автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование методов обработки данных в условиях случайной дискретизации сигналов

РГБ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (технический университет)

На правах рукописи

ДЛИ Максим Иосифович

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ

Специальность: 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА

1994

Работа выполнена на кафедре Управления и Информатики Московского энергетического института (технического университета) .

Научный руководитель: доктор технических наук,профессор Круглов Владимир Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук профессор Бахвалов Лев Алексеевич

кандидат технических наук Тягунов Олег Аркадьевич

Ведущая организация: АО "Искра" •

Защита диссертации состоится "16" февраля 1995 г. в аудитории _ в 15 час.00 мин. на заседании специализированного Совета К 053.16.18. Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы (в двух экземплярах, заверенные печатью) просим направлять по адресу: 105835, ГСП, Москва, Е-250, ул. Красноказарменная, Д.14, Ученый Совет МЭИ.

С диссертацией можно ознакомиться в баблиотеке МЭИ.

Автореферат разослан "1_" января 1995 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета К 053.16.18 МЭИ, к.т.н.доц.

Полотнов М.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкое внедрение в последнее время информационно-измерительных систем, автоматизированных систем научных исследований (АСНИ), различного рода контрольно-регистрирующей аппаратуры на базе современных средств вычислительной техники способствуют все большему распространению обработки информации в цифровом виде, при которой, в частности, оценки характеристик изучаемых физических процессов - сигналов - определяются на основе выборок-значений сигналов в дискретные моменты времени.

Некоторые специфические особенности работы цифровых систем, такие как:

- изменения параметров измеряемых величин при одном и том же наборе датчиков, вызывающие различные времена аналого-цифрового преобразования;

- изменение приоритета датчиков, при котором меняется не только порядок их опроса, но и вероятность опроса в каждом цикле;

- возникновение сбоев в измерительных каналах, вызывающих случайные "потери" отдельных отсчетов;

- изменения в структуре и количестве программ, реализуемых ЦВМ;

- случайные вариации периода таймера системы;

- преднамеренное использование нерегулярной или случайной циклограммы опроса периферийных устройств для повышения производительности работы системы;

не всегда позволяют обеспечить получение данных через равные интервалы времени, что привлекло внимание исследователей к проблеме обработки дискретной информации в режиме реального времени в условиях равномерной дискретизации. Между тем, несмотря на ряд полученных результатов вопрос о том, обладает ли неравномерная (случайная) дискретизация т сравнению с регулярной (с постоянным интервалом дискретизации) какими либо преимуществами, до сих пор не имеет однозначного ответа.

В связи с этим актуальной научной задачей, имеющей как чисто теоретическое, так и прикладное значение, представляется разработка методов исследования свойств оценок характерно-

ся разработка методов исследования сьойств оценок характеристик сигналов, получаемых по выборкам в режиме реального времени при различных видах и моделях дискретизации. Актуальность задачи с теоретической точки зрения обосновывается, как показывает проделанный обзор работ, отсутствием какого либо единого подхода к анализу обработки данных эксперимента при условии случайности моментов их поступления. Прикладной аспект задачи представляется достаточно очевидным ввиду отмеченного все более широкого внедрения указанных выше систем с повышенными требованиями к качеству их функционированию.

Целью работы является исследование свойств оценок характеристик непрерывных стационарных эргодических случайных процессов, получаемых по их выборкам при различных видах дискретизации и формулировка рекомендаций по наиболее целесообразным применениям того или иного вида дискретизации в конкретных практических ситуациях.

В соответствии с указанной целью определены следующие задачи исследования:

1. Проведение обзора литературных источников, выявление видов случайной дискретизации, анализ их особенностей и свойств.

2. Получение количественных характеристик, дающих возможность сопоставления основных оценок показателей случайного процесса - его математического ожидания, дисперсии, автокорреляционной функции и т.п. - при различных видах дискретизации.

3. Выработка практических рекомендаций по использованию той или иной дискретизации.

4. Разработка и исследование систем сбора и обработки данных, функционирующих в условиях случайной дискретизации.

Методы исследования в диссертации базируются на аппаратах теории вероятностей, случайных процессов, случайных потоков, автоматического управления.

Научная новизна. Основные научные результаты заключаются в следующем:

1. Установлено, что если исходный непрерывный случайный процесс обладает свойствами стационарности и эргодичности (по отношению к математическому ожиданию), то такими же свойства-

ми, эа некоторыми исключениями, возможными при регулярной дискретизации, обладает и выборка.

2. Разработан общий подход к получению выражений для автокорреляционных функций и спектральных плотностей случайных выборок.

3. Получены выражения, позволяющие проводить сравнение качества эффективности ряда оценок характеристик исходного непрерывного стационарного процесса при различных видах дискретизации.

4. Показано, что случайная дискретизация может быть "в среднем" предпочтительней регулярной в смысле качества указанных оценок в случаях.нарушения условий теоремы Котельни-кова по отношению к существенной части спектра сигнала.

Практическая ценность работы. В разработанных выражениях, позволяющих определять качество оценок исследуемых процессов при произвольном виде дискретизации и в разработанных и внедренных в действующее производство системы для контроля параметров газоанализаторов типов ГИАМ-14, ГИАМ-15, и системы контроля и управления процессом испытания аккумуляторных батарей, в алгоритмическом и прграммном обеспечении которых использованы указанные выражения.

Аппробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Современное состояние аналитического приборостроения в области анализа газовых сред и спектроскопии" (г.Смоленск, 1991 г.), 10-й научной конференции по планированию и автоматизации эксперимента в научных исследованиях (г.Москва, 1992 г.). на научных семинарах кафедр Автоматики МЭИ и Смоленского филиала МЭИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 научных работ, а также 4 отчета по г/б и х/д НИР.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литер/.туры из 83 наименований и приложения. Диссертация изложена на 141 страницах основного текста, содержит 21 рисунок и 4 таблицы.

*

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основные цели и задачи исследований

В первой главе рассмотрены виды, модели и характеристики случайной дискретизации, а также приведен обзор работ, посвященных обработке информации в условиях такой дискретизации и кон кретиэирована постановка задачи исследования.

Отмечено, что в подавляющем большинстве литературных источников рассматриваются две модели случайной дискретизации -в виде так называемых случайных потоков с детерминированными тактовыми интервалами, для которых

^ = пТ0 + £,п. Ч)

где <Ъг-,> - моменты дискретизации, То=сопз1, ип> - одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним значением, и в виде случайных потоков класса потоков Пальма, для которых интервалы Тп=1п-1п-1 между моментами дискретизации являются взаимно независимыми случайными величинами с одним и тем же законом распределения. Потоки Пальма характеризуются плотностью распределения вероятности случайных интервалов Тп -ПТ), такими взаимно-однозначно связанными с ней функциями, как ее преобразование Лапласа

со

Мг(Р) = | Г(Т)е_рТ с1Т, (2)

О

характеристическая функция

00 00

(> ЗмТ р ЗиТ ф(ш)= ИТ)е с1Т= Г(Т)е с)Т=Мх(р) =МтС)ш) (3)

-оо о

(интеграл берется только для'положительных значений Т, так как все Тп>0), а также такими числовыми параметрами, как математическое ожидание

00

тт = Е<Т^> =| ТГ (Т)сЗТ. (4)

О

дисперсия

от

бт2 = Е <(Тп-тт)2> = [(Т-тт)2Г(Т)с)Т О

(здесь Е-(' > - символ математического ожидания) интервала дискретизации и интенсивность потока Х=1/тт, которая равна среднему числу точек дискретизации в единицу времени.

В табл. 1 приведены хареютеристики некоторых потоков Пальма, отличающихся законом распределения интервала Тп (п>1).

Проведенный обзор литературных источников показывает, в частности, что случайная дискретизация, соответствующая потоку Пальма обладает ценным свойством, именно, позволяет по выборкам получать асимптотические несмещенные оценки формы и интегральных характеристик исходного непрерывного сигнала при нарушении условий теоремы Котельникова (пожалуй, это единственное преимущество случайной дискретизации, имеющее строгое обоснование), что исследование свойств основных оценок исходного непрерывного процесса х(Ь) - оценок его математического ожидания, дисперсии, спектральной плотности, формы сигнала и т.п., получаемых на основе случайной выборки

где 5(•) - обозначение дельта-функции,

при различных видах дискретизации практически не проведено, а также, что хотя в литературе есть ссылки на стационарность и эргодичность выборок, получаемых из исходного непрерывного и стационарного случайного процесса путем его случайной дискретизации, данные свойства выборок не исследованы.

Приведенные выводы повволили конкретизировать задачу исследований. В работе принято, что исходный процесс х(1) является непрерывным в среднем квадратическом, стационарным в широком смысле и эргодичесгам по отношению к математическому ожиданию и автокорреляционной функции случайным процессом; в

х*а)"ха) ъ 5(ь-ьп)= Е х(1п)б(1Чп),

(6)

п

п

Таблица 1

Характеристики некоторых случайных потоков класса потоков Пальма

Закон распределения f(T) Мт(Р)

Детерминированная дискретизация (регулярный) 5(Т-То). To=const е-рТо

Равномерный i/гд, То-Д<Тп<То+Д рД -рД _ е - е c-dTO грд

Экспоненциальный (показательный) Х-Т le , 0<Tn<œ X Л+р

Эрланга порядка 1 1 - целое 1 1-1 -ïT Г Т е (1-1) ! 0<Тп<» V 1 о

Альтернирующий: дискретные случайные значения Toi с вероятностью q и Тог с вероятностью 1-q qS(T-T0i)+ +(l-q)5(T-T02). Toi.T02=COnSt -pToi -рТо2 qe +(l-q)e

Просеянный - выбрасыванием событий с вероятностью q из регулярного (l-q^Eqk_15(T--КТо) (4-q)e-pTo l-qe~pTo

Примечание: через б(-) обозначена дельта - функция.

качестве моделей процесса дискретизации приняты модели потоков класса Пальма ( моменты 1п считаются не зависящими от значений х (*.)); в задачах исследования выделено 3 этапа:

а) изучение свойств (стационарность, эргодичность, спектральные характеристики) случайных выборок;

б) получение и систематизация свойств получаемых на основе случайных выборок основных оценок исходного непрерывного процесса, позволяющих проводить их сравнение для разных видов дискретизации;

в) проведение указанного сравнения с целью выработки практических рекомендаций по целесообразности использования того или иного вида дискретизации.

Вторая глава посвящена исследованию свойств случайных выборок - стационарности и эргодичности, а также определению вида спектральных плотностей этих выборок, представляемых в форме (6).

В диссертации показано, что автокорреляционная функция сигнала х*(1) определяется выражением

= СКх(Х)+тх2][Х5(Т)+и"1(Мт(р)/'(1-Мт(р))>]-Х2Шх2 (7)

при т > О; Их*(т) = 1?х*(-т),

где и Л1Х - соответственно автокорреляционная функция и

математическое ожидание исходного сигнала х(0, Ь_1{-> - символ обратного преобразования Лапласа,

вид которого позволяет сделать вывод о стационарности случайной выборки.

Проверка условий эргодичности случайной выборки (по отношению к математическому ожиданию) с учетом полученного соотношения (7) для различных видов случайной дискретизации показала, что свойством эргодичность могут не обладать только случайные выборки, получаемые из исходного сигнала вида

М

х(Ь) = Е А3соз(351+83), (В)

э=1

где Аб-Оэ - детерминированные, 83- взаимно-независимые слу-

чайные (равномерно распределенный в интервале (-тс,я) величины, путем дискретизации с использованием потоков, имеющих в выражении для Г(Т) дельта-функции.

Установление свойства стационарности сигнала х*(Ь) и полученное соотношение (7) дают возможность разработать общий подход к определению спектральной плотности

ш

л -ЗиТ

Бх*(и) =] 1?х*(Т)е с1г (9)

— СО

случайной выборки.

В работе найдены виды спектральных плотностей для некоторых моделей случайной дискретизации, в частности, при диск-

-ЛТ

ретизации пуассоновского типа с ИТ) = Хе :

1 о 1

Sx*(u)=-6х2 + —г Sx(u>), (10)

m-x m-г

где бх2 ~ дисперсия, Sx(w) - спектральная плотность исходного сигнала x(t), при процессе дискретизации с интервалами Тп,

2 -гТ

распределенными по закону Эрланга 2-го порядка (f(T)=r Те )

со

1 „ 1 2 л -4Х/Щ

SX*M=-6Х + —5- Sx(w))--г Rx(r)e coswTdt (11)

пт m? глт J

О

и ряда других.

Вид спектральных плотностей исходного непрерывного процесса с Rx(t)=6x е cosftt с параметрами бх~=1, «'1,

и Sx*(w) представлен на рис.1 - рис.6.

Основное внимание третьей главы уделено получению выражений, позволяющих сравнивать результаты обработки данных по случайным выборкам для различных видов дискретизации. Так, для оценки математического ожидания

1 N

% = = — Е x(t.n) (12)

N п=1

г

ч

со

Рис.1.Спектральная плотность исходного процесса

/ N / N >

Ч У N

а

Рис.2.Регулярная дискретизация

Э-й» л

О

Г \ —>

\ ( V /

ч N ч,

Рис.3.Регулярная со случайными пропусками

с \

/

0)

Рис.4.Пуассоновская дискретизация

<0

X \

V

Рис.4.Дискретизация по вакону Эрланга 2-го порядка

Э^Ссо)

60

Рис.6.Тп равномерно распределен в интервале (0,2)

о

- 12 -

получено выражение для дисперсии:

Сйм =[ ИхМФхСтМ-с, (13)

О

где

1 N-1 , „

Фц(т)=— [Иб(т:)+2 Е (М-г)1ГЧМтг(р)>], (14) И" г=1

позволившее сравнить качество оценки (12) при различных моделях дискретизации. На примерах показано, что детерминированная дискретизация "в среднем" может не являться 'наилучшей, если ИхСт) - знакопеременная функция и не соблюдаются условия теоремы Котельникова по отношению к существенной части спектра сигнала. Аналогичный анализ проведен для оценки дисперсии

А о о 1 N „

бх2 = Эл" = — Е [хип)-пъ<Э2, (15)

N п=1

что привело к соотношению

со

2 Л 4 Г О М"1 1г.

о „= - бх4 + КХ2(Т) Е (^г)Ь-1Штг(р))с1г, (16) Бц2 N Я2 г=1

О

справедливому для гауссовских случайных процессов х(0.

Отмечено, что оценки (12) и (15) являются несмещенными и почти всегда состоятельными (за исключением случаев, когда 1?хС£) имеет косинусоидальный вид и при дискретизации, в выражение для ПТ) которой входят дельта-функции).

Показано, что элементы случайной выборки могут быть использованы для нахождения оценки автокорреляционной функции исходного сигнала путем решения уравнений

оо

рл 1т 1 о О

(?х(Т)Ь <МТ (р)}с!т= - С хаохс^+щ), (17)

0 N-111 1=1

о

где х(и=ха)-тх; т= 0,1.... .гптах;

рассмотрены задачи восстановления формы исходного процесса (задача интерполяции) и фильтрации в постановке аналогичной постановке Н.Винера.

Задача фильтрации полезного сигнала х(Ь) на фоне аддитивной помехи е(1). которая иллюстрируется рис.7, рассматривается в следующей постановке:

- х(1.) - стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и финитной спектральной плотностью;

- е(Ь) - стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием, некоррелированный с Х(0 и имеющий спектральную плотность, сосредоточенную в узкой полосе частот (значительно меньшей интервала (-ыъ.ипэ)) вблизи частоты Я, причем

й > 2ыь; (18)

- процесс замыкания ИИЭ начался бесконечно давно и соответствует потоку Пальма; моменты не коррелированы ни с х(1) ни с е((.);

- наблюдению доступны значения и(Ьп) суммарного сигнала,

т.е.

и(Ьп)-х(Ьп)+еап); С19)

- в качестве критерия качества процесса фильтрации используется средний квадрат рассогласования

1=ЕИуи)-хи))2> при (20)

- частотная характеристика линейного динамического звена ДДЗ (аналогового фильтра) М^и) выбрана оптимальной (физически нереализуемой) для случая, соответствующего регулярной дискретизации.

Взаимное расположение ЭхМ, Э (у) и приведено на

рис.8.

Целью исследования в данном случае являлось сопоставление качестве фильтрации по критерию (20) при детерминирован-

Рис.7. Структура системы фильтрации ИИЭ - идеальный импульсный элемент; ЛДЗ - линейное динамическое звено

Рис.8. Взаимное расположение Зх(ы),5е(<л>>

ной и случайной дискретизации при неизменном математическом ожидании интервала дискретизации шт (при регулярной дискретизации (Шт»То).

В результате исследования определены области частот для средней частоты дискретизации ц>о, для которых пуассоновская дискретизация является предпочтительнее "в среднем" детерминированной, причем данные диапазоны определяются как

й - «ь П + «ь

- < шо < -

(21)

где г-1.2,...,епЬ (

«о

2 Я

Шт

Я

Т - - , (22)

и>ь

в случае выполнения условия

а

2г

< Э, (23)

Г-(1+2г)

бе2

где Б =-— - отношение "шум/сигнал".

б*2

Рассмотренные модельные примеры показывают, что случайная дискретизация в задаче фильтрации может быть "в среднем" предпочтительней детерминированной в смысле критерия (20) в случаях нарушения теоремы Котельникова по отношению к помехе, имеющей спектр в области более высоких частот, чем полезный сигнал. Очевидно, это имеет определенный практический смысл, позволяя выбирать невысокую среднюю частоту (по сравнению с частотой помехи) дискретизации.

В четвертой главе рассмотрены две разработанные цифровые системы сбора и обработки данных, в составе алгоритмического и программного обеспечения которых применены некоторые теоретические результаты предыдущих разделов.

Разработанная автоматизированная система для контроля параметров газоанализаторов типов ГИАМ-14, ГИАМ-15 представ-

ляет собой многоканальную информационно-измерительную цифровую систему, обеспечивающую, в частности, контроль выходных токов газоанализаторов в режиме их технологического прогона. Оценка среднего тока 1-го поверяемого газоанализатора производится в режиме реального времени в соответствии с формулой (12), при этом в силу специфики функционирования системы интервалы Тп между соседними измерениями являются случайными, соответствующими одному из разновидностей процесса случайной дискретизации типа потока Пальма - так называемому альтернирующему потоку. Исследование системы в реальных производственных условиях и применение выражений (13), (14) позволили обоснованно выбрать необходимое число опросов каждого газоанализатора N=<¡7, исходя из заданной допустимой погрешности оценки тх и обеспечить минимальную длительность общего цикла опроса. Система внедрена в действующее производство ПО "Ана-литприбор", г.Смоленск.

Задача, математически близкая к указанной, решена в процессе разработки и внедрения системы контроля и управления процессом испытания аккумуляторных батарей. Данная система внедрена в СКВ источников тока (г.Смоленск) и обеспечивает технический эффект - повышение достоверности результатов контроля, в частности, благодаря применению полученных в диссертации соотношений для дисперсии Охы (формулы (13)-(14) и другие).

Сформулированные в заключении полученные результаты сводятся к следующим положениям.

1. Выявлены виды случайной дискретизации, проведен анализ их особенностей и свойств. Показано, что определенными преимуществами может обладать случайная дискретизация, описываемая моделями случайных потоков Пальма.

¡й. Проделан обзор литературных источников, позволивших конкретизировать постановку задачи исследования.

3. Установлено, что если исходный непрерывный случайный процесс обладает свойствами стационарности и эргодичности (по отношению к математическому ожиданию), то такими же свойствами, за некоторыми исключениями, возможными при детерминированной дискретизации, обладает и выборка.

4. разработан общий подход к получению выражений для ав-

токорреляционных функций и спектральных плотностей случайных выборок.

5. Получены выражения, позволяющие проводить сравнение качества (эффективности) оценок характеристик исходного непрерывного случайного процесса, таких как математическое ожидание, дисперсия, форма процесса (при отсутствии или наличии аддитивной случайной помехи) при различных видах дискретизации.

6. На примерах показано, что случайная дискретизация может быть "в среднем" предпочтительней детерминированной в смысле качества указанных оценок в случаях нарушения условий теоремы Котельникова по отношению к существенной части спектра сигнала или помехи.

7. Разработаны и внедрены автоматизированные системы контроля параметров газоанализаторов типов ГИАМ-14, ГИАМ-16 и контроля и управления процессом испытания аккумуляторных батарей, в составе алгоритмического и программного обеспечения которых использованы теоретические результаты диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих публикациях.

1. Круглов В.В., Дли М.И. Вид спектральных плотностей сигналов, квантованных в случайные моменты времени. М.: Деп. В ВИНИТИ 22.09.93. N2451-693.

2. Круг Г.К., Круглов В.В., Дли М.И. Использование случайной дискретизации сигналов в задаче фильтрации // Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях 10-я научн. конф. Сб.тез.докл. М. 1992. С.90-01.

3. Круглов В.В., Дли М.И. Сопоставление видов дискретизации в задаче фильтраций сигналов. М.: Деп. в ВИНИТИ 12.03.93, И609-В93.

4. Дли М.И. Сопоставление видов дискретизации при оценке математического ожидания стационарного случайного процесса М.: Деп. в ВИНИТИ 21.12.03, N3117-093.

5. Автоматизированные системы для испытаний и приемки газовых анализаторов/ С.Д.Сафонов, В.В.Круглов, М.И.Дли и др. // Современное состояние аналитического приборостроения в области анализа газовых сред и радиоспектроскопии: Тез.докл. Всесоюзн. конф. Смоленск, 1991. С. 160.