автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оценка состояний и длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий

На правах рукописи

А-

Фалвино Мария Алексеевна

ОЦЕНКА СОСТОЯНИЙ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ В ОБОБЩЕННОМ АСИНХРОННОМ ПОТОКЕ СОБЫТИЙ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 ИЮЛ 2014

Томск-2014 005550583

005550583

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», на кафедре исследования операций.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Горцев Александр Михайлович

Официальные оппоненты:

Малинковский Юрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины», кафедра экономической кибернетики и теории вероятностей, заведующий кафедрой Зорин Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент, федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского», кафедра прикладной теории вероятностей, доцент

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное

образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Томский политехнический университет»

Защита состоится 10 сентября 2014 г. в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12, созданного на базе федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корп. 2, ауд 212Б).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на официальном сайте федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.

Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http://www.tsu.гu/content/news/aшouncement_ofJfae_dissertations_m_the_tsu.php

Автореферат разослан « ¿0» июня 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Тарасенко Петр Феликсович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Различным аспектам теории массового обслуживания (ТМО) и ее приложениям посвящена обширная литература как отечественных, так и зарубежных авторов. Первые задачи в области ТМО были рассмотрены известным датским ученым А.К. Эрлангом. В последние три десятилетия вследствие стремительного развития компьютерной техники и информационных технологий возникла ключевая область приложений ТМО — проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, компьютерных сетей связи, спутниковых сетей связи, телекоммуникационных сетей и т.п., которые можно объединить единым термином - цифровые сети интегрального обслуживания (Integrated Service Digital Networks - ISDN). Данные сети характеризуются тем, что в них по единым аппаратным средствам происходит передача различных видов информации - большие массивы данных, речь и видео в цифровой форме, факсимиле и т.д. В 80-х годах для таких сетей были созданы достаточно адекватные математические модели реальных информационных потоков, функционирующих в них, которые получили название дважды стохастических потоков. Одними из первых работ в этом направлении были работы М.М. Ньютса, Г.П. Башарина, В.А. Кокотушкина, В.А. Наумова. В дважды стохастических потоках имеет место двойная случайность: моменты наступления событий в потоке — случайны и интенсивность потока - случайный процесс. Проведенные статистические эксперименты показали возможность достаточно точной аппроксимации дважды стохастическими потоками реальных потоков в информационных сетях. Большое количество исследований дважды стохастических потоков и систем массового обслуживания с входящими дважды стохастическими потоками было проведено такими учеными как А.Ф. Терпугов, A.M. Горцев, A.A. Назаров, - в Томском государственном университете; Г.А. Медведев, А.Н. Дудин, В.И. Клименок, Г.В. Царенков - в Белорусском государственном университете; Ю.В. Малинковский - в Гомельском университете; М.А. Маталыцкий - в Гродненском университете; Г.П. Башарин, П.П. Бочаров, A.B. Печинкин - в Российском университете Дружбы народов; Н.И. Головко, В.В. Катрахов, НА. Филинова - в Дальневосточном отделении РАН; M.F. Neuts, A.D. Banik, U.C. Gupta, D.M. Lucantoni - в США; F.A. Machihara - в Японии и другими учеными. Для реальных телекоммуникационных сетей наиболее характерны дважды стохастические потоки, интенсивность которых является кусочно-постоянным случайным процессом (МС-потоки).

Дважды стохастические потоки событий делятся на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс; ко второму — потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным либо бесконечным числом состояний. В зависимости от того, каким образом происходит переход из состояния в состояние, MC-потоки можно поделить на МАР-потоки 1-го порядка и МАР-потоки 2-го порядка К МАР-потокам 1-ого порядка относятся

синхронные потоки (потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий), и собственно МАР-потоки, являющиеся обобщением синхронных потоков. К МАР-потокам 2-го порядка относятся:

1) асинхронные потоки (потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий); асинхронные альтернирующие потоки; обобщенные асинхронные потоки, являющиеся обобщением асинхронных потоков событий и асинхронных альтернирующих потоков событий;

2) модулированные синхронные потоки;

3) полусинхронные потоки событий (потоки, в которых для одних состояний переход происходит в моменты наступления событий, а для остальных состояний - независимо от моментов наступления событий); обобщенные полусинхронные потоки, являющиеся обобщением полусинхронных потоков событий.

Лишь незначительная часть работ посвящена системам, которые функционируют в условиях полной (когда все параметры входящего потока неизвестны) или частичной неопределенности. Но на практике параметры входящего потока событий зачастую либо известны частично, либо совсем неизвестны. И даже если все параметры, определяющие поток, известны, сделать вывод о том, в каком состоянии находится поток в текущий момент времени без наблюдений за потоком возможно только на основании априорных данных. В связи с этим описанные потоки исследуются в двух направлениях: 1) оценка состояния потока в произвольный текущий момент времени по наблюдениям за моментами наступления событий (задача фильтрации интенсивности потока); 2) оценка параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий.

Большинство авторов рассматривают СМО в условиях, когда все события функционирующих в СМО потоков доступны наблюдению, но в реальности наступившее событие может повлечь за собой ненаблюдаемость последующих событий. Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока событий выступает мертвое время регистрирующих приборов, которое порождается зарегистрированным событием. Другие же события, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны наблюдению (теряются).

В настоящей диссертационной работе впервые исследуется обобщенный асинхронный поток событий, являющийся обобщением асинхронного потока событий, исследованного в диссертации Л.А. Нежельской, и асинхронного альтернирующего потока событий, исследованного в диссертациях М.Е. Завгородней и О.В. Ниссенбаум. При этом решается задача оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного потока в условиях полной наблюдаемости и задачи оценивания состояний и длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке, функционирующим в условиях его частичной наблюдаемости.

Цель диссертационной работы:

1) аналитическое исследование обобщенного асинхронного потока событий в условиях полной наблюдаемости и в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности с целью получения оптимальных оценок состояний и длительности непродлевающегося мертвого времени в потоке;

2) формулировка алгоритмов оценивания состояний и длительности непродлевающегося мертвого времени;

3) программная реализация сформулированных алгоритмов оценивания;

4) проведение статистических экспериментов на имитационной модели обобщенного асинхронного потока как в условиях полной наблюдаемости, так и в условиях его неполной наблюдаемости, с целью установления качества получаемых оценок.

В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) Нахождение аналитического решения задачи оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного потока (как функционирующего в условиях его полной наблюдаемости, так и в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т) по наблюдениям за моментами наступления событий потока.

2) Получение аналитического решения задачи оценки длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т, по наблюдениям за моментами наступления событий наблюдаемого потока.

3) Создание алгоритма оптимальной оценки состояний в обобщенном асинхронном потоке, функционирующем как в условиях его полной наблюдаемости, так и в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т.

4) Создание алгоритмов оценки длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т.

5) Проведение исследования качества полученных оценок, реализованных на основе имитационной модели обобщенного асинхронного потока и разработанных алгоритмов оценки состояний потока в условиях его полной наблюдаемости и оценки состояний и длительности мертвого времени в потоке, функционирующем в условиях неполной наблюдаемости.

Научная новизна результатов проведенных исследований.

Научная новизна работы состоит в решении задач оптимального оценивания состояний обобщенного асинхронного потока, функционирующего в условиях полной наблюдаемости, а также задач оптимального оценивания состояний и длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося

мертвого времени фиксированной длительности, по наблюдениям за моментами наступления событий потока.

Положения, выносимые на защиту:

1) Аналитическое решение задачи оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного потока, функционирующего как в условиях полной наблюдаемости, так и при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т, по наблюдениям за моментами наступления событий потока.

2) Аналитическое решение задачи оценки длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т, по наблюдениям за моментами наступления событий наблюдаемого потока.

3) Алгоритмы оптимальной оценки состояний в обобщенном асинхронном потоке, функционирующем как в условиях полной наблюдаемости, так и при наличии непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т.

4) Алгоритмы оценки длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности Т.

5) Результаты исследования качества полученных оценок, реализованных на основе имитационной модели обобщенного асинхронного потока и разработанных алгоритмов оценки состояний потока в условиях его полной наблюдаемости и оценки состояний и длительности мертвого времени в потоке, функционирующем в условиях неполной наблюдаемости.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применяются методы теории вероятностей, теории массового обслуживания, теории дифференциальных уравнений, теории марковских процессов, математической статистики, линейной алгебры, численные методы. Проведение статистических экспериментов выполнено на основе имитационной модели обобщенного асинхронного потока как в условиях полной наблюдаемости, так и при наличии непродлеваюещегося мертвого времени фиксированной длительности.

Теоретическая ценность работы состоит в аналитическом решении задачи оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного потока по наблюдениям за моментами наступления событий потока, функционирующего в условиях полной наблюдаемости, а также в аналитическом решении задач оптимальной оценки состояний и длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке в условиях его частичной наблюдаемости.

Практическая ценность работы заключается в возможности использования разработанных алгоритмов оптимальной оценки состояний и длительности мертвого времени в задачах проектирования СМО и СеМО, к примеру, информационно-вычислительных сетей, сетей связи, дисциплины

обслуживания которых зависят от параметров и текущих состояний входящих потоков, а также для обработки результатов физических экспериментов, осложненных наличием мертвого времени регистрирующих приборов.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректным применением используемого математического аппарата, корректностью методик исследования и проведенных расчетов, многочисленными статистическими экспериментами, проведенными на имитационной модели обобщенного асинхронного потока как в условиях его полной наблюдаемости, так и в условиях его частичной наблюдаемости, а также согласованностью результатов диссертации с результатами, полученными другими авторами.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка изложенных в диссертации задач сделана научным руководителем, д.т.н., профессором A.M. Торцевым. Доказательство и обоснование полученных в диссертации результатов, математические выкладки, численные расчеты выполнены лично автором. В совместных публикациях научному руководителю A.M. Горцеву принадлежат постановки задач и указания основных направлений исследований, а основные результаты, выкладки и численные расчеты выполнены автором.

Внедрение работы. Работа выполнена в рамках госзадания мннобрнауки РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2009 — 2010 годы: «Исследование математических моделей программно-аппаратной передачи, обработки, управления и защиты информации в телекоммуникационных сетях и компьютерных комплексах технических и экономико-социальных систем. (1.17.09)», номер госрегистрацин 01200903817, госзадания минобрнауки РФ на проведение научных исследований в Томском государственном университете на 2012 — 2013 годы: «Разработка и исследование вероятностных, статистических и логических моделей компонентов интегрированных информационно-телекоммуникационных систем обработки, хранения, передачи и защиты информации. (8.4055.2011)», номер госрегистрации 01201261193, и в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России на 2014 г. Результаты работы внедрены в учебный процесс на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета при подготовке образовательных дисциплин «Теория игр и исследование операций» и «Имитационное моделирование» для студентов 4-ш курса ФПМК.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:

1) XX Белорусская зимняя школа-семинар по теории массового обслуживания (BWWQT-2009) «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», г. Минск., 26— 29 января 2009 г.;

2) Международная конференция, посвященная 75-летию профессора, д.ф.-м.н. Г.А. Медведева «Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения», г. Минск, 22-25 февраля 2010 г.;

3) IX Российская конференция с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» г Томск, 2012 г.;

4) XXII Белорусская зимняя школа-семинар по теории массового обслуживания (В\*/\УрТ-2013) «Современные вероятностные методы анализа, проектирования и оптимизации информационно-телекоммуникационных сетей», г. Минск, 28-31 января 2013 г.;

5) V Международная научно-практическая конференция «Актуальные проблемы радиофизики», г. Томск, 1-6 октября 2013 г.;

6) Научные семинары кафедры исследования операций и теории вероятностей и математической статистики ТГУ в период с 2010 по 2013 гг.

Публикации. Основные результаты данной работы приведены в 13 научных публикациях, в т.ч. 7 статей в изданиях, входящих в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, трех приложений. Общий объем работы составляет 152 страницы. Работа содержит 133 страницы основного текста, в том числе 18 рисунков и 18 таблиц. Список литературы включает в себя 160 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, приведен обзор работ других авторов, сформулирована цель и задачи диссертационного исследования, изложена его научная новизна, обоснованы теоретическое значение и практическая ценность полученных результатов.

В первой главе решается задача оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного потока событий, интенсивность которого есть скрытый стационарный кусочно-постоянный процесс с двумя состояниями, по наблюдениям за моментами наступления событий. Задача оптимальной оценки состояний решается в том числе и при наличии фиксированного непродлеваюгцегося мертвого времени.

Рассматривается асинхронный дважды стохастический поток с возможностью инициирования дополнительных событий (далее обобщенный асинхронный поток либо просто поток), интенсивность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс Х(1) с двумя состояниями Х1 и Л2 (?ц >Д.2). Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока), если *■(') = и второе состояние процесса (потока), если Х(1) - Х2. В течение временного интервала, когда Я.(/) = А.,-, имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью А., , ¡ = 1,2.

Переход из первого состояния процесса 1(1) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени и не привязан к моментам наступления событий пуассоновских потоков, поэтому поток называется асинхронным потоком событий. Длительность пребывания процесса Ц1) в /-ом состоянии является случайной величиной, распределенной по экспоненцильному закону /^(т) = 1-е-а,т, 1 = 1,2.

£> =

ра]

да2 %2

При переходе процесса Х(/) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью р (0 <р < 1) дополнительное событие. Наоборот, при переходе процесса из второго состояния в первое также инициируется с

вероятностью <7 (0 < 9 < 1) дополнительное событие. Заметим, что события пуассоновского потока и дополнительные события неразличимы для наблюдателя. При этом блочная матрица инфинитезимальных коэффициентов примет вид:

-(А^ +СС]) (1 - /?)«!

(1-?)а2 ~(Х2+а2)<

Элементами матрицы В1 являются интенсивности переходов процесса Х(г) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы В0 — интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы £>0 - интенсивности выхода процесса из своих состояний, взятые с противоположным знаком.

Заметим, что в определении обобщенного асинхронного потока в явном виде не оговаривается в каком состоянии процесса А(/) наступает дополнительное событие при переходе процесса Ц1) из ¿-го состояния ву'-ое (/,_/'= 1,2; у). Данное обстоятельство при оценке состояний является несущественным, так как наступление события и переход процесса из /-го состояния в у-ое (/, / = 1,2; I * у") происходят мгновешю. При получении численных результатов путем имитационного моделирования обобщенного асинхронного потока (в главе 3) принимается, что сначала наступает переход процесса 1(1) из состояния в состояние, затем - инициирование дополнительного события: если происходит переход из первого состояния во второе, то дополнительное событие с вероятностью р инициируется во втором состоянии; если происходит переход из второго состояния в первое, то дополнительное событие с вероятностью <7 инициируется в первом состоянии.

Вариант реализации обобщенного асинхронного потока приведен на рис. 1, где 1,2 — состояния случайного процесса !(/); /ь 12,... - моменты наступления событий; ¡2, — моменты инициирования дополнительных событий; /2 мочеугг инициирования при переходе процесса из первого состояния во второе с вероятностью р дополнительного события; 4 - момент инициирования при переходе процесса из второго состояния в первое с вероятностью <7 дополнительного события.

=2

1 > <*г

1 1 - ■

I

I

I

I

Реализация процесса Щ) ! ! ! :

1. ь

ь

. _ . и и 1, 17 I

Реализация обобщенного асинхронного потока Рис. 1. Формирование обобщенного асинхронного потока

Случайный процесс Ц/) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми (скрытый случайный процесс), а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий /ь к, • •• (параметры потока аь а2, Х2, Р, Я полагаются известными). Необходимо по этим наблюдениям оценить состояние процесса (потока) Х(() в момент окончания наблюдений.

Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения где - начало наблюдений, /- окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить /0 = 0.

Решение о состоянии потока выносится исходя из критерия максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полную характеристику состояния потока, которую можно получить, имея только выборку наблюдений, и обеспечивающий минимум полной вероятности ошибки вынесения решения. Для вынесения решения о состоянии ненаблюдаемого скрытого процесса 1(1) в момент времени г, таким образом, нужно найти апостериорные вероятности й>(Х,| гь..., (т, г), г = 1,2, того, что в момент времени / значение процесса Ц() = X, (т — количество наблюденных событий за время г), при этом 2

|/„...,/т,г) = 1. Решение о состоянии процесса Ц{) выносится на основе

1-1

сравнении апостериорных вероятностей: при /т, /) > гт, /),

¡, ] = 1,2, / ^ j, оценка состояния процесса есть 1(/) = .

Основные аналитические результаты, полученные для случайного процесса Л(/) и апостериорных вероятностей, сформулированы в следующих леммах и теоремах.

Лемма 12.1. Случайный кусочно-постоянный процесс Цг) является марковским процессом.

Лемма 1.2.2. Априорные стационарные вероятности состояний процесса Х(0 есть

аг «I

а, + а2 а, + а2

Леммы 1.2.3 и 1.2.4 определяют явный вид вероятностей п((/ = 1,2) -условные стационарные апостериорные вероятности того, что процесс Я.(т) в момент времени т = 0 находится в /-м состоянии при условии, что в этот момент времени произошло событие потока, г = 1, 2, и вероятностей Ру(т) -

условные вероятности того, что на интервале (0, т) событий потока не имеется и процесс Х(т) в момент времени т находится в у'-ом состоянии при условии, что в момент времени т = 0 событие потока произошло и процесс Ц0) находился в г'-м состоянии, = 1,2.

1,2 "

Лемма 1.23. Апостериорные вероятности л,, л2 состояний обобщенного асинхронного потока есть

- а^Ач + ^а,) . а,(?,2 + ра2)

1 а1(А.2 + /?а2) + а2(А.1+<7а1)' 2 а,(Х2 + ра2) + а2(^.,

Лемма 1.2.4. Условные вероятности т), /, у = 1, 2, определяются формулами

-2 ~ 21 г2 - -1 ~2 -2

г2 ~ г1 г2 ~ Г1 ~2 ~2\ :2 ~ *1 А., + Х2 + а, +а2 -Х,2 + а, -а2)2 + 4а,а2(1-р)(1 -(?) у^2, 0<р51,

О < ^ < 1; ОС^С^.

Теорема 1.2.1. Плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями в обобщенном асинхронном потоке есть р( х) = у21е-^+(1-у)21е-^\ т>0,

1 ["_ | (а1+а2)(Х1Х2-^а1а2) у—- 2—л.1— л2 т---Г-

^1а2 + +\Р + Ч)а1а2 Для формулировки последующих лемм введем следующие обозначения. Пусть время меняется дискретно с конечным шагом А/: / = ¿А/, к - 0, 1, ... . Рассмотрим двумерный процесс где Я5*>=Х(£Д/)- значение процесса

Ц1) в момент времени Ш = X,, /=1, 2), т>= г^М) = г[М/] - г[(£-1)Дг] - число событий, наблюденных на временном интервале {{к - 1)ДГ, кМ) длины Д/,

гк = 0, 1, ... Обозначим гт = (го,г1.....гт)- последовательность наблюденных

событий за время от 0 до тД/ на интервалах ((к - 1)Д/, ¿Дг) длительности Д/, к = 0,т (г0- число наблюденных событий на интервале (-Д/, 0); так как на этом интервале наблюдений не производится, то его можно задать произвольно, например, г0 = 0); Х(т)=(Х(0), Х(1), ..., Х(т))- последовательность неизвестных (ненаблюдаемых) значений процесса ЦкА1) в моменты времени М/, к = 0,т (Ъ<0> = Х(0) = Х„ / = 1, 2). Обозначим через со(Х(т), г„) совместную вероятность значений Х(т), гт; через сй(Х(т)| гт) - условную вероятность значений Х.(т) при условии, что наблюдалась реализация г„; через со(Х.(т)| гт) - условную вероятность значения А.(т> при условии, что наблюдалась реализация г„. Процесс #>) - марковский, что вытекает из сделанных предпосылок и его конструкции.

Лемма 13.1. Для обобщенного асинхронного потока событий с двумя состояниями справедливо рекуррентное соотношение:

£ <*{Х™\гт)р{Х^ Iх^)р(гт+1 \х™)

I г^)= Х -,

£ 1 I гт)р(1(т+Ъ \Ъ(т)Мгт+1|Л<">)

где Х(ш>)- вероятности перехода процесса \(т&1) за один шаг Д? из

состояния Х(т) в состояние А.(т+1>; р(гт+1 |А.(т)) - условная вероятность того, что на интервале (тЫ, (т + 1)А/) наступило гт+1 событий при условии, что процесс Х(тА1) находится в состояниии

От дискретного времени перейдем к непрерывному, устремив А/ к нулю. Поведение апостериорных вероятностей на временной оси определяется следующими леммами 1.3.2,1.3.3 итеоремой 1.3.1.

Лемма 1-3.2. Поведение апостериорной вероятности 1 /) в

зависимости от I между соседними моментами наступления событий потока и и Ь+1, /=1,2,..., определяется выражением

_ 03, [ш2 - 1 -0^11

^ 1' ^ ш2 -«а(Я., | /,)-[ш, -| '

_ [Хд - Я.2 + а, + (1 - 2д)а2 ] + ^(Я., - Х2 + а, - а2)2 + 4а1а2(1 - р){\ - д)

(0^2---—--—— ,

2(Х1 -Х2 + ра1 - да2)

где а = А,-¿2 + ра1-да2*0, при этом 0<Ш1 < 1, Ш2> 1 для а>0; О<й>1 < 1,

со2<0 для а<0; ,1=1, 2, ...; со(Я., - апостериорная вероятность

того, что процесс Х(е) в момент времени находится в первом состоянии.

В лемме 1.3.3. получена формула для пересчета апостериорных

вероятностей состояний потока в моменты времени наступления событий.

Лемма 133. В момент времени наступления события в потоке

апостериорная вероятность первого состояния определяется формулой

0(^+0)=-УЧ-К^-^М^-О)_>

Х2 + да 2 + (X, -Х2 + ра1 - да2)ю(Я.1 - 0) Леммы 1.3.2,1.3.3 позволяют сформулировать следующую теорему 1.3.1. Теорема 13.1. Для обобщенного асинхронного потока событий поведение апостериорной вероятности о>(?ч |г) на временной оси определяется выражениями

1 1 ю ш2-Ю+0)-[щ-(0(31,1г, + 0)]е-а<^Х'-''> ' "Ш ш(Я1|/0+0) = со(А., |0) = л,= а'

а,+а2

«(^+0) =-?а2+(Х,-№)со(Х,1/,-0)_ ^ ¿ = 1,2,..., (2)

Х2 + да2 + (А., -Х2 + ра1- да2)оу(Х1 |г. - 0)

nn lf 01 - К - 1 + 0)1- <»2 К - 1 h +

11' ' } «2 -mft, | /, + 0)-[ш, -co(X, ¡ + O)]^^-^'-'.) '' где coi, ci>2определены в лемме 1.3.2; а = Ял-Л2 + pa1-qa2*0, при этом 0<в>,<1, сй2> 1 для д>0; 0<Ш! < 1, <В2<0 для а<0; í/<í<í,+i ,» = 0,1,....

В разделе 1.4 диссертации рассмотрены частные и особые случаи соотношения параметров, определяющих поток событий.

Алгоритм расчета апостериорных вероятностей o)(A.i|/) для любого момента времени t с использованием формул (1) и (2) приведен в диссертации в разделе 1.5. Согласно алгоритму, параллельно по ходу вычисления апостериорной вероятности со(А.11/) в момент времени t выносится решение о состоянии

процесса Л(/): если |/) > м(Я.21/) (|/) > 1/2), то оценка = в

противном случае \{t) = Х2 ■

В разделе 1.6 получены формулы для вероятностей ошибок при вынесении решения о состоянии процесса A(í) (в подразделе 1.6.1 - условная вероятность ошибочного решения о состоянии обобщенного асинхронного потока в общем случае и в подразделе 1.6.2 — условная и безусловная вероятность ошибки о состоянии потока для частных и особых случаев).

В разделе 1.7 диссертации решена задача оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного потока в условиях непродлевающегося мертвого времени.

После каждого зарегистрированного в момент времени t¡ события наступает мертвое время фиксированной длительности Т, в течение которого другие события исходного потока недоступны наблюдению и не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). По окончании мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности Т и т.д.

Вариант возникающей ситуации показан на рис. 2, где 1, 2 - состояния случайного процесса X(i); дополнительные события помечены буквами р либо q; штриховкой обозначены периоды мертвого времени длительности Т; t2,... — моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.

17~|ci ttjf] jai оз^сц ■ ^

<4

Процесс J^t)

4 •

Обобщенный асинхронный поток

Т Г Т Г

Схема создания непродяевающегося мертвого времени

-©-в-о-►

ь и - »

Наблюдаемый поток событий Рис. 2. Формирование наблюдаемого потока событий

На отрезках мертвого времени ¡, + Т\ поведение апостериорной вероятности определяется выражением

ш(Х1|//+Г)=я1+[ш(Х1|г,+0)-я1]е-(а>^>г, ¡=1,2,.... (3)

На участках, где мертвое время отсутствует, апостериорная вероятность определяется выражением (1), в котором со(А. ]| + 0) заменяется на

Полученные выражения (1) - (3) определяют поведение апостериорной вероятности г) на всей временной оси, в том числе на отрезках мертвого времени, и позволяют сформулировать алгоритм расчета апостериорных вероятностей /) в любой момент времени t, а также алгоритм принятия решения о состоянии процесса 1(1) в любой момент времени Л Алгоритм приведен в диссертации в подразделе 1.7.3.

Во второй главе решается задача оценки длительности непродлевающегося мертвого времени по наблюдениям за моментами наступления событий обобщенного асинхронного потока, функционирующего в условиях непродлевающегося мертвого времени.

В разделе 22 диссертации сформулирована теорема 2.2.1 (на основе лемм 2.2.1 — 2.2.3 в том же разделе), определяющая вид плотности вероятностей длительности интервала между соседними событиями в потоке в условиях непродлевающегося мертвого времени.

Теорема 2.2.1. Плотность вероятностей длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке имеет вид [0, 0 < т < Г; Рт 00 = 1

+ [1 - у(Т)]22е-^'т\ т > Т, У(Т)=—— [=2 ~ (Ь + -(Ь + яа-г)Ъ(Т)\

г2-г,

щ(Т) = я, + [я2 -я2(0| Т)]е-<а^т, п2(Г) = я2 -[я2 -я2(0| Г)]<Г«^)г,(4)

-1,2 +«1 + Х2 + а2 + - Х2 + а, - а2)2 + 4а,а2(1 - р)(1 - ,

я,=а2/(а, + а2), я2 ^а,/^ +а2),

р21 +5я,Г1-е-(а'^)Г1 Рп +6я2Г1-<Т(а'+а>)г1 я.(0|Г)=—-^Ц--я2(0|Г) = —--=--I,

2хгг = \,А.2 + + А.2а, + (р + д - рд)а1а2, я, (Т) - вероятность того, что в момент времени т = Т процесс А(г) находится в /-м состоянии.

В разделе 2.3 диссертации сформулирована теорема 2.3.1, определяющая вид совместной плотности вероятностей длительностей смежных интервалов между событиями.

Теорема 23.1. Обобщенный асинхронный поток в общем случае является коррелированным потоком и совместная плотность вероятностей рт(*и т2) имеет вид:

рг(т„т2) = 0; 0 < т, < Г, 0<т,<7\

МЪЪ) = РАЬ)Рт(Ъ) + у(Г)р _ у(Г)]х

~122

- ^-.(^г) - 72е'2^~Т)\ х,>Т, т 2>Г, (5)

где у(7), ртЫ) определены в (4) для т = т*, к = 1,2.

На основе формулы (5) сделан вывод о коррелированное™ наблюдаемого потока событий в общем случае.

В подразделе 2.3.2 сформулированы условия, при которых наблюдаемый поток является рекуррентным потоком. В подразделе 2.3.3 рассмотрены особые случаи соотношения параметров потока.

В разделе 2.4 диссертации методом максимального правдоподобия аналитически получена оценка длительности непродлевающегося мертвого времени. Для этого решена оптимизационная задача, записанная в следующем виде:

1

М У=1 I Г2 --1

-2--ЛП

с^ + с^

-2

--1-—— /V)

е-^^'^Н^тах, 0<Г<ттт, (6) -2"21|_ а1+а2 1 ) Т

где /(Г) = а + Хч/(7>~(а,+а2)Г, = - р9а,а2)<Г(а>+а2)г],

X = а,а2(Я.1 + ра1-Х2-<7а2)(Л, + <704-Х2 - ра2),а = Х1а2+Х2а1+(р+д)а1а2, = ^ + Х.2 + а1 + а2+лУ(^1-^2 + а1-а2)2 + 40^0^(1 -р)( 1 -д) ^2; 0<г1<г2.

С помощью лемм 2.4.1 - 2.4.10, приведенных в диссертации, сформулированы теоремы 2.4.1, 2.4.2 и следствия 2.4.1, 2.4.2, которые определяют решение оптимизационной задачи (6) в виде Тш=ттЬ, где Т1пт =пипт4 (¿ = 1, и) - минимальная длительность интервала между соседними

событиями в наблюдаемом потоке на интервале наблюдения, т.е. Тш -смещенная оценка длительности мертвого времени Т.

В разделе 2.5 диссертации найдена оценка длительности непродлевающегося мертвого времени методом моментов. Для этого получено уравнение моментов, учитывающее коррелированность потока, в следующем виде

( _ \2 _

ст =соу(т1,т2),

V )

—. 1 л-1 Л л V

где соу(т„т2) =-- | — Тт, I -оценка теоретической ковариации;

г - г^ъуг «1«2(- Р?а1а2)(^| - + ра, - да2ХЯ-1 -Х2 + дах - ра2) — а 2 х

[("2 " -.)(«, + а2Хг,*2 - - р<7а,а2)<Г(а'+а^)] х[г,г2 - [2г,г2 - (а, + а2Х-1 + --2)К(а'+а>>г + [г,г2 - (А, + Х2)(а, + а2)]е"2(«-^г).

На основании полученных формул в диссертации сформулирован алгоритм нахождения оценки Ткш, в результате работы которого определяется единственная ММ-оценка Тш{ длительности мертвого времени.

Третья глава диссертации посвящена исследованию оценок состояний обобщенного асинхронного потока, функционирующего как в условиях полной наблюдаемости, так и при наличии мертвого времени длительности Т, а также оценки длительности мертвого времени Т. Исследования проводятся при помощи имитационной модели потока, краткое описание которой приведено в Приложении 1, и программной реализации алгоритмов оценивания состояний и длительности мертвого времени, краткое описание которых приведено в Приложении 2.

Статистические эксперименты по оценке состояний потока заключаются в вычислении выборочного среднего безусловной вероятности принятия ошибочного решения и выборочной дисперсии. Результаты численных экспериментов приведены в таблицах и на графиках. Здесь в качестве примера приведены результаты экспериментов для следующих значений параметров потока: Х, = 3, Х2 = 0,5, 01 = 0,03, а2 = 0,04, р = 0,7, д = 0,9 и времени моделирования Тп = 100 ед. времени. В качестве иллюстрации на рис. 3.1.1 приведена траектория (нижняя часть рисунка) случайного процесса Х(г), полученная путем имитационного моделирования, где 1, 2 - состояния процесса Щ), и траектория (верхняя часть рисунка) оценки А.(*), где 1, 2 -состояния оценки А(/). Вынесение решения о состоянии процесса Ц/) производилось с шагом Д/ = 0,05. На рис. 3 штриховкой на оси времени обозначены временные промежутки, на которых оценка состояния не совпадает с истинным значением процесса Ц/) (области ошибочных решений). На рис. 4 приведена траектория поведения апостериорной вероятности ©(Х^/), соответствующая полученной при имитационном моделировании последовательности моментов наступления событий /ь /2,....

в 10 2« 30 « so 60 7G И M t

Рис. 3. Траектории процесса X(l) и оценки Ц/) при ?ч = ЗД2 = 0,5, ai = 0,03, a2 = 0,04,

р = 0,7, q = 0,9

Рис. 4. Траектория апостериорной вероятности со(Х1|г) при X] = ЗД2 = 0,5, а] = 0,03, аг~ 0,04, р = 0,7, д = 0,9

Для установления частоты ошибочных решений о состоянии случайного процесса 1(1) проведен статистический эксперимент, сформулированный в раделе 3.1, результатом которого является является выборка ри р2,—,р^ долей

ошибочных решений в N экспериментах {р1=й1!Тт, ' = 1, N, где 4 -суммарная длительность интервалов, где истинное значение процесса Ц/) не совпадает с его оценкой Х(/)). По этому набору вычисляется выборочное

1 "

среднее безусловной вероятности ошибочного решения Р0 ——и

1 N .

выборочная дисперсия Б =-]Г(,Р0 - Д ) .

N-1 ,=]

Результаты статистического эксперимента приведены в таблицах 1 и 2. В первой строке таблиц указано время моделирования обобщенного асинхронного потока событий Тт (Тт = 100, 300, ..., 1700 ед. времени). Во второй и третьей строках таблиц для каждого значения времени моделирования Тя приведены численные значения для Р0 и О соответственно.

Результаты получены при следующих значениях параметров, общих для всех таблиц: \2 = 3, а, = 0,1, а2 = 0,02, р = 0,1, ц = 0,3, N = 100. При этом результаты в таблице 1 получены для X, = 7, в таблице 2 - для X] = 8.

Таблица 1

Результаты статистического эксперимента (X] = 7)_

100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700

А 0,0279 0,0284 0,0230 0,0274 0,0290 0,0240 0,0280 0,0273 0,0249

о 0,0005 0,0008 0,0004 0,0006 0,0007 0,0007 0,0005 0,0006 0,0005

Таблица 2 Результаты статистическою эксперимента = 8)

т. 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700

А 0,0181 0,0192 0,0179 0,0171 0,0182 0,0197 0,0213 0,0177 0,0202

О 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0003

Анализ проведенных многочисленных вариантов численных расчетов по оценке безусловной вероятности ошибочного решения Р0 показал, что оценка Р0 является достаточно стабильной для Тт> 100 ед.времени. Анализ численных результатов, приведенных в таблицах 1 и 2, показывает: 1) при фиксированном Т„ оценка Р0 уменьшается в зависимости от X] (Х, = 7, 8), так как при увеличении разности А.1-А.2 условия различимости состояний потока улучшаются; 2) при заданных значениях параметров алгоритм оптимальной оценки состояний обобщенного асинхронного потока обеспечивает приемлемую оценку безусловной вероятности ошибочного решения, при этом выборочная дисперсия оценки достаточно мала.

В разделе 3.2 диссертации приведены результаты численных расчетов оценки состояний при непродлевающемся мертвом времени.

Как и для случая отсутствия мертвого времени, для установления частоты ошибочных решений о состоянии случайного процесса по наблюдениям за обобщенным асинхронным потоком, функционирующим в условиях мертвого времени, проведен статистический эксперимент, сформулированный в разделе 3.2, результатом которого является выборка Д(Г),р2(Г),...,рдг(Г) долей ошибочных решений в N экспериментах. По этому набору вычисляются выборочное среднее безусловной вероятности ошибочного решения

4<Г)=^Е#(Г) и выборочная дисперсия ¿г =-^1(Р0(Г)-А(г>)2.

Результаты статистического эксперимента приведены в таблицах 3 и 4. В первой строке таблиц указана длительность мертвого времени Т(Т~ 1, 2,..., 9 ед.времени). Во второй и третьей строках таблиц для каждой длительности мертвого времени Т приведены численные значения для и Ьт

соответственно.

Результаты получены при следующих значениях параметров, общих для всех таблиц: Х2 = 1, а, = 0,1, а2 = 0,15, р = 0,4, д = 0,7, Тт = 100, N = 100. При

этом результаты в таблице 3 приведены для ^ = 7, в таблице 4 - для X] — 8.

Таблица 3

_Результаты статистического зксперимигга (?.] - 7)_

т 1 2 3 4 5 6 7 8 9

р(.Т) 0,2003 0,2251 0,2551 0,2572 0,2841 0,3011 0,3050 0,3113 0,3189

Ьт 0,0024 0,0080 0,0080 0,0063 0,0079 0,0081 0,0101 0,0111 0,0109

Таблица 4 Результаты статистического эксперимента (X] = 8)

Т 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ро(Т) 0,1920 0,2220 0,2496 0,2531 0,2749 0,2933 0,3006 0,3117 0,3167

Ьт 0,0027 0,0043 0,0066 0,0061 0,0090 0,0119 0,0061 0,0063 0,0106

Анализ численных результатов, приведенных в таблицах 3 и 4, показывает: 1) значение оценки безусловной вероятности ошибочного решения Д(Г) увеличивается с увеличением длительности мертвого времени Т (Т= 1,2, ..., 9 ед.времени), так как при увеличении длительности мертвого времени происходит увеличение потерь полезной информации о потоке событий, что в конечном итоге отрицательно сказывается на качестве оценивания; 2) при

* /т-ч

фиксированной длительности мертвого времени Т значения оценки Р0У уменьшаются в зависимости от X, (?ч = 4, 5, 6, 7, 8), так как при увеличении разности Я] - Х2 условия различимости состояний потока улучшаются; 3) оценка дисперсии Ьт для всех вариантов расчета достаточно мала.

В разделе 3.3 диссертации приведены результаты численных расчетов вероятности ошибки для особых случаев соотношения параметров потока, при которых наблюдаемый поток является рекуррентным потоком. Для особых случаев рекуррентных потоков получены графики безусловной вероятности ошибки Л). На рис. 5 приведены графики безусловной вероятности ошибки Р0 для первого особого случая соотношения параметров (>Д2 = РЯа1а2> 0 <р< I, 0 <ц< 1, ХгФО, Х^а,). Алгоритм расчета приведен в диссертации. Графики рассчитаны для следующих значений параметров: Х2 = 0,05, а2 = 0,5, р= \,q = 0,5. Параметр а! изменяется по оси абсцисс от 0,01 до 2 с шагом Дс^ = 0,001 для различных значений Я., = 0,5; 1; 1,5 (на рис. 5 каждому значению ?ч соответствует отдельная кривая).

" 0.5 1 1,5 2 а.

Рис. 5 Графики безусловной вероятности ошибки Ра для первого особого случая

На рис. 6 приведены графики безусловной вероятности ошибки Р0 для второго особого случая соотношения параметров (X] + рщ = Х2 + да2, ' да2, Хг = раъ р ф д, 0 < р < 1, 0 < q < 1). Графики рассчитаны для следующих значений параметров: Х2 = 0,009, а2 = 0,1, р = 0,9, д = 1. Параметр изменяется по оси абсцисс от 0,01 до 2 с шагом Да! = 0,001 для различных значений А,] = 0,1; 0,6; 1,1 (на рис. 6 каждому значению ^ соответствует отдельная кривая).

Рис. 6. Графики безусловной вероятности ошибки Рц для второго особого случая

В разделе 3.4 диссертации проведены статистические эксперименты по сравнению оценок длительности непродлевающегося мертвого времени, полученных методом максимального правдоподобия (МП-оценка) и методом моментов (ММ-оценка). Описание алгоритма оценивания приведено в диссертации. Результатом выполнения алгоритма являются две выборки

(^лй7(1)> на основании которых

О)

оценок: 2

где А ТШ=(ТШ-Т),

вычисляются выборочные вариации получаемых

м м

■ Путем сравнения значений выборочных вариаций устанавливается какая из оценок при заданных параметрах лучше, какая хуже: если Уш < ¥Ш{, то МП-оценка лучше ММ-оценки, если наоборот, то ММ-оценка лучше МП-оценки. Результаты статистического эксперимента приведены в табл. 5 - 7. В первой строке таблиц указана длительность имитационного моделирования Тш (Тт = 10, 20, ...,50 ед. времени в табл. 5 и 6; Тт = 600, 700, ..., 1000 ед. времени в табл. 7). Во второй и третьей строках таблиц для каждой длительности имитационного моделирования Т„ приведены

численные значения для Уш и Ут{ соответственно. В четвертой строке таблиц для каждой длительности имитационного моделирования приведены численные значения разности УШ — УК1М. Численные результаты во всех таблицах получены для N = 100.

Таблица 5

Результаты статистического эксперимента (X] = 2,1, "к2~ 0,5, И1 = 1, аг= 0,9,р = 0,1, = 0,1, ___Г-0,4)__

10 20 30 40 50

Ущ! 0,01732 0,00488 0,00053 0,00047 0,00034

у гмм 0,01717 0,00471 0,00030 0,00019 6-10 "5

V -V 'МП 'мм 0,00015 0,00017 0,00023 0,00025 0,00028

Таблица 6

Результаты статистического эксперимента (X) = 1, 0,5,0] = 0,1, а2= 02, р — 0,1, д — 0,1,

тт 10 20 30 40 50

V 'МП 0,02553 0,00184 0,00089 " 0,00086 0,00046

у 'мм 0,02553 0,00184 0,00089 0,00086 0,00046

V —V 'МП 'мм 0 0 0 0 0

Таблица 7

Результаты статистического эксперимента - 2, Xz = 1, ai = 1, аг = 0,5, р = 0,8, g = 0,7, Т= 1)

Та 600 700 800 900 1000

V 'МП 2,88-10"4 5,598-Ю"5 1,71910 ~5 5,801-Ю"6 7,79-10"*

у 'мм 0,09551 0,07468 0,06269 0,05331 0,05206

V —V 'МП 'мм -0,09522 - 0,07462 -0,06267 -0,0533 - 0,05206

Анализ приведенных численных результатов показывает: 1) при малых временах наблюдения за потоком (при малых Т„ = 10, 20, ..., 50 ед. времени) ММ-оценки лучше МП-оценок (табл. 5) либо, по крайней мере, не хуже МП-оценок (табл. 6), т. к. при малых временах наблюдения оценка Тш может быть достаточно сильно смещенной относительно Т; 2) при больших временах наблюдения за потоком (при больших Т„ = 600,700,..., 1000 ед. времени) МП-оценки лучше ММ-оценок (табл. 7) либо не хуже ММ-оценок, т. к. при

больших временах наблюдения смещение оценки Тш относительно Т уменьшается.

В заключении диссертации приведены основные результаты, которые изложены в пунктах научной новизны, теоретической значимости и практической ценности.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналеvc, которые включены в Перечень рецензируемых научных гаданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертащй:

1. Горцев А.М., Леонова (Фалвино) М.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного дважды стохастического потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. - № 1 (10). - С. 33^7. - 1,2/ 0,6 пл.

2. Горцев A.M., Леонова (Фалвино) М.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного потока в условиях непродлевающего мертвого времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2010. - № 3 (12). — С. 54-64. -0,9/ 0,45 пл.

3.Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Вероятность ошибки при оценивании состояний обобщенного асинхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. - № 2 (19). - С. 88-101. - 1,12 / 0,56 пл.

4. Горцев A.M., Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного асинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2012. -№ 4(21). - С. 14-25. - 1,0 / 0,33 пл.

5. Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2013. - № 2 (23). -С. 54-63. — 0,8 / 0,4 пл.

6. Горцев A.M., Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Сравнение МП и ММ-оценок длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2013. — № 4 (25). — С. 32—42. — 0,9 / 0,3 пл.

7. Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Оценка длительности непродлевающегося мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2013. - Т. 56, № 9/2. - С. 220-222. - 0,24 / 0,12 пл.

Публикации в других научных изданиях:

8. Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишнего события // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : тезисы докладов седьмой российской конференции с международным участием. - Томск : Изд-во НТЛ, 2008. - С. 83. - 0,1 / 0,05 пл.

9. Горцев А.М., Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока с инициированием лишних событий // Массовое обслуживание: потоки, системы, сети : материалы международной научной конференции «Современные математические методы анализа и оптимизации информационно-телекоммуникционных сетей», Минск, 26-29 января 2009 г. - Минск : РИВШ, 2009. - Вып. 20. - С. 90-96. - 0,6 / 0,2 пл.

10. Горцев А.М., Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного потока в условиях его неполной наблюдаемости // Теория вероятностей, математическая статистика их приложения : сборник научных статей : материалы международной конференции, посвященной 75-летию профессора, д-ра физ.-мат. наук Г.А. Медведева, Минск, 22-25 февраля 2010 г. - Минск : РИВШ, 2010. - Вып. 3. -С. 201-206.-0,6/0,2 пл.

П.Леонова (Фалвино) М.А. Вероятность ошибочных решений при оценивании состояний обобщенного асинхронного потока событий // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : материалы Девятой российской конференции с международным участием. - Томск : Изд-во НТЛ, 2012. - С. 92. - 0,1 пл.

12. Горцев А.М., Леонова (Фалвино) М.А., Нежельская Л.А. Условия рекуррентности обобщенного асинхронного потока событий при непродоевающемся мертвом времени // Queues: flows, systems, networks : proceedings of the international conférence «Modem Probabilistic Methods for Analysis, Design and Optimization of Information and Télécommunication Networks». - Minsk : BSU, 2013. - P. 32-38. - 0,6 / 0,2 пл.

Подписано в печать 27.06.2014 г. Формат А4/2. Ризография . л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 09/07-14 Отпечатано в ООО «Позитив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а