автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальная оценка состояний и параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний

На правах рукописи

00504оооэ

Зуевич Владимир Леонидович

ОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА СОСТОЯНИЙ И ПАРАМЕТРОВ АСИНХРОННОГО ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 7

Томск —2012

005045369

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» на кафедре исследования операций

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Горцев Александр Михайлович

Официальные оппоненты: Медведев Геннадий Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор, Белорусский государственный университет, профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики

Кошкин Геннадий Михайлович, ч доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет», профессор кафедры теоретической кибернетики

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Национальный исследователь-

ский Томский политехнический университет»

Защита состоится 21 июня 2012 г. в 14.30 час. на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корп. 2, ауд. 2126.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью организации, просим направлять по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 18 мая 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Тарасенко Петр Феликсович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Усложнение структуры информационно-телекоммуникационных систем, интеграция различных систем связи, разнообразие программного и аппаратного обеспечения, протоколов передачи данных привели в начале 90-х годов XX века к созданию цифровых сетей интегрального обслуживания (Integrated Services Digital Networks - ISDN). Данные сети характеризуются тем, что по единым аппаратным средствам совместно передаются самые разнообразные виды информации - большие массивы данных, речь и видео в цифровой форме, факсимиле и т.д. Тогда же была предпринята успешная попытка создания адекватных математических моделей реальных информационных потоков, функционирующих в цифровых сетях интегрального обслуживания - так называемых дважды стохастических потоков. Одними из первых работ в этом направлении были работы М. Ньютса, Г.П. Башарина, В.А. Кокотушкина, В.А. Наумова.

Дважды стохастическим потоком называется такой поток событий, интенсивность которого является случайным процессом. Проведенные эксперименты показывают возможность аппроксимации реальных потоков событий дважды стохастическими потоками. Большое количество исследований дважды стохастических потоков и систем массового обслуживания с входящими дважды стохастическими потоками было проведено такими учеными как А.Ф. Терпугов, A.M. Горцев, A.A. Назаров, - в Томском государственном университете; Г.А. Медведев, А.Н. Дудин, В.И. Клименок, Г.В. Царенков - в Белорусском государственном университете; Ю.В. Малинковский - в Гомельском университете; М.А. Маталыцкий - в Гродненском университете; Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, A.B. Печинкин - в Российском университете Дружбы народов; Н.И Головко, В.В. Катрахов, H.A. Филинова - в Дальневосточном отделении РАН; M.F. Neuts, A.D. Banik, U.C. Gupta, D.M. Lucantoni - в США; F.A. Machihara- в Японии; и другими учеными. Для реальных телекоммуникационных сетей наиболее характерны дважды стохастические потоки, интенсивность которых является кусочно-постоянным случайным процессом (MC-потоки). В большинстве случаев в работах рассматривались потоки с двумя состояниями интенсивности (состояниями потока). Однако, реальные информационные потоки могут аппроксимироваться дважды стохастическими потоками с числом состояний, большим двух, поэтому имеет большое значение исследование дважды стохастических потоков с произвольным числом состояний.

На практике параметры, определяющие поток событий, как правило, известны только частично, либо вообще неизвестны. Состояние дважды стохастического потока, как правило, принципиально не наблюдаемо. Функционирование системы массового обслуживания непосредственно зависит от параметров входящего потока и его состояний, поэтому возникают два класса задач: 1) оценивание состояния дважды стохастического потока по наблюдениям за моментами наступления его событий; 2) оценивание параметров дважды стохастического потока по наблюдениям за моментами наступления его событий.

При наблюдении за реальными потоками событий часть моментов наступления событий может теряться для наблюдателя. Одна из причин - так назы-

ваемое мертвое время прибора, регистрирующего события. Каждое зарегистрированное событие порождает промежуток ненаблюдаемости потока, в течение которого события потока не фиксируются (мертвое время). Можно считать, что мертвое время имеет фиксированную длительность и не продлевается (промежуток ненаблюдаемости не увеличивается) при наступлении событий в течение мертвого времени.

Целью работы является аналитическое исследование асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным конечным числом состояний в условиях полной наблюдаемости и при наличии фиксированного непро-длевающегося мертвого времени для получения оптимальных оценок состояний и параметров потока; формулировка алгоритмов для оценивания состояний и параметров потока в режиме реального времени; разработка программной реализации алгоритмов оценивания и проведение статистических экспериментов с целью установления качества получаемых оценок состояний и параметров потока.

В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Нахождение аналитического решения задачи оптимальной оценки состояний асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока.

2. Нахождение аналитического решения задачи оптимальной оценки параметров асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока.

3. Получение аналитического решения задачи оптимальной оценки состояний асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока при наличии фиксированного непродлевающегося мертвого времени.

4. Создание алгоритмов оптимальной оценки состояний и параметров асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний в условиях полной наблюдаемости моментов наступления событий потока.

5. Создание алгоритма оптимальной оценки состояний асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний при наличии фиксированного непродлевающегося мертвого времени.

6. Проведение на основе имитационной модели асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний статистического исследования качества получаемых по разработанным алгоритмам оценок состояний и параметров асинхронного потока, в том числе в условиях фиксированного непродлевающегося мертвого времени.

Научная новизна результатов проведенных исследований.

Научная новизна работы состоит в аналитическом решении задач оптимальной оценки состояний и параметров асинхронного дважды стохастического потока с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока, в том числе при наличии фиксированного непродлевающегося мертвого времени.

Положения, выносимые на защиту:

1. Аналитическое решение задачи оптимальной оценки состояний асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока.

2. Аналитическое решение задачи оптимальной оценки параметров асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока.

3. Аналитическое решение задачи оптимальной оценки состояний асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока при наличии фиксированного не-продлевающегося мертвого времени.

4. Алгоритмы оптимальной оценки состояний и параметров асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний в условиях полной наблюдаемости моментов наступления событий потока.

5. Алгоритм оптимальной оценки состояний асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний при наличии фиксированного непродле-вающегося мертвого времени.

6. Результаты статистического исследования качества получаемых по разработанным алгоритмам оценок состояний и параметров асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний, в том числе оценок состояний в условиях фиксированного непродлевающегося мертвого времени.

Методы исследования. Для проведения исследований применялся аппарат теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической статистики и численные методы. Проведение статистических экспериментов по оценке состояний и параметров потока выполнено на основе созданной имитационной модели асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным конечным числом состояний.

Теоретическая значимость работы заключается в аналитическом решении задач оптимальной оценки состояний и параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока, в том числе задачи оптимальной оценки состояний потока при наличии фиксированного непродлевающегося мертвого времени.

Практическая ценность: полученные алгоритмы оптимальной оценки состояний и параметров могут быть использованы в задачах проектирования систем и сетей массового обслуживания, в частности сетей связи, информационно-вычислительных сетей, дисциплины обслуживания которых зависят от параметров и текущих состояний входящих потоков; а также для обработки результатов физических экспериментов, осложненных наличием мертвого времени у регистрирующей аппаратуры.

Достоверность и обоснованность всех полученных в диссертации результатов подтверждается строгим математическим исследованием с использовали-

ем аппарата теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической статистики, численных методов.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Основные научные результаты, выносимые на защиту и составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. Постановка изложенных в диссертации задач была сделана совместно с научным руководителем автора, д.т.н., проф. A.M. Торцевым. В совместных публикациях научному руководителю A.M. Горцеву принадлежат постановки задач и указания основных направлений исследований, а основные результаты, выкладки и численные расчеты выполнены автором. Численные расчеты выполнялись автором самостоятельно, программа имитационного моделирования выполнена автором единолично.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1. XLVII Международная научная конференция «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, апрель 2009 г.

2. Международная конференция «Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения», посвященная 75-летию профессора, доктора физико-математических наук Г.А. Медведева, г. Минск, февраль 2010 г.

3. VI Всероссийская открытая научно-практическая конференция «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», г. Сочи, май 2010 г.

4. IV Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем», г. Пенза, май 2010 г.

5. Восьмая Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», г. Томск, октябрь 2010 г.

6. Международная научная конференция «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», г. Минск, январь-февраль 2011 г.

7.50-я Международная научная конференция «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, апрель 2012 г.

Публикации. По результатам проведенных исследований автором опубликовано 10 печатных работ, в том числе три статьи, все три статьи в издании, рекомендованном ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, трех приложений. Общий объем работы составляет 114 страниц. Работа содержит 91 страницу основного текста, в том числе 19 рисунков и 10 таблиц. Список литературы включает 114 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность работы, приведен обзор работ других авторов, сформулирована цель и задачи диссертационного исследования, изложена его научная новизна, обоснованы теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов.

В первой главе решается задача оптимальной оценки состояний асинхронного дважды стохастического потока событий, интенсивность которого является принципиально ненаблюдаемым случайным процессом, по наблюдениям за моментами наступления событий. Задача оптимальной оценки состояний решается в том числе при наличии фиксированного непродлевающегося мертвого времени.

Рассматривается асинхронный дважды стохастический поток событий с п состояниями (далее асинхронный поток либо просто поток). Интенсивность потока является кусочно-постоянным случайным процессом Х(г) с п состояниями: X., Д2, ..., \„ > Х2 > ... > Хп > 0). Будем говорить, что процесс (поток) находится В 7-м состоянии, если Х(/) = "к, (/" = ],п). В течение времени пребывания в г'-м состоянии поток ведет себя как пуассоновский с интенсивностью л(/) = А.,-(/ = 1, л). Переходы процесса ).{!) (потока) из состояния в состояние характеризуются матрицей интенсивностей переходов между состояниями Цсс^Ц", где

а,у >0 (/,_/ = \,п, ¡ф _/) — интенсивность перехода из состояния / в состояние_/.

Пусть здесь и далее Дг - достаточно малая величина, тогда элементы матрицы интенсивностей переходов определяются следующим образом:

а0 = Пт-- ('¿=1Л А ^ /»(*.(/ +А/) = = М

- вероятность того, что в момент времени I + Д/ процесс Х(1) находится в у'-м состоянии при условии, что в момент времени / он находился в г'-м состоянии;

аи = ----^— (/ = 1,и), где Р{\и + А1) = \,\Мг) = К) -

ДГ->0 Д/

вероятность того, что в момент времени I + А/ процесс Х(1) находится в г'-м состоянии при условии, что в момент времени / он находился в этом же состоянии. Очевидно, для интенсивностей переходов справедливо равенство

п _

а„ =- (' = !.")• Длительность пребывания процесса Х(г) (потока) в г-м со-

У-1.У"

стоянии является экспоненциально распределенной случайной величиной с функцией распределения /7/(т)= 1-е""'. Процесс Х({) является принципиально ненаблюдаемым, то есть состояние потока в любой момент времени является неизвестным. Наблюдению доступны только временные моменты наступления событий потока.

Рассматривается стационарный режим функционирования потока, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0,t), где t0 - начало наблюдений, /—окончание наблюдений, пренебрегаем.

Поскольку процесс X(t) является принципиально ненаблюдаемым, то говорить о состоянии потока можно только в вероятностном смысле. Иными словами, состояние потока в любой момент времени t является случайной величиной, которую можно оценить, основываясь на информации о потоке, доступной к моменту времени t. Вся доступная информация о потоке - это моменты наступления событий с начала наблюдения за потоком до момента t. Обозначим X(t) - оценка состояния потока в момент времени t. Обозначим to(À, | t\,h,...,tm) (/ = 1,л) - апостериорная вероятность того, что \(t) = h (в момент времени t поток находится

в /-м состоянии) при условии, что за время наблюдения за потоком наступило

«

m событий в моменты tvt2,...,tm. При этом |/,,f2>—»¿m) = 1- Оценку со-

/=1

стояния потока X(ï) предлагается получать согласно критерию максимума апостериорной вероятности, который обеспечивает минимум полной (безусловной) вероятности ошибки. Согласно данному критерию X(t) = X,, где / удовлетворяет следующему условию: | tx,t2,...,tm) > со(Л.у | tbt2,...,tm) (j = \,n).

Основные аналитические результаты, полученные для случайного процесса X(t) и апостериорных вероятностей, сформулированы в следующих леммах и теоремах.

Лемма 1.2.1. Процесс X(t) является транзитивным марковским.

Для формулировки следующих лемм введем следующие обозначения. Пусть наблюдения за потоком начинаются в момент времени t = 0, и время t изменяется дискретно с конечным шагом At: t = kAt (А = 0,1,—)- Рассмотрим двумерный случайный процесс (Хт, гк), где Х"!} = X(kAt) - значение процесса X(t) в момент времени kAt (Хт = Х„ i = 1,и, к = 0,1,...); гк - число событий, наблюденных на интервале времени ((&- 1)А/, kAt), (гк = 0,1,..., к = 0,1,...). Так как на интервале (-А/, 0) наблюдений не проводится, то г0 можем положить произвольным, например положим г0 = 0. Обозначим А,(ш) = (А.(0)Д(1),...,А.(т)) - последовательность ненаблюдаемых значений процесса X(t) в моменты времени kAt (к = 0,т). Обозначим гт =(/-„,/,,...,rm) - последовательность значений количества наблюденных событий на интервалах ((к — 1 )At, kAt) ( к = 0, m ).

Обозначим (о(Я.(я+,) \гт+1) - апостериорная вероятность того, что в момент времени (m + 1)Д/ имеет место Х({т + 1 )Д/) = Х(т'}) (А.(т - X,,i = 1, я) при условии, что на полуинтервалах времени [(Л — 1 )Д?, kAt) (к - 0,m + 1) наблюдалось гк

событий потока соответственно; о)(?.<т) \гт) - апостериорная вероятность того, что Х(тА1) = )}т) (Х1т>- к,-,¡ = 1,п) при условии, что на полуинтервалах времени [(А: - 1 )Дг, к А/) (к = 0, т) наблюдалось гк событий потока соответственно.

Лемма 1.2.2. Случайный процесс {Х{к\ гк) я&чяется марковским.

В следующей лемме получена рекуррентная формула для апостериорной вероятности.

Лемма 1.2.3. Апостериорная вероятность | ) определяется ре-

куррентной формулой:

От дискретного времени перейдем теперь к непрерывному времени, устремив величину At к нулю. Поведение апостериорных вероятностей на временной оси определяется следующими леммами 1.2.4- 1.2.6 и теоремой 1.2.1.

Лемма 1.2.4. В течение времени между моментами наступления соседних событий асинхронного потока апостериорные вероятности состояний потока h)(Xj \ t)(j = \,п) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений: <fto(X,|/) » в

--j— = 10 + ш(Я.; | ОЕ W, I 0.

/=1 /=1 (1)

'k <{ < '*+1 > j = 1, и, А = 0,1,...,

где Stt — символ Кронекера.

В лемме 1.2.5. получена формула для пересчета апостериорных вероятностей состояний потока в моменты времени наступления событий.

Лемма 1.2.5. Апостериорные вероятности состояний асинхронного потока сù(\j | /) (j = \,n) в момент наступления события потока определяются формулой пересчета'.

I + 0) = -L и = и, к = 1,2,... ).

i=i

Рассмотрим (ù(/v \ /0) (7 = 1,'О - апостериорные вероятности состояния потока в момент начала наблюдений за потоком t0. ю(771 /0) (у = 1,л) являются начальными условиями для решения системы (1) на полуинтервале [/0, Л), то есть на интервале времени от момента начала наблюдений за потоком до момента наступления первого события потока. Поскольку поток рассматривается в стационарном режиме, можно в качестве a(kj| h)(j = \,n) выбрать априорные финальные вероятности состояний процесса /.(?).

Лемма 1.2.6. Априорные финальные вероятности я, (у = 1,и) состояний процесса ХО) удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений

=0 = 1л7 =1, (3)

ы ;=1

где сну (/',} = 1, п) - элементы матрицы интенсивностей переходов.

Леммы 1.2.4- 1.2.6 позволяют сформулировать теорему 1.2.1.

Теорема 1.2.1. Поведение апостериорных вероятностей со(А.у 11) (у = 1,и) на временной оси определяется системой дифференциальных уравнений (1), формулами пересчета вероятностей (2) и решением системы (3), содержа-гцей п уравнений; где < / < , вероятности | !к) -- со(А, | 4 + 0),

| /4+1) = I 1 — 0) (А = 0,1,...); для ¿ = 0 имеет место равенство

1 /0) = <0(^1 /о + 0) = 71; (у = 1, л ).

Теорема 1.2.1 определяет, в частности, поведение апостериорных вероятностей на полуинтервале [1к, т.е. между моментами наступления соседних событий, причем на правом конце полуинтервала имеет место значение со(\ | гж) = со (А, | !кц - 0), на основе которого по формулам (2) находится апостериорная вероятность со(Ау | + 0) (у = 1,и), являющаяся начальной для следующего полуинтервала времени [г*+ь ¡к+2). Таким образом, апостериорные вероятности со(А._,-| /) в моменты наступления событий ,/2, - - - претерпевают разрывы первого рода.

Получим апостериорные вероятности о (л, | I) в явном виде. Для этого необходимо решить систему (1), которая является системой нелинейных дифференциальных уравнений. Ее удается решить с помощью ряда замен и введения дополнительных обозначений.

Введем матрицу О = 1(1 и ||", ¿а = ац 0 Ф Г), с1ц = ац - X/ (/, / = 1, п). Обозначим

Ш|, саг, .... и„ — собственные числа матрицы О. Введем матрицу 5 -, составленную из собственных векторов матрицы й таким образом, что 1-й столбец 5 является собственным вектором, соответствующим собственному числу Ш/ (/ = 1, и). Элементы матрицы обозначим .у,"1. Введем матрицу

0 = |а;5(/|!" (8,/ - символ Кронекера). На главной диагонали О расположены

собственные числа матрицы Д прочие элементы - нулевые.

Следующая теорема 1.3.1 определяет решение системы дифференциальных уравнений (1) на временной оси в явном виде.

Теорема 1.3.1. Апостериорные вероятности состояний асинхронного потока (»(А., | I) (у = 1 ,п) на полуинтервале времени /*ц) (к = 0,1,...) определяются следующей формулой:

|,) = -М.-,**</< 1к+1, у = 1,л, к = 0,1,-, (4)

1=1/=1

где ш(Я.у | /*> = <ю(\, | + 0) = £ (/,), =, (/,) = £ | ч + 0).

В разделе 1.4 диссертации рассмотрен случай асинхронного потока с двумя состояниями.

Полученные формулы (2), (3), (4) позволяют создать алгоритм расчета апостериорных вероятностей 00(^-1 4 У = I, л, для любого момента времени г. Алгоритм приведен в диссертации. Согласно алгоритму, параллельно вычислению апостериорных вероятностей | г), у' = 1,и, в любой момент времени / по критерию максимума апостериорной вероятности выносится оптимальное решение о состоянии асинхронного потока: если 0)(Х, | () > со(,\, 11), г,у = 1,/г, / Фу, то оценка Х(1) = .

В разделе 1.6 диссертации решается задача оценки состояний потока при наличии мертвого времени.

После каждого зарегистрированного в момент времени события наступает время фиксированной длительности Т (мертвое время), в течение которого другие события исходного асинхронного потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают продления его периода (непродлевающееся мертвое время). По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности Т и т.д. При этом, очевидно, необходимо разделять исходный (истинный) асинхронный поток, и наблюдаемый асинхронный поток, в котором часть событий исходного потока отсутствует. Так как первое наступившее после окончания периода мертвого времени событие асинхронного потока снова порождает период мертвого времени фиксированной длительности Г, в течение которого последующие события асинхронного потока недоступны наблюдению (поток отсутствует), то условия нахождения апостериорных вероятностей

1 0 и = 1,") на полуинтервале времени , 4 + 7] и на интервале времени (<к + Т, |) принципиально разные. В настоящей работе предполагается, что значение длительности мертвого времени Г известно точно.

Обозначим а = |а7/| (о,, = аи - а„у); аь..., а„ _ , - собственные числа мат-

II II"-1

рицы а; Л = - матрица, составленная из собственных векторов матрицы

а так, что г-й столбец матрицы А соответствует собственному числу а, (/ = 1, п -1). Обозначим с!е1 а — определитель матрицы а; сЗег а, - определитель, полученный из (Ыа заменойу'-го столбца столбцом (ал1, а,12_..., алп_1)т.

На отрезке мертвого времени [/*, /* + 7] (к = 1, 2, ...) поведение апостериорных вероятностей со(Лу | /) определяется выражениями:

с1е1а, "-1 „, -

' ае1а /=1 1

«о(Я.я10 = 1-1и(А.;10. (5)

>1

где 4 < / < ^ + Т, к = 1,2, ... ; значения констант г, (4) (/ = 1,п-1) находятся как решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:

=0>а,+0)--^ (У = 1^1 ,к = 1, 2,...).

¡=1 ае1а

Полученные выражения (2), (3), (4), (5) определяют поведение апостериорных вероятностей на всей временной оси, в том числе на отрезках мертвого времени, и позволяют создать алгоритм расчета апостериорных вероятностей

| г), у = 1, п, для любого момента времени ¡. Алгоритм приведен в диссертации. Согласно алгоритму, параллельно вычислению апостериорных вероятностей (йОу | /), у = 1, п, в любой момент времени I по критерию максимума апостериорной вероятности выносится оптимальное решение о состоянии асинхронного потока: если ©(Х, | г) > ю(Х, | /), /,у = 1, п, /' Ф у, то оценка А (г) = .

Во второй главе решается задача оптимальной оценки параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний.

Значения параметров потока /.„ ос,; (/, у = 1, п, / фу) неизвестны. Интенсивность потока 1(1) является принципиально ненаблюдаемым случайным процессом. Предполагается, что о потоке известно только число состояний п и наблюдению доступны все моменты наступления событий потока 12, ... . Необходимо по наблюдениям 1\, /2, ...

оценить параметры потока А./, ее,у (/, у — 1, п, / ф /) в момент окончания наблюдения за потоком.

Обозначим 0 = (Х,[,...Дп,а,у;/,7 = 1,и,/*у) - вектор неизвестных параметров потока, 0(7) - вектор соответствующих оценок параметров в момент времени /. дк и 0а- (/) - к-е компоненты вектора параметров и вектора оценок соответственно. Обозначим N - размерность векторов 6 и 0(0, N = п2. Обозначим р(01 г) = р(01 ?1, /2,..., /т,') ~ апостериорная плотность распределения вероятностей вектора параметров 0 в момент времени I при условии, что в моменты времени /], 12, ..., 1т (0 < I] < ¡2 < ... < 1т< 0 наблюдались события потока. Обозначим 0 = {Я.1 > Я-2 > ... > > 0, а,7> 0; /, у = 1, п, / Фу'} - область значений век-

тора параметров G. В диссертации предлагается использовать оценку Q(t), оптимальную в смысле минимума среднеквадратического отклонения от истинного значения вектора 6 :

в*(/) = /0^(0|/)</б (к = \J'),

е

где dQ = dQ]dQ2... d$N, или в векторной форме

ê(/)=Jëp(ë|/)i/8. (6)

0

Выражение (6) дает оптимальную оценку параметров потока в виде апостериорного среднего. Для того, чтобы воспользоваться формулой (6), необходимо найти выражение для апостериорной плотности /?(0| /).

Пусть наблюдения за потоком начинаются в момент t0 = 0, и время t изменяется дискретно с конечным шагом At: t = kAt (к = 0,1,...). Обозначим r(kAl) -число событий, наблюденных на полуинтервале времени [{к - I )At, kAt) (r(kàt) = 0,1,..., к = 0,1,...). На полуинтервале [-Д/, 0) наблюдений не производится, поэтому /-(0) можно положить произвольным, например, положим л(0) = 0. Обозначим r(mAt) = (r(0),r(At),...,r(mAt)) - последовательность значений количества наблюденных на временных полуинтервалах [(& - l)Af, kAt) (к = ojn) событий. Рассмотрим момент времени t такой, что t = m Ai, a l + At = (m + 1)A t. Тогда имеем r(mAi) = r(t), r((m + 1)Л/) - r(t + Ai), r(mAt) = F(t), r({m + \)At) = f{t + At).

Обозначимте] r(mAt)) = p(Q\ ?(t)) = p(0| t) - апостериорная плотность вероятностей вектора параметров потока 0 в момент времени t при условии, что на временных полуинтервалах [(Л - 1 )Л/, kAt) (k = Ô^m) наблюдалось r(kAt) событий потока соответственно. Обозначим р(0| / + Ai) - апостериорная плотность вероятностей в момент времени t + At, р( 01 /) - апостериорная плотность в момент времени t. Теорема 2.2.1 определяет связь апостериорных плотностей вероятностей р( 011) и р( б | / + Ai).

Теорема 2.2.1. Апостериорная плотность /;(6| t + At) определяется следующей рекуррентной формулой:

Рт,+А,)=Рф\ t)—^-г(,+А/)' -, (7)

10 e'^dQ

где о)(?у | I) (у = ) - апостериорная вероятность того, что поток в момент времени I {1 > /0) находится в]-м состоянии, определяемая формулами (2) и (4).

От дискретного времени перейдем к непрерывному времени, устремив ве-

_ п

личину ДI к нулю. Введем обозначение з(1,в)= , |/). Поведение апо-

стериорных вероятностей на временной оси определяется леммами 2.2.1, 2.2.2 и теоремой 2.2.2.

Лемма 2.2.1. Апостериорная плотность р(0\ О между моментами наступления событий удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению

= О

¿л

(4<'<4+ь* = 0, !,...)•

(8)

0

Лемма 2.2.2. Апостериорная плотность /?(0| I) в момент 1к наблюдения события потока пересчитывается по формуле

рфи (*=і,2,...). Р(Щ'к и> /^(81^-0)^-0,6)^9

0

(9)

Теорема 2.2.2. Поведение апостериорной плотности р(0| Г) на временной оси определяется интегро-дифференциальным уравнением (8) и формулой пересчета вероятностей (9), в которых 4 < ? < 4м,/>(9| 4) =р(01 4 + 0) (к - 0,1,...).

В момент времени /о начала наблюдений за потоком апостериорная плотность /?( В} /0) задается, исходя из априорных данных о параметрах асинхронного потока. Если таких данных нет, можно задать плотность р( б 11а) как произведение N плотностей равномерно распределенных случайных величин, каждая из которых распределена в некотором интервале допустимых значений для соответствующего параметра потока.

Следующая теорема 2.2.3 определяет явный вид апостериорной плотности вероятностей в моменты времени между наступления событий потока.

Теорема 2.23. Апостериорная плотность вероятностей р{ 0| /) вектора параметров 9 на полуинтервале времени [4, 4+0 (к = 0, 1, ...) определяется формулой".

і

Р(0К)ехр

р(в|/) = -

■ |Ї(Т,0)Л

|/?(0|^)ехр

■ |5(Т,9)Л

(4</<4+ІД = 0, 1,...),

(10)

¿0

где р(0| 4) = р(01 4 + 0) вычисляется в момент наступления события 4 (к =1,2,...) по формуле (9).

При расчете оценок параметров 0(/) по формулам (б), (9), (10) возникают существенные сложности при реализации алгоритма расчета на ЭВМ. Во-

первых, интегрирование в указанных формулах ведется по Л'-мерной области 0, которая в общем случае может быть не ограничена. Во-вторых, формулы содержат Л^-кратные интегралы. Поэтому в диссертации предлагается приближенный (упрощенный) алгоритм расчета оценок 0(/), который не содержит указанных сложностей. Идея приближенного алгоритма опирается на предположение о достаточной близости значений вектора оценок 0(/) к истинному

значению вектора параметров 0. Данное предположение позволяет воспользоваться разложениями в ряд Тейлора и значительно упростить формулы для вычислений. Приближенный алгоритм оценки параметров приведен в диссертации.

В третьей главе приведены результаты статистических экспериментов по нахождению оптимальных оценок параметров и состояний асинхронного потока с использованием алгоритмов оценки, полученных в главах 1 и 2. Сложность полученных в главах 1 и 2 аналитических формул оценок состояний и параметров потока не позволяет провести аналитическое исследование качества оценок. Статистические эксперименты проведены на ЭВМ с помощью имитационной модели асинхронного потока.

Статистические эксперименты по оценке состояний потока заключаются в вычислении выборочного среднего безусловной вероятности принятия ошибочного решения и выборочной дисперсии. Результаты численных экспериментов приведены в таблицах и на графиках. Здесь в качестве примера приведены результаты экспериментов для следующих параметров потока: число состояний потока п = 3; время моделирования Тт = 500 ед. времени; интервал дискретизации времени Д/ = 0,01; размер выборки (число имитаций потока) Л' = 100; первая строка матрицы интенсивностей переходов случайного процесса Л(/) из состояния в состояние Ца^Ц есть а(|) = (- 0,03; 0,02; 0,01), вторая строка -

а(2> = (0,025; - 0,04; 0,015), третья строка матрицы - а(3) = (0,02; 0,04; - 0,06). Первый эксперимент (таблица 1) проводился для параметров Х\ = 4; Х2 = 2,5;

= 1 (при этом Х2 = (Я.! + Х3)/2). В каждом из последующих экспериментов (таблицы 2 и 3) интервал между значениями интенсивностей (>ч , л3) увеличивался по сравнению с предыдущим экспериментом, значение Х2 всякий раз выбиралось как середина интервала (Л] , л3), т.е. в каждом эксперименте Х2 = (Л, + Х})/2. В первой строке каждой таблицы указаны значения мертвого времени Г, при которых проводилось моделирование асинхронного потока событий (Т= 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 ед. времени). Во второй и третьей строках таблиц для каждого значения мертвого времени Т приведены численные значения выборочного среднего безусловной вероятности ошибочного решения Р0 и выборочной дисперсии Ь соответственно.

Таблица 1

Результаты эксперимента - 4; Х2 = 2,5; = 1)

Т 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

к 0,20200 0,23500 0,27800 0,29900 0,32100 0,32500

ь 0,00258 0,00233 0,00279 0,00377 0,00378 0,00397

Таблица 2

Результаты эксперимента (X] = 6,76; Х2 - 3,625 ; ^з = 0,49)

т 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

£ 0,10200 0,15100 0,17900 0,19900 0,21900 0,23200

о 0,00047 0,00121 0,00161 0,00224 0,00227 0,00220

Таблица 3

Результаты эксперимента (Х| = 11,424; л2 - 5,832; Х3 - 0,24)

т 0 0,2 0.4 0,6 0,8 1

Ро 0,06300 0,1100 0,14300 0,16600 0,18400 0,20200

Ь 0,00028 0,00091 0,00159 0,00138 0,00185 0,00206

Анализ приведенных и других многочисленных экспериментов по оценке состояний потока показывает, что, во-первых, при росте значения мертвого времени Т качество оценки состояния ухудшается (Р0 и О растут); во-вторых, при фиксированном значении мертвого времени Т с увеличением величины интервала (А.,, Х3) качество оценки состояния улучшается, т.к. чем сильнее интенсивности отличаются друг от друга, тем сильнее различается поведение потока при разных значениях интенсивностей, и отследить изменение состояния становится проще; в-третьих, величина оценки Р0 полной вероятности принятия ошибочного решения и выборочная дисперсия оценки Г> достаточно малы; в-четвертых, оценка безусловной вероятности ошибочного решения Р0 уменьшается при увеличении времени моделирования Тт и является достаточно стабильной для времени моделирования Тт > 200 ед. времени.

Ниже в качестве иллюстрации приведены результаты статистического эксперимента по расчету оценок параметров асинхронного потока для следующих истинных значений параметров: п - 2 (поток имеет два состояния); = 0,5; Х2 -- 0,05; первая строка матрицы интенсивностей переходов процесса Х(г) из

состояния в состояние есть а(1) = (- 0,08; 0,08), вторая строка матрицы -

а(2) = (0,04; — 0,04). Начальная плотность распределения параметров выбрана равномерной: параметр Л] равномерно распределен в интервале [0,337;0,836], параметр Х2 - в интервале [0,021;0,073], параметр а, = сс!2 - в интервале [0,04;0,091], параметр а2 = а2] - в интервале [0,031;0,048]; N=4 (число параметров потока). Время моделирования Тт изменяется от 0 до 100 ед. времени. В

качестве показателя близости оценки параметра 0Дг) (к = \,М) к истинному значению параметра выбрана величина 5(9^,/) (к = 1,^):

6/:! ^ тах(011(О.0() - 8 качестве общей характеристики точности

N

оценивания параметров потока выбрана величина 5(/) . На рис. 1

представлен график оценки параметра X] в зависимости от времени; на рис. 2 представлен график величины 8(1).

В приведенном эксперименте общий показатель качества оценок параметров потока 5(/) изменяется в диапазоне от 0,09475 до 0,14913, уменьшаясь с течением времени, что говорит о достаточном качестве получаемых оценок. В целом, анализ приведенного здесь, а также многочисленных других экспериментов, показывает, что оценки параметров потока имеют достаточно хорошую стабильность.

В заключении диссертации приведены основные результаты, которые изложены в пунктах научной новизны, теоретической значимости и практической ценности.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Горцев A.M. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний /

A.M. Горцев, В.Л. Зуевич // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2010. - № 2 (И). -С. 44- 65.

2. Горцев A.M. Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий с конечным числом состояний в условиях непродлевающе-гося мертвого времени. / А.М. Горцев, ВЛ. Зуевич // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 3 (12). - С. 41 - 53.

3. Горцев А.М. Оптимальная оценка параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний. / А.М. Горцев, ВЛ. Зуевич // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2011.-№4 (17).-С. 25-40.

4. Зуевич В.Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий / В.Л. Зуевич // Студент и научно-технический прогресс : Математика : материалы XLVII Международной научной студенческой конференции / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2009.-С. 164-165.

5. Горцев A.M. Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий с конечным числом состояний. / A.M. Горцев, В.Л. Зуевич // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения : материалы Международной конференции. - Минск : Изд-во РИВШ, 2010. - С. 60 - 67.

6. Зуевич В.Л. Вынесение оптимального решения о состоянии асинхронного потока событий с конечным числом состояний при наличии интервалов ненаблюдаемости потока / В.Л. Зуевич // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий : материалы VI Всероссийской открытой научно-практической конференции, Сочи, 22 -27 мая 2010 г. / СГУТиКД. - Сочи, 2010. - С. 65 - 67.

7. Зуевич В.Л. Оценивание интенсивности асинхронного потока событий при наличии мертвого времени / В.Л. Зуевич // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сборник статей IV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза : Приволжский Дом знаний, 2010. - С. 90 - 92.

8. Зуевич В.Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий с конечным числом состояний при его неполной наблюдаемости /

B.Л. Зуевич // Новые информационные технологии в исследовании слож-

ных структур : тезисы докладов Восьмой Российской конференции с международным участием. - Томск : Изд-во HTJ1, 2010. - С. 32.

9. Горцев A.M. Алгоритм оценки параметров асинхронного потока событий с конечным числом состояний / A.M. Горцев, B.J1. Зуевич // Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей : материалы международной научной конференции, Минск, 31 января - 3 февраля 2011 г. - Минск : Изд-во РИВШ, 2011.-С. 88-95.

Ю.Зуевич B.JI. Приближенные формулы для оценки параметров асинхронного потока событий / B.J1. Зуевич // Студент и научно-технический прогресс : Математика : материалы Юбилейной 50-й Международной научной студенческой конференции / Новосиб. гос. ун-т. - Новосибирск, 2012 -С. 151.

Подписано в печать 16.05.2012 г. Формат А4/2. Ризография Печ. л. 0,9. Тираж 130 экз. Заказ № 07/05-12 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Введение.

Глава1 Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний при непродлевающемся мертвом времени.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Вывод системы дифференциальных уравнений для апостериорных вероятностей состояний потока.

1.2.1. Рекуррентное соотношение для апостериорных вероятностей состояний потока.

1.2.2. Система дифференциальных уравнений для апостериорных вероятностей состояний потока.

1.3. Получение явного вида апостериорных вероятностей состояний потока.

1.4. Асинхронный поток с двумя состояниями.

1.5. Алгоритм оптимальной оценки состояний потока.

1.6. Оптимальная оценка состояний при наличии непродлевающегося мертвого времени.

1.6.1. Конструкция наблюдаемого потока событий при мертвом времени.

1.6.2. Получение явного вида апостериорных вероятностей состояний потока.

1.6.3. Алгоритм оптимальной оценки состояний потока при непродлевающемся мертвом времени.

1.7. Результаты и выводы к первой главе.

Глава 2 Оптимальная оценка параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Получение оценок параметров потока.

2.3. Приближенные формулы для расчета оценок параметров потока

2.4. Алгоритм оптимальной оценки параметров потока.

2.5. Результаты и выводы ко второй главе.

Глава 3 Результаты численных экспериментов по оценке состояний и параметров асинхронного потока.

3.1. Результаты численных экспериментов по оценке состояний потока при полной наблюдаемости.

3.2. Результаты численных экспериментов по оценке состояний потока при наличии непродлевающегося мертвого времени.

3.3. Результаты численных экспериментов по оценке параметров потока.

3.4. Результаты и выводы к третьей главе.

Актуальность работы.

В начале двадцатого века, в связи с появлением телефонов, возникла потребность в решении новых специфических математических задач. Первые работы в этой области были опубликованы датским ученым А.К. Эрлангом в 1908-1922 годах. Работы были направлены на решение задач оптимизации обслуживания заявок, поступающих на телефонную станцию. Время публикаций первых работ Эрланга принято считать началом развития новой области математических исследований под общим названием теория массового обслуживания (кратко -ТМО, в англоязычной литературе - queuing theory). Математический аппарат, примененный Эрлангом (теория вероятностей и математическая статистика, теория случайных процессов), и сейчас является основным инструментарием ТМО.

Вскоре после публикации работ Эрланга ТМО стала активно развиваться. Оказалось, что задачи, подобные исследованным Эрлангом, возникают в различных областях науки и техники: транспортных системах, системах связи, управлении запасами, и других областях. Основы ТМО, ее основные методы можно найти в работах А.Я. Хинчина [84], Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко [17], Г.П. Климова [63], Т.Л. Саати [79], А. Кофмана и Р. Крюона [65], Д. Риордана [76], JL Клейнрока [62], Д. Кенига, Д. Штойяна [61], Г.И. Ивченко, В.А. Каштанова, И.Н. Коваленко [60]. Далее развитие ТМО шло в направлении приоритетных систем, описанных в работах [7, 15, 48, 63].

В 60-х годах XX века появляются исследования так называемых управляемых систем массового обслуживания (СМО). Причиной появления таких систем стала огромная актуальность задач оптимизации. Первыми работами в этой области можно считать работы [8, 9, 14, 16, 77, 78, 95, 106, 113,114]. В дальнейшем эта область бурно развивалась. Достаточно полными обзорами по управляемым СМО можно считать работы [46, 49, 69, 107]. Обнаружилось, что область применения управляемых систем очень широка и с помощью таких система можно решать разнообразные задачи. Со временем управляемые системы становились все более исследованной областью ТМО; ставились и решались все более частные задачи. В целом, исследования управляемых систем делятся на пять основных направлений: 1) приоритетные системы с динамическими приоритетами [46, 69, 78, 95, 107]; 2) системы с управляемыми длительностями обслуживания [49, 80, 94, 108, 114, 112]; 3) системы с управляемым входящим потоком заявок [59, 64, 104]; 4) системы с формированием очередей [70, 72, 81, 96]; 5) системы с динамической структурой [2, 29, 58, 66, 86, 100, 101, 102, 103, 109, 110].

Главными потребителями результатов исследований по ТМО остаются такие области, как автоматизированные системы управления (АСУ) и сети связи. Наиболее сложные исследования проводятся именно в этих двух областях. До середины 80-х годов XX века в исследованиях сетей связи использовались достаточно простые математические модели. Это было обусловлено тем, что системы связи были относительно просты, каналы связи обладали низкой пропускной способностью, разные виды связи были изолированы друг от друга. Зачастую в качестве модели входящего потока заявок использовался простейший поток событий.

Однако усложнение структуры информационно-телекоммуникационных систем, интеграция различных систем связи, разнообразие программного и аппаратного обеспечения, протоколов передачи данных привели в конце 80-х -начале 90-х годов XX века к созданию цифровых сетей интегрального обслуживания (Integrated Services Digital Networks - ISDN). Данные сети характеризуются тем, что по единым аппаратным средствам совместно передаются самые разнообразные виды информации - большие массивы данных, речь и видео в цифровой форме, факсимиле и т.д. В связи с этим в это же время была предпринята успешная попытка создания адекватных математических моделей информационных потоков в телекоммуникационных системах - так называемых дважды стохастических потоков. Одними из первых работ в этом направлении были статьи [3, 4, 105].

Дважды стохастическим потоком называется такой поток событий, интенсивность которого с течением времени изменяется по некоторому случайному закону, т.е. является случайным процессом. Впервые дважды стохастические потоки событий, по-видимому, были упомянуты в работах Кокса [91] и Кин-гмена [98]. В зависимости от вида случайного процесса дважды стохастические потоки можно разделить на два класса. К первому классу относятся потоки с интенсивностью, являющейся непрерывным случайным процессом [82, 92, 93, 111]. Ко второму классу относятся потоки, у которых интенсивность есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний (под состоянием потока обычно понимают состояние интенсивности потока). Последние (потоки с переключениями или МС-потоки событий [3, 4]) являются наиболее характерными для реальных телекоммуникационных сетей. В свою очередь, в зависимости от того, каким образом происходит переход из состояния в состояние, МС-потоки делятся на три типа: 1) синхронные потоки событий - потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий [10, 11, 32, 35, 73]; 2) асинхронные потоки событий - потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий [12, 13, 18, 28, 30, 31, 38—45]; 3) полусинхронные потоки событий - потоки у которых для одного множества состояний справедливо определение первого типа, а для остальных состояний справедливо определение второго типа [24, 33, 34, 37, 74, 75]. В качестве еще одного примера дважды стохастических потоков с кусочно-постоянной интенсивностью может служить ВМАР-поток (Batch Markovian Arrival Process). Его отличие от прочих потоков с кусочно-постоянной интенсивностью заключается в том, что в каждый момент времени может наступать не одно, а несколько событий (пачка, batch). Наиболее полное исследование СМО со входящим ВМАР-потоком приведено, по-видимому, в монографии [51] и статьях [50, 52, 99].

Проведенные эксперименты [5, 85] показывают возможность аппроксимации реальных потоков событий дважды стохастическими потоками. Помимо моделирования информационных потоков в телекоммуникационных системах, дважды стохастические потоки широко применяются в качестве математических моделей в ряде других областей. Так, например, в работах [67, 89, 90, 97] модели дважды стохастических потоков применены к описанию экономических процессов, в работе [88] - к описанию процесса обучения нейронной сети, в работе [87] - к описанию работы центральной нервной системы.

Несмотря на то, что ТМО является очень разработанной областью математических исследований, в литературе относительно мало внимания уделено адаптивным СМО, т.е. системам, которые функционируют в условиях полной либо частичной неопределенности. На практике параметры, определяющие входящий поток событий, как правило, известны либо частично, либо вообще неизвестны. Что касается состояний дважды стохастического потока, то даже тогда, когда параметры, его определяющие, априорно известны, сказать о том, в каком состоянии находится поток в тот или иной момент времени без наблюдения за потоком, возможно только на основании априорных данных. С другой стороны, функционирование системы обслуживания непосредственно зависит от параметров дважды стохастического потока и состояний, в которых он находится. В связи с этим в процессе функционирования системы обслуживания возникает необходимость адаптироваться к временным изменениям состояний дважды стохастического потока. При этом возникают два класса задач: 1) задача фильтрации интенсивности потока (или задача оценивания состояний потока событий) по наблюдениям за моментами наступления событий [10, 24, 28, 30, 31, 38, 41, 43, 44, 73-75, 82, 93]; 2) задача оценивания параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [11-13, 18, 32-34, 36, 37, 39, 40,42, 45].

В основном, работы по оценке состояний и параметров МС-потоков были проделаны для потоков с двумя состояниями [12, 18, 24-28, 30^5, 73-75]. Исследования по оценке состояний и параметров дважды стохастического потока с произвольным конечным числом состояний (для синхронного дважды стохастического потока) можно найти в [10, 11].

Большинство авторов изучает СМО и сети массового обслуживания (СеМО) в условиях, когда все события функционирующих в СМО и СеМО потоков событий доступны наблюдению. Однако, на практике возможны ситуации, при которых часть событий становится недоступной для наблюдения. Одной из причин последнего являются регистрирующие приборы [1]: наблюдаемое (зарегистрированное) событие порождает период так называемого мертвого времени, в течение которого другие наступившие события недоступны наблюдению (не регистрируются, теряются для СМО либо СеМО). Мертвое время возникает, например, при работе счетчика заряженных частиц [1]. После регистрации очередной частицы счетчик некоторое время не может регистрировать следующие поступающие на него частицы. Другим примером может служить протокол С8МА/СБ - протокол случайного множественного доступа с обнаружением конфликта, используемый в компьютерных сетях [71]. Под конфликтом в данном случае подразумевается «столкновение» заявок на входе узла сети, т.е. приход двух заявок в течение достаточно малого интервала времени. В момент обнаружения конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки»; в течение времени рассылки этого сигнала заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети.

Мертвое время может быть фиксированным (постоянным) или переменным (случайным). В реальных ситуациях можно считать, что период мертвого времени продолжается некоторое фиксированное время Т. Все устройства регистрации делятся на две группы. Первую группу составляют устройства с непродлевающимся мертвым временем: события, наступившие в течение мертвого времени, не вызывают его продления. Вторую группу составляют устройства с продлевающимся мертвым временем: каждое событие, наступившее в течение периода мертвого времени, не регистрируется, но порождает новый период мертвого времени, т.е. интервал ненаблюдаемости потока увеличивается. Одними из первых работ по оценке параметров случайных потоков событий, функционирующих в условиях мертвого времени, являются работы [25-27]. Исследования дважды стохастических потоков событий в условиях мертвого времени можно найти, например, в [12, 13, 18, 34, 35, 37, 39, 40, 42, 74, 75]. В работах [43-45] решаются задачи оценки состояний и параметров асинхронного потока с двумя состояниями при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий.

Таким образом, развитие информационных технологий, телекоммуникационных сетей, вычислительных сетей, интегрирование различных видов связи, а также снижение стоимости вычислительной техники и каналов связи за последние три десятилетия поставило множество новых задач в области ТМО. В частности, появилась необходимость в разработке математических моделей для реальных информационных потоков. Подчеркнем, что адекватными математическими моделями потоков, функционирующих в реальных цифровых сетях интегрального обслуживания, являются дважды стохастические потоки. Анализ литературы показывает, что за последние годы появилось достаточно много работ по исследованию дважды стохастических потоков, однако в большинстве из них рассматриваются потоки с двумя состояниями, в то время как реальные информационные потоки могут аппроксимироваться дважды стохастическими потоками с количеством состояний, большим двух.

Отметим, что на практике, как правило, параметры дважды стохастического потока неизвестны и текущее состояние потока принципиально не наблюдаемо. А поскольку функционирование СМО или СеМО зависит от значений параметров и состояний потока, приобретает высокую важность задача оценки состояний и параметров по наблюдениям за наступлением событий потока.

Также отметим, что бывают ситуации, когда наблюдению доступны не все события потока (прибор, регистрирующий события, обладает т.н. мертвым временем), что приводит к необходимости моделирования интервалов ненаблюдаемости потока.

В настоящей диссертационной работе решается задача оптимальной оценки состояний и параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным конечным числом состояний (далее - асинхронный поток либо просто поток); в том числе рассмотрен случай наличия непродлеваю-щегося мертвого времени фиксированной длительности.

Цель работы. Целью данной работы является:

1) аналитическое исследование асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным конечным числом состояний в условиях полной наблюдаемости и при наличии фиксированного непродлевающе-гося мертвого времени с целью получения оптимальных оценок состояний и параметров потока;

2) формулировка алгоритмов для оценивания состояний и параметров потока в режиме реального времени;

3) разработка программной реализации алгоритмов оценивания и проведение статистических экспериментов с целью установления качества получаемых оценок состояний и параметров.

Методы исследований. Для проведения исследований применялся аппарат теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений, математического анализа, математической статистики и численные методы. Проведение статистических экспериментов по оценке состояний и параметров потока выполнено на основе имитационной модели асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным конечным числом состояний.

Научная новизна работы. Результаты, выносимые на защиту. Научная новизна работы состоит в решении задач оптимального оценивания состояний и параметров асинхронного потока событий с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока.

Результаты, выносимые на защиту:

1) аналитическое решение задач оптимальной оценки состояний и параметров асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний по наблюдениям за моментами наступления событий потока;

2) аналитическое решение задачи оптимальной оценки состояний асинхронного потока с произвольным конечным числом состояний при наличии фиксированного непродлевающегося мертвого времени длительности Т по наблюдениям за моментами наступления событий потока;

3) алгоритмы оптимальной оценки состояний и параметров асинхронного потока;

4) алгоритм оптимальной оценки состояний асинхронного потока в условиях фиксированного непродлевающегося мертвого времени длительности Г;

5) результаты статистического исследования разработанных алгоритмов на основе имитационной модели асинхронного потока.

Теоретическая ценность работы состоит в аналитическом решении задач оптимальной оценки состояний и параметров асинхронного потока событий по наблюдениям за моментами наступления событий потока, в т.ч. задачи оптимальной оценки состояний при наличии фиксированного непродлевающегося мертвого времени длительности Т.

Практическая ценность работы состоит в возможности использования полученных алгоритмов оптимальной оценки состояний и параметров в задачах проектирования СМО и СеМО, в частности сетей связи, информационно-вычислительных сетей, дисциплины обслуживания которых зависят от параметров и текущих состояний входящих потоков; а также для обработки результатов физических экспериментов, осложненных наличием мертвого времени у регистрирующей аппаратуры.

Работа выполнена в рамках научно-исследовательской работы Томского государственного университета «Исследование вероятностных, статистических и логических моделей информационных потоков в технических, экономических системах и компьютерных системах обработки информации» (2006-2008 гг) и научно-исследовательской работы Томского государственного университета «Исследование математических моделей программно-аппаратной передачи, обработки, управления и защиты информации в телекоммуникационных сетях и компьютерных комплексах технических и экономико-социальных систем» (2009-2011 гг.).

Публикации. Результаты настоящей работы приведены в следующих научных публикациях. Всего опубликовано 10 научных работ, в т.ч. 3 статьи в издании, входящем в список ВАК.

1. Горцев А. М., Зуевич В.Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний. // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. №2(11). С. 44 - 65.

2. Горцев А. М., Зуевич В.Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий с конечным числом состояний в условиях непродлевающегося мёртвого времени. // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. №3(12). С. 41 - 53.

3. Горцев А. М., Зуевич В.Л. Оптимальная оценка оценка параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний. // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. №4(17). С. 25 - 40.

4. Зуевич В.JI. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. - Новосибирск: Новосиб. Гос. ун-т, 2009. С. 164- 165.

5. Горцев A.M. Зуевич B.JI. Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий с конечным числом состояний. // Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: материалы Международной конференции. Минск: Изд-во РИВШ, 2010. С. 60-67.

6. Зуевич B.JI. Вынесение оптимального решения о состоянии асинхронного потока событий с конечным числом состояний при наличии интервалов ненаблюдаемости потока. // Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий: Материалы VI Всероссийской открытой научно-практической конференции, Сочи, 22 - 27 мая 2010. Сочи: СГУТиКД, 2010. С. 65 - 67.

7. Зуевич B.JI. Оценивание интенсивности асинхронного потока событий при наличии мертвого времени. // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем: сборник статей IV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза: Приволжский Дом знаний, 2010. С. 90 - 92.

8. Зуевич B.JI. Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий с конечным числом состояний при его неполной наблюдаемости // Тез. докл. Восьмой Российской конф. с междунар. участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур». - Томск: Изд-во HTJI, 2010. - С. 32.

9. Горцев A.M., Зуевич B.JI. Алгоритм оценки параметров асинхронного потока событий с конечным числом состояний // Материалы международной научной конференции «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», Минск, 31 января - 3 февраля 2011. - Минск: Изд-во РИВШ, 2011. - С. 88 - 95. 10. Зуевич В.Л. Приближенные формулы для оценки параметров асинхронного потока событий // Материалы Юбилейной 50-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. - Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2012. С. 151.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались:

- на ХЬУП Международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, апрель 2009 г.;

- на Международной конференции «Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения», посвященной 75-летию профессора, доктора физико-математических наук Г.А. Медведева, г. Минск, февраль 2010 г.;

- на VI Всероссийской открытой научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий», г. Сочи, май 2010 г.;

- на IV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем», г. Пенза, май 2010 г.;

- на Восьмой Российской конф. с междунар. участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», г. Томск, октябрь 2010 г.;

- на Международной научной конференции «Современные вероятностные методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», г. Минск, январь-февраль 2011 г.;

- на 50-й Международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, апрель 2012 г.

Результаты работы отражены в 10 публикациях.

Заключение

В настоящей диссертационной работе решены задачи по оптимальной оценке состояний и параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным (конечным) числом состояний, в том числе решена задача оценки состояний при наличии непродлевающегося мертвого времени длительности Т.

Основные теоретические и практические результаты работы состоят в следующем:

1. Получены явные аналитические формулы для апостериорных вероятностей состояний асинхронного потока в любой момент времени наблюдения за потоком, содержащих наиболее полную информацию о потоке в теоретико-вероятностном смысле. Оценка состояний потока производится на основе критерия максимума апостериорной вероятности, который обеспечивает минимум полной (безусловной) вероятности ошибочного решения.

2. На основе полученных для оценки состояний аналитических результатов разработан и реализован на ЭВМ алгоритм оптимальной оценки состояний асинхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний.

3. Получены явные аналитические формулы для апостериорных вероятностей состояний асинхронного потока в любой момент времени наблюдения за потоком при наличии непродлевающегося мертвого времени длительности Т.

4. На основе полученных для оценки состояний аналитических результатов разработан и реализован на ЭВМ алгоритм оптимальной оценки состояний асинхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний при наличии непродлевающегося мертвого времени длительности Т.

5. Получены явные аналитические формулы, выражающие значения плотности вероятностей вектора параметров асинхронного потока в любой момент времени наблюдения за потоком, содержащей наиболее полную информацию в теоретико-вероятностном смысле о параметрах потока. В качестве оценок параметров потока используются апостериорные средние, обеспечивающие минимум среднеквадратического отклонения оценок от истинных значений параметров.

6. На основе полученных для оценки параметров аналитических результатов разработан и реализован на ЭВМ алгоритм оптимальной оценки параметров асинхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний.

7. Разработана и реализована на ЭВМ имитационная модель асинхронного потока с произвольным (конечным) числом состояний, которая используется для проведения численных экспериментов по оценке состояний и параметров потока.

8. Для конкретных значений параметров асинхронного потока проведены численные эксперименты по оценке состояний и параметров потока. В ходе экспериментов рассчитаны величины, характеризующие качество получаемых оценок состояний и параметров.

9. Полученные результаты численных экспериментов позволяют сделать вывод о том, что алгоритмы оценки состояний потока (в условиях полной наблюдаемости потока и при наличии мертвого времени) и алгоритм оценки параметров потока можно применять при проектировании и управлении СМО и СеМО, работающих в режиме реального времени.

Таким образом, результатом диссертационной работы являются новые теоретические и практические результаты для решения задач оценки состояний и параметров асинхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний. В совокупности с программной реализацией на ЭВМ алгоритмов по оценке состояний и параметров потока, полученные в диссертационной работе результаты можно использовать при решении важных прикладных задач, таких как выбор дисциплины обслуживания в цифровых сетях интегрального обслуживания, телекоммуникационных сетях; проектирование сетей интегрального обслуживания; обработка результатов физических экспериментов и других задач.

1. Апанасович В.В., Коляда A.A., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск: Изд-во «Университетское», 1988. 254 с.

2. Афанасьева Л.Г. Система с включением резервного прибора. // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1971. - № 6. - С. 93 - 100.

3. Башарин Т.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи. 4.1 // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1979. - № 6. - С. 92 - 99.

4. Башарин Т.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи. 4.2 // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. - №1. - С. 55-61.

5. Беккерман E.H., Катаев С.Г., Катаева С.С., Кузнецов Д.Ю. Апрокси-мация MC-потоком реального потока событий // Вестник Томского гос. ун-та. -2005. №14. Приложение. - С. 248-253.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - 368 с.

7. Бронштейн О.И., Духовный И.М. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах. М.: Наука, 1976. 220 с.

8. Бронштейн О.И., Рыков В.В. Об оптимальных приоритетах в СМО //Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1965. - №6. - С. 28 - 37.

9. Бронштейн О.И., Рыков В.В. Об оптимальных дисциплинах обслуживания в управляющих системах //Упр. произв.: Тр. III Всес. сов. по авт. упр. (техн. киберн.). М. 1967. - С. 215 - 224.

10. Бушланов И.В., Горцев A.M. Оптимальная оценка состояний синхронного дважды стохастического потока событий // Автоматика и телемеханика. 2004. - № 9. - С. 40 - 51.

11. Бушланов И.В., Горцев A.M., Нежельская JI.A. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий // Автоматика и телемеханика. 2008. - № 9. - С. 76-93.

12. Васильева Л.А., Горцев A.M. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях его частичной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2002. - № 3. - С. 179 - 184.

13. Васильева Л.А., Горцев A.M. Оценивание длительности мертвого времени асинхронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2003. - № 12. - С. 69 -79.

14. Веклеров Е.Б. Об оптимальных абсолютных динамических приоритетах в СМО //Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1967. - № 2. - С. 87 - 90.

15. Волковинский М.И., Кабалевский А.Н. Анализ приоритетных очередей с учетом времени переключения. М.: Эн-изд., 1981. - 167 с.

16. Воробьев Н.М. Об управлении системой массового обслуживания одного вида //Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1967. - № 3. - С. 86 - 93.

17. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. - 431 с.

18. Горцев A.M., Завгородняя М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий при условии его частичной наблюдаемости // Оптика атмосферы и океана. 1997. Т. 10, № 3. С. 273 280.

19. Горцев А. М., Зуевич В.Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий с конечным числом состояний в условиях непродлеваю-щегося мертвого времени. // Вестник Томского государственного университета.

20. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. - №3(12). - С. 41 -53.

21. Горцев A.M., Калягин A.A. Нежельская JI.A. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока событий // Вестн. Томск, гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. - № 2(11). -С. 66-81.

22. Горцев A.M., Климов И.С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его ненаблюдаемости // Радиотехника. -1991.-№12.-С. 3-7.

23. Горцев A.M., Климов И.С. Оценивание параметров знакопеременного пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1994. - №8. - С. 3 - 9.

24. Горцев A.M., Климов И.С. Оценивание периода ненаблюдаемости и интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1996. - №2. - С. 8 - 11.

25. Горцев A.M., Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск: Изд-во ТГУ, 1978. - 208 с.

26. Горцев A.M., Нежельская Л.А. Оптимизация параметров адаптера при наблюдениях за MC-потоком // Стохастические и детерминированные модели сложных систем: Сб. статей. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. -С. 20 - 32.

27. Горцев A.M., Нежельская Л.А. Оптимальная нелинейная фильтрация марковского потока событий с переключениями // Техника средств связи. Сер.: Системы связи. 1989. - Вып. 7. - С. 46 - 54.

28. Горцев A.M., Нежельская Л.А. Оценка параметров синхронного альтернирующего пуассоновского потока событий методом моментов // Радиотехника. 1995.-№ 7 - 8. - С. 6 - 10.

29. Горцев A.M., Нежельская Л.А. Оценивание параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестн. Томск, гос. ун-та. 2002. - № 1(1). - С. 18 - 23.

30. Горцев A.M., Нежельская Л.А. Оценивание периода мертвого времени и параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий // Измерительная техника. 2003. - № 6. - С. 7 - 13.

31. Горцев A.M., Нежельская Л.А. Оценивание длительности «мертвого времени» и интенсивностей синхронного дважды стохастического потока событий // Радиотехника. 2004. - № 10. - С. 8 - 16.

32. Горцев A.M., Нежельская Л.А. Полу синхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени // Вычислительные технологии. 2008. - Т. 13, № 1.-С. 31 -34.

33. Горцев A.M., Нежельская JI.A., Шевченко Т.Н. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений // Изв. вузов. Физика. -1993. -№ 12.-С. 67-85.

34. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий с инициированием лишнего события // Вестн. Томск, гос. ун-та. 2004. - № 284. - С. 137- 145.

35. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий при не-продлевающемся мертвом времени // Изв. вузов. Физика. 2005. - № 10. - С. 35 -49.

36. Горцев A.M., Ниссенбаум О.В. Оптимальная оценка состояний асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишних событий // Вестник Тюмен. гос.ун-та. 2008. - № 6. - С. 107 - 119.

37. Горцев A.M., Паршина М.Е. Оценивание параметров альтернирующего потока событий в условиях «мертвого времени» // Изв. вузов. Физика. -1999.-№4.-С. 8- 13.

38. Горцев A.M., Шмырин И.С. Оптимальный алгоритм оценки состояний МС-потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Оптика атмосферы и океана. 1998. - Т. 11, № 4. - С. 419 - 429.

39. Горцев A.M., Шмырин И.С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Автоматика и телемеханика. 1999. - № 1. - С. 52 - 66.

40. Горцев A.M., Шмырин И.С. Оптимальная оценка параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий // Изв. вузов. Физика. 1999. - №4. - С. 19-27.

41. Даниэлян Э.А. Время ожидания в модели с категорийными во времени приоритетами // Кибернетика. 1980. - №6. - С. 103 - 109.

42. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Физматгиз, 1963. 660 с.

43. Джейсуол Н. Очереди с приоритетами. М.: Мир. - 1973, 279 с.

44. Дудин А.Н. О задаче оптимального управления многоскоростной системой массового обслуживания // Автоматика и телемеханика. 1980. - №9. -С. 43-51.

45. Дудин А.Н. Оптимальное гистерезисное управление ненадежной системой BMAP|SM|1 с двумя режимами работы // Автоматика и телемеханика. -2002.-№10.-С. 58-72.

46. Дудин А.Н., Клименок В.П. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск: Изд-во БГУ, 2000. - 175 с.

47. Дудин А.Н., Клименок В.И., Царенков Г.В. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания с групповым марковским потоком, полумарковским обслуживанием и конечным буфером // Автоматика и телемеханика. 2002. - №8. - С. 87-101.

48. Зиновьева Л.И. Система массового обслуживания с гистерезисом и резервным прибором, управляемым временем ожидания // Матем. стат. и ее прил. Томск: Изд-во ТГУ. - 1980. - №6. - С. 146 - 152.

49. Ивницкий В.А. Однолинейная система со случайной интенсивностью потока и скоростью обслуживания // Лит. матем. сб. 1996. - Т.6. - №1. - С. 41 -50.

50. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.

51. Кениг Д., Штойян Д. Методычтеории массового обслуживания. /Пер. с англ. под ред. Т.П. Климова. М.: Радио и связь, 1981. - 127 с.

52. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.-432 с.

53. Климов Т.П., Мишкой Г.К. Приоритетные системы обслуживания с ориентацией. М.: Изд-во МГУ, 1979. - 222 с.

54. Коваленко И.Н., Юркевич О.М. О некоторых вопросах оптимального обслуживания требований в системах с ограниченным временем ожидания // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1971. - № 1. - С. 26 - 35.

55. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. М.: Мир, 1965. - 302с.

56. Кухта Т.К., Шваб Н.Д. Системы с переменным числом каналов // Кибернетика. 1975. - № 2. - С. 146 - 148.

57. Лившиц К.И., Сухотина Л.Ю., Шифердекер И.Ю. Математическая модель деятельности некоммерческого фонда при дважды стохастическом потоке платежей // Вестн. Томск, гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. 2007. -№1.-С.36-43.

58. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М: Высшая школа, 1967. - 409 с.

59. Мова В.В., Пономаренко Л.А. Об оптимальном назначении приоритетов, зависящих от состояния блуждающей системы с ограниченным числом мест для ожидания // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1974. - № 5. - С. 74 - 81.

60. Назаров A.A. Оптимальное формирование очередей в многоканальных системах массового обслуживания // АиТ. 1975. - №8. - С.36 - 39.

61. Назаров A.A., Уразбаева С.У. Обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей / Под ред. Глуховой Е.В. Томск: Изд-во Том. ун-та. - 2002. - Вып. 4. - С. 67 - 74.

62. Небеев A.B., Ревельс В.П. Исследование многоканальных систем передачи информации методом оптимизации стратегии распределительного устройства // ППИ. 1970. - Т.6. - Вып.З. - С 96 - 99.

63. Нежельская Л.А. Оптимальное оценивание состояний полусинхронного потока событий в условиях его частичной наблюдаемости // Вестник ТГУ. -2000.-№269.-С. 95-98.

64. Риордан Д. Вероятностные системы обслуживания. М.: Связь, 1966. -184 с.

65. Рыков В.В. Об оптимальной дисциплине обслуживания в системе со складом. /В кн.: Прикладные задачи теоретической кибернетики. М.: Советское радио, 1966. - С. 437 - 449.

66. Рыков В.В., Лемберг Э.Е. Об оптимальных динамических приоритетах в СМО //Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1967. - № 1. - С. 25 - 34.

67. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания. /В кн.: Итоги науки и техники. Теор. Вероятн. Матем. стат. Теор. киб. М.: ВИНИТИ, 1975. -Т.12.-С. 43 - 153.

68. Соловьев А.Д. Задача об оптимальном обслуживании // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1970. - № 5. - С. 40 - 49.

69. Ушаков И.А., Чернышев В.П. Оптимальное управление в многоканальной СМО с несколькими потоками событий // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1976. - № 5. - С. 95 - 100.

70. Федосов Е.Н. Фильтрация интенсивности дважды стохастического потока в системах с продлевающимся "мертвым временем" // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: сборник статей. Томск: Изд-во Томского госуниверситета, 1999. - С. 157-161.

71. Хазен Э.М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. - 256 с.

72. Хинчин А .Я. Работы по математической теории массового обслуживания М.: Физматгиз, 1963. - 235 с.

73. Царенков Г.В. ВМАР-поток как модель трафика реальной сети // Материалы международной научной конференции «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей», 22-24 февраля 2005. С. 209 - 214.

74. Bartoszewicz J., Rolski Т. Queueing systems with a reserve service channel // Zastosow. mat. 1970. - V. 1. - №4. - P. 439 - 449.

75. Best J. Doubly Stochastic Processes: an Approach for Understanding Central Nervous System Activity // Selected Topics on Applied Mathematics, Circuits, Systems, and Signals. WSEAS Press. - 2009. - P. 155 - 158.

76. Card H.C. Doubly stochastic Poisson processes in artifical neural learning // Neural Networks, IEEE Tansactions on V.9. -1.1. January 1998. - P. 229 - 231.

77. Centanni S., Minozzo M. Estimation and filtering by reversible jump MCMC for a doubly stochastic Poisson model for ultra-high-frequency financial data // Stat. Model. 2006. - №6. - P. 97 - 118.

78. Centanni S., Minozzo M. Monte Carlo likelihood inference for marked doubly stochastic Poisson processes with intensity driven by marked point processes // Working Paper Series. Department of Economics University of Verona. 2012. -№11.

79. Cox D.R. The analysis of non-Markovian stochastic processes // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1955. - V. 51.-№3.-P. 433-441.

80. Cox D., Isham V. Point processes. Chapman and Hall, 1980. - 181 c.

81. Fernandez-Alcala R., Navarro-Moreno J., Ruiz-Molina J.C., Oya A. Recursive Linear Estimation for Doubly Stochastic Poisson Processes // Lecture Notes in Engineering and Computer Science. 2007. - V. 2166. - P. 894 - 897.

82. Gebhard R.F. A queueing process with bilevel hysteretic service-rate control //Naval. Res. Logist. Quart. 1967. - V. 14. - №1. - P. 55 - 67.

83. Grindlay Andrew A. Tandem queues with dynamic priorities // Operat. Res. Quart. 1965. - V. 16. - №4. - P. 439 - 451.

84. Ireland R.J., Thomas M.E. Optimal control of customer-flow trough a systems of parallel queues // Int. J. Syst. Sci. 1972. - V. 2. - №4. - P. 401 - 410.

85. Ji-Wook J. Pricing of catastrophe reinsurance and derivatives using the Cox process with shot noise intensity // Finance and Stochastics. 2003. - V.7. -1.1. - P. 73-95.

86. Kingman J. F. C. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of Cambridge Phylosophical Society. 1964. - V.60. - №4. - P. 923 - 930.

87. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch mar-kovian arrival process // Communication in Statistics Stochastic Models. 1991. - V. 7.-P. 1-46.

88. Madhi J. Waiting time distribution in a Poisson queue with a general bulk service rule // Manag. Sci. 1975. - V. 21. - №7. - P. 777 - 782.

89. Meyer K.H.P. Ein Wartesystem mit heterogenen Kanaelen unter (s,S)-Regel // Proc. Operat. Res., Wuerzburg Wien, 1973. - P. 295 - 317.

90. Moder J., Phillips C. Queueing with fixed and variable channels// Operat. Res. 1962. - V. 10. - №2. - P. 218 - 231.

91. Murari K. An additional special limited space queueing problem with service in batches of variable size // Operat. Res. 1968. - V.16. - №1. - P. 83 - 90.

92. Neuts M.F. A queue subject to extraneous phase channels // Adv. Appl. Probab. 1971. - V.3. - №1. - P. 78 - 119.

93. Neuts M.F. A versatile Markov point process // J. Appl. Probab. 1979. -V. 16.-P. 764-779.

94. Oliver Robert M., Pestalozzi Gerold On a problem of optimum priority classification //J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1965. - V. 13. - №3. - P. 890 -901.

95. Pattipati Khrishna R., Kleinman David L. Priority assignment using dy-namicprogramming for a class of queueing systems // IEEE Trans. Automat. Contr. -1981.-V. 26.-№5.-P. 1095- 1106.

96. Posner M. Single-server queues with service time depent on waiting time // Operat. Res. 1973. - V.21. -№2. - P. 610- 616.

97. Romani J. A queueing model with a variable number of channels // Trabajos deestadistica- 1957. V.8.-№3.-P. 175- 189.

98. Singh V.F. Queue-dependent servers // J. Eng. Math. 1973. - V.7. -№2.-P. 123- 126.

99. Snyder D.K. Filtering and detection for doubly stochastic random point processes // IEEE Transactions on Information Theory. 1972. - V. IT-18. - P. 91 -102.

100. Teghem J. On uniform hysteretic policies in a queueing system with variable service rates // Cah. Cent. etud. rech. oper. 1979. - V.21. - №2. - P. 121 — 125.

101. Yandin M., Naor P. Queueing systems with a removable service station // Operat. Res. Quart. 1963. - V. 14. - №4. - P. 393 - 405.

102. Yandin M., Naor P. On queueing systems with a variable service capacities //Naval. Res. Logist. Quart. 1967. - V. 14. - №1. - P. 43 - 53.