автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оценка параметров и состояний асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишних событий

На правах рукописи

Ниссенбаум Ольга Владимировна

□□3462556

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ И СОСТОЯНИЙ АСИНХРОННОГО АЛЬТЕРНИРУЮЩЕГО ПОТОКА С ИНИЦИИРОВАНИЕМ ЛИШНИХ СОБЫТИЙ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2009

003462556

Работа выполнена на кафедре исследования операций ГОУ ВПО "Томский государственный университет"

- Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Горцев Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Воробейчиков Сергей Эрикович

доктор физико-математических наук, профессор Рожкова Светлана Владимировна

Ведущая организация: ГОУ ВПО "Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники", г. Томск

Защита состоится 26 марта 2009 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при ГОУ ВПО "Томский государственный университет "по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корп. 2, ауд. 212-6.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ГОУ ВПО "Томский государственный университет" по адресу: г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан 10 февраля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.12,

д.т.н., профессор ( Ор В.И. Смагин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Развитие теории массового обслуживания насчитывает почти 100 лет. Первые работы в этой области были опубликованы датским ученым А.К. Эрлангом в 1908-1922 годах. Направленные на решение задач оптимизации обслуживания заявок, поступающих на телефонную станцию, эти работы уже тогда определили основную область применения новой теории - обслуживание телетрафика. Уже в первой половине XX века обнаружилось, что подобные задачи возникают во многих других областях науки и техники: в системах связи, транспортных системах, системах управления запасами и т.д.

До 80-х годов относительная простота систем связи, изолированность разных видов связи друг от друга, низкая пропускная способность каналов приводили к тому, что для входящих потоков заявок использовались простые модели - пуассоновский поток и, реже, регулярный и эрланговский. Усложнение структуры информационных систем, интеграция различных систем связи, разнообразие программного и аппаратного обеспечения, протоколов передачи информации привели к тому, что теория, существовавшая до 80-х гг., во многом становится непригодной для анализа потоков, существующих в современных сетях связи.

Основная литература по системам массового обслуживания посвящена нахождению стационарных характеристик систем обслуживания при известных параметрах входящих потоков и обслуживающих приборов. В реальных ситуациях часто эти параметры полностью или частично неизвестны. Например, загрузка сетей связи может изменяться как циклически с течением времени, так и в зависимости от того, какие компьютерные приложения использует сеть.

На практике приходится иметь дело с потоками переменной интенсивности, причем изменения интенсивности, как правило, носят стохастический характер. В литературе подобные входящие потоки событий называются дважды стохастическими. Исследования дважды стохастических потоков проводились и проводятся в России — в МГУ, МВТУ, Российском университете Дружбы народов такими учеными как Бочаров П.П., Башарин Г.П., Печинкин A.B., в Дальневосточном отделении РАН — Головко Н.И., Катрахов В.В., Филинова H.A., в Томском государственном университете — Терпугов А.Ф., Назаров A.A., Горцев A.M., в Белорусском государственном университете — Медведев Г.А., Дудин А.Н., Клименок В.И., Царенков Г.В., в Гомельском университете — Малннковский Ю.В., в Гродненском университете — Матальщкий М.А., в США - Neuts M.F., Lucantoni D.M., Banik A.D., Gupta U.C., Kingman J.F.C., в Японии — Machihara F.A. и др. Выделяют потоки, интенсивность которых - непрерывный случайный процесс и потоки, интенсивность которых - кусочно-постоянный случайный процесс. Потоки

с кусочно-постоянной*интенсивностью, в свою очередь, подразделяются на синхронные, асинхронные и полусинхронные потоки событий. В частности, применительно к сетям связи, можно сказать, что асинхронным потоком с двумя состояниями, в одном из которых интенсивность нулевая '(такие потоки называются альтернирующими), является трафик данных от источника к серверу в том случае, когда окно передачи данных определяется сервером. Протоколы в современных цифровых сетях связи таковы, что при определении окна передачи информации сервером (то есть в случае альтернирующего потока) в канал могут поступать так называемые лтттие события, представляющие собой уведомления на открытие и/или закрытие окна передачи. Такие события названы лишними, поскольку они вызываются переходом случайного процесса из состояния в состояние. Необходимо также учитывать возможность наличия мертвого времени у регистрирующего прибора, которое искажает картину наблюдений за потоком.

В силу этого, актуальной задачей является аналитическое и численное исследование моделей дважды стохастических потоков событий с инициированием лишних событий без мертвого времени, а также при. наличии продлевающегося или иепродлеваюхцегося мертвого времени.

Цель диссертационной работы:

1) построение математических моделей альтернирующего потока событий с инициированием липших событий в условиях: а) отсутствия мертвого времени; б) наличия непродлевающегося мертвого времени; в) наличия продлевающегося мертвого времени;

2) построение оценок неизвестных параметров и состояний альтернирующего потока с инициированием лишних событий и разработка соответствующих алгоритмов оценивания;

3) программная реализация алгоритмов оценивания параметров и состояний альтернирующего потока с инициированием лишних событий;

4) проведение статистических экспериментов на основе имитационной модели альтернирующего потока с инициированием лишних событий с целью установления качества получаемых оценок параметров и состояний.

Методы исследования. Для построения моделей потоков и их аналитического исследования применяется аппарат теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, теории марковских процессов. Для построения алгоритмов оценивания параметров и состояний потоков -методы математической статистики, теории массового обслуживания, линейной алгебры, численные методы. Статистические эксперименты реализованы на имитационной модели альтернирующего потока с инициированием липших событий и различными типами мертвого времени.

Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту. Научная новизна работы состоит в решении задачи оценивания параметров

альтернирующего потока с двумя состояниями и инициированием лишних событий, наблюдение за которым осложнено наличием мертвого времени, а также построении оптимальных оценок состояний этого потока в условиях отсутствия мертвого времени. Результаты, выносимые на защиту:

1) математические модели альтернирующих потоков с двумя состояниями и инициированием лишних событий в условиях: а) отсутствия мертвого времени; б) наличия непродлевающегося мертвого времени; в) наличия продлевающегося мертвого времени;

2) алгоритмы оценивания параметров альтернирующего потока с двумя состояниями и инициированием лишних событий в случае присутствия мертвого времени (продлевающегося и непродлевающегося), полученные методом максимального правдоподобия и методом моментов;

3) алгоритмы оптимального оценивания состояний альтернирующего потока с двумя состояниями и инициированием лишних событий при отсутствии мертвого времени;

4) результаты статистического исследования предложенных оценок, полученные с помощью имитационной модели альтернирующего потока с двумя состояниями и инициированием лишних событий.

Теоретическая ценность работы состоит в аналитическом решении задач оценивания параметров альтернирующего потока с инициированием лишних событий, его состояний и длительности мертвого времени.

Практическое значение работы состоит в возможности использования полученных алгоритмов оценивания параметров и состояний альтернирующего потока с инициированием лишних событий в задачах анализа и проектирования систем массового обслуживания, в частности, систем и сетей связи, спутниковых систем передачи данных, информационно-вычислительных сетей, дисциплины обслуживания которых зависят от параметров входящих потоков, а также для обработки результатов физического эксперимента по изучению потоков элементарных частиц, осложненного мертвым временем регистрирующей аппаратуры.

Апробация работы. Работа выполнена в рамках НИР Томского университета "Исследование и разработка моделей высокопроизводительных многопроцессорных систем и методов обеспечения компьютерной безопасности" (2002-2006 гг.) и НИР Томского университета "Исследование вероятностных, статистических и логических моделей информационных потоков в технических, экономических системах и компьютерных системах обработки информации" (2006-2008 гг.). Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на научном семинаре НИИ ИЙС ТюмГУ, г. Тюмень, сентябрь 2005 г.;

- на VI Всероссийской конференции с межд. участием "Новые информ. технологии в иссл. сложных структур", г. Шушенское, сентябрь 2006 г.;

- на VI Всерос. шк.-сем. "Пр. компьют. безопасн. и криптографии" —

SIBECRYPT'07, г. Горно-Алтайск, ТГУ, ГАГУ, сентябрь 2007 г.; - на межрегиональной научно-практической конференции института МиКН ТюмГУ "Современные математические методы и информационные технологии", г. Тюмень, май 2008 г.;

" - на VII Всероссийской конференции с межд. участием "Новые информ. технологии в иссл. сложных структур", г. Томск, сентябрь 2008 г.

Материалы исследования использутся в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ студентов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы, 3-х приложений. Работа содержит 136 страниц основного текста, в том числе 15 рисунков, 18 таблиц. Список литературы содержит 13 страниц и включает 181 наименование. Приложения содержат 6 страниц текста, в том числе 3 рисунка.

Краткое содержание диссертации

Во введении раскрывается актуальность проблемы, производится обзор работ других авторов, формулируется цель и содержание работы, обосновывается теоретическая и практическая ценность работы.

В первой, главе дается определение асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишних событий. Вводятся три схемы инициирования липших событий, соответственно которым рассматриваются альтернирующие потоки первого, второго и третьего типов.

Рассматривается асинхронный альтернирующий поток событий, интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс A(t) с двумя состояниями: Ai = А и Аг = 0. Первое состояние процесса (потока), имеет место, если A (i) = А, второе состояние — если A(f) — 0. В течение временного интервала, когда процесс А(£) находится в первом состоянии, поток представляет собой пуассоновский поток с интенсивностью А. Во втором состоянии, поток отсутствует. Длительность пребывания процесса в г-м состоянии - случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с параметром a¿: -F¿(í) = 1 — e~ait, i = 1,2.

Рассмотрены три типа альтернирующего потока: 1) поток с инициированием лишнего события в первом состоянии в момент перехода процесса из второго состояния в первое; 2) поток с инициированием лишнего события во втором состоянии в момент перехода процесса из первого состояния во второе; 3) поток с инициированием липшего события во втором состоянии в момент перехода процесса из первого состояния во второе и в первом состоянии в момент перехода — из второго в первое. Для краткости, будем говорить "первый тип", "второй тип" и "третий тип". События пуассоновского потока и лишние события неразличимы.

Пример реализации альтернирующего потока с инициированием лишних событий приведен на рис ,1. Рис. под буквой а)соответствует первому

типу альтернирующего потока, б) — второму, в) - третьему. 1-

1-б) г

1-

ек

II

ПроцэссШ)

и

4 и

Л «

и О.. (

г*

Процесс Х(0

н_к]

444

44

и

44

! ■

•р а, ; у"»

ПромессЩ

444 4 44 » 4 4

Рис. 1. Пример реализации альтернирующего потока с инициированием лишних событий; ¿1, ¿2,... — моменты наступления событий Случайный процесс А(£) является ненаблюдаемым. Параметры штока, ец, аг, Л полагаются известными. По наблюдениям моментов ¿х, ¿2, ••■ требуется оценить состояние потока в некоторый текущий момент времени.

Рассматривается стационарный режим функционирования потока, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (¿о , где ¿о - начало наблюдений, t - окончание (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить ¿о = 0. Решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, обеспечивающему минимум полной вероятности ошибочного решения. Для вынесения решения о состоянии процесса А(£) в момент í •необходимо знать апостериорные вероятности ту(А.,(£) = ■ ■ •, ¿т),

г = 1,2, (Ах = А, А2 = 0) того, что в момент t процесс А(4) = Ai (тп -количество наблюденных событий за время ¿). При этом, = 1.

Тогда,"если ги(А|£) > ги(0|<), то А(4) = А; если < ад(О^), то А(£) - 0.

В разделе 1.2 найдены плотности вероятностей р(т) длительности интервала между соседними событиями в альтернирующем потоке. Доказывается, что процесс А (¡5) - марковский. Основные результаты раздела 1.2 сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 1.2.1. Плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями в потоке первого типа есть

р(Т) = 7(А + а1)е-<А+а1)г + (1 - 7)а2е~а2Г, г > 0, 7

■а2

А + ах — аг

(1)

Теорема 1.2.2. Плотность вероятностей длительности интервола между соседними событиями в потоке второго типа есть

р(г) = 7(А + а1)е~<-х+а1)т + (1 - 7)а2е-азТ, т > 0, 7 =

А

аг

А + а^ — а2

(2)

Теорема 1.2.3. Плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями в потоке третьего типа есть

р(т) = 7(А + + (1 - 7)а2ет > 0, 7 = •

Л +

(3)

Отметим, что формулы .(1) и (2) совпадают, то есть плотности вероятностей для потоков первого и второго типов одинаковы. Для третьего типа плотность (3) отличается только видом параметра 7.

В разделе 1.3 получены апостериорные вероятности (г = 1,2)

состояний потока в любой момент времени t. Пусть время меняется дискретно с конечным шагом АЬ\ Ь = кйЛ, к = 0,1,... . Введем двумерный процесс (Л(к\г/с), где А^ = Х(кАЬ) - значение процесса А(£) в момент времени fcДí (А<*> = А», г = 1,2), г*, = гк(Д«) = г[А;А^] - г[(& - 1)Д4] - число событий, наблюдённых на временном интервале ((к — 1)Д£,длительности АЬ, Тк = 0,1,... . Показывается, что (А- марковский процесс. Обозначим гт — (г0,г1,...,гт) - последовательность событий за время от 0 до mAt на интервалах ((к — l)At,kAt) длительности к — 0, т. г о - число событий, наблюдённых на интервале (—А^, 0), которое задается произвольно, например, го = 0. А^ = (А(0\- последовательность ненаблюдаемых значений процесса Х(кАЬ) в моменты времени кАЬ, к = 0Тто (А<°> = А(0) = \и г = 1,2). Обозначим через №(А^,гт) совместную вероятность значений АДт', гт; через гу(А^т^|гт) - условную вероятность значений А^ при условии, что наблюдалась реализация тт\ через - условную вероятность значений Х^ при условии, что

наблюдалась реализация гт. Тогда имеет место

Лемма 1.3.1. Для дважды стохастического потока событий с двумя состояниями справедливо (вне зависимости от схемы инициирования лишних событий)

„(А^кио - _,

(4)

где р(А(т+1),гт-|-1|А(т),гт) - вероятность перехода процесса (А^т\гт) за один шаг At из состояния (Х^т\гт) в состояние (д(т+1))Ггг1+1). в силу марковости процесса (А^т\гт), имеем р(х(т+г>\х1т^ )р(гт+1 |А^). Тогда (4) примет вид:

Е&о=Л1 Ел(т+1)=Л1 «(А(-)|гт)р(А(^)|А(™)Мгт+г|А(-))"

(5)

Дальнейшее построение (на основе формулы (5)) апостериорных вероятностей ги(А^) первого состояния процесса Л(<) произведено для каждого из трех типов потоков. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.3.1. Для потока первого типа поведение апостериорной вероятности ги(А^) на временной оси определяется выражениями

ш(А|0) = 7Г1 = а2 -

ai + а2

(6)

ги(А|^ + 0) = 1;

«« = :-'"< ^4 =1>2' - • {7)

Теорема 1.3.2. Для потока второго типа поведение апостериорной вероятности на временной оси определяется выражениями

и;(А|0) = Я! = Л2

ai 4- а2

ЦА|4)=аа , -г~71Х-Г17. 0 < г <(8)

41 «1(А + ах) -I- О:2(А — а2)е~(л+а1~й:2)4 >. '

ы(А|«.- + 0) = —;

А + а1

+ (А - а2)е-(^+в1-ва>(*-*1) ю(Л|<)а8 Г+СЛ-^е-Сл^о,)^) > 0)

Теорема 1.3.3. Для потока третьего типа поведение апостериорной вероятности на временной оси определяется выражениями

^ = и'(\\и + 0) + [1 ' ^ ~ * < {Щ

ЩА + 0] =--, -ч -гг, г = 0,1,... (И)

а2 + (А + ах - а2)го(А|^+1 - 0) ш(Л{«о + 0) = ги(А)О) = 7Г1 = а2

ах + а2

В пункте 1.4. сформулирован алгоритм оптимального оценивания состояний процесса A(t). В пункте 1.5 получены аналитические выражения вероятностей ошибочного решения для первого и второго типов потока.

Во второй главе решается задача оценивания параметров Л, ах, аг, Т (Т - фиксированная длительность непродлевающегося мертвого времени альтернирующего потока трех типов). Потоки во второй главе отличаются наличием мертвого времени, возникающего в момент наблюдения события "альтернирующего потока. События, произошедшие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению и не вызывают его продления. На рис. 2 приведен пример реализации наблюдаемого потока. Белыми кружками обозначены моменты наступления наблюдаемых событий, черными - ненаблюдаемых, черными прямоугольниками - периоды мертвого времени. Рисунок под буквой а) соответствует потоку первого типа, под буквой б) - потоку второго типа, под буквой в) - потоку третьего типа.

а).

б).

;! г ! 1 ! < г к ! рЧ!

Процесс Щ

(

;; V"-

I

Процесс:ф)

Т}сц

г, 4 <. 4

Рис. 2. Пример реализации альтернирующего потока с инициированием лишних событий и непродлевающимся мертвым временем В разделе 2.2 сформулированы теоремы, определяющие вид плотностей вероятностей длительности интервала между соседними событиями наблюдаемого потока первого, второго и третьего типа.

Теорема 2.2.1. Для потока первого типа плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями примет вид:

р(т) =

О, 0 <т <Т

7(А + а1)е-(А+а1Кт-г) + (1 - 7)а2е-а*(т~т\ т>Т

(12)

где 7 = хё^Ы + тп

А+сц-^А'ч "г • ; - ), "1 - 71-2 ~

Теорема 2.2.2. Для потока второго типа плотность вероятностей

длительности интервала между соседними событиями примет вид: О, 0 < т < Т

р(т) =

7(А + а1)е-(л+а^(т-г) + (1 - 7)а2е-а*(Т-Т\ т>Т

(13)

где 7, щ, 7Гг определены в (12).

Из формул (12), (13) вытекает, что плотностир(т) для потоков первого и второго типов совпадают.

Теорема 2.2.3. Для потока третьего типа плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями примет вид:

р(т)

(О, 0 <т<Т

~ I 7(А + а1)е-(Л+^)(т-г) + (1-7)а2е-^г-^, т>Т ' ^ }

где 7 = 7Г1 + Яъ тг2 определены в (12).

В разделе 2.3 вводится совместная плотность £>(71,72) длительностей двух смежных интервалов и доказывается, что потоки первого и второго типов - рекуррентные. Для потока третьего типа доказывается

Теорема 2.3.3. Поток третьего типа является коррелированным и р(т!,т2) имеет вид:

р(п,т2) = р(п)р(т2) + ё-^+а^тМп\Т)/2ЫТ), ' /1(г1|Г)=7(Л[^2(Т)-а17Гх(Т)]е-(Л+а^(^-т>+[1-7(Т)]а27г2(Г)е-а^Г1-:г>,

/2(т2|Г) - (А + а1)е-<А+в^-г> - а2е~а^~т\ (15)

где р[т1), р{т2) определены формулой (14), в которой вместо т нужно подставить т\ либо т2; 7(Т) = 7 определена в (14);

> ~ А+с.1(1+е-Са1+»2)Г) ; I ~ Л+«1(1+е-<°1+»2)Т) •

В разделе 2.4 для потоков первого и второго типов методом максимального правдоподобия получена оценка длительности мертвого времени Т =

7"тпгп - где Тгпгп 1 минимальная длительность интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке на интервале наблюдения. Для потока третьего типа выбрана эвристическая оценка 2Э = тт<п.

В разделе 2.5 получепо уравнение моментов для оценивания длительности мертвого времени Т (первый и второй тип потока):

а: (А - а2) ?_(в1+вя)т + 1 + «1 _ ^ = 0> (16)

аг(А+ «!)(«! +а2) А + ах а2(а1 + а2)

п _

где Сг = ^ гг> гДе г« — ¿¿+1 — и, г = 1, Щ С\ - выборочный первый

г=1

начальный момент; и уравнение моментов для третьего типа потока:

т+_(А + <*! -а2)2_ [ ' 2а2 - А ^ =()

«2(0:1 + а2)(А + а1 + а1е-(а1+0:2)Г) а2(а1 + а2) 1

Уравнения (16) и (17) решаются численно на полуинтервале (0, тш;п].

При оценивании четырех параметров Л, он, а2, Т наблюдаемого потока

. 71 _

первого либо второго типа вводятся статистики С к = ^ г^, к = 1,4и выписываются четыре уравнения моментов, решение которых есть

1, . /ПГ Г\ . 1,

Ái = У+ = з (-Ь + \/Ь2 -4с); á2 = = -(—Ь - Vi»2 - 4с); (18) Г = (Л — Т — (1/а2); 7 = ch.^f/(¿з - Ai), (19)

-2(2Г3-6<д1Т,3+6С12Г+С3-ЗС'гС2)

T4-4Cif3+6C?r2+2T(C3-3CiC,2)-2C1C3+3C|' 6(f2-2C1f-C2+2C12)

C Т4-4С,1Г3 f2+2T(C3 -3Ci C2)-2СХC3+3C§'

где Г есть корень (из полуинтервала (0, rmí-n]) уравнения:

Т6 - 66\Т5 + 3(6С? - С2)Т4 + 4(С3 - QCf)T3 + 3(С4 + 12CfC2 - 8СгС3)Т2+

+6(4С?Сз~6С1С%-С1С4+2С2СЗ)Т+4С£-24С1С2С3+18С$~ЗС2С4+6С?С4

(20)

оценка параметра ai находится из уравнения [(Xi-á2)7+a2]ai+á2(Ái-á2)(7-l)+ai(ai+á2-Ai)e-(ai+a"2>:f = 0; (21)

оценка А = Aj — ái.

Для потока третьего типа различаются два случая:

1) случай слабой корреляции смежных интервалов между соседними

событиями: < s (в = 0,05; 0,01; 0,005 и т.п.), Со =

1 í=1

характеризует корреляционную связь; тогда оценки Ai, ä2, Г, 7, Т определяются кз (18) — (20), оценка параметра ai - из уравнения

01(701 + 7^2 - \x)e~^+&i)f + Á^tt! + А1Сг2(7 - 1) = 0; оценка А = Ai — ái;

i с2—с I

2) случай сильной корреляции: 1 ■1¿.a--0-| > е; тогда оценки параметров A, ai, a2, Г находятся численно из системы

Г = Ci-Т - —Т2 + 2 (т + Г + — Сх - С2; a2 \ Mj а2

Т3 + ЗГ2Г + 3(С2 - Т2) 1 - ^ + S = С3;

Ai Aia2 а2

(Г - JL + )TE¡Le-<*^T = Со - c¡,

Ai а2 Ai

Ах = А + ах; 74, 7Г2

^ Г = 7 (хй^Г - 7 = т2 + определены в (12).

В третьей главе рассматривается альтернирующий поток (первого, второго и третьего типов) с продлевающимся мертвым временем. Здесь потоки отличаются тем, что события, произошедшие в течение периода мертвого времени, вызывают его продление на величину Т. На рис. 3 приведен пример реализации потока с продлевающимся мертвым временем (обозначения аналогичны обозначениям на рис.2). По наблюдениям (¿1,42,..., Ьп) требуется построить оценку Т.

В разделе 3.2 найдены преобразования Лапласа плотности р(т) длительности интервала между соседними событиями наблюдаемого потока и доказаны следующие леммы и теоремы.

Лемма 3.2.1. Преобразование Лапласа плотности вероятностей р(£) длительности общего периода ненаблюдаемости для потока первого типа с продлевающимся мертвым временем имеет вид:

&(*) = (ро{Т)е

-вТ

1

(А + «1)7(1 - _ _ е-(а2+5)Г)

где ро(Г) = + (1 ■

А + ах + 5

■ -¡)е~а2Т; 7 определена в (1).

а2 + й

(22)

; ■ 1 ! . к п 1 ¡4«. ! ': : ¡1 'а,-

Процесс Щ

£1

т ... (

Процесс Щ

с, 4 4 .. (

Рис. 3. Пример реализации альтернирующего потока с инициированием лишних событий и продлевающимся мертвым временем С использованием формулы (22) доказаны следующие теоремы. Теорема 3.2.1. Для потока первого типа преобразование Лапласа плотности вероятностей р(т) длительности интервала между

соседними событиями в наблюдаемом потоке имеет вид:

(A + q:i)(o;i +a2 + s)ni .. (A-a2)s7r2 , , , .

gT(s) = ---г?-T~Of{s) + 7-;—r-——— <7í(qi + a2.+ s),

yrw (A + ai 4- s)(a2 + s) (A + ai + s)(a2 + s) h

(23)

где + a2 + s) определено формулой (22), e которой нужно вместо s подставить (ai -f a2 + s); tt2 определены в (12).

Теорема 3.2.2. Для потока второго типа преобразование Лапласа плотности вероятностей р(т) длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке имеет вид (23).

При рассмотрении потока третьего типа учтена его коррелированиость (формула (15)) и доказаны следующие лемма и теорема.

Лемма 3.2.2. Преобразование Лапласа плотности вероятностей р(£) длительности общего периода ненаблюдаемости для потока третьего типа с продлевающимся мертвым временем имеет вид:

g¿s) = [МТ) - (1 - ч)2МТ)ф(,з)] G(s), (А + aih(l - е-(А+в1+?>т) оа(1 - т)(1 -

G{s) = е

-зТ

1-

А + ai 4- s a2+s

(24)

' где <р0(Т) определена в (22); ф0(Т) = e-(A+ai>T - e~Q2T;

ф{8) = _ 7 определена в (3). '

Теорема 3.2.4. Для потока третьего типа преобразование Лапласа плотности вероятностей р(т) длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке имеет вид:

gT(s) = 7Ti (-г———^--1--) gJs)+

yrw ^A + öi+e a2 + s)

ъ-r-* + +»). <*>

где для g^(m(a\ + a2) 4- s), m = 0,1, 2,..., справедлива формула (24), в которой вместо s нужно подставить т{а\-\-а2) + s.

Явный вид преобразования Лапласа (23) для потоков первого и второго типов и (25) для потока третьего типа позволяет получить аналитический вид начальных моментов: M(rk) = (-l)fc5^(.s)|s=o> & = 1,2,,.. . Если известны параметры А, ai, аз, то для оценивания Т достаточно одного уравнения моментов (М{т) = С\, статистика С\ определена в (16)), которое для потоков первого и второго типов примет вид:

+---:--<?! +

A + ai а2 ах + а2 фо^Т)

(Л - а2)а>1

(Л +«!)(«! + а2)а2а4^ ' ^ ^

где <ро(Т) определена в (22); +«2) определена в (22), в которой вместо з нужно подставить (ах + 0:2+3) и положить 5 = 0.

Если ограничиться первым членом бесконечного ряда в (25), то первое уравнение моментов для потока третьего типа примет вид:

«* I) *(0)-+

(27)

где ^(в)|в=0 = - - е-<А+в1>г) + ^(1 - Ы^))"1 х

Х^Х-^Х 7; гор)} + V1 I' <ро(Т) V аз

определена в (24) для з — 0; ^(«1 +«г) определена в (24), где вместо з нужно подставить (ах + о>2 + з) и положить г — 0. Уравнения (26) и (27) решаются численно.

Четвертая глава посвящена исследованию оценок состояний и оценок параметров альтернирующего потока трех типов. Исследования проводятся при помощи имитационной модели потока и программной реализации алгоритмов оценивания состояний и параметров потока.

В разделе 4.1 приведены численные результаты для оценки состояний потока. В качестве иллюстрации на рис. 4 представлены графики частоты ошибок оценивания Ра в зависимости от аг при ах = 0,1, Л =0,1; 0,5; 1; 2;

5, для потока третьего типа.

. , ..........

Рис. 4. Графики частоты ошибок оценивапия

р. а,* аз ор. од 1 ' 1

/ /—*

/

г-Н-; -

1 |

04

и

Рис. 5. Графики полной вероятности ошибки оценивания

В качестве иллюстрации на рис. 5 представлены графики полной вероятности ошибки Ро в зависимости от с*2, вычисленные по аналитической формуле (ах = 0,1, А =0,1; 0,5; 1; 2; 5) для потока первого типа.

В разделе 4.2 приведены результаты статистического эксперимента по оценке параметров альтернирующего потока трех типов с непродлеваю-щимся мертвым временем, заключающегося в нахождении статистических характеристик оценок параметров А, ах, аз, Т, таких как выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочная вариация. В табл. 1,2 в качестве иллюстрации представлены выборочные средние (Т, Тт), выборочные дисперсии (£), Е>т) и выборочные вариации (V, Ут) для оценки максимального правдоподобия Т = тт{п и оценки моментов Тт, получаемой путем решения уравнения (16) для потока первого типа в зависимости от Т (Т= 1, 3, ..., 9). Результаты в таблицах найдены при А=1; аг^ОД; времени моделирования 500 ед. вр.

Таблица!. Таблица 2.

т 1 3 5 7 I 9 Т 1 3 5 | 7 9

0,9101 2,8111 4,6885 6,6319 8,5481 Т 1,007-5 3,0203 5,0258 7,0367 9,048е

От 0,0183] 0,072£ 0,173^ 0,277Б 0,369£ О 0,0001 0,0004 0,0007^ 0,0017 0,0035

Ут 0,026( 0,1075 0,2687 0,409^ 0,5704 V 0,0001 0,0008 0,001^ 0.003С 0,0056

В табл. 3 в качестве иллюстрации для потока первого типа приведены характеристики: выборочное среднее ах, выборочная дисперсия Ё>а1, выборочная вариация Уа1 оценки оц, получаемой методом моментов при А = 1, ах = 0,1, а.2 — 0,2, время моделирования 5000 ед. вр. путем решения уравнения (21) в зависимости от Т (Т=0; 0,5; 1; 3; ...; 9).

__Таблица 3.

т 0 0,5 1 3 5 7 9

51 0,1101 0,1185 0,1139 0,1151 0,1513 0,1571 0,1662

па1 0,0009 0,0013 0,0015 0,0023 0,0060 0,0098 0,0131

V«, 0,0010 0,0016 0,0015 0,0025 0,0086 0,0131 0,0174

В разделе 4.3 приведены результаты статистического эксперимента по оценке длительности мертвого времени Т альтернирующего потока трех типов с продлевающимся мертвым временем. В табл. 4 в качестве

иллюстрации представлены: выборочное среднее Т, выборочная дисперсия Д выборочная вариация V оценки Г, получаемой методом моментов путем решения уравнения (26) при А = 5, ах ~ 0,1, = 0,2, времени моделирования 5000 ед. вр. в зависимости от длительности мертвого времени Т (Г=0,1; 0,5; 1; 3; ...; 9) для потока первого типа.

______Таблица 4.

Т 0,5 1 1,5 2 2,5 3 5 7 9 1

Т 0,0004 0,0006 0,541С 1,6803 2,4612 3,0573 5,4806 7,6601 9,5774

В 8-Ю-6 8-10-6 0,028? 0,0139 0,0060 0,0050 0Д412| 0,1692 0,1968

V 0,2597 0,9989 0,948^ 0,1160 0,0074 0,0083 0,3707 0,6032 0,528Ц

Анализ численных результатов показывает, что 1) достаточная стабильность оценок Т и Тт при известных параметрах потока и непродлевающемся мертвом времени достигается при времени моделирования от 500 ед.вр, оценок A, di, ¿2 — от 2000 ед. вр.; оценки Т при продлевающемся мертвом времени - от 5000 ед.вр.; 2) Оценка Т, как правило, оказывается лучше оценки Тт; 3)при увеличении длительности мертвого времени Т качество всех оценок ухудшается; 4)при малых длительностях мертвого времени качество всех оценок достаточно высокое.

В заключении содержатся выводы о решении задачи оценивания состояний альтернирующего потока с инициированием лишних событий, оценивания длительности мертвого времени и параметров этого потока в условиях непродлевающегося и продлевающегося мертвого времени. Формулируются основные результаты, заключающиеся в следующем:

- получен явный вид плотности вероятностей интервала между соседними событиями в альтернирующем потоке трех типов в случаях: отсутствия мертвого времени, наличия непродлевающегося мертвого времени; получено преобразование Лапласа плотности вероятностей интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке трех типов с продлевающимся мертвым временем;

- на основе критерия максимума апостериорной вероятности разра,бо-тан алгоритм оценки состояний альтернирующего потока трех типов;

- получена оценка максимального правдоподобия (первый, второй тип потока) и эвристическая оценка (третий тип) длительности мертвого времени для потока с непродлевающимся мертвым временем;

- методом моментов построены оценки параметров альтернирующего потока трех типов с непродлевающимся мертвым временем;

- построены уравнения моментов для оценивания длительности мертвого времени в альтернирующем потоке (три типа) с продлевающимся мертвым временем;

- разработаны и реализованы имитационные модели альтернирующего потока трех типов для случаев: отсутствия мертвого времени и его наличия (непродлевающегося либо продлевающегося); получены и интерпретированы численные результаты.

Список публикаций по теме диссертации

1. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий с инициированием лишнего события // Вестн. ТГУ. — 2004.—№284.—С.139-145.

2. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Изв. вузов. Физика. —2005.—№10.-С.35-49.

3. Ниссенбаум О.В. Нерекуррентность асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий с инициированием липших событий при переходе из состояния в состояние // Вестн. ТюмГУ. — 2007.— №5.— С.17-21.

4. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оптимальная оценка состояний асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишних событий //Веста. ТюмГУ.-2008.-№ 6.-С. 107-119.

5. Ниссенбаум О.В. Сравнение методов моментов и максимального правдоподобия при оценивании длительности мертвого времени в асинхронном альтернирующем потоке//Вестн. ТТУ.-2006.-№18.-П.-С.279-284.

6. Ниссенбаум О.В. Построение плотности вероятностей интервала между соседними событиями асинхронного "альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени //Матем. и информ. мод.: сб. научн. трудов. — Тюмень: Вектор-Бук. — 2006. — Вып.8. — С. 137-148.

7. Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени при продлении его периода в асинхронном дважды стохастическом потоке событий //Вестн. ТГУ. - 2007. - №23. - П. - С.291-294.

8. Ниссенбаум О.В. Построение оценок параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с инициированием лишнего события и продлевающимся мертвым временем//Вестн. ТГУ. УВТИ. — 2008. — ■№3(4). - С.77-85.

9. Ниссенбаум О.В. Оценивание параметров и состояний асинхронного дважды' стохастического потока с инициированием лишних событий // Совр. проблемы матем. и информац. моделир. Перспективы разраб. и внедр. инновац. ГГ-решений: сб. научн. трудов,—Тюмень,—2008.—С. 80-87.

10. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оптимальная оценка состояний асинхронного альтернирующего потока с инициировании лишних событий // Новые информац. технологии в исслед. сложи, структур: Тез. докл. Седьмой Росс. конф. с межд. участ. — Томск: Нзд-во HTJI. — 2008. — С.80.

11. Ниссенбаум О.В. Построение оценок неизвестных параметров коррелированного дважды стохастического потока событий в условиях продлевающегося мертвого времени // Новые информац. технологии в исслед. сложн. структур: Тез. докл. Седьмой Росс. конф. с межд. "участ. - Томск: Изд-во HTJI. - 2008. - С.86..

Тираж 100 экз. Отпечатано з КЦ «Позитив» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Введение.'.

Глава 1. Оптимальная оценка состояний альтернирующего потока с инициированием лишних событий.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями

1.2.1. Плотность вероятностей р(т) для первого типа потока.

1.2.2. Плотность вероятностей р(т) для второго типа потока.

1.2.3. Плотность вероятностей р(т) для третьего типа потока

1.3. Апостериорные вероятности состояний.

1.3.1. Апостериорные вероятности состояний для первого типа потока

1.3.2. Апостериорные вероятности состояний для второго типа потока

1.3.3. Апостериорные вероятности состояний для третьего типа потока

1.4. Алгоритм оптимального оценивания состояний потока.

1.5. Вероятность ошибочного вынесения решения о состоянии потока.

1.5.1. Вероятность ошибки для потока первого типа.

1.5.2. Вероятность ошибки для потока второго типа.

1.5.3. Вероятность ошибки для потока третьего типа.

1.6. Результаты и выводы к первой главе.

Глава 2. Оценка параметров альтернирующего потока с непродлевающимся мертвым временем.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение плотности вероятностей длительности интервала между соседними событиями в потоке с непродлевающимся мертвым временем.

2.2.1. Построение плотности вероятностей длительности интервала между соседними событиями для потока первого типа.

2.2.2. Построение плотности вероятностей длительности интервала между соседними событиями для потока второго типа.

2.2.3. Построение плотности вероятностей длительности интервала между соседними событиями для потока третьего типа.

2.3. Выражения для совместной плотности вероятностей длительностей смежных интервалов между событиями.

2.4. Оценивание длительности мертвого времени методом максимального правдоподобия.

2.5. Оценивание параметров потока и длительности мертвого времени методом моментов.

2.5.1. Оценка параметров для первого и второго типа потоков.

2.5.2. Оценка параметров для потока третьего типа.

2.6. Результаты и выводы ко второй главе.

Глава 3. Оценка параметров альтернирующего потока с продлевающимся мертвым временем.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Преобразование Лапласа плотности вероятностей длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке.

3.2.1. Преобразование Лапласа для потока первого типа.

3.2.2. Преобразование Лапласа для потока второго типа.

3.2.3. Преобразование Лапласа для потока третьего типа.

3.3. Оценивание длительности мертвого времени методом моментов.

3.3.1. Оценивание длительности мертвого времени для потоков первого и второго типов

3.3.2. Оценивание длительности мертвого времени для потока третьего типа

3.4. Результаты п выводы к третьей главе.

Глава 4. Численные результаты статистических экспериментов на имитационной модели.

4.1. Результаты численных расчетов апостериорных вероятностей состояний и оценок состояний.

4.2. Результаты численного расчета оценок параметров в условиях непродлевающегося мертвого времени

4.3. Результаты численного расчета оценки длительности мертвого времени в условиях продлевающегося мертвого времени '.

4.4. Результаты и выводы к четвертой главе.

Актуальность работы. Развитие теории массового обслуживания насчитывает почти 100 лет. Первые работы в этой области были опубликованы датским ученым А.К. Эрлангом в 1908-1922 годах. Направленные на решение задач оптимизации обслуживания заявок, поступающих на телефонную станцию, эти работы уже тогда определили основную область применения новой 1 теории - обслуживание телетрафика. Математический аппарат, примененный Эрлангом - теория вероятностей и математическая статистика, математическое моделирование, теория случайных процесов - до сих пор является основным инструментарием теории массового обслуживания (ТМО). Уже в первой половине XX века обнаружилось, что задачи, подобные тем, что были рассмотрены Эрлангом, возникают во многих других областях науки и техники: в системах связи, транспортных системах, системах управления запасами, в управлении производственными процессами и т.д. Первые публикации по ТМО в нашей стране принадлежат, по-видимому, академику М.Ю. Юрьеву [143] и инженерам К.В. Базилевичу и В.А. Говоркову [3]. Указанные работы были изданы в 20-х гг и посвящены решению задач оптимизации телетрафика (трафика в телефонной сети).

Весомый вклад в развитие ТМО внесли такие ученые как В. Феллер, Д. Кенделл, А.Я. Хинчин и др. В частности, один из основных методов теории - метод вложенных цепей Маркова - был разработан А.Я. Хинчиным в начале 30-х гг.

Основы теории массового обслуживания, ее основные методы можно найти в монографиях А.Я. Хинчина [139], Б.В. Гнеденко и И.Н. Коваленко [34], Г.П. Климова [80], Т.Л. Саати [124], А. Кофмана и Р. Крюона [88], Д. Риордана [120], JI. Клейнорка [79]. Входящие потоки событий в системах массового обслуживания (СМО), рассмотренных в тот период времени, аппроксимировались одной из трех моделей: регулярный поток (системы с таким потоком относятся к детерминированным и рассматриваются в теории оптимизации как системы конвейерного типа), простейший (пуассоновский) поток и эрланговский (поток, полученный из пуассоновского путем разрежения) поток событий. При этом особое внимание уделяется системам с простейшим входящим потоком, тем более что СМО со входящим потоком Эрланга можно моделировать системой со входящим пуассоновским потоком.

Дальнейшее развитие ТМО шло в направлении приоритетных систем. Литературу по приоритетным системам можно найти в [16, 29, 33, 65, 81, 96]. Значительные научные исследования с использованием метода статистического моделирования на ЭВМ были выполнены Г.П. Башариным [6, 7], Б.С. Лифшицем, А.Д. Харкевичем, М.А. Шнепсом и др. [5, 93, 94, 142]. Методы ТМО изложены в [78].

В шестидесятые годы появились первые работы в области так называемых управляемых СМО [17, 18, 26, 30, 44, 121, 122, 153, 171, 179, 180]. Исключительная актуальность оптимизационных задач, приведших к возникновению таких систем, объясняет дальнейшее бурное развитие этой тематики. Достаточно полные обзоры по управляемым СМО можно найти в [44, 98, 123, 134]. Широта области применения управляемых систем и разнообразие задач, которые оказалось возможным решить с их помощью, повлекли более тщательную разработку этого направления. Ставились и решались все более частные задачи. В целом, все исследования в области управляемых систем можно разделить на пять основных направлений: 1) приоритетные системы с динамическими приоритетами [61, 97, 122, 153, 172]; 2) системы с управляемыми длительностями обслуживания [66, 126, 152, 173, 176, 180]; 3) системы с управляемым входящим потоком заявок [74, 82, 169]; 4) системы с формированием очередей [99, 100, 133, 159]; 5) системы с управляемой (динамической) структурой [2, 73, 91, 146, 164, 166, 167, 168, 174, 175].

Несмотря на довольно широкую область применения ТМО, главными потребителями результатов теории являются такие области как автоматизированные системы управления (АСУ) и сети связи, в том числе компьютерные сети. Наиболее сложные модели систем массового обслуживания создаются и исследуются именно для этих двух областей.

До середины 80-х годов относительная простота систем связи, изолированность разных видов связи друг от друга, низкая пропускная способность каналов, их дороговизна и, следовательно, высокая их загруженность приводили к тому, что для входящих потоков заявок использовались все тс же относительно простые модели, что и во времена К.А. Эрлапга - простейший поток и, реже, регулярный и эрланговский потоки. Усложнение структуры информационных систем, интеграция различных систем связи, разнообразие программного и аппаратного обеспечения, протоколов передачи информации приводят к тому, что теория, существовавшая до 80-х гг, во многом становится непригодной для анализа случайных процессов, существующих в современных сетях связи. В то же время, ТМО предлагает надежные, хорошо изученные общие математические методы теории вероятностей для детального анализа таких систем.

Основная литература по системам массового ослуживания посвящена нахождению различных стационарных характеристик системы обслуживания в условиях известных параметров входящих потоков и обслуживающих приборов. В реальных ситуациях часто эти параметры полностью или частично неизвестны. Например, загрузка сетей связи может изменяться как циклически в течение суток (недели, года), так и в зависимости от того, какие компьютерные приложения в данный момент использует сеть. С одной стороны, локальная сеть организации загружена больше днем, чем ночью, с другой стороны, сеть используется по-разному различными пользователями. В частности, можно различить сетевую активность делопроизводителя, который работает с элекронными документами и пользуется сетью только для их отсылки/получения, и системного администратора, на чей компьютер постоянно поступают данные о состоянии компьютеров и сетевых устройств офиса. Трафик первого пользователя представляет собой чередование долгих периодов "молчания" и кратковременных периодов, когда пакеты информации следуют один за другим. Трафик второго пользователя более равномерен. Однако, и в том и в другом случае имеется дело с потоками переменной интенсивности, причем изменения интенсивности таких потоков, как правило, носят стохастический характер. В литературе подобные входящие потоки событий принято называть дважды стохастическими. Слово "дважды" имеет следующий смысл: в таком типе потоков имеют место два случайных механизма. Во-первых, случайными являются моменты наступления событий в потоке, во-вторых, случайным процессом является интенсивность потока. Впервые дважды стохастические потоки событий, по-видимому, были упомянуты в работе Кингмена [161] в 1964 году.

Такая случайная зависимость интенсивности входящих потоков от времени встречается чаще, чем постоянная интенсивность, поэтому представляет определенный интерес с точки зрения практических приложений. В последние годы появилось значительное количество исследований по данной проблеме. Статистические эксперименты, проведенные рядом исследователей, показали достаточно точную аппроксимацию реальных потоков в информацонных сетях моделями дважды стохастических потоков событий [10, 36, 140]. В работах [92, 157, 160] модели дважды стохастических потоков применены к описанию экономических процессов. В работе [150] - к описанию процесса обучения нейронной сети.

Интенсивность в дважды стохастических потоках является случайным процессом. В зависимости от характера этого процесса выделяют два больших класса таких потоков: 1) потоки, интенсивность которых является непрерывным (диффузионным) процессом; 2) потоки, интенсивность которых является кусочно-постоянным процессом. Модели различных потоков с диффузионной интенсивностью построены в работах [31, 118, 127, 130, 135], исследования СМО с входящим потоком, интенсивность которого есть диффузионный случайный процесс, приведены в [35, 115].

Потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный процесс, в свою очередь, подразделяются на потоки с конечным числом состояний (с конечным числом значений, которое может принять процесс) и потоки со счетным числом состояний. Смена состояний происходит в случайные моменты времени, а на интервалах постоянства интенсивности поток ведет себя как простейший. Такие потоки наиболее пригодны для описания реальных потоков в сетях связи и цифровых сетях интегрального обслуживания. Первыми работами, в которых потоки с кусочно-постоянной интенсивностью были использованы для описания функционирования СМО, были работы М. Ньютса [170] и Г.П. Башарина, В.А. Кокотушкина, В.А. Наумова [6, 7]. В [6] введены в рассмотрение так называемые МС (Markov сЬат)-потоки, то есть потоки с интенсивностью, управляемой цепью Маркова, в [170] — MVP (Markov versalite pr0cesses)-n0T0Kii, то есть потоки, управляемые марковским процессом. В монографии [70] и статьях [15, 67, 71, 162] проведено исследование систем массового обслуживания с входящим ВМАР (Batch Markovian Arrival Pr0cess)-n0T0K0M событий, то есть потоком с кусочно-постоянной интенсивностью, в котором в момент изменения интенсивности может наступить не одно, а несколько событий (batch-пачка). Очевидно, ВМАР-потоки не являются ординарными.

Проводя наиболее общую классификацию потоков с кусочно-постоянной интенсивностью, выделяют следующие основные типы потоков: 1) синхронные дважды стохастические потоки, то есть потоки, в которых смена интенсивности происходит в моменты времени, являющиеся моментами наступления событий; 2) асинхронные потоки событий, то есть потоки, изменение интенсивности которых происходит в случайные моменты времени, не связанные с моментами наступления событий; 3) полусинхронные потоки событий, то есть потоки, у которых для одних состояний переход происходит в моменты наступления событий, а для других - независимо от моментов наступления событий.

Выделяют три основные задачи, возникающие при исследовании дважды стохастических потоков с кусочно-постоянной интенсивностью и конечным числом состояний: 1) исследование характеристик СМО с дважды стохастическим входящим потоком событий (средние длины очередей, среднее время ожидания обслуживания и т.п.) [8, 12-14, 32, 37-41, 58-60, 68, 69, 83, 85, 95, 111-114, 128, 129, 131, 137, 144, 145, 147, 148, 151, 154-156, 178, 181]; 2) оценка состояния потока в определенный момент времени при известном множестве значений интенсивности, основанная на информации о событиях, наблюденных до данного момента [57, 84, 86, 101, 116, 118, 141, 158, 177];

3) оценка параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий, возможно при неизвестном числе состояний [9, 25, 48-50, 56, 77, 110].

Среди потоков с конечным числом состояний особое значение имеют дважды стохастические потоки с двумя состояниями, в одном из которых имеет место нулевая интенсивность. Такие потоки, синхронные, асинхронные и полусинхроппые, могут являться моделями потоков, поступающих в общую сеть с одного источника. Например, источник может отправлять информацию на обслуживающий прибор порциями по мере ее накопления, что сформирует синхронный поток с двумя состояниями от источника (либо информация пересылается с максимальной интенсивностью, либо не пересылается вовсе, при этом начало и конец окон передачи информации совпадают с моментами пересылки первого и последнего пакетов в "порции"). Если же интервалы времени, когда источник может проводить передачу, определяет обслуживающее или иное устройство, исходя из загруженности сети или сервера, то имеем асинхронный поток с двумя состояниями. Если окно передачи открывается обслуживающим или контролирующим прибором, а закрывается источником, или наоборот, то имеем полусинхронный поток с двумя состояниями. В цифровых сетях интегрального обслуживания (Integrated Service Digital Networks - ISDN), в частности, в компьютерных сетях, такими моделями может быть аппроксимирован трафик, исходящий от определенного порта компьютера (браузерный интериет-трафик, трафик почтового сервиса, файловый трафик и т.п.). Для таких моделей были решены задачи оценивания состояний и параметров. Для асинхронного потока с двумя состояниями - в работах [25, 32, 42, 51, 56, 72], для синхронного - в работах [46, 47, 49, 50], для полусинхронного - в работах [47, 48].

Следует отметить, что характеристики потока, исходящего от одного источника, являются важными в свете некоторых практических задач. Например, поток исходящих информационных пакетов по какому-либо виду трафика в компьютерной сети характеризуется набором параметров потока, а значит, оценив эти параметры, можно составить определенный "портрет" источника, который, в свою очередь, может быть использован при анализе безопасности трафика на предмет выявления аномальной активности (вызванной, например, деятельностью сетевого вируса).

В то же время, не только в научной, но и в учебной и популярной литературе по информационным сетям, например [76, 109, 119, 132], все чаще упоминаются вопросы разработки теоретических положений и необходимость научно обоснованных технических решений, обеспечивающих эффективность и повышение качества администрирования информационных сетей на основе исследования циркулирующих в них потоков.

Наиболее простой случай оценивания параметров и состояний потока подразумевает, что все события потока доступны наблюдению. На практике это далеко не всегда возможно. В частности, регистрирующий прибор может обладать так называемым мертвым временем, то есть временем, наступающим после регистрирования события, в течение которого другие события потока недоступны наблюдению. Это время может быть фиксированным (постоянным) или переменным (случайным). Кроме того, мертвое время может быть непродлевающимся (события, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают продления его периода) и продлевающимся (события, наступившие в течение мертвого времени не регистрируются, но вызывают продление периода ненаблюдаемости на величину мертвого времени). Задачи оценивания параметров дважды стохастических потоков в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности приведены в работах [24, 42, 43, 48, 49], продлевающегося мертвого времени фиксированной длительности

- в работах [25, 56], в условиях мертвого времени случайной длительности

- в работе [23]. В работе [57] решается задача оптимального оценивания состояний асинхронного дважды стохастического потока с двумя состояниями при наличии ошибок в измерениях моментов времени.

Таким образом, проведено достаточно большое количество исследований дважды стохастических потоков событий с точки зрения задач определения характеристик СМО, оценивания параметров и состояний потока. В большинстве указанных работ задача оценки параметров решается методом моментов, реже - методом наименьших квадратов или методом максимального правдоподобия. Методы максимального правдоподобия и наименьших квадратов имеют асимптотическую эффективность, равную единице [89], но, к сожалению, не всегда удается получить эффективно вычислимые оценки этими методами. Оценка, полученная методом моментов, не является эффективной, но на практике часто приводит к сравнительно простым вычислениям. Также часто в литературе [19, 20, 57] решается задача оптимального оценивания состояний дважды стохастического потока событий.

Для проверки полученных алгоритмов оценивания удобно использовать имитационую модель дважды стохастических потоков событий: получение доверительных интервалов для характеристик на основе многократного моделирования работы СМО. Задача создания такой имитационной модели представляется достаточно важной. Например, в работе [125] создан пакет программ, позволяющий моделировать реализации точечных процессов, интенсивность которых является случайным процессом.

Таким образом, развитие телекоммуникационных сетей, информационных технологий, интегрирование различных видов связи, вычислительных систем и сетей породило множество задач по моделированию и анализу обслуживания информационных потоков, циркулирующих в сетях. В частности, такие информационные потоки достаточно адекватно описываются моделями дважды стохастических потоков событий. Анализ литературных источников, приведенный выше, показывает, что имеется большое колличество работ, посвященных исследованию этих моделей. В последние годы появляются работы, посвященные применению таких моделей для решения задач, возникающих на практике. Это и работы, рассматривающие частные случаи двух состояний, и работы, в которых рассматриваются более общие задачи -конечного и счетного числа состояний.

Тем не менее, нельзя сказать, что построенными моделями исчерпываются все потоки с двумя состояниями, аппроксимирующие реальные потоки событий. Протоколы ISDN-сетях таковы, что при определении окна передачи информации сервером (то есть в случае асинхронного потока), в канал могут поступать так называемые лишние события, представляющие собой пакеты-уведомления на открытие и/или закрытие окна. Такие события названы лишними, поскольку они не являются событиями пуассоновского потока, а вызываются переходом случайного процесса - интенсивности потока - из состояния в состояние. Эти лишние события могут значительно изменить картину потока и исказить результаты оценивания параметров и состояний. Поэтому очевидна необходимость построения и исследования моделей асинхронных дважды стохастических потоков с двумя состояниями и наличием лишних событий при переходе из состояния в состояние.

Необходимо также учесть возможность наличия мертвого времени у регистрирующего прибора, которая может исказить картину наблюдений за потоком. В силу этого, актуальной задачей является аналитическое и численное исследование моделей дважды стохастических потоков событий с' инициированием лишних событий при переходе из состояния в состояние с учетом наличия продлевающегося или непродлевающегося мертвого времени.

1 В настоящей диссертационной работе решается задача оценки состоянии асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий с двумя состояниями (далее альтернирующего потока) с инициированием лишних событий при переходе из состояния в состояние (рассмотрено три схемы инициирования), а также задача оценивания параметров альтернирующего потока с инициированием лишних событий и мертвым (продлевающимся, непродлевающимся) временем фиксированой длительности.

Цель работы. Целью данной работы является:

1) построение математических моделей альтернирующего потока событий с инициированием лишних событий в условиях: а) отсутствия мертвого времени; б) наличия непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности; в) наличия продлевающегося мертвого времени;

2) построение оценок неизвестных параметров и состояний альтернирующего потока с инициированием лишних событий и разработка соответствующих алгоритмов оценивания;

3) программная реализация алгоритмов оценивания параметров и состояний альтернирующего потока событий с инициированием лишних событий;

4) проведение статистических экспериментов на основе имитационной модели альтернирующего потока с инициированием лишних событий с целью установления качества получаемых оценок параметров и состоянии.

Методы исследований. Для построения моделей потоков и их аналитического исследования применялся аппарат теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений, теории марковских процессов. Для построения алгоритмов оценивания параметров и состояний потоков -методы математической статистики, теории массового обслуживания, линейной алгебры, численные методы. Проведение статистических экспериментов с целью определения качества построенных оценок выполнено на основе имитационной модели альтернирующего потока событий с инициированием лишних событий и различными типами мертвого времени.

Научная новизна работы. Результаты, выносимые на защиту. Научная новизна работы состоит в рассмотрении задачи оценивания параметров альтернирующего потока с двумя состояниями и инициированием лишних событий при переходе из состояния в состояние, наблюдение за которым осложнено наличием мертвого времени, а также построении оптимальных оценок состояний такого потока в условиях отсутствия мертвого времени.

Результаты, выносимые на защиту:

1) математические модели альтернирующих потоков с двумя состояниями и инициированием лишних событий в условиях: а) отсутствия мертвого времени; б) наличия непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности; в) наличия продлевающегося мертвого времени фиксированой длительности;

2) алгоритмы оценивания параметров альтернирующего потока с двумя состояниями и инициированием лишних событий в случае присутствия мертвого времени (продлевающегося и непродлевающегося), полученные методом максимального правдоподобия и методом моментов;

3) алгоритмы оптимального оценивания состояний альтернирующего потока с двумя состояниями и инициированием лишних событий при отсутствии мертвого времени;

4) результаты статистического исследования предложенных оценок, полученные с помощью имитационной модели альтернирующего потока с двумя состояниями и инициированием лишних событий.

Теоретическая ценность работы состоит в аналитическом решении задач оценивания параметров альтернирующего потока с инициированием лишних событий, его состояний, а также длительности мертвого времени на основе выборки наблюдений за моментами наступления событий этого потока.

Практическая ценность работы состоит в возможности использования полученных алгоритмов оценивания параметров и состояний альтернирующего потока с инициированием лишних событий в задачах анализа и проектирования систем массового обслуживания, в частности, систем и сетей связи, спутниковых систем передачи данных, информационно-вычислительных сетей, дисциплины обслуживания которых зависят от параметров входящих потоков, а также для обработки результатов физического эксперимента по изучению потоков элементарных частиц, осложненного мертвым временем регистрирующей аппаратуры.

Работа выполнена в рамках научно-исследовательской работы Томского государственного университета "Исследование и "разработка моделей высокопроизводительных многопроцессорных систем и методов обеспечения компьютерной безопасности" в период с 2002 по 2006 гг. и научно-исследовательской работы Томского государственного университета "Исследование вероятностных, статистических и логических моделей информационных потоков в технических, экономических системах и компьютерных системах обработки информации" (2006-2008 гг.).

Публикации. Основные результаты настоящей работы приведены в следующих научных публикациях. Всего опубликовано 11 работ:

1. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий с инициированием лишнего события // Вести. Томск, гос. ун-та. — 2004—№284.—С.139-145.

2. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Изв. вузов. Физика. —2005,—№10.—С.35-49.

3. Ниссенбаум О.В. Нерекуррентность асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий с инициированием лишних событий при переходе из состояния в состояние // Вести. Тюм. гос. ун-та. — 2007.— №5 — С. 17-21.

4. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оптимальная оценка состояний асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишних событий II Вестн. Тюм. гос. ун-та.—2008.—№ 6.—С. 107-119.

5. Ниссенбаум О.В. Сравнение методов моментов и максимального правдоподобия при оценивании длительности мертвого времени в асинхронном альтернирующем потоке // Вестн. Томск, гос. ун-та. — 2006.—№18. - Прил.—С.279-284.

6. Ниссенбаум О.В. Построение плотности вероятностей интервала между соседними событиями асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени //Матем. и информац. моделирование: сб. научн. трудов. — Тюмень: Вектор-Бук. — 2006. — Вып.8. - С. 137-148.

7. Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени при продлении его периода в асинхронном дважды стохастическом потоке событий //Вестн. Томск, гос. ун-та. — 2007. — №23. — Прил. — С.291-294.

8. Ниссенбаум О.В. Построение оценок параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с инициированием лишнего события и продлевающимся мертвым врельенем //Вестн. Томск, гос. ун-та. Серия УВТИ. - 2008. - №3(4). - С.77-85.

9. Ниссенбаум О-В. Оценивание паральетров и состояний асинхронного дваэюды стохастического потока с инициированием лишних событий

Совр. проблемы матем. и информац. моделир. Перспективы разработки и внедрения инновац. IT-решений: сб. научн. трудов. — Тюмень. — 2008. — С. 80-87.

10. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оптимальная оценка состояний асинхронного альтернируюгцего потока с инициированием лишних событий //Новые информац. технологии в исслед. сложн. структур: Тез. докл. Седьмой Росс. конф. с межд. участ. — Томск: Изд-во HTJL — 2008. — С.80.

11. Ниссенбаум О.В. Построение оценок неизвестных параметров коррелированного дважды стохастического потока событий в условиях продлевающегося мертвого времени // Новые информац. технологии в исслед. сложн. структур: Тез. докл. Седьмой Росс. конф. с межд. участ. — Томск: Изд-во НТЛ. - 2008. - С.86.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались:

- на научном семинаре НИИ ИИС ТюмГУ, г. Тюмень, сентябрь 2005 г.;

- на VI Всероссийской конференции с межд. участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур", г. Шушенское, сентябрь 2006 г.;

- па VI Всероссийской школе-семинаре "Проблемы компьютерной безопасности и криптографии" - SIBECRYPT'07, г. Горно-Алтайск, ТГУ, ГАГУ, сентябрь 2007 г.; на межрегиональной научно-практической конференции института МиКН ТюмГУ "Современные математические методы и информационные технологии", г. Тюмень, май 2008 г.;

- на VII Всероссийской конференции с межд. участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур", г. Томск, сентябрь 2008 г.

Результаты работы отражены в 11 публикациях.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены вопросы, связанные с оценкой состояний и параметров асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий с инициированием лишних событий при переходе процесса X(t) из состояния в состояние (три типа, потока) в условиях присутствия мертвого времени (продлевающегося и непродлевающегося).

Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Получены явные аналитические формулы для плотности вероятностей интервала между соседними событиями в альтернирующем потоке с инициированием лишних событий в случаях: отсутствия мертвого времени, наличия непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности, а также получено преобразование Лапласа плотности вероятностей интервала между соседними событиями в альтернирующем потоке с инициированием лишних событий и продлевающимся мертвым временем.

2. Получены явные аналитические формулы для апостериорных вероятностей состояний альтернирующего потока с инициированием лншних событий (первый, второй и третий тип потока) в любой момент времени наблюдения за потоком. На основе критерия максимума апостериорной вероятности находятся оценки состояний альтернирующего потока с инициированием лишних событий. Данный критерий обеспечивает минимум вероятности ошибочного решения. Получены явные формулы для полной (безусловной) вероятности ошибочного решения (первый и второй тип потока), а также алгоритм расчета условной вероятности ошибочного решения для третьего типа потока.

3. На основе полученных плотностей вероятностей в явном виде получена оценка максимального правдоподобия (первый и второй тип потока) и эвристическая оценка (третий тип потока) длительности мертвого времени для альтернирующего потока с инициированием лишних событий и непродлевающимся мертвым временем.

4. На основе полученных плотностей вероятностей методом моментов в явном виде построены оценки параметров альтернирующего потока с инициированием лишних событий (первый, второй и третий тип потока) и непродлевающимся мертвым временем.

5. На основе полученного преобразования Лапласа плотности вероятностей построено уравнение моментов для оценивания длительности мертвого времени в случае продлевающегося мертвого времени (первый, второй и третий тип потока).

6. Разработаны и реализованы имитационные модели альтернирующего потока с инициированием лишних событий (первый, второй и третий тип потока) при отсутствии мертвого времени, а также в случае присутствия непродлевающегося или продлевающегося мертвого времени фиксированной длительности, которые используются для получения численных результатов при конкретных реализациях потока.

7. Для конкретных значений параметров альтернирующего потока проведены численные вычисления оценок состояний и параметров, а также величин, характеризующих качество оценивания.

8. Полученные в четвертой главе численные результаты позволяют сделать вывод о том, что алгоритм расчета оценок состояний и алгоритмы расчета оценок мертвого времени и параметров являются практически применимыми инструментами для использования при проектировании систем массового обслуживания.

Таким образом, результатом диссертационной работы являются новые теоретические и практические результаты для решения задач оценки состояний и параметров альтернирующего потока с инициированием лишних событий и мертвым временем. В совокупности с программной реализацией на ЭВМ полученные результаты обеспечивают возможность их использования при решении важных прикладных задач, таких как выбор дисциплины обслуживания в цифровых сетях интегрального обслуживания, телекоммуникационных сетях, бортовых системах спутниковой связи и т.п.

1. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. — Минск: Университетское. — 1988. — 254 с.

2. Афанасьева Л.Г. Система с включением резервного прибора //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1971. - №6. - С. 93-100.

3. Вазилевич К.В., Говорков В.А. Трафик и работа приборов соединения автоматических телефонных станций. — М.: Наука, — 1928. — 215 с.

4. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. — М.: Наука. — 1969. — 512 с.

5. Башарин Г.П., Харксвич А.Д., Шнепс М.А. Массовое обслуживание в телефонии. — М.:Наука. —- 1968. — 240 с.

6. Башарин Г.П., Кокотушкпн В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1979. — № 6. — С. 92-99.

7. Башарин Г.П., Кокотушкпн В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. — № 1. — С. 55-61.

8. Баштова Е.Е. Виртуальное время ожидания в одной системе с модулированным входным потоком // Мат. заметки. — 2004. — № 6. — С. 945-948.

9. Бсккерман Е.Н., Катаева С.С. Алгоритм определения участков стационарности МС-потока событий // Мае. обсл.: Матер, межд. конф. "Совр. матем. мет. иссл. инф.-выч. сетей". — Минск: БГУ. — Вып. 16. — 2001.1. С. 42-47.

10. Бекксрман Е.Н., Катаев С.Г., Катаева С.С., Кузнецов Д.Ю. Аппроксимация МС-потоком реального потока событий // Вестн. ТГУ. — 2005. — № 14. — Прил. С. 248-253.

11. Боровков А.А. Теория вероятностей — М.: Наука, 1986. — 431 с.

12. Бочаров П.П., Печинкин А.В., Салерно С., Д'Апиче Ч. Стационарные характеристики системы массового обслуживания G/M-SP/1/r // АиТ. — 2003. К0- 2. - С. 127-142.

13. Бочаров П.П., Вискова Е.В. Однолинейная система массового обслуживания конечной емкости с марковским потоком и обслуэюиванием в дискретном времени // АиТ. — 2005. — № 2. — С. 73-91.

14. Бочаров П.П. Система МАР/Г/1/r в условиях большого коэффициента вариации времени обслуживания // АиТ. — 2005. — № 11. — С. 89-98.

15. Бройер JI., Дудин А.Н., Клименок В.И., Царенков Г.В. Двухфазная система ВМАР IG/l/N^PH/llM-l с блокировкой //АиТ. 2004. - №1. - С. 17-130.

16. Бронштейн О.И., Духовный И.М. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах. — М.: Наука. — 1976. — 220 с.

17. Бронштейн О.И., Рыков В.В. Об оптимальных приоритетах в СМО //Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1965. - № 6. - С. 28-37.

18. Бронштейн О.И., Рыков В.В. Об оптимальных дисциплинах обслуживания в управляюш/их системах // Упр. произв.: Тр. III Всес. сов. по авт. упр.(техн. киберн.). М. 1967. - С. 215-224.

19. Бушланов И.В., Горцев A.M. Алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного дважды стохастического потока событий // Вестн. ТГУ. — 2003. №6. - Прил. - С'. 220-224.

20. Бушланов И.В., Горцев A.M. Оптимальная оценка состояний синхронного дваоюды стохастического потока событий //АиТ. 2004. - №9. — С. 40-52.

21. Василевская Т.П., Горцев A.M., Нежельская Л.А. Оценивание длительности мертвого времени и параметров синхронного альтернирующего потока с проявлением событий // Вестн. ТГУ. — 2004. — № 9(11). — С. 129-137.

22. Василевская Т.П., Завгородняя М.Е., Шмырин И.С. О соотношении МАР-потока событий и асинхронного, полусинхронного и синхронного дваоюды стохастических потоков // Вестн. ТГУ. — 2004. — № 9(H). — С. 138-144.

23. Васильева Л.А. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях присутствия мертвого времени // Вестн. ТГУ. — Прил. 2002. - № 1(1). - С. 9-14.

24. Васильева Л.А., Горцев A.M. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // АиТ. 2002. - № 3. - С. 179-184.

25. Васильева Л.А., Горцев A.M. Оценивание длительности мертвого времени асинхронного дваоюды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // АиТ. — 2003. — № 12. — С. 69-79.

26. Веклеров Е.Б. Об оптимальных абсолютных динамических приоритетах в СМО //Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1967. - № 2. - С. 87-90.

27. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее иноюенерные приложения. — М.: Высш. шк. — 2000. — 383с.

28. Вержбицкий В.М. Численные методы (матем. анализ и обыкновенные диф. уравнения). М.: ОНИКС 21 век. - 2005. - 400 с.

29. Волковинский М.И., 'Кабалевский А.Н. Анализ приоритетных очередей с учетом времени переключения. — М.: Эн-изд. — 1981. — 167 с.

30. Воробьев Н.М. Об управлении системой массового обслуживания одного вида // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — № 3. — С. 86-93.

31. Глухова Е.В. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуас-соновского потока событий при наличии мертвого времени // Изв. вузов. Физика. — 1993. Т.36. - № 12. - С. 54-60.

32. Глухова Е.В., Орлов А.Б. Нахоэюдение характеристик дважды стохастического потока событий с независимыми значениями интенсивности // Стат. обр. дан. и упр. в слож. сист. — Томск: Изд-во ТГУ. — 2002. — № 4. С. 21-24.

33. Гпеденко Б.В., Даниэлян Э.А., Дмитров В.Н., Климов Г.П., Матвеев В.Ф. Приоритетные СМО. — М.: Изд-во МГУ. — 1973. — 447 с.

34. Гпеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука. — 1966. 431 с.

35. Головко Н.И. Расчет стационарных характеристик числа заявок в СМО с бесконечным накопителем при диффузионной интенсивности входного потока // Дальн. мат. сб. — Вл-ток: Дальнаука. — 1999. — № 6. — С. 21.

36. Головко Н.И., Каретник В.О., Танин В.Е., Сафонюк И.И. Исследование моделей систем массового обслуэюиваиия в информационных сетях // Сиб. жур. инд. матем. 2008. - T.XI - № 2(34). - С. 50-58.

37. Головко Н.И., Катрахов В.В., Кучер Н.А. Построение модели стационарных СМО со скачкообразной интенсивностью входного потока // Матем. мод. в ест. и гум. науках: Тез. докл. Воронеж, зимн. сими. — 2000. — С. 63.

38. Головко Н.И., Катрахов В.В. Моделирование СМО с переменными параметрами !/ Матем. мод. в ест. и гум. науках: Тез. докл. Воронеж, зимн. симп. 2000. - С. 64.

39. Головко Н.И., Филинова Н.А. Матричный анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // АиТ. — 2000. — №9. — С. 73-83.

40. Головко Н.И., Катрахов В.В., Писаренко Т.А. Краевые задачи в стационарных СМО с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Диф. уравнения. — 2002. — №38. — Т.З. — С. 305-312.

41. Головко Н.И., Катрахов В.В. Краевые задачи в некоторых СМО // Совр. мет. в теории краевых задач: Матер. Воронеж, весен, матем. школы "Понтрягинские чтения ХШ". Воронеж. — 3-9 мая 2002. - 2002. — С. 38.

42. Горцев A.M., Завгородняя М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий при условии его частичной наблюдаемости // Опт. атм. и океана. 1997. - Т. 10. - № 3. - С. 273-280.

43. Горцев A.M., Климов И.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях его частичной ненаблюдаемости // Радиотехника. — 1991. — №12. — С. 3-7.

44. Горцев A.M., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуо/сивания. — Томск: Изд-во ТГУ. — 1978. — 208 с.

45. Горцев A.M., Нежельская JT.A. Оптимизация параметров адаптера при наблюдениях за МС-потоком // Стохаст. и детерминир. модели сложных систем. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР - 1988. - С. 20-32.

46. Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оценка параметров синхронно-альтернирующего пуассоновского потока событий методом моментов // Радиотехника. — 1995. — №7-8. — С. 6-10.

47. Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оценивание параметров полу синхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестн. ТГУ. Прил. - 2002. - №1(1). - С. 18-23.

48. Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оценивание периода мертвого времени и параметров полусинхронного потока событий // Изм. техника. — 2003. — №6. — С. 7-13.

49. Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оценивание длительности мертвого времени и параметров синхронного альтернирующего потока событий // Вестн. ТГУ. 2003. - №6. - С. 232-239.

50. Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оценивание длительности льертвого времени и интенсивно с те и синхронного дважды стохастического потока событий // Радиотехника. — 2004. — №10. — С. 8-16.

51. Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оценивание параметров асинхронного потока с инициированием лишних событий методом моментов // Вести. ТГУ. Прил. - 2006. - №18. - С. 267-274.

52. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий с инициированием лишнего события // Вестн. ТГУ. — 2004. — № 284. — С. 137-145.

53. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Изв. вузов. Физика. — 2005. — № 10. С. 35-49.

54. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оптимальная оценка состояний асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишних событий // Вести. ТюмГУ. 2008. - № б. - С. 107-119.

55. Горцев A.M., Паршина М.Е. Оценивание параметров альтернирующего потока событий в условиях "мертвого" времен,и // Изв. вузов. Физика. —• 1999. Т.42. - № 4. - С. 8-13.

56. Горцев A.M., Шмырин И.С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // АпТ. — 1999. — №1. — С. 52-66.

57. Д'Апиче Ч., Мапзо Р., Печинкин А.В. Система обслуоюивания MAP/K/G/K/1 конечной емкости с дисциплиной преимущественного разделения прибора // АпТ. — 2004. — № 11. — С. 114-121.

58. Д'Апиче Ч., Манзо Р. Система обслуоюивания BMAP/K/G/K/1 конечной емкости с обобщенной дисциплиной преимущественного разделения прибора // АиТ. 2006. - № 3. - С. 94-102.

59. Д'Апиче Ч., Кристофаио М.Л., Печинкин А.В. Система обслуживания МАР/k/G/k/l/"бесконечность "с обобщенной дисциплиной преимущественного разделения прибора // АиТ. — 2004. — № 12. — С. 110-118.

60. Даниэлян Э.А. Время ожидания в модели с категорийными во времени приоритетами // Кибернетика. — 1980. — №6. — С. 103-109.

61. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М: Физматгиз. — 1963. — 660 с.

62. Диткнн В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Физматгиз. — 1961. — 524 с.

63. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. — М.: Наука. — 1971. — 288 с.

64. Джсйсуол Н. Очереди с приоритетами. — М.: Мир. — 1973. — 279 с.

65. Дудин А.Н. О задаче оптилшльного управления многоскоростной системой массового обслуоюивания // АиТ. — 1980. — №9. — С. 43-51.

66. Дудин А.Н. Оптимальное гистерезисное управление ненадежной системой BMAP/SM/1 // АиТ. 2002. - №10. - С. 58-72.

67. Дудин А.Н., Клименок В.И. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания, функционирующей в марковской синхронной случайной среде // АиТ. — 1997. — №1. — С. 74-84.

68. Дудин А.Н., Клименок В.И. О системе BMAP/G/1 с альтернирующим режимом функционирования // АиТ. — 1999. — №10. — С. 97-107.

69. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. — Минск: БГУ. — 2000. — 175 с.

70. Дудин А.Н., Клименок В.И., Царенков Г.В. Расчет характеристик однолинейной СМО с групповым .марковским, потоком, полумарковским обслуживанием и конечным буфером j j АиТ. — 2002. — №8. — С. 87-101.

71. Жданова А.В. Оценка параметров коррелированного асинхронного дважды стохастического потока событий // Вести. ТГУ, — Прил. — 2007.- №23. С. 291-294.

72. Зиновьева Л.И. Система массового обслуживания, с гистерезисом и резервным прибором, управляемым временем ооюидания j/ Матем. стат. и ее прил. Томск: Изд-во ТГУ. - 1980. - №6. - С. 152-146.

73. Ивницкий В.А. Однолинейная система со случайной интенсивностью потока и скоростью обслуэюивания j/ Лит. матем. сб. — 1996. — Т.6. — №1.- С. 41-50.

74. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. — М.: Высшая школа. — 1982. — 256 с.

75. Камер Д. Сети TCP/IP. Т.1. Принципы, протоколы и структура. — М.: Вильяме. — 2003. — 727 с.

76. Катаева С.С. Об одном, подходе к распознаванию МС-потока-событий // Матер, конф. "Матем. мет. иссл. телеком, сетей". — Минск. — 1998. — С. 5-9.

77. Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания. — М.: Радио и связь. — 1981. — 127 с.

78. Клейнорк Л. Теория массового обслуживания. — М.: Машиностроение. — 1979. 432 с.

79. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука. — 1966. - 243 с.

80. Климов Г.П., Мишкой Г.К. Приоритетные системы обслуоюивания с ориентацией. — М.: Изд-во МГУ. — 1979. — 222 с.

81. Коваленко И.Н., Юркевич О.М. О некоторых вопросах оптимального обслуживания требований в системах с ограниченным временем ожидания // Изв. АН СССР. Техн. киб. 1971. - №1. - С. 26-35.

82. Коротаев И.А. Адаптивная оценка, интенсивности дважды стохастического потока // Упр. сист. мае. обсл. — Томск. — 1984. — Вып.З. — С 50-57.

83. Коротаев И. А. Системы массового о белу о кивания с переменными параметрами. — Томск: Изд-во ТГУ. — 1991. — 167 с.

84. Коротаев И.А., Коротаева Н.И. Оценивание интенсивности МС-потока // Тр. 8 Белорус, шк.-сем. по мае. обсл. Минск: БГУ. - 1992. - С 78-79.

85. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и ино/сенеров). М.: Наука. — 1978. — 832 с.

86. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуэ/сивание. — М.: Мир. — 1965. — 302 с.

87. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир. — 1975. — 648 с.

88. Курочкин С.С. Многомерные статистические анализаторы. М.: Атомиздат. — 1968. — 443 с.

89. Кухта Т.К., Шваб Н.Д. Системы с переменным числом каналов // Кибернетика. 1975. - №2. - С. 146-148.

90. Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке платежей // Вести. ТГУ. УВТИ. 2007. - №1. - С. 36-44.

91. Лифшиц Б.С., Пшеничников П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. -М.: Связь. 1979. - 224 с.

92. Лифшиц Б.С., Соколов В.А. Исследование абонентской и межстанционной нагрузки на ГТС // Электросвязь — 1979. — №2. С. 29-34.

93. Мова В.В., Пономаренко Л.А., Калиновский A.M. Организация приоритетного обслуживания в АСУ. Киев: Техника. — 1977. — 160 с.

94. Мова В.В., Пономаренко Л.А. Об оптимальном назначении приоритетов, зависящих от состояния блуждающей системы с ограниченным числом мест для ожидания // Изв. АН СССР. Техн. киб. 1974. -№5- С.74-81.

95. Назаров А.А. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. Томск: Изд-во ТГУ. — 1984. - 234 с.

96. Назаров А.А. Оптимальное формирование очередей в многоканальных системах массового обслуживания // АиТ. 1975. - №8. - С. 36-39.

97. Небеев А.В., Ревельс В.П. Исследование многоканальных систем передачи информации методом оптимизации стратегии распределительного устройства // ППИ. 1970. - Т.6. - Вып.З. - С.96-99.

98. Нежельская JI.A. Алгоритм оценивания состояния синхронного МС-потока // Тр. 11 Белорус, шк.-сем. по мае. обсл. Минск. - 1995. - С 93-94.

99. Ниссенбаум О.В. Сравнение методов моментов и максимального правдоподобия при оценивании длительности мертвого времени в асинхронном альтернирующем потоке // Вести. ТГУ. 2006.-№ 18.-Прил. - С.279-284.

100. Ниссенбаум О.В. Построение плотности вероятностей интервала между соседними событиями асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Матем. и информ. модел. — Тюмень: Вектор-Бук. — 2006. — Вып.8. — С. 137-148.

101. Ниссенбаум О.В. Нерекуррентность асинхронного альтернирующего дважды стохастического потока событий с инициированием лишних событий при переходе из состояния в состояние // Вестн. ТГУ. — 2007. — №5. С. 17-22.

102. Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени при продлении его периода в асинхронном дважды стохастическом потоке событий // Вестн. ТГУ. 2007. - №23. - Прил. — С.291-294.

103. Ниссенбаум О.В. Построение оценок параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с инициированием лишнего события и продлевающимся мертвым временем // Вестн. ТГУ. УВТИ. — 2008. — №3(4). С.77-85.

104. Ниссенбаум О.В. Оценивание параметров и состояний асинхронного дважды стохастиа1,еского потока с инициированием лишних событий // Совр. пробл. матем. и пнформ. модел. — Тюмень. — 2008. — С. 80-87.

105. Олифер В.Г., Олифер Н.А. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы. — СПб: Пптер. — 2008. — 958 с.

106. Печинкин А.В. Система MAP/G/1/п с дисциплиной LIFO и ограничением на суммарный объем требований // АиТ. — 1999. — №12. — С. 114-120.

107. Печинкин А.В., Свищева Т.А. Система MAP/G/1/r с инверсионным порядком обслуэюивания и вероятностным приоритетом // Вести. Рос. ун-та Дружбы пародов. Сер.: ПМИ. — 2002. — №1. — С. 119-143.

108. Печинкин А.В., Чаплыгин В.В. Стационарные характеристики системы массового обслуживания SV/MSP/n/r'l // АпТ. — 2004. — №9. С. 85-100.

109. Печинкина О.А. Стационарные вероятности состояний в системе MAP/G/1 с дисциплиной LIFO Р // 34-я научн. конф. фак. физ.-мат. и естеств. наук Рос. ун-та Дружбы народов. — Тез. докл. — 1998. — С. 5-6.

110. Писаренко Т.А. Характеристики 'числа заявок и незавершения работы в СМО с диффузионной интенсивностью входного потока // Третий Сиб. конгресс по прикл. и индустр. матсм. — Н-ск: Ин-т матем. — 1998. — С. 33.

111. Поддубный В.В. Рестрикти,вная фильтрация тренда интенсивности, пуассоновского потока // Третий Сиб. конгресс по прикл. и индустр. матем.

112. Н-ск: Ин-т матем. 1998. - С. 140.

113. Понтрягип JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука. 1970. - 752 с.

114. Поттосина С.А., Терпугов А.Ф. Оптимальная нелинейная фильтрация МС-потоков // Изв. вузов. Физика. — 1993. — Т.36 — № 12. — С. 54-60.

115. Пупков К.А. Интеллектуальные системы: исследование и создание. — М.: Изд-во МГТУ. 2003. - 348 с.

116. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуоюивания. М.: Связь. — 1966. - 184 с.

117. Рыков В.В. Об оптимальной дисциплине обслуживания в системе со складом. / Прикл. задачи теор. киб. — М: Сов. радио. — 1966. — С. 437-449.

118. Рыков В.В., Лемберг Э.Е. Об оптимальных динамических приоритетах в СМО // Изв. АН СССР. Техн. киб. 1967. - № 1. - С. 25-34.

119. Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания. /В кн.: Итоги науки и техники. Теор. вероятн. Матем. стат. Теор. киб. — М: ВИНИТИ. 1975. - Т.12. - С. 43-153.

120. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуоюивания и ее приложения.- М.: Сов. радио. 1971. - 520 с.

121. Соколов С.С., Чернов М.А. Пакет программ моделирования дваоюды стохастических импульсных потоков // Матем. в ВУЗе: Тр. межд. научно-метод. конф., Санкт-Петербург. СПб: Изд. ПГУПС. - 1999. - С. 176.

122. Соловьев А.Д. Задача об оптимальном обслуживании // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1970. — №5. — С.40-49.

123. Степанова С.С., Терпугов А.Ф. Оценка интенсивности эрланговых потоков // Тр. 1 Белорус, шк.-сем. по мае. обсл. — Минск. — 1985. — С. 142-143.

124. Таташев А.Г. Система MAP/G/1/п с инверсионной дисциплиной и обслуоюиванием прерванной заявки, заново с прежней длительностью // АиТ. 2002. - №11. - С. 103-107.

125. Таташев А.Г. Система обслуживания с инверсионной дисциплиной, двумя типами заявок // АиТ. — 2003. — №11. — С. 122-127.

126. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов интенсивности нестационарного пуассоновского потока событий сплайнами второго порядка // Тр. 5 Белорус, шк.-сем. по мае. обсл. — Минск. — 1989. — С. 121-122.

127. Тришечкин С.И. Система MAP/G/2/1 с двумя типами требований, дисциплиной RANDOM и раздельными очередями // Вестник Рос. ун-та Дружбы народов. Сер.: ПМИ. 2002. - №1. - С. 144-158.

128. Уилсон Э. Мониторинг и анализ сетей. — М.: ЛОРИ. — 2002. — 350 с.

129. Ушаков И.А., Чернышев В.П. Оптимальное управление в многоканальной СМО с несколькими потоками событий // Изв. АН СССР. Техн. киб. 1976. - №5. - С.95-100.

130. Файнберг М.А., Файиберг Е.А. Управление в системах массового обслуживания, // Зарубежная радиоэлектроника. — 1975. — №3. — С. 3-34.

131. Федосов Е.Н. Фильтрация интенсивности дважды, стохастического потока в системах с продлевающимся "мертвым временем" // Матем. модел. Киберн. Информ. — Томск: Изд-во ТГУ. — 1999. — С. 157-161.

132. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее прилоэ/сения. — М.: Мир. 1967. - 752 с.

133. Филинова Н.А. Расчет характеристик числа заявок в СМО с бесконечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока // Дальнсв. матем. шк.-сем. — Вл-ток: Дальнаука. — 1999. — С. 79-80.

134. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. — М.: Сов. радио. — 1968. — 256 с.

135. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. — М.: Физматгиз. — 1963. — 235 с.

136. Царенков Г.В. ВМАР-поток как модель трафика реальной сети // Матер, межд. научн. конф. "Матем. методы повышения эффект, функционир. телекоммун, сетей". — Минск: БГУ. 2005. — С. 209-214.

137. Шмырин И.С. Оптимальное оценивание состояний МАР-потока событий // Вести. ТГУ. 2003. - №6. - С. 254-258.

138. Шнепс М.А. Системы распределения информации: методы расчета. — М.: Связь. 1979. - 344 с.

139. Юрьев М.Ю. Определение числа соединительных линий между районными узлами связи // Жизнь и техника связи. — 1925. — № 5,6.

140. Artalejo Jesus R., Chakravarthy Srinivas R. Computational analysis of the maximal queue length in the MAP/М/с retrival queue // Applied Mathematics and Computation. 2006. - V. 183. - Issue 2. - P. 1399-1409.

141. Baba Yutaka A unified analysis to the queue length distribution in Mx(k)/G/1/N and GI/MY(k)/G/l/N queues // Sci. Repts Yokohama Nat. Univ. Sec. 1. 1996. - №43. - P. 43-54.

142. Bartoszewicz J., Rolski T. Qveveing systems with a reserve service channel j/ Zastosow. mat. 1970. - V. 1. - №4. - P. 439-449.

143. Banik A.D., Gupta U.C., Pathak S.S. BMAP/G/1/N queue with vacations and limited service discipline // Applied Mathematics and Computation. 2006. -V. 180. - Issue 2. - P. 707-721.

144. Banik A.D., Gupta U.C., Pathak S.S. Finite buffer vacation models' under E-limited with limit variation service and Markovian arrival process // Operat. Res. Letters. September 2006. - V. 34. - Issue 5. - P. 539-547.

145. Bouzas P.R., Valderrama M.J., Aguilera A.M., Ruiz-Fuentes N. Modelling the mean of doubly stochastic Poisson process by functional data analysis // Computational Statistics and Data Analysis. V.50. - 1.10. - June 2006. - P. 2655-2667.

146. Card H.C. Doubly stochastic Poisson processes in artifical neural learning // Neural Networks, IEEE Tansactions on V.9. 1.1. - January 1998. - P. 229-231.

147. Delia Montoro-Cazorla, Rafael Perez-Ocon. Reliability of a system under two types of failures using a Marcovian arrival process // Operat. Res. Letters. -September 2006. V. 34. - Issue 5. - P. 525-530.

148. Gebhard R.F. A queueing process with bilevel hysteretic service-rate control // Naval. Res. Logist. Quart. 1967. - V. 14. - №1. - P. 55-67.

149. Grindlay Andrew A. Tandem queues with dynamic priorities // Operat. Res. Quart. 1965. - V. 16. - №4. - P. 439-451.

150. Gupta U.C., Samanta S.K., Sharma R.K. Analysing discrete-time D-BMAP/G/1/N queue with single and multiple vacations // European Journal of Operat. Res., In Press, Corrected Proof, Avalible online, 13 November 2006.

151. Gupta U.C., Samanta S.K., Sharma R.K., Chaudhry M.L. Discrete-time single-server finite-buffer queues under discrete Marcovian arrival process with vacations // Performance Evaluation. 2007. - V. 64. - Issue 1. - P. 1-49.

152. Hoorn M.H. van, Seeln L.P. The SPP/G queue: a single server queue with a switched Poisson 'process as a input process // O. R. Spectrum. 1983. - V. 5.- №. P. 207-218.

153. Huelt M., Loistl O., Prix J. Doubly stochastic Markov process: A casual approach to modelling Cadlag market event time series // Financial Markets and• Portfolio Management. April 4. — 2006. (online).

154. Huy Dang Phuoc, Thao Tran Jung. A note on state estimation from doubly stochastic point process observation // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Math. 2001.- V. 46. №. - P. 27-32.

155. Ireland R.J., Thomas M.E. Optimal control of customer-flow trough a systems of parallel queues // Int. J. Syst. Sci. 1972. - V. 2. - №4. - P. 401-410.

156. Ji-Wook Jang. Doubly stochastic Poison process and the pricing of catastrophe reinsurance contract // ASTIN Colloquium, Porto Cervo, Costa Smeralda, Italy.- September 17-20. — 2000. (online)

157. Kingman J.F.C. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of Cambridge Phylosophical Society. 1964. - V.60. - №4. - P. 923-930.

158. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch marcovian arrival process // Com. in Stat. Stoch. Models. 1991. - V. 7. - P. 1-46.

159. Lucantoni D.M., Neuts M.F. Some steady-state distributions for the MAP/SM/1 queue // Com. in Stat. Stoch. Models. 1994. - V. 10. - P. 575-598.

160. Madhi J. Waiting time distribution in a Poisson queue with a general bulk service rule // Manag. Sci. 1975. - V. 21. - №7. - P. 777-782.

161. Machihara F.A. A MAP/SM/1 queue with service times depending on // Symposium on Performance Models for Information Communication Networks: Proc. Conf., Tokyo. 1997. - P. 180.

162. Meyer K.H.P. Ein Wartesystem mit heterogenen Kanaelen unt.er (s,S)-Regel // Proc. Operat. Res., Wuerzburg Wien. - 1973. - P. 295-317.

163. Moder J., Phillips C. Queueing with fixed and variable channels// Operat. Res. 1962. - V.10. - №. - P. 218-231.

164. Murari K. An additional special limited space queueing problem with service in batches of variable size // Operat. Res. 1968. - V.16. - №. - P. 83-90.

165. Ncnts Marcel F. Aqueue subject to extraneous phase channels // Adv. Appl. Probab. 1971. - V.3. - №. - P. 78-119.

166. Neuts M.F. A versatile Markov point process // J. of Applied Probability. — 1979. Vol. 16. - P. 764-779.

167. Oliver Robert M., Pestalozzi Gerold On a problem of optimum priority classification // J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1965. - V. 13. - №. - P. 890-901.

168. Pattipati Khrishna R., Kleinman David L. Priority assignment using dynamic programming for a class of queueing systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 1981. - V. 26. - №5. - P. 1095-1106.

169. Posner M. Single-server queues with service time depent on waiting time // Operat. Res. 1973. - V.21. - №2. - P. 610-616.

170. Romani J. A queueing model with a variable number of channels // Trabajos de estadistica 1957. - V.8. - №3. - P. 175-189.

171. Singh V.F. Queue-dependent servers // J. Eng. Math. 1973. - V.7. - №2. -P. 123-126.

172. Teghem J. On uniform hysteretic policies in a queueing system with variable service rates // Cah. Cent. etud. rech. oper. 1979. - V.21. - №2. - P. 121-125.

173. Teugles Josef L., Vynckier Petra. The structure distribution in a mixed Poisson process // J. Appl. and Stochast. Anal. 1996. - V. 9. - №4. - P. 489-496.

174. Yang Y.W., Woo Shin. BMAP/G/1 queue with correlated arrivals of customers and disasters // Operat. Res. Letters. July 2004. - V. 32. - Issue 4. - P. 364-373.

175. Yandin M., Naor P. Queueing systems with a removable service station // Operat. Res. Quart. 1963. - V. 14. - №4. - P. 393-405.

176. Yandin M., Naor P. On queueing systems with a variable service capacities // Naval. Res. Logist. Quart. 1967. - V. 14. - №1. - P. 43-53.

177. Yung-Chung Wang, Chung-Chin Lu. Loss behavior in space priority queue with bach Marcovian arrival process continuous-time case // Performance Evaluation. - January 2007. - V. 64. - Issue 1. - P. 93-101.