автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Нелинейная фильтрация интенсивности дважды стохастических точечных случайных процессов

РГ6

- г*' ? : 7 ' }

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.2

Федосов Евгений Николаевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ТОЧЕЧНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

05.13.16.— применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск — 1997

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Томского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физико — математических наук, профессор Терпугов А.Ф. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико — математических наук, профессор Глазов Г.Н. кандидат технических наук Катаева С.С.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

НИИ систем управления, волновых процессов и технологий при Сибирской аэрокосмической академии ( г. Красноярск ).

_ -¿С'шАт , в 'Аш на „и

диссертационного совета Д 063.53.03 в Томском государственном университете ( 634050, Томск, пр. Ленина 36 ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан "ЯР" 1997 г.

УЧЕНЫЙ СЕКРЕТАРЬ

диссертационного совета кандидат физико —

математических наук, доцент /-) / / , Тривоженко Б.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы

Проблема исследования точечных случайных процессов ( случайных потоков событий ) возникает во многих областях науки и техники. Очевидно, все системы регистрации случайных потоков событий представляют собой однолинейные или многолинейные системы массового обслуживания ( СМО ).

При исследовании систем массового обслуживания наиболее часто используемой моделью входного потока является стационарный пуассонов-ский поток заявок. Предположение о стационарности входящего потока заявок существенно облегчает построение СМО и вычисление основных ее характеристик, но такая модель довольно часто является слишком далекой от реальности. На практике, информация о том является ли поток заявок стационарным или нет как правило отсутствует. В такой ситуации, для построения более точных моделей СМО, используются различные подходы ( проверка статистических гипотез о виде функции распределения входного потока заявок, проверка статистических гипотез о стационарности входного потока заявок и т.д.). Одним из таких подходов является построение оценки интенсивности входных потоков заявок по наблюдениям моментов поступления заявки в систему.

Оценивание интенсивностей входных потоков заявок играет важную роль и в построении управления адаптирующимися системами массового обслуживания ( в частности в сетях ЭВМ с маршрутизацией пакетов заданий ).

В последнее время наиболее популярной моделью входных потоков за-

явок являются так называемые дяяждм стохастические точечные случайные процессы ( потоки событий со случайной интенсивностью ). Одним из важнейших, среди дважды стохастических точечных случайных процессов, является дважды стохастический пуассоновский поток собы-' тий. Изучение его началось давно и существует довольно большое количество работ, посвященных построению оценки интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий. Однако, во всех этих работах оценка интенсивности строилась с помощью метода фильтрации Винера, что, во - первых, накладывало ограничения на стационарность интенсивности в широком смысле, и, во - вторых, оценка представляла собой решение интегрального уравенения Винера - Хопфа, что значительно затрудняло реализацию алгоритма фильтрации на ЭВМ. Задача ' построения оценки интенсивности обобщенных дважды стохастических рекуррентных потоков событий практически в литературе не рассматривалась.

Метопом фильтрации значений интенсивности, позволяющим снять ~ ограничения на стационарность интенсивности в широком смысле и получить алгоритмы фильтрации в более удобной для реализации на ЭВМ форме, является метод оптимальной нелинейной фильтрации условных марковских процессов ( метод фильтрации Калмана - Бьюси). Возможность применения этого метода для оценивания значений интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий была рассмотрена в известной монографии Снайдера.

Цель работы

При выполнении данной работы ставились следующие цели:

1. Разработать алгоритмы оценки интенсивности дважды стохастических пуассоновских и рекуррентных потоков событий.

2. Представить данные алгоритмы в максимально простой форме, которая облегчила бы их численную реализацию на ЭВМ.

3. Сделать эти алгоритмы максимально независимыми по отношению к неточному заданию априорных данных.

Методика исследования

При решении поставленной задачи использовались методы теории веро-ятнотей и теории случайных процессов. Достоверность полученных результатов подтверждена результатами имитационного моделирования.

Научная новизна работы состоит в следующем: 1. Получены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации значений интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий (управляемого чисто разрывным марковским случайным процессом ) по прямым наблюдениям моментов наступления событий потока .

2. Получены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации значений интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий ( управляемого чисто разрывным марковским случайным процессом ) по наблюдениям суммы исходного пуассоновского и мешающего рекуррентного потоков.

3. Получены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации значений интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий в условиях параметрической априорной неопределенности.

4. Предложена модель обобщенного дважды стохастического рекуррентного потока событий. Получены алгоритмы оптимальной нелиней-

ной фильтрации значений интенсивности обобщенного дважды стохастического рекуррентного штока событий ( в случаях когда управляющий случайный процесс являете* чисто разрывным марковским или диффузионным марковским) по прямым наблюдениям моментов наступления событий потока .

5. Получены алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации значений интенсивности дважды стохастического рекуррентного потока событий в условиях параметрической априорной неопределенности.

На защиту выносятся следующие основные положения

1. Вид уравнений для определения апостериорной плотности вероятностей значений интенсивности асинхронного дважды стохастического пуассоновского потока событий ( управляемого чисто разрывным марковским случайным процессом ) в интервалах времени между моментами наступления событий потока, а также формулы для пересчета апостериорной плотности вероятностей в моменты появления событий потока.

2. Вид уравнений для определения апостериорной плотности вероятностей значений интенсивности синхронного дважды стохастического пуассоновского потока событий (управляемого чисто разрывным марковским случайным процессом ) в интервалах времени между моментами наступления событий потока, а также формулы для пересчета апостериорной плотности вероятностей в моменты появления событий потока.

3. Алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации интенсивности асинхронного и синхронного дважды стохастических пуассоновских потоков событий в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей.

4. Вид уравнений для определения апостериорной плотности вероятностей значений интенсивности асинхронного и синхронного дважды стохастических пуассоновских потоков событий в условиях наблюдения суммы исходного пуассоновского и рекуррентного мешающего потоков событий потока, а также формулы для пересчета апостериорной плотности вероятностей в моменты появления событий суммарного потока.

5. Алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации интенсивности асинхронного и синхронного дважды стохастических пуассоновских потоков событий по наблюдениям событий суммарного потока, в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей.

6. Вид уравнений для определения апостериорной плотности вероятностей значений интенсивности асинхронного и синхронного дважды стохастических пуассоновских потоков событий, а также формулы для пересчета апостериорной плотности вероятностей в моменты появления событий потока в условиях параметрической априорной неопределенности по прямым наблюдениям моментов появления событий потока и по наблюдениям суммарного потока.

7. Алгоритмы оптимальной адаптивной нелинейной фильтрации интенсивности асинхронного и синхронного дважды стохастических пуассоновских потоков событий по прямым наблюдениям моментов появления событий потока и по наблюдениям событий суммарного потока, в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей.

8. Модель обобщенного дважды стохастического рекуррентного потока событий.

9. Вид уравнений для определения апостериорной плотности вероятностей значений интенсивности обобщенного дважды стохастического ре-

куррентного штока событий ( управляемого чисто разрывным марковским или диффузионным марковским случайными процессами ) в интервалах времени между моментами наступления событий потока, а также формулы для пересчета апостериорной плотности вероятностей в моменты появления событий потока.

10. Алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации интенсивности обобщенного дважды стохастического рекуррентного потока событий в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей.

11. Вид уравнений для определения апостериорной плотности вероятностей значений интенсивности обобщенного дважды стохастического рекуррентного потока событий, а также формулы для пересчета апостериорной плотности вероятностей в моменты появления событий потока в условиях параметрической априорной неопределенности.

12. Алгоритмы оптимальной нелинейной адаптивной фильтрации интенсивности обобщенного дважды стохастического рекуррентного потока событий в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей.

Практическая ценность работы состоит в возможности применения полученных алгоритмов фильтрации в адаптерах систем массового обслуживания, сетей связи и ЭВМ для улучшения качества их работы. Следует отметить, что алгоритмы фильтрации в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей представляют собой системы дифференциальных уравнений и для их реализации на ЭВМ могут быть использованы стандартные пакеты программ решения систем дифференциальных уравнений, работающие в режиме реального времени.

Внедрение полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, были включены в курсы лекций " Теория массового обслуживания " и " Математические модели систем связи для студентов 4-го курса факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, а также использовались студентами факультета прикладной математики и кибернетики при выполнении курсовых и дипломных работ.

Публикации по работе приведены в конце автореферата.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. VIII Международном симпозиуме по непараметрическим методам в кибернетике ( Красноярск, октябрь 1995 ).

2. XII Белорусской международной зимней школе — семинаре то теории массового обслуживания " Исследование систем и сетей массового обслуживания " ( Гродно, январь — февраль 1996 ).

3. 2-й Международной конференции " Теория и техника приема передачи и обработки информации " ( Туапсе, сентябрь 1996 ).

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 108 страниц, включая 6 рисунков. Список цитируемой литературы составляет 58 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дается краткий анализ других работ в этом же научном налра-

влении, формулируется цель работы, основные защищаемые результаты, дается характеристика полученных в работе результатов. В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ решается задача оптимальной нелинейной фильтрации интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий по наблюдениям моментов наступления событий потока. В ПАРАГРАФЕ 1 ПЕРВОЙ ГЛАВЫ решается задача фильтрации интенсивностии дважды стохастического пуассоновского потока событий в условиях, когда моменты наступления событий потока непосредственно доступны наблюдению. Предполагается, что интенсивность потока А(*) является известной положительной функцией управляющего чисто разрывного марковского случайного процесса х(*) с непрерывным временем:

А(«) = А(*(«))

Рассматриваются следующие случаи:

1. Дяажпн стохастический пуассоновский поток событий является асинхронным.Это означает, что процесс сохраняет постоянное значение х в течении интервала времени распределенного по экспоненциальному закону с параметром а(х, I), а новое значение у имеет условную функцию распределения (р(у, Множество моментов скачков управляющего случайного процесса х(1) не принадлежит множеству моментов появлений событий потока.

2. Дкяжди стохастический пуассоновский поток событий является синхронным. В этом случае значение х управляющего случайного процесса не меняется в интервалах между моментами появлений событий потока, а в моменты изменяется с вероятностью р(и, х). Новое значение у имеет условную плотность распределения <р(у,Ъ\х).

ю

Задача фильтрации интенсивности дважды стохастического пуассонов-ского потока событий ставится следующим образом: Пусть <1,...,%— моменты появления событий потока на интервале наблюдения По выборке {и}^ необходимо построить оценку х^) управляющего случайного процесса х(1) в момент времени <.

В ПАРАГРАФЕ 2 ПЕРВОЙ ГЛАВЫ для решения поставленной задачи используется теорией оптимальной нелинейной марковской фильтрации условных марковских процессов. Согласно этой теории, оценкой оптимальной в смысле минимума среднеквадратической погрешности является апостериорное среднее

Таким образом, наиболее полную информацию о значении х управляющего случайного процесса г(<) содержит апостериорная плотность вероятностей и>р,(х,1)

Теорема 1

Пусть гг(*) является управляющим случайным процессом дважды стохастического асинхронного пуассоновского потока событий с интенсивностью А(г(*)). Тогда на интервалах t¡ < t < между моментами появлений событий потока изр,(х, *) определяется из уравнения:

х{1) =

-со

00

с начальным условием:

В моменты {Л}^ наступлений событий потока и>рг(х,1) пересчитываете по формуле:

,, (Г * иП-

Шрг(Х, Ц + 0)--55-

У \(х)шр,(х,г1 - о)йх -00

Теорема 2

Пусть х(*) является управляющим случайным процессом дважды стохастического синхронного пуассоновского потока событий с интенсивностью \{х(%)). Тогда на интервалах ti < I < и+1 между моментами появлений событий потока шр,(х, I) определяется из уравнения: 8

т

'Р,(х, 0 =

А(г)- I \{х)и>р,(х,1)(1х шр,{х>1)

с начальным условием

иг.{х,г)

1=и

= ир,(х,и + 0)

В моменты наступлений событий потока шр,(х,1) пересчитыва-

ется по формуле:

о>Р»0М|- + 0) =

{00 , «(»,«<)+ / Р^х'МхМх'Н.&'ЛКх' }

—со '

где

ои ии т

У А(х)П(х,и)с1х+ I р(иУх')ир,(х',1)йх' I \(х)ц>(х,и\х')йх

П(х,и) = (1 -р^,-,«))^®,*,- - 0)

Теоремы 1 и 2 полностью определяют алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации интенсивности синхронного или асинхронного дважды стохастического пуассоновского потока событий. Если в качестве критерия оптмальности выбрать минимум среднеквадратической погрешности, то

00

®(0 ~ / zur,(x,t)dx

—00

Следует отметить, что полученные уравнения для апостериорной плотности вероятностей wp,(x,t) могут быть использованы и при решении задач проверки статистических гипотез.

В ПАРАГРАФЕ 3 ПЕРВОЙ ГЛАВЫ получены алгоритмы фильтрации интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей. Основной трудностью при реализации на ЭВМ алгоритмов полученных в предыдущем параграфе, является решение интегродифференциальных уравнений, которое связано со значительными вычислительными трудностями. Поэтому целесообразно аппроксимировать wp,(x,t) функцией содержащей конечное число неизвестных параметров. Поскольку, в ряде работ, было показано, что при больших значениях интенсивности моменты наступления событий дважды стохастического пуассоновского потока распределены по нормальному закону, то естественно предположить, что в условиях больших значений интенсивности апостериорная плотность вероятностей будет хорошо аппроксимироваться гауссовской.

/ ^ 1 / (Д ~ mit))2 \

Очевидно, что е этом случае x(f) = m(t).

В случае асинхронного дважды стохастического пуассоновского потока

событий, на интервалах времени i; <t < 1 между моментами натуп-ления событий потока m(t) и D(t) определяются как решение следующей системы дифференциальных уравнений:

Imit) - D(t) I I exp { J*^ }

-m

:a(x,t)

xmm(i) d

хшт(1) йХ lr=m(<)

дх

±D(t) = D(t)Ja(x',t)\<fi(x,t\x')

ian(l)

l OX' l»-m(f)

В моменты Oi}£Li наступления событий потока m(t) и D(t) пересчиты-ваются по формуле:

(х - т(и - О))2

m(ti + 0) =

+00 ,

I хЛ(х)exp < *

2D(ti — 0)

}

dx

D(t{ + 0) =

f(x - m(i,- + 0))3A(a?) exp { -^g^T } ^

В случае синхронного дважды стохастического потока событий, на интервалах и < t < t;+1 тп(*) и £)(<) определяются из следующей системы дифференциальных уравнений:

^mit) = -D(t)±X(x)

хшт(1) x-m(t)

В моменты наступления событий потока m(t) и D(t) пересчиты-

ваются по формуле:

СО 00

j xX(z)n(ti,x)dz + J E(ti,x)<p(x,ti\x')dx TTl(ti + 0) = 00 -53-—-00-

J X(x)Ü(x,ti)dx + j E(ti,x')dx' j \(x)<p{x,ti\x')dx

-oo —oo —oo

oo oo

J (x - m(ti + 0))2fl(i;, x)dx + j E(ti, x)ip(x,t;\x')dx

D(U + 0) = Щ-35--

j X{x)ü(x,ti)dx + J E(ti,x')dx' j \(x)tp(x,t\x')dx -00 -00 —00

где

fi(*,*,) = (1 -p(ti,x))exp { } dz

p { } dx

Легко видеть, что алгоритмы фильтрации в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей представляют собой системы дифференциальных уравнений. Для реализации полученных алгоритмов на ЭВМ, могут быть использованы стандартные пакеты программ для решения систем дифференциальных уравнений, работающие в режиме реального времени.

В ПАРАГРАФЕ 4 ПЕРВОЙ ГЛАВЫ решается задача фильтрации интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий по наблюдениям суммы исходного пуассоновского и и рекуррентного ( "мешающего" ) потоков. Предполагается, что наряду с событиями даннного потока наблюдаются события некоторого постороннего рекуррентного потока, причем наблюдатель не обладает информацией событие какого потока наступило в данный момент времени. Функция распределения интервалов времени г,- между появлениями i — 1—го и i—го событий

потока имеет вид:

Р{П <у} = А(у)

Задача фильтрации интенсивности дважды стохастического пуассонов-ского потока событий по наблюдениям за суммарным потоком ставится следующим образом:

Пусть <1,.— моменты появления событий суммарного потока на интервале наблюдения [^о^). По выборке необходимо постро-

ить оценку £(;{) управляющего случайного процесса в момент времени 1.

Отличие данной задачи от предыдущей заключается в том, что суммарный поток событий не является рекуррентным и для вывода уравнений оптимальной нелинейной фильтрации необходима информация о том, событие какого потока наступило в данный момент времени. Б работе, методом вложенных цепей Маркова выводится формула для вычислений апостериорных вероятностей рл{и) наступления в момент времени и события мешающего потока.

Пусть моменты наступлений событий суммарного потока на

интервале наблюдения Тогда апостериорная вероятность того, что на интервале Д<) наступит событие мешающего рекуррент-

Лемма

к ого потока имеет вид:

( N-1 N-1 A'(t — iA

с(ф е раь) п а-лм). % 1

У-1

N-1

где

во 30Ра(Ь) /П (1 - РА(Н))СЦ + Рл(*}-1)С]-Ц Рл(Ь)= / >_1 <=° -

— £ РА(^) П (1 - РАШ)сл + рдУ^ц-и + Л(г)

1=0 4=1+1

оггостериормая вероятность того что в момент tj наступило событие мешающего рекуррентного потока.

_ А%-и) * ~ 1 - - *,-)

— апостериорная плотность вероятностей значений х управляющего процесса в момент времени

Получены уравнения оптимальной нелинейной фильтрации значений управляющего случайного процесса в случаях синхронного или асинхронного дважды стохастического пуассоновского потока событий. В условии гауссовости апостериорной плотности вероятности синтезированы квазиоптимальные алгоритмы фильтрации.

В ПАРАГРАФЕ 5 ПЕРВОЙ ГЛАВЫ решается задача нелинейной фильтрации интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий по прямым наблюдениям и по наблюдениям суммарного потока в условиях параметрической априорной неопределенности. Предполагается, что параметры распределения управляющего случайного процесса х(<) известны с точностью до некоторого постоянного параметра в. Для решения задачи фильтрации используется стандартный подход Стратоновича. Вводится расширенный вектор состояния:

Х={х,8}Т

и рассматривается двумерная апостериорная плотность вероятностей шр,{х,в,г). Получены уравнения для в интервалах времени

4

3 2

О 4000 Рис- 1 8000 12000

между моментами наступления событий потока и формулы для пересчета апостериорной плотности вероятностей в случаях когда дважды стохастический пуассоновский поток событий является синхронным или асинхронным. В условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей a}p,(x,e,t) синтезированы квазиоптимальные алгоритмы нелинейной фильтрации.

В ПАРАГРАФЕ в ПЕРВОЙ ГЛАВЫ проводится анализ результатов имитационного моделирования. Имитационное моделирование проводилось для случая:

ад» = m

a(X,t) = а

Результаты имитационного моделирования показывают, что апостериорная плотность вероятностей хорошо аппроксимируется гауссовской при выполнении следующих условий: больших значениях интенсивности, редких скачках управляющего случайного процесса и малой величине скачков управляющего случайного процесса (рис. 1). ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ решается

задача оптимальной нелинейной фильтрации интенсивности обобщенного дважды стохастического рекуррент-

ного потока событий по наблюдениям моментов наступления событий потока.

В ПАРАГРАФЕ 1 ВТОРОЙ ГЛАВЫ предлагается следующая модель обобщенного дважды стохастического рекуррентного штока событий

Рт=тк1к»)<1и)

где — плотность вероятностей того, что в момент времени * наступит »+ 1 — е событие потока при условии, что предыдущее событие наступило в момент времени А(*) — интенсивность потока, /(•) — известная функция, такая что:

/(•) > 0,//(х)Ас = 1,/х/(х)Дг = 1

о о

Приводится обоснование выбора модели. В ПАРАГРАФЕ 2 ВТОРОЙ

ГЛАВЫ решается задача фильтрации интенсивности обобщенного дважды стохастического рекуррентного потока событий для случаев, когда управляющий случайный процесс является диффузионным или чисто разрывным марковским. Для решения данной задачи кроме апостериорной плотности вероятностей о>р,(аг,<) необходимо знать условную апостериорную плотность вероятностей = х) где

= / А (х(и))<1и

ВД = / А(х(и))/(Д(«))<1и <<

Теорема 1

Пусть х(1) является управляющим случайным процессом дважды сто-

хаотического асинхронного рекуррентного потока событий (2.1) с интенсивностью А(:ф)). Тогда на интервалах 1,- < X < между моментами появлений событий потока ир1(х,1) определяется из уравнений:

д 00

I а(х',{)ф,Цх')шр,(х\г)<1х'-

- [ «(*,<)+ [ х(х)мр, { | *(<) = *} -- J Чх)Мг, { ^г | «(<) = г } ш^х^х ]] Шр,(х,г)

£ дг

*!«(«) = х) =

1 ( г

= —7—Л I Ф\г)ф\х\1)шг,{х\1)шр.{Р= х')йх'-

+00 ч

-00

-А(х) { ^„(Гь^Н*) = х)+

д \ = X) |

-\(х)

1

- ]] = I = *)

о о

с начальным условием:

= ШрДх^,'+ 0)

В моменты наступлений событий потока шр,(х,Х) пересчитыва-

ется по формуле:

ир1(х, и + 0) =

К*)МР. { ^рЦг т = х } и>р,(х,и - 0) / Мр. { ^г | «(О = х } К*)ыР,(х,и - 0)йх

Теорема 2

Пусть ж(г) является управляющим случайным процессом дважды стохастического синхронного пуассоновского потока событий с интенсивностью А(х(<)). Тогда на интервалах и < < < между моментами

появлений событий потока шр,{х,1) определяется из уравнений:

ф

- / А{х)Мр, { ^^г | *(<) = г | ир,(х^)(1х ] ир,(х,1)

О

-ир,(Р1,г3,Цх{г) = х) =

—и;р4(ГьЗДх(<) = х)+

ОД

-Х(х)

1 - 0 0 с начальным условием

шр,(х,г) =шр,(х,и + 0)

В моменты наступлений событий потока шТ,{х,{) пересчитыва-

ется по формуле:

А(х)Мрг { ^г «(0 = х } Щх,и) + / р^х'Мх^х'^х'Л^х'} где

П(х,и) = (1 - - 0)

/г(М;) = / К*)МГ. { (^г | = г } П(*,«<)Ле

00 00 Ыъи) = У р{и,х')шр,(х^х' I \(х)<р{х,и\х')<1х

—оо —оо

Теорема 3

Пусть диффузионный марковский случайный процесс х(Х) является управляющим случайным процессом дважды стохастического рекуррентного потока событий (2.1) с интенсивностью А(ж(*)). Тогда на интервалах <,•<<< ¿,-+1 между моментами появлений событий потока шр,(х,<) определяется из уравнений;

0 8 1

¿¿ММ) = -—+ ¿¿^ОМН'ОМ)]-

- 7 А(*)М„ { | «(О = г' } шр,(х',г)<1х' ]

о

= ¡да) {= *')]+ д2 )

(.¿щ.,0^.,,,1 + ♦¿[кмНЛМ)!} -

{д д \

= х) + = «)} -

~А(ж) [^-ПЩг^МФ) = «ДОйГ,] = х)

о о

с начальным условием

ир,(х,г)

= ир,(х,и + 0)

1-й

и граничными условиями:

1=00

1=00

В моменты наступлений событий потока пересчитыва-

ется по формуле:

Х(х)МТ, [ х(г) = г } шт.(х, и - О)

^(¡М.' + О) = „ г

__I х - г а I_>_¿х

/ Мр, { ^г | *(«) = г } А(*Н((:М< - 0)

В ПАРАГРАФЕ 3 ВТОРОЙ ГЛАВЫ получены алгоритмы фильтрации интенсивности обобщенного дважды стохастического пуассонов-ского потока событий в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей. Предлагается аппроксимировать шр,(х,1) и

= х) одномерной и двумерной гауссовскими плотностями, соответственно.

ехр { —ЕЕ я!Г%х)(Л ~ гт(г,х))(Ъ - П»Д*,«)) } I * 1=1;=1 >

где Я(<,х) = = ТД- ковариационная матрица,

= Т72 ~ матрица обратная ковариационной. Алгоритмы фильтрации в условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей представляют собой системы дифференциальных уравнений. Для реализации полученных алгоритмов на ЭВМ, могут быть использованы стандартные пакеты программ для решения систем дифференциальных уравнений, работающие в режиме реального времени.

В ПАРАГРАФЕ 4 ВТОРОЙ ГЛАВЫ решается задача нелинейной фильтрации интенсивности обобщенного дважды стохастического рекуррентного потока. Предполагается, что параметры распределения управляющего случайного процесса х(1) известны с точностью до некоторого постоянного параметра в. Для решения задачи фильтрации используется стандартный подход Стратоновича. Вводится расширенный вектор состояния:

и рассматривается двумерная апостериорная плотность вероятностей шр,(х,6^). Получены уравнения для и>р,(х,$^) в интервалах времени между моментами наступления событий потока и формулы для пересчета апостериорной плотности вероятностей в моменты наступления событий потока. В условиях гауссовости апостериорной плотности вероятностей и)рг(х, в, <) синтезированы квазиоптимальные алгоритмы нелинейной фильтрации.

В ПАРАГРАФЕ 5 ВТОРОЙ ГЛАВЫ проводится анализ результатов имитационного моделирования. В качестве дважды стохастического рекуррентного потока событий был выбран асинхронный дважды стохастический поток Эрланга 2-го порядка, управляемый чисто разрывным марковским случайным процессом. Предполагалось, что:

Результаты имитационного моделирования показывают, что апостериорная плотность вероятностей хорошо аппроксимируется гауссовской при

хш=т

а(А,*) = а

выполнении следующих условий: больших значениях интенсивности, редких скачках управляющего случайного процесса и малой величине скачков управляющего случайного процесса.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные выводы и результаты полученные в диссертационной работе.

Результаты, полученные в диссертации, отражены в следующих публикациях:

1. Федосов Е. Н. Оптимальная нелинейная фильтрация интенсивности дважды стохастического пуассоновского потока событий управляемого чисто- разрывным марковским процессом // Изв. вузов: Физика, 1995, N 3. — с. 17 — 21.

2. E.N. Fedosov On filtering for doubly stochastic sifting Poisson processes // В кн.: " Исследование систем и сетей массового обслуживания. ": Тез. докл. XII Белорусской международной зимней школы-семинара по теории массового обслуживания— Гродно, 1996 — с. 85 — 86.

3. Федосов Е. Н. Нелинейная адаптивная фильтрация интенсивности дважды стохастического рекуррентного потока событий // В кн.: " Теория и техника приема, передачи и обработки информации. Тез. докл. 2-й международной конференции " Теория и техника приема, передачи и обработки информации ",4.1. — Харьков - Туапсе, 1996 — с. 38.

4. Федосов Е.Н. Нелинейная фильтрация МС—потока при наличии мертвого времени // Изв. вузов: Физика, 1997, N 4 — с. 38 —44.

sTs