автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.17, диссертация на тему:Исследование процедуры дискретизации и восстановления реализаций случайных процессов в радиотехнических системах по функции условного среднего

РГБ ОД

1 4 ЛВГ 1995

На правда рукописи

Беляев Михаил Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕДУРЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ РЕАЛИЗАЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТОЛАХ ПО ФУНКЦИИ УСЛОВНОГО СРЕДНЕГО

06.18.17. Радиотехнические н тодевивионныв скстеш и устройства

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Рявянь 1ОТ5

Работа выполнена на кафедре радиотехнических систем Рязанской государственной радиотехнической шшдешш.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор Казаков Владимир Александрович

Официальные оппоненти - доктор текиическнх паук, Пероа А.Л.

кандидат технических наук. Параши Ю.Н.

Ведущая организация - Научно-исследоватедьсгай ннстигу?

"Рессвот"» г.Рязань.

I

Занята состоится ^¿Р уЛИЛ-^л 1995 г. в_._на евседашш

диссертационного совета К 093.02.01 в Рйвелской государственной радиотехнической академии, ЁйОООо, г. Рашш, уз. Гагарина, 59/1.

С диссертацией ма-що ознакомиться в библиотеке Ряваиахй государственной радиотехнической акадешш.

Автореферат разослан ^ ^ 1205 года.

Ученый секретарь совета

к.т.н., доцент

Сиоляроа А. 1!.

Данная работа посвящена дальнейшему совершенствованию радиотехнических систем передачи информации на основе исследования оптимальных интерполирующих алгоритмов в малоизученных моделях дискретивации - восстановления реализаций случайных процессов. Научные исследования относятся к области статистической радиотехники и теории радиотехнических систем передачи и обработки информации.

Актуальность темы.

Краткий обзор состояния вопросов статистического описания процедуры дискретизации и восстановления (ГЩВ) реализаций случайных процессов, сделанный во введении, показал, что существующие принципы дискретного представления аналоговых информационных сообщений до сих пор используют в качестве основы ряд по функциям 31пс»з1п(и>1+ктг)/(«1+кя) или различные эмпирические нетоды восстановления. Однако уже валоаены основы оптимального статистического дискретного представления реализаций случайных процессов, поэволявдие не только восстанавливать исходные процессы с минимальной погрешностью, но и оценивать эти погрешности для различных параметров ВДВ.

Вместе с тем, в рамках этого подхода не исследованы свойства погрешностей оптимальных интерполяционных алгоритмов восстановления при конечном числе отсчетов н произвольном характере ги расположения для многих практически вахных вариантов ПДВ н ¡.юделей сообщена!) с неограниченным спектром. Здесь имеются в виду модели, широко используете при изучении разнообразных радиотехнических систем. Перечислим варианты ГЦЩ. для которых оптимальные интерполяционные алгоритмы, основанные на функции условного среднего, оказались не исследованными :

1. ПЛВ^осуществляемые по отсчетам реализаций процессов и их линейных преобразований;

2. ПДВ реализаций нестационарных процессов, характеризующихся переменной дисперсией и переменной временной структурой;

3. ПДВ реализаций разрывных процессов;

, , 4. Не полностью изучены свойства дискретно-непрерывного алгоритма фильтрации немарковских сообщений с учетом процедуры восстановления непрерывных сообщений в промежутках между передаваемыми отсчетами.-

ЦуЬ-И1®®™ заключается в проведении теоретических иссле-

дований, направленных на дальнейшее совершенствование радиотехнических систем передачи и обработки информации, использую-щи дискретно-непрерывные алгоритмы функционирования.

Задачи исследования.непосредственно вытекавшие иа анализа вопросов, недостаточно освещенных в литературе, и цели работы:

1. Сопоставительное исследование интерполяционных алгоритмов ПДВ, осуществляемых на основе функций Sine и оптимальных по критерии минимума среднеквадратической ошибки.

2. Определение оптимальных восстанавливающих функций и оценка погрешностей ПДВ по отсчетам реализаций гауссовских процессов и их линейных преобразований.

3. Определение оптимальных восстанавливающих функций и оценка погреаностей ПДВ по отсчетам реализаций нестационарных гауссовских процессов, характеризующихся переменной дисперсией и переменной временной структурой.

4. Определение оптимальных восстанавливавших 'функций (ш-мэнтов перехода) для реализаций бинарного парко васого процесса.

б. Определение оптимальных восстанавливающих функций и оценка погрешностей ПДВ по отсчетам реализаций непрерывных не-гауссовских процессов.

6. Исследование дискретно-непрерывного алгоритма фильтрации неыарковских сообщений с учетоа процедуры восстановления непрерывных сообщений в промежутках меаду.передаваемыми отсчетами в переходном и стационарной реякыах.

7. Разработка новых технических решений, направленных на повызгниеточности радиосистем передачи и обработки сообазний, вспольаувди дискретно-непрерывные алгоритм функционирования.

Основные полояения. выносите на ваииту :

1. Для стационарных и нестационарных гауссовских процессов с произвольным спектром при ограниченном числе отсчетов оптимальный по критерию минимума среднеквадратической оаибкм интерполяционный алгоритм, основанный на функция условного среднего, имеет более высокую точность, по сравнении с госста-вовдеиием по функциям Sine.

2. Использование при интерполяции многомерных отсчетов, вкгячаюоих в себя отчеты процесса и интеграла от него, приводит для юделей в виде гауссовского марковского процесса и ре-

- b -

чевого сообщения к уменьшению средней ошибки восстановления (или к эквивалентному уменьшению частоты дискретивации) более чем на 20 X.

3. Оптимальной интерполирующей функцией для винеровского процесса является полином первого порядка, при этом погреи-иость интерполяции на интервале дискретизации изменяется по параболическому вакону.

4. Использование интегрального линейного преобразования для бинарного марковского процесса позволяет устранить ошибки интерполяции, овяванные с процедурой дискретизации-восстановления .

Б. Структура устройства обработки, синтевированная по дискретно-непрерывно,\«у алгоритму фильтрации немарковской гауо-совской последовательности, обладает инвариантностью к мерности используемой модели сообщения.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего в себя 94 наименования и приложения.

Объем диссертации составляет 160 страниц, включая 106 страниц основного текста, 42 страницы рисунков, 10 страниц списка литературы, 2 страницы приложений.

Краткое содержание работы.

Во введении произведен краткий обзор литературных источников по теме диссертации, сформулированы цель работы и основные задачи исследования.

В первой главе кратко приведены основные статистические характеристики моделей случайных процессов и информационных сообщений, широко используемых в теории радиотехнических систем - винеровского процесс.!, гауссовского марковского процесса, моделей телеметрического, речевого и увкополосного процессов. Проведено сопоставление точностных характеристик (дисперсий ошибок восстановления) двух алгоритмов интерполяции по известному набору отсчетов <Xi,l-l,N>. Исследованы алгоритмы, использующие в качестве восстанавливающих функций x"(t) функции Sine : Xsinc'Ct) - ||»k(t)ffT I(Kill .

♦kit)

slnl(k-l)K + «bU - . 1 < к < M/2 ,

(k-l)K + Wat .

Sini(k-N/2)rt - WatJ

WZ < к < H

(k-N/2)rt - «ot

661nc2(t) - <(Xsinc*(t)-x(t))2> -i-2||çk(t)llTt|K(t(TK)ll +

♦ ll9k(t)HTl|KÎTk.Ti)im»4(t)nT .

и функция условного среднего :

Xyc/(t) - m(t> - m(t) + |ÎK(t,TK>11 IIK(Tk.Tj>| |~г x

* [||X,||- ||m(ï,)||] .

6yCj,z(t) - 62(t) - 62(t) - t|K(t.Tk)UI IK(Tk.Tj)! Г1 x

x ï|K(Tj.t)M .

где: m(t), 62(t) и K(tk,tj) - математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция информационного сообщения, a«j -элементы матрицы, обратной корреляционной K(Tr.Tj)-

Сравнение проводились для модели процесса, получаемого из исходного гауссовского марковского путей резкого ограничения спектра на частоте «в, при регулярной дискретизации выборками с периодом :

M - *лв-1 .

Результаты сравнительных расчетов на ЭВМ показывают, что с ростом и>в ошибка восстановления с помощью функций Sine приближается к ненулевому пределу, наличие которого связано с ограничением количества отсчетов. Восстановление же по условному среднему имеет нулевую асимптоту. Таким образом, для физически осуществимые процессов с неограниченным спектром при реальных условиях интерполяционного восстановления (задержка в выдаче оценки »¡¡ада в число отсчетов невелико) оптимальный алгоритм условного среднего более предпочтителен.

На основе общего соотношения для многомерной условной га-уссовской- плотности вероятности получены выражения для восстанавливающих функций и функций ошибок восстановления для вариантов Щ& стационарных гауссовских процессов по многомерны^

отсчетам с использованием как отсчетов реализации самого процесса, так н некоторых ее линейных преоСравований:

x*(t) - <x(t)|X(T)IY(T')> - <х(t)> + + Ki2(t,T,T')K22(7.T')_1[ IX(T)lY(T")JT -- C<X(T)>I<Y(T')>]t] ,

6z(t) - K11(t)-K12(t,T.T')K22(T.T')"1K2i(T'.T.t) ,

где : Х(7) и Y(T') - векторы отсчетов реализации случайного процесса x(t) л ее лннейного преобразования y(t)-L<x(t)>. Ki2(t.r.T'). K22(f.í') и K2i(f',f,t) - корреляционные матрицы.

При исследовании интегрального преобразования получены ЕЫракения для восстанавливавших функций и изучена форма и поведение 1фивых ошибок восстановления на интервале дискретизации. Показано; что для рассмотренных моделей процессов (гауссов марковский, телеметрический, речевой и процесс на выходе трех последовательно соединенных RC-цепей, находящихся под воздействием белого гауссовского пума) использование дополнительной информации, золсоченноА о отсчетах линейного преобра-еования, приводит к уменьшения погрешности восстановления. Однако дополнительное сопоставительное исследование алгоритмов восстановления по отечете.!} только реализации процесса и с использованием отсчетов интеграла в эквивалентных условиях (одинаковое (соличество отсчетов и пропорциональна1! частота дискретизации) покааало, что использование отсчетов интеграла окавы-гаетсп э-ффективным лишь для наименее коррелированных моделей -гауссовского марковского процесса и речевого сообщения.

При исследовании линейного преобразования в виде производной с временной задержкой отсчетов такяе получены выражения для восстанавливающих функций и научена форма и поведение кривых оиибок восстановления на интервале дискретизации. Показано, что для рассмотренных моделей процессов (телеметрический и процесс на выходе трех RC-цепей) использование отсчетов производной от реализации, в том числе и сметенных по времени относительно отсчетов реализации процесса, при эквивалентных условиях сопоставления, окапывается неэффективным.

- в -

На основе проведенных исследований предложена структура дискретной системы передачи непрерывных сообщений, использующей отсчеты интегрального линейного преобразования, вавдщенная положительным решением на выдачу авторского свидетельства. Система позволяет уменьшить среднюю ошибку восстановления (или эквивалентно уменьшить частоту дискретизации) более чем на 20%.

В заключение проведено моделирование алгоритма восстановления реализаций гауссовского марковского процесса с учетом отсчетов интегрального линейного преобразования. Предварительно оценены статистические характеристики (корреляционные функции) процессов, участвущих в моделировании. Результаты эксперимента показывает хорошее соответствие теоретически рассчитанных кривых ошибок восстановления и кривых, полученных усреднением по множеству моделированных реализаций.

Во второй главе подход, связанный с использованием в качестве восстанавливающей функции условного математического сшдания, обобщается ка случай ГЩВ нестационарных гауссовских процессов. Найдены аналитические выражения для воссталавливал-щих функций и исследованы погрешности восстановления процессов, нестационарных по дисперсии. Показано, что для винеровс-кого процесса оптимальной является интерполяция полиномов первого порядка; для нестационарного гауссовского марковского процесса при большой частоте дискретизации оптимальной такта явльется линейная интерполяция. Неучены восстанавливаяцие функции и погрешюсти восстановления процессов в линейных параметрических цепях. Для процесса на выходе параметрической RC-цепи с импульсной характеристикой : t

h(t,T) - a(t) exp{-ja(2)dz> , г

находящейся под воздействием белого гауссовского пума, для двух законов изменения параметра (линейном и периодическое -синусоидальном) найдены аналитические выражения для корреляционной функции и исследованы зависимости ошибки интерполяции и средней на интервале дискретизации ошибки восстановления. Аналогичные исследования проведены и для процесса на выходе параметрического RLC-контура, находящегося под воздействием белого

гауссовского шума, с импульсной характеристик

h(t.t-T) - Ro(t)exp(-«t)sin(fio(t)t) .

при линейном законе изменения его центральной частоты fio(t). Для исследования влияния изменения временной структуры, характеризуемой только нормированной корреляционной функцией процесса на ошибки восстановления, проведено также статистическое описание ПДВ процесса на выходе параметрической линии вадердки с импульсной характеристикой h(t.t-ti) - 5(T(t)-ti) ,

при условии, что функция временной задержки изменяется по квадратичному закону t(t) - - kt2 .

Рассмотрен вариант, когда входное воздействие представляет собой гауссовский марковский процесс. Найдены аналитические выражения для оптимальных восстанавливающих функций и функций погрешностей восстановления, а такие для положения максимума условной дисперсии на интервале дискретизации :

/l+2k(k(T12+TiM2)+-Ti+Ti+i) - 1 tfe^-max) -----.

2k

Полученные результаты позволяют находить законы изменения частоты дискретизации реализаций рассмотренных нестационарных процессов при условии постоянства ошибки восстановления.

В третьей главе на основе условных функций математического ожидания и дисперсии проведено статистическое описание ДДВ реализаций непрерывных негауссовских процессов. Поскольку для них неизвестно аналитических выражений, связывающих между собой условные и безусловные моментные функции, необходимо пользоваться общими соотношениями. Однако, для негауссовских процессов выражения для плотностей вероятности мерности, большей двух, неизвестны. Поэтому, если случайный процесс является марковским, то для него можно найти оптимальные восстанавливающие функции при экстраполяции по одному отсчету и интерполяции меяду двумя отсчетами, и оценить их погрешности по соотношениям :

¡n(t) - <xt.t|x2.T2;Xi.Ti> - r>xtW(xtlX2,T2;Xi.Ti)tixt

e2(t) - <(xt-m(t))2|x2,T2;Xi,Ti> -

- r(xt-ín(t))2w(xtlX2.T2;Xi.Ti)<ixt .

-«o

На примере процессов с релеевской плотностью распределения вероятностей и плотностью в виде гамма-функции показано, что восстановление по отсчетам, имеющих аномально большую величину, приводит к появлению выбросов в кривых сшибок интерполяции.

На основе дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний получена и исследованы аналитические выражения для наиболее вероятных ыоментов перехода медцу уровнями для реализаций бинарного марковского процесса :

ti23 - ---( / (а-0)2(1*ехр(-тпТ))2+1бавехр(-тДТ) -

,4Вехр(-тДТ) v

- (а-й)(1+ехр(-Ш)) } ,

t2i° - --- ( / (в-а)г(1+ехр(-гДТ))2+1бавеяр(-Ш) -

4аехр(-1гЛТ) v

- (е-а)(1+ехр(-гДТ)) | ,

и тем самым найдены оптимальные восстанавливавшие функции для такого процесса.

Предложена структура дискретной системы передачи бинарный сообщений, использующей на передающей стороне интегральное линейное предыскажение, и позволяющей на приемной стороне практически безошибочно (в случае отсутствия помех в канале связи) восстанавливать исходную реализацию по дискретным отсчетам. На структуру системы подучено авторское свидетельство.

В четвертой главе рассмотрена ВДВ реализаций гауссовских немарковских процессов при условии наличия шумов в системе передачи непрерывной информации. Предложен дискретно-непрерывный алгоритм фильтрации немарковской гауссовой последовательности

- и -

с учетом процедуры восстановления в промежутках между отсчетами в виде системы уравнений :

x*(k+1), -EZ..JX"'», ♦ d(k+1>,.k+1nk+1'Cxa<k+1,k+1). J-1 .

i-i.k+l,

S D(k+1> l-M K(k+1) I"1 - Пк+i''(xe(k+1,k+l) I"1 . x"{k+1)(t) - E Z,(t)x"(k\ , Z,(t) - E ^(t.tj) aj.i . - к к

32(t) - dikn)(t) - 62(t) - E E K(t,ti) ai. i K(tj.t) +

1 $ J я\

к к

♦EE Z,(t) d(k> i. j Zj(t) .

где: d(k+1)i,j - элементы апостериорной корреляционной матрицы D(k+i) на (k+l)-ou иаге размерности (k+l)x(k+l); nk+i'»3nk+1/axk+i. Пк+i''-Э2Пк+1/Эхк+12 - производные от лога-piifjia функцни правдоподобия.

. К особенностям полученного алгоритма следует отнести :

- наличие непрерывного времени .в немарковском алгоритме обработки;

- то, что с его помощью помимо оценки сообщения на очередном иаге фильтрации, исходя из вновь полученной информации (как в классических марковских алгоритмах), уточняются оценки для всех предыдущих моментов времени;

- то,' что здесь, в.отличие от марковского подхода, фигурируют лишь отсчеты самого процесса и отсутствуют отсчеты его ненаблюдаемых компонентов, что делает схему устройства обработки инвариантной к мерности модели используемого информационного сообщения.

Проверена непротиворечивость алгоритма на марковских моделях. Для немарковской модели узкополосного процесса для систем передачи с амплитудно-импульсной модуляцией гармонической несущей, проведено его исследование в переходном и стационарно« режимах. Получены зависимости апостериорной дисперсии на текущем шаге фильтрации, а также зависимости стационарной

ошибки фильтрации от параметров модели, сигнала и отношения сигнал/шум. Исследованы возможности алгоритма по уточнению назад уже сформированных оценок. Получены зависимости апостериорной дисперсии с учетом экстраполяцнонного и интерполяционного восстановления непрерывной реаливации на интервале дискретизации, а такие на всем интервале, охваченном процедурами фильтрации и уточнения.

В заключении дана краткая формулировка новых научных результатов.

В Приложении приведены копии актов внедрения результатов диссертации.

Методы проведения диссертационных исследований включали методы статистической радиотехники, основывающиеся на теории вероятностей, теории случайных процессов, теории математической статистики, теории дифференциальных уравнений. В случаях, когда получение аналитического решения оказывалось затруднительным, применялись численные методы расчета и моделирования на ЭВМ.

Научная новизна диссертации заключается в следущих результатах :

1. Для процессов с неограниченным спектром при ограниченной числе отсчетов алгоритм восстановления по функции условного среднего, являясь оптимальным, имеет более высокую точность, по сравнения с восстановлением по функциям Sine.

2. Получены и исследованы аналитические выражения для воссталашшваиЕщх функций и функций погрешности при восстановлении по многомерным отсчетам реализаций гауссовских процессов.

3. Использование при восстановлении многомерных отсчетов, включающих в себя отчеты процесса и интеграла от него, приводит в ряде случаев, а именно для процессов со слабыми корреляционными связями, к уменьшению средней ошибки восстановления. Для моделей в виде гауссовского марковского процесса и речевого сообщения выигрыш в точности восстановления составляет более 20Х.

4. Использование при восстановлении многомерных отсчетов, включаюадах в себя отсчеты процесса и производной от него при наличии временных сдвигов, уменьшения погрешности восстановле-

ния не дает.

б. Для винеровского процесса найдены и исследованы анали-тячесгае выражения для оптимальных восстанавливающих функций и погрешностей восстановления. Показано, что оптимальной интерполирующей функцией для такого процесса является полином первого порядка, при этом погрешность интерполяции на интервале дискретизации изменяется по параболическому закону.

6. Проведено статистическое описание случайных процессов, характеризующихся существенно неоднородной временной структурой (процессы на выходе параметрических систем), на спектры которых не наложено никаких ограничений. Проведено статистическое описание ПДВ таких процессов.

7. На оснований общих принципов, развитых для нормальных процессов, проведено описание 1ЩЗ непрерывных негауссовских марковских процессов. Показано, что для негауссовских процессов восстановление по нехарактерному отсчету приводит к увеличению ошибки.

8. Получены и исследованы аналитические зависимости, описывающие ГОШ бинарного марковского процесса.

9. Получен и исследовал дискретно-непрерывный алгоритм фильтрации немарковской гауссовской последовательности с учетом процедуры восстановления иепду отсчота.\"Л по интерполяционному алгоритм-/.

10. Предложены два радиотехнических устройства для позы-, пения точности передачи аналоговых сигначов дискретными вибор-кс\*и. Структуры систем передачи веютены авторским свидетельством и положительным решением на сыдачу авторсгаго свидетедь-ства.

Научное и практическое значение полученных результатов. Использование оптимальных по минимуму среднего квадрата опибки интерполяционных алгоритмов для статистического описания ПДВ реализаций случайных процессов позволяет находить восстанавливавшие функции и исследовать свойства ошибок восстановления для больного числа практически интересных задач. Кроме этого, исследование ряда вариантов ПДВ непосредственно позволило предложить технические решения, направленные на совершенствование систем передачи информации.

Внрдррние научных результатов. Основные теоретические и

практические результаты диссертации отражены в отчетах по четырем госбюджетным и десяти хоздоговорным НИР, в выполнения которых в течении б-и лет принимал активное участие автор.

Устройство, на которое в соавторстве получено авторское свидетельство Ш743005, используется в производстве на АО "ТЕПЛОПРИБОР" г. Рязань, а дискретно-непрерывные алгоритмы фильтрации немарковских сообщений, предложенные автором, используются для оценки точности разрабатываемых устройств по результатам натурных испытаний на НИИ "РАССВЕТ" г. Рязань, что подтверждается соответствующими актами.

Апробация реаультатов диссертации проходила в виде научных докладов и обсуждений по тематике работы, которые проводились автором на НТК "Цифровая обработка сигналов в системах связи и управления" (Суздаль, 1989), Международной шдодемюй НТК "Актуальные проблемы информатики, управления, радиоэлектроники и лазерной техники" (Москва - Пушкино, 1989), 1-ой Всесоюзной НТК "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей" (Харьков - Туапсе, 1989), региональной НТК "Сис-геш и устройства радиолокации, свяви и управления" (Свердловск, , 1990), НТК "Проектирование автоматизированных систем контроля и управления сламшх об'ектов" (Туапсе, 1992), II Международном симпозиуме "11тов1рн1сн1 тяодеП та обробк в1падо-в1х с1гна1в" (Тернополь, 1993), 11-ой НТК "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей" (Туапсе, 1993), ХШ научно-техническом семинаре "Статистический сингев и анализ информационных систем" (Рязань, 1994), юбилейной 50-ой научной сессии РНТОРЗС, посвяаенной дгео радио (Москва, 1995).

Основные результаты работы неоднократно докладывались автором на научно-техническом семинаре кафедры Радиотехнических систем РГРТА, а такие на XXXI, XXXII, XXXIII конференциях профессорско-преподавательского состава, и XXXV, XXXVI конференциях студентов Рязанского радиотехнического института (Рязанской радиотехнической академии) в 1987-1994 годах.

Список опубликованных научных работ, отра-яаздих основные результаты диссертации, включает печатные статьи в центральных научно-технических курналах (12,16) и в мемузовских сборниках научных трудов 14,63, материалы международного симпозиума 110) И межрегионального семинара 113), а также тезисы докладов мел-

дународных [3,11,14,105. Всесоюзных [21, региональных £1,6,9] научно-технических конференций. Получено авторское свидетельство [81 и положительное решение о выдаче авторского свидетельства 17] по заявке на изобретение.

Список основных работ по теме диссертации

1. Беляев М.А., Казаков В.А., Дискретный немарковский алгоритм фильтрации в условиях априорной неопределенности относительно мерности модели сообщения. - Тезисы докладов НТК Цифровая обработка сигналов в системах связи и управления. - Суздаль. - 1989.

2. Казаков В.А., Беляев М.А. Дискретный алгоритм нелинейной фильтрации немарковских сообщений. - Тевисы докладов ВНТК Методы представления и обработки случайных сигналов и полей. -Харьков - Туапсе. - 1989.

3. Казаков В.А., Беляев М.А. Рекуррентный алгоритм фильтрации немарковской гауссовой последовательности. - Тевисы докладов Международной молодежной НТК Актуальные проблемы информатики, управления, радиоэлектроники и лазерной техники. -Москва - Пушкино. - 1989.

4. Казаков В.А., Беляев М.А.' Рекуррентный алгоритм фильтрации немарковской гауссовой последовательности.// Обработка сложных сигналов с применением цифровых устройств и функциональной электроники. - Рязань: РРТИ. - Ыеквуз. сб. научн. трупов. - 1989. - С.51-56.

Б. Казаков В;А., Беляев H.A. Особенности работы дискретного фильтра для немарковского сообщения в переходном релине. //Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах. - Рязань: РРТИ. - Межвуа. сб. научн. трудов. - 1990. - С.46-49.

6. Казаков В.А.. Беляев М.А.. Восстановление реализаций гауссовых процессов по многомерным отсчетам. - Тезисы докладов региональной НТК Системы и устройства радиолокации, связи и управления. - Свердловск. - 1990.

7. Положительное решение по заявленному изобретению №4938349 от 20.05.91, МКИ 5H04L 25/00. Дискретная система передачи непрерывной информации. Авторы Беляев М.А., Казаков В.А.

8. A.c. Ш.743005 (СССР). М.Кл. H04L 1/62. Система переда-

чи бинарных сообщений/ U.A.Беляев и В.А.Казаков. -Опубл. 1992. -Воя. No23.

9. Казаков В.А., Беляев U.A. Восстановление реализаций по многомерный отсчетам. - Тевисы докладов НТК Проектирование автоматизированных систем контроля и управления сходных об'ек-тов. - Туапсе. - 1902.

10. Казаков В.А., Селиванов C.B., Беляев М,А. Статистическое описание процедура дискретизации-восстановления реализаций случайных процессов. - 1пов1рн1сн1 коде11 та обробк в1-падов1х с1гна1в.- Сб1рка науков1х праць. Под ред. Я. П. Драга-на, 0. В. Оаельченко. Часть I, тш И. II Международный симпозиум, Тернополь, 1993 г.

11. Казаков В.А.. Африканов С.А., Беляев U.A. Сопоставление двух алгоритмов восстановления по произвольному числу отсчетов. - Те8исы докладов НТК Методы представления и обработки случайных сигналов м полей. - Туапсе. - 1993.

12. Казаков В.А., Африканов С.А., Беляев U.A. Сопоставление» двух алгоритмов восстановления реализаций по произвольному числу отсчетов // Иав.вувов - Радиоэлектроника. 1994, (У,

13. Беляев М.А. Восстановление реализаций гауссовых процессов с учетом линейных преобразований. - Материалы XIII научно-технического семинара "Статистический синтез и анализ информационных систем". - Рявань. - 1994.

14. Казаков В.А., Беляев U.A. О восстановлении реализаций гауссовых процессов по дискретным отсчетам. - Тезисы докладов юбилейной 60-ой научной сессии, посвященной дню радио.- Москва, РНТОРЭС, 1996.

16. Казаков В.А., Беляев U.A. Восстановление реализаций гауссовых процессов по отсчетам процесса и его линейных преобразований // Радиотехника. 1995. Мб.

16. Беляев И.А., Казаков В.А. Восстановление реализаций нестационарных гауссовских процессов по дискретным отсчетам,-Teel доклад 1 в М1хнародно1 науково1 конференцИ присвячено1 1б0-р1ччл в1д дня нарождения видатного укра1нського ф1зика 1 електротехн1ка 1вана Пулюя.- Терноп1л.- 1995.

с.62-64.

Соискатель