автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальные оценки состояний и параметров синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний

На правах рукописи

БУШЛАНОВ ИВАН ВЛАДИМИРОВИЧ

003056690

ОПТИМАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ СОСТОЯНИЙ И ПАРАМЕТРОВ СИНХРОННОГО ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО ПОТОКА СОБЫТИЙ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск

- 2007

003056690

Работа выполнялась в Томском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Горцев Александр Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Воробейчиков Сергей Эрикович

Защита состоится :

17 мая 2007 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете ао адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться:

В Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан: Ла марта 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, В. И. Смагин

кандидат физико-математических наук, доцент Буркатовская Юлия Борисовна

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики

(технический университет) (г. Москва)

д.т.м., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последние два десятилетия интенсивное развитие информационных технологий поставило перед исследователями новые задачи. В частности, различные информационные потоки, циркулирующие в цифровых сетях интегрального обслуживания, потребовали изучения закономерностей их функционирования (выявление статистических свойств моментов появления событий). Общая теория, которая существовала до недавнего времени, во многом оказалась непригодной для анализа случайных процессов, возникающих в таких сетях, по она предложила хорошо изученные общие методы теории вероятностей для детального анализа.

Появление управляемых систем массового обслуживания связано с различными оптимизационными задачами. Несмотря на то, что подобным системам посвящено большое количество работ, остается много неизученных вопросов. В частности, в литературе почти не уделено внимания адаптивным системам обслуживания, то есть системам, которые функционируют в условиях полной или частичной неопределенности. Основная литература по системам массового обслуживания посвящена нахождению различных стационарных характеристик системы обслуживания при условии, что все параметры входящих потоков и обслуживающих приборов известны -заранее. В реальных ситуациях часто эти параметры неизвестны либо частично известны, более того, они могут изменятся во времени, часто эти изменения носят случайный характер. В литературе подобные входящие потоки принято называть дважды стохастическими. Проведенные статистические эксперименты показали довольно неплохую аппроксимацию реальных потоков моделями дважды стохастических потоков событий.

Так как в дважды стохастических потоках интенсивность является случайным процессом, то в зависимости от множества значений этого процесса выделяют два больших класса таких потоков. Первый тин, когда интенсивность является непрерывным случайным процессом. Второй тип, когда интенсивность является кусочно-постоянным случайным процессом либо с конечным числом состояний, либо со счетным числом состояний. Такие потоки являются наиболее пригодными для описания реальных потоков и цифровых сетях интегрального обслуживания.

Дважды стохастические потоки с кусочно-постоянной интенсивностью, можно разделить на три основных типа: 1) потоки с интенсивностью, изменение значения которой происходит в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий (синхронные дважды стохастические потоки событий); 2) потоки с интенсивностью, изменение значения которой происходит в случайные моменты времени независимо от моментов наступления событий (асинхронные потоки событий); 3) потоки, у которых для одних значений интенсивности изменение значения этой интенсивности происходит одновременно с наступлением события, а для других значений интенсивности

— независимо от моментов наступления событий(полусинхронные потоки событий). Выделяют три основные задачи, возникающие при исследовании Такого тина потоков: 1) исследование различных характеристик системы массового обслуживания с дважды стохастическим входящим потоком событий; 2) оценка состояния потока; 3) оценка параметров потока.

В настоящее время проведено множество исследований дважды стохастических потоков событий с точки зрения всех трех выше названных задач. Однако в большинстве случаев в литературе решается задача оптимального оценивания состояний или параметров дважды стохастического потока только с двумя состояниями, случай же с произвольным (конечным) числом состояний не рассматривается. Очевидно, что реальные системы не ограничиваются только двумя значениями интенсивности. С другой стороны, функционирование таких систем непосредственно зависит от значения интенсивности в каждый момент времени.

В диссертационной работе решается задача оптимальной оценки состояний и параметров синхронного дважды стохастического потока событий (далее синхронного потока) с произвольным (конечным) числом состояний, являющегося математической моделью информационных потоков заявок, циркулирующих в цифровых сетях интегрального обслуживания.

Таким образом, тема диссертационного исследования является актуальной.

Цель диссертационной работы. Аналитическое исследование синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний с точки зрения задач оптимального оценивания состояний и параметров, формулировка и разработка программной реализации алгоритмов оценивания на основе полученных результатов, проведение статистических экспериментов на основе имитационной модели синхронного потока с целью установления качества получаемых оценок состояний и параметров.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теории вероятностей, теории марковских процессов, теории массового обслуживания, математической статистики и численные методы. Проведение статистических экспериментов выполнено на основе имитационной модели синхронного потока.

Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту. Научная новизна работы состоит в рассмотрении задачи оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний по наблюдениям за этим потоком. Результаты выносимые на защиту:

1) аналитическое решение задач оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний;

2) алгоритмы, оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний;

3) результаты статистического исследования разработанных алгоритмов на основе имитационной модели синхронного потока событий.

Теоретическая ценность работы состоит в аналитическом решении задач оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний на основе выборки наблюдений за моментами наступления событий этого потока.

Практическое значение работы. Полученные алгоритмы оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока можно использовать в задачах проектирования систем массового обслуживания таких, как информационно-вычислительные сети, сети связи, спутниковые системы передачи данных, дисциплины обслуживания которых зависят от параметров входящих потоков событий.

Апробация работы. Работа выполнялась в рамках научно-исследовательской работы Томского государственного университета "Исследование и разработка моделей высокопроизводительных многопроцессорных систем и методов обеспечения компьютерной безопасности" (номер государственной регистрации НИР 01200114364) в период с 2002 по 2006 г.г. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- на Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" в г. Томске, ТГУ, сентябрь 2003г.;

- на Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии: в исследовании сложных структур" в г. Иркутске, сентябрь 2004г.;

- на Международной научной конференции "Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей" в г. Минске, февраль 2005г.;

- на Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" в г. Томске, ТГУ, сентябрь 2005г.;

- на VII Международной школе-семинар молодых ученых "Актуальные проблемы физики, технологий и инновационного развития" в г. Томске, декабрь 2005г.;

на V Международной научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" в г. Анжеро-Судженске, ноябрь 2006г.;

- на Международной конференции "Математические методы повышения эффективности информационно-телекоммуникацилнных сетей" (19-я белорусская школа-семипар по теории массвоого обслуживания) в г. Гродно, январь - февраль 2007г.

Материалы исследований используются в учебном процессе при

выполнении курсовых и дипломных работ студентов.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 121 страницу машинописного текста, 32 рисунка, 8 таблиц. Список литературы включает 143 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении раскрывается актуальность исследуемой проблемы, приводится обзор работ других авторов, формулируется цель и содержание работы, обосновывается теоретическая и практическая ценность работы.

В первой главе решается задача оптимального оценивания состояний синхронного потока событий с произвольным числом состояний.

Рассматривается синхронный поток событий, интенсивность которого представляет собой кусочно-постоянный стационарный случайный процесс Л (í) с п состояниями Ai,..., А„ (Ах > Аг > ■ • • > А„). Будем говорить, что имеет место i-e состояние процесса (потока), если A (t) = А¿, г = 1, п. Если имеет место г-е состояние процесса А (t), то в течение временного интервала, когда A (í) = A¿, поток событий ведет себя как пуассоновский поток с интенсивностью A¡,í = 1, п. Переход из г-го состояния процесса А (£) в j-c (i,j = 1 ,n,j ф г) возможен только в момент наступления события, при этом этот переход осуществляется с

п

вероятностью (0 < j:>ij < 1); с вероятностью pu = 1 — Pij процесс A (í)

остается в г-м состоянии. Таким образом, при описании синхронного потока задается матрица вероятностей переходов из состояния в состояние ||ру||";

IL _

J2 Pij — 1, г = 1, п. Так как случайный процесс А (t) является ненаблюдаемым,

j=i

а наблюдаются только временные моменты наступления событий íi, ¿2, • - -, то необходимо по этим наблюдениям оценить состояние процесса в некоторый текущий момент.

Рассматривается установившийся (стационарный) режим

функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (ío,í), где t0 — начало наблюдений, t — окончание наблюдении (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить to = 0. Для вынесения решения о состоянии ненаблюдаемого процесса А (<) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности w (A¿|íi,..., tm) — Р (A (t) = Aj|íi,..., ím), г = 1,п, того, что в момент времени t случайный процесс A (i) = Ai (m — количество наблюденных событий за время t),

п

при этом ш (A¡|íi,... ,ím) = 1. Решение о состоянии процесса A (i)

г = 1

выносится согласно критерия максимума апостериорной вероятности:

Ä(t) = arg тахл=А1,Аг,...,л„{'ш(Л(4) = A|ti,... ,tm)}. Данный критерий обеспечивает минимум полной вероятности ошибочного принятия решения.

Основные аналитические результаты, полученные для случайного процесса A(i) н апостериорных вероятностей, сформулированы в следующих леммах и теореме.

Лемма 1.2.1. Случайный кусочно-постоянный процесс А (£) является марковским процессом. В процессе доказательства этой леммы получено распределение вероятностей времени пребывания A(i) в том или ином состоянии.

Для формулировки следующей леммы сделаем следующие обозначения. Пусть время меняется дискретно с конечным шагом At: t = kAt, k = 0,1,... . Рассмотрим двумерный процесс где А^ = А {kAt) —

значение процесса A(i) в момент времени kAt (А^ = А;, г ; 1,п);

— число событий, наблюденных на временном интервале (0, ArAi); Гк = rk(At) = r[A;Ai] — г[(/г-1)Дг] — число событий, наблюденных на временном интервале ((к — 1) At, kAt) длины At, r^ = 0,1,... . Обозначим TVn = (fo, ...,rm) — последовательность наблюденных событий за время от 0 до mAt на интервалах ((к — 1) At, kAt) длительности At, к = 0,т (г0 = 0, так как г0 — число наблюденных событий на интервале (-At,0) для к = 0); А*"1' = А'1',..., — последовательность неизвестных

(ненаблюдаемых) значений процесса А (kAt) в моменты времени kAt, к = 0, т, = А(0) = Аi, г — 1,п). Обозначим через w совместную

вероятность значений А'm',fm, тогда для этой вероятности имеет место следующая лемма.

Лемма 1.2.2. Совместная вероятность w представилш в виде:

wfX^.rJ =ш(А(°),го) П p(AW,r^|A('i-1),rfc_1).

4 ' к=\

В последующей лемме 1.2.3 получена рекуррентная формула для апостериорной вероятности состояния процесса А(£).

Лемма 1.2.3. Апостериорная вероятность того, что в момент времени t + At значение А(f + At) = A(m+1' при условии fm+i, определяется рекуррентной формулой:

Е " (*(m) lfm) Р (А(т+1), Гт+1 |А<т> , Гт)

1» (л(т+1)|г-га+1) = лА<т,=Л1л--•

Е Е ^(A(-)|fm)p(A(™+i),rm+1|A("'),rm)

А('"+Н=А1 А<")=А1

Поведение апостериорных вероятностей между моментами времени наступления событий синхронного потока определяется системой дифференциальных уравнений, которая устанавливается в лемме 1.2.4.

Лемма 1.2.4. Апостериорные вероятности состояния потока на

полуинтервале [¿¡,^+1) между моментами наступления соседних событий удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

= [хкрк} - ыА;] ги {\к\ь) +

)с=1

п

+№(А,|г)^(А*-А„)г<;(Ак|0, 3 =Т7И, г = 0,1,... , (1) к = 1

где ~~ символ Кронекера.

Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений (1) определяет поведение апостериорных вероятностей на полуинтервале

[¿¿,¿¿+1), причем на правом конце полуинтервала имеет место значение — 0), на основе которого находится апостериорная вероятность и>(А;|£,+1 + 0), являющаяся начальной для следующего полуинтервала [и+1,^.2).

В последующей лемме 1.2.5 получена формула для пересчета апостериорных вероятностей состояний потока в момент времени наступления события.

Лемма 1.2.5. Апостериорные вероятности состояния потока в момент времени наступления события пересчитываются согласно формуле:

= , = г=1>2..... (2)

Е а^(А^-О)

к=1

В момент времени ¿о = 0 значения апостериорных вероятностей =

ш(А^|£о 4- 0) полагаются равными значениям финальных вероятностей состояний случайного процесса А(£): 7Г,- = Нт7г^(£) при Ь —> оо, j — 1 , п, определяемые согласно лемме 1.2.6.

Лемма 1.2.6. Априорные финальные вероятности тг^ = Пт^ (¿) при I —♦ оо, ] = 1 ,п, состояний случайного процесса А(4) удовлетворяют следующей линейной неоднородной системе алгебраических уравнений:

п п

^кРк^к + А^- {р^ - 1) тг,- = 0, 3 = 17п, = 1. (3)

к=\,кф] к = 1

Таким образом, формулы (1)-(3) определяют поведение апостериорных вероятностей состояний потока j = 1,п, в любой момент времени.

Последующая теорема 1.2.1 определяет решение системы дифференциальных уравнений (1) в явном виде. Для формулировки теоремы 1.2.1 сделаем

следующие обозначения. Введем матрицу И с элементами — - 26^),

где 5у- — символ Кронекера, i,j = 1, N. Обозначим собственные числа матрицы Б как Ш1, (¿2, • ■ • , Матрицу, составленную из собственных векторов матрицы .О, обозначим как 5 с элементами г,] — 1 , п. Элементы обратной матрицы 5 обозначим как з"1, г, j = 1, га.

Теорема 1.2.1. Решение системы дифференциальных уравнений (1) па полуинтервале времени [£,-, ¿¿+х) (ъ — 0,1,...) между моментами наступления соседних событий выражается формулой:

МЛ, 1«) = --, (4)

Е Е

г=1 к=\

п _

где гк(и) = Е + 0), j = 1 ,п, и < Ь < и+1, г = 0,1,... .

¡=1 _

Апостериорные вероятности + 0), 3 = 1 ,п, определяются формулой

(2) для ¿ = 1,2,... . Для г = 0 апостериорные вероятности «.'(А^о + 0) = 7т,' (э = 1 ,п) являются решением системы (3).

В пункте 1.3 диссертации рассмотрен случай синхронного потока для двух состояний (п = 2).

Подученные аналитические результаты для апостериорных вероятностей состояний синхронного потока, позволяют сформулировать алгоритм оптимального оценивания на основе критерия максимума апостериорных вероятностей, приведенный в диссертации.

Во второй главе рассматривается задача оценивания параметров (интепсивпостей наступления событий А1,А2,...,АП и вероятностей перехода Рг], = 1>п) синхронного дважды стохастического потока событий с

произвольным числом состояний. Оптимальная оценка параметров строится на основе апостериорного распределения параметров синхронного потока.

Случайный процесс А(£) является ненаблюдаемым, а наблюдаются только временные моменты наступления событий ¿1^2, ■ • •, на интервале Необходимо по этим наблюдениям оценить параметры ..., Хп,р^ (г=

___ п п

1,п, ¡ / в момент времени Так. как Е Ру = 1> то Р« = 1 - Е Рч-

3=1 > = 1.^7

Таким образом, число оцениваемых параметров равно п2. Число состояний потока п предполагается известным.

Обозначим 0~ (Аь ..., А„,ру;г,] = 1,п,г ф — вектор неизвестных параметров и в — вектор оценки соответствующих неизвестных параметров. Обозначим р(в¿ш) плотность распределения вектора параметров в при условии, что в моменты времени ¿1, ¿2,... , ¿т наступили события потока, где 0 < ¿1 < t2 < ■ ■ ■ < trn < I. Обозначим р(в|() = р(в,£2,... ,Ьт). Пусть 0 —

область значений изменения параметров в, т.е. © = {А1 > Л2 > ... Ап > 0;0 <

л _

Ра < 1. Е Ра < 1,3 = 1 .«}•

В качестве 0(£) в момент времени £ используем оценку, обеспечивающую минимум среднеквадратического отклонения в(£) от истинного значения вектора параметров в (т.е. апостериорное среднее):

= ¡ВМШ к = 1777, ЛГ=п2. (5)

е

Очевидно, что для нахождения 0(£) необходимо найти выражение для апостериорной плотности вероятностей р(#|£) параметров 9.

Рассмотрим дискретные наблюдения через равные достаточно малые промежутки времени, а затем совершим предельный переход при стремлении Д£ к нулю. Пусть время меняется дискретно с шагом Д£ : £ = fcД£, к = 0,1,... . Обозначим через г(/сД£) число событий, наблюдавшихся на интервале ((к - 1)Д£,кЫ),к = 0,1,..., при этом положим г(0) = 0; обозначим через г(кЫ) = (г(0), г(Д£),..., г(/сД£)) — последовательность наблюдавшихся событий за время от 0 до /сД£. Положим кД£ = £,(& + 1)Д£ = £ + Д£. Тогда число наблюдавшихся событий на интервале (£ — Д£, £) есть г(&Д£) = г(£), а на интервале (£, £ + Д£) есть г ((к 4- 1) Д£) = г(£ + Д£).

Рассмотрим р{в\г(кМ)) = р(0|г(£)) = р(9|£) — искомую плотность вероятностей вектора в в момент времени £ ир(б|г[(А:+1)Д£]) = р(б|г'(£+Д£)) = р(в|£ + Д£) в момент времени £ + Д£.

Последующая лемма 2.2.1 определяет связь плотностей вероятностей р(0|£) и р(в\Ь + Д£).

Лемма 2.2.1. Для апостериорной плотности вероятностей р(в\Ь + Д£) вектора параметров в в любой момент времени £ + Д£ > 0 имеет место следующее соотношение:

р(0|£ + Д£) =-

(ЛЛ£)г(<+л<)

где и>(А;|£) (] = — апостериорная вероятность ]-го состояния

случайного процесса Л(£).

Основные аналитические результаты для апостериорной плотности р(в|£) получены в следующих леммах и теореме.

Лемма 2.2.2. Апостериорная плотность вероятностей вектора параметров в удовлетворяет следующему интегро-дифферепциалъному

уравнению:

<И

= -р(т

х((, в) - J а(£,0)р(0|4)сй>

(6)

где в) — ^ Л^СЛг'Ю» ^ - 4 < г = 0,1,... .

Лемма 2.2.3. Апостериорная плотность вероятностей р(0]О

вектора параметров в в момент времени £ = ti наступления события пересчитывавшей согласно формуле:

р{в\и + 0)

а{и - 0,в)р(в\П - 0)

¡а(и-0,9)р{е\и-0)(19' ©

1,2,...

(7)

где р(в\и — 0) — предел р(0|£) при 4 —> и — 0 и р(в4- 0) — предел р(0|£) при

Ь -* и + 0.

Теорема 2.2.1. Решение интегро-дифферепциалъного уравнения (6) определяется согласно формуле:

р№) =

р(в\и + 0) ехр 1 - / а(т, 0)йт и

/ р{0\Ь{ + 0) ехр е ь -/а{ть6)<1т ав

¿ = 0,1,.

(8)

где + 0) = р(в|0) — плотность вероятностей, задаваемая исходя из

априорных данных; р(в+ 0) определяется согласно формуле пересчета (7) для г = 1,2,... .

Таким образом, формулы (7), (8) позволяют сформулировать алгоритм оптимального расчета оценки вектора параметров в, приведенный в

диссертации.

Отметим, что расчет оценок в{£) вектора параметров в по формулам (7), (8) представляет собой нетривиальную задачу.

В силу сложностей по расчету апостериорной плотности вероятностей р(01£) приведен приближенный алгоритм расчета оценок 0(£). Идея приближенного расчета оценок состоит в следующем. В предположении близости вектора 0(4) к вектору в(и + 0) (г = 0,1,...) в интегралах вида //(•, 0)р(0|£)сЮ

е

подынтегральные функции разлагаются в ряд Тейлора в окрестности точки в(и + 0) с точностью до трех членов ряда. В итоге такое разложение позволяет не производить интегрирование по области 0, что значительно упрощает расчеты.

тк

Для записи приближенных формул сделаем следующие обозначения. (£) = Ш = 19кр(в\ь)с1в, сцЦ) = У № - т^Ш - т1Щ)р(в\1)сЮ, (9)

/(£,¿¿,6») = ехр

I

- J а(т,в)с11

, (£, £*, 0) = «<, 0), а*(«, 0) = Ока{г, в),

т(£) = (тЛО, ■ •■ ,тлг(0), С(0 = |Ы0||?,

(10)

1'де б/о, ¿ь(£) — элементы лекторов в, 0(£), соответственно.

С учетом введенных обозначений (9), (10) получаем оценку вектора параметров на полуинтервале времени , £¿+1) в виде

Мь,и,т(и + о)) + § Ё + ^

тк(Ь) =

3,1=1

^,¡=1 ии}ии1

-,к = 1,^.

(11)

Для того чтобы вычислить тк{Ь), необходимо получить выражения для векторов тп(£г 4- 0) и матрицы ковариаций С (и + 0) при г = 1,2,... .

В момент времени £ = ^ наступления события потока элементы вектора т(£) пересчитывается по формуле:

тк(и + 0) = - ^ ^ ^ ---. (12)

а(и,т(и - 0)) + I Е - 0)

1,1=1 I

Обозначим

£¡-1 <£<£;, з,1= 17Ж

В момент времени £ = £; находятся элементы матрицы ковариаций с^; -- СМ = 1. ЛО в виде

С}1

1 £ &Рц{и,и-1,т[и-1 +0)).

ЖДГ

ЛЧ,Ч-х,т{и-х + 0)) + Г| -5-двидву-—

(13)

и,У = 1

где cuv = cu„(ii_i + 0) (u,v = l,N). __ _

Для расчета оценок параметров 0k(t), к = 1 , Лг, на полуинтервале времени [¿г,) по формулам (11), необходимо найти элементы Cji(U + 0) в момент времени t = Ц + 0 (j, I = 1, N). Введем обозначение.

Aji(ti + 0,0) = {9j - mj(ti + О))(0/ - Tili(ti + 0))a(ti - 0,0), j, l = IjV.

С учегом данного обозначения формула для пересчета элементов с+( = Cji(ti + 0) (j,l = l,iV) матрицы C(t) в момент времени U наступления события потока принимает вид:

* i п а n\\ . i £ d2A,;fe+0,m(ti-0)) ,, т

0)) + 5 X) - двидду--CMU-Q)

с+ =_V1_"_!_ (14)

3> п и „чч , г ^ d2a(ti — 0,m(ti — 0)) ,, т

u,v=1 14 v

Таким образом, все необходимые формулы для расчета оценок 6k{t) = rrik(t), к = 1,N, определены. Алгоритм расчета оптимальной оценки по приближенным формулам приведен в диссертации.

Третья глава посвящена исследованию полученных оценок состояний и параметров синхронного потока с произвольным числом состояний. Исследования проводятся с использованием имитационной модели синхронного потока и программной реализации алгоритмов расчета оценок состояний и параметров. В главе описаны особенности имитационного моделирования, реализация расчета оценок состояний и параметров, приводятся и обсуждаются результаты статистических экспериментов.

Статистический эксперимент по оценке состояний синхронного потока событий заключается в постороешш доверительных интервалов дли полной вероятности ошибочного решения о состоянии синхронного потока. Результаты экспериментов приведены в талицах и графиках. Здесь в качестве иллюстрации приведены результаты статистического эксперимента для п = 3, Ai = 15, Д2 = 10, А3 = 1, рп = 0,99, pia = 0,005, р13 = 0,005, р21 = 0,005, р22 = 0,99, Р2з = 0,005, рз! = 0,02, р32 = 0,01, Рзз = 0,97. Число реализаций синхронного потока N — 1000, время моделирования Т = 10,20,..., 100 единиц времени. Результаты представлены на рис. 1 в виде графика.

р

0,10 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 у Рис. 1. Доверительные интервалы дли полной вероятности ошибочного решения

Анализ результатов, приведенных на рис. 1, во-первых, показывает достаточную стабильность оценок (независимость от времени моделирования), что связано с достаточно большим количеством реализаций (М = 1000). Во-вторых, длина доверительных интервалов достаточно мала (максимальная длина для Т = 10 равняется 0,034, минимальная длина для Т = 50 равняется 0,03), что также связано с достаточно большим N = 1000. В-третьих, оценка полной вероятности ошибочного решения также достаточно мала (меняется в пределах от 0,064 до 0,086), что говорит о достаточно хорошем оценивании состояний процесса А(£).

В качестве иллюстрации приведены результаты расчета оценок параметров Мг), А2(£), р12(£), р21(£) для п = 2, Л! = 10, Л2 = 2, р12 = 0,2, Р21 = 0,1. Начальная плотность вероятностей р(<?|0) вектора параметров в полагается равной произведению равномерных плотностей вероятностей р(0*|О) = — б*.1') каждого из параметров в^ на заданном отрезке

[01Х)Х2)] (к = М), где [б^,^] = [10, 14], = [0,25, 2,25],

= [0,2, 0,4], [б^,^] = [0,05, 0,325], тогда тщ = 12, гп2 = 1,25, = 0,3, 7тг4 = 0,275, С(г0 + 0) = С(0) = йгад (1,3333;0,3333; 0,0033;0,0063). Шаг дискретизации но времени Д£ = 0,01, время моделирования Т = 250 ед. времени. В качестве иллюстрации на рис. 2 представлен график оценки параметра Л! в зависимости от времени £,

В качестве показателя близости оценки вь(£) к истинному значению параметра в к выбрана величина (к — 1,Л0 — показатель качества

оценивания: 5{вк, £) = - 6>/с| / тах (вк(1), в^ ■ В качестве характеристики

общей точности оценивания выбрана величина <5(£) — показатель общего

N

качества оценивания параметров: <5(£) = ^ , который характеризует

7с=1

качество оценивания параметров в целом.

Зависимость величины <5(£) для рассмотренного примера синхронного потока с двумя состояниями приведена на рис. 3.

Как видно из рис. 3 величина 5(£) с течением времени £ убывает к пулю, что говорит о хорошем качестве оценивания параметров. В диссертационной работе приведен подробный анализ полученных численных результатов.

В заключении содержатся выводы о новом решении задач оценивания состояний и параметров синхронного поткоа событий с произвольным числом состояний по наблюдениям за потоком и формулируются основные научные и практические результаты, которые состоят в следующем:

1. Получены явные аналитические формулы для апостериорных вероятностей состояний синхронного потока в любой момент времени наблюдения за потоком, содержащие наиболее полную информацию о потоке в теоретико-вероятностном смысле. На основе критерия максимума апостериорной вероятности вычисляются оценки состояний синхронного потока событий с произвольным числом состояний. Данный критерий обеспечивает минимум вероятности ошибочного принятия решения.

2. На основе полученных аналитических результатов для оценки состояний разработан и реализован на ЭВМ алгоритм оптимального оценивания состояний синхронного дважды стохастического потока событии

с произвольным числом состояний.

3. Получены явные аналитические формулы, выражающие значения плотности вероятностей вектора параметров в любой момент времени наблюдения за потоком, содержащей наиболее полную информацию в теоретико-вероятностном смысле о параметрах синхронного потока. В качестве оценок параметров используются апостериорные средние, обеспечивающие минимум среднеквадратического отклонения оценок от истинных значений параметров.

4. На основе полученных аналитических результатов для оценок параметров разработан и реализован на ЭВМ алгоритм оценивания параметров синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний.

5. Разработана и реализована имитационная модель синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний, которая используется для получения численных результатов при конкретных реализациях синхронного потока.

С. Для конкретных значений параметров синхронного потока проведены численные расчеты оценок состояний, параметров, а также величин, характеризующих качество оценивания для каждого из алгоритмов: полной вероятности ошибочного принятия решения о состоянии потока и общего показателя качества оценивания параметров.

7. Полученные в третьей главе численные результаты позволяют сделать вывод о том, что алгоритм расчета оценок состояний и алгоритм расчета оценок параметров являются практически применимыми инструментами для реального использования при проектировании систем массового обслуживания.

Список публикаций по теме диссертации

1. Бушланов И. В., Горцев А. М. Оптимальная оценка состояний синхроного дважды стохастического потока событий //Автоматика и телемеханика. —2004,— № 9. —С. 40-52.

2. Бушланов И. В., Горцев А. М. Алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного дважды стохастического потока событий //Вестник Томского гос. ун-та. —2003.—№ 6. Приложение. —С. 220-224.

3. Бушланов И. В. Оценка паралгетров синхронного дважды стохастического потока событий с конечным числом состояний //Вестник Томского гос. ун-та. —2005.—№ 14. Приложение. —С. 253-257.

4. Бушланов И. В. Алгоритм оценки параметров синхронного дважды стохастического потока событий //Материалы международной

конференции "Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей". 22-24 февраля 2005. Минск. - МинскгБГУ. - 2005. - С. 26-31.

5. Бушланов И. В. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий //Известия вузов. Физика. — 2006. - № 3. Приложение. — С. 294-295.

6. Бушланов И. В. Алгоритм оптимальной оценки параметров синхронного дважды стохастического потока событий с двумя состояниями //Материалы V Международной научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". 10— 11 ноября 2006. — Анжеро-Судженск. — Томск: ТТУ. - 2006. - 4.1. - С. 89-92.

7. Бушланов И. В. Оптилшлъная оценка параметров синхронного потока событий //Материалы международной научной конференции "Математические методы повышения эффективности информационно-телекоммуникационных сетей". 29 января-1 февраля 2007. Гродно. — Минск:РИВШ. - 2007. - Вып. 19. - С. 29-34.

Тираж 100. Заказ №331. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

Введение

Глава 1. Оптимальная оценка состояний синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний

1.1. Постановка задачи.

1.2. Вывод апостериорных вероятностей состояний синхронного потока.

1.3. Синхронный поток событий с двумя состояниями.

1.4. Алгоритм оптимального оценивания состояний синхронного потока событий

1.5. Результаты и выводы к первой главе.

Глава 2. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вывод выражений для апостериорной плотности вероятностей вектора параметров.

2.3. Алгоритм расчета оптимальной оценки 6(t) вектора в

2.4. Приближенные формулы для расчета оценки 6{t).

2.5. Алгоритм расчета оценки 0{t) по приближенным формулам.

2.6. Результаты и выводы ко второй главе.

Глава 3. Имитационное моделирование синхронного потока событий. Численные результаты экспериментов на имитационной модели.

3.1. Имитационная модель синхронного потока событий с произвольным числом состояний.

3.2. Результаты численных расчетов апостериорных вероятностей состояний случайного процесса A(t).

3.3. Результаты численных расчетов оценок состояний синхронного потока событий.

Статистический эксперимент.

3.4. Результаты численных расчетов оценок параметров синхронного потока событий

3.5. Результаты и выводы к третьей главе.

Актуальность работы.

В начале двадцатого века в связи с появлением телефонного дела возникла необходимость решения ряда математических задач нового типа — оптимизация обслуживания заявок, поступающих на телефонную станцию. Первые работы по решению задач такого типа были сделаны датским ученым А.К. Эрлангом в период с 1908 по 1922 годы. Это время принято считать началом возникновения новой области исследований в математике с общим названием теория массового обслуживания. С тех пор необычайно возрос интерес к данному кругу вопросов. Позже оказалось, что подобные задачи возникают не только при обслуживании абонентов телефонной станции, но и во многих других областях науки и техники: исследование систем связи, транспортных систем, систем управления запасами и многих других. В последние два десятилетия интенсивное развитие информационных технологий поставило перед исследователями новые задачи. В частности, различные информационные потоки, циркулирующие в таких системах, потребовали изучения закономерностей их функционирования (выявление статистических свойств моментов появления событий в информационных потоках). Особенностью этой предметной области является ее быстрое развитие ввиду постоянного появления новых методов передачи информации, появления различного типа аппаратного и программного обеспечения, усложнения структуры информационных систем. Общая теория, которая существовала до недавнего времени, во многом оказалась непригодной для анализа случайных процессов, возникающих в таких системах, но она предложила хорошо изученные общие математические методы теории вероятностей для детального анализа.

Основные элементы и методы исследования теории массового обслуживания можно найти в монографиях А. Я. Хинчина [107], Б.В. Гнеденко, И. Н. Коваленко [28], Г .П. Климова [61], Т. Л. Саати [91], А. Кофмана, Р. Крюона [68], Д. Риордана [87], JI. Клейирока [60]. Далее развитие теории массового обслуживания согласно различным требованиям шло в направлении приоритетных систем. Основную литературу по приоритетным системам можно найти в [10, 22, 27, 47, 62, 73]. Методы теории массового обслуживания изложены в [59]. Тенденции развития теории массового обслуживания изложены в работе Г.И. Ивченко, В.А. Каштанова, И. Н. Коваленко [57].

Появление, так называемых, управляемых систем массового обслуживания связано с различными оптимизационными задачами. Актуальность таких задач подтверждается многочисленными публикациями. Первыми работами в этой области можно считать работы, появившиеся в шестидесятых годах[11, 12, 20, 23, 55, 88, 89, 92, 117, 133, 140, 141]. Дальнейшее развитие связано с более частными постановками задач и их решением. Наиболее полные обзоры по управляемым системам массового обслуживания можно найти в [35, 75, 90, 102]. Все исследования по управляемым системам массового обслуживания сводятся к следующим основным направлениям: 1) приоритетные системы обслуживания с динамическими приоритетами[45, 74, 89, 117, 134]; 2) системы с управляемыми длительностями обслуживания [48, 96, 118, 135, 138, 141]; 3) системы с управляемым входящим потоком заявок [56, 63, 131]; 4) системы с формированием очередей [76, 77, 101, 124]; 5) системы с динамической (управляемой) структурой [1, 54, 70, 115, 127, 128, 129, 130, 136, 137]. Несмотря на то, что подобным системам посвящено большое количество работ, остается много неизученных вопросов. В частности, в литературе почти не уделено внимания адаптивным системам обслуживания, то есть системам, которые функционируют в условиях полной или частичной неопределенности. Основная литература по системам массового обслуживания посвящена нахождению различных стационарных характеристик системы обслуживания при условии, что все параметры входящих потоков и обслуживающих приборов известны заранее. В реальных ситуациях часто эти параметры неизвестны или частично известны. Например, загрузка в компьютерных сетях может меняться в зависимости от времени суток и можно различать несколько различных состояний данной компьютерной сети в зависимости от этой загрузки. Например, максимальная загрузка приходится на определенный период времени, связанный со временем суток — в основное рабочее время пользователей; минимальная загрузка — на ночной период времени; средняя загрузка — интервалы времени перехода из режима максимальной загрузки в режим минимальной загрузки и наоборот. Таким образом, в компьютерных сетях входящий поток событий такой, что среднее число заявок на интервалах времени с разными режимами загрузки (режим максимальной, минимальной и средней загрузки) значительно отличается друг от друга. В литературе подобные входящие потоки событий принято называть дважды стохастическими. Если говорить относительно параметров обслуживающих приборов (сетевое оборудование, маршрутизаторы, программные системы), то чаще всего они постоянны и не меняются со временем. С другой стороны, можно создавать такие системы, в которых параметры обслуживающих приборов будут регулироваться в зависимости от загрузки. В информационных системах таким параметром может быть число работающих обслуживающих программ. С точки зрения выявления закономерностей появления событий во входящих потоках событий требуется изучение их статистических свойств. Выявление объективных случайных закономерностей в поведении входящих потоков событий предствляет собой наиболее сложную задачу.

Дважды стохастические входящие потоки событий, по-видимому, впервые упоминаются в работе Кингмена [125] в 1964 году. Слово "дважды"имеет следующий смысл: в таком типе потоков имеют место два случайных механизма, во-первых, интервалы времени между соседними наступлениями событий являются случайными, во-вторых, интенсивность потока также меняется случайным образом с течением времени. В реальных ситуациях дважды стохастические потоки встречаются гораздо чаще, поэтому такая случайная зависимость от времени представляет особый интерес для изучения с точки зрения практических приложений и в последние годы появилось большое количество исследований по данной проблеме. Проведенные статистические эксперименты показали довольно неплохую аппроксимацию реальных потоков моделями дважды стохастических потоков событий [5, 108].

Так как в дважды стохастических потоках интенсивность является случайным процессом, то в зависимости от множества значений этого процесса выделяют два больших класса таких потоков. Первый тип, когда интенсивность является непрерывным (диффузионным) случайным процессом. Исследования по такому типу потоков можно найти, например, в работах [24, 86, 94, 99,103]. В работах [29, 84] приведены расчеты различных характеристик СМО с входящим потоком, интенсивность которого есть диффузионный случайный процесс. Второй тип, когда интенсивность является кусочно-постоянным случайным процессом либо с конечным числом состояний (состояние понимается как одно из значений, которое может принять процесс), либо со счетным числом состояний. Изменение значения интенсивности происходит в случайные моменты времени, причем на интервалах времени, когда процесс не меняет состояния, поток событий ведет себя как простейший. Такие потоки могут быть названы стационарными кусочно-постоянными, и они являются наиболее пригодными для описания реальных потоков в цифровых сетях интегрального обслуживания. Первые работы, в которых второй тип потока был выбран для описания функционирования системы массового обслуживания, были работы М. Ньютса [132] и Г.П. Башарина, В. А. Колотушкина, В. А. Наумова [2]. Авторы работы [2] рассматривают ситуацию, когда интенсивность потока управляется цепью Маркова (отсюда название "МС (Markov с!шп)-потоки событий"), здесь изменение значения интенсивности происходит синхронно (одновременно) с изменением состояния цепи. Еще одним примером такого типа потоков является ВМАР (Batch Markovian Arrival Process)-noTOK. В последнем случае отличие от других потоков с кусочно-постоянной интенсивностью заключается в том, что в каждый момент времени может наступать не одно, а несколько событий - пачка (batch). Наиболее полное исследование систем массового обслуживания с входящим ВМАР-потоком событий приведено, по-видимому, в монографии [49] и статьях[9, 52, 53, 126].

Если проводить наиболее общую классификацию потоков с кусочно-постоянной интенсивностью, можно выделить следующие три основных типа потоков: 1) потоки с интенсивностью, изменение значения которой происходит в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий (синхронные дважды стохастические потоки событий); 2) потоки с интенсивностью, изменение значения которой происходит в случайные моменты времени независимо от моментов наступления событий (асинхронные потоки событий); 3) потоки, у которых для одних значений интенсивности изменение значения этой интенсивности происходит одновременно с наступлением события, а для других значений интенсивности — независимо от моментов наступления событий (полусинхронные потоки событий). Выделяют три основные задачи, возникающие при исследовании такого типа потоков: 1) исследование различных характеристик; системы массового обслуживания с дважды стохастическим входящим потоком событий (средние длины очередей, среднее время ожидания обслуживания и т.д.) [3, б, 7,8,25,30,31,32,33,34,42,43,44,50,51,64,66,71,80,81,82,83,97,98, 100, 105,110,112, 113,114,116,119,120,121,122,142, 143]; 2) оценка состояния потока — при известном множестве значений интенсивности потока, необходимо в некоторый момент времени, учитывая информацию о наблюденных событиях, принять решение о том, какое значение из этого множества имеет место для интенсивности потока [40, 65, 67, 78, 85, 86, 109, 123, 139]; 3) оценка параметров потока — в этом случае известно только, что имеет место дважды стохастический поток, вполне возможно, что даже число состояний неизвестно, требуется построить оценки значений интенсивностей и других характеристик [4, 36, 37, 38, 39, 41, 58, 79].

В настоящее время проведено множество исследований дважды стохастических потоков событий с точки зрения всех трех выше названных выше задач. В большинстве указанных работ, задача оценки параметров решается методом моментов. Получаемая асимптотическая эффективность в этом методе часто значительно меньше единицы, так что эффективность такой оценки не является "наилучшей"из возможных, то есть при больших выборках наблюдений оценка имеет не наименьшую возможную дисперсию [69]. Но так как метод моментов на практике часто приводит к сравнительно простым вычислениям, используют именно его. Если использовать метод максимального правдоподобия или метод наименьших квадратов, то часто не удается получить явные формулы для оценок или они имеют очень сложный вид. Иногда эти формулы являются просто системами дифференциальных уравнений и получить аналитическое выражение для искомых распределений вероятностей практически не удается. Этот факт можно объяснить тем, что условные распределения вероятностей строятся по наблюдениям за моментами наступления событий, так как интенсивность потока является ненаблюдаемым случайным процессом. Также в большинстве случаев в литературе решается задача оптимального оценивания состояний или параметров дважды стохастического потока только с двумя состояниями, случай же с произвольным(конечным) числом состояний не рассматривается. Очевидно, что реальные системы не ограничиваются только двумя значениями интенсивности. С другой стороны, функционирование таких систем непосредственно зависит от значения интенсивности в каждый момент времени. Еще более усложняется задача, когда число значений интенсивности (то есть число состояний) является неизвестным. Также в зависимости от типа потока (асинхронный, синхронный или полусинхронный) требуется получить оценки некоторых дополнительных параметров потока, характеризующих законы распределения вероятностей перехода из одного состояния в другое.

Часто в литературе встречаются работы по исследованию подобного рода задач при условии неполного наблюдения за системой или при условии наличия ошибок в измерении моментов наступления событий. Например, в [40] решается задача оптимальной оценки состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с двумя состояниями при наличии ошибок в измерениях моментов времени. Такая постановка задачи значительно усложняет модель и не позволяет получить аналитические результаты для случая произвольного числа состояний потока. Одновременно значительно усложняется анализ и сравнение полученных результатов для различных видов(синхронный, асинхронный, полусинхрониый) дважды стохастических потоков событий.

Другой, не менее важной задачей, является создание имитационной модели дважды стохастических потоков событий для проверки полученных алгоритмов оценивания: получение доверительных интервалов для характеристик на основе многократного моделирования работы системы массового обслуживания. Например, в работе [95] сделан специальный пакет программ, позволяющий моделировать реализации точечных процессов, интенсивность которых является случайным процессом.

Таким образом, развитие информационных технологий в последние два десятилетия породило много новых задач. В частности, потоки событий, циркулирующие в телекоммуникационных сетях, достаточно адекватно описываются моделями дважды стохастических потоков событий. Анализ литературных источников, приведенный выше, показывает, что имеется большое количество работ, посвященных исследованию этих моделей. Основная часть работ относится к изучению частных случаев, когда интенсивность потока, являющаяся случайным процессом, принимает только два значения. В силу этого, актуальной задачей является аналитическое и численное исследование моделей дважды стохастических потоков событий с произвольным (конечным) числом состояний.

В настоящей диссертационной работе решается задача оценки состояний и параметров синхронного дважды стохастического потока событий (далее синхронного потока) с произвольным (конечным) числом состояний, являющегося математической моделью информационных потоков заявок, циркулирующих в системах и сетях массового обслуживания.

Цель работы. Цель данной работы заключается в следующем:

1) аналитическое исследование синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний с точки зрения задач оптимального оценивания состояний и параметров, а также формулировка алгоритмов оценивания на основе полученных результатов;

2) разработка программной реализации алгоритмов оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний;

3) проведение статистических экспериментов на основе имитационной модели синхронного потока с целью установления качества получаемых оценок состояний и параметров.

Методы исследований. Для решения поставленных задач применялись методы теории вероятностей, теории марковских процессов, теории массового обслуживания, математической статистики и численные методы. Проведение статистических экспериментов выполнено на основе имитационной модели синхронного потока.

Научная новизна работы. Результаты выносимые на защиту. Научная новизна работы состоит в рассмотрении задачи оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний по наблюдениям за этим потоком. Результаты выносимые на защиту:

1) аналитическое решение задач оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний;

2) алгоритмы оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний;

3) результаты статистического исследования разработанных алгоритмов на основе имитационной модели синхронного потока событий.

Теоретическая ценность работы состоит в аналитическом решении задач оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным (конечным) числом состояний на основе выборки наблюдений за моментами наступления событий этого потока.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные алгоритмы оптимального оценивания состояний и параметров синхронного потока можно использовать в задачах проектирования систем массового обслуживания таких, как информационно-вычислительные сети, сети связи, спутниковые системы передачи данных, дисциплины обслуживания которых зависят от параметров и интенсивностей входящих потоков событий.

Работа выполнялась в рамках научно-исследовательской работы Томского государственного университета "Исследование и разработка моделей высокопроизводительных многопроцессорных систем и методов обеспечения компьютерной безопасности "(номер государственной регистрации НИР 01200114364) в период с 2002 по 2006 г.г.

Публикации. Все результаты настоящей работы опубликованы в центральной и местной печати. Всего опубликовано 7 работ:

1. Бушланов И. В., Горцев А. М. Оптимальная оценка состояний синхроного двалсды стохастического потока событий //Автоматика и телемеханика. -2004.- № 9. -С. 40-52.

2. Бушланов И. В., Горцев А. М. Алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного дважды стохастического потока событий //Вестник Томского гос. ун-та. —2003.—№ 6. Приложение. -С. 220-224.

3. Бушланов И. В. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий с конечным числом состояний //Вестник Томского гос. ун-та. —2005—№ 14. Приложение. —С. 253257.

4. Бушланов И. В. Алгоритм оценки параметров синхронного дважды стохастического потока событий //Материалы международной конференции "Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей". 22-24 февраля 2005. Минск. - Минск:БГУ. - 2005. - С. 26-31.

5. Бушланов И. В. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий //Известия вузов. Физика. — 2006. — № 3. Приложение. - С. 294-295.

6. Бушланов И. В. Алгоритм оптимальной оценки параметров синхронного дважды стохастического потока событий с двумя состояниями ]/Материалы V Международной научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". 10— И ноября 2006. - Анжеро-Судженск. - Томск: ТГУ. - 2006. - 4.1. - С. 8992.

7. Бушланов И. В. Оптимальная оценка параметров синхронного потока событий //Материалы международной научной конференции "Математические методы повышения эффективности информационно-телекоммуникациониых сетей". 29 января-1 февраля 2007. Гродно. — Минск:РИВШ. - 2007. - Вып. 19. - С. 29-34.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались:

- на Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" в г. Томске, ТГУ, сентябрь 2003г.;

- на Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" в г. Иркутске, сентябрь 2004г.;

- на Международной научной конференции "Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей" в г. Минске, февраль 2005г.;

- на Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" в г. Томске, ТГУ, сентябрь 2005г.;

- на VII Международной школе-семинар молодых ученых "Актуальные проблемы физики, технологий и инновационного развития" в г. Томске, декабрь 2005г.; на V Международной научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" в г. Анжеро-Судженске, ноябрь 2006г.;

- на Международной конференции "Математические методы повышения эффективности информационно-телекоммуникацилииых сетей" (19-я белорусская школа-семинар по теории массвоого обслуживания) в г. Гродно, январь - февраль 2007г.

Результаты работы отражены в 7 публикациях, одна из которых опубликована в журнале Российской Академии Наук "Автоматика и телемеханика".

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены вопросы, связанные с оценкой состояний и параметров синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным (конечным) числом состояний.

Основные теоретические и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Получены явные аналитические формулы для апостериорных вероятностей состояний синхронного потока в любой момент времени наблюдения за потоком, содержащие наиболее полную информацию о потоке в теоретико-вероятностном смысле. На основе критерия максимума апостериорной вероятности вычисляются оценки состояний синхронного потока событий с произвольным числом состояний. Данный критерий обеспечивает минимум вероятности ошибочного решения.

2. На основе полученных аналитических результатов для оценки состояний разработан и реализован на ЭВМ алгоритм оптимального оценивания состояний синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний.

3. Получены явные аналитические формулы, выражающие значения плотности вероятностей вектора параметров в любой момент времени наблюдения за потоком, содержащей наиболее полную информацию в теоретико-вероятностном смысле о параметрах синхронного потока. В качестве оценок параметров используются апостериорные средние, обеспечивающие минимум среднеквадратического отклонения оценок от истинных значений параметров.

4. На основе полученных аналитических результатов для оценок параметров разработан и реализован на ЭВМ алгоритм оценивания параметров синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний.

5. Разработана и реализована имитационная модель синхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний, которая используется для получения численных результатов при конкретных реализациях синхронного потока.

6. Для конкретных значений параметров синхронного потока проведены численные расчеты оценок состояний, параметров, а также величин, характеризующих качество оценивания для каждого из алгоритмов: полной вероятности ошибочного решения о состоянии потока и общего показателя качества оценивания параметров.

7. Полученные в третьей главе численные результаты позволяют сделать вывод о том, что алгоритм расчета оценок состояний и алгоритм расчета оценок параметров являются практически применимыми инструментами для реального использования при проектировании систем массового обслуживания.

Таким образом, результатом диссертационной работы являются новые теоретические и практические результаты для решения задач оценки состояний и параметров синхронного потока событий с произвольным числом состояний. В совокупности с программной реализацией алгоритмов на ЭВМ (см. приложения к диссертации) полученные результаты обеспечивает возможность их использования при решении важных прикладных задач, таких как выбор дисциплины обслуживания в цифровых сетях интегрального обслуживания, телекоммуникационных сетях, бортовых системах спутниковой связи и т.п.

1. Афанасьева J1. Г. Система с включением резервного прибора //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1971. - № 6. - С. 93-100.

2. Башарин Г. П., Кокотушкин В. А., Наумов В. А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи //Известия АН СССР. Техническая кибернетика. -4.1 1979. - № 6. - С. 92-99. - 4.2 -1980. - № 1. - С. 55-61.

3. Баштова Е. Е. Виртуальное время ожидания в одной системе с марковски модулированным входным потоком //Мат. заметки. —2004. — Т. 76. 6. -С. 945-948.

4. Беккерман Е. Н., Катаев С. Г., Катаева С. С., Кузнецов Д. Ю.

5. Апроксимация МС-потоком реального потока событий //Вестник Томского гос. ун-та. —2005 — № 14. Приложение. —С. 248-253.

6. Бочаров П. П., Печинкин А. В., Салерно С., D'Anure Ч.

7. Стационарные характеристики системы массового обслуживания G/M-SP/1/r //Автоматика и телемеханика. 2003. - № 2. - С. 127-142.

8. Бочаров П. П., Вискова Е. В. Однолинейная система массового обслуживания конечной емкости с марковским потоком и обслуживанием в дискретном времени //Автоматика и телемеханика. — 2005. № 2. -С. 73 - 91.

9. Бочаров П. П. Система МАР/Г/1/r в условиях большого коэффициента вариации времени обслуживания //Автоматика и телемеханика. — 2005. — № И. С. 89 - 98.

10. Бройер JL, Дудин А. Н., Клименок В. И., Царенков Г. В.

11. Двухфазная система ВМАР \G\1\N-^PH\1\M—1 с блокировкой //Автоматика и телемеханика.—2004,—№ 1.—С. 117-130.

12. Бронштейн О. И., Духовный И. М. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах. — М.: Наука. 1976. 220 с.

13. И. Бронштейн О. И., Рыков В. В. Об оптимальных дисциплинах обслуживания в управляющих системах //Управление производством: Тр. III Всесоюзного совещания по автоматическому управлению (техническая кибернетика). — М. 1967. — С. 215-224.

14. Бронштейн О. И., Рыков В. В. Об оптимальных приоритетах в системах массового обслуживания //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1965. - № 6. - С. 28-37.

15. Бушланов И. В., Горцев А. М. Оптимальная оценка состояний синхроного дважды стохастического потока событий //Автоматика и телемеханика. -2004 № 9. -С. 40-52.

16. Бушланов И. В., Горцев А. М. Алгоритм оптимальной оценки состояний синхронного дважды стохастического потока событий //Вестник Томского гос. ун-та. —2003.—№ 6. Приложение. —С. 220-224.

17. Бушланов И. В. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий с конечным числом состояний //Вестник Томского гос. ун-та. —2005.—№ 14. Приложение. —С. 253— 257.

18. Бушланов И. В. Оценка параметров синхронного дважды стохастического потока событий //Известия вузов. Физика. — 2006. № 3. Приложение. - С. 294-295.

19. Веклеров Е. Б. Об оптимальных абсолютных динамических приоритетах в системах массового обслуживания //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — № 2. — С. 87-90.

20. Вентцель Е. С., Овчаров JI. А. Теория случайных процессов и ее инженерные прилоэюения. — М.: Высшая школа. 2000. — 383 с.

21. Волковинский М. И., Кабалевский А. Н. Анализ приоритетных очередей с учетом времени переключения. — М.: Энергоиздат. 1981. — 167 с.

22. Воробьев Н. М. Об управлении системой массового обслуживания одного вида //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — № 3. С. 86-93.

23. Глухова Е. В. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуассоновского потока событий при наличии мертвого времени //Известия вузов. Физика. 1993. - Т.36. - № 12. - С. 54-60.

24. Глухова Е. В., Орлов А. Б. Нахождение характеристик дважды стохастического потока событий с независимыми значениями интенсивности //Статист, обраб. данных и упр. в слож. системах. Томск: Изд-во Томского ун-та. —2002.—№ 4 С. 21-24.

25. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961. — 406 с.

26. Гнеденко Б. В., Даниэлян Э. А., Дмитров В. Н., Климов Г. П., Матвеев В. Ф. Приоритетные системы массового обслуживания. — М.: Изд-во МГУ. 1973. 447 с.

27. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука. 1966. — 431 с.

28. Головко Н. И. Расчет стационарных характеристик числа заявок в СМО с бесконечным наполнителем при диффузионной интенсивности входного потока //Дальневосточный математический сборник. Владивосток: Дальнаука. 1999—К2 6.— С. 21.

29. Головко Н. И., Катрахов В. В. Моделирование СМО с переменными параметрами //Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках: тезисы докладов Воронежского зимнего симпозиума—2000 — С. 64.

30. Головко Н. И., Филинова Н. А. Матричгшй анализ систем массового обслуживания с конечным накопителем при скачкообразной интенсивности входного потока //Автоматика и телемеханика.—2000.— № 9—С. 73-83.

31. Головко Н. И., Катрахов В. В., Писаренко Т. А. Краевые задачи в стационарных системах массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока //Дифференц. уравнения. —2002,— № 38.—Т. 3 С. 305-312.

32. Головко Н. И., Катрахов В. В. Краевые задачи в некоторых СМО //Современные методы в теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIII". Воронеж 3-9 мая 2002.-2002.-С. 38.

33. Горцев А. М., Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. — Томск: Изд-во ТГУ. 1978. 208 с.

34. Горцев А. М., Паршина М. Е. Оценивание параметров альтернирующего потока событий в условиях "мертвого "времени //Известия вузов. Физика. 1999. - Т.42. - № 4. - С. 8-13.

35. Горцев А. М., Васильева JI. А. Оценивание длительности мертвого времени асинхронного дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости //Автоматика и телемеханика. — 2003. № 12. - С. 69-79.

36. Горцев А. М., Нежельская JI. А. Оценивание периода мертвого времени и параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий //Измерительная техника. — 2003. — № 6. — С. 7-13.

37. Горцев А. М., Нежельская JI. А. Оценивание длительности мёртвого времени и параметров синхронного альтернирующего потока событий //Вестник Томского гос. ун-та. 2003. - № 6. - С. 232-239.

38. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени //Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 1. — С. 5266.

39. Горцев А. М., Нежельская JL А. Оценивание длительности мертвого времени и интенсивностей синхронного дважды стохастического потока событий //Радиотехника. 2004. - № 10. - С. 8-16.

40. Д'Апиче Ч., Манзо Р., Печинкин А. В. Система обслуживания МАР\ К /G\ К /1 конечной емкости с обобщенной дисциплиной преимущественного разделения прибора //Автоматика и телемеханика. — 2004. — № И. — С. 114 -121.

41. Д'Апиче Ч., Манзо Р. Система обслуживания ВМАР\К /С\К /1 конечной емкости с обобщенной дисциплиной преимущественного разделения прибора //Автоматика и телемеханика. — 2006. — № 3. — С. 94 -102.

42. Д'Апиче Ч., Кристофано М. Д., Печинкин А. В. Система обслуживания МАР\к /С\к /1/ "бесконечность" с обобщенной дисциплиной преимущественного разделения прибора //Автоматика и телемеханика. 2004. - № 12. - С. 110 - 118.

43. Даниэлян Э. А. Время ожидания в модели с категорийными во времени приоритетами //Кибернетика. — 1980. — № 6. — С. 103-109.

44. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики //М: Государственное издательство физико-математической литературы. 1963. — 660 с.

45. Джейсуол Н. Очереди с приоритетами. /Пер. с англ. под ред. В. В. Калашникова. — М.: Мир. 1973. — 279 с.

46. Дудин А. Н. О задаче оптимального управления многоскоростной системой массового обслуживания //Автоматика и телемеханика. — 1980. № 9. - С. 43-51.

47. Дудин А. Н., Клименок В. И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. — Минск.: БГУ. 2000. — 175 с.

48. Дудин А. Н., Клименок В. И. О системе обслуживания BMAP/G/1 с альтернирующим режимом функционирования //Автоматика и телемеханика. 1999. - № 10. - С. 97-107.

49. Дудин А. Н., Клименок В. И. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания, функционирующей в марковской синхронной случайной среде //Автоматика и телемеханика. — 1997. — № 1. — С. 7484.

50. Дудин А. Н., Клименок В. И., Царенков Г. В. Расчет характеристик од?юлинейной системы обслуживания с групповым марковским потоком, полумарковским обслуживанием и конечным буфером //Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 8. — С. 87-101.

51. Дудин А. Н. Оптимальное гистерезисное управление ненадежной системой BMAP/SM/1 с двумя режимами работы //Автоматика и телемеханика. 2002. - № 10. - С. 58-72.

52. Зиновьева JT. И. Система массового обслуживания с гистерезисом и резервным прибором, управляемым временем ожидания

53. Математическая статистика и ее приложения. — Томск: Изд-во Томского университета. 1980. № 6. - С. 152-146.

54. Зорин А. В., Федоткин М. А. Оптимизация управления дважды стохастическими неординарными потоками в системах с разделением времени //Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 7. — С. 102 111.

55. Ивницкий В. А. Однолинейная система со случайной интенсивностью потока и скоростью обслуживания //Литовский математический сборник.- 1996. — Т. 6. — № 1. — С. 41-50.

56. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания. — М.: Высшая школа. 1982. — 256 с.

57. Катаева С. С. Об одном подходе к распознаванию МС-потока событий //Материалы международной конференции "Математические методы исследования телекоммуникационных сетей". — Минск. — 1998. — С. 5-9.

58. Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания. /Пер. с англ. под ред. Г. П. Климова. — М.: Радио и связь. 1981. — 127 с.

59. Клейнрок JI. Теория массового обслуживания. /Пер. с англ. под ред. д-ра техн. наук В. И. Неймана — М.: Машиностроение. 1979. — 432 с.

60. Климов Г. П. Стохастические системы обслуэ/сивания. — М.: Наука. 1966. 243 с.

61. Климов Г. П., Мишкой Г. К. Приоритетные системы обслуживания с ориентацией. — М.: Изд-во МГУ. 1979. — 222 с.

62. Коваленко И. Н., Юркевич О. М. О некоторых вопросах оптимального обслуживания требований в системах с ограниченным временем ожидания //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1971.- № 1. С. 26-35.

63. Коротаев И. А. Адаптивная оценка интенсивности дважды стохастического потока событий //Управляемые системы массового обслуживания — Томск. — 1984. — Вып.З. — С. 50-57.

64. Коротаев И. А. Системы массового обслуживания с переменными параметрами. — Томск: Изд-во Томского госуниверситета. 1991. — 167 с.

65. Коротаев И. А., Коротаева Н. И. Оценивание интенсивности МС-потока событий с двумя состояниями //Труды 8 Белорусской школы-семинара по массовому обслуживанию. — Минск:Изд-во БГУ. — 1992. — С. 78-79.

66. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуэ/сивание. /Пер. с франц. под ред. И. Н. Коваленко. М.: Мир. 1965. - 302 с.

67. Крамер Г. Математические методы статистики. — М.: Изд-во "Мир". 1975. 540 с.

68. Кухта Т. К., Шваб Н. Д. Система с переменным числом каналов //Кибернетика. 1975. - № 2. - С. 146-148.

69. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа. 1967. — 409 с.

70. Мова В. В., Пономаренко JL А., Калиновский А. М. Организация приоритетного обслуживания в АСУ. — Киев: Техника. 1977. — 160 с.

71. Мова В. В., Пономаренко JI. А. Об оптимальном назначении приоритетов, зависящих от состояния блуэюдающей системы с ограниченным числом мест для ожидания //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1974. - № 5. - С. 74-81.

72. Назаров А. А. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. — Томск: Изд-во Томского госуниверситета. 1984. — 234 с.

73. Назаров А. А. Оптимальное формирование очередей в многоканальных системах массового обслуживания //Автоматика и телемеханика. — 1975.- № 8. С. 36-39.

74. Небеев А. В., Ревельс В. П. Исследование многоканальных систем передачи информации методом оптимизации стратегии распределительного устройства //Проблемы передачи информации.- 1970. Т.6. Вып.З. - С. 96-99.

75. Нежельская JI. А. Алгоритм оценивания состояния синхронного МС-потока //Труды 11 Белорусской школы-семинара по массовому обслуживанию. — Минск. 1995. — С. 93-94.

76. Печинкин А. В. Система MAP/G/1/п с дисциплиной LIFO с прерыванием и ограничением на суммарный объем требований //Автоматика и телемеханика. — 1999. — № 12. — С. 114-120.

77. Печинкин А. В., Свищева Т. А. Система MAP/G/1/r с инверсионным порядком обслуживания и вероятностным приоритетом //Вестник Российского университета дружбы народов. Сер.: Прикладная математика и информатика. 2002. - № 1. - С. 119-143.

78. Печинкин А. В., Чаплыгин В. В. Стационарные характеристики системы массового обслуживания SV / MSP / п / г '1 //Автоматика и телемеханика. 2004. 9. - С. 85 - 100.

79. Печинкина О. А. Стационарные вероятности состояний в системе MAP/G/1 с дисциплиной LIFO Р //34-я Науч. конф. фак. физ.-мат. и естеств. наук Рос. ун-та дружбы народов. — Москва, 19-23 мая 1998: Мат. секц.: Тез. докл. — Москва. 1998. — С. 5-6.

80. Поттосина С. А., Терпугов А. Ф. Оптимальная нелинейная фильтрация МС-потоков //Известия вузов. Физика. — 1993. — Т.36. — № 12. С. 54-60.

81. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. /Пер. с англ. под ред. к-та техн. наук А. Д. Харкевича. — М.: Связь. — 1966. — 184 с.

82. Рыков В. В. Об оптимальной дисциплине обслуживания в системе со складом. /В кн.: Прикладные задачи теоретической кибернетики. — М.: Советское радио. 1966. - С. 437-449.

83. Рыков В. В., Лемберг Э. Е. Об оптимальных динамических приоритетах в однолинейных системах массового обслуживания //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1967. - № 1. - С. 25-34.

84. Рыков В. В. Управляемые системы массового обслуживания. /В кн.: Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. М.: ВИНИТИ. 1975. - Т.12. - С. 43-153.

85. Саати Т. JI. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. /Пер. с англ. под ред. И. Н. Коваленко. — М.: Советское радио. 1971.- 520 с.

86. Семенова О. В. Оптимальное пороговое управление системой BMAP/S-М/1 с МАР-потоком сбоев //Автоматика и телемеханика. — 2003. — № 9.- С. 89-102.

87. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука. — 1967. — 323 с.

88. Степанова Н. В., Терпугов А. Ф. Оценка интенсивности нестационарных эрланговых потоков //Труды 1 Белорусской школы-семинара по массовому обслуживанию. — Минск. 1985. — С. 142-143.

89. Соколов С. С., Чернов М. А. Пакет программ моделирования дважды стохастических импульсных потоков //Математика в ВУЗЕ: Труды международной научно-методической конференции, Санкт-Петербург, сентябрь 1999. СПб: Издательство ПГУПС. 1999. - С. 176.

90. Соловьев А. Д. Задача об оптимальном обслуживании //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1970. - № 5. - С. 40-49.

91. Таташев. А. Г. Система MAP/G/1/п с инверсионной дисциплиной и обслуживанием прерванной заявки заново с прежней длительностью //Автоматика и телемеханика. — 2002. — № 11. — С. 103-107.

92. Таташев А. Г. Система обслуживания с инверсионной дисциплиной, двумя типами заявок и марковским входящим потоком //Автоматика и телемеханика. 2003. - № И. - С. 122-127.

93. Тривоженко Б. Е. Выделение трендов интенсивности нестационарного пуассоновского потока событий сплайнами второго порядка //Труды 5 Белорусской школы-семинара по массовому обслуживанию. — Минск. — 1989. С. 121-122.

94. Тришечкин С. И. Система MAP/G\ 2 /1 с двумя типами требований, дисциплиной RANDOM и раздельными очередями //Вестник Российского университета дружбы народов. Сер.: Прикладная математика и информатика. 2002. - № 1. - С. 144-158.

95. Ушаков И. А., Чернышев В. П. Оптимальное управление в многоканальной системе массового обслуживания с несколькими потоками требований //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. —1976. № 5. - С. 95-100.

96. Файнберг М. А., Файнберг Е. А. Управление в системах массового обслуживания //Зарубежная радиоэлектроника. — 1975. — № 3. — С. 3-34.

97. Федосов Е. Н. Фильтрация интенсивности дважды стохастического потока в системах с продлевающимся "мертвым временем" //Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: сборник статей. Томск: Изд-во Томского госуниверситета. — 1999. — С. 157-161.

98. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир. 1967. - 752 с.

99. Хазен Э. М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. — М.: Сов. радио. — 1968. — 256 с.

100. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. — М.: Физматгиз. — 1963. — 235 с.

101. Царенков Г. В. В MAP—поток как модель трафика реальной сети //Материалы международной научной конференции "Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей " , 22-24 февраля 2005. — С. 209-214.

102. Шмырин И. С. Оптимальное оценивание состояний МАР-потока событий //Вестн. Томск, гос. ун-та. 2003. - № 6. - С. 254-258.

103. Artalejo Jesus R., Chakravarthy Srinivas R. Computational analysis of the maximal queue length in the MAP/М/с retrial queue //Applied Mathematics and Computation. V. 183. - Issue 2. -15 December 2006. - P. 1399-1409.

104. Chen Y. Traffic behavior analysis and modeling of sub-networks //International J. of Network Managment. 2002. - V. 12. - № 5. - P. 323-330.

105. Baba Yutaka A unified analysis to the queue length distribution in Mx(k)/G/1/N and GI/MY(k)/G/l/N queues //Sci. Repts Yokohama Nat. Univ. Sec. 1. 1996. - № 43. - P. 43-54.

106. Banik A. D., Gupta U. C., Pathak S. S. BMAP/G/1/N queue with vacations and limited service discipline //Applied Mathematics and Computation. V. 180. - Issue 2. - 15 September 2006. - P. 707-721.

107. Banik A. D., Gupta U. C., Pathak S. S. Finite buffer vacation models under E-limited with limit variation service and Markovian arrival process //Operations Research Letters. — V. 34. — Issue 5. — September 2006. — P. 539547.

108. Bartoszewicz J., Rolski T. Queueing systems with a reserve service channel //Zastosow.mat. 1970. - V.l. - № 4. - P. 439-449.

109. Delia Montoro-Cazorla, Rafael Perez-Ocon. Reliability of a system under two types of failures using a Markovian arrival process //Operations Research Letters. V. 34. - Issue 5. - September 2006. - P. 525-530.

110. Grindlay Andrew A. Tandem queues with dynamic priorities //Operat. Res. Quart. 1965. - V.16. - № 4. - P. 439-451.

111. Gebhard R. F. A queueing process with bilevel hysteretic service-rate control //Naval. Res. Logist. Quart. 1967. - V.14. - № 1. - P. 55-67.

112. Gupta U. C., Samanta S. K., Sharma R. K., Chaudhry M. L.

113. Discrete-time single-server finite-buffer queues under discrete Markovian arrival process with vacations //Performance Evaluation. — V. 64. — Issue 1. — January 2007. P. 1-19.

114. Gupta U. C., Samanta S. K., Sharma R. K. Analyzing discrete-time D-BMAP/G/1/N queue with single and multiple vacations //European Journal of Operational Research, In Press, Corrected Proof, Available online 13 November 2006.

115. Gupta U. С., Sikdar Karabi. Computing queue length distributions in MAP/G/1/N queue under single and multiple vacation //Applied Mathematics and Computation. V. 174. - Issue 2. - 15 March 2006. - P. 1498-1525.

116. Hoorn M. H. van, Seelen L. P. The SPP/G/queue: a single server queue with a switched Poisson process as a input process //0. R. Spectrum. — 1983.- V.5. № 4. - P. 207-218.

117. Huy Dang Phuoc, Thao Tran Jung A note on state estimation from doubly stochastic point process observation //Stud. Univ. Babe§-Bolyai. Math.- 2001. V.46. - № 1. - P. 27-32

118. Ireland R. J., Thomas M. E. Optimal control of customer-flow trough a system of parallel queues //Int. J. Syst. Sci. 1972. - V.2. - № 4. - P. 401-410.

119. Kingman J. F. C. On doubly stochastic Poisson process //Proceedings of Cambridge Phylosophical Society. 1964. - V.60. - № 4. - P. 923-930.

120. Lucantoti D. M. New results on the single server queue with a batch marko-vian arrival process // Communications in Statistics Stochastic Models. — 1991.- V. 7 P. 1-46.

121. Madhi J. Waiting time distribution in a Poisson queue with a general bulk service rule //Manag. Sci. 1975. - V.21. - № 7. - P. 777-782.

122. Meyer К. H. P. Ein Wartesystem mit heterogenen Kanaelen unter (s,S)-Regel //Proc. Operat. Res.2, Wuerzburg Wien. - 1973. - P. 295-317.

123. Moder J., Phillips C. Queueing with fixed and variable channels //Operation Research. 1962. - V.10. - № 2. - P. 218-231.

124. Murari K. An additional special channel limited space queueing problem with service in batches of variable size //Operation Research. — 1968. — V.16. — № 1.- P. 83-90.

125. Nents Marcel F. Aqueue subject to extraneous phase changes //Adv. Appl. Probab. 1971. - V.3. - № I. - P. 78-119.

126. Neuts M. F. A versalite Markov point process //Journal of Applied Probability. 1979. - P. 764 - 779.

127. Oliver Robert M., Pestalozzi Gerold. On a problem of optimum priority classification //J. Soc. Industr. and Appl. Math. — 1965. — V.13. № 3. -P. 890-901.

128. Pattipati Khrishna R., Kleinman David L. Priority assignment using dynamic programming for a class of queueing systems //IEEE Trans. Automat. Contr. 1981. - V.26. - № 5. - P. 1095-1106.

129. Posner M. Single-server queues with service time depent on wating time //Operation Research. 1973. - V.21. - № 2. - P. 610-616.

130. Romani J. A queueing model with a variable number of channels //Trabajos de estadistica. 1957. - V.8. - № 3. - P. 175-189.

131. Singh V. F. Queue-dependent servers //J. Eng. Math. 1973. - V.7. -№ 2. - P. 123-126.

132. Teghem J. On uniform hysteretic policies in a queueing system with variable service rates //Cah. Cent. etud. rech. oper. 1979. - V.21. - № 2. - P. 121125.

133. Teugels Josef L., Vynckier Petra. The structure distribution in a mixed Poisson process //J. Appl. and Stochast. Anal. 1996. - V.9. - № 4. - P. 489496.

134. Yandin M., Naor P. Queueing systems with a removable service station //Operation Research Quart. 1963. - V.14. - № 4. - P. 393-405.

135. Yandin M., Naor P. On queueing systems with variable service capacities //Naval. Res. Logist. Quart. 1967. - V.14. - № 1. - P. 43-53.

136. Yung-Chung Wang, Chung-Chin Lu. Loss behavior in space priority queue with batch Markovian arrival process continuous-time case //Performance Evaluation. — V. 64. — Issue 1. — January 2007. — P. 93-101.

137. Yang Y. W., Woo Shin. BMAP/G/1 queue with correlated arrivals of customers and disasters //Operations Research Letters. — V. 32. — Issue 4. — July 2004. P. 364-373.