автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов фильтрации в постановке Р. Калмана в условиях случайной дискретизации сигналов

/ 4 ■ * г I * « # 1

{■■71 \ С/ С/ — 5 '' ^ ^ ,

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (технический университет)

на правах рукописи

ПУЧКОВ Андрей Юрьевич

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ФИЛЬТРАЦИИ^ЦОСГГАНОВКЕ Р. КАЛМАНА В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ

Специальность 05.13.01 - Управление в технических

системах

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель: д.т.н. профессор Круглов В.В.

Москва - 1999

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

ВВЕДЕНИЕ . . ................. 5

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЩШШСИГНАЛОВ ... 10

1.1. Характеристика видов случайной дискретизации. . 10

1.2. Обзор работ, посвященных фильтрации по Н. Винеру и Р. Калману в условиях

случайной дискретизации ........... 22

1.3. Конкретизация задачи исследования ...... 43

1.4. Выводы по главе................46

2. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА ФИЛЬТРА КАЛМАНА В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ .... 47

2.1. Вывод уравнения оптимального фильтра Калмана

при аналоговом варианте фильтрации ...... 47

2.2. Получение описания обобщенного аналогового фильтра Калмана при случайной дискретизации сигналов...................67

2.3. Разработка методики расчета оптимального фильтра Калмана при дискретном варианте фильтрации..................75

2.4. Выводы по главе................87

3. ПРМЕНЕНИЕ МЕТОДА СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОПТИМАЛЬНОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА..............89

3.1. Общая характеристика алгоритмов........89

3.2. Разработка алгоритма определения оптимальных параметров фильтра Калмана для аналогового варианта фильтрации..............91

3.3. Разработка алгоритма определения оптимальных параметров фильтра Калмана для дискретного варианта фильтрации ............. 102

3.4. Выводы по главе...............120

4. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В СИСТЕМЕ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ И В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ......121

4.1. Применение полученных результатов в системе обработки данных датчика угловых перемещений летательного аппарата.............121

4.2. Использование разработанного программного обеспечения по расчету оптимальных параметров фильтра Калмана в учебном процессе в Смоленском филиале Московского Энергетического института..................137

4.3. Выводы по главе...............139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................141

ЛИТЕРАТУРА...................143

ПРИЛОЖЕНИЯ...................153

ВВЕДЕНИЕ

Алгоритмы оптимальной линейной фильтрации получили большое распространение (см. например, /1-6/), при этом достаточно широко применяются дискретные виды данных алгоритмов (например в ситуациях, когда наблюдению доступен не непрерывный сигнал, а его дискретные значения, поступающие через одинаковые интервалы времени). Между тем, во многих случаях физические особенности систем контроля и управления не позволяют обеспечить такую детерминированную дискретизацию и приводят к постановке задачи фильтрации в условиях случайной дискретизации сигналов /7-10/. Нерегулярность или случайность моментов квантования может объясняться как самой физической природой систем, что имеет место, например, в человеко-машинных и биологических, некоторых электромеханических системах, в системах, использующих радиоизотопные и квантовые оптические датчики, так и алгоритмами работы, что характерно, в частности, для цифровых систем контроля и управления - при асинхронном обмене информацией с периферийными устройствами, наличии систем приоритетов периферийных устройств, вариациях программ обработки данных, для импульсных радиолокационных систем - в целях борьбы с активными помехами и т. д.

Анализ подобных задач проведен только для фильтра Н. Винера /11-13/, в то время как более перспективным для большинства практических ситуаций представляется использование фильтра Р. Калмана. К достоинствам подхода Калмана можно

отнести следующее:

- не требуется стационарности характеристик сигналов и бесконечных интервалов времени, которые фигурируют при строгом определении спектров полезного сигнала и помехи;

- удобство реализации алгоритмов фильтрации на ЭВМ;

- оценки получаются в реальном масштабе времени по мере поступления данных при каждом опросе.

С учетом сказанного, актуальной научной задачей, имеющей как теоретическое так и прикладное значение, выступает разработка и исследование методов фильтрации в постановке Р. Калмана в условиях случайной дискретизации сигналов.

Диссертация выполнялась в рамках работы "Теория импульсных систем со случайной дискретизацией" ( руководитель -- д. т. н. профессор Круглов В. В., сроки: 1993 - 1994 г.г.) гранта по программе "Технические университеты" по разделу 2.4 "Управление в технических системах" направления "Фундаментальные иследования в технических университетах" и по планам г/б НИР кафедры Управления и информатики Смоленского филиала МЭИ.

Целью диссертационной работы является разработка, исследование эффективных методов и алгоритмов линейной фильтрации полезного сигнала, зашумленного аддитивной помехой в постановке Р. Калмана в условиях случайной дискретизации и практическое использование данных методов при решении прикладных задач.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Анализ известных подходов к линейной фильтрации сиг-

налов, квантованных по времени, в том числе, при случайной дискретизации.

2. Разработка алгоритмов оптимальной линейной фильтрации в постановке Р. Калмана в условиях, когда наблюдению доступны сигналы, дискретизированные в случайные моменты времени.

3. Разработка соответствующего алгоритмического и программного обеспечения для персональных ЭВМ.

4. Разработка алгоритмического обеспечения, реализующего фильтр Калмана для конкретной системы сбора и обработки данных в условиях случайной дискретизации.

Методы исследования в диссертации базируются на методах теорий автоматического управления, вероятностей, оптимизации, случайных потоков и численных методах.

Достоверность теоретических разработок, научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается совпадением полученных результатов с данными имитационного эксперимента и результатами практического использования разработанных методов и алгоритмов.

Научная новизна .

1. Получено описание аналогового фильтра Р. Калмана для случая восстановления непрерывного зашумленного сигнала, когда наблюдениям доступны значения сигнала в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток случайных событий. Показано, что с точностью до значений элементов матрицы усиления такое описание подобно описанию фильтра Калмана для непрерывного случая.

2. Предложена методика получения описания стационарного

дискретного варианта фильтра Калмана в условиях случайного квантования сигналов по времени при произвольном характере данной дискретизации. Сущность методики сводится к определению ординат оптимальной импульсной характеристики фильтра и нахождению неизвестных матриц в описании фильтра Калмана путем решения системы нелинейных уравнений.

3. Разработаны алгоритмы численного определения параметров фильтра Калмана для аналогового и дискретного вариантов в условиях случайной дискретизации сигналов, базирующиеся на использовании принципов имитационного моделирования и метода стохастической аппроксимации.

Практическая ценность работы состоит: в разработанных методах определения оптимальных параметров линейного фильтра Калмана при известных вероятностных характеристиках непрерывного случайного полезного сигнала, помехи и процесса квантования сигнала по времени; в разработанном алгоритмическом и программном обеспечении определения характеристик оптимального фильтра Калмана; в внедрении разработанного алгоритма в действующую систему сбора и обработки информации.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-практической конференции посвященной 35-летию Смоленского филиала МЭИ (Смоленск, 1996), на семинаре "Современные проблемы энергетики" (Смоленск, 1997), на первой городской научно-практической конференции молодых ученых и студентов (г. Смоленск, 1998 г.), на научных семинарах кафедр Управления и информатики МЭИ и Смоленского филиала МЭИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Краткое содержание диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе рассмотрены особенности моделей случайной дискретизации, проведен обзор методов линейной фильтрации сигналов при их случайном квантовании по времени, конкретизирована постановка задачи исследования.

Вторая глава посвящена решению теоретических вопросов, связанных с определением оптимальных параметров фильтра Кал-мана при аналоговом и дискретном варианте фильтрации при случайной дискретизации сигналов.

В третьей главе проводится разработка алгоритмов и программ численного моделирования по определению значений оптимальных характеристик фильтра для отмеченных выше вариантов фильтрации.

В четвертой главе отражено практическое применение разработанных методов фильтрации.

Заключение содержит основные выводы по проделанной работе, отмечаются теоретические и прикладные результаты исследований.

В приложениях приведены вспомогательные теоретические материалы и промежуточные выкладки, а также акты об использовании результатов диссертационной работы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СИГНАЛОВ

1.1. Характеристика видов случайной дискретизации

При квантовании непрерывного сигнала по времени

происходит замена этого сигнала некоторой последовательностью его мгновенных значений ик= иСЬк), взятых в моменты времени к=0, 1, 2,... . Информация, сохраненная при осуществлении операции дискретизации и содержащаяся в последовательности <ик>, должна быть достаточной для выполнения решаемой задачи обработки сигнала и(Ъ). Отсюда следует, что требования к процедуре дискретизации могут быть более или менее жесткими в зависимости от того, какую характеристику сигнала и(Ъ) нужно определить путем обработки мгновенных значений -Си^}.

Моменты времени получения отсчетов образуют поток событий, который обычно представляется в виде потока точек дискретизации, как это показано на рис. 1.1. Свойства операции дискретизации определяются выбранной закономерностью формирования точечного потока, согласно которому берутся отсчеты ию

Наиболее простой и удобной с точки зрения практической реализации является детерминированная (регулярная) дискрети-

1=0

Рис.1.1. Иллюстрация процесса дискретизации

зация, когда отсчеты разделены интервалом времени известной длительности. Однако, как уже отмечалось выше, не всегда удается обойтись только регулярной дискретизацией.

Среди других моделей дискретизации, отличных от периодической и привлекающих внимание исследователей, выделяют широкий класс моделей случайной или стохастической дискретизации, в которых последовательность моментов является реализацией некоторого точечного случайного процесса. В соответствии, например, с эмпирическими выводами работы /14/, к определяющему фактору, приводящему в большинстве случаев к необходимости учета случайного характера дискретизации, целесообразно отнести относительную вариацию интервала квантования /8/, т.е. отношение среднего квадратического отклонения интервала дискретизации бт к его математическому ожиданию л?т. При этом случайность дискретизации необходимо учитывать /14/, если выполняется неравенство:

6т/тг > (0,05 - 0.1). (1.1)

Для рассматриваемых далее потоков максимальное отношение 6Т/тТ равно единице, а минимальное - при регулярной дискретизации, нулю /8/.

Причины, вынуждающие исследователей отказаться от применения традиционной модели периодической дискретизации и требующие рассматривать модели случайной дискретизации, можно условно разделить на две группы /15/.

К первой групе относятся работы, в которых анализируют-

ся ограничения, связанные с применением модели периодической дискретизации и обусловленные присущей этой модели эффектом наложения частот и его последствиями. Отказ от модели периодической дискретизации приводит к рандомизации процедуры квантования сигнала по времени, т. е. к планируемой случайной дискретизации исследуемого процесса /15, 16/.

Вторая группа работ связана с естественной или неплани-руемой случайной дискретизацией, обусловленной специфичностью физического эксперимента, метода измерения, несовершенством аппаратуры и т. п. При изучении такой дискретизации было показано, что случайность при квантовании сигнала по времени может быть даже полезной /15 - 17/.

Однако это утверждение носит скорее качественный, чем количественный, причем достаточно общий характер, что, по-видимому, является причиной, по которой преднамеренное введение случайности в процесс дискретизации применяется достаточно редко.

Рассмотрим некоторые наиболее употребительные модели случайной дискретизации /15, 16, 18/. Отметим, что абсолютно все авторы, рассматривающие случайное квантование сигналов по времени, исходят из концепции, что совокупность моментов дискретизации {Ь^У представляет собой на временной оси случайный точечный поток однородных событий, обладающий свойствами ординарности и стационарности /8, 19/.

Следует отметить, что свойство стационарности проявляется в большинстве практических задач /7, 8/, так как обычно реализуемые алгоритмы получения отсчетов удовлетворяют сформулированным условиям в течении длительных промежутков вре-

мени, а оценки параметров определяются путем обработки достаточно большого количества отсчетов /16/. Физические принципы, лежащие в основе работы систем со случайной дискретизацией, позволяют считать рассматриваемые потоки ординарными и стационарными.

Приведенным свойствам удовлетворяют две основные разновидности случайных точечных потоков:

1) случайные потоки с детерминированными тактовыми интервалами (по терминологии /15/ - это дискретизация с "дрожанием" периода, согласно /16/ - потоки без накопления дисперсии) , для которых

tk = к % + 1к> (1-2)

где тт = const - математическое ожидание периода дискретизации Тк,

{lk> - одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием;

2) случайные потоки класса потоков Пальма /8/ (другие названия - процессы восстановления /20/, апериодические случайные потоки /21/, аддитивная случайная дискретизация /15, 16/), обладающие, кроме свойств однородности и стационарности, еще и свойством ограниченности последействия.

Для всех разновидностей случайной дискретизации, судя по литературным источникам, предполагается, что совокупность {tk> никак не коррелированна со значениями u(t).

По мнению авторов /16/, для описания случайной дискретизации более подходящими являются модели потоков второго

вида, поэтому на их свойствах имеет смысл остановится подробнее.

При задании конкретного потока указанного класса достаточно задать набор конкретных функций распределения

Fk(T) = P(Tr<T), k > 1, (1.3)

где Tk=tk-tk_i - k-й интервал дискретизации, Р(-) - обозначение вероятности события.

В случае стационарного режима дискретизации можно полагать, что

Fi CT) = F2(T) =...= F(T), (1.4)

и определить плотность распределения интервала дискретизации:

Р (Т < Тк <Т + ДТ )

f(T) = lim- = F '(Т). (1.5)

ДТ-Ю ДТ

Следует особо остановится на выборе момента начала отсчета (t=0). В работе /22/ отмечено, что при анализе систем в стационарном случае выбор этого момента не имеет принципиального значения, так как сигналы на входе и выходе системы имеют бесконечную длительность. В такой ситуации, из чисто физических соображений, начало отсчета можно полагать не зависящим от потока дискретизации (см. рисЛ.2,а), но в ряде случаев удобно принимать его совпадающим с одним из моментов дискретизации (рис.1.2,6).

Поток дискретизации в последующем будем характеризовать

Т1

Т2

Тк

Тк+1

tk+l £

а)

1-1 1^=0 tl

Ьк 1к+1 t

б)

Рис. 1.2. Графическая иллюстрация процессов дискретизации;

а - при произвольно выбранном начале отсчета, б - при совпадении начала отсчета с одним из замыканий

плотностью вероятности 1Г(Т) или ее преобразованием Лапласа /7/

00

Мт(р) = | ГСТ) е~рТ сЯ, (1.6)

о

которое иначе ( учитывая положительность случайной величины Т^ ) можно трактовать /23/ как математическое ожидание функции е-рТ, а также такими числовыми параметрами как математическое ожидание % и дисперсия бт2 интервала дискретизации:

00

¡Пгг = М{Т> = [гГ(Т)сГГ, (1.7)

о

л _

бт2 = М-Ц Тк - т? )2> = (Т - т^)2-?(Т)с/Т, (1.8)

о

где М{*> - символ математического ожидания.

Напомним, что величина А, обратная математическому ожиданию /Пт:

X = 1 /щ (1.9)

называется интенсивностью потока и равна среднему числу моментов дискретизации в единицу времени /7/.

Далее стоит заметить, что в случае, отраженном на рис. 1.2,а, временной интервал Т1* от начала отсчета до первого замы