + 6л.(/)/7,.(рЛ) + ^ аV = (6)

Здесь .V, еЛ"', Л((/)

и А^ (/) — функциональные матрицы размерности соответственно пх х /гч н пх х п^ ; Лл (/) - функциональный вектор-столбец размерности

"л' = Аналогично пункту 2.1 предполагается, что матрицы А,(/) и векторы />,(/) могут быть представлены в виде

Л,(/) = А? + ЛА,(О,М') = + ДМ'). [¿Ч(') еь,||ДЛЛЦ<с2л,

.11 ,а

где Ах и й - соответственно постоянные матрицы и векторы, а А4к (г) и АЬ (/) -функциональные матрицы и векторы, нормы которых ограничены величинами и , .9 = 1 . Управления /7Л формируются на основании измерения переменных л\, в моменты квантования рИ и составляются по правилу

где с' есть постоянные вектора, удовлетворяющие условию Яе/.+ />['с\ )<0. Для систем .V = (^«Р +Ь"с[ )х находятся функции Ляпунова =

Теорема 3. Пусть для нестационарной многосвязной системы (6) выполняются условия:

1) векторы .....(л") линейно независимы, я = 1 ,ц ;

2) Яе/., (Л ° + ) < 0, .V, / = Г,</ ; 5Же/./(Л)<0, где

0<Ф, <А\ -/hv II AA,(t) + Ab^(t)cl ||, II .■lv/(/)|[<H,v/ fA\, m1(/.b, находится из неравенств H. H. Красовского, которым удовлетворяют функции v - l,t/ ). Тогда нулевое решение управляемой многосвязной системы (6) при h < /;0 (h0- предельный шаг квантования) будет расчетно асимптотически устойчивым.

В третьей главе исследуются динамические модели, заданные в виде системы уравнений с периодическими матрицами коэффициентов и кусочно-постоянным управлением.

В п. 3.1 рассматривается система уравнений

х = A(t)x - B{t)u(ph\ О)

где xsR",ueR, A(t), B(l) - непрерывные <»-периодические матрица и вектор размерности соответственно /;х/; и /; х 1 ; ii = ii(ph) - кусочно-постоянное скалярное управление, зависящее от дискретных моментов времени.

Для решения задачи моделирования кусочно-постоянного управления, стабилизирующего систему (7), предлагается перейти от исходной системы к вспомогательной системе с кусочно-постоянными матрицами коэффициентов. Отрезок [0,о>] разбивается на m частей точками ¡/t так, чтобы /0 = 0, /„, = <о. При этом

A(t) и B(l) заменят кусочно-постоянные матрица A"(t) н вектор B*(t): Л*(/)={Л,,...Д„}, irin A(l)<Âk< max Л(/)

'el'c'i.lJ 'e('(.'i-lJ

B*{t)=\~Bx.....B„X mill B(t)<~Bk< 1U1X fi(f), k = 0,/;i - 1

и вспомогательная система будет иметь вид

.v = ,l».Y-£*(/>,(/;/,). /-[().,.,} (g)

В качестве управления полученной системы выбирается вектор, построенный по правилу

u = C'J (t)x(ph\ где С*(0 = С4 при /е(/ь/А+,1 Re/.,(^ +BkC1k)< 0. (9)

Доказывается, что независимо от способа разбиения периода [0, со], матрица монодромии системы с кусочно-постоянными коэффициентами (8) оценивается через матрицу монодромии системы

х = + ' е [О,о} (10).

Далее обосновывается, что управление (9) может быть принято за сколь угодно точное управление исходной системы (7).

Теорема 4. Пусть для системы (8) построено стабилизирующее управление (9). Тогда, если для любого с>0 существует такое разбиение отрезка [0,со], что

коэффициенты управления и = С7 (рЬ) системы (7) удовлетворяют условию

\\СТ(П-С,Т«)\\<^

то верно

\\^V)-x•^t)\\<í■Лme2^■'", где л(/) -решение системы (7), х*(/) -решение системы (10), Ь - число, ограничивающее норму матрицы #(/), Л - число, ограничивающее норму матрицы

■4(1)+ В(1)СТ(/), О - вещественное положительное число.

В п. 3.2 решается вопрос устойчивости положения равновесия управляемой многосвязной периодической системы вида

х^лЛг)х\+ьА')"Лр1>)+ I Л,-('к,-, * = (П)

Для нахождения кусочно-постоянного стабилизирующего управления данной системы также осуществляется разбиение периода [О, о] на т частей точками !'< ¡4 о „, 11 переход к вспомогательной системе с кусочно-постоянными матрицами, которая на промежутках I с (/^ , ^ , | ] принимает вид

_ ч _ _ _

=Лк.',х>+Ьк.',"кЛр>')+ 'Е'к^.Х/, + 5 = 1,<7, к = 0,т-

/=1

Управление данной системы выбирается в виде //¿Л = (/;/;), исходя из условий теоремы 1. Для системы (11) управление формируется в виде их =С* (г )х гд.....СИ)()с;И=Сь. при ГеСь'А-м! * = 0,»»-1.

Таким образом, при наложении дополнительных условий, диктуемых теоремой 1, для многосвязной периодической системы (11) будет верна теорема 4.

В качестве иллюстрирующего примера в п. 3.3 находится кусочно-постоянное управление для линейной непрерывно-дискретной системы второго порядка с периодическими коэффициентами

Г-,;(/)_-=

где р(г),(/(г) - непрерывные о-периодические функции, г = »■(/;/;) - кусочно-постоянное управление.

В главе 4 исследуется эффективность построенных моделей управления для решения задач прикладного значения с разработкой соответствующих алгоритмов и программ. Разрабатываются алгоритмы построения кусочно-постоянных управлений для линейных и многосвязных систем.

В п. 4.1. рассматривается задача о стабилизации углового движения летательного аппарата с помощью кусочно-постоянного управления. Математическая модель, описывающая движение летательного аппарата, имеет следующий вид

Ф + С,ф = -С,б, (12)

ге+о = ки{ри\

где ф - угол рыскания, ф - угловая скорость вращения вокруг вертикальной осн. Й - угол поворота вертикального руля относительно положения равновесия, Т - постоянная времени, К - постоянный коэффициент размерности рад'сек.

Первое уравнение соответствует математической модели колебаний летательного аппарата относительно оси рыскания, а второе - рулевой машине. Переобозначив переменные 6 = х,, ф = .г-,, ф = л'з система (12) примет вид

х = Л\ +Ви, и = и(рЬ). (13)

Задача нахождения стабилизирующего кусочно-постоянного управления состоит из двух этапов: нахождения коэффициентов усиления кусочно-постоянного управления п определение шага квантования. Очевидно, что шаг квантования должен быть достаточно малым, так как при уменьшении периода квантования ошибка приближенных методов в сравнение с точными уменьшается. Однако выбор слишком маленького шага нецелесообразен, поскольку это требует существенных вычислительные ресурсов, может приводить к эффекту нестабильного квантования и пропуска такта. Предельный шаг квантования определяется на основании оценок

П. Н. Красовского как численное решение уравнения

'' *

2л, с ;./, 2с/. 2 __ [

с/

2л->

• ' • /• ,1 ■ вс' ■ вс'

где /. = --, с = —-!--, л п. с/ - положительные постоянные

2 /^-р + Л^

числа, определяемые неравенствами Н. Н. Красовского, которым удовлетворяет функция Ляпунова для системы (13).

Алгоритм нахождения стабилизирующего кусочно-постоянного управления для модели вида (13), включающий в себя вычисление предельного шага квантования данной системы состоит из следующих пунктов:

1. Задание системы (13). Проверяется условие управляемости пары (А, В).

2. Синтез непрерывного управления.

2.1. Осуществляется переход к непрерывной системе х = (А + ВСТ )х с соответствующим непрерывным управлением и = С' х.

2.2. Для полученной непрерывной линейной системы строятся коэффициенты усиления так, чтобы выполнялось условие Яе'/.,(А + ВС' )<0, находится функция

Ляпунова и соответствующие оценки Н. Н. Красовского.

3. Дискретизация управления. На основе оценок Н. Н. Красовского определяется предельный шаг квантования .

Далее проведено численное моделирование процесса стабилизации движения при следующих данных: К = 1, Г = 1, С, = 1, С2 = 2, 6 = 0.8, ф = 0.35, ф = 1. Его результаты при найденном кусочно-постоянном управлении показаны на рисунке 1.

В п. 4.2 строится модель кусочно-постоянного управления для решения задачи перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве. Манипуляционные системы, как и вообще роботы, состоят из механической части системы и приводов, обеспечивающих работу отдельных степеней подвижности

механизма. Рассматривается случай, когда каждая из п степеней подвижности активного механизма снабжена отдельным приводом, каждый из которых можно считать линейной стационарной системой, т. е. система представляется в виде многосвязной системы с кусочно-постоянным управлением

л\ + 1\п^(р1,)+ V s = ü¡, (14)

/-1.

где вектор состояния имеет размерность А =6, лг = (.v1,.v-,,.ví,.y4..v5,.v6)7 =

, 1 ■ 1 2 • 2 1 ■ 3 s Т i ■ ¡

= (q ,q ,q ,q ,q ,q ) , q -угол, q - угловая скорость для i -и степени подвижности).

Рассматривается процесс синтеза кусочно-постоянного управления в многосвязной системе, описывающей перемещение конца схвата манипулятора вместе с объектом манипулирования по заданной траектории в пространстве.

На основе теорем, доказанных в главах 1-3, предложен алгоритм построения стабилизирующего управления для системы (17).

Алгоритм:

1. Задание многосвязной системы (14). Выделяются линейные управляемые подсистемы л\ = Л,х + Bji,(ph), происходит выбор вида управления. Также проверяется условие управляемости многосвязной системы (14) и пар (.1,, ), s = 1 ,q.

2. Синтез непрерывного управления на уровне линейных подсистем.

2.1. Осуществляется переход к соответствующим непрерывным линейным подсистемам

л\ =(.< (15)

с непрерывным управлением = А\гл\.

2.2. Для непрерывных линейных систем (15) строятся коэффициенты усиления так, чтобы выполнялось условие Re/.;M, + В,к')< О, s = \,q.

2.3. Выбор функции Ляпунова Г(.г)= (гД.г,).....))7 для исходной системы (14).

3. Дискретизация управления. Для каждого элемента 1\(хк) функции Ляпунова находятся оценки неравенств Н. 11. Красовского. На основании найденных оценок определяется предельный шаг квантования /í„ = min ¡/í0 ' управлений

ns = k].rs (ph). s = 1 ,q.

4. Моделирование коэффициентов А\ и предельного шага квантования h¡¡ происходит таким образом, чтобы кусочно-постоянные управления были технически реализуемы. Отметим, что данный пункт содержит в себе различные условия в зависимости от вида рассматриваемой многосвязной системы, а также от выбора

локального или двухуровневого управления и включает в себя проверку условий теорем, доказанных в главах 1-3.

Работу данного алгоритма можно представить в виде схемы на рисунке 2.

Рис. 2. Алгоритм построения стабилизирующего кусочно-постоянного управления для

многосвязной системы

Результаты компьютерного моделирования процесса перемещения конца схвата манипулятора по заданной траектории с кусочно-постоянным управлением представлены на рисунках 3 (а-г). В качестве исходных выступают следующие данные: с/1 =1.8, </'=0.35, qz =\, цг = 2.98, ц' = 2.46, </'= 3.7. На рисунке 3 (а-в) показаны результаты моделирования линейных подсистем, а на рисунке 3(г) -исходной многосвязной системы (17).

а) стабилизация относительно б) стабилизация относительно

переменных I/1, </'; переменных </2, ¿¡~\

16

переменных I/1, I/ '; относительно всех переменных.

Рпс. 3. Процесс стабилизации системы (17) с использованием кусочно-постоянного

управления.

Основным результатом п. 4.2 является программный комплекс, который позволяет проверить условия существования кусочно-постоянных управлений многосвязных систем со стационарными матрицами коэффициентов, построить стабилизирующее управление и определить предельный шаг квантования.

В заключении приведены основные результаты работы, оценивается степень выполнения поставленных задач.

Основными результатами работы являются следующие:

1.Дано теоретическое обоснование использования кусочно-постоянного управления для стабилизации движения математических моделей, описываемых многосвязными системами. Доказаны теоремы о существовании кусочно-постоянных стабилизирующих управлении для линейных систем и многосвязных систем со стационарными, нестационарными и периодическими матрицами коэффициентов;

2. Разработан метод построения кусочно-постоянного двухуровневого управления, обеспечивающего расчетную устойчивость движения многосвязной системы;

3. Построена модель кусочно-постоянного управления манипулятора, которая использована в задаче перемещения его схвата по заданной траектории в пространстве;

4. Разработан комплекс программ, позволяющий решить задачу математического моделирования управляемых процессов, описываемых многосвязнымп системами с кусочно-постоянным управлением.

В приложении представлены исходные тексты комплекса программ численного моделирования процесса стабилизации углового движения летательного ап-

парата, описываемой системой непрерывно-дискретных уравнений, а также программа моделирования кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной траектории в пространстве.

Автор выражает благодарность научному руководителю, профессору кафедры фундаментальной информатики Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева, доктору физико-математических наук Щенниковой Елене Владимировне и профессору кафедры прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики доктору физико-математических наук Щенникову Владимиру Николаевичу за постановку задач, детальное обсуждение результатов работы и всестороннюю помощь.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Лизина Е. А., Щенников В. Н. Двухуровневая стабилизация многосвязной гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями // Системы управления и информационные технологии - №2(44), 2011. - С. 30-34.

2. Лизина Е. А., Щенников В. Н. Стабилизация многосвязной управляемой гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями // Известия ВУЗов. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. -№4(20). - С. 14-24.

3. Лизина Е. А. Стабилизация линейной непрерывно-дискретной нестационарной системы // Системы управления п информационные технологи - №1(47),

2012. - С. 35-38.

4. Лизина Е. А., Щенников В.11.. Щенникова Е. В. Стабилизация непрерывно-дискретных систем с периодическими матрицами коэффициентов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2013. -№ 1.-С. 181-195.

5. Дружинина О.В., Каледина Е.А., Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Стабилизация многосвязной управляемой манипуляционной системы с использованием кусочно-постоянного управления И Системы управления и информационные технологии. - №4(58). - 2014. - С. 55-59.

Прочие издания

6. Лизина Е. А. Устойчивость линейных многосвязных управляемых гибридных динамических систем с неперекрывающимися декомпозициями // Устойчивость и процессы управления. Всероссийская конференция, посвященная 80-летню со дня рождения В.И. Зубова. - Санкт-Петербург, 1-2 июля 2010 г. - С.-Петербург: ВВМ, 2010.-С. 331-332.

7. Лизина Е. А. Устойчивость движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы // Вестник Мордовского университета. Серия физико-математические науки. - № 3. - 2010. - С. 63-65.

8. Лизина Е. А. Двухуровневая стабилизация многосвязной гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных н социальных проблем: сборник статей V Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2011. - 300 с.

- С. 62-65.

9. Лизина Е. А. О стабилизации управляемой гибридной системы с неперекрывающимися декомпозициями // Актуальные проблемы науки: сб. науч. Тр. По материалам Международ, науч-практ. конф. 27 сентября 2011 г.: в 6 частях. Часть 3; М-во обр. и науки РФ. Тамбов: Пзд-во ТРОО «Бизнес-наука-творчество», 2011.

- 167 с.-С. 70-72.

10. Лизина Е. А. О стабилизации линейной непрерывно-дискретной системы с периодическими коэффициентами // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей VI Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2012. - 208 с. - С. 58-64.

11. Лизина Е. А. О стабилизации системы второго порядка с помощью кусочно-постоянного управления // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции, Воронеж, 26-28 ноября 2012 г.: в 2 ч. Часть 2. - Воронеж: Пздательско-полиграфнческий центр Воронежского государственного университета, 2012. -311 с.-С. 197-200.

12. Лизина Е.А., Хохлова О. В., Щенникова Е. В.Компьютерное моделирование задачи линейного программирования с разбросом коэффициентов в среде Mathcad // Вестник Мордовского университета. Серия физико-математические науки. - № 2. - 2012. - С. 198- 200.

13. Лизина Е. А., Щенникова Е. В. Стабилизация многосвязной непрерывно-дискретной неавтономной системы // Вестник Мордовского университета. Серия физико-математические науки. - № 2. - 2012. - С. 98- 103.

14. Лизина Е.А., Щенникова Е. В. Стабилизация динамической системы второго порядка с помощью кусочно-постоянного управления // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. - 2013. - Т. 13. - № 4. - С. 89 - 94.

15. Lizina Е. А. Stabilization of multivariable continuous-discrete system with periodic matrix of coeffitient // Современные тенденции развития науки : материалы Всероссийс. очно-заочн. науч. конф. молод, учен, на англ. яз. - Саранск: Пзд-во Мордов. ун-та, 2013. - 125 с. - С. 57-60.

16 Лизина Е.А. Алгоритм построения кусочно-постоянного управления в задаче перемещения схвата манипулятора по заданной // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей. VIII Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2014. - С 178-183.

Подписано в печать 03.03.15. Объем 1,25 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 207. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24