автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальные оценки состояний и параметров дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий

Введение

1 Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени

1.1. Постановка задачи . . . . \.

1.2. Алгоритм оценивания состояний с дискретизацией по времени.

1.2.1. Вывод переходных вероятностей

1.2.2. Вывод рекуррентного соотношения для апостериорной вероятности

1.2.3. Алгоритм оценивания состояний.

1.3. Алгоритм оценивания состояний с усреднением по всем реализациям ненаблюдаемой интенсивности

1.3.1. Интенсивность наблюдаемого потока событий

1.3.2. Апостериорное распределение вероятностей состояний потока событий

1.3.3. Алгоритм оценки состояний потока событий

1.4. Алгоритм оценивания состояний с усреднением по апостериорным вероятностям

1.4.1. Алгоритм оценивания состояний потока событий.

1.4.2. Алгоритм приближенного расчета вероятностей состояний потока событий.

2 Оптимальная оценка параметров дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в наблюдениях

2.1. Постановка задачи.

2.2. Алгоритмы оценивания параметров потока событий.

2.2.1. Апостериорная плотность распределения вероятностей вектора параметров потока событий.

2.2.2. Оптимальный алгоритм оценивания параметров потока событий

2.2.3. Алгоритм приближенного расчета оценок параметров потока событий

3 Имитационное моделирование дважды стохастического потока событий. Численные результаты

3.1. Имитационная модель потока событий.

3.2. Алгоритм оценивания состояний с дискретизацией по времени. Статистический эксперимент.

3.3. Алгоритмы оценивания состояний с непрерывным временем. Статистические эксперименты.

3.4. Алгоритм оценивания параметров дважды стохастического потока событий. Статистический эксперимент.

Актуальность работы. Развитие теории массового обслуживания определялось (и определяется) исследованием систем связи, транспортных систем, систем управления запасами и других систем. Например, в [9] отмечается, что системы связи как объекты приложений математической теории массового обслуживания и поныне являются доминирующими. В последние два десятилетия появилась еще одна важная сфера приложений теории массового обслуживания — проектирование и создание информационно-вычислительных систем, объединяющих в себе большое количество компьютеров, а также компьютерных сетей связи, спутниковых систем связи и т. п.

В этой связи различным аспектам математической теории массового обслуживания и ее приложениям посвящена обширная литература как отечественных, так и зарубежных авторов. Основы теории заложены в монографиях А. Я. Хинчина [81], Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко [14], Г. П. Климова [42], Т. JL Саати [71], А. Кофмана, Р. Крюона [50], Д. Риордана [66], JL Клейнрока [41]. Дальнейшее развитие теории массового обслуживания связано с изучением различного рода приоритетных систем, которым посвящены монографии Б. В. Гнеденко, Э. А. Даниэляна, Б. Н. Димитрова, Г. П. Климова, В. Ф. Матвеева [16], О. И. Бронштейна, И. М. Духовного [6], В. В. Мовы, JT. А. Пономаренко, А. М. Ка-линовского [54], Г. П. Климова, Г. К. Мишкоя [43], М. И. Волковинского, А. Н. Кабалевского [11], Н. Джейсуола [28]. Методы теории массового обслуживания в достаточно сжатой форме изложены в монографии Д. Ке-нига, Д. Штояна [40]. Основные элементы тенденций развития теории массового обслуживания даны в работе Г. И. Ивченко, В. А. Каштанова, И. Н. Коваленко [36]. Обширная библиография по различным аспектам теории массового обслуживания и ее приложениям, а также направлениям исследований приведены в целом ряде обзорных статей (И. Н. Коваленко [44, 45], Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко [15], В. В. Рыков [69], М. А. Файнберг, Е. А. Файнберг [78], Ю. К. Беляев, Б. В. Гнеденко, И. А. Ушаков [4], Ю. Бхат [9], Д. Кениг, В. В. Рыков, Ф. Шмидт [39]).

Одним из перспективных и актуальных направлений в теории массового обслуживания и ее приложениях, как отмечалось, по-видимому, впервые в [15, 44], является направление, связанное с управляемыми системами массового обслуживания (СМО). Одними из первых работ, в которых ставятся и решаются задачи оптимизации управлений в СМО, являются работы [7, 8, 10, 12, 68, 70, 88, 102, 112, 113], появившиеся в середине шестидесятых годов. Последовавшие за первыми статьями в этой области многочисленные публикации связаны с различными оптимизационными постановками задач и их решением. Достаточно полные обзоры работ по управляемым СМО, появившиеся до середины 70-х годов, даны в [69, 78, 17, 57]. Анализ этих и последующих работ позволяет заключить, что исследования, проводимые в области управляемых СМО, наиболее интенсивно ведутся по изучению а) приоритетных систем (например, систем с динамическими (ситуационными, ка-тегорийными во времени) приоритетами (характерные публикации — [27, 55, 70, 88, ЮЗ])), б) систем с управляемыми длительностями обслуживания (например, систем с изменяющейся интенсивностью обслуживания (публикации [29, 72, 87, 104, 109, 113]), систем с изменяющейся функцией распределения длительности обслуживания (характерные работы ■— [33, 38, 67, 108, 111])), в) систем с управляемым входящим потоком заявок (например, систем с изменяющейся интенсивностью входящего потока заявок (работы [35, 46, 99]), систем с формированием очередей (работы [56, 59, 77, 90])), г) систем с управляемой (переменной) структурой (например, систем с резервными обслуживающими каналами (публикации [1, 34, 51, 85, 95, 96, 97, 98, 106, 107])).

Однако, несмотря на большое количество работ по вопросам оптимизации управлений в СМО, остается еще много проблем, требующих дополнительного исследования. В частности, анализ литературных источников приводит к выводу, что в литературе по теории массового обслуживания и ее приложениям совсем незначительное количество работ посвящено адаптивным системам, т. е. системам, функционирующим в условиях полной или частичной неопределенности.

Подавляющее число авторов рассматривает ситуации, когда все параметры, характеризующие СМО, точно известны. Однако в реальности дело обстоит, как правило, иначе. Если в отношении параметров, характеризующих обслуживающие устройства, можно сказать, что они известны и с течением времени не меняются, то в отношении интенсивностей входящих потоков или других их параметров этого сказать в многих случаях нельзя. Интенсивность входящих потоков обычно меняется со временем, часто эти изменения носят случайный характер; последнее приводит к рассмотрению дважды стохастических потоков событий (понятие впервые введено Кингмэном [91] в 1964 году). С другой стороны, очевидно, что функционирование СМО непосредственно зависит от интенсивностей входящих потоков заявок: чем больше интенсивности входящих потоков, тем напряженнее режим обслуживания, требующий, например, подключения дополнительных обслуживающих приборов.

Таким образом, для СМО, функционирующей в условиях полной или частичной априорной неопределенности, важной задачей является задача оценки тех или иных параметров входящих потоков заявок (событий).

На сегодняшний день в научной и технической литературе многие классы потоков событий достаточно хорошо изучены. Так, большинство работ по исследованию СМО в качестве случайных потоков событий рассматривают простейшие стационарные (пуассоновские) потоки и их модификации. Большой интерес представляют исследования дважды стохастических потоков, или случайных потоков, интенсивность которых также является случайным процессом, так как в реальных условиях, как отмечалось выше, интенсивность, как правило, меняется со временем, причем случайным образом. Первые работы, посвященные исследованию СМО с подобными потоками, появились около 20 лет назад, однако до сих пор относительное число работ, посвященных вопросам оценивания параметров дважды стохастических потоков событий в различных условиях наблюдаемости достаточно мало, и исследования в этой области по-прежнему являются актуальными.

Рассматривая потоки событий с интенсивностью, зависящей от времени и являющейся случайным процессом, можно выделить два различных типа потоков. К первому типу относятся потоки с интенсивностью Л(£), являющейся непрерывным случайным процессом. Примером исследований задач, связанных с оценкой интенсивности такого рода потоков, являются работы А. Ф. Терпугова и С. А. Поттосиной [65], Е. В. Глуховой [13]. Ко второму типу можно отнести потоки, для которых интенсивность А(£) есть дискретный (кусочно-постоянный) процесс с конечным числом состояний (Ai, Л2, - • • , Ап). Переход процесса A(t) из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, при этом на интервалах времени, когда процесс Л(£) находится в состоянии Лг-, поток событий ведет себя как стационарный пуассоновский поток с интенсивностью Аг-. Такие потоки событий могут быть названы кусочно-стационарными и являются наиболее характерными для реальных вычислительных сетей и систем. По-видимому, впервые потоки второго типа применительно к системам массового обслуживания были рассмотрены в работах М. Ньютса [100] и Г. П. Башарина [2]. В последней работе был рассмотрен поток событий, для которого переход из состояние в состояние управлялся марковской цепью (отсюда название "МС (Markov сЬат)-потоки событий"). Развитие исследований СМО с кусочно-стационарными марковскими потоками событий (публикации [58, 86, 92, 93, 94, 101, 105]) привели к созданию модели ВМАР (Batch Markovian Arrival Process) -потоков. Одной из последних и наиболее полных работ, посвященных исследованию различных систем массового обслуживания с входящими ВМАР-потоками, является, по мнению автора, монография А. Н. Дудина и В. И. Климе-нок [32]. В целом такого рода кусочно-стационарные потоки событий могут быть разделены на 3 класса: 1) потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит только в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий потока (или синхронные дважды стохастические потоки событий), 2) потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние не зависит от моментов наступления событий на интервале стационарности и их количества (или асинхронные потоки событий), и 3) потоки, в которых для одного подмножества множества состояний справедливо 1, а для остальных состояний справедливо 2 (или полусинхронные потоки событий). В научной литературе описанные потоки исследуются с двух точек зрения: постороения оценок состояний и параметров ненаблюдаемой интенсивности потока (работы [65, 13, 3, 20, 37, 47, 49, 60, 62, 74, 76, 110]) и анализа процессов функционирования СМО с такого рода входящими потоками [30, 31, 48, 53, 63, 64, 84, 89].

Подавляющее число авторов, работы которых посвящены оценке параметров описанных выше потоков, рассматривают поток событий в предположении, что моменты времени наступления событий потока наблюдаются точно. Однако в реальных системах добиться абсолютно точного фиксирования момента наступления события потока, очевидно невозможно. Приборы, фиксирующие моменты поступления заявок в систему, обладают конечной точностью и привносят ошибки в измерения моментов времени наступления событий. При этом ошибки измерений носят, как правило, случайный характер. В силу этого факт наличия ошибок в наблюдениях необходимо учитывать при решении задач оптимального оценивания состояний и параметров потока событий. В настоящее время автору известна лишь одна работа [19], предлагающая эмпирический алгоритм оценивания состояний интенсивности асинхронного потока событий при наличии случайных ошибок в измерениях моментов наступления событий. При этом, очевидно, для решения задач оптимального управления СМО, дисциплины обслуживания которых зависят от интенсивнос-тей и параметров входящих потоков, необходимы алгоритмы оптимального оценивания состояний и параметров входящих потоков событий.

Цель работы. В настоящей работе исследуется асинхронный дважды стохастический поток событий и решаются задачи оптимального оценивания текущего состояния и параметров потока по наблюдениям за потоком в условиях наличия случайных ошибок в измерениях моментов наступления событий потока. Цель работы заключается в следующем:

- разработать и исследовать оптимальные алгоритмы оценивания состояний и параметров потока;

- разработать алгоритмы программной реализации оптимальных алгоритмов оценивания;

- реализовать алгоритмы оценивания на имитационной модели исследуемого потока и провести статистические исследования эффективности разработанных алгоритмов.

Методы исследований. Для решения поставленных задач применяется математический аппарат теории вероятностей, теории марковских процессов, теории массового обслуживания, математической статистики. Для проведения статистических экспериментов используется имитационное моделирование с применением стандартного программного обеспечения.

Научная новизна работы. Результаты, выносимые на защиту. Научная новизна работы состоит в рассмотрении и решении задач оптимального оценивания состояний и параметров асинхронного дважды стохастического потока событий при наличии случайных ошибок в моментах наступления событий по наблюдениям за потоком. Результатами, выносимыми на защиту, являются:

- аналитическое решение задач оптимального оценивания состояний и параметров дважды стохастического потока событий при наличии случайных ошибок в измерениях моментов наступления событий;

- алгоритмы оценивания состояний и параметров дважды стохастического потока событий;

- статистические исследования эффективности разработанных алгоритмов, проведенные на имитационной модели дважды стохастического потока событий.

Теоретическая ценность работы заключается в разработке оптимальных алгоритмов оценивания состояний и параметров дважды стохастических потоков событий в условиях наличия случайных ошибок в измерениях моментов времени наступления событий.

Практическая ценность работы заключается в возможности применения полученных результатов в задачах разработки и исследования (на этапе проектирования) систем массового обслуживания, таких, как информационно-вычислительные сети, сети связи, спутниковые системы передачи данных, дисциплины обслуживания которых зависят от параметров и интенсивностей входящих потоков событий.

Работа выполнялась в рамках научно-исследовательской работы Томского государственного университета "Разработка алгоритмов оценки параметров и состояний дважды стохастических потоков заявок, циркулирующих в информационно-вычислительных, локально-вычислительных сетях и коммутационных системах" (код темы по Г'РН'ТИ: 28.17.19.29.19.15) в период с 1996 по 2000 г.г.

Публикации. По материалам данных исследований опубликовано 8 работ:

1. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальные оценки состояния марковского потока с переключениями при наличии ошибок в измерении и моментов времени //IV симпозиум "Оптика атмосферы и океана". Тезисы докладов. — Томск, 1997. — С. 168-169.

2. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальные оценки состояний МС-потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени //Международная конференция "Всесибирские чтения по математике и механике: 17-20 июня 1997 г. Тезисы докладов. Т.1. Математика — Томск: Изд-во ТГУ, 1997. — С. 168-169.

3. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальный алгоритм оценки состояний МС-потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени //Оптика атмосферы и океана. — 1998. — N4. — С. 419-429.

4. Горцев A.M., Шмырин И. С. Оптимальная оценка параметров МС-потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий //Массовое обслуживание: потоки, системы, сети. Сборник материалов 14 Белорусской школы-семинара по теории массового обслуживания. — Минск: Изд-во БГУ, 1998. — С. 17.

5. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени //Автоматика и телемеханика. — 1999. — N1. — С. 52-66.

6. Горцев А. М.} Шмырин И. С. Оптимальная оценка параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий //Известия вузов. Физика. — 1999. — N4. — С. 19-27.

7. Шмырин И. С. Оптимальная оценка параметров потока событий с переключениями //Вестник ТГУ. — 2000.— N271. — С.63-66.

8. Шмырин И. С. Оптимальная оценка параметров потока событий с переключениями //Массовое обслуживание. Потоки системы, се

12 ти: Материалы международной конференции "Современные математические методы исследования информационно-вычислительных сетей", 23-25 января 2001 г., Минск. Выпуск 16. — Минск: Изд-во Б ГУ, 2001. — С. 194 — 199.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались:

- на IV симпозиуме "Оптика атмосферы и океана" Института оптики атмосферы и океана Российской Академии Наук (Томск, 1997);

- на международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике при Томском государственном университете (Томск, 1720 июня 1997 г.);

- на 14-ой Белорусской школе-семинаре по теории массового обслуживания (Минск, 1998 г.);

- на Международной конференции "Современные математические методы исследования информационно-вычислительных сетей" (Минск, 2325 января 2001 г.).

Результаты работы отражены в 8 публикациях, одна из которых опубликована в журнале Российской Академии Наук "Автоматика и телемеханика" .

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены вопросы, связанные с оценкой состояний и оценкой параметров дважды стохастического потока событий при наличии случайных ошибок в измерениях моментов времени наступления событий потока. Предложены оптимальные алгоритмы оценки состояний и параметров дважды стохастического потока событий, доведенные до программной реализации.

Совокупность теоретических результатов, практических рекомендаций и программных средств позволяет заключить о новом решении задачи оценивания состояний и параметров дважды стохастического потока событий в условиях присутствия ошибок измерений моментов наступления событий, а также обеспечивает возможность использования данных результатов при решении важных прикладных задач, таких, как выбор дисциплины обслуживания в информационно-вычислительных сетях и системах, сетях связи, оценка состояния бортовых систем спутниковой связи.

Основные научные и практические результаты состоят в следующем:

1) Разработан алгоритм оптимального оценивания состояний дважды стохастического потока событий с вынесением решения в дискретные моменты времени по наблюдениям за числом событий на интервалах дискретизации, получено ограничение на величину шага дискретизации.

2) Решена задача оптимальной нелинейной фильтрации дважды стохастического потока событий по наблюдениям за потоком в условиях наличия ошибок в измерениях моментов наступления событий. Разработаны алгоритмы оптимального оценивания состояний потока, обеспечивающие вынесение решения о состоянии в произвольный момент времени наблюдения. Для алгоритмов показана связь с аналогичными исследованиями для дважды стохастического потока событий без ошибок измерений [18].

3) Разработан алгоритм оценивания состояний с приближенным расчетом апостериорных вероятностей состояний потока, получены и обоснованы ограничения на область применимости алгоритма.

4) Решена задача оптимального оценивания параметров потока при наличии ошибок измерений моментов наступления событий. Сформулирован алгоритм оценивания параметров, оптимальный в смысле минимума среднеквадратичного отклонения ошибки оценивания.

5) Разработан алгоритм приближенного расчета оценок параметров потока событий, основанный на оптимальном алгоритме оценивания параметров.

6) Проведено имитационное моделирование дважды стохастического потока событий. Программно реализован расчет оценок состояний для трех алгоритмов оценивания состояний потока (алгоритма с дискретизацией по времени, алгоритма с непрерывным временем и алгоритма с приближенным расчетом апостериорных вероятностей). Получены и интерпретированы численные результаты.

7) Для алгоритма приближенного расчета оценок параметров программно реализован расчет оценок, получены численные результаты, обсуждена связь оценивания с расчетными формулами алгоритма.

1. Афанасьева J1. Г. Система с включением резервного прибора. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1971. — N6. — С. 93100.

2. Башарин Г. П., Кокотушкин В. А., Наумов В. А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи //Известия АН СССР. Техническая кибернетика. Ч.1.— 1979. — N6. — С. 92-99. — 4.2 — 1980. — N 1. — С. 55-61.

3. Беляев Ю. К., Гнеденко Ю. В., Ушаков И. А. О развитии теории массового обслуживания и теории надежности в СССР. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1977. — N5. — С. 69-87.

4. Боровков А. А. Теория вероятностей. —М.: Наука, 1986. —431 с.

5. Бронштейн О. И., Духовный И. М. Модели приоритетного обслуживания в информационно-вычислительных системах. — М.: Наука, 1976. — 220 с.

6. Бронштейн О. И., Рыков В. В. Об оптимальных дисциплинах обслуживания в управляющих системах. //Управление производством: Тр. Ill Всесоюзного совещания по автоматическому управлению (техническая кибернетика). — М., 1967. — С. 215-224.

7. Бронштейн О. И., Рыков В. В. Об оптимальных приоритетах в системах массового обслуживания. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1965. — N6. — С. 28-37.

8. Бхат Ю. Теория массового обслуживания.— В кн.: Исследование операций. Методические основы и математические методы. Т.1. /Пер. с англ. под ред. чл.-корр. АН СССР И. Н. Макарова, д-ра техн. наук И. М. Бескровного. — М.: Мир, 1981. — С. 391-447.

9. Веклеров Е. Б. Об оптимальных абсолютных динамических приоритетах в системах массового обслуживания. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — N2. — С. 87-90.

10. Волковинский М. И., Кабалевский А. Н. Анализ приоритетных очередей с учетом времени переключения. — М.: Энергоиз-дат, 1981. — 167 с.

11. Воробьев Н. М. Об управлении системой массового обслуживания одного вида. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — N3. — С. 86-93.

12. Глухова Е. В. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуассоновского потока событий при наличии мертвого времени. //Известия вузов. Физика. — 1993. — Т.36. — N12. — С.54-60.

13. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука, 1966. — 431 с.

14. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. О некоторых задачах теории массового обслуживания. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — N5. — С. 88-100.

15. Гнеденко Б. В., Даниэлян Э. А., Дмитров В. Н., Климов Г. П., Матвеев В. Ф. Приоритетные системы массового обслуживания. — М.: Изд-во МГУ, 1973. — 447 с.

16. Горцев А. М., Назаров А. А., Терпугов А. Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. — Томск: Изд-во ТГУ, 1978. — 208 с.

17. Горцев А. М., Нежельская Л. А. Оптимальная нелинейная фильтрация марковского потока событий с переключениями //Техника средств связи, сер. СС — 1989. — Вып.7. — С. 46-53.

18. Горцев А. М., Нежельская Л. А., Шевченко Т. И. Оценивание состояний МС-потока событий при наличии ошибок измерений //Известия вузов. Физика. — 1993. — N12. — С.67-85.

19. Горцев А. М., Паршина М. Е. Оценивание параметров альтернирующего потока событий в условиях "мертвого" времени. //Известия вузов. Физика. — 1999. — Т.42. — N4. — С. 8-13.

20. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальные оценки состояния марковского потока с переключениями при наличии ошибок в измерении моментов времени //IV симпозиум "Оптика атмосферы и океана". Тезисы докладов. — Томск, 1997. — С. 168—169.

21. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальный алгоритм оценки состояний МС-потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени //Оптика атмосферы и океана. — 1998. — N4. — С. 419-429.

22. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени //Автоматика и телемеханика. — 1999. — N1. — С. 52-66.

23. Горцев А. М., Шмырин И. С. Оптимальная оценка параметров дважды стохастического пуассоновского потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов наступления событий //Известия вузов. Физика. — 1999. — Т.42. — N4. — С. 19-27.

24. Даниэлян Э. А. Время ожидания в модели с категорийными во времени приоритетами. //Кибернетика. — 1980. — N6. — С. 103— 109.

25. Джейсуол Н. Очереди с приоритетами /Пер. с англ. под ред. В. В. Калашникова. — М.: Мир, 1973. — 279 с.

26. Дудин А. Н. О задаче оптимального управления многоскоростной системой массового обслуживания. //Автоматика и телемеханика.1980. — N9. — С. 43-51.

27. Дудин А. Н., Клименок В. И. О системе обслуживания BMAP/G/1 с альтернирующим режимом функционирования. //Автоматика и телемеханика. — 1999. — N10. — С. 97-107.

28. Дудин А. Н., Клименок В. И. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания, функционирующей в марковской синхронной случайной среде. //Автоматика и телемеханика. — 1997.1. N1. — С. 74-84.

29. Дудин А. Н., Клименок В. И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. — Мн.: БГУ, 2000. — 175 с.

30. Духовный И. М. О системах массового обслуживания с двухуровневой "гистерезисной" обратной связью. /В кн.: Методы исследования операций и теории надежности в анализе систем. — Киев, 1976. — С. 129-146.

31. Зиновьева Л. И. Система массового обслуживания с гистерезисом и резервным прибором, управляемым временем ожидания. //Математическая статистика и ее приложения. — Томск: Изд-во Томского университета, 1980. — N6. — С. 152-146.

32. Ивницкий В. А. Однолинейная система со случайной интенсивностью потока и скоростью обслуживания. //Литовский математический сборник. — 1996. — Т.6. — N1. — С. 41-50.

33. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания. — М.: Высшая школа, 1982. — 256 с.

34. Катаева С. С. Об одном подходе к распознаванию МС-потока событий. //Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети. Материалы международной конференции "Математические методы исследования телекоммуникационных сетей". — Минск, 1998. — С. 5-9.

35. Каштанов В. А. Использование полу марковских процессов в задачах управления в системах массового обслуживания. //Труды Всесоюзной школы-семинара. — М.: ВНИИСИ, 1981. — С. 54-63.

36. Кениг Д., Рыков В. В., Шмидт Ф. Стационарные системы массового обслуживания с зависимостями. /В кн.: Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. — М.: ВИНИТИ, 1981. — Т.18. — С. 95-186.

37. Кениг Д., Штоян Д. Методы теории массового обслуживания. /Пер. с англ. под ред. Г. П. Климова. — М.: Радио и связь, 1981. — 127 с.

38. Клейнрок JI. Теория массового обслуживания /Пер. с англ. под ред. д-ра техн. наук В. И. Неймана — М.: Машиностроение, 1979. — 432 с.

39. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. —М.: Наука, 1966. — 243 с.

40. Климов Г. П., Мишкой Г. К. Приоритетные системы обслуживания с ориентацией. — М.: Изд-во МГУ, 1979. — 222 с.

41. Коваленко И. Н. Некоторые новые направления исследований в теории массового обслуживания. /В кн.: Риордан Дж. Вероятност-нае системы обслуживания. — М.: Связь, 1966. — С. 3-20.

42. Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания. /В кн.: Итоги науки. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1970. — М.: ВИНИТИ, 1971. — 110 с.

43. Коваленко И. Н., Юркевич О. М. О некоторых вопросах оптимального обслуживания требований в системах с ограниченным временем ожидания. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1971. — N1. — С. 26-35.

44. Коротаев И. А. Адаптивная оценка интенсивности дважды стохастического потока событий. //Управляемые системы массового обслуживанияю — Томск, 1984. — Вып.З. С. 50-57.

45. Коротаев И. А. Системы массового обслуживания с переменными параметрами. — Томск: Изд-во ТГУ, 1991. — 167 с.

46. Коротаев И. А., Коротаева Н. И. Оценивание интенсивности МС-потока событий с двумя состояниями. //Труды 8 Белорусскойшколы-семинара по массовому обслуживанию. — Минск, 1992. — С. 78-79.

47. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. /Пер. с франц. под ред. И. Н. Коваленко. — М.: Мир, 1965. — 302 с.

48. Кухта Т. К., Шваб Н. Д. Система с переменным числом каналов. //Кибернетика. — 1975. — N2. — С. 146-148.

49. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — М.: Сов. радио, 1968. — 504 с.

50. Мова В. В., Пономаренко JT. А., Калиновский А. М. Организация приоритетного обслуживания в АСУ. — Киев: Техника, 1977. — 160 с.

51. Мова В. В., Пономаренко Л. А. Об оптимальном назначении приоритетов, зависящих от состояния блуждающей системы с ограниченным числом мест для ожидания. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1974. — N5. ■— С. 74-81.

52. Назаров А. А. Оптимальное формирование очередей в многоканальных системах массового обслуживания. //Автоматика и телемеханика. — 1975. — N8. — С. 36-39.

53. Назаров А. А. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. — Томск: Изд-во ТГУ, 1984. — 234 с.

54. Наумов В. А. Марковские модели потоков требований. //Системы массового обслуживания и информатика. — М.: Изд-во УДН, 1987.1. С. 67-72.

55. Небеев А. В., Ревельс В. П. Исследование многоканальных систем передачи информации методом оптимизации стратегии распределительного устройства. //Проблемы передачи информации. — 1970. — Т.6, вып.З. — С. 96-99.

56. Нежельская Д. А. Алгоритм оценивания состояния синхронного МС-потока. //Труды 11 Белорусской школы-семинара по массовому обслуживанию. — Минск, 1995. — С. 93-94.

57. Офицеров Д.В., Старых В.А. Программирование в интегрированной среде Турбо-Паскаль: Справ, пособие. — Мн.: Беларусь, 1992.240 с.

58. Печинкин А. В. Система MAP/G/1/п с дисциплиной LIFO с прерыванием и ограничением на суммарный объем требований. //Автоматика и телемеханика. — 1999. — N12. — С. 114-120. Москва, 19-23 мая, 1998: Мат. секц.: Тез. докл. — М., 1998. — С. 5-6.

59. Печинкина О. А. Стационарные вероятности состояний в системе MAP/G/1 с дисциплиной LIFO Р. //34-я Науч. конф. фак. физ.-мат. и естеств. наук Рос. ун-та дружбы народов, Москва, 19-23 мая, 1998: Мат. секц.: Тез. докл. — М., 1998. — С. 5-6.

60. Поттосина С. А., Терпугов А. Ф. Оптимальная нелинейная фильтрация МС-потоков. //Известия вузов. Физика. — 1993. — Т.36. — N12. — С. 54-60.

61. Риордан Дж. Вероятностные системы обслуживания. /Пер. с англ. под ред. к-та техн. наук А. Д. Харкевича. — М.: Связь, 1966.184 с.

62. Рыжиков Ю. И. О задачах двухскоростного обслуживания. //Проблемы передачи информации. — 1978. — Т. 14, вып.2. — С. 105— 112.

63. Рыков В. В. Об оптимальной дисциплине обслуживания в системе со складом. /В кн.: Прикладные задачи теоретической кибернетики.

64. М.: Советское радио, 1966. — С. 437-449.

65. Рыков В. В. Управляемые системы массового обслуживания. /В кн.: Итоги науки и техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. — М.: ВИНИТИ, 1975. — Т.12. — С. 43-153.

66. Рыков В. В., Лемберг Э. Е. Об оптимальных динамических приоритетах в однолинейных системах массового обслуживания. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1967. — N1. — С. 25-34.

67. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. /Пер. с англ. под ред. И. Н. Коваленко. — М.: Советское радио, 1971. — 520 с.

68. Соловьев А. Д. Задача об оптимальном обслуживании. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1970. — N5. — С. 40-49.

69. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. — М.: Наука, 1979. — С. 119-122.

70. Степанова Н. В., Терпугов А. Ф. Оценка интенсивности нестационарных эрланговых потоков. //Труды 1 Белорусской школы-семинара по массовому обслуживанию. — Минск, 1985. — С. 142-143.

71. Терпугов А. Ф. Математическая статистика. — Томск: Изд-во ТГУ, 1974. — С. 44-47.

72. Тривоженко Б. Е. Выделение трендов интенсивности нестационарного пуассоновского потока событий сплайнами второго порядка. //Труды 5 Белорусской школы-семинара по массовому обслуживанию. — Минск, 1989. — С. 121-122.

73. Ушаков И. А., Чернышев В. П. Оптимальное управление в многоканальной система массового обслуживания с несколькими потоками требований. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1976. — N5. — С. 95-100.

74. Файнберг М. А., Файнберг Е. А. Управление в системах массового обслуживания. //Зарубежная радиоэлектроника. — 1975. — N3. — С. 3-34.

75. Хазен Э. М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального упревления. — М.: Сов. радио, 1968. — 256 с.

76. Харин Ю. С., Степанова М. Д. Практикум на ЭВМ по математической статистике. — Мн.: Изд-во "Университетское", 1987. — 304 с.

77. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания. — М.: Физматгиз, 1963. — 235 с.

78. Шмырин И. С. Оптимальная оценка параметров потока событий с переключениями //Вестник ТГУ. — 2000.— N271. — С. 63-66.

79. Baba Yutaka A unified analysis to the queue length distribution in Mx(k)/G/1/N and GI/MY (k)/G/l/N queues. //Sci. Repts Yokohama Nat. Univ. Sec. 1. — 1996. — N43. — P. 43-54.

80. Bartoszewicz J., Rolski T. Queueing systems with a reserve service channel //Zastosow.mat. — 1970. — V.l. — N4. — P. 439-449.

81. Combe M. Queueing models with dependence structures. — Amsterdam: CWI, 1994. — 165 p.

82. Gebhard R. F. A queueing process with bilevel hysteretic service-rate control. //Naval. Res. Logist. Quart. — 1967. — V.14. — N1. — P. 55-67.

83. Grindlay Andrew A. Tandem queues with dynamic priorities. //Operat. Res. Quart. — 1965. — V.16. — N4. — P. 439-451.

84. Hoorn M. H. van, Seelen L. P. The SPP/G/queue: a single server queue with a switched Poisson process as a input process. //O. R. Spectrum. — 1983. — V.5. — N4. — P. 207-218.

85. Ireland R. J., Thomas M. E. Optimal control of customer-flow trough a system of parallel queues. //Int. J. Syst. Sci. — 1972. — V.2. -— N4.1. P. 401-410.

86. Kingman J. F. C. On doubly stochastic Poisson process. //Proceedings of Cambridge Phylosophical Society. — 1964. — Vol.60, N4. — P. 923930.

87. Lucantoni D. M. New results on the single server queue with a batch markovian arrival process. //Communications in Statistics Stochastic Models. — 1991. — V.7. — P. 1-46.

88. Lucantoni D. M., Neuts M. F. Some steady-state distributions for the MAP/SM/1 queue. //Communications in Statistics Stochastic Models.1991. — V.10. — P. 575-598.

89. Machihara F. A. A MAP/SM/1 queue with service times depending on the arrival process. //Symposium on Perfomance Models for Information Communication Networks: Proc. Conf., Tokyo, 1997. — P. 180-191.

90. Madhi J. Waiting time distribution in a Poisson queue with a general bulk service rule. //Manag. Sci. — 1975. — V.21. — N7. — P. 777-782.

91. Meyer К. H. P. Ein Wartesystem mit heterogenen Kanaelen unter (s,S)-Regel. //Proc. Operat. Res.2, Wuerzburg Wien. — 1973. — P. 295-317.

92. Moder J., Phillips C. Queueing with fixed and variable channels. //Operat. Res. — 1962. — V.10. — N2. — P. 218-231.

93. Murari K. An additional special channel limited space queueing problem with service in batches of variable size. //Operat. Res. — 1968. — V.16.1. N1. — P. 83-90.

94. Nents Marcel F. Aqueue subject to extraneous phase changes. //Adv. Appl. Probab. — 1971. — V.3. — N1. — P. 78-119.

95. Neuts M. F. A versalite Markov point process //Journal of Applied Probability. — 1979. — P. 764 — 779.

96. Neuts M. F. Structured Stochastic Matrices of M/G/l Type and Their Applications. — New York: Marcel Dekker, 1989.

97. Oliver Robert M., Pestalozzi Gerold. On a problem of optimum priority classification. //J. Soc. Industr. and Appl. Math. — 1965. — V.13. — N3. — P. 890-901.

98. Pattipati Khrishna R., Kleinman David L. Priority assignment using dynamic programming for a class of queueing systems. //IEEE Trans. Automat. Contr. — 1981. — V.26. — N5. — P. 1095-1106.

99. Posner M. Single-server queues with service time depent on wating time. //Oper. Res. — 1973. — V.21. — N2. — P. 610-616.

100. Rolski T. Queues with поп-stationary input stream: Ross's conjecture. //Advances in Applied Probability. — 1981. — V.13, N3. — P. 603-618.

101. Romani J. A queueing model with a variable number of channels. //Trabajos de estadistica. — 1957. — V.8. — N3. — P. 175-189.

102. Singh V. F. Queue-dependent servers. //J. Eng. Math. — 1973. — V.7. — N2. — P. 123-126.

103. Suzuki Takeji, Ebe Masao. Decision rules for the queueing system M/G/l with service depending on queue length. //Met. Def. Acad. — 1967. — V.7. — N3. — P. 1263-1273.

104. Teghem J. On uniform hysteretic policies in a queueing system with variable service rates. //Cah. Cent. etud. rech. oper. — 1979. — V.21. — N2. — P. 121-125.

105. Teugels Josef L., Vynckier Petra. The structure distribution in a mixed Poisson process. //J. Appl. and Stochast. Anal. — 1996. — V9, N4. — P. 489-496.

106. Tijms Henk. On the optimality of a switch-over policy for controlling the queue size in an M/G/l queue with variable service rate. //Lect. Notes Comput. Sci. — 1976. — V.40. — P. 736-742.

107. Yandin M., Naor P. Queueing systems with a removable service station. //Oper. Res. Quart. — 1963. — V.14. — N4. — P. 393-405.117

108. Yandin M., Naor P. On queueing systems with variable service capacities. //Naval. Res. Logist. Quart. — 1967. — V.14. — N1. — P. 4353.