автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Проверка гипотез о дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского процесса

На правах рукописи

Токарева Елена Геннадьевна

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О ДИСПЕРСИИ НЕСТАЦИОНАРНОГО НЕКОРРЕЛИРОВАННОГО ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

05.13.18 -«Математическое моделирование, -численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2003

Работа выполнена на кафедре математики филиала Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Терпугов А.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Нагорский П.М. кандидат физико-математических наук, доцент Астафуров В.Г.

Ведущая организация: Белорусский государственный университет (г. Минск).

Защита состоится 25 сентября 2003 г. в 10 часов 30 минут на заседании Диссертационного Совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах) просьба высылать по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36, ученому секретарю университета Буровой

Н.Ю.

Автореферат разослан августа 2003 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 212.267.08 кандидат технических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Несмотря на обилие экспериментальных работ, посвященных изучению помех, действующих в каналах радиосвязи и радиолокации, в настоящее время нет общепринятой модели таких помех. Ее создание существенно осложняет то обстоятельство, что мощность реальных помех, действующих в каналах радиосвязи и радиолокации, изменяется со временем случайным образом, то есть реальные помехи относятся к классу так называемых дважды стохастических процессов, еще очень слабо изученному.

При экспериментальном исследовании таких помех возникает очень много вопросов. В частности, к таким вопросам относятся следующие:

- является ли наблюдаемый шум стационарным, или его мощность изменяется со временем;

- если шум нестационарен, то по какому закону меняется его мощность;

- если имеются две выборки шума, сделанные в разных местах или в разное время, то можно ли сказать, что мощность шума в этих выборках изменяется по одному и тому же закону.

Данная диссертационная работа посвящена тому, чтобы в результате статистической обработки данных ответить на эти вопросы и тем самым дать экспериментаторам статистические критерии для обработки их экспериментальных данных.

Состояние проблемы. По-видимому, наиболее адекватной реальности моделью помех в каналах радиосвязи и радиолокации была бы модель широкополосного шума, мощность которого меняется со временем случайным образом, то есть модель в виде так называемого дважды стохастического процесса. Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: рассматривается какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, и эти характеристики берутся зависимыми от другого случайного процесса, который обычно называют управляющим случайным процессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим

J

В настоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов. Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастические пуассоновские потоки событий. В работах Л. Гела, М. Ньютса, Л. Зеелена выполнен анализ систем массового обслуживания при поступлении потока требований, интенсивность которого изменяется случайным образом (дважды стохастический пуассоновский процесс поступления требований). Эти потоки имеют следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий, интенсивность которого зависит от управляющего процесса. Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем, диффузионный марковский процесс, чисто разрывный марковский процесс. Эти дважды стохастические потоки достаточно хорошо описывают сигналы, получающиеся при лазерном зондировании атмосферы, прохождения излучения через вещество и тому подобное. В работах по этим потокам рассматривается широкий круг вопросов - изучение характеристик этих потоков, фильтрация, оценка характеристик управляющего процесса и так далее.

Вторьм классом дважды стохастических потоков, которые также нашли достаточно большое отражение в литературе, являются дважды стохастические авторегрессионные модели. В них рассматривается процесс авторегрессии какого-то порядка, и коэффициенты этого процесса берутся зависящими от другого случайного процесса. Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом. В литературе также исследованы характеристики таких процессов, оценки параметров управляющего процесса и так далее.

В настоящей работе делается попытка изучить дважды стохастический гауссовский процесс. Автору не удалось найти работы, посвященные исследованию таких процессов. В общем случае следовало бы взять гауссовский случайный процесс и сделать его математическое ожидание и дисперсию зависящими от какого-то управляющего процесса. Однако, такая модель очень сложна для исследования и может быть предметом дальнейшей работы. Поэтому, в данной диссертации рассмотрена более простая модель, а именно: берется гауссовский

процесс с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией и независимыми значениями. Значения этого процесса умножаются на некоторый другой процесс, который считается детерминированным. Это приводит к тому, что измеренные значения результирующего процесса имеют различную дисперсию. В работе и рассматриваются некоторые вопросы, касающиеся проверке гипотез о дисперсии такого процесса, который условно назван нестационарным белым гауссовским шумом.

По своей тематике работа относится к разделу математической статистики, известному как анализ временных рядов..

Цель работы. В работе ставилась задача разработать алгоритмы для проверки следующих статистических гипотез.

1. Гипотеза о равенстве дисперсии заданной функции.

2. Гипотеза о пропорциональности дисперсии заданной функции.

3. Гипотеза о равенстве дисперсий в двух выборках.

4. Гипотеза о пропорциональности дисперсий.

В работе строятся тесты для проверки сложных стохастических гипотез, основанные на идее, высказанной впервые, по-видимому, в диссертационной работе Василевской Т.П. и в дальнейшем подробно развитой в работах Е.Е. Змеевой. Эта идея выглядит следующим образом.

Пусть имеется сложная гипотеза Я0 против сложной альтернативы Я1. Для ее построения надо построить статистику 5, обладающую следующими свойствами.

1. м{$\Н0}=0;

2. Л/{5|Я,}>0;

3.

4. Желательно, чтобы статистика 5 при гипотезе Я0 была бы

асимптотически нормальной.

Тогда процедура вынесения решения имеет вполне естественный вид: если окажется, что 5<С , где С - некоторая константа, то надо принять гипотезу

Я0 , а если 5>С - отвергнуть ее.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Проверка выводов об асимптотической нормальности статистик проводилась методом имитационного моделирования на ЭВМ.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты.

1. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса.

2. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве масштабного множителя заданной функции для случая произвольного процесса.

3. Вид статистики (в классе степенных функций), обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса.

4. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов.

5. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов.

6. Асимптотические свойства всех рассмотренных статистик (сходимость почти наверное и в средне-квадратичном, асимптотическая нормальность) в случае коррелированных гауссовских случайных процессов.

Теоретическое значение работы, по мнению автора, заключается в методике построения статистик для проверки статистических гипотез, обеспечивающих максимизацию отношения сигнала к шуму. Автору представляется, что эта методика может быть распространена и на другие задачи.

Практическое значение работы, по мнению автора, заключается в том, что предложенные тесты могут быть полезны при обработке экспериментальных

данных, касающихся изучения шумов в различных радиодиапазонах.

Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы - 141 страница. Список литературы включает 57 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, приводится краткий обзор основных результатов по данной проблеме, представлены цели работы и основные результаты.

В первой главе рассматривается следующая ситуация: имеется выборка {;>:,,jc2,•••,*„} объема п. Считается, что х, - независимые нормальные случайные величины с М{х,} - 0. Рассматривается проверка двух следующих гипотез.

1. Гипотеза 1.

#0: V/ = V« 0{*,Ь/(0, Н\ '■ З/eû £>{*,}* ДО,

где /(/) - заданная функция.

2. Гипотеза 2.

tf0:V/ = û d{x,}~ С• f{i), Я,: 3ielsi d{x,}*C-f(i). где С - некоторый неизвестный сомножитель, не зависящий от /.

Основная идея заключается в нахождении статистик S, обладающих следующими свойствами:

1. m{S|#0}=O

2. A/{s|#,}>0 ;M{s|#}=0 тогда и только тогда, когда верна гипотеза Я = Я0.

3. Z){s|tf0}=l.

4.Статистика S асимптотически нормальна при п <х>.

Приведем результаты. Гипотеза 1.

1. С использованием метода обобщенного отношения правдоподобия получена статистика

S =

-С

где = 1.46103093..a C = l + y + ln2, у - постоянная Эйлера. Показано, что

1 lnAT.-lX

V"4 1=1

где К, = D{x,}//(0. Она обладает всеми требуемыми свойствами.

В качестве величины, характеризующей мощность статистики, как и в работах Е.Е. Змеевой, была выбрана величина

Аф1я,}-Аф|я0}

Ф = -

■Щщ]

которая условно была названа отношением сигнала к шуму. Для приведенной выше статистики получено, что

Ып

где Ф0 =1/2^ = 0.432241... .

2. Поставлена и решена задача о нахождении функции ср(-) для которой

статистика вида

1 ^

^т-R

обладает всеми требуемыми свойствами и максимизирует величину Ф . Показано, что эта статистика имеет вид

„2

s =

1

V24/J ,=1

/ *4 X'

/2 0 7® ,

s

Она имеет все требуемые свойства; в частности, для нее

и Ф0 = д/з/8 = 0.6123724..., что больше, чем у предыдущей статистики.

3. Рассмотрена более общая проблема, когда величины х, - независимые случайные величины с плотностями вероятностей

7ГШ

где функция р(х) обладает следующими свойствами

/>(*)>(), = 1,-00<Х<+00.

— 00

Рассматривается проверка статистической гипотезы вида

Я0: У/=1~п /(/) = /о(г), Я,: 3/6 1,« /(/)*/„(/),

где /0(/) - заданная функция от /.

Для проверки этой гипотезы предлагается использовать статистики вида

1 "

V" ,=1

/ л X,

/о(0.

обладающие указанньши выше свойствами и максимизирующие величину Ф , Показано, что оптимальный вид функции ф(г) следующий

ф(*) =

р(г) р(г)

где

V -00

V —оо

!

Р(г) Р(.г)

Гипотеза 2.

Для проверки этой гипотезы рассматриваются статистики вида

»=1

*,У/(0 1>,7/0)

где ф(и') =/ир1- некоторая константа.

Показано, что, после соответствующей коррекции, эти статистики обладают указанными выше свойствами. При объеме выборки п -> оо максимальное значение Ф получается при ц = 2 и статистика для проверки гипотезы 2 имеет вид

1=1__^

.«=1

х х 3

где г, =-т=4=, или =—гг. Для нее при п~> оо ф0 = 0.61237244....

7/(0 ДО л/24

Во второй главе была рассмотрена следующая ситуация. Пусть имеются две выборки (х1,х2,...,лгп) и (у,,у2,...,>'„) го двух независимых некоррелированных гауссовских процессов одного и того же объема. Считается, что математические ожидания х, и у, равны нулю, а дисперсии равны цД/) и £)Д0. Таким образом, дисперсии выборочных значений х, и у, - Ох(0 и оДО - меняются от измерения к измерению и вид этой зависимости неизвестен.

В данной главе рассматривается проверка двух статистических гипотез.

Гипотеза 3. Гипотеза о равенстве дисперсий. Она имеет вид

Я0:У/ = й ¿>,(0 = 0,(4 #,: Згей ДДО*£>,(/)

Гипотеза 4. Гипотеза о пропорциональности дисперсий. Она имеет вид Я0: V/= =

Я,: Э/бй Ох[})*С Ву{}\

где С - некоторая неизвестная константа.

Для построения статистик для проверки этих гипотез использовалась та же идея, что и в предыдущей главе. Гипотеза 3.

1. Используя критерий обобщенного отношения правдоподобия, получена статистика

1 " 5 = —. ^^

л]пС1 ,=1

1п

и. +7

1

-2Ы2

где и, = XI/у, . Показано, что эта статистика обладает всеми требуемыми свойствами. Для нее

М{Б | Я^-^^^ЦИ- К^-ЫК,-21п2), т^пСу 1=1

где К^рМ/Оу® и

ф=М^|Я,|-М{5|Я0} 1 1 у

так что для данного критерия

Ф0=-^=г = 0.27557... .

1

л/сГ

2. Рассмотрены статистики вида

1 " ЫпР ы

где Р и Q - некоторые константы, подбираемые из условий М{Б \ Н0} - 0 и | Я0} = 1. Функция <р(ы) выбирается из условия Ф => шах . Показано, что функция ф(и), обладающая этим свойством, имеет вид

г ( \ х1 \

ф -2

V /

ф(и) =

м4+1

МГ"

а сама статистика для проверки гипотезы 3 - вид

где

Для этой статистики

/ \ Х1 \ 3

ф --

v 4 У

У?

М{Б\Н0}

■Ш

М^\НХ}-М^\Н0} л/32 1 А/ у

так что в этом случае

Ф0 =^1 = ^ = 035355.... 0 16 4

Гипотеза 4.

Для проверки этой гипотезы предложена статистика

/ Ф 3-т/с N 3

V п % V и ; 4 У

где С - оценка параметра С, полученная по методу максимального правдоподобия. Она находится из уравнения

1 А Си,2 ^ 1 « 1 + Си,2 ~ 2 '

где, как и выше, и,=х,/у1 . Показано, что это уравнение имеет единственный

корень и, если верна гипотеза Н0, то С—пн >С при и -» °о .

В третьей главе исследованы асимптотические свойства статистик, полу-

ченных в главах 1-2, для случая коррелированных случайных процессов.

Для случая гипотез, рассмотренных в главе 1, принимается следующая модель: процесс х, является гауссовским случайным процессом с А/{х,} = 0 V/. Дисперсии этих величин £>{х,} = /(;), то есть они зависят от номера /. При гипотезе Н0 считается, что £){х,} = /(г), при альтернативе Я, - что 1>{х,} = /соотношение /(г)//(') в дальнейшем всюду будем обозначать как К,.

Считается, что величины х, коррелированны и их коэффициент корреляции согг(х,,х;)= гц. Ниже будет изучаться лишь случай, когда гу зависят лишь от разности ¡-], то есть гу = г(г-у) и г(-.у)=Это соответствует тому, что

процесс х, /7/(')>»- 1,2,3,... является стационарным случайным процессом.

Рассмотрим проверку статистической гипотезы вида

//0 : V/ = £>{х,} = /(4 Я,: 3/е\п 1){х, }=/,(/)*/(/)

Основные полученные результаты представляют собой следующие доказанные теоремы.

СО

Теорема 3.2.1. Пусть верна гипотеза Я0 и <+°°. Тогда при

и -> оо статистика

„2

1 л Si—I

л

Х' -бАт+3

v/20) /0)

сходится к нулю в средне-квадратичном и почти наверное.

оо

Теорема 3.2.2. Пусть верна гипотеза Я0 и ]Гг4(.у)< +со. Тогда при

i=i

и да статистика

j "fx4 х2 является асимптотически нормальной с M{S2} = 0 и

£){52}=:24 1 + 2|у(5) . Теорема 3.2.3 Пусть все К, =/| (/)//(/) равномерно ограничены, то есть

п

ЗК < +оо такое, что V/ К, < К и ^г2(У) < +оо. Тогда при п -» да статистика

5=1

«.-Л/О) -А1'

при п -> оо сходится к нулю в среднеквадратичном и почти наверное.

Теорема 3.3.1 Пусть величины К, равномерно ограничены, то есть

п

ЗК <+<» такое, что V/ К, < К и ряд сходится. Тогда

ji

1 м

f 2 ^ 70) 1Ж

при п -» оо сходится к нулю в среднеквадратичном и почти наверное.

Для случая проверки гипотезы о пропорциональности дисперсий доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.4.1 Пусть 3 К такое, что V/ К, < К ,3сг > О такое, что

1 А

i=i

i=i

V л Sr2(,s)<+a0- Тогдапри п —><х>

1 л _4 1 и

(') з ntl

Л » j V Z'- » ^

-»О

1 " v

ivi.

-S/WJ

1 " v".=1 ;

почти наверное.

Теорема 3.4.2 Пусть верна гипотеза Н0 , то есть V/ £>{х,} = С •/(/) и ряд

ао

< +оо. Тогда при п -* оо статистика

j=i

5 = ^«

(\ » г2 ^ 1 ^ X,

-3

«Ш)

является асимптотически нормальной с нулевым математическим ожиданием и

дисперсией О = 24

1+25ум

Когда речь пойдет о проверке гипотез о равенстве или пропорциональности дисперсий, то надо будет рассматривать два процесса - х,,х2>*з>-" и У\,Уг,У},,— В работе исследована следующая модель:

1. Процессы {х,} и (у,} независимы.

2. И процесс {х,}, и процесс {у,} обладают теми же свойствами, что и указанные выше, причем коэффициенты корреляции гц для обоих процессов одинаковы.

Основные результаты следующие.

Теорема 3.5.1. Пусть верна гипотеза #0 : V/ = \,<я о{х1} = £>{у,}. Если ряд

СО

]ГИ(.?) сходится, то при п ->ао статистика

1 " "<=1

( ( \ х, \ з 1

ф --

\ 4 /

~>0

в среднеквадратичном и почти наверное.

Здесь, как и в главе 2, <р(и)=(1 + и4 )/(1 + и2 ^ . Кроме того, показано, что при я->оо статистика

1 " V« /=1

( с \

<Р

\Уи -у

является асимптотически нормальной с = 0 и дисперсией

¡л

оо

Теорема 3.5.2. Если ряд ]>/2 (5) < +«э, то при п оо статистика

1=1

( V к? ±к,+ Г

ф ч (К.+1? )

в среднеквадратичном и почти наверное.

В четвертой главе, ввиду сложности теоретического исследования, был выбран путь имитационного моделирования для выяснения того, при каких объёмах выборки можно считать, что, при верности нулевой гипотезы, распределение статистики нормальное, и использовать в качестве порогового значения то значение Са, которое было найдено в тексте глав 1 - 2.

Подводя итоги результатам имитационного моделирования предложенных в работе статистик можно сказать, что гипотеза об их асимптотической нормальности, при верности нулевой гипотезы, проходит по уровню значимости 5% при объёмах выборки более 300.

Однако этот вывод верен лишь для случая некоррелированного процесса. Для случая коррелированного процесса требуется дополнительное исследование со значительно большим объёмом имитационного моделирования.

Публикации по работе.

Результаты работы опубликованы в следующих статья и материалах научных конференций:

1. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского шума. //Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 73-80.

2. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий в двух выборках нестационарного некоррелированного гауссовского шума. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 1: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 75-84.

3. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о пропорциональности дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского шума заданной функции. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 1: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 85-98.

4. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о масштабном множителе в выборке из независимых случайных величин. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 2: Сборник статей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. С. 79-85.

5. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотез о равенстве масштабных множителей в двух независимых выборках //Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. Материалы международной научно-практической конференции. Новочеркасск: Учебно-производственный центр «Набла» Южно-российского государственного технического университета (НПИ), 2001. С. 24-25.

6. Токарева Е.Г. Асимптотические свойства статистик для проверки гипотез о дисперсии гауссовского процесса. //Известия вузов. Физика. 2003. №3. С. 55-61.

7. Токарева Е.Г. Двумерное распределение Коши. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып.5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 191194.

8. Токарева Е.Г. Асимптотические свойства статистик для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух гауссовских процессов. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып.5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 195201.

Апробация работы.

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:

1. Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса». Анжеро-Судженск 2000.

2. Межрегиональной научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Анжеро-Судженск, 2001 г.

3. Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Новочеркасск, 2001.

4. Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2002.

Заказ № 316 Тираж 100 экз. Формат 60x84

Подписано к печати 2£~.0б.№г Отпечатано на ризографе АСФ КемГУ 652470, г. Анжеро-Судженск, ул. Ленина, 8.

Введение

Глава 1. Проверка гипотез о дисперсии нестационарного некоррелированного шума

1.1 Постановка задачи

1.2 Тест, основанный на обобщенном отношении правдоподобия

1.3 Оптимальная статистика для проверки гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции

1.4 Оптимальный вид функции ф

1.5 Проверка гипотезы о равенстве масштабного множителя заданной функции в выборке из независимых случайных величин

1.5.1 Постановка проблемы

1.5.2 Построение статистик

1.5.3 Частный случай

1.6 Проверка гипотезы о пропорциональности дисперсии нормального гауссовского шума заданной функции

1.6.1 Формулировка задачи

1.6.2 Проверка наличия локального экстремума

1.6.3 Доказательство локального минимума

1.6.4 Окончательный вид статистики

1.6.5 Определение оптимального значения ц, 54 Резюме

Глава 2. Проверка гипотез о соотношениях дисперсий в двух выборках нестационарного некоррелированного гауссовского шума

2.1 Постановка задачи

2.2 Статистика, основанная на обобщенном отношении правдоподобия

2.3 Построение локально оптимального критерия для проверки гипотезы о равенстве дисперсий

2.3.1 Построение статистики

2.3.2 Нахождение функции ф(м)

2.3.3 Свойства функции f{k)

2.3.4 Вид критерия

2.4 Проверка гипотезы о равенстве масштабных множителей в двух независимых выборках

2.5 Оценка коэффициента пропорциональности в отношении дисперсий 80 Резюме

Глава 3. Исследование свойств статистик для проверки гипотез о дисперсиях в случае коррелированных гауссовских процессов

3.1 Модели процесса

3.2 Исследование квадратичного критерия

3.3 Исследование статистики, основанной на обобщенном отношении правдоподобия

3.4 Критерий пропорциональности дисперсии заданной функции

3.5 Свойства статистики, используемой для проверки гипотезы о равенстве дисперсий

3.5.1 Двумерное распределение Коши

3.5.2 Асимптотические свойства статистики при верности гипотезы Н

3.5.3 Асимптотические свойства статистики при альтернативе Нх

Резюме

Глава 4. Имитационное моделирование предложенных статистик

4.1 Цели моделирования

4.2 Датчики случайных чисел 118 4.4 Результаты моделирования 120 Резюме

Актуальность работы. Несмотря на обилие экспериментальных работ, посвященных изучению помех, действующих в каналах радиосвязи и радиолокации, [2, 3, 8, 19, 33, 35, 36, 57], в настоящее время нет общепринятой модели таких помех. Ее создание существенно осложняет то обстоятельство, что мощность реальных помех, действующих в каналах радиосвязи и радиолокации, изменяется со временем случайным образом, то есть реальные помехи относятся к классу так называемых дважды стохастических процессов, еще очень слабо изученному.

При экспериментальном исследовании таких помех возникает очень много вопросов. В частности, к таким вопросам относятся следующие:

- является ли наблюдаемый шум стационарным, или его мощность изменяется со временем;

- если шум нестационарен, то по какому закону меняется его мощность;

- если имеются две выборки шума, сделанные в разных местах или в разное время, то можно ли сказать, что мощность шума в этих выборках изменяется по одному и тому же закону.

Данная диссертационная работа посвящена тому, чтобы в результате статистической обработки данных ответить на эти вопросы и тем самым дать экспериментаторам статистические критерии для обработки их экспериментальных данных.

Состояние проблемы. По-видимому, наиболее адекватной реальности моделью помех в каналах радиосвязи и радиолокации была бы модель широкополосного шума, мощность которого меняется со временем случайным образом, то есть модель в виде так называемого дважды стохастического процесса. Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: рассматривается какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, и эти характеристики берутся зависимыми от другого случайного процесса, который обычно называют управляющим случайным процессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим случайным процессом [41].

В настоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов. Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастические пуассоновские потоки событий [11-17, 29, 37, 38, 43, 47, 48, 53, 54, 56]. В работах Л. Гела [46], М. Нойтса [50, 51], JI. Зеелена [49] выполнен анализ систем массового обслуживания при поступлении потока требований, интенсивность которого изменяется в случайные моменты времени (дважды стохастический пуассоновский процесс поступления требований - справочник [30], Дж. Грэндел [47] ). Эти потоки имеют следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий, интенсивность которого зависит от управляющего процесса. Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем, диффузионный марковский процесс, чисто разрывный марковский процесс. Эти дважды стохастические потоки достаточно хорошо описывают сигналы, получающиеся при лазерном зондировании атмосферы, прохождения излучения через вещество и тому подобное. В работах по этим потокам рассматривается широкий круг вопросов - изучение характеристик этих потоков [41, 47, 54], фильтрация [37, 38], оценка характеристик управляющего процесса [11-17] и так далее.

Вторым классом дважды стохастических потоков, которые также нашли достаточно большое отражение в литературе, являются дважды стохастические авторегрессионные модели. В них рассматривается процесс авторегрессии какого-то порядка, и коэффициенты этого процесса берутся независимыми от другого случайного процесса. Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом [53]. В литературе также исследованы характеристики таких процессов [52], оценки параметров управляющего процесса [20,27, 55] и так далее.

В настоящей работе делается попытка изучить дважды стохастический гауссовский процесс. Автору не удалось найти работы, посвященные исследованию таких процессов. В общем случае следовало бы взять гауссовский случайный процесс и сделать его математическое ожидание и дисперсию зависящими от какого-то управляющего процесса. Однако, такая модель очень сложна для исследования и может быть предметом дальнейшей работы. Поэтому, в данной диссертации рассмотрена более простая модель, а именно: берется гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией и независимыми значениями. Значения этого процесса умножаются на некоторый другой процесс, который считается детерминированным. Это приводит к тому, что измеренные значения результирующего процесса имеют различную дисперсию. В работе и рассматриваются некоторые вопросы, касающиеся проверке гипотез о дисперсии такого процесса, который условно назван нестационарным белым гауссовским шумом.

По своей тематике работа относится к разделу математической статистики, известному как анализ временных рядов.[1,4, 5]. v

Цель работы. В работе ставилась задача разработать алгоритмы для проверки следующих статистических гипотез.

1. Гипотеза о равенстве дисперсии заданной функции.

Пусть имеется выборка [хьх2,.,хп] объема п. Считается, что х{ — независимые нормальные случайные величины с M{xi) = 0. Проверяемая гипотеза имеет вид: tf0:V/ = M £>{*,} = /(i), где /(/) - заданная функция.

2. Гипотеза о пропорциональности дисперсии заданной функции.

При тех же предположениях, что и выше, проверяется гипотеза

Я0:У/ = й D{xl) = C-f{i), H.iSieln £>{*,}* С-/(/), где С - некоторый неизвестный сомножитель, не зависящий от i.

3. Гипотеза о равенстве дисперсий в двух выборках.

Пусть имеются две выборки {хх,х2,.,хп) и {yXiy2,.,yn) ш двух независимых некоррелированных гауссовских процессов одного и того же объема. Считается, что математические ожидания xt и у( равны нулю, а дисперсии равны Dx(i) и D (i). Таким образом, дисперсии выборочных значений х( и yt — Dx{i) и Dy(/) - меняются от измерения к измерению и вид этой зависимости неизвестен.

Проверяемая гипотеза имеет вид tf0:V/ = й Dx(i) = Dy(i\ Я,: 3ieXn Dx(i)±Dy(i).

4. Гипотеза о пропорциональности дисперсий. Проверяемая гипотеза имеет вид tf0:V/ = U Dx(i) = C-Dy{i\ Hl: 3iel,n Dx{i)*C• Dy{i\ где С - некоторая неизвестная константа.

В работе строятся тесты для проверки сложных стохастических гипотез, основанные на идее, высказанной впервые, по-видимому, в диссертационной работе Василевской Т.П. [7] и в дальнейшем подробно развитой в работах Е.Е Змевой [21-26]. Эта идея выглядит следующим образом.

Пусть имеется сложная гипотеза Н0 против сложной альтернативы Нх. Для ее построения надо построить статистику S, обладающую следующими свойствами.

1.M{S|#0}=0;

2. М^Я^О;

3. £>{s|#o}=L

4. Желательно, чтобы статистика S при гипотезе Н0 была бы асимптотически нормальной.

Тогда процедура вынесения решения имеет вполне естественный вид: если окажется, что S<C, где С - некоторая константа, то надо принять гипотезу Н0, а если S>C - отвергнуть ее.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Проверка выводов об асимптотической нормальности статистик проводилась методом имитационного моделирования на ЭВМ.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты.

1. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса.

2. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве масштабного множителя заданной функции для случая произвольного процесса.

3. Вид статистики (в классе степенных функций), обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса.

4. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов.

5. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов.

6. Асимптотические свойства всех рассмотренных статистик (сходимость почти наверное и в средне-квадратичном, асимптотическая нормальность) в случае коррелированных гауссовских случайных процессов.

Теоретическое значение работы, по мнению автора, заключается в методике построения статистик для проверки статистических гипотез, обеспечивающих максимизацию отношения сигнала к шуму. Автору представляется, что эта методика может быть распространена и на другие задачи.

Практическое значение работы, по мнению автора, заключается в том, что предложенные тесты могут быть полезны при обработке экспериментальных данных, касающихся изучения шумов в различных радиодиапазонах.

Краткое изложение содержания работы.

В первой главе была рассмотрена следующая ситуация: имеется выборка {хг,х2,.,хп} объема п. Считается, что xt — независимые нормальные случайные величины с М{xt} = 0. Рассматривается проверка двух следующих гипотез.

1. Гипотеза 1.

H0:Vi = й D[Xi} = f(i), H^.Bieln D{Xi}*f(i), где /(0 — заданная функция.

2. Гипотеза 2.

H0:\/i = U £>{*,} = С •/(/), Я,: 3 ielji D{xi}^C- f(i). где С - некоторый неизвестный сомножитель, не зависящий от i.

Основная идея заключается в нахождении статистик S, обладающих следующими свойствами:

1. М{5Г|Я0} = 0

2. m{s\h1}>0;m[s\h}=0 тогда и только тогда, когда верна гипотеза

3. D{S\H0 }=1.

4.Статистика S асимптотически нормальна при п -> оо. Приведем результаты.

Гипотеза 1.

1. С использованием метода обобщенного отношения правдоподобия получена статистика

S = 1 yjn-Cj /=1

X;

In 2 \ ^ xt

АО 1/(0

-с

J К)J у где =1-46103093., а C = l + y + ln2, у - постоянная Эйлера. Показано, что где Кi = D{xt}//(/). Она обладает всеми требуемыми свойствами.

В качестве величины, характеризующей мощность статистики, как и в работах Е.Е. Змеевой [21-26], была выбрана величина p{s\H0\ ф = которая условно была названа отношением сигнала к шуму. Для приведенной выше статистики получено, что ф=фо4№-1)2. где Ф0 = - 0.432241. .

2. Поставлена и решена задача о нахождении функции ф(-) для которой статистика вида

С 2

-R ы 1/(0 обладает всеми требуемыми свойствами и максимизирует величину Ф. Показано, что эта статистика имеет вид

1 п - 1 У х* х2 N

1 -бЛт+з

V24^trU2(0 /(О

Она имеет все требуемые свойства; в частности, для нее m{s\hl} = jffj{ki-\)2, V 8л г=1 и Ф0 = лУЗ/8 = 0.6123724., что больше, чем у предыдущей статистики.

3. Рассмотрена более общая проблема, когда величины xt — независимые случайные величины с плотностями вероятностей f \ X; гит где функция р(х) обладает следующими свойствами оо p(x)>0, Jp(x)dx = l, — оо <х< +оо.

00

Рассматривается проверка статистической гипотезы вида tf0:V;=U f(i) = fM

Нх: Зге \,п f(i)*f0(i)9 где /0 (/) - заданная функция от i.

Для проверки этой гипотезы предлагается использовать статистики вида

1 п

V" /=1 f \

Xi МО. обладающую указанными выше свойствами и максимизирующую величину Ф. Показано, что оптимальный вид функции ср(z) следующий p{z) p(z) где х=

2+j —00 з p\z)p\z) dz

00 —CO

Ш2 № dz

A = \l

00 I p{z) p{z) p(z)dz .

Гипотеза 2.

Для проверки этой гипотезы рассматриваются статистики вида \ i=E<p 1 п М где cp(w) = и ц > 1 - некоторая константа.

Показано, что, после соответствующей коррекции, эти статистики обладают указанными выше свойствами. При объеме выборки п —> со максимальное значение Ф получается при ц = 2 и статистика для проверки гипотезы 2 имеет вид

S =

2>f п

•=1 г п ^

L V /=1 У

X/

X; где г. = г-Л-v, или =—7-V. Для нее при п -> оо Ф0->-7= = 0.61237244. v/W ДО

Во второй главе была рассмотрена следующая ситуация. Пусть имеются две выборки {х1,х1,.,хп) и (У1,У2>--->УП) из ДВУ* независимых некоррелированных гауссовских процессов одного и того же объема. Считается, что математические ожидания xi и yi равны нулю, а дисперсии равны Dx (/) и D (i). Таким образом, дисперсии выборочных значений xt и — Dx{i) и

D (i) — меняются от измерения к измерению и вид этой зависимости неизвестен.

В данной главе рассматривается проверка двух статистических гипотез.

Гипотеза 3. Гипотеза о равенстве дисперсий. Она имеет вид tf0:V* = M Dx(i) = Dy(i),

Я,: Э/eU Dx(i)*Dy(i).

Гипотеза 4. Гипотеза о пропорциональности дисперсий. Она имеет вид

0:V/ = U Dx(i) = C-Dy(i), Нх: 3/el,w Dx(i) Ф С • Dy(i), где С - некоторая неизвестная константа.

Для построения статистик для проверки этих гипотез использовалась та же идея, что и в предыдущей главе. Гипотеза 3.

1. Используя критерий обобщенного отношения правдоподобия, получена статистика

1 п

In 1

U: u

-21n2 nj где w, = xifyi. Показано, что эта статистика обладает всеми требуемыми свойствами. Для нее

M{S\Hl} = -^fj{l\n{\ + Ki)-\nKi-2ln2), л1пЧ ,=1 где Kt = ^Dx{i)jDy[i) и ф = М{5[Я1}-М{^|Я0} 1 1 л/Q так что для данного критерия

4сх

2. Рассмотрены статистики вида ф -L = 0.27557. > \ ф -Q

V t n

4nPbi где P и Q- некоторые константы, подбираемые из условий M{S \ Н0 } = 0 и D{S | Hq) = 1. Функция ф(и) выбирается из условия Ф max.

Показано, что функция ф(и), обладающая этим свойством, имеет вид ч и4 +1 pW=7—гй> l + и2[ а сама статистика для проверки гипотезы 3 — вид

•ft

V П 1=1 f / л -л х. 3 ф 1 —

Ч UJ 4J где

Для этой статистики Ф

УО (*? + Л2Г и

М{5|Я0} = J±X ni=i

Kt~ 1 и ряЛ , 16 ' ' ' так что в этом случае

Гипотеза 4.

Ф, л/32 л/2

16 4 0.35355. .

Для проверки этой гипотезы предложена статистика з' п 7=1 Ф л/г

У 4/ А где С - оценка параметра С, полученная по методу максимального правдоподобия. Она находится из уравнения

1Л Си} =1 n^\ + Cuf~ 2' где, как и выше, ui =xi/yi. Показано, что это уравнение имеет единственный корень и, если верна гипотеза Я0, то С—при п —» оо.

В третьей главе исследованы асимптотические свойства статистик, полученных в главах 1-2, для случая коррелированных случайных процессов.

Для случая гипотез, рассмотренных в главе 1, принимается следующая модель: процесс л;, является гауссовским случайным процессом с

М{х;}= О Vz. Дисперсии этих величин £>{*,} = /(/)> то есть они зависят от номера i. При гипотезе Я0 считается, что D{xi} = f(i), при альтернативе Нх - что D{xt} = fx(/). Отношение f\{i)/f(i) в дальнейшем всюду будем обозначать как К{.

Считается, что величины х, коррелированны и их коэффициент корреляции согг(л:г,Ху)= rtj. Ниже будет изучаться лишь случай, когда rtj зависят лишь от разности i- j, то есть rtJ =r{i-j) и r(-s) = r(.s). Это соответствует тому, что процесс xj^j/(/), i = 1,2,3,. является стационарным случайным процессом.

Рассмотрим проверку статистической гипотезы вида Я0: = M D{Xi} = f(i), Я,: 3/ей £{*,} = /i(0*/('") Основные полученные результаты представляют собой следующие доказанные теоремы.

00

Теорема 3.2.1. Пусть верна гипотеза Я0 и ^V4(,s)<+oo. Тогда при п—> оо статистика x2 Л бЛт+з пШЧi) f(i) J сходится к нулю в средне-квадратичном и почти наверное. w

Теорема 3.2.2. Пусть верна гипотеза н0 и ^r4(s)<+oo. Тогда при и —> оо статистика

1 п =-4=2 4

Х' б^т + 3

2 ЛЙ1/2(0 "ЛО является асимптотически нормальной с m{s2}= 0 и d{s2} = 24

1 +

5=1

Теорема 3.2.3 Пусть все ki = /i(*)//(0 равномерно ограничены, то есть п зк < +оо такое, что V/ kt<k и ^r2(s) < +оо. Тогда при п оо статистика Л

5 = 1

I J r2 утт - 6-^f-r + 3 - 3(АГ. -1) tfl/2(0 /(О при и оо сходится к нулю в среднеквадратичном и почти наверное.

Теорема 3.3.1 Пусть величины к{ равномерно ограничены, то есть п зк < +оо такое, что V/ kt<k и ряд ^r2(s) сходится. Тогда

1 п

In s=l f г \ XT il/(0 1/(0

-с- (кi - In kt -1) j v/y при и -»оо сходится к нулю в среднеквадратичном и почти наверное.

Для случая проверки гипотезы о пропорциональности дисперсий доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.4.1 Пусть 3 к такое, что V z к{ < к; 3 ст > 0 такое, что

1 £

V п — ^tKi > a; JV2(s)< +ао. Тогда при п -» оо п 71 i=i

5=1 почти наверное.

Теорема 3.4.2 Пусть верна гипотеза #0, то есть V/ D{xt} = C• f(i) и

00 ряд ^ r2(s) < +00 • Тогда при п —> оо статистика

5=1 s=4n

Iv-inhf2{i) куАУ nhm является асимптотически нормальной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D = 24

I+22>4W

5=1

Когда речь пойдет о проверке гипотез о равенстве или пропорциональности дисперсий, то надо будет рассматривать два процесса - х1гх2,х3,. и у1,у2,у3,.В работе исследована следующая модель:

1. Процессы {*, } и {>>, } независимы.

2. И процесс {*,}, и процесс {>>,} обладают теми же свойствами, что и указанные выше, причем коэффициенты корреляции rtJ для обоих процессов одинаковы.

Основные результаты следующие.

Теорема 3.5.1. Пусть верна гипотеза Н0 : V/ = l,oo £>{*,} = £>{у,}. Если

00 ряд r4(s) сходится, то при п —> оо статистика

5=1

1 п

Г \ Ф

V Uv 3 4 О

3.70) в среднеквадратичном и почти наверное.

Здесь, как и в главе 2, ф(и) = (1 + м4)/(1 + и2)2 . Кроме того, показано, что при л—»оо статистика является асимптотически нормальной с M{s} = 0 и дисперсией

51 s=l

Теорема 3.5.2. Если ряд ^ < +00 > то при п -» оо статистика s=l

Sl fiil-^ilUo

->o

3.81) в среднеквадратичном и почти наверное.

В четвертой главе, ввиду сложности теоретического исследования, был выбран путь имитационного моделирования для выяснения того, при каких объёмах выборки можно считать, что, при верности нулевой гипотезы, распределение статистики нормальное, и использовать в качестве порогового значения то значение Са, которое было найдено в тексте глав 1-2.

Подводя итоги результатам имитационного моделирования предложенных в работе статистик можно сказать, что гипотеза об их асимптотической нормальности, при верности нулевой гипотезы, проходит по уровню значимости 5% при объёмах выборки более 300.

Однако этот вывод верен лишь для случая некоррелированного процесса. Для случая коррелированного процесса требуется дополнительное исследование с гораздо большим объёмом имитационного моделирования.

Публикации по работе.

Результаты работы опубликованы в следующих статья и материалах научных конференций:

1. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского шума. //Математическое моделирование. Кибернетика, Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 73— 80.

2. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий в двух выборках нестационарного некоррелированного гауссовского шума. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 75-84.

3. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о пропорциональности дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского шума заданной функции. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 85-98.

4. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о масштабном множителе в выборке из независимых случайных величин. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 2. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. С. 79-85.

5. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотез о равенстве масштабных множителей в двух независимых выборках //Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. Материалы международной научно-практической конференции. Новочеркасск: Учебно-производственный центр «Набла» Южно-российского государственного технического университета (НПИ), 2001. С.24-25.

6. Токарева Е.Г. Асимптотические свойства статистик для проверки гипотез о дисперсии гауссовского процесса. //Известия вузов. Физика. 2003. №3. С. 55-61.

7. Токарева Е.Г. Двумерное распределение Коши. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 191-194.

8. Токарева Е.Г. Асимптотические свойства статистик для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух гауссовских процессов. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 195-201.

Апробация работы.

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:

1. Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса». Анжеро-Судженск 2000.

2. Межрегиональной научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Анжеро-Судженск, 2001 г.

3. Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Новочеркасск, 2001.

4. Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2002.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги, можно сказать, что в данной работе рассмотрены две ситуации.

Ситуация первая. Имеется выборка {х19х2,.^хп} объема п. Считается, что Xj - независимые нормальные случайные величины с М{х{} = 0. Рассматривается проверка двух следующих гипотез.

1. Гипотеза о равенстве дисперсии заданной функции.

0 : V/ = й D{Xi} = f(i), где /(/') - заданная функция.

2. Гипотеза о пропорциональности дисперсии заданной функции. tf0:Vi = U D{Xi} = С•/(/), Я,:3/ей £>{*,.}*С•/(/). где С - некоторый неизвестный сомножитель, не зависящий от i.

Ситуация вторая. Имеются две выборки (х1,х2,.,хп) и (У1,У2>--->УП) из двух независимых некоррелированных гауссовских процессов одного и того же объема. Считается, что математические ожидания х; и у{ равны нулю, а дисперсии равны Dx(i) и Dy{i). Таким образом, дисперсии выборочных значений xt и у{ - Dx(i) и D (i) - меняются от измерения к измерению и вид этой зависимости неизвестен.

В данной главе рассматривается проверка двух статистических гипотез. Гипотеза о равенстве дисперсий.

H0:Vi = йг Dx(i) = Dy(i), Я,: З/ей Dx(i)*Dy(i). Гипотеза о пропорциональности дисперсий.

Я0:У/=й Dx(i) = C-Dy(i), Нг: 3ie\,n Dx(i)*C• Dy(i\ где С — некоторая неизвестная константа.

Для построения тестов для проверки этих гипотез систематически реали-зовывалась следующая идея: найти статистику S, обладающую следующими свойствами:

1. лф|я0}=о.

2. М{5|Я,}>0; Лф|#} = 0 тогда и только тогда, когда верна гипотеза Я = Я0.

3. £>{s|tf0}=l.

4.Статистика S асимптотически нормальна при п -» оо.

Так как таких статистик много, то накладывалось дополнительное условие: статистика должна максимизировать величину ф = Д/{у|Я1}-Д/{у|Я0} которая условно была названа отношением сигнала к шуму. Тогда построенная статистика будет давать в некотором смысле локально наиболее мощный критерий.

Эта задача уже имеет единственное решение. Такие статистики были построены для всех перечисленных выше гипотез. Были исследованы условия, при которых эти статистики сходятся почти наверное, в средне квадратичном и являются асимптотически нормальными. Методом имитационного моделирования оценен объем выборки, при которой эта асимптотическая нормальность имеет место.

В заключение я хотела бы выразить мою глубокую благодарность Елене Евдокимовне Змеевой за большое внимание и помощь в работе.

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. -М.: Мир, 1976. -755с.

2. Бакут П.А., Большаков И.А., Герасимов Б.М., Курикша А.А., Репин В.Г., Тартаковский Г.П., Широков В.В. Вопросы статистической теории радиолокации. -М: Сов. радио. 1963, Том 1. -424с.

3. Бакут П.А., Большаков И.А., Герасимов Б.М., Курикша А.А., Репин В.Г., Тартаковский Г.П., Широков В.В. Вопросы статистической теории радиолокации. -М.: Сов. радио. 1964, Том 2. -1079с.

4. Бендат Д., Пирсон А. Прикладной анализ случайных данных // Перевод санглийского. -М.: Мир, 1989. -540с.

5. Бокс Д., Джекинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. -М.:

6. Мир, 1974. Вып. 2. -1997с.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., исправленное. -М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1986. -544 с.

8. Василевская Т.П. Сравнение интенсивностей проверка гипотезы о наличиитренда интенсивности пуассоновских потоков: Дис. на соиск. учен. степ, канд. физ.- мат. наук. Науч. рук. А.Ф. Терпугов,- Томск, 1989. -177л.

9. Вудворд Ф.М. Теория вероятностей и теория информации с применениямик радиолокации. Пер. с англ., под. ред. Горелика Г.С. Изд-во Сов. радио. 1955.

10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. -М.: Наука, 1988. -447 с.

11. Леман Э. Проверка статистических гипотез. -М.: Наука, 1964. — 498 с.

12. Горцев A.M., Баранник Н.Ф. Оценка максимального правдоподобия параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий //Радиотехника. 1991, № 12.-С. 20-25.

13. Горцев A.M., Катаева С.С. Оптимизация гистерезисиой дисциплины обслуживания несимметричным резервным каналом. //Изв. вузов. Физика. 1996. №4.-С. 3-10.

14. Горцев A.M., Катаева С.С. Оптимальное подключение несимметричного резервного прибора к однолинейной СМО в нестационарных условиях. //Радиотехника. 1994, № 8. -С. 20-24.

15. Горцев A.M., Климов И.С. Оценивание периода наблюдаемости и интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1996, № 2. -С. 8-11.

16. Горцев A.M., Климов И.С. Оценивание параметра знакопеременного пуассоновского потока событий //Радиотехника. 1994, № 8. —С. 3-9.

17. Горцев A.M., Климов И.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его не наблюдаемости //Радиотехника. 1991, № 12. -С. 3-7.

18. Горцев A.M., Нежельская JI.A., Шевченко Т.И. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. вузов. Физика. 1993. № 12.-С. 67-85.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Физматгиз, 1963. —1100 с.

20. Гримм. Основные характеристики внешнего шума //Зарубежная радиоэлектроника. -1960, № 6.

21. Денио Кл., Оппенхейм Ж., Виано Кл. Выборка в случайные моменты времени, параметрическое оценивание //Мат. стат, теор. вероят., комбинаторика и их применения: Тр. 1 Всемир. конг. о-ва Бернулли, Москва Тула, Вып. 2. Секц. 6-8. М., 1988. -С. 184-189.

22. Змеева Е.Е. Проверка гипотез о дисперсиях нестационарного белого гауссовского шума в случае двух выборок// Теория, практика, инновация: научно-методическая конференция. Тез. доклад. -Анжеро-Судженск, 1996. — С. 57-59.

23. Змеева Е.Е., Терпугов А.Ф. Проверка гипотез о дисперсии нестационарного белого гауссовского шума // Известия вузов. Физика. 1997. № 4. -С. 56-62.

24. Змеева Е.Е., Терпугов А.Ф. Проверка гипотез о пропорциональности дисперсии шума заданной функции.// Наука, образование, производство: интеграция и новые технологии. Тез. доклад. -Анжеро-Судженск, 1997. — С. 7-39.

25. Е.Е. Zmeeva. The testing of hypothesis about equality of variances of non stationary white gaussian noise with two samples. //VII Белорусская математическая конференция. Тезисы докладов. Часть 3. Минск, 1996г, с. 20-21.

26. Змеева Е.Е., Терпугов А.Ф. Проверка гипотез о пропорциональности дисперсии нестационарного белого гауссовского шума.//Физика. 1998. № 4.

27. Идрисов Р.Ф. Статистический анализ дважды стохастической авторегрессионной модели // Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов. Тезисы докладов. Гродно. 1988. С. 42-43.

28. Кендал М.Д., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.-899с.

29. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. — М.: Наука, 1966. -243с.

30. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. Справочник. Киев: Наук, думка. 1983. -368с.

31. Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Наука, 1985. -640с.

32. Крамер А.И., Линдбеттер М. Стационарные случайные процессы. — М.: Мир, 1987.-313с.

33. Левин Б.Р. Теория случайных процессов и ее применение в радиотехнике. -М.: Сов. радио. 1960.

34. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

35. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ., под ред. Левина Б.Р. М.: Сов. радио. 1961. Том 1.

36. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с англ., под ред. Левина Б.Р. -М.: Сов. радио. 1962. Том 2.

37. Потосина С.А., Терпугов А.Ф. Линейная фильтрация случайных процессов при измерениях в случайные моменты времени //Изв. вузов. Физика. 1994. №2.-С. 67-72.

38. Потосина С.А., Терпугов А.Ф. Фильтрация дважды стохастических рекуррентных точечных процессов //Радиотехника. 1991. № 12. — С. 20-25.

39. Радюк Л.Е., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. -Томск.: Изд-во Том. ун-та, 1988. -174с.

40. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. —М.: Наука, 1968.-547 с.

41. Скляревич А.Н., Скляревич Ф.К. Вероятностные методы объектов с возможными изменениями. Рига: Зинатне. 1989. - 366с.

42. Терпугов А.Ф. Математическая статистика. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974.-136с.

43. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. -Томск.: Изд-во ТГУ. 1989. -285с.

44. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. —280 с.

45. Хеннекен П.А., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1974. -472с.

46. Goel L.R. Transient solution of a certain type of heterogeneous queues //Trab. Estadist. Inversting. Operstiva. 1979. Vol. 30, № 3. -P. 63-70.

47. Grandell J. Double stochastic Poisson processes. Lecture notes in mathematics 529. -Berlin: Springer Verl. 1976.-234p.

48. Helm W.E., Woldmann K.H. Optimal control of arrivals to multiserver queues in a random environment //J. Appl. Probab. 1984. -Vol. 21, № 3. P. 602-615.

49. Hoorn M.N., Van, Seelen L.P. The SPP/G/1 queue: A single server queue with a switched Poisson process as input process //OR Spectrum. 1983. —Vol. 5, № 4.-P. 207-218.

50. Neuts M.F. The M/M/I queue with randomly varying arrival and service rates //Op. Research. 1978.-Vol. 15,-P. 139-157.

51. Neuts M.F. A queuing model for a storage buffer in whish the arrival rate is controlled by a switch with a random delay //Performance Evaluation. 1985. -Vol. 5, №4-P. 243-256.

52. Nicholls D.F. The Box-Jenkins approach to random coefficient autoregressive modeling. //Applied Probability Trust. 1986. -P. 231-240.

53. Ray D. On the autoregressive model with random coefficients. //Calcutta Statist. Assos. Bull. 1983, 32 № 127-128. P. 136-142.

54. Snyder D.L. Random point processes. N.Y. Wiley. 1975.

55. Tjostheim D. Some doubly stochastic time series models. //J. of Time Series Analysis, Vol.7, № 1. 1986. -P. 51-71.

56. Tran-Gia P. A renewal approximation for the generalized switched Poisson process //Math. Computer performance and reliability: Proc. Intern. Workshop. Pisa, Italy, Sent. 26-30. 1983. Elsevier: Sci. Publ. 1984. -P. 167-179.

57. Wiesner D. Source noises and their influence on radar systems. //Trans. IRE. 1954. DE-1. № 4.